Introduccion-a-la-medida-e-integral-difusa--algunos-resultados-clasicos

Vista previa del material en texto

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO 
 
 
 POSGRADO EN CIENCIAS 
 MATEMÁTICAS 
 
 
 FACULTAD DE CIENCIAS 
 
 
 
 INTRODUCCION A LA MEDIDA E INTEGRAL 
 DIFUSA: ALGUNOS RESULTADOS CLASICOS. 
 
 
 
 
 QUE PARA OBTENER EL GRADO ACADÉMICO DE 
 
 
 MAESTRO EN CIENCIAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 P R E S E N T A 
 
 
 HECTOR JIMENEZ SANCHEZ 
 
 
 
 
 DIRECTOR DE LA TESIS: DR. JUAN GONZALEZ HERNANDEZ 
 
 
 
 
 MÉXICO, D.F. JUNIO DE 2011 
 
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
Tesis Digitales 
Restricciones de uso 
 
DERECHOS RESERVADOS © 
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL 
 
Todo el material contenido en esta tesis esta protegido por la Ley Federal 
del Derecho de Autor (LFDA) de los Estados Unidos Mexicanos (México). 
El uso de imágenes, fragmentos de videos, y demás material que sea 
objeto de protección de los derechos de autor, será exclusivamente para 
fines educativos e informativos y deberá citar la fuente donde la obtuvo 
mencionando el autor o autores. Cualquier uso distinto como el lucro, 
reproducción, edición o modificación, será perseguido y sancionado por el 
respectivo titular de los Derechos de Autor. 
 
 
 
