Estudio-sobre-la-transferencia-de-calor-en-flujos-oscilatorios

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA 
 DE MÉXICO 
 
 FACULTAD DE CIENCIAS 
 
 
ESTUDIO SOBRE LA TRANSFERENCIA 
DE CALOR EN FLUJOS OSCILATORIOS 
 
 
 
 
 
T E S I S 
 
 
 
 QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE: 
 F Í S I C O 
 
 
 
 P R E S E N T A : 
 SEBASTIÁN CELIS LÓPEZ 
 
 
 
 
 
DIRECTOR DE TESIS: 
DR. JESÚS ANTONIO DEL RÍO PORTILLA 
2011 
 
 
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
Tesis Digitales 
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1.Datos del alumno 
Celis 
López 
Sebastián 
+52 55 5615 3925 
Universidad Nacional Autónoma de México 
Facultad de Ciencias 
Física 
404005528 
 
2. Datos del Tutor 
Dr. 
Del Río 
Portilla 
Jesús Antonio 
 
3. Datos del sinodal 1 
Dr. 
Rodríguez 
Zepeda 
Rosalío Fernando 
 
4. Datos del sinodal 2 
Dr. 
López 
De Haro 
Mariano 
 
5. Datos del sinodal 4 
Dr. 
Málaga 
Iguiñiz 
Carlos 
 
6. Datos del sinodal 5 
Dr. 
Mandujano 
Sánchez 
Francisco Javier 
 
7. Datos de la tesis 
Estudio Sobre la Transferencia de Calor en Flujos Oscilatorios 
70 p. 
2011 
Índice general
1. Introducción 10
2. Flujo de calor en un cilindro con fluido bajo régimen oscilatorio 13
2.1. Transferencia de calor axial en un flujo oscilatorio . . . . . . . . . . . . 13
2.2. Ecuaciones de conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3. Flujo Maxwelliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4. Conservación de enerǵıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.1. Expresión de g(r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4.2. Difusividad Térmica Efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3. Bitácora experimental 28
3.1. Dispositivo de Lambert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2. Modificación al experimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.1. Primera modificación: reducción de frecuencia y calentamiento
eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3. Segunda modificación: calentamiento directo . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4. Dispositivo final: paredes aislantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4.1. Tubos de PVC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4.2. Dispositivo para la generación de un gradiente de presión . . . . 40
3.4.3. Medición de Temperaturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4.4. Cálculo de la frecuencia de oscilación . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4.5. Amplitud de Oscilación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4.6. Última modificación al dispositivo . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4.7. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4. Análisis y resultados 51
4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2. Desplazamiento de Marea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.3. Diseño de Futuros Experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1
5. Modelo de Cattaneo-Vernotte 60
5.0.1. Perfil de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.0.2. Difusividad Térmica Efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6. Conclusiones 64
2
Índice de figuras
2.1. Gráfica de g(r) contra r (m), con r de 0 a 0.01 m de acuerdo a las dimen-
siones de nuestro experimento y con tm = 0 para un fluido newtoniano.
La ĺınea sólida es con ω = 300Hz, la ĺınea rayada es para ω = 350Hz y
la ĺınea punteada es para ω = 400Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2. Gráfica de g(r) contra r (m), con r de 0 a 1 cm y con ω = 300Hz. La
ĺınea sólida es con tm = 0, para un fluido newtoniano, la ĺınea rayada
es para tm = 0.01s, para un fluido ligeramente maxwelliano, y la ĺınea
punteada es para tm = 0.1s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3. Gráfica de g(ω) contra ω (Hz) para un fluido newtoniano, con ω de 0
a 100 Hz y r = 0. La ĺınea sólida con a = 0.01 m, la ĺınea rayada con
a = 0.015 m y la ĺınea punteada con a = 0.006 m. . . . . . . . . . . . . 23
2.4. Gráfica de g(ω) contra ω (Hz) con el parámetro a = 0.01 m en r = 0.005m
y con ω de 0 a 100 Hz. La ĺınea sólida con tm = 0 s, para un fluido
newtoniano, la ĺınea rayada con tm = 0.06 s y la ĺınea punteada con
tm = 0.17 s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5. Se muestra la difusividad efectiva, αe, contra el número de Womersley,
Wo, usando los parámetros caracteŕısticos del agua . . . . . . . . . . . 26
2.6. Se muestra la difusividad efectiva, αe, contra el número de Womersley,
Wo, con los parámetros de un fluido viscoelástico . . . . . . . . . . . . 27
3.1. Dispositivo de Lambert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2. Esquema del tubo 1 del Dispositivo de Lambert. El tubo 2 sólo variaba
en que en vez de la camisa de pistón teńıa un tapón de cobre. . . . . . 30
3.3. Motor haciendo oscilar al pistón dentro de la camisa mediante la junta
con una biela excéntrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4. Reductor de frecuencias acoplado al motor y al pistón. . . . . . . . . . 33
3.5. Fotograf́ıa de las resistencias de cafetera pegadas a cada tubo con ce-
mento térmico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.6. Esquema del dispositivo de tubos de cobre. . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3
3.7. Gráfica de la variación temperatura (T − T0) contra el tiempo en el
tubo 1 (Termopares 1, 5 y 9) y el tubo 2 (Termopares 11, 15 y 19). La
temperatura fue normalizada con la temperatura inicial para la mejor
comparación de una toma de medidas y otra. Se utilizó ω = 0.0109 Hz. 36
3.8. Esquema y fotograf́ıa de la modificación al codo en “L” con la resistencia
dentro y el cubierto con el aislante térmico. . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.9. Última modificación de la distribución de termopares en los tubos de cobre. 37
3.10. Gráfica de la variación temperatura (T − T0) contra el tiempo en el
tubo 1 (Termopares 1, 5 y 8) y el tubo 2 (Termopares 11, 15 y 18). La
temperatura fue normalizada con la temperatura inicial para la mejor
comparación de una toma de medidas y otra. Se utilizó ω = 0.00557 Hz. 39
3.11. Pasamuros para colocar los termopares sin tener fugas de agua. . . . . 42
3.12. Distribución te pasamuros y termopares en el dispositivo con tubos de
PVC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.13. Estratifiación de las temperaturas en el codo en “L” de los tubos de PVC.
El color rojo representa las temperaturas mayores y el azul las menores. 45
3.14. Terminación en “T” de los tubos de PVC. . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.15. Dispositivo Experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.16. Gráfica de la temperatura contra el tiempo en el tubo 1 (Termopares 1,
5 y 9) y el tubo 2 (Termopares 11, 15 y 19) con ω = 0.00557 Hz. . . . . 49
3.17. Gráfica del tiempo de llegada de la señal térmica contra la distancia a la
fuente de calor de los termopares 1-9 (tubo 1) y 11-19 (tubo 2). . . . . 49
3.18. Gráfica del cambio de temperatura ∆T = Tf inal − Tinicial contra la
distancia a la fuente de calor de los termopares 1-9 (tubo 1) y 11-19
(tubo 2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 50
4.1. Difusividad térmica efectiva, αe, en el ĺımite newtoniano (De = 0) y
normalizada por ω(∆x)2 , como función del número de Womersley, Wo,
para distintos números de Prandtl: Pr = 2 (ĺınea punteada); Pr = 10,
caracteŕıstico del agua (ĺınea sólida); Pr = 100 (ĺınea rayada). . . . . . 54
4.2. Difusividad térmica efectiva, αe, normalizada por ω(∆x)
2 como función
del número de Womersley, Wo, para número de Prandtl: Pr = 10, en el
ĺımite newtoniano con De = 0 (lńea punteada) y en el ĺımite Maxwelliano
De = 1 (ĺınea slida) y De = 0.1 (ĺınea rayada). . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3. Difusividad térmica efectiva, αe normalizada por x(∆x)
2, como función
del número de Womersley, Wo, para el fluido de Boger PIB/PB/C14
(Pr = 54000, De = 20.67). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4
5.1. Gráfica de αe contra ω para un fluido newtoniano en un tubo de radio
a = 0.04m y con tiempo de Cattaneo cero (ĺınea sólida) y con productos
ωtq = 0.001 (ĺınea rayada), ωtq = 0.01 (ĺınea punto-rayada) y ωtq = 0.1
(ĺınea punteada). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5
Lista de Śımbolos
Śımbolos Latinos
a radio del tubo, m
A área de la sección transversal del tubo, m2
c calor espećıfico, J kg−1 K−1
De número de Deborah, tmη/a
2ρ
Hx proporción de flujos de calor
J0 función cilńdrica de Bessel de orden cero
J1 función cilńdrica de Bessel de primer orden
k conductividad térmica del fluido, W m−1 K−1
L longitud caracteŕıstica, longitud del tubo, m
p presión, N m−2
Pr número de Prandtl, η/ρα
Pe número de Péclet, voa/α
q”m flujo molecular de calor
q”o flujo de calor bajo flujo oscilatorio
r coordenada radial, m
t tiempo, s
tm tiempo de relajación del fluido maxwelliano, s
tq tiempo de relajación del fluido de Cattaneo, s
T temperatura del fluido, K
v vector de velocidad del fluido, m s−1
v componente axial de la velocidad del fluido, m s−1
Wi número de Weissenberg, ωtm
Wo número de Womersley, a
√
ρω/η
x coordenada axial, m
∆x desplazamiento de marea, m
6
Śımbolos Griegos
α difusividad térmica del fluido, m2 s−1
αe difusividad térmica efectiva, m
2 s−1
α̂e difusividad térmica efectiva adimensional, αe/α
βv parámetro de frecuencia de la ecuación diferencial de Bessel para la velocidad
βT parámetro de frecuencia de la ecuación diferencial de Bessel para la temperatura
γ gradiente axial de temperatura promedio en el tiempo, K m−1
η viscosidad dinámica, kg m−1 s−1
ρ densidad de masa, kg m−3
τ̃ tensor de deformaciones viscosas, kg m−1 s−2
