Introduccion-a-las-foliaciones-riemannianas

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Universidad Nacional Autónoma de
México
Facultad de Ciencias
INTRODUCCIÓN A LAS FOLIACIONES
RIEMANNIANAS
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE:
M A T E M Á T I C O
P R E S E N T A:
CARLOS ABRAHAM CALDERÓN
ESPÍRITU
DIRECTORDETESIS: DR. OSCARALFREDOPALMAS
VELASCO
Ciudad Universitaria, CDMX. 2017.
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1. Datos del alumno
Calderón
Esṕıritu
Carlos Abraham
5545524118
Universidad Nacional Autónoma
de México
Facultad de Ciencias
Matemáticas
307145949
2. Datos del tutor
Dr.
Oscar Alfredo
Palmas
Velasco
3. Datos del sinodal 1
Dr.
Guillermo Javier Francisco
Sienra
Loera
4. Datos del sinodal 2
Dra.
Adriana
Ortiz
Rodŕıguez
5. Datos del sinodal 3
Dr.
José Mat́ıas
Navarro
Soza
6. Datos del sinodal 4
Dra.
Laura
Ortiz
Bobadilla
7. Datos del trabajo escrito
Introducción a las foliaciones
riemannianas
60 p
2017
Prefacio
La teoŕıa de foliaciones tiene sus oŕıgenes en los trabajos de Ehresmann y Reeb,
escritos a mediados del siglo pasado. Una foliación de una variedad diferenciable Mn
es una partición en subvariedades inmersas de la misma dimensión, llamadas hojas,
que localmente se aglomeran como subespacios afines paralelos de Rn. Las ecuacio-
nes diferenciales están muy relacionadas con la teoŕıa de foliaciones, ya que dado
un campo vectorial sin singularidades, el conjunto de curvas integrales maximales
forman una foliación de dimensión uno y estas son la solución de un sistema de ecua-
ciones diferenciales ordinarias. Foliaciones de mayores dimensiones corresponden a
soluciones de sistemas de ecuaciones diferenciales parciales.
Una de las motivaciones del concepto de foliación está en que los subhaces del haz
tangente TM que son distribuciones involutivas tienen una caracteŕıstica particular:
para cada p ∈M existe una subvariedad inmersa N que contiene a p de tal manera
que su espacio tangente es igual a la distribución restringida a N . A esta variedad se
le llama variedad integral de la distribución. Una foliación será entonces la colección
de variedades integrales maximales de una distribución involutiva. Cuando las hojas
son localmente equidistantes, a la foliación se le llama riemanniana. El objetivo
de esta tesis es presentar conceptos y resultados básicos concernientes a la teoŕıa de
foliaciones riemannianas, todo ello para mostrar al final la construcción de variedades
riemannianas que posean una curvatura seccional no negativa.
El primer caṕıtulo muestra definiciones y herramientas de geometŕıa diferencial,
grupos y álgebras de Lie que serán utilizadas a lo largo de toda la tesis. La última
sección está enfocada en mostrar una introducción a las foliaciones, motivados por
el teorema de Frobenius, y ejemplos tales como las foliaciones inducidas por submer-
siones y la fibración de Hopf, que aparecerán de manera recurrente a lo largo de todo
este trabajo.
En el segundo caṕıtulo hablamos por primera vez de las foliaciones riemannianas
y de las submersiones riemannianas, a su vez de algunos resultados técnicos que son
necesarios para el caṕıtulo siguiente.
En el tercer caṕıtulo se muestra la existencia de foliaciones riemannianas indu-
cidas por acciones isométricas de grupos de Lie sobre variedades diferenciables. Se
verá que la proyección de la variedad en el espacio de órbitas es una submersión rie-
manniana. Posteriormente estudiaremos los grupos de Lie con métricas invariantes
por la izquierda, porque para este tipo de grupos podemos mostrar espacios cocientes
con curvatura seccional no negativa.
El último caṕıtulo hace uso de todos los resultados precedentes para mostrar
la construcción de las esferas de Berger, variedades de dimensión tres que poseen
3
una curvatura seccional positiva. Se definirán los bi-cocientes de grupos de Lie y se
mostrará como caso particular la existencia de la esfera de Gromoll-Meyer, tomando
como referencia las construcciones expuestas en [6] y [13]. Dicha variedad riemannia-
na de dimensión siete tiene una curvatura seccional no negativa y una caracteŕıtica
peculiar: es homeomorfa pero no difeomorfa a la esfera estándar S7.
Índice general
1. Preliminares 7
1.1. Variedades diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Grupos y álgebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3. Foliaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2. Foliaciones riemannianas 27
2.1. Submersiones riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2. Holonomı́a transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3. Submersiones homogéneas 35
3.1. Submersiones homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2. Métricas invariantes por la izquierda . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4. Ejemplos 53
4.1. Esferas de Berger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2. Bi-cocientes de grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.3. Esfera de Gromoll-Meyer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Bibliograf́ıa 59
5
Caṕıtulo 1
Preliminares
Dado un mapeo diferenciable f : M → N entre dos variedades, la diferencial de
f en p ∈ M es la “mejor aproximación lineal” en una vecindad alrededor de p; de
ah́ı que surja naturalmente preguntarse por las caracteŕısticas de f en función de
su rango. Esto nos lleva a una clasificación de los mapeos diferenciables: cuando la
diferencial es suprayectiva le llamamos submersión, cuando es inyectiva se le llama
inmersión y cuando además de ser inyectiva es un homeomorfismo sobre su imagen
se le llama encaje. En este caṕıtulo se definirán estos conceptos junto con algunos
resultados básicos. También se hablará de los campos diferenciables y de cuándo dos
campos, de dos variedades distintas, están relacionados bajo un mapeo diferenciable.
Se introducirá la definición de grupos de Lie, variedades que poseen una estruc-
tura de grupo con la caracteŕıstica que su multiplicación y su inversión son diferen-
ciables. Se presentarán caracteŕısticas de estos grupos junto con las propiedades de
sus morfismos. Pondremos atención en los campos sobre los grupos de Lie que son
invariantes bajo la diferencial del mapeo multiplicación por la izquerda, a los cuales
se les llama campos invariantes por la izquierda, porque tales campos tienen una
estructura algebraica peculiar, a dicha estructura se le conoce como álgebra de Lie.
Con esto se mostrará que todo grupo de Lie tiene asociada un álgebra de Lie; apoya-
dos en esto definiremos al mapeo exponencial, un mapeo de suma importancia cuyo
codominio es un grupo de Lie y el dominio es el álgebra de Lie asociado. Después de
todo esto introduciremos las acciones de un grupo de Lie sobre una variedad para
posteriormente hablar de la representación adjunta de un grupo de Lie.
A los subhaces del haz tangente de una variedad diferenciable se les llama dis-
tribuciones, concepto que necesitaremos para hablar del teorema de Frobenius. Este
teorema nos dice para qué tipo de distribuciones existe una subvariedad inmersa,
para cada punto de la variedad, de tal manera que la distribución restringida a di-
cha subvariedad es igual a su haz tangente; a tales distribuciones les llamaremos
involutivas. Diremos queuna foliación de una variedad es la colección de todas las
subvariedades inmersas maximales, que denominaremos hojas, dadas en el teorema
de Frobenius; estas subvariedades se ven localmente como las fibras de una submer-
sión. Una vez definidos estos conceptos se darán ejemplos de foliaciones y por último
diremos bajo qué circunstancias las hojas son subvariedades encajadas.
7
1.1. Variedades diferenciables
A lo largo de este trabajo sólo consideraremos variedades diferenciables reales
de clase Cr, Hausdorff y segundo numerables, a las que llamaremos simplemente
variedades. Denotaremos Mm para indicar que la dimensión de una variedad M es
m.
Escribiremos en ocasiones f ∈ C l(M,N) para señalar que el mapeo continuo
f : M → N entre dos variedades de clase Cr es diferenciable de clase C l. Si una
función es de clase C∞ se dirá que la función es diferenciable. Cuando N = R,
denotaremos Cr(M,R) como Cr(M).
El espacio tangente de una variedad M en p ∈ M lo denotaremos como TpM
y a su haz tangente como TM . La diferencial de f ∈ C∞(M,N) en p es el mapeo
lineal f∗p : TpM → Tf(p)N dado como
f∗p(v)(g) = v(g ◦ f)
donde v ∈ TpM , g ∈ C∞(N). Definimos a f∗ : TM → TN como f∗(v) = f∗p(v), si
v ∈ TpM
Definición 1.1. Dada f ∈ C l(M,N), (l ≥ 1), decimos que f es una inmersión si
para todo p ∈ M , f∗p es inyectiva (o equivalentemente si el rango de f es igual a la
dimensión de M y dimM ≤ dimN). Es una submersión si para todo p ∈ M , f∗p es
suprayectivo (equivalentemente si el rango de f es igual a la dimensión de N). Una
inmersión f : M → N es un encaje si f : M → f(M) ⊂ N es un homeomorfismo
sobre su imagen.
Los siguientes teoremas serán de gran utilidad y sus demostraciones se siguen del
teorema del rango.
Teorema 1.2. (Forma local de las inmersiones). Sea f ∈ C l(Mm, Nn), con
l ≥ 1. Supongamos que f∗p es inyectivo, entonces existen cartas (U,ϕ) y (V, ψ) con
p ∈ U y f(p) ∈ V y una descomposición de Rn = Rm × Rn−m, tal que f(U) ⊂ V y
ψ ◦ f ◦ ϕ−1(t1, . . . , tm) = (t1, . . . , tm, 0, . . . , 0)
Teorema 1.3. (Forma local de las submersiones). Sea f ∈ C l(Mm, Nn), con
l ≥ 1. Supongamos que f∗p es suprayectivo, entonces existen cartas (U,ϕ) y (V, ψ)
con p ∈ U y f(p) ∈ V y una descomposición de Rm = Rn×Rm−n, tal que f(U) ⊂ V
y
ψ ◦ f ◦ ϕ−1(t1, . . . , tn, tn+1, . . . , tm) = (t1, . . . , tn)
Teorema 1.4. (Global del rango). Sean M y N variedades diferenciables y F ∈
C∞(M,N) de rango constante.
1) Si F es suprayectivo, entonces es una submersión diferenciable.
2) Si F es inyectivo, entonces es una inmersión diferenciable.
3) Si F es biyectivo, entonces es un difeomorfismo.
Sea Mm una variedad; un subconjunto N de M es una subvariedad (encajada)
de M si para cada punto p ∈ N existe una carta (U, φ) de M tal que p ∈ U y
φ : U → Rn × Rm−n satisface que
φ(U ∩N) = φ(U) ∩ (Rn × {0})
El número n indica la dimensión de N .
Una subvariedad inmersa de M es una variedad topológica S ⊆M (la topoloǵıa
de S no necesariamente es la topoloǵıa inducida por M) que tiene una estructura
diferenciable con la cual la inclusión S ↪→M es una inmersión diferenciable.
La demostración de la siguiente proposición se puede encontrar en [11, p. 101-103].
Proposición 1.5. Sea Mm una variedad diferenciable. N ⊂ M es una subvariedad
de M si y sólo si N es una variedad topológica de dimensión n, con la topoloǵıa
inducida por M , con una estructura diferenciable que hace de la inclusión N ↪→ M
un encaje diferenciable.
Si π : M → N es cualquier mapeo continuo entre variedades, una sección de π es
un mapeo continuo σ : N →M tal que π ◦ σ = IdN . Una sección local es un mapeo
continuo σ : U →M de algún abierto U ⊂ N y que satisface π ◦ σ = IdU .
Proposición 1.6. Sea π : M → N una submersión, entonces todo punto de M
está en la imagen de una sección local diferenciable de π.
Demostración. Sea p ∈ Mm y q = π(p) ∈ Nn. Por el teorema 1.3 existen cartas
(U,ϕ) y (V, ψ), de M y N respectivamente, con p ∈ U y q ∈ V tales que
ψ ◦ π ◦ ϕ−1(x1, . . . , xn, . . . , xm) = (x1, . . . , xn).
