Semana 3b Cuadriláteros Teoría Pre 2021-2 - BYRON DAVID CEVALLOS TRUJILLO

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TEORÍA
3b
2021-2
CUADRILÁTEROS
CUADRILÁTERO
Definición.- Se denomina cuadrilátero al polígono de cuatro lados.
Puede ser convexo o no convexo.
A
B
C
D M
N
P
Q
Cuadrilátero convexo Cuadrilátero no convexo
DEFINICIONES
• Dos lados de un cuadrilátero son opuestos, si no se intersecan.
• Dos ángulos de un cuadrilátero son opuestos, si no tienen común
un lado.
• Dos lados de un cuadrilátero son consecutivos, si tienen un extremo
común.
• Dos ángulos de un cuadrilátero son consecutivos, si tienen común
un lado.
• Una diagonal de un cuadrilátero es un segmento determinado por
dos vértices no consecutivos.
TEORÍA
3b
2021-2
CLASIFICACIÓN DE LOS 
CUADRILÁTEROS CONVEXOS
TRAPEZOIDE
Es el cuadrilátero que no tiene lados paralelos.
ABCD es un trapezoide
AB y CD no son paralelos
BC y AD no son paralelos
A
B
C
D
TRAPEZOIDE SIMÉTRICO
Es el trapezoide que tiene dos pares de lados consecutivos
congruentes.
ABCD es un trapezoide
simétrico.
AB  AD y BC  CD A
B
D
C
a
a
b
b
Teorema.- En un trapezoide simétrico la recta que contiene a una
diagonal es mediatriz de la otra diagonal.
A
B
D
C
a
a
b
b
m
m
AC es mediatriz de BD
A) 36 B) 45 C) 50
D) 55 E) 60
EJERCICIO 01 :
Se tiene un trapezoide ABCD. Se prolonga CD y desde el vértice A se traza
una perpendicular a esta prolongación la cual interseca en el punto E. Si
AB = AD, m∠ BAD= 60 ; m∠ABC = 90 y m∠ADC = 135. Calcule la medida
del ángulo CAE.
D
A
Datos: AB = AD, m∠B = 90
m∠ADC = 135, m ∠BAD = 60
x = m ∠CAE 
△ABD: Equilátero
△BDC: Isósceles
△ABC: Isósceles
⊿AEC: Notable ( 30 y 60)
⟹ x = 60 
C
x
E
B
a a
a
45
a
60
75 30
30
60
135
Se tiene un trapezoide ABCD. Se prolonga CD y desde el vértice A se traza una
perpendicular a esta prolongación la cual interseca en el punto E. Si AB = AD,
m∠ BAD= 60 ; m∠ABC = 90 y m∠ADC = 135. Calcule la
medida del ángulo CAE.
RESOLUCIÓN 01
Clave: E 
En un trapezoide ABCD , mBAD = mBCD = 90. En el lado AD se
ubica el punto H, tal que AD es perpendicular a CH. Si BC = 24 u ,
HD = 15 u y mABH = 2(mHCD), entonces la longitud (en u) de
BH es
A) 13 B) 15 C) 20
D) 16 2 E) 10 2
EJERCICIO 02 :
A D
B
C
H
24
15
α
2α
x
Piden: BH = x
Datos: BC = 24 u y HD = 15 u;
2α
90-α
12
12
12
S
53
=37Se deduce que el ∆BHC es isósceles Q
x
Trazamos HQ: altura, mediana y 
bisectriz. BQ = QC =12
Entonces CH = BH = x
Finalmente en el ∆CHS: 
BH = x = 20
En ∆HSD: notable de 37 y 53
En un trapezoide ABCD 
donde mHDS = 53 y α = 37
RESOLUCIÓN 02
Clave: C 
En un trapezoide ABCD , mBAD = mBCD = 90. En el lado AD se ubica
el punto H, tal que AD es perpendicular a CH. Si BC = 24 u , HD = 15 u y
mABH = 2(mHCD), entonces la longitud (en u) de BH es
90-α
Por paralelas: HS = QC = 12
TRAPECIO
Es un cuadrilátero que tiene solo dos lados paralelos.
