Estudio-teorico-experimental-de-la-respuesta-optica-de-arreglos-de-nanopartculas-metalicas-ordenadas

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Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Ciencias
Estudio teórico-experimental de la respuesta
óptica de arreglos de nanopart́ıculas
metálicas ordenadas
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE:
F́ısico
PRESENTA:
Elizabeth Mendoza Sandoval
DIRECTOR:
Dr. Giuseppe Pirruccio
Ciudad Universitaria, CDMX, Junio 2019
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
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1. Datos del alumno
Mendoza
Sandoval
Elizabeth
55 26 90 25 57
Universidad Nacional Autónoma de
México
Facultad de Ciencias
F́ısica
312009191
2. Datos del tutor
Dr.
Giuseppe
Pirruccio
3. Datos del sinodal 1
Dr.
Rubén Gerardo
Barrera
y Pérez
4. Datos del sinodal 2
Dra.
Ana Cecilia
Noguez
Garrido
5. Datos del sinodal 3
Dr.
Alejandro
Reyes
Coronado
6. Datos del sinodal 4
Dr.
Maximino
Avendaño
Alejo
7. Datos del trabajo escrito
Estudio Teórico-Experimental de la Respuesta Óptica de Arreglos de
Nanopart́ıculas Metálicas Ordenadas
78 p.
2019
i
Estudio Teórico - Exprimental de la Respuesta Óptica
de Nanopart́ıculas Metálicas Ordenadas
por
Elizabeth Mendoza Sandoval
Tesis presentada para obtener el t́ıtulo de
F́ısico
en la
Facultad de Ciencias
Universidad Nacional Autónoma de México
Ciudad de México, México. Junio, 2019
ii
Por la ciencia. Por mis padres y mis hermanos.
Por un futuro prometedor
Agradecimientos
A todos y cada uno de los miembros de mi familia, porque todas sus cariñosas
distracciones me permit́ıan darme cuenta de lo afortunada que soy en la vida; por
hacerme sentir su compañ́ıa y darme fuerza cuando más la necesito; porque todos
son la razón de que esté en donde me encuentro. A mis padres, Edith Maŕıa Eugenia
Sandoval Moreno y Saúl Guadalupe Mendoza Gutierrez, por regalarme el privilegio de
vivir, por amarme aun cuando no lo merezco. A mis hermanos, Roberto Mario y Rene
Gabriel, por ser mi todo, mi razón de ser. A mi abuelita Margarita, por mostrarme
lo que significa fortaleza y apoyarme siempre que lo necesité. A mi prima Selene, por
ser como una hermana para mi. A Benito, una razón más para querer en la vida. Y a
mis amigos, Emmanuel, Donaji, Sebas, Laura, Marco, Sandra, Fausto, Evelyn, ..., que
aunque son pocos, son suficientes para ser feliz.
Agradezco al Dr. Giuseppe Pirruccion por asesorarme en todo el desarrollo de la
tesis. A la Dra. Ana Cecilia Noguez por darnos la oportunidad de discutir con ella
detalles esenciales para el análisis del proyecto. Al Dr. Omar Vazquez por su ayuda y
contribución al modelo numérico. Y a todos y cada uno de los compañeros con los que
pude discutir detalles de la teoŕıa que hizo posible el desarrollo de este proyecto.
Investigación realizada gracias al Programa de Apoyo a Proyectos de Investiga-
ción e Innovación Tecnológica (PAPIIT). Con apoyo de los proyectos UNAM-PAPIIT
IA102117, UNAM-PAPIIT IN107319, CONACyT INFR-2016-01-268414 y INFR-2018-
01-293349.
v
Resumen
El campo de la Nanofotónica se encarga del estudio de la interacción luz-materia a
la nanoescala. Entre los fenómenos estudiados, de particular importancia, resultan las
resonancias plasmónicas excitadas por luz en nanoestructuras metálicas.
El presente trabajo plantea el estudio experimental y teórico del acoplamiento óptico
entre luz visible y cristales plasmónicos formados por nanopart́ıculas de aluminio orga-
nizadas en redes triangulares. La periodicidad del arreglo y la distancia inter-part́ıculas,
comparable con la longitud de onda de la luz incidente, permite la excitación de modos
de difracción. Aśı, los arreglos ordenados formados mantienen resonancias plasmónicas
h́ıbridas, llamada Resonancias superficiales de red, que surgen del acoplamiento difrac-
tivo entre los plasmones localizados de las nanopart́ıculas aisladas.
En el Laboratorio de Nanofotónica Avanzada se llevaron a cabo varias mediciones
de extinción en función del ángulo de incidencia y de la longitud de onda de la luz
incidente. Aśı mismo se varió la polarización y la orientación de la muestra. De esta
forma se obtuvo una caracterización completa de la respuesta óptica resonante de los
cristales plasmónicos investigados.
Para interpretar los resultados experimentales obtenidos se consideraron de mane-
ra separada los modos ópticos del sistema: en primer lugar, los órdenes de difracción,
calculados anaĺıticamente a partir de la conservación del momento en el plano de la
muestra; y por otra parte las resonancias plasmónicas localizadas de las nanopart́ıculas.
Para este segundo caso y para simular el resultado de los experimentos de extinción se
realizaron simulaciones numéricas del sistema con Teoŕıa de Elemento Finito (FEM),
haciendo uso del software comercial COMSOL. Se obtuvo aśı no solamente el mapa de
extinción del cristal plasmónico, sino también la distribución espacial de la intensidad
del campo electromagnético cercano. Esto permitió identificar la simetŕıa de las reso-
nancias h́ıbridas observadas junto con otras caracteŕısticas f́ısicas de gran relevancia en
el campo de la Nanofotónica.
vii
Índice general
1. Introducción 1
2. Campos Electromagnéticos y materia 3
2.1. Expansión Multipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2. Polarización de la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.1. Modelo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.2. Carga inducida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.1. Condiciones de Frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.2. Interacción de la luz con materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4. Resonancias plasmónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.1. Aproximación Cuasiestática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.2. Esfera en campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3. Cristales Plasmónicos 31
3.1. Sistemas Periódicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1.1. Espacio Rećıproco de un cristal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.2. Red Triangular 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2. Difracción Elástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3. Resonancias Plasmónicas Superficiales de Red (SLRs) . . . . . . . . . . 40
3.4. Eigenmodos de las Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4.1. Método de Elemento Finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4. Experimentos 47
4.1. Muestra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.1.1. Simetŕıas de la nanoestructura (Red Triangular) . . . . . . . . . 48
4.2. Sistema de medición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.3. Mediciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3.1. Caracterización de simetŕıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3.2. Dependencia con respecto a parámetro de red . . . . . . . . . . . 53
4.3.3. Medición de bandas ópticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
ix
ÍNDICE GENERAL
5. Análisis Teórico del Cristal Plasmónico 57
5.1. Anomaĺıas de Rayleigh. Modos Fotónicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.2. Simulaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.2.1. Part́ıcula Aislada. Modo Plasmónico (LSPRs) . . . . . . . . . . . 62
5.2.1.1. Análisis de los modos desacoplados . . . . . . . . . . . 67
5.2.2. Cristal Plasmónico. Análisis de SLRs . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.2.2.1. Análisis de campo cercano . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6. Conclusiones 75
x
Caṕıtulo 1
Introducción
La interacción entre luz y materia depende fuertemente de las dimensiones carac-
teŕısticas de ambas. El caso más interesante se da cuando la radiación electromagnética
tiene longitud de onda comparable con los tamaños de los objetos iluminados. A esca-
la nanométrica, la materia tiene dimensiones que van de las decenas a los cientos de
nanométros, mientras que la longitud de onda de la luz se encuentra en el rango del
visible. En este caso, además de los fenómenos macroscópicos de transmisión, reflexión
y absorción, se observan fenómenos nuevos relacionados a la fase de la onda electro-
magnética incidente, como la difracción, la dispersión y la excitación de modos ópticos.
De particular interés es la interacción luz-materia que se da en la interfase entre
dieléctricos y metales. La rama de la f́ısica que se dedica a este caso es la Plasmónica,
la cual estudia cómo se confina el campo electromagnético a dimensiones del orden, o
menores, de la longitud de onda de la luz incidente, es decir por debajo del ĺımite de
difracción [1]. Desde un punto el punto de vista de posibles aplicaciones, la Plasmónica
es uno de los campos que están emergiendo en la interfase entre fotónica, electrónica
y nanotecnoloǵıa, por ejemplo, con el objetivo de miniaturizar los dispositivos optoe-
lectrónicos [2].
Los responsables del confinamiento electromagnético son los Plasmones de super-
ficie, que se asocian a la excitación colectiva de electrones libres en interfases metal-
dieléctrico. Los plasmones de superficie proporcionan una manera de producir interac-
ciones ópticas fuertes dentro de volúmenes nanométricos y pueden ser controlados a
través de la geometŕıa del metal y las propiedades del medio dieléctrico que lo rodea.
Los primeros trabajos en plasmónica se han enfocado en el estudio de las reso-
nancias en nanopart́ıculas aisladas. Cuando el tamaño de la part́ıcula es pequeño con
respeto a longitud de onda de la luz incidente se puede trabajar bajo la aproxima-
ción cuasi-estática. Esta descripción es anaĺıtica para ciertas simetŕıas de la part́ıcula
y permite analizar con mucho detalle tanto los modos de resonancia como el campo
electromagnético cercano. En caso contrario, se tienen que considerar efectos de retardo
1
1. INTRODUCCIÓN
y de radiación en la interacción con la luz. Desde un punto de vista experimental, la
fabricación de part́ıculas esféricas de tamaño “pequeño” es complicada, lo que nos lleva
a considerar el caso de part́ıculas más grandes y no esféricas. La interacción de la luz
con estos objetos es mucho más rica y da lugar a una variedad de nuevos efectos, lo
que la hace muy interesante. Sin embargo, a menudo es dif́ıcil de tratar anaĺıticamente
y algunas veces hasta imposible.
