MECANICA-ESTATICA - Manuela Cruz

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PRESENTACIÓN 
 
En el marco del proceso docente educativo orientado hacia la formación de profesionales en 
mecanización agrícola, la Estática representa una asignatura básica del plan de estudios de la 
carrera de Ingeniería Mecánica Agrícola. Esto, entre otras razones, porque durante su explotación 
todas las máquinas, y estructuras en general, invariablemente se ven sometidas a la acción de 
sistemas de fuerzas. 
 
La Estática, como la rama de la Mecánica, estudia un aspecto de los efectos externos de la fuerzas 
sobre los cuerpos o sistemas: las condiciones de equilibrio mecánico; la Dinámica, por su parte, 
estudia otro aspecto de los efectos externos: la relación entre las fuerzas y el movimiento; 
mientras que en la Mecánica de Materiales, se estudian los efectos internos de las fuerzas: lo 
relativo a la resistencia mecánica, la rigidez y la estabilidad de elementos de máquinas y 
estructuras. 
 
Como parte de las asignaturas del primer semestre de la carrera de Ingeniería Mecánica Agrícola, 
el contenido del curso de Estática supone que el estudiante está familiarizado con conocimientos 
y habilidades para la solución de problemas correspondientes a las asignaturas de Física General 
y Cálculo Diferencial e Integral. 
 
Por tratarse de una asignatura básica para el estudio de la ingeniería, el contenido del curso de 
Estática contribuye a la adquisición de los conocimientos imprescindibles para la comprensión de 
los fundamentos del objeto de la carrera y para la formación científica general del futuro 
profesional en ingeniería. En particular, los conocimientos y habilidades que se adquieran en 
Estática resultarán esenciales para la asimilación de asignaturas subsecuentes del plan de 
estudios, a saber: Dinámica, Mecánica de Materiales, Mecánica de Fluidos, Diseño de Elementos 
de Máquinas y Máquinas Agrícolas, entre otras. 
 
Como sucede con cualquier asignatura básica de ingeniería, todos los conceptos que se estudian 
en Estática tienen un significado físico bien definido y ofrecen posibilidades de aplicaciones 
básicas o fundamentales, que permiten comprender los fenómenos físicos, así como predecir el 
funcionamiento y la respuesta de los sistemas de ingeniería en relación con los efectos externos 
de las fuerzas que actúan sobre ellos; aplicaciones prácticas o de ingeniería, para el análisis y 
diseño de elementos de máquinas y estructuras; y aplicaciones académicas, para el estudio de 
otras disciplinas de la ingeniería y asignaturas del plan de estudios de la carrera. 
 
La Mecánica es la rama de la Física que estudia las leyes generales del movimiento mecánico de 
los cuerpos y establece los métodos generales para la solución de los problemas relacionados con 
este tipo de movimiento. El movimiento mecánico (o simplemente movimiento) se refiere al 
cambio de posición de los cuerpos, unos con respecto a otros, que sucede en el transcurso de 
tiempo, así como a la variación de la posición relativa de las partículas de un mismo cuerpo, es 
decir, la deformación de este último. El estado de reposo de los cuerpos es un caso especial de 
movimiento, de cuyo estudio se encarga la rama de la Mecánica denominada Estática. 
 
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No obstante que los cuerpos con que trata la Mecánica pueden ser sólidos, líquidos o gases, su 
movimiento posee propiedades que no dependen del estado de agregación de los mismos. Los 
problemas relacionados con la estructura interna de los cuerpos, con sus propiedades físicas y con 
las leyes de sus interacciones, quedan fuera de los límites de la Mecánica, y constituyen el objeto 
de estudio de otras ramas de la Física. Sin embargo, sin el conocimiento de las leyes de la 
Mecánica es prácticamente imposible estudiar las demás disciplinas de la Física, ya que en casi 
todos los fenómenos físicos y procesos se presenta el movimiento mecánico. 
 
Como fundamento científico de las disciplinas de ingeniería, la Mecánica es todo un conjunto de 
asignaturas técnicas, generales y especiales, - Estática, Dinámica, Mecánica del Medio Continuo, 
Mecánica de Materiales, Teoría de Máquinas y Mecanismos, Mecánica de los Fluidos, Mecánica 
de Suelos, entre otras- dedicadas a la investigación del movimiento de los cuerpos sueltos y de 
sus sistemas, así como al diseño y análisis de mecanismos, máquinas y estructuras. 
 
Con mayor precisión, el objetivo de la Estática, como ciencia, es el estudio de las propiedades 
generales de las fuerzas y las condiciones de equilibrio de los cuerpos sometidos a la acción de 
fuerzas. 
 
En correspondencia con las consideraciones anteriores, el contenido del presente curso incluye la 
exposición de la teoría –conceptos, definiciones, leyes o principios y teoremas- de la Estática y 
sus aplicaciones a la solución de problemas. Se procura hacer una presentación lo más unificada 
y concisa posible, es decir, hacer la deducción de las ecuaciones para las categorías más 
generales de sistemas de fuerzas y, a partir de ellas, obtener las correspondientes a los sistemas 
más simples. Se hace uso intensivo del formalismo matemático correspondiente al Álgebra 
Vectorial. 
 
Finalmente, a pesar de que la asignatura de Estática es de naturaleza básica y de tipo teórico y, 
no obstante, que sus leyes y teoremas son muy pocos, la asimilación de su contenido, así como la 
habilidad para su aplicación a situaciones reales, requiere un alto nivel de entrenamiento en la 
solución de problemas. Por esta razón, la parte práctica del curso se desarrolla mediante la 
formulación y solución de numerosos problemas; unos de valoración académica, con el 
propósito de comprender los conceptos y teoría básica de la asignatura; otros relacionados con el 
ejercicio de la profesión, para motivar la aplicación a situaciones de la vida profesional; y 
algunos orientados hacia la investigación, a fin de inducir actitudes hacia la búsqueda de nuevos 
conocimientos para fomentar la creatividad y el trabajo independiente del futuro profesional. En 
todos los casos es imprescindible la participación activa del estudiante, tanto en las clases como 
fuera de ellas. 
 
 
 
 
4 
 
Así, en este contexto, el curso de estática tiene los siguientes objetivos generales, a saber: 
 
 Valorar la importancia del conocimiento y comprensión de los conceptos de las ciencias 
básicas de la ingeniería, para lograr su aplicación a problemas de análisis y diseño de 
sistemas. 
 
 
 Analizar los conceptos y leyes correspondientes a: la composición y descomposición de 
fuerzas; la reducción de los sistemas de fuerzas a su expresión más simple; y la 
determinación de las condiciones de equilibrio de los sistemas de fuerzas que actúan sobre 
un cuerpo rígido. Todo a través de sus aplicaciones al análisis y diseño de sistemas en 
equilibrio. 
 
 
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CONTENIDO: 
 
 UNIDAD 1. FUNDAMENTOS DE LA ESTÁTICA 
 
 
 
 UNIDAD 2. EQUILIBRIO 
 
 
 
 UNIDAD 3. FRICCIÓN 
 
 
 
 UNIDAD 4. CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE LAS SECCIONES 
TRANSVERSALES DE LAS BARRAS 
 
 
 
 UNIDAD 5. FUERZAS INTERNAS EN ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS 
 
 
 
METODOLOGÍA DIDÁCTICA: 
 
Con el propósito de facilitar la adquisición de conocimientos, el profesor, al inicio de cada tema, 
realizará clases teóricas, donde se hará el análisis de los conceptos y leyes principales. 
 
Para desarrollar habilidades en la aplicación de la teoría, el profesor realizará clases prácticas, 
donde se resolverán problemas representativos de cada tema. Este tipo de clases representarán 
más del 50% del curso. 
 
Durante las clases prácticas se hará énfasis en los aspectos metodológicos para la solución de los 
problemas y se promoverá la participación activa del estudiante. 
 
Con el fin de fomentar el trabajo independiente por parte de los estudiantes, para cada tema el 
profesor indicará la lectura de material bibliográfico, que permita complementar las clases del 
curso; asimismo, se asignarán problemas para que sean resueltos por los estudiantes como tareas. 
 
 
EVALUACIÓN DE LA ASIGNATURAEvaluaciones frecuentes 10% 
Cinco exámenes parciales 60% 
Tareas y trabajos 30% 
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BIBLIOGRAFÍA: 
 
Texto: 
 
 Meriam, J. L. and Kraige, L. G. 2007. “Engineering Mechanics”, Vol. 1, Statics, 6th. ed., 
John Wiley and Sons, Inc., New York, U.S.A. 
 
Consulta: 
 
 Boresi, A.P. and Richard J. Schmidt. 2001.”Engineering Mechanics”, Vol. 1, Statics. 
BROOKS/COLE, U.S.A. 
 
 Beer, F.P.; Johnston, E.R. and Eisenberg R.E. 2010 “Vector Mechanics for Engineers”, 
Vol. 1, Statics 9th ed. SI, McGraw-Hill Book Co. Singapore. 
 
 Hibbeler, R.C. 2010. “Engineering Mechanics” Statics, 12th ed. Prentice-Hall. U.S.A. 
 
 Soutas-Little, R.W.; Inman, D.J. and Balint, D. S. 2008. “Engineering Mechanics”, Vol. 
1. Statics, THOMSON. 
 
 
 
 
 