ω frecuencia angular, Hz
Λ relación entre la función g(r) de un fluido maxwelliano y uno de Cattaneo, α
1−iωtq
7
Agradecimientos
Agradezco de todo corazón al Dr. Jesús Antonio del Rı́o Portilla; tutor, maestro y
amigo.
También agradezco ampliamente a los investigadores del Centro de Investigación en
Enerǵıa (UNAM) que apoyaron este proyecto y me brindaron su tiempo, sus conocimien-
tos y su equipo tan generosamente. En particular agradezco al Dr. Sergio Cuevas Garćıa,
al Dr. Mariano López de Haro, al Dr. Oscar Alfredo Jaramillo Salgado, al Dr. Carlos
Alberto Pérez Rábago, al Mtro. Fernando Sosa Montemayor y al Dr. Miguel Robles
Pérez.
Además agradezco a los sinodales, el Dr. Rosaĺıo Fernando Rodŕıguez Zepeda, el
Dr. Mariano López de Haro, el Dr. Carlos Málaga Iguiñiz y el Dr. Francisco Javier
Mandujano Sánchez, por sus valiosas aportaciones a este trabajo.
Finalmentente quisiera agradecer al CONACyT por el apoyo que me otorgó medi-
ante el est́ımulo económico para ayudantes de investigadores SNI nivel III, con número
8547-5698. También fui beneficirio del programa Becanet Superior de la SEP con
número de convenio DIE 01814970. Este proyecto contó con el apoyo del CONACyT
DGAPA-IN106210.
8
A mi papá.
9
Caṕıtulo 1
Introducción
La optimización de la transferencia de calor en fluidos juega un papel muy impor-
tante en la actualidad en el diseño de aparatos tales como intercambiadores de calor y
módulos de enfriamiento [4]. Recientemente se ha vuelto una parte básica en lo referente
a la extracción de calor de algunos componentes eléctricos como chips y otros aparatos
similares y en aplicaciones de nanofluidos [5, 6].
Es sabido que la dispersión axial de contaminantes en flujos laminares a través
de tubos capilares bajo condiciones de ambos flujos estacionario [3] y oscilatorio [7, 8]
es considerablemente mayor que en la ausencia de flujo. El transporte mejorado es
producido por la interacción del perfil axial de velocidad dependiente del radio y del
perfil de concentracion variable dependiente del radio correspondiente y puede llevar
a coeficientes de dispersión axial efectiva órdenes de magnitud mayores que el calor
correspondiente del coeficiente de difusión molecular.
Entre los distintos métodos de optimización de transferencia de calor, los flujos
oscilatorios requiren una mención especial. Distintos procesos de transferencia pueden
ser mejorados con un flujo oscilatorio, tales como la dispersión de contaminantes o
la permeabilidad dinámica [7, 8]. El incremento en la transferencia de calor se puede
obtener bajo ciertas condiciones, en particular, a una frecuencia de oscilación espećıfica.
Este comportamiento resonante fue predicho teóricamente, y más tarde corroborado
experimentalmente. Kurzweg [15] encontró, al hacer una analoǵıa entre masa y calor,
que en un flujo newtoniano oscilatorio sin transferencia neta de masa en un ducto que
conecta dos reservorios a temperaturas distintas, la difusividad térmica efectiva alcanza
un máximo para una frecuencia de oscilación espećıfica. Con esto se puede tener una
transferencia longitudinal de calor más eficiente que no requiere una transferencia neta
de masa mientras el flujo permanezca laminar.
Existen algunos experimentos que muestran distintas condiciones para este mismo
fenómeno, como el de Kurzweg y Zao [11] para un conjunto de tubos capilares usando un
flujo de agua a altas frecuencias, o el de Yakhot y Colosqui [19] en el que analizan el flujo
en una placa infinita. Sin embargo, aún faltan resultados experimentales para corroborar
10
la teoŕıa y entender las limitaciones de las consideraciones teóricas. A. A. Lambert [23]
realizó un experimento para un tubo ciĺındrico en el que se haćıa oscilar agua a bajas
frecuencias. Sus resultados fueron muy prometedores ya que, aunque su dispositivo
no alcanzó las frecuencias para las cuales el incremento en la transferencia de calor era
máximo, parece observarse una ligera mejora. Ésta es la base para nuestro experimento.
La idea será modificar al dispositivo de tal forma que se logren alcanzar las frecuencias
óptimas para la maximización del fenómeno y con esto lograr un incremento apreciable
en la transferencia de calor en el flujo oscilatorio con respecto a la transferencia en la
ausencia de flujo.
Por otro lado, la conductividad térmica efectiva se puede derivar expĺıcitamente
en formulaciones matemáticas análogas al bien conocido modelo de Jeffreys [8] para
fuerzas de esfuerzo en los ĺıquidos. A partir de una ecuación de flujo de calor del tipo
de Jeffreys se puede llegar a la ecuación de difusión de calor usando la ley de Fourier.
Aunque esta ecuación es la más sencilla de las de su tipo, la ecuación de difusión de
Fourier tiene la propiedad no f́ısica de que si hay un cambio en la temperatura en
cualquier parte de un cuerpo, ésta se va a sentir instantáneamente en todas partes
con amplitudes exponencialmente pequeñas en puntos lejanos. Dicho de otra forma,
la ecuación de difusión implica velocidades de propagación infinitas [12]. La ley de
Fourier es sólo una descripción aproximada del proceso de conducción. Ésta desprecia
el tiempo necesario para considerar la aceleración del flujo de calor, conocida como
inercia térmica. En la mayoŕıa de los casos, esta hipótesis ayuda a mantener las cosas
simples y no afecta esencialmente elproblema. La ecuación de Cattaneo, por otro lado,
incluye la historia del gradiente de temperaturas aunque toma en cuenta un solo tiempo
de relajación, cuando en realidad un conductor de calor tiene más de uno. Aunque es
posible promediar los tiempos de relajación, es importante determinar la descripción
más apropiada para nuestro caso. Aśı, otra pregunta que abordaremos es qué pasa con
la difusividad efectiva si se considera que el transporte de calor en el fluido se puede
describir con la ecuación de Cattaneo. Comenzaremos usando la teoŕıa de Kurzweg
para la descripción teórica de la trasferencia del calor utilizando la ley de Fourier. Más
adelante elaboraremos también los cálculos utilizando la ecuación de Cattaneo que no
se ha usado antes para describir nuestro problema.
En el Centro de Investigación en Enerǵıa (UNAM) se encuentra un grupo de trabajo
que trabaja con nanofluidos y con flujos oscilatorios. Este grupo incluye al Dr. Jesús
Antonio del Rı́o Portilla, al Dr. Mariano López de Haro, al Dr. Sergio Cuevas. También
cabe mencionar que parte del trabajo experimental lo realizé en conjunto con Sebastián
Rafael Pérez Becker, quien a su vez realizó su trabajo de Tesis profesional con dicho
trabajo titulado “Flujos oscilatorios en el manejo de la enerǵıa solar”.
El presente trabajo está organizado en tres caṕıtulos. El primero incluye la teoŕıa
desarrollada en torno al flujo de calor en un cilindro con fluido bajo régimen oscilatorio.
En dicho caṕıtulo partimos de las ecuaciones de conservación hasta llegar a una expre-
sión anaĺıtica para la difusividad térmica efectiva. En el siguiente caṕıtulo se presenta la
11
bitácora experimental. Ah́ı se presentan los antecedentes experimentales para nuestro
experimento y las modificaciones que fuimos realizando hasta llegar a nuestro dispositivo
final. Se muestran los resultados experimentales y se plantean explicaciones para ellos.
Finalmente, en el tercer caṕıtulo se hace un análisis de los resultados obtenidos. Por un
lado, se profundiza en el entendimiento de los datos que arrojó nuestro experimento y
por otro se explica con base en la teoŕıa por qué no fue posible observar claramente el
fenómeno buscado. Además se hace un análisis numérico basado en las nuevas hipótesis
propuestas y se plantea una variación al marco teórico para este problema.
12
Caṕıtulo 2
Flujo de calor en un cilindro con
fluido bajo régimen oscilatorio
En este caṕıtulo planteamos el desarrollo matemático de la transferencia de calor en
un fluido que oscila dentro de un tubo de sección transversal constante. Nos basamos
en los trabajos de Kurzweg [15] de la difusión mejorada y con el análisis de del Rı́o et
al. [9], en los que se predice que la transferencia de calor axial es más eficiente si el flujo
es oscilatorio. Presentamos el desarrollo para un fluido viscoelástico (maxwelliano) y
para uno newtoniano.
2.1. Transferencia de calor axial en un flujo oscila-
torio
El problema matemático equivale a la transferencia de calor de un fluido con un gra-
diente de presiones oscilante en un tubo ciĺındrico con paredes adiabáticas. Deseamos
escribir las ecuaciones de los perfiles de velocidad y temperatura para aśı encontrar una
expresión para la difusividad térmica efectiva, que sea comparable a una difusividad
térmica molecular mejorada gracias al flujo oscilatorio.
Consideramos un flujo laminar incompresible en un tubo ciĺındrico, de radio a y lon-
gitud L. El movimiento oscilatorio del fluido de trabajo se lleva a cabo con un gradiente
de presiones aplicado en la dirección longitudinal x. Suponemos que los extremos del
tubo están conectados a reservorios térmicos con temperatura constante pero diferente,
esto es, T (x = 0) = T1 y T (x = L) = T2, donde T1 > T2. Más aún, suponemos que la
pared del tubo es adiabática y que el calor sólo puede ser transferido en la dirección x.
También despreciamos los efectos de borde, usamos la condición de no deslizamiento en
13
las paredes y suponemos que existe simetŕıa ciĺındrica. A partir de estas consideraciones,
podemos escribir las ecuaciones de conservación que describen nuestro problema.
2.2. Ecuaciones de conservación
Comenzamos este análisis con las ecuaciones de conservación, explicitamente, la
ecuación de conservación de masa de un flujo incompresible
∇ · v = 0, (2.1)
la ecuación de conservación de cantidad de movimiento
ρ
∂v
∂t
