Clase 21 - Variables Instrumentales - Zaida Moreno Páez

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Econometrı́a I
EAE2510
Clase 21
Variables Instrumentales III
Miriam Artiles
Instituto de Economı́a
Pontificia Universidad Católica de Chile
Segundo Semestre 2021
Introducción Instrumentos débiles Test de Endogeneidad Sobre Identificación Resumen
Introducción
VI y MC2E:
• Ambos métodos nos proporcionan estimaciones consistentes de β cuando
tenemos un regresor endógeno
• Cuando tenemos un sólo instrumento por variable endógena, los métodos son
equivalentes, analı́ticamente nos van a dar las mismas estimaciones
• Los métodos darán estimaciones diferentes de β cuando tengamos más de un
instrumento por regresor endógeno
• La estimación mediante VI puede ser más eficientes (menores errores
estándar) en caso de heteroscedasticidad
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Introducción Instrumentos débiles Test de Endogeneidad Sobre Identificación Resumen
Hoy
• Consecuencias de tener instrumentos débiles
• Test para la endogeneidad de los regresores
• Test para la exogeneidad de los instrumentos
——–
1 Wooldridge, capı́tulo 15: Estimación con variables instrumentales y mı́nimos cuadrados en dos etapas
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Introducción Instrumentos débiles Test de Endogeneidad Sobre Identificación Resumen
Instrumentos débiles
• Una de las condiciones necesarias para que un instrumento sea válido es la
condición de relevancia: Cov(x, z) 6= 0
• ¿Qué ocurre cuando esta correlación es cercana a cero?
• En ese caso vamos a decir que el instrumento (z) es débil
• Detección de instrumentos débiles en la práctica:
◦ Regresamos la variable endógena sobre todos los instrumentos y demás controles
◦ Estadı́stico F ≥ 10 o F ≥ 15
Bound, John, David Jaeger, and Regina Baker, “Problems with Instrumental
Variables Estimation When the Correlation Between the Instruments and the
Endogeneous Explanatory Variable is Weak,”Journal of the American Statistical
Association, XC (1995), 443-450.
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https://www.eco.uc3m.es/docencia/EconomiaAplicada/materiales_2015/Boundetal_jasa95.pdf
https://www.eco.uc3m.es/docencia/EconomiaAplicada/materiales_2015/Boundetal_jasa95.pdf
https://www.eco.uc3m.es/docencia/EconomiaAplicada/materiales_2015/Boundetal_jasa95.pdf
https://www.eco.uc3m.es/docencia/EconomiaAplicada/materiales_2015/Boundetal_jasa95.pdf
Introducción Instrumentos débiles Test de Endogeneidad Sobre Identificación Resumen
Instrumentos débiles
• Una de las condiciones necesarias para que un instrumento sea válido es la
condición de relevancia: Cov(x, z) 6= 0
• ¿Qué ocurre cuando esta correlación es cercana a cero?
• En ese caso vamos a decir que el instrumento (z) es débil
• Detección de instrumentos débiles en la práctica:
◦ Regresamos la variable endógena sobre todos los instrumentos y demás controles
◦ Estadı́stico F ≥ 10 o F ≥ 15
Bound, John, David Jaeger, and Regina Baker, “Problems with Instrumental
Variables Estimation When the Correlation Between the Instruments and the
Endogeneous Explanatory Variable is Weak,”Journal of the American Statistical
Association, XC (1995), 443-450.