Consideremos un número real ε > 0 lo suficientemente pequeño para que el conjunto
Cε = {x ∈ Rm | |xi| < ε para i = 1, . . . ,m}
sea una vecindad de ϕ(p) cuya imagen bajo ψ ◦ π ◦ ϕ−1
C ′ε = {x ∈ Rn | |xi| < ε para i = 1, . . . , n}
esté contenida en ψ(V ). Entonces el mapeo f : C ′ε → Cε dado por
f(x1, . . . , xn) = (x1, . . . , xn, 0, . . . , 0)
es diferenciable; con esto podemos definir σ : ψ−1(C ′ε)→M como
σ = ϕ−1 ◦ f ◦ ψ|ψ−1(C′ε)
que claramente es una sección local que satisface σ(q) = p.
Proposición 1.7. Sean M , N y P variedades diferenciables, π : M → N una
submersión suprayectiva y F : N → P una función. Entonces F es diferenciable si
y sólo si F ◦ π es diferenciable.
M
π
��
F◦π
 
N
F // P
Demostración. Al ser F diferenciable entonces F ◦ π también lo es. Supongamos
ahora que F ◦π es diferenciable. Sea q ∈ N , por la proposición 1.6 existe una sección
local diferenciable σ de π, σ : U → M definida en una vecindad U de q. Entonces
sucede que
F |U = F ◦ IdU = (F ◦ π) ◦ σ
es una composición de mapeos diferenciables. Esto prueba que F es diferenciable en
una vecindad para cada punto de N .
Proposición 1.8. Sean M,N1, N2 variedades diferenciables. Sean π1 : M → N1 y
π2 : M → N2 submersiones suprayectivas que son constantes en las fibras de la otra,
entonces existe un único difeomorfismo F que hace conmutar
M
π2
��
π1 // N1
N2
F
>>
Demostración. Ver [11, p. 90]
Un campo vectorial diferenciable sobre una variedad M es una sección diferen-
ciable del mapeo proyección π : TM →M , dado por π(v) = p, si v ∈ TpM . O dicho
de otra manera, un campo vectorial es un mapeo diferenciable X : M → TM tal
que π ◦X = IdM . Denotaremos al conjunto de los campos vectoriales diferenciables
en M mediante X(M). Escribiremos la evaluación del campo X en el punto p ∈ M
indistintamente como Xp o X(p) según se requiera.
Podemos hacer una identificación del conjunto de campos diferenciables en M con
el conjunto de derivaciones de C∞(M), ya que, si f ∈ C∞(M), el campo X ∈ X(M)
define una nueva función diferenciable X(f) : M → R dada como
X(f)(p) = Xp(f);
aśı que, X induce una derivación en C∞(M) mediante f 7−→ X(f). A su vez, dada
cualquier derivación D : C∞(M) → C∞(M) ésta tiene la forma D(f) = X(f) para
algún X ∈ X(M), (ver [11, p. 181]).
Definimos el corchete de Lie de X, Y ∈ X(M) como el campo vectorial
[X, Y ] : C∞(M)→ C∞(M)
dado por [X, Y ](f) = X(Y f)− Y (Xf).
Supongamos que F ∈ C∞(M,N). Diremos que dos campos X, Y ∈ X(M) están
F -relacionados si F∗(X) = Y ◦ F , es decir, si el siguiente diagrama conmuta:
TM
F∗ // TN
M
X
OO
F // N
Y
OO
Lema 1.9. Si F ∈ C∞(M,N), X ∈ X(M) y Y ∈ X(N). Entonces X y Y están
F -relacionados si y sólo si para toda función f ∈ C∞(N), definida en un abierto de
N se tiene que
X(f ◦ F ) = (Y f) ◦ F. (1.1)
Demostración. Sean p ∈ M y f ∈ C∞(N) definida en una vecindad alrededor de
F (p). Entonces
X(f ◦ F )(p) = Xp(f ◦ F ) = F∗p(X)f.
Por otra parte,
(Y f) ◦ F (p) = (Y f)(F (p)) = YF (p)f.
Aśı que, X y Y están F -relacionados, es decir, que para todo p ∈ M y toda f se
tiene que F∗p(X)f = YF (p)f si y sólo si la igualdad (1.1) se cumple.
Proposición 1.10. Sea F ∈ C∞(M,N) y sean X1, X2 ∈ X(M) y Y1, Y2 ∈ X(N) tales
que Xi está F -relacionado con Yi para i = 1, 2. Entonces [X1, X2] está F -relacionado
con [Y1, Y2].
Demostración. Sea f ∈ C∞(N) definida en un abierto de N . Por el lema anterior
X1(X2(f ◦ F )) = X1((Y2f) ◦ F ) = (Y1Y2f) ◦ F
Análogamente,
X2(X1(f ◦ F )) = (Y2Y1f) ◦ F
Entonces
[X1, X2](f ◦ F ) = X1X2(f ◦ F )−X2X1(f ◦ F )
= (Y1Y2f) ◦ F − (Y2Y1f) ◦ F
= ([Y1, Y2]f) ◦ F
Por lo tanto [X1, X2] y [Y1, Y2] están F -relacionados.
Corolario 1.11. Sea M una variedad diferenciable y S ⊆ M una subvariedad in-
mersa. Si Y1, Y2 ∈ X(M) son tangentes a S, entonces [Y1, Y2] también es tangente a
S.
1.2. Grupos y álgebras de Lie
Definición 1.12. Un grupo de Lie es una variedad diferenciable G que posee una
estructurade grupo de tal manera que el mapeo G×G→ G, dado por
(x, y) 7→ xy−1
es diferenciable.
Esta última condición es equivalente a decir que los mapeos (x, y) 7→ xy y
x 7→ x−1 son diferenciables. Una subvariedad inmersa H ⊂ G que a su vez es un
subgrupo de G es llamado subgrupo de Lie de G. Denotaremos como e al neutro del
grupo.
Proposición 1.13. Un subgrupo de un grupo de Lie es un grupo de Lie si y sólo si
es cerrado, con respecto a la topoloǵıa inducida.
Demostración. Ver [10, p. 322]
Definición 1.14. Un álgebra de Lie sobre R es un espacio vectorial real g junto
con un mapeo bilineal [ , ] : g × g → g, llamado corchete, que satisface para todo
X, Y, Z ∈ g lo siguiente:
(a) [X, Y ] = −[Y,X]
(b) [[X, Y ], Z] + [[Z,X], Y ] + [[Y, Z], X] = 0
Definición 1.15. Un mapeo ϕ : G1 → G2 es un homomorfismo de grupos de Lie si
ϕ es diferenciable y es un homomorfismo de grupos. Diremos que es un isomorfismo
si ϕ es un difeomorfismo. Un isomorfismo de grupos de Lie en śı mismo es un
automorfismo. Dadas dos álgebras de Lie g1 y g2, un mapeo ψ : g1 → g2 es un
homomorfismo de álgebras de Lie si es lineal y además preserva los corchetes, es
decir, si ψ[X, Y ] = [ψ(X), ψ(Y )] para todo X, Y ∈ g1.
Para todo g ∈ G definimos como traslación izquierda y derecha a los mapeos
Lg : G→ G y Rg : G→ G dados por
Lg(x) := gx y Rg(x) = xg
Estos mapeos son difeomorfismos, ya que ambos tienen inversas diferenciables Lg−1
y Rg−1 .
Definición 1.16. Un campo vectorial X sobre un grupo G es invariante por la
izquierda (Resp. invariante por la derecha) si
Lg∗X(p) = X(Lg(p)) para todo g, p ∈ G
(resp. si
Rg∗X(p) = X(Rg(p)) para todo g, p ∈ G).
Hay que notar que un campo X en G es invariante por la izquierda si y sólo si X
está Lg-relacionado consigo mismo para toda g ∈ G. Similarmente, un campo en G
es invariante por la derecha si está Rg-relacionado consigo mismo para toda g ∈ G.
Sea e el neutro del grupo de Lie G y consideremos al espacio tangente TeG. Sean
X1, X2 ∈ TeG, al definir [X1, X2] := [X̃1, X̃2]e, en donde X̃ i = Lg∗eX i ∈ X(G) y
el corchete de la derecha es el corchete de Lie usual de campos vectoriales, lo que
obtenemos es una estructura de álgebra de Lie para TeG.
Definición 1.17. El álgebra de Lie del grupo G es el álgebra g := TeG junto con el
corchete definido anteriormente.
Proposición 1.18. El conjunto de campos invariantes por la izquierda sobre un
grupo G es un álgebra de Lie isomorfa a g.
Demostración. Primero veamos que el conjunto de campos invariantes por la izquier-
da, que denotaremos X(G)L, es un álgebra de Lie: X(G)L tiene estructura de espacio
vectorial por la linealidad de Lg∗e. El corchete de Lie de campos invariantes por la
izquierda es un campo invariante por la izquierda por la proposición 1.10.
Definamos Ψ : X(G)L → g como Ψ(X) := Xe. Este mapeo es inyectivo: si Ψ(X) =
Ψ(Y ), entonces para todo g ∈ G, X(g) = Lg∗eX(e) = Lg∗eY (e) = Y (g). También
Ψ es suprayectivo: sea v ∈ TeG, el campo X ∈ X(G) definido como X(g) := Lg∗ev
es invariante por la izquierda porque para toda h ∈ G, Lh∗X(g) = Lh∗ ◦ Lg∗ev =
Lhg∗ev = X(Lh(g)). Tenemos aśı que Ψ es una biyección entre espacios vectoriales y
además [Ψ(X),Ψ(Y )] = [X, Y ]e = Ψ([X, Y ]). Por lo tanto Ψ es un isomorfismo de
álgebras de Lie.
En los siguientes resultados escribiremos indistintamente como e al neutro de los
grupos de Lie G1 y G2.
Lema 1.19. Sea ϕ : G1 → G2 un homomorfismo de grupos de Lie. Para todo campo
X ∈ X(G1) invariante por la izquierda existe un único campo Y ∈ X(G2) invariante
por la izquierda que está ϕ-relacionado con X.
Demostración. Si suponemos que existe un campo invariante por la izquierda Y ∈
X(G2) que está ϕ-relacionado con X, entonces dicho campo tiene que ser único, esto
consecuencia de que necesariamente Ye = ϕ∗Xe y de la proposición anterior.
Definamos Y = Lg(ϕ∗Xe) ∈ X(G2). Como ϕ es un homomorfismo de grupos, se
satisface la igualdad ϕ ◦ Lg = Lϕ(g) ◦ ϕ, para todo g ∈ G1, entonces
ϕ∗(X(g)) = ϕ∗(Lg∗Xe) = (ϕ ◦ Lg)∗Xe
= (Lϕ(g) ◦ ϕ)∗Xe = Lϕ(g)∗(ϕ∗Xe)
= Y (ϕ(g))
lo cual prueba que X está ϕ-relacionado con Y .
Proposición 1.20. Sean G1 y G2 grupos de Lie y sean g1 y g2 sus respectivas
álgebras de Lie. Si ϕ : G1 → G2 es un homomorfismo de grupos de Lie, entonces
ϕ∗e : g1 → g2 es un homomorfismo de álgebras de Lie.
Demostración. Sean X1, X2 ∈ g1, denotemos como Y 1 = ϕ∗e(X1) y como Y 2 =
ϕ∗e(X
2). Definamos los campos X̃ i := Lg∗e(X
i) ∈ X(G1) y Ỹ i := Lg∗e(Y i) ∈ X(G2).
Por el lema anterior X̃ i está ϕ-relacionado con Ỹ i, lo que implica que [X̃1, X̃2] está ϕ-
relacionado con [Ỹ 1, Ỹ 2], por la proposición 1.10. Aśı que
ϕ∗e[X
1, X2] = ϕ∗e[X̃
1, X̃2]e = [Ỹ
1, Ỹ 2] ◦ ϕ(e) = [Ỹ 1, Ỹ 2]e
Por otra parte,
[ϕ∗eX
1, ϕ∗eX
2] = [Y 1, Y 2] = [Ỹ 1, Ỹ 2]e
Por lo tanto, ϕ∗e[X
1, X2] = [ϕ∗eX
1, ϕ∗eX
2].
La demostración de la siguiente proposición puede encontrarse en [23, p. 101]
Proposición 1.21. Sean G1 y G2 grupos de Lie con álgebras de Lie g1 y g2, respecti-
vamente. Sea ψ : g1 → g2 un homomorfismo de álgebras de Lie. Si G1 es simplemente
conexo, entonces existe un único homomorfismo de grupos de Lie ϕ : G1 → G2 tal
que ϕ∗e = ψ.
