Estudio-de-patrones-de-Speckle-generados-por-un-modulador-espacial-de-luz-sobre-un-plano-imagen

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Universidad Nacional Autónoma de
México
Facultad de Ciencias
Estudio de patrones de Speckle generados por
un modulador espacial de luz sobre un plano
imagen
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE:
FÍSICO
P R E S E N T A:
Alumno: Santiago López Huidobro
Tutor: Dr. Alejandro Vásquez Arzola
México; Ciudad de México - marzo, 2017
Tesis
Texto escrito a máquina
CIUDAD UNIVERSITARIA,
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Texto escrito a máquina
Tesis
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1. Datos del alumno
López
Huidobro
Santiago
5522138391
Universidad Nacional Autónoma de
México
Facultad de Ciencias
F́ısica
307232344
2. Datos del tutor
Dr.
Alejandro
Vásquez
Arzola
3. Datos del sinodal 1
Dra.
Marcela Dolores
Grether
González
4. Datos del sinodal 2
Dr.
Neil Charles
Bruce
Davidson
5. Datos del sinodal 3
Dr.
Jorge Amin
Seman
Harutinian
6. Datos del sinodal 4
Dr.
Crescencio
Garćıa
Segundo
7. Datos del trabajo escrito.
Estudio de speckle generados por un modulador espacial de luz sobre un plano imagen.
171 p, 2017
“If nature were not beautiful, it
would not be worth knowing,
and if nature were not worth
knowing, life would not be
worth living.”
— Henri Poincare
A Rafael, Rosa y Pilar que han sido mi gúıa e
inspiración
Agradecimientos
Agradezco a mis profesores y sinodales por haberme instruido y guiado
durante esta etapa de mi vida, en la cual gracias a su esfuerzo y dedicación
hoy me siento preparado para enfrentar los siguientes ciclos de formación. En
especial extiendo este agradecimiento a Karen Volke y Alejandro Vásquez por
haberme no sólo enseñado las grandes virtudes de cómo ser un gran f́ısico
sino también la valiosa enseñanza de ser una gran persona. A mis compañeros
del Laboratorio de micromanipulación óptica por las ganas de enseñar y la
paciencia de escuchar, a la invaluable compañ́ıa de mis amigos que han hecho
esta etapa una de las mejores.
A mi amada familia que me ha apoyado inmensurablemente y que con su
amor y alegŕıa han hecho lo que soy hoy.
Por supuesto al “manantial de piedras preciosas” que corre por mis venas
y que espero nunca deje de brotar.
Agradezco los recursos brindados por CONACyT por el apoyo de (ayudante
de investigador SNI III - Karen Volke Sepúlveda) y por los proyectos DGAPA-
UNAM (PAPIIT-IA103615), (PAPIIT-IN115614) y (PAPIIT-IA104917) con
los cuales fue posible terminar esta tesis.
Resumen
Desde la invención del láser en 1960 [Kneubühl and Sigrist, 2008] la pre-
sencia del fenómeno de Speckle ha sido inherente en los trabajos de óptica,
como consecuencia su estudio ha tomado gran interés en la comunidad tanto
para suprimirlo como estudiar el fenómeno propio. El Speckle se caracte-
riza por un conjunto de zonas brillantes y oscuras distribuidas de manera
aleatoria sobre una superficie o región. El fenómeno generalmente se observa
con la interacción de una fuente de luz coherente y una superficie o medio
rugoso, donde los frentes de onda al reflejarse o transmitirse interfieren de
manera constructiva o destructiva generando aśı zonas brillantes u oscuras
en el patrón. Con un láser verde, un modulador espacial de luz (SLM) co-
mo superficie rugosa y un sistema óptico 4f, se presenta en esta tesis una
forma novedosa de generar patrones de Speckle con diferentes propiedades
estad́ısticas sobre el plano imagen del SLM de manera controlada. Un ingre-
diente importante en la configuración fue el filtraje espacial que consiste en
un diafragma con un punto central opaco en el primer plano de Fourier del
sistema 4f.
A partir de la posibilidad de generar patrones de Speckle con diferentes pro-
piedades estad́ısticas, en este trabajo de tesis se buscó estudiar y caracterizar
estos patrones por medio del contraste óptico del campo, que es la cantidad
que mide que tan grande son las fluctuaciones de intensidad respecto a la
intensidad media, C = σI/Ī. Aśı también se midió el tamaño de grano del
Speckle con una función de auto correlación de las imágenes capturadas por
una CCD. Sobre el pico más grande, se calculó la anchura a media altura
(FWHM), que como resultado es el tamaño de grano del Speckle Ts. Como
última variable de estudio, se hizo un cálculo computacional con el objetivo
de obtener el campo de fase y poder estudiar la formación y presencia de
vórtices sobre el patrón de Speckle dada las condiciones del experimento.
Con los resultados de este trabajo dada las condiciones de frontera impuestas
7
8
en el SLM y el filtro, se demuestra la versatilidad que se tiene para modi-
ficar las caracteŕısticas principales de un Speckle que son: las funciones de
densidad de probabilidad (PDF’s), que variaron desde una Rayleigh hasta ex-
ponencial negativa o Speckles totalmente desarrollados, el contraste que varió
de C = 0.69 hasta C = 1.69, el tamaño de grano del Speckle con un valor
mı́nimo de TS = 7.98µm hasta un valor máximo de TS = 15.54µm. A partir
de simulaciones numéricas se demuestra que con estos patrones de Speckle
es posible generar vórtices, y más aún es posible aumentar su densidad y
estructura en general.
Índice general
Agradecimientos 4
Resumen 6
1. Introducción 13
2. Campos ópticos con speckle 20
2.1. Conceptos básicos del speckle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.1. Suma de fasores aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.2. Primeros y segundos momentos de la parte real e ima-
ginaria del fasor resultante . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2. Caminata aleatoria con un número grande de pasos indepen-
dientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.1. Suma de fasores aleatorios más un fasor constante co-
nocido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.2. Suma finita de fasores aleatorios con amplitudes (dis-
tancias) iguales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3. Propiedades estad́ısticas de primer orden en Speckle óptico . . 41
2.3.1. Definición de intensidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4. Propiedades estad́ısticas de primer orden para la intensidad y
fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4.1. Contribución de un gran número de fasores aleatorios . 44
2.5. Suma finita de fasores aleatorios con amplitudes iguales . . . . 47
2.6. Ceros de intensidad sobre el patrón de Speckle: Vórtices ópticos 51
3. Propagación de un patrón de Speckle a través de un sistema
4f 55
3.1. Experimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2. Generación de imágenes por medio de lentes . . . . . . . . . . 65
3.2.1. Campo de amplitud sobre el plano de Fourier de un pixel 66
9
10 Índice general
3.2.2. Campo de amplitud sobre el plano conjugado para
cualquier pixel del SLM . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2.3. Campo de amplitud sobre el plano conjugado de cual-
quier pixel introduciendo un filtraje sobre el plano de
Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2.4. Campo de amplitud e intensidad sobre el plano conju-
gado de la contribución de todos los pixeles del SLM . 75
3.3. Cálculo computacional para simular el Speckle . . . . . . . . . 82
3.3.1. Método numérico aplicando transformadas de Fourier
rápidas (FFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4. Análisis estad́ısticoy mecánico del Speckle sobre un plano
conjugado: resultados experimentales y computacionales 90
4.1. Análisis de las funciones de densidad de probabilidad del patrón
de Speckle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.2. Comparación de los resultados teóricos con los experimentales 92
4.2.1. Resultados del campo fase sobre el plano conjugado . . 93
4.3. Primera parte: modulador espacial de luz interpolado de ma-
nera lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.3.1. Estudio de las funciones PDF’s con una apertura D =
2.84 cm en el diafragma y punto central . . . . . . . . 96
4.3.2. Estudio de las funciones PDF’s con una apertura D =
1.39 cm en el diafragma y punto central . . . . . . . . 102
4.3.3. Estudio de las funciones PDF’s con una apertura D =
0.885 cm en el diafragma y punto central. . . . . . . . 106
4.4. Análisis de los contrastes ópticos del patrón de Speckle . . . . 109
4.4.1. Estudio del patrón de Speckle sin punto central y dia-
fragma D = 2.84 cm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.4.2. Campo de fase con D = 0.885 cm sin punto central . . 114
4.4.3. Comparación de resultados entre las diferentes apertu-
ras del diafragma y presencia del punto central . . . . . 117
4.5. Segunda parte: Modulador espacial de luz interpolado de ma-
nera nearest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.5.1. Estudio de las funciones PDF’s y contraste con una
apertura D = 1.39 cm en el diafragma y punto central 118
4.5.2. Comparación de resultados entre las diferentes apertu-
ras del diafragma y presencia del punto central . . . . . 120
4.6. Auto correlación de un patrón de Speckle . . . . . . . . . . . . 121
Índice general 11
4.7. Patrones de Speckle obtenidos de manera experimental . . . . 124
4.8. Tabla de resultados de mayor relevancia . . . . . . . . . . . . 129
5. Discusión y conclusiones generales 131
A. 135
A.1. Propiedades estad́ısticas de órdenes más altos para el patrón
de Speckle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
A.2. Estad́ıstica Gaussiana multivariable . . . . . . . . . . . . . . . 136
A.3. Teoŕıa estad́ıstica de órdenes altos aplicada a campos de Speckle137
A.4. Estad́ıstica multidimensional del Speckle para la amplitud, fa-
se e intensidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
A.4.1. Función conjunta de densidad de probabilidad para las
amplitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
A.4.2. Función conjunta de densidad de probabilidad para las
fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
A.4.3. Función conjunta de densidad de probabilidad para las
intensidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
A.4.4. Función de auto correlación en propagación libre del
campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
A.4.5. Propiedades estad́ısticas sobre una región finita de un
patrón de Speckle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
A.4.6. Valor medio y varianza de un patrón finito de Speckle . 150
A.4.7. Primera aproximación de la función de densidad de
probabilidad, para un patrón finito de Speckle . . . . . 151
A.4.8. Resultado “exacto” para la función de densidad de pro-
babilidad para un patrón finito de Speckle . . . . . . . 156
A.4.9. Parte exacta de la solución . . . . . . . . . . . . . . . . 156
B. 160
B.1. Simulación numérica del patrón del Speckle sobre un plano
conjugado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
B.1.1. Proceso de generación de funciones Bessel y la convo-
lución sobre el patrón de fases aleatorias . . . . . . . . 160
B.1.2. Simulación numérica del patrón del Speckle sobre un
plano conjugado con método de FFT . . . . . . . . . . 164
Bibliograf́ıa 168
Caṕıtulo 1
Introducción
En este trabajo se estudió de manera detallada la caracterización de pa-
trones de Speckle sobre el plano imagen, también conocidos como Speckles
“subjetivos”, de un modulador espacial de luz (SLM ).
