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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO 
 
MAESTRÍA EN DOCENCIA PARA LA 
EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR 
 
EL USO DE MODELOS MATEMÁTICOS FÍSICOS PARA EL APRENDIZAJE DE 
LAS FUNCIONES POLINOMIALES Y EL CÁLCULO DE LA DERIVADA EN EL 
BACHILLERATO 
 
T E S I S 
 
QUE PARA OPTAR POR EL GRADO DE MAESTRÍA EN DOCENCIA PARA LA 
EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR, EN EL CAMPO DE CONOCIMIENTO 
MATEMÁTICAS 
 
 
P R E S E N T A 
Ingeniero Físico 
Salvador Gerardo Hernández Álvarez 
 
Comité Tutoral: 
M. en C. Víctor José Palencia Gómez FES Acatlán 
 
 
Santa Cruz Acatlán, Naucalpan, Estado de México noviembre 2016 
 
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
Tesis Digitales 
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reproducción, edición o modificación, será perseguido y sancionado por el 
respectivo titular de los Derechos de Autor. 
 
 
 
 
 
1 
FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ACATLAN 
AGRADECIEMIENTOS 
Al Mtro. Victor Palencia 
 
 
Al Seminario Multidisciplinario de Formación de MADEMS 
A mis demás tutores, maestros y amigos 
A mis papas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 ÍNDICE 
 
 
 
 Temática Página 
Resumen 
 
Abstract 
 4 
 
5 
 
Introducción 
 
6 
 
Capítulo I El Aprendizaje del Cálculo Diferencial en el 
Bachillerato Mexicano 
 
9 
 La Problemática del Cálculo Diferencial en el Bachillerato 
Mexicano 
9 
 La Problemática del Aprendizaje del Cálculo Diferencial en la 
Escuela Nacional Colegio de Ciencias y Humanidades (CCH) 
de la UNAM 
10 
 
 
Capítulo II Aprendizaje Basado en Representaciones Semióticas 
 
17 
 Representaciones Semióticas y los Aprendizajes 17 
 Tipos de Representación Semióticas 18 
 La Recta Tangente a una Curva 23 
 
Capítulo III Propuesta Metodológica para el Tema de Cálculo de la 
Derivada 
 
24 
 Actividad de Aprendizaje 25 
 Fase de Apertura 26 
 Fase de Desarrollo 27 
 
 
3 
 Un modelo es una imagen que representa al mundo real 28 
 Los modelos matemáticos que se manejaron en clase fueron 30 
 Los Cuatro Modelos Matemáticos que se Proponen para la 
Intervención son: 
32 
 Modelo 1. Función Línea 32 
 Modelo 2. Función inversa Hipérbola 34 
 Modelo 3. Polinomio Cuadrática 36 
 Modelo 4. Polinomio Cubica 38 
 La Derivada fue originada por un problema de Geometría 40 
 Derivada de una función 43 
 Problematización 45 
 Fase de cierre 52 
Capítulo IV Informe de la Intervención Pedagógica en el 
Tema de Cálculo de la Derivada 
 
53 
 Resultados de exámenes del grupo intervenido 62 
 Análisis de resultados del grupo intervenido 76 
 Resultados de exámenes del grupo referente 81 
 Análisis de resultados del grupo referente 90 
Capítulo V Los Resultados y su Valoración 96 
 Resultados de la intervención 102 
 
Conclusiones 
 
113 
 Consideraciones Finales 114 
Anexos 115 
 
Fuentes 
Documentales 
 
 
 
125 
N° Final 
 
 
 
 
 
 
4 
Resumen 
La presente trabajo propone la utilización de modelos matemáticos físicos para favorecer el 
entendimiento de conceptos importantes del cálculo diferencial, graficado por medio de 
una línea, que puede ser cuadrática, cúbica, inversa o exponencial, esto logra que el 
alumno incremente sus aprendizajes de nociones y conceptos previos necesarios para la 
mejor comprensión de las características de la derivada por medio de modelos matemáticos 
asociados a sistemas físicos, que plantean problemas que para su resolución necesitan el 
uso y el manejo del cálculo diferencial, obteniéndose evidencias adicionales de un 
incremento de interés en los alumnos por aprender las relaciones entre los modelos 
geométricos y gráficos con los algoritmos del cálculo diferencial. Así como al tener 
imágenes físicas de interpretación de problemas, donde se obtuvieron aprendizajes que 
asociaran a diferentes escenarios físicos tanto en la vida cotidiana, así como en su futuro 
utilizarán en sus profesiones, donde se necesiten innovaciones y perfeccionamientos de 
procesos físicos, que se tienen que optimizar, usando como herramientas auxiliares las 
matemáticas en general y el cálculo diferencial en particular. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
Abstract 
The main propose of this paper was implementation of physical mathematic models in 
order to acquire the learning about the concepts differential calculus represented by a line 
that could be in the form, of quadratic cubic, inverse and exponential so that the still 
increase with previous knowledge about notions and concepts for a better wider standing 
related to charactenstics of the derived, using mathematic models associated with physical 
systems and increase the interest in the use of differential calculus to learn the relationship 
between geometric and graphic models with the algorithms of differential calculus, the 
mathematic models will provide us with physical images of interpretation of problems in 
everyday life as in the future using differential calculus as tool. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
Introducción 
Hace más de 2000 años, los griegos se enfrentaron con la problemática de resolver el 
problema del cálculo del área y volúmenes de diferentes figuras geométricas asociadas a la 
delimitación de sus casas, sus terrenos de cultivo, sus edificios, sus barcos por lo que 
intentaron resolver como medir superficies y espacios, ideando el procedimiento al que le 
nombraron Método de Exhaución. 
 Las ideas esenciales de este método son realmente muy simples y se pueden 
describir brevemente como sigue: Dada una reguión cuya área quiere determinarse, se 
inscribe en ella una región poligonal que se aproxime a la dada y cuya área sea de fácil 
cálculo. Luego se elige otra región polígonal que dé una aproximación mejor y se continúa 
el proceso tomando polígonos con mayor número d e lados cada vez, tendiendo a llenar la 
región dada. 
 
Figura 1. El método de exhaución aplicado a una región semicircular. 
 Lo sencillo del método al ser utilizado en la actualidad genera un gran beneficio, 
resaltando que las ideas principales de este procedimiento son de fácil interpretación y 
sirven de apoyo para el aprendizaje del álgebra y el cálculo diferencial. Estas no se podían 
vincular en los tiempos de Arquímedes porque estas nociones y conceptos no se habían 
desarrollado. 
Desde Arquímedes, el desarrollo del método de exhaución tuvo que esperar casi 18 
siglos, hasta que el uso de símbolos y técnicas algebraicas se hizo preciso en los estudios 
matemáticos. 
Así como lo anterior es relevante por el hecho de que va transformando a la 
sociedad a través del tiempo al proporcionar las herramientas procedimentales que 
 
 
7 
evolucionan y optimizan los avances tecnológicos y estudios de las ingenierías en general. 
Por lo tanto, el grado promovido de aprendizajes del cálculo diferencial a los estudiantes, 
por los programas de estudio en el bachillerato en México, está vinculado al propósito 
educativo de que adquieran los alumnos bases cognitivas y procedimentales, que les sirvan 
de base para su formación e inserción positiva a la sociedad. 
Mi propuesta se basa en los modelos matemáticos físicos, para el aprendizaje del 
Cálculo, mediante problemas que estén vinculados a fenómenos físicos, al plantear el 
problema con una imagen es fácil de identificar el alcance de la solución, su aprendizaje del 
cálculo, va asociado a sus intereses y conocimientosprevios para comprender la nueva 
formas de las matemáticas. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2. En un proceso lo podemos también representar mediante un modelo. 
Realidad Modelo 
Abstracción 
Aplicación 
 
 
8 
 
Figura 3. La comparación de la masa y el peso como fuerza. 
 
Figura 4. La variable es el cambio, la ecuación tiene una variable o más y tiene una 
solución o más. 
 
Figura 5. Función conjuntos de pares ordenados ( ) por medio de una regla que “asocia a” 
 
 
9 
Capítulo I 
El Aprendizaje del Cálculo Diferencial en el Bachillerato Mexicano 
 
1.1 La Problemática del Cálculo Diferencial en el Bachillerato Mexicano 
Es el manejo de los conceptos, la pobreza de las estrategias didácticas no son el único 
aspecto de la práctica docente que preocupa e invita a la reflexión; la evaluación y 
asignación de calificaciones, es también punto fundamental. 
 
 ¿Qué evaluamos realmente con nuestros procedimientos de evaluación? 
Acaso; 
 ¿La agilidad mental de los alumnos?, 
 
 ¿Sus conocimientos?, 
 
 ¿Sus habilidades para contestar exámenes?, 
 
 ¿Si son buenos para copiar?, 
 
 ¿Qué tan autodidactas son?, 
o 
 ¿Los aprendizajes que pretendemos que logren durante las sesiones de clases? 
 
 
 
 
10 
Y qué hay de la autoevaluación: 
 
 ¿Retroalimentamos nuestro trabajo? 
 
 ¿Validamos nuestros instrumentos de evaluación?, 
 
 ¿Qué tan justas, pero sobretodo significativas, son las calificaciones que 
asignamos a cada estudiante? 
 
Entre los aspectos relacionados con los estudiantes, están la transición de un nivel de 
estudios a otro, durante el cambio que tienen los alumnos generalmente sufren un desajuste. 
Los estudiantes aplicados se dan cuenta de que ya no es suficiente estudiar un día antes para 
seguir obteniendo buenas notas. Se percatan de que no basta con revisar los apuntes y que 
resulta altamente conveniente consultar la bibliografía recomendada por el profesor. 
Los estudiantes menos aplicados, dada su falta de hábitos de estudio, se colocan en 
situaciones desesperadas porque el tiempo les resulta definitivamente insuficiente, adolecen 
de la falta de conocimientos previos para enfrentar los nuevos retos, muchos de ellos tienen 
serias dificultades de comprensión y expresión en su propio idioma. 
 
1.2 La Problemática del Aprendizaje del Cálculo Diferencial en la Escuela Nacional 
Colegio de Ciencias y Humanidades (CCH) de la UNAM 
La tabla 1, muestra que en el cambio de semestre de cuarto a quinto, nuevamente 
disminuyeron mil alumnos al bajar de 17,000 a poco más de 16,000 inscripciones. 
 
