Modelacion-3D-de-datos-de-tomografa-de-resistividad-electrica-TRE-con-arreglo-tipo-L

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE 
MÉXICO 
 
 PROGRAMA DE POSGRADO EN CIENCIAS DE LA TIERRA 
 
 
 
 
 
 
Modelación 3D de datos de tomografía de resistividad eléctrica (TRE) 
 con arreglo tipo “L” 
 
 
 
 
T E S I S 
QUE COMO REQUISITO PARCIAL PARA OBTENER EL GRADO DE: 
MAESTRO EN CIENCIAS DE LA TIERRA 
 
P R E S E N T A 
 
 
Guillermo Chávez Hernández 
 
 
JURADO EXAMINADOR 
 
 Dr. René Efraín Chávez Segura 
 Dra. Claudia Arango Galván 
 Dr. Omar Delgado Rodríguez 
 Dra. María Encarnación Cámara Moral 
 M. C. Ambrosio Aquino López 
 
 
 
 
 
 
 
 MÉXICO D.F. MAYO, 2011 
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
Tesis Digitales 
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respectivo titular de los Derechos de Autor. 
 
 
 
 
 
Dedicatoria 
 
A los seres que más amo: Mi madre y mi hermano. 
 
También es para ustedes que me han cuidado 
a pesar de no estar físicamente: 
 Mi padre y mi abuelita. 
 
 
 
 
 
Todos somos muy ignorantes. Lo que ocurre es que no todos ignoramos las mismas 
cosas. 
Albert Einstein. 
 
Sólo con la experimentación podemos llegar a conocer realmente algo. 
Leonardo Da Vinci. 
 
Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para 
penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber. 
Albert Einstein. 
 
 
 
 
Agradecimientos 
 
A la Universidad Nacional Autónoma de México, al Posgrado en Ciencias de la Tierra y 
al Instituto de Geofísica por brindarme la oportunidad de estudiar mi maestría en tan 
emblemática institución, ha sido un logro muy grande para mí. 
A mi tutor, el Dr. René Efraín Chávez Segura, de quien recibí y estoy seguro seguiré 
recibiendo todo su apoyo y paciencia. Le agradezco los momentos en los cuales me dio 
sus consejos y tuvo la confianza para invitarme a trabajar en todos los proyectos, me 
han sido de gran utilidad. 
A mis sinodales: la Dra. Claudia Arango Galván, la Dra. María Encarnación Cámara 
Moral, el Dr. Omar Delgado Rodríguez y al M. C. Ambrosio Aquino López por el 
tiempo que tomaron para revisar y corregir mi tesis, sus comentarios mejoraron mi 
trabajo del cual estoy muy orgulloso. 
A mis profesores y amigos: el Dr. Andrés Tejero Andrade, el M. C. Juan Esteban 
Hernández Quintero y el M. C. Gerardo Cifuentes Nava por todo su apoyo, consejos y 
sobre todo por brindarme su amistad. Es agradable saber que existen personas que aún 
confían en los demás y que están dispuestos a mostrarte el mundo con la finalidad de 
que crecer y ser mejor ser humano. 
A mis amigos de maestría y de vida: Olga Violeta, Cristel, Ana Lucía, Juan, Viridiana, 
Xochilita, Jimmy, Manuel Alejandro, Francisco Ponce, James, Hugo, Emmanuel, Laura 
y todos aquellos que de alguna manera han hecho más agradable y placentero este 
recorrido. Gracias por todos sus consejos y por los buenos momentos. 
A la señora Jose, Carlos y Betty, quienes me tuvieron la confianza de dejarme convivir 
con ellos y por todo el apoyo que me brindaron. 
Por último y no menos importantes a mi maravillosa familia, a mi madre la Sra. Carmen 
Hernández de la Cruz y a mi hermano Fernando Alejandro Chávez Hernández, por todo 
su apoyo, amor, comprensión y por enseñarme como ser una mejor persona. Ustedes 
son mi orgullo. 
 
A todos GRACIAS. 
 
 
Resumen 
El presente trabajo tiene como objetivo mostrar la capacidad de caracterización del 
subsuelo utilizando el arreglo denominado tipo “L” en Tomografía de Resistividad 
Eléctrica Tridimensional (TRE 3D) mediante cuatro casos de modelación directa y un 
ejemplo de aplicación real en el plantel Casa Libertad de la Universidad Autónoma de la 
Ciudad de México (UACM), combinado con arreglos ecuatoriales dipolo-dipolo y dipolo-
dipolo en 2D. 
Se analiza la técnica de las cuatro “L” combinadas con el arreglo ecuatorial dipolo-dipolo 
desde el punto de vista logístico. Dicha técnica presenta grandes ventajas en su uso en 
zonas urbanas en donde sería muy complicado utilizar una TRE 3D convencional por 
obstáculos naturales o culturales. 
Mediante el análisis del problema directo con cuatro ejemplos propuestos, se lleva a cabo 
un estudio bajo condiciones controladas que aportan información muy importante, desde el 
punto de vista de interpretación, para tomarse en cuenta en problemas con condiciones 
similares. 
Se concluye que la combinación de cuatro “L” para una TRE 3D muestra buenos resultados 
cualitativos en el proceso de caracterizar el subsuelo, añadiendo arreglos ecuatoriales 
dipolo-dipolo se mejora la resolución de la adquisición en la parte central y profunda del 
volumen de estudio, mejorando la calidad de la inversión y de la caracterización. 
 
Índice 
Introducción……………………………………………………………………………. i 
 
Capítulo I. Aspectos teóricos de la Tomografía de Resistividad Eléctrica 
(TRE)………………………………………………………………………………….. 
 
1 
 1.1 Ecuaciones de Maxwell……………………………………………………….. 1 
 1.2 Fundamentos teóricos de la prospección geoeléctrica………………………… 5 
 1.2.1 Potencial eléctrico de fuentes puntuales en un medio isótropo…………… 6 
 1.2.2 Solución con funciones de Green…………………………………………. 8 
 1.3 Tomografía de Resistividad Eléctrica (TRE)…………………………………. 11 
 1.3.1 Resistividad aparente……………………………………………………… 12 
 1.3.2 Arreglos estándares para TRE 2D………………………………………… 14 
 1.3.3 Arreglos estándares para TRE 3D………………………………………… 21 
 1.4 Modelo directo y teoría de inversión………………………………………….. 23 
 1.4.1 Modelo directo……………………………………………………………. 23 
 1.4.2 Modelo inverso……………………………………………………………. 24 
 1.4.2.1 Teoría general de inversión…………………………………………… 24 
 
Capítulo II. Arreglo tipo “L”, algoritmo de inversión y modelos sintéticos……….. 28 
 2.1 Arreglo tipo “L”………………………………………………………………... 28 
 2.2 Modelación directa y algoritmo de inversión……..……………………………. 33 
 2.2.1 Proceso de modelación en el software EarthImager 3D…………………... 33 
 2.2.2 Algoritmo de inversión…………………………………………………...... 35 
 2.2.2.1 Problema lineal………………………………….……………………... 35 
 2.2.2.2 Problema no lineal……………………………………………………... 37 
 2.2.2.3 Criterios de convergencia..…………………………………………….. 39 
 2.3 Modelos sintéticos……………………………………………………………… 40 
 2.3.1 Resultados de inversión…………………………………………………...... 40 
 2.3.2 Modelo 1: dos cuerpos conductores y modelo 2: dos cuerpos resistivos...… 41 
 2.3.2.1 Resultado de inversión modelo 1: dos cuerpos conductores…………. 44 
 2.3.2.2 Resultado de inversión modelo 2: dos cuerpos resistivos…………….. 49 
 2.3.3 Modelo 3: estructura tipo túnel…………………………………………….. 54 
 2.3.3.1 Resultado de inversión modelo 3: estructura tipo túnel………………. 57 
 2.3.4 Modelo 4: estructura tipo horst……………………………………………. 63 
 2.3.4.1 Resultado de inversión modelo 4: estructura tipo horst………………. 65 
 
CapítuloIII. Aplicación práctica del Arreglo tipo “L”……………………………. 70 
 3.1 Marco geográfico y geológico de la Cuenca de México……………………..... 70 
 3.2 Geología de la zona de estudio….…………………………………………….. 73 
 3.2.1 Geología de la Delegación Iztapalapa……………………………………... 77 
 3.3 Aplicación del método en el Plantel Casa Libertad de la UACM…………….. 77 
 3.3.1 Metodología……………………………………………………………….. 77 
 3.4 Resultados……………………………………………………………….…….. 79 
 3.4.1 Resultados utilizando las cuatro “L”………………………………….…… 80 
 3.4.2 Resultados utilizando las cuatro “L” y los ecuatoriales dipolo-dipolo y los 
 perfiles 2D………………………………………………………………….. 81 
 3.5 Discusión de resultados………………………………………………………... 83 
 
Capítulo IV. Conclusiones.............................................................................................. 84 
 
