trigonometria aplicaciones - Martín Nuñez

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MODULO 12 
TRIGONOMETRIA­
APLICACIONES
 
'.-,h,. , 
c I 
"', 
• 1978 c 
- Edici6n preparada par le Fundaci6n para el Desarrollo del 
Instituto Wtiversitariq de Tecnologfa del Estado de Trujillo. 
Valera. Venezuela. ,'c 
- Impreso en E~i'ia ~ Pri!'lted In SpaiO 
AUTORES:
~~ii~ ~~~~~~~~._~- JORGE E. GUERRERO B. 
- Irnprirtte N~vograph.:S.· 
Ctra. delrl!tn;Kf!1;>12,~ JUAN J. PIZARRO V. 
• 'Ii, -: .'­
r,~~. 
"..Il) 
INDICE 
pag. 
12.6. 
12.7. 
12.8. 
12.9. 
12.1. 
12.2. 
12.3. 
12.4. 
12.5. 
Resoluci6n de trianqulo rectanqulos . 
Calculo del perimetro de un trlanqulo . 
Calculo del area de un trlanqulo . 
carculo para trlanqulos unidos entre sl por un lado .­ . 
Resoluci6n de un trlanqulo dado un lado del trlanqulo y el valor de 
una raz6n trigonometric a de uno de sus anqulos , . 
Aplicaci6n de la resoluci6n de trlanqulos rectanqutos: anqulo de 
elevaci6n -angulo de depresi6n-- anqulo de inclinaci6n . 
Calculo de razones trigonometricas para: 
Angulos complementarios - Angulos opuestos 
Angulos suplementarios - Angulos que difieren 90° - Angulos que 
difieren 180" - Angulos que difieren 270" - Angulos mayores de 360° . 
Problemas de sumas y diferencias de anqulos . 
Calculo de razones trigonometricas para anqulos multiples y sub­
21 
27 
18 
16 
7 
10 
11 
13 
multiplos de un anqulo conocido 
12.10. Ecuaciones trlqonometricas 
12.11. Teoremas del seno, coseno y tangente 
12.12. Formulario general de trigonometria 
APENDICE N.D 1. Ejercicios complementarios 
A.	 Ejercicios de aplicaci6n 
B.	 Ejercicios de investigaci6n 
APENDICE N.D 2. Auto-Evaluaci6n 
29 
. 
. 
31 
. 33 
41. 
. 45 
83···················· 
OBJETIVOS 
A.	 GENERALES 
Este modulo ha sido desarrollado con un interes muy particular que es, mostrar 
al estudiante la aplicabilidad de todos 105 conceptos basicos de la trigonometria 
vistos anteriormente y lIevarlo al analisls de situaciones aparentemente abstractas 
pero que las mismas nos rodean continuamente en la vida cotidiana, aun asi pasen 
. desapercibidas para nosotros. 
Se busca en este m6dulo que el estudiante recurra a la creatividad y desarrollo 
de la imaginaci6n; asi como la adquisici6n de una destreza en 10 que respecta a 105 
calculos trlqonornetrlcos, ya aplicados a problemas mas particulares que en el 
m6dulo anterior. 
B.	 ESPECIFICOS 
1.	 Adquirir el conocimiento necesario para entender cuando se deben 
aplicar las funciones trlqcnometncas. 
2.	 Utilizaci6n de las tablas trlqonornetrtcas, 
3.	 Adquirir habilidad en la resoluci6n de trianqulos rectanqulos, 
4.	 Aplicar 105 conocimientos generales sobre la soluci6n de trlanqulos para 
resolver problemas. 
5.	 Identificaci6n y comprobaci6n de identidades. 
6.	 Capacitar al estudiante en el calculo de las funciones trlqonometrlcas, 
para cualquier tipo de ang~los. 
7.	 Dado un anqulo positivo mayor de 90°, hallar sus razones trlqonometricas 
basado en el anqulo de referencia. 
8.	 Comparar 105 valores de las razones de un anqulo positivo y uno negativo 
de igual amplitud. 
9.	 Hallar correctamente las razones trlqonornetrlcas de un angu,lo negativo. 
10. Hallar las funciones trlqonometrlcas de la suma de dos anqulos, 
11. Hallar las funciones triqonometricas de la diferencia de dos anqutos. 
'; 
5 
4 
l'" 
Adquirir habilidad en la soluclon de ecuaciones trlqonometrlcas sencillas. 12. 
Aplicar las funciones trtqcnometricas a la resoluci6n de problemas. 13. 
14;	 Usar las funciones trlqonornetricas para establecer igualdad de aplicaci6n 
en la soluci6n de problemas y demostraciones de otras identidades. 
15.	 Aplicaci6n de los teoremas del seno y del coseno para resolver problemas 
sobre trlanqutos. 
16.	 Deducir de los teoremas del seno y el coseno soluciones trigonometricas 
especiales. 
17.	 Finalmente. aparece un formulario trtqonometrlco donde estan las princi­
pales relaciones de las funciones trtqonometricas, con el fin de evitar que 
el estudiante tenga que aprenderlas todas de memoria y las tenga a mane 
cuando necesite de elias. 
;:".'Z. 
-'-", 
',~ 
a = ~
a = 
a = 81,2 
12.1. 
Si bien 
cuando se conocen los otros tres. 
determinados. es decir, 
de resoluci6n de trianqulos rectanqutos, 
1. Dados los dos catetos. 
2. Dados un cateto y la hipotenusa. 
3. Dados un cateto y un anqulo agudo. 
4. 
Calculo de a 
a) Primer caso: dados los dos catetos 
Datos: b = 50 
Para conseguir el anqulo, como tengo tg B = 
una tangente = 0,78125. 
Calculo del angulo B 
, '\ '	 
;;., 
RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS 
un trianqulo consta de seis elementos: 3 anqulos y 3 lados, esta 
perfectamente determinado si se conocen tres de ellos, siempre que uno de sus 
datos sea un lado. Resolver un trtanaulo consiste en calcular 3 de los elementos 
Para el caso de trianqulos rectanqulos, como tienen un anqulo recto. estan 
se pueden resolver cuando se conocen dos de sus 
elementos siempre que uno sea un lado, esto nos conduce a los siguientes casos 
Dados la hipotenusa y un angulo agudo. 
c = 64 A = 90° 
c 
= jS02 + 642 b:50 
j2.500 + 4.096 = j6.596 
B A 
b 50 25 
tg B =-=-=-=078125 
c 64 32 . 
0,78125 B se obtiene de lastablas 
trigonometricas para angulos agudos buscando el anqulo que Ie corresponde a 
B = 38° 
7 
, . 
6 
Clilculo de C d) Cuarto caso:"dados la hipotenusa y un angulo agudo
 