 
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Índice 
UNIDAD 1. FUNDAMENTOS DE LA ESTÁTICA ................................................................... 9 
1.1 CARACTERIZACIÓN DE LA ESTÁTICA ...................................................................................... 9 
1.2 EL PAPEL DE LA ESTÁTICA EN LA INGENIERÍA .................................................................. 13 
1.3 DIMENSIONES Y UNIDADES DE LAS MAGNITUDES FÍSICAS ............................................. 14 
1.4 VECTORES ..................................................................................................................................... 30 
1.5 LEYES DE LA MECÁNICA CLÁSICA.......................................................................................... 46 
1.6 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE LA ESTÁTICA ............................................................... 53 
1.7 AXIOMAS DE LA ESTÁTICA ....................................................................................................... 55 
1.8 FUERZAS Y SISTEMAS DE FUERZAS ........................................................................................ 57 
1.9 COMPOSICIÓN Y DESCOMPOSICIÓN DE FUERZAS............................................................... 58 
1.10 MOMENTO DE UNA FUERZA ................................................................................................... 62 
1.11 TEOREMA DE VARIGNON O PRINCIPIO DE LOS MOMENTOS .......................................... 64 
1.12 PAR DE FUERZAS ....................................................................................................................... 69 
1.13 TEOREMA SOBRE EL TRASLADO PARALELO DE UNA FUERZA: REDUCCIÓN 
FUERZA - PAR ...................................................................................................................................... 71 
1.14 FUERZAS DISTRIBUIDAS .......................................................................................................... 73 
1.15 REDUCCIÓN DE LOS SISTEMAS DE FUERZAS: RESULTANTES ...................................... 76 
UNIDAD 2. EQUILIBRIO .......................................................................................................... 82 
2.1 DEFINICIÓN DE EQUILIBRIO ...................................................................................................... 82 
2.2 CONDICIONES DE EQUILIBRIO .................................................................................................. 82 
2.3 APOYOS Y SUS REACCIONES ..................................................................................................... 83 
2.4 DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE ................................................................................................. 86 
2.6 SISTEMAS ISOSTÁTICOS E HIPERESTÁTICOS ........................................................................ 89 
2.7 SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE EQUILIBRIO ......................................................................... 89 
2.8 EQUILIBRIO DE PARTÍCULAS .................................................................................................... 90 
2.9 EQUILIBRIO DE CUERPOS RÍGIDOS .......................................................................................... 94 
2.10 APLICACIONES A ESTRUCTURAS Y MÁQUINAS .............................................................. 104 
UNIDAD 3. FRICCIÓN ............................................................................................................. 109 
3.1 NATURALEZA Y TIPOS DE FRICCIÓN .................................................................................... 109 
3.2 LEYES DE LA FRICCIÓN SECA ................................................................................................. 110 
3.3 TIPOS DE PROBLEMAS DE FRICCIÓN ..................................................................................... 111 
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UNIDAD 4. CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE LAS SECCIONES 
TRANSVERSALES DE LAS BARRAS .................................................................................. 116 
4.1 CENTRO DE GRAVEDAD, CENTRO DE MASAS Y CENTROIDES. ...................................... 116 
4.3 MOMENTO ESTÁTICO ................................................................................................................ 120 
4.4 MOMENTO DE INERCIA ............................................................................................................. 121 
4.5 PRODUCTO DE INERCIA ............................................................................................................ 123 
4.6 MOMENTO POLAR DE INERCIA ............................................................................................... 125 
4.7 EJES PRINCIPALES Y MOMENTOS PRINCIPALES DE INERCIA ......................................... 126 
4.8 CÍRCULO DE MOHR .................................................................................................................... 129 
UNIDAD 5. FUERZAS INTERNAS EN ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS ....................... 130 
5.1 MÉTODO DE SECCIONES ........................................................................................................... 130 
5.2 COMPONENTES DE FUERZAS INTERNAS. ............................................................................. 135 
5.3 CÁLCULO DE FUERZAS INTERNAS. ....................................................................................... 137 
5.4 ARMADURAS. .............................................................................................................................. 140 
5.5 DIAGRAMAS DE FUERZAS INTERNAS. ANÁLISIS DE VIGAS ........................................... 143 
5.6 MARCOS. ....................................................................................................................................... 156 
 
 
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UNIDAD 1. FUNDAMENTOS DE LA ESTÁTICA 
 
Objetivo 
 
Desarrollar los métodos y procedimientos para la composición y descomposición de fuerzas, y la 
reducción de los sistemas de fuerzas aplicadas a un cuerpo a su expresión más simple, a fin de 
facilitar la predicción de los efectos de las fuerzas sobre los cuerpos o sistemas. 
 
Temas: 
 
1.1 Caracterización de la Estática. 
1.2 El papel de la Estática en la ingeniería. 
1.3 Dimensiones y unidades de las magnitudes físicas. 
1.4 Vectores. 
1.5 Leyes de la Mecánica Clásica. 
1.6 Conceptos fundamentales de la Estática. 
1.7 Axiomas de la Estática. 
1.8 Fuerzas y sistemas de fuerzas. 
1.9 Composición y descomposición de fuerzas. 
1.10 Momento de una fuerza. 
1.11Teorema de Varignon. 
1.12 Par de fuerzas. 
1.13 Teorema sobre el traslado paralelo de una fuerza. 
1.14 Fuerzas distribuidas. 
1.15 Reducción de los sistemas de fuerzas (resultantes). 
 
1.1 CARACTERIZACIÓN DE LA ESTÁTICA 
 
¿Cuál es el objeto de la Mecánica? 
 
La Estática es parte de la Mecánica, y ésta es una rama de la Física. 
 
La Física es la ciencia que estudia los diferentes tipos de movimientos de la materia y sus 
transformaciones mutuas, así como la estructura y propiedades de las formas concretas de la 
materia (sólidos, líquidos, gases y campos). La palabra Física es de origen griego y significa 
naturaleza; como ciencia se inicia con Galileo (1564-1642). 
 
10La Mecánica es la rama de la Física que estudia las leyes generales del movimiento mecánico (o 
simplemente el movimiento) de los cuerpos y establece los métodos generales para la solución de 
los problemas relacionados con este tipo de movimiento. La palabra Mecánica es de origen 
griego y significa construcción, máquina o invento; aparece por primera vez en las obras de 
Aristóteles (384-322 a.C.). 
 
El movimiento mecánico se refiere a los cambios de posición (desplazamientos) de los cuerpos, 
unos con respecto a otros, que suceden en el transcurso del tiempo, así como la variación de la 
posición relativa de las partículas de un mismo cuerpo, es decir, la deformación de este último. 
 
El estado de reposo de los cuerpos es un caso especial de movimiento, de cuyo estudio se encarga 
la parte de la Mecánica denominada ESTÁTICA. 
 
Problemas fundamentales de la Mecánica. 
 
1. El estudio de diferentes movimientos y la generalización de los resultados obtenidos en 
forma de leyes, con ayuda de las cuales pueda predecirse el carácter del movimiento en 
cada caso concreto. 
 
Así se han establecido, por ejemplo, las leyes y teoremas de la Dinámica y, en particular, de la 
Estática. 
 
2. La búsqueda de propiedades generales, propias de cualquier sistema, 
independientemente de la especie concreta de interacción entre los cuerpos de éste. 
 
Así se han descubierto las leyes de conservación de la energía, de la cantidad de movimiento y 
del momento de la cantidad de movimiento. 
 
¿Cuáles son las divisiones o campos de la Mecánica? 
Como ocurre en toda la Física, la clasificación más general de la Mecánica es como sigue: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Velocidad 
Mecánica 
Clásica 
Relativista 
Mecánica 
Cuántica 
Relativista 
Cosmología 
Relativista 
Mecánica 
Cuántica 
MECÁNICA 
CLÁSICA Cosmología 
10-15 10-10 1020 
 c 
c 
Dimensiones (m) 
? 
? 
11 
 
Se llama Mecánica Clásica, la Mecánica basada en las tres leyes de Newton. Actualmente la 
Mecánica Clásica es todo un conjunto de asignaturas técnicas, generales y especiales, dedicadas a 
la investigación del movimiento de los cuerpos sueltos y de sus sistemas, al análisis y diseño de 
distintas obras de ingeniería, especialmente estructuras, máquinas y procesos. 
Dependiendo de la naturaleza de los problemas que se examinan, la Mecánica Clásica se divide 
en: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Estática. Estudia la descomposición y composición de fuerzas, la reducción (resultante) 
de los sistemas de fuerza y las condiciones de equilibrio de los cuerpos. 
 
2. Cinemática. Estudia el movimiento de los cuerpos desde el punto de vista geométrico, es 
decir, independientemente de las fuerzas que actúan sobre estos cuerpos. 
 
3. Cinética. Estudia las dependencias entre el movimiento de los cuerpos y las fuerzas que 
actúan sobre ellos. 
 
 
¿Qué estudia la Estática? 
 
El objetivo de la Estática, como ciencia, es el estudio de las propiedades generales de las fuerzas 
(como magnitudes físicas vectoriales) y las condiciones de equilibrio de los cuerpos sometidos 
a la acción de fuerzas. 
 
Problemas generales de la Estática. 
 
1. Establecer los métodos para la composición y descomposición de fuerzas y la reducción 
de los sistemas de fuerzas, aplicadas a un cuerpo, a su expresión más simple. Esto con el 
propósito de predecir los efectos externos de las fuerzas sobre los cuerpos o sistemas. 
ESTÁTICA 
DINÁMICA 
MECÁNICA 
CLÁSICA 
 DE CUERPOS 
RÍGIDOS 
 DE CUERPOS 
DEFORMABLES 
 DE FLUIDOS 
CINÉTICA 
CINEMÁTICA 
MECÁNICA DE MATERIALES 
 
TEORÍA DE LA ELASTICIDAD 
INCOMPRESIBLES (Hidráulica) 
COMPRESIBLES (Neumática) 
12 
 
 
2. Determinar las condiciones de equilibrio de los cuerpos, sometidos a la acción de 
sistemas de fuerzas, y su aplicación al análisis y diseño de sistemas de ingeniería, 
principalmente máquinas y estructuras en general. 
 
 
 
Problema 1. En la posición representada, el cigüeñal de un motor de dos cilindros está sometido 
a las fuerzas de 400 y 800 N, ejercidas por las bielas y al par de 200 N·m. Para este sistema 
formule dos problemas típicos de Estática. 
 
A
B
 
 
 
. 
13 
 
1.2 EL PAPEL DE LA ESTÁTICA EN LA INGENIERÍA 
 
¿Qué actitud se debe asumir al emprender el estudio de la Estática en una carrera de 
ingeniería? 
 
El estudio de cualquier ciencia básica de ingeniería incluye dos aspectos fundamentales, a saber: 
 
1º. El entendimiento de los conceptos y leyes de la asignatura o disciplina. Esto se logra mediante 
el estudio y análisis de las deducciones teóricas correspondientes. 
 
2º. La aplicación de estos conceptos y principios a situaciones físicas concretas. Esto se logra 
mediante la solución de problemas. 
 
 
¿Cuál es el papel de la asignatura de Estática en la carrera de Ingeniería Mecánica 
Agrícola? 
 
Todos los conceptos, principios y leyes que se estudian en Mecánica tienen un significado físico 
bien definido y ofrecen las siguientes posibilidades de aplicaciones: 
 
1. Aplicaciones básicas o fundamentales: Útiles para comprender y predecir la respuesta 
de los fenómenos físicos y el funcionamiento o comportamiento de sistemas de ingeniería 
(máquinas, estructura y procesos). 
 
2. Aplicaciones prácticas o de ingeniería: Importantes para el análisis y diseño de sistemas 
de ingeniería. 
 
3. Aplicaciones académicas: Necesarias para la asimilación y comprensión de otras 
asignaturas y disciplinas de ingeniería. 
 
Aquí es oportuno precisar la misión de la ingeniería. De acuerdo con la ABET (the Accreditation 
Board for Engineering and Technology): 
 
“La Ingeniería es la profesión en la cual el conocimiento de las ciencias matemáticas y 
naturales – obteniendo a través del estudio, la experiencia y la práctica – se aplica con criterio 
para desarrollar modos para la utilización económica de los materiales y fuerzas de la 
naturaleza para el beneficio de la humanidad”. Esto incluye, en particular, el análisis y diseño de 
estructuras, máquinas y procesos. 
 
En otras palabras la ingeniería es la aplicación de la ciencia a los propósitos de la sociedad. 
 
