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Richard Courant - Introduccion al calculo y al analisis matematico II-Limusa (2005) - Caleb Carballido Torres
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E
�"""�:ick4- no es un proyecto lucrativo, sino
un esfuerzo colectivo de estudiantes y profesores de la UNAM
para facilitar el acceso a los materiales necesarios para la
educaci6n de la mayor cantidad de gente posible. Pensamos
editar en formato digital libros que por su alto costo, o bien
porque ya no se consiguen en bibliotecas y librerias, no son
accesibles para todos.
Invitamos a todos los interesados en participar en este proyecto a
sugerir titulos, a prestamos los textos para su digitalizaci6n y a
ayudamos en toda la labor tecnica que implica su reproducci6n.
El nuestro, es un proyecto colectivo abierto a la participaci6n de
cualquier persona y todas las colaboraciones son bienvenidas.
Nos encuentras en los Talleres Estudiantiles de la Facultad de
Ciencias y puedes ponerte en contacto con nosotros a la siguiente
direcci6n de correo electr6nico:
eduktodos@hotmail.com http :I I eduktodos. dyndns. org
http://eduktodos.dyndns.org
,
INTRODUCCION A L
,
CALCULO Y
,
AL ANALISIS
,
MATEMATICO
Vol. 2
RICHARD COURANT y FRITZ JOHN
I nstituto Courant de Ciencias M atemdticas
Universidad de Nueva York
Con la asistencia de
ALBERT A. BLANK
Profesor de M atemciticas
U niversidad Carnegie- Mellon
Pittsburgh, Pennsylvania
ALAN SOLOMON
Profesor de Matematicas
U niversidad del Negev
Beer-Sheva, Israel
� LIMUSA
NORIEGA EDITORES
MEXICO • Espal\a • Venezuela • Colombia
VERSI6N AUTORIZADA EN ESPANOL DE LA OBRA
Pl.IBLICADA EN INGLES CQN EL TiTULO:
INTRODUCTION TO CALCULUS AND
ANALYSIS. VOLuME II
C NINA CouRANT, ERNEST CouRANT AND GERTRUDE
MosER, As ExEcUTORs OF THE EsTATE oF RICHARD
CouRANT, AND FRITZ JOHN.
COlABORADOR EN LA TRADUCCI6N:
HERNAN P�REZ CASTELLANOS
INGENIERO INDUSTRIAL. PROFESOR TITULAR DE MATE·
MATICAS EN LA EscuELA .SUPERIQR DE INGENIERiA
MEcANICA v Eu�cTRICA DELINsnruTo PouTECNICO
NACIONAL, MExiCO.
REVISI6N:
SAUL HA�N GOLDBERG
DocToR EN MATEMATICAS DEL INsTrruTo CouRANT
DE LA UNIVERSIDAD DE NuEvA YoRK. PROFESOR
ASOCIADO DEL CENTRO DE INVESTIGACI6N Y Es·
TUDios AvANZADOS DEL INSTITUTO Poun�CNICO
NACIONAL, MExiCO.
ROLANDO V. JIM�NEZ DOMfNGUEZ
DocToR EN FiSICA. PROFESOR E INVESTIGADOR DE
LA EscuELA SuPERIOR DE FisiCA v MATEMATICAS
DEL INsTITUTO PouTECNICO NAciONAL, MEXICO.
1lA PRESENTACt6N Y OISPOSICI6N EN CONJUNTO DE
INTRODUCCION AL CALCULO Y AL
ANALISIS MATEMATICO. VoLUMEN 2
SON PROPIEDAD DEL EDITOR. NINGUNA PARTE DE ESTA
OBRA PUEDE SEA REPRODUCIDA 0 TRANSMITIDA,
MEDIANTE NINGUN SISTEMA 0 METODO, ELECTR6NICO
0 MECANICO (INCLUYENOO EL FOTQCOPIADO,LA GRA·
BAC16N 0 CUALQUIER SISTEMA DE RECUPERACI6N Y
ALMACENAMIENTO DE INFORMACI6N} ,SIN CONSEN·
TIMIENTO POR ESCRITO DEL EDITOR.
DERECHOS RESERVADOS:
(0 1999, EDITORIAL UMUSA, SA DE C.V.
GRUPO NORIEGA EDITORES
BALDERAS 95, MEXICO, D.F.
C.P. 06040 v (5)521-21-05
01 (800) 7 .06·91-00 !HI (5)512-29.03
limusa@noriega.com.mx !!2 www.noriega.com.mx
CANIEM NuM. 121
NovENA REIMPRES16N
�PRESO EN MEXICO
ISBN 968-18.0640-9
Pro logo
La obra Differential and Integral Calculus. Vols. I y If, de Ri
chard Courant , ha tenido mucho exito al iniciar a varias genera·
ciones de estudiantes en las matematicas superiores . En su contexto,
esos volumenes se basaron en el hecho de que las matematicas se
originan de la union de la imaginacion intuitiva y el razonamiehto
deductivo . AI pteparar esta revision, los autores se esforzaron en
mantener el equilibria entre estos dos criterios que caracterizaron a la
obra original . Aunque Richard Courant fallecio antes ver la pu
blicacion de esta revision del Volumen II, todos los cariibios prin
cipales fueron acordados y redactados por los autores ·antes de que el
Dr. Courant muriera .
Desde el principia , los autores se dieron cuenta de que el Volumen
II, que trata de las funciones de v�uias variables, se tendria que
revisar mas a fonda que el Volumen I. En particular, pareda con
veniente estudiar los teoremas fundamentales de la integracion en
dimensiones superiores con el mismo rigor y generalidad que se
aplico a la integracion en una sola dimension. Ademas, habia gran
numero de conceptos nuevas y temas de primordial importancia , los
cuales, en opinion de los autores , constituyen una introducci6n al
analisis .
En los capitulos 6, 7 y 8 que tratan , respectivamente, de Ecua
ciones Diferenciales, Calculos de Variaciones y Funciones de una
Variable Compleja, solo se hicieron pequeiios cambios. En la parte
mas importante del libro , capitulos 1 al 5 , se conservo lo mas posible
el esquema original de dos desarrollos mas o menos paralelos de cada
tema a niveles diferentes : una introduccion informal basada en ar
gumentos mas intuitivos, y un estudio de las aplicaciones que propor
cionan los fundamentos para las demostraciones subsecuentes.
El material de algebra l ineal , contenido en el capitulo I original,
parecia inadecuado como fundamento para la estructura ampliada
del calculo . Por tanto , todo este capitulo (que ahara es el capitulo 2)
se reescribio completamente y ahora incluye todas las propiedades
basicas de los determinantes y las matrices de n-esirilo orden, las for-
5
6 Prologo
mas multilineales, los determinantes de Gram y las variedades li
neales.
En el nuevo capitulo 1 se analizan todas las propiedades fun
damentales de las formas diferenciales lineales y sus integrates . Con
esto el lector ya esta preparado para empezar con el estudio de las
formas diferenciales exteriores de orden superior agregadas al capi
tulo 3 . Tambien, en el capitulo 3, se encuentra una nueva demostra
ci6n del teorema de Ia funcion implicita por medio de aproxima
ciones sucesivas y un estudio de los puntos criticos y los indices
de los campos vectoriales en dos dimensiones.
En los capitulos 4 y 5 se agrego bastante material sobre las pro
piedades fundamentales de las integrates multiples. Aqui nos enfren
tamos a una conocida dificultad: se debia demostrar que las
integrales sobre una variedad M, definidas con bastante facilidad
subdividiendo M en partes convenientes, son independientes de la
subdivision particular . Esto se resolvio mediante el uso sistematico
de Ia familia de conjuntos mensurables de Jordan con su propiedad de
interseccion finita y de particiones de Ia unidad. Con el fin de mi
nimizar las complicaciones topol6gicas, solo se consideraron varieda
des que encajaban suavemente en el espacio euclidiano. Se estudio Ia
noci6n de "orientaci6n" de una variedad con el detalle necesario para
el estudio de las integrates de las formas diferenciales exteriores y sus
propiedades de aditividad. Con estas bases, se dan las demostraciones
para el teorema de Ia divergencia y para el teorema de Stokes en n
dimensiones . A Ia secci6n sobre las integrates de Fourier en el ca
pitulo 4 se le agreg6 un analisis de Ia identidad de Parseval y las in
tegrates multiples de Fourier.
Para la preparacion de este libro fue inapreciable la ayuda ge
nerosa e ininterrumpida , proporcionada por los dos amigos de los
autores , los profesores Albert A. Blank de Ia Universidad Carnegie
Mellon y Alan Solomon de Ia Universidad del Negev . Casi en todas
las paginas se advierte Ia influencia de sus criticas , correcciones y
sugerencias . Ademas , ellos prepararon los problemas y ejercicios para
este vol umen. 1
Tambien debemos dar las gracias a nuestros colegas, . los Profe
sores K. 0. Friedrichs y Donald Ludwig, por sus valiosas y construc
tivas sugerencias , asi como a John Wiley and Sons y su departamento
editorial por el continuo estimulo y ayuda que nos brindaron .
FRITZ JOHN
Nueva York
1En contraste con el volumen I, �stos se han incorporado por completo en el texto; se
pueden encontrar sus soluciones al final del volumen.
Contenido
Capftulo 1 Funciones de van·as variables y sus
den·vadas
1 . 1 Puntos y conjuntos de puntos en el
plano y en el espacio 25
a. Sucesiones de puntos : Convergen-
cia , 25 b. Conjuntos de puntos en el
plano, 28c. La frontera de un con-
junto. Conjuntos cerrados y conjuntos
abiertos, 30 d. La cerradura como
conjunto de puntos limite, 33 e. Pun-
tos y conjuntos de puntos en el es-
pacio , 34.
1 .2 Funciones de varias variables in-
dependientes 36
a. Funciones y sus dominios , 36
b. Los tipos mas sencillos de funciones,
37 c. Representacion geometrica de
las funciones, 38
1 . 3 Continuidad 42
a. Definicion, 42 b. El concepto de
limite de una funcion de varias va-
riables , 44 c. El orden de anulacion
de una funci6n, 47
1 .4 Las derivadas parciales de una fun-
cion 52
a. Definicion. Representacion geo-
metrica, 52 b. Ejemplos, 58 c. La
7
8 Contenido
continuidad y la existencia de las
derivadas parciales , 61 d. Cam bio deJ
orden de la derivacion, 62
1 . 5 La diferencia a 1 total de una
funcion y su significado geometrico 67
a. El concepto de diferenciabilidad,
67 b. Derivadas direccionales , 73
c. Interpretacion geometrica de la
diferenciabilidad. El plano tangente ,
73 d. La diferencial total de una fun-
cion , 76 e. Aplicacion al calculo de
errores , 79
1 . 6 Funciones de funciones (funciones
compuestas) y Ia introduccion a
nuevas variables independientes 8 1
a. Funciones compuestas . La regia de
la cadena , 8 1 b . Ejemplos , 87
c. Cambio de las variables indepen -
dientes , 88
1 . 7 El teorema del valor medio y e1
teorema de Taylor para funciones de
varias varia hies 93
a. Observaciones preliminares acerca
de la aproximacion mediante poli-
nomios , 93 b. El teorema del valor
medio , . 95 c. Teorema de Taylor
para varias variables independientes,
97
1 .8 Integrales de una funcion que
depen den de un parametro 100
a. Ejemplos y definiciones , 100
b. Continuidad y diferenciabilidad de
una integral con .respecto al para -
metro, 103 c . Intercambio de in-
tegraciones . Regularizacion de fun-
ciones , 109
1 .9 Diferencia1es e integrales de linea 112
a. Formas diferenciales l ineales, 1 12
b. lntegrales de linea de formas
Contenido 9
diferenciales lineales , 1 1 5 c. Depen-
dencia de las integrales de linea con
respecto a los puntos extremos, 122
1 . 10 El teorema fundamental sobre Ia in-
tegrabilidad de las formas diferen-
ciales lineales 125
a. Integraci6n de diferenciales
totales , 125 b. Condiciones necesarias
para que las integrales de linea de-
pendan unicamente de los puntos ex-
tremos , 126 c. Insuficiencia de las
condiciones de integrabilidad, 128
d. Conjuntos simplemente conexos , 132
e. El teorema fundamental , 135
APENDICE
A. 1 . El principio del punto de acu-
mulacion en varias dimensiones y
sus aplicaciones
a. El principia del punto de acu-
mulaci6n , 138 b. Criterio de conver-
gencia de Cauchy. Compacticidad, 139
c. El teorema de cobertura deHeine -
Borel , 140 d. Una aplicaci6n del
teorema de Heine-Borel a conjuntos
cerrados que estan contenidos en con-
juntos a biertos , 142
A.2. Propiedades basicas de las funciones
continuas 144
A.3. N ociones basic as de Ia teoria de los
conjuntos de puntos 144
a. Conjuntos y subconjuntos, 144
b. Union e intersecci6n de conjuntos,
147 c. Aplicaciones a los conjuntos de
puntos en el plano, 149
A.4. Funciones homogeneas 151
10 Contenido
Cap£tulo 2 V ectores, matr'ices, transforrruJ,cz"ones
lineales
2. 1 Operaciones con vectores 155
a. Definicion de los vectores, 1 55
b. Representaci6n geometrica de los
vectores, 157 c. Longitud de los vec
tores , angulos entre direcciones , 160
d. Productos escalares de vectores,
165 e. Ecuaci6n de hiperplanos en
forma vectorial , 167 f. Dependencia
lineal de vectores y sistemas de
ecuaciones lineales , 170
2 .2 Matrices y transformaciones lineales 178
a. Cambio de base . Espacios lineales,
178 b. Matrices , 1 82 c.Operaci'-_les
con matrices , 186 d. Matrices
cuadradas. La reciproca de una
matriz. Matrices ortogonales, 189
2 .3 Determinantes 196
a. Determinantes de segundo y tercer
orden, :196 b. Formas lineales y mul-
tilineales de vectores , 200 c. Formas
multilineales alternantes . Definicion
de determinantes, 204 d. Propie-
dades princi pales de los determinan-
tes , 209 e. Aplicaci6n de los deter-
minantes a los sistemas de ecuaciones
lineales, 2 14
2.4 Interpretacion geometrica de los
determinantes
a. Productos vectoriales y volumenes
de paralelepipedos en el espacio
tridimensional , 2 19 b. Desarrollo de
un determinante respecto a una
columna . Productos vectoriales en
dimensiones superiores, 227 c. Areas
de paralelogramos y volumenes de
paralelepipedos en dimensiones su
periores, 23 0 d. Orientaci6n de
paralelepipedos en el espacio n di-
219
Contenido II
mensional , 236 e. Orienta cion de
pianos e hiperplanos , 242 f. Cambio
de volumen de los paralelepipedos en
las transformaciones lineales , 244
2 . 5 N ociones vectoriales en el analisis 246
Cap£tulo 3
a. Campos vectoriales , 246
b. Gradiente de un escalar, 248
c. Divergencia y rotacional de un
campo vectorial , 251 d. Familias de
vectores . Aplicaci6n a la teoria de las
curvas en el espacio y al movimiento
de particulas , 255
Desarrollos y aplicaciones del cdlculo
diferencial
3.1 Funciones implicitas
a. Observaciones generales, 263
b. Interpretacion geometrica , 264 c. El
teorema de la funcion implicita , 266
d. Demostraci6n del teorema de la
funcion implicita , 271 e. El teorema
de la funci6n implicita para mas de
dos variables independientes , 274
3.2 Curvas y superficies en forma im
plicita
a. Curvas planas en forma implicita,
276 b. Puntos singulares de curvas,
282 c. Representacion implicita de
superficies , 284
3.3 Sistemas de funciones, transfor
maciones y aplicaciones
a. Observaciones generales, 287
b. Coordenadas curvilineas, 293 c. Ex
tension a mas de dos varia hies in
dependientes , 295 d Formulas de
derivacion para las funciones inversas,
298 e. Producto simb6lico de apli
caciones , 304. f. Teorema general
sobre Ia inversion de las transfor-
263
276
287
12 Contenido
maciones y de los sistemas de fun-
ciones implicitas . Descomposici6n er�
aplicaciones primitivas , 308 g. Cons
trucci6n alternativa de la aplicaci6n
inversa por el metodo de las apro-
ximaciones sucesivas , 314 h. Fun-
ciones dependientes , 32 1 i. Obser-
vaciones finales , 323
3.4 Aplicaciones 326
a. Elementos de la teoria de super-
ficies , 326 b. Transformaci6n confor-
me en general , 337
3.5 Fa milias de curvas, f a milias de
superficies y sus envolventes 339
a. Observaciones generales , 339 b.
Envolventes de familias unipara-
metricas de curvas , 341 c. Ejemplos,
345 d. Envolventes de familias de
superficies , 353
3.6v Formas diferenciales alternantes 357
a. Definicion de formas diferenciales
alternantes, 357 b. Sumas y productos
de formas diferenciales , 360 c. De-
rivadas exteriores de formas diferen-
dales , 363 d. Formas diferenciales ex-
teriores en coordenadas arbitrarias,
367
3.7 Maximos y minimos 376
a. Condiciones n�cesarias. 376
b. Ejemplos , 379 c. Maximos y minimos
con condiciones subsidiarias , 382
d. Demostraci6n del metodo de mul-
tiplicadores indeterminados en el caso
mas sencillo , 386 e. Generalizaci6n
del metodo de los multiplicadores in-
determinados, 389 f. Ejemplos, 393
APENDICE
AJ Condiciones suficientes .para los
valores extremos 398
Contenido 18
A.2 Numeros de puntos criticos rela-
cionados con los indices de un cam-
po vectorial 405
A.3 Puntos singulares de curvas planas 413
A.4 Puntos singulares de superficies 416
A.5 Relacion entre Ia representacion de
Euler y Ia de Lagrange del movi-
miento de un fluido 417
A.6 Representacion tangencial de una
curva cerrada y Ia desigualdad
isoperimetrica 419
Capitulo 4 Integrates multzples
4.1 Areas en el plano 421
a. Definicion de Ia medida de jordan
de un area, 421 b. Un conjunto que
no tiene area, 425 c. Reglas para las
operaciones con areas, 426
4.2 Integrates dobles 429
a. La integral doble como un vo-
lumen, 429 b. El concepto anallticogeneral de Ia integral , 431 c. Ejem-
plos , 435 d. Notaci6n. Extensiones.
Reglas fundamentales, 437 e. Esti-
maciones de la integral y el teorema
del valor medio , 439
4.3 Integrales sobre regiones en tres y
mas dimensiones 441
4.4 Derivacion en el espacio. Masa y
densidad 442
4.5 Reduccion de Ia integral multiple a
integra1es simples repetidas 444
a. lntegrales sobre un rectangulo ,
444 b. Cambio del orden de inte-
graci6n. Derivaci6n bajo el signo in-
14 Contenido
tegral , �46 c . Reducci6n de integrales
dobles a integrales simples para
regiones mas generales, 448 d. Exten-
si6n de los resultados a regiones en
varias dimensiones, 453
4.6 Transformacion de integrates mul-
tiples 454
a. Transformaci6n de integrales en el
plano, 454 b. Regiones de mas de dos
dimensiones, 460
4.7 Integrates multiples impropias 463
a. Integrales impropias de funciones
sobre conjuntos acotados, 464
b. Demostraci6n del teorema general
de la convergencia para las integrales
impropias , 468 c. Integrales sobre
regiones no acotadas, 472
4.8 Aplicaciones geometricas 474
a. Calculo elemental de volumenes,
474 b. Observaciones generales sobre
el calculo de volumenes. S6lidos de
revoluci6n. Voh1menes en coorde-
nadas esfericas , 446 c. Area de una
superficie curva , 479
4.9 Aplicaciones fisicas 488
a. Momentos y centro de masa , 488
b. Momento de inercia , 491 c. El pen-
dulo compuesto , 493 d. Potencial de
masa que se atraen, 496
4 . 10 Integrales multiples en coordenadas
curvilineas 503
a. Resoluci6n de integrales multiples,
503 b. Aplicad6n a las areas barridas
por curvas en movimiento y voh1-
menes barridos por superficies en
movimiento . Formula de Guldin . El
planimetro polar; 506
4. 1 1 Volumenes y areas superficiales en
cualquier numero de dimensiones 5 1 1
Contenido 15
a. Areas de superficies e integrales de
superficie en mas de tres dimensiones'
51 1 b. Area y volumen de Ia esfera n
dimensional , 513 c. Generalizaciones.
Representaciones parametricas , 517
4. 1 2 Integrales simples impropias como
funciones de un parametro 521
a. Convergencia uniforme. Depen-
dencia continua del parametro, 521
b. Integracion y derivacion de las in-
tegrales impropias con respecto a un
parametro, 524 c. Ejemplos, 527
d. Evaluacion de las integrales de
Fresnel , 532
4. 13 La integral de Fourier 535
a. Introduccion , 535 b. Ejemplos , 537
c. Demostracion del teorema de Ia in-
tegral de Fourier, 540 d. Rapidez de
la convergencia en el teorema de Ia
integral de Fourier , 543 e. Identidad
de Parseval para las transformadas de
Fourier, 546 f. La transformacion
de Fourier para funciones de varias
variables , 548
4. 14 Las integrales eulerianas (Funcion
gamma) 556
a. Definicion y ecuacion funcional,
556 b. Funciones convexas . Demos-
tracion del teorema de Bohr y Mo-
Ilerup, 5.58 c. Los productos infinitos
para Ia funcion gamma, 562 d. El
\leo rem a de extension, 566 e. La fun-
cion beta , 568 f. Derivacion e inte-
gracion de orden fraccionario.
Ecuaci6n integral de Abel , 571
APENDICE: ANALISIS DETALLADO
DEL PROCESO DE INTEGRACION
A. I. Areas 574
a. Subdivi$iones del plano ·Y areas in-
teriores y exteriores correspondientes,
16 Contenido
57 5 b. Conjuntos mensurables de Jor-
dan y sus areas , 577 c. Propiedades
basicas de las areas , 579
A.2 Integrales de funciones de varias
variables 584
a. Definicion de la integral de una
funci6n f(x, y) , 584 b. Integrabilidad
de las funciones continuas e integrales
sobre conjuntos , 586 c. Reglas basicas
para integrales multiples . 589
d. Reducci6n de integrales multiples a
integrales sencillas repetidas , 592
A.3 Transformac ion de areas e integrales 595
a. Aplicaciones de conjuntos , 595
b. Transformaci6n de integrales mul-
tiples , 601
A.4 Nota acerca de Ia definicion del
area de una superficie curva 602
Capftulo 5 Relacion entre las integrates de
superfz"C'ie y las de volumen
5. 1 Relacion entre las integrales de
linea y las integrales dobles en el
plano (Los teoremas de Ia integral de
Gauss, de Stokes y de Green) 605
5.2 Forma vectorial del teorema de la
divergencia. Teorema de Stokes 614
5.3 Formula para Ia integracion por
partes en dos dimensiones. Teorema
de Green 619
5.4 El teorema de Ia divergencia
aplicado a Ia transformacion de in -
tegrales dobles 621
a. El caso de las aplicaciones biu-
nivocas , 62 1 b. Transformaci6n de
integrales y grado de la aplicaci6n ,
624
Contenido 17
5.5 Derivacion de area. Transformacion
de Au a coordenadas polares 628
5.6 Interpretacion de las formulas de
Gauss y de Stokes mediante flujos
bidimensionales 632
5.7 Orientacion de superficies 639
a. Orientaci6n de superficies bidi-
mensionales en el espacio tres, 639
b. Orientaci6n de curvas sobre super-
ficies orientadas, 652
5.8 Integrales de formas diferenciales y
de escalares sobre superficies 554
a. Integrales dobles sobre regiones
planas orientadas, 654 b. Integrales
de superficie de formas diferenciales
de segundo orden, 657 c. Relaci6n
entre las integrales de formas di-
ferenciales sobre superficies orien-
tadas y las integrates de escalares
sobre superficies no orientadas, 659
5.9 Teoremas de Gauss y de Green en el
espacio 663
a. Teorema de Gauss, 663 b. Apli-
caci6n del teorema de Gauss al
movimiento de fluidos, 668 c. El
teorema de Gauss aplicado a fuerzas
en el espacio y fuerzas superficiales ,
671 d. Integraci6n por partes y el
teorema de Green en tres dimen-
siones, 674 e. Aplicaci6n del teorema
de Green a la transformaci6n de AU a
coordenadas esfericas , 675
5.10 Teo rem a de Stokes en el espacio 678
a. Enunciado y demostraci6n del
teorema, 678 b. Interpretacion del
teorema de Stokes , 682
5.11 Identidades de integrales en dimen•
siones superiores 689
18 Contenido
APENDICE: TEORIA GENERAL DE
LAS SUPERFICIES Y DE LAS IN-
TEGRALES DE SUPERFICIE
A. 1 Superficie e integrales de superficie
en tres dimensiones 692
a. Superficies elementales , 692 b. In-
tegral de una funci6n sobre una
superficie elemental , 695 c. Super-
fides elementales orientadas , 697
d. Superficies simples, 699 e. Particiones
de la unidad e integrales sobre super-
fides simples , 703
A.2 El teorema de Ia divergencia 706
a. En unci ado del teorema y su in-
varian cia , 706 b. Demostraci6n del
teorema, 708
A.3 Teorema de Stokes 7 1 2
A.4 Superficies e integrales de superficie
en espacios euclidianos de dimen-
siones superiores 714
a. Superficies elementales , 714 b. In-
tegral de una forma diferencial sobre
una superficie elemental orientada ,
717 c. Superficies simples m-dimen-
sionales, 718
A.5 Integrales sobre superficies simples,
teorema de Ia divergencia de Gauss y
formula general de Stokes en dimen-
siones superiores 721
Capttu.lo 6 Ecuaciones diferenciales
6. 1 Las ecuaciones diferenciales para el
movimiento de una particula en tres
dimensiones 725
a. Las ecuaciones de movimiento , 725
b. El principia de conservaci6n de la
energia, 727 c. Equilibria. Estabi-
lidad, 659 d. Oscilaciones pequefias
Contenido 19
en torno a una posicion de equilibrio,
733 e. Movimiento planetario, 737
{.Problemas con valores en Ia frontera .
El cable cargado y Ia viga cargada,
744
6.2 La ecuacion diferencial lineal
general de primer orden 751
a. Separaci6n de variables , 751 b. La
ecuacion lineal de primer orden , 7 53
6.3 Ecuaciones diferenciales lineales de
orden superior 756
a. Principio de superposici6n. So-
luciones generales, 756 b! Ecuaciones
diferenciales homogeneas de segundo
orden, 761 c. La ecuaci6n diferencial
no homogenea . Metodo de variaci6n
de parametros , 764
6.4 Ecuaciones diferenciales generales
de primer orden 770
a. Interpretacion geo metrica , 770
b. Laecuaciondiferencial de una fami-
lia de curvas. Soluciones singulares .
Tra yectorias ortogonales , 773 c. Teo -
rerna de existencia y unicidad de la
soluci6n. 776
6. 5 Sistemas de ecuaciones diferencialesy ecuaciones diferenciales de orden
superior 783
6.6 Integracion por el metodo de coe-
ficientes indeterminados 785
6.7 El potencial.de cargas atractivas y Ia
ecuacion de Laplace 787
a. Potenciales de distribuciones de
masa , 788 b. La ecuaci6n diferencial
del potencial , 792 c. Capas dobles
uniformes, 794 d. El teorerna del
valor medio , 797 e. Problemas con
valores en Ia frontera para el drculo.
Integral de Poisson, 799
20 Contenido
6.8 Mas ejemplos de ecuaciones diferen-
ciales parciales que surgen en Ia
fisi coma tematica 802
a. La ecuacion de onda en una di-
mension , 802 b. La ecuaci6n de onda
en el espacio tridimensi�ai , ''S04
c. Las ecuaciones de Maxwell en el
espacio libre , 806
Capitulo 7 Calculo de van·aciones
7.1 Funciones y sus extremos 8 13
7.2 Condiciones necesarias para Ia exis-
tencia de valores extremos de Ull
funcional 8 18
a. Anulc�ci6n de Ia primera variacion ,
818 b. Deducci6n de la ecuaci6n
diferencial de Euler , 820 c. Demos-
traciones de los lemas fundamentales,
823 d. Soluci6n de Ia ecuaci6n di -
ferencial de Euler en casos especiales .
Ejemplos , 825 e. Anulaci6n identica
de la ex presion de Euler , 829
7.3 Generalizaciones 830
a. Integrales con mas de una funcion
argumento , 830 b. Ejemplos, 832
c. Principia de Hamilton . Ecuaciones
de Lagrange, 834 d. Integrales que \n.
volucran derivadas superiores, 837
e. Varias variables independientes, 838
7 .4 Problemas en que existen condi-
ciones subsidiarias. M ultiplicadores
de Lagrange 840
a. Condiciones subsidiarias ordi-
narias, 840 b. Otros tipos de con-
diciones subsidiarias, 843
Capitulo 8·
Contenido 21
Funcz"ones complejas representadas por
serz"es de potencz"as
8. 1 Funciones complejas representadas
por series de potencias 84 7
a. Limites y series infinitas con ter-
minos complejos, 847 b. Series de
potencias, 850 c. Derivacion e in-
tegracion de series de potencias , 852
. d. Ejemplos de series de potencias ,
855
8 .2 Fundamentos de Ia teorla general de
las funciones de una variable com-
pleja 857
a. El postulado de la diferenciabi-
lidad, 857 b. Las operaciones mas
sencillas del calculo diferencial , 861
c. Transformacion conforme. Funcio-
nes inversas , 865
8.3 Integraci6n de funciones anallticas 868
a. Definicion de la integral , 868
b. Teo rem a de Cauchy, 870 c. Apli
cacion@s . El logaritmo , la funcion ex
ponencial y la funci6n potencia
general , 872
8.4 Formula de Cauchy y sus aplica-
ciones 879
a. Formula de Cauchy, 879 b. Des-
arrollo de funciones analiticas en
series de potencias , 88 1 c. La teo ria
de funciones y la teoria del potencial ,
884 d. El redproco del teorema de
Cauchy, 885 e. Ceros , polos y residuos
de una funci6n analitica , 886
8 . 5 Aplicaciones a I a integraci6n com-
pleja (lntegraci6n de contorno) 890
a. Demostraci6n de la formula (8. 22) .
890 b. Demostracion de la formula
(8 .23), 891 c. Aplicaci6n del teorema
de los residuos a la integraci6n de
22 Contenido
funciones racionales , 892 d. El
teorema de los residuos y las ecua
ciones diferenciales lineales con
coeficientes constantes , 895
8.6 Funciones multiforrnes y Ia exten
sion analitica
Lista de datos b'iogrd,ficos
Indz"ce
898
1028
1031
INTRODUCCION AL CALCULO
Y AL ANALISIS MATEMATICO
VOLUMEN II
CAPITULO 1
Funciones de varias variables
y sus deri vadas
Los conceptos de limite , continuidad , derivada e integral , como se
desarrollaron en el Volumen I , tambien son basicos en dos o mas
variables independientes . No obstante, en dimensionc� superiores
debe tratarse con muchos fenomenos nuevas que no tienen con
traparte en lo absoluto en la teoria de las funciones ri� una so};:t
variable . Por regia general , un teorema que puede pJTobarse para
funciones de dos variables , puede aplicarse con facilidad a funciones
de mas de dos variables sin cambia esencial alguno en Ia demostra
cion . Por lo tanto , en lo que sigue , a menu do nos restringiremos a
funciones de dos variables , en donde las relaciones puedien conceb1rse
geometricamente con mayor facilidad, y estudiaremos las funciones
de tres o mas variables solo cuando con ello se pueda eptender 1nejor
este tema; esto tambien conduce a inttrpretaciones gepmetricas mas
simples de nuestros resultados.
1 .1 Puntos y conjuntos de puntos en el plano y en � 1 espacio
a. Sucesiones de puntos: Convergencia
Una pareja ordenada de valores (x, y) puedr representarse
geon"!etricamente por el punta P que tiene a x y y col/IlO coordenadas
en algun sistema coordenado cartesiano . La distancia entre dos pun
tas P = (x, y) y P' = (x', y') est a dada por Ia formula
PP' = J(x' - x)2 + (y' - y)2,
la cual es basica para la geometria euclidiana . Se usa la nocion de
distancia para definir las vecindades de un punta. La vecz'ndad e de
25
26 Introduccion al calculo y al analisis matematico
un punta C = (a, �) consiste de todos los puntas P = (x, y) cuya dis
tancia desde C es menor que e ; geometricamente este es el disco 1 cir
cular con centro en C y radio e que se describe mediante la desigual
dad
(x - a)2 + (y - �)2 < e2.
Consideraremos sucesiones infinitas de puntas
Pn. = (xn, Yn),
Por ejemplo , Pn = (n, n2) define una sucesi6n cuyos puntas se en
cuentran sabre la parabola y = x2• No todos los puntas en una su
cesi6n tienen que ser distintos. Por ejemplo , la sucesicn infinita Pn =
(2, (-l)n) solo tiene dos elementos distintos .
La sucesi6n P1, P2, . . . , es a cot ada si puede hallarse un disco que
contenga a todos los Pn , esto es, si existen un punta Q y un numero M
!tal que 'PnQ < M pata todo n. Asi, la sucesi6n Pn = (1/n, 1/n2) es
acotada y la sucesi6n (n, n2), no acotada.
El concepto mas importante relacionado con las sucesiones es el de
convergencz'a. Se dice que una sucesi6n de puntas P1, P2, . . . con
verge a un punto Q, o que
lim Pn = Q,
n-+oo
si las distancias PnQ convergen a 0 . Por tanto , lim Pn = Q significa
que para cada e > 0 existe un numero N tal que Pn se encuentra en
la vecindad e de Q para to do n > N. 2
Por ejemplo, para la sucesi6n de puntas definida por Pn = (e-n14
cos n,e-n/4 sen n} , se tiene lim Pn = (0, 0) = Q, dado que aqui n-+oo
PnQ = e-nt4 � 0 para
Se observa que los Pn se aproximan al origen Q a lo largo de la es-
1 La palabra "drculo", como se usa com(mmente, es ambigua, refiriendose ya sea a
Ia curva o a la region limitada por ella. Seguiremos la practica corriente de reservar
el tennino "circulo" solo para la curva y el termino "region circular" o "disc �" para
la region bidimensional. De modo semejante, en el espacio distinguimos la "esfera"
(es decir, la superficie esferica) del solido tridimensional "bola " que limita.
*De modo equivalente, cualquier disco con centro en q contiene a todos menos a u n
numero finito de los Pn. Tam bien se u sara l a notaci6n Pn -+ Q cuando n -+ oo
Funciones de varias variables y sus derivadas 27
Pa Po
Figura 1.1 Sucesi6n convergente Pn.
piral logaritmica con ecuaci6n r = e-914 en las coordenadas polares r,
e (ver la Fig. 1 . 1 ) .
L a convergencia de la sucesi6n d e puntas Pn = (xn, Yn) bacia el
punto Q = (a, b) �ignifica que las dos sucesiones de nfuneros Xn y Y11
convergen por separado y que
lim Xn = a, lim Yn = b. n•oo n+oo
En efecto , la pequefiez de P nQ implica que tanto Xn - a como Yn - b
son pequeiias , ya que fxn- a/ � PnQ, IYn- bl � P,.Q; inversamen
te,
PnQ = V(Xn - a)2 + (Yn - b)2 � lxn - al + I Yn - bl,
de modo que PnQ � 0 cuando tanto Xn � a como Yn � b.
Precisamente como en el caso de las sucesiones de nfuneros, puede
probarse que converge una sucesi6n de puntas, sin conocer el limite ,
aplicando el crz'terz'o z'ntrinseco de Cauchy para la convergencz'a. En
dos dimensiones , este criteria afirma que : Para la convergencia de
una sucesi6n de puntas Pn = (xn, Yn) es necesario y suficiente que,
para cada E > 0, se cumpla la desigualdad PnPm < E para toda n, mque sean mayores que un valor apropiado N = N(e). La demostraci6n
se deduce inmediatamente aplitando el criteria de Cauchy para las
sucesiones de numeros a cada una de las sucesiones Xn y Yn·
28 Introduccion al calculo y al analisis matematico
b. Conjuntos de puntos en el plano
En el estudio de las funciones de una sola variable x, generalmen
te se permite que x varie sobre un "intervalo" , el cual podria ser
cerrado o abierto , acotado o no acotado . Como posibles dominios de
funciones en dimensiones superiores , se tiene que considerar una
gran variedad de conjuntos y se tienen que introducir terminos que
describan las propiedades mas sencillas de tales conjuntos. Por lo
comun se consideraran curvas o regiones bidimensionales en el plano.
En el Volumen I (Capitulo 4), se han estudiado con amplitud las cur
vas planas . Normalmente se dan en la forma "no parametrica" y = f
(x) , o bien , en la "parametrica" por medio de una pareja de fun
ciones x = fj>(t), y = l!f(t), o bien, en la forma "implicita" mediante
una ecuaci6n F(x, y) = 0 (en el Capitulo 3 se tratara mas acerca de
las representaciones implicitas) .
Ademas de las curvas, se tienen conjuntos bidimensionales de
puntos, formando una regz6n. Una region puede ser el plano xy com
pleto o una porci6n del plano limitada por una curva simple cerrada
y
o·---------x
Figura 1.2 Una region simplemente
conex a.
o�-----------�x
Figura 1.3 Una region triplemente
conexa.
Figura 1.4 Una region R no conexa.
Funciones de varias variables y sus derivadas 29
(formando , en este caso , una region simplemente conexa como se
muestra en la Fig. 1 . 2) o por varias de esas curvas. En el ultimo caso
se dice que es una region multiplemente conexa, y el numero de cur
vas frontera da lo que se conoce como conectividad; por ejemplo,
la Fig. 1 . 3 , muestra una region triplemente conexa. Un conjunto plano
puede no ser conexo 1 en lo absoluto , y consistir .de varias porciones
separadas (Fig. 1 .4) .
Generalmente , las curvas frontera de las regiones que van a con
siderarse son seccionalmente suaves. Es clecir , cada una de esas curvas
consiste de un numero finito de arcos , y cada arco tiene una tangente
que gira de manera continua en todos sus puntos , incluyendo los
puntos extremos. Por lo tanto, tales curvas pueden tener cuando mas
un numero finito de esquinas .
En la mayoria de los casos se describira una region por medio de
una o mas desigualdades , donde la igualdad se cumple sobre alguna
porcion de la frontera . Los dos tipos mas importantes de regiones , a
las cuales recurriremos a cada momento, son las regiones rectan
gulares (con lados paralelos a los ejes coordenados) y los discos cir
culares . Una region rectangular (Fig. 1 . 5 ) consiste de los puntos (x,
y) cuyas coordenadas satisfacen desigualdades de la forma
a< x < b, c < y < d;
y
:-�-[ZJ I I I I I I I I I I o��·----------�'--.-x
Figura 1.5 Una region rectangular
cada coordenada se restringe a un intervalo definido y el punto (x, y)
varia sobre el interior del rectangulo . Como se define aqui, Ia region
rectangular es abierta; es decir, no contiene a su frontera. Las curvas
frontera se obtienen remplazando una o mas de las desigualdades que
definen Ia region por la igualdad , y permitiendo (pero no requirien
do) el signo igual en las otras . Por ejemplo ,
Vease la p. 133 respecto a una definicion precisa de "conexa".
30 Introduccion al calculo y al analisis matematico
x = a,
define uno de los lados del rectangulo . El rectangulo cerrado que se
obtiene agregando todos los puntas frontera al conjunto , se describe
mediante las desigualdades
a� x � b, c � y �d.
El disco circular con centro en (a, P) y radio r (Fig. 1.6) se da,
como se vi6 anteriormente , por l a desigualdad
(x _ a.)2 + (y _ p)2 < r2.
y
d! I
I o�------�'�----�.z ;....._ OC.--..1
Figura 1.6 Un disco circular.
Agregando el circulo frontera a este disco "abierto" , se obtiene el
"disco cerrado" que se describe por
(x - a)2 + (y - p)2 � r2
c. La frontera de un conjunto. Conjuntos cerrados y conjuntos
abiertos
Podria imaginarse Ia frontera de una region como si se tratara de
una membrana que separa los puntas que pertenecen a Ia region de
aquellos que no pertenecen a ella. Como se vera , esta nocion intuitiva
de la frontera no siempre tiene un significado . No obstante , resulta
interesante resaltar el hecho de que existe una manera de definir con
bastante generalidad Ia front era de cualquier conjunto de puntas , en
tal forma que , al menos, es consistente con esa nocion intuitiva . Se
dice que un punto P es un punto front era de un conjunto S de puntos
si cada veci'ndad de P contiene tanto Puntos que Pertenecen a S como
Puntos que no pertenecen a S. Como consecuencia , si P no es punto
Funciones de varias variables y sus derivadas Sl
fronte.ra , existe una vecindad de P que contiene solo un tipo de pun·
tos ; es decir, puede hallarse una vecindad de P que consist a com
pletamente de puntos de S, en cuyo caso P recibira el nombre de
punto interior de S, o bien, puede hallarse una vecindad de P que es
te completamente libre de puntos de S, en cuyo caso P sera un punto
exterior de S. Asi entonces, para un conjunto dado S de puntos, cada
punto en el plano es punto front era o Punto interior o punto exterior
de S y solo pertenece a una de estas clases. El conjunto de puntos
frontera de S forma la front era de S, la que se denota mediante el
simbolo as.
Por ejemplo, sea S l a region rectangular
a < x < b, c < y < d
Obviamente , para cualquier pun to P de S puede hallarse un pequeiio
disco circular con centro en P = (a, P) que este completamente con
tenido en S; solo tiene que tomarse una vecindad E de P en Ia cual E
sea positivo y tan pequeiio que
a < a - E < a + E < b, C < p - E < p + E < d.
Esto demuestra que aqui cada punto' de S es un punto interior. Los
puntos frontera P de S son precisamente los puntos que se encuentran
en cualquiera de los lados o los vertices del rectangulo; ·en el primer
caso, Ia' mitad de toda vecindad lo suficientemente pequeiia de P
pertenecera a S y la otra mitad no. En el segundo caso, una cuarta
parte de toda vecindad pertenece a S y tres cuartas partes no (Fig.
1 . 7 ).
y
d f ·�··· : J: I
0�--a�------�b--------�x
Figura 1.7. Punto interior A, punto exterior D, puntos frontera B, C de Ia region
rectangular.
32 Introduccion al calculo y al analisis matematico
Por definicion , todo punta interior P del conjunto S es necesa
riamente un punta de S, porque hay una vecindad de P que consiste
completamente de puntas de S, y P pertenece a esa vecindad. De
modo semejante, cualquier punta exterior de S definitivamente no
perte,'nece a S. Por otra parte , los puntas fro.ntera de un conjunto a
veces pertenecen al conjunto y a veces no . 1 El rectangulo abierto
a < x < b, c < y < d.
no contiene a sus puntas frontera, mientras que el rectangulo cerrado
a � x � b,
si los contiene .
Por lo general , se dice que un conjunto S de puntos es abierto si
ningun punta frontera de S pertenece a S (es decir , si S solamente
consiste de puntos interiores) . S recibe el nombre de cerrado si con
tiene a su frontera . A partir de cualquier conjunto S siempre se puede
obtener un conjunto cerrado , agregando a S todos sus punto!' fron
tera que no pertenezcan ya a S. Entonces se obtiene un nuevo con
junto , la cerradura S de S. El lector puede verificar con iacilidad que
la cerradura de S es un conjunto cerrado . Los puntas exteriores son
exactamente aquellos que no pertenecen a la Lerradura de S. De
modo semejante , se define el interior 8° de S como el conjunto de
puntas interiores de S, esto es , el conjunto que se obtiene elim�nando
los puntas frontera de S. El interior de S es abierto .
Debe observarse que los conjuntos no tienen que ser abiertos o
cerrados. Se puede construir con facilidad un conjunto S que solo
contengaparte de su frontera, tal como el rectangulo semiabierto
a � x < b, c � y < d.
Tambien es importante darse cuenta que nuestra nocion de frontera
se aplica a conjuntos bastante generales y proporciona resultados
bastante alejados de la intuici6n. Un ejemplo de un conjunto que en
ningun sentido es una "curva" o una "region" es el conjunto S que
consiste de los "puntos racionales" del plano , es decir, de aquellos
puntos P = (x, y) para los cuales ambas coordenadas x y y son nu
meros racionale's. Evidenteme.nte, todo disco en el plano contiene
tanto puntas racionales como no racionales . Por tanto , aqui no hay
1 Observese Ia diferencia entre "no pertenece aS" y "exterior aS"� Un punto frontera
deS nunca es exterior, incluso cuando no pertenece aS.
Funciones de varias variables y sus derivadas 33
"curva" frontera ; la frontera as consiste del plano completo . No exis
ten puntos interiores ni exteriores .
Incluso en casos donde la frontera es unidimensional , no toda ella
sirve para separar puntos interiores de exteriores . Por ejemplo , las
desigualdades
describen un disco con un diametro eliminado; aqui la frontera con
siste del circulo (x - a.)2 + (y - �)2 = r2 y del diametro
y = �' lx- a I< r.
Figura 1.8 Disco con un diametro eliminado.
Cualquier vecindad lo sufidentemente pequeiia de un punto en ese
diametro no contiene puntos exteriores en lo absoluto (Fig . 1.'8).
d. La cerradura como conjunto de puntos limite
Las nociones de "interior" , "frontera" y "exterior" de un conjunto
S tienen importancia cuando se consideran los llmites de sucesiones
de puntos P1, P2, . . . , de los cuales todos pertenecen al conjunto S.l
Evidentemente , un punto Q exterior a S no puede ser el limite de la
sucesi6n, ya que existe una vecindad de Q libre de puntos de S, lo
cual evita que los Pk puedan aprdximarse arbitrariamente a Q. De
aqui que el limite de una sucesi6n de puntos en S debe ser un punto
frontera o un punto interior de S. Como los puntos interiores y fron
tera de S forman la cerradura de S, se concluye que los limz"tes de
sucesz"ones en S pertenecen a la cerradura de S.
Inversamente , todo punto Q de la cerradura de S es en realidad el
1 Los puntos P�c no tienen que ser distintos entre s f.
�4 Introduccion al calculo y al analisis matematico
limite de alguna sucesi6n P1, P2, . • • de puntas de S, porque si Q es
un punto de la. cerradura , entonces Q pertenece a S, o bien , a su
frontera . En el primer caso , se tiene trivialmente en Q, Q, Q, . . .
una sucesi6n de puntas de S que convergen a Q. En el segundo caso ,
para cualquier e > 0, la vecindad e de Q contiene al menos un punto
de S. Para todo numero natural n es posible elegir un punto Pn deS
que pertenece a la vecindad e de Q, con e = 1/n. Evidentemente , los
Pn convergen a Q.
e. Puntos y conjuntos de puntos en el espacio
Una terna ordenada de numeros (x, y, z) puede representarse en
la manera usual mediante un punto P en el espacio . Aqui , los nu
meros x, y, z, las coordenadas cartesianas de P, son las distancias
(con signo) de P desde tres pianos mutuamente perpendiculares . La
distancia PP ' entre los dos puntas P = (x, y, z) y P' = (x ', y ', z ') esta
dada por
PP ' = ../(x ' - x)2 + (y ' - y)2 + (z ' - z)2 •
La vecindad e del pun to Q = (a, b, c) consiste de los puntas P = (x,
y, z) para los cuales PQ < e ; estos puntas forman la bola dada por·
la desigualdad
(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 .< e2 •
Las analogas a las regiones planas rectangulares son los parale
lepipedos I rectangulares descritos por medio de un sistema de des
igualdades de la forma
a < x < b , c < y < d, e < z < f.
Todas las nociones desarrolladas para los conjuntos pianos - frontera,
cerradura, etc . - se extienden a los conjuntos en tres dimensiones, en
una manera obvia .
Cuando se trata con cuaternas ordenadas como �x, y, z, w, nuestra
intuici6n visual no puede proporcionar una interpretacion geome
trica . Aun asi , resulta conveniente usar terminologia geometrica,
atribuyendo a (�, y, z, w) un "punto en el espacio tetradimensional" .
Las cuaternas (x, y , z, w) que satisfacen una desigualdad de la forma
(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 + (w - d)2 < e2
I Paralelepipedo (del griego, parallelepipedon, de parallelos, paralelo, y epipedon,
plano).
Funciones de varias variables y sus derivadas 35
constituyen , por definicion , la vecindad e del punto (a, b, c, d). Una
region rectangular2 se describe por un sistema de desigualdades de la
forma
a < x < b, c < y < d , e < z < f, g < w < h.
Por supuesto , nada existe de misterioso en esta idea de "puntas" en
cuatro d imensiones ; solo es una terminologia conveniente y no im
plica nada respecto a la realidad fisica del espacio tetradimensional .
De hecho , no hay impedimenta alguno para darle el nombre de
"punto" en el espacio n-dimensional a una "n- ada" (XI, . . . , Xn) ,
dond<:> n puede ser cualquier nu1nero natural . Para muchas apli
cac iones es bastante util y sugerente representar un sistema descrito
por n cantidades en est a forma ' 0 sea ' por medio de un solo pun to en
algun espacio de dimension superior.3 A menudo, las analogias con
interpretaciones geometricas en el espacio tridimensional propor
cionan las bases para poder hacer operaciones en mas de tres dimen
siones .
Ejercicios 1 . 1
1 . Es posiblc representar un punto (x, y) del plano por medio de u n numero
complejo (Volumen I , p. 1 03) en l a forma z = x + iy. Investigar la conver
gcncia , para difcrentes valores de z , de las sucesiones ( a ) zn
( b ) zlln, donde zll
n se define como la raiz n-esima primitiva de z, es
dccir , como la raiz con Ia ampl itud posit iva minima.
2 . Prohar para Pn = (Xn + ;n, Yn + l)n) que lim Pn = (x + ; , y + lJ),
n-+ oo
dondc se supone que los iimites x = lim Xn, ; = lim ;n , y = lim Yn,
lJ = lim lJn existen . . n-+co
n -+ oo n-+oo
3 . Dcrnostrar que todo punto del d isco x2 + y2 < 1 es un punto interior . �Se
cumple tambien esto pa ra x2 + y2 � 1 ? Dar las razones.
4. Demostrar que el conjunto S �e puntos (x, y) con y > x2 es abierto.
:) . �Cual es \a frontera de un segmento linea\ considerado como un subcon
j u nto del plano x, y?
2Tambien se usan los t�rminos "celda" e "intervalo" para describir regiones rectan
gulares de este tipo, en dimensiones superiores.
!IAsf, el sistema de moleculas de un gas en un recipiente puede describirse por Ia
posicion de u n solo punto en un "espacio fase" con un numero muy grande de di
mensiones.
Yendo incluso mas adelante, en algunas partes del analisis se acostumbra representar
una sucesion infinita de numeros Xt, X2, • • • por un punto (xt • .X2, • • • ) en un es
pacio con un numero infinito de dimensiones.
36 Introduccion al calculo y al analisis matematico
Problemas 1 . 1
1 . Sea P un punto frontera del conjunto S que no pertenece a S . Probar que
existe una sucesi6n de puntos dt:st in tos P1, P2, . . . en S que tiene a P
como limite .
� . Probar que I a cerradura de un conjunto es cerrada
3. Sea P cualquier punto de un conjunto S y Q cualquier punto fuera del
conjunto . Probar que el segmento rect i lineo PQ contiene un punto fron
tera de S.
4. Sea G el conjunto de puntos (x, y) para el cu al x < 1 , y < 1/2 y y < 0
si x = 1/2. � Con ticne G s61o puntos interiores? P roporcionar Ia evidencia
necesana .
1 .2 Funciones de varias variables independientes
a. Funciones y sus dominios
Las ecuaciones de l a fonn a
U = X + y, 0 u = log(l - x2 - y2)
asignan un valor funcz'onal u a una pareja de valores (x, y). En los
primeros dos ejemplos se asigna un valor de u a cada pareja de
valores (x, y), mientras que en el tercero la correspondencia tiene sig
nificado solo para aquel las parejas de valores (x, y) para las que se
cumple la desigualdad x2 + y2 ...-- 1 .
En general , se dice que u es una fund6n de las van·ables indepen
dientes x y y siempre que algunaley f asi gna un valor unico de u o sea,
Ia variable dependiente) a cad a pareja de val ores (x, y) que perte
necen a un cierto conjunto especificado , o sea , el dominio de Ia fun
cion . Asi , una funcion u = f(x, y) defi ne una aplicaci6ri de un con
junto de puntos en el plano x, y - el dominio de f- sabre un cierto
conjunto de puntas del eje u, el recorn'do de f De modo semejante,
se dice que u es una funcion de las n variables XI , X2, . • . , Xn si para
cada conjunto de valores (x1 , . . . , Xn) que pertenecen a cierto
conjunto especificado , se asigna un valor unico correspondiente de
u.l
l A menudo se piensa en las funciones f como si asignaran un valor a un punto P, en
1\igar de a la pareja (x,y) de coordenadas que describen a P. Entonces se escribe j(P)_ en Iugar de J(x,y). Esta notaci6n es particularmente util cuando se define
geometricamente Ia relad6n funcional entre los puntos P y los valores .f(P), sin hacer
referenda a un sistema coordenado x, y espedfico.
Funciones de varias variables y sus derivadas 37
Asi , por ejemplo , el volumen u = xyz de un paralelepipedo rec
tangular es una funci6n de la longitud de los tres lados x, y, z; la
declinaci6n magnetica es una funci6n de la latitud, la longitud y e1
tiempo ; la suma Xl + X2 + • · · + Xn es una funci6n de los n H�r
minos X1, X2, • • • , Xn.
Se debe observar que el dominio de una funci6n es una parte in
dispensable de su descripci6n. En los casos en donde u = f(x, y) se da
mediante una expresi6n explicita , result a natural tomar como do
mini� de f todas las (�, y) para las que esta expresi6n tiene sentido.
No obstante , se puede definir por "n!stricci6n" las funciones dadas
por la misma expresi6n, pero que tengan dominios menores . Asi , se
puede usar Ia formula u = x2 + y2 para definir una funci6n con
dominio x2 + y2 < 1/2.
Precisamente como en el caso de funcione� de una variable, una
correspondencia funcional u = f(x, y) asocia un valor unz"co de u con
el sistema de variables independientes x, y. De esta manera, ningun
valor funcional es asignado por una expresi6n analitica que sea mul
tiforme, tal como arc tan yfx, a menos que se especifique, por ejem
plo , que el "arc tangente" es valido para la rama prz"nci'pal con
valores que se encuentren entre - 1t/2 y + 1t/2 (ver el Volumen I, p .
214); ademas, tiene que excluirse la recta x = 0.2
b. Los tipos mas sencillos de funciones
Precisamente como en el caso de una variable independiente , ias
funciones mas sencillas de mas de una variable son las funciones en
teras raci'onales o polz"nomz"os. El polinomio mas general del primer
grado, o funci6n lz"neal, tiene la forma
u = ax + by + c,
donde a, b y c son constantes . El polinomio genel'al de segundo grado
tiene Ia forma
2 Tomando el valor principal, se ve que u = arc tan y/x para x > Ono es otra cosa sino
el angulo polar del punto (x, y) mcdido a partir del eje X positivo. Este angulo polar
puede aun definirse geometricamente de una manera obvia como una funci6n
univaluada con valores entre -1t y 1t si se excluye precisamente el origen y los puntos
sobre el eje x negativo, pero entonces el angulo polar ya no esta dado por arc tan
y/x en la region extendida , si se entiende que el arco tahgente se refiere a la rama
principal .
38 Introduccion al calculo y al analisis matematico
u = ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f.
Su dominio es el plano x, y completo. El polinomio general de cual
quier grado es una suma de un m1mero finito de terminos amnxmyn
(llamados monomios) , donde m y n son enteros no negativos y los
coeficientes amn son arbitrarios.
El grado del monomio amnxmyn es la suma m + n de los exponen
tes de x y y, siempre que el coeficiente amn no se anule. El grado de
un polinomio se determina por el ·grado mayor de cualquiera de los
monomios con que tenga un coeficiente no anulable (despues de
combinar los terminos con las misn1as potencias de x y y) . Un po
linomio que consiste de monomios que tienen el mismo grado N se
llama polinomio homogeneo o forma de grado N. Asi, x2 + 2xy , o
bien, 3x3 + (7/5) x2y + 2y3 son formas .
Extrayendo las rakes de las funciones racionales , se obtienen cier
tas funciones algebraicas 1 , por ejemplo ,
u = Jx - y + 3 I (x + y)2 x + y V x3 + xy ·
La mayoria de las funciones mas complicadas de varias variables
que se usaran aqui se pueden describir en terminos de las funciones
bien conocidas de una variable, tal como
u = sen (x arc cos y) o bien u = logx y.
c. Representaci6n geometrica de las funciones
Tal como se representan las funciones de una variable mediante
curvas , se pueden representar las funciones de dos variables , geo
metricamente, por medio de superficies . Con este fin , considerese un
sistema coordenado rectangular x, y, u en el espacio y marquese por
encima de cada punto (x, y) del dominio R de Ia funci6n en el plano
x, y, el punto P con Ia tercera coordenada u = f(x, y). Conforme el
punto (x, y) varia sobre Ia region R, el punto P describe una super
fide en el espacio . Se toma esta superficie como Ia representaci6n
geometrica de la funci6n .
lnversamente , en Ia geometria analitica , las superficies en e l es
pacio se representan por funciones de dos variables, de modo que en-
1 Vease la p . 275 respecto a una definicion general del termino "funci6n algebraica " .
Funciones de varias variables y sus derivadas 39
tre tales superficies y las funciones de dos variables existe una re
laci6n reciproca. Por ejemplo , a la funci6n
u = .Jl _ xz _ yz
le corresponde el hemisferio que se encuentra por encima del plano
x, y, con radio unitario y centro en el origen. A la funci6n u = x2 +
yz le corresponde un llamado paraboloide de revoluci6n, que se ob
tiene hacienda girar a la parabola u = x2 alrededor del eje u (Fig.
1 . 9 ) . A las funciones u = x2 - y2 y u = xy, les corresponden para
boloides hiperb6licos (Fig . 1 . 10) . La funci6n lineal u = ax + by + c
tiene un plano en el espacio como "grafica" . Si en la funci6n u = f(x,
y) no aparece una de las variables independientes , digamos y, de
modo que u solo depende de x , o sea u = g(x) la funci6n se representa
en el espacio x, y, u mediante una superficie cilindrica generada por
.las perpendiculares al plano u, x en los puntos de la curva u = g(x}.
Figura 1.9 u = x2 + y2. Figura 1.10 u = x2 - y2.
Sin embargo , esta representaci6n por medio de coordenadas rec
tangulares tiene dos desventajas . Primero , la imagen geometrica
fracasa cuando se trata de tres o mas variables independientes .
Segundo , incluso para dos variables independientes, a menudo resul
ta mas conveniente limitar la discusi6n al plano x, y unicamente , ya
que en el plano se pueden trazar esquemas y realizar construcciones
geometricas sin dificultad. Desde este punto de vista , a veces es
preferible otra representaci6n geometrica de u n a funci6n de dos
va r iables , por mcdio de l i neas de contorno. En el plano x,y se toman
40 Introduccion al calculo y al analisis matematico
todos los puntos .para los cuales u = f(x, y) tiene un valor constante,
digamos u = k. Por lo comun, estos puntos se encontraran sobre una
curva o curvas , la Hamada linea de contorno o curva de nivel, para el
valor constante dado k de la funci6n . Tambien pueden obtenerse es
tas curvas , cortando la superficie u = f(x, y) por medio del plano u
= k paralelo al plano x, y y proyectando las curvas de intersecci6n
perpendicularmente sobre el plano x, y.
El sistema de estas lineas de contorno , marcadas con los valores
correspondientes k1, k2, . . . . de Ia altura k, nos da una represen
taci6n de la funci6n. En la practica , se asignan valores en progresi6n
aritmetica a k , digamos k = vh, donde v = 1, 2, . . . Entonces la dis
tancia entre l as line as de contorno proporciona una medida de la in
dinaci6n de la superficie u = f(x, y), porque entre dos lirieas con
secutivas cualesquiera el valor de la funci6n cambiaen la misma can
tidad. La funci6n sube o baja con rapidez donde las lineas de cantor
no estan muy pr6ximas; en cambio , donde las lineas se separan, la
superficie es achatada. Este es el principia con el que se construyen
los mapas topograficos como los del U .S . Geological Survey (Servicio
Geografico y Geologico de los E .E .U .U . )
En este metodo , Ia fun cion lineal u = ax + by + c se representa
por un sistema de rectas paralelas ax + by + c = k. La funci6n u =
x2 + y2 se represent a por un sistema de circulos concentricos ( ver la
Fig. 1 . 1 1) . La funci6n u = x2 - y2, cuya superficie tiene "forma de
silla de montar" (Fig. 1 . 1 0) , se representa por el sistema de hiper
bolas que se muestra en la Fig. 1 . 1 2 .
y
X
Figura 1 . 1 1 Lineas de contorno de
u = x2 + y2.
Figura 1 . 12 Lineas de contorno de
u = x2 - y2.
Funciones de varias variables y sus derivadas 41
El metodo de representar la funci6n u = f(x, y) mediante lineas
de contomo tiene la ventaja de poder extenderse hacia funciones de
tres variables independientes . Entonces, en lugar de las lineas de con
torno , se tienen las superficies de nivel f(x, y, z) = k, donde k es una
constante a la cual se le pueden asignar cualquier sucesi6n apropiada
de valores . Por ejemplo, las superficies de nivel para la funci6n u =
x2 + y2 + z2 son esferas concentricas alrededor del origen del sistema
coordenado x, y, z
Ejercicios 1 . 2
1 . Evaluar las siguientes funciones en los puntos indicados:
(a) z = ( cot arc (x + y) } 3 tan arc (x - y) para 1 + J3 1 -J3 X = 2 ' y = 2
(b) w = ecos z<x+y>, para n x = y =- 2, z = -1
(c) z = yx cos xY, x = e, y :::;: log n
(d) z = cosh (x + y), x = log n, y = log �
x + y 1 1 (e) z = -- x = - y = -x - y' 2 ' 3 ·
2 . AI igual que en el Volumen I , a menos que se haga una excepci6n ex
plici ta , se consider a el dominio de una fun cion definida mediante una
expresi6n formal como el conjunto de todos los puntos para los cuales la
expresi6n tiene significado. Dar el dominio y el recorrido de cada una de
las siguientes funciones:
(a) z = JX+Y
(b) z = J2x - y2
1 (c) z = 1-
-v x + Y
(d) z =J1 - x2 _ y2 a2 b2
(e) z = log (x + 5y)
(f) z = J x ,sen y
(g) w = J a2 _ x2 _ y2 _ z2
x2. - y2 (h) z = --x + y
(i) z = J3 - x2 - 2y2
(j) z = J-x2 - y2
(k) z = log (x2 - y2)
x2
(l) z = tan arc x2 + Y2
(m) z= tan arc +x X y
(n) z = cos arc tan ,r X
(o) z = arc cos log (x + y)
(p) Z = J y COS X.
3. �Cual es el numero de coeficientes de un polinomio de grado n en dos
variables ? �En tres variables? �En k variables?
4 2 Introduccion al calculo y al analisis matematico
4 . Para cada una de l as funciones siguientes, hacer un esquema de las lineas
de contorno correspondientes a z = -2, -1, 0, 1, 2, 3 :
(a) z = x2y
(b) z = x2 + y2 - 1
(c) z = x2 - y2
(d) z = y2
(e) z = y (1 - x2 � y2) .
5 . Trazar las lineas de contorno para z = cos (2x + y) correspondientes a
z = 0, ± 1, ± 1/2.
6. Hacer un esquema de las superficies definidas por
(a) z ::..:: 2xy
(b) z = x2 + y2
(c) z = x - y.
(d) z = x2
(e) z = sen (x + y).
7 . Encontrar las curvas de nivel de l a funci6n
1 + Jx2 + y2
z = log J - - - . 1 - x2 + y2
H . l la ll a r las superficies sobre las cuales la funci6n u = 2 (x2 + y2)/z es cons
tantc .
1 .3 Continuidad
a. Definicion
Como en la teoria de las funciones de una sola variable, el concep
to de continuidad figura de modo prominente cuando se consi
deran funciones de varias variables . La proposici6n de que la fun
cion u = f(x, y) es continua en el pun to (� , 11) debe significar, hablan
do en terminos generales , que para todos los puntos (x, y) cercanos a
(�, 11) , el valor de f(x, y) solo difiere un poco del valor {(�, 11) . Esta
idea se expresa de manera mas precisa como sigue : Si f tiene el
dominio R y Q = (� , 11) es un punta de R, entonces f es continua en
Q si para cada e > 0 existe un 8 > 0 tal que
(1) l f(P) - f(Q) I = lf(x, y) - {(�, 11) I < e
Funciones de varias variables y sus derivadas 43
Para todo P = (x, y) en R para el cual*
(2) PQ = J(x - �)2 + (y - TJ)2 < 8.
Si una funci6n es continua en cada uno de los puntos de un con
junto D de puntos, se dice que es continua en D.
Los hechos siguientes son casi obvios : La suma, diferencia y
producto de funciones continuas tambien son continuos . El cociente
de funciones continuas define una funcion continua en los puntos
donde el denominador no se anula (para la demostracion ver la si
guiente, seccion , p. 47) . En particular, todos los polinomios son con
tinuos y todas las funciones racionales son continuas en los puntos
donde el denominador no se anula. Funciones continuas de funciones
continuas son a su vez continuas (ver p . 47) .
Una funci6n de varias variables puede tener discontinuidades de
tipo mucho mas complicado que una funci6n de una sola variable.
Por ejemplo , las discontinuidades pueden ocurrir a lo largo de arcos
completos de curvas , no solo en puntos aislados . Este es el caso para
Ia funcion definida por
u = yfx para x -;t:. O ; u = O para X = 0,
1a cual es discontinua a lo largo de toda la recta x = 0. Es mas, una
funcion f(x, y) puede ser continua en x para cada valor fijo de Y y
continua en y para cada valor fijo de x, y, sin embargo, ser discon
tinua como una funci6n del punto (x, y). Esto puede ejemplificarse
mediante
f ) - 2xy (x, y - x2 + y2 para (x, y) 7::- (0, 0), f (0, 0) = 0.
Para cualquier y 7::- 0, fija , es obvio que esta funci6n es continua
como una funci6n de x, ya que el denominador no puede anularse.
Para y = 0, se tiene f(x, O) = 0, que tambien es continua como una
funcion de x. De modo semejante, f(x, y) es continua como una fun
cion de y para cualquier x fija . Pero en cada punto de la recta y =
x, excepto en el punto x = y = 0 se tiene f(x, y) = 1 y se tienen pun-
*En Iugar de confinar a (x, y) en un pequefio disco con centro en (!;, 11) podria usarse
un pequefio cuadrado. Asi, Ia condici6n (2) en la definicion de continuidad puede
remplazarse por
(2') y IY - 11 1 < 8.
4 4 Introduccion al calculo y al analisis matematico
tos de esta recta arbitrariamente pr6ximos al origen. De aqui que f(x,
y) es discontinua en el punto (0, 0).
Precisamente como en el caso de funciones de una sola variable,
,se dice que una funci6n f(P) = f(x, y) es uniformemente continua en
el conjunto R del plano x, y si f esta definida en los puntos de R y si
para cad a e > o existe un o = o( e) posi tivo tal que I f(P) - f( Q) I < e
para dos puntos cualesquiera P, Q en R de distancia < o.l La can
tidad o = o(e) se llama m6dulo de continuidad para f. Se tiene el
teo rem a basico :
Una funci6n f que esta definida y es continua en un conjunto
cerrado y acotado R es uniformemente continua en R. (La demos
traci6n se encuentra en el Apendice de este capitulo . )
El caso en el que puede hallarse un modulo de continuidad
proporcional a & (ver el Volumen I, p . 43 ) es de suma importancia.
Se dice que una funci6n f(P) definida en R es continua segun L-ips
chitz si existe una constante L tal que
(3) l f(P) - f(Q) I � L PQ para todos los puntos P, Q en R .
(L se llama "constante de Lipschitz" ; I a relaci6n ( 3 ) es Ia con
dici6n de Lipschitz" . ) Es evidente que una funci6n f continua segun
Lipschitz es uniformemente continua y tiene a o = &/ L como modulo
de continuidad.2
b. El concepto de limite de una funci6n de varias variables
La noci6n de limite de una funci6n esta intimamente relacionada
con Ia noci6n de continuidad. Supongamos que f(x, y) es una funci6n
con dominio R . Sea Q = (�, 11) un punto de Ia cerradura de R. Se
dice que f tz'ene el limz'te L cuando (x, y) tiende hacz'a (�, 11) y se es
crz'be
I El requerimiento esencial que hace uniforme a la continuidad es que o dependa
de e pero no de P o de Q.
2 La clase aun mas amplia de funciones f "continuas segun Holder" se obtiene cuan
do se remplaza la condici6n deLipschitz (3) por la condici6n de Holder
l f(P) - f(Q) I � L PQa para todo P, Q en R .
L y a son constantes y 0 < a � 1 (vease e l Volumen I, p 44). Estas funciones tam
bien son uniformemente continuas y puede elegirse como modulo de continuidad a
la cantidad
o = (e/L)l fa
(4}
Funciones de varias variables y sus derivadas 45
lim f(x, y) = L a bien lim f(P) = L, 1
(x,y) --+(1;, 11) P-+Q
si para cada & > 0 puede hallarse una vecindad
(5) PQ = J(x - �)2 + (y - TJ)2 < o
de (�, TJ) tal que
l f(P) - L l = l f(x, y) - L l < &
para tada P = (x, y) que pertenezca a R en esa vecindad . 2
En el casa de que el punta (�, TJ) pertenezca al daminia de {, se
tiene en (x, y) = (�, TJ) un punta de R que satisface (5) para tada o
> 0. Entances , en p articular , (4) implica que
I f(�, TJ) - L l < e
para tada & > 0 y de aqui que L = {(�, TJ). Pera entonces, por de
finicion, Ia relacion
lim f(x, y) = {(�, TJ)
(x, y) --+ (1;, n)
es identica a Ia condicion para Ia continuidad de f en (�, TJ). De aqui
que la continuidad d� la funcion l en el punto (�, 17) es equivalente a
la proposici6n de que f esta de.fi.nida en (¢, 17) y que f(x, y) tiene el
limite {(�, 17) cuando (x, y) tiende a (�, 1'/).
Si f no esta definida · en el punto frontera (�, TJ) de su dominio pero
tiene un limite L cuan do (x, y) - � (�, TJ) , puede extenderse natural
mente Ia definicion de f al punto (�, TJ) , poniendo {(�, TJ) = L ; enton
ces Ia funcion f extend ida en csta forma sera continua en (�, TJ). Si f(x,
y) es continua en su dom i n io R , puede extenderse Ia definicion de f
como limite no unicam c nte a u n solo punta frontera (�, TJ) sino simul
taneamente a todos los pun tos frontera de R para los cuales f tiene
un limite . Una vez m as , Ia funcion extendida que resulta es continua,
como el lector puede verificar como un ejercicio . T6mese , por ejem
plo Ia funcion
10 bien, lim f(x,. y) = L para (x, y) � (l;, 11) o tam bien lim {(x, y) = L.
X--+1;
Y--+11
2La noci6n no tiene sentido para puntos (l;, 11) .exterz"ores a R , ya que entonces exis-
ten puntos arbitrariamente pr6ximos a (l;, 11) en los que f este definida , y podria con
siderarse como limite a todo L;
46 Introduccion al calculo y al analisis matematico
2
f(x, y) = e-x 1Y
definida para toda (x, y) con y > 0. Obviamente, esta funcion es con
tinua en todos los puntos de su dominio R, el semi plano superior .
Considerese un punto frontera (�, 0). Para � -:;t:. 0, evidentemente se
t iene
lim f(x, y) = lim e-s = 0
(x, y)-4(1;, TJ) s-400
cuando se restringe y a valores positivos. S i , entonces , se define la
funcion extendida f*(x, y) por
2
f*(x, y) = f(x, y) = e-x ly
pa r; 1 y > 0 y tod a x, y por
f*(x, 0) = 0
pa ra X * 0 , Ia funci6n f* sera continua en su dominio R* , donde R*
cs cl sc m i pla no superi or cerrado y � 0 con la excepcion del punto
(0, 0). En el origen f* no tiene limite , y de aqui que no es posible
dcfi n i 1 f*(O, 0) en tal forma que la extension sea continua en el
ongc n . En ekcto , para (x, y) sob re la parabola y = kx2, se tiene
f(x, y) = e-llk.
Tcndiendo al origen a Io largo de parabolas diferentes se obtienen
\· , t l o n·s l im i te difcrentes , de modo que no existe un limit� unico de
f(x, y) cuando (x, y) --)> 0.
Ta m b icn puede relacionarse el concepto de limite de una funci6n
f(x, y) con el de limite de una sucesi6n (ver el Volumen I , p. 82 ) .
Sup{mgasc que f tiene el dominio R y
lim f(x, y) = L.
(x, y) -4(1;, TJ)
Sea Pn = (xn, Yn) para n = 1, 2, . . . , cualquier sucesion de puntos en
R para la cual lim Pn = (�, TJ). Entonces la sucesion de numeros f(xn,
n-4oo
Yn) tiene el limite L. Porque f(x, y) diferira arbitrariamente poco de
L para toda (x, y) en R suficientemente proxima a (�, TJ), y (xn, Yn) es
tara suficientemente proxima a (�, TJ) tan solo haciendo n lo suficien
temente grande. Reciprocamente, lim f(x ,y) cuando (x, y) --)> (�, T))
n4oo
existe y tiene el valor L si para cada sucesi6n de puntos (xn, Yn) en R
Funciones de varias variables y sus detivadas 47
con limite (�, 11) se tiene lim f(xn, Yn) = L. La demostraci6n puede ser n-+oo
proporcionada facilmente por el lector . S i nos restringimos a los pun�
tos (�, 11) en el dominio de {, se obtiene la proposici6n de que la con
tinuidad de f en su dominio R significa preci'samente que
(6) lim f(xn, Yn) = {(�, 11) n-+oo
siempre que lim (xn, Yn) = (�, 11) o bien que
n-+oo
lim {(xn, Yn) = {(lim Xn, lim Yn),
n-+oo n�oo n�oo
don de solo se consideran las sucesiones (xn, Yn) en R que convergen y
t icnen sus Hmites en R . Entonces , en esencia , la continuidad de una
funcion f nos permite el intercambio del simbolo para f con el de
l imite .
Es evidente que las nociones de limite y de cont'inuidad de una
funci6n se apl ican con igual propiedad cuando el dominio de f no es
una region bidimensional sino una curva o cualquier otro conjunt0
de pun tos . Por cjcmplo , la funcion
f(x + y) = (x + y) !
esta defi n i d a en cl conjunto R que consiste de todas las rectas x + y
= canst. = n, donde n es un entero posi tivo . Es obvio que f es con
tinua en su dominio R .
S e mcncion6 con anterioridad (p . 42 ) que cuando f(x, y) y g(x, y)
son continuas en un punta (t. , 11): entonces f + g, f - g, f · g, y, para
g(�, 11) ;e Q, tambien f/g son continuas en (�, 11). Estas reglas se de
ducen i nmediatamente a partir del enunciado de la continuidad en
termi nos de la convergencia de sucesiones . Para cualquier sucesi6n
(xn, Yn) de pun tos que pertenecen a los dominos a f y g y que conver
ge a (� , YJ), por (6) se tiene
lim {(Xn, Yn) = {('C.,, 11), lim g(xn, Yn) = g(�, 11). n�oo n�oo
Entonces, se concluye la convergencia de f(xn, Yn) + g(xn, Yn), .etc . , a
partir de las reglas para operar con sucesiones (Volumen I , p . 72).
c. El orden de anulaci6n de una funci6n
Si la funci6n f(x, y) es continua en el punta (�, 11), la diferencia
f(x, y) - {(�, 11) tiende a 0 conforme x tiende a � y y tiende a n. In-
48 lntroduccion al calculo y al analisis matematico
troduciendo las nuevas variables h = x - � y k = y - 11 , se puede ex
p�esar esto como sigue : La funci6n if> (h, k) = f(� + h, 11 + k) - f(�,
11) de las variables h . y k tiende a 0 a medida que h y k tienden hacia
0.
Con frecuencia encontraremos funciones if>(h, k) que tienden hacia
cero conforme h y k lo hacen. Como en el caso de una variable in
dependiente, para muchos fines resulta util describir el comporta
miento de </>(h, k) cuando h � 0 y k � 0 con mas precision , distin
guiendo entre diferentes "6rdenes de anulaci6n" y "6rdenes de mag
nitud" de f/>(h, k). Con este fin , se basan las comparaciones en la dis
tancia
P =
.J
h2 + k2 =
.J
(x - �)2 + (y - 11)2
del punto con .coordenadas x = � + h y y = 11 + k desde el punto
con coordenad
�;
� y 11 y se hace uso de la definicion siguiente :
Una funci6n if>(h, k) se anula conforme p � 0 por lo menos en el
mismo orden que p = J h 2 + k2, siempre que exista una constante C
ip.dependiente de h y k tal que se cumpla la desigualdad
t
<�><
h; k) t � c
para todos los val ores lo suficientemente pequefios de p ; es decir ,
siempre que exista un & > 0 tal que se cumpla la desigualdad para
todos los valores de h y k tales que 0 < Jh2 + k2 < 8. Entonces se es
cribe simb6licamente : 1>(h, k) = O(p). Es mas, se dice que if>(h, k) se
anula · para un orden suPerior 1 a p si el cociente rfi(h, k)fp tiende a 0
conforme p � 0. Esto se expresara mediante la notaci6n simb6lica
rp(h k) = o(p) cuando (h, n) � 0 (ver el Volumen I, p. 253 , donde
se exp1ican los simbolos ' 'o " y "0 " para las funciones de una sola
variable) .
Consideremos algunos ejemplos . Como
y
l
k
l
< 1
Jh2+k2 = ,
las componentes h y k de la distaricia p en la d
i�
ecci6n de los ejes x y
y se anulan por lo menos en el rnismo orde
:ri
que la propia distancia.
� el fin de evitar confusiones, seiialaremos expresamenteque un or den superz'or
de anulaci6n cuando p -+ _0 implica valores menores en la vecindad de p = 0 ; por
ejemplo, p2 se anula en un arden superior a p y p2 es menor que p cuando p esta
pr6xi:rno. a 0 .
Funciones de varias variables y sus derivadas 49
Lo mismo es cierto para una funci6n lineal homogenea ah + bk con
constantes a y b o para la funci6n p sen Para valores fijos a
mayores que 1 , la potencia pa de la distancia se anula en un orden
superior a p ; simb6licamente , pa = o(p) para a > 1. De modo se
mejante , un polinomio cuadratico homogeneo ah2 + · bhk + ck2 , en
las variables h y k , se anula en un arden superior a p conforme p � 0
ah2 + bhk + ck2 = o(p) .
En forma mas general , se usa la definicion siguiente . Si se define
la funci6n de comparaci6n ro(h, k) para todos los valo'res diferentes de
cero de (h, k) en un circulo suficientemente pequefio alrededor del
origen , y que no sea igual a cero, entonces rf>(h, k) se anula por lo
menos en el mismo orden que ro(h, k) conforme p � 0 si para alguna
constante C elegida apropiadamente, se cumple la relaci6n
1> (h, �k) < c
ro(h, k) =
en una vecindad del pun to (h, k) = (0, 0). Esto se indica por medio de
la ecuaci6n simb6lica rfi(h, k) = O(ro (h, k) ) . De modo semejante, rfi(h
k) se anula en un orden superior a ro(h, k), o bien , r/>(h, k) = o(ro(h,
k) )
. r/>( h' k) 0 d 0 , s1 ro(h, k) � cuan o p � .
Por ejemplo, el polinomio homogeneo ah2 + bhk + ck2 por lo
menos es del mismo arden que p2, ya que
Tambien p = o(l/ l log p i) , ya que lim {p log p) =0 (Volumen I ,
) p+ O p. 252 .
Ejercicios 1 .3
1 . La fun cion z = (x - y)/(x + y) es discontinua a lo largo de y = -x.
Haccr un esquema de las curvas de nivel de su superficie para z = 0, ±
l, ± 2. (Como se ven las curvas de nivel para z = ± m,y m grande?
2. Examinar Ia continuidad de la funci6n z = (x2 + y) -Jx2 + y2, donde
z = 0 para X = y = 0. Hacer un esquema de las curvas de nivel z = k
(k = -4, -2, 0, 2, 4). Presentar (en una grafica) el comportamiento de z
como una funci6n de x unicamente, para y = -2, - 1, 0, 1, 2. De modo
50 Iritroducdon al calculo y al analisis matematico
semejante , presentar el comportamiento de z como una funcion de y
unicam·ente, para X = 0, ±1, ±2. Por ultimo, presentar el comporta
miento de z como una fun cion de p unicamente , cuando e es constante
(siendo p, e coordenadas polares) .
3 . Verificar que las funciones
(a) f(x, y) = x3 - 3xy2
(b) g(x, y) = x4 - 6x2y2 + y4
son continuas en el origen, determinando el modulo de continuidad 8(e:).
�En que orden se anula cada funcion en el origen?
4. Demostrar que las funciones siguientes son continuas:
(a) sen (x2 + y)
(b) sen xy .j�2 + y2
xa + ya (c) x2 + y2
(d) x2 log (x2 + y2)
donde, en cada caso , la funci6n se define en (0, 0) . como igual al limite
de la expresi6n dada.
5 . Hallar un modulo de continuidad, 8 = 8(e:, x, y), para las funciones con
tinuas
(a) {(x, y) = J1 + x2 + 2y2
(b) {(x, y) = J1 + ex11.
6 . �D6nde es djscontinua la funci6n z = 1/(x2 - y2)?
7 . �Donde es discontinua la funci6n z = tan 7t.Y /cos 1tX?
8. �Para que conjunto de valores (x, y) es continua la funcion z = .jy cos x '?
9. Demostrar que la funci6n z = 1/(1 - x2 - y2) es continua en el disco
unitario x2 + y2 < 1.
10 . Encontrar la condicion para que el polinomio
P = ax2 + 2bxy + cy2
tenga exactamente el mismo orden que p2 en la vecindad de x = 0, y =
0 (es decir, que tanto P/p2 como p2/P sean acotados) .
1 1 . Determinar si las funciones siguientes 'son continuas o no, y si no lo son,
d6nde son discontinuas:
(a) sen 1!... X
(d)
xa + y2 . x2 + Y
Funciones de varias variabies y sus derivadas 51
1 2 . Dcmostrar que las fundones
_ x4y4 f(x, y) - (x2 + y4)3 '
x2 g(x, y) = x2 + y2 - x
t ienden a 0 si ·(x, y)se aproxima al origen a lo largo de cualquier recta,
pero que f y g son discontinuas en el origen.
1 3 . Determinar si las funciones siguientes tienen limite en x = y = () y dar el l imi te cuando exista .
x2 _ y2
(a) x2 + y2
(b)
x2 + 2xy + y2
x2 + y2
x2 + 3xy + y2
(c) x2 + 4xy + y2
\ x - y l (d) x2 - 2xy ·+ y2
(e) exp (- \ x - y \ /(x2 - 2xy + y2)]
(f) l x l Y
(g) I X l i lly I
(h) * I Y \ ' x ' .j x2 + y2
-/x2 + y2 + \ yfx l
1 4 . Hallar un modulo de continuidad 8(e:) para aquellas funciones del Ejer
cicio 1 3 que tengan limite en x = y = 0, donde las funciones est{m
definidas en el origen por medio de sus valores limite .
1 5 . Demostrar que f(x, y, z) = (x2 + y2 - z2)/(x2 + y2 + z2) no es continua
en (0, 0, 0).
1 6 . Probar que si P(x, y) y Q(x, y)son, cada uno, polinomios de grado n > 0
que se anulan en el origen.
R(x ) - P(x, y) , y - Q(x, y)
no es continua en el origen.
1 7 . Hallar los limites de las expresiones ·siguientes conforme (x, y) tiende a
(0, 0) en una forma arbitraria :
(a) sen (x2 + y2)
x2 + y2
(b) sen (x4 + y4) x2 + y2
e-ll(x2+y2)
(c) x4 + y4 .
18 . Demostrar que Ia funci6n z = 3(x - y)/(x + y) puede tender bacia cual
quier limite conforme (x, y) tiende hacia (0, 0). Dar ejemplos de las
variaciones de (x, y) tales que
52 Introduccion al calculo y al analisis matematico
(a)
(b)
(c)
lfm
X-+0
y-+0
lim
X-+0
y-+0
lim
X-+0
y-+0
z = 2
z = -1
z no existe
1 9 . Si f(x, y) --+ 0 conforme (x, y) --+ (0, 0) a · lo largo de todas las rectas que
pasan por el origen , f(x, y) --+ 0 conforme (x, y) --+ (0, 0) a lo largo de
cualquier trayectoria?
20 . Investigar el comportamiento de z = y log xr en una vecindad del
origen (0, 0).
2 1 . Para z = f(x, y) = (x2 - y)/2x, trazar las graficas de
(a) z = f(x, x2)
(b) z = f(x, 0)
(c) z = f(x, 1)
(d) z = f(x, x)
�Existe el limite de f(x, y) conforme (x, y) --+ (0, 0)?
22 . Dar una interpretacion geometrica de la proposici6n siguiente: tfo(h, k} se
anula con el mismo orden que p = Jh2 + k2.
Problemas 1 .3
1 . Considerese Ia funci6n continua f extendida a la funcion f* definida de
modo que f* = f en el dominio de f y {*(Q) = lim f(P) para todos los
P-+Q
puntos Q sobre Ia frontera de f donde el limite existe. Probar. que {* es
continua.
2 . Probar que lim f(x, y) cuando (x, y) --+ (�, "1)) existe y tiene el valor L si
y solo si , para cada sucesi6n de puntos (xn, Yn) en el dominio de f con
limite (�, lJ) se tiene lim f(xn, Yn) = L.
n-+oo
1 .4 Las derivadas parciales de una funcion
a. DefiniciOn. Representaci6n geometrica
Si en una funci6n de varias variables se asignan valores numericos
definidos a todas excepto a una de las variables y s6lo se deja variar a
esa variable, digamos x, Ia funci6n se transforma en una funci6n de
una sola variable. Consid�rese una funci6n u = f(x, y) de las dos
.variables x y y y asignese a y un valor fijo definido y = Yo = c. La
Funciones de varias variables y sus derivadas 53
Figura 1 . 13 y Figura l . l4 ,�eccciones de u = {(x, y).
funci6n resultante u = f(x, yo) de la sola variable x puede represen
tarse geometricamente cortando la superficie u = {(x, y) mediante el
plano y = yo (ver las Figs . 1. 13 y 1. 14) . La curva de intersecci6n asi
form ada en el plano se representa por la ecuaci6n u = f(x, yo). Si se
deriva esta funci6n en la manera usual , en el punto x = xo, supo
niendo que f esta definida en una vecindad de (xo, yo) y que la deri
vada existe ,1 se obtiene la derz"vada parcz"al de /(x, y) con respecto a
x en el punto (xo, y0) :
l� f(xo + h, yo) - f(xo, Yo) lffi h . h--40
Geometricamente, est a derivada parcial denota Ia tangente del
angulo entre una paralela al eje x y la recta tangente a Ia curva u =
f(x, yo). Por lo tanto , es Ia Pendz"ente de la superfz"cz"e u = f(x, y) en la
dz"reccz"6n del eje x .
Se usan varias notaciones diferentes para representar estas de
rivadas parciales , una de las cuales es Ia siguiente :
1.. f(xo + h, yo) - f(xo, yo) f ( ) ( ) 1m h = x Xo, yo = Ux xo, yo . h--40
Si se desea hacer resaltar que Ia derivada parcial es el limite de
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