Se define como subgrupo uniparamétrico de un grupo de Lie G a cualquier ho-
momorfismo de grupos de Lie ϕ : R→ G, considerando a R como grupo de Lie bajo
la suma. Si X ∈ g, es fácil ver que el mapeo λ d
dt
7→ λX es un homomorfismo de
álgebras de Lie. Como R es simplemente conexo, la proposición anterior garantiza la
existencia de un único subgrupo uniparamétrico
expX : R→ G
tal que exp′X(0) = Xe
Definición 1.22. El mapeo exponencial del grupo de Lie G está definido como
exp : g→ G, exp(X) := expX(1)
en donde expX es el único subgrupo uniparamétrico de G tal que exp
′
X(0) = Xe.
Observación 1.23. Considérese al subgrupo uniparamétrico s 7→ expX(st) en G. Al
derivar dicha curva en s = 0, obtenemos que
d
ds
expX(st)|s=0 = t exp′X(0) = tXe
aśı que, por la unicidad del subgrupo uniparamétrico, expX(st) = exptX(s), y en
particular para s = 1
expX(t) = exptX(1)
o bien
exp(tX) = expX(t)
Proposición 1.24. Sea ϕ : G1 → G2 un homomorfismo de grupos de Lie, entonces
el siguiente diagrama conmuta:
G1
ϕ // G2
g1
exp
OO
ϕ∗e // g2
exp
OO
Demostración. Sea X ∈ g1. La curva diferenciable t 7→ ϕ(exp(tX)) en G2, cuya
derivada en t = 0 es
d
dt
ϕ(exp(tX))|t=0 = ϕ∗e(exp′X(0)) = ϕ∗eXe
es un subgrupo uniparamétrico de G2.
Pero, t 7→ exp t(ϕ∗e(X)) es el único subgrupo uniparamétrico de G2 tal que su
derivada en t = 0 es precisamente ϕ∗e(Xe), por lo tanto
ϕ(exp(tX)) = exp t(ϕ∗e(Xe))
En particular
ϕ(exp(X)) = exp(ϕ∗e(X))
Observación 1.25. El mapeo exponencial
exp : End(V )→ Aut(V ),
donde V es un espacio vectorial real y End(V ) denota al conjunto de todos los ope-
radores lineales de V , llamado el conjunto de endomorfismos de V , está dado por
exponenciación de endomorfismos. Si l ∈ End(V ), entonces
el := exp(l) = IdV + l +
l2
2!
+ . . .+
lj
j!
+ . . .
donde lj significa l compuesto consigo mismo j veces.
Definición 1.26. Una acción izquierda de un grupo de Lie G sobre una variedad
M es un mapeo µ : G×M →M que satisface:
(a) µ(e, p) = p para todo p ∈M
(b) µ(g1 · g2, p) = µ(g1, µ(g2, p)) para todo g1, g2 ∈ G y p ∈M .
Una acción derecha se define como un mapeo ν : M ×G→M que cumple:
(a) ν(p, e) = p para todo p ∈M
(b) ν(p, g1 · g2) = ν(ν(p, g1), g2) para todo g1, g2 ∈ G y p ∈M .
Denotaremos a µ(g, p) como g · p y análogamente ν(p, g) como p · g cuando sea
conveniente.
Una acción derecha siempre puede convertirse a una acción izquierda con el truco
de definir g · p como p · g−1, y una acción izquierda de manera similar puede con-
vertirse a una acción derecha. Aśı que cualquier resultado sobre acciones izquierdas
puede trasladarse a resultados sobre acciones derechas, y viceversa. Pondremos más
atención a las acciones izquierdas, aśı que las definiciones serán dadas para estas
acciones y omitiremos las palabras izquierda o derecha a menos que sea necesario.
Laórbita de un punto p ∈M de la acción µ es el conjunto
Op = {g · p ∈M | g ∈M}
y el grupo de isotroṕıa de p ∈M es el subgrupo
Gp = {g ∈ G | g · p = p}.
Observación 1.27. Si la acción de un grupo de Lie es continua entonces el grupo
de isotroṕıa es cerrado.
Si H ⊆ G es un subconjunto de G, el normalizador N(H) de H en G es el
conjunto
N(H) = {g ∈ G | gHg−1 = H}
Nótese que H ⊆ N(H) y que N(H) es un subgrupo de G.
Proposición 1.28. Sea G un grupo de Lie y H ≤ G un subgrupo cerrado. Entonces
N(H) es un subgrupo de Lie de G.
Demostración. Sea b ∈ H. Consideremos la función ψb : G→ G dada como ψb(g) =
gbg−1. Como H es cerrado y ψb es diferenciable, para todo b ∈ H se tiene que ψ−1b (H)
es cerrado. Podemos escribir al normalizador como
N(H) =
⋂
b∈H
{g ∈ G | gbg−1 ∈ H}
=
⋂
b∈H
ψ−1b (H);
entonces N(H) es cerrado y por lo tanto un subgrupo de Lie.
El siguiente resultado nos dice cuándo un cociente de un grupo de Lie con un
subgrupo es una variedad diferenciable.
Proposición 1.29. Sea G un grupo de Lie y H ≤ G un subgrupo cerrado, entonces
el espacio cociente G/H, equipado con la topoloǵıa cociente, tiene una estructura
diferenciable para la cual el mapeo cociente G → G/H dado como g 7→ gH es una
submersión.
Demostración. Ver [10, p. 364].
Consideremos la acción de G en śı mismo por conjugación
a : G×G→ G, a(g, x) := ag(x) = gxg−1
Una representación (lineal) de un grupo G en un espacio vectorial V es un ho-
momorfismo de grupo ϕ : G→ Aut(V ).
Definición 1.30. Sea G un grupo de Lie y g su álgebra de Lie. La representación
Ad : G→ Aut(g), Ad(g) := ag∗e = Lg∗g−1 ◦Rg−1∗e
es la representación adjunta de G.
A la diferencial de la representación adjunta en el neutro la denotaremos como
ad : g→ End(g), ad(X)(Y ) := Ad∗e(X)(Y )
y escribiremos Adg en lugar de Ad(g) y adX en lugar de ad(X).
Por el teorema 1.24,
Ad(exp(X)) = eadX ; (1.2)
es decir, el siguiente diagrama conmuta
G
Ad // Aut(g)
g
exp
OO
ad // End(g)
exp
OO
Proposición 1.31. Sea G un grupo de Lie y g su álgebra de Lie. Si X, Y ∈ g,
entonces
adX(Y ) = [X, Y ].
Demostración. Ver [23, p. 115]
1.3. Foliaciones
Sea Mm una variedad diferenciable y X ∈ X(M). Una curva integral de X es
una curva diferenciable γ : I ⊆ R→M tal que
γ′(t) = Xγ(t) ∀t ∈ I
Recordemos que todo campo vectorial determina de manera única una curva integral
maximal en cada punto de M , esto por el teorema de existencia y unicidad de
soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias. Si X es un campo sin singularidades
entonces cada una de sus curvas integrales es la imagen de una inmersión diferenciable
y además localmente se ven como ĺıneas paralelas del plano euclidiano. En cierta
manera la idea anterior puede generalizarse a dimensiones mayores y para ello se
necesita la siguiente
Definición 1.32. A los subhaces de dimensión n de TM se les llama distribuciones
(tangentes) de dimensión n y denotaremos uno de tales como D. O bien
D =
⊔
p∈M
Dp ⊂ TM,
donde Dp ⊂ TpM son subespacios vectoriales de dimensión n para cada p ∈M .
La pregunta que surge naturalmente es: ¿dada cualquier distribución existe una
subvariedad inmersa N ⊂ M de tal manera que TpN = Dp para todo p ∈ N?. La
respuesta a esta interrogante la da el teorema de Frobenius, el cual establece para
qué tipo de distribuciones existe una subvariedad inmersa con tal caracteŕıstica, a la
cual se le llama variedad integral de la distribución D.
Una sección local de una distribución D es un mapeo X : U → D de un abierto U
de M a la distribución tal que πM ◦X = IdU . Diremos que D es involutiva si dadas
cualesquiera dos secciones locales de D su corchete de Lie es también una sección
local de D, o dicho de otra manera, si el conjunto de secciones globales de D es una
subálgebra de Lie de X(M).
Una distribución D es integrable si cada p ∈ M está contenido en una variedad
integral de D.
Proposición 1.33. Toda distribución integrable es involutiva.
Demostración. Sean D ⊂ TM una distribución integrable y X, Y secciones locales
de D definidas en un abierto U ⊂ M . Sea p ∈ U , como la distribución es integra-
ble, p está contenido en una variedad integral S de D. Al ser X, Y secciones de la
distribución sucede que son tangentes a S en U , por el corolario 1.11, [X, Y ] tam-
bién es tangente a S y [X, Y ]p ∈ Dp. Esto pasa para todo p ∈ U y entonces D es
involutiva.
Sea D una distribución de dimensión n en M , diremos que D es completamente
integrable si para cada punto p ∈M existe una carta (U,ϕ) de tal manera que ϕ(U)
es el producto de dos abiertos conexos U1 ×U2 ⊂ Rn ×Rm−n y D está generado por
los primeros n campos vectoriales { ∂
∂x1
, . . . , ∂
∂xn
}. Una distribución completamente
integrable es integrable, ya que para cada q ∈ U existe una variedad integral N
que contiene a q: si (a1, . . . , am) denota las coordenadas de Q, entonces la variedad
integral que contiene a q es
N = ϕ−1{x ∈ ϕ(U) | xn+1 = an+1, . . . , xm = am}.
Con todo esto podemos enunciar correctamente el teorema de Frobenius, y su
demostración puede consultarse en [11].
Teorema 1.34. (Frobenius) Toda distribución involutiva es completamente inte-
grable.
Este teorema, junto con la proposición 1.33, nos muestra que los conceptos de
distribuciones involutivas, integrables y completamente integrables son equivalentes.
Una foliación de M es la colección de todas las variedades integrales maximales de
una distribución involutiva D de dimensión n. Estas variedades, a las que llamaremos
hojas, forman una partición en M y se aglomeran localmente como los subconjuntos
de Rm = Rn×Rm−n con la segunda coordenada constante. Tenemos entonces que el
ejemplo más simple de foliación de dimensión n es la foliación de Rm = Rn × Rm−n
donde las hojas son los n-planos Rn × {c} con c ∈ Rm−n.
Los difeomorfismos h : U ⊂ Rm → V ⊂ Rm que preservan las hojas de esta
foliación son aquellos que localmente tienen la siguiente forma:
h(x, y) = (h1(x, y), h2(y)), (x, y) ∈ Rn × Rm−n (1.3)
Definición 1.35. Sea Mm una variedad diferenciable de clase C∞. Una foliación
de clase Cr y dimensión n de M es un atlas maximal F de clase Cr en M con las
siguientes propiedades:
(a) Si (U,ϕ) ∈ F , entonces ϕ(U) = U1×U2 ⊂ Rn×Rm−n, donde U1 y U2 son discos
abiertos de Rn y Rm−n respectivamente.
(b) Si (U,ϕ), (V, ψ) ∈ F son tales que U∩V 6= ∅, entonces el cambio de coordenadas
ψ ◦ ϕ−1 : ϕ(U ∩ V )→ ψ(U ∩ V )
es Cr y tiene la forma de (1.3), es decir, ψ ◦ ϕ−1(x, y) = (h1(x, y), h2(y)).
Diremos que M está foliada por F o que F es una estructura foliada de dimensión
n y de clase Cr sobre M . A las cartas (U,ϕ) ∈ F les llamaremos cartas de la foliación.
�
� �
�∘
-1
Figura 1.1: Aspecto local de una foliación de dimensión uno en una variedad de
dimensión dos.
Cuando se afirma que M es una variedad de clase C∞ que tiene un atlas F como
arriba, se está diciendo, impĺıcitamente, que M tiene un atlas A cuyos cambios de
coordenadas son C∞; sin embargo, si (U,ϕ) ∈ A, (V, ψ) ∈ F y U ∩ V 6= ∅, entonces
los cambios de coordenadas ϕ ◦ ψ−1 y ψ ◦ ϕ−1 son Cr.