Introducción a la Medida e
Integral Difusa: Algunos
Resultados Clásicos
Héctor Jiménez Sánchez
Depto. de Matemáticas, Facultad de Ciencias, UNAM.
E-mail address: hectorsazj@yahoo.com
A la memoria de mis padres Ángela y Juan por todo el amor que me dieron, por
estar siempre conmigo.
Quiero agradecer profundamente a mis hermanos Sonia, Rosalba,
Alma, Hugo y Sergio por todo el cariño y apoyo que me han dado
durante todos estos años de mi vida.
A mis sobrinos Ale, Arely, Sarita, Ivan, Emi, Santi y Edgar
también por su cariño y por hacerme la vida más alegre.
AMary, Dulce y Pao por su amistad y paciencia para conmigo.
Al Dr. Juan González Hernández por su apoyo durante mis
estudios de maestría.
A mis sinodales Dra. Eliane Rodrigues, Dr. Manuel Falconi,
Dr. Luis Rincón por sus sugerencias y recomendaciones para
enriquecer este trabajo y, particularmente, al Dr. M. Ángel García
por sus aportaciones a esta tesis para mejorarla.
AMaría Inés por su ayuda y asesoría para la parte administrativa.
Al C.G.H. por su resistencia heroica, por haber defendido el derecho
inalienable de todo ser humano a la educación.
"Hay hombres que luchan un día y son buenos. Hay otros que luchan
un año y son mejores. Hay quienes luchan muchos años y son muy
buenos. Pero hay los que luchan toda la vida, esos son los
imprescindibles."
Bertolt Brecht.
Índice general
Capítulo 1. Introducción 1
Capítulo 2. Preliminares 5
1. Familias de conjuntos 5
2. Medida de Lebesgue 7
3. El Conjunto de Vitali 7
Capítulo 3. Medida difusa 11
1. Medidas difusas continuas y semicontinuas 11
2. Generación de medidas 16
3. Medidas difusas y El problema de la medida 21
4. Medidas difusas �nitas 28
5. Extensión de medidas difusas semicontinuas 32
6. Extensión de medidas difusas 34
7. Medidas de credibilidad y plausibilidad 39
8. Medidas de posibilidad y necesidad 46
Capítulo 4. El espacio de las funciones medibles 49
1. Funciones medibles 49
2. Resultados en medida clásica para medida difusa 51
Capítulo 5. Integral difusa 57
1. De�nición y propiedades de la integral 57
2. Cálculo de la integral difusa para un caso particular 68
3. Teoremas clásicos sobre integral para el caso difuso 75
4. Medidas difusas generadas por integrales difusas 79
5. Relación entre la integral de Sugeno y la de Lebesgue 80
6. Interpretación de la integral de Sugeno 83
7. Una aplicación 85
Capítulo 6. Conclusiones 91
Bibliografía 93
iii
CAPíTULO 1
Introducción
El presente trabajo tiene el objetivo de mostrar y desarrollar algu-
nas propiedades y resultados relacionados con los conceptos de medida
e integral difusa, también llamadas borrosas (fuzzy measure y fuzzy
integral, en inglés).
En los cursos de Análisis básico se estudia y se trabaja con el
concepto de integral y medida que, como bien sabemos, están íntima-
mente relacionados. Para una gran variedad de problemas la medida
de Lebesgue y, por consiguiente, la integral de Lebesgue resultan ser
su�cientes. No obstante, es insu�ciente para otro tipo de problemas
(digamos, en problemas de optimización). Pensemos en el siguiente
ejemplo:
Tomemos como el espacio X el conjunto de trabajadores de una
fábrica, que producen los mismos artículos. Un grupo A de trabajadores
de dicha fábrica puede tener distintas maneras de trabajar: varias com-
binaciones de trabajo conjunto y trabajo individual. De cualquier ma-
nera, supongamos que un grupo A trabaja de la manera más e�ciente.
Sea �(A) la cantidad de los productos hechos por A en una hora; esto
es, � es una medida de productividad de un grupo de trabajadores.
Evidentemente,
1) �(;) = 0, y
2) A � B =) �(A) � �(B).
Sin embargo, � no es necesariamente aditiva. Sean A y B subcon-
juntos disjuntos de X. Si A y B trabajan separadamente, entonces
�(A [ B) = �(A) + �(B). Pero, como generalmente los grupos in-
teractúan entre sí, la igualdad puede no darse. Cuando �(A [ B) >
�(A)+�(B); se tiene cooperación efectiva entre los miembros de A[B.
Por el contrario, �(A [ B) < �(A) + �(B) muestra incompatibilidad
entre el trabajo de A y el de B. La incompatibilidad puede darse, por
ejemplo, debido a la insu�ciencia del equipo de trabajo o a la falta de
estaciones de trabajo en la fábrica. Puede ocurrir que A[B tenga tanto
cooperación efectiva como incompatibilidad de operación. Por lo que si
1
2 1. INTRODUCCIÓN
el grado de la cooperación efectiva es mayor que el de la incompatibi-
lidad de operación, se tiene �(A[B) > �(A) + �(B); si no, se tiene la
desigualdad contraria.
Este hecho, aunado al hecho mismo de estudiar teoría de la medida,
fue lo que motivó el tema de esta tesis.
Recordemos que una medida clásica está de�nida sobre una fami-
lia de subconjuntos de un espacio X que forman una sigma álgebra;
pero a veces no se cuenta con familias de conjuntos que tengan dicha
propiedad. Entonces lo primero es estudiar qué pasa en familias de con-
juntos con menos propiedades. Éste es uno de los puntos preliminares
que se aborda en la tesis. Por otro lado, la medida clásica se basa
esencialmente en la sigma aditividad -en medidas �nitas la aditividad
más la continuidad hacia el vacío es equivalente a la sigma aditividad-.
Desafortunadamente, como mostramos en el ejemplo anterior, no siem-
pre se tiene esta propiedad; esto lleva a de�nir las medidas difusas, las
cuales son monótonas y continuas, pero no necesariamente aditivas -
de hecho, se substituye la aditividad por la propiedad de monotonía y
la propiedad de ser continua es fundamental cuando el espacio total X
es in�nito-. En este contexto, en el Capítulo 3 se de�nen a las medidas
difusas (M. Sugeno [8]), se estudian algunas de sus propiedades como
son la convexidad y la exhaustividad, y se muestra la generación de
medidas a partir de una dada (por ejemplo, a partir de la suma y mul-
tiplicación de dos medidas). Una pregunta de especial importancia es
hasta dónde se puede extender una medida; en ese sentido, en la sección
3 de este mismo capítulo, se enuncia el problema de la medida plantea-
do por Lebesgue. Ahí mismo nosotros damos una respuesta para el caso
en el que la medida difusa es invariante bajo traslaciones con medida
del intervalo [0,1) positiva. Posteriormente en la sección 6 se establecen
condiciones bajo las cuales una medida difusa de�nida en un álgebra
se puede extender a una familia de conjuntos más amplia (Z. Wang,
G.J. Klir [1]). En el Capítulo 4 se estudian distintos tipos de conver-
gencia de sucesiones de funciones con esta medida, concretamente, se
generalizan el teorema de Egoro¤ y el de Taylor(J. Li [4]). Como es
sabido, a partir de una medida se puede de�nir una integral, la cual
se aplica a cierta familia de funciones llamadas funciones medibles; así,
en el Capítulo 5 examinamos el concepto de integral difusa -integral de
Sugeno-(M. Sugeno [8]), esto es, la integral de�nida a partir de la me-
dida difusa. Enseguida, se dan dos algoritmos para calcular la integral
de Sugeno con respecto a la medida de Lebesgue de funciones monó-
tonas con un número �nito de discontinuidades (Y. Ouyang, J. Fang
[5]). Es de particular interés saber bajo qué condiciones se preserva la
1. INTRODUCCIÓN 3
propiedad de integrabilidad mediante el proceso de límite de funciones
integrables; es por ello que presentamos la discusión sobre la generali-
zación de tres resultados conocidos en teoría de integración clásica, a
saber, el teorema de la convergencia monótona, el lema de Fatou y el
teorema de la convergencia dominada (Z. Wang, G. J. Klir [1]) . En la
sección 3 se muestra una conexión entre las de�niciones de la integral
de Lebesgue y la de Sugeno (M. Sugeno [8]). Más adelante, se presenta
a manera de ilustración la interpretación de la integral de Sugeno para
un ejemplo concreto (V. Torra, Y. Narukawa [9]). En la sección 7 de
este capítulo damos una aplicación de la integral de Sugeno con respec-
to a la elección del medicamento más adecuado para el tratamieno de
alguna enfermedad en un paciente (E. Rakus-Andersson [10]). Termi-
namos este trabajo con un capítulo de conclusiones y algunos problemas
�abiertos�hasta lo que pudimos investigar.
Entre otros artículos que fueron revisados y que sirvieron como
material de apoyo para este trabajo, aunque no fueron desarrollados
en el mismo, están: Y. W. Chen, G. H. Tzeng [12], Z. Wang, K. S.
Leung, G. J. Klir [13], L. A. Zadeh [14] y G. J. Klir, Z. Wang, D.
Harmanec [15]
Por último, queremos señalar que hemos hecho algunas aportaciones
en esta tesis sobre la discusión de las propiedades de la medida e integral
difusa. En la sección 2 del capítulo 3 mostramos (Teoremas 3, 4 y
Corolario 4) que el conjunto de medidas difusas es convexo; en la sección
3 del mismo capítulo probamos (Problema 1), como lo mencionamos
arriba, que no existe una medida difusa, invariante bajo traslaciones,
con medida positiva para el intervalo I = [0; 1]; de�nida sobre todos los
subconjuntos del intervalo I; en el ejemplo 9 y, de manera más general,
en la Proposición 9 mostramos que en el Teorema 5 la hipótesis de
que la familia < sobre la cual está de�nida la función de conjuntos sea
un anillo no se puede eliminar si se desea garantizar la conclusión del
mismo. Además de dar algunos ejemplos.
CAPíTULO 2
Preliminares
Vamos a comenzar con una serie de de�niciones que nos son nece-
sarias para el desarrollo de este trabajo y vamos a mostrar la existencia
de un conjunto que no es Lebesgue medible, el cuál nos será util para
la discusión en la sección 3 del capítulo 3.
1. Familias de conjuntos
A continuacion, daremos algunas de�niciones y resultados cono-
cidos sobre familias de conjuntos que utilizaremos a lo largo de este
trabajo. Las demostraciones de algunas a�rmaciones hechas abajo se
pueden encontrar en [2].
De�nición 1. La familia de todos los subconjuntos de un conjunto
dado X es llamada el conjunto potencia de X, y se denotará por
}(X).
De�nición 2. Una familia no vacía L � }(X) es un semianillo
en X si
1. Para todo E;F 2 L, E \ F 2 L;
2. Para todo E;F 2 L con E � F , existe una colección �nita
fA0; :::; Ang de conjuntos en L que satisfacen
E = A0 � A1 � � � � � An = F y Bi = Ai � Ai�1 2 L.
De�nición 3. Una familia no vacía < � }(X) es un anillo en X
si para todo E;F 2 <, se tiene que
1. E [ F 2 <;
2. E � F 2 <.
Proposición 1. Si < es un anillo, entonces ; 2 <. Si E;F 2 <,
entonces E \ F 2 <.
De�nición 4. Una familia no vacía A � }(X) es un álgebra en
X si es un anillo y X 2 A.
5
6 2. PRELIMINARES
De�nición 5. Un �-anillo < es una familia no vacía de subcon-
juntos de X con las siguientes propiedades:
1. Para todo E;F 2 <, E � F 2 <;
2. Para todo Ei 2 <, [1i=1Ei 2 <.
Observación 1. Un �-anillo es un anillo que es cerrado bajo unio-
nes numerables de conjuntos en él.
De�nición 6. Sea fAng := fA1; A2; :::; An; : : :g una sucesión de
conjuntos.
El conjunto de todos los puntos de X que pertenecen a An para
una in�nidad de valores de n se llama el límite superior de fAng, y se
denota por l��m supAn o l��mAn.
El conjunto de todos los puntos de X que pertenecen a An para
todos los valores de n, excepto a lo más un número �nito de éstos, se
llama el límite inferior de fAng, y se denota por l��m��nf An o l��mAn.
Teorema 1. l��m supAn = \1n=1[1i=nAi y l��m��nf An = [1n=1\1i=nAi.
Corolario 1. l��m��nf An � l��m supAn.
De�nición 7. Si l��m��nf An = l��m supAn, decimos que el límite de
fAng existe y es este valor común. A dicho límite lo denotaremos por
l��mAn.
Proposición 2. Para cualquier sucesión monótona fAng, el límite
existe y además l��mAn = [1n=1An o l��mAn = \1n=1An, si fAng es
creciente o decreciente, respectivamente.
De�nición 8. Una �- álgebra (o �-campo) es un �-anillo < donde
X 2 <.
Ejemplo 1. La familia de todos los subconjuntos numerables de un
conjunto X es un �-anillo. Si X es numerable, entonces tenemos una
�-álgebra.
Proposición 3. Si < es un �-anillo y En 2 < para todo n; entonces
\1n=1En 2 <. Además, l��m supEn 2 < y l��m��nf En 2 <.
De�nición 9. Una familia no vacíaM es una clase monótona
si para toda sucesión monótona fEng � M; ocurre que l��mEn 2M.
Proposición 4. Un �-anillo < es una clase monótona.
Proposición 5. Un anillo que también es una clase monótona es
un �-anillo.
3. EL CONJUNTO DE VITALI 7
2. Medida de Lebesgue
De�nición 10. Una medida clásica es una función m : F �!
[0;1) no negativa de�nida sobre una familia de subconjuntos de un
espacio X que forman una sigma álgebra la cual satisface:
(a): m(;) = 0;
(b): m es �-aditiva.
A�rmación 1. Las medidas clásicas son monótonas y continuas
desde arriba y desde abajo (ver de�nición 19).
De�nición 11. La medida de Lebesgue, que denotaremos por �,
es una medida clásica que a cada intervalo le asocia su longitud.
3. El Conjunto de Vitali
Mostraremos un conjunto en R que no es medible en el sentido de
Lebesgue. Para ello, utilizaremos el Axioma de elección, el cual tiene
varias equivalencias; nosotros sólo mencionaremos una de ellas.
3.1. Dos axiomas importantes.
De�nición 12. Sea X un conjunto. Una relación � se llama un
orden parcial en X si para cualesquiera x; y; z 2 X; cumple
a) x � x,
a) x � y e y � x implica x = y,
b) x � y e y � z implica x � z.
De�nición 13. Una relación � se llama un orden lineal (o sim-
plemente un orden) en X si
a) � es un orden parcial,
b) x � y o y � x para todo x; y 2 X.
De�nición 14. Si X está ordenado parcialmente por �, un ele-
mento minimal de X es un elemento x 2 X tal que el único y 2 X
que satisface y � x es x mismo.
De�nición 15. Un orden lineal es un buen orden en X si to-
do subconjunto no vacío de X tiene un elemento minimal. Decimos
entonces que X está bien ordenado.
Axioma 1. (del buen orden) Todo conjunto no vacio puede ser
bien ordenado.
8 2. PRELIMINARES
Axioma 2. (de elección) Sea F una familia de conjuntos no
vacíos, disjuntos dos a dos. Entonces existe un conjunto M que consta
de precisamente un elemento de cada miembro de F .
Teorema 2. El Axioma de Elección y el Principio del buen orden
son equivalentes1
3.2. Construcción de un conjunto no medible.
De�nición 16. Sean x y y dos números reales que pertenecen al
intervalo [0; 1): De�nimos la suma módulo 1 de x y y como
xu y =
�
x+ y si x+ y < 1
x+ y � 1 si x+ y � 1.
De�nición 17. La traslación de E por y módulo 1 es el con-
junto
E u y = fw j w = z u y para algún z 2 Eg:
Pasemos a la construcción de dicho conjunto no medible.
A�rmación 2. Si E es Lebesgue medible, entonces Euy es Lebesgue
medible y, además,
�(E u y) = �(E).
Dados x; y 2 [0; 1), diremos que x está relacionado con y; lo que
denotaremos por x � y; si y sólo si x� y 2 Q.
A�rmación 3. La relación� es una relación de equivalencia.
Demostración. 1. Como x� x = 0 2 Q, se tiene x � x.
2. x � y si y sólo si x� y = r 2 Q si y sólo si y � x = �r 2 Q si y
sólo si y � x.
3. Si x � y e y � z, entonces x � y = r 2 Q y y � z = q 2 Q,
por consiguiente x � z = (x � y) + (y � z) = r + q 2 Q. Por lo tanto
x � z. �
Esta relación genera una partición del intervalo [0; 1) en clases de
equivalencia, es decir, dos elementos pertenecen a la misma clase de
equivalencia si su diferencia es un racional, y, por lo tanto, dos ele-
mentos pertenecen a distintas clases de equivalencia si su diferencia es
un irracional. Por ejemplo, todos los racionales pertenecen a la misma
clase de equivalencia, mientras que
p
2
2
pertenece a otra clase de equi-
valencia (a la misma clase a la cual pertenecen todos los números de la
forma
p
2
2
+ q; q 2 Q).
Por el Axioma de elección podemos formar un conjunto V que cons-
te de uno y sólo un elemento de cada clase de equivalencia.
1Una demostración se puede encontrar en [7]
3. EL CONJUNTO DE VITALI 9
De�nición 18. Sea V el conjunto que consta de uno y sólo un
elemento de cada clase de equivalencia generadas por la relación x � y
si x� y 2 Q, y sea frig1i=0 una enumeración de los números racionales
del intervalo [0; 1) con r0 = 0. De�nimos los conjuntos Vi = V uri para
todo i = 0; 1; 2; :::
A�rmación 4. Los conjuntos Vi tienen las siguientes propiedades:
P1) Vi \ Vj = ; si i 6= j (son ajenos dos a dos);
P2) [1i=0Vi = [0; 1).
Demostración. Para la prueba de la propiedadP1), supongamos
que Vi \ Vj 6= ;. Entonces existe x 2 [0; 1) tal que x 2 Vi y x 2 Vj, esto
implica que x = vi u ri y x = vj u rj con vi; vj 2 V y ri; rj 2 Q, por lo
que viu ri = vj u rj . Se deduce (vi+ ri) = (vj + rj) + n con n = 1; 0 ó
�1; esto es, vi � vj = rj � ri + n 2 Q, entonces vi � vj. Puesto que V
tiene sólo un elemento de cada clase de equivalencia, se concluye i = j.
Por lo tanto, si i 6= j, entonces Vi \ Vj = ;.
Ahora, probaremos la propiedad P2). Ya que Vi � [0; 1) para todo
i, se sigue que [1i=0Vi � [0; 1). Para la contención contraria, tomemos
un elemento x en [0; 1); entonces x pertenece a alguna de las clases de
equivalencia y así x es equivalente a un elemento x0 en V: Supongamos
primero que x0 � x. Como x � x0 = r 2 Q para algún r 2 [0; 1);
entonces x = x0 + r, consecuentemente x = x0 + ri para algún i. Por
lo tanto x 2 Vi para algún i: Supongamos ahora que x < x0. Entonces
�1 < x�x0 < 0; por lo que 0 < x�x0+1 < 1. Puesto que x�x0 es un
número racional, también lo es x�x0+1, de donde x�x0+1 = rj para
algún j, equivalentemente, x = x0 + rj � 1 . Es decir, x = x0 u rj para
algún j. Así, x 2 Vj para algún j: Tenemos entonces [0; 1) � [1i=0Vi. �
A�rmación 5. V es un conjunto no medible con respecto a la me-
dida de Lebesgue.
Demostración. Supongamos que V es Lebesgue medible. De la
A�rmación 4, se tiene que
�[0; 1) = �([Vi) =
1X
i=1
�(Vi):
Como Vi es una traslación módulo 1 de V;
1X
i=1
�(Vi) =
1X
i=1
�(V );
entonces
�[0; 1) =
1X
i=1
�(V ):
10 2. PRELIMINARES
Si �(V ) = 0; entonces �[0; 1) = 0. Mientras que si �(V ) > 0; se tiene
�[0; 1) = 1. Pero �[0; 1) = 1. Por lo tanto V no puede ser Lebesgue
medible. �
CAPíTULO 3
Medida difusa
En este capítulo se de�nen los conceptos de medidas difusas conti-
nuas y semicontinuas, y damos algunos ejemplos de dichas funciones; en
particular, nosotros probamos que la medida exterior y la medida inte-
rior no son medidas difusas continuas. Se muestra cómo construir me-
didas difusas a partir de medidas difusas dadas, de hecho demostramos
que la familia de medidas difusas forman un conjunto convexo. Tam-
bién se aborda el problema de la medida para el caso de las medidas
difusas y damos un resultado parcial al mismo. Posteriormente, se dis-
cute la extensión de tales medidas de�nidas en un álgebra de conjuntos
a familias más grandes de conjuntos y se da una breve introducción a
las medidas de credibilidad, plausibilidad, posibilidad y necesidad.
1. Medidas difusas continuas y semicontinuas
Sean X 6= ; y F 6= ; 6= C con F ; C � }(X).
La familia F generalmente será considerada como un semianillo,
anillo, álgebra, �-anillo, o �-álgebra.
Notación 1. La pareja (X;F) representará un espacio medible con
X 2 F .
De�nición 19. Una función de conjuntos � : F �! [0;1] no
negativa con valores reales extendidos de�nida en F es llamada una
medida difusa en (X;F) si y sólo si satisface las siguientes condi-
ciones:
M1) �(;) = 0 cuando ; 2 F ;
M2) Si E;F 2 F y E � F , entonces
�(E) � �(F ) (Monotonía);
M3) Si fEngn2N � F es tal que E1 � E2 � E3 � � � � y [1n=1En 2 F ,
entonces
l��m
n!1
�(En) = �([1n=1En) (continuidad desde abajo);
11
12 3. MEDIDA DIFUSA
M4) Si fEngn2N � F es tal que E1 � E2 � E3 � � � � ; �(E1) < 1
y \1n=1En 2 F , entonces
l��m
n!1
�(En) = �(\1n=1En) (continuidad desde arriba).
De�nición 20. Una función de conjuntos � es llamada medida
difusa semicontinua inferiormente si satisface M1), M2) y M3),
semicontinua superiormente si satisface M1), M2) y M4), semi-
continua si es semicontinua inferiormente o semicontinua superior-
mente y continua si satisface M3) y M4). Por último, � es llamada
(medida difusa o medida difusa semicontinua) regular si X 2 F y
�(X) = 1.
Notación 2. La terna (X;F ; �) representará un espacio de medida
difusa (o un espacio de medida difusa semicontinua).
Daremos algunos ejemplos de medidas difusas semicontinuas.
Ejemplo 2. Cualquier medida clàsica es una medida difusa.
Ejemplo 3. Una medida difusa que no es �nitamente aditiva (por
lo tanto no es �-aditiva):
Sean X = R+ y F = }(R+)nf;g. Para todo A 2 F ; de�nimos
�(A) = 1.
Claramente se satisfacen M2), M3), y m4). Ahora, si tomamosM =
f1; 2g y N = f3; 4g; tenemos
�(M [N) = 1 6= 2 = �(M) + �(N):
Así, � no es �nitamente aditiva.
Ejemplo 4. Una medida difusa semicontinua inferiormente, pero no
superiormente:
Sean X = [0; 1] y F = }(X). De�nimos
�(A) =
�
1; ; 6= A � X
0; A = ;:
Por de�nición, �(A) � 0 para todo A � X.
Propiedad M2): Sean E;F 2 F y E � F .
Si E = ;, entonces �(E) = 0 � �(F ). Mientras que si E 6= ;,
entonces F 6= ;, y tenemos �(E) = �(F ) = 1.
Propiedad M3): Sea fEngn2N � F tal que E1 � E2 � E3 �
� � � . Evidentemente [1n=1En 2 F . Si En = ; para todo n, entonces
[1n=1En = ;, entonces
l��m
n!1
�(En) = 0 = �([1n=1En):
1. MEDIDAS DIFUSAS CONTINUAS Y SEMICONTINUAS 13
Por el contrario, si Ek 6= ; para algún k; entonces En 6= ; para todo
n � k y [1n=1En 6= ;, entonces
l��m
n!1
�(En) = 1 = �([1n=1En):
En ambos casos se tiene la igualdad.
Para mostrar que no se satisface M4), de�namos En = (0; 1n) para
cada n. Evidentemente E1 � E2 � E3 � � � � , En 6= ; para todo n y
�(E1) <1 ; sin embargo,
l��m
n!1
�(En) = 1 6= 0 = �(;) = �(\1n=1En):
Ejemplo 5. Una medida difusa semicontinua superiormente, pero
no inferiormente:
Sean X = (0; 1) y F la familia de los conjuntos Lebesgue medibles.
De�nimos �(X) = 2; �(A) = �(A); � la medida de Lebesgue, para todo
A 6= X; con A 2 F .
Se sabe que � es no negativa y satisface M1), M2) y M4). Ahora, si
hacemos En = (0; 1� 1n) para cada n 2 N, se tiene E1 � E2 � E3 � � � � ;
y [1n=1En = X; por lo que
l��m
n!1
�(En) = l��m
n!1
(1� 1
n
) = 1 6= 2 = �([1n=1En):
Por lo tanto M3) no se satisface.
Ejemplo 6. La medida exterior es continua desde abajo, pero no
desde arriba:
Tomamos X = [0; 1], F = }(X), E � X; y
me(E) := ��nf
( 1X
n=1
l(In) j E � [1n=1In; In intervalo abierto 8n
)
donde l representa la longitud de un intervalo. Evidentemente, para
cualquier E 2 F ; se tiene me(E) � 0; ya que si I = (a; b), entonces
l(I) := b� a � 0. También se tiene me(;) = 0, pues ; � (a; a).
Propiedad M2): Sean E;F 2 F con E � F . Como fA j F � Ag �
fA j E � Ag, se tiene( 1X
n=1
l(Jn) j F � [1n=1Jn
)
�
( 1X
n=1
l(In) j E � [1n=1In
)
;
dando la desigualdad me(E) � me(F ).
Propiedad M3): Tomemos fEngn2N � Fcon E1 � E2 � E3 � � � � .
Automáticamente se obtiene que [1n=1En está en F .
14 3. MEDIDA DIFUSA
Por la propiedad de monotonía,
l��mme(En) � me([1n=1En):
Para la desigualdad contrariatomemos " > 0 y, para cada n, una
familia de intervalos fInj g1j=1 tal que En � [1j=1Inj con
1X
j=1
l(Inj ) < me(En) +
"
2n
:
También para cada n de�namos Jn = [1j=1Inj . Como los Inj son Lebesgue
medibles, se tiene
me(J1 [ J2) = me(J1) +me(J2)�me(J2 \ J1)
� me(E1) +
"
2
+me(E2) +
"
4
�me(E1)
= me(E2) + "(
1
2
+
1
4
).
Supongamos que
me(Jn [ (Jn�1 [ � � � [ J1)) � me(En) + "(
1
2
+
1
4
� � �+ 1
2n
).
Entonces
me(Jn+1 [ (Jn [ � � � [ J1)) = me(Jn+1) +me(Jn [ � � � [ J1)
�me(Jn+1 \ (Jn [ � � � [ J1))
� me(En+1) +
"
2n+1
+me(En)
+"(
1
2
+
1
4
� � �+ 1
2n
)�me(En)
� me(En+1) + "(
1
2
+
1
4
� � �+ 1
2n+1
).
Tomando el límite cuando n �!1,
me([1n=1En) � me([1n=1Jn)
= l��m
n
me([nk=1Jk
� l��m
n
me(En) + ".
Por lo tanto
me([1n=1En) � l��m
n
me(En).
Por último, tomemos los conjuntos Vi dados en la De�nición 18.
Sabemos por la propiedad P2) de la A�rmación 4 que [1i=1Vi = [0; 1].
Sea Ei = [1j=iVj. Entonces E1 � E2 � E3 � :::, \1i=1Ei = ; y, como
1. MEDIDAS DIFUSAS CONTINUAS Y SEMICONTINUAS 15
me(Vi) de cada Vi es mayor que cero (de lo contrario serían Lebesgue
medibles), se tiene
me(Ei) � me(Vi) = � > 0
para todo i 2 N: Luego, la propiedad M4) no se cumple.
Ejemplo 7. Una medida difusa regular:
Sea (X;F) un espacio medible, con F = }(X). De�nimos
�(E) =
�
1; si x0 2 E
0; si x0 =2 E
donde x0 es un punto �jo en X y E 2 F . Dado que � es una medida
clásica, � es una medida difusa; no obstante, daremos una prueba di-
recta de este hecho. Evidentemente, � es no negativa con �(;) = 0 y
�(X) = 1.
Propiedad M2): Sean E;F 2 F con E � F .
(i) Si x0 2 E, entonces x0 2 F , y tenemos �(E) = 1 = �(F );
(ii) Si x0 =2 E, entonces �(E) = 0 � �(F ).
Propiedad M3): Tomemos fEngn2N � F tal que E1 � E2 � � � � y
con [1n=1En 2 F .
(i) Si x0 2 Ek para algún k 2 N, entonces x0 2 En para todo n � k
y x0 2 [1n=1En. Por ende,
l��m
n!1
�(En) = 1 = �([1n=1En);
(ii) Si x0 =2 En para todo n, se tiene que x0 =2 [1n=1En, resultando
l��m
n!1
�(En) = 0 = �([1n=1En):
Propiedad M4): Sea fEngn2N � F tal que E1 � E2 � E3 � � � � y
\1n=1En 2 F (con �(E1) <1 por la de�nición de �).
(i) Si x0 2 En para todo n, se in�ere que x0 2 \1n=1En. Así,
l��m
n!1
�(En) = 1 = �(\1n=1En);
(ii) Si x0 =2 Ek para algún k 2 N, resulta que x0 =2 En para todo
n � k y x0 =2 \1n=1En, dando
l��m
n!1
�(En) = 0 = �(\1n=1En):
A esta medida se le conoce como la medida de Dirac (concentrada
en x0).
Ejemplo 8. La medida de Lebesgue es una medida difusa no nece-
sariamente regular.
16 3. MEDIDA DIFUSA
2. Generación de medidas
Podemos generar medidas a partir de otras medidas dadas.
Proposición 6. Si �1 y �2 son funciones de conjuntos continuas,
no negativas con valores reales extendidos en (X;F), y �1+ �2 y �1�
�2 están de�nidas, para todo E 2 F ; por
(�1 + �2)(E) = �1(E) + �2(E) y
(�1 � �2)(E) = �1(E)� �2(E);
respectivamente, entonces ambas funciones son continuas. Si �1 y �2
son medidas difusas �nitas o �-�nitas o medidas difusas semicontinuas,
entonces �1+ �2 y �1� �2 también lo son.
Demostración. Lo haremos sólo para el producto.
I) Si �1 y �2 son funciones conjunto continuas, no negativas a valores
reales extendidos en (X;F), entonces �1� �2 lo es:
1) La no negatividad: �1(E); �2(E) � 0 implica �1(E)��2(E) � 0.
2) Continuidad desde abajo: Sea fEngn2N � F ; con E1 � E2 �
E3 � � � � ; y [1n=1En 2 F . Como �1 y �2 son continuas desde abajo,
l��m(�1 � �2)(En) = l��m[�1(En)� �2(En)]
= l��m�1(En) l��m�2(En)
= �1([1n=1En)� �2([1n=1En)
= (�1 � �2)([1n=1En):
3) Continuidad desde arriba: Se prueba de manera similar.
II) Si �1 y �2 medidas difusas, entonces �1� �2 también lo es:
1) ; 2 F implica �1(;) = 0; �2(;) = 0; dando
(�1 � �2)(;) = �1(;)� �2(;) = 0:
2) Monotonía: Si E;F 2 F y E � F , entonces 0 � �1(E) � �1(F )
y 0 � �2(E) � �2(F ), lo cual nos da
�1(E)� �2(E) � �1(F )� �2(E) � �2(F )� �1(F ):
Por lo tanto
(�1 � �2)(E) � (�1 � �2)(F ):
III) Si �1 y �2 son medidas difusas �nitas, entonces �1� �2 también
lo es: Para todo E � F ; �1(E); �2(E) <1. Por ende
�1(E)� �2(E) <1:
IV) Si �1 y �2 son medidas difusas �-�nitas, entonces �1� �2 es �-
�nita: Si �1 y �2 son �-�nitas, entonces existen fAng; fBng 2 F tales
2. GENERACIÓN DE MEDIDAS 17
que X = [1n=1An y X = [1n=1Bn con �1(An); �2(Bn) < 1 para todo
n. Entonces Fnk := An \Bk 2 F y
�1(Fnk) � �1(An); �2(Fnk) � �2(Bk)
para todo k y n. Lo anterior implica [1n;k=1Fnk = ([1n=1An)\([1k=1Bk) =
X y
(�1 � �2)(Fnk) = �1(Fnk)� �2(Fnk) <1:
�
Proposición 7. Si � es medida difusa de�nida en el espacio (X;F)
y � � 0, entonces �� es medida difusa.
Demostración. Propiedad M1): ; 2 F implica �(;) = 0. Por lo
tanto ��(;) = 0.
Propiedad M2): Si E;F 2 F y E � F , entonces �(E) � �(F ),
dando como resultado ��(E) � ��(F ).
Propiedad M3): Sea fEngn2N � F tal que E1 � E2 � E3 � � � � ;
y E = [1n=1En 2 F . Puesto que � es una medida difusa, l��m�(En) =
�(E), entonces � l��m�(En) = ��(E), y así l��m��(En) = ��(E).
Propiedad M4): Análoga a la anterior. �
Corolario 2. Si �1; : : : ; �n son medidas difusas en (X;F) y �1; :::;
�n � 0, entonces �1�1+ �2�2 + � � �+ �n�n es una medida difusa.
Proposición 8. Si � es una medida difusa regular (medida difusa
regular semicontinua superiormente, o medida difusa regular semicon-
tiunua inferiormente) en un álgebra A de subconjuntos de X;entonces
�(E) = 1 � �(X � E) también es una medida difusa regular (medi-
da difusa regular semicontinua inferiormente, o medida difusa regular
semicontinua superiormente, respectivamente). A � se le llama la me-
dida difusa dual de �.
Demostración. Supongamos que � es una medida difusa regular.
1) �(;) = 0: �(;) = 1� �(X � ;) = 1� �(X) = 1� 1 = 0;
�(X) = 1: �(X) = 1� �(X �X) = 1� �(;) = 1� 0 = 1.
2) � es monótona: Para E;F 2 A con E � F se tiene (X � F ) �
(X � E), dando �(X � F ) � �(X � E). Entonces ��(X � F ) �
��(X�E), resultando 1��(X�F ) � 1��(X�E). Se tiene entonces
�(F ) � �(E).
18 3. MEDIDA DIFUSA
3) � es continua desde abajo: Sea fEng � X con E1 � E2 � � � � .
Entonces
l��m �(En) = l��m[1� �(X � En)]
= 1� l��m�(X � En)
= 1� �[\1n=1(X � En)]
= 1� �[X � [1n=1En]
= �([1n=1En)
�
Observación 2. El resultado anterior se vale aún cuando la fami-
lia dada no sea un álgebra. Esto es, si � es una medida difusa regular
(medida difusa regular semicontinua superiormente, o medida difusa
regular semicontiunua inferiormente) de�nida en una familia F (no
necesariamente un álgebra) y � esté de�nida en
F 0 := fA j A = X � F con F 2 Fg
mediante la relación
�(E) = �(X)� �(X � E)
con �(X) < 1 , entonces � es una medidad difusa regular (medi-
da difusa regular semicontinua inferiormente, o medida difusa regular
semicontinua superiormente, respectivamente).
Corolario 3. Sean I = [0; 1]; E � I y � la medida de Lebesgue. La
medida interior
mi(E) := �(I)�me(I � E)
es continua desde arriba (pero no es continua desde abajo).
Teorema 3. Si �1; �2; �3; : : : son medidas difusas semicontinuas in-
feriormente de�nidas en (X;F), �i � 0 para todo i y (
P1
i=1 �i�i)(X) <
1; entonces
P1
i=1 �i�i también es una medida difusa semicontinua in-
feriormente, donde
(
1X
i=1
�i�i)(A) :=
1X
i=1
(�i�i)(A):
Demostración. Obviamente
P1
i=1 �i�i es no negativa y monó-
tona. Además, si ; 2 F , (
P1
i=1 �i�i)(;) = 0.
Probaremos la continuidad desde abajo para la misma.
2. GENERACIÓN DE MEDIDAS 19
Sean fAng una sucesión monótona creciente de conjuntos en F y
" > 0: Por un lado, An � [1n=1An para todo n implica
(
1X
i=1
�i�i)(An) � (
1X
i=1
�i�i)([1n=1An);
entonces
l��m
n
(
1X
i=1
�i�i)(An) � (
1X
i=1
�i�i)([1n=1An).
Por otro lado, como (
P1
i=1 �i�i)(X) < 1; existe N0 2 N tal que para
todo N � N0 se tiene
(
1X
i=N+1
�i�i)(X) < ".
Sea N � N0.
(
1X
i=1
�i�i)([1n=1An) =
NX
i=1
�i�i([1n=1An) +
1X
i=N+1
�i�i([1n=1An)
�
NX
i=1
�i�i([1n=1An) +
1X
i=N+1
�i�i(X)
<
NX
i=1
�i�i([1n=1An) + "
=
NX
i=1
�i l��m
n
�i(An) + "
= l��m
n
 