Referencias……………………………………………………………………………... 85 
 
i 
 
Introducción 
La Tomografía de Resistividad Eléctrica (TRE) es un método para calcular la 
distribución de la resistividad eléctrica en el subsuelo mediante un gran número de 
medidas realizadas con electrodos posicionados en la superficie de la Tierra con un 
patrón geométrico arbitrario, con el objetivo de determinar una imagen eléctrica que 
exhiba la distribución de la resistividad verdadera en el subsuelo. Según el objetivo 
planteado es posible realizar TRE en dos y tres dimensiones (2D y 3D) en superficie. 
Para un estudio de TRE 3D, usualmente, los electrodos suelen colocarse en una rejilla 
cuadrada con el mismo espaciamiento entre electrodos en las direcciones “x” y “y” 
como lo muestra Loke y Barker (1996). Otro diseño utilizado para la TRE 3D consta de 
una serie de líneas paralelas cuyo espaciamiento interlineal debe ser menor o igual a 
cuatro veces la separación electródica (Aizebeokhai et al., 2009). Los arreglos utilizados 
con frecuencia para este tipo de estudios son el polo-polo, polo-dipolo y dipolo-dipolo 
(Loke, 2000), esto es debido a que otros arreglos tienen una pobre cobertura horizontal 
cerca de los extremos de la rejilla de estudio. 
Muchas veces, los esquemas de muestreo en las TRE 3D en superficie, están limitados 
por las condiciones físicas del entorno cercano, es decir, edificios, estructuras de acero, 
zonas urbanas muy pobladas o rasgos geológicos. Es por tanto indispensable considerar 
esas limitaciones en el momento de la planeación del levantamiento, más, si es 
necesario determinar valores debajo de dichas estructuras. 
En este trabajo se presentan el arreglo tipo “L”, desarrollado por Tejero-Andrade et al. 
(2011) que tiene la finalidad de la obtención de datos de la resistividad del subsuelo en 
donde existan construcciones como casas, edificios, museos, catedrales y todos aquellos 
obstáculos que en las zonas urbanas impidan la toma de datos. Tiene la ventaja de ser 
combinado entre sí, es decir, realizar cuatro “L” en campo para obtener una TRE 3D 
alrededor de algunas zonas en donde no sea posible la aplicación de un conjunto de 
líneas paralelas en forma de rejilla. 
Cuando el arreglo tipo “L” se combina para hacer una TRE 3D carece de información 
en superficie y por debajo del centro del cubo muestreado. Para minimizar el problema 
de falta de información a profundidad hacia el centro del cubo se le añade a la 
combinación de las cuatro “L” el arreglo ecuatorial dipolo-dipolo aprovechando la 
disposición de los electrodos, aumentando el número de datos tomados, con lo que se 
incrementa la veracidad en el resultado obtenido en una inversión. 
Para mostrar la capacidad de caracterización del subsuelo mediante el arreglo tipo “L” 
combinado con el arreglo ecuatorial dipolo-dipolo para una TRE 3D, se propone su 
comparación contra un arreglo tipo rejilla con líneas en las direcciones “x” y “y” , en 
cuatro casos de modelación directa: 2 cuerpos conductores, 2 cuerpos resistivos, una 
estructura tipo túnel y una estructura tipo horst; mostrando los resultados obtenidos 
para cada configuración y siendo confrontados entre ellos, para observar las ventajas y 
desventajas de cada una. 
ii 
 
La modelación directa permite obtener información cuantitativa sobre el subsuelo y 
estudiar el tipo de respuesta que se obtendría en el campo para determinar rasgos o 
estructuras que se desean prospectar y de esta manera, determinar si es conveniente y 
que tan eficiente es el arreglo que se ocupará. 
Para realizar el proceso de modelación directa se utilizó el software EarthImager 3D 
creado por Advanced Geosciences Inc. (AGI, 2008), debido a que en dicho software es 
posible hacer el proceso completo de modelado directo, es decir, resuelve el problema 
directo y estos resultados son utilizados para realizar el proceso de inversión. 
Se presenta un estudio real adquirido en el plantel Casa Libertad de la Universidad 
Autónoma de la Ciudad de México (en la zona oriente de la Ciudad de México) cuyo 
objetivo es determinar la geometría de una grieta expuesta en superficie dentro del 
plantel, la misma que se prolonga por las calles adyacentes, así como, determinar las 
zonas de riesgo, si existen, que pudiesen ocasionar daños estructurales al plantel o a 
futuras edificaciones en la zona. Los resultados se presentan de dos maneras: la primera 
utilizando sólo el arreglo tipo “L” para caracterizar el subsuelo y la segunda, añadiendo 
al resultado obtenido por el arreglo tipo “L”, tres arreglos ecuatoriales dipolo-dipolo y 
dos perfiles 2D con arreglo dipolo-dipolo. 
CAPÍTULO I 
 
1 
 
Capítulo I. Aspectos teóricos de la Tomografía de Resistividad 
Eléctrica (TRE) 
 
1.1 Ecuaciones de Maxwell 
 
El estado de excitación que se establece en el espacio por la presencia de cargas 
eléctricas y corrientes variables en el tiempo se dice que constituye un campo 
electromagnético. El estudio del electromagnetismo recae en dos cantidades vectoriales 
que constituyen al campo electromagnético. La teoría fundamental de estos campos 
electromagnéticos está basada en las ecuaciones de Maxwell. 
 
Estas ecuaciones, que para el caso del vacío, toman la forma: 
 
 
·  
· 0  
 
1
 
 
 
Donde es el campo eléctrico, es la intensidad del campo magnético, la densidad 
de carga eléctrica, la densidad de corriente, es la permitividad eléctrica y es la 
permeabilidad magnética en el espacio libre. 
 
Para describir el efecto del campo sobre los materiales es necesario introducir un 
segundo conjunto de vectores, el vector de desplazamiento eléctrico y el vector de 
campo magnético (Born y Wolf, 1983). Esto da lugar a las ecuaciones de Maxwell 
macroscópicas (Wolf, 1960), 
 
 
·   
· 0 
  
  
 
En las ecuaciones anteriores, el campo eléctrico y la intensidad magnética son los 
valores promedio de y en las ecuaciones microscópicas de Maxwell (ecuaciones 
(1.5) 
(1.6) 
(1.7) 
(1.8) 
(1.1) 
(1.2) 
(1.3) 
(1.4) 
CAPÍTULO I 
 
2 
 
(1.1) a (1.4)). Análogamente, las densidades de carga y corriente y son las medias 
macroscópicas de las densidades de carga y corrientes en el material. 
 
Para permitir una determinación única de los campos vectoriales de una distribución de 
cargas y corrientes, estas ecuaciones deben ser complementadas por relaciones que 
describan el comportamiento del material bajo la influencia de los campos. Estas 
ecuaciones son conocidas como relaciones constitutivas (Born y Wolf,1983). 
 
 
,  
,  
, 
 
En general estas ecuaciones son muy complicadas, pero si el material es lineal, 
homogéneo e isótropo toman la forma simple (e. g. Tejero-Cantero, 2003), 
 
 
 
 
 
 
 
Donde es la conductividad eléctrica, la permitividad eléctrica, la permeabilidad 
magnética. y contienen la descripción del material y la primera de estas relaciones 
constitutivas es la conocida ley de Ohm. 
 
La ley de Ohm describe que la densidad de corriente en un punto, tiene la misma 
dirección y sentido que el campo eléctrico en el mismo punto y es proporcional a él. 
 
De (1.12) se tienela propiedad física conocida como la conductividad eléctrica de 
un medio. Dado que y son vectores, la conductividad eléctrica debe ser un tensor, 
que en coordenadas cartesianas se expresa de la siguiente manera. 
 
 
 
 
El tensor de conductividad tiene una forma simple si se selecciona la dirección de dos 
coordenadas ortogonales justo en la dirección de máxima y mínima conductividad, es 
decir, las direcciones principales del tensor de conductividad: 
 
(1.9) 
(1.10) 
(1.11) 
(1.12) 
(1.13) 
(1.14) 
(1.15) 
CAPÍTULO I 
 
3 
 
0 0
0 0
0 0
 
 
 
Esto es, los términos fuera de la diagonal principal son cero. Si el sistema de 
coordenadas está arbitrariamente orientado, los términos fuera de la diagonal principal 
son simétricos. 
 
Físicamente la conductividad eléctrica es la capacidad de un cuerpo de permitir el paso 
de la corriente eléctrica. También es definida como la propiedad natural característica 
de cada cuerpo que representa la facilidad con la que los electrones (y huecos en el caso 
de semiconductores) puedan pasar por él. Esta capacidad puede variar con la porosidad 
del material, la temperatura, la permeabilidad, la presión o la saturación. La 
conductividad es inversa a la resistividad, por tanto 1⁄ y su unidad es el ⁄ 
[Siemens por metro]. 
 
De (1.13) se tiene la permitividad eléctrica   ⁄ , la cual es una constante física que 
describe cómo un campo eléctrico afecta y es afectado por un medio. Representa el 
grado de polarización de un material ante la presencia de un campo eléctrico y de esa 
forma cancelar parcialmente el campo dentro del material. Al igual que la conductividad 
es un tensor. 
 
La permitividad de un material se da generalmente con relación a la del vacío, 
denominándose permitividad relativa. La permitividad absoluta se calcula multiplicando 
la permitividad relativa por la del vacío. 
 
1 
 
 1 
 
Donde es la susceptibilidad eléctrica, considerada como la constante de 
proporcionalidad (que también puede ser un tensor) que relaciona el campo eléctrico 
con la polarización eléctrica mediante la expresión . En el vacío, la 
susceptibilidad eléctrica es nula y siempre 0. 
 
Cabe recalcar que la permitividad eléctrica puede variar con la posición en el medio, la 
frecuencia del campo aplicado, la humedad o la temperatura. 
 
El comportamiento de la permitividad de los materiales, en el caso más general, cuando 
se aplica un campo eléctrico variable y los dipolos eléctricos de la muestra tienden a 
alinearse con él, se presentan pérdidas de energía cuya magnitud depende de la relación 
entre la frecuencia del campo aplicado y los denominados tiempos de relajación de las 
(1.16) 
(1.17) 
CAPÍTULO I 
 
4 
 
moléculas polares del material. Para estos casos es necesario emplear otro tipo de 
representación para la permitividad del material que haga posible modelar más 
adecuadamente los cambios sufridos para este parámetro. 
 
En el caso específico de campos eléctricos a temperatura fija, la permitividad se 
acostumbra modelar como un término complejo. Para un campo eléctrico que oscila 
armónicamente a una frecuencia se introduce el concepto de permitividad eléctrica 
compleja (Ward y Hohmann, 1988), expresada de la siguiente manera: 
 
 
 
 
Donde la parte real corresponde a la permitividad del campo constante y el término 
imaginario se le conoce como factor de pérdida del material dieléctrico, porque 
representa la pérdida de energía que los dipolos eléctricos presentan por fricción al 
alinearse con la dirección cambiante del campo eléctrico. 
 
De (1.14) se tiene la permeabilidad magnética    ⁄ , que físicamente es la 
capacidad de un medio o sustancia para atraer y hacer pasar a través de sí los campos 
magnéticos, está dada por la relación entre la magnitud de la intensidad de campo 
magnético existente y la magnitud de la inducción magnética que aparece en el interior 
de dicho material. 
 
La magnitud así definida, indica el grado de magnetización de un material en respuesta 
a un campo magnético, se denomina permeabilidad absoluta y se representa como 
⁄ . 
 
Al igual que la conductividad eléctrica y la permitividad eléctrica, la permeabilidad 
magnética es un tensor. 
 