Una de las maneras de obtener un patrón de Speckle es al iluminar una
superficie rugosa con luz coherente, la interferencia de los frentes de onda
dispersados produce una distribución de motas de luz que se denomina Spec-
kle. Esta interacción puede ser tanto por reflejo como por propagación. La
rugosidad de la superficie depende de las variaciones tanto en dirección como
de altura de la superficie con respecto a la longitud de onda. Otro método
que ha tenido éxito para generar estos patrones es la propagación de una
fuente de luz láser a través de una fibra óptica multimodal, que tiene como
ventaja direccionar de una manera práctica y eficiente el patrón de Spec-
kle [Volpe et al., 2014a], ya sea para su estudio o como recurso para otras
aplicaciones. El patrón de Speckle se caracteriza por la presencia de múlti-
ples zonas o manchas de luz tanto brillantes como oscuras, y en particular
es bien sabido que los puntos donde la intensidad es cero corresponden a
singularidades en la fase del campo [Nye and Berry, 1974]. Dichas singulari-
dades exhiben estructuras en forma de espiral con cargas topológicas +1 y
−1 [Berry and Dennis, 2000], que se conocen como vórtices ópticos debido al
flujo circular de enerǵıa alrededor de un punto central oscuro [Berry, 2009].
Este moteado de luz y zonas oscuras está distribuido aleatoriamente sobre
una superficie o región en el espacio. Tales patrones de luz tienen propie-
dades estad́ısticas muy bien definidas como son: autocorrelación, contraste
13
14 Caṕıtulo 1. Introducción
óptico, relación señal a ruido y funciones de densidad de probabilidad. Desde
la invención de la luz láser, en el año 1960 [Kneubühl and Sigrist, 2008], la
producción y el entendimiento del patrón de Speckle ha sido de gran relevan-
cia, por ejemplo para suprimirlo en los sistemas de formación de imágenes
[Lim et al., 2008]. Su generación de manera deliberada también ha sido muy
importante en aplicaciones novedosas de la óptica por ejemplo para mejo-
ras en la visualización de la imagenoloǵıa fotoacústica [Gateau et al., 2013].
También ha sido importantes en otras áreas de la ciencia como la bioloǵıa,
medicina, microscoṕıa, astronomı́a, estados cuánticos de la materia, etc. En
el área de la microscoṕıa ha permitido generar diferentes técnicas utilizando
luz coherente y por medio de un procesamiento de imágenes a partir de dos
cámaras es posible formar imágenes sin utilizar ningún elemento refractivo
(lentes) [Jiang and Walker, 2009]. En el área de la bioloǵıa y la medicina, es-
pećıficamente en el estudio de tejidos o muestras biológicas, el Speckle puede
considerarse como una fuente de ruido; sin embargo, su entendimiento ha
dado lugar a caracterizar y obtener información in vivo de forma no invasiva
de la estructura de los tejidos [Schmitt et al., 1999]. Otro ejemplo relevante
son los últimos avances en LSIC (contraste óptico del Speckle generado por
una fuente láser por sus siglas en inglés), que han sido objeto de múltiples
aplicaciones en el área de la medicina desde principios de los años noventa,
con lo que es posible estimar los flujos de sangre en la retina, la piel y el
cerebro [Boas and Dunn, 2010].
El movimiento de part́ıculas en potenciales aleatorios ocurre en múltiples
fenómenos de la naturaleza, desde el movimiento de organelos dentro de
células biológicas hasta la difusión de estrellas dentro de una galaxia
[Volpe et al., 2014b]. En el campo de la astronomı́a el Speckle ha permitido
aumentar la potencia de los telescopios. Si se considera a la atmósfera como
un medio inhomogéneo, la interferometŕıa de Speckle; técnica basada en el
interferómetro estelar de Michelson, permite estudiar de mejor manera las
estrellas, incluso conjunto de estrellas provenientes de zonas muy lejanas de
nuestro sistema solar [Dainty and Greenaway, 1979] y [Labeyrie, 1970].
Otra propiedad importante del Speckle es la presenciade vórtices dentro
del patrón. Una publicación reciente demostró que estos patrones presen-
tan una dinámica de vórtices intŕınseca [Pascucci et al., 2016]; la propiedad
del momento angular de los vórtices ópticos ha dado lugar a un parámetro
extra de libertad que ha sido utilizado para la transferencia de informa-
15
ción o incluso para inducir movimiento rotacional a part́ıculas microscópicas
[Torres and Torner, 2011].
La importancia de poder obtener múltiples vórtices sobre el plano conju-
gado, radica en las múltiples aplicaciones que se han propuesto. Dado que en
muchos sistemas f́ısicos, las caracteŕısticas topológicas son muy estables con-
tra perturbaciones, por tanto, si podemos generar un patrón homogéneo con
puntos de cero intensidad, estos patrones pueden ser de gran utilidad para
crear, por lo pronto, trampas espaciales ópticas con parámetros aleatorios en
3D. Estas trampas servirán en las zonas oscuras creadas [Stenholm, 1988] y
no como anteriormente se propuso sobre los puntos brillantes. Por otra parte
también se presenta la posibilidad de imprimir vorticidad en condensados de
Bose-Einstein de manera aleatoria generando otras maneras de perturbar a
los condensados [Padgett et al., 2011].
Los ejemplos anteriores han alentado los estudios del Speckle tanto en di-
ferentes aplicaciones como en su estudio propio y sus diferentes propiedades.
Aplicar estos sistemas aleatorios a fenómenos f́ısicos ya conocidos han per-
mitido observar comportamientos muy diferentes e interesantes que no sólo
ha ayudado a entender mejor estos sistemas sino también se han desarrollado
vaŕıas aplicaciones tecnológicas.
El Speckle que con más frecuencia se ha estudiado es sobre el plano de Fou-
rier de una lente o a campo lejano o de Fraunhofer de una superficie rugosa.
Si bien posee caracteŕısticas de un Speckle totalmente desarrollado i.e. una
función de densidad de probabilidad como exponencial negativa y contras-
tes C = 1, la distribución global de la intensidad para el caso del plano de
Fourier es muy poco homogénea y la intensidad disminuye rápidamente con-
forme se aleja del centro. Por lo que si se pretende estudiar de manera general
este tipo de patrones, será necesario hacerlo por partes. Por otra parte, el
Speckle subjetivo es el patrón de luz obtenido sobre el plano imagen de una
superficie rugosa, el nombre deriva por que el detalle de la estructura del
patrón de Speckle depende de los parámetros de la resolución del sistema;
por ejemplo el tamaño de grano del Speckle cambia al variar el tamaño de
la lente. Se advierten tres grandes diferencias entre los patrones “subjetivos”
respecto a los patrones a campo lejano: es posible modificar el contraste en
los patrones de intensidad, no hay presencia de punto o zona brillante en el
centro y, por último, es posible cambiar el tamaño total de los patrones de
16 Caṕıtulo 1. Introducción
Speckle “subjetivos” de manera muy simple.
En este trabajo se presenta por primera vez una forma de generar patrones
de Speckle óptico sobre el plano conjugado de un sistema óptico 4f utilizando
un modulador espacial de luz (SLM) y un filtraje espacial sobre el primer
plano de Fourier del sistema. Con este método es posible generar patrones de
Speckle con diferentes propiedades estad́ısticas como: funciones de densidad
de probabilidad (PDF), las cuales vaŕıan desde distribuciones de Rayleigh
hasta exponenciales negativas, contraste óptico donde se alcanzaron valores
hasta de 1.69 y diferentes tamaños de Speckle sobre el plano conjugado. Estas
propiedades fueron estudiadas de manera detallada y los resultados que aqúı
se presentan caracterizan el Speckle a partir de sus propiedades. Las dife-
rentes propiedades estad́ısticas son producidas por los diferentes parámetros
introducidos y controlados en el SLM que fueron: desviación estándar de la
función de probabilidad que asigna de manera aleatoria el valor de la fase,
tamaño del dominio de fase y método de interpolación.
El otro elemento fundamental para controlar las distintas propiedades de
los patrones de Speckle es un sistema de filtraje compuesto por un diafragma
y un punto central opaco de diámetro d = 2.54 mm colocado sobre el plano de
Fourier de la primera lente. Al variar la apertura del diafragma se generaron
diferentes propiedades en los parámetros de estudio. Se demostró que para
un apertura D = 1.39 cm de diámetro sobre el diafragma se obtienen patro-
nes de Speckle totalmente desarrollados; una manera de identificar a estos
patrones es por el comportamiento de la función de densidad de probabilidad
como exponencial negativa, bajo estas condiciones también se encuentra la
presencia de vórtices. Este resultado es relevante pues no se han registrado
patrones con estas caracteŕısticas sobre un plano conjugado.
La importancia de este trabajo recae en la manera sencilla y versátil de ob-
tener patrones de Speckle con caracteŕısticas de un Speckle bien desarrollado
pero con las ventajas de un Speckle subjetivo. Como se verá en el caṕıtulo
5, el elemento principal para la generación de patrones con vórtices es con-
secuencia del diafragma con punto central y no tanto por las condiciones
estructurales asignadas al modulador.
Este trabajo se divide de la siguiente manera: en el caṕıtulo 2 se describe
de manera general un patrón de Speckle con lenguaje matemático, con el
17
que se hizo un análisis estad́ıstico de primer orden, que refiere al compor-
tamiento estad́ıstico en un sólo punto en el espacio para las funciones de
densidad de probabilidad de amplitud y de fase, aśı como el desarrollo ma-
temático para obtener sus primeros momentos. Esta introducción se hizo con
diferentes condiciones iniciales relacionadas con las propiedades estructura-
les de la superficie rugosa generadora del patrón. En la sección 2.3 se analiza
el comportamiento estad́ıstico de primer orden para un Speckle óptico, a
partir de la definición del campo de intensidad y utilizando propiedades ma-
temáticas de probabilidad y estad́ıstica, se prueba cómo se pueden obtener
las funciones de densidad de probabilidad de la intensidad a partir de las ya
calculadas en el primer caṕıtulo. Se presentan también los primeros momen-
tos y el contraste óptico para distintas condiciones iniciales.
En el caṕıtulo 3 se presenta el desarrollo experimental donde se explica cada
parte del montaje y la manera en que se generaron los patrones de Speckle.