+ ρ(v · ∇)v = −∇p−∇ · τ̃ , (2.2)
y la ecuación de conservación de enerǵıa
ρcp
(
∂T
∂t
+ v · ∇T
)
= k∇2T. (2.3)
Donde v = v(r, t) es el campo de velocidades del fluido, ρ es la densidad de masa, p(r, t)
es la presión, τ̃ (r, t) es tensor de esfuerzos viscosos, T (r, t) es la temperatura, c es el
calor espećıfico y k la conductividad térmica. En la ec. (2.3) el término de calentamieto
viscoso ha sido despreciado ya que sólo es importante al utilizar fluidos con número
de Prandtl grandes, como en los aceites viscosos. Esto hace que la ecuación sea la de
difusión de Fourier.
De hecho, las diferencias de temperatura t́ıpicas producidas por disipación viscosa
son ∆T = Pr(ω∆x)2/c [16], donde Pr = η/ρα es el número de Prandtl, un parámetro
adimensional que expresa el radio entre la viscosidad cinemática y la difusividad térmi-
ca. Entonces, el calentamiento viscoso no va a ser importante dado que ∆T será menor
que el gradiente t́ıpico T1 − T2.
Además tenemos una ecuación que relaciona al tensor de esfuerzos viscosos con el
gradiente de la velocidad, dependiendo del tipo de fluido. Dada la simetŕıa de nuestro
problema, tenemos que en un fluido newtoniano
τ̃ = −η∇v, (2.4)
y en un fluido maxwelliano
tm
∂τ̃
∂t
= −η∇v − τ̃ , (2.5)
donde η es la viscosidad dinámica y tm es el tiempo de relajación.
Vemos que la ecuación para el flujo Maxwelliano se reduce a la del flujo Newtoniano
con tm = 0, es decir, con un tiempo de relajación igual a cero, que implica que el fluido
no es elástico. Entonces, resolveremos las ecuaciones para el flujo Maxwelliano y, de esa
forma tendremos también la solución para el flujo Newtoniano al poner tm = 0.
14
2.3. Flujo Maxwelliano
Resolvamos el problema del campo de velocidades en el tubo de la manera en que
lo hicieron Lambert y del Rı́o [9, 23]. Debido a la simetŕıa ciĺındrica y a que el flujo es
unidireccional, tenemos que (v · ∇)v = 0 entonces al derivar la ec. (2.2) con respecto
al tiempo y sin el término no lineal obtenemos
ρ
∂2v
∂t2
= −∂∇p
∂t
−∇ · ∂τ̃
∂t
. (2.6)
Ahora, para la ecuación constitutiva de un fluido maxweliano tomamos la divergencia
de la ec. (2.5)
∇ · ∂τ̃
∂t
= − η
tm
∇2v −∇ · τ̃ . (2.7)
Combinamos las ecuaciones 2.6 y 2.7 y obtenemos
ρtm
∂2v
∂t2
= −tm ∂∇p
∂t
+ η∇2v +∇ · τ̃ . (2.8)
Despejamos ∇ · τ̃ de la ec. (2.2) y sin el término no lineal sustituimos en la ec. (2.8) y
vemos que
tmρ
∂2v
∂t2
+ ρ
∂v
∂t
= −tm ∂∇p
∂t
−∇p + η∇2v. (2.9)
En nuestro caso particular, ésta es la ecuación equivalente a la de Navier-Stokes para un
fluido Maxwelliano. Para resolver esta ecuación, tomamos la transformada de Fourier
definida como
V̂ (r, ω) =
1√
2π
∞∫
0
v(r, t)e−iωtdt.
Aplicamos la transformada de Fourier a la ec. (2.9) y usamos la propiedad F [ d
dt
f(t)] =
iωF̂ (ω) y vemos que
−tmρω2V̂ + iρωV̂ − itmω∇P̂ −∇P̂ + η∇2V̂ ,
reacomodamos
−ρ(tmω2 − iω)V̂ = −(1 + iωtm)∇P̂ + η∇2V̂ , (2.10)
en coordenadas ciĺındricas, sabiendo que V̂ = V (r, ω)êx = V̂x el laplaciano está dado
por
∇2V̂ = ∂
2V̂x
∂r2
+
1
r
∂V̂
∂r
.
Sustituimos el laplaciano en coordenadas ciĺındricas en la ec. (2.10) y vemos que
∂2V̂
∂r2
+
1
r
∂V̂
∂r
ρ(tmω
2 + iω)
η
V̂ =
1 + itmω
η
∇P̂ . (2.11)
15
Sea βv ≡ ( ρηtm [(tmω)2 + itmω])1/2 entonces reescribimos la ec. (2.11) y nos queda
∂2V̂
∂r2
+
1
r
∂V̂
∂r
+ β2v V̂ =
1 + iωtm
η
∇P̂ . (2.12)
Sabemos que la solución a la ec. (2.12) es la solución de la ecuación homogénea más
una particular. Con el cambio de variable u = βvr ⇒ dudr = βv y ∂V̂∂r = dudr ∂V̂∂u = βv ∂V̂∂uvemos que la ecuación homogénea es
β2v
∂2V̂
∂r2
+
βv
r
(βv
∂V̂
∂r
) + β2v V̂ = 0,
que es una ecuación de Bessel de orden cero:
∂2V̂
∂r2
+
1
r
∂V̂
∂r
+ V̂ = 0,
cuya solución es V̂h = CJ0(u) + C1Y0(u) en donde u ≡ βvr y como V̂ (ω, 0) debe ser
finita, implica que C1 = 0.
Para la solución particular tomamos V̂ (ω, 0) =cte. en r y como ∇P sólo depende de x,
tomando ξ ≡ 1+iωtm
η
tenemos que
V̂p(r, ω) =
ξ
β2v
∇P̂ ,
∴ V̂ (r, ω) = CJ0(βvr) +
ξ
β2v
∇P̂ .
Al usar la condición de no deslizamiento V̂ (ω, a) = 0 vemos que
CJ0(βva) +
ξ
β2v
∇P̂ = 0,
⇒ C = −ξ∇P̂
β2vJ0(βva)
.
Entonces,
V̂ (r, ω) = − ξ
β2v
∇P̂
(
J0(βvr)
J0(βva)
− 1
)
,
∴ V̂ (r, ω) = 1 + iωtm
β2vη
(
1− J0(βvr)
J0(βva)
)
∇P̂ para 0 ≤ r ≤ a. (2.13)
Ya tenemos una expresión para el perfil de velocidades en el dominio de las frecuen-
cias. A partir de la expresión de la ecuación (2.13) podemos obtener una expresión
16
anaĺıtica para el campo de velocidades en el espacio de Fourier. En nuestro caso pode-
mos suponer que el gradiente de presiones tiene la forma de un oscilador armónico
simple: ∇P (t) = Pxe−iω0t, donde Px es la amplitud del gradiente de presiones y ω0 una
frecuencia angular constante.
Vemos que la transformada de Fourier del gradiente de presiones que escogimos es
∇P̂ (ω) =
√
2πPxδ(ω0 − ω), (2.14)
donde δ(ω0−ω) es la delta de Dirac. Ahora bien, sustituimos la ec. (2.14) en la expresión
para V̂ (r, ω).y aplicamos la transformada inversa
V (r, t) =
1√
2π
∞∫
0
V̂ (r, ω0)e
iωtdω
= Px
(
1− J0(βvr)
J0(βva)
) ∞∫
0
(
1 + iωtm
β2vη
)
δ(ω0 − ω)eiωtdω
Si utilizamos la propiedad de la delta de Dirac, la expresión anterior se reduce a
V (r, t) = Px
(
1− J0(βvr)
J0(βva)
)(
1 + iω0tm
β2vη
)
e−iω0t
y si llamamos Φ(ω0) =
1+iω0tm
β2vη
obtenemos la siguiente expresión anaĺıtica para el perfil
de velocidades en el espacio temporal
V (r, t) = Px
(
1− J0(βvr)
J0(βva)
)
Φ(ω0)e
−iω0t, (2.15)
Ahora que tenemos el perfil de velocidades, nos falta obtener una expresión para la
distribución de temperaturas a partir de la conservación de enerǵıa.
2.4. Conservación de enerǵıa
Ahora describamos el campo de temperaturas. Dado que T = T (r, x, t), al reescribir
la ecuación de conservación de la enerǵıa (ec. 2.3) en coordenadas ciĺındricas tenemos
que
∂T
∂t
+ V (r, t)
∂T
∂x
= α
(
∂2T
∂r2
+
1
r
∂T
∂T
)
, (2.16)
donde α = k
ρc
es la difusividad térmica molecular.
17
Si consideramos que la pared del tubo está térmicamente aisalda y que la temperatu-
ra del fluido no diverge en el origen, entonces la ec. (2.16) debe satisfacer las condiciones
de frontera
∂T
∂r
(a, , x, t) = 0, (2.17)
T (0, x, t) = finita. (2.18)
Entonces, al sustituir (2.3) en la ec. (2.16) llegamos a
∂T
∂t
+ V (r)e−iωt
∂T
∂x
= α
(
∂2T
∂r2
+
1
r
∂T
∂r
)
. (2.19)
La obtención de la solución anaĺıtica de la ec. (2.19) con las condiciones (2.17) y
(2.18) no es trivial. De hecho, Kurzweg trató el problema a través de una solución
aproximada válida únicamente para valores pequeños del producto PrWo2 [15], donde
Wo = a
√
ρω/η, es el número de Womersley, un parámetro adimensional que relaciona
la frecuencia de oscilación con los efectos viscosos del fluido. Cabe recalcar que en la
ausencia de flujo, en donde la transferencia de calor se efectúa únicamente a través de
la difusión molecular, el gradiente de temperaturas es constante. Entonces, siguiendo a
Kurzweg [16], notamos que en la geometŕıa considerada en nuestro caso, el gradiente
de temperaturas promedio en el tiempo, γ = ∂T/∂x, es también constante. Debido a
esto, proponemos una solución dada como la parte real de la expresión de
T (x, r, t) = γ(x + ag(r)e−iω0t), (2.20)
donde g(r) una función de la variable radial, y la cual reproduce el gradiente axial de
temperaturas promediado en el tiempo mientras incluye a la variación de la temperatura
dependiente en el tiempo con el término g(r)e−iωt. Vemos de la ec. (2.20) que ∂T
∂x
= cte.
= γ es congruente con la suposición de que la difusión de calor axial es mucho menor
a la radial, es decir, ∂
2T
∂r2
À ∂2T
∂x2
⇒ ∂2T
∂x2
≈ 0. Además, si el perfil de velocidades tiene
un comportamiento armónico en t, tiene sentido suponer que la temperatura también
lo tendrá ya que el calor es transportado básicamente por el fluido. También se puede
observar que la ec. (2.20) satisface las dos condiciones iniciales requeridas por la ec.
(2.16). Ahora bien, para obtener la expresión de la temperatura, debemos encontrar
primero la expresión para g(r).
2.4.1. Expresión de g(r)
Para obtener la expresión anaĺıtica de g(r), sustituimos la expresión general de la
temperatura ec. (2.20) en la ecuación que derivamos de la conservación de la enerǵıa
(ec. 2.16). Comenzamos calculando
∂T
∂t
= −γiω0ag(r)e−iω0t, ∂T
∂x
= γ,
∂T
∂r
= γag′(r)e−iω0t.
18
Ahora bien, sustituyendo estas derivadas parciales en la ec. (2.16) nos queda que
−γiω0ag(r)e−iω0t + V (r, t)γ = α
(
1
r
(γag′(r)e−iω0t) + γag′′(r)e−iω0t
)
,
g′′(r) +
1
r
g′(r) +
iω0
α
g(r) =
1
αa
V (r, t)eiω0t.
Sea β2T =
iω0
α
, sustituimos V (r, t) (ec. 2.15) y β2T en la expresión anterior y obtenemos
g′′(r) +
1
r
g′(r) + β2T g(r) =
1
αa
Φ(ω0)
(
1− J0(βvr)
J0(βva)
)
Px, (2.21)
Ésta es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden no homogénea para g(r).
La solución general está dada por g(r) = gh(r) + gp(r) en donde gh(r) es la solución
a la ecuación homogénea y gp(r) una solución particular. Vamos a encontrar las dos
soluciones de manera independiente.
Solución homogénea
Podemos ver que la ecuación homogénea es la ecuación de Bessel de orden cero.
Esta ecuación la resolvimos en la sección 2.3, entonces vemos que la solución está dada
por
gh(r) = C1J0(βT r) + C2Y0(βT r).
Como Y0(βT r) diverge en r = 0, implica queC2 = 0 ya que queremos que gh(r = 0) < ∞.
De tal forma nos queda que
gh(r) = C1J0(βT r),
donde C1 se determinará con las condiciones de frontera, después de encontrar la solu-
ción particular.
Solución particular
Para encontrar gp(r) utilizaremos el método de coeficientes indeterminados [14]. En
este método proponemos una solución que sea combinación lineal de los conjuntos fun-
damentales que componen el término no homogéneo. En nuestro caso, el término no
homogéneo es 1
αa
Φ(ω0)(1− J0(βvr)J0(βva))Px, por lo que solamente J0(βvr) depende de r.
De tal forma, proponemos que gp(r) = δ1J0(βvr) + δ2, donde δ1 y δ2 son los coefi-