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https://www.eco.uc3m.es/docencia/EconomiaAplicada/materiales_2015/Boundetal_jasa95.pdf
https://www.eco.uc3m.es/docencia/EconomiaAplicada/materiales_2015/Boundetal_jasa95.pdf
https://www.eco.uc3m.es/docencia/EconomiaAplicada/materiales_2015/Boundetal_jasa95.pdf
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Introducción Instrumentos débiles Test de Endogeneidad Sobre Identificación Resumen
Instrumentos débiles
Consecuencias
1. Errores estándar más grandes: las estimaciones serán menos precisas→
podemos llegar a conclusiones erróneas sobre significancia estadı́stica
V ar(β̂V I) =
σ2
nσ2xρ
2
x,z
V ar(β̂MC2E1 ) ≈
σ2
ˆSCT x̂(1− R̂21)
2. Si z tampoco cumple la condición de exogeneidad, el estimador de IV/MC2E
es sesgado y tener instrumentos débiles agrava el tamaño del sesgo. Para ver
esto, recuerde que para el caso de MRS se tiene:
E(β̂V I1 ) = β1 +
∑N
i=1(zi − z̄)(ui − ū)∑N
i=1(zi − z̄)(xi − x̄)
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Introducción Instrumentos débiles Test de Endogeneidad Sobre Identificación Resumen
Instrumentos débiles
Cuando un regresor es endógeno:
1. Si se cuenta con al menos un instrumento válido
Cov(x, z) 6= 0, Cov(u, z) = 0
→ Se prefiere IV/MC2E sobre MCO porque IV/MC2E proporciona estimaciones
insesgadas de β
2. Si el instrumento no cumple la condición de exogeneidad
Cov(u, z) 6= 0
◦ Si el instrumento cumple la condición de relevancia (Cov(x, z) 6= 0)
→ Se prefiere MCO sobre IV/MC2E porque ambos métodos proporcionan estimaciones
sesgadas, pero MCO es más eficiente
◦ Si el instrumento es débil (Cov(x, z) ≈ 0)
→ Se prefiere MCO sobre IV/MC2E porque el sesgo de IV/MC2E podrı́a ser incluso mayor
que el sesgo de MCO
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Introducción Instrumentos débiles Test de Endogeneidad Sobre Identificación Resumen
Test de Endogeneidad
Asumamos que tenemos al menos un instrumento válido para la variable endógena:
• Cuando un regresor es endógeno, sabemos que la estimación IV/MC2E con
instrumentos válidos es menos eficiente que la estimación de MCO
• Para saber si vale la pena “pagar” esta ineficiencia a cambio de obtener un
estimador insesgado, serı́a bueno poder testear endogeneidad
• Para testear la endogeneidad de un regresor vamos a usar el test de
Hausman
• Idea: si la variable es exógena, entonces las estimaciones por MCO y IV/MC2E
deberı́an ser estadı́sticamente iguales
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Introducción Instrumentos débiles Test de Endogeneidad Sobre Identificación Resumen
Test de Hausman: implementación
• Tenemos el siguiente modelo:
yi = β0 + β1xi + β2gi1 + β3gi2 + ui
• Donde x es un regresor endógeno y (g1, g2) son regresores exógenos
• Tenemos además 2 potenciales instrumentos válidos para x: z1 y z2
Pasos para el test de Hausman:
1. Regresamos el regresor endógeno sobre todos los instrumentos y regresores
exógenos:
xi = π0 + π1gi1 + π2gi2 + π3zi1 + π4zi2 + vi
→ La “parte” exógena de x está captada por los z y g
→ x será exógena si y solo si Cov(v, u) = 0
→ No observamos u ni v pero podemos ver si una estimación de v tiene
relación con y cuando controlamos x
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Introducción Instrumentos débiles Test de Endogeneidad Sobre Identificación Resumen
Test de Hausman: implementación
2. Usamos v̂ de la regresión anterior y estimamos el modelo incluyendo este
regresor
yi = β0 + β1xi + β2gi1 + β3gi2 + δv̂i + ui2
→ Ahora basta con ver si δ es estadı́sticamente distinto de cero o no
→ Usamos el estadı́stico t para ver la significación de δ
Prueba de hipótesis sobre δ
H0 :δ = 0 (Exogeneidad)
H1 :δ 6= 0 (Endogeneidad)
