Espectro-de-bandas-controlado-electricamente-en-cristales-lquidos-fotonicos

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1
Universidad Nacional Autónoma de México
POSGRADO EN CIENCIAS FÍSICAS
ESPECTRO DE BANDAS CONTROLADO
ELÉCTRICAMENTE EN CRISTALES
LÍQUIDOS FOTÓNICOS
TESIS
que para obtener el grado de
DOCTOR EN CIENCIAS
Presenta:
Ismael Molina Romero
DIRECTOR DE TESIS: DR. JUAN ADRIÁN
REYES CERVANTES
México D. F., ENERO DE 2012.
10
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
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Contents
1 10
2 INTRODUCCION 15
3 CRISTALES LIQUIDOS 25
3.1 Estructura molecular y química . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Descripción macroscópica de un cristal líquido . . . . . . . . . 33
3.3 Propiedades Ópticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4 Propiedades Eléctricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4 CRISTALES FOTONICOS 74
4.1 Formulación matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5 CRISTALES FOTONICOS: DESCRIPCIÓNMAXWELLIANA 85
5.1 Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.2 Representación de Marcuvitz Schwinger . . . . . . . . . . . . . 87
5.3 Método de Solución en Materiales Estructurados en Capas . . 96
6 CRISTAL LÍQUIDO FOTÓNICO EN CONFIGURACIÓN
DE TORSIÓN 102
6.1 Condiciones de Anclaje Fuerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.2 Matriz de transferencia del cristal líquido fotónico . . . . . . . 108
6.2.1 Representacion cuadri-vectorial . . . . . . . . . . . . . 109
6.3 Matrices de Transferencia y Dispersión . . . . . . . . . . . . . 112
6.4 Resultados Numéricos y Discusión . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7 CONCLUSIONES Y PERSPECTIVAS 149
8 Apendice A. Formalismo de los vectores y matrices de Jones152
9 Apendice B. Bosquejo del calculo de las matrices
 !
B 0 y
 !
Q 0 157
1
10 Apendice C. Bosquejo del calculo de la matriz de dispersión162
List of Figures
1 Esquemas de las tres clases de cristales fotonicos (CF). De
arriba hacia abajo, el primero es un CF unidimensional, los dos
de enmedio son CF bidimensionales, mientras que los ultimos
son CF tridimensionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Cristal fotónico bidimensional de silicón macroporoso, in�l-
trado con un cristal líquido nemático, de 8 capas. Grá�cas de
la transmitancia de este material, en las que se observa un cor-
rimiento de la banda prohibida de la transmisión, provocado
por la in�ltración del cristal líquido. Mientras que las líneas
sólidas de la transmisión corresponden a la fase nemática (35
�C) del cristal líquido , las líneas punteadas a la fase isotrópica
(62 �C). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Micrografía de la cara �nal de una �bra de cristal líquido
fotónico rellena con un cristal líquido. La estructura per-
iódica consistente de silicio y cristal líquido, da lugar a un
revestimiento con anchos de banda fotónicas. Así la �bra solo
soporta transmitir ciertas longitudes de onda. En la imagen se
esta transmitiendo el modo con longitud de onda correspon-
diente al color azul en el espectro de la luz visible. El cristal
líquido in�ltrado fue un colésterico cuya hélice se alineó en una
simetría radial dentro de los agujeros de la Fibra de Cristal
Fotónica (FCF), y siendo también perpendicular al eje de la
�bra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4 Esquema de la distribución de las moleculas en un cristal
líquido polimérico. a) Cadena principal b) cadena lateral. . . . 26
5 Alineación molecular de un cristal líquido nemático. . . . . . . 27
6 Representación de un cristal líquido colestérico. . . . . . . . . 27
7 Cristal líquido esméctico-A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
8 Cristal líquido esméctico-C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
9 Cristal líquido esméstico-C* o ferroeléctrico, sin campo externo. 30
10 Esméctico-C* reorientado debido a un campo eléctrico externo. 31
2
11 Esquema de los enlaces químicos de las moléculas de un cristal
líquido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
12 Deformaciones en un cristal líquido nemático. a) Torsión, b)
ensanchamiento y c) combamiento . . . . . . . . . . . . . . . . 39
13 Reorientaciones posibles del vector bn0;dadas las posibles de-
formaciones en el cristal líquido, por ensanchamiento, torsión
y combamiento. Cada una esta relacionada con las constantes
K1 = k11; K2 = k22 y K3 = k33; respectivamente. . . . . . . . . 41
14 Gra�ca de los valores experimentales de la constante elástica
K11=pN para el CL-5CB, contra TNI�T , la diferencia entre la
temperatura de transición TNI y la temperatura T . Se de�ne
a la temperatura TNI , como la temperatura de transición de
la fase nemática del CL a la fase isotrópica. En el caso del
CL-5CB, se tiene que TNI = 35:1�C (ver la cita referida antes
en el texto[44]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
15 Gra�ca de los valores experimentales de la constante elástica
K33=pN para el CL-5CB, contra TNI�T , la diferencia entre la
temperatura de transición TNI y la temperatura T . Se de�ne
a la temperatura TNI , como la temperatura de transición de
la fase nemática del CL a la fase isotrópica. En el caso del
CL-5CB, se tiene que TNI = 35:1�C (ver la cita referida antes
en el texto[44]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
16 Estructura molecular del cristal líquido nemático, 5CB. . . . . 55
17 Descomposición de una onda linealmente polarizada como una
suma de dos ondas polarizadas circularmente en sentidos con-
trarios que se propagan con velocidades diferentes dentro del
medio ópticamente activo[32]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
18 Relación entre la frecuencia ! y el número de onda de Bloch l.
Cada modo l de�nido por la ecuación (50) es una superposición
de dos ondas planas con vectores de onda l � q0: . . . . . . . . 63
3
19 Variación del vector director para "capas" distintas del cristal
líquido. En la �gura de la derecha se ilustra como varia el
vector director en el ángulo �, que es al ángulo que hacen los
vectores bn respesto al vector unitario en la dirección del eje x,bi y suponiendo que ' = 0, es constante, para un campo eléc-
trico aplicado "crítico". Mientras que la �gura de la izquierda,
indica como esta el ángulo �'0 que hace el vector director
en el plano xy para la frontera izquierda del cristal líquido
nemático, siendo que en la frontera derecha el vector director
hace un ángulo igual a '0: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
20 Ilustración del efecto Fredericks en un cristal líquido nemático. 73
21 Descripción del campo electromagnético en la frontera de dos
medios, para polarización transversal eléctrica (el campo eléc-
trico es perpendicular al papel). . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
22 Esquema de la propagación de ondas electromagnéticas entre
dos fronteras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
23 Representación de ondas electromagnéticas propagandose en
una multicapa dieléctrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
24 Filtro Lyot-Ohman para interferencias con luz polarizada. . . . 82
25 Transmitancias para cada elemento y el �ltro total de Lyot-
Ohman, se gra�ca respecto a los valores posibles de . . . . . 84
26 Esquema del cristal líquido fotónico, hecho con capas alter-
nadas de dieléctrico y cristal líquido nemático. . . . . . . . . . 98
27 Esquema de un cristal líquido fotónico nemático, formado por
N capas intercaladas de cristales líquidosy N capas de dieléctrico.103
28 Grá�ca de � como función de la variable adimensional w para
diferentes valores del campo externo Edc. Recuérdese que �
describe el ángulo entre el vector director y el plano xy; w es
una variable adimensional que reescala la variable espacial z
con respecto al ancho del cristal líquido, y �nalmente � es un
parámetro sin dimensiones escrito en función del campo eléc-
trico externo, que está relacionado con la razón de la energía
eléctrica externa entre la energía elástica del cristal líquido. . 123
29 Grá�ca de ' como función de la variable adimensional w para
distintos valores del parámetro �. Recuerdese que ' es el
ángulo polar que hace la proyección del vector director sobre
el plano xy y el eje x. El signi�cado de las otras dos variables
ya fue mencionado en la �gura 28. . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4
30 Re�ectancias y transmitancias para un CLFT, en función de la
variable adimensional d
�
, para una ángulo de incidencia � = 0o.