En la segunda sección de este caṕıtulo se presenta un desarrollo matemáti-
co que propone la propagación de una onda plana sobre un sistema 4f al
reflejarse sobre un modulador espacial de luz de 600 × 800 pixeles con una
fase aleatoria dada a cada pixel. En este desarrollo también se introduce el
diafragma con el punto central (filtro) sobre el plano de Fourier de la primera
lente. Los resultados obtenidos son el campo de amplitud e intensidad sobre
el plano de Fourier y sobre el plano conjugado en un sólo punto. En la ter-
cera parte de este mismo caṕıtulo se proponen dos métodos computacionales
para resolver todo el plano conjugado, el primero resuelve numéricamente la
última expresión obtenida para el campo de un punto y luego superpone la
información para todos los puntos; el segundo se basa en una doble transfor-
mada de Fourier, multiplicando respectivamente la información del filtro con
el campo sobre el primer plano de Fourier.
Enseguida en el caṕıtulo 4 se presentan los resultados tanto experimenta-
les como computacionales para cada valor de apertura del diafragma sobre
el arreglo experimental, ya sea para el diafragma con punto central: abierto
D = 2.84 cm, cerrado D = 1.39 cm, muy cerrado D = .855 cm y D = 2.84
cm sin punto central. Para la parte computacional se comparan los resultados
con los experimentales y se muestra el campo fase para los casos de mayor
relevancia.
Finalmente en el caṕıtulo 5 se presentan las conclusiones generales y los
18 Caṕıtulo 1. Introducciónposibles trabajos a futuro que se derivan de este trabajo.
En el Apéndice A se generaliza la estad́ıstica de primer orden a segun-
do y se estudian las funciones conjuntas para la amplitud, fase e intensidad.
Dado que en los primeros caṕıtulos se presentan de una manera muy abs-
tracta los resultados estad́ısticos del Speckle, en el apéndice se concluye con
dos desarrollos matemáticos para la función de densidad de probabilidad de
la intensidad sobre un área finita, tanto en su solución exacta como en su so-
lución aproximada. Este desarrollo con sus soluciones justifican las funciones
propuestas para el ajuste de los datos experimentales.
En el Apéndice B se presentan los tres códigos en MATLAB utilizados
en este trabajo. El primero genera las máscaras para las superficies aleato-
rias moduladas sobre el SLM; el segundo presenta la generación del Speckle
que simula las mismas condiciones del laboratorio bajo la óptica de Fourier
desarrollada anaĺıticamente en el caṕıtulo 3, tanto para el plano de intensidad
como para el plano de fase; el tercero simula el patrón de Speckle utilizando
transformaciones de Fourier rápidas (FFT).
Objetivos
En esta investigación buscamos caracterizar sobre un plano imagen, los
patrones de Speckle generados de manera experimental a partir de un mo-
dulador espacial de luz y un filtraje espacial utilizando un sistema 4f.
Las cantidades de interés son: funciones de densidad de probabilidad para
la intensidad, contraste óptico del campo de intensidad, tamaño de grano del
Speckle. También nos interesa obtener el campo de fase de estos patrones
para identificar la presencia de vórtices.
Caṕıtulo 2
Campos ópticos con speckle
2.1. Conceptos básicos del speckle
Es importante mencionar que dentro de la investigación de este trabajo,
una de las fuentes principales que se revisó es libro de “Speckle phenomena
in optics” por el autor Joseph W. Goodman, el cual fue un pilar muy impor-
tante para esta investigación debido al profundo estudio que hace, y que a la
fecha, tanto los desarrollos como resultados, no pueden pasarse inadvertidos
para seguir estudiando estos patrones. Los caṕıtulos 2, 2.3 y el apéndice A
están sustentados por este texto [Goodman, 2007].
El patrón de speckle se representa como una señal que se compone de un
número muy grande de componentes complejas que interactúan entre śı. La
naturaleza compleja de cada una de las contribuciones del campo son debi-
das al hecho de que son fasores que representan componentes senusiodales,
que se componen tanto en amplitud como en fase. En un patrón de Speckle
estas componentes, distancias (Amplitudes) y direcciones (fases) toman va-
lores aleatorios.
Si consideramos un plano complejo, en el cual estas múltiples componen-
tes del campo se suman, obtenemos lo que se le conoce en f́ısica estad́ıstica
como caminata aleatoria. El valor resultante de la suma puede ser grande o
chico dependiendo de las fases relativas de las cuales se compongan, en parti-
cular si la interferencia que domina en la suma es destructiva o constructiva.
En óptica el valor al cuadrado de la distancia (Amplitud) resultante sobre un
20
2.1. Conceptos básicos del speckle 21
plano se le llama intensidad.
Una señal senusoidal se puede representar t́ıpicamente en función del espacio
y el tiempo como:
A(x, y, t) = A(x, y, t) cos[2πν0t− θ(x, y; t)], (2.1)
donde A(x, y, t) representa la amplitud o envolvente de la señal y θ(x, y, t) re-
presenta la fase. La cantidad ν0 es una frecuencia portadora que generalmente
es más grande que el ancho de banda, ya sea para A(x, y, t) o para θ(x, y, t).
Por comodidad de notación es común representar a esta señal de forma com-
pleja. Una forma de hacerlo es suprimir la componente de frecuencia positiva
en el espectro de A(x, y, t) y aumentar el doble para las frecuencias negativas.
La definición de la transformada de Fourier 1 G(ν) de una señal g(t) que
se utilizará en este trabajo se representa de la forma siguiente:
G(ν) =
∫ ∞
−∞
g(t) exp(−i2πνt)dt. (2.2)
Por tanto representar una señal de la forma cos(2πν0t) como un fasor exp(−i2πν0t)
que rota en el sentido de las manecillas del reloj, equivale a doblar la com-
ponente de la frecuencia negativa y suprimir la componente positiva de la
frecuencia.
En consecuencia al suprimir el término de la frecuencia portadora podemos
tener una representación de la forma
A(x, y, t) = A(x, y, t) exp(iθ(x, y; t)). (2.3)
Note que la parte real de A(x, y, t) exp(−i2πν0t) es el valor real de la señal
en la ecuación 2.1.
Como primera aproximación se concluye que el fenómeno de speckle que aqúı
se introduce de la forma más abstracta, ocurre cuando la resultante compleja,
que se representa en forma de señales, está compuesta de una superposición
(suma) de múltiples fases aleatorias en el mismo tiempo y espacio.
1En casos particulares, la transformada de Fourier se utilizará de la siguiente manera
G(ω) =
∫∞
−∞ g(t) exp[−iωt]dt. Sin embargo en estas ocasiones el texto dará claridad para
determinar cuando se utilizará de esta forma.
22 Caṕıtulo 2. Campos ópticos con speckle
A = Aeiθ =
N∑
n=1
an =
N∑
n=1
ane
iφn , (2.4)
donde an es el enésimo fasor complejo del componente de la suma teniendo
como longitud an y fase φn.
En algunos casos es conveniente expresar expĺıcitamente la dependencia tem-
poral y espacial de la suma de fasores, en este caso se expresa
A(x, y; t) =
N∑
n=1
an(x, y; t)e
iφn(x,y;t). (2.5)
Con esta última expresión se pretende introducir el concepto de Speckle de
la manera más general. Conforme se siga leyendo, este concepto se irá enfo-
cando hacia el campo de interés de este trabajo, que como el t́ıtulo lo indica,
es hacia el estudio del patrón de Speckle sobre el campo de la óptica. De ma-
nera que, la finalidad de esta primera sección es plantear las bases teóricas
para definir y explicar el patrón de Speckle óptico sobre una región finita y
a su vez poder estudiar la parte estad́ıstica de la intensidad a partir de un
fenómeno aleatorio como el Speckle.
2.1.1. Suma de fasores aleatorios
En este caṕıtulo se llevará acabo un análisis de las propiedades estad́ısti-
cas de primer orden de la amplitud y fase de las componentes complejas que
se introdujeron en la sección anterior. Estos análisis se estudiarán para di-
ferentes casos de suma de fasores aleatorios i.e. cada uno de los casos que
aqúı se presentan tendrán diferentes caracteŕısticas, que tendrán el propósi-
to de explicar la herramienta estad́ıstica que se utilizará y a partir de estos
ejemplos generales ir conociendo los diferentes resultados estad́ısticos que se
pueden obtener.
El término “primer orden” se refiere a las propiedades estad́ısticas en un
punto en el espacio, o para un speckle dinámico i.e. variante en el espacio
2.1. Conceptos básicos del speckle 23
tiempo, las propiedades estad́ısticas en el espacio-tiempo.
Una suma de N fasores aleatorios se puede describir de la siguiente manera
A = Aeiθ =
1√
N
N∑
n=1
an =
1√
N
N∑
n=1
ane
iφn , (2.6)
donde N representa el número de fasores en la caminata aleatoria y A repre-
senta el fasor resultante, nótese que A es un número complejo, A representa
la distancia (o magnitud) del resultante complejo, θ representa la fase del
fasor resultante, an es el enésimo fasor en la suma (número complejo), an es
la distancia de an y φn es la fase de an. Cuando N tiende a infinito, la manera
para preservar finita la suma es normalizándola con el término 1√
N
.
En vista del tratamiento de caminante aleatorio para la suma de fasores en
el plano complejo, es conveniente retomar ciertas premisas sobre la estad́ıstica
de estos fasores. Estas suposiciones se comprenden de una manera más fácil
separando la parte real e imaginaria del fasor resultante.
Re{A} =
1√
N
N∑
n=1
ancosφn, (2.7)
Im{A} =
1√
N
N∑
n=1
an senφn, (2.8)
donde Re{} y Im{} significan la parte real e imaginaria del elemento complejo
que encierra las llaves.Las suposiciones estad́ısticas de las componentes reales
e imaginarias son las siguientes
1. Las amplitudes y fases an y φn son estad́ısticamente independientes de
am y φm siempre que n 6= m. Esto es, el conocimiento del valor de la
amplitud y/o de la fase del fasor, no determina conocimiento alguno
sobre la amplitud o fase de otro fasor.
2. Para cualquier n, an y φn son estad́ısticamente independientes. Esto
es, el conocimiento del valor de an no determina conocimiento alguno
sobre el valor de φn y viceversa.
24 Caṕıtulo 2. Campos ópticos con speckle
3. Las fases φm están distribuidas uniformemente sobre el intervalo de
(−π, π). Esto es, todo los valores de la fase son igualmente probables.