C == 90° - B == 90° == 38° == 52°
 
C == 52°
 Datos: a == 20,1 C == 38° A == 90°
 c 
csteure de B b) Segundo caso: dados un cateto y la hipotenusa 
c B == 90° - C == 90° - 38° == 52°
 
Datos: a == 60 c == 28 A == 90°
 
B == 52° 
Calculo de b b 
Calculo de b 
b == .ja2 - c2 == ..1602 - 282
 
b == ..13.600 - 784 == J2.816
 sen B == ~ b == a sen B 
a 
b == 53,06 
b == 20,1 x sen 52° == 20,1 x 0,788 B c A 
Calculo de B b == 15,83 
sen B == 53,06 == 0 884
 
60 '
 Calculo de C 
En tablas 0 con calculadora buscamos el anqulo. 
sen C ==~ c == a sen C 
aB == 62,12° B A 
c == 20,1 x sen 38° == 20,1 x 0,62 
Calculo de C 
c == 12,45
C == 90° - 62,12" == 27,8SO 
e) Resumen
c) Tercer caso: dados un cateto y un angulo agudo. c 
Datos: b==1,4 c == 37° A == 90° 
Calculo de B 
B == 90° - 37° == 53° 
Calculo de c 
c 
c == b x tg C => pues tg C == ­
c 
b
 
B A
c En el trianqulo de la figura aplicamos las definiciones de seno, coseno yc== 1,4 x tg 37° == 1,4 x 0,75355 
tangente.
 
c == 1,06
 
sen A ==; despejando b; I b == a . sen A I (1)Calculo de a 
b
sen B == ~ a==-­
a sen B 
cos A ==; despejando c; I c == ,a . cos A I (2) 
1,4a==~ 0,79864 == 1,76sen 53°
 