Para comparar entre sí los materiales, se entiende la permeabilidad absoluta como el 
producto entre la permeabilidad magnética relativa y la permeabilidad magnética 
del vacío : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(1.18) 
(1.19) 
CAPÍTULO I 
 
5 
 
1.2 Fundamentos teóricos de la prospección geoeléctrica 
 
Orellana (1972) comenta que la ley física fundamental que se emplea en los estudios de 
resistividad es la ley de Ohm (ecuación 1.12), la cual rige el flujo de corriente inyectada 
desde la superficie de la Tierra. En la práctica se mide el potencial del campo eléctrico. 
En los estudios geofísicos es la resistividad del medio. 
 
Considerando un campo eléctrico estacionario, es decir, que no depende del tiempo, la 
ley de Faraday (1.7) debe ser modificada de la siguiente manera: 
 
0 
 
Un campo cuyo rotacional es cero puede ser descrito mediante el gradiente de una 
función escalar, que en este caso es conocida como el potencial eléctrico , es decir: 
 
 
 
En cálculo vectorial, el gradiente de un campo escalar en un punto se define como un 
vector cuya dirección es la de máximo crecimiento del campo en ese punto. El signo 
negativo de la ecuación anterior aparece porque las líneas de campo eléctrico señalan la 
dirección de máxima disminución de la función potencial, es decir, el campo eléctrico 
es opuesto al gradiente del potencial eléctrico. 
 
Combinando la ecuación anterior con la ley de Ohm y las ecuaciones constitutivas, se 
tiene: 
 
 
 
En la mayoría de los estudios geoeléctricos las fuentes de corriente se consideran como 
fuentes puntuales. Considerando esto, sobre un volumen elemental isótropo, alrededor 
de la fuente de una corriente , localizada en , , , la relación entre la densidad de 
corriente y la corriente está dado por (Dey y Morrison, 1979): 
 
· 
 
U Iρ 
 
 
Donde es la función delta de Dirac y la ecuación 1.23 describe la distribución del 
potencial en el terreno debido a una fuente puntual. 
 
En una región del espacio donde no exista fuente puntual, el potencial eléctrico 
satisface: 
(1.20) 
(1.21) 
(1.22) 
(1.23) 
CAPÍTULO I 
 
6 
 
 
U x, y, z 0 
 
Conocida como la ecuación de Laplace y de ésta se deriva que · 0. 
 
1.2.1 Potencial eléctrico de fuentes puntuales en un medio isótropo 
 
Considérese el subsuelo, un medio isótropo, compuesto por dos semiespacios; uno de 
resistividad infinita, que representa a la atmósfera, y otro semiespacio de resistividad , 
representando el subsuelo, al cual se le suministra una corriente mediante dos electrodos 
A y B enterrados en el subsuelo (figura 1.1). Como el tamaño de estos es relativamente 
pequeño, se puede considerar que los electrodos se reducen a puntos situados en el 
suelo. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.1. Circuito generado por 2 electrodos usando como medio de propagación de la corriente el 
subsuelo. 
 
La corriente introducida por el electrodo A, recorrerá el subsuelo y saldrá por el 
electrodo B con intensidad , volviendo a cerrar el circuito, es decir, 
 
0 
 
En todos los puntos de este semiespacio se cumplirá la ecuación de continuidad 
 
· 0 
Que se puede reducir considerando campos estacionarios a: 
 
· 0 
 
Ésta ecuación es válida en todos los puntos del semiespacio, excepto en los electrodos. 
 
Usando la ley de Ohm junto con la ecuación anterior se tiene: 
 
· · 0 
 
(1.24) 
(1.25) 
(1.26) 
(1.27) 
CAPÍTULO I 
 
7 
 
(1.30) 
Usando la identidad vectorial · · · , con un escalar y un 
vector, se tiene que: 
 
· · · · · U E · σ 0 
 
Dentro de cada zona de conductividad uniforme se cumple: 
 
0   U 0 U 0 
 
Lo cual es, como se vio en el apartado anterior, la ecuación de Laplace válida en todo 
semiespacio conductor, pero no en los electrodos,ni en las superficies de discontinuidad 
de la resistividad. 
 
Si en la figura 1.1 se traza alrededor del electrodo A y dentro del semiespacio inferior 
una superficie semiesférica, en cualquier punto de ella, por simetría, la densidad de 
corriente tendrá el mismo valor y estará radialmente dirigida. 
 
La integral de sobre la superficie semiesférica será igual a por lo que, si el radio es 
, se tendrá: 
 
2 
 
 
De donde 
2 2 
 
La diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera esta dado por: 
 
 
· 
 
Donde el camino tomado es indiferente dado que el campo es conservativo. 
 
Considerando que este potencial se mide entre los puntos 1 y 2 (figura 1.2), cuyas 
distancias hacia el electrodo son y , respectivamente, se tiene que: 
 
 
2 2
1 1
 
(1.28) 
(1.29) 
CAPÍTULO I 
 
8 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.2. Arreglo para medir el potencial eléctrico entre dos puntos. 
 
 
Dentro del procedimiento clásico de las simplificaciones de la teoría del potencial, se 
considera una fuente puntual en el infinito, para este caso, se hallará el potencial 
“absoluto” en el punto 2, calculando el límite de la ecuación anterior para ∞, lo 
que da como resultado: 
 
2
1
 
 
Donde el primer término de la ecuación anterior recibe el nombre de “emisividad”, dado 
que el potencial es magnitud aditiva, se puede aplicar el principio de superposición, 
considerando que se tienen varias fuentes puntuales, la suma de los potenciales 
respectivos dados estas fuentes se escribe como: 
 
 
2 
 
Donde es la distancia de la fuente puntual de índice al punto considerado e es la 
intensidad de corriente que entra o sale por esta fuente considerando su signo 
correspondiente. 
 
 
 
 
1.2.2 Solución con funciones de Green 
 
Para describir matemáticamente el comportamiento de un campo escalar se 
requiere de la imposición de condiciones de frontera del tipo Dirichlet o de Neumann 
para el potencial escalar (John, 1975), una vez que se tienen dichas condiciones se 
puede hacer uso del método de las funciones de Green (Jeffreys y Jeffreys, 1956) para 
encontrar la solución completa al problema propuesto. 
 
 
 
 
(1.31) 
(1.32) 
CAPÍTULO I 
 
9 
 
Condiciones de frontera, que pueden ser de Dirichlet, 
 
 en la superficie S 
 
o condiciones de frontera de Newmann, 
 
( ) ( )rg
n
ru
=
∂
∂ en la superficie S 
 
También puede haber condiciones más generales, como las condiciones de frontera de 
Cauchy, 
( ) ( ) ( ).rhruru n =∂+ βα 
 
Que es la combinación lineal de las condiciones anteriores. 
 
Para encontrar la solución del potencial escalar mediante el método de las funciones de 
Green se utiliza el teorema de Green, 
 
( ) ,322 ∫∫ ⎟⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=∇−∇
sv
da
n
fg
n
gfxdfggf 
 
con f y g que cumplen las ecuaciones, 02 =∇ f y 02 =∇ g . 
 
 Además, sea ),(),( rrGrrG ′=′ la función de Green del potencial escalar, entonces: 
 
),(),(2 rrrrG ′−−=′∇ δ 
 
Donde )( rr ′−δ es la función delta de Dirac. Luego, si en (1.32), se toma )(ruf = una 
solución de la ecuación de Laplace y sea g la función de Green ),( rrG ′ , ésta llega a 
ser: 
 
da
n
rurrG
n
rrGruru
S∫ ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∂
∂′−
∂
′∂
=′
)(),(),()()( 
 
 
Ésta es una expresión que en teoría hace posible el cálculo de )(ru ′ de los datos 
obtenidos de las condiciones de frontera impuestas. Por ejemplo, para resolver el 
problema de Dirichlet o Newmann se deben usar funciones de Green con condiciones 
de frontera adecuadas, 
 
 
 
(1.33) 
(1.34) 
(1.35) 
(1.36) 
(1.37) 
(1.38) 
CAPÍTULO I 
 
10 
 
( )
( ) .0,
0,
2
1
=′∂
=′
rrG
rrG
n
 
 
Luego la solución de 1.37 y 1.39   es: 
 
( ) ( ) ( ) ,,1 da
n
rrG
ruru
S∫ ∂
′∂
=′ 
 
Mientras que la solución con 1.39 es: 
 
( ) ( ) ( ) .,2 darrGn
ruru
S∫ ′∂
∂
−=′ 
 
Estos problemas tienen solución única. Ahora se muestra un ejemplo donde la función 
de Green para un problema tridimensional tiene la forma, 
 
( ) .
4
,
rr
errG
rrik
′−
=′
′−
π
 
 
Para el semi-espacio 0≥z donde la superficie es el plano 0=z las funciones de Green 
toman la forma, 
 
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
′−
−
′−
=
′−′−
r
e
rr
eG
rikrrik
ρπ
ρ
4
1
1 y 
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
′−
+
′−
=
′−′−
r
e
rr
eG
rikrrik
ρπ
ρ
4
1
2 
 
donde ( )zyxr ,,= , ( )zyx −= ,,ρ y ( )zyxr ′′′=′ ,, . Con esto las relaciones (1.40) y 
(1.41) se convierten en, 
 
( ) ( ) ydxd
R
eyxf
z
ru
S
ikR
′′′′
∂
∂
−= ∫ ,2
1
π
 y ( ) ( ) ydxd
R
eyxg
z
ru
S
ikR
′′′′
∂
∂
−= ∫ ,2
1
π
 
con ( ) ( ) 2222 zyyxxR +′−+′−= . 
 
 
Bajo este marco teórico que rige la prospección geoeléctrica se propone en los 
siguientes apartados el método geofísico que se ocupará en este trabajo de 
investigación. 
 
 
 
 
 
(1.39a) 
(1.39b) 
(1.40) 
(1.41) 
CAPÍTULO I 
 
11 
 
(1.42) 
1.3 Tomografía de Resistividad Eléctrica (TRE) 
 
La tomografía es una técnica de adquisición particular en prospección eléctrica de 
corriente continua para generar imágenes de la distribución real en el espacio de una 
propiedad física sobre una sección plana o volumen de un objeto sólido, realizando 
mediciones remotas de propiedades físicas. 
 