Las líneas continuas en color rojo describen el caso de � = �c,
mientras que las punteadas en color negro se asocian a � =
12: Debe observarse como las re�ectancias y transmitancias se
refuerzan o se anulan al variar �: . . . . . . . . . . . . . . . . 127
31 Se gra�ca lo mismo que en la �gura 30 para las primeras 4
gra�cas, pero considerando que � varia continuamente entre
0< � 512.9. Se pueden observar claramente el espectro de
bandas para el cristal líquido fotónico en con�guración torsion-
ada CLFT. Se ve como para las trasmitancias co-polarizadas
al aumentar el campo eléctrico (� aumenta) sus amplitudes se
acrecientan, mientras que para las re�ectancias co-polarizadas
al aumentar el campo, éstas disminuyen hasta prácticamente
anularse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
32 Se gra�ca lo mismo que en la �gura 30 para las últimas 4
gra�cas, pero considerando que � varia continuamente entre
0< � 512.9. Se pueden observar claramente el espectro de
bandas para el cristal líquido fotónico en con�guración tor-
sionada CLFT. Se ve como para las trasmitancias polarizadas
cruzadas al aumentar el campo eléctrico (� aumenta) sus am-
plitudes disminuyen hasta prácticamente anularse, mientras
que para las re�ectancias polarizadas cruzadas al aumentar
el campo, éstas amplitudes aumentan. Además, mientras las
transmitancias co-polarizadas aumentan al aumentar el campo
eléctrico, se observa que en cambio las transmitancias polar-
izadas cruzadas disminuyen, al comparar las grá�cas de este
conjunto de imagenes con respecto a los previos del conjunto
de �guras 31, por ejemplo. Por tanto se puede seleccionar con
el CLFT una polarización de la luz, mientras que la otra se
puede anular, al aumentar el campo eléctrico, haciendo factible
seleccionar una opción u otra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5
33 En esta �gura se ve como hay un corrimiento hacia el "azul",
cuando se varia el ángulo incidente de la onda electromag-
nética, �:Esto para cuando � = 12 y para las grá�cas de trans-
mitancia y re�ectancia co-polarizadas: El corrimiento hacia al
azul se observa mejor para las bandas polarizadas cruzadas en
el siguiente conjunto de imagenes, �gura 34 y para longitudes
de onda de orden alto (grandes), siendo que el intervalo donde
se hicieron las gra�cas es 0 < 
 = d
�
6 0:6. . . . . . . . . . . . 131
34 En esta �gura se ve como hay un corrimiento hacia el "azul",
cuando se varia el ángulo incidente de la onda electromag-
nética, �:Esto para cuando � = 12 y para las grá�cas de
transmitancia y re�ectancia polarizadas cruzadas: El corrim-
iento hacia al azul se observa mejor para estas bandas po-
larizadas cruzadas y para longitudes de onda de orden alto
(grandes), siendo que el intervalo donde se hicieron las gra�-
cas es 0 < 
 = d
�
6 0:6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
35 Esta gra�ca es equivalente a la �gura 31, pero aquí el número
de capas del CLFT es N = 8: Se observa que solo hay 4 ban-
das, tal y como cuando se tenían N = 20 capas alternadas de
dieléctrico con CLN. Y que también se observan los mismos
fenómenos de crecimiento para las transmitancias o disminu-
ción para la re�ectancias de las bandas co-polarizadas, cuando
se aumenta el campo eléctrico. El que solo sean 8 capas y
que se presente el mismo fenómeno es indicativo de que sería
más realista hacer experimentalmente el CLFT con un número
menor de capas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
36 Esta gra�ca es equivalente a la �gura 32, pero aquí el número
de capas del CLFT es N = 8: Se observa que solo hay 4
bandas, tal y como cuando se tenían N = 20 capas alter-
nadas de dieléctrico con CLN. Y que también se observan
los mismos fenómenos de disminución para las transmitancias
y crecimiento para la re�ectancias de las bandas polarizadas
cruzadas, cuando se aumenta el campo eléctrico. El que solo
sean 8 capas y que se presente el mismo fenómeno es indicativo
de que sería más realista hacer experimentalmente el CLFT
con un número menor de capas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6
37 Esta grá�ca contiene la misma información que la �gura 33,
pero aquí el número de capas del CLFT es N = 8. Las gra�cas
se muestran desde otra perspectiva, para que se vea mejor el
fenómeno del corrimiento hacia al azul al variar el ángulo de
incidencia � de las ondas electromagnéticas. Para longitudes
de onda grandes se observa mejor el corrimiento hacia el azul
(longitudes de onda de orden grande). . . . . . . . . . . . . . . 136
38 Esta grá�ca es equivalente a la �gura 34, pero aquí el número
de capas del CLFT es N = 8. Las grá�cas se muestran desde
otra perspectiva, para que se vea mejor el fenomeno del cor-
rimiento hacia al azul al variar el ángulo de incidencia � de las
ondas electromagnéticas. Para longitudes de onda grandes se
observa mejor el corrimiento hacia el azul (longitudes de onda
de orden grande). Cabe aclarar tanto en el conjunto de �g-
uras 37, como en estas, las super�cies practicamente coinciden
con las de las �guras 33 y 34, haciendo factible hacer experi-
mental el CLFT con un numero menor de capas alternadas de
dieléctrico y CLN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
39 Se gra�ca lo mismo que en la �gura 35, manteniendo N = 8;
pero con una razón de espesor entre las capas de dieléctrico
y nemático igual a � = h
d
= 2: Se observa que debido a este
cambio el número de bandas se incrementa al doble, mientras
que las otras características comentadas antes para las �guras
relacionadas se mantienen, a saber la anulación o incremento
de las bandas con la variación del campo eléctrico externo. . . 139
40 Se gra�ca lo mismo que en la �gura 36, manteniendo N = 8;
pero con una razon de espesor entre las capas de dieléctrico
y nemático igual a � = h
d
= 2: Se observa que debido a este
cambio el número de bandas se incrementa al doble, mientras
que las otras características comentadas antes para las �guras
relacionadas se mantienen, a saber la anulación o incremento
de las bandas con la variación del campo eléctrico externo. . . 140
41 Se gra�ca lo mismo que en la �gura 37, manteniendo N = 8;
pero con una razon de espesor entre las capas de dieléctrico y
nemático igual a � = h
d
= 2: Se ven aqui seis bandas para el
CLFT, a diferencia de las grá�cas equivalentes previas, 33 y
37, que muestran 4 bandas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7
42 Se gra�ca lo mismo que en la �gura 38, manteniendo N = 8;
pero con una razon de espesor entre las capas de dieléctrico y
nemático igual a � = h
d
= 2: Se ven aqui seis bandas para el
CLFT, a diferencia de las grá�cas equivalentes previas, 34 y
38, que muestran 4 bandas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
43 En este conjunto de gra�cas se hace lo mismo que en la �gura
31, excepto que el cristal líquido fotónico está hecho de N = 8
capas de nemático-dieléctrico idénticas y 2'0 = 45
o: Como
cambio '0, ahora �c = 3:17. Se observa que el cambio de
amplitud de las bandas de re�exión co-polarizadas o las po-
larizadas cruzadaspuede ser cambiada para valores bajos del
campo eléctrico. Aunque las re�ectancias co-polarizadas y las
transmitancias polarizadas cruzadas no se anulan del todo al
aumentar el campo eléctrico (cotejar con la �gura siguiente). . 143
44 En este conjunto de gra�cas se hace lo mismo que en la �gura
32, excepto que el cristal líquido fotónico está hecho de N = 8
capas de nemático-dieléctrico idénticas y 2'0 = 45
o: Como
cambio '0, ahora �c = 3:17. Se observa que el cambio de
amplitud de las bandas de re�exión co-polarizadas o las po-
larizadas cruzadas puede ser cambiada para valores bajos del
campo eléctrico. Aunque las re�ectancias co-polarizadas y las
transmitancias polarizadas cruzadas no se anulan del todo al
aumentar el campo eléctrico (cotejar también con la �gura
previa previa). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
45 Se grá�ca lo mismo que en la �gura 33, sólo que ahora el cristal
fotónico está hecho de N = 8 capas de nemático-dieléctrico de
espesor idéntico y 2'0 = 45
o: Y ahora �c = 3:17: Se observa
también que hay un corrimiento hacia el azul de las bandas
para ángulos de incidencia � grandes. . . . . . . . . . . . . . . 147
46 Se grá�ca lo mismo que en la �gura 34, sólo que ahora el cristal
fotónico está hecho de N = 8 capas de nemático-dieléctrico de
espesor idéntico y 2'0 = 45
o: Y ahora �c = 3:17: Se observa
también que hay un corrimiento hacia el azul de las bandas
para ángulos de incidencia � grandes. . . . . . . . . . . . . . . 148
8
47 Las �echas punteadas representan las componentes vectoriales
de las descomposiciones de los vectores paralelos al plano xy,
segun los ángulos de incidencia, re�exión o transmitidos. Asi
por ejemplo,
�!
A jj = Ajj cos �ibi � Ajj sin �ibk. Los vectores con
subíndice ? son perpendiculares a la pagina, mientras que los
que tienen el subíndice jj son paralelos a la pagina, a saber al
plano xz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
48 Esquema para el calculo de la matriz de dispersión en base a
la matriz de transferencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
9
RESUMEN
El objetivo de esta tesis es analizar las propiedades ópticas de un nuevo
tipo de estructura periódica, la cual es conocida como Cristal Liquido Fotónico
Torsionado unidimensional, que consiste deN capas de cristal liquido nemático
en con�guración torsionada alternadas con N capas de dieléctrico isotrópico
transparente bajo la acción de un campo eléctrico (Edc) de corriente directa
(dc) alineado a lo largo del eje de periodicidad. Primero, se escriben y resuel-
ven numéricamente las correspondientes ecuaciones de Euler-Lagrange que
describen la con�guración de la capa nemática. Al expresar las ecuaciones de
Maxwell en una representación matricial de 4�4, y usando el formalismo de
la matriz de transferencia, se obtienen las estructuras de bandas ópticas para
ángulos de incidencia arbitrarios y diferentes campos eléctricos externos. Se
encontró que existe una fuerte dependencia del campo eléctrico sobre los es-
pectros de transmisión y re�exión reforzando y extinguiendo las bandas ópti-
cas. El análisis presentado aquí permite proponer la construcción de un �ltro
de rechazo universal intercambiable eléctricamente para ondas circularmente
polarizadas derechas e izquierdas. Se observa que incrementando el campo
eléctrico se puede reforzar fuertemente las bandas de re�exión polarizadas
cruzadas y suprimir las co-polarizadas. En este trabajo, también se analizan
los espectros ópticos para diferentes ángulos de torcimiento, para diferentes
razones del ancho entre las capas dieléctricas y nemáticas y diferente número
de capas N . También, se expone que las bandas ópticas polarizadas cruzadas
están corridas hacia al azul para ángulos incidentes grandes.
11
ABSTRACT
The aim of this thesis is to analize the optical properties of a new kind
of periodic structure, which is known as one-dimensional Twisted Photonic
Liquid Crystal (TPLC), which consists of N nematic liquid crystal slabs in a
twisted con�guration alternated by N transparent isotropic dielectric layers
under the action of a direct current (dc) electric �eld (Edc) aligned along the
periodicity axis. First, it is write and solve numerically the corresponding
Euler-Lagrange equations describing the nematic layer con�guration. By ex-
press Maxwell�s equations in a 4 �4 matrix representation, and by using the
transfer matrix formalism, it is obtain the optical band structures at arbi-
trary incidence angles and di¤erent external electric �elds. Was found that
there are a strong dependence of electric �eld on the transmission and re�ec-
tion spectra in enhancing and extinguishing optical bandgaps. The analysis
presented here allow to propose the build an electrically shiftable universal
rejection �lter for incident waves of left- and right-circular polarization. It is
observed that by increasing the electric �eld can highly enhance the cross-
polarized re�ection bandgaps and suppress the co-polarized ones. In this
work, also analyzed the optical spectra for di¤erent values of twist angle,
di¤erent ratios between dielectric and nematic layer thicknesses and number
of layers N . Also, it is showed that the cross-polarized optical bandgaps are
blue-shifted as the incidence angle gets larger.
12
Agradecimientos
Quiero dejar constancia de mi agradecimiento al Dr. Juan Adrián Reyes
Cervantes por haberme apoyado academicamente en la dirección de la pre-
sente tesis doctoral.
En particular, quiero agradecer de manera destacada la co-dirección de
la presente tesis de parte del Dr. Carlos Gabriel Avendaño López. Que
aunque no se cita en la portada, su ayuda en relación con el presente trabajo
fue muy importante. Es necesario comentarlo aqui, dado que por razones
administrativas del comite académico del Posgrado en Ciencias Físicas aso-
ciado al Instituto de Física de la UNAM, este comite decidió no aceptar la
co-dirección.
Quiero agradecer al comite de sinodales, el haber aceptado la revisión y
aprobado la presente tesis:
Dr. Rubén Gerardo Barrera Pérez
Dr. José Manuel Hernández Alcántara
Dr. Carlos Ignacio Mendoza Ruíz
Dr. José Ru�no Díaz Uribe
Dr. Orlando Guzmán López
Dr. Rubén Ramos García
13
Dedicatoria
A los dos únicos seres humanos a quienes amo de manera especial, a mi
madre Socorro Carmen Romero Gálvez .