a == 1,76
 tg A == ~ despejando b; I b == c . tg A 1 (3) 
8 ,9 
\
 
Las expresiones anteriores pueden escribirse asl: 
1.8 Un cateto es igual al producto de la hipotenusa por el sene del 
angulo separado (opuesto) al cateto despejado. 
2.8 Un cateto es igual al producto de la hipotenusa por el coseno del 
angulo (adyacente) al cateto despejado. 
3.8 Un cateto es igual al producto del otro cateto por la tangente del 
anqulo opuesto al cateto despejado. 
1.	 Cuando en el problema interviene la hipotenusa como dato 0 incognita se 
utiliza la 1.8 y 2.8 regia. 
2.	 Cuando la incognita es la hipotenusa, como no se puede calcular 
directamente es necesario aplicar la 1.8 0 2.8 Y despues despejar. 
3.	 Cuando no interviene la hipotenusa se usa la 3.8 regia. 
12.2. CALCULO DEL PERI METRO DE UN TRIANGULO 
EI perimetro de un trianqulo, es igual a la suma de todos sus lados; por tanto 
para determinar el perimetro del trlanqulo, resolvemos antes que todo el trlanqulo, 
o sea calculamos cada uno de sus lados. 
Calcular el perimetro del trianqulo de la figura. 
y 
Solucion 
Debemos calcular x e y 
Calculo de x 
Como x es un cateto adyacente utilizamos el coseno 45°. 
cos 45° =~ . x = hip x cos 45°
hip , 
!2 
x = 40 x :::!...- = 20 vI:. ,'2 = 2828 m2 
Calculo de y 
Como y es un cateto opuesto utilizamos el sene 45° 
sen 45° =.1.. . y = hip x sen 45.°
hip , 
Y = 40 x J2 = 20 j2 = 28,28 m 
2 
x 
Perlmetro 
P = x + Y + h = 28,28 + 28,28 + 40 
IP = 96,56 metros I 
12.3. CALCULODEL AREA DE UN TRIANGULO 
Segun se ha visto ya, conocidos un lade cualquiera y un anqulo agudo, se 
pueden calcular los demas elementos de un trianqulo rectanqulo, y por tanto 
calcular la superficie, ya CUJe asta es igual: 
1
Area = - base x altura 
2 
Donde la base y la altura son lados del trlanqulo los cuales se pueden calcular 
resolviendo el trianqulo correspondiente. 
EJEMPLOS 
i)	 EI cateto c de un trianqulo rectanqulo mide 6 y el anqulo agudo B es de 53° 
locual es el area del trianqulo? 
Solucion 
Construimos el trlanqulo, 
C 
B C:6 
b 
A 
Conocemos el cateto adyacente a 53° y para hallar el area del trianqulo 
necesitamos la altura (b) 
Asi: 
tg B =~ b = c x tg B 
c 
b = 6 x tg 53 ° = 6 x 1,33 
b';" 7,96 
.. - ~.:~ j'.~ •• ,,<..'•.,... ~jt_"'i~ 
10 
r', 
., I b x c 
Area del tnangu 0 = -2­
A = 7,96 x 6 = 7 96 x 3
 
2 ' 
A = 23,88 
II)	 EI cateto b de un trlanqulo rectanqulo mide 14,28 y el anqulo agudo B es de 
49°. Calcular el area del trlanqulo. 
Soluci6n 
Construimos el trianqulo, 
c 
b=14,28 
B c A 
Para hallar el area de ese trlanqulo necesito calcular el valor c. 
Tengo el anqulo B = 49°y el cateto opuesto b = 14,28, por tanto para calcular el 
~ 
\. , 
~. 
cateto adyacente debemos utilizar: 
btg49°=-;c 
14,28 _ 
c = tg 49° ­
EI area del trianqulo sera: 
1
A=-xcxb 
2 
1 
bc--,-tg49° 
14,28 = 12,42 
1,15 
A = - x 12,42 x 14,28 
2 
A = 88,66 
En este problema tarnbien se habia podido utilizar la cotangente de 49° pues: 
c
ctg 49° =b ; c = b x ctg 49° 
c = 14,28 x ctg 49° 
c = 14,28 x 0,87 
c = 12,42 el mismo valor obtenido anteriormente 
12.4. CALCULOS PARA TRIANGULOS RECTANGULOS UNIDOS ENTRE SI 
, POR UN LADO 
En este caso vamos a tener dos 0 mas trlanqulos rectanqutos unidos por un 
lado. 
Vamos a resolver todos los trianqulos y para ello nos valemos de un trianqulo 
para calcular el otro y viceversa. 
EJEMPLOS 
1)	 Calcular el valor de x en la figura 
A 
< ) ! , , , > 
D ~ B 
Solucion 
Para calcular x es necesario conocer un lado del trianqulo ACB; como ellado 
AC es cornun a los dos trianqulos.Io calculamos apoyandonos en el trianqulo ACO. 
Calculo de AC 
Calculo de x 
AC AC
sen 30° =-=­
hip 100
 
AC = 100 x sen 30° = 100 x 0,5
 
AC=50
 
sen 45 ° = AC _ 50 
x ---;­
50 50 100 100,,/2" 
x= =-=-= 
sen 45° fiJi 2 
2 
x = 50ft 
I	 x = 70,71 I 
\ de ".c" ,.;:t:C:.;,:,;~ 12 
II) Calcular el valor de x en la figura 
A 
o c B 
Solucion 
Para calcular x necesitamos un lado del trlanqulo ACB tenemos que AC es 
comun a los dos trlanqulos, por tanto utilizando el trianqulo DCA hallamos AC. 
Calculo de AC 
° ACtg 60 = =
 