ABCD es un trapecio,
BC // AD , Bases: BC y AD
Altura. Es el segmento cuyos
extremos se encuentran en las
rectas que contienen a las
bases y es perpendicular a
dichas rectas: CHDA
B C
M
m
m
N
n
n
H
Mediana. Segmento que tiene por extremos los puntos medios de los
dos lados no paralelos: MN
CLASIFICACIÓN DE LOS TRAPECIOS
1. Trapecio Escaleno
Es el trapecio cuyos lados
opuestos no paralelos no son
congruentes.
DA
B C
a b
Observación:
Un trapecio escaleno se denomina
trapecio rectángulo si uno de sus
lados no paralelos es perpendicular
a las bases.
ABCD es un trapecio escaleno
Si BC // AD y AB ≠ CD
ABCD es un trapecio rectángulo
Si AB ⊥ BC y AB ⊥ AD
A
B C
D
2. Trapecio Isósceles
Es el trapecio cuyos lados opuestos no paralelos son congruentes.
ABCD es un trapecio
isósceles, BC // AD y
AB = CD
DA
B C
a a
TEOREMAS EN LOS TRAPECIOS
1.- Los ángulos determinados en
las bases de un trapecio
isósceles son congruentes.
DA
B C
a a
𝛼 𝛼
𝜃 𝜃
∠ABC ≅ ∠BCD ∠BAD ≅ ∠CDA
Si ABCD es un trapecio isósceles de 
bases BC y AD, entonces:
2.- Las diagonales de un
trapecio isósceles son
congruentes.
A
B C
D
Si ABCD es un trapecio isósceles 
de bases BC y AD, entonces:
AC ≅ BD
a a
d d
A D
CB
F
•
NM
a/2
b/2
b
a
Se traza la diagonal BD y se ubican los puntos 
medios M, F y N de BA, BD y CD que no se 
sabe si son coolineales. 
•
ABD: MF es base media, 
3.- La mediana de un trapecio es paralela a las bases y su longitud es
igual a la semisuma de las longitudes de las bases.
Si ABCD es un trapecio de bases 
BC y AD, entonces:
MN // BC // AD y MN =
a +b
2
MN =
a +b
2
MF//AD y MF = AD/2 = b/2 
BCD: FN es base media, 
FN//BC y FN = BC/2 = a/2 
Por el postulado de Euclides: 
BC//AD,MF//AD y FN//BC
Luego: M, F y N son coolineales. 
MN//BC//AD
•
M
a/2
b/2
b
a
A D
CB
t
t
Corolario.- En un trapecio, la longitud del segmento que tiene por
extremos los puntos medios de las diagonales es igual a la
semidiferencia de las longitudes de las bases.
Si ABCD es un trapecio de bases 
BC y AD, entonces:
EF =
b − a
2
EF // BC // AD y EF =
b − a
2
Se ubican los puntos medios E, M de AC y CD
Luego EM interseca a BD en F 
ACD: EM es base media, 
EM//AD y EM = AD/2 = b/2 
BCD: F es punto medio de BD y 
FM//BC y FM = BC/2 = a/2 
FM es base media 
ഥEF // BC // AD
Luego: 
•
E
•
F
En un trapecio isósceles la diagonal mide el doble de su mediana. Calcule
la medida de uno de los ángulos determinado por las diagonales de dicho
trapecio.
A) 30 B) 37 C) 45
D) 53 E) 60
EJERCICIO 03 :
x = m ∠APC 
Dato: 2MN = AC = BD = a+b
Prolongamos CB tal que, MBDA 
es paralelogramo
Los triángulos AMC y BCP son 
equiláteros
x=60
a
A
B
C
D
M N
X
M b
b
P
En un trapecio isósceles la diagonal mide el doble de su mediana.
Calcule la medida de uno de los ángulos determinado por las diagonales
de dicho trapecio.RESOLUCIÓN 03
/
/
60
a+b
60
Clave: E 
A) 30 B) 37 C) 45
D) 53 E) 60
EJERCICIO 04 :
En las bases BC y AD de un trapecio ABCD, se ubican los puntos
P y Q respectivamente, tal que PB = PC = 2 u, AQ = 3 u, QD = 9 u,
PQ = 5 u y AB ⊥ CD . Calcule aproximadamente la m  P
A
B C
D
P
Q2
2
1 2
2
x
5 4
4
3
M
E
F
PQM => Aproximado: 37 y 53
x = 53
9
L1L2
L3L4
L3//L1 y L4//L2
Trazamos por P:
EPF : PM mediana
3
En las bases BC y AD de un trapecio ABCD, se ubican los puntos
P y Q respectivamente, tal que PB = PC = 2 u, AQ = 3 u, QD = 9 u,
PQ = 5 u y AB ⊥ CD . Calcule aproximadamente la m  P
RESOLUCIÓN 04
Clave: D 
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
EJERCICIO 05 :
Calcule 
PT
TQ
Por Q, un punto exterior y relativo al lado BC del cuadrado ABCD,
pasa una recta que interseca a BC en T y a CD en P, tal que ABQP
es un trapecio isósceles. Si CP = 2 (PD).