En conclusión, la ingeniería (principalmente en sus áreas civil, mecánica, industrial y agrícola) se 
fundamenta en las siguientes ciencias básicas de ingeniería: 
 
 
 
14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.3 DIMENSIONES Y UNIDADES DE LAS MAGNITUDES FÍSICAS 
 
La densidad de un suelo; la viscosidad dinámica de un líquido; la velocidad angular de un 
elemento de máquina; la conductividad térmica de un material de construcción; la presión de 
un sistema hidráulico; la energía cinética de un cuerpo en rotación; la fuerza de tracción de un 
vehículo; la potencia de un motor; la temperatura de un proceso termodinámico; la resistencia 
eléctrica de un conductor; el momento de inercia de la sección transversal de una viga; el 
módulo de elasticidad del acero; son algunos ejemplos de magnitudes o cantidades físicas. 
 
¿Qué son o qué representan las magnitudes físicas? 
 
Las magnitudes físicas son los conceptos que definen las propiedades de los cuerpos o las 
características de un proceso, cuyas variaciones siempre han de determinarse cuantitativamente 
por medio de mediciones, es decir, comparando la magnitud física en cuestión con otra 
magnitud determinada de la misma especie que se toma como unidad. 
 
A las magnitudes físicas también se les llama cantidades físicas o variables físicas. 
 
¿A qué se llama unidad de una magnitud física? 
 
Se llama unidad de medición, o simplemente unidad, de la magnitud física A, a una magnitud 
física elegida convencionalmente que tiene el mismo sentido físico que dicha magnitud A. 
 
 
¿Cómo se dividen, para facilitar su manejo, las unidades de las magnitudes físicas? 
 
Convencionalmente se dividen en unidades básicas o fundamentales y en unidades derivadas o 
secundarias. 
 
a) Las unidades básicas se establecen de forma arbitraria e independientesunas de otras. Se 
definen por medio de procesos físicos invariables o mediante prototipos normalizados. 
 
Ejemplos de unidades básicas, según el Sistema Internacional de Unidades, son el metro, 
el segundo y el kilogramo, para la longitud, el tiempo y la masa, respectivamente. 
CIENCIAS BÁSICAS DE 
INGENIERÍA 
- Mecánica de Cuerpos Rígidos 
 
- Mecánica de Materiales 
 
- Mecánica de Fluidos 
 
- Termodinámica 
 
- Electricidad 
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b) Las unidades derivadas se expresan a través de las fundamentales con ayuda de las leyes 
físicas o definiciones correspondientes. 
 
Ejemplos de unidades derivadas son el newton, el joule y el metro por segundo, para la 
fuerza, la energía y la velocidad, respectivamente. 
 
¿Qué representa la dimensión de una magnitud física? 
 
Se denomina dimensión o fórmula dimensional, de una magnitud física B cualquiera, a la 
expresión matemática que define la relación existente entre la unidad de medición de esta 
magnitud, y las unidades fundamentales del sistema dado. 
 
Ejemplo. De acuerdo con la segunda ley de Newton, F = ma , las dimensiones de la fuerza son: 
 
[F] = [m] [a] = [M][LT -2] = MLT -2 
 
Esta es la fórmula dimensional de la fuerza. 
 
Ejemplo. La dimensión de la energía cinética de una partícula, determinada a partir de la 
ecuación 
 
 
 es igual a [T] = [m] [v2] = [M] [L2T -2] = L2 M T -2 
 
De esta última fórmula, en particular, se deduce que si al medir longitudes se pasa de metros a 
centímetros y al medir la masa se pasa de kilogramos a gramos, mientras se conserva el segundo 
como unidad de tiempo, resultará ser que la unidad de energía cinética aumenta en 
(100)2(1000)=107 veces. 
 
Por consiguiente, la dimensión se puede interpretar como una unidad generalizada de medida, 
es decir, como un código que nos dice cómo cambia el valor numérico de una magnitud física 
cuando se cambian las unidades fundamentales de medida. 
 
Es importante observar que la fórmula dimensional o dimensión de una misma magnitud física 
puede tener diferente aspecto, según sea la elección de las correlaciones determinantes. Por 
consiguiente, la dimensión no es una propiedad invariable o intrínseca de la magnitud física 
dada, sino que depende del procedimiento de construcción del sistema de unidades, como se 
demuestra en el siguiente ejemplo: 
 
Ejemplo. Dimensiones de la fuerza. Como se sabe, además de la segunda ley de Newton 
 existe la ley de gravitación universal de Newton, 
 
 . 
 
De este modo, si se toma la segunda ley de Newton como correlación determinante para la 
fuerza, resulta: 
[F]= MLT-2 
 
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y, por ello, la constante gravitacional G en la ley de gravitación de Newton no puede ser 
adimensional: 
 
 
 
 
Por lo tanto: 
 
[ ] 
[ ][ ] 
[ ][ ]
 
[ ][ ] 
[ ][ ]
 
 
 
 
 
[G]= M-1L3T-2. 
La existencia de dimensiones en la constante gravitacional significa que el valor numérico de ésta 
depende de la elección de las unidades fundamentales. En efecto, 
 
G = 6.67 x 10-11 N·m2 / kg2 = 6.67 x 10-11 m3·kg-l·s-2 
 
Por otro lado si, en lugar de la segunda ley de Newton, se tomara la ley de gravitación universal 
de Newton como correlación determinante para la fuerza, resultaría: 
 
[F] = L-2M2 
 
Con ello, la constante gravitacional G resultaría ser adimensional, es decir, independiente de las 
unidades fundamentales e igual a cualquier número constante, por ejemplo, a la unidad. En estas 
condiciones, la segunda ley de Newton adquiriría la forma: 
 
 
donde la constante de inercia K tendría las dimensiones 
 
[K] = ML-3T2 
 
y su valor numérico no necesariamente sería igual a la unidad. 
 
Problema 2. Establecer, mediante ejemplos, la relación que existe entre magnitud física, 
dimensión y unidad. 
 
Solución 
 
MAGNITUD FÍSICA  DIMENSIÓN  UNIDAD 
 
Magnitud física Dimensiones Unidades 
Longitud L m 
Masa M kg 
Tiempo T s 
Densidad (volumétrica) ML -3 kg·m-3 
Velocidad LT -1 m·s-1 
Calor específico L2T-2Θ-1 J/kg·K 
 
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¿Cómo se clasifican, desde el punto de vista de las dimensiones, las magnitudes físicas? 
 
a) Homogéneas: Cuando tienen las mismas dimensiones y el mismo significado físico. Por 
ejemplo, el trabajo y el calor. 
 
b) Homónimas: Cuando tienen igual dimensión, pero diferente significado físico. Por 
ejemplo, el momento de una fuerza y el trabajo. 
 
c) Adimensionales: Cuando sus valores numéricos no dependen del sistema de unidades de 
medición. Por ejemplo, el coeficiente de fricción. 
 
Si una magnitud física A es adimensional, se escribe [A]= [1]. 
 
¿Qué es un sistema de unidades? 
 
El conjunto de unidades fundamentales y derivadas, pertenecientes a algún sistema de 
magnitudes, construido en concordancia con ciertos principios adoptados, forma un sistema de 
unidades. 
 
Históricamente, en la Mecánica, los sistemas de unidades se dividieron en sistemas absolutos 
y sistemas gravitacionales. 
 
a) Sistemas absolutos: Cuando se consideran como magnitudes fundamentales a la masa 
(M), la longitud (L) y el tiempo (T). La fuerza pasa a ser una magnitud física derivada, 
[F]=MLT -2. 
 
b) Sistemas gravitacionales: Cuando se consideran como magnitudes fundamentales a la 
fuerza (F), la longitud (L) y el tiempo (T). La masa pasa a ser una magnitud física 
derivada, [M]=FL -1T 2. 
 
Sistema Internacional de Unidades (SI) 
 
¿Cuál es la estructura y características del Sistema Internacional de Unidades? 
 
a) Es un sistema absoluto ampliado. 
 
b) Considera siete magnitudes físicas fundamentales. 
 
c) Incluye dos magnitudes suplementarias. 
d) Las dimensiones de las magnitudes derivadas se establecen de manera lógica y 
coherente, a partir de las correlaciones determinantes. 
 
e) Utiliza un conjunto de prefijos para abreviar la escritura de cantidades muy grandes o 
muy pequeñas. 
 
f) Establece un conjunto de reglas “ortográficas” para la escritura de los símbolos y 
valores numéricos de las magnitudes físicas. 
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¿Por qué el SI es un sistema absoluto ampliado? 
 
Porque no solamente considera las magnitudes mecánicas (longitud, masa y tiempo); sino 
también incluye las magnitudes eléctricas, termodinámicas, ópticas y químicas. 
 
 
¿Cuáles son las siete magnitudes fundamentales del SI? 
 
El Sistema Internacional de Unidades, abreviado SI por sus siglas en francés (Le Système 
International d'Unités), fue adoptado en 1960 por los delegados de la 11a Conferencia General de 
Pesas y Medidas, y popularmente se conoce como sistema métrico. 
 
Hoy día en el mundo predomina el uso del SI en los ámbitos científicos, ingenieriles, comerciales 
y educativos. 
 
 
 
A partir de 1971, durante la 14a Conferencia General de Pesas y Medidas, se establecieron siete 
magnitudes físicas fundamentales, como base para la estructuración del SI y de aplicación en 
toda la ciencia y la técnica. 
 
19 
 
Magnitudes básicas o fundamentales SI: 
MAGNITUD 
FÍSICA DIMENSIÓN 
NOMBRE 
DE LA 
UNIDAD 
SÍMBOLO 
DE LA 
UNIDAD 
DEFINICIÓN DE LA UNIDAD 
Longitud L metro m 
La longitud de la trayectoria recorrida 
por la luz en el vacío durante un 
intervalo de tiempo de 1/299 792 458 
s. Adoptado en 1983. 
Masa M kilogramo kg 
Masa igual a la del prototipo 
internacional guardado en Sevres 
(Francia). Establecido en 1901. 
Tiempo T segundo s 
Tiempo igual al de la duración de 9 
192 631 770 periodos de radiación 
correspondiente a la transición entre 
dos niveles superfinos del estado 
fundamental del átomo de cesio-133. 
Adoptado en 1967. 
Intensidad de la 
corriente 
eléctrica 
I ampere A 
La corriente constante que, pasando 
por dos conductores paralelos 
rectilíneos, de longitud infinita y área 
de sección circular despreciable, 
situados a 1 m de distancia uno de 
otro en el vacío, produce entre ambos 
una fuerza igual a 2x10-7 N por cada 
metro de longitud. Adoptado en 1946. 
Temperatura 
termodinámica Θ kelvin K 
La fracción 1/273.16 de la 
temperatura termodinámica del punto 
triple del agua. Adoptado en1967. 
Intensidad 
luminosa J candela cd 
La intensidad luminosa en una 
dirección dada de una fuente que 
emite radiación monocromática de 
frecuencia 540x1012 Hz y que tiene 
una intensidad radiante en esa 
dirección de 1/683 W por 
estereorradián. Adoptado en 1979. 
Cantidad de 
sustancia N mol mol 
La cantidad de sustancia que contiene 
tantas unidades elementales como 
átomos hay en 0.012 kg de carbono 
12. Adoptado en 1971. 
 
 
 
 
¿Cuáles son las dos magnitudes suplementarias del SI? 
 