DC
 
AC
0 
0 
tg 6 =- AC = 40 x tg 60° 
40 
AC=40x1,73 
AC = 69,28 
Calculo de x 
tg 450 = AC 69,28 
x x 
69,28 69,28 
x=--=-­
tg 45° 1 
I x = 69,28 I 
III) Calcular el area del trianqulo ABD de la figura 
A 
B 
Solucion 
Para poder calcu lar esa area necesitamos hallar el area del trianqu 10 DCA y ACB 
que sumadas nos dan el area de ABD. 
Otra forma serla: 
6 1 
AABD = - base x altura 
2 
1 - ­
A = - (DC + CB) x 60 
2 
Entonces deberla calcular los valores de: DC y CB que son lados de los 
trlanqulos DCA Y ACB respectivamente. 
Calculo de DC 
tg 600 = 60 DC=~=~ 
DC tg 60° 1,73 
DC = 34,68 
Calculo de CB 
tg 30° =~ CB=~ 
CB tg 30° 
- 60
CB =-- = 103,97
0,577 
Calculo de la base 
base = DC + CB = 34,68 + 103,97 
base = 138,65 
6 
Calculo del area ADB 
1
A = - base x altura 
2 
. 1 
A = - x 138,65 x 60 
2 
A = 30 x 138,65 
I A = 4159,5 I 
", '_ ~l.-''':'\'~\Jik.:, ~~:i~, 14 
12.5.	 RESOLUCION DE UN TR IANGULO, DADO UN LADODELTRIANGULO VEL 
VALOR DE UNA RAZON TRIGONOMETRICA DE UNO DE SUS ANGULOS 
Para esta resolucion de trlanqulos, en el calculo de las razones trlqonometri ­
cas, podemos utilizar cualquiera de los tres rnetodos vistos (por definicion, por 
identidades, por sustitucion). 
EJEMPLOS 
I) Dado sen A = ~ calcular el valor de x en la figura. 
3 
Solucion 
x 
para calcular x necesitamos hallar la tangente de A.tg A = 20 
tg A = sen A 
cos A 
. 2
No conocemos cos A pero tenemos sen A =-. 
3
 
Por identidades:
 
sen2 A + cos- A = 1
 
cos A =)1 - sen2 A
 
cos A = V1 - (~r = V1 -~ 
COsA=~=~ 
16 
Por tanto: 
2 
sen A 3 2
tgA=--=-=­
cosA J5 J5 
3 
tg A = 2 J5 
5 
Calculo de x 
x 
x = 20 x tg A = 20 x 2 J5tg A = 20 5 
x=4x2J5 I x=8J5 I 
ii) Dado tg A = 3 calcular el valor de x en la figura. 
x
 
Soluci6n 
sen A = :0 ; Ix = 60 sen A ) 
Debemos calcular el seno de A para poder calcular x. 
sec2 A = 1 + tg 2 A 
sec A = ) 1 + 32 = v' 1 + 9 = /10 
,.......
 
1 1 ~10
cos A = -- = --= = - ­
sec A' ~10 10 
tg A = sen A sen A = cos A x tg A 
cos A 
sen A = J10 x 3 = 3 J10 
10 10 
17 
Calculo de x 
x = 60 sen A = 60 x 3 x J10 
10 
Ix = 18 J10 I 
12.6.	 APLICACION DE LA RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS: 
ANGULOS DE: ELEVACION, DEPRESION E INCLINACION 
Definiciones 
a) Angulo de elevacion 
Es el angulo formado por la recta de observaci6n 0 linea de mira y el rayo 
horizontal que parte del eje del observador, cuando el objeto observado esta por 
encima del plano del observador. 
OBJETO 
t 
b) Angulo de depresion 
Es el angulo formado por la recta de observaci6n 0 linea de mira y el rayo 
horizontal que parte del eje del observador, cuando el objeto observado esta por 
debajo del plano del observador. 
4 horizontal 
OBJETO 
c) Angulo de Inclinaclon 
Esta referido a los rayos solares. 
Es el angulo agudo que forman los rayos solares al chocar contra el suelo. 
jJ 
d) Aplicaciones 
I)	 Desde 10alto de un edificio de 14 metros a cuyo pie pasa un rio, el angulo de 
depresi6n del borde de la orilla opuesta es de 55°. l.Cual es la anchura del 
rio? 
Solucion 
Una representaci6n grafica nos dada: 
\
oqo FIe 
La anchura del rto es AC. 
Debernos primero encontrar el angu 10ex. 
Cillculo de ex 
EI anqulo B es: 
90° - 55° = 35° 
Por tanto 
ex = 90° - 35° = 55° 
, ':;',,1.;>~, ,,:. 
18 
pues ex y B son complementarios. 
I I
ex = 55° 
ClIlculo de AC 
AB 14 AC=~tgex = AC =}£ tg ex 
14 14 
AC=~= 1,43 
I AC = 9,8 I 
II)	 EI pie de una columna MN esta rodeado de varias estatuas. Con el fin de 
obtener la altura de dicho monumento, a partir de cierto punta A, se ha 
medido una distancia AB de 26 metros y los angulos de elevaci6n 
MAN- = 36° Y MBN = 50°. Calculese la altura de la columna. 
A 
Soluci6n 
En el trianqulo rectanqulo AMN tenemos: 
ctg 360 = AM AM = MN x ctg 36° 
MN 
Por el triangulo rectanquio BMN tenemos: 
ctg 500 = BM BM = MN x ctg 50° 
MN 
Restando miembro a miembro, resulta: 
AM - BM = MN ctg 36° - MN ctg 50° 
Pero AM - BM = AB = 26 por dato del problema
 