cientes por determinar. Entonces vemos que
g′p(r) = δ1J
′
0(βvr), g
′′
p(r) = δ1J
′′
0 ((βvr),
19
ahora sustituimos esto en la ecuación diferencial para g(r) (ec. 2.21):
δ1[J
′′
0 (βvr) +
1
r
J ′0(βvr)] + β
2
T [δ1J0(βvr) + δ2] =
Φ(ω0)
αa
(
1− J0(βvr)
J0(βva)
)
Px.
Sabemos que J0(r) es sloución a la ecuación de Bessel, por lo tanto J
′′
0 (βvr)+
1
r
J ′0(βvr)+
β2vJ0(βvr) = 0. Entonces se verifica que
J ′′0 (βvr) +
1
r
J ′0(βvr) = −β2vJ0(βvr). (2.22)
Si sustituimos esto en la ec. (2.22) vemos que
δ1β
2
vJ0(βvr) + δ1β
2
T J0(βvr) + δ2β
2
T =
Φ(ω0)
αa
(
1− J0(βvr)
J0(βva)
)
Px,
⇒ −δ1(β2v − β2T )J0(βvr) + β2T δ2 =
Φ(ω0)
aα
Px − Φ(ω0)
aα
J0(βvr)
J0(βva),
igualamos los términos y despejamos δ1 y δ2, y entonces obtenemos
δ1 =
Φ(ω0)
aα
Px
J0(βva)(β2v − β2T )
,
δ2 =
Φ(ω0)
aαβ2T
Px.
Sustituimos δ1 y δ2 en gp(r) = δ1J0(βvr) + δ2
gp(r) =
Φ(ω0)Px
aα
(
J0(βvr)
J0(βva)(β2v − β2T )
+
1
β2T
)
,
y, por lo tanto,
g(r) = C1J0(βT r) +
Φ(ω0)Px
aα
(
J0(βvr)
J0(βva)(β2v − β2T )
+
1
β2T
)
.
Para tener completa la expresión de g(r) sólo nos falta conocer el valor de C1, para eso
necesitamos aplicar una condición de frontera. En nuestro caso, como suponemos que
tenemos paredes adiabáticas, el calor no puede salir a través de las paredes del tubo
implica que g′(r = a) = 0.
Primero vemos que
g′(r) = C1J ′0(βT r) +
Φ(ω0)Px
aα
(
J ′0(βvr)
J0(βva)(β2v − β2T )
+
1
β2T
)
= −C1βT J1(βT r)− Φ(ω0)Px
aα
βv
(
J1(βvr)
J0(βva)(β2v − β2T )
+
1
β2T
)
,
20
entonces en r =a tenemos que
g′(a) = 0 = −C1βT J1(βT a)− Φ(ω0)Px
aα
βv
(
J1(βva)
J0(βva)(β2v − β2T )
+
1
β2T
)
,
⇒ C1 = βv
βT
Φ(ω0)Px
aα
J1(βva)
J1(βT a)
1
J0(βva)(β2v − β2T )
,
por lo tanto, nos queda que
g(r) =
Φ(ω0)Px
aα(β2v − β2T )
[
− βvJ1(βva)
βT J1(βT a)
J0(βT r)
J0(βva)
+
J0(βvr)
J0(βva)
+
β2v − β2T
β2T
]
. (2.23)
Con la ec. (2.23) la distribución de temperaturas del fluido está completamente de-
terminada. Con esto encontramos una solución local exacta para la ecuación (2.20), en
contraste con la solución aproximada obtenida por Kurzweg [15]. Cabe enfatizar que
nuestra solución es válida para fluidos Maxwellianos y Newtonianos en el ĺımite apropi-
ado. De hecho, el ĺımite Newtoniano se obtiene tomando tm → 0 o, equivalentemente,
De → 0, donde De = tmη/a2ρ es el número de Deborah, un parámetro adimensional
que representa el radio entre el tiempo de relajación del fluido con la escala de tiempo
del experimento.
A continuación se presentan algunas gráficas para g(r). En las gráficas sólo obser-
vamos la parte real de g(r) ya que la expresión de la temperatura es la parte real de la
ec. (2.20) y γ también es real. En todas las gráficas utilizamos a = 0.01 m, acorde a las
dimensiones de nuestro dispositivo. Ésta es la primera vez que se presenta un resultado
para g(r), en trabajos previos no se ha presentado una gráfica de g(r). En la gráfica
2.1 se muestra la función g(r) para un fluido newtoniano, variando el parámetro de la
frecuencia y para tres valores distintos de la frecuencia. Vemos que el comportamiento
de las curvas es similar para los distintos valores de la frecuencia y que la diferencia
radica en el rango y los valores del pico. En la gráfica 2.2 se graficó g(r) para una
frecuencia fija y para tres valores del tiempo de Maxwell. Se observa que conforme el
fluido es más viscoelástico aparecen más picos para g(r) y también cambia el rango de
la curva. Un punto muy interesante de las gráficas 2.1 y 2.2 es que, dado a la relación
que existe entre g(r) y la distribución de temperaturas en la ec. (2.20), nos permite
observar cualitativamente la distribución de temperaturas en el tubo en un momento
dado y con eso entender mejor cómo ocurre el flujo de calor en el tubo.
Dado que en nuestro experimento tenemos un radio fijo para nuestro dispositivo y
la variable que podemos cambiar es la frecuencia, también vemos qué ocurre si hacemos
a r un parámetro y expresamos la función g como g(ω). En la gráfica 2.3 se muestra
una gráfica de g(ω) contra ω para un fluido newtoniano y para tres valores distintos del
parámetro a. Las tres curvas fueron calculadas en r = 0. Vemos que el comportamiento
de las curvas es muy similar. Existe un pico para cada curva para una frecuencia espećıfi-
ca y ésta depende del parámetro a, que representa el radio del tubo. En la gráfica 2.4
21
0.000 0.002 0.004 0.006 0.008
5.0´105
2.0´105
3.0´105
r HmL
gH
rL
Figura 2.1: Gráfica de g(r) contra r (m), con r de 0 a 0.01 m de acuerdo a las dimensiones
de nuestro experimento y con tm = 0 para un fluido newtoniano. La ĺınea sólida es con
ω = 300Hz, la ĺınea rayada es para ω = 350Hz y la ĺınea punteada es para ω = 400Hz
.
0.000 0.002 0.004 0.006 0.008
5.0´105
3.0´105
7.0´105
r HmL
gH
rL
Figura 2.2: Gráfica de g(r) contra r (m), con r de 0 a 1 cm y con ω = 300Hz. La ĺınea
sólida es con tm = 0, para un fluido newtoniano, la ĺınea rayada es para tm = 0.01s,
para un fluido ligeramente maxwelliano, y la ĺınea punteada es para tm = 0.1s
.
22
0 10 20 30 40 50 60
2´106
5´106
1´107
2´107
5´107
1´108
Ω HHzL
gH
Ω
L
Figura 2.3: Gráfica de g(ω) contra ω (Hz) para un fluido newtoniano, con ω de 0 a 100
Hz y r = 0. La ĺınea sólida con a = 0.01 m, la ĺınea rayada con a = 0.015 m y la ĺınea
punteada con a = 0.006 m.
3 4 5 6 7 8 9 10
5´106
1´107
2´107
5´107
Ω HHzL
gH
Ω
L
Figura 2.4: Gráfica de g(ω) contra ω (Hz) con el parámetro a = 0.01 m en r = 0.005m
y con ω de 0 a 100 Hz. La ĺınea sólida con tm = 0 s, para un fluido newtoniano, la ĺınea
rayada con tm = 0.06 s y la ĺınea punteada con tm = 0.17 s.
23
se muestra una gráfica de g(ω) contra ω para un radio fijo y para tres valores distintos
del tiempo de Maxwell. En este caso vemos como el comportamiento viscoelástico del
fluido se manifiesta haciendo que aparezcan picos más grandes cuanto más viscoelástico
es el fluido.
El resultado más importante que obtenemos a través de observar las gráficas de g(r)
radica en que al sustiruir g(r) en la ec. (2.20) el producto de g(r) y la oscilación nos
arrojará valores negativos para la temperatura para ciertas dimensiones del dispositivo,
aspecto que no hab́ıa sido mencionado en estudios previos.
Ahora que conocemos la expresión g(r) podemos escribir nuestra expresión general
para el perfil de temperaturas y con ello calcular la difusividad térmica efectiva.
2.4.2. Difusividad Térmica Efectiva
Proseguimos a calcular la difusividad térmica efectiva como una difusividad térmica
promediada en el tiempo y el área del cilindro, αe, que está basada en la distribución
de velocidad y temperatura del fluido en el tubo, obtenida en la sección anterior. De
acuerdo con el desarrollo de Kurzweg [16,22], despreciamos las pequeñas contribuciones
debido a la conducción térmica axial, de tal forma que la difusividad térmica efectiva
promediada se define como
αeγ = − ω0
2πa2
2π/ω0∫
0
a∫
0
[T (r, x, t)]R[V (r, t)]Rrdrdt, (2.24)
donde [ ]R denota la parte real. El lado izquierdo de la ec. (2.24) representa el flujo
térmico axial efectivo por unidad de área de la sección transversal, y el lado derecho,
el flujo térmico convectivo promediado en el tiempo producido por la interacción de los
perfiles de velocidad y temperatura.
Para encontrar una expresión anaĺıtica tenemos que desarrollar el integrando. Sabe-
mos que
[V (r, t)]R =
1
2
(
V (r, t) + V̄ (r, t)
)
,
[T (r, x, t)]R =
1
2
(
T (r, x, t) + T̄ (r, x, t)
)
,
donde ¯( ) denota el complejo conjugado.
De la ec. (2.15) podemos escribir
V (r, t) = V (r)e−niω0t,
donde
V (r) = Φ(ω0)
[
1− J0(βvr)
J0(βva)
]
Px, (2.25)
24
Entonces, si sustituimos las expresiones expĺıcitas de V (r, t) y T (r, x, t) en la ec.
(2.24) vemos que
αeγ =
ω0
8π
2π/ω0∫
0
a∫
0
(
V (r)e−iω0t+ ¯V (r)eiω0t
)(
γ(x+ag(r)e−iω0t)+γ(x+aḡ(r)eiω0t)
)
r dr dt.
Al realizar la integral temporal se eliminan todos los términos con e±niω0t, por lo
que la difusividad térmica efectiva se reduce a
αe = − 1
2a
2π∫
0
a∫
0
(
V (r)ḡ(r) + V̄ (r)g(r)
)
r dr dθ, (2.26)
Ahora bien, si sustituimos en la ecuación anterior las expresiones para vr y g(r) de las
ecuaciones 2.25 y 2.23, respectivamente, desarrollando e intengrando se obtiene
αe =
∥∥∥∥
1 + iωtm
β2vη
∥∥∥∥
2
P 2x
2αa
{
1
β̄2v − β̄2T
J1(βva)
J0(βva)
[
β̄v
β̄2T − β2v
+
β̄v
β2v − β̄2v
− β̄vβv
β̄T (β̄2T − β2v)
J0(β̄T a)
J1(β̄T a)
J1(βva)
J0(βva)
+
β̄v(β̄
2
T − β̄2v)
(β̄2v − β2v)(β2v − β2T )
]
+
1
β2T − β2v
J1(βva)
J0(βva)
[
βv
β2T − β̄2v
+
βv
β̄2v − β2v
− βvβ̄v
βT (β2T − β̄2v)
J0(βT a)
J1(βT a)
J1(β̄va)
J0(β̄va)
+
βv(β
2
T − β2v)
(β2v − β̄2v)(β̄2v − β̄2T )
]}
. (2.27)
Cabe recalcar que la ec. (2.27) es una expresión anaĺıtica y con ella está totalmente
determinada la difusividad térmica efectiva. Dado que esta ecuación está en términos
del radio del tubo a y la frecuencia angular de la oscilación ω, además de una serie de
parámetros caracteŕısticos del fluido, podemos expresar a la difusividad térmica efectiva
en términos del número de Womersley Wo = a
√
ω
η
.
Podemos estudiar el caso del agua si tomamos el ĺımite De → 0, o su equivalente
tm → 0, que nos devuelve al caso Newtoniano. Al tomar un número de Prandtl Pr = 10,
caracteŕıstico del agua [1], en la figura 2.5 representamos una gráfica de la difusividad
térmica efectiva, αe, contra el número de Womersley Wo(a, ω). En esta gráfica y se
observa un máximo en aproximadamente Wo = 1.2, en dónde αe ≈ 90m2s . Esto equivalea un aumento de siete órdenes de magnitud de la difusividad térmica efectiva con
respecto a la del agua, 1.4348× 10−7 m2
s
[2].
Esto nos indica el rango de los parámetros en el cual se va a observar un aumento
en la difusividad.
25
0.01 0.1 1 10 100
0.001
0.01
0.1
1
10
100
1000
Wo
Α
e
Figura 2.5: Se muestra la difusividad efectiva, αe, contra el número de Womersley, Wo,
usando los parámetros caracteŕısticos del agua
.
Ahora tenemos que calcular la presión promedio en la dirección axial, Px. Ésta se