Desde su origen, el SI consideró separar en un grupo especial de magnitudes suplementarias, 
correspondientes a las magnitudes para el ángulo plano y el ángulo sólido. Esto debido, quizás, a 
la característica adimensional del ángulo, lo cual significa, simplemente, que su unidad no 
depende de las magnitudes fundamentales. 
 
20 
 
Magnitudes suplementarias SI: 
MAGNITUD 
FÍSICA DIMENSIÓN 
NOMBRE DE LA 
UNIDAD 
SÍMBOLO 
DE LA 
UNIDAD 
DEFINICIÓN DE LA 
UNIDAD 
Ángulo plano Adimensional radián rad 
El ángulo plano entre dos 
radios de la 
circunferencia, la longitud 
del arco entre los cuales es 
igual al radio. 
Ángulo sólido Adimensional estereorradián sr 
El ángulo sólido con 
vértice en el centro de una 
esfera que intercepta, 
sobre la superficie de la 
esfera, un área equivalente 
a la de un cuadrado de 
lado igual al radio de esta 
esfera. 
 
 
Ejemplos de magnitudes derivadas del SI y procedimiento para obtener sus dimensiones y 
unidades. 
Las magnitudes derivadas son aquellas cuyas dimensiones se relacionan con las magnitudes 
fundamentales, mediante correlaciones determinantes (ecuaciones) que expresan leyes físicas o 
definiciones de las magnitudes correspondientes. 
 
Ejemplos de magnitudes derivadas SI: 
MAGNITUD FÍSICA UNIDAD 
Nombre Dimensiones Nombre de la unidad Símbolo Observaciones 
Superficie L2 metro cuadrado m2 
Volumen L3 metro cúbico m3 
Velocidad LT -1 metro por segundo m/s 
Aceleración LT -2 metro por segundo al cuadrado m/s
2 
Frecuencia T -1 hertz Hz 
Velocidad 
angular T 
-1 radián por segundo rad/s rad/s = s-1 
Aceleración 
angular T 
-2 radián por segundo al cuadrado rad/s
2 rad/s2 = s-2 
Densidad L -3M kilogramo por metro cúbico kg/m
3 
Cantidad de 
movimiento LMT 
-1 kilogramo metro por segundo kg·m/s 
Momento de 
la cantidad de 
movimiento 
L2MT -1 kilogramo metro cuadrado por segundo kg·m
2/s 
Fuerza LMT -2 newton N 1N = 1 kg·m/s2 
Momento de 
una fuerza L
2MT -2 newton metro N·m 
Impulso de 
una fuerza LMT 
-1 newton segundo N·s 
 
 
21 
 
Ejemplos de magnitudes derivadas SI (continuación): 
MAGNITUD FÍSICA UNIDAD 
Nombre Dimensiones Nombre de la unidad Símbolo Observaciones 
Presión, 
Esfuerzo, 
Módulo de 
elasticidad 
L-1MT -2 pascal Pa 
1 Pa = 1 N/m2 
 
 
Tensión 
superficial MT 
-2 newton por metro N/m 
Trabajo, 
Energía L
2MT -2 joule J 1 J = 1 N·m 
Potencia L2MT -3 watt W 1 W = 1 J/s 
Viscosidad 
dinámica L
-1MT -1 pascal segundo sPa  
Viscosidad 
cinemática L
2T -1 metro cuadrado por segundo m
2/s 
Calor 
específico L
2T -2Θ -1 joule por kilogramo kelvin Kkg
J

 
Cantidad de 
calor, Energía 
interna 
L2MT -2 joule J mNJ  11 
Capacidad 
calorífica, 
Entropía 
L2MT -2Θ -1 joule por kelvin J/K 
Flujo luminoso J lumen lm 
Iluminación L-2J lux lx 1 lx = 1 lm/m2 
Carga eléctrica T I coulomb C 
Potencial 
eléctrico L
2MT -3I -1 volt V 
Capacitancia M-1L-2T4I2 faraday F 
Resistencia ML2T-3I-2 ohm Ω 
 
El análisis de las dimensiones, las unidades correspondientes y, en su caso, la definición de la 
unidad de las magnitudes físicas derivadas se realiza como en los siguientes problemas. 
 
Problema 3. Obtener de las dimensiones y unidades SI de la fuerza. 
 
 
Problema 4. Obtener de las dimensiones y unidades SI de la presión. 
 
Problema 5. Obtener de las dimensiones y unidades SI del trabajo, calor y energía. 
 
Problema 6. Obtener de las dimensiones y unidades SI de la potencia. 
 
 
 
22 
 
¿Cuáles son los prefijos adoptados en el SI? 
 
Los múltiplos y submúltiplos de las unidades SI son creados añadiendo prefijos a las unidades. El 
uso de estos prefijos evita el empleo de números muy grandes o muy pequeños. 
 
 
 Prefijos SI: 
Factor Prefijo Símbolo Ejemplo 
1024 yotta Y 
1021 zetta Z 
1018 exa E 
1015 peta P 
1012 tera T 
109 giga G 120 GPa 
106 mega M 85 MN 
103 kilo k 10 kW 
102 hecto h 
101 deca da 
10-1 deci d 
10-2 centi c 
10-3 mili m 100 mA 
10-6 micro μ 25 μmol 
10-9 nano n 12 ns 
10-12 pico p 
10-15 femto f 
10-18 atto a 
10-21 zepto z 
10-24 yocto y 
 
 
Problema 7. Demostrar que 
 
 
 
Problema 8. Demostrar que 
 
 
23 
 
Algunas reglas “ortográficas” para la escritura de las unidades SI: 
REGLA EJEMPLO 
No Descripción Correcto Incorrecto 
1 
Los símbolos de las unidades deben escribirse en caracteres 
romanos rectos, no en caracteres oblicuos ni con letras cursivas. En 
los textos, las unidades se escribirán con palabras a menos que se 
estén reportando valores numéricos, en cuyo caso pueden usarse 
palabras o símbolos. 
Pa 
J 
kilogramos 
12 m 
12 metros 
Pa 
J 
2 
El signo de multiplicación para indicar el producto de dos o más 
unidades debe ser un punto elevado. Cuando la unidad se escribe 
en palabras, no se requiere del punto. 
N·m 
kg·m 
newton metro 
mN 
Pas 
3 
La división se muestra en una unidad compuesta por una diagonal 
o por multiplicación usando un exponente negativo. Cuando la 
unidad se escribe en palabras, la diagonal se reemplaza siempre por 
“por”. 
m/s 
m·s-1 
metro por 
segundo 
metro entre 
segundo 
4 
Siempre debe usarse un espacio entre un número y sus unidades, 
con la excepción del símbolo de grado (ya sea angular o de 
temperatura), en donde no se usa un espacio entre el número y el 
símbolo. 
130 Pa 
130 pascales 
45° 
20°C 
130Pa 
45 ° 
20 °C 
5 
Los símbolos de las unidades nunca tendrán puntos finales como 
parte del símbolo, y no deben pluralizarse para no utilizar la letra s 
que por otra parte representa al segundo. Por supuesto, un punto 
puede seguir a una unidad al final de una oración. 
km 
kg 
km. 
kgs 
6 
Cuando se escriben como palabras, las unidades se usarán en 
singular o plural según el contexto. Cuando se escriben como 
símbolos, las unidades se usan siempre en singular. Los plurales de 
otras unidades se forman de la manera acostumbrada. 
1 kilómetro, 
20 kilómetros, 
7 segundos 
5 km, 25 km, 
15 s, 
newtons, 
watts 
56 kms 
7 
Cuando se escriben como símbolo, las unidades se anotarán con 
mayúsculas cuando se derivan del nombre de una persona. Una 
excepción es el símbolo para litro, que es L, para evitar confusión 
con el número 1. Cuando se escriben como palabras, las unidades 
no llevan mayúsculas (excepto al principio de una oración o en un 
título con sólo mayúsculas). 
W 
N 
MPa 
megapascal 
newton 
 
8 
Deben usarse espacios, y no comas para separar los números largos 
en grupos de tres dígitos, contando desde el punto decimal tanto 
hacia la derecha como hacia la izquierda. La dificultad en el uso de 
los espacios puede minimizarse usando prefijos y potencias de 10. 
23 345 765.906 23,345,765.906 
9 
Cuando se trata del símbolo de una magnitud que sea el cociente 
de dos unidades, solamente se debe utilizar un prefijo y éste debe 
ser colocado en el numerador. Es preferible no usar múltiplos o 
submúltiplos en el denominador. Una excepción es el kilogramo 
que es una unidad básica (la letra “k” no se considera como 
prefijo). 
kN/m 
J/kg 
N/mm 
mJ/g 
10 En la escritura de los múltiplos y submúltiplos de las unidades, el nombre del prefijo no debe estar separado del nombre de la unidad. microsegundo micro segundo 
11 Los símbolos para la hora, la hectárea, la tonelada y el gramo son: h, ha, t y g, respectivamente. 
 
 
 
24 
 
Aplicaciones de la teoría de las dimensiones de las magnitudes físicas 
 
¿Cuáles son las principales aplicaciones de la teoría de las dimensiones y unidades de 
lasmagnitudes físicas? 
 
La teoría de las dimensiones y unidades de las magnitudes físicas tiene, entre otras, las siguientes 
aplicaciones: 
 
1. Obtención de las dimensiones y unidades de las magnitudes físicas. 
 
2. Análisis de la homogeneidad dimensional de las ecuaciones. 
 
3. Conversión de unidades y ecuaciones. 
 
4. Análisis dimensional. En general, si se conocen de antemano las magnitudes físicas que 
participan en un proceso bajo estudio, se puede establecer el carácter de la dependencia 
funcional que relaciona las magnitudes dadas, con base a la comparación de las 
dimensiones que participan. Para llevar a cabo este análisis se recurre al llamado 
teorema Π o de Buckingham. 
 
5. Diseño de experimentos que involucran el estudio del comportamiento de un prototipo a 
través de un modelo y la interpretación de los resultados obtenidos durante dichos 
experimentos. Aquí son de gran ayuda los números o parámetros adimensionales, a 
saber: los números de Reynolds, Froude, Strouhal, Mach, Nusselt, Prandtl, Grashof, 
entre otros. 
 
Obtención de las dimensiones y unidades de las magnitudes físicas. 
 
¿Cuál es el procedimiento para obtener las dimensiones y unidades de una magnitud física? 
 
Se presentan dos casos: 
 
a) Cuando se trata de magnitudes físicas fundamentales 
 
Como se ha establecido, éstas se definen por sí mismas. En el caso del SI se tienen siete 
magnitudes físicas fundamentales. 
 
b) Cuando se trata de magnitudes físicas derivadas 
 
En este caso se recurre a correlaciones determinantes, es decir, a fórmulas que expresan 
definiciones o leyes físicas. 
 
Problema 9. Obtener las dimensiones y unidades SI del calor específico. 
 
Problema 10. Obtener las dimensiones y unidades SI de la viscosidad dinámica. 
 
25 
 
Análisis de la homogeneidad dimensional de las ecuaciones. 
 