La tomografía de resistividad eléctrica (TRE) es un método para calcular la distribución 
de la resistividad eléctrica en el subsuelo de un gran número de medidas de resistividad 
aparente hechas con electrodos posicionados en un patrón geométrico arbitrario con el 
objetivo principal de determinar una imagen eléctrica que muestre la distribución de la 
resistividad verdadera en el subsuelo (e. g. Tejero-Andrade, 2002). La tomografía de 
resistividad eléctrica es la unión entre el Sondeo Eléctrico Vertical (SEV) tradicional, y 
los perfilajes o calicatas. 
 
En la TRE suelen usarse cuatro electrodos para realizar medidas minimizando los 
efectos de las resistencias de contacto. Por dos electrodos es suministrada una corriente 
conocida y en los otros dos se mide la diferencia de potencial, sin embargo, la TRE 
requiere decenas o cientos de electrodos para realizar centenas o miles de medidas. La 
tomografía de resistividad eléctrica puede hacerse en superficie, en pozo o en ambos. 
 
Muchas veces, dados los esquemas de muestreo en las TRE en superficie, está limitada 
por condiciones físicas, es decir, edificios, estructuras de acero, por zonas urbanas muy 
pobladas o por aspectos geológicos. Es por tanto indispensable considerar esas 
limitaciones al momento de la planeación del levantamiento. Uno de los aspectos 
importantes en este trabajo es la proposición de un esquema de muestreo del subsuelo o 
del objetivo que pueda sortear algunas de estas limitaciones. 
 
Cabe señalar que este estudio presenta problemas de resolución a medida que la 
profundidad de penetración aumenta. Para aclarar esto se supone dos electrodos y 
situados en la superficie plana de un subsuelo homogéneo e isótropo de resistividad . 
La densidad de corriente, en función de la profundidad , a lo largo de la línea recta, 
perpendicular a la superficie que pasa por el centro del segmento es: 
 
 
1
1
 
 
con 2⁄ 
 
En esta ecuación se observa que en un medio homogéneo la densidad de corriente 
disminuye gradualmente con la profundidad en el eje vertical del dispositivo de dos 
electrodos. Además la mitad de la corriente circula por encima de la profundidad 
CAPÍTULO I 
 
12 
 
, es decir, que las zonas más profundas influirán menos en el potencial observado 
en superficie, al ser menor en ellas la densidad de corriente. 
 
Al aumentar la separación aumenta en la misma proporción la profundidad a que 
corresponde una determinada densidad de corriente, por lo que podría pensarse que la 
penetración es proporcional a , pero en general, esto no es cierto debido a que las 
expresiones dadas sólo son válidas para un medio estratificado homogéneo. 
 
Roy y Apparao (1971) han estudiado la penetración de diversos dispositivos en medios 
homogéneos, tomando la citada magnitud como la profundidad a la quela capa delgada 
del terreno contribuye con participación máxima a la señal total en la superficie del 
terreno. 
 
1.3.1 Resistividad aparente 
 
Los campos de dos electrodos de corriente pueden ser superpuestos para proporcionar 
un campo de las mediciones realizadas usando los dos electrodos de potencial en 
contacto con el suelo. En la figura 1.3, se tiene la siguiente diferencia de potencial: 
 
 
2
1 1 1 1
 
 
Donde es la corriente aplicada dada en amperes, y son las distancias del 
electrodo de potencial a los electrodos de corriente y , y son las distancias 
del electrodo de potencial a los electrodos de corriente y y se define como la 
resistividad de un semiespacio homogéneo mejor conocida como resistividad aparente 
ya que no es la resistividad verdadera del subsuelo. El concepto de resistividad aparente 
como función del potencial eléctrico fue desarrollado por Wenner para la medición de la 
resistividad de metales y más tarde para la resistividad del subsuelo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.3. Esquema generalizado de electrodos de corriente y potencial usando cuatro electrodos en 
superficie (Dwain, 2005). 
 
(1.43) 
CAPÍTULO I 
 
13 
 
Todos los términos geométricos en la ecuación anterior pueden integrarse como un 
factor geométrico que depende de las posiciones relativas de los electrodos. 
 
La ecuación 1.43 es la ecuación que relaciona la diferencia de potencial para 
cualquier arreglo de electrodos y el factor geométrico se simplifica según el arreglo 
utilizado. Esta ecuación puede resolverse para la resistividad aparente de la siguiente 
manera 
 
 
 
Dwain (2005) da argumentos matemáticos que hacen válida la expresión anterior debido 
a lo que menciona él mismo: “la obtención de la resistividad aparente no es del todo 
simple”. Se considera una medición eléctrica sobre un semiespacio con una estructura 
resistiva homogénea no especificada. La cantidad medida puede denotarse por 
para un valor medido del parámetro . Considerando un semiespacio homogéneo de 
resistividad en el cual se realiza la misma medición llamando a esta . El propósito 
de este planteamiento general es encontrar el valor de tal que se cumpla la siguiente 
igualdad y a este valor de se le conoce como la resistividad 
aparente . 
 
Normalizando la resistividad aparente con y la respuesta de la medición por 
respectivamente se tiene la siguiente relación 
 
 
 
 
Donde el exponente es real e indica la dependencia no lineal de las respuestas del 
semiespacio resistivo. Resolviendo la ecuación anterior para se tiene: 
 
| | | | | | 
 
Donde | | es el factor geométrico. Se supone que puede expresarse de la 
siguiente forma ⁄ , lo que implica que 
 
 
 
 
Donde representa la geometría del arreglo en dependencia de las distancias entre los 
electrodos de corriente y de potencial. Lo que prosigue es dar un valor de que permita 
eliminar el término de la ecuación anterior. Eligiendo 1, es posible eliminar 
(1.44) 
(1.45) 
(1.46) 
(1.47) 
CAPÍTULO I 
 
14 
 
del factor geométrico y tener éste, sólo en términos de . Con esto es posible reescribir 
la ecuación de la resistividad aparente de la siguiente manera: 
 
| | 
 
Si | | representa la relación entre la diferencia de potencial y la intensidad de 
corriente, mejor conocida como la impedancia, entonces la expresión anterior puede 
escribirse como: 
 
 
 
De esta manera se obtiene la resistividad aparente como la ecuación 1.44 . Si no se 
pudiera eliminar del factor geométrico se estaría en un dilema: “La medición fue 
realizada para determinar la resistividad aparente y consecuentemente la resistividad 
real, pero se necesitaría de la resistividad real para determinar la resistividad aparente” 
(Dwain, 2005). 
 
1.3.2 Arreglos estándares para TRE 2D 
 
Dentro de la tomografía de resistividades eléctricas existen varios arreglos geométricos 
con nombres propios y utilizados según el objetivo planteado. Defínase como un arreglo 
geométrico de electrodos a la disposición que se da a los mismos al realizar algún perfil 
en prospección geoeléctrica. En estos arreglos se tienen electrodos de corriente, 
denotados comúnmente por y , y electrodos de potencial, denotados por y . 
Existen varios arreglos como lo muestran Szalai y Szarka (2008), quienes reportan y 
clasifican noventa y dos arreglos independientes que pueden encontrarse en la literatura; 
pero en este apartado del trabajo se mostrarán algunos de los arreglos clásicos. Estos 
son: 
 
• Dipolo-dipolo 
• Polo-dipolo 
• Polo-polo 
• Wenner 
• Schlumberger 
• Wenner-Schlumberger 
• Ecuatorial dipolo-dipolo 
 
 
 
 
 
 
(1.48) 
(1.49) 
CAPÍTULO I 
 
15 
 
 Dipolo-dipolo 
 
Está conformado por 4 electrodos (figura 1.4), dos de potencial y dos de corriente, 
caracterizado porque la distancia entre los electrodos que forman los dipolos es la 
misma en ambos. Este espaciamiento puede denotarse por la letra . La separación entre 
los dipolos es de un factor de veces el espaciamiento . 
 
Este arreglo es muy usado debido a que proporciona una imagen detallada de la 
resistividad del subsuelo, posee una gran sensibilidad para la detección de cambios 
horizontales de resistividad y por su gran profundidad de penetración. Proporciona 
buena información mediante el modelado. Carece de resolución lateral y tiene la 
desventaja de que la intensidad de la señal es muy pequeña para grandes valores de 
(Loke, 2000). Un procedimiento para superar estos problemas es aumentar la distancia 
entre cada par de electrodos que conforman los dipolos para reducir la caída en el 
potencial cuando la longitud total del arreglo sea mayor para incrementar la profundidad 
de investigación. 
La expresión de la resistividad aparente para este arreglo es 1 2 . 
 
 
 
 
 
Figura 1.4. Arreglo dipolo-dipolo. 
 
 Polo-dipolo 
 
Conformado, teóricamente, por 4 electrodos, 2 de potencial separados a una distancia 
y dos de corriente, sólo que uno de ellos se considera en el infinito, es decir, a una 
distancia de al menos 10 veces la distancia de espaciamiento entre los electrodos de 
potencial, y el otro electrodo de corriente ubicado a n veces del dipolo de potencial 
(figura 1.5). Este tipo de arreglo tiene buena profundidad de penetración y una 
relativamente buena cobertura horizontal. La señal recibida es de mejor calidad que la 
del dipolo-dipolo (Loke, 2000). 
 
Este arreglo es asimétrico y sobre anomalías simétricas, la resistividad aparente en la 
pseudosección, la imagen resultante de las medidas hechas en campo, se presentan de 
manera asimétrica. Un método para eliminar este efecto de asimetría es repetir la 
medición de manera inversa (figura 1.6). Al igual que el arreglo anterior, carece de 
resolución lateral y ésta puede aumentarse drásticamente si los dipolos se alejan entre sí 
(Loke, 2000). La expresión para la resistividad aparente para este arreglo es 
2 1 . 
 
 
CAPÍTULO I 
 
16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.5. Arreglo polo-dipolo. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.6. Arreglo inverso de polo-dipolo. 
 
 
 Polo-polo 
 
Teóricamente conformado por 4 electrodos, pero dos de ellos, uno de potencial y otro de 
corriente se consideran en el infinito, es decir, cuando menos 10 veces el espaciamiento 
 existente entre los otros dos electrodos de corriente y potencial (figura 1.7). Este 
arreglo tiene una gran penetración pero logísticamente es de difícil implementación por 
lo que se usa poco (Dwain, 2005). La resistividad aparente para este arreglo tiene la 
siguiente expresión 2 . 
 