puede calcular a partir de la fuerza promedio que ejerce el pistón sobre el fluido dividida
entre el área transversal. A la aceleración promedio la obtenemos al derivar xpiston dos
veces con respecto al tiempo y promediar su valor absoluto, donde
xpiston(t) = A0cos(ωt),
y A0 es la amplitud de oscilación. A partir de esto, calculamos la fuerza promedio al
multiplicar por la masa del fluido desplazado,
Px =
Fprom
A
=
1
2
A0ω
2
0m
A
=
1
2
A20ω
2
0ρ,
donde A es el área transversal del cilindro y entonces m = AA0ρ es la masa del fluido
desplazado. En nuestro dispositivo tenemos una amplitud de oscilación A0 = 0.006 m
y ω0 = 0.015Hz tal que Wo = 1.2.
Estas gráficas son la base teórica para nuestro trabajo. En la gráfica (2.6) vemos que
hay una serie de máximos para la difusividad térmica efectiva para distintas frecuencias.
El primer pico se encuentra en Wo ≈ 2.2 y es un órden de magnitud mayor que el pico
para el agua. Además, al conocer rango de valores del número de Womersley para el cual
hay un aumento en la difusividad, podemos establecer la relación entre los parámetros
para la mejor elaboración de un dispositivo experimental. Esto nos lleva al siguiente
caṕıtulo en donde se desarrollará esto detalladamente.
26
0 1 2 3 4
0.1
1
10
100
1000
104
Wo
Α
e
Figura 2.6: Se muestra la difusividad efectiva, αe, contra el número de Womersley, Wo,
con los parámetros de un fluido viscoelástico
.
27
Caṕıtulo 3
Bitácora experimental
En este caṕıtulo se describe de manera general y cronológica el acoplamiento del dis-
positivo experimental para estudiar la transferencia de calor axial en un flujo oscilatorio.
Para el desarrollo experimental del proyecto hicimos una adaptación del dispositivo de
A.A. Lambert [23] que se describe en primer lugar. Después se comentan algunas lim-
itaciones y mejoras posibles. A partir de ellas se detallan las modificaciones realizadas,
con su justificación, y la evolución hasta llegar al dispositivo que se terminó utilizando.
Finalmente se presentan los resultados encontrados a partir de éste.
3.1. Dispositivo de Lambert
En esta sección describiremos el experimento que sirvió de antecedente para este
trabajo. Este experimento consistió en observar el transporte axial de calor que ocurre
en un fluido newtoniano que oscila dentro de un tubo de sección transversal constante.
Una parte del tubo era calentada con la radiación solar por un concentrador parabólico
compuesto (CPC). Se teńıa otro tubo con las mismas caracteŕısticas y dimensiones
salvo que el fluido se manteńıa estático. Este dispositivo permit́ıa la comparación del
transporte axial de calor para un flujo oscilatorio y otro en reposo. El objetivo principal
de ese experimento fue mostrar la posible aplicación de la teoŕıa de la frecuencia óptima
en el sistema de circulación global de un colector solar. En el estudio experimental se
observó una mayor transferencia de calor en un fluido oscilatorio que en uno en reposo,
a pesar de que no se pudo alcanzar la frecuencia óptima.
En el desarrollo anaĺıtico presentado en el caṕıtulo anterior se hizo la suposición
de mantener los extremos del tubo a temperaturas constantes (pero distintas) para ge-
nerar un gradiente constante de temperaturas entre los extremos. Esta suposición no
se satisfizo en el experimento por razones prácticas, por la dificultad de imponer esta
28
Figura 3.1: Dispositivo de Lambert
condición en un sistema de colección solar. Otra suposición importante en la teoŕıa es
que las paredes que contienen al fluido son aislantes. Tampoco se incluyó esta suposi-
ción ya que complicaba mucho la medición de temperaturas. Dado que el objetivo de
ese experimento estaba ligado con la aplicación de los flujos oscilatorios a la enerǵıa
solar, se le dio prioridad a construir un dispositivo con las caracteŕısticas necesarias
para adaptarse a un sistema de circulación global de un colector solar. Por ese motivo
no se tomaron en cuenta las suposiciones anteriores ya que alejaŕıan al experimento de
su objetivo.
El dispositivo de Lambert [23] se muestra en la figura 3.1. Éste constaba de dos
tubos de cobre de 2 m de largo y 0.0254 m de diámetro interno apoyados sobre una
base de madera en la que estaban montados dos CPC’s de ∼ 1 m de longitud. Ambos
tubos teńıan una terminación en “L” con los lados cortos de ∼ 0.1 m de longitud. Uno
de los tubos, al que llamaremos tubo 2, teńıa en el otro extremo un tapón de cobre. El
otro, al que llamaremos tubo 1, teńıa del otro lado una camisa de acero inoxidable para
un pistón. La mitad de los tubos en la que se calentaba el fluido por medio de radiación
solar estaba pintada de negro y en la otra mitad sin pintura se med́ıa la temperatura.
Para generar la oscilación se adaptó en el tubo 1 una camisa de acero inoxidable
en el extremo contrario del codo en “L”. El pistón, también de acero inoxidable se
sujetó mediante una biela a una junta, con un excéntrico a 6 mm del centro. La junta,
a su vez, estaba unida a un motor de 3 Hp (fig. 3.3) operado con un controlador de
frecuencias. Con este dispositivo se logró hacer oscilar al pistón entre los 0.3 Hz y 9.3
29
Figura 3.2: Esquema del tubo 1 del Dispositivo de Lambert. El tubo 2 sólo variaba en
que en vez de la camisa de pistón teńıa un tapón de cobre.
Hz aproximadamente. Mediante este sistema mecánico se logró crear un gradiente de
presión sinusoidal. Para evaluar la transferencia de calor se midió la temperatura.
Para evaluar el transporte axial de calor a través del fluido era necesario conocer la
temperatura del fluido. La temperatura se midió en el exterior de los tubos “aprovechan-
do la rapidez con la que el calor fluye a través del cobre” [23]. La conductividad térmica
del cobre, de alrededor de 380 W m−1 K−1, es aproximadamente 650 veces mayor que la
del agua. Las dimensiones de los tubos eran 2 m de largo, 0.0254 m de diámetro y 0.001
de espesor, aśı que la relación entre el espesor y la longitud era de 1 a 2000. Entonces se
supuso que, debido a la alta conductividad térmica de las paredes con respecto al fluido
de trabajo y la relación de las dimensiones, la temperatura medida en el exterior de las
paredes seŕıa equivalente a la del fluido en el interior. En otras palabras, se supuso que
el cobre al calentarse iba a ceder la enerǵıa al agua, ésta se iba a calentar y a transferir
el calor a través de ella. Por otro lado, en la sección del tubo en donde se midieron
las temperaturas, el cobre iba a estar a la misma temperatura que el agua, aśı que el
calor fluiŕıa de manera inversa ahora, cediendo el agua la enerǵıa al cobre. De manera
impĺıcita, y debido a las dimensiones, se supuso que en el tubo de cobre el calor fluiŕıa
en la dirección radial, pero no en la axial.
Para la medición de la temperatura se utilizaron termopares tipo T (cobre - cons-
tantán) debido a su rango de temperaturas óptimo (entre 270C y 400C) y por ser
adecuados para un ambiente húmedo. Cada tubo teńıa una longitud ∼ 1 m para la
captación de radiación y ∼ 1 m para la medición de temperaturas. En la superficie
destinada a la medición de temperaturas cada tubo teńıa seis termopares; tres arriba
y tres abajo a distancias de 0, 0.5 y 1 m de la fuente de calor, respectivamente. Los
termopares estaban pegados a los tubos con un cemento cerámico de alta temperatura
30
Figura 3.3: Motor haciendo oscilar al pistón dentro de la camisamediante la junta con
una biela excéntrica
marca Omega. Éstos deb́ıan pegarse con la menor cantidad de cemento posible para
que la medición de la temperatura fuera más localizada.
Las mediciones de temperatura se realizaron mediante un sistema de adquisición de
datos automatizado (SAD) marca Agilent modelo 34970A con un módulo multiplexor
de 40 canales, al que fueron conectados los termopares. La adquisición de datos se
programó mediante el software de comunicación del SAD instalado en una computadora.
A través de este sistema se obtuvieron archivos de texto con el conjunto de datos de
una manera práctica.
Lambert llevó a cabo la medición de temperaturas en distintas ocasiones y todas
arrojaron resultados similares, lo que aseguró la repetitividad de las mediciones expe-
rimentales. Se observó que al acercarse a la frecuencia óptima (ver fig. 2.5) la variación
de temperatura en el tubo con flujo oscilatorio fue mayor que en el tubo sin flujo.
La conclusión del estudio experimental fue que se observó una transferencia de calor
en el flujo oscilatorio aunque no se pudo alcanzar la frecuencia óptima para el caso
Newtoniano.
3.2. Modificación al experimento
De acuerdo a los resultados y conclusiones de Lambert, su experimento cumplió con
su cometido mostrando el efecto que se pretend́ıa observar. Aunque no tuvo el alcance
deseado, obteniendo un flujo oscilatorio cercano al óptimo, śı se pudo observar una
31
mejora en la transferencia de calor. Las suposiciones que se hicieron para simplificar el
dispositivo y a su vez cumplir con la teoŕıa parecieron ser válidas y todos los resultados
apuntaron a que la frecuencia de oscilación era muy superior a la deseada. Para lograr
esto hicimos la primera modificación al dispositivo que consistió en añadir un reductor
de frecuencias para acercarnos al valor de la frecuencia óptima.
3.2.1. Primera modificación: reducción de frecuencia y calen-
tamiento eléctrico
En la sección 2.4.2 expresamos la difusividad térmica efectiva, αe, en términos del
número de Womersley, Wo, y se observa para que valores del Wo tenemos una αe
aumentada debido al flujo oscilatorio. En nuestro caso, para el agua tenemos un número
de Prandtl Pr ≈ 10, y con este valor obtenemos una relación entre αe y Wo representada
en la fig. 2.5 La diffusividad térmica effectiva máxima se obtiene para un Wo ≈ 1.2.
