Semana 4a Circunferencia Teoría Pre 2021-2 - Jared Sánchez

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4a
CIRCUNFERENCIA
TEORÍA
2021-2
CIRCUNFERENCIA
DEFINICIÓN
Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano que
equidistan de otro punto fijo de dicho plano llamado centro de la
circunferencia.
En la figura:
C es una circunferencia
Centro: O
Radio: OP
C
•
O
P
El interior de una circunferencia
es el conjunto de todos los
puntos del plano cuya distancia
al centro es menor que la
longitud del radio.
 
C 
El exterior de una circunferencia es
el conjunto de todos los puntos del
plano cuya distancia al centro es
mayor que la longitud del radio.
INTERIOR Y EXTERIOR DE UNA CÍRCUNFERENCIA
EJERCICIO 01
En una circunferencia de centro O, el radio OB y la cuerda AC se
intersecan en D tal que OB = CD. Si 3m∠OBC = 5m ∠ ACB, halle
m∠ACB.
A) 60 B) 36 C) 18 D) 48 E) 54
RESOLUCIÓN 01 En una circunferencia de centro O, el radio OB y la cuerda AC se
intersecan en D tal que OB = CD. Si 3m∠OBC = 5m∠ACB, halle m∠ACB.
A
B
C
O
D 3x
5x
2x8x
8x
• OC radio → OC = OB
• ∆OBC isósceles
→m∠OBC = m ∠ OCB = 5x
• ∆DCO isósceles
→m∠COD = m ∠ ODC = 8x
• ∆BOC: 5x + 5x + 8x = 180
→ 3x = 54
Clave: E
DEFINICIONES
A B
C
D
O
Cuerda:
Diámetro:
Radio:
es el segmento cuyos extremos
pertenecen a la circunferencia,
tal como CD .
es una cuerda que contiene al
centro de la circunferencia, tal
como AB.
es el segmento cuyos extremos
son el centro y un punto de la
circunferencia, tal como OP.
P
DEFINICIONES
T
O
E
F
LS
LT
Flecha o sagita :
Recta secante:
es cualquier recta que interseca a la
circunferencia en dos puntos, tal
como LS.
Recta tangente:
es cualquier recta coplanar con la
circunferencia y que lo interseca en un
solo punto, tal como LT.
es la parte de un radio perpendicular
a una cuerda determinada entre la
cuerda y la circunferencia, tal como
MH.
C
D
M
H
TEOREMAS EN LA CIRCUNFERENCIA
Teorema.- Todo radio perpendicular
a una circunferencia a una cuerda,
biseca a esta cuerda.
O
C
D
H
t
t
CH = HD
Teorema.- Toda recta tangente a
una circunferencia es perpendicular
al radio trazado por el punto de
tangencia.
OT ⊥ L
L
O
T
r
r
Si OH ⊥ CD
Si P es un punto de tangencia

Definición.- Si PA es una recta
tangente a una circunferencia en
A, entonces PA es un segmento
tangente desde P a la
circunferencia.
Teorema de las tangentes.- Los
segmentos tangentes trazadas
desde un punto exterior a una
circunferencia son congruentes.
PA
Si PA es tangente a C
 PA es un segmento tangente 
desde P a C.
B
P
A
t
t
PA  PB
C
Si A y B son puntos de tangencia

POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS 
CIRCUNFERENCIAS COPLANARES
Circunferencias exteriores
Son aquellas en las cuales la
distancia entre los centros es
mayor que la suma de las
longitudes de sus radios.
Circunferencias tangentes exteriores
Son aquellas circunferencias en las
cuales la distancia entre sus centros es
igual a la suma de las longitudes de sus
radios.
rR
O1O2 > R + r O1O2= R + r 
Son aquellas en las cuales la
distancia entre los centros es
menor que la suma de las
longitudes de sus radios.
Observación
Dos circunferencias secantes se
denominan ortogonales si la rectas
tangentes a las circunferencias, en
uno de los puntos de intersección,
son perpendiculares.
A
B
Circunferencias secantes
R - r < O1O2< R + r
L1 L2
C1 C2
C1 y C2 son ortogonales 
 L1 ⊥ L2
Circunferencias tangentes interiores
Son aquellas circunferencias en las
cuales la distancia entre sus centros
es igual a la diferencia de las
longitudes de sus radios.
Circunferencias interiores
Son aquellas circunferencias en
las cuales la distancia entre sus
centros es menor que la diferencia
de las longitudes de sus radios.
O1O2= R - r O1O2< R - r
Circunferencias concéntricas
Son aquellas circunferencias que tienen el mismo centro.
EJERCICIO 02
Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:
I. Si la intersección de los interiores de dos circunferencias es el
vacío, entonces las circunferencias son exteriores.
II. Si el interior de una circunferencia esta contenido en el interior de
otra circunferencia, entonces las circunferencias son interiores.
III. Si dos circunferencias son tangentes a una recta en el mismo
punto, entonces las circunferencias son tangentes exteriormente.
A) VVV B) VFV C) FFV D) FFF E) VVF
RESOLUCIÓN 02
Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:
I. Si la intersección de los interiores de dos circunferencias es el vacío, 
entonces las circunferencias son exteriores.
II. Si el interior de una circunferencia esta contenido en el interior de otra
circunferencia entonces las circunferencias son interiores.
III. Si dos circunferencias son tangentes a una recta en el mismo punto, 
entonces las circunferencias son tangentes exteriormente.
I. Falso.
Las circunferencias pueden ser también tangentes exteriormente.
II. Falso.
Las circunferencias pueden ser también tangentes interiormente.
Las circunferencias pueden ser también tangentes interiormente.
III. Falso.
Clave: D
Corolario.- Los segmentos
tangentes comunes exteriores
trazados a dos circunferencias
(exteriores o secantes) son
congruentes.
AB ≅ CD
TEOREMAS EN LA CIRCUNFERENCIA
Corolario.- Los segmentos
tangentes comunes interiores
trazados a dos circunferencias
exteriores son congruentes.
AB ≅ CD
EJERCICIO 03
Dos circunferencias son exteriores y la distancia entre sus centros es
el doble de la suma de las longitudes de los radios de dichas
circunferencias. Halle la medida del ángulo agudo determinado por
una recta tangente común interior y la recta que contiene a los centros
de las circunferencias.
A)45 B) 36 C) 60 D) 30 E) 15
RESOLUCIÓN 03
Dos circunferencias son exteriores y la distancia entre sus centros es el
doble de la suma de las longitudes de los radios de dichas
circunferencias. Halle la medida del ángulo agudo determinado por una
recta tangente común interior y la recta que contiene a los centros de las
circunferencias.
N
M
b
2(a + b) x ba
a
b
30
H
Q•
O
•
• M y N puntos de tangencias
→ ON ⊥ L y QM ⊥ L
• NMQH rectángulo
→ NH = MQ = b
• ∆OHQ notable de 30 y 60
→m ∠OQH = 30
• MN // HQ → x = 30
Clave: D
L
Definición. - Un polígono está
circunscrito a una circunferencia
cuando todos sus lados son
tangentes a dicha circunferencia.
En este caso se dice que la
circunferencia está inscrita en el
polígono.
Definición. - Un polígono es
circunscriptible a una
circunferencia cuando es
posible inscribir en él una
circunferencia.
POLÍGONO CIRCUNSCRITO A UNA CIRCUNFERENCIA
Teorema de Poncelet.- En un
triángulo rectángulo la suma de
las longitudes de los catetos es
igual a la suma de las longitudes
de la hipotenusa y del diámetro de
la circunferencia inscrita.
a + c = b + 2r
r
A
B
C
c a
O
TEOREMAS EN LA CIRCUNFERENCIA
b
r
A
B
C
c - r
Q
O
Demostración
b
rr
a - r
a - r
c - r
T
N
• BQOT cuadrado → BQ = BT = r
• Teorema de las tangentes
→ AQ=AN = c - r y CN= CT= a - r
• AC = c - r + a + r = b
a + c = b + 2r
Teorema de Pitot.- En todo
cuadrilátero circunscrito a una
circunferencia, la suma de las
longitudes de lados opuestos
son iguales.
a + c = b + d
Teorema de Steiner.- En todo
cuadrilátero exinscrito a una
circunferencia, las diferencias de
las longitudes de los lados
opuestos son iguales.
a – c = d – b
A
B
C
D
d
a
b
c
A
B
C
D
a
b
d
c
P
Q
T
L
EJERCICIO 04
Un cuadrilátero ABCD esta circunscrito a una circunferencia, P es un
punto del interior de dicho cuadrilátero, tal que AB = AP , DP = DC y
m∠APD = 90. Si BC= 12 m, halle la longitud (en m) del radio de la
circunferencia inscrita en el triángulo APD.
A) 4 B) 3 C) 6 D) 9 E) 12
RESOLUCIÓN 04
Un cuadrilátero ABCD esta circunscrito a una circunferencia, P es un
punto del interior de dicho cuadrilátero, tal que AB = AP , DP = DC y
m∠ APD = 90. Si BC= 12 m, hallela longitud (en m) del radio de la
circunferencia inscrita en el triángulo APD.
a
12
P
D
C
B
A
r
a
c
b
→ r = 6
b
• ABCD : teorema de Pitot 
→ a + b = c + 12 … (2)
• (1) = (2) : c + 2r = c + 12
• ∆APD : teorema de Poncelet
→ a + b = c + 2r
Clave: C