26 = MN (ctg 36° - ctg 50°)
 
26 = MN (1,376 - 0,8391)
 
26 = MN (0,5369)
 
- 26
MN=--=4843 
0,5369 ' 
I MN = 48,43 mts. I altura de ·Ia torre 
12.7.	 CALCULO DE RAZONES TRIGONOMETRICAS PARA ANGULOS: 
COMPLEMENTARIOS -OPUESTOS -SUPLEMENTARIOS -DIFIEREN90"­
DIFIEREN 180° - DIFIEREN 270° - MAYORES DE 360° 
a) Angulos complementarios 
Dosangulosson complementarios cuandosu sumaes igual a unanqulo recto. 
Tendremos dos angulos ex = AO ; ~ = 90' - AO. 
Veamos la relaci6n que guardan las razones triqonometricas de estos dos 
anqulos, 
sen (90° - A) = cos A csc (90° - A) = sec A 
cos (90° - A) = sen A sec (90° - A) = csc A 
tg (900 - A) = ctg A ctg (90° - A) = tg A 
Podemos conclui r de 10 anterior que las razones trigonometricas de un angulo 
son iguales a las cofunciones de su complemento con signa posltlvo todas, 
b) Angulos opuesto8 0 8imetrlcos 
Ahora los anqulos seran: AO y -Ao. 
Y la relaci6n que guardan las razones trigonometricas de estos dos angulos 
seran: 
sen (-A) = -sen A csc (-A) = -csc A 
cos (-A) = cos A sec (-A) = sec A 
tg (-A) = -tg A ctg (-A) = -ctg A 
Por estos resultados se ve que las razones trigonometricas de mismo nombre 
de dos angulos slmetrlcos son iguales, pero de signos contrarios, excepto el 
coseno y la secante que son de mismo signo. 
I,"~ 
21 20 
c) Angulo8 8uplementarios 
Dos anqufosson suplementarios cuando su suma es igual a 180°. 
Tendremos dos anqulos (X = N Y 100° - N = p. 
A continuaci6n las razones triqonometrlcas de p = 180° .; A ° en funci6n del 
anqulo (X = AO: 
sen (180° - A) = sen A csc (180° - A) = csc A 
cos (180° - A) = -cos A sec (180° - A) = -sec A 
tg (180° - A) = -tg A ctg (180° - A) = -ctg A 
Las razones trlqonometrlcas de mismo nombre de dos anqulos suplementarios 
son iguales y de signos contraries, excepto el seno y la cosecante que son de 
mismo signo. 
d) Angulos que difleren en 90° 
Tendremos dos anqulos: 
(X = 90° + N p = N 
La relacion de las razones triqonometricas es: 
sen (90° + A) = cos A esc (90°+ A) = secA 
cos (90° + A) = -sen A sec (90"+ A) = -csc A 
tg (90° + A) = -ctg A ctg (90° + A) = -tg A 
Los resultados demuestran: 
Que las funciones de un anqulo son iguales y de signos contrarios a las 
cofunciones del anqulo que difiere de 131 en 90°, excepto el seno y la cosecante del 
mayor que conservan el mismo signo que las cofunciones correspondientes del 
menor. 
e) Angulos que difieren 180° 
Tendremos dos anqutos: 
(X=1800+N y P=Ao 
La relaci6n de las razones triqonornetrlcas es: 
sen (180° + A) = -sen A esc (180° + A) = -csc A 
cos (180° + A) = -cos A sec (180° + A) = -sec A 
tg(1800+A)= tgA ctg (180° + A) = ctg A 
~~. 
Este cuadro puede expresarse diciendo: 
Las funciones de un anqulo son iguales y de signos contrarios a las funciones 
del mismo nombre que las del angulo que difiere de 131 en 180°, excepto la tangente 
y la cotangente que conservan el mismo signo. 
f) Angulos que difieren en 270° 
Los anqulos saran: 
(X = 270° + A Y P = A° 
Las razones triqoncmetricas del anqulo 270° + A son en funci6n de A las 
siguientes: 
sen (270° + A) = -cos A esc (270° + A) = - sec A 
cos (270° + A) = sen A sec (270° + A) = esc A 
tg (270° + A) = -ctg A ctg (270° + A) = -tg A 
Luego, las funciones de un anqulo son iguales y de signos contrarios a las 
cofunciones del anquto que de el difiere en 270°, excepto el coseno y la secante, 
que conservan el mismo signo que las cofunciones del angulo menor. 
g) Angulos mayores de 360° 
Si el anqulo dado es mayor de 360°, para hacer la reducci6n a un anqulo del 
primer cuadrante, se comienza por restar de ese angulo las circunferencias que 
contiene el anqulo resultante, se Ie ubica el cuadrante correspondiente, de 
esta forma tendremos los signos de las funciones trigonometricas, y para ver 
su angulo correspondiente al primer cuadrante se divide por 90° y se aplica la 
siguiente formula: 
[(K~+A)~' I 
Donde (X es el anqulo resultante de restarle al anquto original el numero de 
ci rcu nferencias. 
A el angulo correspondiente al primer cuadrante. 
K el nurnero de veces que esta contenido ~ en el anquto residuo de la dife­
. ,2 
rencia (X - n." de circunferencias. 
Si K es par tendremos que las razones triqonometrices deCK ~ + A) son 
igua/es a las tunciones de A, con sus respectivos signos que se obtendren 
dependiendo del cuadrante. 
.?>-', 
22 
Si K es impar tendremos que las razones triqonometrices de (K ~ + A) son Soluci6n 
iguales a las cofunciones de A, con sus respectivos sign os. sen (-30°) = -sen 30° =-! 
2 
cos (-30°) = +cos30° =~h)	 Resumen 
2 
Designando por A un anqulo cualquiera, ya sea del 2.°, del 3.° 6 del 4.° tg (-30°) = -tg 30° = _ fl 
3cuadrante, y teniendo presente 10 visto anteriormente podemos condensar los 
resultados obtenidos en el siguiente cuadro: ctg (-30°) = -ctg 30° = -fl 
Cuando A
 