¿En qué principio se basa el análisis de la homogeneidad dimensional de las ecuaciones? 
 
Aquí desempeña un papel fundamental el principio de homogeneidad dimensional: 
 
Todas las ecuaciones, ya sea que se expresen en forma numérica o simbólica, deben* ser 
dimensionalmente homogéneas, esto es, las dimensiones de todos los términos en la ecuación 
deben ser iguales. 
 
El principio de homogeneidad dimensional garantiza que la definición matemática de un 
fenómeno físico cualquiera, que indique la dependencia funcional entre los valores numéricos de 
unas magnitudes físicas, sea independiente de las unidades que se elijan para medir dichas 
magnitudes. 
 
* El cumplimiento del principio de homogeneidad dimensional no siempre es evidente, ya que en 
muchos casos (sobre todo cuando se trata de ecuaciones empíricas) los coeficientes de los 
términos de las ecuaciones tienen dimensiones (y por lo tanto unidades) implícitas. De este modo, 
se tienen dos tipos de ecuaciones: 
 
a) Ecuaciones dimensionalmente homogéneas: Todos sus términos tienen las mismas 
dimensiones de manera directa y sus coeficientes no tienen dimensiones. 
 
b) Ecuaciones "no dimensionalmente homogéneas”: Todos sus términos no tienen las 
mismas dimensiones de manera directa y sus coeficientes tienen dimensiones. 
 
La homogeneidad dimensional es una condición necesaria, pero no suficiente, para que una 
ecuación describa correctamente un fenómeno físico. Una ecuación puede tener las mismas 
dimensiones en cada uno de sus términos y no tener significado físico alguno, o bien ser 
incorrecta. 
 
Al analizar la homogeneidad dimensional de las ecuaciones, debe observarse que la estructura 
matemática de una ecuación puede ser algebraica, trascendente, en derivadas (ecuaciones 
diferenciales) y con integrales. En todos los casos debe cumplirse el principio de homogeneidad 
dimensional. 
 
a) Ecuaciones algebraicas. 
 
En este caso, el análisis de la homogeneidad dimensional se lleva a cabo con base en las reglas 
del álgebra de los números reales. 
 
 
26 
 
Problema 11. Analizar la homogeneidad dimensional de la ecuación de Bernoulli para una vena 
de líquido ideal incompresible: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
donde z representa la altura geométrica, p la presión, γ el peso específico, V la velocidad del 
líquido y g la aceleración de la gravedad. 
 
Problema 12. Determinar si la siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea o no. 
 
 
 
 donde F es la fuerza, es la viscosidad dinámica, es la velocidad, d es el diámetro, es la 
densidad, y es la descarga o gasto volumétrico. 
 
Problema 13. Una ecuación comúnmente utilizada para el cálculo de la velocidad de un flujo 
uniforme en canales abiertos es la ecuación de Manning: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
donde v representa la velocidad del agua (m/s), n es el coeficiente de rugosidad de la superficie 
del canal (adimensional), R el radio hidráulico de la sección transversal del canal (m) y S la 
pendiente topográfica del canal (adimensional). Analizar la homogeneidad dimensional de la 
ecuación de Manning. 
 
Problema 14. En la ecuación dimensionalmente homogénea √ ( ) 
 
 , Q es un 
volumen por unidad de tiempo (gasto), W y h son longitudes. Hallar las dimensiones de a y B. 
 
 
Problema 15. La ecuación de estado de los gases reales, según Van der Waals, tiene el aspecto 
( 
 
) ( ) 
 
 Sabiendo que p es la presión del gas, V es el volumen que éste ocupa, 
m es la masa, T es la temperatura absoluta, M es la masa molar y R es la constante universal de 
los gases, determinar las dimensiones y unidades de las magnitudes a y b. 
 
 
b) Ecuaciones trascendentes. 
 
Una ecuación es de tipo trascendente cuando incluye funciones exponenciales, logarítmicas, 
trigonométricas, trigonométricas inversas o sus combinaciones. Desde el punto de vista del 
análisis de las dimensiones, es necesario considerar que los argumentos de las funciones 
trascendentes deben ser adimensionales. 
 
 
27 
 
Problema 16. Hallar las dimensiones fundamentales de y, a, b, y c en la siguiente ecuación 
dimensionalmente homogénea, (√ ) , en la que A es una longitud y t 
es el tiempo. 
 
Problema 17. En Reología, la ecuación ( (
 
 ) ) ( 
 
) describe la deformación de un 
material viscoelástico, de acuerdo con el modelo de Voigt-Kelvin. En este modelo, ε es la 
deformación lineal (adimensional), E es el módulo de elasticidad del material (fuerza por unidad 
de área), t es el tiempo y σ0 es un esfuerzo. ¿Cuáles son las dimensiones y unidades 
fundamentales de η? E y σ0 tienen las mismas dimensiones. 
 
c) Ecuaciones diferenciales. 
 
Estas son las ecuaciones donde participan derivadas ordinarias o parciales. Al momento de llevar 
a cabo el análisis de las dimensiones en este tipo de ecuaciones, es importante recordar el 
significado físico de la derivada como una razón de cambio. Por ejemplo, si 
 
, entonces 
[ ] [ ][ ]; si 
 
 
 , entonces [ ] [ ][ ] . En general, si 
 
 
 , entonces [ ] [ ][ ] 
 
 
Problema 18. En la ecuación diferencial 
 
 
 
[( ) ] (
 
 
)
 
 
 
 
q es una masa por unidad de longitud, a es una masa y t es el tiempo. Hallar las dimensiones 
fundamentales de x, g y v. 
 
 
Problema 19. Determinar las dimensiones de los coeficientes A y B en la siguiente ecuación 
diferencial: 
 
 
 
 
 
 
 
donde x es la longitud y t es el tiempo. 
 
Problema 20. Un circuito eléctrico simple con inductancia, capacitancia y resistencia está 
descrito por la ecuación diferencial 
 
 
 
 
 , donde t denota el tiempo (s), v 
denota el potencial eléctrico (N·m·s-1·A-1). Para que esta ecuación sea dimensionalmente 
homogénea, ¿cuáles deben ser las unidades de los coeficientes a y b? 
Problema 21. En la transferencia de calor se establece la siguiente ecuación diferencial de 
conducción del calor: 
 
 
 
( 
 
 
 
 
 
 
 
 
) donde T es la temperatura, t el tiempo, k la 
conductividad térmica, c el calor específico, ρ la densidad, y x–y–z son coordenadas. Determine 
lasdimensiones y unidades fundamentales de la conductividad térmica k. 
 
28 
 
d) Ecuaciones con integrales. 
 
Cuando se analizan las dimensiones de las ecuaciones que contienen integrales, es importante 
considerar que la integración es un proceso de suma. 
 
 
Problema 22. El momento de inercia de una sección de área A, con respecto a un eje x, se define 
de la siguiente manera: 
 ∫ 
 
 
 
donde y es una distancia. ¿Cuáles son las dimensiones del momento de inercia, Ix, de un área? 
y
O
x
y
A
dA 
x 
 
 
Problema 23. Durante el análisis del principio de conservación de la masa, aparece la siguiente 
igualdad: ∫ ∫( ⃗ ⃗⃗) En esta expresión ρ es la densidad (volumétrica), t es el 
tiempo, V es el volumen, ⃗ es el vector velocidad, ⃗⃗ es el vector unitario normal (adimensional) 
y S es el área. Comprobar la homogeneidad dimensional de esta ecuación. 
 
 
Conversión de unidades y ecuaciones 
La conversión de unidades y ecuaciones es una necesidad práctica que se puede presentar dentro 
de un mismo sistema de unidades o al pasar de un sistema de unidades a otro. En ambos casos, 
el procedimiento se fundamenta en lo siguiente: 
 
29 
 
a) El empleo de los factores de conversión, como los siguientes: 
 
 
Longitud 
1 pulgada = 2.54 cm 
1 pie = 0.304 8 m 
1 yarda = 0.9144 m 
1 milla = 1.609 km = 1 760 yd 
1 angströn = 1 Ǻ = 10-10 m 
Presión 
1 bar = 105 Pa 
1 atm = 760 mm de Hg = 1.013 bar = 1.033 kgf/cm2 
 = 14.7 lbf/pulg2 = 101 325 Pa = 10.332 m de 
H2O 
Fuerza 
1 kgf = 9.81N 
1 lbf = 0.4536 kgf 
 
Aceleración 
g = 9.81 m/s2 = 32.2 pies/s2 
Energía 
1 cal = 3.969 x 10-3 Btu = 4.1860 J 
1 Btu = 252 cal = 1.054 x 103 J 
1 kilowatt-hora = 1 kW·h = (103 W )(3600 s) = 3.60 x 
106 J = 3.60 MJ 
Volumen 
1 L = 1 000 cm3 
1 galón = 3.786 L 
 
Ángulo plano 
1 rad = 








180 = 57.296° 
Potencia 
1 hp = 550 ft·lb/s = 746 W 
1 cv = 736 W 
1 W = 1 J/s = 0.738 ft·lb/s = 3.413 Btu/h 
1 Btu/h = 0.293 W 
 
 Tiempo 
1 h = 3600 s 
Masa 
1 000 kg = 1 t (tonelada métrica) 
1 slug =14.59 kg 
1 lbm = 0.453 6 kg 
Área 
1 ha = 104 m2 
1 acre = 404 6.9 m2 
Temperatura 
T(ºF) = 1.8(ºC)+32 
T(ºC) = [T(ºF)-32]/1.8 
T(K) = T(ºC)+273.15 
T(R) = T(ºF)+459.67 
T(R) = 1.8T(K) 
ΔT(K) = ΔT(ºC) 
ΔT(R) = ΔT(ºF) 
Cantidad de sustancia 
1 mol = 6.02 x 1023 unidades elementales 
 
 
 
 
30 
 
La propiedad de los números reales de que a x 1 = a = 1 x a, donde el 1 debe interpretarse 
de la siguiente manera: 
 
Como se sabe, por ejemplo, 1 pie = 0.3048 m. De aquí resulta: 
 
 
 
 o bien 
 
 
 
 
 Generalizando: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 24. Convertir una velocidad de 100 km/h a m/s 
 
Problema 25. Una atmósfera de presión equivale a 14.7 lbf/pulg2. Convertir este valor a 
pascales. 
 
Problema 26. Durante el diseño de un invernadero, se tiene el valor numérico de la 
conductividad térmica de un material de construcción, k = 0.72 
 
 
 . Convertir este valor a 
unidades correspondientes al sistema inglés, es decir, a 
 
 
 
 
Problema 27. La siguiente ecuación permite estimar la presión que ejerce el viento sobre una 
estructura: p = 0.00256v2, donde v es la velocidad del viento en millas/h y p es la presión 
correspondiente en lbf/pie2. Convertir esta ecuación de tal modo que p resulte en kPa cuando v se 
exprese en km/h. 
 