Notamos que si A = {(Ui, ϕi) | i ∈ I} es un atlas no maximal, cuyas cartas
locales satisfacen (a) y (b), entonces hay un único atlas maximal que contiene a A y
que satisface (a) y (b). Este atlas está definido como el conjunto de todas las cartas
ϕ : U → Rm tales que si U ∩ Ui 6= ∅ para algún i ∈ I, entonces h = ϕ ◦ φ−1 :
ϕi(U ∩Ui)→ ϕ(U ∩Ui) es un difeomorfismo de clase Cr de la forma (1.3). Aunque la
condición de maximalidad no es necesaria en la definición, nos conviene para que el
conjunto de todos los dominios de las cartas locales formen una base para la topoloǵıa
de Mm.
Definición 1.36. Si F es una foliación de dimensión n y de clase Cr, con 0 < n <
m, de una variedad Mm y (U,ϕ) ∈ F , definimos una placa de U (o placa de F) al
conjunto de la forma ϕ−1(U1 × {c}), con c ∈ U2.
Si dejamos fijo a c ∈ U2, el mapeo f = ϕ−1|U1×{c} : U1 × {c} → U es un encaje,
aśı que las placas son subvariedades conexas n-dimensionales deM . Si α y β son
placas de U , entonces se cumple que α ∩ β = ∅ o α = β.
Podemos definir una relación de equivalencia en M de la siguiente manera: Sean
x, y ∈ M , x ∼ y si existe una colección de placas α1, . . . , αk con x ∈ α1, y ∈ αk
y αj ∩ αj+1 6= ∅ para todo j ∈ {1, . . . , k + 1}. Denotamos como Fx a la clase de
equivalencia que contiene a x ∈M . Las hojas de F son precisamente las clases de la
relación de equivalencia antes definida.
Veamos algunos ejemplos de foliaciones:
Ejemplo 1.37. Foliaciones definidas por submersiones.
Sea π ∈ Cr(Mm, Nn) una submersión. Por el teorema 1.3 se tiene que dado p ∈
M y q = π(p) ∈ N , existen cartas (U,ϕ) de M y (V, ψ) de N tales que p ∈ Up, q ∈ V ,
ϕ(U) = U1×U2 ⊂ Rm−n×Rn y ψ(V ) = V2 ⊃ U2, además ψ ◦ f ◦ϕ−1 : U1×U2 → U2
coincide con la proyección p2(x, y) = y.
Entonces la colección de cartas locales F = {(U,ϕ)}, que satisfacen lo anterior,
define una estructura foliada de clase Cr y dimensión m− n en M , donde las hojas
son los componentes conexos de las fibras π−1(c), con c ∈ N .
Para demostrar esto, consideremos (U,ϕ), (U ′, ϕ′) ∈ F , con U ∩U ′ 6= ∅, y supon-
gamos que
ϕ′ ◦ ϕ−1(x, y) = (h1(x, y), h2(x, y))
Notamos que:
h2 = p2 ◦ ϕ′ ◦ ϕ−1 = ψ′ ◦ π ◦ (ϕ′)−1 ◦ ϕ′ ◦ ϕ−1
= ψ′ ◦ π ◦ ϕ−1 = ψ′ ◦ ψ−1 ◦ ψ ◦ π ◦ ϕ−1
= ψ′ ◦ ψ−1 ◦ p2
Aśı que h2 no depende de x ∈ Rm−n. Esto prueba que F define una foliación de
clase Cr y dimensión m− n sobre M . Claramente las placas de F están contenidas
en las fibras de π y en consecuencia las hojas son precisamente las fibras de π.
Veamos un ejemplo en particular. Sea f : R3 → R una submersión definida como
f(x1, x2, x3) = α(r
2) · ex3
donde r2 = x21 + x
2
2 y α : R → R es una función diferenciable tal que α(1) = 0,
α(0) = 1 y α′(t) < 0 para todo t > 0.
La función f es una submersión. Si suponemos que
∇f(x1, x2, x3) = (2xα′(r2)ex3 , 2yα′(r2)ex3 , α(r2)ex3) = (0, 0, 0)
implicaŕıa que x = y = 0 y que α(r2) = 0, pero esto es una contradicción, ya que
sucedeŕıa que r2 = 0 lo cual nos lleva a que α(r2) = 1. Aśı que ∇f(x1, x2, x3) no se
anula y en consecuencia f es una submersión. Por lo hecho anteriormente, f induce
una foliación G de clase C∞ y dimensión 2 en R3 donde las hojas son los conjuntos
de nivel f−1(c), c ∈ R.
Cuando c > 0 las hojas se encuentran dentro del cilindro sólido C = {(x1, x2, x3) |
x2 + y2 < 1}, son homeomorfas a R2 y se parametrizan por (x1, x2) ∈ D2 7→
(x1, x2, ln(
c
α(r2)
)). Si c = 0, la correspondiente curva de nivel es la frontera de C,
∂C = {(x1, x2, x3) | x2 + y2 = 1}. Y para c < 0 las hojas de G se encuentran fuera
de C y son homeomorfas a cilindros (ver fig. 1.2).
c=0
c>0
c<0
Figura 1.2: Foliación de R3.
Observación 1.38. Si M está foliada por F con el atlas {(Ui, ϕi) | i ∈ I}, entonces
πi = p2 ◦ ϕi : Ui → Ui,2 ⊂ Rm−n, con p2 la proyección en el segundo factor, es una
submersión y para todo c ∈ Ui,2, π−1i (c) es una placa de Ui. Esto quiere decir que las
hojas de una foliación se ven localmente como fibras de submersiones.
Ejemplo 1.39. Fibraciones.
Un haz fibrado (E, π,B, F ) consiste en variedades diferenciables E,B y F y una
submersión π : E → B tal que para todo b ∈ B existe una vecindad abierta U de b y
un difeomorfismo ϕ : π−1(U) → U × F , llamado trivialización local de E sobre U ,
que hace conmutar al diagrama:
π−1(U)
ϕ //
π
%%
U × F
p1
��
U
donde p1 es la proyección en el primer factor.
A E se le llama espacio total del haz, a B la base y al par (U,ϕ) carta del
haz fibrado. A las subvariedades π−1(b) se les llama fibras y dado que π es una
submersión, estas definen las hojas de una foliación en E.
A la colección de cartas del haz fibrado (Uα, ϕα), donde (Uα) es una cubierta
abierta de B y ϕα son trivializaciones locales, se le llama atlas del haz fibrado.
Ejemplo 1.40. La foliación de Reeb del toro sólido y la botella de Klein
Consideremos la submersión del ejemplo 1.37 restringida al cilindro sólido
C = {(x, y, z) | x2 + y2 ≤ 1},
dada por f(x, y, z) = α(r)·ez, donde α(r) = exp(−exp( 1
1−r2 )). La foliación que define
f tiene como hojas a las gráficas de z = exp( 1
1−r2 ) + b, con b ∈ R.
En D2×[0, 1] definimos la relación de equivalencia (x1, x2, 0) ∼ (y1, y2, 1) si y sólo
si (x1, x2) = (y1, y2). El toro sólido es difeomorfo a la variedad cociente D
2×[0, 1]/ ∼
y como la foliación definida en D2 × R es invariante bajo traslaciones sobre el eje
z (es decir, que lleva hojas a hojas), esta induce una foliación en el toro sólido, la
cual es llamada foliación de Reeb orientable (ver fig. 1.3).
Si ahora consideramos a D2× [0, 1] con la relación (x1, x2, 0) ∼ (y1, y2, 1) si y sólo
si (x1, x2) = (y1,−y2), obtenemos el cociente D2 × [0, 1]/ ∼ que es una variedad no
orientable cuya frontera es difeomorfa a una botella de Klein. Análogamente, la folia-
ción de D2×R induce una foliación en la botella de Klein llamada foliación de Reeb
no orientable. Hay que notar que en ambas foliaciones las hojas son homeomorfas a
R2 y las respectivas fronteras son también una hoja.
Ejemplo 1.41. La foliación de Reeb de S3
La foliación de Reeb para el toro sólido puede utilizarse para determinar una
foliación en la esfera S3, ya que esta esfera puede verse como la unión de dos toros
sólidos (ver [8, p. 48]), en donde sus fronteras quedan identificadas mediante un
difeomorfismo que asocia los meridianos de uno con los paralelos del otro y viceversa.
De esta manera obtenemos una foliación para S3 de dimensión dos que tiene una hoja
homeomorfa al toro T2 y todas las demás son homeomorfas a R2.
Figura 1.3: Foliación de de Reeb de D2 × S1.
Ejemplo 1.42. Acciones de grupos de Lie.
Sea ϕ : G ×M → M una acción diferenciable de un grupo de lie G sobre una
variedad diferenciable M . El mapeo ip : G → M dado por ip(g) = ϕ(g, p) induce
el mapeo f : G/Gp → M , f(gGp) = ϕ(g, p). Por la proposición 1.29, G/Gp tiene
una estructura diferenciable y como se verá más adelante, (ver proposición 3.1), f
está bien definido, es inyectivo y además es una inmersión cuya imagen es Op.
Definición 1.43. Diremos que ϕ : G×M → M es una acción foliada si para todo
p ∈M el espacio tangente a la órbita de ϕ que pasa por p tiene dimensión constante
k. Cuando k es la dimensión de G decimos que ϕ es localmente libre.
Proposición 1.44. Las órbitas de una acción foliada definen las hojas de una fo-
liación.
Demostración. Sea ϕ : G×M →M una acción foliada cuyas órbitas tienen dimen-
sión k ≥ 1 y sea x0 ∈M fijo. Consideremos E ⊂ TeG un subespacio complementario
al espacio tangente del grupo de isotroṕıa Gx0 en e y el encaje i1 : B
k → G de un k-
disco tangente a E en e de tal manera que i1(0) = e y sea además i2 : B
m−k →M un
encaje a una sección transversa de la órbita Ox0 en x0 tal que i2(0) = x0. Definamos
al mapeo
Φ : Bk ×Bm−k →M como Φ = ϕ(i1, i2).
Sucede que Φ∗(0,0) : Rk×Rm−k → TxoM es inyectivo y por lo tanto es un isomorfismo;
el teorema de la función inversa nos garantiza la existencia de una vecindad U de
x0 tal que Φ
−1 : U → Bk × Bm−k es un difeomorfismo que manda a la órbita de
i2(x) ∈ U ∩ i2(Bm−k) a un subconjunto abierto de Bk × {x}. Con esta construcción
podemos decir que el atlas F = {(U,Φ−1)} define una estructura foliada para M .
Definición 1.45. Un flujo sobre M es una acción ϕ : R×M →M que satisface lo
siguiente:
a) ϕ(0, x) = x para todo x ∈M .
b) ϕ(s+ t, x) = ϕ(s, ϕ(t, x)), s, t ∈ R, x ∈M .
Podemos asociarle a todo flujo ϕ sobre M un campo vectorial X : M → TM
mediante
X(x) =
dϕ(t, x)
dt
|t=0
Para cada t ∈ R tenemos una aplicación ϕt : M → M definida como ϕt(x) =
ϕ(t, x), que nos proporciona la posición de cada punto de M en el instante t. Es fácil
ver que el conjunto {ϕt | t ∈ R} tiene estructura de grupo y es llamado el grupo
uniparamétrico de difeomorfismos de M asociado al flujo ϕ.
Ejemplo 1.46. Fibración de Hopf.
Sea S2n−1 = {(z1, . . . , zn) ∈ Cn |
∑n
i=1 |zi|2 = 1}, n ≥ 2. Definamos una acción
de S1 sobre S2n−1,
ϕ : S1 × S2n−1 → S2n−1
mediante ϕ(eiθ, z) = eiθz,θ ∈ R.
Como ∂ϕ
∂θ
= ieiθz 6= 0 para todo θ ∈ R, el espacio tangente a cada una de las
órbitas tiene dimensión uno, aśı que la acción es localmente libre. Por la proposición
anterior, la acción induce una foliación en S2n−1 en la cual las hojas son difeomorfas
a S1. A esta foliación se le conoce como la fibración de Hopf.
Las cartas de una foliación F dadas en la definición 1.35 inducen en cada una
de sus hojas una estructura de variedad diferenciable, lo cual queda resumido en el
siguiente
Teorema 1.47. Sea Mm una variedad foliada por F , una foliación de clase Cr y
dimensión n. Cada hoja de F es una variedad diferenciable de clase Cr y dimensión
n cuyos dominios de las cartas locales son las placas de F .