varia de
 
90° a 180°
 180° a 270°
 270° a 360°
 
sen A
 +cos (A - 90°)
 -sen (A - 180°)
 -cos (A - 270°)
 
cosA
 -sen (A - 90°)
 -cos (A - 180°)
 +sen (A - 270°)
 
tg A
 -ctg (A - 90°)
 +tg (A - 180°)
 -ctg (A - 270°)
 
ctg A
 -tg (A - 90°)
 +ctg (A - 180°)
 -tg (A - 270°)
 
sec A
 -csc (A - 90°)
 -sec (A - 180°)
 . +csc (A - 270°)
 
cscA
 +sec (A - 90°)
 -csc (A - 180°)
 -sec (A - 270°)
 
sec (-30°) = +sec 300 = 2 fl
 
3 
esc (-30°) = -csc 30° = -2 
3.	 Calcular las razones triqonometrlcas del angulo de 120° por anqulos 
suplementarios. 
Solucion 
En elll cuadrante son positivos unicamente el seno y la cosecante. 
sen 120° = sen (180 - 120°) = sen 600 = J3 
2 
1
cos 120° = -cos (180 -120°) = -cos 60° =-­
2 
tg 120° = -tg (180 - 120°) = -tg 60° = -fl 
I)	 Aplicaciones 
. ctg 120° = -ctg (180 - 120°) = -ctg 60° = - V; 
1.	 Calcular las razones triqonornetrlcas para IX = 60° conocidas las de su 
sec 120° = -sec (180 - 120°) = -sec 60° = -2anqulo complementario 30° = A. 
2 !3 
esc 120° = csc (180 - 120°) = esc 600 = ~
3 
v 
Soluci6n 
4.	 Calcular las razones trtqonometricas del angulo de 150° por anqulos que
Con IX = 60° A = 300 seran las funciones para el angulo (90° - 300). difieren 90°. 
VI	 Solucionsen (90 - 30) = cos 30° = 
11 sen 150° = +cos (150 - 90) = +cos 60° =2 cos (90 - 30) = sen 30° =­
2 
tg (90 - 30) = ctg 30° = fl cos 150° = -sen (150 - 90) = -sen 60° = - _ 
sec (90 - 30) = esc 30° = 2 
tg 150° = -ctg (150 - 90) = -ctg 600 = _ J3 
,	 
, 
VI
2 
esc (90 - 30) =sec300=1,155 
3 
ctg 150° = -tg (150 - 90) = -tg 60° = -fl2.	 Calcular las razones trlqonometrlcas del anquto de -30°. 
2524 
'~~ .: 
~;f 
sec 150° = -csc (150 - 90) = -csc 60° = -~ 3 
csc 150° = sec (150 - 90) = sec 600 = 2 
5. Calcular las razones trigonomMricas del Angulo de 225° por angulos que 
difieren 180°. 
Soluelon 
',	 'l
sen 225° ~-$e~ (~5 - 1'800) = -sen 45° =-'-~ 
: '.'	 2 
cos 225° = :""cos(225 -180°) = -cos45° = --,J2
2 
tg 225° = +tg (225 .; 180°) = +tg 45° = + 1 
ctg 225° = +ctg (225 - 180°) = +ctg 45° = +1 
sec 225° = -sec (225 - 180°) = -sec 45° = -J2 
esc 225° = -csc (225 - 180°) = -csc 45° = -J2 
6.	 Calcular las razones trigonometricas del angulo de 300° por Angulos que 
difieren 270°. 
Soluci6n
 