NX
i=1
�i�i(An)
!
+ "
� l��m
n
 1X
i=1
�i�i(An)
!
+ "
entonces
(
1X
i=1
�i�i)([1n=1An) � l��m
n
(
1X
i=1
�i�i)(An).
Por lo tanto
l��m
n
(
1X
i=1
�i�i)(An)= (
1X
i=1
�i�i)([1n=1An).
20 3. MEDIDA DIFUSA
�
Teorema 4. Si �1; �2; �3; : : : son medidas difusas semicontinuas
superiormente en (X;F) y �i � 0 para todo i 2 N, entonces
P1
i=1 �i�i
también es una medida difusa semicontinua superiormente.
Demostración. Sean fEng una sucesión monótona decreciente de
conjuntos en F ; E = \1i=1Ei 2 F y " > 0:
Por un lado, E � En para todo n implica
 1X
i=1
�i�i
!
(E) � (
1X
i=1
�i�i)(En)
para todo n; entonces
(
1X
i=1
�i�i)(E) � l��m
n
(
1X
i=1
�i�i)(En):
Por el otro lado,
l��m
k
kX
i=1
(�i�i)(E1) = (
1X
i=1
�i�i)(E1) <1;
entonces existe N 2 N tal que para todo k � N
1X
i=k+1
(�i�i)(E1) <1
y (ya que � es monótona)
(
1X
i=1
�i�i)(En) =
kX
i=1
(�i�i)(En) +
1X
i=k+1
(�i�i)(En)
<
kX
i=1
(�i�i)(En) + "
3. MEDIDAS DIFUSAS Y EL PROBLEMA DE LA MEDIDA 21
para todo n; entonces
l��m
n
(
1X
i=1
�i�i)(En) � l��m
n
kX
i=1
(�i�i)(En) + "
=
kX
i=1
�i l��m
n
(�i)(En) + "
=
kX
i=1
�i(�i)(E) + "
� (
1X
i=1
�i�i)(E) + ";
entonces
l��m
n
(
1X
i=1
�i�i)(En) � (
1X
i=1
�i�i)(E).
Por lo tanto
l��m
n
(
1X
i=1
�i�i)(En) = (
1X
i=1
�i�i)(E).
�
Corolario 4. El conjunto de medidas difusas es un conjunto con-
vexo.
3. Medidas difusas y El problema de la medida
Como podemos notar, en la de�nición de medida difusa se ha omi-
tido la propiedad de sigma aditividad, la cual ha sido substituida por
las propiedades de continuidad y monotonía; esto es, se han estableci-
do condiciones menos restrictivas para una medida que las dadas por
Lebesgue en su tesis doctoral (H. Jiménez [11]). Bien caben dos pre-
guntas relacionadas con el problema de la medida enunciado por él
mismo1:
Problema 1. Sea I = [0; 1). ¿Existe una medida difusa � con
�(I) > 0, invariante bajo traslaciones y de�nida en }(I)? No:
Sea � una medida difusa y elijamos los conjuntos Vi como en la
De�nición 18.
1En el Capítulo 6 se plantea un tercer problema.
22 3. MEDIDA DIFUSA
I) Si �(Vi) = � > 0 para todo i; entonces, de�niendo Bi = [1j=iVj
para todo i, tenemos �(Bi) � � > 0 para todo i, entonces
l��m
n!1
�(Bi) � � 6= 0 = �(;) = �(\1i=1Bi).
Por lo tanto, � no es continua desde arriba.
II) Si �(Vi) = 0 para todo i; probaremos primero que
�((V u q1) [ (V u q2) [ � � � [ (V u qn)) = 0
para cada n 2 N . Sean
W0 = (V u q1) [ (V u q2) [ � � � [ (V u qn)
y
W0 + ql = (V u q1 u ql) [ (V u q2 u ql) [ � � � [ (V u qn u ql);
con ql; qi 2 Q\ I para i = 1; 2; : : : ; n. Hagamos � = �(W0). Entonces
� = �(W0 + ql) para todo ql 2 Q \ I.
Si � > 0; de�nimos Bj = [1l=jW0 + ql: Es claro que Bj � Bj+1 y
que \1j=1Bj = ;; además, �(Bj) � �(W0) = � para todo j. Tenemos
así el caso anterior. Por lo tanto, � = 0.
De lo anterior, si de�nimos Bi = [ij=1Vj para todo i, se deduce que
B1 � B2 � B3 � � � � y
l��m
i!1
�(Bi) = 0 6= �(E1; E2) = �([1i=1Vi) = �(I):
Problema 2. ¿Existirá una medida difusa de�nida en }(I)? Sí.
Tomemos X = [0; 1], F = }(I), Q = fr1; r2; r3; : : :g un subconjunto
numerable de X y fa1; a2; a3; : : :g una sucesión de números reales no
negativos tal que
P1
m=1 am = 1. De�nimos
�(E) =
X
rm2E
am
para todo E � X. De la de�nición de la medida de Dirac (ejemplo
7) y del Teorema 3 se deduce que dicha función es una medida difusa.
Otra forma de probar lo anterior es notando el hecho de que � es una
medida clásica, pues evidentemente �(;) = 0; y si E1; E2; : : : es una
sucesión de conjuntos en }(I) ajenos dos a dos, entonces
�([1i=1Ei) =
X
rm2[1i=1Ei
am
=
X
rm2E1
am +
X
rm2E2
am + � � �
= �(E1) + �(E2) + � � �
ya que la serie es absolutamente convergente.
3. MEDIDAS DIFUSAS Y EL PROBLEMA DE LA MEDIDA 23
Observación 3. La medida de Dirac es un caso particular de la
medida anterior tomando a1 = 1, a2 = a3 = � � � = 0 y Q = fr0g un con-
junto unipuntual. Ambas medidas son �-aditivas y no son extensiones
de la medida de Lebesgue.
No obstante, cuando trabajamos medidas continuas sobre anillos
obtenemos la propiedad de sigma aditividad.
Lema 1. Sea � una función de conjuntos �nita no negativa y L un
semianillo. Si � es aditiva en L, entonces � es monótona.
Demostración. Sean A;B 2 L y A � B.
Existe fC0;C1; : : : ; Cng � L tal que A = C0 � C1 � � � � � Cn = B.
Ya que para todo k 2 f1; 2; : : : ; ng se tiene Ck = (CknCk�1) [ Ck�1,
entonces
�(Ck) = �((CknCk�1) [ Ck�1)
= �(CknCk�1) + �(Ck�1)
� �(Ck�1).
Se concluye
�(B) � �(A).
�
Lema 2. Sea � una función de conjuntos �nita no negativa y < un
anillo. Si � es aditiva en <, entonces � es �nitamente aditiva.
Demostración. (Por inducción sobre n)
Por hipótesis, si A y B son elementos de < con A\B = ;; entonces
A [B 2 < y
�(A [B) = �(A) + �(B):
Supongamos que la ecuación vale para n elementos; esto es, siA1; : : : ; An
2 < con Ai \ Aj = ; siendo i 6= j, entonces [ni=1Ai 2 < y
�([ni=1Ai) =
nX
i=1
�(Ai):
Sean A1; A2; : : : ; An; An+1 2 < con Ai \ Aj = ; siendo i 6= j. Entonces
[n+1i=1 Ai 2 < y
�([n+1i=1 Ai) = �([ni=1Ai) + �(An+1)
=
nX
i=1
�(Ai) + �(An+1)
=
n+1X
i=1
�(Ai):
24 3. MEDIDA DIFUSA
�
Teorema 5. Sea � una función de conjuntos �nita, no negativa y
aditiva en un anillo <. Si � es o continua desde abajo en cada E 2 <;
o continua desde arriba en el vacío, entonces � es �-aditiva en <.
Demostración. Sea fA1; A2; : : :g � < tal que Ai \ Aj = ; para
todo i 6= j y [1i=1Ai 2 <.
Si � es continua desde abajo, como para cualquier n en los naturales
[ni=1Ai 2 <; entonces
�([1i=1Ai) = l��m
n
�([ni=1Ai)
= l��m
n
nX
i=1
�(Ai)
=
1X
i=1
�(Ai):
Ahora, si � es continua desde arriba en el vacío, haciendo
Hn = ([1i=1Ai)n([ni=1Ai);
se tiene
�([1i=1Ai) = �(Hn [ ([ni=1Ai))
= �([ni=1Ai) + �(Hn)
=
nX
i=1
�(Ai) + �(Hn);
entonces
�([1i=1Ai) = l��m
n
(
nX
i=1
�(Ai) + �(Hn))
= l��m
n
nX
i=1
�(Ai) + l��m
n
�(Hn)
=
1X
i=1
�(Ai).
�
El siguiente ejemplo muestra que la tesis del Teorema 5 no se cumple
necesariamente si < no es un anillo:
Ejemplo 9. Tomemos X = [0; 1] \Q y
L = fI\Q : I es un subintervalo de X con extremos x; y 2 Q y x � yg:
3. MEDIDAS DIFUSAS Y EL PROBLEMA DE LA MEDIDA 25
Si A 2 L tiene extremos x y y; de�namos
�(A) = y � x.
Probaremos que L es un semianillo, pero no un anillo, y que � es una
medida difusa.
I) L es un semianillo:
1) Si E;F 2 L, como la intersección de dos intervalos o es un
intervalo o es el vacío, entonces E \ F 2 L.
2) Sean E = I \Q y F = J \Q; con a; b y c; d los extremos derecho
e izquierdo, respectivamente, de I y J; tales que E � F .
Haciendo A0 = E; A1 = H \ Q; donde H es el intervalo con su
extremo izquierdo igual a a y su extremo derecho igual a d y A2 = F;
se tiene que A0 � A1 � A2 y Bi = Ai � Ai�1 2 L con i = 0; 1; 2.
Por lo tanto L es un semianillo.
II) L no es un anillo:
Sean p y q dos racionales distintos de [0; 1]; E = fpg y F = fqg:
Entonces E 2 L y F 2 L; pero E [ F = fp; qg =2 L.
III) � es una medida difusa:
Propiedad M1): Como ; = (q; q); con q 2 Q \ [0; 1]; se tiene que
; 2 L y �(;) = q � q = 0.
Propiedad M2): Sean E;F 2 L con E � F . Si E 6= ;; entonces se
tiene c � a y b � d, dando b� a � d� c. Por lo tanto �(E) � �(F ).
Propiedad M3): Sea fE1; E2; : : :g � L tal que E1 � E2 � � � � y
E = [1n=1En 2 L. Hay que considderar dos casos.
1) E = ; implica En = ; para todo n. Así, l��mn(En) = l��mn �(;) =
0 = �(E).
2) E = I \ Q 6= ; implica Ei = Ii \ Q 6= ; para todo i � i0; para
algún i0 2 N.
Sean a y b los extremos izquierdo y derecho, respectivamente, de I;
y ai y bi los extremos izquierdo y derecho, respectivamente, de Ii para
toda i � i0.
Los ai forman una sucesión monótona decreciente con l := l��m ai =
a (de lo contrario, existe q 2 Q \ [0; 1] tal que a < q < l � ai � bi � b
para todo i, entonces q 2 E y q =2 Ei para todo i; lo cual es una con-
tradicción). Análogamente se prueba que l��m bi = b (consecuentemente
Ii �! I). Por lo tanto
l��m
i
�(Ei) = l��m
i
(bi � ai) = l��m
i
bi � l��m
i
ai = b� a = �(E):
Por lo tanto
l��m
n
�(En) = �(E):
Así, � es continua desde abajo.
26 3. MEDIDA DIFUSA
Propiedad M4): Sean fE1; E2; : : :g � L tal que E1 � E2 � � � � y
E = \1n=1En 2 L. Nuevamente hay que considerar dos casos.
1) Ej = ; paraalgún j 2 N implica Ei = ; para todo i � j y E = ;.
Tenemos entonces l��mn �(En) = 0 = �(E).
2) Ei = Ii \ Q 6= ; para todo i implica que faig es una sucesión
monótona creciente con l := l��m ai = a (de lo contrario, existe q 2
Q \ [0; 1] tal que ai � l < q < a � b � bi para todo i, entonces q 2 Ei
para todo i y q =2 E ; lo cual es una contradicción). Análogamente
l��m bi = b (por consiguiente Ii �! I). Por lo tanto
l��m
i
�(Ei) = l��m
i
(bi � ai) = l��m
i
bi � l��m
i
ai = b� a = �(E):
Por lo tanto
l��m
n
�(En) = �(E):
Así, � es continua desde arriba.
IV) � no es �-aditiva:
Sean q1; q2; : : : una enumeración de Q\ [0; 1] y En = fqng para todo
n: Entonces Ei \ Ej = ;, si i 6= j, y [1n=1En = Q \ [0; 1] 2 L; pero
�([1n=1En) = 1 6= 0 =
1X
n=1
�(En):
De manera más general, podemos establecer la siguiente proposi-
ción:
Proposición 9. Sean
L = fI\Q : I es un subintervalo de X con extremos x; y 2 Q y x � yg
y � unamedida clásica (esto es, una función de conjuntos no negativa
y �-aditiva) de�nida en los Borelianos de [0; 1] tal que 0 < �([0; 1]) <
1 y �� �, donde � representa la medida de Lebesgue. Entonces
�(A) := �(I)
para todo A 2 L es una medida difusa la cual no es �-aditiva.
Demostración. El Ejemplo 9 muestra que L es un semianillo.
Ahora, sea J = [0; 1] . Por el Teorema de Radon-Nikodym, existe una
función medible f : [0; 1] �! R con f � 0 tal que
�(B) =
Z
J
f(x) � �B(x)d�
para todo conjunto B Borel medible.
3. MEDIDAS DIFUSAS Y EL PROBLEMA DE LA MEDIDA 27
� es no negativa con �(;) = 0. Esto último junto con la propiedad
de monotonía para la integral nos da la propiedad de monotonía para
�. Resta mostrar la continuidad de � .
Propiedad M3): Sean fE1; E2; : : :g � L tal que E1 � E2 � � � � y
E = [1n=1En 2 L.
1) E = ; implica En = ; para todo n. Entonces
l��m
n
�(En) = l��m
n
�(;) = 0 = �(E):
2) Si E = I \ Q 6= ; entonces Ei = Ii \ Q 6= ; para todo i � i0;
para algún i0 2 N.
De�nimos las funciones fi(x) = f(x) ��Ii(x); para todo i; y f0(x) =
f(x) � �I(x). Como mostramos también en el Ejemplo 9, Ii �! I,
entonces fi �! f . Aplicando el Teorema de la Convergencia Domi-
nada de Lebesgue, se deduce que l��mi �(Ii) = �(I). Por consiguiente
l��mn �(En) = �(E).
La propiedad M4) se demuestra de manera similar. Por lo tanto �
es una medidad difusa.
Finalmente, sea q1; q2; : : : una enumeración de los números racionales
del intervalo [0; 1]. Siendo �(fqng) = 0 para todo n,
1X
n=1
�(fqng) = 0 6= 1 = �(J) = �([1n=1fqng).
Así que � no es �-aditiva. �
Observación 4. Si la hipótesis de la continuidad absoluta se omite
en la Proposición 9, la conclusión de la misma puede fallar. Sea � la
medida de Dirac concentrada en x0 2 Q \ J . Entonces �(A) = �(I)
para todo A 2 L es �-aditiva.
Halmos (en [2], p. 40) da un ejemplo de una medida que no es
�-aditiva de�nida en un semianillo:
A�rmación 6. Sean Q el conjunto de números racionales y P =
fE = [x; y) \ Q : [x; y) � [0; 1]; x; y 2 Q con x < yg. Entonces la
función � : P �! R de�nida por
�(E) = y � x
para todo E 2 P no es �-aditiva.
Demostración. Sea fr1; r2; : : :g una enumeración de los números
racionales. Para cada k 2 N; tomemos sk 2 (rk; 1) tal que sk � rk <
1
2k+1
y de�namos Ik = [rk; sk). Hagamos J1 = I1 y, para cada k � 2,
Jk = Ik � [k�1j=1Ij. Se tiene entonces
28 3. MEDIDA DIFUSA
i) Para cada k 2 N, Jk es una unión �nita de intervalos ajenos por
parejas [ak1; b
k
1); [a
k
2; b
k
2); : : : ; [a
k
nk
; bknk) y, como Jk � Ik, se tiene
Pnk
j=1(b
k
j�
akj ) � sk � rk.
ii) Los conjuntos J1; J2; : : :son ajenos por parejas, así que los inter-
valos [a11; b
1
1); [a
1
2; b
1
2); : : : ; [a
1
n1
; b1n1); [a
2
1; b
2
1); [a
2
2; b
2
2); : : : ; [a
2
n2
; b2n2); : : : tam-
bién son ajenos por parejas.
iii) [0; 1)\Q = ([1k=1Ik)\Q = ([1k=1Jk)\Q = [[1k=1([
nk
j=1[a
k
j ; b
k
j ))]\
Q = [1k=1([
nk
j=1([a
k
j ; b
k
j ) \Q)):
iv) �([0; 1) \Q) = 1.
v)
P1
k=1
�Pnk
j=1 �([a
k
j ; b
k
j ) \Q)
�
=
P1
k=1
�Pnk
j=1(b
k
j � akj )
�
�
P1
k=1(sk � rk) <
P1
k=1
1
2k+1
= 1
2
.
Por lo tanto � no es �-aditiva. �
4. Medidas difusas �nitas
En esta sección, F representará un �-anillo y las funciones de con-
juntos � consideradas se supondrá que son monótonas con �(;) = 0.
Teorema 6. Si � es una medida difusa �nita, entonces
l��m�(En) = �(l��mEn)
para todo fEng � F cuyo límite existe.
Demostración. Sean fEng � F y E = l��mEn. Entonces
�(E) = �(l��m supEn)
= �(\1n=1 [1i=n Ei)
= �(\1n=1Fn);
4. MEDIDAS DIFUSAS FINITAS 29
con Fn = [1i=nEi. Como � es �nita, �(F1) < 1, entonces, haciendo
Hn = \1i=nEi; se tiene
�(\1n=1Fn) = l��m�(Fn)
= l��m�([1i=nEi)
= l��m sup�([1i=nEi)
� l��m sup�(En)
� l��m��nf �(En)
� l��m��nf �(\1i=nEi)
= l��m�(\1i=nEi)
= l��m�(Hn)
= �([1n=1Hn)
= �([1n=1 \1i=n Ei)
= �(l��m��nf En)
= �(E).
Por lo tanto
l��m sup�(En) = l��m��nf �(En)
= �(E)
= �(l��mEn).
Por lo tanto
l��m�(En) = �(l��mEn).
�
De�nición 21. Una función de conjuntos � : F �! [0;1] es
exhaustiva si para cualquier sucesión de conjuntos ajenos (dos a dos)
fEng � F ; ocurre que l��mn!1 �(En) = 0.
Teorema 7. Si � es una medida difusa �nita semicontinua supe-
riormente, entonces � es exhaustiva.
Demostración. Tomemos una sucesión fEng en F de conjuntos
ajenos dos a dos . De�niendo Fn = [1i=nEi, tenemos una sucesión
decreciente fFng � F tal que
l��m
n
Fn = \1n=1Fn
= \1n=1 [1i=n Ei
= l��m
n
supEn
= ;:
30 3. MEDIDA DIFUSA
Luego
l��m
n
�(Fn) = �(\1n=1Fn)
= �(l��mFn)
= �(;)
= 0.
Ya que 0 � �(En) � �(Fn); se tiene
l��m
n
�(En) = 0.
Por lo tanto � es exhaustiva. �
Corolario 5. � medida difusa �nita implica � exhaustiva.
Las siguientes proposiciones dan caracterizaciones para funciones
exhaustivas.
Notación 3. Sea fEng � C. El símbolo En % E signi�ca fEng
creciente y l��mEn = E. Análogamente, En & E signi�ca fEng decre-
ciente y l��mEn = E.
Recordemos que la diferencia simétrica de dos conjuntos A y B está
dada por
A�B = (A�B) [ (B � A):
De�nición 22. Una sucesión fEng se llama �-Cauchy si