Demostración. Sea p ∈ F , una hoja de la foliación, y (U,ϕ) una carta de F tal que
p ∈ U y ϕ(U) = U1 × U2 ⊂ Rn+s donde U1 y U2 son bolas abiertas de Rn y Rs
respectivamente. Sea α la placa de U que contiene a p.
Denotamos ϕ = (ϕ1, ϕ2), donde ϕ1 : U → Rn y ϕ2 : U → Rs y definimos
ϕ̄ : α→ Rn como ϕ̄ = ϕ1 |α.
El mapeo ϕ̄ : α→ U1 ⊂ Rn es un homeomorfismo, ya que ϕ(α) = U1 × {a} para
algún a ∈ U2.
Se probará que
B = {(α, ϕ̄) | α ⊂ F es una placa de U, con (U,ϕ) ∈ F}
es un atlas de dimensión n para F .
Sean (α, ϕ̄), (β, ψ̄) ∈ B tales que α ∩ β 6= ∅. Consideremos (U,ϕ), (V, ψ) ∈ F
de tal manera que ϕ̄ = ϕ1|α y ψ̄ = ψ1|β. Al ser F una foliación de M se tiene
que el cambio de coordenadas ϕ ◦ ψ−1 : ψ(U ∩ V ) → ϕ(U ∩ V ) está dado como
ϕ ◦ ψ−1(x, y) = (h1(x, y), h2(y)) ∈ Rn × Rs para todo (x, y) ∈ Rn × Rs.
Como α ∩ β 6= ∅, entonces
ϕ ◦ ψ−1(x, b) = (h1(x, b), h2(b)) = (h1(x, b), a) (1.4)
donde b ∈ V2 es tal que ψ(β) = V1 × {b}.
Aśı que ψ(U ∩β) = ψ(U ∩V ∩β) = ψ(U ∩V )∩ (Rn×{b}) y también ϕ(V ∩α) =
ϕ(U ∩ V ) ∩ (Rn × {a}). Y, por (1.4), tenemos:
ϕ(U ∩ β) = ϕ ◦ ψ−1(ψ(U ∩ β)) = ϕ ◦ ψ−1(ψ(U ∩ V ) ∩ (Rn × {b}))
⊂ ϕ(U ∩ V ) ∩ (Rn × {a}) = ϕ(V ∩ α)
Esto quiere decir que β ∩ U ⊂ α ∩ V . Análogamente podemos llegar a que α ∩ V ⊂
β ∩U , aśı que α∩ β = α∩V = β ∩U . Esto prueba que α∩ β es abierto en α y en β.
Al ser ϕ̄ y ψ̄ homeomorfismos tenemos que ϕ̄(α ∩ β) y ψ̄(α ∩ β) son abiertos en
Rn.
El cambio de coordenadas ϕ̄ ◦ ψ̄−1 : ψ̄(α ∩ β) → ϕ̄(α ∩ β) es Cr, ya que, si
x ∈ ψ̄(α ∩ β) entonces ϕ̄ ◦ ψ̄−1(x) = h1(x, b). De manera similar ψ̄ ◦ ϕ̄−1 es Cr, por
lo tanto ϕ̄ ◦ ψ̄−1 es un difeomorfismo de clase Cr.
Hay que notar que el conjunto de placas α ⊂ F constituye una base para la
topoloǵıa de F asociada al atlas B definido anteriormente. Esta topoloǵıa no necesa-
riamente coincide con la topoloǵıa de M , esto es porque se puede dar el caso en que
una hoja F interseque al dominio de una carta (U,ϕ) ∈ F en una sucesión de placas
(αn)n∈N de tal manera que estas se acumulen cerca de otra placa α ⊂ F , entonces
cualquier vecindad de α intersecaŕıa a una infinidad de placas de F y aśı F no seŕıa
localmente conexa en la topoloǵıa de M , mientras que con la topoloǵıa intŕınseca de
F śı lo es.
Teorema 1.48. El mapeo i : F → M definido como i(p) = p es una inmersión
inyectiva. Además F es una subvariedad de M si y sólo si i es un encaje.
Demostración. Se sigue de la proposición 1.5.
Caṕıtulo 2
Foliaciones riemannianas
Dada una submersión π : M → B, en donde tanto M como B son variedades
riemannianas, diremos que es riemanniana si su diferencial preserva la longitud de
los vectores horizontales, es decir, de los vectores que son ortogonales a los espacios
tangentes a las fibras de la submersión. Esta clase de submersiones nos permitirá in-
troducir un caso particular de estructura foliada sobre M en donde las hojas son
“equidistantes”: las foliaciones riemannianas o métricas. Se hablará de los campos
de Killing, campos con la caracteŕıstica de que localmente su grupo uniparamétrico
asociado está formado por isometŕıas; en este tipo de campo, si no tiene singulari-
dades, la foliación generada por sus curvas integrales es riemanniana.
Posteriormente se probará bajo qué condiciones la imagen bajo π de una geodésica
en M es una geodésica en B. Este resultado ayudará a demostrar que si M es conexa
y completa, entonces B es completa, π es una submetŕıa en la que sus fibras son
equidistantes y además π es localmente un haz fibrado. Al final se definirá el grupo
de holonomı́a asociado a la submersión riemanniana π en un punto b ∈ B.
2.1. Submersiones riemannianas
De ahora en adelante supondremos que las submersiones son suprayectivas. De-
finimos a la distribución vertical V de una submersión π : M → B como el núcleo
de π∗, es decir, V es la colección de los espacios tangentes a las fibras. Un campo
vertical es una sección del subhaz vertical V → M , dicho de otra manera, es un
campo vectorial sobre M que es tangente en todas partes a las hojas inducidas por
la submersión. El espacio de los campos verticales en M , que denotaremos como Xv,
es una subálgebra de Lie de X(M).
Cualquier subespacio complementario a Vp en TpM es mapeado de manera iso-
morfa al espacio tangente de π(p), aśı que, si se tiene que M es una variedad rieman-
niana podemos tomar el complemento ortogonal como el subespacio complementario
canónico y con lo cual tenemos la siguiente
Definición 2.1. Sea π : M → B una submersión, donde M es una variedad rieman-
niana. La distribución horizontal de π es el complemento ortogonal de V, H = V⊥ .
Si además B es una variedad riemanniana, entonces decimos que la submersión es
27
riemanniana si para cada p ∈M , π∗p preserva la longitud de los vectores horizontales.
A las secciones de la distribución horizontalH les llamaremos campos horizontales
y al conjunto de dichas secciones lo denotaremos por Xh. Dada una submersión
riemanniana π : M → B, esta induce una descomposición e = eh + ev ∈ H⊕V para
todo e ∈ TM .
El álgebra de los campos proyectables de M está formada por aquellos campos
vectoriales que están π-relacionados con los campos vectoriales de B. Le llamaremos
campo vectorial básico de M a aquel que es horizontal y proyectable; al espacio de
campos básicos lo denotaremos por B. Este espacio es isomorfo a X(B), en general
no es un álgebra de Lie y además los campos vectoriales básicos localmente generan
a Xh. Dado X ∈ X(B), el campo vectorial básico X̄ que está π-relacionado con X
es llamado levantamiento básico de X, es decir, que para cada p ∈M , X̄ es el único
campo horizontal que cumple π∗pX̄(p) = X(π(p)).
Lema 2.2. Sea π : Mm → Bk una submersión, H una distribución complementaria
a ker π∗ y X ∈ X(B). Entonces el levantamiento básico de X es diferenciable.
Demostración. Sea p ∈ M . Por el Teorema 1.3. existen cartas (U,ϕ) y (V, ψ) de M
y B, respectivamente, con p ∈ U y π(p) ∈ V . El campo X|V tiene la expresión
X(π(p)) =
k∑
i=1
ai(π(p))
(
∂
∂xi
)
p
donde las funciones ai : V → R son diferenciables.
Entonces X̄(p) =
∑m
i=1(ai ◦ π)(p)
(
∂
∂xj
)
p
, donde (ai ◦ π)(p) = 0 para k < i ≤ m,
es un campo diferenciable sobre U y por construcción es un levantamiento básico de
X|V .
Observación 2.3. Xv es un ideal del álgebra de los campos proyectables, ya que: si
E ∈ X(M) está π-relacionado a X ∈ X(B) y U es un campo vertical, entonces U
está π-relacionado con el campo trivial sobre B y aśı
π∗[E,U ] = [X, 0] ◦ π = 0,
lo que nos dice que el campo [E,U ] es vertical.
De ahora en adelante escribiremos (∇EF )v como ∇vEF para la proyección vertical
y análogamente para la proyección horizontal. Denotaremos como gh a la componente
horizontal del tensor de la métrica gh(E,F ) = 〈Eh, Fh〉.
Teorema 2.4. Sea π : M → B una submersión con fibras conexas y M una variedad
riemanniana. Entonces, existe una métrica en B para la cual π es riemanniana, si
y sólo si, la derivada de Lie LUgh se anula para todo U ∈ Xv.
Demostración. Supongamos que π : M → B es una submersión riemanniana. Sean
X, Y ∈ Xh y U ∈ Xv, aśı que
LUgh(X, Y ) = U〈X, Y 〉 − 〈[U,X], Y 〉 − 〈X, [U, Y ]〉
= 〈∇XU, Y 〉+ 〈∇YU,X〉
= −〈U,∇vXY +∇vYX〉. (2.1)
Por otra parte, supongamos por ahora que X, Y ∈ B. Por la definiciónde conexión
de Levi-Civita tenemos que
2〈∇vXY, U〉 = 2〈∇XY, U〉 = X〈Y, U〉+ Y 〈U,X〉 − U〈X, Y 〉
+ 〈U, [X, Y ]〉+ 〈X, [Y, U ]〉 − 〈Y, [U,X]〉.
Por la observación 2.3 y por el hecho de que, al considerar campos básicos, el producto
interno de X con Y es constante a lo largo de las fibras, obtenemos que
2〈∇vXY, U〉 = 〈U, [X, Y ]〉 = 〈[X, Y ]v, U〉.
Lo cual nos lleva a que ∇vXY = 12 [X, Y ]
v para todo X, Y ∈ B. Lo que ahora necesita-
mos es que esta igualdad no se satisfaga únicamente para campos básicos sino para
cualquier campo horizontal. Utilizaremos el mapeo [ , ]v : Xh × Xh → Xv que es
C∞(M)-bilineal, porque: si f ∈ C∞(M), entonces [fX, Y ]v = f [X, Y ]v− (Y f)Xv =
f [X, Y ]v. Análogamente ocurre que el mapeo∇v : Xh×Xh → Xv es C∞(M)-bilineal.
Todo campo horizontal puede expresarse como combinación lineal de campos básicos
con coeficientes en C∞(M), podemos afirmar entonces que
∇vXY =
1
2
[X, Y ]v, paraX, Y ∈ Xh.
Regresando a la igualdad (2.1)
LUgh(X, Y ) = −〈U,
1
2
[X, Y ]v +
1
2
[Y,X]v〉
= −〈U, 0〉 = 0
Ahora supongamos que la derivada de Lie LUgh se anula para todo U ∈ Xv. Sean
X, Y ∈ X(B) y consideremos sus levantamientos básicos X̄, Ȳ . Se tiene que
0 = LUgh(X̄, Ȳ ) = U〈X̄, Ȳ 〉 − 〈[U, X̄], Ȳ 〉 − 〈X̄, [U, Ȳ ]〉.
Por la observación 2.3, [U, X̄] y [U, Ȳ ] son verticales, entonces U〈X̄, Ȳ 〉 = 0 para
cualquier U ∈ Xv, lo que quiere decir que 〈X̄, Ȳ 〉 es constante a lo largo de las fibras.
Definimos una métrica en B como 〈X, Y 〉 := 〈X̄, Ȳ 〉, que claramente hace de π una
submersión riemanniana.
Para la siguiente definición vamos a suponer que M está foliada por F con el
atlas {(Vi, ϕi) | i ∈ I}; y que las submersiones πi son las descritas en la observación
1.38. Además denotaremos como Vi y Hi a sus respectivas distribuciones verticales
y horizontales e indicaremos como Xvi y X
h
i a sus respectivos espacios de campos
verticales y horizontales.
Definición 2.5. Una foliación F = {(Vi, ϕi) | i ∈ I} sobre una variedad rieman-
niana es riemanniana (o métrica) si para cada i ∈ I se tiene que LUgh es cero para
todo U ∈ Xvi .
Denotemos comoRM yRB a los tensores de curvatura deM yB, respectivamente.
Los primeros que estudiaron la relación entre las curvaturas de ambas variedades,
dada una submersión riemanniana π : M → B, fueron Gray [4] y O’Neill [16], quienes
probaron que para todo X, Y ∈ X(B)
RB(X, Y,X, Y ) = RM(X̄, Ȳ , X̄, Ȳ ) +
3
4
|[X, Y ]v|2 (2.2)
En donde X̄, Ȳ son los levantamientos básicos de X e Y . A la ecuación (2.2) se le
conoce como la fórmula de Gray-O’Neill.
Ejemplo 2.6. Un campo X sobre una variedad riemanniana (M, g) es llamado de
Killing si en una vecindad de cada punto de M el grupo uniparamétrico local asociado
a X está formado por isometŕıas locales. Esto quiere decir que X deja a g invariante.
También podemos decir que X es un campo de Killing si y sólo si LXg = 0 (ver [17,
p. 251]).
Entonces, si tomamos un campo U de Killing sin singularidades, la foliación de
dimensión uno generada por las curvas integrales de U es riemanniana.
Ejemplo 2.7. Sea G un grupo de Lie compacto que actúa diferenciablemente sobre
una variedad riemanniana M . Supongamos que todas las órbitas son difeomorfas y
que el mapeo Lg : M →M que asocia a p con g ·p es una isometŕıa para todo g ∈ G.
El espacio de órbitas M/G tiene estructura diferenciable y la proyección M →M/G
es una submersión (ver proposición 3.5).
Para cada p ∈ M denotemos como ip : G → M el mapeo que manda g a g · p.
Cada elemento U ∈ g, del álgebra de Lie de G, induce un campo Ũ en M mediante
Ũ(p) = ip∗eU(e), p ∈M
y cada uno de estos campos vectoriales es de Killing. Para probar esto, sea φ : R→ G
un homomorfismo de grupos de Lie con φ′(0) = U(e). Consideremos la curva
cp : R→M,
definida como cp(t) := Lφ(t)(p).
Sea t0 ∈ R fijo, entonces
cp(t) = Lφ(t)(p) = ip(φ(t)) = ip(φ(t− t0)φ(t0))
= iφ(t0)·p(φ(t− t0)) = icp(t0)(φ(t− t0))
aśı que
c′p(t0) = icp(t0)∗eφ
′(0) = icp(t0)∗eU(e) = Ũ(cp(t0))
Por lo que cp es la curva integral de Ũ que pasa por p cuando t = 0, o dicho de
otra manera, el flujo de Ũ es el grupo uniparamétrico de isometŕıas Lφ(t) y en con-
secuencia Ũ es de Killing. Por lo tanto existe una métrica en M/G para la cual π
es riemanniana y la foliación inducida es métrica.
Definición 2.8. Sea el subconjunto
E := {V ∈ TM | la geodésica γV está definida en un intervalo que contiene a [0, 1]}
Definimos el mapeo exponencial exp : E →M como
exp(V ) = γV (1)
Para cada p ∈ M , el mapeo exponencial restringido expp es la restricción de exp al
conjunto E ∩ TpM .
Ejemplo 2.9. Si N es una subvariedad de codimensión uno de una variedad rie-
manniana M , entonces N es, localmente, una hoja de una foliación métrica. Esto
sucede porque si p ∈ N , entonces existe una sección X del haz normal de N en una
vecindad U ⊂ N de p y � > 0 tal que los conjuntos
Ls = {exp(sX(q)) | q ∈ U}, |s| < �
son las hojas de una foliación riemanniana de codimensión uno alrededor de una
vecindad de p.
2.2. Holonomı́a transversal
Dada π : M → B una submersión, un levantamiento de c : I → B a M es la
curva c̄ : I → M tal que π ◦ c̄ = c. Los levantamientos en general no son únicos
aśı que sólo consideraremos aquellos que satisfagan que todos sus vectores tangentes
estén en una distribución H complementaria a ker π∗ (por ahora no se tendrá en
cuenta la métrica). A dicha curva le llamaremos H-levantamiento o levantamiento
horizontal.
Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que c es una curva regular, es
decir,que c′(t) 6= 0 para todo t ∈ I. De otra manera, si no fuese regular, la función
c1 : I → I ×B, c1(t) = (t, c(t)) es una curva regular y el (TI ⊕H)-levantamiento de
c1 para la submersión (IdI , π) : I ×M → I ×B tiene la forma t 7→ (t, c̄(t)), donde c̄
es el levantamiento horizontal de c.
Proposición 2.10. Sea π : M → B una submersión, H una distribución com-
plementaria a ker π∗ y c : I → B una curva. Entonces, para cualquier t0 ∈ I y
p ∈ π−1(c(t0)) existe � > 0 y un levantamiento horizontal c̄ : (t0 − �, to + �) → M
de c|(t0−�,t0+�) con c̄(t0) = p. Si además I = [a, b] y M es compacta, entonces c̄
está definido en todo I.
Demostración. Sean t0 ∈ I y X ∈ X(B) de tal manera que X(c(t0)) = c′(t0) en
alguna vecindad de t0; consideremos el levantamiento básico X̄ de X en M .
Sea p ∈ π−1(c(t0)), por el teorema de existencia y unicidad de soluciones a ecua-
ciones diferenciales ordinarias, existen � > 0 y una curva integral de X̄
c̄ : (t0 − �, t0 + �) −→M
tal que c̄′(t) = X̄(c̄(t)) y c̄(t0) = p. Además, si M es compacta, c̄ está definida en
todo I, (ver [20, págs. 33-35]).
Claramente las curvas integrales c̄ de X̄ son horizontales y además se proyectan
a curvas integrales de X porque
(π ◦ c̄)′ = π∗c̄′ = π∗X̄ ◦ c = X ◦ π ◦ c̄
donde la última igualdad se da porque X̄ es levantamiento básico de X.
Volvamos ahora al caso cuando M es una variedad riemanniana.
Teorema 2.11. Sea π : M → B una submersión riemanniana. Si c : I →M es una
geodésica con c′(t0) ∈ H para algún t0 ∈ I, entonces para todo t ∈ I se tiene que
c′(t) ∈ H, y además π ◦ c es una geodésica en B. Tal curva c será llamada geodésica
horizontal de M . Más aún, si M es una variedad conexa y completa, entonces
(1) B es completa;
(2) π es una submetŕıa; i.e., que para todo p ∈M , π mapea la cerradura de Br(p) =
{q ∈ M | d(p, q) < r}, la bola de radio r con centro en p, a la cerradura de
Br(π(p));
(3) Las fibras de π son equidistantes; i.e., que para cualesquiera dos fibras F0, F1 y
p ∈ F0, la distancia de p a F1 es igual a la de F0 a F1;
(4) Para todo b ∈ B existe una vecindad U , alrededor de b, de tal manera que π−1(U)
es difeomorfo a U × F , donde F = π−1(b).
Demostración. Sea c : I →M una geodésica, con t0 ∈ I, denotemos como p := c(t0)
y x := c′(t0) ∈ H. Sea J ⊂ I un subintervalo alrededor de t0 en el cual la geodésica
cB : J → B, con c′B(t0) = π∗x, esté definida y sea minimizante. Por la proposición
anterior, cB admite un levantamiento horizontal cM en Mtal que cM(t0) = p, para
algún subintervalo J ′ ⊂ J . Ahora supongamos que c0 : [a, b]→ M es una curva que
tiene los mismos puntos inicial y final que cM . Si denotamos como ` a la función
longitud de una curva, entonces
`(c0) =
∫ b
a
|c′0| ≥
∫ b
a
|c′h0 | =
∫ b
a
|π∗c′0| = `(π ◦ c0) ≥ `(cB) = `(cM) (2.3)
Donde la última desigualdad es por la minimalidad de cB y la última igualdad es
porque π es submersión riemanniana.
Aśı que cM es minimizante y en consecuencia es una geodésica. La unicidad de
las geodésicas nos permite concluir que c|J ′ es horizontal porque coincide con cM .
Supongamos ahora que M es conexa y completa.
(1) Es consecuencia de lo demostrado anteriormente y del teorema de Hopf-Rinow
([18, p. 210]).
(2) Es claro que para todo p ∈M y todo r ∈ R siempre se cumple que π(Br(p)) ⊆
Br(π(p)) ya que, por la primera desigualdad de (1.3), `(π ◦ c) ≤ `(c) para cualquier
curva c sobre M . A su vez, π(Br(p)) ⊇ Br(π(p)), porque: dado q ∈ Br(π(p)) podemos
considerar a γ : [0, 1] → B la geodésica que une a q con π(p); denotemos como γ̄ al
levantamiento de γ y al tratarse de una submersión riemanniana `(γ) = `(γ̄) ≤ r,
lo que nos dice que la imagen de γ̄ está contenida en Br(p) y entonces q = γ(1) =
π( ¯γ(1)) ∈ π(Br(p)).
(3) Sean dos fibras, F0 y F1 de la submersión y denotemos bi := π(Fi), (i = 0, 1);
por (1) existe una geodésica, parametrizada por longitud de arco, c : [0, a]→ B, que
une b0 con b1. La distancia de cualquier punto de F0 a F1 es por lo menos la distancia
de `(c), (primera desigualdad de (1.3)). Entonces
d(F0, F1) ≥ `(c). (2.4)
A su vez, para cualquier p ∈ F0, el levantamiento horizontal c̄ que tiene como punto
inicial a p y punto final algún punto de F1, tiene la misma longitud que c y aśı
d(F0, F1) ≤ d(p, F1) ≤ `(c). (2.5)
De (1.4) y (1.3) se sigue la afirmación.
(4) Se probará que para cualquier b ∈ B existe una vecindad Ub de b de tal
manera que π−1(Ub) es difeomorfo a Ub × F , donde F = π−1(b). Sea � > 0 el radio
de inyectividad de B en el punto b ∈ B y denotamos como V a la bola en TbB con
centro en b y radio �. A cada x ∈ V le podemos asociar X, una sección del haz
normal a F , que satisfaga que π∗X = x. Entonces podemos definir la función
h : F × V −→ π−1(B�(b)),
(p, x) 7−→ exp X(p)
que por el inciso (1) está bien definida y además es diferenciable. Es fácil ver que
h es biyectiva y al estar definida en términos de la función exponencial, tiene rango
maximal. Aśı que
π−1(B�(b))
h−1−→ F × V IdF×expb−→ F ×B�(b)
es un difeomorfismo.
Corolario 2.12. Si π : M → B es una submersión riemanniana en donde M es
una variedad completa y conexa, y c : I → B una curva diferenciable, entonces el
levantamiento horizontal de c está definido en todo I.
De ahora en adelante supondremos que M es completa y conexa.
Definición 2.13. Sea π : M → B una submersión riemanniana y c : [0, 1]→ B una
curva diferenciable por pedazos. El difeomorfismo de holonomı́a asociado a c es la
función
hc : π
−1(c(0))→ π−1(c(1))
entre las fibras de los puntos inicial y final de c, cuya regla de correspondencia con-
siste en que a cada p ∈ π−1(c(0)) le asocia el punto final del levantamiento horizontal
de c cuyo punto inicial es p.
La inversa de hc es el mapeo h−c, donde −c(t) := c(1− t).
Definición 2.14. El grupo de holonomı́a Hol(b) de una submersión riemanniana
π : M → B en el punto b ∈ B es el conjunto de difeomorfismos de holonomı́a
hc : π
−1(b) → π−1(b) donde c es una curva cerrada (su punto inicial y final es b) y
diferenciable por pedazos.
Observación 2.15. Dada f : B → R, uno puede describir los levantamientos hori-
zontales de manera expĺıcita para el campo ∇f . El levantamiento horizontal de este
campo es ∇(f ◦ π), y esto es porque: si tomamos X ∈ TM , entonces
〈∇(f ◦ π), X〉 = X(f ◦ π) = (π∗X)(f) = 〈∇f, π∗X〉,
si X es vertical, el producto interno de la derecha se anula y en consecuencia ∇(f ◦π)
es horizontal. Si X es horizontal sucede que 〈π∗∇(f ◦ π), π∗X〉 = 〈∇(f ◦ π), X〉 y de
aqúı se tiene que ∇(f ◦ π) está π-relacionado con ∇f .