2.1.2. Primeros y segundos momentos de la parte real
e imaginaria del fasor resultante
Es de especial interés esta sección pues aunque en los próximos ejerci-
cios que se plantearán en el resto del caṕıtulo se vean todav́ıa alejados del
propósito de éste trabajo, la principal información que obtendremos aqúı será
saber calcular los momentos de las variables aleatorias A y φ, que por ra-
zones de simplicidad, sólo nos interesarán los primeros dos momentos. Esta
información es muy valiosa pues son la columna y puente para entender el
tratamiento que aqúı se discute, ya que nos brinda información estad́ıstica
básica del fenómeno de Speckle.
Una manera de introducir los promedios estad́ısticos puede ser de la si-
guiente manera. Sea g(u) una función que para cada número real u asigna
un nuevo numero real g(u). Si u representa una variable aleatoria, entonces
el valor de g(u) también representa el de una variable aleatoria. Se define el
valor promedio estad́ıstico (valor promedio o valor esperado) de g(u) como
ḡ(u) = E[g(u)] ,
∫ ∞
−∞
g(u)pU(u)du. (2.9)
Para una variable aleatoria discreta, PU(u)
2 es de la forma
PU(u) =
∑
k
P (uk)δ(u− uk), (2.10)
de modo que con este resultado tenemos
ḡ(u) =
∑
k
P (uk)g(uk). (2.11)
Por lo tanto las propiedades más simples de una variable aleatoria son sus
primeros momentos, de tal forma (si es que existen) se obtienen proponiendo
la función 3
2Donde PU (u) es la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria u
3El desarrollo para calcular los n momentos se obtuvo de [Goodman, 2015]
2.1. Conceptos básicos del speckle 25
g(u) = un. (2.12)
Como un caso particular e importante es el primer momento (valor promedio
o valor esperado) y se obtiene de la siguiente manera
ū =
∫ ∞
−∞
uPU(u)du. (2.13)
El segundo momento (valor promedio al cuadrado) se define como
ū2 =
∫ ∞
−∞
u2PU(u)du. (2.14)
Muy a menudo, las fluctuaciones de una variable aleatoria que oscilan
alrededor del valor medio son de gran interés, a estas fluctuaciones se les
llama momentos centrales y se obtienen de la siguiente manera
g(u) = (u− ū)n, (2.15)
de los momentos centrales de mayor interés en la estad́ıstica es el segundo
momento central o varianza, esta se define como
σ2 =
∫ ∞
−∞
(u− ū)2PU(u)du, (2.16)
la ráız cuadrada de la varianza, σ, es lo que comúnmente se le llama desvia-
ción estándar y es la medición de dispersión o esparcimiento de los valores
asumidos por la variable aleatoria u.
Las suposiciones del apartado anterior tienen como resultado que las ex-
presiones de promedio ( valor esperado) y la varianza de la parte real (R) y
la parte imaginaria (I) se expresen de la siguiente forma
E[R] = E[
1√
N
N∑
n=1
an cos(φn)] =
1√
N
N∑
n=1
E[aa cos(φn)] (2.17)
=
1√
N
N∑
n=1
E[an]E[cos(φn)] = 0. (2.18)
26 Caṕıtulo 2. Campos ópticos con speckle
E[I] = E[
1√
N
N∑
n=1
an sen(φn)] =
1√
N
N∑
n=1
E[aa sen(φn)] (2.19)
=
1√
N
N∑
n=1
E[an]E[sen(φn)] = 0, (2.20)
donde es claro, bajo las suposiciones estad́ısticas de los fasores, φn está en
un intervalo de (−π, π). Por lo tanto E[sen(φn)] = 0 y E[cos(φn)] = 0.
Con un tratamiento similar las varianzas de R e I , son iguales a sus se-
gundos momentos, ya que sus valores esperados son cero. Están dadas por
σ2R = E[R
2] =
1
N
N∑
n=1
N∑
m=1
E[anam]E[cosφn cosφm], (2.21)
σ2I = E[I
2] =
1
N
N∑
n=1
N∑
m=1
E[anam]E[senφn senφm], (2.22)
para n 6= m E[cosφn cosφm] = E[cosφn]E[cosφm] = 0, y el mismo compor-
tamiento para E[senφn senφm] = 0. Como consecuencia, sólo para n = m las
varianzas no se anulan y se tienen las siguientes expresiones
σ2R = E[R
2] =
1
N
N∑
n=1
E[a2n]E[cos
2 φn] =
1
N
N∑
n=1
E[a2n]E
[
1
2
+
1
2
cos 2φn
]
(2.23)
=
1
N
N∑
n=1
E[a2n]
2
(2.24)
σ2I = E[I
2] =
1
N
N∑
n=1
E[a2n]E[sen
2 φn] =
1
N
N∑
n=1
E[a2n]E
[
1
2
− 1
2
cos 2φn
]
(2.25)
=
1
N
N∑
n=1
E[a2n]
2
,(2.26)
donde nuevamente se utiliza que si φn está uniformemente distribuida sobre
(−π, π) entonces 2φn también. Podemos observar que, como los valores pro-
medio, las varianzas de la parte real e imaginaria del fasor resultante son las
2.2. Caminata aleatoria con un número grande de pasos independientes 27
mismas.
Por último tomemos en cuenta la correlación4 de la parte real R e imagi-
naria I, que se define como
ΓR,I = E[RI] =
1
N
∑
n=1
E[a2n]E[cosφn senφn] = 0, (2.27)
bajo este resultado se concluye que no hay correlación entre la parte real e
imaginaria que a su vez se puede determinar que las variables R e I son es-
tad́ısticamente independientes5 bajo las suposiciones estad́ısticas propuestas
para dichas componentes.
2.2. Caminata aleatoria con un número gran-
de de pasos independientes
Para el siguiente análisis retomemos la Ec. 2.6 que representa la suma
total de fasores aleatorios en el campo complejo. Ahora bien, si tomamos en
consideración que el número de pasos N en la suma es muy grande, entonces
en este caso las partes reales e imaginarias del fasor resultante A, están dadas
por la suma de un número muy grande de variables aleatorias estad́ısticamen-
te independientes. Dadas las condiciones es posible implementar el “Teorema
del ĺımite central”6, el cual demuestra que bajo las condiciones generales es-
4La correlación de dos variables aleatorias U y V conjuntamente distribuidas,
con una función de densidad aleatoria PUV(u, v), se define como ΓUV = ūv =∫ ∫∞
−∞ uvPUV (u, v)dudv[Goodman, 2015].
5Si dos variables aleatorias U y V son estad́ısticamente independientes entonces, si
se conoce el valor de cualquiera una de ellas, el hecho de saberlo no influye en la proba-
bilidad asociada al valor resultante de la variable contraria. Por lo tanto para variables
estad́ısticamente independientes tenemos que p(U |V )(u|v) = pV (v). Este hecho implica que
pUV (u, v) = pU (u)pV |U (v|u) = pU (u)pV (v). [Goodman, 2015]
6Más formalmente el teorema del ĺımite central afirma que: Si existen U1, U2, U3, ...., Un
variables aleatorias independientes, con distribuciones de probabilidad arbitraria (no nece-
sariamente la misma), con valores promedio ū1, ū2, ū3, ..., ūn y varianzas σ1, σ2, σ3, ...., σn.
Entonces si definimos a la variable Z como Z = 1√
n
∑n
i=1
Ui−ūi
σ2i
. (Nótese que para cada n,
Z tiene un valor promedio de cero y el valor de uno para la desviación estándar). Entonces
bajo ciertas condiciones, si el valor de n tiende a infinito, la función de densidad de probabi-
lidad pZ(z) se aproxima a una densidad Gaussiana de la forma ĺımn→∞ pZ(z) =
1√
2π
e−z
2/2
[Goodman, 2015].
28 Caṕıtulo 2. Campos ópticos con speckle
tad́ısticas de la suma con N elementos aleatorios independientes, si N →∞
esta tiende asintóticamente a una Gaussiana.
Dada la naturaleza estad́ıstica de las variables aleatorias R e I y por el teo-
rema del ĺımite central, podemos definir a las siguientes dos nuevas variables
como
ZR =
1√
n
N∑
i=1
Ui − ūi
σ2R
, (2.28)
ZI =
1√
n
N∑
i=1
Vi − v̄i
σ2i
. (2.29)
Por lo tanto, con los resultados de valor medio, varianza, y correlación
presentados anteriormente y donde σ2 = σ2R = σ
2
I , utilizando el teoréma del
ĺımite central, tenemos que
PR(R) =
1√
2πσ2
exp
{
− R
2
2σ2
}
, (2.30)
PI(I) =
1√
2πσ2
exp
{
− I
2
2σ2
}
. (2.31)
Al ser variables estad́ısticamenteindependientes tenemos como resultado que
la distribución conjunta 7 para la parte real e imaginaria del fasor resultante
es de la siguiente forma
PR,I(R,I) =
1
2πσ2
exp
{
− R
2 + I2
2σ2
}
, (2.32)
7De una manera muy general se puede introducir la distribución conjunta como: Con-
sidere dos experimentos aleatorios con sus respectivos conjuntos de posibles eventos {A} y
{B}. Si los eventos de interés son tomados en parejas que se denota como {A∗B}, entonces
se le pueden asignar una función de probabilidad P (A,B) a las parejas de los resultados
posibles obtenidos de A y B. A cada resultado de A se le puede asignar un valor u(A) y a
cada resultado de B se le puede asignar un valor v(B). La variable aleatoria conjunta UV
se define como la colección de todos los posibles valores conjuntos (u, v) asociados a una
medida de probabilidad.
La función de distribución de probabilidad FUV para la variable UV se define como
FUV (u, v) , Prob{U ≤ u∧V ≤ v} por lo tanto la función caracteŕıstica pUV (u, v) se define
como pUV (u, v) , ∂
2
∂u∂vFUV (u, v). A partir de la naturaleza de función de densidad de pro-
babilidad esta tiene un volumen unitario i.e.