 
 
 
 
Figura 1.7. Arreglo polo-polo 
 
 
 
 Wenner 
 
Arreglo compuesto por 4 electrodos que forman dipolos, uno de potencial y el otro de 
corriente. Los electrodos de potencial tienen un espaciamiento entre ellos y los 
electrodos de corriente están ubicados por fuera de los de potencial a una distancia de 
cada electrodo de potencial, existen tres tipos de arreglos Wenner (figura 1.8). En este 
tipo de arreglo loselectrodos son movidos de manera conjunta para mantener la misma 
geometría, es bueno en la resolución vertical pero relativamente pobre en la detección 
CAPÍTULO I 
 
17 
 
de cambios horizontales (Loke, 2000). Es muy socorrido para zonas en las cuales 
existan limitaciones espaciales. 
La expresión de la resistividad aparente para el arreglo Wenner es 2 . 
 
 
 
Figura 1.8. Arreglo Wenner en sus tres modalidades: Alpha, Beta y Gamma. 
 
 
 
 Schlumberger 
 
Arreglo conformado por 4 electrodos, de los cuales los electrodos de potencial tienen un 
espaciamiento entre ellos, que se mantendrá constante durante el estudio y los 
electrodos de corriente, posicionados por fuera de los de potencial, están a un factor 
de ellos (figura 1.9). Los electrodos de corriente se extienden con el arreglo para hacer 
el muestreo de los datos. Siempre deberá existir un espaciamiento geométrico entre el 
dipolo de corriente y el de potencial, es decir, la distancia entre los electrodos de 
corriente y de potencial deberá ser un múltiplo, comúnmente entero. Consta de una 
pobre resolución lateral pero de buena resolución vertical, aunque menor que en polo-
dipolo y dipolo-dipolo (Dwain, 2005), es muy socorrido en los SEVs. La expresión de 
la resistividad aparente para este arreglo es 1 . 
 
 
 
Figura 1.9. Arreglo Schlumberger. 
 
 
CAPÍTULO I 
 
18 
 
 
 
 Wenner-Schlumberger 
Este un arreglo híbrido entre los arreglos Wenner y Schlumberger, esto significa que 
combina las características de ambos, y que sea moderadamente sensible a estructuras 
horizontales y verticales (figura 1.10). Una de las desventajas de este arreglo es que 
presenta una pobreza de datos en los extremos más que cualquiera de los arreglos 
anteriores (Loke, 2000). Debe mencionarse que a pesar de esta desventaja presenta una 
alta intensidad de la señal y que posee una buena profundidad. El arreglo Wenner es un 
caso especial donde el factor del arreglo Wenner-Schlumberger es igual a 1. La 
expresión de la resistividad aparente para este arreglo es 1 . 
 
 
 
Figura 1.10. Arreglo Wenner-Schlumberger. 
 
 
 
 Ecuatorial dipolo-dipolo 
Los dipolos de transmisión y recepción están dispuestos de manera paralela y alineada, 
los electrodos que conforman ambos perfiles y dipolos actúan como transmisores y 
receptores (figura 1.11). Generalmente la distancia entre los dipolos es y la separación 
entre los perfiles paralelos es de veces . La desventaja de este arreglo es que es 
difícil de implementar cuando los perfiles son muy largos (Dwain, 2005). La expresión 
de la resistividad aparente para este arreglo es √
√
. 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO I 
 
19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.11. Arreglo ecuatorial dipolo-dipolo. 
 
 
Loke (2000) muestra una tabla con las profundidades de penetración media para 
diferentes arreglos (tabla 1) tomada de Edwards (1977). Esta tabla da una idea de la 
profundidad a la cual será capaz de llegar algún arreglo particular y se debe mencionar 
que ésta es válida estrictamente para modelos homogéneos de la Tierra. Para determinar 
la máxima profundidad de cada arreglo, basta multiplicar el máximo espaciamiento 
electródico alcanzado para cada arreglo o por la longitud total del arreglo por el término 
⁄ o ⁄ , respectivamente, que aparecen en la tabla 1. 
 
Se observa que la tabla incluye el factor geométrico para varios arreglos considerando 
un espaciamiento de 1 metro. El inverso del factor geométrico da una indicación del 
voltaje que puede ser medido entre los electrodos de potencial de los arreglos. 
 
CAPÍTULO I 
 
20 
 
Tabla 1. Profundidad media de investigación para diferentes arreglos. es la 
longitud total del arreglo. El factor geométrico es considerando que 1.0 (Loke, 
2000). 
Tipo de arreglo      Factor Geométrico  Inverso del factor 
geométrico
Wenner Alpha     0.519 0.173 6.2832 0.15915
Wenner Beta     0.416 0.139 18.850 0.05305
Wenner Gamma     0.594 0.198 9.4248 0.10610
             
Dipolo‐Dipolo  n=1  0.416 0.139 18.850 0.05305
   n=2  0.697 0.174 75.398 0.01326
   n=3  0.962 0.192 188.50 0.00531
   n=4  1.220 0.203 376.99 0.00265
   n=5  1.476 0.211 659.73 0.00152
   n=6  1.730 0.216 1055.6 0.00095
   n=7  1.983 0.220 1583.4 0.00063
   n=8  2.236 0.224 2261.9 0.00044
             
Dipolo‐dipolo ecuatorial n=1  0.451 0.319 21.452 0.04662
   n=2  0.809 0.362 119.03 0.00840
   n=3  1.180 0.373 367.31 0.00272
   n=4  1.556 0.377 841.75 0.00119
             
Wenner‐Schlumberger n=1  0.519 0.173 6.2832 0.15915
   n=2  0.925 0.186 18.850 0.05305
   n=3  1.318 0.189 37.699 0.02653
   n=4  1.706 0.190 62.832 0.01592
   n=5  2.093 0.190 94.248 0.01061
   n=6  2.478 0.191 131.95 0.00758
   n=7  2.863 0.191 175.93 0.00568
   n=8  3.247 0.191 226.19 0.00442
   n=9  3.632 0.191 282.74 0.00354
   n=10  4.015 0.191 345.58 0.00289
             
Polo‐Dipolo  n=1  0.519   12.566 0.07958
   n=2  0.925   37.699 0.02653
   n=3  1.318   75.398 0.01326
   n=4  1.706   125.66 0.00796
   n=5  2.093   188.50 0.00531
   n=6  2.478   263.89 0.00379
   n=7  2.863   351.86 0.00284
   n=8  3.247   452.39 0.00221
             
Polo‐Polo     0.867   6.28319  0.15915
 
CAPÍTULO I 
 
21 
 
1.3.3 Arreglos estándares para TRE 3D 
 
Al igual que para la técnica TRE 2D, las letras A y B denotan electrodos de corriente, 
mientras que M y N, denotan los electrodos de potencial, las letras que no aparezcan 
implicarán electrodos remotos, es decir, en el infinito. 
 
Para un estudio 3D, usualmente, los electrodos suelen colocarse en una rejilla cuadrada 
con el mismo espaciamiento entre estos en las direcciones e . La figura 1.12 muestra 
una posible disposición electródica compuesta por un mallado de 5x5 electrodos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.12. Arreglo de electrodos para un estudio TRE 3D, (Loke y Barker, 1996). 
 
 
Dado un arreglo electródico el número máximo de mediciones independientes, 
que pueden ser hechos con que representa el número de electrodos (Xu y Noel, 
1993) son: 
 
1 /2 
 
En este caso, cada electrodo es a su vez utilizado como electrodo de corriente y 
potencial. 
 
Si el estudio 3D se realiza con una serie de perfiles paralelos y no se realizan 
mediciones en líneas cruzadas, la distancia entre líneas debe hacerse preferentemente 
hasta 4 veces el espaciamiento electródico (Aizebeokhai et al., 2009). Esto es para 
garantizar que los materiales del subsuelo entre las líneas sean mapeadas 
adecuadamente por las mediciones en línea. 
 
Los arreglos utilizados con frecuencia para este tipo de estudios son el polo-polo, polo-
dipolo, dipolo-dipolo, esto es debido a que otros arreglos tienen una pobre cobertura 
horizontal cerca de los extremos de la rejilla de estudio (Loke, 2000). A continuación se 
CAPÍTULO I 
 
22 
 
dará una breve descripción de estos arreglos, en general dando algunas ventajas y/o 
desventajas de los mismos. 
 
 Polo-polo 
 
Tiene pobre resolución en comparación con otros arreglos, esto provoca que las 
estructuras tiendan a ser inferidas en el modelo resultado de la inversión. No es práctico 
para espaciamientos grandes, debido a que se debe considerar los electrodos que son 
enviados a infinito, como en el caso de TRE 2D, lo cual no suele satisfacerse del todo 
debido a las restricciones que impone el estudio en campo. 
 
 Polo-dipolo 
 
Es menos susceptible al ruido telúrico y posee mejor resolución que el arreglo polo-polo 
y además el electrodo de corriente en el infinito tiene un efecto menor comparado con 
los electrodos del polo-polo. El arreglo es asimétrico por lo que las mediciones se 
deberán realizar con arreglos de electrodos hacia adelante y hacia atrás para compensar 
esta asimetría. 
 
Para superar la baja intensidad de la señal para valores del factos superior a 5, la 
separación electródica entre los electrodos de potencial M-N deberá aumentarse para 
conseguir una mayor profundidad de investigación. 
 
 Dipolo-dipolo 
Este tipo de arreglos es recomendado para rejillasgrandes debido a que tiene la 
cobertura horizontal más pobre de datos en los extremos. Uno de los principales 
problemas que presenta este tipo de arreglo es la baja intensidad de la señal, este 
problema puede ser superado al aumentar la separación entre los electrodos que 
conforman los dipolos, siempre conservando la geometría para este arreglo, y así 
conseguir una mayor profundidad de investigación. 
Este arreglo es más sensitivo a efectos 3D en comparación con otros arreglos. En 
muchos casos, la toma de datos 3D para este arreglo se construye a partir de estudios 2D 
con un número de líneas paralelas necesarias para cubrir esta región 3D establecida 
como objetivo de estudio. 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO I 
 
23 
 
1.4 Modelo directo y teoría de inversión 
 
1.4.1 Modelo directo 
 
Asumiendo una distribución 3D isótropa, el modelo directo para TRE 3D puede ser 
definido para un punto de corriente en la superficie como lo indica la ecuación 1.23 . 
 