IV cuadrante. positives el coseno y la seeante.
 
sen 300° = -cos (300 - 270°) = -cos 30° = - J3
2 
1 
cos 300° = +sen (300 - 270°) = +sen 30° = +­
2 
tg 300° = -ctg (300 - 270°) = -ctg 30° = -J3 
ctg 300° = -tg (300 - 270°) = -tg 300 = _ ~3 
sec 300° = +esc (300 - 270°) = +csc 30° = +2 
2 !3 
csc 300° = -sec (300 - 270°) = -see 30° = __ vv_
3 
7.	 Calcular las razones trigonometricas para el Angulo 1.223°. 
Soluci6n 
Pri mero al anqulo a = 1.223° Ie restamos las circunferencias que contiene: 
1.223 : 360 = 3 eircunferencias + 143° 
143° = 90 + 53° = ~ + 53° 
2 
Solucion 
12.8. 
a) 
8.	 
sen (-A) = -sen A l 
Tenemos K = 1 impar por tanto las funciones de 143° son iguales a las 
cofunciones de 53° con el correspondiente signo de un Angulo del 2.° cuadrante. 
Allf las (micas funciones positivas son el seno y la cosecante. 
sen 1.223° = sen 143° = +cos 53° = +0,602 
eos 1.223° = eos 143° = -sen 53° = -0,798 
tg 1.223° = tg 143° = -etg 53° = -0,754 
ctg 1.223°= ctg143°= -tg53°= -1,327 
sec 1.223" = sec 143° = -csc 53° = -1,253 
esc 1.223° = esc 143° = +sec 53° = + 1,661 
Poner en funci6n de A la siguiente expresi6n y simplifiear.
 
sen (-A) . cos (-A) + cos A
 
cos (-A) . tg ( -A)
 
Tenemos el caso de anqulos opuestos 6 simetricos, Las funciones del Angulo 
(-A) son iguales a las funciones del anqulo (A) pero con signo contrario excepto el 
coseno y la secante. 
cos (-A) = cos A sustituimos 
tg (-A) = -tg A 
sen (-A) . cos (-A) + cos A = (-sen A)· cos A+ cos A 
cos (-A) . tg (-A) cos A . (-tg A) 
cosA(1-senA) = _ (1-senA) =~ 
cosA(-tgA) tgA ~ 
PROBLEMAS DE SUMAS Y DIFERENCIAS DE ANGULOS
 
Formulas
 
sen (A + B) = sen A . cos B + sen B . cos A
 
sen (A - B) = sen A . cos B - sen B . cos A
 
cos (A + B) = cos A . cos B - sen A . sen B
 
cos (A - B) = cos A . cos B + sen A . sen B
 
tg (A + B) = tg A + tg B
 
1 - tg A· tg B
 
tg (A _ B) = tg A - tg B
 
1 + tg A . tg B
 
, ,.j', 
-','~ ~,i],~~~,_,-;,t;', ·Y~~~~'i:~:J~~'.ik~:r~~· 26 
ft-ft
b) Apllcaclones 
4tg 150 = sen 15° 
cos 15° fl+J6 
I) Calcular seno, coseno y tangente del angulo de 75° sin utilizar tablas. 
4 
Soluci6n tg 15° = ft - J2
 
75° puede escribirse como 45° + 30°.
 ft+ft 
75° = 30° + 45°
 
sen 75° = sen (30°+ 45°) = sen 30° cos 45° + sen 45° cos 30°
 
12.9. CALCULO DE RAZONES TRIGONOMETRICAS PARA ANGULOS 
MULTIPLOS Y SUBMULTIPLOS DE UN ANGULO CONOCIDO sen 75° =!..E+ ft.~= ft + ft 
2 2 2 2 4 4 
2_+----=-ft_6sen 750 = ....:.ft_ a) Relaciones entre funciones del lingula A y los multlplos de A 
4 
I) Funciones de 2A 
cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45° - sen 30° sen 45° 
cos 75° = J3..E_!..E=~_.E 
2 2 2 2 4 4 
6_-_ft.>:...-2cos 75° = ....!..ft_
4 
ft+ft 
4tg 750 = sen 75° 
Ii) Funciones de 3Acos 75° J6-72 
4 
sen 3A = 3 sen A - 4 sen3 Atg 75° = J2 + ft
 