Al viento la �ama, mi alma y mi corazón solo son y serán siempre para
la única mujer adorable, Norma J. Baker.
Para mis nuevos amigos, en particular al Dr. Carlos Gabriel Avendaño.
Creo que nunca había tenido un amigo como él, es una verdadera fortuna el
haberlo conocido. Se dice que hay hermanos por parentesco, que digamos
de pasada, ¿para qué sirven realmente si se tiene más bien otra clase de
relaciones de verdadera amistad?
Al Dr. Daniel Martínez, quien ya es nuestro enlace vitalicio de la acad-
emia de Física. ¡Todos para uno, y uno para todos!
Al Dr. Javier Vargas, por los vericuetos por los que tuvimos que pasar
como consejeros universitarios.
Al Dr. Jesús Flores, esperando que este bien en su carrera académica y
personal.
Al M.C. Humberto Gutiérrez, por haber sido quien me alfabetizo literal-
mente iniciandome en el estudio de la Física.
Para mis mascotas a quienes amo de otra manera, para mi Pequeña y mi
Larue, que aunque ya nos dejaron todavía las recuerdo de manera especial,
en parte en las gracias y travesuras de nuestras queridas Coquita y Soledad;
a nuestro Blue tan tranquilo y con�ado.
14
2 INTRODUCCION
El presente trabajo gira alrededor de dos clases de cristales. Por un lado los
cristales fotónicos (CF) que tienen una variedad de aplicaciones y que son
tratados en varios libros [1], los cuales son materiales con propiedades de
periocidad en su constante dieléctrica, lo que provoca que tengan también
propiedades ópticas periódicas: se encuentra para estos materiales que tienen
bandas prohibidas y permitidas ya sea para la transmisión o re�exión de la
luz (ver la �gura 1). El otro tipo de cristales que se considerarán en estatesis
son los cristales líquidos (CL) que son materiales no convencionales, pues son
de hecho una metafase, es decir, comparten propiedades de dos fases de la
materia: los liquidos isotrópicos y los sólidos[2] . Por muchas décadas, los
cristales líquidos han sido usados como materiales optoeléctronicos, dada la
facilidad con la que se pueden sintonizar sus propiedades, ya sea variando
la presión, su temperatura o aplicando campos eléctricos y magnéticos. Esto
sugiere que es posible elaborar un CF que incorpore el uso de cristales líqui-
dos, dado que la principal característica de aquellos, es su ancho de banda
fotónica (ABF).
El primer experimento de sintonización fué hecho por Leonard et. al.
[3], quienes in�ltraron el Cristal Líquido Nemático (CLN) E7 en los poros
de aire de un CF bidimensional hecho de silicón macroporoso; entonces se
observo que se encontraron dos bandas permitidas de polarización en los dos
extremos de longitudes de onda, es decir para valores pequeños de la longi-
tud de onda y para valores grandes de la misma. Luego mientras el cristal
líquido fue in�ltrado en CF, se pudo observar que hubo un corrimiento de la
bandas de transmisión hacia longitudes más grandes de la longitud de onda
15
(ver el conjunto de �guras 2) . Este resultado fué interpretado en términos de
una con�guración de escape radial (ER) de los vectores directores del CLN.
Mientras que en la referencia [5], se contrastó el cambio de la estructuras
de banda y transmisión, entre un nemático y la fase isotrópica, suponiendo
que el NLC 5CB ocupaba el espacio entre una rejilla bidimensional de barras
metálicas. Siendo que se supuso una con�guración axial (AX) del CLN arbi-
traria. Entonces Takeda y Yoshino [4] llegaron a la conclusión de que un CF
bidimensional in�ltrado con un CLN no es capaz de soportar los modos E
y H independientemente, como es normal para materiales isotrópicos. Esto
quiere decir, por ejemplo, que una onda incidente polarizada y perpendicular
a los cilindros del CF bidimensional da origen a la transmisión de ondas con
polarización paralela, también como a una transmisión perpendicular. Se
supone que los directores del CLN tienen una dirección �ja dentro de todos
los cilindros y que estas direcciones pueden ser alteradas por la aplicación de
un campo eléctrico[4] Más o menos lo mismo se supone en la ref. [6] para el
nemático 5CB que ocupa el espacio entre barras de Si.
Otra prometedora aplicación de estas ideas es el reciente surgimiento
de �bras de cristal fotónico (FCF) in�ltrado con un CLN (ver la �gura 3).
Propuestos por Larsen et. al. [7], los autores demostraron la sintonización y
encendido termo-óptico, que utiliza el cambio de las bandas fotónicas con la
temperatura. También una sintonización eléctrica para �bras similares fueron
tratadas por Du et. al. [8], quien observó variaciones en la luz trasmitida
através de la �bra cuando se aplica transversalmente un voltaje al material, se
encontro en este caso que la �bra dejaba de transmitir para voltajes grandes,
pudiendo así encender o apagar la transmisión de luz en la �bra óptica.
16
Figure 1: Esquemas de las tres clases de cristales fotonicos (CF). De arriba
hacia abajo, el primero es un CF unidimensional, los dos de enmedio son CF
bidimensionales, mientras que los ultimos son CF tridimensionales.
17
Figure 2: Cristal fotónico bidimensional de silicón macroporoso, in�ltrado
con un cristal líquido nemático, de 8 capas. Grá�cas de la transmitancia de
este material, en las que se observa un corrimiento de la banda prohibida de
la transmisión, provocado por la in�ltración del cristal líquido. Mientras que
las líneas sólidas de la transmisión corresponden a la fase nemática (35 �C)
del cristal líquido , las líneas punteadas a la fase isotrópica (62 �C).
18
También se ha hallado que es posible calentar localmente al cristal líquido
con un laser pulsado de 532 nm, cuando se entinta el cristal líquido, y que
por tanto es posible modular opticamente la transmisión de la luz en cristales
líquidos fotónicos con ancho de banda (CLFAB) [9] . De la misma manera una
sintonización continua[10] electricamente controlada han sido encontradas,
en este caso, poniendo un cristal líquido de frecuencia dual con moléculas
pre-inclinadas, se encuentró que se puede variar los valores de los índices de
refracción ordinarios (no) y extraordinarios (ne) del CL de manera continua,
controlando el valor de un voltaje externo aplicado transversalmene a la FCF.
Schuller et. al. [11] fabricaron una microcavidad en CF bidimensional hecho
de agujeros de aire, así produjeron una guia de ondas lineal; luego haciendo
un experimento similar a áquel de Leonard et. al. [3], con un CLN E7
inyectado en los hoyos de este CF bidimensional, los picos de resonancia para
la transmisión fueron sintonizados barriendo la temperatura desde 20oC hasta
72oC (más alla de la transición de fase nemática isotrópica a los 60oC). Takeda
y Yoshino [12] estudiaron teoricamente un CF-bidimensional que tenía en
su interior una capa de defecto hecha de una película polímerica de CLN,
encontrando que los picos de transmisión dependen del director del CLN,
como en la referencia[4]. Los mismo autores también diseñaron una guia de
ondas en forma de Y en un CF bidimensional, con los tres brazos de la Y
de diferente radio [13] La trayectoria que toma la luz puede entonces ser
controlada aplicando un campo eléctrico.
Las estructuras más simples de CF son las unidimensionales (ver la �gura
3), como por ejemplo, en la ref. [14] se demostró que una capa de defecto de
CL que se inserta en un CF-CLN hecho de capas alternadas de dieléctrico
con CLN, da lugar a una frecuencia de "modo de defecto", es decir da origen
19
a ondas estacionarias con una alta densidad de energía que se localizan en
la proximidad del defecto, cuya posición espectral puede ser sintonizada por
un voltaje externo[31]1; también un sistema semejante fue propuesto por
Miroshnichenko et. al.[37]. La sintonización eléctrica del modo de defecto
para emisión laser para una estructura unidimensional semejante al sistema
descrito anteriormente, se demostró usando un CLN dopado con un colorante,
que hace las veces de una capa de defecto en la estructura periódica[15] de
un cristal fotónico hecho de capas alternadas de SiO2 y TiO2, encontrandose
que la longitud de onda para la emisión laser se puede sintonizar cambiando
un campo eléctrico externo que se aplica al sistema. En otro experimento con
un sistema semejante se analizó la rapidez de la respuesta del sistema para
cuando se cambia el campo eléctrico externo, encontrandose que el modo de
defecto es sintonizable, y que la explicación de porque se puede sintonizar
rapidamente se debe a lo estrecho del pico del modo de defecto y a la repidez
con que se reorientan las moléculas del cristal líquido nemático sin dopar de
colorante, que se utilizó como defecto en un CF formado de manera idéntica
al sistema que se comentó antes [16].
El CF unidimensional propuesto en la presente tesis, consiste de N capas
de cristal líquido en una con�guración torsionada, intercalada porN películas
1Esto es indicativo de que es factible construir laseres con umbrales de intensidad
de activación bajo, tal y como ya se hizó en la referencia[38]. Además de que en estas
referencias no se ha hecho ningun experimento en la que se proponga hacer un defecto en
alguna de las capas que forman el cristal fotónico. Por ejemplo, que se tuviera una capa de
cristal líquido colestérico, con una hélice uniforme, pero que luego se cortara al colestérico
y se lo rotase. Esto, daría origen a un defecto en material, que también provocaría "modos
de defecto" para la propagación de ondas electromagnéticas en el mismo. Por modos de
defecto, nos referimos como ya lo habiamos señalado, a la aparición de ondas estacionarias
que se localizan alrededor de los defectos físicos del material.
20
Figure 3: Micrografía de la cara �nal de una �brade cristal líquido fotónico
rellena con un cristal líquido. La estructura periódica consistente de silicio y
cristal líquido, da lugar a un revestimiento con anchos de banda fotónicas. Así
la �bra solo soporta transmitir ciertas longitudes de onda. En la imagen se
esta transmitiendo el modo con longitud de onda correspondiente al color azul
en el espectro de la luz visible. El cristal líquido in�ltrado fue un colésterico
cuya hélice se alineó en una simetría radial dentro de los agujeros de la Fibra
de Cristal Fotónica (FCF), y siendo también perpendicular al eje de la �bra.
21
dieléctricas transparentes. Cada una de las capas de cristal lìquido está
emparedada entre dos capas de dieléctrico de tal manera que el director es
paralelo con ambas fronteras, suponiendo que hay anclaje fuerte. Entonces,
un torsión es impuesta sobre el cristal líquido rotandolo por cierto ángulo -'0
en la primera cara y '0 en la siguiente cara.
A esta con�guración la hemos llamado cristal líquido fotónico torsionado
(CLFT), que en presencia de un campo eléctrico externo, dá una respuesta
respecto a la transmisión y re�exión de las ondas electromagnéticas. Para
hallar como se comportan éstas, es necesario hallar y resolver numéricamente
las ecuaciones de "Euler-Lagrange" que describen la con�guración de equi-
librio elástica del cristal líquido nemático, lo cual se describe en el capitulo
I.
En el capítulo II se describen las características ópticas de los cristales
fotónicos.
Luego es necesario plantear las ecuaciones de Maxwell en una repre-
sentación cuadrivectorial, conocida como la representación de Marcuvitz-
Schwinger[19] para poder hacer la descripción simultánea de los campos
eléctricos y magnéticos transversales de las ondas electromagnéticas que se
suponen inciden en el material, lo que se hace en el capítulo III, de la tesis.
Finalmente en el capítulo IV, haciendo uso del formalismo de la matriz
de transferencia, se obtiene la estructura de bandas ópticas para ángulos
de incidencia arbitrarios y diferentes campos eléctricos. Se encontró una
fuerte dependencia de los espectros de transmisión y re�exión respecto al
valor del campo eléctico externo aplicado, ya sea en el realce o extinción
de las bandas. De manera que se puede proponer la construcción de un
22
�ltro intercambiable (shiftable) universal para ondas incidentes polarizadas
izquierdas y derechas. Se encontró que incrementando el campo eléctrico se
puede aumentar sustancialmente las bandas de re�exión polarizadas cruzadas
y suprimir las co-polarizadas. En principio este es el resultado principal de la
presente tesis, ya que como acabamos de reseñar se sabía ya de la existencia
de bandas ópticas para los cristales fotónicos comunes, más no como estas
bandas podrían ser controladas de manera externa.
Se analizó también el espectro de bandas óptico para diferentes valores
del ángulo de torsión, para diferentes razones entre los espesores de las ca-
pas dieléctricas y nemáticas, así como para un numero diferente de capas N .
También, se expone que las bandas polarizadas cruzadas tienen un corrim-
iento hacia el azul que ocurre para ángulos más grandes de incidencia de las
ondas electromagnéticas en el CLFT.
Es de destacar que se espera que el CLFT que se describe teoricamente
en la presente tesis pueda servir como un �ltro ajustable universal, como
compuerta lógica en óptica computacional, para la selección y transmisión
óptica de información en telecomunicaciones, y tal vez, en sensores biológi-
cos. Aunque en el presente trabajo solo se ha hecho la parte teórica, fal-
taría corroborar experimentalmente la factibilidad de producir �sicamente
el CLFT, medir si sus tiempos de respuesta son los mismos que los que se
consideran para los CLN, que son del orden de milesimas de segundo y si
el encencido o apagado (shiftable) de las bandas ópticas con un voltaje rel-
ativamente pequeño de unos cuantos volts, es afectado por las variaciones
de la temperatura, por ejemplo. En caso de que se deseara un tiempo de
respuesta más rapida del orden de microsegundos falta saber si es factible
el considerar la construcción de un CLFT pero con capas hechas de CLN
23
ferreomagnético, todas estas perspectivas suenan como posibles extensiones
interesantes a considerar para proximos trabajos.
24
3 CRISTALES LIQUIDOS
3.1 Estructura molecular y química
Los critales líquidos se caracterizan por ser materiales mesogenos, es decir,
son materiales que tienen un comportamiento que es común a dos fases in-
termedias, la cristalina y la líquida. Por ello es que pueden �uir como un
líquido, y tener también propiedades físicas como las de los cristales. Siendo
que estas propiedades pueden variar con la temperatura del sistema.
Además de que dependiendo de la estructura molecular del cristal líquido,
y de la temperatura, pueden tenerse las siguientes mesofases:
a) Fase nemática.
En prinicipio se puede representar a las moléculas que forman el cristal
líquido, que interactuan entre si, de una manera particular (ver la �gura 4)
como moléculas que están apuntando en cierta dirección preferencial, aunque
las posiciones de sus centros de masa puede ser arbitraria. Siendo más es-
peci�cos, para un cristal líquido nemático, sus moleculas están orientadas
en la dirección de un vector unitario bn, el llamado eje director.
Por lo general, las moléculas del nemático son centrosimétricas, es decir,
sus propiedades físicas son las mismas en las direcciones + bn y -bn. Es decir,
que si las moléculas individuales del nemático tienen un momento dipolar
eléctrico, entonces éstas se arreglan de tal manera que el momento dipolar
del sistema, como un todo, es nulo.
Cabe aclarar que la posición de las moléculas del cristal líquido nemático
es azarosa en el volumen del sistema, aunque tengan una orientación media bn
25
Figure 4: Esquema de la distribución de las moleculas en un cristal líquido
polimérico. a) Cadena principal b) cadena lateral.
una respecto a la otra. Siendo que esto se concluye, al no encontrarse ningún
pico de difracción en los experimentos de difracción de rayos X (ver la �gura
5).
b) Fase colestérica
La fase colestérica o cristal líquido nemático quiral, es semejante
en todas las propiedades físicas al cristal líquido nemático, excepto que sus
moléculas tienden a alinearse de una manera helicoidal. Es decir, que el
vector unitario bn, gira alrededor de un eje, digamos el eje z mientras se
consideran distintas posiciones de bn a lo largo de este eje (ver la �gura 6).
c) Fase esméctica
Los cristales líquidos esmécticos, a diferencia de los nemáticos, poséen
un orden posicional, esto quiere decir que la posición de sus moléculas está
26
~) 
Figure 5: Alineación molecular de un cristal líquido nemático.
Figure 6: Representación de un cristal líquido colestérico.
27
Figure 7: Cristal líquido esméctico-A.
ligada a cierto patrón ordenado. Se han descubierto varias subfases para los
cristales líquidos esmécticos, siendo las más representactivas:
1. La subfase esméctico-A, para la cual las moléculas están colocadas
posicionalmente al azar en cada capa de grosor molecular en la que se divide
imaginariamente el volumen de la muestra del material, pero de tal suerte
que todas las moléculas en esta capa están orientadas a lo largo del eje
normal (bz) al plano de la capa. Como para los nemáticos, los esmécticos-A
son ópticamente uniaxiales, esto es, hay simetria rotacional alrededor del eje
director (ver la �gura 7).
2. La subfase esméctica-C di�ere con la subfase esméctico-A, en que
el vector director bn de las moléculas, no es paralelo al vector bz, el vector
normal a la capa (ver la �gura 8).
28
Paredes de Ia celda 
'\.._ Mohkulas del Crista I 
Uquido 
Figure 8: Cristal líquido esméctico-C.
3. En los cristales líquidos subfase esméctico-C� o ferroeléctrica, el
vector director bn precesa alrededor del vector bz, de cada capa. Esto es análogo
a los colestéricos y y se debe a laintroducción moléculas opticamente activas
o moléculas quirales en un cristal líquido esméctico-C. Este tipo de cristales
líquidos son interesantes pues tienen una polarización eléctrica espontánea2.
Regresando a la discusión de las mesofases anteriores, si se representa
por un vector bp a una polarización eléctrica espontánea, que rompe con la
simetría del sistema, y se tenía que las propiedades del cristal líquido son
independientes de la dirección del eje director bn (es decir, da lo mismo en la
dirección +bn , como en -bn ); entonces, el vector bp si es que existe debe de
2La polarización eléctrica permanente para esta clase de cristales liquidos se puede
interpretar por la forma de banana que tiene sus moléculas. La dirección del vector
director esta en la dirección de los extremos de la molécula, mientras que la polarización
es perpendicular a esta dirección.
29
Paredes de Ia 
Celda 
A z 
111111111 
MoiEkulasdel ./ I I I I I I I I I 
Cristal Liquido 
1/1/11/// 
Figure 9: Cristal líquido esméstico-C* o ferroeléctrico, sin campo externo.
ser localmente perpendicular a bn. Luego en el caso del esméctico-A, el cual
posee simetría rotacional alrededor de bn, el vector bp necesariamente debe
de anularse. En el caso del esméctico-C, existe una simetría de re�exión
(simetría de espejo) alrededor del plano de�nido por los vectores bn y bz, así
que bp se anula también.
Sin embargo, para el colésterico-C�, la re�exión por simetría es rota si un
centro quiral se introduce en la molécula. Por convención, bp es de�nido como
positivo si está a lo largo de la dirección bz � bn, y negativo de otra manera.
Ya que bn precesa alrededor de bz, bp también precesa alrededor de bz (ver la
�gura 9 ). Si ahora, se introduce un campo eléctrico externo, la estructura
helicoidal se rompe y bn apunta en una dirección �ja (ver la �gura 10).
30
.t 
I 
I 
I 
I 
I 
~1 ___ _ -------
I 
I 
c+r~ 
---~~---------
Figure 10: Esméctico-C* reorientado debido a un campo eléctrico externo.
31
Figure 11: Esquema de los enlaces químicos de las moléculas de un cristal
líquido.
Todo lo discutido hasta ahora se debe a los materiales con los cuales se
han fabricado o diseñado los cristales líquidos, pues estos están formados por
moléculas largas aromáticas con base a anillos de benceno. Como las que se
esquematizan en la siguiente �gura 11.
Como se acaba de ilustrar, los elementos de las cadenas lateral y gru-
pos terminales pueden ser: a) alquilos (un alcano que perdió un hidrogeno,
CnH2n+1), b) un alcoxi (un grupo alquilo unido a un átomo de oxigeno,
CnH2n+1O), y c) otros grupos como los nitro y ciano. Mientras que la
cadena principal son enlaces simples, como: a)estilbeno (�CH = CH�),
b)éster, c)base Schi¤ (�CH = N�), d)acetileno (�C � C�) y e)diacetileno
(�C � C � C � C�).
32
3.2 Descripción macroscópica de un cristal líquido
De lo discutido previamente, como un cristal líquido está formado por una
colección muy grande de moléculas, sería muy elaborado hacer cálculos de
cantidades físicas en base a una descripción microscópica del sistema. Aunque
es cierto que se podría plantear el hamiltoniano para las moléculas, para hal-
lar por ejemplo, los niveles de energía. Por esto, es que se opta por la versión
simpli�cado que se esquematizó el inicio del presente capítulo, viendo a las
moléculas como si fueran barras rígidas inmersas en un medio �uido. Los ori-
genes de esta descripción de los cristales líquidos se encuentran en los trabajos
pioneros de Oseen[24] y Zöcher[25] a �nales de 1920, y en las generalizaciones
dinámicas y elásticas de Frank[26],Anzelius[27] y Ossen; y �nalmente en su
versión en base a leyes de conservación y ecuaciones constitutivas debidas a
Ericksen[28] y Leslie[29].
Suponiendo que:
1) El vector director de las moléculas bn es constante, lo que signi�ca que
las fuerzas externas y campos responsables de las deformaciones elásticas, el
�ujo viscoso, etc., son mucho más debiles que las interacciones moleculares
que alinean a las mismas moléculas cercanas (n2 = bn � bn = nini = 1). De
aquí en adelante se va a adoptar como notación que ni;j = @ni@xj ; por ejemplo.
2) Que la temperatura es constante (dT
dt
�
�
T = 0),
y sin gradientes (rT = @T
@xi
bei= T;ibei = 0).
3) Que el medio es incompresible (r � �!v = @vi
@xi
= @v1
@x1
+ @v2
@x2
+ @v3
@x3
= 0).
4) U es la energía interna por unidad de volumen (V ).
5) Gi es la fuerza volumétrica externa aplicada al cristal líquido. Así por
ejemplo, para el campo gravitacional cerca de la super�cie de la Tierra Gi
33
=�g, con g = 9:8m=s2:
6) tij es el tensor de esfuerzos.
7) ti = tij�j es la fuerza super�cial por unidad de área, actuando a través
del plano cuyo vector normal es �j.
8) si = �ij�j es la fuerza de tensión super�cial en la dirección del director.
9) fi es la fuerza por unidad de volumen.
Entonces las leyes de conservación toman la forma[18]:
I. Conservación de masa
d
dt
Z
V
�dV = 0 (1)
donde � es la densidad de masa.
II. Conservación del momento lineal
d
dt
Z
V
�vidV =
Z
V
fidV +
Z
A
tjidAj (2)
donde Aj es el elemento de área correspodiente y vi la velocidad lineal.
III. Conservación de energía
d
dt
Z
V
(
1
2
�vivi+U +
1
2
�1
�
ni
�
ni)dV =
Z
V
(fivi+Gi
�
ni)dV +
Z
A
(tivi+ sini)dA (3)
donde �1es una constante material que tiene dimensiones del momento de
inercia por unidad de volumen.
34
IV. Conservación de momento angular
d
dt
Z
V
[�(�!r ��!v ) + �1(bn� �bn)]dV = Z
V
[(�!r ��!f ) + (bn��!G)]dV + (4)
Z
A
[(�!r ��!t ) + (bn��!s )]dA;
o en notación tensorial
d
dt
Z
V
(��ijkxjvk + �1�ijknj
�
nk)dV =
Z
V
(�ijkxjfk + �ijknjGk)dV
+
Z
A
(�ijkxjtk + �ijknjsk)dA:
donde gi es el director intrínseco a la fuerza de volumen, con dimensiones
de torca por unidad de volumen.
Entonces transformando las integrales de super�cie a integrales de volu-
men, y simpli�cando se llega a partir de las ecuaciones (1-4) a las siguientes
ecuaciones diferenciales.
�
� = 0 (5)
�
�
vi = fi + tji;j (6)
35
�
U = tjidij + �jiNij � giNi (7)
donde
Ni =
�
ni � !iknk (8)
Ni representa la tasa de cambio del director respecto al �uido de fondo.
!ij =
vi;j �vj;i
2
(9)
!ij describe las rotaciones de una partícula del medio, en relación a otra,
tal que estas dos partículas están separadas una distancia in�nitesimal (d�!r )
y tienen una diferencia de velocidades entre sí, también in�nitesimal (dvj =
@vj
@xi
dxi)[47].
Nij =
�
ni;j �!iknk;j (10)
dij =
vi;j +vj;i
2
(11)
es el tensor de la razón de deformación , cuyos elementos diagonales dii
describen una dilatación del medio, por unidad de area; mientras que los que
están fuera de la diagonal, dij, son proporcionales a la velocidad de cizal-
lamiento en la dirección i para dos partículas del medio que están separadas
in�nitesimalmente, como antes.
36
tji � �kjni;k + gjni = tij � �kinj + ginj (12)
Debe de notarse que cuando ni = 0, las ecuaciones (5-6) se reducen a las
ecuaciones de un �uido normal.
En principio, para poder describir el estado de equilibrio termodinámico
de este sistema, es necesario recurrir a la función de densidad de energía
libre (F ), la energía libre por unidad de volumen. Por tanto, se podría
proponer que F tenga la siguiente dependencia funcional.
F = F (ni; ni;j ) = F (bn;rbn)
Esto es razonable como argumentaremos a continuación que a primer
orden para deformaciones in�nitesimales, se puede expandir la densidad de
energía libre, en terminos de ni y ni;j, entonces
F = kijni;j +
1
2
kijlmni;j nl;m (13)
De la misma manera como generalmente los cristales líquidos no tienen
polaridad, los vectores bn y -bn son �sicamente indistinguibles; y aun cuando
fueran polares, las moléculas se podrían clasi�car en dos grupos que tienen
diferentes orientaciones, luego la función F debe de cumplir que
F (bn;rbn) = F (�bn;�rbn) (14)
Y como también debe de ser la misma en marcos de referencia diferentes,
en particular los que describen rotaciones de cuerpo rígido, se requiere que
37F (bn;rbn) = F ( !Q � bn; !Q � rbn � !Q T ) (15)
donde
 !
Q es una matrix ortogonal propia ,
 !
Q T su transpuesta y que
cumple con det(
 !
Q ) = 1:
De la ecuación (13), las deformaciones que tienen que ver con el cambio de
orientacion del vector director bn, las cuales están relacionadas con los "termi-
nos" ni;j = @ni@xj , nombrado tensor de curvatura de deformación (Frank[26]).
Así, por ejemplo cada "término" de ni;j está relacionado con alguna clase de
las tres clases de deformaciones en un cristal líquido , por ejemplo
El ensanchamiento tiene que ver con terminos del tipo: @nx
@x
= s1,
@ny
@y
=
s2;
La torsión con: @ny
@x
= �t1, @nx@y = t2;
El pandeamiento (ver la �gura 12): @nx
@z
= b1,
@ny
@z
= b2:
Aquí se está suponiendo que las moleculas de cristal líquido se orientan
a lo largo de un eje preferentemente, el eje z, por ejemplo.Entonces se puede
uno referir a las deformaciones causadas por fuerzas externas que hacen que
las moléculas de cristal líquido se alejen de su posición de equilibrio, como
deformaciones de curvatura; mientras que a las fuerzas restauradoras que
se oponen a estas deformaciones como esfuerzos o torcas de curvatura. Por
tanto, se puede proponer una teoría tal como ocurre para sólidos elásticos,
que es una variante de la ley de Hooke, para la cual se supone que para
deformaciones pequeñas los esfuerzos de curvatura son proporcionales a las
38
Figure 12: Deformaciones en un cristal líquido nemático. a) Torsión, b)
ensanchamiento y c) combamiento
39
X torsion 
(a) 
ensanchamiento 
(b ) 
- - ----
combamiento 
(c) 
deformaciones de curvatura. Entonces las deformaciones de curvatura se
pueden de�nir expandiendo bn = bn(�!r ) en series de Taylor en potencias de x
; y; z, referido a un sistema de coordenadas, tal y como se ilustra en la �gura
13.
nx(
�!r ) = s1x+ t2y + b1z +O(r2);
ny(
�!r ) = �t1x+ s2y + b2z +O(r2);
nz(
�!r ) = 1 +O(r2);
Proponiendo que la densidad de energía libre F 0 del cristal líquido relativa
a su densidad de energía libre en el estado de orientación uniforme F (que
no es necesariamente la con�guración de equilibrio), se puede expandir en
terminos de las seis deformaciones de curvatura, s1; s2; t1; t2; b1; b2, se tiene
que:
F 0 =
6X
i=1
kiai +
1
2
6X
i;j=1
kijaiaj (16)
Ignorando términos propios de un alargamiento, como @nz
@x
, @nz
@y
y @nz
@z
,
entonces el tensor de curvatura se puede representar por la siguiente matriz
40
Figure 13: Reorientaciones posibles del vector bn0;dadas las posibles defor-
maciones en el cristal líquido, por ensanchamiento, torsión y combamiento.
Cada una esta relacionada con las constantes K1 = k11; K2 = k22 y K3 = k33;
respectivamente.
41
X 
z 
-6n, 
X 
X 
V ·n "'0 
Torsion K2 
po;ol po;oq oq 
11• 11 11• 11 11 
II' '' " I' ' '"'" 11: :: 111: ::11:11 
p: ::lp:: :q:q 
11' 11 11 ' 11 11 y I• ·• I •·• l • I lo.ol lo . ol ol 
n ·V x n '1:0 
Combamiento 
y 
KJ 
~ 
4\\\\ 
111 \ I II I 
I 1 I I 
~//J 
~ 
n x V x n 'I: O 
ni;j =
0@ @nx@x @nx@y @nx@z@ny
@x
@ny
@y
@ny
@z
0 0 0
1A =
0@ a1 a2 a3a4 a5 a6
0 0 0
1A =
0@ s1 t2 b1�t1 s2 b2
0 0 0
1A
donde las ki y ki;j(= kj;i) son las constantes elásticas de curvatura y se a
utilizado por conveniencia la notación a1 = s1; a2 = t2; a3 = b1; a4 = �t1;
a5 = s2; a6 = b2:
Debido a que el cristal es uniaxial, una rotación alrededor del eje z no
haria ningun cambio en la descripción física de la sustancia, y en consecuencia
la densidad de energía libre F 0 debería ser invariante ante tales rotaciones.
Considerando por ejemplo rotaciones de �
2
y �
4
alrededor de z, se puede
exponer que hay solo dos constantes elásticas independientes ki, y que de
las treinta y seis kij, solo cinco son independientes. Por tanto, la expresión
general para la densidad de energía libre, escrita en términos las constantes
elásticas independientes, es[26]
F 0 = k1(s1 + s2) + k2(t1 + t2) +
1
2
k11(s1 + s2)
2 +
1
2
k22(t1 + t2)
2 (17)
+
1
2
k33(b
2
1 + b
2
2) + k12(s1 + s2)(t1 + t2)� (k22 + k24)(s1s2 + t1t2)
En efecto, considerando, por ejemplo, una rotación alrededor del eje z
en un ángulo de �
2
, en el nuevo sistema de coordenadas primado debe de
cumplirse que:
F 0 =
6X
i=1
kia
0
i +
1
2
6X
i;j=1
kija
0
ia
0
j
42
x0 = y; y0 = �x; z0 = z;
nx0 = ny; ny0 = �nx; nz0 = nz
Entonces el matriz (ai) se transforma a (a0i) donde
 !
A 0 = (a0i) =
24 a5 �a4 a6�a2 a1 �a3
0 0 0
35
Lo cual pasa si se escoge como matriz de rotación
 !
Q =
24 0 1 0�1 0 0
0 0 1
35
Mientras que
 !
A 0 =
 !
Q
 !
A
 !
Q T y
�!
A = rbn = ni;j =
0@ @nx@x @nx@y @nx@z@ny
@x
@ny
@y
@ny
@z
0 0 0
1A =
0@ a1 a2 a3a4 a5 a6
0 0 0
1A ;
tal y como ya se habia de�nido antes.
Ya que se requiere que kiai = kia0i, agrupando terminos en ai para esta
ecuación se tiene:
a1(k1�k5)+a2(k2+k4)+a3(k3+k6)+a4(k2+k4)+a5(k5�k1)+a6(k6�k3) = 0
Por tanto, dada la independencia lineal de las ai, la expresión que debe
cumplir (ki) es (ki) = (k1; k2; 0;�k2; k1; 0):
43
De manera similar, kijaiaj = kija0ia
0
j lleva a que
a21(k11 � k55) + a22(k22 � k44) + a23(k33 � k66) + a24(k44 � k22) + a25(k55 � k11)
+a26(k66 � k33) + 2a1a2(k12 + k45) + 2a1a3(k13 + k56) + 2a1a4(k14 + k25)
+2a1a6(k16 � k35) + 2a2a3(k23 � k46) + 2a2a5(k25 + k14) + 2a2a6(k26 + k34)
+2a3a4(k34 � k26) + 2a3a5(k35 + k16) + 2a4a5(k45 + k12) + 4a3a6k36
+2a4a6(k46 + k23) + 2a5a6(k56 � k13)
= 0
Y debido a la independencia de los productos aiaj
k11 = k55; k22 = k44; k33 = k66; k12 = �k45;
k14 = �k25;
k13 = k16 = k23 = k26 = k34 = k35 = k36 = k46 = k56 = 0
De manera semejante, si se considerará una rotación en ángulo arbitrario,
digamos �
4
, se podría demostrar que k15 = k11�k22�k24 y que k14 = �k12:[34]
Regresando a la ecuación, el ultimo termino de la ec. (17) se puede
escribir como
s1s2 + t1t2 =
@nx
@x
@ny
@y
� @ny
@x
@nx
@y
=
@
@x
�
nx
@ny
@y
�
� @
@y
�
nx
@ny
@x
�
44
y por tanto sólo contribuye cuando se consideran energías super�ciales.
Así que si solo se consideran propiedades de bulto del cristal líquido este
termino se puede no considerar, como se hara en adelante.
Considerando las siguientes simetrias[35]:
a) Para moleculas polares y no polares, la inversión de bn, genera la trans-
formación:
bn �! �bn; x �! x; y �! �y; z �! �z
Como la energía libre debe de ser invariable a estas transformaciones se
requiere que
k1 = k12 = 0
b) Para materiales que no se puede hacer coincidir con su imagen re�e-
jada (materiales enantiomor�cos), se debe tener cuidado al elegir sistemas de
coordenadas derechos. Luego para materiales que no son enantiomor�cos
(moléculas que no son opticamente acticas), F 0, debe de ser invariante bajo
re�exiones en un plano que contiene al eje z, tales como transformaciones del
tipo:
x �! x; y �! �y; z �! z
Da lugar a la constricción,
45
k2 = k12 (simetria de espejo)
En resumen, las ecuaciones dan la dependencia más general de la densidad
de energía libre sobre las deformaciones de curvatura en un cristal líquido
uniaxial. Como ya se vió, k1 se anula en la ausencia de polaridad, k2 en
la ausencia de enantiomor�a y k12 se anula a menos que ambas situaciones,
polaridad y enantiomor�a, ocurran juntas.
Por tanto, el tensor kijlm tiene en general 81 componentes, pero como a7 =
a8 = a9, se reducen a solo 36 componentes. Si además se considera simetría
cilíndrica, quedarían 18 terminos de los cuales solo 5 son independientes;
entonces [18] usando una notación simpli�cada, para la otra expresión que
se propuso inicialmente para F , ec. (13)
kijlm �! kij
kij =
0BBBBBB@
k11 k12 0 �k12 k15 0
k12 k22 0 k24 k12 0
0 0 k33 0 0 0
�k12 k24 0 k22 �k12 0
k15 k12 0 �k12 k11 0
0 0 0 0 0 k33
1CCCCCCA
Ya para �nalizar, es convención añadir constantes a F 0, para poder de�nir
a F; siendo
s0 = �
k1
k11
(- el ensanchamiento permanente)
t0 = �
k2
k22
(- la torsión permanente)
46
entonces
F = F 0 +
1
2
k11s
2
0 +
1
2
k22t
2
0 (18)
=
1
2
k11(s1 + s2 � s0)2 +
1
2
k22(t1 + t2 � t0)2 +
1
2
k12(b
2
1 + b
2
2)
+k12(s1+ s2)(t1 + t2)
de manera que de aquí debe de ser claro que s0 y t0 son el combamiento
y torsión del estado que minimiza la energía libre, corresponde al estado de
equilibrio. Así la fase colestérica se caracteriza por t0 6= 0: Se debe notar
tambien que:
s1 + s2 =
@nx
@x
+
@ny
@y
= r � bn
�(t1 + t2) =
@ny
@x
� @nx
@y
= bn � (r� bn)
b21 + b
2
2 =
�
@nx
@z
�2
+
�
@ny
@z
�2
= (bn � rbn)2
s21 + s
2
2 � 2t1t2 =
X
i;j
(rinj)(rjni)
Entonces la ec. (18) se puede reescribir como
F =
1
2
k11(r�bn�s0)2+1
2
k22(bn�r�bn+t0)2+1
2
k33(bn�rbn)2�k12(r�bn)(bn�r�bn)
(19)
47
Para propositos cualitativos es util considerar un cristal líquido no-polar,
no-enantiomór�co, cuyas contantes de combamiento, torsión y ensanchamiento
son iguales, entonces la energía libre de una sustancia con estas características
es:
F =
1
2
k(r � bn)2 + 1
2
k(r� bn)2 (20)
=
1
2
k
X
i:j
(rinj)(rinj)
En caso de que se considere la susceptibilidad diamagnetica de un cristal
líquido, debido a que éste es anisotrópico, debe de pasar los mismo con su
susceptibilidad. Por tanto en un estado uniaxial la susceptibilidad por unidad
de volumen debe de ser un tensor de segundo rango con dos componentes �q
paralela al eje del cristal líquido y otra perpendicular �?. Por tanto el tensor
de susceptibilidad se escribe como
�ij = �?�ij + �aninj (21)
donde �a = �q � �? es la anisotropia y es por lo general positiva. Luego
se pueden ejercer torcas externas en un cristal líquido aplicandole un campo
magnético externo H, y es necesario agregar un término extra a la energía
libre
Fm = �
1
2
�?H
2 � 1
2
�a(bn � �!H )2 (22)
48
De manera analóga si se considerara un campo eléctrico externo E, se
induce en el cristal líquido una susceptibilidad dieléctrica, y la densidad de
energía libre que se asociaria tendra una expresión equivalente a:
Fe = �
1
2
�0�?E
2 � 1
2
�0�a(bn � �!E )2 (23)
En el presente trabajo se está interesado en describir el estado de equi-
librio del sistema, por ello es que se debe recurrir a un principio variacional
que haga extremal a la energía libre (F), constreñida a que n2 = 1, vía un
multiplicador de Lagrange (�(�!r )). Es decir,
�(F� 1
2
Z
�bn2dV ) = 0 (24)
donde , por de�nición, F�
Z
V
FdV . Denotando el gradiente rbn = g�� = @�n�
mediante índices, con �; � = x; y; z, entonces
�F =
Z
V
�
@F
@n�
�n� �
@F
@g��
@�(�n�)
�
dV
Integrando por partes y vía el teorema de Gauss,
�F =
Z
V
�
@F
@n�
� @�
�
@F
@g��
��
�n�dV +
Z
V
@�
�
@F
@g��
�n�
�
dV = (25)
Z
V
�
@F
@n�
� @�
�
@F
@g��
��
�n�dV +
Z
A
�
@F
@g��
�n�
�
dA�
49
Y como,
�
1
2
Z
V
�bn2dV = Z �bn � �bndV (26)
Entonces, si no se consideran variaciones en la frontera del cristal líquido
que tienen que ver con la integral de super�cie en la ec. (25), signi�ca
que sobre la frontera �bn = 0, y entonces se puede concluir que la ecuación
Lagrangeana para el equilibrio está dada por:
@�
�
@F
@g��
�
� @F
@n�
+ �(�!r )n� = 0
O en la notación previa
�
@F
@ni;j
�
;j
� @F
@ni
+ �(�!r )ni = 0 (27)
Si se toma en cuenta las fuerzas volumétricas externas, Gi, entonces la
ec. (27) queda como:
�
@F
@ni;j
�
;j
� @F
@ni
+ �(�!r )ni +Gi = 0 (28)
Por ejemplo, las soluciones de equilibrio termodinámico para la ec.(20)
son para bn = (n1; n2; 0) y = (x; y)
n1 = cos(qz + );
50
n2 = sin(qz + );
donde
@2 
@x2
+
@2 
@y2
= 0: (29)
En efecto, se debe de hacer la variacional de:
�
Z
V
[(r � bn)2 + (r� bn)2]dV =
�
Z
V
[(sin(qz+ )
@ 
@y
+cos(qz+ )
@ 
@x
)2+(cos(qz+ )
@ 
@y
�sin(qz+ )@ 
@x
)2]dV =
�
Z
V
[
�
@ 
@y
�2
+
�
@ 
@x
�2
]dV = 0
de la cual se concluye la ec. (29).
Por tanto, la solución (19) describe una estructura de tipo colestérica con
una torsión por unidad de longitud igual a k2
k22
. Luego en ausencia de enan-
tiomor�a, k2 = 0, se tiene una estructura nemática. Reescribiendo con
notación vectorial (24) queda como3:
F =
1
2
k11(r � bn)2 + 1
2
k22(bn � r � bn+ t0)2 + 1
2
k33(bn�r� bn)2 (30)
3El termino t0 se puede también interpretar como el paso o periodo espacial de la hélice
p, para el colestérico o nemático en con�guración de torsión. Así, q0 = 2�p :
51
De la ecuación (30), se ve que F es una función cuadrática en rbn y debn(�!r ).
Antes de discutir brevemente en la próxima sección las propiedades ópti-
cas y eléctricas de los cristales líquidos, conviene hacer un resumen de lo ex-
puesto anteriormente, junto con su interpretación física. Debe de destacarse
de que a pesar de que las ecuaciones (5-7) recuerdan a las de un �uido, los
cristales líquidos no se comporta como tal. Para un �uido, un pequeño es-
fuerzo, implica un cambio de las posiciones de las moléculas del mismo. En
el caso del cristal líquido no ocurre así. A lo más por la aplicación de una
torsión, por ejemplo, sus moléculas rotan alrededor de sus posiciones en la
dirección del torque, de manera que la energía elástica relacionada es muy
pequeña. Lo mismo pasa para las otras deformaciones por combamiento y
ensanchamiento, las moléculas se desvían in�nitesimalmente de su posición
de equilibrio inicial. Por ello es que se pudo proponer una expresión como la
(30) o (13), siendo que los terminos:
1
2
k11(r � bn)2 � 12K1(r � bn) se relaciona con la deformación de ensan-
chamiento
1
2
k22(bn � r � bn)2 � 12K2(bn � r � bn)2 se relaciona con la deformación de
torsión
1
2
k33(bn � r � bn)2 � 12K3(bn � r � bn)2 se relaciona con la deformación
de pandeamiento
Aquí K1, K2, K3 son las constantes las constantes elásticas de Frank, que
tienen valores del orden de 10�6 dinas o 10�11 Newtons para temperaturas
52
Figure 14: Gra�ca de los valores experimentales de la constante elástica
K11=pN para el CL-5CB, contra TNI � T , la diferencia entre la temperatura
de transición TNI y la temperatura T . Se de�ne a la temperatura TNI , como
la temperatura de transición de la fase nemática del CL a la fase isotrópica.
En el caso del CL-5CB, se tiene que TNI = 35:1�C (ver la cita referida antes
en el texto[44]).
ambientales . Para �nalizar esta sección, los valores característicos elásticos
entre temperaturas de 20�C a menos de 35�C (ver la siguientes �guras 14
y 15), cuando ocurre la transición a la fase isotrópica para el cristal líquido
nemático 5CB, que es el que se va modelar en el presente trabajo, son[44]:
K1 = 1:2� 10�11N
K2 = 0:6� 10�11N
K3 = 1:58� 10�11N
53
:z 
I c.. ·-' 'I= 
~ '::£ 
8 
7-
6 -
:5 
4 -
3 = 
2 
1 
0 2 4 a a 10 12 14 16 
T'NIT /oC 
Figure 15: Gra�ca de los valores experimentales de la constante elástica
K33=pN para el CL-5CB, contra TNI � T , la diferencia entre la temperatura
de transición TNI y la temperatura T . Se de�ne a la temperatura TNI , como
la temperatura de transición de la fase nemática del CL a la fase isotrópica.
En el caso del CL-5CB, se tiene que TNI = 35:1�C (ver la cita referida antes
en el texto[44]).
54
z c.. ---..., 
~ 
11 
10 
9 
8 
7 
6 
5 
4 
3 , 
2 
0 2 4 6 8 10 12 14 16 
TNI-T/OC 
Figure 16: Estructura molecular del cristal líquido nemático, 5CB.
3.3 Propiedades Ópticas
Los cristales líquidos son materiales anisotrópicos en sus propiedades. Esto
es así pues en principio la estructura de las moléculas del material también
muestran esta anisotropía. Por tanto, tienen propiedades ópticas que se
parecen a la de los cristales birrefringentes de calcita.
En la �gura 16 se muestra la estructura de las moléculas del cristal
líquido nemático, pentilcianobifenilo o 5CB, que se usara para formar el
cristal fotónico en la presente tesis.
Por tanto, podemos a�rmar que las propiedades ópticas de los cristales
líquidos se pueden en principio reducir a saber el valor tres índices de re-
fracción característicos del material. O haciendo referencia a los ejes ópticos
55
principales, y para un cristal nemático que es también uniáxico, se puede
decir que relativo a estos ejes se tienen entonces dos índices de refracción prin-
cipales no, para las ondas ordinarias y ne, para las extraordinarias. Es decir,que se puede plantear una relación tensorial para la constante dieléctrica del
cristal liquido relativa a el eje óptico principal, a saber:
 !" = "?�ij + "abnbn =
0@ "xx "xy "xz"yx "yy "yz
"zx "zy "zz
1A : (31)
En donde, para el cristal líquido nemático 5CB, "a = "jj�"?, "? = 2:25"0
y "jj = 2:28"0, con �0 la permitividad dieléctrica del vacio y bn el vector director
del cristal líquido nemático.
Se va a suponer, que prácticamente no hay absorción de luz en el material,
como una primera aproximación razonable al modelo del cristal líquido.
Para deducir la rotación óptica ( =z) por unidad de longitud en un medio
homogeneo pero ópticamente activo, como el cuarzo, que presenta birrefrin-
gencia, se recurre a un modelo fenomenológico que fue descrito inicialmente
por Fresnel. Suponiendo que una onda linealmente polarizada en la dirección
x se propaga en la dirección z (ver la �gura 15), el campo eléctrico de esta
onda se puede representar por:
�!
E (z; t) = 2A�!u xei(!z=v)e�i!t (32)
Si el material activo se sitúa en z = 0, se tendrá que�!E (0; t) = 2A�!u xe�i!t.
Luego esta onda plana incidente se puede considerar como la suma de dos
56
ondas planas circularmente polarizadas, una dextrógira (jC+ >) y la otra lev-
ógira (jC� >), que tienen la misma amplitud A. Por tanto, usando notación
compleja, la onda puede escribirse (en cada instante y punto del medio) como
una suma de las dos componentes polarizadas circularmente, una derecha y
una izquierda, es decir:
�!
E (z; t) = A
�
(�!u x � i�!u y)ei(!zn+=c) + (�!u x + i�!u y)ei(!zn�=c)
�
e�i!t; (33)
donde �!u x y �!u y son los vectores unitarios según los ejes x y y, y n+ y n� los
índices de refracción para las componentes dextrógira y levógira respectiva-
mente4. De�niendo, N = (n+ + n�)=2 y n = (n+ � n�)=2, la ecuación (33)
se puede reescribir como:
�!
E (z; t) = Aei(!zN=c)
�
(�!u x � i�!u y)ei(!zn=c) + (�!u x + i�!u y)ei(!zn=c)
�
e�i!t (34)
Finalmente llamando = !zn=c, a la diferencia de fase que hay entre las
ondas circularmente polarizadas después de viajar una distancia z, se llega
a:
4Claramente se pueden identi�car los índices de refracción n+ y n�, con los índices
de refracción ne y no para materiales birrefringentes como la calcita y el cuarzo, como se
comento antes. Además las moléculas del cuarzo se pueden representar como hélices, y
esto permite dar una interpretación cualitativa del por qué hay actividad óptica en medios
birrefringentes, en la sección 8.10.1 de la referencia [33], se puede hallar una explicación
cualitativa del fenomeno. De hecho para describir de manera apropiada a la actividad
óptica se requiere de la teoría cuántica, pero esto esta fuera del alcance del presente
trabajo y de sus supuestos. El lector interesado puede consultar, por ejemplo, la siguiente
referencia [40] .
57
Figure 17: Descomposición de una onda linealmente polarizada como una
suma de dos ondas polarizadas circularmente en sentidos contrarios que se
propagan con velocidades diferentes dentro del medio ópticamente activo[32].
�!
E (z; t) = Aei(!zN=c) [�!u x cos +�!u y sin ] e�i!t; (35)
la cual representa una onda linealmente polarizada cuyo plano de vibración
giro un ángulo , en el sentido contrario de las agujas del reloj respecto a
la onda linealmente polarizada que iba a ingresar al medio. Luego el poder
rotatorio por unidad de longitud del medio ópticamente activo es:
 
z
=
!n
c
=
!
2c
(n+ � n�) (36)
Siguiendo con la discusión original, de un medio supuesto macroscópico,
suponiendo un cristal líquido colésterico o un cristal líquido nemático en
58
z 
con�guración torcida (CLNT), que no sea magnético; entonces el tensor de
permeabilidad magnética es igual a !� = �0�ij: Luego reescribiendo las ecua-
ciones de Maxwell tal y como se aclara en la sección 5.1, se pueden hallar
dos ecuaciones vectoriales de onda para cada campo:
r2�!e � 1
c2
 !" � @
2�!e
@t2
= 0 (37)
r2�!h � 1
c2
@2
�!
h
@t2
= 0 (38)
Siendo que se puede suponer que bn = (cos �(z); sin �(z); 0), se puede
concluir de la ecuación (30) que la densidad de energía cumple con:
F =
1
2
K2
�
@�
@z
� t0
�2
(39)
Insertando la expresión propuesta para bn; que como veremos a contin-
uación describe un estado de deformación puro , en la ec. (28), se tiene que
la ecuación diferencial que debe de satisfacer �(z) es
@�
@z
= t0 (40)
Por tanto, la con�guración de las moleculas del cristal líquido es helicoidal
alrededor de z, pues de la ecuación previa
�(z) = q0z + �0 (41)
59
Con esta descripción física previa (las ecuaciones de Maxwell y la descrip-
ción de equilibrio elástica del cristal líquido), se va a modelar la actividad
óptica del cristal líquido, pues no solo las moléculas del mismo son anisotrópi-
cas, sino que también debe de contribuir principalmente a la rotación óptica
el que el nemático se suponga que está en una con�guración torsida, por
ejemplo. Para esto se va a suponer que el eje z es el eje helicoidal del cristal
líquido y que se hace incidir una onda electromagnética con dirección de
propagación paralelo a este eje. Por tanto, si la onda tiene una frecuencia !
las componentes del campo eléctrico se pueden escribir como (los campos �!e
y
�!
h ; claramente deben de estar en el plano xy):
ex(z; t) = Refex(z)e�i!tg; (42)
ey(z; t) = Refey(z)e�i!tg
Entonces sustituyendo en la ecuación de onda (37), se tiene
d2
dz2
�
ex
ey
�
= �
�!
c
�2 !" (z) � � ex
ey
�
(43)
con !" evaluado al sustituir bn = (cos �(z); sin �(z); 0) en (31). Debe de
notarse muy bien que los "operadores" en la ec.(43) permanecen invariantes
mediante una translación de longitud p=2 = �=t0 sobre la coordenada z y
por lo tanto se puede usar el teorema de Bloch-Floquet[36], el cual asegura
lo siguiente que:
�!e (z) = �!u l(z)eilz; (44)
60
para alguna función �!e (z), tal que �!u l(z) cumple con ser una función per-
iódica:
�!u l(z) = �!u l(z +
p
2
) (45)
y l es el número de onda de Bloch, que se determina a partir de las condiciones
de frontera periódicas. En relación a la ec. (43), el teorema de Bloch-Floquet
permite hallar un conjunto completo de soluciones, tales que cada una de ellas
debe satisfacer la siguiente condición:
�
ex
ey
�
z
= exp(
�ilp
2
)
�
ex
ey
�
z+p=2
(46)
donde el número de onda de Bloch l puede ser real para una onda viajera, o
imaginaria para una onda evanescente. Mientras que,
 !" (z) = �m
0@ 1 0 00 1 0
0 0 �?=�m
1A+ �a
2
0@ cos 2q0z sin 2q0z 0sin 2q0z � cos 2q0z 0
0 0 0
1A (47)
con �m �
(�k+�?)
2
, y una expresión semejante para el tensor !� :5
Reescribiendo las soluciones en términos de de ondas circularmente po-
larizadas izquierda y derecha, con las siguientes nuevas variables:
e+ = ex + iey (48)
e� = ex � iey;
5Si se observa la forma de la ec. (47), y la expresión equivalente para !� ; se ve que las
matrices cuadradas !
 zt y !
 tz que se de�nen posteriormente en el conjunto de ecuaciones
(116), son nulas.
61
la ecuación (43) queda como,
d2
dz2
�
e+
e�
�
= �
�
k20 k
2
1 exp(2iq0z)
k21 exp(�2iq0z) k20
��
e+
e�
�
; (49)
k20 =
�!
c
�2
�m; k
2
1 =
�!
c
�2 �a
2
:
Tomando en cuenta la condición de periocidad, ec. (46), se obtiene la
siguiente solución:
e+ = a expfi(l + q0)zg; (50)
e� = b expfi(l � q0)zg:
Se puede demostrar que cuando se sustituye ésta solución en la ec. (49),
la componente e+; con número de onda l+q0;sufre un cambio y se transforma
en una onda con un número de onda l� q0: El proceso inverso ocurre con la
onda e�, de manera que las dos componentes forman un conjunto completo
de soluciones. Las constantes a y b se determinan al resolver las siguientes
ecuaciones acopladas
�k21b+ f(l + q0)2 � k20ga = 0; (51)
f(l � q0)2 � k20gb� k21a = 0:
Ecuación que tiene soluciones independientes en a y b , al calcular el deter-
minante e igualandolo a cero, entonces se encuentra la relación de dispersión
que debe de cumplir ! = !(l) :
62
Figure 18: Relación entre la frecuencia ! y el número de onda de Bloch l.
Cada modo l de�nido por la ecuación(50) es una superposición de dos ondas
planas con vectores de onda l � q0:
�
�k20 + l2 + q20
�2 � 4q20l2 � k41 = 0: (52)
Como del conjunto de ecuaciones (1.28k), k0 y k1 se relaciona directa-
mente con !; para un valor �jo de !, entonces k0 y k1 quedan determinadas
y la relación de dispersión proporciona cuatro posibles valores para l (�gura
16).
Debe de notarse que hay dos distintas ramas y una región de la frecuencia
en la cual solo hay dos posibles valores reales para l: El mínimo de la grá�ca
63
de dispersión se encuentra haciendo ! = 0. Esto conduce a la siguiente
relación
l2 � q20 = 0;
con valores posibles para l = �q0. Si ahora, se toma l = 0; se encuentra
que
k20 � k21 = q20;
o equivalentemente
�!
c
�2
(�m �
�a
2
) = q20;
con valores para !
!+ =
q0c
n0
; n0 �
p
�? � índice de refracción ordinario, (53)
!� =
q0c
ne
; ne �
p
�k � índice de refracción extraordinario.
en donde se han omitido las soluciones negativas y se ha supuesto que
�? < �k, es decir, �a > 0. El sistema de ecuaciones lineales (51) justo cuando
las frecuencias son !+ y !� (siendo l = 0) corresponden a la solución a = �b
(eje ordinario) y a = b (eje extraordinario) respectivamente, y describen
ambos estados, una onda polarizada linealmente.
64
Al intervalo !� < ! < !+(l = 0), donde dos de los cuatro posibles valores
de l son imaginarios puros, se le conoce como la banda parcial de frecuencias
prohibidas. Tomando ahora ! fuera de este intervalo, entonces hay cuatro
valores reales posibles para l, que se pueden agrupar como l1;�l1; l2;�l2:
Para obtener soluciones que correspondan a ondas que viajan en la dirección
+z, se deben escoger solo aquellas raices que cumplan que la velocidad de
grupo sea positiva (vg = @!@l > 0). Hay dos raices que cumplen esto, que se
llamaran l1 y l2, tales que por conveniencia se escogera que l1 > l2. A cada
una de estas raices le corresponde un modo li propio de vibración y tiene
también un vector propio correspondiente
�
ai
bi
�
:
Como l se está tomando como real, la ec.(38) muestra que los valores de
a y b pueden tomarse ambos reales. Así usando la ec.(50) y retomando (42)
y (48), se puede ver que el campo eléctrico asociado con el modo propio está
polarizado elipticamente; además en cada punto, los ejes de la elipse coin-
ciden con los ejes ópticos locales del cristal líquido colestérico, por ejemplo.
Entonces un parametro útil para describir la elipse es el número real
� =
�a+ b
a+ b
:
La razón axial de la elipse es j�j, y el signo de � proporciona la dirección
de rotación en el plano xy (en un punto z0 �jo y con un tiempo variable t).
Para calcular � en términos de ! o l, se inicia de las ecs.(51) escritas en la
forma
65
a
b
=
k21
A
=
B
k21
; (54)
en donde
A = (l + q0)
2 + k20;
B = (l � q0)2 � k20:
Entonces se puede escribir � como
� =
�k21 + A
k21 + A
=
k21 �B
k21 +B
(55)
=
�B + A
B + A+ 2k21
=
�2lq0
k20 � l2 � q20 � k21
:
Si se de�ne una nueva cantidad s2 como
s2 =
q
k41 + 4q
2
0l
2; (56)
y usando la ec.(52), la ec.(55) se reescribe como
� =
�2lq0
�s2 � k21
: (57)
En donde el signo � depende de la rama usada para !(l):
66
Con lo visto hasta aquí es posible deducir una expresión para la rotación
óptica por unidad de longitud del plano de polarización de una onda lineal-
mente polarizada que este propagándose en el cristal líquido. Se vera que en
el caso de un colésterico o equivalentemente en un nemático en con�guración
torsionada, estos cristales líquidos tienen una gran actividad ópica. Como
los valores de no y ne son muy parecidos, entonces k21 tiende a ser pequeño
y si se de�ne un parametro x = 2q0l
k21
, esta cantidad tiende a tener un valor
grande. Luego, la cantidad s2 tiende al valor 2q0jlj y por lo tanto, de la
ec.(57) se tiene que � �! �1. En este régimen los modos propios tienden a
ser circulares.
Ya que k21 �! 0, del par de ecs.(51) se encuentra el par de valores que le
corresponden a l
l1 = k0 + q0, asociado con a1 = 0 y B1 = 1,
l2 = k0 � q0, asociado con a2 = 1 y B2 = 0:
Ahora de la ecuación de dispersión (52) se tiene
l1 = k0 + q0 +
k41
8k0q0(k0 + q0)
+O(k81); (58)
l2 = k0 � q0 +
k41
8k0q0(k0 � q0)
+O(k81)
Ya que a1 = 0, el modo 1 es, según las expresiones (50), una onda circu-
larmente polarizada con vector de onda l1�q0. Este vector de onda se asocia
con un índice de refracción n1
67
l1 � q0 =
!
c
n1: (59)
Similarmente, para el modo 2, se tiene una onda circularmente polarizada,
en dirección opuesta y con vector de onda l2+q0, a la cual se le asocia también
un índice de refracción n2
l2 + q0 =
!
c
n2: (60)
La rotación óptica por unidad de longitud d, se demostro en la ec.(36)
[33] [32], tomando la mitad de la diferencia entre estos dos vectores de onda
se tiene,
 
d
=
!
2c
(n1 � n2) =
k41
8q0(k20 � q20)
: (61)
Esta expresión se puede reescribir usando la de�nición de la longitud de
onda reducida e� = �=p = q0=p. Usando la expresión para k1 dada en la ecs.
(49)
 
d
=
q0
32
�
n2e � n2o
n2e + n
2
o
�
1e�(1� e�2) : (62)
La ecuación (62) tiene las siguientes propiedades:
a) La rotación por unidad de longitud para un colestérico es muy grande:
para e� = 0:7; q0 = 6 � 104 y (n2e � n2o)=(n2e + n2o) = 0:1; se tiene =d �
68
10�3q0 � 60 rad cm�1, o bien, � 3:5 � 103 grados cm�1: Un valor muy
grande si se compara con un líquido isotrópico ópticamente activo del orden
de � 1 grado cm�1.
b) De la expresión (61) se ve que para longitudes de onda � grandes, la
rotación óptica por unidad de longitud es proporcional a p3=�4.
c) A longitudes de onda � << p (pero su�cientemente grandes como para
no ser incluido dentro del límite de Mauguin6) la rotación es proporcional a
p=�2.
6El criterio x� 1 es conocido como el criterio para el límite de Mauguin �� p(ne�no):
69
3.4 Propiedades Eléctricas
En la presente tesis, se va a suponer que se esta trabajando con un cristal
líquido nemático torcido (twisted). Esto se logra haciendo que las moléculas
del cristal líquido se orienten en cierto ángulo '0 (' siempre denota en el
presente trabajo el ángulo azimutal en coordenadas esféricas7) en la primera
cara de la placa que contiene al cristal y �'0, en la segunda placa. Esto se
logra puliendo las placas, al ángulo requerido, pues este pulido genera pe-
queños canales microscópicos que hacen que las moléculas del cristal líquido,
que tienen tamaños del orden de nanómetros, se acomoden en estos canales.
Esto es importante, pues hace que el vector director vaya rotando a lo
largo del eje z desde el ángulo '0 en z = d al �'0 en z = 0, para que se
cumplan las condiciones de frontera a lo largo del ancho (d) de la capa del
cristal líquido. Si se considera además que las moléculas deben ser paralelas
a las placas, se debe considerar otra orientación posible de las moléculas,
descritas por el ángulo � (el ángulo polar en coordenadas esféricas), de tal
manera que en las fronteras � = 0. Por tanto el vector director, bn está
descrito por la siguiente ecuación (ver la �gura 17):
bn (' (z) ; �(z)) = (cos� (z) cos' (z) ; cos� (z) sin' (z) ; sin� (z)) (63)
Como se verá en el capítulo 4, se puede describir como los ángulos � y
' que describen la orientación del vector director de las moléculas del cristal
7Ver, por ejemplo:
http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_esf%C3%A9ricas
70
Figure 19: Variación del vector director para "capas" distintas del cristal
líquido. En la �gura de la derecha se ilustra como varia el vector director
en el ángulo �, que es al ángulo que hacen los vectores bn respesto al vector
unitario en la dirección del eje x, bi y suponiendo que ' = 0, es constante,
para un campo eléctrico aplicado "crítico". Mientras que la �gura de la
izquierda, indica como esta el ángulo �'0 que hace el vector director en el
plano xy para la frontera izquierda del cristal líquido nemático, siendo que
en la frontera derecha el vector director hace un ángulo igual a '0:
71
X X 
y 
líquido nemático, dependen de la intensidad del campo eléctrico