�(En�Em) �! 0 conforme n;m �!1.
Proposición 10. � es exhaustiva si y sólo si cualquier sucesión
monótona fEng � F es �-Cauchy.
Demostración. Para mostrar la necesidad de que cualquier suce-
sión monótona fEng � F es �-Cauchy, para la exhaustividad de �,
sea � exhaustiva y fEng � F una sucesión monótona. Supongamos
que fEng es no decreciente y no es �-Cauchy. Entonces existen " > 0
y una subsucesión fEnkg de fEng tal que
�(Enk+1 � Enk) = �(Enk+1�Enk) � ".
Si Fk = Enk+1 � Enk con k � 1, la sucesión fFkg es disjunta y
l��m�(Fk) � ";
generando una contradicción.
Para la su�ciencia, si fEng es una sucesión disjunta, entonces Fn =
[1k=nEk & ; conforme n �!1. Esto implica que fFng es �-Cauchy y
l��m�(En) = l��m�(Fn � Fn+1) = l��m�(Fn�Fn+1) = 0.
�
4. MEDIDAS DIFUSAS FINITAS 31
Proposición 11. � es exhaustiva si y sólo si para cualquier suce-
sión fEng y cualquier " > 0, existe n0 � 1 tal que
� (En � [n0k=1Ek) < "
para todo n � n0:
Demostración. Sean F1 = E1; F2 = E1 [ E2; : : : ; Fm = [mn=1En.
Entonces fFmg es una sucesión monótona creciente y para todo j � 1;
Fi�Fi+j = Fi+jnFi =
�
[i+jn=1En
�
n
�
[in=1En
�
� Ei+jn
�
[in=1En
�
:
Haciendo uso de la Proposición 10 se obtiene la primera parte de la
Proposición.
Recíprocamente, sea fEng una sucesión disjunta. Dado " > 0, existe
n0 � 1 tal que
� (En � [n0k=1Ek) < "
para todo n � n0. Entonces
�(En) = � (En � [n0k=1Ek) < "
para todo n � n0. Entonces
l��m�(En) = 0:
�
De�nición 23. Una función de conjuntos � : F �! [0;1] se
dice que es de orden continuo (o que es continua en el vacío) si
l��m�(En) = 0 para cualquier sucesión fEng tal que En & ;.
Lema 3. Si � es de orden continuo, entonces es exhaustiva.
Demostración. Sea fEng � F una sucesión de conjuntos ajenos
y " > 0. Si F = [1k=1Ek y Fn = [nk=1Ek, entonces (F � Fn) & ;, por
lo que
l��m�(F � Fn) = 0;
de lo cual se in�ere que existe n0 � 1 tal que
�(F � Fn0) < ":
Por lo tanto
� (En � [n0k=1Ek) < "
para todo n � n0. Por lo tanto, debido a la Proposición 11, � es exhaus-
tiva. �
Proposición 12. Sea � una medida difusasemicontinua inferior-
mente. Entonces � es exhaustiva si y sólo si � es de orden continuo.
32 3. MEDIDA DIFUSA
Demostración. Sea � exhaustiva y fEng una sucesión decreciente
con \1n=1En = ;. Dada " > 0, existe n0 2 N tal que
�(En�Em) < "
para todo n;m � n0. Puesto que (En�Em)% En conforme m �!1;
para cualquier n �ja, por la propiedad M3) de la De�nición 19, tenemos
�(En) � "
para todo n � n0. �
5. Extensión de medidas difusas semicontinuas
Dada un álgebra de conjuntos A en }(X), denotaremos por A�
la clase de todos aquellos conjuntos que pueden ser expresados por
el límite de una sucesión creciente de conjuntos en A, y por A� la
clase de todos aquellos conjuntos que pueden ser expresados por el
límite de una sucesión decreciente de conjuntos en A. Evidentemente
A� = fE j Ec 2 A�g y A� = fE j Ec 2 A�g.
Sea � una función de conjuntos �nita.
De�nición 24. Una función de conjuntos no decreciente � : 
 �!
[0;1) es
(i) consistente inferiormente en 
 si para cualquier conjunto
F 2 
 y cualquier sucesión creciente fEng � 
, la relación F �
l��mEn = [1n=1En implica
l��m�(En) � �(F );
(ii) consistente superiormente en 
 si para cualquier conjunto
F 2 
 y cualquier sucesión decreciente fEng � 
, la relación l��mEn =
[1n=1En � F implica
l��m�(En) � �(F ):
Lema 4. Sea � : 
 �! [0;1) no decreciente. Si 
 es cerrado bajo
intersecciones �nitas (uniones �nitas), entonces � es consistente infe-
riormente (superiormente) si y sólo si es continua desde abajo (desde
arriba).
Demostración. Supongamos que � es continua desde abajo en
, F 2 
 y fEng � 
 una sucesión creciente. Si F � [1n=1En; En %
[1n=1En implica En \ F % F; lo cual a su vez implica
l��m�(En) � l��m�(En \ F ) = �(F ):
Por lo tanto � es consistente inferiormente.
5. EXTENSIÓN DE MEDIDAS DIFUSAS SEMICONTINUAS 33
Recíprocamente, fEng � 
 y En � En+1 para todo n implica
l��mEn = [1n=1En, entonces para F = [1n=1En;
l��m�(En) � �([1n=1En):
Por otro lado, por la propiedad de monotonía para �,
l��m�(En) � �([1n=1En):
Por lo tanto � es continua desde abajo en 
.
La prueba para el otro caso es análoga. �
Teorema 8. Si � es una medida difusa semicontinua inferiormente
en A, entonces � puede extenderse de manera única a una medida
difusa semicontinua inferiormente sobre A�.
Demostración. Sea � una medida difusa semicontinua inferior-
mente en A. Dados E 2 A� y fEng � A tal que En % E, de�nimos
�(E) = l��m�(En)
1) � está bien de�nida ya que fE 0ng � A tal que E 0n % E impli-
ca [1n=1E 0n = l��mE 0n = E, entonces, para todo n0, En % E � E 0n0,
entonces (por el Lema 4)
l��m�(En) � �(E 0n0);
por consiguiente
l��m�(En) � l��m�(E 0n).
Con un razonamiento similar se obtiene la disigualdad contraria. Por
lo tanto
l��m�(En) = l��m�(E
0
n):
2) � es monótona en A�: Sean E;F 2 A� con E � F: Existen
fEng; fFng � A tales que En % E y Fn % F , entonces, para todo n0,
Fn % F � E � En0, entonces
l��m�(Fn) � �(En0);
consecuentemente
�(F ) = l��m�(Fn) � l��m�(En) = �(E):
3) � es continua desde abajo: Sea fEng � A� tal que En % E 2 A�.
Para cada n, existe fEnig � A tal que Eni % En. Sean F1 = E11,
F2 = E12, F3 = E21, F4 = E13, F5 = E22, ..., y F 0n = [ni=1Fi. Entonces
F 0n % [1n=1En = E, entonces
�(E) = l��m�(F 0n):
34 3. MEDIDA DIFUSA
Ahora, debido a queEk � Ek+1 para todo k, para cada n existe j = j(n)
tal que F 0n � Ej, entonces
�(F 0n) = �(F
0
n) � �(Ej);
entonces
�(E) = l��m�(F 0n) � l��m �(Ej):
Por otro lado, En � [1n=1En = E para todo n, entonces �(En) � �(E)
para todo n, entonces
l��m �(En) � �(E):
Por lo tanto
l��m �(En) = �(E):
Por lo tanto � es continua desde abajo.
� es pues la extensión buscada. La unicidad de � se sigue de la
unicidad del límite. �
Teorema 9. Si � es una medida difusa semicontinua superiormente
en A, entonces � puede extenderse de manera única a una medida
difusa semicontinua superiormente sobre A�.
Demostración. Sea � es una medida difusa semicontinua supe-
riormente en A. De�niendo
�(E) = �(X)� �(X � E)
para todo E 2 A; se tiene que � es semicontinua inferiormente, y
�(X) = �(X). Luego, por el Teorema 8, � se puede extender a una
medida difusa semicontinua inferiormente �0 sobre A�. Entonces
�0(E) = �(X)� �0(X � E),
para todo E 2 A�; es una extensión de � sobre A� y es única debido
también al Teorema 8. �
6. Extensión de medidas difusas
En esta sección supondremos que A es un álgebra, F una �-álgebra
que contiene a A y que las funciones de conjuntos son �nitas.
6. EXTENSIÓN DE MEDIDAS DIFUSAS 35
De�nición 25. Sean � y � dos medidas difusas en C: Decimos que
� es absolutamente continua con respecto a �, denotado por �� �,
si para cada " > 0, existe � > 0 tal que para todo E;F 2 C, E � F y
�(F )� �(E) < �;
se tiene
�(F )� �(E) < ":
Observación 5. Es un ejercicio sencillo mostrar la equivalencia
entre esta de�nición y la de�nición usal de continuidad absoluta cuando
� y � son medidas clásicas.
Teorema 10. Sea � una medida difusa en A. � puede ser extendida
sobre A� si existe una medida difusa � en A� tal que �� � en A. La
extensiòn es única y preserva la continuidad absoluta con respecto a �.
Demostración. Nuevamente de�nimos �0(E) = l��m�(En). Sólo
es necesario mostrar que �0 es continua desde arriba debido al Teorema
8.
Sea fEng � A� tal que En & E0 2 A� y, para cada n 2 f0; 1; 2; :::g,
tomemos fEn;ig1i=1 � A tal que En;i % En. Puesto que, para todo
n = 1; 2; :::, E0 � En, podemos suponer sin pérdida de generalidad que
E0;i � En;i para cualquier n = 1; 2; ::: e i = 1; 2; :::. Dada " > 0, existe
� > 0, tal que
�(F ) <
"
2
+ �(E);
siempre que E;F 2 A; E � F y
�(F ) < � + �(E):
Por la continuidad de � y la propia de�nición de �0, existenN yN 0 tales
que
�(EN) < �(E0) +
�
2
;
�(E0) < �(E0;N 0) +
�
2
y
�0(EN) < �(EN;N 0) +
"
2
;
entonces
�(ENN 0) � �(EN)
< �(E0;N 0) + �:
Por lo tanto
�(ENN 0) < �(E0;N 0) +
"
2
:
36 3. MEDIDA DIFUSA
Así,
�0(EN) < �(EN;N 0) +
"
2
< �(E0;N 0) + "
� �0(E0) + ":
Por la monotonía de �0, tenemos
�0(E0) = l��m
n
�0(En):
Resta probar que �0 � � en A�. Ya que � � � en A, para " > 0
existe � > 0 tal que para E0; F0 2 A con E0 � F0 se tiene
�(F0) < �(E0) +
"
2
;
si
�(F0) < 2� + �(E0):
Ahora, para E;F 2 A� con E � F y
�(F ) < � + �(E);
elegimos dos sucesiones fEng; fFng � A tales que En % E y Fn % F .
Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que En � Fn para cada
n (o tomar En \ Fn en lugar de En). Debido a la continuidad de �0 y
� en A�, existe n0 2 N para el cual
�(Fn0) > �0(F )�
"
2
y
�(En0) > �(E)� �:
Luego, como
�(Fn0) � �(F )
< �(E) + �
< �(En0) + 2�;
se sigue que
�(Fn0) < �(En0) +
"
2
:
Por lo tanto
�0(F ) < �0(Fn0) +
"
2
= �(Fn0) +
"
2
< �(En0) + "
= �0(En0) + "
� �0(E) + ":
6. EXTENSIÓN DE MEDIDAS DIFUSAS 37
Por lo tanto �0 � � en A�:
La unicidad de �0 se garantiza por el Teorema 8. �
Notemos que, debido al Teorema 10, podemos generalizar los Teo-
remas 8 y 9, y las extensiones respectivas coinciden bajo las hipótesis
de dicho Teorema.
Ahora, vamos a extender una medida difusa de�nida en un álgebra
a una �-álgebra que contiene a la primera.
De�nición 26. Una medida difusa � en F es A�-aproximable si
para cada E 2 F y cada " > 0, existe F 2 A� tal que E � F y
�(F ) � �(E) + ":
Teorema 11. Una medida difusa � en A puede ser extendida a
una medida difusa A�- aproximable en F si existe una medida difusa
A�- aproximable � en F tal que �� � en A. La extensión es única y
también es absolutamente continua respecto de �:
Demostración. Por el Teorema 10, � puede ser extendida de ma-
nera única a una medida difusa �0 en A�, y �0 � � en A�. De�niendo
�(E) = ��nff�0(F ) j E � F 2 A�g
para todo E 2 F , resulta ser � no decreciente y � = �0 en A�. La
función � tiene las siguientes propiedades:
1) � es continua desde arriba en F : Tomemos fEng � F con En &
E 2 F . Sabemos que �0 � � en A�, entonces, para cada " > 0, existe
� > 0 tal que
�0(F ) < �0(E) + "
2
;
siempre que E;F 2 A�, E � F y
�(F ) < � + �(E):
Por la continuidad de � en F , existe N para la cual
�(EN) < �(E) +
�
2
:
Por de�nición de �; existe F1 2 A�tal que E � F1 y
�0(F1) < �(E) +
"
2
;
siendo � A�-aproximable en F , para EN 2 F , existe FN 2 A� tal que
EN � FN y
�(FN) < �(EN) +
�
2
;
38 3. MEDIDA DIFUSA
por último, A� es cerrada bajo intersecciones �nitas, entonces podemos
elegir F0 := F1 \ Fn 2 A� tal que E0 � F0 � FN y
�0(F0) < �(E) +
"
2
:
Entonces
�(FN) < �(E) + �
� �(F0) + �;
entonces
�0(FN) < �0(F0) +
"
2
;
entonces
�(EN) � �0(FN)
< �0(F0) +
"
2
< �(E) + ";
entonces
�(EN) < �(E) + ";
entonces
l��m
n
�(En) = �(E):
Por lo tanto, � es continua desde arriba en F :
2) � es continua desde abajo en F : Siguiendo un razonamiento si-
milar al anterior, se obtiene el resultado deseado.
Consecuentemente, � es una medida difusa en F .
3) � es A�-aproximable y es la única extensión posible: Es evidente
de la de�nición de � misma.
4) � es � � �: �0 � � en A�, por lo que para "2 existen �1 > 0 y
E0; F0 2 A� con E0 � F0 para los cuales
�0(F0) < �0(E0) +
"
2
;
si
�(F0) < �1 + �(E0):
Hagamos � = �1
2
y elijamos E;F 2 F con E � F y
�(F ) <
�1
2
+ �(E):
Para F 2 F 9FN 2 A� tal que F � FN y
�(FN) < �(F ) +
�1
2
:
7. MEDIDAS DE CREDIBILIDAD Y PLAUSIBILIDAD 39
Por de�nición de �, existe F1 2 A� tal que E � F1 y
�0(F1) < �(E) +
"
2
:
Como E � F; E � F0 := F1 \ Fn 2 A� y
�0(F0) < �(E) +
"
2
;
entonces
�(FN) < �(F ) +
�1
2
< �(E) + �1
< �(F0) + �1;
entonces
�0(FN) < �0(F0) +
"
2
;
entonces
�(F ) � �0(FN)
< �0(F0) +
"
2
< �(E) + ";
entonces
�(F ) < �(E) + ":
�
Puesto que una medida clásica (por ejemplo, la medida de Lebesgue)
en el �-anillo F(A) generado por A, es A�- aproximable, tenemos el
siguiente
Corolario 6. Una medida difusa � en A puede ser extendida de
manera única sobre F(A)si existe una medida �nita � en A, para la
cual �� � en A.
7. Medidas de credibilidad y plausibilidad
Vamos a mencionar otras medidas no aditivas. Las primeras dos
medidas de�nidas en esta sección están inducidas por una medida de
probabilidad.
40 3. MEDIDA DIFUSA
7.1. Medidas de credibilidad.
De�nición 27. Sean F una �-álgebra y (X;F) un espacio medible.
Una medida de probabilidad P es una medida clásica en (X;F) tal
que P (X) = 1.
Proposición 13. Si (X;=; P ) es un espacio de probabilidad, en-
tonces el conjunto
D = fx 2 X : fxg 2 = y P (fxg) > 0g
es �nito o in�nito numerable.
Demostración. El conjunto An = fx 2 X : P (fxg) > 1ng es
�nito para cada n 2 N; de lo contrario, si Bn es un subconjunto in�nito
numerable de An;
P (X) � P (An) � P (Bn) =
1X
k=1
P (fbkg) =
1X
k=1
1
n
=1
con b1; b2; : : : ; una enumeraciòn de los elementos de Bn. �
De�nición 28. Dado un espacio de probabilidad (X;=; P ), diremos
que P es discreta si existe un conjunto �nito o in�nito numerable D �
X tal que fxg 2 = para cualquier x 2 D yX
fx2Dg
P (fxg) = 1:
De�nición 29. Sean X un conjunto y P una medida de proba-
bilidad discreta en (}(X); }(}(X))) con P (f;g) = 0: La función m :
}(X) �! [0; 1] dada por
m(E) = P (fEg)
para todo E 2 }(X) se llama una probabilidad básica asignada
(p.b.a.) en }(X).
Teorema 12. Una función de conjuntos m : }(X) �! [0; 1] es una
probabilidad básica asignada si y sólo si
(1) m(;) = 0,
(2) D = fE 2 }(X) : m(E) > 0g es �nito o in�nito numerable,
(3)
P
E2}(X)
m(E) = 1.
Demostración. Que una medida de probabilidad básica asignada
satisface las propiedades (1) y (3) es evidente a partir de la De�nición
29, y la propiedad (2) se sigue de la proposiciòn 13. Para mostrar que
7. MEDIDAS DE CREDIBILIDAD Y PLAUSIBILIDAD 41
una funciònm que satisface (1), (2) y (3) es una medida de probabilidad
básica asignada, de�nimos
P (E) =
X
E2E\D
m(E)
para cualquier E 2}(}(X)). Que P es una medida de probabilidad se
sigue del Problema 2 (sección 3, Capítulo 3) haciendo P = �; E =
E , Q = fE : m(E) > 0g; el cual es numerable y entonces podemos
escribirlo comoQ = fE1; E2; : : :g; y ak = m(Ekg. Luego,m0 : }(X) �!
[0; 1] dada por m0(E) = P (fEg) es una p.b.a. en }(X); y ya que
P (fEg) = m(E); se tiene m0 = m. Por lo tanto, m es una p.b.a. �
De�nición 30. Si m es una p.b.a. en }(X), entonces la función
de conjuntos Bel : }(X) �! [0; 1] determinada para todo E 2 }(X)
por
Bel(E) =
X
F�E
m(F )
se llama una medida de credibilidad en (X;}(X)).
Resulta que las medidas de credibilidad son medidas difusas semi-
continuas superiormente. La prueba de este hecho se desglosará en los
siguientes resultados:
Lema 5. Si 1 � jEj <1, entonces
P
F�E
(�1)jF j = 0.
Demostración. Sea jEj = n. Entonces
fjF j : F � Eg = f0; 1; : : : ; ng y jfF : jF j = jgj =
�
n
j
�
;
con j 2 f0; 1; : : : ; ng. Por lo tantoX
F�E
(�1)jF j =
nX
j=0
(�1)j
�
n
j
�
= (1� 1)n = 0:
�
Teorema 13. Si Bel es una medida de credibilidad en (X;}(X)),
entonces
(BM1) Bel(;) = 0;
(BM2) Bel(X) = 1;
(BM3) Bel es continua desde arriba,
(BM4) Bel ([ni=1Ei) �
P
;6=I�f1;:::;ng
(�1)jIj+1Bel(\i2IEi);
con fE1; : : : :Eng � }(X).
42 3. MEDIDA DIFUSA
Demostración. Las propiedades (BM1) y (BM2) se in�eren in-
mediatamente de la de�nición misma de Bel y del Teorema 12.
Propiedad (BM3): Sean fEig � }(X) una sucesión decreciente y
E = \1i=1Ei. Por el Teorema 12, existe una sucesión fDng � }(X) para
la cual m(F ) = 0; si F =2 fDng; y para todo " > 0; existe n0 tal queX
n>n0
m(Dn) < ":
Para cada Dn con n � n0; si Dn E; existe i(n) tal que Dn Ei(n).
Haciendo i(0) = m�axfi(1); : : : ; i(n0)g; si Dn E; entonces Dn Ei(0)
para todo n � n0. Así
Bel(E) =
X
F�E
m(F ) =
X
Dn�E
m(Dn)
�
X
Dn�E; n�n0
m(Dn)
�
X
Dn�Ei(0); n�n0
m(Dn)
�
X
Dn�Ei(0)
m(Dn)�
X
n>n0
m(Dn)
>
X
F�Ei(0)
m(F )� "
= Bel(Ei(0))� ":
Siendo Bel(E) � Bel(Ei) con i = 1; 2; : : : ; y fBel(Ei)g una sucesión
decreciente, obtenemos
Bel(E) = l��m
i
Bel(Ei):
Propiedad (M4): Sea fE1; : : : :Eng � }(X). Para cada F 2 }(X),
de�nimos I(F ) = fi : 1 � i � n y F � Eig. Entonces, por el Lema 5,
X
;6=I�f1;:::;ng
(�1)jIj+1Bel(\i2IEi) =
X
;6=I�f1;:::;ng
24(�1)jIj+1 X
F�\i2IEi
m(F )
35
=
X
F jI(F ) 6=;
24m(F ) X
;6=I�I(F )
(�1)jIj+1
35
7. MEDIDAS DE CREDIBILIDAD Y PLAUSIBILIDAD 43
=
X
F jI(F ) 6=;
24m(F )
0@1� X
I�I(F )
(�1)jIj
1A35
=
X
F jI(F ) 6=;
m(F )
=
X
F�Ei; para algún i
m(F )
�
X
F�[ni=1Ei
m(F )
= Bel ([ni=1Ei) :
�
De�nición 31. Una medida difusa � es superaditiva si para cua-
lesquiera E1; E2 � C con E1 \ E2 = ;, sucede que
�(E1 [ E2) � �(E1) + �(E2):
Teorema 14. Cualquier medida de credibilidad es monótona y su-
peraditiva.
Demostración. Sean E1; E2 � X con E1 \ E2 = ;.
Bel(E1 [ E2) � Bel(E1) +Bel(E2)�Bel(E1 \ E2)
= Bel(E1) +Bel(E2)
� Bel(E1).
De esta desigualdad se obtiene la monotonía y la superaditividad
de Bel. �
Proposición 14. Las medidas de credibilidad son medidas difusas
semicontinuas superiormente.
Algunos autores de�nen la medida de credibilidad como sigue:
De�nición 32. Una medida de credibilidad en un espacio medible
(X;}(X)) es una función de conjuntos Bel : }(X) �! [0; 1] que tiene
las siguientes propiedades:
(BM1�) Bel(;) = 0;
(BM2�) Bel(X) = 1;
(BM3�) Bel es superaditiva.
Si X es in�nito, entonces
(BM4�) Bel es continua desde arriba.
44 3. MEDIDA DIFUSA
7.2. Medidas de plausibilidad.
De�nición 33. Si m es una p.b.a. en }(X), entonces la función
de conjuntos Pl : }(X) �! [0; 1] determinada para todo E 2 }(X) por
Pl(E) =
X
F\E 6=;
m(F )
se llama una medida de plausibilidad en (X;}(X)).
Teorema 15. Si Bel y Pl están inducidas por la misma p.b.a. m;
entonces
Bel(E) = 1� Pl(X � E)
y
Bel(E) � Pl(E)
para cualquier E � X:
Demostración.
Bel(E) =
X
F�E
m(F )
=
X
F�X
m(F )�
X
F*E
m(F )
= 1�
X
F\(X�E) 6=;
m(F )
= 1� Pl(X � E).
La desigualdad es evidente a partir de las de�niciones correspondientes.
�
Teorema 16. Si Pl es una medida de plausibilidad en (X;}(X)),
entonces
(PM1) Pl(;) = 0;
(PM2) Pl(X) = 1;
(PM3) Pl es continua desde abajo.
(PM4) Pl (\ni=1Ei) �
P
;6=I�f1;:::;ng
(�1)jIj+1Pl([i2IEi),
con fE1; : : : :Eng � }(X).
Demostración. De los Teoremas 13 y 15 se obtienen las primeras
tres propiedades.
7. MEDIDAS DE CREDIBILIDAD Y PLAUSIBILIDAD 45
Propiedad (PM4):
Pl (\ni=1Ei) = 1�Bel(X � \ni=1Ei)
= 1�Bel[[ni=1(X �Ei)]
� 1�
X
;6=I�f1;:::;ng
(�1)jIj+1Bel[\i2I(X � Ei)]
=
X
;6=I�f1;:::;ng
(�1)jIj+1 [1�Bel(\i2I(X � Ei))]
=
X
;6=I�f1;:::;ng
(�1)jIj+1Pl([i2IEi):
�
Teorema 17. Cualquier medida de plausibilidad es monótona y
subaditiva.
Demostración. Puesto que E � F � X implica X � F � X �
E � X; de los Teoremas 14 y 15, se in�ere que
Pl(E) = 1�Bel(X � E)
� 1�Bel(X � F )
= Pl(F ):
Por otro lado, si E1; E2 � X; entonces
0 � Pl(E1 \ E2) � Pl(E1) + Pl(E2)� Pl(E1 [ E2):
De lo cual se obtiene
Pl(E1 [ E2) � Pl(E1) + Pl(E2):
�
Como en el caso anterior, algunos autores de�nen una medida de
plausibilidad como sigue:
De�nición 34. Una medida difusa � es subaditiva si para cua-
lesquiera E1; E2 � C se tiene
�(E1 [ E2) � �(E1) + �(E2):
De�nición 35. Una medida de plausibilidad en un espacio medi-
ble (X;}(X)) es una función de conjuntos Pl : }(X) �! [0; 1] que
satisface
(PM1�) Pl(;) = 0;
(PM2�) Pl(X) = 1;
(PM3�) Pl es subaditiva.
Si X es in�nito, entonces
46 3. MEDIDA DIFUSA
(PM4�) Pl es continua desde abajo.
8. Medidas de posibilidad y necesidad
8.1. Medidas de posibilidad.
De�nición 36. � : }(X) �! [0; 1] se llama una medida de posi-
bilidad si satisface las siguientes propiedades:
1. �(X) = 1;
2. � ([j2JEj) = supj2J �(Ej) con J un conjunto de índices cual-
quiera.
Proposición 15. Una medida de posibilidad es una medida difusa
semicontinua inferiormente.
Demostración. Sea � una medida de posibilidad de�nida en }(X):
1) J = ; implica, (por convención), [j2JEj = ; y supj2J �(Ej) = 0;
entonces
�(;) = �([j2JEj) := sup
j2J
�(Ej) = 0.
2) Monotonía: Sean E;F 2 }(X) con E � F:
�(F ) = �(E [ F )
= supf�(F ); �(E)g
� �(E):
3) Continuidad desde abajo: Sea fEng � }(X) tal que En � En+1
para todo n (por de�nición, [1n=1En 2 }(X)). Por 2),
�(En) � �(En+1) � �(X)
para todo n. Así que f�(En)g es una sucesión monótona creciente y
acotada superiormente, entonces tiene supremo y
l��m�(En) = sup
n
�(En) = � ([n2NEn) :
�
No obstante, una medida de posibilidad no necesariamente es una
medida difusa:
Sean X = (�1;1) y � : }(X) �! [0; 1] dada por
�(E) =
�
1; E 6= ;
0; E = ;
para todo E elemento de }(X): Claramente �(X) = 1 y
� ([j2JEj) = sup
j2J
�(Ej):
8. MEDIDAS DE POSIBILIDAD Y NECESIDAD 47
Pero si de�nimos En = (0; 1n) para cada n, entonces E1 � E2 � E3 �
� � � , �(E1) <1 y
l��m�(En) = 1 6= 0 = �(\1n=1En);
pues \1n=1En = ;. Por lo tanto, � no es continua desde arriba.
8.2. Medidas de necesidad.
De�nición 37. Una medida de necesidad � es el dual de una me-
dida de posibilidad. Esto es,
�(E) = 1� �(X � E)
donde � es una medida de posibilidad.
Como consecuencia de la Proposición 8 y de la Proposición 15 te-
nemos el siguiente Teorema.
Teorema 18. Una medida de necesidad es una medida difusa semi-
continua superiormente.
Podemos dar una caracterización para las medidas de necesidad.
Teorema 19. Una función de conjuntos � : }(X) �! [0; 1] es una
medida de necesidad si y sólo si
�(\1j=1Ej) = ��nf
j2J
�(Ej)
para cualquier familia fEj j j 2 Jg � }(X) y con �(;) = 0:
Demostración. Mostraremos que si � una medida de necesidad,
entonces �(\1j=1Ej) = ��nfj2J �(Ej). Sea fEj j j 2 Jg � }(X),
s = �(\1j=1Ej) = 1� sup
j
�(X � Ej)
e
i = ��nf
j2J
�(Ej) = ��nf
j2J
[1� �(X � Ej)]:
Probaremos primero que s � i: Para todo j 2 J se tiene
i � 1� �(X � Ej);
entonces
i� 1 � ��(X � Ej);
luego
1� i � �(X � Ej);
lo que implica
1� i � sup
j
�(X � Ej);
48 3. MEDIDA DIFUSA
entonces
1� sup
j
�(X � Ej) � i:
Por lo tanto
�(\1j=1Ej) � ��nf
j2J
�(Ej):
Ahora probaremos que s � i. Para todo j 2 J;
sup
j
�(X � Ej) � �(X � Ej);
entonces
� sup
j
�(X � Ej) � ��(X � Ej);
así
1� sup
j
�(X � Ej) � 1� �(X � Ej);
por lo que
1� sup
j
�(X � Ej) � ��nf[1� �(X � Ej)]:
Por lo tanto
�(\1j=1Ej) � ��nf
j2J
�(Ej):
Supongamos ahora que una función de conjuntos � satisface �(\1j=1Ej)
= ��nfj2J �(Ej), mostraremos que � es una medida de necesidad. De�-
namos
�(A) = 1� �(X � A)
para todo A 2 }(X) y E = [j2jEj. Entonces
�(E) = 1� �(X � E)
= 1� �(\1j=1(X � Ej))
= 1���nf
j2J
�(X � Ej)
= sup
j2J
(1� �(X � Ej))
= sup
j2J
(�(Ej));
entonces
�([j2jEj) = sup
j2J
(�(Ej)):
Para X se tiene
�(X) = 1� �(X �X) = 1� �(;) = 1� 0 = 1:
�
CAPíTULO 4
El espacio de las funciones medibles
En este capítulo, establecemos el concepto de función medible, el
cual es fundamental para el concepto de integral, y presentamos la
generalización de los Teoremas de Egoro¤ y de Taylor.
Aquí, � : F �! [0;1] representará una medida difusa o una me-
dida difusa semicontinua en el espacio medible (X;F) con F una �-
álgebra, y B = F(L) el �-anillo generado por la �-álgebra L = f[a; b) j
�1 < a � b <1g (el cual es una �-álgebra también llamado el campo
de Borel).
1. Funciones medibles
De�nición 38. Una función f : X �! (�1;1) en X es F-
medible (o simplemente, medible) si
f�1(B) = fx j f(x) 2 Bg 2 F
para todo B 2 B:
Teorema 20. Sea f : X �! (�1;1). Entonces las siguientes
a�rmaciones son equivalentes:
(1) f es medible;
(2) fx j f(x) � �g 2 F para cualquier � 2 (�1;1);
(3) fx j f(x) > �g 2 F para cualquier � 2 (�1;1);
(4) fx j f(x) � �g 2 F para cualquier � 2 (�1;1);
(5) fx j f(x) < �g 2 F para cualquier � 2 (�1;1):
Demostración. (1) =) (2): fx j f(x) � �g = f�1([�;1)), y
[�;1) es un conjunto de Borel.
(2) =) (1): fx j f(x) � �g 2 F para cada � 2 (�1;1),
entonces f�1(B) 2 F para cualquier B 2 C =f[�;1) j � 2 (�1;1)g.
Si D =fB j f�1(B) 2 Fg, entonces C � D. Ahora, si B 2 D, entonces
Bc 2 D, ya que f�1(Bc) = X�f�1(B) 2 F , entoncesD es cerrada bajo
complementos. También, si fBng � D, entonces [1n=1Bn 2 D, pues
f�1([1n=1Bn) = [1n=1f�1(Bn) 2 F ; luego, D es cerrada bajo uniones
49
50 4. EL ESPACIO DE LAS FUNCIONES MEDIBLES
numerables. Así, D es un �-álgebra, y entonces B � D. Por lo tanto f
es medible.
Las demás equivalencias se demuestran de manera similar. �
Corolario 7. Si f es una función medible, entonces fx j f(x) =
�g 2 F para cualquier � 2 (�1;1):
De�nición 39. Si
L(n) =
(
nY
i=1
[ai; bi) j �1 < ai � bi <1; i = 1; 2; : : : n
)
;
la �-álgebra B(n) = F(L(n)) es llamada el campo de Borel en Rn y los
conjuntos B 2 B(n) son llamados conjuntos de Borel (n-dimensionales).
Una función f : Rn �! R se dice que es una función de Borel si es
una función medible en el espacio medible (Rn;B(n)).
Teorema 21. Sean f1; f2; : : : ; fn : X �! R funciones medibles. Si
g : Rn �! R es una función de Borel, entonces g(f1; f2; : : : ; fn) es una
función medible.
Demostración. Sea B � (�1;1) un conjunto de Borel.
[g(f1; f2; : : : ; fn)]
�1(B) = fx j g(f1(x); f2(x); : : : ; fn(x)) 2 B]
= fx j (f1(x); f2(x); : : : ; fn(x)) 2 g�1(B)g:
Puesto que para cualquier E =
nY
i=1
[ai; bi) 2 L(n) se tiene que
fx j (f1(x); f2(x); : : : ; fn(x)) 2 Eg = \ni=1fx j fi(x) 2 [ai; bi)g 2 F ,
siguiendo un razonamiento similar al del Teorema 20 , se sigue que
fx j (f1(x); f2(x); : : : ; fn(x)) 2 Fg 2 F para cualquier F 2 B(n).
Siendo g una función de Borel, g�1(B) 2 B(n): Por consiguiente, fx j
(f1(x); f2(x); : : : ; fn(x)) 2 g�1(B)g 2 F : Por lo tanto, g(f1; f2; : : : ; fn)
es medible. �
Corolario 8. Sean f1 y f2 funciones medibles y � 2 (�1;1)
una constante. Entonces la funcion constante � y las funciones �f1;
f1+f2; f1�f2; f1 �f2; jf1j ; jf1j� ; f1_f2; f1^f2; son medibles. Además
fx j f1(x) = f2(x)g = fx j f1(x)� f2(x) = 0g 2 F .
Teorema 22. Si ffng es una sucesión de funciones medibles y
h(x) = sup
n
ffn(x)g
y
g(x) = ��nf
n
ffn(x)g;
con x 2 X, entonces h y g son medibles.
2. RESULTADOS EN MEDIDA CLÁSICA PARA MEDIDA DIFUSA 51
Demostración. Por el Teorema 20, para cualquier � 2 R;
fx j h(x) > �g = fx j sup
n
ffn(x)g > �g = [1n=1fx j fn(x) > �g 2 F ;
y
fx j g(x) � �g = fx j ��nf
n
ffn(x)g � �g = \1n=1fx j fn(x) � �g 2 F :
Por lo tanto h y g son medibles. �
Corolario 9. Sea ffng una sucesión de funciones medibles. En-
tonces f(x) = l��mfn(x) y f(x) = l��mfn(x) son funciones medibles.
Más aún, si existe l��m fn; entonces éste también es medible.
Demostración.
f(x) = ��nf
m
sup
n�m
ffn(x)g
y
f(x) = sup
m
��nf
n�m
ffn(x)g:
Entonces, por el Teorema 22,f y f también son medibles. �
2. Resultados en medida clásica para medida difusa
A continuación enunciaremos y probaremos la generalización de al-
gunos resultados conocidos en teoría de la medida clásica para la teoría
de la medida difusa, previas de�niciones.
Notación 4. En esta sección la clase de todas las funciones medi-
bles �nitas con valores en los reales de�nidas en el espacio de medida
difusa (X;F ; �) será representada por el símbolo -F.
Sean A 2 F y fn; f 2 -F para todo n.
De�nición 40. Decimos que ffng converge a f en A si fn(x) �!
f(x) para cada x 2 A; lo cual denotaremos por fn �! f en A.
De�nición 41. Decimos que ffng converge casi donde sea a f
en A si existe E � A tal que �(E) = 0 y fn �! f en A � E; lo cual
será denotado por fn
a:e:�! f en A.
De�nición 42. Decimos que ffng converge pseudo-casi donde
sea a f en A si existe E � A tal que �(A� E) = �(A) y fn �! f en
A� E; lo cual será denotado por fn
p:a:e:�! f en A.
52 4. EL ESPACIO DE LAS FUNCIONES MEDIBLES
De�nición 43. Decimos que ffng converge uniformemente a
f en A si para cada " > 0, hay un número natural k tal que para todo
n � k y toda x 2 A; jfn(x)� f(x)j < ", y lo denotaremos por fn
u:�! f
en A.
De�nición 44. Decimos que ffng converge casi uniformemente
a f en A si para cada " > 0; existe F" � A tal que �(A�F") < " y ffng
converge uniformemente a f en F"; lo cual denotaremos por fn
a:u:�! f
en A.
De�nición 45. Decimos que ffng converge pseudo-casi uni-
formemente a f en A si existe fFkg � F con l��mk �(A�Fk) = �(A)
tal que fn �! f en A � Fk uniformemente para cualquier k �jo, y
denotado por fn
p:a:u:�! f en A.
Decimos que ffng converge pseudo-casi uniformemente a f
dentro de A si fn
p:a:u:�! f en C para cualquier C 2 A \ F = fA \ F :
F 2 Fg.
Lema 6. Sean f 2 -F y fn 2 -F para todo n. Entonces el conjunto
de puntos x en A para los cuales ffn(x)g no converge a f(x) está dado
por
D =
1[
m=1
1\
n=1
1[
i=n
�
x 2 A : jfi(x)� f(x)j �
1
m
�
.
Demostración. x 2
1[
m=1
1\
n=1
1[
i=n
�
x 2 A : jfi(x)� f(x)j � 1m
	