∫ ∫∞
−∞ PUV (u, v)dudv = 1.[Goodman, 2015]
2.2. Caminata aleatoria con un número grande de pasos independientes 29
debido a la naturaleza circular del fasor resultante complejo A se dice que
es una variante compleja Gaussiana circular. Del mismo modo en el cual
hemos expuesto las diferentes propiedades estad́ısticas de la suma compleja de
fasores aleatorios, es de igual interés conocer las propiedades estad́ısticas de
la amplitud A y de la fase θ del fasor resultante. Para obtener la distribución
conjunta de la amplitud y fase es necesario utilizar las reglas de la teoŕıa de
probabilidad para la transformación de variables de la siguiente manera
A =
√
R2 + I2, (2.33)
θ = arctan
{
I
R
}
, (2.34)
R = A cos θ, (2.35)
I = A sen θ. (2.36)
La distribución conjunta de A y de θ está relacionada de la forma en como
se acaba de presentar con R e I a través de
PA,θ(A, θ) = PR,I(A cos θ, A sen θ)‖J‖, (2.37)
donde ‖J‖ es la magnitud del determinante Jacobiano de la transformación
del conjunto de variables,
‖J‖ =
∥∥∥∥ ∂R/∂A ∂R/∂θ∂I/∂A ∂I/∂θ
∥∥∥∥ = A. (2.38)
De la Ec. 2.33 tenemos que A2 = R2 + I2 y de la Ecs. 2.32 y 2.37 se obtiene
que
PA,θ(A, θ) = PR,I(R,I)A =
1
2πσ2
exp
{
− R
2 + I2
2σ2
}
A, (2.39)
por consiguiente la distribución conjunta de la distancia A y de la fase θ del
fasor resultante esta dada por
PA,θ(A, θ) =
A
2πσ2
exp
{
− A
2
2σ2
}
, (2.40)
30 Caṕıtulo 2. Campos ópticos con speckle
las condiciones de la distribución conjunta para que sea diferente de cero son
(A ≥ 0) y (−π ≤ θ < π).
Una vez obtenido la distribución conjunta para ambas variables, es opor-
tuno poder determinar las propiedades estad́ısticas de cada una, i.e. para A
y para θ . Para obtener la distribución de A, se calcula de la siguiente manera
PA(A) =
∫ π
−π
PA,θ(A, θ)dθ =
A
σ2
exp
{
− A
2
2σ2
}
. (2.41)
0 1 2 3 4
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
A/σ
σ
 P
A
(A
/σ
)
Figura 2.1: Función de densidad de probabilidad de Rayleigh
Para (A ≥ 0), esta Función de densidad es conocida como “Función de
densidad de Rayleigh”. En la figura 2.1, se muestra la distribución de Ray-
leigh.
La forma general de calcular los momentos de la función conjunta PA(A)
como se propone en la Ec. 2.12 se hace a través de
2.2. Caminata aleatoria con un número grande de pasos independientes 31
Āq =
∫ ∞
0
AqPA(A)dA = 2
q/2σqΓ
(
1 +
q
2
)
, (2.42)
donde q determina el grado de momento y Γ representa la función Gamma.
Para obtener el primer y segundo momento se sustituye a q por 1 para el
primero y q = 2 para el segundo, obteniendo
Ā =
√
π
2
σ ≈ 1.25σ, (2.43)
Ā2 = 2σ2, (2.44)
σ2A = Ā
2 − (Ā)2 =
(
2− π
2
)
σ2 ≈ 0.43σ2. (2.45)
Por último, para obtener la la función de densidad de la fase es necesario
integrar con respecto a A la amplitud la Ec. 2.41,
Pθ(θ) =
∫ ∞
0
A
2πσ2
exp
{
− A
2
2σ2
}
dA =
1
2π
, (2.46)
para (−π 0 θ < π). Para obtener este resultado se utilizó el hecho de que la
integral de la función de densidad de Rayleigh tiene que ser uno.
De estos resultados podemos observar que el producto de las funciones de
densidad de probabilidad de la amplitud PA(A) y de la fase Pθ(θ) es equiva-
lente a la distribución conjunta de ambas variables Ec. (2.40). Como conse-
cuencia se tiene que la longitud A y la fase θ del fasor resultante son variables
aleatorias estad́ısticamente independientes.
Se concluye que para una suma aleatoria de fasores, la cual se asume que
obedece las premisas estad́ısticas que se propusieron al principio, y que el
número de elementos de la suma es muy grande, la longitud del valor re-
sultante A obedece la estad́ıstica de Rayleigh, y la fase resultante θ está
uniformemente distribuida sobre el intervalo (−π, π).
2.2.1. Suma de fasores aleatorios más un fasor cons-
tante conocido
Se ha visto que en la práctica es común poder estudiar que el valor resul-
tante de la suma, es la suma de un fasor conocido más una suma aleatoria
32 Caṕıtulo 2. Campos ópticos con speckle
de fasores. El interés de estudiar este caso es hacer una relación con este
fasor conocido y el trabajo que aqúı se expone. Como se introdujo en este
trabajo, la manera de generar estos patrones aleatorios es por medio de un
Modulador espacial de luz, el cual tiene la propiedad de poder controlar la
fase de forma independiente para cada pixel que lo compone, este tiene como
primera superficie un sustrato de vidrio y aún que es transparente, refleja
un pequeño porcentaje de luz sin modular, otra razón seŕıa que independien-
temente que estos nuevos moduladores estén diseñados y optimizados para
ciertas longitudes de onda, no garantizan una modulación en fase del 100 %.
Por lo tanto, se propone que este modelo matemático describe la generación
de una superficie aleatoria en el SLM. Sin pérdida de generalidad interprete-
mos que el fasor conocido se encuentra en la parte real del plano complejo.
La parte real e imaginaria del fasor resultante se escribe
R = A0 +
1√
N
N∑
n=1
an cosφn, (2.47)
I =
1√
N
N∑
n=1
an senφn, (2.48)
donde A0 representa la distancia del fasor conocido.
La presencia del fasor conocido representa la adición de un valor promedio
constante a la parte real del fasor resultante, respecto a la suma de fasores
aleatorios, estos componentes asumimos que siguen siendo un gran número,
de modo que al hacer que N →∞ la naturaleza estad́ıstica de la parte real
e imaginaria nuevamente tiene un comportamiento Gaussiano asintótico. La
función de transferencia es de la forma siguiente
PR,I(R, I) =
1
2πσ2
exp
{
− (R− A0)
2 + I2
2σ2
}
. (2.49)
Para obtener la función de transferencia, nuevamente es necesario hacer
un cambio de variables que es muy similar al cambio de variables que se hizo
en el caso anterior.
Recordando las Ecs. 2.33 y 2.35, fijémonos únicamente en el numerador del
exponente de la exponencial de la Ec. 2.49.
2.2. Caminata aleatoria con un número grande de pasos independientes 33
(R− A0)2 + I2 =R2 − 2RA0 + A0 + I2
=R2 + I2 − 2A cos θA0 + A20,
(2.50)
lo que nos lleva a la función de transferencia resultante para la distancia y
fase.
PA,θ(A, θ) =
1
2πσ2
exp
{
− A
2 + A20 − 2AA0 cos θ
2σ2
}
, (2.51)
donde es válida para A 1 0 y (−π 0 θ < π).
Las siguientes propiedades estad́ısticas de interés son las funciones de trans-
ferencia para cada una de las variables. Lo cual lleva a integrar a la Ec. 2.51
con respecto a θ para obtener PA(A)
PA(A) =
∫ π
−π
PA,θ(A, θ)dθ (2.52)
=
A
2πσ2
exp
{
− A
2 + A20
2σ2
}∫ π
−π
exp
{
2AA0 cos θ
2σ2
}
dθ. (2.53)
Utilizando la siguiente identidad∫ π
−π
el cos tdt = 2πI0(l), (2.54)
donde I0() es una función de Bessel modificada de primera clase y de orden
cero, por lo tanto la función de transferencia para A
PA(A) =
A
σ2
exp
{
− A
2 + A20
2σ2
}
I0
(
AA0
σ2
)
, (2.55)
esta función es válidapara A 1 0 y es conocida como función de densidad de
Rician, en la figura 2.2 se muestra la función de transferencia de Rician para
diferentes valores de A0/σ, nótese que para A0/σ = 0 la función se vuelve
una función de Rayleigh, por otro lado cuando A0/σ incrementa la función
de Rician se vuelve más simétrica hasta que gradualmente tiende a parecerse
a una función de densidad Gaussiana.
Para este caso los q-ésimos momentos de A están dados por
34 Caṕıtulo 2. Campos ópticos con speckle
0 2 4 6 8
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
A/σ
σ
 P
A
(A
)
A
0
/σ = 0 
A
0
/σ = 1 A
0
/σ = 2 A
0
/σ = 3 A
0
/σ = 4 
Figura 2.2: Función de densidad de probabilidad de Rician para varios valores
de A0/σ.
Āq = (2σ2)q/2e−A
2
0/2σ
2
Γ
(
1 +
q
2
)
1
F1
(
1 +
q
2
, 1,
A20
2σ2
)
, (2.56)
donde 1F1(−α, β, §) representa una función hypergeométrica confluente.
El Primer y segundo momento de A son
Ā =
1
2
√
π
2σ2
e−A
2
0/4σ
2
[
(A20 + 2σ
2)I0
(
A20
4σ2
)
+ A20I1
(
A20
4σ2
)]
Ā2 =A20 + 2σ
2.
(2.57)
Ahora la función de densidad de probabilidad para la fase θ, es la solución
de la siguiente integral
Pθ(θ) =
e−
A20
2σ2
2πσ2
∫ ∞
0
A exp
[
− A
2 − 2AA0 cos θ
2σ2
]
dA, (2.58)
2.2. Caminata aleatoria con un número grande de pasos independientes 35
este resultado se resuelve de manera numérica y la solución es de la siguiente
forma
Pθ(θ) =
e
A20
2σ2
2π
+
√
1
2π
A0
σ
e−
A20
2σ2
sen2θ
1 + erf
(
A0cosθ√
2σ
)
2
cos θ, (2.59)
para (−π 0 θ < π), y cero para otros valores. La función erf (z) es la función
de error estándar,
erf(z) =
2√
π
∫ z
0
e−t
2
dt. (2.60)
−3 −2 −1 0 1 2 3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Θ
P
θ
(θ
)
A
0
/σ = 0 
A
0
/σ = 1 
A
0
/σ = 2 A
0
/σ = 3 
Figura 2.3: Función de densidad de probabilidad de fase para varios valores
de A0/σ.
En la figura 2.3 se muestra la función de densidad de probabilidad de la
fase, para varios valores de A0/σ
36 Caṕıtulo 2. Campos ópticos con speckle
De estos resultados, se observa que cuando A0/σ = 0, la distribución de
la fase se vuelve constante con un valor de 0.2, mientras que cuando A0/σ se
vuelve más grande, Pθ(θ) se aproxima a una función de densidad Gaussiana.
2.2.2. Suma finita de fasores aleatorios con amplitudes
(distancias) iguales
La finalidad de este trabajo es entender el comportamiento aleatorio de
un número de fasores finito, en esta sección nos concentraremos en las carac-
teŕısticas estad́ısticas y los diferentes resultados que surgen en comparación
con la suma infinita de las previas secciones.