Los recientes avances en nanotecnoloǵıa para la modificación de superficies metálicas
y part́ıculas ha producido una rápida evolución de la investigación. Técnicas experimen-
tales como la litograf́ıa por haz de electrones y el auto-ensamblaje están proporcionado
rutas para el diseño de nanoestructuras plasmónicas que permitan manipular de for-
ma extremadamente precisa las propiedades ópticas de la materia[3]. Estas técnicas
han permitido la fabricación de arreglos tanto ordenados como desordenados, de na-
nopart́ıculas. En esta tesis tratamos el caso de un arreglo periódico de nanopart́ıculas
plasmónicas con parámetro de red del orden de la longitud de onda, al cual se cono-
ce con el nombre de cristal plasmónico. Combinando mediciones experimentales con
modelos teóricos demostramos la posibilidad de controlar la intensidad, la simetŕıa y
la distribución espacial del campo electromagnético cercano. Uno de los principales
objetivo es la producción de campos electromagnéticos multipolares, altamente inho-
mogéneos y con un aumento de intensidad a largas distancia. Además, demostramos
la posibilidad de predecir de forma suficientemente precisa la dispersión de los modos
ópticos mantenido por el cristal plasmónico.
Para entender el resultado de las mediciones la estrategia adoptada en esta tesis
comprende el uso tanto de herramientas que resuelven numéricamente las ecuaciones
de Maxwell, como de cálculos anaĺıticos que ayudan a interpretar la f́ısica del sistema.
En el primer caso construimos un modelo en COMSOL Multiphisics que reproduce de
forma fiel las mediciones. En el segundo caso analizamos la interacción luz-materia en
el espacio rećıproco, restringiendo el estudio a la primera zona de Brillouin. En este
sentido, dada la invarianza traslacional del cristal, interpretamos los modos ópticos me-
didos como bandas ópticas.
Una caracteŕıstica importante de las resonancias ópticas, que se estudió, es el factor
de calidad, que describe el tiempo de vida de la resonancia. El control del factor de
calidad es fundamental para modificar la absorción y la fluorescencia de moléculas
acopladas al cristal plasmónico, estudiar fenómenos ópticos no lineales a la nanoescala,
etc.
2
Caṕıtulo 2
Campos Electromagnéticos y materia
La descripción de las propiedades fundamentales de la materia ha permitido estu-
diar sistemas complejos a partir de su respuesta a cierto tipo de perturbaciones. Un
ejemplo de esto es en el caso en que se estudia la interacción entre luz y materia con ba-
se en la respuesta óptica del material. En consecuencias, con el propósito de asentar los
conceptos necesarios para abordar el estudio de los sistemas de interés en este trabajo,
en esta sección se estudia la teoŕıa básica que modela los fenómenos electromagnéticos
en la interacción de campos electromagnéticos con materia.
En primera instancia se calcula el campo eléctrico producido por una distribución
de carga estática. Con base en los conceptos desarrollados en el análisis se introduce a la
caracterización de las propiedades electromagnéticas de la materia, principales para el
estudio de su interacción con la luz, como por ejemplo la función dieléctrica a partir del
modelo de Drude. Posteriormente se describe el procedimiento y los conceptos básicos
para el estudio general de los fenómenos electromagnéticos. A partir del estudio previo
se analiza el caso electrostático de una esfera metálica, el cual nos permitirá introducir
y explicar el concepto de resonancia plasmónica.
2.1. Expansión Multipolar
Como primera introducción al estudio de las interacciones electromagnéticas es
útil modelar el campo eléctrico producido por un conjunto de cargas. Para esto se
propone una expansión de potencias de 1r del potencial eléctrico producido por una
distribución de carga fija en el espacio, donde r es la distancia entre el punto donde se
mide el potencial eléctrico y un elemento infinitesimal del material. Por consiguiente,
considerando la notación de la Figura 2.1, sabemos que el potencial electrostático en el
punto del espació r está dado por:
φ(r) =
1
4π�0
∫
ρ(r′)
|r− r′|
d3r′, (2.1)
3
2. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS Y MATERIA
donde ρ(r′) representa la distribución de carga del elemento de volumen. Por otra
parte, haciendo uso de la ley de cosenos, se obtiene que la distancia entre el diferencial
de volumen que consideramos y el punto de análisis se puede escribir de la forma [4]:
|r− r′|= r
√
1 + � , (2.2)
donde
� =
(
r′
r
)(
r′
r
− 2 cos(θ′)
)
,
aśı, considerando que el punto en donde se evalúa el potencial se encuentra “lejos”de
la distribución de carga, es decir r >> 1, se tiene que � << 1. Bajo esta suposición es
de utilidad calcular la expansión enserie de Taylor de la función f(�) = (1 + �)−1/2,
obteniéndose que:
1
|r− r′|
=
1
r
(1 + �)−1/2 =
1
r
(
1− 1
2
�+
3
8
�2 − 5
16
�3 + ...
)
. (2.3)
Figura 2.1: Ilustración de una distribución de carga arbitraria.
Al sustituir expĺıcitamente �( r, r′ y θ′) en la ecuación 2.3 y agrupar los términos con
respecto a las potencias de r
′
r , es posible identificar que los coeficientes correspondiente
a cada potencia son los Polinomios de Legendre, obteniendo aśı la siguiente expresión
para el potencial eléctrico:
φ(r) =
1
4π�0
∞∑
n=0
1
rn+1
∫
(r′)n Pn(cos(θ
′))ρ(r′)d3r′ , (2.4)
donde θ′ es el ángulo entre r′ y r, y Pn denota el polinomio de Legendre de grado n. La
ecuación 2.4 es conocida con el nombre de Expansión Multipolar de φ en potencias
de 1r . Es de gran utilidad ya que, dependiendo de la distancia a la que se evalúe el
potencial, se puede identificar como contribuye cada término de la suma al valor total
del potencial. Por ejemplo, en el caso en que la distancia es muy grande se pueden
4
2.1 Expansión Multipolar
despreciar la contribución de potencias grandes y considerar únicamente los primeros
términos de la suma. Dada la importancia de los primeros términos, se les asigna nom-
bres espećıficos, por ejemplo, el primer término (n = 0) es la contribución monopolar,
el segundo (n = 1) corresponde al dipolo, el tercero (n = 2) es el cuadrupolo, y aśı
consecuentemente.
Cabe remarcar que si la carga total es cero, la contribución monopolar es nula y
por lo tanto el término que domina en la expresión del potencial eléctrico es el término
dipolar. Este término, de acuerdo con la ecuación 2.4, está dado por:
φdip(r) =
1
4π�0
1
r2
∫
r′ cos(θ′) ρ(r′)d3r,
la cual se puede reescribir de la forma:
φdip(r) =
1
4π�0
p · r̂
r2
, (2.5)
donde r̂ es el vector unitario que apunta en dirección en la que se evaluá el potencial, y
p es el momento dipolar de la distribución de carga, cuya definición corresponde a:
p ≡
∫
r′ ρ(r′)d3r. (2.6)
Es importante hacer notar que la integral de la definición 2.6 depende únicamente de la
geometŕıa de distribución de carga (ρ(r′)), por lo que se puede identificar al momento
dipolar como una variable intŕınseca del material.
El caso más caracteŕıstico en que la contribución dipolar predomina es el caso de
un dipolo f́ısico, el cual consta de dos cargas de signo opuesto que se encuentran a
una distancia de separación finita (observar esquema de la izquierda, inciso (a), de la
Figura 2.2). Para este caso es sencillo calcular que la carga encerrada dentro de una
superficie gaussiana que encierre ambas cargas es cero, por lo que lo que el término
monopolar es nulo en estos casos.
Por otra parte, es sencillo observar que, para el caso del dipolo f́ısico, los términos
multipolares mayores contribuyen menos al potencial cuando este se evalúa a distancias
grandes con respecto a la posición de las cargas que lo conforman y la distancia que
existe entre ellas. En consecuencia, uno de los casos ideales más útiles en el análisis
del potencial eléctrico producido por una distribución de carga corresponde al caso
en que la distancia que separa las cargas se considera infinitamente pequeña. En este
caso las cargas en el dipolo f́ısico se modelan de forma tal que se pueda retomar la
relación p = qd. A esta idealización se le conoce con el nombre de dipolo puro y su
importancia radica en que el potencial que lo describe se calcula a partir de la ecuación
2.6. En consecuencias, considerando que E = −∇φ, se calcula que el campo eléctrico
producido por un dipolo puro está dado por:
5
2. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS Y MATERIA
Edip(r) =
1
4π�0
1
r3
[3(p · r̂)r̂ − p] (2.7)
donde, para realizar el cálculo, se supone al dipolo en dirección z, es decir, se alinea
los ejes del sistema coordenado con base en la dirección del dipolo, como se muestra en
Figura 2.2 junto con la gráfica el campo vectorial de la ecuación 2.7. De los resultados
es importante remarcar que las ĺıneas del campo eléctrico “salen”de la punta del dipolo
y “entran ”en el polo opuesto.
Figura 2.2: (a) Esquema de un dipolo f́ısico. (b) Esquema de dipolo puro y ejemplo de la
alienación del sistema de coordenadas. La imagen de en medio y de la derecha muestran la
gráfica del Campo Eléctrico producido por el dipolo (ec. 2.7). La flecha central de color rojo
simula el dipolo puro y las flechas naranjas muestran el campo vectorial que representaŕıa
el Campo Eléctrico. Las superficies de color azul y verde representan equipotenciales del
campo.
El comportamiento caracteŕıstico de las ĺıneas de un campo dipolar son observadas
en la respuesta electromagnéticas de muchas part́ıculas, por lo que su estudio es de
interés en la aplicación de aproximaciones para la descripción de la interacción con
campos electromagnéticos.
2.2. Polarización de la materia
En función de su interacción con campos eléctricos se definen dos tipos de ma-
teriales: los conductores, cuyos electrones de valencia están “débilmente”ligados al
núcleo del átomo y pueden tener un camino libre medio de decenas de nanometros,
y los dieléctricos, cuyos electrones están “fuertemente”ligados al núcleo de los áto-
mos. Ahora bien, esta clasificación de los matriales nos permitirá hacer aproximaciones
con respecto al movimiento microscópico de cargas en el caso en que se aplica campo
eléctrico al material. En consecuencia, se puede describir la respuesta del material de
acuerdo a su clasificación en dieléctrico o metal.