si
y sólo si existe m0 tal que x 2
1\
n=1
1[
i=n
n
x 2 A : jfi(x)� f(x)j � 1m0
o
si
y sólo si existe m0 tal que x 2
1[
i=n
n
x 2 A : jfi(x)� f(x)j � 1m0
o
para
todo n 2 N si y sólo si existe m0 tal que x 2 A y para n = 1 existe
i1 � 1 tal que jfi1(x)� f(x)j � 1m0 , para n = 2 existe i2 � 2 tal que
jfi2(x)� f(x)j � 1m0 , para n = 3 existe i3 � 3 tal que jfi3(x)� f(x)j �
1
m0
, : : :, para n = k existe ik � k tal que jfik(x)� f(x)j � 1m0 , : : :,
si y sólo si existe "0 > 0 y una subsucesión ffikg de ffng tal que
jfik(x)� f(x)j � "0 con x 2 A si y sólo si fn(x) no converge a f(x) con
x 2 A. �
Teorema 23. (de Egoro¤ ). Sea � una medida difusa, A 2 F con
�(A) <1. Entonces en A;
fn
a:e:�! f =) fn
a:u:�! f;
2. RESULTADOS EN MEDIDA CLÁSICA PARA MEDIDA DIFUSA 53
donde fn; f 2 -F para todo n.
Demostración. Por el lema (anterior), �(D) = 0 pues fn
a:e:�! f
en A. Por lo que para cualquier m �ja,
�
 1\
n=1
1[
i=n
�
x 2 A : jfi(x)� f(x)j �
1
m
�!
= 0:
Haciendo Bmn =
1[
i=n
�
x 2 A : jfi(x)� f(x)j � 1m
	