 
11 
 
 Tabla 1 Acreditación de las asignaturas del quinto semestre del plan de 
estudios. Fuente Secretaría de Informática, con base a los historiales académicos proporcionados 
por la DGAE en septiembre de 2011 
En la referencia anterior también aparecen los porcentajes de acreditación, 
reprobación y deserción, notándose que se mantienen similitudes a los del segundo año del 
bachillerato del CCH. Esta es otra perspectiva que se tiene de la pirámide de regularidad 
 
 
12 
figura 6, en ello se confirma la tendencia de mantenerse el mismo nivel de alumnos que no 
deben asignaturas al pasar del cuarto al quinto semestre. 
 
Figura 6. Pirámide de regularidad académica de la generación 2009. 
El primer bloque, que corresponde a las asignaturas del área de Matemáticas, tiene 
el menor índice de acreditación respecto al resto de los bloques. De hecho, contiene a la 
asignatura de menor porcentaje de aprobación de quinto semestre, con ello Matemáticas III 
y IV las de mayor reprobación hasta cuarto semestre. 
El Cálculo Diferencial e Integral son la de mayor índice de reprobación de los 
bloques de quinto semestre. Sin embargo, la asignatura del bloque que con un mayor 
número de alumnos reprobados es Estadística y Probabilidad, la selecciona una mayor 
cantidad de alumnos buscando una opción “más fácil” de acreditar. (Ver tabla 1.) 
El promedio de calificaciones es el más bajo de los cinco bloques: (7.44) 
El segundo bloque, que corresponde a la especialización de las materias de Ciencias 
Experimentales vistas en el tronco común (Química, Física y Biología), tiene el segundo 
lugar del porcentaje de acreditación más bajo después del bloque de Matemáticas de 7.76 
 
 
13 
El tercer bloque incluye las asignaturas de Filosofía (obligatoria) y de Temas 
Selectos de Filosofía, el bloque que presenta el promedio más alto de quinto semestre es 
8.34 
En algunas carreras que incluyen a Temas Selectos de Filosofía como parte del 
“esquema preferencial”, es conveniente moverla al cuarto bloque para hacerla compatible 
con el Plan de Estudios. 
El cuarto bloque, principalmente constituidas por el área de Historia, contiene tres 
de las cuatro asignaturas con más de 80% de acreditados. 
Las dos asignaturas que no son del Área Histórico-Social se ubican con 83% de 
acreditados y son las más demandadas del bloque. 
 El promedio de calificaciones se ubica en 8.25 
En el último bloque, de las asignaturas de Talleres de Lenguaje y Comunicación. 
La acreditación fue de 78% con un promedio de calificaciones de 8.52 
En el sexto semestre, en los bloques mostrados en la tabla 1 la acreditación 
disminuye cinco puntos porcentuales. También disminuye el porcentaje de reprobación y se 
incrementa el abandono (NP), es posible afirmar en el último semestre que los alumnos 
asimilan sus posibilidades reales de egreso; el sector que tiene posibilidades de egreso 
incrementa su promedio y los que no creen egresar, abandonan los grupos. 
El comportamiento de los bloques es similar al de quinto semestre, con porcentaje 
de acreditación menor, mayor deserción y mejores promedio de calificaciones. 
 Los alumnos de los semestres quinto y sexto del CCH, incluyen dos cursos optativos 
de Cálculo Diferencial e Integral, con la perspectiva de brindar que opten por ellos los 
conceptos y procedimientos básicos de esta importante rama de las matemáticas, a la vez 
que completan su formación en esta disciplina al reforzar el empleo de estrategias, la 
capacidad de resolución de problemas, el desarrollo de habilidades y de diversas formas de 
 
 
14 
razonamiento, como son el inductivo, el deductivo y el analógico. 
 La orientación global de ambos cursos, es el primer contacto del alumno con esta 
rama de la matemática, el enfoque se centra en iniciar con situaciones y fenómenos de 
variación (de diversos contextos) que se modelan con una función real de variable real. 
 Con la representación tabular, gráfica y algebraica, se puede dar los conceptos, 
técnicas y procedimientos del cálculo que permiten otro nivel de análisis, con esta 
orientación, no se pone el énfasis en la memorización de fórmulas y algoritmos (que 
constituyen una herramienta pero, por sí solos, no proporcionan una visión del poder del 
cálculo), ni en el tratamiento formal que corresponde a otro nivel de estudios. 
 En cuanto a las fórmulas y reglas para obtener derivadas e integrales, se presentan y 
manejan como formas más generales, eficientes y económicas de encontrar 
respectivamente, la función que proporciona la rapidez de cambio o bien, conociendo a 
ésta, la función que modela la situación o problema involucrado. 
 En ambos cursos, se les otorga también un papel importante a las aplicaciones, de 
modo que en el transcurso de las unidades temáticas, una vez que se han obtenido los 
conceptos y procedimientos respectivos a partir del estudio de algunas situaciones de 
aplicación, se presentan otras, en las que el estudiante utilizará las nuevas herramientas, de 
esta manera, constantemente se cubre un ciclo que abarca: situación de inicio conceptos, 
técnicas y procedimientos situaciones diversas. 
 Los programas se han estructurado de modo que conforme el estudiante va 
adentrándose en los conocimientos de cada asignatura y cada una de las unidades que los 
integran, también deberáir avanzando paulatinamente en el manejo de procesos infinitos, 
en el análisis de la variación y en la construcción e interpretación de modelos, además de 
reforzar su desempeño en las líneas de desarrollo metodológico correspondientes a los 
cuatro semestres previos. Mismas que son aproximaciones al método de resolución de 
problemas; dominio del pensamiento algebraico; análisis lógico de argumentos; 
construcción de razonamientos; planteamiento de conjeturas a partir de descubrir patrones 
 
 
15 
de comportamiento; manejo de transformaciones geométricas en el plano cartesiano 
(desplazamiento, contracciones, estiramientos, cambios de escala); e identificación de 
algoritmos y relaciones entre algoritmos. 
 Suele ser difícil comprender el cálculo diferencial cuando se promueve el aprendizaje 
en las aulas por medio de impartición de clases donde el maestro es el que trasmite su 
conocimiento en su forma muy particular de entenderlo. El alumno receptor de esta 
información muchas veces no asocia las ideas expresadas por su profesor y por lo mismo 
no las interpreta bien. No adquiere que transciendan para hacer útiles en situaciones de su 
vida cotidiana y escolar donde estos conocimiento se pueden aplicar y/o servir de base para 
desarrollar otros. 
 Es necesario acercar el aprendizaje del cálculo diferencial a situaciones físicas 
cercanas a sus conocimientos previos. Por esta razón muchos investigadores han divulgado 
la idea de que la mente construye imágenes o modelos del mundo para hacer frente a los 
asuntos cotidianos, se propone el uso de modelos matemáticos físicos, para lograr mejor 
compresión de la solución de un problema. 
 
El curso de Cálculo Diferencial e Integral I promueve en los alumnos establecer un 
primer contacto con la problemática, los conceptos y las técnicas de esta materia, mediante 
la solución de problemas y conocimiento de algunas de las aplicaciones en distintas 
disciplinas; las actividades en clase deberán favorecer: 
 El desarrollo de la noción intuitiva de límite. 
El concepto de límite es un concepto central en el desarrollo y aplicaciones del cálculo. 
El concepto se involucra al entender el comportamiento de la función cuando la 
variable independiente está "muy cerca" de un número “a” pero sin llegar a tomar ese valor. 
 
 
16 
La función f(x) va comportandose con los valores de la variable independiente (en 
este caso x) y estarán muy cerca de un número especificado que se llama “a”. 
El resultado se logra tabulando los valores de la función para valores de x cada vez más 
cercanos al número a. 
 El conocimiento de las interpretaciones de la derivada y la integral, en 
particular aquéllas asociadas al estudio de los fenómenos donde existe 
variación y cambio. 
 La comprensión de las relaciones entre el comportamiento de una función, su 
derivada y sus aplicaciones, junto con la integral, en la solución de problemas 
diversos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
Capítulo II 
Aprendizaje Basado en Representaciones Semióticas 
 
Representaciones Semióticas y los Aprendizajes 
La compresión de textos del campo de conocimiento matemático está asociado a los 
procesos de aprendizaje vinculados al análisis, conceptualización y razonamiento de 
problemas. Estos están relacionados con representaciones gráficas, simbólicas, 
algorítmicas, numéricas que se plantean para promover la adquisición de habilidades, 
destrezas con nociones y conceptos que la sociedad ha desarrollado para mejorar su calidad 
de vida cotidiana. 
Para lograrlo requiere de un lenguaje propio que describa y exprese de forma 
universal los diferentes sistemas físicos y conceptuales Tanto procesos naturales como 
artificiales requierén notaciones numéricas y simbólicas asociados a objetos físicos o 
imaginarios para describirlos. 
El lenguaje matemático se debe poder interpretar por cualesquier habitante del 
universo, independiente del lenguaje natural del mismo, para expresar las relaciones y las 
operaciones, figuras geométricas, representaciones en perspectiva, gráficos cartesianos, 
redes, diagramas, esquemas, etc. ¿Nos lleva? a preguntarnos sobre las representaciones de 
objetos e ideas que se expresan tanto literalmente como matemáticamente de entre muchas 
interrogantes se rescatan las siguientes: 
 ¿Para qué algo se le clasifique como una representación referida a un modelo físico? 
¿qué descripciones o codificaciones, debe tener? Se debe de reconocer que puede haber 
representaciones asociadas que se tienen en común y clasificarlas de forma muy diferente 
en su uso propio de ellas y así se utilizan en la resolución de un problema que son válidas 
para dicho modelo. 
 