Esta ecuación es una expresión para hallar la diferencia de potencial entre cualquier par 
de puntos en el espacio en función de las resistividades del medio, de la corriente de 
entrada y de la configuración utilizada. 
 
A partir de los valores de potencial obtenidos mediante la solución a esta ecuación, es 
posible calcular los de las resistividades aparentes. Cabe mencionar que las soluciones 
analíticas para distribuciones arbitrarias de resistividad no son alcanzadas, por lo que es 
necesario el uso de métodos numéricos para obtener soluciones aproximadas. 
Comúnmente, las aproximaciones de Elemento Finito (EF) y Diferencias Finitas (DF) 
son usadas para hallar estas soluciones. 
 
En ambas aproximaciones la región es discretizada con nodos y se determina una 
solución inicial para estos puntos. Las variaciones de resistividades se alcanzan por la 
asignación de valores de dos maneras, elemento por elemento, para el caso de EF, o 
celda por celda, para DF. La aproximación de EF permite flexibilidad en la 
discretización y ésta suele ser preferible para arreglos electródicos irregulares. 
 
La aproximación de DF es más simple en operación y computacionalmente más 
eficiente para arreglos electródicos regulares. 
 
Sasaki (1994) y Loke y Barker (1996) muestran de manera detallada la forma en la cual 
se discretiza el espacio para EF y DF, respectivamente, para una región 3D. 
 
Resolver el problema directo permite estudiar el tipo de resultado que se obtendría en el 
campo para determinados rasgos o estructuras que se deseen prospectar y de esta 
manera elegir convenientemente las configuraciones y aperturas. A partir del análisis 
cualitativo de los datos y de información adicional se puede estudiar si algún modelo de 
resistividades particular presenta una respuesta similar a la obtenida en el campo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO I 
 
24 
 
1.4.2 Modelo inverso 
 
Para calcular una imagen de resistividades de los datos obtenidos en campo mediante 
TRE, es necesario llevar a cabo una inversión que produzca un modelo, es decir, una 
variación espacial de distribución de resistividades, que cuente con un ajuste aceptable 
que satisfaga ciertas condiciones o restricciones. Desafortunadamente, este ajuste 
aceptable es subjetivo. 
 
Esta subjetividad en el ajuste también depende de las imprecisiones en el proceso de 
medición, por lo que el modelo obtenido al realizar la inversión no reproducirá en forma 
exacta los valores de resistividades aparentes medidas sin un determinado rango de 
error. 
 
El proceso de inversión puede resumirse en los siguientes pasos: 
 
1. Tener un modelo inicial de resistividades para el tipo de región (2D ó 3D). 
2. Función objetivo que indicará los criterios de ajuste del modelo. La función 
objetivo utilizada es la denominada discrepancia o desajuste, la cual se obtiene 
al calcular la diferencia entre los valores de resistividad aparente con el modelo 
calculado y los obtenidos en campo. 
3. Cálculo de las primeras resistividades aparentes predichas por el modelo del 
primer punto. Esto implica la elección de un algoritmo que determine el camino 
en el cual se hallará el modelo óptimo de resistividades ya que no hay solución 
única en el problema de inversión y este algoritmo seleccionará el modelo de 
todos los posibles que posea características específicas. 
4. El cálculo de la discrepancia entre los valores de resistividad obtenidas en 
campo y los valores de resistividad calculadas. 
5. Si la discrepancia cumple con las restricciones se ha resuelto el problema de 
inversión. 
 
 
 1.4.2.1 Teoría general de inversión 
 
La teoría de inversión es un conjunto organizado de técnicas matemáticas para obtener 
información útil acerca del mundo físico debido a las inferencias logradas de las 
observaciones (Menke, 1984). 
 
Para el modelo inverso, la región es discretizada en parámetros, denotados como un 
vector , el cual puede ser asignado a celdas o bloques. Es común utilizar los 
logaritmos de los valores de resistividad aparente para la respuesta del modelo, esto 
implica entonces que: 
log      1, … , 
 
CAPÍTULO I 
 
25 
 
donde es el número de parámetros. 
 
El proceso de inversión determina el mejor conjunto de parámetros que coinciden 
con los datos observados usando el modelo directo para calcular las resistividades 
aparentes a partir de los valores de resistividad real del modelo (problema directo). La 
función utilizada para este objetivo es una función directa no lineal que actúa sobre los 
parámetros del modelo discretizado para producir una respuesta del modelo (e. g. 
Urbieta, 2009). 
 
Sea el vector que contiene el logaritmo de las medidas obtenidas en campo, es decir, 
 
log           1, … , 
 
donde N es el número de mediciones hechas. 
 
Después del cálculo de los parámetros se calcula la discrepancia o desajuste que está 
definido como la diferencia entre los datos observados y la respuesta del modelo, es 
decir, las resistividades aparentes calculadas a partir de los parámetros estimados en el 
problema de inversión: 
 
 
 
Donde representa al operador del modelo directo, representa la respuesta del 
modelo y los datos observados. 
 
La norma puede usarse como la función objetivo cuya solución inversa busque 
minimizar. Esta puede expresarse como: 
 
 
 
Donde es una matriz de pesos, la cual está dada asumiendo que las resistividades 
aparentes son variables aleatorias independientes, entonces puede expresarse en 
términos de los errores de predicción   1, … , como: 
 
1 ,… , 1⁄⁄ 
 
Debido a que el problema de tomografía de resistividad eléctrica está mal condicionado, 
esto es, que puede ser un problema subdeterminado o sobredeterminado, o que la 
solución al problema de inversión sea susceptible a pequeñas variaciones en los 
parámetros iniciales; hace que la ecuación 1.50 presente soluciones inestables. Es por 
eso que se recurre a una nueva función objetivo para minimizar la discrepancia en el 
problema de inversión. 
(1.50) 
CAPÍTULO I 
 
26 
 
 
Esta nueva función objetivo es el denominado método de mínimos cuadrados 
amortiguado o método de Levenberg-Marquardt, clasificado como un método híbrido 
debido a que utiliza las ventajas de los métodos de Gauss-Newton y el método del 
gradiente. El método de Levenberg-Marquardt es el más utilizado para resolver 
problemas de inversión para datos que representa estructuras geológicas complejas 
(Gabàs i Gasa, 2003). La expresión para este método está dada de la siguiente manera: 
 
Ι 
 
Donde es la matriz jacobiana de derivadas parciales, es el vector de discrepancia, 
es el factor de amortiguamiento, Ι es la matriz identidad y es el vector de 
perturbación, el cual se obtiene al modificar o perturbar el modelo inicial ocupado para 
la inversión. 
 
El factor de amortiguamiento condiciona el rango de valores que el vector puede 
tomar. Es muy importante la determinación de este factor ya que al usar este método se 
minimiza el vector de discrepancia y el vector de perturbación. Unade las desventajas 
de este método es la determinación de , la mayoría de las veces se hace a prueba y 
error, lo cual lo vuelve muy lento y tedioso. 
 
Loke y Barker (1996) presentan otro método para la inversión para TRE y es el método 
de mínimos cuadrados smoothness-constrained usada por varios autores (Sasaki 1994; 
de Groot-Hedlin y Constable 1990) y que está dado de la siguiente manera, 
 
 
 
Donde es la matriz Jacobiana, es el factor de amortiguamiento, es el vector de 
discrepancia, es el vector de perturbación y la matriz es usada para restringir el 
suavizado de las perturbaciones de los parámetros del modelo a un valor constante. 
 
Algunos autores como Park y Van (1991), Ellis y Oldenburg (1994), Sasaki (1994), 
Lesur et al. (1999) y Loke (2000) presentan ejemplos de inversión para TRE en 3D 
utilizando esta técnica de inversión. 
 
Existe otra forma para resolver el problema de inversión, este método es conocido como 
el de máxima verosimilitud, el cual busca maximizar la función de densidad de 
probabilidad de los parámetros del modelo. Aunque el método en sí es general, todas las 
implementaciones de este método para la inversión de TRE se basan en varias 
suposiciones restrictivas: 
 
• Los errores de los datos y los parámetros se consideran estacionarios y variables 
aleatorias 
(1.51) 
(1.52) 
CAPÍTULO I 
 
27 
 
• Se supone que tanto los errores como los parámetros tienen una distribución 
normal 
• Los errores no son correlacionados con las varianzas conocidas 
• Los parámetros tienen variancia conocida, que dependen únicamente de la 
distancia entre las ubicaciones físicas de los parámetros, es decir, los parámetros 
adyacentes entre sí tendrán una fuerte correlación comparados con los que estén 
alejados 
 
Con estas suposiciones, se tiende a maximizar la función de densidad de probabilidad 
(ver Menke ,1984 y Tarantola, 1987). 
 
 
Hasta aquí, se muestra en general la teoría de TRE, modelo directo y la teoría de 
inversión. En el siguiente capítulo se mostrarán algunos ejemplos de modelado directo 
utilizando el arreglo planteado por Tejero-Andrade et al. (2011), el proceso de 
modelación directa y el algoritmo de inversión utilizado en el software ocupado para el 
desarrollo de este trabajo. 
 