Problema 28. En ingeniería de conservación de suelos se utiliza la siguiente ecuación para 
estimar la energía cinética de una lluvia: E = 210 + 89 log I, donde E es la energía cinética de la 
lluvia en toneladas-metro/hectárea-centímetro, I es la intensidad de la lluvia en cm/h. Convertir 
esta ecuación de tal modo que E resulte en J/m2·mm cuando I se exprese en mm/h. 
 
1.4 VECTORES 
 
Vectores y escalares. 
 
¿Cuál es la diferencia entre escalares y vectores? 
 
La investigación de los fenómenos en las ciencias naturales e ingeniería implica el tratamiento de 
cantidades de diversa naturaleza matemática: escalares, vectores y tensores. La diferencia entre 
estas cantidades radica en sus expresiones analíticas y en las leyes de transformación de tales 
expresiones cuando se pasa de un sistema de coordenadas a otro. 
 
31 
 
Una magnitud escalar (por ejemplo, la masa, el tiempo, la temperatura y la energía) queda 
definida solamente por su valor numérico (módulo), el cual expresa la relación entre esta 
magnitud respecto a la unidad de medida elegida. Los escalares son magnitudes físicas que se 
caracterizan de manera plena mediante un sólo número, acompañado de las unidades 
correspondientes. 
 
Una magnitud vectorial (por ejemplo, la fuerza, la velocidad, la aceleración, el momento de una 
fuerza, la cantidad de movimiento y el impulso de una fuerza), además de su valor numérico está 
definida también por su dirección y sentido en el espacio. Las magnitudes vectoriales se 
caracterizan mediante el uso de un conjunto de ordenado de números. 
 
Los vectores se representan con símbolos como: ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ 
 
 
 
Tratamiento geométrico de vectores. 
 
La base del tratamiento geométrico de las magnitudes vectoriales es la posibilidad de representar 
un vector mediante un segmento dirigido, así como en la ley del paralelogramo. 
 
 
1) Representación de un vector mediante un segmento dirigido. 
 
 
 
 
P
A
F
F
→
Q
Punto de aplicación
Línea de acción (dirección)
Sentido
Magnitud 
o 
módulo
 
 
 
 
32 
 
2) Ley del paralelogramo. 
 
Dos vectores aplicados en un mismo punto tienen un vector resultante aplicado y en ese mismo 
punto, y representado por la diagonal del paralelogramo construido sobre estos vectores como 
lados. 
 
El vector ⃗, equivalente a la diagonal del paralelogramo formado por los vectores ⃗ y ⃗⃗, se 
llama suma vectorial de los vectores ⃗ y ⃗⃗: 
 
 ⃗ ⃗ ⃗⃗ 
 
Es muy importante observar que la ecuación anterior se refiere a una suma vectorial. Por ejemplo 
si el vector ⃗ tiene una magnitud de 100 y el vector ⃗⃗ de 200, el módulo del vector ⃗ no 
necesariamente es igual a 300. 
 
En los problemas aplicados, para relacionar los módulos o magnitudes, la ley del paralelogramo 
se complementa con relaciones trigonométricas basadas en la ley de los cosenos y en la ley de 
los senos, principalmente. 
 
a) Ley de los cosenos: 
 
b) Ley de senos: 
 
 
 
 
 
 
 

B

S

AM
N
γ
θ φ
 
 
¿Qué tipo de problemas se pueden resolver con ayuda de la ley del paralelogramo? 
 
33 
 
Problema 29. Sean ⃗ y ⃗ dos fuerzas aplicadas a un punto de un cuerpo y ⃗⃗ la resultante de 
éstas, es decir, ⃗⃗ ⃗ ⃗ 
a) Por trigonometría, deduzca fórmulas para la magnitud R de ⃗⃗ y para el ángulo φ, en 
términos de F1 , F2 y θ. 
b) Verifique el resultado de R, para los casos particulares θ = 0°, 90° y 180°. 
 
F1
RF2
θ
φ
 
 
Problema 30. La fuerza horizontal F= 500 N actúa sobre la estructura triarticulada. Determinar 
las magnitudes de las dos componentes de ⃗ dirigidas a lo largo de las barras AB y AC. 
 
30°
45°
F A
B
C
 
 
 
 
Problema 31. En el mecanismo de biela y manivela, determinar la fuerza circunferencial en el 
punto B y la presión sobre el eje O de la manivela, provocadas por la acción de la fuerza P 
aplicada al pistón A, si los ángulos α y β son conocidos; el peso de la biela AB y de la manivela 
OB se desprecia. En otras palabras, primero descomponer la fuerza P en dos componentes, una en 
la dirección AB y otra en la dirección perpendicular a la línea OA; luego la componente en la 
dirección AB descomponerla en otras dos componentes, una perpendicular a la dirección OB 
(fuerza circunferencial) y la otra en la dirección OB. 
O
B
A
α β
P
 
34 
 
Problema 32. Están dados los vectores ⃗ ⃗⃗ de tal modo que | ⃗| | ⃗⃗| | ⃗ ⃗⃗| 
Hallar | ⃗ ⃗⃗| 
 
Problema 33. Al colocar,con ajuste apretado, la pequeña pieza cilíndrica en el orificio circular, 
el brazo del robot ejerce una fuerza P = 90 N, tal como se indica en la figura. Encontrar, mediante 
la ley del paralelogramo: 
 
a) Las componentes, paralela y perpendicular al brazo AB, de la fuerza que la pieza 
cilíndrica ejerce sobre el robot. 
b) Las componentes, paralela y perpendicular al brazo BC, de la fuerza que la pieza 
cilíndrica ejerce sobre el robot. 
 
 
 
Problema 34. La fuerza de contacto entre el seguidor de 
leva y la leva circular lisa es normal a la superficie de la 
leva y está limitada en magnitud a F para θ = π / 2. Para 
esta posición escribir la expresión matemática para la 
componente F1 de la fuerza en la dirección de la línea 
correspondiente al eje del seguidor. Esta componente se 
requiere para el diseño del resorte K. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e
r
θ
O
K
35 
 
Problema 35. Las fuerzas ⃗⃗ y ⃗⃗ actúan a lo largo de las líneas OA y OB, respectivamente, y su 
resultante es una fuerza de magnitud P; si la fuerza ⃗⃗, a lo largo de OA, es remplazada por una 
fuerza 2 ⃗⃗ a lo largo de OA, la resultante de 2 ⃗⃗ y ⃗⃗ es otra vez una fuerza de magnitud P. 
Encontrar: 
a) La magnitud de ⃗⃗ en términos de la magnitud de ⃗⃗. 
b) El ángulo entre OA y OB. 
c) Los ángulos entre cada una de las resultantes y la línea OA. 
 
Tratamiento analítico de vectores. 
 
El tratamiento analítico de vectores se basa en: a) la descomposición de un vector en las 
direcciones de los ejes x, y, z de un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares; b) la propia 
ley de paralelogramo. 
 
El antecedente del tratamiento analítico es la proyección de un vector sobre un eje. 
 
Se llama eje a una línea recta, sobre la cual se ha elegido un sentido de referencia positivo. La 
proyección Ax del vector ⃗ sobre el eje x es una magnitud escalar igual al producto del módulo 
del vector por el coseno del ángulo θ formado por el sentido del vector y el sentido del eje, es 
decir: 
 
0
B D
E
A
θ
A B
ba A
x'
x
1
Ax
D1 x'
θ
d e
A
φ
x
 
Es claro que Ax es una proyección ortogonal de ⃗ sobre el eje x. 
 
 
Problema 36. Desarrollar el procedimiento para la descripción analítica de vectores. En 
particular, establecer lo siguiente: 1) los ángulos directores de un vector; 2) los cosenos 
directores; 3) las componentes y las proyecciones de un vector según los ejes de coordenadas; 4) 
la magnitud de un vector en función de sus proyecciones cartesianas; 5) la definición de vector 
unitario y la forma de obtenerlo; 6) el papel y la estructura del vector unitario; 7) los vectores 
unitarios de la base, es decir, los vectores que indican la dirección y el sentido de los ejes de 
coordenadas; y 8) la relación entre vector físico y vector geométrico. 
 
 
 
36 
 
Procedimiento para la descripción analítica de un vector: 
 
1. Un vector, por ejemplo ⃗, puede ser construido a partir del módulo de éste, A, y los ángulos 
directores  ,  y  formados por la línea de acción del vector y los ejes de coordenadas. 
Estos ángulos definen la dirección de ⃗. 
 
Az
Ay
Ax
x
y
z
O
α
β
γ A→
x
z
O y
i
j
k
 
 
2. Con base a la ley del paralelogramo y en la trigonometría, las proyecciones Ax , Ay y Az , 
sobre los ejes de coordenadas, de ⃗ resultan ser: 
 
 
 ………………………...………………(1) 
 
 
3. Conociendo las proyecciones del vector ⃗ sobre los ejes de coordenadas, y aplicando el 
teorema de Pitágoras, se obtiene el módulo del vector ⃗: 
 
 √ y como resulta √ ……..….(2) 
 
4. A partir de las ecuaciones (1) se determinan los llamados cosenos directores de ⃗. 
 
 
 
 
 
 
 
 ……………………………………....(3) 
 
 
 
 
 
37 
 
5. Elevando las igualdades (3) al cuadrado por miembros y sumándolas, se obtiene el teorema: 
 
 
 ……………………………….(4) 
 
6. El empleo de vectores unitarios facilita la representación analítica de un vector. El vector, 
cuya dirección y sentido coincide con los del vector ⃗, y cuyo módulo es igual a 1, se llama 
vector unitario del vector ⃗. Este vector se designa, por ejemplo, por el símbolo ⃗⃗. 
 
Teorema: El vector ⃗⃗ ⃗
 
 
 
 ⃗ es un vector unitario en la misma dirección y sentido de ⃗. 
 
Resulta claro que el vector unitario es adimensional. 
 
Corolario: Todo vector puede representarse como el producto de su módulo por su vector 
unitario, es decir, en la forma: 
 ⃗ ⃗⃗ …………………………………………(5) 
 
7. En particular, los vectores unitarios de la base ̂ ̂ ̂ indican la dirección y sentido de los 
ejes de coordenadas x, y, z, respectivamente: 
 

i = (1, 0, 0), 

j = (0, 1, 0), 

k = (0, 0, 1). 
 
Los vectores ⃗ ̂ ⃗ ̂ ⃗ ̂ se llaman componentes ortogonales del 
vector ⃗ en las direcciones de los ejes x, y, z; mientras que los valores numéricos , se 
llaman proyecciones cartesianas de ⃗. 
Con base en todas estas consideraciones, la expresión (definición) analítica de un vector ⃗, es: 
 
 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ̂ ̂ ̂ ( ) …………………..(6) 
 
8. Vector físico y vector geométrico. Considérese el caso de una fuerza ⃗ (vector físico) no 
aplicada en el origen de coordenadas. Sean, además, ⃗ y ⃗ dos vectores geométricos que 
se extienden desde el origen de coordenadas a los puntos A= (xA , yA, zA) y B= (xB , yB , zB) 
que pertenecen a la línea de acción de ⃗. Sea, también, el vector ⃗ definido por los puntos A 
y B, desde A hacia B. 
 