6
2.2 Polarización de la materia
Consideramos un átomo que se encuentra en un campo eléctrico constante. Para
el caso un material dieléctrico, el campo eléctrico induce una polarización del átomo.
Dado el signo del núcleo del átomo y el de la nube electrónica son opuestos, la nube
de electrones tenderá a moverse en dirección contraŕıa al núcleo, provocando aśı una
separación de carga. Si el campo eléctrico es “débil”, existirá un estado de equilibrio
electrostático cuando la fuerza de atracción de Coulomb entre el núcleo y los electrones
sea de igual magnitud que la fuerza ejercida por el campo eléctrico externo sobre ambas
distribuciones de carga, como se ilustra en la Figura 2.3. Cuando el átomo se encuentra
en esta configuración se dice que está polarizado y es posible asociarle un momento
dipolar.
Figura 2.3: Desplazamiento de nube electrónica en un átomo debido a la interacción con
un campo eléctrico externo constante.
Es importante remarcar que para un campo eléctrico de amplitud constante, la
magnitud del momento dipolar dependerá únicamente de las caracteŕısticas del átomo
que se polariza, por lo que una primera aproximación es proponer una relación lineal
entre el momento dipolar inducido y el campo eléctrico externo, dada por:
p = αE , (2.8)
donde p representa el momento dipolar inducido, E es el campo eléctrico externo y la
constante de proporcionalidad α es llamada la polarizabilidad atómica. Este último va-
lor depende de la estructura del átomo y es muy importante para modelar la dispersión
de luz provocada por los objetos después de incidir luz sobre ellos.
Dada la definición de polarizabilidad como una constante de proporcionalidad entre
el campo eléctrico y el momento dipolar inducido, es un concepto que suele extrapolarse
para el estudio de la respuesta de un material. En consecuencia, para materiales más
grandes que un átomo, la polarizabilidad determina que tan fuerte dispersa y absorbe
la luz un material, aśı como el grado en que la magnitud del campo incidente es incre-
mentado en la vecindad del material [5].
7
2. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS Y MATERIA
El modelo antes descrito, en conjunto con la descripción de la materia como dis-
tribución de carga, son la base para el estudio de la materia bajo la interacción de un
campo eléctrico externo. Por ejemplo, para el caso en que el sistema corresponde a una
pieza de material macroscópicoes necesario considerar la influencia del campo eléctri-
co en cada una de las moléculas que componen al material. Para esto se modela, en
primera aproximación, dipolos que representen las moléculas polarizadas del material,
donde el cambio de dirección del dipolo dependerá del material y de la dirección del
campo eléctrico incidente.
Cuando los dipolos se encuentran completamente alineados, se suele decir que el
material está polarizado. Una medición conveniente de este efecto es la polarización
cuya definición es:
P ≡ momento dipolar por unidad de volumen .
Con base en la ecuación 2.8, la polarización se puede calcular de manera tal que:
p(r) = P(r) d3r, (2.9)
aśı, a partir de esta relación, se puede definir a la polarización como un promedio del
momento dipolar.
Es importante remarcar que al polarizarse el material se pueden definir nuevo con-
ceptos como el de las cargas ”ligadas”, las cuales producirán un campo eléctrico en
el interior del material que contribuirá al campo eléctrico total. Debido a estos efec-
tos es evidente la importancia de modelar la polarización del material en términos de P.
Ahora bien, para la mayoŕıa de materiales se tiene que el conjunto de dipolos tiende
a alinearse en dirección paralela al del campo eléctrico. En consecuencia, como primera
aproximación, se pueden estudiar materiales isotrópicos y homogéneos, aśı como la
perturbación con campos eléctricos de magnitud pequeña. En este caso la polarización
del material se supondrá proporcional al campo eléctrico externo aplicado por medio
de una constante de proporcionalidad independiente de la dirección de dicho campo.
Aśı, la relación entre el campo eléctrico incidente E y la polarización del material (P)
se puede escribir de la forma:
P = �0 χe E , (2.10)
donde �0 es la permitividad del vaćıo, y a la constante de proporcionalidad (χe(ω)) se
define con el nombre de susceptibilidad eléctrica, la cual corresponde a una can-
tidad adimensional. Dada la relación a partir de la cual se define, la susceptibilidad
eléctrica dependerá de las propiedades de la materia para polarizarse al interactuar con
un campo eléctrico externo, por lo que se determinará en función de la frecuencia con
la que oscila el campo eléctrico incidente en el caso de una onda plana, es decir χe(ω).
8
2.2 Polarización de la materia
A partir de la susceptibilidad eléctrica se define la permitividad eléctrica rela-
tiva del material, también conocida con el nombre de función dieléctrica. La relación
entre estas está dada por:
�(ω) = �0 [1 + χe(ω))] . (2.11)
Por herencia de la definición de la susceptibilidad eléctrica, la permitividad eléctrica es
una función de la frecuencia del campo incidente y contiene la información necesaria
para caracterizar la respuesta de un material a est́ımulos eléctricos externos. Por lo
general, la función dieléctrica se determina (experimentalmente o teóricamente) para
caracterizar las propiedades electromagnéticas de los materiales.
Con el propósito de consolidar los conceptos antes definidos, a continuación se
derivará una expresión anaĺıtica de la permitividad eléctrica a partir de un modelo
microscópico clásico. La definición de la permitividad eléctrica se usa en el modelo
numérico para modelar los diferentes materiales que conforman a la nanoestructura,
por lo que es de importancia comprender la F́ısica y las suposiciones necesarias para
obtener una expresión teórica de la misma.
2.2.1. Modelo de Lorentz
Para ejemplificar la aplicación de los conceptos desarrollados en los caṕıtulos ante-
riores se estudiará uno de los casos más representativos del análisis de la interacción
de la materia con un campo electromagnético, el cual corresponde al caso de un átomo
que interactúa con una onda electromagnética plana incidente.
El modelo de Lorentz es un modelo microscópico clásico que describe la respuesta
de un material dieléctrico a un campo eléctrico externo. El campo incidente polariza el
material, generando un numero N de dipolos por unidad de volumen V. La respuesta
dieléctrica del material puede ser descrita entonces a través de una ecuación de oscila-
dores armónicos que oscilan alrededor de una posición de equilibrio, y que tienen una
carga efectiva e∗ y una masa efectiva mefec. Por lo tanto, en primera instancia, se puede
proponer que la ecuación que describe la polarización del material estará dada por:
mefec
d2r
dt2
+ mefec ω
2
0 r = Fext . (2.12)
donde ω0 es la frecuencia de resonancia propia del oscilador.
Por una parte, en los materiales existen varios mecanismos internos de disipación de
la enerǵıa (dispersión con fonones, impurezas, defectos, electrones). Estos pueden ser
descritos por un parámetro fenomenológico (γ), el cual define una fuerza de amortigua-
miento viscosa (Fam), la cual puede ser modelada en proporción lineal a la velocidad de
9
2. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS Y MATERIA
la masa oscilante, obteniendo aśı que Fam = −mefec γ drdt . Con base en la ecuación 4.1
y considerando las fuerzas antes mencionadas, se obtiene que la ecuación que describe
al sistema está dada por:
mefec
d2r
dt2
+mefecγ
dr
dt
+mefec ω
2
0r = Fext . (2.13)
Por otra parte, desde un punto de vista atómico, los osciladores armónicos están
dados por el movimiento de electrones ligados con respeto a los núcleos. Estos últimos
se asumen fijos ya que la masa del protón es mucho más grande que la del electrón
(mprotón ∼ 200melectrón). Aśı, si suponemos que se incide un campo eléctrico el cual
vaŕıa en el tiempo con una frecuencia angular ω, pero que es independiente de la
posición, se tiene que la fuerza eléctrica aplicada sobre lo electrones está dada por:
Fext = e
∗E = −e∗<e
[
E0e
iωt
]
,
donde E0 representa la polarización y la amplitud del campo eléctrico, por lo tanto
es real y no depende del tiempo. En la Figura 2.4 se representa esquemáticamente el
sistema antes descrito.
Figura 2.4: Ilustración del modelo propuesto para estudiar la oscilación de electrones
ligados a un núcleo de átomo, donde la fuerza de ligadura se representa como una fuerza
tipo resorte.
Para resolver la ecuación 2.13 se puede aplicar el concepto de dipolo, ya que en el
caso particular de un átomo polarizado se tiene que el momento dipolar está dado por
P = −Ne∗r(t), donde r(t) representa el centro de masa de la nube de electrones. La
definición de r(t) justifica el signo menos ya que por definición (Ec. 2.6) el momento
apunta en dirección a las cargas positivas.
Ahora bien, si el eje z del sistema de referencia se alinea con respecto a la dirección
del campo eléctrico (E0 = E0ẑ) sabemos que el desplazamiento de carga será en la
misma dirección (r = zẑ), por lo que el análisis del sistema se reduce a una dimensión.
Aśı, sustituyendo los términos en la ecuación 2.13, se obtiene que la ecuación que
describe el movimiento de los electrones está dada por:
10
2.2 Polarización de la materia
− m
Nq
d2P (ω, t)
dt2
− mγ
Nq
dP (ω, t)
dt
− mω
2
0
Nq
P (ω, t) = −q<e
[
E0ze
iωt
]
.
Simplificando se obtiene que:
d2P
dt2
+ γ
dP
dt
+ ω20 P =
Nq2
m
E0z. (2.14)
El término que multiplica a la amplitud del campo eléctrico se interpreta f́ısicamente
para el caso de un gas de electrones como una frecuencia de resonancia conocida con el
nombre de frecuencia de plasma, por lo que se denotara por
ω2p =
Nq2
m�0
. (2.15)
Aśı sustituyendo 2.15 en la ecuación 2.16, se obtiene que:
d2P
dt2
+ γ
dP
dt
+ ω20 P = �0ω
2
p<e
[
E0ze
iωt
]
. (2.16)
Para resolver este tipo de ecuaciones se puede aplicar la transformada de Fourier a
ambos lados de la ecuación, o bien, se proponer una solución para P de la forma:
P (ω, t) = P (ω)cos(ωt) = <e
[
P̃ (ω)eiωt
]
.