 
18 
 
 Algunos ejemplos de representaciones comúnmente utilizadas en resolución de 
problemas matemáticos son las representaciones mentales, representaciones 
computacionales y representaciones semióticas, que juegan un papel en la cognición, y la 
clasificación de los diferentes tipos de representación. 
Tipos de Representación Semióticas 
La oposición interno-externo y la oposición consciente-no consciente, es la 
referencia que se tiene normalmente, se utilizan para caracterizar las representaciones, 
como dos formulaciones equivalentes de una misma partición de los fenómenos cognitivos, 
cuando éste no es el caso, donde hay un sujeto y el que observa una parte que al otro no 
percibe, haciendo la analogía cuando la conciencia observa algo eso al instante representa 
un objeto para la persona que efectúa esa observación 
En base a lo anterior el tránsito de lo no consciente, corresponde a un proceso de 
objetivación, para el sujeto que toma conciencia, lo cual corresponde al descubrimiento de 
la misma persona de lo que ni se imaginaba, aun que le hubieran llegado comentarios de 
otras gentes, por lo contrario las representaciones conscientes son las que tiene tienen un 
carácter intencional, al cual asignan un función de objetivación. 
Lo que es fundamental desde la perspectiva cognitiva, que promueve el papel de la 
significación y descripción de los objetos al ser observados por un sujeto, que realiza la 
apropiación conceptual de un objeto, como ejemplos la asociación de las distancias a 
números en las figuras geométricas y de los colores en los objetos es algo muy común en la 
vida cotidiana y profesional. 
 Lo que nos lleva a que la unidad simple sólo se logra bajo el modo de significación, 
al tener apropiaciones múltiples, superan lo que una persona puede apropiarse por sí sola de 
diversos datos asociados entre sí, cuando el objeto aparece como una unidad simple, la 
diferenciación de unos u otros de sus elementos constitutivos, sólo puede hacerse si esos 
 
 
19 
elementos, a sus turnos se hacen objetos susceptible de ser observados, al tomar cada uno 
de los objetos, una significación propia. 
Status y significación de objeto susceptible de ser visto o aprehendido por 
alguien, son los dos aspectos recíprocos de toda representación consciente, siendo esta la 
condición básica para la objetivación en el sujeto; da la posibilidad de tomar consciencia. 
 La confrontación entre externo e interno es el enfrentamiento, es la oposición entre 
un individuo, de un organismo o de un sistema es directamente visible y observable y lo 
que es y lo que no es. 
 Esto da las opciones de dividir el dominio de las representaciones mediante dos 
precisiones suplementarias: 
 La primera: 
 “Es que todas las representaciones llamadas “externas” son representaciones 
producidas como tales por un sujeto o por un sistema: no son síntomas, como por ejemplo 
la expresión de las emociones que se percibe en la cara, la segunda es que la producción de 
una representación externa sólo puede efectuarse a través de la aplicación de un sistema 
semiótico”, Duval (1999). 
 Al ver con las representaciones semióticas, se concluye que por su naturaleza son en 
esencia lo mismo,por lo que las representaciones externas están asociadas a estados de 
desarrollo y de dominio de un sistema semiótico, teniendo la capacidad de incorporarse a 
todos los sujetos que utilizado el mismo sistema semiótico. 
 La Segunda: 
 Las representaciones que son propias de un sujeto y que no fueron informadas y/o 
transferidas por otro sujeto, son las representaciones internas. 
 
 
20 
 Las funciones cognitivas son de comunicación, objetivación y tratamiento por que 
están vinculadas tanto las representaciones externas como internas. 
 En base a lo anterior es importante resaltar que la expresión es generalmente 
asimilada a la función de objetivación, como es independiente no hay relación para un 
sujeto, es decir a otro lo que él ya ha tenido la ocasión de hacer consciente, o tratar de 
decirse a él mismo, lo que aún no llega a tomar consciencia. Por lo que en las 
representaciones externas, la persona tiene que considerar las limitaciones semióticas y las 
influencias sociales de las expresiones generadas; en las representaciones internas es 
innecesario. Para la función de tratamiento son indispensables las representaciones 
externas, las que en los procesos de aprendizaje, vinculados a la función de tratamiento 
están asociados a un sistema semiótico. 
 El cálculo aritmético es la referencia más básica en las matemáticas, el manejo de 
los números está ligado, de forma directa por el sistema de representación o de escritura de 
los números que implementó la sociedad para su uso y beneficio. 
 A través del tiempo la sociedad ha descubierto que es necesario llevar registros 
simbólicos por medio de representaciones de números, para realizar transacciones y 
operaciones mercantiles y de diseño de equipos, así como de tecnologías. 
 Independientemente de la lengua materna que tenga una comunidad, pueblo o 
nación al relacionarse en lo cotidiano, tanto a nivel local, nacional y/o internacional. 
Resaltando que al tener registros impresos hay ventajas de ahorro de memoria de mediano y 
largo plazo a nivel individual y a nivel de las sociedades modernas se logran 
transcendencias de representaciones semióticas de constante desarrollo entre generaciones. 
 El cruce de entre las representaciones externas e internas permite distinguir varios 
tipos de representaciones específicas asociadas a ellas, resaltando las representaciones 
semióticas que son representaciones conscientes y externas. Al promover la percepción en 
el individuo de estímulos tanto impresos, como auditivos como visuales, que adquieren el 
 
 
21 
nivel de significantes, al generar una amplia y diversa cantidad representaciones semióticas 
como son: 
 
Tipos y Funciones de Representaciones 
 Interna Externa 
 
Consciente 
Mental 
Función de objetivación 
Semiótica 
Función de objetivación 
función de expresión 
función de tratamiento 
intencional 
No-
consciente 
Computacional 
Función de tratamiento 
automático o cuasi instantáneo 
 
Tabla 2. Las representaciones semióticas son a la vez representaciones conscientes y externas. 
 Las líneas, las figuras, los números, los símbolos algebraicos, los esquemas, 
gráficos, las abreviaciones constituidas mediante grafías o letras, las ideas asociadas a los 
diferentes tipos de lenguaje, etcétera. Lo anteriormente expuesto, de forma casi universal 
en dos grandes grupos: 
 Las representaciones analógicas que tienen la característica de que sus elementos 
conservan las relaciones de vecindad existente entre los elementos del modelo). “Las 
representaciones no-analógicas, como las lenguas, que no conservan ninguna relación del 
modelo pero que pueden representar operaciones o transformaciones de éste” Bresson, 
citado por la Duval (1999), priorizando el criterio de semejanza, que además de resaltar lo 
 
 
22 
común, hace énfasis sobre la diversidad y la heterogeneidad de las representaciones al 
momento de realizar sus registros y sus análisis. 
 Jean Piaget hace una investigación minuciosa acerca de los pasos sucesivos que 
atraviesa la mente infantil -desde la ausencia de imitación hasta la representación 
cognoscitiva (las llamadas categorías representativas)- basándose en observaciones directas 
que ejemplifican sus razonamientos y conclusiones, Duval (1999). 
Las representaciones se diferencian tanto por su origen de significancia, como por 
la forma que está estructurado que valida su asociación, por el número de constantes y 
variables en que puede efectuarse cada una de las representaciones. Fundamentando a las 
representaciones, es lo que da la flexibilidad y valides a su variedad de registros, aportando 
la opción de efectuar diversas formas de utilización y aplicación de la misma, en escenarios 
variados elegibles de acuerdo a circunstancias e intereses de las personas y/o las 
sociedades, resulta útil en el aprendizaje del cálculo diferencial que es parte de las 
matemáticas. 
 El hecho anterior de utilizar modelos físicos que tanto explícitamente como 
implícitamente utilizan lógica y referencias numéricas formales, como menciona Gonzalez 
de Ávila (2002) “Un modelo formal es el método de descripción finalmente exigido al tipo 
de saber inmanente sobre la Semiosis” y si “el modelo descriptivo tiene índole lógica, y su 
elaboración debe adoptar grafías matemáticas, entonces nos hallamos ante un esquema 
rigurosamente formal de los modelos semióticos” (p. 56). 
 
 
 
 
 
 
 
23 
La recta tangente a una curva 
 
Figura 7. La Recta Tangente a una Curva 
 
Como debes saber, para determinar la ecuación de una línea recta se necesita conocer 
dos puntos por los que pasa, o un punto y la pendiente. 
 
Los temas comunes a la asignatura de cálculo diferencial en los programas del 
bachillerato mexicano son los procesos infinitos, la noción de límite, la derivada con 
énfasis en el estudio de la variación, la razón de cambio, así como la derivación de 
funciones algebraicas, vinculando el comportamiento gráfico a problemas de optimización, 
en el CCH de la UNAM a estos temas se le asignan en los programas de estudio 64 horas 
de actividades de aprendizaje en las aulas. El número de horas asignadas a las nociones y 
conceptos antes mencionados es muy similar en los diferentes bachilleratos de México. 
 
 
 
 
24 
Capítulo III 
Propuesta Metodológica para el Tema de Cálculo de la Derivada 
Como primer paso se eligieron dos temas para la intervención pedagógica, que como 
estudio de caso fue el relacionado con modelos matemáticos que es de “Situaciones que se 
modelan con funciones potenciales de 1°, 2° y 3° grado” y “La representación de su 
variación en forma tabular, gráfica y algebraica”, esta tiene asignado en el programa de 
estudios una clase de cuatro horas, que es parte de la unidad II la derivada cuya temática se 
refiere al estudio de la variación y el cambio, teniendo una asignación de 16 horas, la que es 
parte de del Programa de Estudios Actual (PEA) de la asignatura del Cálculo Diferencial e 
Integral I ubicada en el quinto semestre de CCH, el propósito del aprendizaje ha dicho tema 
en el (PEA) del CCH es: 
Que el alumno pueda ser capaz de “analizar la variación y la razón de cambio 
mediante problemas cuyos modelos sean funciones potenciales de primer, segundo o tercer 
grado para construir el concepto de derivada con apoyo de procesos infinitos y la noción de 
límite”1. El (PEA) indica que al término de la intervención pedagógica se evalúen las 
nociones, conceptos, habilidades y destrezas siguientes: 
 Explica el significado de la pendiente de una función lineal en el contexto de 
un problema dado. 
 Elabora una tabla, dibuja la gráfica y construye una expresión algebraica 
asociadas al estudio de problemas cuyos modelos sean funciones potenciales 
de primero, segundo o tercer grado. 
 Identifica que una función lineal tiene variación constante, en intervalos del 
mismo tamaño. 
 Identifica queen una función cuadrática, el cambio del cambio es constante 
en intervalos del mismo tamaño. 
 
 
 
1 http://www.cch.unam.mx/sites/default/files/plan_estudio/mapa_calculo.pdf (10/04/2014) 
 
 
 
25 
Actividad de Aprendizaje 
TEMA: La Derivada Estudio de la Variación y el Cambio Actividad de Aprendizaje:1 
 
Objetivo: 
Analizar la variación y la razón de cambio mediante problemas cuyos modelos sean funciones 
potenciales de primer, segundo o tercer grado para construir el concepto de derivada con apoyo de 
procesos infinitos y la noción de límite. 
APRENDIZAJES A LOGRAR: 
 Explique el significado de la pendiente de una función 
lineal en el contexto de un problema dado. 
 Elabora una tabla, dibuja la gráfica y construye una 
expresión algebraica asociadas al estudio de problemas 
cuyos modelos sean funciones potenciales de primero, 
segundo o tercer grado. 
 Identifica que una función lineal tiene variación 
constante, en intervalos del mismo tamaño. 
 Identifica que en una función cuadrática, el cambio del 
cambio es constante en intervalos del mismo tamaño. 
 
CONOCIMIENTOS PREVIOS: 
Conceptos. 
 Reconoce en una gráfica de 
una función, el dominio y la 
imagen de la función 
 Distingue la continuidad o 
discontinuidad en un punto 
de la gráfica de una función 
 Relaciona el valor que 
debería tener la función en 
un punto con el límite de la 
función en ese punto 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
FASE DE APERTURA 
 
SOCIALIZACIÓN DE OBJETIVOS 
Establecer el concepto Modelos Matemáticos Físicos para las funciones potenciales 
TIEMPO:5/5 
ORDEN DEL DÍA 
 Revisión de la actividad extraclase. 
 Modelos Matemáticos Físicos 
 Realizar una lluvia de ideas de problemas comunes de su etorno, como viajar en un taxi, 
verter un medicamento o almacenamiento de una cisterna que una vez conceptualizados se 
pueden describir como modelos matemáticos fisicos. 
 Recapitulación 
 Actividad extraclase 
REVISIÓN DE LA ACTIVIDAD EXTRA AULA TIEMPO:10/15 
El profesor coordinará la revisión de la tarea 
 En la difinición de la función, ecuación o fórmula 
 Conocimiento de la continuidad o discontinuidad en un punto de la gráfica de una función 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
FASE DE DESARROLO 
Modelos Matemáticos Físicos TIEMPO:40/55 
PROBLEMATIZACIÓN: La explicación de los Modelos Matemáticos Físicos 
RUTA ALTERNATIVA: Crear imágenes de los modelos y dar los conceptos alternativos de los 
modelos matemáticos físicos, contestando un cuestionario. 
1. ¿Qué es una función lineal? 
2. ¿En que difieren las constante de la función lineal y la inversa? 
3. ¿ En que difiere una función, ecuación y fórmula? 
4. ¿Qué fórmulas tienen las figuras geometricas de un perímetro, área y volumen, en un 
cuadrado, círculo, triángulo? 
 
Como resultante común en la mayoría de las intervenciones pedagógicas, los estudiantes 
tienen una limitación de visión asociada a que todo lo quieren resolver por una regla de 
tres, y no se percatan de otras reglas de inversa o exponenciales. 
En base a lo anterior se promueve de forma prioritaria, la utilización de funciones 
cuadráticas vinculadas a visiones de modelos matemáticos referidos a objetos o cuerpos 
regulares existentes en la naturaleza, porque se propone partir de imágenes asociadas a la 
indicación de descripciones de sus respectivos modelos matemáticos aplicados a fenómenos 
físicos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
Un modelo es una imagen que representa al mundo real: 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8. En un proceso lo podemos también representar mediante un modelo. 
 
 
Figura 9. La comparación de la masa y el peso como fuerza. 
Realidad Modelo 
Abstracción 
Aplicación 
 
 
29 
El cambio es un proceso de estado inicial y final: 
 
Figura 10. La forma que las variables combian una aumenta y la otra aumenta ó una 
aumenta y la otra disminuye. 
 
Figura 11. La variable es el cambio, la ecuación tiene una variable o más y tiene una 
solución o más. 
 
Figura 12. Función conjuntos de pares ordenados ( ) por medio de una regla que “asocia a” 
 
 
30 
Los modelos matemáticos que se manejaron en clase fueron 
Función lineal 
 
Figura 13. Si la variable del peso aumenta tambien aumenta la presión. Una relación directa 
 
m: Pendiente “inclinación de la recta” 
 
 
 
 
b: Ordenada “eje y” 
 
Ecuación de la recta: 
 
 
Función inversa 
 
 
 
Figura 14. Si la variable del peso aumenta la otra variable disminuye el volumen. Una relación 
inversa 
k: Constante “curva hiperbólica” 
 ( )( ) ( )( ) 
Ecuación: 
 
 
31 
Función polinomio cuadrático 
 
Figura 15. De una área de un cuadrado y del circulo lo que cambia es la constante y 
 
 Constante 
 
 
 
 
Ecuación 
 
 
 
Función polinomio cúbico 
 
Figura 16. De un volumen de la esfera y el cubo lo que cambia es la constante 
 
 
y 
 Constante 
 
 
 
 
Ecuación 
 
 
 
32 
Los Cuatro Modelos Matemáticos que se Proponen para la Intervención son: 
Modelo 1. Función Líneal 
 
 Gráfica 1. El modelo matemático es una función lineal; sus constantes; pendiente m la inclinación y su ordenada b en eje y 
 
y= x+1
 
 
33 
Una relación directa, la variable aumenta y la otra aumenta. 
Estado Variable 
Independiente 
Variable 
Dependiente 
Ecuación 
 
Puntos Pendiente 
 
 
Ordenada 
i A(0,1) Constantes 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
ii B(1,2) 
iii C(2,3) 
iv D(3,4) 
 
Función lineal ( ) 
Solución: 
 ( ) 
Tabla 3. se ve la identificación de las variables, la función y la ecuación. Para tener el modelo 
matemático. 
 
Figura 17. La imagen 2 muestra el movimiento de un auto: posición inicial [metro] 
“ordenada” y una velocidad* 
 
+ “pendiente”. Tomando tiempo y distancia 
“variables”. Así 
 [
 
 
] [ ] 
 
 
 
 
 
 
 
34 
Modelo. 2 Función inversa Hipérbola 
 
 Gráfica 2 modelo matemático es una inversa su curva es una hipérbola por lo cual se tiene una constante k. 
 
 
 
y= 2
x
 
 
35 
Una relación inversa, la variable aumenta y otra disminuye. 
Estado Variable 
Independiente 
Variable 
Dependiente 
Ecuación 
 
 
 
 
Puntos Constante 
 
i 
 
 
 A(1,2) ( )( ) 
ii 
 
 
 B(2,1) 
( )( ) 
iii 
 
 
 C(3,0.667) 
( )( ) 
Función Inversa 
 ( ) 
 
 
 
Solución: Ecuación 
 
 
 
 
 
 
 
Tabla 4. La identificación de las variables, la función y la ecuación. Para tener el modelo 
matemático. 
 
 
 
 
 
 
Figura 18. La imagen 3 muestra el cilindro y una pared movil, Presión que aumenta y el 
Volumen que disminuye; así que la Presión 1 por el Volumen 1 es igual a la Presión 2 por el 
Volumen 2. Sus resultados Presión por Volumen es la constante, quedando: 
 
 
 
 
 
36 
Modelo 3. Polinomio cuadrático 
 
 Grafica 3. El modelo matemático de la función cuadrática, 
 
y= x2
 
 
37 
Una relación directa, la variable aumenta y la otra aumenta exponencial. 
Estado Variable 
Independiente 
Variable 
Dependiente 
Ecuación 
 
Puntos Vértice y Raíces 
i A(0,0) Vértice 
V(0,0) 
Raíces 
 
ii B(1,1) 
iii C(2,4) 
iv D(3,9) 
 Función cuadrática ( ) 
 Tabla 5. se ve la identificación de las variables, la función y la ecuación. Para tener el 
modelo matemático. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 19. De una área de un cuadrado y del circulo lo que cambia es la constante y38 
Modelo 4. Polinomio cúbico 
Grafica 4. El modelo matemático de la función cubica. 
 
 
 
39 
En una relación directa, la variable aumenta y la otra aumenta exponencial. 
Variable 
Independiente 
Variable Dependiente Ecuación 
 
Puntos Vértice 
Raíces 
 R(0,0) Vértice 
V(0,0) 
Raíces 
 ( ) A(1,1) 
 ( ) B(2,8) 
 ( ) E(3,27) 
 ( ) 
 ( ) 
Función cuadrática ( ) 
Tabla 6. se ve la identificación de las variables, la función y la ecuación. Para tener el modelo 
matemático. 
 
Figura 20. De un volumen de la esfera y el cubo lo que cambia es la constante y 
 
 
 
 . 
 
 
40 
La Derivada fue originada por un problema de Geometría 
El problema es hallar la tangente en un punto. 
 
La función de una recta ( ) y la función potencial ( ) 
 
 ( ) y ( ) 
La pendiente de la recta 
m: Pendiente “inclinación de la recta” 
 
 
 
 
 
 
41 
si los dos puntos que coresponde a la recta ( ) ( )
 
 
y tambien le corresponde los puntos a una función potencial. 
 
 
 
 ( ) ( )
 
 
si ahora la recta es tangente a la función potencial y la pendiente de 
de la recta es ( ) ( )
 
 
 
 
 
 ( ) ( )
 
 
 ( ) ( )
 
 si 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
42 
 
En álgebra elemental se tiene la identidad que es una consecuencia 
inmediata de la propiedad telescópica de las sumas finitas. 
( )∑ 
 
 
 ∑( ( ) )
 
 
 
 
 
 ( )∑ 
 
 
 
 
 
 
 ( )∑ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )∑ 
 
 
 
 
 
 
∑ 
 
 
 
 
 
( 
 
 ) 
 
 
De esto resulta: 
 
 
De modo matematico 
 
 
 ( ) 
 
 ( )
 
 
 
 
43 
Derivada de una función 
 
Gráfica 5. El modelo matemático de la función cuadrática. 
 
 
44 
Variable 
Independiente 
Variable Dependiente 
 ( ) 
Variable Dependiente 
 ( ) 
m: Pendiente “inclinación de 
la recta” 
 
 ( ) ( ) 
 
 ( ) ( )
 
 
 
 ( ) ( )
 
 
 ( ) ( ) 
 
 ( ) ( )
 
 
 
 
 ( ) ( )
 
 
 
 
 ( 
 )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( 
 
 ) ( )
 
 
 
 
 ( )( ) ( )
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) ( )
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
Nos da la derivada de la función cuadrática 
 
 la pendiente de la recta en cualquier 
punto. 
 ( )
 
 
 
 
45 
Problematización 
Una vez que se realiza el proceso de análisis y reflexión de los modelos propuestos en la 
sesión se les dan a los estudiantes, en equipos de máximo cinco personas, 50 minutos para 
que resuelvan dos problemas asociados a los modelos matemáticos físicos, siendo el 
primero el siguiente: 
1. En un servicio de taxi en cierta ciudad se debe pagar $10.00 de “banderazo” 
y $4.00 por kilómetro. Sea d la distancia 
recorrida por el taxi, y P el importe por pagar. 
 
a) Completa la tabla de este problema. 
b) Usando los valores tabulados, trace la 
gráfica P y d. 
c) Por medio del gráfico, determine el precio 
de un servicio de 3.5 km. 
d) ¿Cuál es el tipo de relación entre P y d? 
e) Escriba la relación matemática que 
relaciona P y d. 
Se indica a los alumnos que resuelvan el primer ejercicio en un lapso máximo de 
diez minutos y se procede hacer una plenaria donde se unifica la propuesta de las figuras 21 
y gráfica 1 con lo que los estudiantes propongan. 
 
Figura 21. servicio de taxi en cierta ciudad 
Distancia 
(km) 
Importe P 
(pesos) 
0 
1 
2 
3 
4 
 
 
46 
 
La explicación que di fue mencionar que hay una constante y es la inclinación de la recta y 
para obtenerla; ellos recuerdan la fórmula de 
12
12
xx
yym


 y recordando que una línea recta 
se representa por la función bmxy  donde m: es la pendiente que es la constante, la b 
que es la ordenada es el valor del eje y donde cruza la recta. 
 
Grafica 6. Sea d la distancia recorrida por el taxi, y P el importe por pagar. 
410  xy
 
Una vez que se realice la plenaria del ejercicio 1, en un tiempo no mayor de diez 
minutos, se les pide que los alumnos que resuelvan el ejercicio 2, en no más de 10 minutos 
y posteriormente se procede a la plenaria respaldada con la figura 19 y gráfica 3, utilizando 
los 10 minutos restantes. 
 
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4
 
 
47 
2. Un carpintero fabrica discos de madera con diámetro de 10 cm y de 20 cm, 
ambos con el mismo grosor. Siendo $10.00 el precio de los discos más 
chicos, ¿cuánto deben costar los grandes? 
Al proponer un modelo de un cuadrado de un círculo se observó mejor la 
visión de su error cometido. 
 
 
 
 
 
Figura 22. discos de madera con diámetro de 10 cm y de 20 cm, ambos con el mismo 
grosor. 
Se ve que el modelo matematico es una función cuadratica. Su constante de 
porporcionalidad, 
 
 el más chico su constante 
 
 
 
 
 
 
 
 
Su modelo matemático 
P=10 pesos
cm2
é
ë
ù
ûl
2
 
Sustituyendo 
P=10 pesos
cm2
é
ë
ù
ûl
2 =10 pesos
cm2
é
ë
ù
û2
2cm2 = $40
 
 
 
 
 
48 
 
Grafica 7. El modelo matemático de la función cuadrática. 
 Resolviendo matemáticamente: 
Área del cuadrado Area del circulo 
 
 
 La diferencia es la constante de proporcional 
 Y su modelo es 
Una vez que se tienen las evidencias de los análisis y resoluciones donde los 
alumnos proponen sus propios modelos matemáticos y físicos y se realizan asesorías por 
parte del maestro a cada uno de los equipos de trabajo y se les deja de tarea a los alumnos 
los ejercicios 3, 4 y 5 que se les apoya con las figuras 18, 20, y gráficas 2, 4. De esta 
manera se les indica que utilicen los modelos y con los datos hagan tablas con las cuales 
procedan a elaborar sus gráficas, especificando las magnitudes físicas asociadas a las ejes 
de las abscisas y al eje de las ordenadas. 
-48
2
52
102
152
202
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
Series1 Series2
 
 
49 
3. Suponga que la cisterna del abasto de agua de una casa es cúbica y tiene un 
volumen de 2,700 litros. Si el depósito fuese sustituido por otro, también 
cúbico, con una arista tres veces más chica, entonces: 
a) ¿Cuántas veces menor será el volumen de la nueva cisterna? 
b) ¿Cuántos litros de agua se podrían almacenar? 
 
Figura 23. El modelo matemático de la función cubica, representando una cisterna cubica. 
podemos mencionar que tambien es proporcional pero cúbico por lo tanto tenemos que el 
volumen de un cubo es que seria el area de un cuadrado por la altura de uno de sus 
lados , por lo cual su altura se tiene . Por lo tanto . 
Esto nos da si se reduce una de sus ariata tres veces menos se tiene 
 
, se tiene en nuestra 
formula (
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 
4. Se sabe que el volumen de gas, al cual se le mantiene a una temperatura 
constante, es inversamente proporcional a la presión ejercida sobre él, 
considere 100 cm3 de un gas sometido a una presión determinada, al 
mantener su temperatura constante y hacer que la presión sobre el gas se 
vuelva cuatro veces mayor. 
 ¿Qué volumen ocupará? 
La relación es inversa; de una variable aumenta y la otra disminuye 
 
Gráfica 8. K es la constante de proporcional de la hipérbola. 
K es la constante de proporcional de la hipérbola. , ahora es si 
tenemos que el volumen es de y la . Podemos calcular su constante de 
manera quey que la constante sigue siendo igual , esto 
me da que , por lo tanto 
 
 
 
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
0 1 2 3 4 5
 
 
51 
Referencia a problemas inversamente proporcionales V vs P 
5. Un medicamento debe administrarse a un enfermo en dosis de ocho gotas a 
la vez, empleando un cuentagotas. Como no se dispone de él, se usa otro que deja 
salir gotas con un diámetro dos veces mayor. En este caso, ¿cuántas gotas deberán 
administrarse al paciente? 
 
La gota es una esfera y por lo tanto tenemos que se puede dar un modelo del 
volumen de una esfera equivalente a volumen de un cubo que a su vez se puede 
dividir en cubos menores que sumados nos dan tanto el volumen del cubo como el 
de la esfera En total de cubos. 
 
Figura 24. El modelo matemático de la función cubica, representando la gota. 
 
 
 
 
52 
FASE DE CIERRE 
RECAPITULACIÓN TIEMPO:10/95 
Se hace una exposición por parte del profesor, con su visión extendida por su interacción con sus 
estudiantes de la forma más valida de los modelos matemáticos físicos asociados a cada uno de los 
problemas, a nociones y conceptos de ecuación, función y fórmula, resaltando que la función lineal 
se puede representar físicamente. 
ACTIVIDAD EXTRAAULA 
Evaluación 
La parte que promueve el interés de aprendizaje de los estudiantes es la 
evaluación por lo que se plantea, un examen vinculado a los aprendizajes 
deseables en los estudiantes de Cálculo Diferencial I con referencia específica a 
los modelos matemáticos físicos asociados a nociones y conceptos de ecuación, 
función y formula, priorizando la función lineal representada físicamente. 
El examen debe constar de preguntas abiertas. El examen propuesto está en el 
anexo 4 y el examen resuelto por el profesor en el anexo 5. 
TIEMPO:5/100 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
Capítulo IV 
Informe de la Intervención Pedagógica en el Tema de Cálculo de la 
Derivada 
Fase de apertura los alumnos se involucraron en la dinámica propuesta metodológicamente 
resaltando que la relación de variables pueden ser de dos formas directa e inversa, una 
variable aumenta y otra aumenta o disminuye. La relación directa es una línea recta que 
tiene como constantes la inclinación de la recta que tanto está inclinada y su ordenada que 
tanto está fuera del origen. 
 La otra relación es la inversa y en forma proporcional se representa por medio de la 
curva de la hipérbola, es la constante de proporcionalidad. 
 La variable independiente y la variable dependiente son los puntos localizados en un 
plano cartesiano, solo las relaciones de las variables ya sea directas o inversas, al gráficar 
nos dan la imagen de la función de la ecuación. 
 
Figura 25. Los modelo matemático de la función directa e inversa.
 
 
54 
 El modelo matemático se presentó de una forma como ya lo conocen. 
 
Figura 26. El modelo matemático se presentó de una forma física de un cilindro que representa una pared movil.
 
 
55 
 El complemento de lo físico y lo matemático. Demostraron más interes, logrando su aprendizaje. 
 
Figura 27. El modelo matemático se presentó de su forma directa e inversa.
 
 
56 
 
Figura 28. Los ejercicios que resolvían estaban motivados para lograr resolverlo
 
 
57 
 
Figura 29. En las fotos se tienen las evidencias de las habilidades nociones y conceptos que el estudiante ha aprendido de forma significativa al 
resolver de forma asertiva de los ejecicios referida a la función lineal. 
 
 
58 
 
Figura 30. En las fotos se ve que los estudiantes tiende a resolver el ejrcicio sin dudar.
 
 
59 
 
Figura 31. En las fotos se tienen las evidencias de que cada estudiante ha aprendido de forma significativa a reconocerse como persona capaz de 
enfrentar a la pregunta de los ejercicios. 
 
 
60 
l 
Figura 32. En las fotos se tienen el compromiso como valor que el estudiante a aprendido de forma significativa al resolver de forma asertiva a la 
pregunta. 
 
 
61 
 
 
Figura 33. En las fotos se tienen las evidencias del compromiso como valor que el estudiante a aprendido de forma significativa al resolver de 
forma asertiva a la pregunta del examen referida a la función cúbica.
 
 
62 
Resultados de exámenes del grupo intervenido: 
 
~ 
Nombre: \..?,.~ Gr->Q1'=>fl') l2.olQ Grupo'E.~:!!:;;;;;¡;-;:;;"C~.""~fi"'~;X¡¡"::';;"",é./r"(c;;;;-¡;",,,,,:;-;;",,:-____________ _ 
I NSTI(UéCí~Lee cuid"do.'lllmente los e nunciados y ';ont ",~IU lo que se lt' pi "y tener que !le"". la Ulbla 
Un u"ión con un" velocidad de 870 7' hnce un rccorri<.lo en dos h"nl~ y quince mi"ulos. ¿A que vclocid!\d debe vol .. r p"ru t",ecr el 
mi~mo recorrido en dOl< horas:l 
"F'."""O~r--'v'.T,--r--vvo.O·C--"E"<C, .. OO,oo •• --" C'oc."c.."".O"~,,;'CG~ru"fiC,O.e"C,"';7,ruO"O,"'.O"C.------------ -----
Ticn'".. VcJocidud " _ ~ k ... vt Función Jow" ..... Mod.:lo matemático 
t[hQn,s ] v [~]~ r 
t o lb .::: t V, 
I l i:51s,o, =1,,-) v: 
19 "" .2= LI . 
¿ 
9 'i'S. "'-"'= U. 
-- '--:z'.7. 
- ' \" 
----
- ~:~:.: .... l .. l .. 
- • •• 1 • .• , •• + .. + .. - --_······!··r . r----_ 
2. Construya una gráfica de la fu nción Hnenl con una pendiente de 2 )' la ordenada de posición I del origen. 
estlldo x y EClIlIcion CO'U"lfll/tes 
fit0oz.y+¡ Pendiente: d~ -d, v~---
t 2 - t, 
Ordclluda: c1n - d ve 
I x, o '::lo" I --' l(p)+I::..1 ~ v~~" +~ 
ii x, 1 9. ~3 - ¿o:",-(z) {' )o3~~ / Z<.\).l ' =3 
¡¡¡ x, 2 ~,::. <S / Zt.z.)H:5 V= z., do= , / 
Iv x, 3 '1, O'" - U,.3).1 ::-1- = -7" 
F""ció" IIf,eal Ee'UleM" 
ft1o~'; ";:'II;mópco SOIUción~~:- ~~;:i ' / 
;)<. 
8 ;;r G ~ _. - - I : I . -- , 
l, 
, . , , . , 
: ¡ • 
, • -3 ~ ~ '" )<. ¿---
 