En dicha gráfica se observa que el incremento de la diffusividad efectiva está entre
Wo ≈ 0.02 y Wo ≈ 15. Tenemos que Wo = a
√
ω/ν, en donde a es el radio del tubo
(m), ω la frecuencia angular (Hz) y ν la viscosidad cinemática del agua.
Si decidimos modificar únicamente la frecuencia de operación mediante un reductor
mecánico de frecuencia, sin cambiar las dimensiones del dispositivo o el fluido de trabajo,
tenemos que ν ≈ 7× 10−7 m2 s−1 y a = 0.0254/2 m y nuestro único parámetro variable
es la frecuencia. Vemos de la fig. 2.5 que las frecuencias para las cuales la difusividad
efectiva aumenta está aproximadamente entre 3×10−7 y 0.2 Hz, y el máximo es ∼ 10−3
Hz. Dado que el dispositivo de Lambert alcanzaba una frecuencia mı́nima de 0.3 Hz,
para alcanzar el máximo incremento de la difusividad tendŕıamos que reducir 300 veces
la frecuencia. Dado que comercialmente no existen reductores mecánicos de frecuencia
con cualquier factor de reducción, nos adaptamos al mercado y conseguimos un reductor
de frecuencias marca Risga con una reducción de 60 (ver figura 3.4).
Diseñamos y mandamos a hacer una junta para unir el eje del motor con el eje de
entrada del reductor y otra para unir el eje de salida con el pistón mediante una biela.
En la junta para el pistón el excéntrico para la biela fue de 0.75 cm, por lo que la
amplitud del desplazamiento seŕıa de 1.5 cm. Al no estar limitados por el tipo de flujo,
escogimos esta amplitud por la similitud con el dispositivo de Lambert.
Dado que el objetivo primordial de este experimento era estudiar la transferencia
de calor, el sistema de Calentamiento fue modificado. En este experimento, a diferencia
del de Lambert, nuestro objetivo no estaba ligado primordialmente con la a aplicación
de este fenómeno a la enerǵıa solar. Por esta razón realizamos algunos otros cam-
bios al dispositivo con la finalidad de mejorar y facilitar la observación y medición del
fenómeno. Reemplazamos los CPC’s por un sistema de Calentamiento eléctrico. Con
ello tendŕıamos mayor reproducibilidad y mayor control de las variables del sistema.
Para ello utilizamos resistencias eléctricas de cafetera conectadas a un transformador
de voltaje (Variac). Esta forma de Calentamiento se asemejaba al Calentamiento por
32
Figura 3.4: Reductor de frecuencias acoplado al motor y al pistón.
radiación solar ya que se calentaba el tubo. Para garantizar que el Calentamiento fuera
equivalente para los dos tubos administramos el mismo voltaje a cada resistencia y
verificamos que el contacto con los tubos fuera muy similar.
Cada resistencia teńıa un valor de ∼ 30Ω. Coloacamos dos resistencias en cada tubo,
a un metro de distancia de los extremos y las pegamos con cemento térmico, como se
observa en la fotograf́ıa 3.5. Las resistencias se conectaron en serie para que la potencia
disipada fuera lo más parecida (ver apéndice) y se buscó que la resistencia entre ellas
fuera cercana, que no variara más de ∼ 0.5 %. El voltaje total de operación varió entre
30 y 80 V.
En este experimento utilizamos termopares tipo T al igual que en el dispositivo
de Lambert. Aumentamos el número de termopares a un total de 20, 10 en cada tubo.
Utilizamos también el mismo sistema de adquisición de datos. El número de termopares
estuvo limitado por el número de canales en la tarjeta del adquisidor. Colocamos los
termopares en los tubos en dos configuraciones diferentes. Para pegarlos utilizamos
cemento térmico.
En la primera configuración de termopares colocamos todos los termopares en la
parte superior de los tubos, separados a ∼ 10 cm de cada uno, empezando a 1 cm de la
fuente de calor. Esto lo hicimos basados en la idea de que la diferencia de temperatu-
ra entre las partes superior e inferior era lo suficientemente constante para cualquier
punto en el eje del tubo, de la misma forma que lo hizo Lambert. De esa manera obten-
dŕıamos más puntos de medición, aprovechando los termopares al máximo. Dado que
no observamos la diferencia de temperaturas esperada, modificamos la posición de los
33
Figura 3.5: Fotograf́ıa de las resistencias de cafetera pegadas a cada tubo con cemento
térmico.
termopares. En la segunda configuración quisimos observar también las temperaturas
en el lado inferior del tubo. Colocamos 10 termopares en cada tubo, uno arriba y otro
abajo, separados cada par de termopares por una distancia de ∼ 20 cm (ver figura 3.6).
Nosotros esperábamos ver una mayor transferencia de calor en el flujo oscilatorio.
Esto se podŕıa observar de distintas maneras. Por ejemplo, con una mayor velocidad en
la señal termica en el tubo con flujo oscilatorio en relación con tubo sin flujo. O también
un incremento de la temperatura más acelerado, una temperatura final promedio más
elevada o una mejor distribución del calor. A continuación se muestra una gráfica de
los resultados obtenidos con este dispositivo (fig. 3.7).
Observamos que el agua no se estaba calentando como esperábamos. Al calentar
el tubo de cobre, éste ced́ıa una parte de la enerǵıa al agua y otra al resto del tubo.
Entonces, la suposición que hicimos no fue válida. La relación entre el espesor del tubo
y el largo no bastó para poder considerar que el calor axial no fluiŕıa por el tubo sino
por el fluido. Por un lado, no estabamos calentando el agua como pensábamos y por
otro, la temperatura que med́ıamos en el tubo no equivaĺıa a la temperatura del agua
en contacto con esa región del tubo. Aśı que proseguimos a modificar el dispositivo para
corregir estos dos aspectos.
3.3. Segunda modificación: calentamiento directo
Tuvimosque hacer otra modificación al dispositivo enfocada a que el fluido de tra-
bajo se calentara propiamente. Si calentáramos directamente el agua se corregiŕıa tam-
34
Figura 3.6: Esquema del dispositivo de tubos de cobre.
bién el problema del flujo de calor axial a través del cobre y por lo tanto la medición
de temperaturas en el tubo seŕıa también la del fluido. Al calentar el fluido directa-
mente haremos que el sistema de Calentamiento del dispositivo sea muy diferente al del
colector solar. Por lo tanto, decidimos enfocar el experimento prioritariamente hacia la
comprensión del fenómeno de la transferencia de calor. Esta segunda configuración del
dispositivo fue la misma que la del anterior exceptuando por el sistema de calentamiento
y la medición de temperaturas.
Básicamente teńıamos que calentar el agua sin que fuera a través de los tubos y
garantizar que los dos sistemas fueran equivalentes, que el calor cedido al fluido de
cada tubo fuera el mismo. Para ello decidimos continuar con las resistencias de cafetera
pero introduciéndolas directamente al agua. Debido al tamaño de las resistencias, para
que cupieran tuvimos que hacer una modificación a los tubos en los extremos en “L”.
Desoldamos el tubo corto colocado después del codo de cobre y soldamos un cople
reductor, de 11/2” a 1”, y un tubo de 1
1/2” de diámetro y 8 cm de largo. Cada resistencia
se sujetó al tubo con un pedazo de hule de tal forma que la resistencia quedaba en el
centro del tubo sin hacer contaco con él. En la figura 3.8 se muestra la modificación.
Ahora, además de calentar directamente el fluido, en vez de calentar los tubos en
medio, los calentamos en uno de los extremos. Éso nos llevó a cambiar también la
distribución de los termopares.
Para la medición de temperatura utilizamos los mismos termopares y el mismo sis-
35
0 2000 4000
0
10
20
 T1
 T5
 T9
 T11
 T15
 T19
V
ar
ia
ci
ón
 d
e 
Te
m
pe
ra
tu
ra
 (º
C
)
Tiempo (s)
Figura 3.7: Gráfica de la variación temperatura (T − T0) contra el tiempo en el tubo
1 (Termopares 1, 5 y 9) y el tubo 2 (Termopares 11, 15 y 19). La temperatura fue
normalizada con la temperatura inicial para la mejor comparación de una toma de
medidas y otra. Se utilizó ω = 0.0109 Hz.
36
Figura 3.8: Esquema y fotograf́ıa de la modificación al codo en “L” con la resistencia
dentro y el cubierto con el aislante térmico.
Figura 3.9: Última modificación de la distribución de termopares en los tubos de cobre.
37
tema de adquisición de datos. Únicamente cambiamos la ubicación de los termopares.
Primero pusimos una distribución provisional similar a la anterior: los termopares colo-
cados en pares, uno arriba y uno abajo, a distancias iguales entre cada par. Dado que el
decaimiento de las temperaturas es exponencial con respecto a la distancia, decidimos
que la distribución de los termopares deb́ıa ser del mismo tipo. Además, dado que sólo
teńıamos 10 termopares para cada tubo, decidimos poner 8 termopares arriba y 2 aba-
jo. Con esto abarcamos un mayor número de puntos para la medición de temperatura
que con la disposición anterior y, a la vez, tenemos dos puntos en donde hay un par de
termopares para observar el comportamiento en la dirección vertical. En la figura 3.9 se
muestra la distribución numerada de los termopares 1-10 en el tubo 1. La distribución
para el tubo 2 fue la misma pero con los termopares 11-20.
Después de reacomodar de los termopares utilizamos un aislante térmico de neopreno
para cubrir la parte del tubo en donde estaban los termopares para que se perdiera
menos calor hacia el ambiente. Ésa fue la última modificación a este dipositivo de
tubos de cobre.
Śı logramos calentar el agua directamente, pero fue evidente que aún hab́ıa que hacer
otras adaptaciones al dispositivo para poder observar el fenómeno deseado. Debido a
que la conductividad térmica del cobre es mayor a la del agua, al calentar el agua
ésta ced́ıa calor al cobre y éste flúıa a través del tubo en dirección axial. Por lo tanto,
no pudimos medir la temperatura del fluido correctamente. En realidad estabamos
midiendo medimos únicamente la temperatura del tubo.
La teoŕıa está elaborada para paredes aislantes. Nosotros supusimos que habŕıa una