A
B C
D
Q
T
P
a
2a
3a
37
2
37
90
2
−
37
37
90
2
−
=4k
=2k
6k
3k
5k
k
Luego del grafico:
Datos: ABCD es cuadrado, CP=2PD 
ABQP es trapecio isósceles 
x= 5
RESOLUCIÓN 05
Por Q, un punto exterior y relativo al lado BC del cuadrado ABCD, pasa
una recta que interseca a BC en T y a CD en P, tal que ABQP es un
trapecio isósceles. Si CP = 2 (PD).
Calcule 
PT
TQ
x = 
PT
TQ
x = 
5k
k
= 5
Clave: D 
En un trapecio rectángulo ABCD recto en C y D, se ubica el punto
medio M de AC ; luego se ubica el punto T en la prolongación de
CB , tal que 3(BC)=2(AD) y m  TBA = 80. Calcule m  ABM.
EJERCICIO 06 :
A) 15 B) 20 C) 25
D) 30 E) 40
80
A
BC
D
M
2a
3a
a
a 80
x
10
20
T
10
N
Del grafico:
MNB  PBN…..LAL
x = 20
3(BC) = 2(AD)
Del dato:
BC = 2a
AD = 3a
Del grafico:
MN base media del ABC
P
Del grafico:
NP mediana del APB
=> MN//PC
RESOLUCIÓN 06
En un trapecio rectángulo ABCD recto en C y D, se ubica el punto
medio M de AC ; luego se ubica el punto T en la prolongación de CB,
tal que 3(BC)=2(AD) y m  TBA = 80. Calcule m  ABM.
Clave: B 
En un trapecio ABCD (BC//AD), se ubica el punto F en el lado BC, tal
que BC = 4(FC). Se traza BM ⊥ AC, además N es punto medio de AD.
Si BC = 4 u , AD = 12 u y mACD = 90, entonces calcule la longitud
(en u) del segmento que une el punto F con el punto medio de MN.
A) 1B) 2 C)3
D) 4 E) 5
EJERCICIO 07 :
En el ⊿ACD, se traza la mediana relativa a 
la hipotenusa, CN =
AD
2
=
12
2
= 6
∆ANC es isósceles:
𝑚∡NAC = 𝑚∡NCA = 𝛼
Sea Q punto medio de BC:
En el ⊿BMC, se traza la mediana 
relativa a la hipotenusa 
MQ=
BC
2
=
4
2
= 2
∆MQC es isósceles:
𝑚∡ECM = 𝑚∡EMC = 𝛼
Teorema de la base media en el 
trapecio MQCN 𝑥 =
2+6
2
=4
RESOLUCIÓN 07
Clave: D 
En un trapecio ABCD (BC//AD), se ubica el punto F en el lado BC, tal que
BC = 4(FC). Se traza BM ⊥ AC, además N es punto medio de AD. Si BC = 4 u
,AD = 12 u y mACD = 90, entonces calcule la longitud (en u) del segmento
que une el punto F con el punto medio de MN.
Se tiene un trapecio ABCD, de bases BC y AD (BC < AD); BN = NA
(N en AB ) y BC+AD=14 u. Si mMCD=90, mBCM=mMCN y B-
M-N, calcule (en u) NC.
EJEMPLO 07 :
A) 8 B) 6 C) 7
D) 9 E) 5
A
B C
D
N S
x
M


2
a
b
90°−
Dato a+b=14
x
x = NC.
m
m
90°−
RESOLUCIÓN 07
Se tiene un trapecio ABCD, de bases BC y AD (BC < AD); BN = NA (N en AB ) y
BC+AD=14 u. Si mMCD=90, mBCM=mMCN y B-M-N,
calcule (en u) NC.
x = 
a+b
2
= 
14
2
Se traza: NS//BC
CNS: Isósceles
NS=NC=x
Finalmente
Clave: C 
x = 7
PARALELOGRAMO
Definición.- Es el cuadrilátero que tiene los dos pares de lados
opuestos paralelos.