 
 
CAPÍTULO II 
 
28 
 
Capítulo II. Arreglo tipo “L”, algoritmo de inversión y modelos sintéticos 
El objetivo principal de este capítulo es mostrar la eficiencia resolutiva del arreglo tipo “L” 
combinado con 2 arreglos ecuatoriales en modalidad dipolo-dipolo. Para verificar la 
eficacia de la combinación del arreglo propuesto en este trabajo, se pretende analizar la 
respuesta que se obtendrá para cuatro modelos con geometrías simples. Además, estos 
resultados serán comparados con las soluciones obtenidas haciendo uso de un arreglo tipo 
cuadrícula o rejilla, ocupando líneas paralelas en dirección x y y, que por la forma y el 
volumen de datos que resultan de este arreglo, darán una mejor resolución y servirán como 
punto de comparación para los resultados del arreglo “L” y ecuatoriales. 
El arreglo tipo “L” fue diseñado para realizar TRE 3D en áreas donde no sea posible la 
implementación de una cuadrícula de líneas paralelas y/o perpendiculares. En este capítulo 
se presenta la descripción de dicho arreglo, además del procedimiento para la realización de 
la modelación directa y el algoritmo de inversión implementado por el software 
EarthImager (AGI, 2008). 
2.1 Arreglo tipo “L” 
Realizar TRE dentro de zonas urbanas suele ser complicado, ya que dentro de las ciudades 
se presenta el reto de la obtención de información en ciertas áreas donde pueden existir 
construcciones, como casas, museos, escuelas, monumentos que impiden o dificultan la 
adquisición de datos. Cuando se planea un TRE 3D, comúnmente se realizan rejillas para 
cumplir dicho objetivo, pero en ciudades, la separación entre calles no suelen cumplir con 
la condición que propone Aizebeokhai et al. (2009), en el que los perfiles deben estar a lo 
máximo a cuatro veces la separación electródica, lo que provocaría una falta de 
confiabilidad en la inversión realizada. 
Dada la problemática existente, Tejero et al. (2011) propone la técnica denominada 
“arreglo en L” que fue diseñada para realizar TRE 3D y permite adquirir información 
confiable de la distribución de respuesta eléctrica en zonas donde exista alguna 
construcción que impida la realización de perfiles tipo rejilla. 
Este “arreglo en L” consiste en dos perfiles perpendiculares entre sí, puede ser diseñado 
con modalidades existentes como: polo-polo, dipolo-dipolo, Wenner, Schlumberger, 
Wenner-Schlumberger, entre otros. Para la toma de datos se comienza con la lectura de 
alguna de las líneas, moviéndose continuamente hasta terminar con el otro perfil 
perpendicular, proveyendo de perfiles 2D subyaciendo a dichos perfiles perpendiculares 
(figura 2.1). Durante el desplazamiento se combinan electrodos de ambos perfiles que 
brinda información en un plano inclinado que va desde el vértice de los perfiles 
perpendiculares hacia el centro y en profundidad (figura 2.2). 
CAP
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figu
 
 
PÍTULO II 
 
 
ura 2.1. Repreesentación en 
Figura 2.2
planta de la to
2. Visualizació
oma de datos 
ón de los punt
 
del “arreglo e
tos de atribuci
en L” (Tejero-
ión de una “L”
Andrade et al
”. 
29 
l., 2011). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO II 
 
30 
 
Tejero et al. (2011) proponen configurar el “arreglo en L” en la modalidad dipolo-dipolo, 
debido a que suele tener más puntos de atribución, lo que implica, más información en la 
parte del vértice entre los perfiles perpendiculares. 
Una de las ventajas de este arreglo es que pueden combinarse cuatro “L” para rodear una 
estructura y poder realizar una TRE 3D por debajo de dicha estructura adquiriendo un 
“volumen” de información. El procedimiento es el siguiente: se modifican los archivos de 
lectura eliminando la información de uno de los laterales de las “L” consecutivas para 
evitar la repetición de datos (figura 2.3), teniendo las cuatro “L” modificadas se obtendrían 
los puntos de atribución mostrados en la figura 2.4. 
 
 
Figura 2.3. Visualización de los puntos de atribución de una “L” modificada. 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO II 
 
31 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.4. Visualización de los puntos de atribución combinando las cuatro “L” modificadas. 
 
 
Dados los puntos de atribución obtenidos al combinarse cuatro “L”, se observa que no 
existe información en la parte superficial y central de dicho cubo, por lo que se propone la 
combinación de las cuatro “L” y dos ecuatoriales utilizando los perfiles paralelos y 
aumentando la información en la parte central, lo que provee de más información e implica 
una mayor veracidad en el resultado obtenido en la inversión. 
En este trabajo se trabajará con cuatro “L” y dos ecuatoriales programados en modalidad 
dipolo-dipolo cuyos puntos de atribución estarán dispuestos como se muestra en la figura 
2.5. 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO II 
 
32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.5. Visualización de los puntos de atribución de cuatro “L” modificadas y dos ecuatoriales, 
programados en modalidad dipolo-dipolo. 
 
La visualización de los puntos de atribución que se muestran en las figuras 2.2 a 2.5 se 
obtuvieron utilizando el software Electre Pro de Iris Instruments (2007). 
Para probar la eficiencia y confiabilidad resolutiva de la combinación propuesta se realizará 
el modelado directo, proponiendo cuatro modelos con anomalías de geometrías sencillas y 
además, el resultado obtenido se comparará con el obtenido con una TRE 3D convencional, 
es decir, perfiles 2D paralelos en direcciones y formando una rejilla. 
 
 
 
 
CAPÍTULO II 
 
33 
 
2.2 Modelación directa y algoritmo de inversión 
2.2.1 Proceso de modelación en el software EarthImager 3D 
La modelación directa es un proceso de simulación de datos basados en el conocimientode 
los parámetros del modelo, configuración electródica, la eficiencia y certeza del algoritmo 
de inversión 3D (Zhang et al., 1995). Esto permite obtener información cuantitativa sobre 
el subsuelo y estudiar el tipo de respuesta que se obtendría en el campo para determinar 
rasgos o estructuras que se deseen prospectar y de esta manera, elegir convenientemente las 
configuraciones y aperturas. 
Este proceso se llevó a cabo utilizando el software EarthImager 3D, creado por Advanced 
Geosciences Inc. (AGI, 2008), programa en el cual es posible hacer el proceso completo de 
modelado directo, es decir, resuelve el problema directo e inverso, lo que implica que 
ayuda a interpretar datos de resistividad eléctrica en tres dimensiones (3D) y produce 
imágenes de resistividad en 2D (secciones) y 3D (volumen). 
Para hacer la modelación directa en el software es necesario realizar los siguientes pasos: 
1. Crear el archivo con el arreglo a usar que debe contener información sobre la 
ubicación espacial de los electrodos y la secuencia de lectura, con extensión *.cmd. 
2. Del menú File elegir la opción “Read Command File” y se creará una malla basada 
en la modalidad. En este momento se deben elegir el número de elementos de la 
malla que habrá entre cada electrodo en las direcciones , y ; además el método 
para discretizar el espacio, el tipo de condición de frontera, el método para 
solucionar la ecuación matricial, el factor de incremento en el espesor (Thickness 
Incremental Factor) y el factor de profundidad (Depth Factor). Dichos parámetros 
pueden modificarse en el menú Settings. 
3. Ahora se debe establecer el valor de resistividad del subsuelo y las resistividades de 
las anomalías que se considerarán dentro del modelo sintético. 
4. Después de haber establecido el modelo, en el menú Tools se elige Forward 
Simulation y con esto se inicia la modelación directa. Al finalizar el cálculo se 
puede ver un scatter plot de las resistividades medidas versus las calculadas en la 
parte derecha del monitor y el modelo sintético del lado izquierdo. 
El proceso de la modelación directa dentro del software EarthImager (AGI, 2008) recae en 
resolver la ecuación diferencial parcial: 
, , 
Donde es el potencial eléctrico escalar e , , es la corriente eléctrica. El método de 
diferencia finita con un volumen elemental se usa para discretizar la ecuación parcial, tal 
como lo aplican Dey y Morrison (1979). 
(2.1) 
CAPÍTULO II 
 
34 
 
La rutina propuesta por estos autores comienza discretizando el espacio de soluciones con 
elementos cúbicos rectangulares con espaciamiento irregular de los nodos en las 
direcciones , , . Es posible implementar condiciones de frontera tipo Dirichlet o mixed 
(combinado). Los autores recomiendan el uso de la condición mixed ya que éste toma 
ventaja del comportamiento físico del potencial a grandes distancias y no requiere de 
asumir a priori la naturaleza del potencial eléctrico ni de su primera derivada con respecto 
a un vector normal a la superficie de solución, caso contrario a las condiciones de Dirichlet 
y Neumann. Para el desarrollo de este trabajo fue utilizada dicha condición de frontera. 
Este tipo de condición se usa considerando que el potencial, a grandes distancias con 
respecto a la fuente, dentro de la superficie geométrica, tiene un comportamiento asintótico 
1⁄ y que puede expresarse como: 
cos 0 
Donde es el ángulo entre la distancia radial del centro de la superficie geométrica y es 
la coordenada normal hacia fuera en las fronteras. 
Ahora se debe resolver la ecuación (2.2) y una de las técnicas usadas es el gradiente 
conjugado, única opción disponible en el software utilizado para el desarrollo del trabajo. 
Los pioneros de este método fueron Hestenes y Steifel (1952), pero, en la actualidad, la 
forma en que se le usa con mayor frecuencia en la actualidad fue propuesto por Reid 
(1971), quién lo plantea como un método iterativo. La idea básica del método del gradiente 
conjugado consiste en construir una base de vectores ortogonales y utilizarla para realizar la 
búsqueda de la solución de la ecuación en forma más eficiente. 
Al finalizar la modelación directa, se pueden encontrar, en una carpeta creada de manera 
automática que lleva como nombre el mismo del command file, 4 archivos guardados. El 
archivo *.ini es un archivo de inversión que puede ser cargado en EarthImager (AGI, 
2008). El archivo *.out contiene información descriptiva de la simulación. El archivo *.stg 
contiene los resultados de la simulación y es el que se carga en el software para realizar la 
inversión. El archivo *.mod contiene información interna sobre el modelo utilizado. 
Para realizar la inversión de los resultados obtenidos en la modelación directa, se carga el 
archivo con extensión *.stg en el menú File eligiendo la opción Read Data y este archivo es 
el utilizado para el último paso de la modelación directa, que es la inversión de los 
resultados de la simulación que serán comparados con el modelo directo creado. 
 