función similar con paredes conductoras, pero no pudimos medir el efecto. En la gráfica
(3.10) se muestran los resultados obtenidos con este dispositivo. En dicha gráfica se
aprecia la oscilación del las temperaturas en el flujo oscilatorio. Esto nos indica que el
aislamiento de los tubos funcionó correctamente. Se puede apreciar que la amplitud de
la oscilación de las temperaturas era mayor en los puntos cercanos a la fuente de calor,
lo que nos indica que el gradiente de temperatura también era mayor. Aunque los tres
termopares de referencia para cada tubo indicaron una temperatura más elevada para el
flujo oscilatorio, ésta fue más pequeña de lo esperado. Al final de los aproximadamente
4500 s a partir del inicio del Calentamiento, la diferencia de temperaturas para cada
par de termopares de referencia no superó un grado cent́ıgrado.
Entonces, acorde a nuestras conclusiones habŕıa que modificar el dispositivo para que
las paredes tuvieran menor conductividad térmica que el fluido y para que midiéramos
la temperatura del fluido y no la de la pared.
3.4. Dispositivo final: paredes aislantes
La siguiente modificación al dispositivo es más bien la construcción de un nuevo dis-
positivo a partir del anterior, basándonos en algunas ideas y conclusiones ya señaladas.
38
0 2000 4000
0
10
20
30
 T1
 T5
 T8
 T11
 T15
 T18
V
ar
ia
ci
ón
 d
e 
Te
m
pe
ra
tu
ra
 (º
C
)
Tiempo (s)
Figura 3.10: Gráfica de la variación temperatura (T − T0) contra el tiempo en el tubo
1 (Termopares 1, 5 y 8) y el tubo 2 (Termopares 11, 15 y 18). La temperatura fue
normalizada con la temperatura inicial para la mejor comparación de una toma de
medidas y otra. Se utilizó ω = 0.00557 Hz.
39
Al cambiar el material de los tubos por uno aislante, debemos cambiar el sistema de
medición de temperaturas, y si el diámetro del tubo cambia, habrá también que cam-
biar el pistón y la camisa. Este es nuestro caso. La ventaja de utilizar tubos aislantes
es que la pérdida de calor hacia el ambiente va a ser mucho menor que con un material
conductor. Además, al utilizar un material cuya conductividad térmica sea menor que
la del fluido de trabajo, vamos a garantizar que el calor fluye primordialmente por el
fluido. Esto tiene la desventaja de complicar la construcción del dispositivo y de hacer
más dif́ıcil la medición de las temperaturas. Después de haber hecho el experimento
con tubos conductores para facilitar el desarrollo experimental, determinamos que no
es posible satisfacer la consideración teórica de las paredes aislantes. A continuación
se presentan la construcción del dispositivo final para los propósitos de nuestro experi-
mento.
3.4.1. Tubos de PVC
El material que cumplió con las caracteŕısticas deseadas y de fácil acceso para las
paredes del dispositivo fue el policloruro de vinilo (PVC). La conductividad térmica del
PVC vaŕıa entre 0.12 y 0.25 W
mol¦K , es decir, es entre 2 y 4 veces menor que la del agua
0.60 W
mol¦K [1].
Aunque el cobre es el material más utilizado en tubeŕıas, el PVC también es muy
usado; es barato y comercial. Ya hab́ıamos mencionado que al calentar el agua directa-
mente y no a través del tubo estábamos alejándonos de la realidad de un colector solar.
En este caso tendemos aún más hacia el objetivo de entender el fenómeno dejando esta
aplicación por un lado. Convencidos de que para poder proponer una aplicación se re-
quiere conocer el fenómeno en detalle, convertimos éste en nuestro objetivo primordial.
Compramos tubos de PVC para agua caliente, que tienen un espesor mayor que
los convencionales. Los tubos teńıan 1.45 m de largo y 1/2” (0.127 cm) de diámetro.
Pegamos con cemento para PVC en un extremode cada tubo un reductor de 1” (0.254
cm) a 1/2”, después otro reductor de 2” (0.508 cm) a 1” seguidos por un pedazo de
tubo de 2” de diámetro y 10 cm de largo. La terminación en “L” del tubo de PVC es
igual al que se muestra en esa figura 3.9. En el otro extremo colocamos un tapón en el
tubo 2. En el tubo 1 colocamos una camisa de pistón que se describe a continuación.
3.4.2. Dispositivo para la generación de un gradiente de pre-
sión
Las dimensiones del nuevo dispositivo cambiaron. El diámetro de los tubos pasó de
1” (0.254 cm) a 1/2” (0.127 cm) por lo que fue necesario hacer otro pistón y otra camisa.
Compramos una junta de PVC con rosca y mandamos a hacer una camisa de pistón de
acero inoxidable para que embonara con ésta. El pistón, también de acero inoxidable,
estuvo diseñado para que todo su movimiento lo hiciera dentro de la camisa. Entre la
40
juntura de PVC y acero usamos teflón para evitar fugas. El pistón se sujetó mediante
una biela a una junta, con un excéntrico a 6 mm del centro. La junta, a su vez, estaba
unida a un reductor de frecuencias con un factor de reducción de 60. El reductor estaba
unido mediante una junta a un motor trifásico Siemens de 3 Hp (fig. 3.3). Para operar
el motor se utilizó un controlador de frecuencias Yaskawa modelo GPD 315/V7.
El cambio en las dimensiones de los tubos ocasionó que también lo hiciera el número
de Womersley y, por lo tanto, la frecuencia requerida para alcanzar el máximo de la
difusividad térmica efectiva tambien cambió. Dado que la difusividad térmica efectiva
está en términos del número de Womersley, y éste depende, a su vez, del radio del
tubo y de la frecuencia de oscilación del pistón, al realizar un cambio en el radio de los
tubos tendremos que volver a determinar los ĺımites de la frecuencia en que operaremos.
En la sección 3.4.4 se muestran los cálculos realizados con respecto a la frecuencia. La
amplitud de oscilación del pistón quedó fijada en 1.2 cm. En la sección 3.4.5 se detalla
como se determinó la amplitud más indicada. Para poder medir de manera directa
tuvimos que cambiar el método de medición de temperaturas.
3.4.3. Medición de Temperaturas
Al utilizar tubos aislantes no pod́ıamos colocar los termopares directamente sobre
el tubo porque no mediŕıamos la temperatura del fluido. El objeto era medir la tem-
peratura directamente del fluido. Entonces tuvimos que perforar el PVC y para que
no hubiera fugas usamos pasamuros como se muestran en la figura 3.11. Se utilizaron
termopares tipo T, de cobre-constantán, similares a los usados anteriormente, pero más
delgados para que pasaran a través de las férulas de los pasamuros. Los calibramos con
un pozo térmico con resolución de 0.1C.
La distribución de los termopares se muestra en la figura 3.12. Los dos tubos tuvieron
la misma distribución de termopares. En el tubo 1 (flujo oscilatorio) colocamos los
termopares 1-10 y en el tubo 2 (flujo estacionario) los termopares 11-20.
Después de colocar los termopares y fijarlos en los pasamuros utilizamos silicón para
que los tubos quedaran completamente sellados. Con esto teńıamos ya el dispositivo listo
para funcionar. Ahora veamos más a detalle el cálculo de la frecuencia de oscilación.
3.4.4. Cálculo de la frecuencia de oscilación
Para calcular la frecuencia de oscilación del pistón, primero debemos determinar la
velocidad de rotación del motor. Del manual del controlador de frecuencias tenemos la
relación
Ns =
f
p
, (3.1)
En donde Ns nos determina el número de vueltas del motor por unidad de tiempo,
41
Figura 3.11: Pasamuros para colocar los termopares sin tener fugas de agua.
Figura 3.12: Distribución te pasamuros y termopares en el dispositivo con tubos de
PVC.
42
f es la frecuencia de administración regulada por el controlador y p es un parámetro
relacionado con el número de polos del motor. En este caso, el número de polos del
motor es 2p = 6, por lo que p = 3. Entonces, para calcular el número de revoluciones
por unidad de tiempo del eje del motor sólo nos falta multiplicar Ns por el factor de
deslizamiento h que relaciona el número de revoluciones teórico obtenido en la ec. (3.1)
con la frecuencia neta del eje de rotación fout. En nuestro caso, h =
1125
1200
, entonces
fout = Nx ¦ h.
Si además tenemos un reductor de frecuencias mecánico conectado al eje del motor,
podemos calcular la frecuencia neta de salida del sistema con respecto a la de adminis-
tración en el controlador simplemente dividiendo fout entre el factor de reducción red,
fpist =
fout
red
. Dado que la frecuencia neta de salida es la misma que la frecuencia del
pistón fpist, es fácil ver que en términos de la frecuencia de administración del contro-
lador está dada por
fpist =
f
3 ¦ red
(
1125
1200
)
, (3.2)
De la ecuación 3.2 vemos que para nuestro caso con un factor de reducción red = 60
y la frecuencia mı́nima que puede administrar el controlador es de 1 Hz, por lo tanto la
frecuencia mı́nima que podŕıamos alcanzar es de 0.005 Hz. Con esta frecuencia, dado
que Wo = a
√
w
η
, vemos que Wo = 2.5 y vemos en la gráfica 2.5 que estaŕıamos cerca
del valor máximo de Wo (≈ 1.2) y con ello también αe ≈ 1 m2 s−1. Como el controlador
de frecuencias funciona en el rango de f = 1 Hz hasta f = 30Hz entonces vemos que
la frecuencia del pistón oscilará entre fpist = 5.2 mHz hasta fpist = 160 mHz. Esto nos
permitiŕıa abacar un amplio margen de frecuencias y con ello buscar la curva αe vs Wo.
Para la construcción de la junta motor-reductor y la junta reductor-pistón fue nece-
sario determinar la amplitud de desplazamiento que tendŕıa el pistón de tal forma
que tuviéramos un flujo laminar. El desarrollo de los cálculos realizados se presenta a
continuación.
3.4.5. Amplitud de Oscilación
Para determinar la amplitud de oscilación del pistón nos basamos en la restricción
de tener un flujo laminar. Para ello calculamos el número de Reynolds en función de la
amplitud de oscilación.
El número de Reynolds
Re =
vpromD
ν
, (3.3)
en donde vprom es la velocidad promedio del fluido en el tubo, D es el diámetro del tubo