Las simplificaciones que el “Teorema del ĺımite central” nos hab́ıa propor-
cionado ya no son válidas para este tratamiento, por lo tanto la finitud de
las contribuciones nos harán tratar el problema de forma diferente. La parte
real e imaginaria del fasor resultante son nuevamente las Ecs. 2.7 y 2.8, a
diferencia que ahora N es estrictamente finito. La fase φn es nuevamente dis-
tribuida uniformemente sobre (−π, π) y estad́ısticamente independiente. Por
razones de simplicidad se asume que los valores an son valores fijos conocidos
y que las caracteŕısticas estad́ısticas de la suma se heredan por las propieda-
des de las fases de los fasores que la componen. Estas suposiciones permiten
expresar la función caracteŕıstica para un término de la suma. Pero primero
se definirá la función caracteŕıstica de forma general.
La función caracteŕıstica de una variable aleatoria u en una dimensión se
define como el valor esperado de eiωu,
Mu(ω) ,
∫ ∞
−∞
exp(iωu)pU(u)du, (2.61)
o de forma equivalente la función de densidad de probabilidad de la variable
u, es la transformada de Fourier inversa de la función caracteŕıstica.
pU(u) =
1
2π
∫ ∞
−∞
MU(ω) exp(−iωu)du. (2.62)
La función caracteŕıstica contiene toda la información acerca de las propie-
dades estad́ısticas de primer orden de la variable aleatoria u. Donde bajo
ciertas circunstancias es posible obtener la función caracteŕıstica (y por tan-
to la función de densidad de probabilidad) a partir del conocimiento de los
2.2. Caminata aleatoria con un número grande de pasos independientes 37
enésimos momentos para toda las n. Para demostrarlo, expandimos la función
exponencial en suma de potencias.
exp(iωu) =
∞∑
n=0
(iωu)n
n!
. (2.63)
Si asumimos que los ordenes de suma e integración pueden intercambiarse ya
que son transformaciones lineales, entonces
MU(ω) =
∞∑
n=0
(iω)n
n!
∫ ∞
−∞
unpU(u)du =
∞∑
n=0
(iω)n
n!
ūn. (2.64)
Este resultado sólo es válido si todos los momentos son finitos y la serie resul-
tante es convergente. Consecuentemente si el enésimo momento
∫∞
−∞ u
npU(u)du
existe, entonces el enésimo momento de u se puede obtener de la forma
ūn =
1
jn
dn
dωn
MU(ω)
∣∣∣∣
ω=0
. (2.65)
Para el caso de dos dimensiones, la función caracteŕıstica conjunta de dos
variables aleatorias u y v se obtiene de la siguiente manera 8
MUV (ωU , ωV ) =
∞∫∫
−∞
exp[i(ωUu+ ωV v)]pUV (u, v)dudv. (2.66)
Por lo tanto si nuestra variable aleatoria u es el enésimo elemento de la parte
real R de la suma finita de fasores, entonces la función caracteŕıstica para el
elemento n, suponiendo que φ está uniformemente distribuida entre (−π, π).
Se obtiene de la siguiente forma
Mn(ω) = E
[
e
iω an√
N
cosφn
]
=
∫ π
−π
Pφ(φn)e
iω ancosφn√
N dφn (2.67)
=
1
2π
∫ π
−π
e
iω ancosφn√
N dφn (2.68)
= J0
(
anω√
N
)
. (2.69)
8El desarrollo que aqúı se presenta para calcular la función estad́ıstica se obtuvo de
[Goodman, 2015]
38 Caṕıtulo 2. Campos ópticos con speckle
Para la parte imaginaria I se obtiene un resultado igual. La función ca-
racteŕıstica de la suma con variables aleatorias independientes es el producto
de las funciones caracteŕısticas de cada una de las variables, entonces
MR(ω) = MI(ω) =
N∏
n=1
J0
(
anω√
N
)
. (2.70)
Si consideramos que las longitudes de cada uno de los fasores es la misma e
igual a a/
√
N , la función caracteŕıstica de la parte real e imaginaria del fasor
resultante es
MR(ω) = MI(ω) =
N∏
n=1
JN0
(
aω√
N
)
. (2.71)
La función de densidad de probabilidad de la parte real e imaginaria se
obtienen aplicando la Transformada de Fourier inversa a las funciones carac-
teŕısticas correspondientes.
PR(R) = F{MR(ω)} =
1
2π
∫ ∞
−∞
JN0
(
aω√
N
)
e−iωRdω, (2.72)
de forma similar se obtiene la función para la parte imaginaria I. Dado que los
ángulos de las fases de las variables independientes de la suma, están unifor-
memente distribuidos sobre (−π, π), da lugar a que la parte real e imaginaria
del fasor resultante tengan una función caracteŕıstica y de densidad de pro-
babilidad con simetŕıa circular. De manera que MR(ω) y MI(ω) muestran
que la forma de la función caracteŕıstica en dos dimensiones MR,I(ωR, ωI)
está dada por
MR,I(ωR, ωI) = MR,I(ω) = J
N
0
(
aω√
N
)
, (2.73)
donde ω =
√
ω2R + ω
2
I .
La simetŕıa circular de las funciones caracteŕısticas permiten recuperar la fun-
ción de densidad de probabilidad por medio de la Transformada de Fourier-
Bessel o Transformada de Hankel. Por lo tanto la parte radial f(A) de la
función de transferencia está dada por
f(A) = 2π
∫ ∞
0
ρJN0
(
2πaρ√
N
)
J0(2πρA)dρ, (2.74)
2.2. Caminata aleatoria con un número grande de pasos independientes 39
donde ρ = ω/2π, y A =
√
R2 + I2 es la distancia del fasor resultante. Para
obtener la función de densidad de probabilidad de A de la parte radial en 2D,
tenemos que multiplicar por un factor de 2πA (circunferencia de un ćırculo
con un radio A). Se obtiene que
PA(A) = 4π
2A
∫ ∞
0
ρJN0
(
2πaρ√
N
)
J0(2πρA)dρ, (2.75)
para A 1 0.
La integral que se presenta, no tiene un proceso fácil de solución, ni siquiera
por un camino numérico. No obstante en la figura 2.4 se muestra las solucio-
nes aproximadas para N = 1, 2, 3, 4, 5 e ∞ para a = 1 (fasores individuales
con distancias 1√
N
). Para el caso en que N = 1 la función toma la forma
de una función delta en A = 1, para el caso en que N = ∞ La función seaproxima a una función de Rayleigh.
Este caṕıtulo tuvo como propósito introducir al lector en las herramien-
tas estad́ısticas de funciones de densidad de probabilidad, como también sus
primeros momentos que son (el valor esperado, la varianza y la desviación
estándar). Esta información que se obtuvo por medio de un tratamiento es-
tad́ıstico será de gran importancia pues obteniendo las funciones de densidad
de probabilidad de la intensidad será una manera de caracterizar los patrones
de Speckle obtenidos en el laboratorio.
Por tanto se puede concluir que para diferentes caracteŕısticas de las su-
ma de fasores, ya sea el número de fasores, que en este caso se planteó un
número infinito y para el segundo un número finito, por último en el ter-
cer caso donde conocemos un fasor constante, las funciones de densidad de
probabilidad difieren, y en el caso de un número finito de fasores al hacerlos
tender a infinito recuperan la función de densidad de probabilidad que es una
función de densidad de probabilidad tipo Rayleigh.
40 Caṕıtulo 2. Campos ópticos con speckle
Figura 2.4: Funciones de densidad de probabilidad de longitud A de una
suma de fasores aleatorios, con N número de fasores aleatorios de longitud
1√
N
. Imagen tomada de [Goodman, 2007, pág.20].
2.3. Propiedades estad́ısticas de primer orden en Speckle óptico 41
2.3. Propiedades estad́ısticas de primer or-
den en Speckle óptico
En esta sección se presenta las propiedades estad́ısticas del patrón de
Speckle óptico. Una de las propiedades que nos interesarán y que se pondrá
especial atención es la intensidad. Esta es muy importante pues la intensidad
es la variable que podemos medir más fácilmente en el laboratorio utilizando
cámaras con chips (CCD’s) sensibles a la luz. Las propiedades estad́ısticas de
intensidad que en este caṕıtulo se presentan son las propiedades de “primer
orden”, que como se menciona en el caṕıtulo anterior son las propiedades que
se establecen en un mismo punto en el espacio-tiempo. Más adelante y ese
es el propósito de este trabajo, se expondrá un tratamiento para el estudio
estad́ıstico del patrón de Speckle en una región finita donde se analizarán las
funciones de densidad de probabilidad para la intensidad, el contraste óptico,
función de autocorrelación y vorticidad en el patrón de Speckle, este último
será con resultados computacionales.
Los resultados del caṕıtulo anterior serán de gran ayuda para el entendi-
miento y desarrollo de los resultados que aqúı se exponen.
2.3.1. Definición de intensidad
Dado que la intensidad es de extremo interés para el estudio óptico de
este trabajo, se presenta una breve definición de esta. Empezaremos con la
definición del vector de Poynting ~S de una perturbación electromagnética.
~S = ~E × ~H, (2.76)
donde ~E es el vector que vaŕıa en el tiempo del campo eléctrico, ~H es el
vector que vaŕıa en el tiempo del campo magnético, en el vaćıo se define
como ~H = 1
µ0
~B donde µ0 [Hecht, 1998] es la constante de permatividad del
vaćıo y × es el operador producto cruz. El valor promedio de la intensidad,
usualmente se define como proporcional a la magnitud del valor promedio
del vector de Poynting i.e. se define como
I ∝ |〈~S〉|, (2.77)
donde 〈...〉 significa promedio temporal. Para el caso de una onda electro-
magnética plana monocromática localmente transversal en un medio isotrópi-
42 Caṕıtulo 2. Campos ópticos con speckle
co, el campo eléctrico y magnético se definen como
~E = Re
{
~E0 exp[−i(2πνt− ~k · ~r)]
}
, (2.78)
~H = Re
{
~H0 exp[−i(2πνt− ~k · ~r)]
}
. (2.79)
Para los campos eléctrico y magnético ν es la frecuencia óptica de la onda,
~k es el vector de onda con una magnitud de 2π/λ y con dirección ortogonal
a ~E y ~H. Los vectores de ~E0 y ~H0 representan los valores de las amplitudes
complejas de los campos eléctricos y magnéticos, el vector ~r representa la
posición en el espacio tridimensional. Ahora el vector de Poynting puede
expresarse de la siguiente manera 9
|〈S̄〉| = E0 · E
∗
0
2η
(2.82)
η es el valor caracteŕıstico de la impedancia del medio, con un valor de
η = µ0c. La Ec. 2.82 nos conduce a la representación del valor promedio
temporal de la intensidad de una onda
I =
1
2η
[
|E0x|2 + |E0y |2 + |E0z |2
]
. (2.83)
E0x ,E0y ,E0z son las componentes cartesianas del vector complejo E0. Si re-
currimos a la aproximación de óptica paraxial 10, la componente en el eje z
9De las ecuaciones de Maxwell tenemos que 5 × Ē = −∂B̄∂t . Para una onda plana
tenemos que ik̄ × Ē = iωB̄ ⇒ B̄ = k̄×Ēω . Por lo tanto de la definición del vector de
Poynting se tiene que 〈Re{Ē} × Re{H̄}〉 = 12Re{Ē × H̄} =
1
2µ0
Re{Ē × B̄∗}
1
2µ0ω
Re{Ē × k̄ × Ē∗} =
1
2µ0ω
Re{(Ē · Ē∗)k̄ − (Ē · k̄)Ē∗} (2.80)
=
k
2µ0ω
Ē · Ē∗k̂ (2.81)
⇒ |〈S̄〉| = 12
k
µ0
ωĒ · Ē∗
⇒ η = µ0ωk = µ0c.