A su vez, si c es una curva integral de ∇(f ◦ π), entonces
(π ◦ c)′ = π∗ ◦ c′ = π∗(∇(f ◦ π) ◦ c) = ∇f ◦ (π ◦ c),
por lo que π ◦ c es curva integral de ∇f . Como ∇(f ◦π) es horizontal, podemos decir
que las curvas integrales de ∇(f ◦ π) son levantamientos horizontales de las curvas
integrales de ∇f .
Observación 2.16. Sea p ∈ B y � > 0 un número menor al radio de inyectividad
en p. Consideremos la función f : B�(p) \ {p} → R dada como f(q) := d(p, q).
Las curvas integrales de ∇f son las geodésicas que pasan por p y por la observa-
ción anterior tenemos una prueba alternativa para la existencia de levantamientos
horizontales de geodésicas en B.
Caṕıtulo 3
Submersiones homogéneas
Una submersión homogénea M → B es un caso particular de submersión rie-
manniana en la cual sus fibras son las órbitas de una acción isométrica de un grupo
de Lie G sobre M , donde cada una de dichas órbitas es difeomorfa al cociente del
grupo de Lie con el correspondiente grupo de isotroṕıa. Si definimos una relación de
equivalencia en la cual cada una de las órbitas queda identificada a un punto, ten-
dremos un cociente al cual le llamaremos espacio de órbitas M/G. Lo que se hará en
este caṕıtulo será demostrar que la proyección π : M → M/G es una submersión
riemanniana y se probará que el grupo de holonomı́a asociado a esta submersión
tiene estructura de grupo de Lie.
Diremos que un haz fibrado es un L-haz si hay un grupo de Lie L que actúa sobre
la fibra del haz y se dice haz principal si L es igual a la fibra. En este caṕıtulo lo que se
hará será demostrar que para cada b0 en el espacio de órbitas, (M,π,G\M,π−1(b0))
tiene estructura de un L-haz en el que L es el grupo de holonomı́a del punto b0; se
mostrará cómo es su haz principal asociado y cómo la distribución horizontal de la
submersión induce una conexión en este haz principal.
En la siguiente sección estudiaremos a los grupos de Lie con una métrica invarian-
te por la izquierda, es decir, una métrica en la que la derivada de la traslación izquier-
da es una isometŕıa, porque las submersiones homogéneas más simples y comunes
son aquellas inducidas por las acciones de dichos grupos. Lo que se hará será consi-
derar la acción por la derecha de un subgrupo conexo y compacto de un grupo de
Lie sobre el mismo grupo de Lie para demostrar que la proyección en el cociente es
una submersión homogénea; también se mostrará que cuando la métrica del grupo
de Lie es bi-invariante, es decir, que también es invariante por la derecha, el espacio
cociente tiene una curvatura seccional no negativa.
3.1. Submersiones homogéneas
Consideraremos a las acciones de grupos diferenciables
µ : G×M →M
en donde G es un grupo de Lie compacto y M una variedad riemanniana conexa y
completa.
35
SiM yN son dos variedades diferenciables en las que un mismo grupoG actúa, un
mapeo F ∈ C∞(M,N) es G-equivariante (o simplemente equivariante) con respecto
a las acciones de grupo si para cada g ∈ G sucede que F (g · p) = g · F (p).
Denotaremos como ip : G → M al mapeo dado por ip(g) = µ(g, p) y como
jg : M → M a jg(p) = µ(g, p). Supondremos que la acción de grupo es por órbitas
principales, es decir, que para cualesquiera dos órbitas O1 y O2 existe un difeomor-
fismo equivariante f : O1 → O2. También supondremos que las acciones de grupo
son isométricas, es decir, que sus respectivos mapeos jg son una isometŕıa para todo
g ∈ G.
Diremos que una submersión riemanniana π : M → B es homogénea si sus fibras
son las órbitas de una acción isométrica sobre M .
Proposición 3.1. Sea p ∈ M y denotemos al grupo de isotroṕıa como H := Gp.
Entonces, f : G/H → M dado como f(gH) = g · p es un encaje en la órbita Op de
p.
Demostración. La función f está bien definida y es biyectiva sobre la órbita de
p. Como f es continua, G/H es compacto y M es Hausdorff, entonces f es un
homeomorfismo sobre su imagen (ver [19], pág. 202).
Sólo quedaprobar que f tiene rango maximal sobre todos los puntos de G/H.
Al ser una función equivariante, es suficiente demostrarlo para eH; si consideramos
a TeH(G/H) ' TeG/TeH, lo anterior se reduce a probar que si x ∈ TeG y π∗ex ∈
ker f∗eH , donde π : G → G/H es la proyección canónica, entonces x ∈ TeH. Para
ello, consideraremos al campo X ∈ g con X(e) = x y a la curva c(t) := (f◦π)(exp tx).
Por la equivarianza de f tenemos la expresión:
f = jg ◦ f ◦ Lg−1
para cualquier g ∈ G, donde Lg : G/H → G/H es la traslación izquierda en G/H
(Lg(aH) = gaH). Y si Lg denota la traslación izquierda en G, entonces Lg◦π = π◦Lg
y con todo lo anterior sucede que
c′(t) = = (f ◦ π)∗(X(exp tx)) = jexp tx∗ ◦ f∗ ◦ Lexp −tx∗ ◦ π∗X(exp tx)
= jexp tx∗ ◦ f∗π∗ ◦ Lexp −tx∗X(exp tx) = jexp tx∗ ◦ f∗π∗x
= 0.
Esto quiere decir que la curva sobre M es constante para todo t, (su dominio úni-
camente es el punto p), aśı que solo nos queda que exp tx esté contenido en H para
todo t y en consecuencia x ∈ TeH.
Observación 3.2. Cuando G no es compacto el lema anterior no se cumple en
general, aún si la acción es libre, es decir, que el grupo de isotroṕıa es el trivial. Por
ejemplo, si a es un número irracional, entonces la acción de R sobre el toro S1 × S1
dada como µ(t, (z1, z2)) = (z1e
it, z2e
ait) es libre e isométrica, pero todas las órbitas
son densas.
Necesitaremos los siguientes dos lemas para demostrar algunos resultados poste-
riores.
Lema 3.3. Para cualquier a ∈ G, la cerradura del conjunto A = {an | n = 0, 1, 2, . . .}
es un subgrupo de G.
Demostración. Consideremos 〈a〉, el grupo generado por a. Utilizaremos el hecho
de que la cerradura de un subgrupo es un subgrupo (ver [12, pág. 41]). Lo que se
hará será demostrar que 〈a〉 = Ā, aśı que la única contención que hace falta verificar
es 〈a〉 ⊆ Ā, que a su vez se reduce a probar que a−1 ∈ Ā.
Si e, el neutro de G, es un punto aislado de 〈a〉 entonces existe una vecindad
abierta U en G del neutro tal que U ∩ Ā = {e}. Aśı que, para todo n ∈ N, se
tiene que Lgn(U) ∩ {gk | k ≥ n} = {gn}; al ser Ā un subconjunto de G y ser éste
compacto, entonces Ā es finito y Ā = A. Por lo tanto gn = e para algún n ∈ N, si
n = 1 g−1 = e ∈ A y de otra manera a−1 = an−1 ∈ A.
Ahora supongamos que e no es un punto aislado. Sea U una vecindad de e, aśı que
debe existir an para algún n ∈ N tal que an ∈ V ∩ A o bien, an−1 ∈ La−1(V ) ∩ A.
Esto nos lleva a que si W es una vecindad de a−1 entonces esta interseca a A por
que La(W ) es una vecindad de e, es decir, W ∩ A = La−1(La(W )) ∩ A 6= ∅.
Lema 3.4. Sea G un grupo de Lie y H un subgrupo cerrado de G; entonces
gHg−1 ⊆ H ⇒ gHg−1 = H.
Demostración. Consideremos al mapeo conj : G×G→ G dado por (a, b) 7−→ aba−1.
Primero demostraremos que la cerradura de AHA−1 es igual a ĀHĀ−1, con A =
{gn | n = 0, 1, 2, . . .}. Sea q = aha−1 ∈ ĀHĀ−1 y U un abierto que contiene a q. Por
la continuidad del mapeo conjugado, conj−1(U) es un abierto de Ā×H que contiene
a (a, h), aśı que existen abiertos U1 y U2 alrededor de a y h, respectivamente, tales
que U1 × U2 ⊆ conj−1(U); y a su vez, existen x ∈ U1 ∩ A e y ∈ U2 ∩ H. Entonces
xyx−1 ∈ AHA−1 y como (x, y) ∈ conj−1(U) sucede que xyx−1 ∈ U ∩ (AHA−1) y
en consecuencia ĀHĀ−1 ⊆ AHA−1. Como G es compacto, el producto de grupos
cerrados es un subconjunto cerrado en G (ver [15, p. 37]) y aśı ĀHĀ−1 es cerrado y
junto con la definición de cerradura tenemos la otra contención.
H es un conjunto cerrado, lo que implica que ĀHĀ−1 = conj(Ā,H) ⊆ H. Por
el lema anterior, g−1 ∈ A y en particular g−1Hg ⊆ H. Combinando esto último con
nuestra premisa llegamos a que gHg−1 = H.
El espacio de órbitas M/G es el conjunto en el cual identificamos a las órbitas
de la acción de G sobre M , dicho de otra manera, es el conjunto de clases de equi-
valencia bajo la relación definida por: p ∼ q si y sólo si p = g · q para algún g ∈ G.
Consideraremos al espacio de órbitas M/G con la topoloǵıa cociente.
Proposición 3.5. El espacio de órbitas M/G tiene una única estructura diferen-
ciable de tal manera que π : M → M/G es una submersión. A su vez, existe una
métrica para la cual π se vuelve riemanniana.
Demostración. Primero se demostrará la unicidad de la estructura diferenciable. Su-
pongamos que M/G tiene dos estructuras diferenciables tales que π : M →M/G es
una submersión. Sean (M/G)1 y (M/G)2 dichas estructuras. Por la proposición 1.7
el mapeo identidad de (M/G)1 a (M/G)2 es diferenciable.
M
π
��
π
&&
(M/G)1
Id // (M/G)2
Con un argumento análogo podemos decir que la identidad en la otra dirección
también es diferenciable. Por lo tanto dichas estructuras son la misma.
Lo que se hará ahora será construir cartas coordenadas para M/G. Sea p ∈ M
con grupo de isotroṕıa H := Gp. Sea νp el haz normal a la órbita Op en M ,
νεp = {v ∈ νp | |v| < ε}
y U la fibra de p en νεp . Tomamos a ε lo suficientemente pequeño para que
exp : νεp → Bε(Op)
sea un difeomorfismo, donde Bε(Op) es una vecindad tubular alrededor de la órbita
de p con radio ε.
Consideremos
φ : (G/H)× U → B�(Op)
dada por φ(gH, x) = g · (exp x) (ver figura 3.1).
G/H
U
x
gH
(gH,x)
p
exp x
g∙(exp x )
Op
�
Figura 3.1:
Para ver que esta función está bien definida todo se reduce a probar que H actúa
trivialmente en U , es decir, que h · (exp x) = exp x para todo h ∈ H y todo x ∈ U .
Estamos suponiendo que la acción es por órbitas principales y por la proposición 3.1
podemos afirmar que existe un difeomorfismo equivariante ψ : G/Gexp x → G/H.
Denotemos como aH a la imagen de Gexp x bajo ψ. Por la equivarianza, ψ(gGexp x) =
gaH para g ∈ G. Si g ∈ Gexp x entonces gaH = aH y en consecuencia a−1ga ∈ H. Por
otra parte, se tiene que ψ−1(H) = a−1Gexp x y haciendo algo análogo a lo anterior
se tiene que si h ∈ H entonces h ∈ a−1Gexp xa. Aśı que el subgrupo de isotroṕıa
de exp x es conjugado del subrupo H (i.e. a−1Gexp xa = H). Si ahora tomamos
g ∈ Gexp x, entonces exp x = g · (exp x) = exp jg∗x, donde la última igualdad es
porque la acción es isométrica, aśı que jg∗x = x y g · x = x y por lo tanto g ∈ H.