y ν es la viscosidad cinemática del fluido.
43
Dado que tenemos un gradiente de presiones sinusoidal en la dirección axial, si
aproximamos el flujo a un oscilador armónico simple tenemos que en el eje del cilindro,
donde la velocidad es máxima
v = −A0ω0eω0t+φ,
en donde v es la velocidad en la dirección axial, A0 es la amplitud, ω0 la es frecuencia
y φ es la fase. Entonces, promediando la velocidad en el tiempo tenemos que
vprom =
1
2
A0ω0. (3.4)
Ahora bien, sustituimos la ec. (3.4) en la ec. (3.3) obtenemos
Re =
A0ω0D
2ν
. (3.5)
En nuestro caso tenemos que D = 0.0127 m. La viscosidad cinemática del agua
vaŕıa con la temperatura. Dado que trabajaremos con temperaturas entre 200C y 600C,
aproximadamente, podemos tomar el valor de la viscosidad cinemática para agua a
400C, ν400C = 6.58 × 10−7 Pa¦s [1]. El rango de frecuencias del pistón en que puede
operar el dispositivo está dado por 5.60mHz ≤ ω0
2π
≤ 160mHz. Aún aśı, dado que nos
interesan las frecuencias más bajas, estaremos en el rango 5.60mHz ≤ ω0
2π
≤ 56mHz.
Si consideramos que es un flujo laminar, entonces se debe cumplir que Re ≤ 2300 [21].
Debemos aclarar que la forma en que estimamos el número de Reynolds es sólo
una aproximación ya que en este método consideramos un flujo a velocidad constante
cuando en realidad tenemos un flujo oscilatorio. Es por esta misma razón que deseamos
fijar los parámetros de tal forma que el número de Reynolds esté muy por debajo del
ĺımite entre flujo laminar y turbulento.
Entonces, para determinar una amplitud de oscilación del pistón para la cual el flujo
esté muy por debajo de la transición entre el flujo laminar y turbulento (Re ¿ 2000),
tomamos un valor del número de Reynolds Re = 100. Consideremos la frecuencia
máxima con que oscilará el pistón para garantizar que, dentro de nuestrorango de
frecuencias, tengamos siempre Re ≤ 100, entonces tomamos ω0 = 352mHz. Además,
con D = 0.0127 m y ν = 6.58× 10−7 tenemos que
A =
2νRe
ω0D
= 0.0292m. (3.6)
Entonces determinamos que el ĺımite para la amplitud seŕıa 2.92 cm. Para la cons-
trucción de nuestro dispositivo hicimos un barreno para la junta del pistón a 6 mm del
centro de tal forma que la amplitud total del pistón fue de 1.2 cm.
44
Figura 3.13: Estratifiación de las temperaturas en el codo en “L” de los tubos de PVC.
El color rojo representa las temperaturas mayores y el azul las menores.
3.4.6. Última modificación al dispositivo
Al realizar el experimento observamos que el calor no estaba fluyendo correctamente.
El agua en la piscina térmica estaba por encima de los 700C mientras que en los ter-
mopares más cercanos a las piscinas se registró una variación de temperaturas menor a
30C. Esto se lo atribuimos a que ocurŕıa un fenómeno de estratificación de las temper-
aturas en el codo en “L”. Las dimensiones de esta sección del tubo (aproximadamente
de 15 cm) eran tales que no nos permit́ıan despreciar este fenómeno. En la figura 3.13
se muestra un esquema de este fenómeno. Corroboramos esta hipótesis midiendo las
temperaturas del agua a distintas alturas del tubo y encontramos que la capa superior
del codo la temperatura era de 800C mientras que en la capa inferior era apenas de
260C.
Esta situación nos obligó a modificar esta sección del dispositivo con la finalidad
de evitar este fenómeno. Para corregir el problema de la estratificación decidimos que
las piscinas para las resistencias deb́ıan estar a la misma altura. Sustituimos en cada
tubo el codo en “L” por una junta en forma de “T”. A la junta le pusimos un tapón
de un lado y del otro lado la cortamos, como se observa en la figura 3.14. Finalmente
cubrimos a los tubos con un aislante de neopreno para reducir la pérdida de calor. Con
esta última modificación al dispositivo realizamos el resto de nuestros experimentos.
3.4.7. Resultados
Iniciamos el experimento sin oscilación para el tubo 1 y observamos una diferencia
punto a punto considerable. Dado que vimos la importancia de la estratifiación de las
45
Figura 3.14: Terminación en “T” de los tubos de PVC.
temperaturas, esta diferencia la atribuimos a que los termopares no estuvieran colocados
a la misma profundidad en el tubo. El problema con eso es que no pod́ıamos garantizar
con precisión la profundidad de los termopares con respecto a los pasamuros. Entonces,
el error humano asociado a la colocación de los termopares fue muy significativo, dada
la importancia de la estratificación de las temperaturas.
Como esto no lo pudimos modificar fácilmente y garantizarlo con mucha precisión
decidimos comparar el tubo 1 contra él mismo, con oscilación y sin oscilación. Al mis-
mo tiempo comparaŕıamos el tubo 2 contra él mismo para observar la semejanza entre
las dos corridas. De esta forma eliminaŕıamos el error debido la estratificación de las
temperaturas. Para ello nos dimos cuenta de la importancia de las condiciones iniciales.
Hicimos algunas corridas sin oscilación al principio para compararlas y primero garan-
tizar que nuestros datos eran reproducibles. Entre una toma de datos y otra obtuvimos
variaciones de punto a punto de alrededor de 10C. Es decir, no logramos que los experi-
mentos fueran tan reproducibles como necesitábamos. Nos dimos cuenta de que nuestro
dispositivo era demasiado sensible a una serie de factores que nos era muy dif́ıcil con-
trolar. Entre estos factores se encontraban la posición de las resistencias dentro de la
piscina, la posición inicial del pistón, la inclinación de los tubos y la temperatura inicial
del fluido. Intentamos controlar estos factores midiendo la temperatura inicial del agua
en los tubos, iniciando la oscilación a tiempos controlados después de iniciar el calen-
tamiento, midiendo la potencia aplicada a las resistencias y la frecuencia del controlador
y verificando que los tubos tuvieran la misma cantidad de agua en todas las corridas,
entre otros detalles. Logramos mejorar nuestras mediciones, pero no logramos eliminar
la diferencia entre una corrida y otra.
En la figura 3.16 se alcanza a apreciar la oscilación de la temperatura en el tiempo
debido al perfil de velocidades del fluido. Se observa que el tiempo de llegada de la
46
Figura 3.15: Dispositivo Experimental
señal térmica es mayor cuando la distancia a la fuente de calor también es mayor.
Por otro lado, no se puede apreciar claramente a partir de la gráfica un incremento
en la transferencia de calor en el tubo 1. Notamos que las curvas para los termopares
análogos del tubo con fluido oscilatorio y el estacionario son muy semejantes. Además
la diferencia entre las temperaturas finales entre cada par análogo de termopares vaŕıa
indistintamente entre los dos tubos. Otro dato que nos proporciona información acerca
de la transferencia de calor en cada fluido es el tiempo de llegada de la señal térmica.
En la gráfica se observa que estos tiempos son muy similares. Hicimos una gráfica del
tiempo de llegada de la señal térmica contra distancia a cada termopar para cada tubo
(figura 3.17).
En la gráfica 3.17 se observa que no hay un patrón para dichos tiempos. También
se incluyó el ajuste de las curvas con una función de la forma t = ax2 + bx + c. Cabe
recalcar que, aunque este resultado es caracteŕıstico de esta toma de datos, lo hicimos
para otras distintas y éste es un resultado representativo general ya que los tiempos de
calentamiento eran siempre muy parecidos aunque el número de Womersley variara.
También elaboramos una gráfica de ∆T = Tf inal − Tinicial para cada termopar
en una corrida completa. Este resultado, al igual que el anterior, es caracteŕıstico pero
también representativo de lo obtenido para las demás corridas. En la figura 3.18 se
muestra la variación de la temperatura para cada termopar.
No se observa ningún patrón de comportamiento en la variación de la temperatura
en cada termopar en la gráfica 3.18. La discusión y las conclusiones acerca de estos
resultados se presentan en el caṕıtulo siguiente, en el cual se dan explicaciones posibles
47
para los resultados observados y propuestas para futuros experimentos.
48
0 2000 4000 6000 8000
20
40
60
 T 1
 T 11
 T 5
 T 15
 T 9
 T 19
Te
m
pe
ra
tu
ra
 (º
C
)
Tiempo (s)
Figura 3.16: Gráfica de la temperatura contra el tiempo en el tubo 1 (Termopares 1, 5
y 9) y el tubo 2 (Termopares 11, 15 y 19) con ω = 0.00557 Hz.
Figura 3.17: Gráfica del tiempo de llegada de la señal térmica contra la distancia a la
fuente de calor de los termopares 1-9 (tubo 1) y 11-19 (tubo 2).
49
Figura 3.18: Gráfica del cambio de temperatura ∆T = Tf inal − Tinicial contra la
distancia a la fuente de calor de los termopares 1-9 (tubo 1) y 11-19 (tubo 2).
50
Caṕıtulo 4
Análisis y resultados
En este caṕıtulo analizamos los resultados experimentales y el por qué éstos no
concuerdan con los predichos por la teoŕıa y proponemos una explicación viable. Pre-
sentamos el concepto de desplazamiento de marea y hacemos un análisis numérico para
distintos fluidos. También proponemos una alternativa al problema teórico usando la
ecuación de Cattaneo-Vernotte en lugar de la ecuación de Fourier para el flujo de calor.
Mostramos un problema que se presenta al utilizar la teoŕıa utilizada por Kurzweg con
esta nueva propuesta y analizamos el problema con el propósito de mejorar dicha teoŕıa.
Finalmente, presentamos algunas ideas para el diseño de futuros experimentos.
4.1. Introducción
En el caṕıtulo anterior concluimos que no se logró apreciar un aumento en la trans-
ferencia de calor en el fluido con flujo oscilatorio, a pesar de ajustar los parámetros del
experimento lo mejor posible. Las distintas variables del experimento fueron controladas
de manera confiable para que los resultados fueron válidos. El análisis de los resultados
experimentales