y Bm =
1\
n=1
Bmn , se
tiene, para cada m �ja, Bm � D, �(Bm) = 0 y Bmn & Bm conforme
n �!1. Por lo tanto, para cualquier m �ja, Bmn [D & Bm [D = D
conforme n �!1: Así, por la continuidad desde arriba de �,
l��m�(B1n [D) = �(D) = 0:
Entonces, dada " > 0; existe n1 tal que para todo n � n1;
�(B1n [D) <
"
2
.
Ahora, (B1n1[B2n)[D & (B1n1[B2)[D = B1n1[D conforme n �!1:
Nuevamente, por la continuidad desde arriba de �;
l��m�[(B1n1 [B
2
n) [D] = �(B1n1 [D) <
"
2
.
Entonces existe n2 > n1 tal que para todo n � n2;
�[(B1n1 [B
2
n) [D] <
"
2
:
De igual manera, (B1n1 [ B2n2 [ B3n) [ D & (B1n1 [ B2n2 [ B3) [ D =
B1n1 [B2n2 [D conforme n �!1. Mediante un razonamiento análogo
al caso anterior, existe n3 > n2 tal que para todo n � n3;
�[(B1n1 [B
2
n2
[B3n) [D] <
"
2
:
En general, existen n1; n2; : : : ; nm (nm > nm�1) tales que para todo
n � nm se tiene
�[(B1n1 [B
2
n2
[ � � � [Bmn )] [D <
"
2
:
Por la monotonía y la continuidad desde abajo de �;
�
 1[
m=1
Bmnm
!
� �
" 1[
m=1
Bmnm
![
D
#
< ":
Si E" = A� [1m=1Bmnm ; entonces E" 2 F y
�(A� E") = �([1m=1Bmnm) < ":
54 4. EL ESPACIO DE LAS FUNCIONES MEDIBLES
Probaremos ahora que fn converge a f en E" uniformemente. Como
E" =
1\
m=1
1\
i=nm
�
x 2 A : jfi(x)� f(x)j <
1
m
�
;
para cualquier m �ja, E" � \1i=nm
�
x 2 A : jfi(x)� f(x)j < 1m
	
: En-
tonces, si i � nm y x 2 E"; se obtiene
jfi(x)� f(x)j <
1
m
:
�
Teorema 24. Sean � una medida difusa y A 2 F con �(A) <1.
Entonces en A;
fn
p:a:e:�! f =) fn
p:a:u:�! f;
donde fn; f 2 -F para todo n.
Demostración. Similar a la anterior. �
Si ; 2 F ; de los dos Teoremas 23 y 24 se desprende el siguiente
resultado.
Teorema 25. Sean � una medida difusa y A 2 F con �(A) <1.
Entonces en A;
fn �! f =) fn
a:u:�! f y fn
p:a:u:�! f;
donde fn; f 2 -F para todo n.
Observación 6. Cuando �(A) =1; la tesis del Teorema 25 puede
no ser válida como lo muestra el siguiente ejemplo:
Sean X = [0;1); F la familia de los conjuntos de Borel en X y �
la medida de Lebesgue. Si fn(x) = xn , con n 2 N; y f(x) = 0; entonces
�(X) =1; fn �! f en X; pero fn no converge casi uniformemente a
f en X.
Teorema 26. (de Taylor) Sean � una medida difusa, A 2 F con
�(A) <1, y fn; f 2 -F para todo n.
Si fn
a:e:�! f en A; entonces existe una sucesión fbng de números
reales positivos, tal que bn & 0 conforme n �!1; y en A
jfn(x)� f(x)j
bn
a:e:�! 0
cuando n �!1.
2. RESULTADOS EN MEDIDA CLÁSICA PARA MEDIDA DIFUSA 55
Demostración. De la hipótesis y del Teorema 23, se tiene que
fn
a:e:�! f en A. Entonces, para cada k = 1; 2; 3; : : : ; existe Ek � A tal
que
�(A� Ek) <
1
k
y fn �! f en Ek uniformemente. Sin pérdida de generalidad, podemos
asumir que fEkg es una sucesión creciente. Debido a la desigualdad
�(A� [1k=1Ek) < �(A� Ek) <
1
k
;
se deduce que
�(A� [1k=1Ek) = 0:
Si denotamos S = [1k=1Ek; entonces �(A� S) = 0.
Para cada k �ja, tomamos una sucesión creciente fnk;rgr2N de en-
teros positivos tal que, para todo x 2 Ek;
(i) jfn(x)� f(x)j <
1
r
con n � nk;r: Sea n1; n2; : : : ; nt; : : :una sucesión de enteros positivos
para los cuales
(ii)
nt
nk;t
�!
t�!1
1
con k �ja. De�niendo
(iii) �n =
�
1 si 1 � n � n1
1p
t
si nt�1 + 1 � n � nt
�
;
f�ng es una sucesión mónotana decreciente de números positivos y �n &
0 conforme t �!1. Ahora, para x 2 S; existe k0 2 N tal que x 2 Ek0 :
Por (ii) existe t0 tal que nt � nk0;t para t � t0. De (i) y (iii) se obtiene
jfn(x)� f(x)j < �2n
para n � nt0 : Por lo tanto, para todo x 2 S con �(A� S) = 0;
fn(x)� f(x)
�n
�!
n�!1
0:
Por lo tanto
jfn(x)� f(x)j
�n
a:e:�! 0
cuando n �!1. �
56 4. EL ESPACIO DE LAS FUNCIONES MEDIBLES
Teorema 27. Sea � una medida difusa, A 2 F con �(A) <1.
Si fn
a:e:�! f en A; entonces existe una sucesión f�ng de números
reales positivos, tal que �n & 0 conforme n �!1; y en A
jfn(x)� f(x)j
�n
a:u:�! 0
cuando n �!1.
Demostración. Haciendo
�n(x) =
jfn(x)� f(x)j
�n
con x 2 A; f�ng como en el Teorema 26 y aplicando el Teorema de Ego-
ro¤para la sucesión de funciones medibles f�ng; se obtiene el resultado
deseado. �
CAPíTULO 5
Integral difusa
Daremos la de�nición de la integral de Sugeno y algunas de sus
propidedades, y se mostrará que esta integral no es lineal (lo que es
una gran desventaja con respecto a otras integrales). Ya que tanto
el cálculo de la integral de Sugeno como la lectura de los resultados
son complicados, se muestran la interpretación de los resultados de
esta integral para un caso especí�co y se dan dos algoritmos para el
cálculo de la misma bajo condiciones particulares. Enseguida, se da la
generalización de tres teoremas importantes en teoría de integración
clásica para la integral difusa y se exhibe una relación entre la integral
de Sugeno y la de Lebesgue. Por último, a manera de motivación, se
muestra una aplicación de la integral de Sugeno en un problema de
toma de decisión.
1. De�nición y propiedades de la integral
Asumiremos en este capítulo que F es una �-álgebra, (X;F)