De acuerdo con la ley del triángulo: 
 ⃗ ⃗ ⃗ 
 
Como los vectores ⃗, vector físico, y ⃗, vector geométrico, tienen la misma dirección y sentido, 
comparten el mismo vector unitario ⃗⃗: 
 
 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 
 ⃗
 
 ⃗
 
 ⃗ ⃗ | ⃗ ⃗ |…………………………….(7) 
38 
 
donde: 
 ⃗ ⃗ ( ) y 
 
| ⃗ ⃗ | √( ) ( ) ( ) 
 
En estas condiciones: 
 
 ⃗ ⃗⃗ ⃗
 
 ⃗ ⃗ 
| ⃗ ⃗ |
…………………………………..(8) 
 
 
 
39 
 
Problema 37. En la figura se muestran cuatro fuerzas ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ , aplicadas al nudo de una 
armadura utilizada en una estructura y contenidas en el mismo plano. Se sabe que F1=40 kN, 
F2=60 kN, F3= 50 kN y F4= 30 kN. 
a) Hallar la magnitud de la resultante ⃗⃗ de las cuatro fuerzas coplanares ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ . 
También exprese esta fuerza resultante como un vector y determine sus ángulos 
directores. 
b) En el caso de que F3 y F4 no se conocieran. Determinar el módulo de estas fuerzas que 
han de aplicarse para que el cuerpo esté en equilibrio, es decir, para que se cumpla la 
condición ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗. 
 
40°
20°
20°
F2
F3F4
F1
x
y
 
 
Problema 38. El componente de una grúa industrial que se mueve a lo largo de una viga 
horizontal se encuentra bajo la acción de dos fuerzas como se muestra en la figura. Determine la 
magnitud y dirección de la fuerza ⃗⃗ tal que la resultante sea una fuerza vertical de 2500 N. 
Resuelva por ambos métodos: geométrico y usando los vectores unitarios ̂ y ̂. 
 
 
40 
 
Problema 39. La magnitud de la fuerza de tensión en el cable AB es T = 2 kN. Determinar, para 
los ejes xyz: 
a) El vector unitario en la misma dirección y sentido de T; 
b) La expresión vectorial de T; 
c) Los cosenos directos de T; 
d) Los ángulos directores de T. 
e) Las proyecciones de T; 
f) Las componentes de T. 
 
 
 
Operaciones con vectores. 
 
1) Multiplicación de un vector por un escalar. 
 
Problema 40. Enunciar la definición y dar la expresión analítica de la operación de 
multiplicación de un vector por un escalar. Dar un ejemplo físico donde se aplique esta 
operación. 
 
Definición. Al multiplicar el vector ⃗ por una magnitud escalar r se obtiene un nuevo vector 
 ⃗⃗ ⃗, cuyo módulo es | | y cuyo sentido coincide con el sentido del vector ⃗ cuando 
r > 0, y es de sentido contrario al vector ⃗ si r < 0. En particular, al multiplicar el vector ⃗ por 
-1, seobtiene el vector ⃗⃗⃗. 
41 
 
Problema 41. Establezca, de forma analítica, las siguientes definiciones: a) igualdad de vectores 
y b) vector nulo o cero. 
 
2) Adición de vectores 
 
Problema 42. ¿Cómo se realiza la adición de vectores por el método analítico, y en qué principio 
se basa la definición de esta operación? 
 
Definición. Si ⃗ ( ) y ⃗⃗ ( ) son vectores, entonces 
 
 ⃗ ⃗⃗ ( ) 
 
Si se conocen las proyecciones de los vectores ⃗ ⃗ ⃗ estos vectores pueden expresarse 
en la forma: 
 ⃗ ̂ ̂ ̂ 
 ⃗ ̂ ̂ ̂ 
 …. 
 ⃗ ̂ ̂ ̂ 
 
 
Entonces, sumando miembro a miembro estas igualdades, se encuentra: 
 
 ⃗ ∑ ⃗ 
 
 
 (∑ ⃗ 
 
 
) ̂ (∑ ⃗ 
 
 
) ̂ (∑ ⃗ 
 
 
) ̂ 
 
Esto es: 
 
 ⃗ ̂ ̂ ̂ 
 
donde 
 
 ∑ 
 
 
 ∑ ∑ 
 
 
 
 
 
 
 
y, finalmente, 
 
 √ 
 
42 
 
Problema 43. En el punto A del siguiente sistema concurren tres fuerzas: el peso P del cilindro 
de masa m, la tensión TAB en el cable AB y la tensión TAC en el cable AC. Dado que este sistema 
se encuentra en equilibrio, se cumple que ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗. A partir de esta condición 
determine las magnitudes de las fuerzas de tensión en ambos cables. 
 
 
 
 
Problema 44. Una torre de transmisión OD se mantiene en equilibrio con la ayuda de tres cables. 
Si la fuerza resultante ejercida por estos cables sobre la torre en D es ⃗⃗= -30ĵ kN, determine la 
magnitud de la fuerza de tensión en cada cable. 
 
y
x
z
O
D
B
AC
84 m
48 m
84 m48 m
42 m
28 m
21 m
 
 
 
43 
 
3) Producto escalar. 
 
Problema 45. Definir el producto escalar o producto punto de dos vectores, y establecer sus 
propiedades básicas. ¿Qué problema fundamental se resuelve con ayuda de esta operación? 
 
Definición. Se llama producto escalar de dos vectores ⃗ y ⃗⃗, denotado por ⃗ ⃗⃗, a una 
magnitud escalar igual al producto de los módulos de estos vectores por el coseno del ángulo θ 
formado por ellos: 
 
 
θ θθ
A
B
A A
B
B
O O O
(a) (b) (c)
A ∙ B = A(B cos θ) B ∙ A = B(A cos θ)
B c
os 
θ
A cos θ
A ∙ B = AB cos θ
 
 
Problema 46. Demostrar el siguiente teorema: Si los vectores ⃗ y ⃗⃗ están dados mediante sus 
proyecciones según los ejes de coordenadas, es decir, si ⃗= (Ax, Ay, Az) y ⃗⃗=( Bx , By , Bz ), su 
producto escalar se determina por la ecuación ⃗ ⃗⃗= AxBx + AyBy + AzBz . 
 
θ
B
A
C
O
y
x
z
(A , A , A )yx z
(B , B , B )yx z
 
 
Problema 47. Demostrar el siguiente teorema acerca de las propiedades fundamentales del 
producto escalar: a) ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ; b) ( ⃗) ⃗⃗ ( ⃗ ⃗⃗) ; c) ⃗( ⃗⃗ ⃗) ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗; 
d) ⃗ ⃗ 
 
 
44 
 
Problema 48. La principal aplicación del producto escalar es el cálculo de la proyección 
ortogonal de un vector ⃗ sobre la dirección y sentido de otro vector ⃗⃗, la cual es un escalar 
definido por la ecuación ⃗⃗ ⃗ 
 ⃗ ⃗⃗
| ⃗⃗|
 ⃗ ⃗⃗ . Deducir esta fórmula y dar su 
interpretación geométrica y física. ¿Cómo se expresa la proyección como una cantidad vectorial? 
 
 
Problema 49. Para a = 3 m, b = 6 m, c = 2 m, F = 10 kN, determine la proyección y la 
componente de ⃗ a lo largo de DC. También determine el ángulo entre las direcciones AB y CD. 
z
y
x
F
D
A
C
B
b
a
c
 
 
Problema 50. Determinar la proyección sobre la línea BC de la fuerza ejercida sobre la placa 
rectangular ABCD por el cable AE. El punto E es un punto medio. 
 
 
Problema 51. Mediante el producto escalar, derivar una fórmula para el ángulo entre dos líneas 
con cosenos directores dados. 
 
Problema 52. Describir el procedimiento para determinar, mediante el producto escalar, la 
proyección de un vector sobre una línea u otro vector con cosenos directores dados. 
 
 
45 
 
Problema 53. Tres puntos tienen coordenadas x-y-z, expresadas en metros, como sigue: A (4, 4, 
5), B (-2,-4,3) y C (3,-6,-2). Una fuerza F = 100 kN está aplicada en A y dirigida hacia B. 
Determinar la expresión vectorial de la componente normal a la dirección AC, ⃗ , de la fuerza F. 
 
Problema 54. Demostrar el siguiente teorema: Dos vectores ⃗ y ⃗⃗ son ortogonales 
(perpendiculares) si y sólo si ⃗ ⃗⃗ 
 
4) Producto vectorial 
 
Problema 55. Definir el producto vectorial o producto cruz de dos vectores. ¿Cuál es la 
magnitud, dirección y sentido del resultado de este producto? Señale las propiedades básicas de 
esta operación. ¿Qué problema fundamental se resuelve con la ayuda de esta operación? 
La operación producto vectorial de dos vectores ⃗ y ⃗⃗, denotada ⃗ ⃗⃗, tuvo su origen en el 
siguiente problema fundamental: Dados dos vectores ⃗ y ⃗⃗, determinar un tercer vector ⃗ que 
éste dirigido perpendicularmente al plano determinado por dichos vectores, es decir, que sea 
perpendicular al vector ⃗ y al vector ⃗⃗, simultáneamente. 
A x B
B x A
B
A
 
 
Definición. El producto vectorial de dos vectores ⃗ =(Ax , Ay , Az) y ⃗⃗=(Bx , By , Bz), es el vector 
definido por: 
 ⃗ ⃗⃗ ( ) |
 ̂ ̂ ̂
 
 
| 
 
 
Problema 56. Si ⃗ ̂ ̂ ̂ [ ] y ⃗ ̂ ̂ ̂ [ ] calcular ⃗ ⃗ y ⃗ ⃗ . 
 
 
Problema 57. Demostrar el siguiente teorema acerca de las propiedades fundamentales del 
producto vectorial: a) ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ; b) ( ⃗) ⃗⃗ ( ⃗ ⃗⃗) ; c) ⃗ ( ⃗⃗ ⃗) ⃗ ⃗⃗ 
 ⃗ ⃗ ; d) ⃗ ⃗ ⃗⃗ 
 
46 
 
Problema 58. Demostrar el siguiente teorema: | ⃗ ⃗⃗| , donde θ es el ángulo entre ⃗ 
y ⃗⃗. Dar una interpretación geométrica a este resultado. 
 
Problema 59. Demuestre el siguiente teorema: dos vectores ⃗ y ⃗⃗, tridimensionales, son 
paralelos si y sólo si ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 
 
Problema 60. Un cuerpo tiene la forma de tetraedro y dimensiones mostradas, determinar un 
vector unitario normal a la cara ABC y con sentido hacia el exterior de dicha cara. También 
encontrar el área de la cara ABC, y exprese esta área en forma vectorial. 
X
Z
Y
C (0,0,6)
A (4,0,0)
B (0,3,0)
 
 
Problema 61. La operación ⃗ ( ⃗⃗ ⃗⃗) se llama triple producto escalar de ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ Demostrar 
que: 
 ⃗ ( ⃗⃗ ⃗⃗) |
 
 
 
| 
 
1.5 LEYES DE LA MECÁNICA CLÁSICA 
 
 
El estudio de las leyes de Newton, que son las leyes fundamentales de la Mecánica Clásica, 
implica analizar y comprender lo siguiente: 
 
 El problema que abordan o el problema a que se refieren. 
 Su enunciado formal, y expresión matemática, si la hay. 
 Sus consecuencias. 
 Sus limitaciones. 
 Sus aplicaciones. 
47 
 
 
Primera ley de Newton (ley de la inercia): “un punto material libre de toda influencia exterior 
conserva su estado de reposo o de movimiento rectilíneo y uniforme hasta que las fuerzas 
aplicadas a él lo obliguen a cambiar de estado”. 
 