10La óptica paraxial muy a menudo se le conoce como óptica Gaussiana. Esta es el marco
más simple donde los sistemas ópticos son descritos. La aproximación paraxial explica cómo
la luz al propagarse sobre un sistema óptico ésta viaja muy cerca del eje, con más detalle,
la forma escalar de una ecuación de onda para un campo óptico ψ(x, y, z)se escribe de
la siguiente manera
[
52 +
(
2π
λ
)2]
ψ(x, y, z) = 0. Cuando este campo se propaga sobre
2.4. Propiedades estad́ısticas de primer orden para la intensidad y fase 43
es muy chica en comparación a las otras de modo que la intensidad se puede
expresar con sólo las componentes x y y. Representando a la intensidad de
forma general tenemos que
I =
{
|Ex|2 + |Ey|2 para una onda no polarizada
|Ex|2 para una onda polarizada
(2.84)
La definición anterior define el valor promedio temporal de la intensidad.
2.4. Propiedades estad́ısticas de primer or-
den para la intensidad y fase
Dado que se han introducido las propiedades estad́ısticas de una suma de
fasores aleatorios, para la amplitud y fase y el concepto de intensidad para
la parte óptica, es momento de hacer converger estos dos desarrollos para el
estudio del patrón de Speckle óptico. Es de suma importancia introducir la
relación que gobierna el cambio de una función de densidad de probabilidad
que resulta de una transformación monotónica que subyace de una variable
aleatoria. Sea s una variable aleatoria que se relaciona con otra variable t
aleatoria a través de una transformación monotónica de la forma s = f(t).
Un resultado fundamental de la teoŕıa de probabilidad es que la función de
densidad de probabilidad de s PS(s) puede obtenerse por medio de la función
de densidad de probabilidad PT (t) de t por medio de [Goodman, 2015],
PS(S) = PT (f
−1(s))
∣∣∣∣dsdt
∣∣∣∣. (2.85)
Para nuestro caso en particular si s = I para la intensidad y t = A para la
amplitud, de esto se sigue que
I = f(A) = A2. (2.86)
un sistema óptico, la mayoŕıa de la veces, el interés recae en la distribución transversal
de planos sucesivos sobre el eje óptico. Si estamos fuera de la zona de focalización, la
dependencia asociada con la propagación en Z puede ser factorizada fuera del campo y
escribirlo de la siguiente manera ψ(x, y, z) = ψ(x, y, z) exp(−i 2πλ )z.
Por otra parte es muy común asumir que los cambios en z son lo suficientemente pequeños
para despreciar la segunda derivada respecto a z por lo tanto la ecuación queda de la
forma 52Tψ(x, y, z, ) = −iπλ
∂ψ(x,y,z)
∂z [Alda, 2003].
44 Caṕıtulo 2. Campos ópticos con speckle
Estos resultados nos llevan a concluir que conociendo la función de densidad
de probabilidad de la amplitud PA(A) podemos encontrar la función de den-
sidad de probabilidad para la intensidad I PI(I) correspondiente, a través
de
PI(I) = PA(
√
I)
∣∣∣∣dAdI
∣∣∣∣ = 12√IPA(√I). (2.87)
2.4.1. Contribución de un gran número de fasores alea-
torios
Para un número muy grande de fasores aleatorios, como se mostró en la
sección 2.2 es válido poder utilizar el Teorema del ĺımite central. A partir de
este desarrollo se llegó a que la funciónde densidad de probabilidad para la
amplitud es la función de Rayleigh
PA(A) =
A
2σ
2
exp
(
− A
2
2σ2
)
, (2.88)
para A 1 0. Para obtener la función de densidad de probabilidad para la
intensidad, se utiliza la ley de transformación de funciones de la Ec. 2.85
obteniendo la función siguiente
PI(I) =
√
I
σ2
exp
(
− I
2σ2
)
· I
2
√
I
=
1
2σ2
exp
(
− 1
2σ2
)
, (2.89)
Para I 1 0. De la misma forma como se calculan los q-ésimos momentos
para la función de densidad de probabilidad para la amplitud en la Ec. 2.42,
se puede calcular los momentos reemplazando la función de densidad de pro-
babilidad de la amplitud por la de la intensidad y la variable de amplitud
por la variable de intensidad. Como resultado, para los primeros momentos
se tiene que
Īq = (2σ2)qq!. (2.90)
De este resultado es fácil ver que el valor promedio de la intensidad Ī es 2σ2,
por lo que el q-ésimo momento se puede expresar de la siguiente manera
2.4. Propiedades estad́ısticas de primer orden para la intensidad y fase 45
Iq = Īqq!. (2.91)
Por lo tanto la función de densidad de probabilidad para la intensidad se
puede escribir como
PI(I) =
1
Ī
exp(−I/Ī). (2.92)
Cuando un patrón de Speckle tiene una distribución de densidad de probabili-
dad como la que se acaba de presentar, se le conoce como Speckle totalmente
desarrollado. Para este tipo de distribuciones, que más adelante retomare-
mos y pondremos gran énfasis, su segundo momento, varianza y desviación
estándar son las siguientes
I2 = 2Ī2,
σ2I = Ī
2,
σI = Ī .
(2.93)
La figura 2.5 muestra la distribución de la función de densidad de proba-
bilidad de la intensidad de la Ec. 2.92, donde es claro ver, que la distribución
es una exponencial negativa.
Una importante caracteŕıstica para el estudio del patrón de Speckle y que
es parte de los resultados medidos bajo esta definición, para cada uno de
los patrones adquiridos en el laboratorio es el Contraste óptico que se define
como
C =
σI
Ī
. (2.94)
Otra cantidad importante que se utiliza para caracterizar el Speckle y recae
en estudios de aplicación es la Señal a ruido que se define como
S/N = 1/C =
Ī
σI
. (2.95)
El contraste óptico es la cantidad que mide que tan grande son las fluctuacio-
nes de intensidad sobre un patrón de Speckle, comparadas con la intensidad
media. La señal a ruido es la cantidad inversa del contraste óptico, que mide
que tan intenso o fuerte es el valor de la intensidad media Ī con respecto a
46 Caṕıtulo 2. Campos ópticos con speckle
0 2 4 6 8 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
I /Ī
Ī
P
I
(I
/
Ī
)
Figura 2.5: Función de densidad de probabilidad de un patrón de Speckle
totalmente desarrollado
la intensidad de los valores fluctuantes del patrón.
Para el caso de Speckle totalmente desarrollado, tomando los resultados de
la Ec. 2.93, los valores del contraste y de la señal a ruido son
C = 1,
S/N = 1.
(2.96)
Por lo tanto, dado un valor promedio de intensidad sobre el patrón de Spec-
kle, los valores de intensidad fluctuarán alrededor de este mismo con una
dispersión de la misma magnitud i.e. si el valor promedio en escala de grises
esta a la mitad Ī = 127.5 entonces existen valores de intensidad de I = 0 e
I = 255.
2.5. Suma finita de fasores aleatorios con amplitudes iguales 47
2.5. Suma finita de fasores aleatorios con am-
plitudes iguales
Nuevamente, dado que nuestro interés es presentar un estudio teórico del
patrón de Speckle generado en el laboratorio, en esta sección se exhiben las
propiedades estad́ısticas de una suma de fasores aleatorios finita con una
distribución homogénea de fases aleatorias distribuidas uniformemente sobre
el intervalo de (−π, π), a diferencia del caso anterior, ahora se muestran las
propiedades para el caso de la intensidad y no para la amplitud.
Como ya conocemos la función de densidad de probabilidad para la am-
plitud de una suma finita de fasores aleatorios con amplitudes iguales, que se
desarrolló en la sección 2.2.2 y que se expresa como se muestra en la Ec. 2.74.
Utilizando la relación que gobierna el cambio de una función de densidad de
probabilidad, obtenemos que para la intensidad, la función de densidad de
probabilidad para un número finito de fasores N es de la forma
PI(I) = 2π
2
∫ ∞
0
ρJN0
(
2πaρ√
N
)
J0(2π
√
Iρ)dρ, (2.97)
donde a/
√
N es la amplitud de cualquiera de los fasores que contribuyen a
la suma. La figura 2.6 muestra las diferentes distribuciones de la función de
densidad de probabilidad de la intensidad para diferentes valores de N. Bajo
el supuesto de que a = 1, nótese que para el caso en que N = 1 la distri-
bución se comporta como una delta, pues la distribución de la intensidad
debe ser unitaria. Para el caso en que N =∞ la distribución de densidad de
probabilidad tiende a una exponencial negativa, que caracteriza a un patrón
de Speckle totalmente desarrollado.