• Si p− valor ≤ 0.05→ Rechazo H0 → No hay evidencia de que x sea
exógena→ usar IV/MC2E
• Si p− valor > 0.05→ No rechazo H0 → No hay evidencia de que x sea
endógena→ usar MCO
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Introducción Instrumentos débiles Test de Endogeneidad Sobre Identificación Resumen
Hausman: Ejemplo
• Volvemos a nuestra ecuación de salarios y educación
ln(salarioi) = β0 + β1educi + β2experi + β3exper
2
i + ui
• Se cree que educ es endógeno y se cuenta con dos instrumentos válidos
(z1: educación de la madre, z2: educación del padre)
• Puedes descargar los datos aqui
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http://fmwww.bc.edu/ec-p/data/wooldridge/mroz.dta
Introducción Instrumentos débiles Test de Endogeneidad Sobre Identificación Resumen
Hausman: Ejemplo
Pasos del test de Hausman:
1. Regresamos la candidata a endógena (educ) sobre todas las exógenas e
instrumentos:
reg educ exper expersq motheduc fatheduc if lwage!=., r
Guardamos los residuos de esta estimación (v̂) y los llamamos reshausman:
predict reshausman, residuals
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Introducción Instrumentos débiles Test de Endogeneidad Sobre Identificación Resumen
Hausman: Ejemplo
2. Estimamos nuestro modelo incluyendo reshausman (v̂) como regresor:
reg lwage educ exper expersq reshausman, r
→ Miramos la significación de δ (coeficiente de reshausman)
→ p− valor = 0.111 > 0.05
→ No rechazamos H0 al 5%
→ No hay evidenciaestadı́stica de endogeneidad de educ al 5%
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Introducción Instrumentos débiles Test de Endogeneidad Sobre Identificación Resumen
Múltiples instrumentos: Sobre-identificación
• Cuando tenemos un instrumento por variable endógena
→ Decimos que el modelo está exactamente identificado
• Cuando tenemos más de un instrumento por variable endógena:
→ Decimos que el modelo está sobre-identificado
• Si estamos en el segundo caso, modelo sobre-identificado, vamos a poder
aprovechar esos “instrumentos extra” para decir algo sobre la condición de
exogeneidad de alguno de los instrumentos
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Introducción Instrumentos débiles Test de Endogeneidad Sobre Identificación Resumen
Contraste de Sargan
1. Estimamos nuestro modelo por MC2E y guardamos los residuos estimados û
ivregress 2sls lwage exper expersq (educ=motheduc fatheduc), r
predict residuos, resid
2. Regresamos los residuos û = resid sobre todas las variables exógenas del
modelo y todos los instrumentos y obtenemos el R2 de esa regresión que
llamamos R2ũ
reg resid exper expersq motheduc fatheduc, r
Se obtiene R2 = 0.0009
3. Realizamos la siguiente prueba de hipótesis:
H0 : Todos los intrumentos son exógenos
H1 : Algunos de los intrumentos no son exógenos
Bajo H0 cierta tenemos que:
nR2ũ ∼ χ2q
donde q es el número de instrumentos menos el número de variables
endógenas (los intrumentos “extra”)→ En Stata: estat overid
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Introducción Instrumentos débiles Test de Endogeneidad Sobre Identificación Resumen
Conclusiones
• Decimos que un instrumento es débil cuando su correlación con la endógena
es muy pequeña (F < 10 en la primera etapa de MC2E)
• El uso de instrumentos débiles nos puede traer problemas de ineficiencia
(errores estándar aún más grandes) y sesgadez
• Podemos usar el test de Hausman para testear la endogeneidad de un
regresor
• Si tenemos más de un instrumento por regresor endógeno, podemos usar esos
“instrumentos extras” para testear la exogeneidad de los instrumentos (test de
Sargan)
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	Introducción
	Instrumentos débiles
	Test de Endogeneidad
	Sobre Identificación
	Resumen