Si AB // CD y BC // AD, entonces ABCD es un paralelogramo
A
B
C
D
DEFINICIONES
Cuadrado: Es un paralelogramo cuyos
lados y ángulos son congruentes.
A
B C
D
a
a
a
a
Rectángulo: Es un paralelogramo
cuyos ángulos son congruentes.
Rombo: Es un paralelogramo
cuyos lados son congruentes.
a a
aa
A D
CB
A
B
C
D
TEOREMAS EN PARALELOGRAMOS
1.- En un paralelogramo, dos lados opuestos y dos ángulos opuestos
cualesquiera son congruentes.
Si ABCD es un
paralelogramo,
entonces
A
B
C
D
AB ≅ CD
BC ≅ AD
a
a
b
b
TEOREMAS EN PARALELOGRAMOS
2.- Las diagonales de un paralelogramo se bisecan.
Si ABCD es un
paralelogramo,
entonces
A
B C
D
M
AM = MC
BM = MD
m
m
n
n
A) 2 B) 2,5 C) 3
D) 3,5 E) 4
EJERCICIO 08 :
En un paralelogramo ABCD, F es el punto medio de CD, AH ⊥
BF,H ∈ BF . Si BC = 8u y mADH = 30, entonces calcule la
distancia (en u) de H al lado AD.
P D
CB
A
8
E
H
F
a
a
8
8
𝛼
𝛼
𝜃
𝜃
30
x
∆CBF ≅ ∆DEF ALA
⊿AHE (Teorema de la mediana) HD = DA = DE = 8u
⊿HPD notable de 30 y 60
→ BC = DE = 8u
8
→ HP =
HD
2
→ x = 4u
RESOLUCIÓN 08
Clave: E 
En un paralelogramo ABCD, F es el punto medio de CD, AH ⊥ BF,H ∈
BF. Si BC = 8u y mADH = 30, entonces calcule la distancia (en u) de
H al lado AD.
A) 7 B) 8 C) 9
D) 10 E) 12
EJERCICIO 09 :
En un paralelogramo ABCD, se traza la bisectriz del BCD que
interseca a AD en el punto M . Se ubica el punto F en MC, tal que
mFDC = 90, MN⊥ AB y NAB. Si MN = FD, AN = 2 u y NB = 5 u
entonces la longitud (en u) de BC es
N F
H
M D
CB
A
x
2
5
7
5
a a
𝛼
𝛼
𝛼
𝜃
𝜃
Dato: ABCD es un paralelogramo
AN = 2, NB = 5,MN = FD
x = BC
CD = AB = 7
ΔFCD ≅ ∆HNM (ALA)
→ AH = 5
ΔHBC, isósceles:
⟹ x = 12
RESOLUCIÓN 09
Clave: E 
En un paralelogramo ABCD, se traza la bisectriz del BCD que
interseca a AD en el punto M . Se ubica el punto F en MC, tal que
mFDC = 90, MN⊥ AB y NAB. Si MN = FD, AN = 2 u y NB = 5 u
entonces la longitud (en u) de BC es
En un cuadrado ABCD, sobre los lados BC y CD se ubican los
puntos P y Q tal que m∠CPQ = 2m∠BAP. Si BP = 3 u y PQ = 5u,
entonces la longitud (en u) del lado del cuadrado es
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
EJERCICIO 10 :
En un cuadrado ABCD, sobre los lados BC y CD se ubican los puntos
P y Q tal que mCPQ = 2mBAP. Si BP = 3 u y PQ = 5u, entonces la
longitud (en u) del lado del cuadrado es
A
B C
D
P
Q
2𝛼
𝛼
3
5
x
x
Calcule x
H
𝛼
Por teorema de la bisectriz BAH :
AH = AB = x y PH = BP = 3 
x
3
2
Pitágoras en ∆AHQ y ∆AQD:
AQ2 = x2+ 22 = x2+ QD2 → QD =2 
2
x− 2
x− 3
Pitágoras en ∆PCQ:
52 = x − 3 2+ x − 2 2
∴ x = 6 
RESOLUCIÓN 10
Clave: A