Como se ha hecho anteriormente, las siguientes propiedades que nos in-
teresa exponer son el primer y segundo momento, a diferencia de la forma en
como se llegó a la solución de los primeros momentos, a partir de la función
de densidad de probabilidad de la amplitud en la Ec. 2.74. Los primeros mo-
mentos se pueden obtener de forma anaĺıtica utilizando la Ec. 2.6, el valor
promedio de la intensidad resultante E[I] 11 se expresa como
11Donde el valor promedio de una variable aleatoria Z puede representarse de la siguiente
manera E[]
48 Caṕıtulo 2. Campos ópticos con speckle
Figura 2.6: Funciones de densidad de probabilidad de intensidad para N =
1, 2, 3, 4, 5 e ∞ de fasores aleatorios cada uno con una amplitud de 1/
√
N
Imagen tomada de [Goodman, 2007, pág. 36]
2.5. Suma finita de fasores aleatorios con amplitudes iguales 49
〈I〉 = 1
N
E
[∣∣∣∣∣
N∑
n=1
ane
iφn
∣∣∣∣∣
2]
=
a2
N
N∑
n=1
N∑
m=1
E[ei(φn−φm)] = a2, (2.98)
donde hemos asumido que an = am = a y que las fases φn y φm están uni-
formemente distribuidas sobre (−π, π) y estad́ısticamente no correlacionados
para n 6= m. El segundo momento para la intensidad es de la forma
E[I2] =
a4
N2
N∑
n=1
N∑
m=1
N∑
p=1
N∑
q=1
E
[
ei(φn−φm−φp+φq)
]
. (2.99)
Esta solución es debida a la distribución homogénea de las fases y de la ausen-
cia de correlación, sólo los términos que cumplen las siguientes suposiciones,
sobreviven al hacer el promedio
N términos para n = m = p = q, cada uno con magnitud a4/N2
N(N − 1) términos para n = m, p = q, n 6= p, cada uno con magnitud a4/N2
N(N − 1) términos para n = p, m = q, n 6= m, cada uno con magnitud a4/N2
(2.100)
El segundo momento queda de la forma
E[I2] =
a4
N2
[N + 2N(N − 1)] =
(
2− 1
N
)
a4. (2.101)
De manera que la varianza del patrón de Speckle resulta ser
σ2I = E[I
2]− E[I]2 =
(
1− 1
N
)
a4. (2.102)
Por lo tanto dado los resultados anteriores, el contraste y la señal a ruido
para este caso se expresan como
C = σI
Ī
=
√
1− 1
N
,
S
N
= Ī
σI
=
√
N
N−1 .
(2.103)
50 Caṕıtulo 2. Campos ópticos con speckle
0 2 4 6 8 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
N
C
Figura 2.7: Contraste del patrón de Speckle como función del número de
elementos que contribuyen a la suma
En la figura 2.7 se muestra la gráfica que evalúa el contraste C contra el
número de fasores contribuyentes N, note que cuando N = 1 el contraste es
cero, lo que significa que no existen fluctuaciones en el patrón de intensidad.
Cuando N → ∞, el contraste asintóticamente tiende a uno, que es el resul-
tado de una contribución con un número infinito de fasores independientes.
En esta sección se concluye el estudio estad́ıstico de primer orden para la
intensidad de una suma de fasores infinitos y finitos, que como ya se mostró,
la función de densidad de probabilidad para el caso infinito es una función
exponencial negativa, donde la probabilidad más alta para la intensidad es
para los valores en cero, i.e. para algún punto sobre el patrón de Speckle, lo
más probable es que ese punto tenga valores cercanos al cero, osea un punto
oscuro.
Por otraparte, la primera aproximación hacia las distribuciones de densidad
de probabilidad de la intensidad de un patrón de Speckle nos sugiere que:
si tenemos el suficiente número de fasores aleatorios, en principio podemos
siempre obtener una densidad de probabilidad para la intensidad como una
2.6. Ceros de intensidad sobre el patrón de Speckle: Vórtices ópticos 51
exponencial negativa, sin embargo esta deducción aunque es correcta no será
para todos los casos, es decir, aún falta estudiar las propiedades estad́ısticas
de grados más altos para una región (plano) finita y algo muy importante
que es lo que se discutirá en el próximo caṕıtulo es: ¿Sobre qué plano se estu-
dia este patrón?, esta pregunta da pauta a introducir un análisis matemático
que envuelve y aterriza estos conceptos que se acaban de presentar y que
están dirigidos hacia el estudio estad́ıstico de un patrón de Speckle sobre una
región finita en un plano conjugado.
2.6. Ceros de intensidad sobre el patrón de
Speckle: Vórtices ópticos
Como última propiedad del patrón de Speckle que estudiaremos en este
trabajo es la formación y presencia de vórtices ópticos.
Ahora ya conocido el patrón de Speckle bien desarrollado, la función de
densidad de probabilidad (PDF) que lo describe, es la función como expo-
nencial negativa. Esta se caracteriza por tener el valor de cero intensidad con
la mayor probabilidad. Sin embargo para el resto de los valores de intensi-
dad conforme el valor aumenta la probabilidad disminuye como exponencial
negativa. Como consecuencia los valores de intensidad altos presentan una
nula o casi nula probabilidad sobre el patrón.
La ocurrencia del valor cero de intensidad sobre el patrón de Speckle puede
ocurrir, y en efecto ocurre. Este evento presente en el Speckle se le conoce
cómo singularidades ópticas, o dislocaciones en el frente de onda o vórtice
óptico. Alrededor de estas singularidades de fase, el campo es proporcional
a exp(ilφ), o puesto en palabras, la fase vaŕıa de forma acimutal generando
aśı un vórtice óptico. Generalmente a los vórtices ópticos se les asocia con
momento angular, estos comunmente sobre los patrones de Speckle presentan
cargas topológicas ±1, sin embargo se ha observado de manera muy poco fre-
cuenta la presencia de vórtices ópticos sobre un Speckle con cargas toplógicas
mayores. Como caso contrario a los vórtices ópticos en haces Gauss-Laguerre,
los vórtices sobre el patrón de Speckle son anisotrópicos, lo cual quiere de-
cir que las fase sobre el campo no incrementan linearmente con el ángulo
acimutal alrededor de la singularidad [Berkhout and Beijersbergen, 2010].
52 Caṕıtulo 2. Campos ópticos con speckle
La intensidad del Speckle está relacionada a las componentes real R e
imaginaria I de la siguiente manera
I = R2 + I2. (2.104)
Para un Speckle bien desarrollado, la parte real e imaginaria del campo
sobre un punto dado, están distribuidas de manera idéntica, pues son varia-
bles Gaussianas aleatorias con un valor medio igual a cero y estad́ısticamente
independientes. Para que el cero de intensidad ocurra, ambas partes real e
imaginaria tienen que valer cero en el mismo punto en el espacio.
Figura 2.8: (a) Patrón de Speckle generado de manera computacional y (b)
contornos de la parte real e imaginaria con valores igual a cero de dicho
campo. Los valores de cero intensidad están indicados con un ćırculo. Imagen
tomada de [Goodman, 2007, pág.134]
Para ilustrar el proceso por el cual existen estas zonas de cero intensidad
2.6. Ceros de intensidad sobre el patrón de Speckle: Vórtices ópticos 53
véase la figura 2.8(a), donde se muestra un patrón de Speckle generado de
manera computacional (a) y en 2.8(b) se muestran los valores de la parte real
(ĺınea sólida) e imaginaria (ĺınea punteada) igual a cero en dicho campo. Cada
intersección se muestra con un ćırculo en la figura. Sobre el centro de estos
ćırculos se encuentra los puntos de cero intensidad. Como se puede observar
en ambas figuras el número de de ceros, es comparable con el número de
puntos brillantes.
Caṕıtulo 3
Propagación de un patrón de
Speckle a través de un sistema
4f
Bajo los antecedentes teóricos y conceptuales ya mencionados, es mo-
mento de describir de manera formal el trabajo que se realizó tanto en su
forma experimental como el método utilizado para simular los patrones de
Speckle. Es importante recordar que el estudio principal de estos patrones
se basa en cuatro principales caracteŕısticas: conocer la función de densidad
de probabilidad de la intensidad sobre un área, contraste óptico, tamaño de
grano o función de correlación y densidad de vórtices para todos los patrones
generados de Speckle. Hasta ahora los desarrollos matemáticos anteriormente
expuestos no han tratado el plano espećıfico de estudio, que es, sobre el plano
conjugado con respecto a una superficie rugosa. En este trabajo, la superficie
rugosa la emularemos con un modulador espacial de fase (SLM por sus siglas
en ingles ). En la figura 3.1 se muestra un esquema general del SLM.
Esta información servirá como gúıa al lector para entender la manera y el
porqué de cómo se hizo el arreglo experimental y la necesidad de poder gene-
rar un patrón de Speckle en la computadora con las mismas caracteŕısticas.
55
56 Caṕıtulo 3. Propagación de un Speckle a través de un sistema 4f
Figura 3.1: Modulador espacial refractivo SLM
3.1. Experimento
Dado que el propósito es estudiar los patrones aleatorios de luz, es in-
dispensable para un estudio cient́ıfico poder tener a disposición maneras de
reproducir de la misma forma las condiciones iniciales del experimento a rea-
lizar y las variables de estudio con el mayor control posible. Si en nuestro
trabajo, como ya se mencionó, el principal elemento para generar el patrón
de Speckle es una superficie rugosa, esta debe tener como caracteŕıstica, que
al menos cada elemento de su superficie este orientado de manera aleatoria.
Entonces ¿cómo poder estudiar un patrón aleatorio de luz con caracteŕısticas
reproducibles y poder generar cambios en la superficie de manera controla-
da?. Una superficie con estas caracteŕısticas es un modulador espacial de fase
o SLM
El nombre completo del dispositivo es LCOS-SLM que significa modula-
dor espacial de luz de cristal ĺıquido sobre silicón. Este es un modulador de
fase de reflexión, donde el cristal ĺıquido puede controlarse de manera precisa
y lineal con un cambio en el voltaje del electrodo correspondiente, ubicado
3.1. Experimento 57
al fondo del cristal como lo muestra la figura 3.2. Al ser modificado, la luz
que se refleja sobre el cristal cambia de fase localmente según sea la orienta-
ción del cristal ĺıquido. Este cambio es debido a la birrefringencia del cristal
que dependiendo de la orientación, presenta un ı́ndice de refracción diferente
provocando un retraso o adelanto en la fase según sea el caso. Sin embargo
ni la amplitud ni la polarización son afectados por este dispositivo. Para el
tipo de moduladores de la serie X10468 de la marca Hamamatsu, es posible
controlarlo por medio de la computadora, utilizando una interface digital de
video (DVI). Las perturbaciones del chip LCOS tales como las distorsiones
en el frente de onda producidas por cada pixel y las respuestas no lineales
debidas al cristal ĺıquido, son eficientemente compensadas por el controlador.
El modulador espacial de luz (SLM) tipo X10468-04, consta de un pantalla
de cristal ĺıquido de 12 mm x 18 mm y se conforma por un total de 600
x 800 pixeles de igual tamaño, de 20µm de lado. El lenguaje que se utiliza
para modificar la orientación de los cristales, es por medio de una escala de
grises que va del cero al 255, de los 256 tonos de gris, que corresponden a un
valor de fase distinto que va del 0 a un valor mayor a 2π. La relación entre la
escala de grises y la fase es lineal. En nuestro caso el valor de 2π corresponde
a 208. Este modelo está