 
63 
 
 
J. Dos ciclistas se encuentran separados por 126 m en línea recta cuando deciden ir uno al encuentro del otro. El primero con una 
velocidad de 7~, Y el otro con una de 14 ~n sentido contrario. Tabule y grafique el tiempo y la posición al encontrarse. 
seg seg 
Estado Tiempo 
t[segundos] 
Función lineal 
Ciclista 1: 7.'f 
Cisclita 2:..f'!x mG 
Distancia 
Ciclista 1 
d[m] 
- --~- "-
~~ ._----- - I 
3° I I --- - - -
Z~ I I 
I 
W - --- -- I I I 
I~ - - -- I I 
I t I 10 
V I I I I > I i : i I 
I ? 3 1 ~ , 
Distancia 
Ciclista 2 
d[m] 
~ (~I A 
. d2- d, Pendiente: v = -
12- 1, 
Ordenada: do = d, - vt, 
~ l\, IQ) . ~ 
Constantes 
I 
~, Be¡ =-- 1 I ) 
ro I J 
'T 
~ r- I J , I 
~o I I I ¡ 
I 
10 
I I I I I 
I 1 I I I 
V I ¿ J r 5 
I 
I , . 
G ) ~V V 
 
 
64 
 
 
1, Un a~ón con una velociaaa ae 810~, nace un recorriao en dos ooras y , e minutos, lA ~ue velocidaa delJe volar para nacer el 
mismo recorriao en dos horas,1 
Estaao V.I V,O Ecuación Constante Grafica ae la función, 
TiemJXI Velociaaa k k = vt Función Inversa Moaelo matemático 
¡[horas] v[~lf v=¡ 
1 ~~l}1.lí , , 
to = 1,1\ VD = 870 =lg)1.' " .. Solución 
" 
t1=1 vI = ~ 
ti = ¡ horas ,""" 11 
~¡:~1'~ 
vl = ~ :1~l,5 " .. , 
~lOxnS: '~'t.s '=://- "" 
~ 1 " "'" --.. ...... . 15 ... , , , 
" H 
, , 
"'" 
·······T~ · · , 
150 
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·_-···· .. r··T'·· , , , ' 1/ .. ti I I ···· · · · ·· : ···' .. ·T· ·· I I I I ........ p-_.: .... ~ ... ¡ ... 
I I I I 
I I I I 
~2:1q~B "'" 
l' , , , , , , , , , , , , , , , 
l' , , , 
" 
' , , , , 
"'" ... ... ... ... ... 
 
 
65 
 
 
A~v; ~ ~efV16'i\óet Jesús A \ ~edo 
2. Construya una gráfica de la función lineal con una pendiente de 2 y la ordenada de posición 1 del origen. 
Estado x y Ecuación Constantes 
. d, -d, 
PendIente: V = -
t,-t, 
Ordenada: do = d, - vt, 
I Xo = O ~~: 1 / ~o: 2xot 1 
v:tt~f:Y 
11 Xl = 1 ~d ~1:2x¡tl / 
111 Xl = 2 ~d ~2:ix.1.t l' do: 3 -( 2.)(1):~ / 
IV X3 = 3 ~3~1 J ~F2.)(3t 1 
Función lilleal Ecuación 
Modelo matemático Solución: ~: 1x+ 1 
\(x) :1.)(f1 
~ 
" 
5 • 
~ 
3 • / 
~ 
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• 
i 2 3 
 
 
66 
 
 
J. Dos ciclistas se encuentran separados por 126 m en línea recta cuando deciden ir uno al encuentro del otro. El primero con una 
velocidad de7."1., Y el otro con una de 14 ."!.en sentido contrario. Tabule y grafique el tiempo y la posición al encontrarle. 
se9 se9 
Estado Tiempo D~/ancia D~tancia Conslanles 
t[segundos] Cicl~/a 1 Cie/ista 2 d,-d, Pendiente: V = -
d[m] d[m] t,-t, 
Ordenada: dn = di - vt, 
I t, = O d, = O d, = 126 Yl: q8-11t:~Ii:-N {¡:1 ,1 / 01: 11t ' VI'1~-Ll_i 11 
1.:1 1 
111 11:l t;J1 / ¡, tW f íT- 1-
IV {1: , j.,~¡ 1 f 1\' 84 I 
V tH t\.¡: lB I \~, :¡o f do: 112-('1~)( ¡):II1-ff~) VI tí 5 T;; ~5 I ll: 5( / do: i-+(1):1-1:0 
'1 ii -}d: Ol: iZ ' : ~1 / : I1ZTf~:126 
F nnción lineal EClIación Solllción: ~r fX : l(6):~~ Cie/~ta 1: \[~): t)( Cie/isla 1: ~: ~ X 
Cise/ita 2: í(~): 116-11x I C~clita 2: ~: 12b -~ ~; IU-¡4x: rJ6 - 1~ (b):11b ·(S~): W 
mr\ 
IU • 
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¡l 
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1/' " " 1 
0"rr~ \ l ~ ; R q-jo -
 
 
67 
 
 
Calificación: 
INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente los enunciados y contesta lo que se te pide X ten r ue llenar la tabla 
1. Un avión con una velocidad de 870~, hace un recorrido en dos horas y quince minutos, iA que velocidad debe volar para hacer el 
mismo recorrido en dos horas,? 
Estado VI V,D Ecuación 
Tiempo Velocidad k 
t[horas] 
v[;] 
v=-
t 
1 
to = 2,25 Vo = 870 
Solución 
II / t¡ = 2 horas 
v¡=ij t¡ = 2 
v¡ = ~r 
Ut q810Wl~L I%t( 
~t : 1. 11: 1~~li; ~lB,1) ~ / 
tt ~ 
Constante 
k = vt 
K, ~oJj 
I 
qtl 
Grafica de la función, 
Función Inversa Modelo matemático 
,,~ 
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, , , I 
~ 
I , I I 
, I I I 
! : : : : , ... ... "'" ""' ~ . , ... 
 
 
68 
 
 
2. Construya una gráfica de la función lineal con una pendiente de 2 y la ordenada de posición I del origen. 
Estado x y Ecuación Constantes 
. d¡-dl 
y, ",d1 Pendiente: V = -
/ 
t¡ - t1 
Ordenada: do = d, - vt, 
I Xo = O rü: I Yo' ;(0)t I 
11 Xl = 1 
J 
/ V,: ~(1)tl j': 
111 X¡ = 2 h: 
; / Y)~;(J)ll ~ 
IV Xl = 3 Yl; T / 1
1
,10)11 
Fuuciólllilleal EcuaciólI 
Modelo matemáti\fJ Solución: ~ ~X,'" 
I ~j\ __ ,H' í(~Jitl j <YI 
10 
j 
i 
1 
¡ , / \ , 
¡ 
1 
~ 
IllIH !& \ 16 
- -
 
 
69 
 
 
1: 1 J. Dos ciclistas se encuentran separados por 126 ID en línea recta cuando deciden ir uno al encuentro del otro. El primero con una 
\ velocidad de 7 ~, Y el otro con una de 14 -"'-en sentido contrario. Tabule y grafique el tiempo y la posición al encontrarse. 
sel seg 
Eslado Tiempo 1 Dislancia Dislancia Conslanles 
t[segundos) Cie/isla 1 Cie/isla 2 d,-d l Pendiente: V = -
d[m) d[m) t, -tl 
Ordenada: do = d, - vt, 
I t, = O eL. = O d, = 126 
11 /.:1 J, - l ' J,: 112 / 
111 1.<1 1,;,,1 -¡ - 11 I 
IV 1,: I n, ; 11/ L i, . 
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VI {l. 5 J. > t> d,-s" 
u;¡ I.-¡- l.,. ~t · i.. ~1 1 
Función lineal Ecuación Solución: ~ Gr(U!t11 roq o 11 ~ Cic/ista 1: O~ 1 ( t) ,/ Cic/isla 1: o: V'l / U' o;llooc~ COI ¡~ li0" ¡rt 01 'S 
Cisc/ita 2: ~: IAó ~t) Cisc/ita 2: /; t¡¡ '¡oj, U, 
jirfO tl« ~ 
I¡ 1) 
11 ~ 
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1 : : ¡ .I I '--1---: - 1.- -. ~i)\QI\d~ , , 
1 10 I~ tO llll )\ ~O ~b lo 
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~ 'IiIO 11 ¡O ,r ~ ~ ft'¡ i\ ~ ~ 'H\ I~II!~ U Ii) 
 
 
70 
 
 
 
 
((; 
Nomore: , ¡), Grupo: Calificación, ¡' 
INSTRUCCJO 'ES : Lee c' adosamenle los enunciados y conlesta lo que se le pide ~er que llenar la /aola 
1. Un avión con una velocidad de 870 ¡, hace un recorrido en dos horas y quince minulos. lA que velocidad deile volar para hacer el 
mismo recorrido en dos horas.j 
Estado V.I V.D Ecuación Conslante Grnfica de la función. 
Tiempo Velocidad k k = vt Función Inversa Modelo malematico 
t[horas] v[~l 
v=-
t 
I , , 
to = 1.15 Vo = 870 _. 
í Solución 
11 
"1q 
t¡ = 1 horas "'" 
t¡ = 1 
v¡ = MB .iS~ , '''' 
v 
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¡ ! ' , , , , , v~ Q¡5. 7Se ... ' , , , ¡... ... ... ... In ... 
 
 
71 
 
2. Construya una gráfica de la función lineal con una pendiente de 2 y la ordenadade posición 1 del origen. 
Estado x y 
I Xo = O O I -
11 Xl = 1 2 " 
111 Xl = 2 
CI ·1 
IV Xl = 3 b J 
Función lineal Ecuación 
Modelo matemático Solución: . r 
P; l x ' L\~ 
J 
i 
., I I ' 
I ¿ 3 
Ecuación Constantes 
bt. 
-
. d¡ -d, 
Pendiente: V = -
t2-t, 
Ordenada: dn = d, - vt, 
(J' 1 1 ! . 
, I,~ ) 
1 lLIl ) 
j'\-L/J) . 
! t , 1 
I , 2 ) I~ I 
\ 
 
 
72 
 
 
 
3. Dos ciclistas se encuentran separados por 126 m en línea recta cuando deciden ir uno al encuentro del otro. El primero con una 
velocidad de 7 ..':!., Y el otro con una de 14 ..':!.en sentido contrario. Tabule y grafique el tiempo y la posición al encontrarse. 
seg seg 
Estado Tiempo Distancia Distancia Constantes 
t[segundos] Ciclista 1 Ciclista 2 dI -dI Pendiente: v = -
d[m] d[m] tI - tI 
Ordenada: do = d, - vt, 
I to = O d = O d = 126 
11 .: \ 'ti' / I ty / 
Jll r1" 1 \~ Ir. / ( h"- ( 
IV h:~ i PI ( g r / 
V ~Q · 1 ¡/ti I 7Q ~ 
VI 11:5 - ~ ji; I J'" 
~t·~ ~7. - <12 ,/ 
Fnnción lineal Ecnación Solnción: 
Ciclist~ Cicl~ r ci X~ i 0s ~ ~2(l\ I olLl 
Cisclit~: f Ci!tf I?~·Y\\ I :'\1k- ~; I 
.. - ¡j , 'le I 
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73 
 
 
/1 
Nomore: { calificaci '« 
INSfRUCCI ES: Lee cuidadosamente los enunciados 1 contesta lo que se te pi e y tene ue llenar la taola 
1. Un avion con una velocidad de 81~~, hace un recorrido en dos hOl1ls y quince minutos, ¡A que velocidad deoe volar para hacer el 
mismo recorrido en dos horas, j 
E~ado V.I v.o Ecuación Constante Ornfica de la función, 
Tiempo Velocidad k", k: vt Funcion Inversa Modelo matematico 
t[horas) v [~l 
v:-
h 
1 , , 
to : 1,1\ Vo : 810 , .. 
Solucion 
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74 
 
 
2. Construya una gráfica de la [unción lineal con una pendiente de 2 y la ordenada de posición I del origen. 
Estado x y Ecuación Constantes 
. d¡-dl 
Pendiente: V = -
t¡-tl 
Ordenada: do = d, - vt, 
I Xo = O 
~ ~ ,"" "-
11 XI = 1 '\ , '\ 
---
111 Xl = 2 
, 
IV X3 = 3 ~ 
Función lineal Ecuación 
Modelo matemático Solución: \ , 
-........... 
~ 
........ 
 
 
75 
 
 
3. Dos ciclistas se encuentran separados por 126 m en línea recta cuando deciden ir uno al encuentro del otro. El primero con una 
velocidad de 7.:':, Y el otro con una de 14':;n sentido contrario. Tabule y grafique el tiempo y la posición al encontrarse. 
l'g l'g 
Estado Tiempo Distancia Distancia Conslantes 
t[segundos] Cie/ista 1 Ciclisla 2 d, -dl Pendiente: V = -
d[m] d[m] t,-t l 
Ordenada: do = d, - vt, 
I to = O do = O qo = 126 I 
ti 1; I ' 1 J\:- ~, I 
lit l )11, ~"'~' IV ,? ; t /l ( 
v IL : : t{ i --" 
VI U: ~\' 
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FlInción lineal " ECllación Solllción: Ciclista 1: '\ Ciclista 1.\ ,~ 
Cisclita 2: . ~ L '--' Cisclila 2: ~ 
dp )~ ' Vt1 I 
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I Z 6 ~ :d\ ·(M '~ ) , -Ilq \ ,.l~ ---,.-, í ( . ' 1 II r ' " 
 
 
76 
Análisis de resultados del grupo intervenido 
La evaluación a los alumnos(as) del grupo sabatino ET-41 turno matutino del plantel 
Azcapotzalco de la Escuela Nacional Colegio de Ciencias y Humanidades (ENCCH)de la 
UNAM, fue de tres reactivos, el primer reactivo consta de dos incisos mostrando una 
relación inversa en un gráfico, por ello la imagen fue la causa que se atrevieran a 
contestarla y buscar el valor determinado. La segunda pregunta fue una relación lineal con 
tres incisos y su contexto fue más matemático comparando con las dos preguntas, por ello 
pocos contestaron correctamente en ambos grupos. También esta segunda pregunta fue en 
la que el grupo no intervenido no tuvo quien la contestara bien, este hecho se debe a que su 
capacidad de relacionar una ecuación lineal o una función lineal en un gráfico, no esta bien 
desarrollada y por lo tanto se tiene la evidencia que es necesario proyectar más aprendizajes 
significativos, en temas posteriores de la asignatura de calculo diferencial I, donde se 
promueva incrementar la capacidad en el estudiante de comparar objetos físicos 
estableciendo analogías en su entorno mediante modelos semióticos y matemáticos 
asociados intrínsecamente y explícitamente en la resolución de esto reactivos. 
En el primer reactivo que constó de dos incisos, se ubicó que en el primer inciso, 
relacionado con el tema de la definición de la constante de una función inversa, notándose 
que la mayoría de los estudiantes del grupo intervenido, la contestaron correctamente, este 
hecho se evidenció al obtenerse un porcentaje del 70.4%, de estudiantes que la contestaron 
asertivamente e incorrectamente el resto de los alumnos se ubicaron dentro del porcentaje 
restante al 100%, que fue de 29.6% y el porcentaje de los que no contestaron fue nulo esto 
quiere decir del 0%. Y en el segundo inciso relacionado con el tema de la gráfica de la 
función inversa de encontrar el valor esperado con datos correspondiente, se notó que la 
mayoría de los estudiantes del grupo intervenido la contestaron correctamente; se evidenció 
al obtenerse un porcentaje del 74.1%, de estudiantes que la contestaron asertivamente e 
incorrectamente el resto de los alumnos se ubicaron dentro del porcentaje restante al 100%, 
(en el segundo inciso contesaron correctas 74.1%, e incorrectas 22.2% y no contestaron 
3.7%. 
 
 
77 
Por consiguiente la evidencia valida que el apoyo en semiótica para el logro de 
aprendizajes de las nociones y conceptos que necesariamente se tienen que tener 
previamente para comprender y asimilar significativamente los aprendizajes del 
cálculo diferencial I de programa de estudios de la ENCCH y del bachillerato 
mexicano. 
En el segundo reactivo relacionado con el tema de la conceptualización de la 
función lineal asociada a fenómenos físicos de la vida cotidiana comunes de la edad de los 
estudiantes del bachillerato, que constó de tres incisos, se ubicó que en el primer inciso se 
pidieron los valores de las ordenadas al origen referidas asociadas a tres abscisas que se 
que se dieron como datos, notándose que la mayoría de los estudiantes del grupo 
intervenido, la contestaron correctamente, lo cual se evidenció al obtenerse un porcentaje 
del 66.7%, de estudiantes que la contestaron asertivamente e incorrectamente el resto de 
los alumnos se ubicaron dentro del porcentaje restante al 100%, que fue de 29.6% y el 
porcentaje de los que no contestaron fue del 3.7%. 
En el segundo inciso con los datos de las abscisas y ordenadas se les pide que 
obtengan la ordenada al origen y la pendiente para que describan algebraicamente la 
función lineal, se notó que la mayoría de los estudiantes del grupo intervenido, la 
contestaron correctamente, lo cual se evidenció al obtenerse un porcentaje del 51.9%, de 
estudiantes que la contestaron asertivamente e incorrectamente el resto de los alumnos se 
ubicaron dentro del porcentaje restante al 100%, por lo que en el segundo inciso correctas 
51.9%, incorrectas 14.8% y no contesto 33.3%. 
Así como en el Tercer inciso con los datos de las abscisas y ordenadas y la 
ecuación correspondiente grafique la función lineal, se notó que la mayoría de los 
estudiantes del grupo intervenido, la contestaron correctamente, lo cual se evidenció al 
obtenerse un porcentaje del 66.7%, de estudiantes que la contestaron asertivamente e 
incorrectamente el resto de los alumnos se ubicaron dentro del porcentaje restante al 
100%, por lo que en el segundo inciso contestaron correctas 66.7%, incorrectas 
29.6% y no contesto 3.7%. 
 
 
78 
Dada da la evidencia del inciso 1, donde se muestra el alto beneficio del uso de la 
semiótica como herramienta auxiliar para logros de aprendizajes del cálculo 
diferencial I. 
 En inciso 2 la evidencia manifiesta, que se debe incrementar y promover en los 
temas siguientes vinculados a la asignatura del cálculo diferencial I, promoviendo el 
apoyo a la obtención de aprendizajes significativos, mediante la semiótica para el 
logro de aprendizajes de las nociones y conceptos que necesariamente se tienen que 
tener previamente para comprender y asimilar significativamente los aprendizajes del 
cálculo diferencial I de programa de estudios de la ENCCH y del bachillerato 
mexicano. Se resalta que la gráfica pudieron elaborarla sólo con los datos de las 
abscisas y las ordenadas, empero la pendiente y la ordenada al origen sólo la podrían 
obtener mediante la ecuación de la función lineal, obteniendose mejores resultados en 
el inciso tres que en el dos. 
 En el tercer reactivo relacionado con el tema de la conceptualización de la función 
lineal asociada a fenómenos físicos de la vida cotidiana comunes de la edad de los 
estudiantes del bachillerato, que constó de cinco incisos, se ubicó que en el primer inciso 
se pidieron que tabule en una tabla los valores de las abscisas y ordenas del primer ciclista, 
dos abscisa que se dieron como datos, notándose que la mayoría de los estudiantes del 
grupo intervenido, la contestaron correctamente, lo cual se evidenció al obtenerse un 
porcentaje del 96.3%, de estudiantes que la contestaron asertivamente e incorrectamente el 
resto de los alumnos se ubicaron dentro del porcentaje restante al 100%, que fue de 3.7% y 
el porcentaje de los que no contestaron fue 0.0%. 
En el segundo inciso se pidieron que tabule en una tabla los valores de las abscisas 
y ordenadas del segundo ciclista con los dos datos de las ordenadas, se observa que la 
mayoría de los estudiantes del grupo intervenido, la contestaron correctamente, lo cual se 
evidenció al obtenerse un porcentaje del 70.4%, de estudiantes que la contestaron 
asertivamente e incorrectamente el resto de los alumnos se ubicaron dentro del porcentaje 
 