Esta suposición permitirá resolver la ecuación del oscilador de Lorentz (2.16) para la
variable (P̃ (ω)) [6]. Aśı, dado que esta variable no depende del tiempo, se tiene que la
ecuación diferencialse simplifica en:
(iω)2P̃ (ω)eiωt + iγωP̃ (ω)eiωt + ω20P̃ (ω)e
iωt = �0ω
2
pE0ze
iωt.
Por lo tanto, simplificando se obtiene:
P̃ (ω) =
�0ω
2
p
(ω20 − ω2) + iγω
E0z. (2.17)
Si se compara el resultado que se muestra en 2.17 con respecto a la definición de la
susceptibilidad eléctrica dada en 2.10, se obtiene que:
χe(ω) =
ω2p
(ω20 − ω2) + iγω
, (2.18)
y a su vez, con base en la definición dada en 2.11, se tiene que la permitividad eléctrica
relativa, en este caso, estaŕıa dada por:
11
2. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS Y MATERIA
�(ω) =
[
1 +
ωp(ω
2
0 − ω2)
(ω20 − ω2)2 + γ2ω2
]
− i
[
γω
(ω20 − ω2)2 + γ2ω2
]
= �r(ω) − i�i(ω) ,
(2.19)
donde se muestra expĺıcitamente la parte real (�r) e imaginar (�i) de la permitividad
eléctrica. A la expresión obtenida para la parte imaginaria se le conoce con el nombre
de Lorentziana. En la Figura 2.5 se muestra la gráfica de ambas partes y en esta se
observa que la frecuencia natural de oscilación (ω0) determina la posición del máximo
valor de la parte imaginaria, y el parámetro de dispersión (γ) determina el ancho de la
Lorenziana, lo cual es de interés debido a que ambas cantidades dependen del material
investigado. Es importante remarcar que el concepto de frecuencia de plasma no define
claramente alguna propiedad de las curvas, y esto es debido a que, como se mencionó
antes, su interpretación es a partir del caso en que el sólido tenga carácter metálico,
es decir, se pueda modelar como un gas de electrones libres. Este caso se analizará
posteriormente.
Figura 2.5: Gráfica de la parte real (�r) e imaginaria (�i) de la función dieléctrica contra
la frecuencia.
Como se demostró, el modelo de Lorentz proporciona una expresión anaĺıtica pa-
ra calcular la permitividad eléctrica de un material. Sin embargo, para ajustar los
parámetros ω0 y γ en la ecuación 2.19 y poder modelar un material en particular con
esta expresión, se realizan mediciones de reflectancia o transmitancia. Con técnicas de
espectroscoṕıa se ajustan variables como el ı́ndice de refracción (η = n + ik) del ma-
terial, donde su parte real e imaginaria son representadas por n y k respectivamente,
12
2.2 Polarización de la materia
el cual se relaciona con la permitividad a partir de:
η2(ω) = �(ω), (2.20)
aśı, se puede caracterizar la respuesta óptica de los materiales ajustando las curvas
obtenidas experimentalmente con el modelo teórico.
En el caso de los metales, los electrones pueden ser excitados con fotones de muy ba-
jas enerǵıa, por lo que, sus electrones se consideran libres. En consecuencia, la respuesta
óptica de los metales puede ser obtenida del modelo de Lorentz considerando que la
frecuencia de oscilación natural es nula (ω0=0). Aśı, de la ecuación 2.19 se obtiene que:
�(ω) =
[
1 −
ω2p
ω2 + γ2
]
− i
[
ω2pγ
ω (ω2 + γ2)
]
= �r − i �i.
(2.21)
A este modelo se le conoce con el nombre de Modelo de Drude.
Ahora bien, para muchos de los metales a temperatura ambiente se tiene que γ << ωp
, además, en el rango del espectro visible y ultravioleta, la frecuencia de plasma es
talque h̄ωp está entre 3 a 20 eV. Por lo tanto, una buena aproximación para la función
dieléctrica a partir del modelo de Drude está dada por:
�r ≈ 1−
ω2p
ω2
�i ≈
γω2p
ω3
(ω >> γ) (2.22)
cuya aproximación se consideró de acuerdo a la referencia [7]. También, de esta refe-
rencia, se extrajeron lo valores para modelar la respuesta óptica de Aluminio a partir
del modelo de Drude. En esta se elige h̄ ωp = 15eV y h̄ γ = 0.6eV para ajustar los
datos de reflectancia. La gráfica de la permitividad con estos parámetros, aśı como el
ı́ndice de refracción calculado a partir de la relación en 2.20, se muestran en la Figura
2.6.
Como se observa en la gráfica, para ωp < ω se tiene que �r ≈ 1 y �i ≈ 0, lo cual
implica que n ≈ 1 y k ≈ 0 y esto significa que en este rango de frecuencias el aluminio
es transparente. Por otra parte, la región donde �r es negativo es de importancia para
part́ıculas pequeñas, ya que pueden absorber y dispersar luz en frecuencias proporcio-
nales a su tamaño. Por ejemplo, para el caso de esferas se observa máxima absorción
en frecuencias donde �r = −2. Este hecho se demuestra anaĺıticamente posteriormente,
y con base a los resultados obtenidos se ejemplifica el procedimiento para analizar los
modos de resonancia para part́ıculas pequeñas.
13
2. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS Y MATERIA
Figura 2.6: Gráfica de la función dieléctrica y del ı́ndice de refracción del Aluminio de
acuerdo a los parámetros ωp = 15eV y γ = 0.6eV reportados en [7].
2.2.2. Carga inducida
Retomando la expresión del potencial eléctrico dado en 2.5 y considerando la defi-
nición dada en 2.9, se obtiene que el potencial total está dado por:
φ(r) =
1
4π�0
∫
V
ˆ(r− r′) ·P(r′)
|r− r′|2
d3r′. (2.23)
recordando que ∇′
(
1
|r−r′|
)
=
ˆ(r−r′)
|r−r′|2 , y aplicando el teorema de la divergencia, se
reescribe la expresión 2.23 de la siguiente forma:
φ(r) =
1
4π�0
[∮
S
1
|r− r′|
P · n̂ ds′ +
∫
V
1
|r− r′|
(
∇′ · P
)
dv′
]
,
donde n̂ representa el vector normal a la superficie del diferencial de volumen ds′, y
S en la superficie que define la frontera del volumen V. De la expresión anterior se
puede observar que el primer término de la suma es similar al potencial producido por
una distribución de carga superficial σb ≡ P · n̂, mientras que el segundo término es
similar al potencial producido por una distribución de carga volumétrica ρb ≡ −∇ ·P.
Sustituyendo las definiciones, se obtiene que el campo generado por la polarización del
material, excluyendo el campo externo aplicado, está dado por:
φ(r) =
1
4π�0
(∮
S
σb(r
′)
|r− r′|
ds′ +
∫
V
ρb(r
′)
|r− r′|
dv′
)
(2.24)
Del análisis anterior, se observa que la contribución de los dipolos infinitesimales
se traduce en la inducción de cargas ligadas (del inglés bound charges) de magnitud
microscópica, las cuales, en conjunto, pueden contribuir a la definición de las densida-
des de carga ligada representadas por σb y ρb, con sub́ındice b de la palabra boundary
(frontera).
14
2.3 Ecuaciones de Maxwell
De las Leyes del electromagnetismo sabemos que una de las fuentes de campo eléctri-
co es la existencia de carga, aśı, con base en al desarrollo anterior, se puede identificar
dos tipo de contribuciones a las densidades de carga: las densidades de carga ligada
σb, ρb, las cuales son producto de la polarización de la materia, y las densidades de
carga libre σf , ρf , con sub́ındice f de la palabra en inglés free, las cuales se asocian a
las cargas que no son resultado de una polarización y por lo tanto corresponden a la
carga que se coloca manualmente en el sistema.
2.3. Ecuaciones de Maxwell
Particularmente, uno de los casos más interesantes en el análisis de la interacción
entre materia y campos electromagnéticos corresponden al caso en que la dimensión de
la materia es comparable con la variación espacial de la perturbación que representa
una onda electromagnética (luz) incidente, esto se debe a que, en este caso, la materia
es sensible a los cambios espaciales y temporales de la perturbación EM. Para analizar
este tipo de casos se requiere un análisis dinámico en función de las caracteŕısticas de
la onda incidente como amplitud de onda, polarización, vector de onda y frecuencia,
además, las propiedades de la materia como dimensión, geometŕıa, composición, distri-
bución, entre otras, serán parámetros para la modificación de la intensidad del campo
EM en el espacio.
Con base en las secciones anteriores, se ha argumentado que, al considerar al mate-
rial como un conjunto de part́ıculas polarizables, el caso más general en que se analiza
la interacción de luz y materia se puede estudiar a partir de los fenómenos electro-
magnéticos involucrados. Está aproximación permite analizar la respuesta del sistema
con base en el campo electromagnético en el espacio.
Las ecuaciones fundamentales de la electrodinámica son lasEcuaciones de Max-
well, las cuales están dadas por:
∇ ·E = 1
�0
ρ (2.25a)
∇ ·B = 0 (2.25b)
∇×E = −∂B
∂t
(2.25c)
∇×B = µ0J + µ0�0
∂E
∂t
(2.25d)
donde E y B corresponden al campo eléctrico (en volts por metro) y al campo magnéti-
co (en amperes por metro), respectivamente, ρ es la distribución de carga total, J es
15
2. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS Y MATERIA
la densidad de corriente total, y �0,µ0 son la permitividad eléctrica y permeabilidad
magnética del vaćıo, respectivamente. Estas ecuaciones describen el campo electro-
magnético en todo el espacio en cualquier momento del tiempo.
Ahora bien, con base en el análisis de la sección anterior, al considerar una variación
espacial de la polarización se obtuvo que la densidad de carga está dada por:
ρtotal = ρf + ρb = ρf −∇ ·P .
Sustituyendo este resultado en la ecuación 2.25a se obtiene que:
∇ ·E = 1
�0
(ρf − ∇ ·P) =⇒ ∇ · (�0E − P) = ρf .
Aśı, con la definición del desplazamiento eléctrico D dada por:
D = �0E − P ,
se obtiene que:
∇ ·D = ρf , (2.26)
lo cual corresponde al caso descrito por la ecuación 2.25a. Por otra parte, considerando
la relación entre la Polarización y el campo eléctrico definida por la ecuación 2.10, se
tiene que
D = �0E− �0χeE = �0(1 + χe)E =⇒ D = �E , (2.27)
lo cual justifica la definición de permitividad dada por la ecuación 2.11. A la ecuación
2.27 se le conoce con el nombre de Ecuación Constitutiva (o ecuación material).
Por otra parte, en analoǵıa al caso eléctrico, el campo magnético induce una mag-
netización M. Esta magnetización contribuye a la producción de una densidad de
corriente efectiva JM [8],dada por:
JM = ∇×M , (2.28)
la cual implica que la densidad de corriente total estará dada por J = Jf + JM ,
con el sub́ındice f denotando la densidad de corriente libre que no depende de la
magnetización. Aśı, considerando, por simplicidad, el caso donde hay ausencia de campo
eléctrico, de la ecuación 2.25d se tiene que:
∇×B = µ0 [Jf +∇×M] .
Los términos M y B para definir un nuevo campo macroscópico H, llamado el campo
Auxiliar H [4], dado por:
16
2.3 Ecuaciones de Maxwell
H =
1
µ0
B − M . (2.29)
Ahora bien, en una primera aproximación, se puede suponer que M es paralelo al
campo magnético externo aplicado con una constante de proporcionalidad χm indepen-
diente de la dirección, proponiendo aśı que:
M = χm H , (2.30)
donde χm corresponde a la susceptibilidad magnética. Aśı, sustituyendo 2.3 en la rela-
ción 2.29, se obtiene que:
B = µ0 (H + M) = µ0(1 + χm)H =⇒ B = µH , (2.31)
por lo que, para medios que cumplen (medios lineales), se tiene que B también es pro-
porcional a H, con la constante de proporcionalidad µ = µ0(1 + χm), conocida con
el nombre de permeabilidad magnética del material. La relación 2.31 corresponde a
la otra Relación Constitutiva, y junto con la relación 2.27 sirven como ecuaciones
suplementarias a las ecuaciones de Maxwell para medios materiales lineales.
Finalmente, considerando la definición del vector del desplazamiento D eléctrico y
del campo auxiliar H, el conjunto de ecuaciones de Maxwell dadas en 2.25 se pueden
reescribir de la formar:
∇ ·D = ρf (2.32a)
∇ ·B = 0 (2.32b)
∇×E + ∂B
∂t
= 0 (2.32c)
∇×H − ∂D
∂t
= Jf (2.32d)
Este conjunto de ecuaciones definen 8 ecuaciones escalares con 12 variables por deter-
minar (E,D,B,H) [9], sin embargo, al considerar las ecuaciones constitutivas, dadas
por 2.27 y 2.31, es posible reducir el problema a determinar únicamente 6 variables.
Ahora bien, para que las Ecuaciones Constitutivas sean útiles es necesario determi-
nar las propiedades eléctricas y magnéticas del material por medio de la permitividad
eléctrica y la permeabilidad magnética. Por lo tanto, en este punto se hace énfasis en
la importancia de las mediciones experimentales para reportar � y µ para distintos ma-
teriales, en conjunto con modelos que permitan explicar su tendencia.
En resumen, si se considera que las propiedades electromagnéticas del material se
pueden modelar por medio de la función dieléctrica � y la permitividad µ, la interacción
17
2. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS Y MATERIA
entre luz y materia se puede analizar al resolver el conjunto de ecuaciones de Maxwell
dadas por 2.32 junto con las Relaciones Constitutivas.
2.3.1. Condiciones de Frontera
Uno de los puntos importante a considerar es que en el caso en que se yuxtapo-
nen dos materiales con diferentes propiedades electromagnéticas, la respuesta de los
materiales puede cambiar en la interfase entre los medios aumentando la dificultad del
análisis. Sin embargo, es posible determinar las condiciones de continuidad de los cam-
pos son derivadas del conjunto de las ecuaciones de Maxwell.
Para obtener las condiciones de frontera de B y D se construye un cilindro delgado
que atraviese la interfase entre los dos medios y que tenga un área diferencial (ds) como
base. De acuerdo a esto se puede considerar que la superficie encerrada aproximada-
mente es plana, aśı se orientan las superficies de los cilindros de manera paralela a la
superficie, como se muestra en la Figura 2.7 a).
Figura 2.7: Ilustración del volumen, superficie y contorno de integración usados para
aplicar condiciones de frontera, donde n representa la normal a la interfase encerrada por
las regiones de integración.
Considerando las regiones de integración definidas, se aplica el Teorema de la Gauss∫
V
∇ · F dv =
∮
S
F · da,
donde F es un campo vectorial genérico. Aplicamos el teorema a ambos lados de la
ecuaciones 2.32b y 2.32a, y tomando el ĺımite cuando la altura del cilindro tiende a
18
2.3 Ecuaciones de Maxwell
cero (ε→ 0), se obtiene que:
n · (B1 − B2) = 0 (2.33a)
n · (D1 − D2) = σf (2.33b)
lo cual indica que la componente perpendicular a la interfase del campo magnético es
siempre continua, mientras que la diferencia entre las componentes perpendiculares a
la interfase del vector de desplazamiento eléctrico es igual en magnitud a la densidad
de carga superficial libre, encerrada por el circuito.
Por otra parte, se aplica el Teorema de Stokes∫
S
∇× F · da =
∮
C
F · dl,
a la ecuación 2.32c y 2.32d, de donde, si tomamos el ĺımite cuando el ancho del circuito
tiende a cero (ε → 0), se tiene que solo lo lados paralelos superficies contribuyen a la
integral y por lo tanto se tiene que:
l|| · (E1 − E2) = 0 (2.34a)
l|| · (H1 − H2) =
∫
S
J · da = (kf × n̂) · l|| (2.34b)
lo que significa que la componente paralela a la interfase del campo eléctrico es siempre
continua, mientras que la diferencia entre las componentes paralela a la interfase del
campo auxiliar H, a través de la interfase, es igual en magnitud a la densidad de
corriente superficial libre que atraviesa el circuito.
2.3.2. Interacción de la luz con materia
El análisis de las nanoestructuras estudiadas en este trabajo se realizó a partir del
patrón de extinción al incidir luz sobre el arreglo. Por lo que se aplicarán los conceptos
de las secciones anteriores para analizar el caso particular de la interacción de la luz
con una part́ıcula.
Describiendo las propiedades ópticas de la NPs por medio de una función dieléctrica,
como se introdujo en las secciones anteriores, se puede calcular el campo eléctrico para
determinar su interacción con una onda monocromática, donde la elección de la frecuen-
cia se puede considerar en el espectro visible para analizar el caso de interacción con luz.
19
2. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS Y MATERIA
Sabemos que interacción con las part́ıculas producirá la dispersión y extinción de
luz, por lo que caracterizaremos al campo eléctrico afuera de la part́ıcula por medio del
campo incidente Ei y el campo dispersado Esca, como se ilustra en la Figura 2.8.
Figura 2.8: Clasificación de la contribución al campo EM para el caso de interacción entre
luz y part́ıculas, extráıda de [7]. Donde la superficie denotada con la letra A simula una
superficie Gaussina para calcular el flujo de enerǵıa y las letras θ y r hacenreferencia a la
elección de coordenadas esféricas.
Ahora bien, las mediciones se realizan haciendo uso de fotodetectores, y estos so-
lamente pueden responder a la luz esparcida, además, dado que el rango de frecuencia
alrededor del espectro visible es del orden de 1012 1/s, los detectores solo son sensibles a
un promedio con respecto al tiempo. Por lo tanto, el cálculo para analizar la respuesta
del sistema se reducirá al promedio temporal del vector de Poynting en cualquier punto
alrededor de los dispersores (S2), donde se tiene que:
S2 =
1
2
<e(Ei + Esca) × (H∗i + H∗sca) (2.35)
=
1
2
<e[Ei ×H∗i ] +
1
2
<e[Esca ×H∗sca] +
1
2
<e[(Ei ×H∗sca) + (Esca ×H∗i )] (2.36)
= Si + Ssca + Sext . (2.37)
De aqúı se pueden identificar que el flujo de enerǵıa afuera de la part́ıcula se puede es-
cribir como la suma de tres términos. Si que corresponde al vector de Poynting asociado
con la onda incidente, Ssca el vector de Poynting asociados a la dispersión del campo y
que es independiente de la posición si suponemos que el medio es no absorbente, y, por
último, Eext, conocido como el término de extinción, el cual surge de la interacción de
la onda incidente y las ondas esparcidas.
20
2.3 Ecuaciones de Maxwell
Para modelar el problema, consideremos una única part́ıcula embebida en un medio
no absorbente. Para calcular la extinción producida, se construye una esfera imaginaŕıa
de radio r que contenga a la part́ıcula por completo (esfera de la Figura 2.8). La
proporción con la que la enerǵıa electromagnética cruza la superficie A de esta esfera
es:
Wa = −
∫
A
S · êr dA, (2.38)
donde A denota la superficie de la esfera imaginaria. Si Wa > 0 se tiene que se absorbe
enerǵıa dentro de la esfera y, dado que suponemos que el medio es no absorbente, esto
implica que la Wa corresponde a la enerǵıa absorbida por la part́ıcula . Aśı, sustituyendo
2.35 en la expresión anterior se tiene que Wa = Wi − Ws + Wext, donde:
Wi = −
∫
A
Si · êr dA Wsca =
∫
A
Ssca · êr dA Wext = −
∫
A
Sext · êr dA (2.39)
donde se identifica a Wsca como la proporción de enerǵıa que atraviesa la superficie de
integración y que es dispersada por la part́ıcula, por lo que sabemos que Wsca tiene
origen en la part́ıcula y por lo tanto se impone que esta cantidad tenga el signo contrario
a las demás. Por otra parte, ya que en un medio no absorbente la potencia del campo
incidente no depende de la posición, por simetŕıa de la esfera de integración, se tiene
que Wi se desvanece. Considerando lo anterior, para un medio no absorbente se tiene
que:
Wext = Wa + Wsca. (2.40)
donde se interpreta a Wext como la proporción de enerǵıa perdida en la esfera de inte-
gración.
Ahora bien, dado que nos interesa analizar la respuesta principalmente con respecto
a las propiedades de la part́ıcula, es conveniente definir la proporción de enerǵıa W
dispersada (sca), absorbida (abs) y extinguida (ext) por irradiancia incidente Ii dadas
por:
Cext =
Wext
Ii
, Cabs =
Wabs
Ii
, Csca =
Wsca
Ii
, ⇒ Cext = Cabs + Csca . (2.41)
Cantidades que tienen dimensiones de área, y por lo cual son conocidas con el nombre
de sección transversal de extinción, absorción y dispersión, respectivamente.
Por otra parte, otra cantidad útil para caracterizar la respuesta del material corres-
21
2. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS Y MATERIA
ponde al factor de calidad Q. Este se define como el cociente entre la frecuencia ωr a
la que se obtiene una mayor respuesta del material y el ancho de banda ∆ω alrededor
de dicha frecuencia (observar Figura 2.9), es decir:
Q =
ωr
∆ω
. (2.42)
Figura 2.9: Esquema de la frecuencia de resonancia ωr y el ancho de banda ∆ω en una
gráfica de la respuesta del material contra la frecuencia. Como se muestra, el ancho de
banda se determinará a partir de la mitad de la máxima respuesta.
En general, el procedimiento a seguir correspondeŕıa a resolver las ecuaciones de
Maxwell, usando las funciones dieléctricas que modelan las propiedades ópticas de los
materiales que conforman al sistema y asegurando que se cumplan las condiciones de
frontera que imponen las interfases entre los distintos materiales (part́ıculas esparci-
doras y medio que las rodea). Aśı, resolviendo las ecuaciones, se obtendrá el campo
eléctrico y magnético en cualquier punto en el espacio, y por lo tanto será posible cal-
cular las secciones transversales y las eficiencias útiles para caracterizar la respuesta
del sistema estudiado. Sin embargo, resolver el problema de manera anaĺıtica es com-
plicado, ya que depende de las propiedades qúımica y geométricas del sistema. Debido
a la complejidad del problema, se hace uso de métodos numéricos que permita calcular
de manera aproximada el valor de los campos electromagnéticos en puntos espećıficos
del espacio. Con base en los resultados obtenidos se aproximar el valor de las secciones
transversal de esparcimiento y absorción, aśı como las eficiencias correspondientes.
2.4. Resonancias plasmónicas
Teniendo en mente la teoŕıa desarrollada en las secciones anteriores, se tiene que, al
incidir luz sobre una nanopart́ıcula, su nube de electrones tiende a moverse en dirección
22
2.4 Resonancias plasmónicas
del campo eléctrico provocando una separación de carga. Esta distribución de carga des-
cribirá un movimiento oscilante con respecto a la posición de las cargas positivas y con
respecto al cambio en el tiempo de la onda electromagnética que representa la luz, es
decir, dependerá de la frecuencia temporal de la luz, como se ilustra en la Figura 2.10.
A esta excitación colectiva de los electrones (modos de oscilación) se les conoce con el
nombre de Plasmón de superficie localizado y se describirá con mayor detalle en
las secciones siguientes. A consecuencia de la excitación de un plasmón se medirá una
disminución de la intensidad del campo, y, por lo tanto, por conservación de enerǵıa, se
tiene que la excitación de Plasmones es acompañado de la aparición de mı́nimos en el
espectro de reflectancia, o bien, en la aparición de máximos en el espectro de extinción.
Figura 2.10: Desplazamiento de nube electrónica en un NP debido a la interacción con
un campo eléctrico externo que representa la luz incidente.
2.4.1. Aproximación Cuasiestática
Analicemos el caso en el que la NPs sea lo suficientemente grande para que se pue-
da emplear la teoŕıa electromagnética clásica, pero lo suficientemente pequeñas para
despreciar efectos de retardo. En consecuencia, bajo esta aproximación, se estudia el
sistema desde un marco cuasiestático y se puede observar la dependencia de sus pro-
piedades ópticas en función de su tamaño y forma.
Para determinar las condiciones en que esta aproximación es válida, consideramos
el caso en la que una onda electromagnética plana, descrita por E0exp(ik·r−ωt), incide
sobre una nanopart́ıcula esférica de radio R. Entonces, dado que para un tiempo fijo la
exponencial en la definición de la onda es la que caracteriza la variación del campo en
función de las variables espaciales, para considerar que la amplitud del campo eléctrico
es constante dentro de la NP se requiere que:
exp(−ikR) ≈ 1 ⇒ kR << 1 ,
aśı, si consideramos que las propiedades ópticas de la NP se pueden describir por medio
del ı́ndice de refracción n =
√
�, el cual puede ser complejo, se tiene que k = ωc<e[n], y
23
2. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS Y MATERIA
por lo tanto:
ω
c
<e[n]R << 1 , (2.43)
Si la condición 2.43 se cumple se puede modelar a la onda plana como un campo
electromagnético constante a lo largo de la NP. Aśı, para el caso en que se incide luz
blanca sobre la part́ıcula, es decir, se considera el rango visible en el espectro electro-
magnético [380 nm,780 nm], se tiene que las dimensiones del sistema deben ser mucho
menores a 120 nm para poder considerar aproximación cuasiestática. T́ıpicamente, se
ha encontrado que la aproximación cuasiestatica es válida por R < λ/10, donde λ
representa la longitud de ondade la luz incidente.
2.4.2. Esfera en campo eléctrico
Con el propósito de ejemplificar el uso de la aproximación cuasiestática para ana-
lizar la interacción de la luz con NPs, se calcula el campo eléctrico total después de
aplicar un campo eléctrico constante en una dirección sobre una esfera metálica homo-
genea con pemitividad � embebida en un medio dieléctrico homogéneo isotrópico lineal
con función dielectrica �m, como se esquematiza en la Figura 2.11.
Figura 2.11: Esquematización de la esfera metálica con permitividad �, embebida en un
medio �m con un campo eléctrico constante.
Para este caso, dado que suponemos que la esfera es conductora y no se encuentra
cargada sabemos que la densidad de carga total dentro de un metal es igual a cero,
mientras que afuera, al suponer que el medio es dieléctrico, se sabe que al integrar la
carga inducida sobre una superficie que encierre por completo a la part́ıcula, la carga
encerrada será igual a cero [4], por lo tanto, para ambas regiones, de la ecuación 2.25a,
se tiene que:
24
2.4 Resonancias plasmónicas
∇ ·E = 0 . (2.44)
Además, dado que el campo incidente es contante no existe variación del campo magnéti-
co con respecto al tiempo. Aśı, de la ecuación 2.25c se obtiene que:
∇×E = 0 ⇒ E = ∇φ , (2.45)
donde φ se conoce con el nombre de potencial electroestático. Sustituyendo el resultado
de 2.45 en la ecuación 2.44 se tiene que la ecuación a resolver está dada por:
∇2φ = 0 , (2.46)
que corresponde a la ecuación de Laplace. Ahora bien, en este punto del análisis se
enfatiza el hecho de que la ecuación 2.46 puede ser resuelta anaĺıticamente de mane-
ra sencilla para sistemas con simetŕıas, por ejemplo, para este caso en particular, la
part́ıcula cuenta con simetŕıa esférica por lo que el potencial electrostático esta dado
por:
φ(r, θ, ϕ) =
∞∑
l=0
(
Alr
l +
Bl
rl+1
)
Pl(cosθ) , (2.47)
donde r, θ, ϕ representan las variables en coordenadas esféricas, tal que θ denota el
ángulo poloidal y ϕ el ángulo azimutal, Pl es el polinomio de Legendre de grado n,
y Al ∧ Bl son coeficientes que quedan determinados por las condiciones de frontera
del problema que se trata. Sin embargo, para caso en los que la NP no cuenta con
simetŕıa, calcular anaĺıticamente la solución de la ecuación de Laplace es altamente no
trivial, por lo que, por lo general, para resolver sistemas menos simétricos o fuera de la
aproximación cuasiestatica se recurre a métodos numéricos para resolver el sistema.
Retomando el problema inicial, sin pérdida de generalidad se puede suponer que
el el eje z del sistema de coordenadas se alinea con respecto a la dirección del campo
eléctrico, por lo que se tiene que el campo incidente estará dado por E0(r) = E0ẑ, y
por lo tanto:
φ0(r) = −E0 z ⇒ φ0(r, θ, ϕ) = −E0 r cosθ = −E0 r P1(cosθ) , (2.48)
donde se muestra expĺıcitamente que al cos(θ) corresponde al Polinomio de Legendre
de grado 1 evaluado en cos(θ).
Ahora bien, dado que en la interfase definida por la superficie de la NP existe una
descontinuidad de la función dieléctrica, para calcular el potencial eléctrico en el espacio
se definen dos regiones: dentro de la esfera, la cual se denotará con in, y afuera de la
25
2. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS Y MATERIA
esfera, la cual se denotara con out. De acuerdo a esta definición, y considerando que el
potencial debe ser finito en todo el espacio, se tiene que:
φ(r, θ, ϕ) =
{∑
l Alr
l Pl(cosθ) r < R∑
l
Bl
rl+1
Pl(cosθ) + φext r > R
(2.49)
donde R representa el radio de la esférica. Por lo tanto, para que el problema este
completamente determinado se necesita que las condiciones de frontera se cumplan.
La primera condición corresponde a la continuidad del potencial, en particular para la
región que representa la interfase, por lo que se tiene que:∑
l
AlR
l Pl(cosθ) =
∑
l
Bl
Rl+1
Pl(cosθ) − E0RP1(cosθ) ,
aśı, usando el hecho de que los polinomios de Legendre forman un conjunto completo
(condición de ortogonalidad), se obtiene:{
AlR
2l+1 = Bl si l 6= 1
A1R =
B1
R2
− E0R
(2.50)
donde se enfatiza que la elección del campo eléctrico externo (contribución φext ∝
P1(cosθ)), hace particular al caso l = 1.
Por otra parte, la segunda condición de frontera se extrae de la ecuación 2.33b
donde, considerando la relación constitutiva dada por 2.27 y la relación 2.45, se obtiene
que:
�m
∂φext
∂n
|r=R − �
∂φin
∂n
|r=R = σf .
aśı, sustituyendo las expresiones para este caso en particular, se tiene:{
�Al l R
l−1 = −�m(l + 1) BlRl+2 si l 6= 1
A1R =
B1
R2
− E0R para l = 1
(2.51)
Resolviendo el sistema de ecuaciones dados por 2.50 y 2.51 se obtiene que:
φ(r, θ, ϕ) =
{
A1r cosθ r ≤ R(
B1
r2
− E0r
)
cosθ r > R
(2.52)
con A1 = − 3�m2�m + �E0 y B1 = −
�−�m
2�m + �
R3E0. Por lo tanto, sustituyendo en 2.45 y
simplificando términos se obtiene que:
26
2.4 Resonancias plasmónicas
Ein(r) = −
(
3�m
2�m + �
)
E0ẑ (2.53a)
Eout(r) = E0 +
(
�− �m
2�m + �
)
R3
E0
r3
[3 cosθ r̂ − ẑ] (2.53b)
donde r representan la coordenada radial en coordenadas esféricas y ẑ el vector unitario
asociado a z en coordenadas cartesianas.
El resultado 2.53a muestra que el campo eléctrico dentro de la part́ıculas esférica
es constante, que su magnitud es proporcional a la del campo incidente y que, tanto su
amplitud como su dirección, quedan definidas por las propiedades ópticas de la part́ıcu-
la y del medio que la rodea.
Por otra parte, de 2.53b se observa que para la región afuera de la esfera y excluyendo
la contribución del campo incidente, el campo eléctrico es proporcional a 1/r3, lo cual
hace alusión a un campo eléctrico producido por un dipolo puntual. Aśı, considerando
que la perturbación es en dirección z y contemplando la ecuación 2.7, se deduce que
es conveniente definir p = pẑ en la expresión obtenida del segundo término para el
campo eléctrico afuera de la esfera. Por lo tanto, reescribiendo la expresión del campo
se obtiene que:
Eout = E0 +
1
4π�m
1
r3
[3r̂(r̂ · p) − p] , (2.54)
donde
p = 4π�R3
(
� − �m
2�m + �
)
E0. (2.55)
Ahora bien, si suponemos que el radio de la part́ıculas (R) es lo suficientemente
pequeño para cumplir la condición 2.43, se puede aplicar la aproximación cuasiestáti-
ca. Por lo tanto, el campo eléctrico producido al incidir una onda electromagnética
monocromática sobre una nanopart́ıcula esféricas bajo la aproximación cuasiestática
está dado por el campo eléctrico en 2.54 y el momento dipolar en 2.55, obtenidos del
análisis del caso electrostático. Donde la implicación de iluminar con una onda plana
queda expĺıcito en el requisito de sustituir � = �(ω) y �m = �m(ω).
Prosiguiendo con el análisis, si comparamos la ecuación 2.54 con la expresión de
un campo eléctrico producido por un dipolo puntual (2.7), es fácil identificar que el
campo eléctrico generado de la interacción con la part́ıcula, corresponde a un campo
eléctrico dipolar. Además, comparando la definición de momento dipolar de la esfera
en 2.55 con la definición de polarizabilidad atómica dada en 2.8, se puede identifica que
27
2. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS Y MATERIA
la polarizabilidad de la part́ıcula se puede asociar a:
αesfera = 4π�R
3 �(ω) − �m(ω)
2�m(ω) + �(ω)
. (2.56)
Aśı, dado que la polarizabilidad determina la amplitud de respuesta del material, los
polos de dicha cantidad dan las condiciones de resonancia. Analizando la expresión 2.56
se encuentra que para el caso de una part́ıcula aislada:
�(ω) = −2 �m(ω) =⇒ Frecuencias de resonancia . (2.57)
Esta condición establece que para excitar un modo de resonancia es necesario que exista
un cambio de signo del valor de la parte real de la permitividad a través de la interfa-
se. Esto último se cumple en el sistema formado por una part́ıcula metálica embebida
en un medio dielectrico, sin embargo, cabe remarcar que debido a que para metales
=m[�] 6= 0, la condición de resonancia dada por 2.57 no se cumple en su totalidad.
Ahora bien, una de las observacionesmás interesantes obtenida con base al resul-
tado que se muestra en la ecuación 2.54, corresponde al hecho de que la amplitud del
campo producido en la interacción con la nanopat́ıcula es inversamente proporcional
al cubo de la distancia entre la nanopart́ıcula y el punto donde se mide. Por lo que se
tiene que la intensidad del campo eléctrico decae rápidamente con respecto a la distan-
cia perpendicular de la superficie de la nanopart́ıcula. En consecuencia, en este caso,
al fenómeno de la oscilación colectiva de los electrones de la nanopart́ıcula metálica se
le puede considerar de naturaleza localizada, y por lo tanto a cada uno de los modos
de resonancia de NPs embebidas en un medio dieléctrico se le conoce con el nombre de
Plasmones de Superficie Localizados, (LSP) por sus siglas en inglés.
Por otra parte, es importante remarcar que este resultado es producto de la elec-
ción de excitar con campo eléctrico constante a una part́ıcula con simetŕıa esférica
(E0 ∝ cosθ), ya que esto corresponde al polinomio de Legendre de grado 1, el cual, es
asociados al término dipolar en la expansión multipolar (2.4). De acuerdo a la observa-
ción anterior y de manera inductiva con respecto al orden del polinomio de Legendre
asociado a la perturbación con la que se excita, se tiene que para excitar un campo
eléctrico cuadrupolar a partir de la interacción con una part́ıcula esférica se requerirá
excitar con campos eléctricos más complejos que un campo eléctrico constante o una
onda plana. Esto implica una limitación para generar un campo cuadrupolar al trabajar
con part́ıculas esféricas aisladas y ondas planas. Sin embargo, a su vez, esta observación
propone la modificación de la geometŕıa de la part́ıcula para generar campos cercanos
más complejos al dipolar, manteniendo la excitación de onda plana y la aproximación
cuasiestática. Cabe mencionar que la preferencia a perturbar con ondas planas sobre la
geometŕıa de la part́ıcula es por simplicidad experimental, debido a que incidir una on-
da plana corresponde a incidir luz colimada y polarizada linealmente sobre la part́ıcula.
28
2.4 Resonancias plasmónicas
Los puntos anteriores hacen referencia a la elección de la simetŕıa del campo inci-
dente y de la geometŕıa de la part́ıcula para definir el campo generado, es decir:
Geometŕıa =⇒ Modos de Resonancia
Resumiendo para el caso general, las caracteŕısticas de la NP, de la matriz en la que
se encuentre embebida, y de la frecuencia del campo incidente se determinan la distri-
bución de carga y la amplitud del campo electromagnético, y con esto, en consecuencia
los modos de resonancia.
Con base a lo desarrollado, analicemos el caso de una part́ıcula esférica de aluminio
embebida en un medio con ı́ndice de refracción nm = 1.49, el cual corresponde al mate-
rial metacrilato (PMMA, por sus siglas en inglés). De la relación 2.20 se obtiene que la
permitividad eléctrica del PMMA es �m ≈ 2.22, aśı, sustituyendo en la relación 2.57 se
calcula que la frecuencia de resonancia ωr para este caso debe ser tal que �(ωr) ≈ 4.44.
En consecuencia, calculando de acuerdo al Modelo de Drude y usando los valores con-
siderados para la gráfica que se muestra en la Figura 2.6, se obtiene que ωr ≈ 6.43eV ,
o bien λr ≈ 192nm. Por lo tanto se tiene que el modo de resonancia de una part́ıcula
esférica de Al en PMMA no se podŕıa excitar con luz visible, por lo que seŕıa necesario
modificar su geometŕıa o incluir otro tipo de acoplamiento.
Teniendo en mente los resultados anteriores, en el presente trabajo se eligió que
la geometŕıa de las NPs fuera la de un cono trunco y que sus dimensiones fueran del
orden de cientos de nanómetros. Estas condiciones nos permitirán trabajar fuera de la
aproximación cuasiestática y con esto encontrar una f́ısica mucho más rica en cuanto
a los fenómenos que van mas allá del análisis básico que hasta aqúı se a presentado.
Entre dichos fenómenos se encuentra efectos de retardo, radiación, despolarización, etc.
Adicionalmente a la elección de una geometŕıa más complicada de la NP, se consi-
dero una distribución ordenada de las NPs. La periodicidad del arreglo nos permitirá
acoplarlas de forma radiativa, como se explicará en el próximo caṕıtulo, lo que resultará
en la excitación de modos de resonancia del arreglo distintos al dipolar.
29
Caṕıtulo 3
Cristales Plasmónicos
Como se expuso en el caṕıtulo 2, una part́ıcula metálica, de dimensiones nanométri-
cas, aislada, inmersa en un medio isotrópico homogéneo no magnético, puede sostener
resonancias plasmónicas localizadas (LSPR) debido a las oscilaciones de los electrones
de la misma. Por otra parte, en el caso en que la nanopart́ıcula forma parte de un
arreglo periódico de nanopart́ıculas idénticas se pueden dar otros tipos de fenómenos
ópticos causados por la invariancia traslacional en el plano del arreglo. De particular
interés para el presente trabajo es la difracción en el plano de la nanoestructura. Bajo
ciertas condiciones, que se analizan en las secciones siguientes, la luz incidente se acopla
a órdenes de difracciones que se propagan en direcciones preferenciales en le plano de la
nanoestructura (Anomaĺıas de Rayleigh). Estos modos, a diferencia de los LSPR, son
puramente fotónicos, lo que significa que exhiben un campo electromagnético cercano
débilmente confinado. Cuando las curvas de dispersión de los LSPR y de un orden
de difracción se cruzan en el plano enerǵıa-momento, se pueden excitar Resonancias
Superficiales de Red, (SLR) por las siglas del nombre en inglés de Surface Lattice Re-
sonances. Siendo el resultado del acoplamiento radiativo de todas las nanoparticulas,
podemos definir tales resonancias como colectivas.
Como consecuencia de la hibridación entre modos plasmónicos confinados y modos
fotónicos poco confinados, las SLR son caracterizados por mostrar un campo electro-
magnético cercano simultáneamente intensificado y deslocalizado, es decir, la intensidad
aumentada del campo electromagnético se extiende tanto a lo largo de la nanoestruc-
tura en direcciones espećıficas, como en dirección perpendicular al plano del arreglo,
hasta unos cientos de nanómetros [10].
En el presente caṕıtulo se analiza la dispersión elástica de una red atómica hacien-
do uso de las propiedades de simetŕıa del sistema periódico. A partir de esto se realiza
la analoǵıa para el caso del arreglo ordenado de nanoparticulas. Con el propósito de
comparar con el experimento se análiza el caso particular de un arreglo 2D con simetŕıa
triangular.
31
3. CRISTALES PLASMÓNICOS
La introducción al análisis de hibridación de modos especificará una ĺınea de inves-
tigación futura para un análisis teórico formal. Sin embargo, dada la complejidad de
los fenómenos involucrados, la interpretación teórica de los resultados obtenidos expe-
rimentalmente se realizará por medio de simulaciones numéricas del sistema real, con
base a la teoŕıa desarrollada en este caṕıtulo.
3.1. Sistemas Periódicos
Sabemos, que al incidir luz sobre algunas estructuras periódicas se observa que la
intensidad a ciertas longitudes de onda es dispersadas en direcciones preferenciales.
El desarrollo teórico para la descripción de este fenómeno requirió de la contribu-
ción teórica y experimental de varios cient́ıficos[11]. Uno de los primeros en reportar
este fenómeno fue Wood en 1903 [12]. El observó que si los espectros de una lámpara
incandescente se ven directamente en una rejilla metálica, sin ningún otro dispositivo
óptico, en ciertos ángulos de incidencia se observaban las imágenes monocromáticas del
filamento perfectamente ńıtidas. Además, a veces estas imágenes eran oscuras, y otras
veces más brillantes que el resto del espectro.
Continuando con las mediciones de la dependencia entre el ángulo y la longitud de
onda de la luz difractada por rejillas metálicas, Wood observó “anomaĺıas” en los datos
para el casoen que la luz incidente teńıa polarización p. Caracterizó dos tipos de ano-
maĺıas, de las cuales (primer tipo), una de ellas consist́ıa en un cambio discontinuo en
la reflectividad como función de la longitud de onda incidente a un ángulo de incidencia
fijo. Este fenómeno era independiente del metal usado para la fabricación de la rejilla.
Posteriormente (5 años después), Lord Rayleigh mostró [13] que para el n-éismo orden
de difracción, la anomaĺıa ocurre cuando la longitud de onda incidente (λn) es tal que
se cumple λn = d(±1− sinθ0)/n, donde d es el periodo de las rejilla, θ0 es el ángulo de
incidencia, y n es un entero.
Esta última expresión también se obtuvo, con un análisis más sencillo de seguir, de
difracción de rayos-X por cristales atómicos. En este se consideraba la construcción de
planos paralelos que estuvieran contenidos en la estructura cristalina para estudiar este
fenómeno, el cual fue propuesto por los f́ısicos británicos William Henry Bragg y su hijo
William Lawrence Bragg en 1913 [14]. Para reproducir los resultados de este modelo,
consideremos una familia de planos como se ilustra en la Figura 3.1, donde se observa
que la distancia entre los planos es d. Supondremos que la reflexión de las ondas inci-
dentes es reflejada especularmente por dichos planos, es decir, el ángulo de incidencia θ
se conserva con respecto la reflexión. Adicionalmente, también supondremos dispersión
elástica, por lo que la intensidad total de la luz incidente y de la luz dispersada serán
supuesta iguales.
32
3.1 Sistemas Periódicos
Del análisis geométrico y las conjeturas iniciales, se obtiene que las ondas parcia-
les reflejadas por los planos paralelos de dispersor interfieren constructivamente si se
cumple la condición:
2 d sin(θ) = mλ , (3.1)
donde λ corresponde a la longitud de onda de la luz incidente, m es un número entero
y se comprueba que coincide con la expresión obtenida por Rayleigh. A la relación 3.1
se le conoce con el nombre de Ley de Bragg y a los diferentes planos de dispersores que
la simetŕıa de la estructura permite construir se les conoce con el nombre de órdenes
de difracción. Además, de 3.1 se tiene que la longitud de onda y la distancias entre los
planos definirán direcciones preferenciales para la emisión de luz.
Figura 3.1: Construcción de planos de dispersores para la deducción de interferencia
constructiva. Ley de Bragg.
Es importante remarcar que la Ley de Bragg es consecuencia de la periodicidad
de la estructura y no hace referencia a la composición ni al tamaño de los átomos los
cuales asumimos puntuales. Sin embargo, aunque este análisis del problema es un tanto
artificial, pone en evidencia la importancia de estudiar la periodicidad de la estructura.
En particular, para los propósitos de este trabajo, se considerará la teoŕıa de Estado
Sólido, desarrolla para cristales atómicos, para describir la difracción producida por un
cristal plasmónico.
3.1.1. Espacio Rećıproco de un cristal
Debido a la propiedad de invarianza bajo traslación de un cristal, la estructura
queda descrita por lo vectores t1, t2 y t3, los cuales llamaremos vectores de la red
directa. Estos vectores son tales que si n(r) corresponde a la densidad de dispersores
en el espacio, se tiene que:
n(r + tn) = n(r) con tn = n1t1 + n2t2 + n3t3, (3.2)
33
3. CRISTALES PLASMÓNICOS
donde n1, n2 y n3 son números enteros.
Por otra parte, de la propiedad de invarianza sabemos que es posible calcular la
expansión en serie de Fourier de la función periódica n(r) dada por:
n(r) =
∑
g
ng exp(ig · r) , (3.3)
donde
ng = V
−1
C
∫
n(r) exp(−ig · r)dV (3.4)
con VC el volumen del paraleleṕıpedo formado por los vectores de red, es decir VC =
a1 · a2 × a3. Ahora bien, considerando la condición dada por 3.2 en la ecuación 3.3 se
obtiene que:
∑
g
ng exp(ig · r) = n(r) = n(r + tn) = exp(ig · tn)
∑
g
ng exp(ig · r) ,
por lo que se tiene que:
exp(ig · tn) = 1 . (3.5)
Para cumplir la condición 3.5, se propone la construcción de los vectores de la red
rećıproca gi con i = 1, 2, 3 (referencia [15]), tales que:
gi = 2πεijk
aj × ak
VC
, (3.6)
donde εijk representa el ı́ndice de śımbolo de Levi-Civita. Entonces, de acuerdo a la
definición 3.6, los vectores de la red reciproca gi tienen la propiedad de que
gi · aj = 2πδij . (3.7)
Por lo tanto, si definimos
gm = m1g1 + m2g2 + m3g3 , (3.8)
con m1, m2 y m3 números enteros, se tiene que gm cumple la condición dada por 3.5, y
por lo tanto definen los coeficientes de la serie de Fourier de la función periódica n(r).
Por otra parte, la construcción del espacio rećıproco es de utilidad debido a que
cada vector cuya representación esté dada por 3.8, es normal a una familia de planos
paralelos y equidistante en la red directa [16]. Por lo que se observa que existe una
34
3.1 Sistemas Periódicos
relación entre la geometŕıa de la red rećıproca y la Ley de Bragg.
Para el caso de cristales plasmónicos, dado que este se construye con una simetŕıa
definida, lo que se conoce expĺıcitamente es el espacio reciproco asociado al arreglo. En
consecuencia, se puede que caracterizar lo vectoresr gm y, con base en esto, determinar
la familia de planos considerada en la condición de difracción. Cabe mencionar que en
este análisis se pueden etiquetar los órdenes en el patrón de difracción de acuerdo a los
ı́ndices m1, m2 y m3.
3.1.2. Red Triangular 2D
Analicemos el caso espećıfico de una red Triangular. De acuerdo a la referencia [15],
si el parámetro de red es representado por a, los vectores de red están dado por:
t1 =
a
2
(√
3x̂ + ŷ
)
t2 =
a
2
(
−
√
3x̂ + ŷ
)
(3.9)
Para calcular los vectores rećıprocos es necesario contar con tres vectores para uti-
lizar la relación ćıclica propuesta en la ecuación 3.6, por lo que para la construcción se
considera el vector auxiliar g3 = wẑ, con lo cual se obtiene que:
g1 =
2π
a
(
1√
3
x̂ + ŷ
)
g2 =
2π
a
(
− 1√
3
x̂ + ŷ
)
, (3.10)
donde se observa que el uso del vector auxiliar g3 (parámetro w) no influye en la ex-
presión de los vectores rećıprocos contenidos en el plano de la red. La red directa y la
red rećıproca asociada a la la red triangular, junto con los vectores de red directa y red
rećıproca, respectivamente, se muestran gráficamente en la Figura 3.2.
Una de las construcciones más útiles para hacer uso de las simetŕıas del arreglo
periódico es la Primera Zona de Brillouin, la cual está contenida en la red rećıproca.
Esta se construye aplicando las reglas para la construccion de la celda de Wigner - Seitz
en la red directa, por lo que tiene la propiedad de que cualquier punto en ella está más
cerca del punto de la red gm (fijo), elegido para su construcción, que cualquier otro
punto de la red [16].
La construcción geométrica de la primera zona de Brilloun se puede obtener me-
diante la bisección de los planos perpendiculares a los vectores de la red rećıproca que
conectan gm (fijo) a sus vecinos más cercanos (y otros órdenes de vecinos si es necesario).
La construcción anterior asegura que al trasladar la Zona de Brillouin a todos los
sitios de la red se reconstruye por completo el sistema periódico. En consecuencia, por
simetŕıa, se puede restringir el análisis de la f́ısica del sistema a la primera zona de
Brillouin. La construcción para el caso part́ıcular de red Triangular se ilustra en la
35
3. CRISTALES PLASMÓNICOS
Figura 3.2: Construcción del espacio directo y rećıproco para la Red Triangular. En esta
se muestra que al trasladar los vectores de la red rećıproca a la red directa, estos definen los
vectores perpendiculares a los planos paralelos equidistantes que determinan la simetŕıa de
la red. Además, se esquematiza la asignación de los ı́ndices (m1,m2) para diferentes valores
de m1.
Figura 3.3. En esta se observa la simetŕıa hexagonal de la Zona de Brillouin, a partir
de la cual se reproduce toda la estructura periódica en el espacio rećıproco.