Observaciones: 
 
a) En la primera ley de Newton, inicialmente, se afirma que el reposo y el movimiento 
uniforme y rectilíneo de un cuerpo son un mismo estado mecánico del cuerpo. 
 
b) La primera ley de Newton establece la condición necesaria y suficiente para el equilibrio 
de una partícula: “un sistema de fuerzas aplicado a un punto material (partícula) está en 
equilibrio si bajo su acción el punto se encuentra en estado de reposo relativo o en 
movimiento rectilíneo uniforme” 
 
c) El movimiento que realiza un cuerpo en ausencia de fuerzas se llama movimiento por 
inercia. 
 
d) La primera ley de Newton refleja una de las propiedades esenciales de la materia, su 
inercia: la de encontrarse siempre en movimiento. 
 
e) A veces se dice que un cuerpo dotado de movimiento uniforme y rectilíneo se mueve por 
inercia. Esto no debe entenderse como que el cuerpo se mueve a causa de la inercia; pues 
para que el cuerpo conserve su estado de movimiento rectilíneo y uniforme no se requiere 
causa alguna. El movimiento rectilíneo uniforme de un cuerpo (movimiento por inercia) y 
el reposo, son los estados de todo cuerpo que esté libre de influenciasexternas o se 
encuentre sometido a la acción de fuerzas externas tales que la suma de las mismas sea 
igual a cero. 
 
f) La primera ley de Newton se puede enunciar también así: el movimiento por inercia es 
una propiedad de todos los cuerpos materiales. La inercia de un cuerpo no es la causa 
de su movimiento, sino una de sus propiedades. 
 
La inercia caracteriza la propiedad de los cuerpos materiales de cambiar más rápido o más 
lentamente la velocidad de su movimiento bajo la acción de las fuerzas aplicadas. 
 
La medida cuantitativa de la inercia de un cuerpo dado es una magnitud física que se llama masa 
del cuerpo. 
 
En el caso general, el movimiento de un cuerpo no solamente depende de su masa total y de las 
fuerzas que actúan sobre él; el carácter del movimiento puede depender, además, de las 
dimensiones geométricas del cuerpo y de la disposición mutua de las partículas que lo forman, es 
decir, de la distribución de su masa. 
 
g) El sistema de referencia respecto del cual la primera ley de Newton es válida se llama 
sistema inercial o newtoniano. Con mayor precisión la primera ley de Newton se formula 
así: 
48 
 
 
Existen tales sistemas de referencia, con relación a los cuales todos los cuerpos que no estén en 
interacción con otros cuerpos se encuentran en movimiento rectilíneo y uniforme. 
 
Problema 62. Caída de una esfera en un medio viscoso: ley de Stokes. Examinemos la caída de 
un cuerpo en un medio que opone resistencia, es decir, un líquido o un gas. Sobre tal cuerpo que 
cae en un líquido o en un gas están aplicadas tres fuerzas: la fuerza de gravedad ⃗⃗⃗, la fuerza de 
empuje de Arquímedes, ⃗⃗ , y la fuerza de resistencia, ⃗⃗ . Es natural que, con el tiempo, a medida 
que crece la velocidad, la aceleración disminuye y llega un momento en que ésta se hace igual a 
cero. A partir de este momento, el cuerpo se moverá uniformemente. Así, pues, la caída de un 
cuerpo por un líquido o gas, sólo en la etapa inicial es acelerada; desde cierto momento el cuerpo 
cae a una velocidad constante, que se denomina estacionaria. Con base en la primera ley de 
Newton, determinar tal velocidad estacionaria, . Suponer que el cuerpo tiene forma esférica. 
 
 
Problema 63. Un cuerpo, en forma de bloque, de masa m se encuentra sobre un plano inclinado 
liso que forma con el horizonte un ángulo . Determinar: 
a) La magnitud de la fuerza ⃗⃗ paralela al plano, que debe ser aplicada al cuerpo para mantenerlo 
en reposo. 
 
b) La magnitud de la fuerza ⃗⃗ paralela al plano, que debe ser aplicada al cuerpo para que éste se 
mueva uniformemente hacia arriba con una rapidez de 2 m/s. 
 
c) ¿Por qué el plano inclinado representa en sí una máquina simple? 
 
 
Segunda ley de Newton (ley fundamental de la Dinámica): “la aceleración de un punto material 
es directamente proporcional a la resultante de todas las fuerzas aplicadas a dicho punto e 
inversamente proporcional a la masa del punto y dirigida a lo largo de la resultante de las 
fuerzas”. 
 
Analíticamente este enunciado se puede expresar con la siguiente fórmula: 
 
 ⃗ ⃗
 
 …………………………………………………(1) 
Observaciones: 
 
a) En realidad, la fuerza no es consecuencia de la aceleración, sino, al contrario, la 
aceleración es un resultado de la fuerza: 
 ⃗ ( ⃗) 
 
b) El factor de proporcionalidad, k, depende de las unidades en que se miden las magnitudes 
 ⃗, ⃗ y m. Por ejemplo, si [ ⃗] [ ] [ ⃗] , entonces y 
[ ] [ ] adimensional. 
 
 
49 
 
En estas condiciones, la ecuación (1) se puede escribir: 
 
 ⃗ ⃗
 
………………………………………………………(2) 
 
c) Por comodidad, al resolver los problemas, la segunda ley de Newton (2) se escribe: 
 
 ⃗ ⃗……….…………………………………………… (3) 
 
“La fuerza es igual al producto de la masa del punto por su aceleración” 
 
 
d) Como se indica en el enunciado general de la segunda ley de Newton, el punto puede 
estar sometido a la acción de varias fuerzas, es decir: 
 
 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ∑ ⃗ ⃗⃗ 
 
Por lo que la ecuación (3) tendrá la forma siguiente: 
 
 ⃗ ⃗⃗ ó ⃗ ∑ ⃗ 
 
…………………………………(4) 
 
e) La segunda ley de Newton establece la relación entre la fuerza y la aceleración; pero la 
fuerza y la aceleración son magnitudes físicas vectoriales que se caracterizan no 
solamente por su valor numérico, sino también por su dirección y sentido. 
 
Por ello matemáticamente la segunda ley de Newton expresa una igualdad vectorial. Esto 
conlleva dos detalles: 
 
i. Los vectores ⃗⃗ y ⃗ están dirigidos por una misma recta y con el mismo sentido. 
Esto es una consecuencia de la definición de igualdad entre vectores. 
 
 
→
R
→a
v→M
Trayectoria
 
50 
 
 
ii. Dependiendo del problema a resolver, la ecuación vectorial (4) se puede proyectar 
sobre algún sistema de ejes de coordenadas, para dar un sistema de ecuaciones 
escalares. Por ejemplo, en el sistema de coordenadas rectangulares cartesianas: 
 
 
 ⃗ ⃗⃗ ⇒ {
 
 
 
 ó ⃗ ∑ ⃗ ⇒ {
 ∑ 
 ∑ 
 ∑ 
 
 
 
f) La segunda ley de Newton establece cómo varía la velocidad del punto bajo la acción de 
una fuerza cualquiera. En efecto, se llama aceleración del punto a la magnitud física 
vectorial que caracteriza el cambio con el tiempo del módulo y la dirección de la 
velocidad del punto. Esto es: 
 
 ⃗ 
 ⃗
 
 ̇⃗ 
 
A su vez, el vector velocidad del punto en un instante de tiempo dado es igual a la primera 
derivada del radio-vector o vector de posición del punto con relación al tiempo: 
 
 ⃗ ⃗
 
 ̇⃗, 
de donde 
 ⃗ 
 ⃗
 
 ̈⃗ 
 
Con estas consideraciones, la expresión matemática de la segunda ley de Newton representa una 
ecuación diferencial vectorial: 
 ⃗⃗
 
 ∑ ⃗ ó 
 ⃗
 
 ∑ ⃗, 
 
la cual, en dependencia de los problemas a resolver, puede dar origen a un sistema de ecuaciones 
diferenciales escalares. 
 
Por ejemplo, en coordenadas cartesianas: 
 
 
 ⃗⃗
 
 
 ⃗
 
 ∑ ⃗ ⇒
{
 
 
 
 
 
 
 ̇ 
 
 
 ̈ ∑ 
 
 
 ̇ 
 
 
 ̈ ∑ 
 
 
 ̇ 
 
 
 ̈ ∑ 
 
 
51 
 
 
g) Se debe subrayar que la dirección y sentido de la aceleración siempre coincide con la 
dirección y sentido de la fuerza, la cual no necesariamente es la dirección y sentido del 
movimiento mismo del punto (la dirección y sentido de la velocidad). 
 
h) En el enunciado de la segunda ley de Newton se refiere a un cuerpo considerado una 
partícula o un punto material. Para sistema de partículas y cuerpos rígidos la formulación 
de la segunda ley de newton requiere ciertas consideraciones. 
 
i) Forma general de la segunda ley de Newton: “la derivada de la cantidad de movimiento 
del punto con relación al tiempo es igual a la suma vectorial de las fuerzas que actúan 
sobre éste”. 
 
 ( ⃗⃗)
 
 ∑ ⃗ ó ⃗
 
 ∑ ⃗, 
 
donde ⃗ ⃗ se llama cantidad de movimiento del punto. 
 
Así, en forma general, la segunda ley de Newton se formula así: 
 
∑ ⃗ 
 
( ⃗) 
 
 ⃗ ⃗⃗
 
 
 
 ⃗ ⃗ 
 
Cuando varía la masa del cuerpo durante el movimiento es necesario emplear la segunda ley en 
su forma general (con la cantidad de movimiento) que refleja correctamente los preceptos de la 
Dinámica para todos los casos de movimiento de un punto material. 
 
j) La segunda ley de Newton, como la primera, se refiere solamente a un sistema inercial de 
referencia ¿Cómo se formula la segunda ley de Newton para sistemas no inerciales de 
referencia? 
 
k) De la segunda ley de Newton se ve que la medida de la inercia de un punto material es su 
masa, porque bajo la acción de una misma fuerza dos puntos materiales diferentes reciben 
una misma aceleración solamente cuando sus masas son iguales; si las masas son 
diferentes, el punto de mayor masa (es decir, de mayor inercia) recibe menor aceleración 
y viceversa. 
 
l) Problemas de la Dinámica para el punto material. Con ayuda de la ecuación de la 
segunda ley de Newton se pueden resolver los dos problemas siguientes: