ÁLGEBRA Y LA TRIGONOMETRÍA - Martín Nuñez

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Universidad Nacional Abierta | Didáctica del Álgebra y la Trigonometría (547) 3 
 
ACTIVIDAD 1 
Diseñe una actividad de enseñanza para que los estudiantes determinen o establezcan cómo calcular 
el área de una figura geométrica en un geoplano, estableciendo la relación algebraica que debe haber 
entre los clavos (o puntos) que están ubicados en el borde de la figura (que tocan la elástica usada 
para definir la figura) y los que están en el interior de la figura formada (en caso de tener). 
 
Esta actividad está dedicada a encontrar y demostrar un resultado muy curioso, que permite cal-
cular fácilmente las áreas de los polígonos cuyos vértices están en los nodos de una cuadrícula llama-
da geoplano. En esta oportunidad usaremos un geoplano en papel de al que se le debe de 
sacar tantas copias como sea necesario, se recomienda tomar como modelo el que se muestra a con-
tinuación: 
 
 
 
Nuestro objetivo es encontrar una fórmula, originalmente descubierta por Georg Alexander Pick 
en 1899, para calcular el área de polígonos simples (esto es, sus lados no se cortan entre sí) cuyos 
vértices son nodos de una cuadrícula (geoplano), como ocurre en la siguiente figura: 
 
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El área, se obtiene en función de los nodos de la cuadrícula (geoplano) que están en el perímetro 
del polígono y de los que están en el interior del polígono. La unidad de medida del área que tomare-
mos es el área de los cuadrados que forman la cuadrícula. Denotaremos por el número de nodos 
interiores, y por el número de nodos del perímetro. En el ejemplo siguiente y . 
 
 
 
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Seguidamente se detallan los pasos que hay que desarrollar para descubrir la fórmula que permite 
establecer la relación algebraica que debe haber entre los puntos que están ubicados en el borde de 
la figura y los que están en su interior . 
 
Primeramente se deben dibujar tres polígonos sencillos y calcular sus áreas y sus números y : 
 
 
 
La siguiente tabla registra la información solicitada: 
 
 
Cuadrado 
Rectángulo 
Triángulo ⁄ 
 
A partir de este punto el profesor hace entrega a los estudiantes de una pista: “la fórmula que tie-
nen que encontrar es del tipo , donde , y son constantes, ¿cuál sería el valor 
de estas constantes?” Para responder a la pregunta, ellos tendrán que sustituir los datos de la tabla 
anterior en la ecuación mostrada y así obtener lo siguiente: 
 
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Para el cuadrado la ecuación sería: 
 
 
 
 
 
En el caso del rectángulo tenemos: 
 
 
 
 
 
Y la ecuación para el triángulo quedaría así: 
 
 
 
 
 
Se tiene entonces un Sistema de Ecuaciones Lineales de tres ecuaciones con igual número de in-
cógnitas que puede resolverse utilizando la Regla de Cramer: 
 
{
 
 
 
 
 
 |
 
 
 
| 
 
 
 
 |
 
 
 
| 
 
 
 
 
 𝑎 𝑏 𝑐 
 𝑎 𝑏 𝑐 
 𝑎 𝑏 𝑐 
 
 𝑎 
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 |
 
 
 
| 
 
 
 
 |
 
 
 
| 
 
 
 
Con esos resultados se calculan los valores de las constantes , y : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Así pues, al sustituir los valores de las constantes encontradas, , y ; en la ecuación dada como 
pista, se consigue la fórmula descubierta por Georg Alexander Pick en 1889, con la cual terminaría 
enunciando el teorema que actualmente lleva su nombre, esta es: 
 
 
 
 (
 
 
) 
 
 
 
Es hora de comprobar la veracidad de la formula hallada, para ello nuevamente se utilizan los da-
tos registrados en la tabla anterior, recordemos que en el caso del cuadrado tenemos un área igual a 
 𝑏 
 𝑐 
𝑎 𝑏 ⁄ 𝑐 
 𝐼 
𝐵
 
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 , con puntos interiores y puntos en el borde, al sustituir en la ecuación de Pick el área debe-
ría ser igual a la calculada previamente con la fórmula tradicional, veamos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tal cual tendría que cumplirse para el rectángulo y el triángulo, vamos a comprobarlo. El área que 
se había calculado para el rectángulo es igual a , con puntos interiores y puntos en su perí-
metro, de lo cual concluimos lo siguiente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Igualmente, para el triángulo el área superficial es igual a , con puntos interiores y puntos 
en su contorno, al aplicar la ecuación encontrada obtenemos esto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se cumple entonces la relación algebraica formulada por Pick para nuestras tres figuras geométri-
cas, lo que era de esperarse. Ahora la probaremos con el siguiente polígono irregular: 
 
 
 
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Se trata de un polígono irregular de cuatro lados al cual se le traza una de sus diagonales con lo 
que se obtienen dos triángulos escalenos, la idea es calcular el área del polígono y después calcular el 
área de cada triángulo, para finalmente verificar que la suma del área de los dos triángulos es igual al 
área del polígono irregular. 
 
La suma de los puntos que conforman el perímetro del polígono irregular es igual a puntos y en 
su interior hay puntos (contando los de la línea diagonal), con esa información se calcula el área, 
así: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seguidamente se calcula el área del triángulo superior, en cuya periferia hay puntos y en su in-
terior hay puntos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Y por último tenemos el triángulo inferior, con puntos en su interior y puntos que conforman 
su contorno: 
 
 
 
 
 
 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
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Al sumar las áreas de los triángulos resulta ser igual al área del polígono irregular, como se mues-
tra: 
 
 
 
 
 
 
 
Hemos comprobado de nuevo el teorema de Pick. Ahora, para finalizar con la actividad se propo-
nen algunos ejercicios. A continuación se muestran algunos polígonos para determinar el área de cada 
uno de ellos por medio de la fórmula Pick: 
 
 
 
 
 
 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
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ACTIVIDAD 2 
Con base en las Piezas de Álgebra (Pág. 68 de la Guía Instruccional) diseñe una lección para factorizar 
Ecuaciones de Segundo Grado en Tercer Año de Educación Media General. 
 
La actividad que se propone a continuación tiene como objetivo principal la representación geo-
métrica de expresiones algebraicas de segundo grado con puzzle (rompecabezas) algebraico. Llama-
mos piezas de álgebra, puzzle o rompecabezas algebraico a una colección de figuras geométricas pla-
nas, formada por cuadrados y rectángulos que representan: 
 
 El cuadrado de área de dimensiones , que denominaremos unidad positiva. 
 
 
 
 El rectángulo de área de dimensiones , que denominaremos tira positiva. 
 
 
 
 El cuadrado de área de dimensiones , que denominaremos placa positiva. 
 
 
 
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Está colección está inspirada, en una versión simplificada de los Bloques Multibase de Dienes 
(Dienes [1964]), de las que las piezas del puzzle toman el nombre, y con las que sólo se pueden repre-
sentar trinomios de segundo grado de términos positivos. En consecuencia, sí queremos representar 
cualquier trinomio de segundo grado (con términos positivos y/o negativos), debemos completar la 
colección inicial con las versiones negativas de las piezas anteriores. 
 
 El cuadrado de área de dimensiones , que denominaremos unidad negativa. 
 
 
 
 El rectángulo de área de dimensiones , que denominaremos tira negativa. 
 
 
 
 El cuadrado de área de dimensiones , que denominaremos placa negativa. 
 
 
 
Aunque las áreas y las medidas de los lados de los rectángulos no pueden ser negativas, en el mo-
delo didáctico de representación desarrollado, las piezas negativas, representan figuras con área ne-
gativa como consecuencia de ser negativa la medida de uno de sus lados. 
 
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A partir del conjunto de piezas del puzzle que representa una expresión de segundo grado pode-
mos construir rectángulos y/o cuadrados. El cálculo del área de estas figuras nos permitirá obtener 
expresiones más sencillas (en forma factorizada o en forma de binomio al cuadrado) equivalentes 
(idénticas) a la expresión general de segundo grado inicial representada. 
 
Toda expresión de segundo grado en forma general completa ( ) o incompleta 
( o ) puede ser representada geométricamente por un conjunto de piezas del puzzle 
algebraico. Esta representación geométrica se realiza término a término: 
 
El término cuadrático ( ) se representa mediante: 
 
 Una placa o conjunto de placas cuando es positivo. Por ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Una placa o conjunto de placas cuando es negativo. Por ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
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El término lineal ( ) se representa mediante: 
 
 Una tira o un conjunto de tiras , cuando es positivo. Por ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Una tira o un conjunto de tiras , cuando es negativo. Por ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 La combinación de dos grupos o conjunto de tiras y como se indica en las figuras, siem-
pre que la suma algebraica de los dos grupos coincida con el término que queremos repre-
 . Aq : “ v ”. Por ejemplo: 
 
 
 
 
 
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El término independiente ( ) se representa mediante: 
 
 Una unidad o conjunto de unidades positivas ( ) cuando el término independiente es positivo. 
Por ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Una unidad o conjunto de unidades negativas ( ) cuando el término independiente es nega-
tivo. Por ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
En líneas generales, las reglas básicas de agrupación y combinación de piezas, o de forma abrevia-
da las reglas de construcción, son: 
 
 1ª REGLA: Los cuadrados unidad positivos o negativos tienen que estar agrupados formando 
un rectángulo o un cuadrado. 
 
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 2ª REGLA: La placa y el grupo de cuadrados unidad tienen que estar situados en diagonal. 
No pueden coincidir en la misma columna ni en la misma fila. 
 
 3ª REGLA: Las tiras y – , “m z ” m m m . 
 
A continuación se desarrolla el proceso de obtención de una expresión segundo grado equivalente 
a: en forma factorizada, con el conjunto de piezas del puzzle que la representa: 
 
 Seleccionamos las piezas que representan la expresión : 
 
 
 
 
 
 
 
 Construimos un rectángulo, eligiendo entre varias combinaciones posibles el siguiente: 
 
 
 
 El área del rectángulo es el producto de las dimensiones de su base por su altura: 
 
 A 
 
 
 
 
 
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 A partir de una expresión de segundo grado en forma general hemos obtenido una expresión 
equivalente más sencilla, en forma factorizada, mediante la construcción de un rectángulo. 
 
Veamos otro ejemplo, ahora se busca factorizar la expresión algebraica de segundo grado que es 
igual a: , la misma contiene términos negativos, pues entonces: 
 
 Seleccionamos las piezas que representan la expresión : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Sin embargo, con esas piezas no se consigue construir ni un cuadrado, ni un rectángulo; por lo 
tanto, es necesario agregar más piezas, pero esto se debe realizar con sumo cuidado para no 
alterar la representación geométrica de la ecuación original. Elegir el número de piezas que se 
deben agregar no es una tarea fácil, es cuestión de probar una alternativa y verificar si funcio-
na. Si es así, se tiene una solución. En caso contrario —resultado erróneo— se intenta una al-
ternativa diferente. En este caso en particular se pueden tomar dos tiras positivas y tres tiras 
negativas, así pues, si se suman algebraicamente todas las tiras, las dos positivas se suprimen 
con dos de las tres negativas y solo quedaría una tira negativa, es decir, no se ve afectado el 
término lineal de nuestra ecuación inicial, algo así: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 
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 Entonces se forma el rectángulo que se muestra en la siguiente figura: 
 
 
 
 El área del rectángulo es el producto de las dimensiones de su base por su altura: 
 
 A 
 
 
 
 
 
 
 
 A partir de una expresión de segundo grado en forma general hemos obtenido una expresión 
equivalente más sencilla, en forma factorizada, mediante la construcción de un rectángulo. 
 
𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 
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Desarrollamos un último ejemplo, aquí la ecuación a factorizar es la siguiente: , en 
esta el término cuadrático es negativo, pues manos a la obra: 
 
 Seleccionamos las piezas que representan la expresión : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aquí sucede lo mismo que en el ejemplo anterior, las piezas no forman ni un cuadrado, ni un rec-
tángulo, se tendrían que añadir dos tiras más, una positiva y la otra negativa, tal y como se muestra: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Formándose el rectángulo que se muestra en seguida: 
 
 
 
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 El área del rectángulo es el producto de las dimensiones de su base por su altura: 
 
 A 
 
 
 
 
 
 
 
 A partir de una expresión de segundo grado en forma general hemos obtenido una expresión 
equivalente más sencilla, en forma factorizada, mediante la construcción de un rectángulo. 
 
A manera de resumen se puede decir que el método de resolución de ecuaciones de segundo gra-
do con puzzle algebraico está basado en la trasformación algebraica de la expresión general de la 
ecuación que se quiere resolver, en una ecuación equivalente más sencilla con expresión factorizada 
o en forma de binomio al cuadrado, con o sin término independiente, obtenida de la medida de las 
dimensiones de un rectángulo o un cuadrado, construido a partir de la colección de piezas del puzzle 
algebraico que representa la expresión algebraica de la ecuación de segundo grado inicial. 
 
Para dar por finalizada esta actividad los estudiantes tendrán que factorizar utilizando el puzzle al-
gebraico las siguientes ecuaciones de segundo grado: 
 
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 
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OBJETIVO 6 (CRITERIO DE DOMINIO: 1/1) 
ELABORAR ENTORNOS DE APRENDIZAJE Y EL USO DE TECNOLOGÍAS PARA LA ENSEÑANZA DEL ÁLGE-
BRA Y LA TRIGONOMETRÍA. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ACTIVIDAD 1 
Para la evaluación de esta unidad se le exige realizar sólo una de las dos tareas indicadas a continua-
ción según las instrucciones. Si usted actualmente trabaja como profesor o profesora realice la si-
guiente actividad (Actividad 14.1 (p. 113)) Si usted actualmente NO trabaja como profesor o profesora 
realice la siguiente actividad (Actividad 14.2, Parte B). 
 
01. Indique, ¿qué libro o libros de texto usa para preparar sus clases de trigonometría? 
 
Para preparar mis clases de trigonometría principalmente utilizo 
tres libros de cabecera; uno de ellos es el de Matemática 4to Año de 
la serie Conexos (Editorial Santillana), se trata de un libro que com-
prende información teórica, ejemplos y ejercicios resueltos que con-
tribuyen con la compresión de los contenidos. Presenta la trigono-
metría desde una perspectiva útil para la vida cotidiana, muestra su 
aplicación en diferentes ciencias y profesiones que requieren de su 
uso, además de incluir herramientas pedagógicas orientadas al desa-
rrollo de las habilidades para la resolución de problemas, el razona-
miento, el análisis, la interpretación y la argumentación. 
 
Los otros dos son: Matemática para Primer Año (ahora 4to Año) 
de E. Navarro y Matemática I - Cuaderno de Ejercicios de Vicmar José 
Rodríguez Díaz. El primero de ellos es una reliquia en cuanto a textos 
en el área de matemáticas se refiere, un libro sumamente didáctico y 
práctico, aquí la teoría se presenta de manera sencilla sin explicitacio-
nes rebuscadas y abstractas, los ejercicios son resueltos paso a paso 
para así poder obtener una mejor comprensión de los procedimientos 
aplicados. La información más importante es destacada en cuadros o 
tablas, como por ejemplo, la relación entre las razones trigonométri-
cas de un mismo ángulo y los valores de las razones trigonométricas 
de 30°, 45° y 60°. Para reforzar los conocimientos al final de cada capítulo se presentan docenas de 
ejercicios prácticos con su respuesta para una posterior autoevaluación. 
 
 
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El último libro utilizado es un cuaderno de ejercicios, el mismo es 
distribuido por la Editorial Actualidad Escolar 2000. No se trata de un 
texto, es más bien una guía estructurada donde los estudiantes pue-
den resolver directamente los ejercicios correspondientes a cada te-
ma, ya que dispone del espacio adecuado para hacerlo. Se contabili-
zan más de 800 ejercicios para resolver, sin embargo, una de sus prin-
cipales desventajas es que no posee un apéndice de respuesta, lo cual 
dificulta la autoevaluación por parte de los estudiantes. 
 
02. Indique, ¿de cuál libro o libros de texto escoge los problemas o ejercicios de trigonometría 
que le asigna a sus estudiantes? 
 
Los problemas o ejercicios de trigonometría asignados a los estudiantes generalmente son elabo-
rados por mí, con base en la experiencia y dependiendo del objetivo que se quiera conseguir. No obs-
tante, en caso de que alguna situación lo amerite tomo en consideración algunos problemas o ejerci-
cios presentados en cualquiera de los tres textos anteriormente señalados. 
 
03. Presente tres ejemplos de problemas o ejercicios que resuelve en clase. 
 
Estos son tres ejemplos de problemas o ejercicios que resuelvo en mis clases de trigonometría: 
 
PROBLEMA 1 
 
 
 
PROBLEMA 2 
 
 
 
 Un triángulo rectángulo es isósceles y su hipotenusa vale . Calcula las 
razones trigonométricas de cualquiera de sus ángulos agudos. 
 Dada la siguiente figura: 
 
 
 
 
SQ 
Hallar: SP y PQ 
R 
S P Q 
45° 60° 
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PROBLEMA 3 
 
 
 
04. Indique, ¿de cuál libro o libros de texto escoge los problemas o ejercicios de trigonometría 
que incluye en sus exámenes? 
 
Los problemas o ejercicios que incluyo en las evaluaciones son elaborados por mí, estos son del 
mismo tipo que los resueltos en clases con algunos cambios en sus valores o enfoque, pero siempre 
cuidando que los estudiantes tengan la capacidad de resolver el examen en gran medida. Particular-
mente me gusta aplicar el siguiente criterio en relación con el nivel de dificultad en los problemas o 
ejercicios propuestos en las pruebas: 25% fáciles, 50% nivel medio y 25% difíciles. No acostumbro a 
sacar los problemas o ejercicios que aplico en los evaluativos de algún libro en particular, no obstante, 
en caso de llegar a hacerlo los tomaría de los tres libros mencionados en la pregunta 1 de esta misma 
actividad. 
 
05. ¿Cuál libro le recomienda a sus estudiantes para estudiar? 
 
Me identifico mucho con el libro de Matemática 4to Año de la serie Conexos (Editorial Santillana), 
a mi parecer es un libro bastante completo y que cumple con todos los requerimientos estipulados en 
el Currículo Básico Nacional vigente, es por ello que se lo recomiendo a mis estudiantes para que lo 
adquieran en la medida de sus posibilidades; el de Matemática para Primer Año (ahora 4to Año) de E. 
Navarro también es muy aconsejable. Sin embargo, cuando por dificultades económicas alguno o al-
gunos de los alumnos no pueden adquirir el material bibliográfico recomendado se opta por sacar 
fotocopias ya que esto resulta mucho más asequible.06. Describa el tipo de tareas que asigna para la casa. 
 
Siempre opto por dejar tarea para la casa, en mi opinión es un trabajo extra que tiene como pro-
pósito el logro de mejores resultados en la asignatura. La habilidad que el estudiante gana con las 
tareas sólo se logra a través de la repetición constante de los contenidos estudiados en la escuela. Eso 
sí, la mayoría de las tareas asignadas son ejercicios y problemas que se deben resolver utilizando lo 
 cos 𝑥 tan 𝑥 tan 𝑥 
 Resolver la siguiente ecuación trigonométrica: 
 
 
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aprendido en el aula, después son corregidos para aclarar las dudas que puedan haber surgido; tam-
bién me gusta prescribir trabajos de investigación que versen sobre tópicos matemáticos, general-
mente dichos trabajos los coloco de dos a tres semanas antes de finalizar cada lapso, los temas pue-
den ser bastante variados, por ejemplo, biografías de matemáticos famosos, la historia del número Pi, 
la historia del número e, la relación de la matemática con otras ciencias, los sólidos de Platón, la suce-
sión de Fibonacci, el teorema de Pitágoras, entre muchos más. Por consiguiente, estas investigaciones 
tienen como finalidad mostrar a los estudiantes otra visión en relación con las matemáticas, buscan 
desmitificar aquella idea de que en ellas solamente hay problemas y ejercicios, pero lo más importan-
te es que dejan claro que la matemática existe como parte de nuestra vida diaria. 
 
07. Describa con detalles, ¿cómo se desarrolla una clase suya de trigonometría? 
 
Generalmente mis clases son teórico-prácticas, con una duración de 90 minutos aproximadamen-
te, para las cuales utilizo como principales recursos marcadores o rotuladores de diversos colores, 
pizarrón blanco o acrílico y algún material manipulable improvisado que la clase amerite; lo primero 
que hago es anunciar el título del tema que vamos a estudiar, luego comienzo a desarrollar el conte-
nido de manera ordenada y secuencial, es decir, integrando los conceptos y definiciones con sus co-
rrespondientes ejercicios y problemas. No me gusta dictar la teoría, copio todo en el pizarrón, esto 
disminuye en gran medida los errores y las ambigüedades que se puedan presentar. Al finalizar con 
todo el contenido de la unidad, esto medianamente ocurre al cabo de dos o tres clases, los estudian-
tes son evaluados a través de un taller grupal donde tendrán que resolver una serie de actividades 
(evaluación formativa), todo esto antes de la evaluación individual (evaluación sumativa). En caso de 
que por alguna razón el treinta por ciento (30%) o más de los alumnos no alcance la calificación míni-
ma aprobatoria en la evaluación individual, según lo estipulado en el artículo 112 del Reglamento 
General de la Ley Orgánica de Educación, en esa situación aplico una prueba recuperativa, antes de la 
cual realizo un breve repaso de la unidad para aclarar todo tipo de dudas. 
 
08. Describa, ¿cómo sería para usted una clase ideal, la mejor clase de trigonometría? 
 
La mejor clase de trigonometría sería aquella que se realice en un entorno de aprendizaje adecua-
do, donde se disponga de material de apoyo como dispositivos de video y de audio, herramientas que 
permitan al estudiante observar de manera directa y real lo que se explica en teoría. “Un ambiente de 
Universidad Nacional Abierta | Didáctica del Álgebra y la Trigonometría (547) 28 
 
aprendizaje es un lugar donde las personas pueden hacer uso de recursos para darle sentido a las co-
sas y resolver problemas” (Wilson, 1995, p. 26). En una clase de trigonometría el estudiante debe 
construir su aprendizaje fundamentado en las orientaciones y sugerencias del docente como en el uso 
de los kits de construcción y fenomenarios que deben estar disponibles para poder hablar de un am-
biente de aprendizaje enriquecido, “en estos ambientes de aprendizaje enriquecidos los estudiantes se 
involucran en múltiples objetivos de aprendizaje y el profesor sirve más bien de “coach” y facilitador” 
(Wilson, 1995). “Un ambiente de aprendizaje es un lugar en el cual el aprendizaje es promovido y apo-
yado. Un lugar donde los estudiantes podrían trabajar juntos y apoyar unos a otros en la medida que 
usan herramientas y fuentes de información en su búsqueda de objetivos de aprendizaje y actividades 
de resolución de problemas” (Wilson, 1995, p. 27). 
 
09. ¿Hace uso usted de recursos manipulables en el aula cuando enseña trigonometría? 
 
En algunas ocasiones hago uso de recursos manipulables improvisados, siempre que el contenido 
de la clase lo amerite, así pues, para trazar líneas rectas utilizo una delgada barra de madera de 90 
centímetros de longitud aproximadamente, asimismo, para dibujar circunferencias hago uso de un 
trozo de cuerda, a la cual en uno de sus extremos se le ato un rotulador o marcador con tinta borrable 
(no permanente). En los casos más extremos realizo las construcciones a mano alzada. 
 
10. Presente cuatro ejemplos del tipo de problemas que usted le propone a sus estudiantes en 
los exámenes. 
 
PROBLEMA 1 
 
 
 
 Cuando los rayos del sol forman un ángulo de ° con el suelo, la som-
bra de un árbol mide 𝑚. ¿Cuál es su altura? 
 
a) 𝑥 , 𝑚 
b) 𝑥 , 𝑚 
c) 𝑥 , 𝑚 
d) 𝑥 , 𝑚 
 
 𝑚 
 ° 
𝑥 
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PROBLEMA 2 
 
 
PROBLEMA 3 
 
 
PROBLEMA 4 
 
 
 
 
 
 
cot 𝜋 𝛼 sec𝛼 cot
3 𝛼
csc 𝛼 sin 𝜋 𝛼 
 tan 𝛼 
 Demostrar que: 
 
 
tan ° tan °
 sin ° cos ° cot ° 
 Determinar el valor de: 
 
 
 Una escalera de 𝑚 está apoya-
da en una pared. ¿Qué ángulo for-
ma la escalera con el suelo si su 
base está a , 𝑚 de la pared? 
 , 𝑚