Entonces Gexp x = H, por el lema 3.4, y H actúa trivialmente en U .
Sea f cualquier difeomorfismo que identifica a U con un abierto de Rk (k es la
dimensión de la fibra de p en el haz normal νp). Al ser φ un difeomorfismo se tiene
que el mapeo ϕ : Bε(Op)→ Rk dado como
Bε(Op)
φ−1−→ (G/H)× U p2−→ U f−→ Rk
donde p2 es la proyección en el segundo factor, es un homeomorfismo entre una
vecindad de Op, con un abierto de Rk.
Estas cartas cubren a M/G, sólo falta probar que los cambios de coordenadas son
diferenciables. Supongamos que Bε(Op) y Bδ(Oq) son dos cartas cuya intersección
es no vaćıa. Existe una órbita que interseca a expp(U), sea r cualquier punto en
esta intersección. Dicha órbita, que ahora indicaremos como Or, también interseca a
expq (V ), donde V es la fibra en q de ν
δ
q . Elijamos g0 ∈ G tal que g0 · r ∈ expq(V ).
Todos los puntos que están en la intersección de A := expp(U) ∩ Bδ(Oq) van a
dar a B := expq(V ) ∩Bε(Op) cuando se les aplica el g0 anterior, porque la acción es
isométrica, y entonces el cambio de coordenadas es igual a
f(exp−1p (A)) ⊂ Rk
f−1−→ exp−1p (A)
expp−→ A g0−→ B exp
−1
q−→ V f
′
−→ Rk,
que es diferenciable.
Consideremos el atlas formado por todas las cartas (Bε(Op), ϕ) construidas en
los párrafos precedentes para M/G. Si tomamos la carta (W, η) donde p ∈ W ⊂ M
cumple que η(W ) = W1×W2 ⊂ Rn−k×Rk y W2 es difeomorfo a U , entonces π tiene
la expresión en coordenadas π(x, y) = y, lo cual nos dice que π tiene rango constante.
Por lo tanto M/G admite una estructura diferenciable para la cual π : M → G \M
es una sumbersión, por 1.4. Lo hecho en el ejemplo 2.7 nos garantiza que existe una
métrica para cual π se vuelve riemanniana.
Ejemplo 3.6. Fibración de Hopf
La acción ϕ de S1 en S2n−1 del ejemplo 1.46 es isométrica, ya que el grupo uni-
paramétrico de difeomorfismos de S2n−1 asociado a dicha acción consiste en iso-
metŕıas. Porla proposición anterior, existe una métrica para el espacio de órbitas
S2n−1/S1 = CPn−1 que hace de la proyección π : S2n−1 → CPn−1 una submersión
riemanniana.
Veamos el caso cuando n = 2. Para ello, consideremos primero la submersión
ρ : S3 → C∗, donde C∗ es la compactación del plano complejo C, dada por
ρ(z, w) =
{ z
w
si w 6= 0
∞ si w = 0
cuyas fibras coinciden con las de π : S3 → CP1, aśı que, por la proposición 1.8, existe
un difeomorfismo entre C∗ y CP1. Como C∗ es difeomorfo a S2, entonces
S2 ' CP1.
Utilizamos la inversa de la proyección estereográfica i−1 : C → S2 ⊂ R3, dada por
i−1(x, y) =
(2x, 2y, x2 + y2 − 1)
x2 + y2 + 1
, para obtener la expresión expĺıcita de la fibración
de Hopf, η : S3 → S2,
η(z, w) = (2Re(zw̄), 2Im(zw̄), |z|2 − |w|2)
�2�3
ℝ
3
P
Q
Proyección 
estereográfica
s s∘�-1(P)
s∘�-1(Q)
�
�-1(Q)
�-1(P)
Figura 3.2: Proyección estereográfica de las fibras de Hopf.
Indicaremos por B := M/G y para b ∈ B denotaremos Hol(b) al grupo de
holonomı́a de la submersión π : M →M/G.
Proposición 3.7. Hol(b) es un grupo de Lie.
Demostración. Consideremos la curva c : [0, 1]→ B y su difeomorfismo de holonomı́a
asociado
hc : π
−1(c(0))→ π−1(c(1)).
Si c̄ es un levantamiento horizontal de c, entonces para todo g ∈ G, jg ◦ c̄ es una curva
horizontal, porque jg es una isometŕıa, y su imagen bajo π es la curva c. Esto quiere
decir que hc es un difeomorfismo G-equivariante y entonces Hol(b) es un subgrupo
de DiffG(π
−1(b)), los difeomorfismos G-equivariantes de π−1(b).
Se demostrará que DiffG(π
−1(b)) es un grupo de Lie y para ello utilizaremos
la identificación de π−1(b) con G/H dada en la proposición 3.1 y lo que haremos
será probar que DiffG(G/H) es isomorfo a N(H)/H, donde N(H) es el normalizador
de H en G.
Sea f ∈ DiffG(G/H), entonces (por lo usado en la demostración de la proposición
3.5) f(gH) = gaH para alguna a ∈ G con a−1Ha ⊆ H y el lema 3.4 nos garantiza
la igualdad a−1Ha = H, entonces a ∈ N(H). Por lo tanto, podemos asociarle a cada
f ∈ DiffG(G/H) un elemento aH ∈ N(H)/H de tal manera que f tiene la forma
f(gH) = gaH = (gH)a. Dicha asociación está bien definida y es biyectiva, entonces
resulta que DiffG(G/H) es isomorfo a N(H)/H. Claramente N(H)/H es un grupo
de Lie, por las proposiciones 1.28 y 1.29, aśı que DiffG(π
−1(b)) es un grupo de Lie.
Para continuar con la demostración tomemos en cuenta al subgrupo Hol0(b) de
Hol(b), formado por los difeomorfismos de holonomı́a asociados únicamente a curvas
contraibles. Hay que notar que este es un subgrupo conectable por trayectorias de
DiffG(π
−1(b)). Basándonos en que un subgrupo de un grupo de Lie es de Lie si y
sólo si éste tiene a lo más una cantidad numerable de componentes por trayectorias
(ver [1, pág. 85-86]), podemos afirmar que Hol0(b) es un grupo de Lie. Consideremos
el epimorfismo de grupos de π1(B, b), el grupo fundamental de B en el punto b, al
cociente Hol(b)/Hol0(b) que asocia a la clase de homotoṕıa de la curva c la clase de
equivalencia de hc. Dado que toda variedad topológica tiene a lo más una cantidad
numerable de componentes por trayectorias (ver [11, pág. 8]), entonces π1(B, b) es
numerable y esto nos lleva a que Hol(b)/Hol0(b) también lo es. Cabe notar que
hay una biyección entre el conjunto de componentes por trayectorias de Hol(b) y el
cociente antes mencionado, lo que nos permite concluir que Hol(b) es un grupo de
Lie (de nueva cuenta utilizamos el resultado en [1, p. 85-86]).
Observación 3.8. Hay que notar de la demostración anterior que Hol(b) actúa sobre
F por la derecha, ya que este puede verse como un subgrupo de DiffG(G/H) que es
isomorfo a N(H)/H, con este último actuando por la derecha como multiplicación
en G/H.
Para ver esto más expĺıcitamente, denotemos por hc ∈ Hol(b) al difeomorfismo de
holonomı́a en F inducido por el lazo c en b. Dados dos lazos c1 y c2 en b, denotemos
como c1 ∗ c2 el lazo obtenido al recorrer primero a c1 y posteriormente a c2. La
multiplicación de grupo ∗ en Hol(b0) está dada como hc1 ∗hc2 := hc1∗c2 y notamos que
hc1∗c2 = hc2◦hc1, de aqúı que la acción F×Hol(b)→ F es justamente (p, h) 7−→ h(p).
Definición 3.9. Sea el haz fibrado ξ = (E, π,B, F ) y L un grupo de Lie que actúa
diferenciablemente sobre F como un grupo de difeomorfismos mediante µ : L×F →
F . Un L-atlas para ξ es una colección A = {(Uα, ϕα)} de cartas del haz fibrado (ver
ejemplo 1.39) en donde existe una familia de mapeos diferenciables φαβ : Uαβ :=
Uα ∩ Uβ → L que satisfacen, para b ∈ Uαβ y m ∈ F ,
ϕα ◦ ϕ−1β (b,m) = (b, φαβ(b) ·m)
que además cumplen que φαα = e y φαβ ◦φβγ = φαγ, llamada la condición de cociclo
sobre Uαβγ := Uα ∩ Uβ ∩ Uγ.
Las funciones φαβ son llamadas funciones de transición del L-haz.
Dos L-atlas son equivalentes si su unión también es un L-atlas. La clase de equi-
valencia de L-atlas sobre ξ es una L-estructura de haz fibrado sobre dicho haz y con
esto definimos a un L-haz (fibrado) como un haz ξ junto con una L-estructura.
Teorema 3.10. Sea G un grupo de Lie compacto que actúa sobre M mediante una
acción isométrica y por órbitas principales. Fijemos b0 ∈ B y sean F = π−1(b0) y
Hol(b0), el grupo de holonomı́a de la submersión π en b0. Entonces (M,π,B, F ) es
un Hol(b0)-haz fibrado.
Demostración. Consideremos una cubierta abierta {(Uα)} de B donde cada Uα es
difeomorfo, via el mapeo exponencial, a alguna bola en el espacio tangente de bα ∈ Uα.
Para cada α elijamos una geodésica cα de b0 a bα (dicha geodésica existe por el
teorema 2.11, inciso (1)). Para cualquier b ∈ B existe una única geodésica minimal
cbα parametrizada por longitud de arco que va de bα a b. Para cada α podemos dar
una trivialización local
ϕα := (π, φα) : π
−1(Uα)→ Uα × F
definida por (π, φα)
−1(b, p) = hcbα ◦ hcα(p) (ver figura 3.3).
c�
U�
b0
b�
b c�
�-1(b) F
b
p ��(p)
M
M/G
Figura 3.3:
La función de transición entre dos cartas del haz fibrado (Uα, ϕα) y (Uβ, ϕβ),
donde Uα ∩ Uβ 6= ∅, es el mapeo φαβ : Uαβ → Hol(b0) que asigna a cada b ∈ Uαβ
un elemento en Hol(b0) que consiste en el difeomorfismo de holonomı́a asociado a la
curva cβ ∗ cbβ ∗ −cbα ∗ −cα, donde −c indica la curva t 7−→ c(1− t).
La transformación φαβ es diferenciable porque depende diferenciablemente de
b.
Haremos un paréntesis para considerar el caso cuando la curvatura de M es no
negativa y positiva en al menos un punto, ya que en esta situación cada una de las
órbitas es difeomorfa a un grupo de Lie. Para demostrar esto utilizaremos la foliación
dual introducida por Wilking (ver [24]).
Él prueba que toda foliación riemanniana sobre una variedad M induce otra
foliación sobre M llamada dual: si p ∈M , la hoja dual que contiene a p está definida
como
L#(p) := {q ∈M | existe una curva horizontal suave a pedazos que une p con q}.
También demuestra que cualesquiera dos puntos en M pueden ser conectados por
una curva horizontal.
Proposición 3.11. Sea M como en el teorema 3.10. Si la curvatura seccional de M
es no negativa y positiva en al menos un punto, entonces el grupo de isotroṕıa en
cualquier punto es un subgrupo normal de G y cada una de las fibras de la submersión
es difeomorfa a un grupo de Lie.
Demostración. Sea p ∈M y H := Gp su grupo de isotroṕıa. Si γ : [0, a]→M es una
geodésica horizontal con γ(0) = p, entonces el grupo de isotroṕıa de γ(t) es igual a H
para todo t ∈ [0, a]. Lo anterior es consecuencia de uno de los argumentos utilizados
para la demostración de 3.5.
La foliación F inducida por la submersión π : M → B := G \M es riemanniana,
aśı que su foliación dual consiste en únicamente una hoja (ver [24]), o dicho de otra
manera, siempre se puede unir cualesquiera dos puntos de M mediante una geodésica
horizontal. Como consecuencia el grupo de isotroṕıa es igual para todos los puntos
de M . Es fácil ver que el grupo de isotroṕıa de g · p es gHg−1, lo que implica que H
es normal y aśı G/H es un grupo de Lie.
Volvamos al caso en el cual la curvatura de M es arbitraria.
Definición 3.12.