 
 
(2.2) 
CAPÍTULO II 
 
35 
 
2.2.2 Algoritmo de inversión 
La inversión en geofísica puede verse como el intento de ajustar la respuesta de un modelo 
del subsuelo idealizado a un conjunto finito de observaciones reales (Lines y Treitel, 1984). 
Los resultados obtenidos mediante el proceso de inversión para datos geoeléctricos no 
conducen a una solución única (Langer, 1933). En la literatura existen varios algoritmos 
desarrollados con la finalidad de obtener una solución que cumpla con ciertas 
características y restricciones que hagan que se considere una solución óptima basándose en 
la forma en la cual es discretizado el espacio de soluciones y la forma en la cual es 
solucionado el problema directo y los criterios de paro, como muestran Park y Van (1991), 
quienes desarrollaron un procedimiento de inversión 3D usando el método de máxima 
verosimilitud y el código de Dey y Morrison (1979) para el modelado directo; otros quienes 
utilizaron este algoritmo fueron Li y Oldenburg (1994) que desarrollaron un procedimiento 
de inversión calculando la matriz de sensibilidad 3D. Ellis y Oldenburg (1994) presentaron 
otra aproximación para resolver la inversión de resistividades para la modalidad polo-polo 
3D usando el método de gradiente conjugado; Sasaki (1994) muestra el resultado de la 
inversión con el uso del método de elemento finito; Loke y Barker (1996) hacen uso del 
método de mínimos cuadrados suavizado-restringido y proponen su propia discretización 
del espacio de soluciones mediante diferencias finitas. 
El software EarthImager 3D (AGI, 2008) cuenta con dos procesos para realizar dicha la 
inversión: inversión robusta e inversión suavizada. En este trabajo fue utilizada la inversión 
suavizada (smooth model inversion). Este proceso de inversión está basado en el 
razonamiento de William Occam: “La explicación más simple y suficiente es la más 
probable, más no necesariamente la verdadera” (Russell, 1946). 
Constable et al. (1986) explica de manera detalla este proceso de inversión y a continuación 
se hará una descripción general de dicho método. 
2.2.2.1 Problema lineal 
Sea un vector en el espacio euclideano de dimensión N que contiene los valores de 
resistividad y sea el vector de dimensión M que contiene los valores reales de 
resistividad. En general la solución del problema directo puede ser escrito como 
 1,2, … , . 
Donde es el funcional, usualmente no lineal, asociado con el j-ésimo dato, escribiendo la 
ecuación anterior en notación vectorial se tiene: 
 
Cuando el problema directo es lineal, este puede reemplazarse por 
(2.3) 
(2.4) 
CAPÍTULO II 
 
36 
 
 
Donde es una matriz de , cuyos elementos son calculados de la teoría del problema 
directo. 
Para el caso lineal, el misfit, denotado por , puede ser escrito como: 
∑ 
Donde es la incertidumbre del j-ésimo dato, rescribiendo es forma vectorial, se tiene: 
 
Donde es una matriz diagonal de dado por:1 , 1 , … , 1⁄⁄⁄ 
Para un espacio uniforme, la rugosidad del modelo, en representación continua se define 
como: 
 
Donde es una matriz de dada por 
0 0
1 1
0 1
 
0 0
0
1
 0 0
 0 0 1 1
 
Considerando la rugosidad para la segunda derivada de con respecto a , en forma 
matricial estaría dada por: 
 
Para el caso lineal, la minimización del problema está en minimizar (ec. 2.9) sujeto a la 
condición de que el misfit o desajuste debe ser igual a , el cual representa un valor 
considerado aceptable para el valor del misfit, es decir, el valor del misfit es restringido. 
Para minimizar un funcional con restricción, se usa el método de multiplicadores de 
Lagrange (Smith, 1974). La ecuación de restricción es reordenada de forma que es igual a 
cero, esta expresión es multiplicada por un parámetro, el multiplicador de Lagrange y se le 
suma el funcional a minimizar. El funcional original es mínimo en el nuevo funcional dado, 
que varía con sus parámetros originales y el multiplicador de Lagrange, que es estacionario 
sin restricción. 
(2.5) 
(2.6) 
(2.7) 
(2.8) 
(2.9) 
(2.10) 
CAPÍTULO II 
 
37 
 
Se denotará al multiplicador de Lagrange como . Así, el funcional sin restricciones se 
escribe de la siguiente manera: 
 
Donde el primer término de la derecha es la rugosidad y el segundo término es el misfit 
ponderado por el multiplicador de Lagrange. Para cualquier valor de , el funcional de 
es estacionario cuando , el gradiente de con respecto a , sea igual a cero. Después 
de álgebra, se encuentra: 
0 
 
 
La variación con respecto a conduce a la condición original de restricción. Como no se 
conoce, esta debe ser seleccionada de manera que cuando la ecuación (2.13) se sustituye en 
la ecuación (2.7), el valor deseado de sea . Es útil interpretar como una clase de 
parámetro de suavizamiento: cuando es grande, se observa de la definición de que la 
solución de la ecuación (2.13) no es muy influenciada por el misfit de los datos, esto es una 
función muy suavizada. Alternativamente, cuando tiende a cero, el término de rugosidad 
es poco significante en la minimización del problema y con esto puede satisfacer la 
restricción de los datos a cualquier costo de la rugosidad. 
2.2.2.2 Problema no lineal 
Cuando el problema no lineal es considerado, el funcional a ser minimizado sigue siendo 
 dado en la ecuación (2.9), pero la expresión del misfit de los datos, ecuación (2.7), llega 
a ser: 
 
Se procede de la misma forma, es decir, tener un funcional sin restricciones formado por 
el multiplicador de Lagrange: 
 
Los valores extremos de pueden encontrarse en los puntos estacionario de , por lo 
tanto, tomando el gradiente, encontramos los vectores que hacen a estacionario, es 
decir, 
(2.11) 
(2.12) 
(2.13) 
(2.14)
(2.15) 
CAPÍTULO II 
 
38 
 
(2.17) 
0 
Donde es la matriz jacobiana o gradiente de la matriz , de dimensiones . 
Expresada en componentes 
 
En el problema lineal, , la solución de la ecuación (2.16) es mucho más difícil que la 
ecuación (2.12), mientras que es una matriz constante, depende de . Así, en vez de un 
conjunto de ecuaciones lineales similares a las ecuación (2.13), se debe resolver un sistema 
no lineal de simultáneamente. Se puede proceder resolviendo la ecuación (2.16) 
directamente y resolver el sistema por el método de Newton; desafortunadamente, esto 
requiere diferenciación de para encontrar la segunda derivada de , lo cual, 
algebraicamente podría resultar tedioso. 
Una alternativa sencilla es tomar la ecuación (2.15) y examinar la minimización del 
problema creado por linealización a partir de un modelo particular. Muchas soluciones de 
sistemas no lineales requieren de una conjetura inicial para dar la solución, es decir, un 
modelo inicial mediante un proceso iterativo. Para la solución de la ecuación (2.15) se 
propone un modelo inicial . 
Si es diferenciable en para vectores pequeños ∆ 
∆ ∆ 
Donde es un vector cuya magnitud es ∆ y es , la matriz jacobiana evaluada en 
el vector . Suponga que se aproxima para eliminar el término y escribiendo: 
∆ 
Si esta expresión aproximada es sustituida en la ecuación (2.13), se regresa al problema 
lineal en : 
 
Donde el término entre paréntesis en el segundo término de la derecha es una clase de 
vector que puede ser denotado por . 
Si se define como un modelo que minimiza bajo esta aproximación, de la teoría lineal 
se obtiene que: 
 
(2.16) 
(2.18) 
(2.19) 
(2.20)
(2.21) 
CAPÍTULO II 
 
39 
 
Si se elige que conduce al valor deseado de misfit calculado por aproximación lineal, se 
tiene un esquema iterativo: es usado para el siguiente miembro y así sucesivamente, 
en que cada vector precedente es usado como una aproximación inicial para el siguiente. 
Puede que este esquema diverja y esta tendencia es contrarrestrada por un proceso de 
amortiguamiento. El amortiguamiento consiste en una reducción sistemática del tamaño de 
cambios en los modelos de una iteración a la siguiente. Si el algoritmo converge, el 
resultado final es independiente del modelo inicial y deber ser un modelo con pequeña 
rugosidad con el misfit especificado. 
 
2.2.2.3 Criterios de convergencia 
Dentro del software EarthImager 3D (AGI, 2008) existen como criterios de paro de la 
inversión la RMS (raíz cuadrática media), la norma L2 que indican el valor de misfit 
deseado y el número de iteraciones. Como el objetivo de la inversión es reducir el misfit de 
los datos, es decir, entonces la inversión de resistividades debe ajustar un modelo de 
resistividad cuya respuesta ajuste bien a los datos medidos. La bondad del ajuste puede ser 
caracterizado por la RMS que definida en porcentaje en este software está dada por: 
∑
100% 
Donde es el número total de medidas, son los datos predichos y son los datos 
medidos. La RMS depende del número de puntos malos y en un promedio del misfit de los 
datos sobre todos los datos. Un dato erróneo puede conducir a una RMS grande. 
Un valor grande de RMS puede ser resultado de: 
• Datos ruidosos 
• Error numérico 
• Inhabilidad de modelar objetos 3D con un programa de modelación 2D 
• Configuración pobre de inversión 
Otro medida del misfit de los datos es la norma L2, ésta es definida como el cuadrado de la 
suma de los datos divididos entre el valor de los datos: 
2 ∑ 
Y en el software es utilizada la norma L2 normalizada dada como: 
(2.22) 
(2.23) 
CAPÍTULO II 
 
40 
 
2 
Donde es el número de datos. 
Al-Chalabi (1992) menciona que debe tenerse cuidado con este parámetro y necesariamente 
con el resultado obtenido, ya que muchas veces el resultado puede ser adecuado para los 
requisitos del problema aunque no necesariamente es el óptimo. 
Para las iteraciones de los modelos que se presentarán en este trabajo se usó como criterio 
de paro el número de iteraciones, que para todos los casos fue de 25 iteraciones. 
 
2.3 Modelos sintéticos 
Se realizaron cuatro modelos sintéticos con la ayuda del software EarthImager 3D (AGI, 
2008) para los casos de las cuatro “L” con ecuatoriales en modalidad dipolo-dipolo y para 
las rejillas que igualmente fueron programadas con la modalidad dipolo-dipolo y fueron 
diseñadas respetando que las líneas paralelas no sobrepasen la distancia de cuatro veces la 
separación electródica. 
Para cada caso se presentará el modelo, los valores de resistividad verdadera, la 
información de los arreglos, donde la primera configuración será la combinación de las “L” 
con los ecuatoriales y la segunda configuración será la rejilla, los resultados de las 
inversiones con las especificaciones en el proceso de la inversión se presentarán en los 
siguientes subtemas. 
Todos los modelos fueron creados considerando la profundidad mayor, establecida por la 
de la primera configuración, así se mantiene igualdad de condiciones entre ambas 
configuraciones con respecto a la profundidad de estudio. 
 
2.3.1 Resultados de inversión 
Los