 
79 
restante al 100%, por lo que en el segundo inciso contestaron correctas 70.4% e incorrectas 
11.1% y no contestaron 18.5%. 
En el caso del Tercer inciso se pidio que el estudiante estableciera la ecuación lineal o la 
función lineal de cada uno de los ciclistas, se notó que la mayoría de los alumnos y las 
alumnas del grupo intervenido, la contestaron correctamente, lo que da la evidencia 
validada al obtenerse un porcentaje del 59.3%, de estudiantes que la contestaron 
asertivamente e incorrectamente el resto de los alumnos se ubicaron dentro del porcentaje 
restante al 100%, por lo que en el segundo inciso contestaron correctas 59.3% e incorrectas 
22.2% y no contesto 18.5%. 
En el Cuarto inciso con los datos obtenidos que grafiquen ambas funciones la 
posición del encontró de los dos ciclista, se observó que la mayoría de los estudiantes del 
grupo intervenido, la contestaron correctamente, por ende se evidenció al obtenerse un 
porcentaje del 81.5%, de estudiantes que la contestaron asertivamente e incorrectamente el 
resto de los alumnos se ubicaron dentro del porcentaje restante al 100%, por lo que en el 
segundo inciso contestaron correctas 81.5% e incorrectas 18.5% y no contesto 0%. 
En el Quinto inciso encontrá la solución de la intersección del encuentro de los dos 
ciclista el tiempo y la posición se destacó que la mayoría de los estudiantes delgrupo 
intervenido, la contestaron correctamente, por consiguiente se obtiene la evidencia validad 
por un porcentaje del 66.7%, de estudiantes que la contestaron asertivamente e 
incorrectamente el resto de los alumnos y alumnas, que se ubicaron dentro del porcentaje 
restante al 100%, obteniendose en el segundo inciso contestaron correctas 66.7% e 
incorrectas 33.3% y no contesto 0%. 
Dadas las evidencias del inciso 1 al 5, que muestran el alto beneficio del uso de la 
semiótica como herramienta auxiliar para logros de aprendizajes del cálculo diferencial I en 
la de que se debe incrementar y promover en los temas siguientes, vinculados al inciso dos 
del cálculo diferencial I, promoviendo el apoyo a la obtención de aprendizajes 
significativos, mediante la semiótica para el logro de aprendizajes de las nociones y 
 
 
80 
conceptos que necesariamente se tienen que tener previamente para comprender y asimilar 
significativamente los aprendizajes. 
Dichos aprendizajes deben de enfocarse hacia el cálculo diferencial I del programa de 
estudios de la ENCCH y del bachillerato mexicano, que en particular plantea asociar 
fenómenos naturales a razones cambio con respecto al tiempo que en esencia son las 
derivadas, se debe hacer resaltar que las ecuaciones de la gráfica pudieron elaborarlas soló 
con los datos de las abscisas y las ordenadas, empero la pendiente y la ordenada al origen 
soló la podrían obtener mediante la ecuación de la función lineal, razón por la cual tuvieron 
mejores resultados en el inciso tres que en dos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
81 
Resultados de exámenes del grupo referente: 
 
 
 
I 
Grupo: os Calificació ' 
INSTRUCCIONES : L~ cuidadosamente los enunciados y contesta lo que se te pid t er 
Estado 
1. Un avión con una velocidad de 870~, hace un recorrido en dos horas y qumce minutos, ¿A que velocidad dere volar para hacer el 
h 
mismo recorrido en dos boras,? 
V.I V,D Ecuación Constante Grafica de la función, 
Tiempo Velocidad k 
t[horas] v f~¡l 
v=-
© 
O = vt Función Inversa Modelo matemático 
, , 
lo = 2,25 Vo = 870 ' ... 
Solución 
11 ti = 2 horas ,~. 
tl~ vI = Q 
VI = O 
8 10~ ?1~: 1 ~51 ~v.. -. 
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I I I , 
I I , , 
~, I I I I I 
lIIn IIn 4kotI lion IWII Un 
 
 
82 
 
2. Construya una gráfica de la función lineal con lila pendiente de 2 y la ordenada de posición I del origen. 
Estado x y Ecuación Constantes 
. Y, -Y, 
Pendiente: m = --
Xl-Xl 
Ordenada: Yo = YI - mx¡ 
¡ Xo = O 
11 x¡ = 1 
iii x, = 2 
IV Xl = 3 
FUI,ción lineal Ecuación 
Modelo matemático Solución: 
v/~ 
 
 
83 
 
~~ 
tI 
~~ 
to 
fjJ 
3. Dos ciclistas se encuentran separados por 126 m en linea recta cuando deciden ir uno al encuentro del otro. El primero con una 
velocidad de 7 ~, Y el otro con una de 14 -"'i:n sentido contrario. Tabule y grafique el tiempo y la posición al encontrarse. 
seg seg 
Estado TIempo Distancia Distancia 
Constantes 
t[segundos] Ciclista 1 Ciclista 2 
. d,-d, 
Pendiente: V = -
d[m] d[m] t, -t, 
Ordenada: dn = d, - vt, , 
I tn = O d, = O / I dn =AZ6 
11 \ ~ I / \\Y 
III 2 \'"\ / ( f IV "!l 2\ 1/ , ( 
V ~ 2 ~ / 1 
. 
VI ~ ~O / ~ { 
I 
I 
Función lineal &0&\ Solución: Ciclista 1: i- Ciclista 1: Cisclita 2: Cisclita 2: y 
I 
• 
r- • 
, 
, 
• 
I 
-
, 
• 
¡ I I I I I I 1 
I~ I "2 ~ ~ ~ 6 "1 8 
c¡ 10 
 
 
84 
 
 
 
Nombre: 
e llenar la tabla 
1. Un avión con una velocidad de 870 k:, hace un recorrido en dos horas y nce minutos. ¡A que velocidad debe volar para hacer el 
Estado 
mismo recorrido en dos horas.? 
V.l V.D 
Tiempo Velocidad 
t[horas] ~ k: 
.::, 
í( 
Ecuación 
k 
v=-
t 
to " 2.25 Vo = 870 y' 
Solución 
f---+---j----I 
11 
Constante 
k = vt ... 
Grafica de la función. 
Función Inversa Modelo matemático 
• , 
,~" 
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... " 
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85 
 
2. Construya una gráfica de la función lineal con una pendiente de 2 y la ordenada de posición I del origen. 
Estado x y Ecuación Constantes 
Pendiente: m = y¡ - y¡ 
X2-XI 
/ Ordenada: Yo = y¡ - mx¡ 
I Xo = O / 
/ 11 Xl = 1 / / 
III X2 = 2 , / / 
IV X3 = 3 J / 
Función Iiueal Ecuación 
Modelo matemático Solución: 
/' 
/ 
/ , , I I I I 
/' 
I I i I 
-
/ -
-
 
 
86 
 
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ILO 
). 
O 
3. Dos ciclistas se encuentran separados por 126 m en linea recta cuando deciden ir uno al encuentro del otro. El primero con una 
velocidad de 7 ~,y el otro con una de I (~n sentido contrario. Tabule y grafique el tiempo y la posición al encontrarse. 
seg seg 
Estado Tiempo Distancia Distancia Constantes 
t[segundos] Ciclista 1 Ciclista 2 . d, - d, Pendiente: V = -
d[m] d[m] t, - t, 
, Ordenada: do = d, - vt, 
I to = O do = O do = 126 
11 I '1 \ \ 1-
111 1. I ~ / ~R 
IV ,\ 1\ / fll'1 
v ~ l~ ~o / 
VI ,; 'l,~ / ~b / 
vii ~ vL¡ 2,. I ~21 
v; ;' ~ ql\ ,1) 
Fllllcióulineal Ecuacióu Solución: 
Ciclista 1: Ciclista 1: 
Cisclita 2: Cisc/ita 2: 
\ .fa. J-
(\~ \ 
\ 
...1 ... .. 
. ' 
1.0 ) " / / 
I 
(
\ l ) 4 
~I 
l. ' , ! I 1 -. 
 
 
87 
 
 
1. Un a~ón con una velocidad de i70~, nace un recorrido en dos noras y quince minutos, lA que velocidad debe volar para hacer el 
mismo recorrido en dos ooras,? 
Estado V.I V,D Ecuación Conslante Grafica de la función, 
Tiempo Velocidad k k = vt Función Inversa Modelo matemático 
t[horas] km v=-t v-
h 
I , , 
to = 2,25 Vo = i70 ",,, 
Solución 
¡¡ 
vl = ~ 
ti = 2/wras , ... 
ti = 2 
""1' 
, ... 
K:vf 
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K ,"" I/:f .... -.... 
K:&p,b 
... , , 
Ij. 8n~ 
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... ......... .¡-.. 
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K~'m~ 
I I 1 I 
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I I , I 
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I I I I 
I I I I 
: : : : ¡ I , I I 
I I I I .. I I I I , ... , .. ... ... ... , ... 
 
 
88 
 
 
 
" 
2, Construya una gráfica de la función lineal con una pendiente de 2 y la ordenada de posición l del origen, 
Estado x y Ecuación I Constantes 
p d' ~ , Y' -YI en lente: m = -r X' -XI 
Ordenada: Yn = y, - Il1X, 
l Xo = O Yo' / PtM:U / /' 
11 Xl = 1 V,, ( / / ~1-~ 1 \ 
r-.... 
111 Xl 2 il' / / J , 01'1'; 
IV Xl = 3 y~, I ~ 
FUI/ción lineal ¡Ecuación / Modelo matemático Solución: 
( r ~ . I. I , --, , 1 ' , 1 , I I 
)l 
r 
r 
 
 
89 
 
 
 
3. Dos ciclistas se encuentran separados por 126 m en línea recia cuando deciden ir uno al encuentro del otro. El primero con una 
velocidad de 7 .":., Y el otro con una de 14 ~n sentido contrario. Tabule y grafique el tiempo y la posición al encontrarse. 
. seg seg 
Estado Tiempo Distancia Distancia COl/stal/tes 
X:v{ t[segundos] Cie/ista 1 Cie/ista 2 . d¡-d', , Pendiente: V = - , 
d[m] d[m] t¡-/¡ 
, Ordenada: do = d¡ - vt¡ 
I to = O do = O • do = 126 Ctd6b 1 Cebh 2 J 
II ti , \' ? / ,: I ~b / 
v< d~ -d , v : d ~..dl_ III kl tI , I~ I ( I ~: 11. I -..::---
~.-tt IV b= ~ t,; 2 I ( ~ ) ~ tz-\I 
{4: L / v: 14-1 ,~R 
---; 
V ( I~ ; ¡' ~, f v= 112 - '~!R,~ I t.;;t¡ ' . . l...-VI e ~~ I 1:3; ql v • [ ;¡ ~ .I I ----\ ~-\ 
Función lineal Ecuación ~~ión: ~,d,-~ Ciclista 1: :¡ Ciclista 1: I ,di • ,JI . 
Cise/ita 2: - ~ Cise/ita 2: ao~ 1-8~(I)~ O ~: 12b ~4~yl ) 11 
\ I Lll , '" I I I I J \ \ I 
• 
 
 
90 
Análisis de resultados del grupo referente: 
 
 La evaluación a los estudiantes del grupo 505 turno matutino del plantel Rosario del 
Colegio de Bachilleres ubicado en la delegación Azcapotzalco, Distrito Federal, fue de tres 
preguntas, la primera pregunta consta de dos incisos mostrando una relación inversa en 
un gráfico