ft-ft
 cos 3A = 4 cos! A - 3 cos A 
II) Calcular el seno, coseno y tangente de 15°. tg 3A = 3 tg A - tg 3 A 
1 - 3 tg 2 A 
Soluci6n 
15° puede escribirse como: 15° = (45° - 30°). 
III) Funciones de A conocido ~ 
sen 15° = sen (45° - 30°) = sen 45° cos 30° - sen 30° cos 45° 
sen 15° = J2.~_!.ft =~_ ft 
2 2 2 2 4 4 
'6 J2sen 15° = J ­
4 
cos 15° = cos (45° - 30°)= cos 45° cos 30° + sen 45° sen 30° 
° J2fl ft1 ft J2cos15 =_.-+_._=-+­
2 2 2 2 4 4 
J2+ftcos 15° = 
4 
sen 2A = 2 sen A . cos A 
cos 2A = cos2 A - sen2 A 
tg 2A = 2 tg A 
1 - tg 2 A 
A A
sen A = 2 sen _. cos­
tgA=--­
2 2 
A
cos A = cos2 ­ -
A 
sen2 ­
2 2 
A
2tg 2
A1 - tg 2 _ 
2 
28 29 
?~ 
IV)	 Funciones de A conocido cos 2A 
sen A = Y1- c~s 2A 
cos A = 1 + c;s 2AY
1 -	 cos 2A 
tg A = 
1 + cos 2A 
b) Relaciones entre funciones del anqulo A y un submultiple de el. 
Funciones de ~conocido cos A 
2 
1 -	 cos A 
sen	 ~ =V 2 
cos ~ =y,...----1 + cos A 
2 
I 
A 1 - cos A 
tg "2= 1 + cos A 
c)	 Aplicaciones 
i) Calcular sen 60° utilizando f6rmulas de 2A. 
Soluci6n 
60° puede escribirse como 2 x 30°. 
Donde 30° seria A; entonces: 
sen 60° = sen (2 x 30°) = 2 sen 30° cos 30° 
11313sen 60° = 2 x x _v_= _v__ ..., ..., 
2 2 2 
ii)	 Calcular el coseno, el seno y la tangente del anqulo de 15° en funci6n de 
cos 30°. 
Es el caso de ~ en funci6n de A. 
Soluci6n 
sen ~ = 1 - cos A y
f h 
Y	 ­1 -	 cos 30° 2 sen 15 0 = = f-Jft 2 2 
Y2 - 13 J2 - 13• sen 15° = v ..., = v '" = 0 2588 
4 2 ' 
fi 
1+
cos 15° = Y1 + c~s 30° = J 2 2 
V2 + 13 J2 + 13cos 15° = v '" = v v = 0 9659 
4 2 ' 
tg 15° = sen 15° = 0,2588 = 0,2679 
cos 15° 0,9659 
12.10. ECUACIONES TRIGONOMETRICAS 
a) Definici6n 
Son aquellas en las cuales, la inc6gnita aparece, como anqulo de razones 
triqonometrl cas. 
tlemese raiz de una ecuaci6n triqonometrlce a todo valor del angulo que la 
satisface. 
b)	 Resoluci6n de una ecuaci6n trigonometrica 
Resolver una ecuaci6n triqonometrica es hallar su raiz 0 raices. 
Las ecuaciones triqonometncas, \0 mismo que las algebraicas, pueden ser de 
cualquier grado y sirnultaneas. 
No existe un rnetodo general para resolver una ecuaci6n trlqonometrica. 
Generalmente se transforma toda la ecuaci6n de manera que quede expresada en 
una sola raz6n triqonometrlca y entonces se resuelve como una ecuaci6n 
algebraica cualquiera. 
La unica diferencia es que la inc6gnita es una raz6n triqonometrice en vez de 
ser x, y, 6 z. 
Como a veces hay que elevar al cuadrado 0 multiplicar por un factor, se 
introducen soluciones extrafias. Por esto hay que comprobar las obtenidas en la 
ecuaci6n dada. 
Por ejemplo si estamos resolviendo una ecuaci6n cuya inc6gnita es seno y 
obtenemos para ella los valores -1 y 2, tenemos que despreciar el2, porque el seno 
de un angulo no puede valer mas de 1. 
Resuelta la ecuaci6n algebraicamente, queda por resolver la parte trlqonome­
trica; as decir conociendo el valor de la raz6n trlqonornetrlca de un anqulo 
determinar cual es el angulo. 
30 
Recordemos que las razones trigonometricas repiten sus valores en los cuatro 
cuadrantes, siendo positivas en dos de ellos y negativas en los otros dos, es decir 
que hay dos anqulos para los cuales una raz6n triqonometrica tiene el mismo valor y 
signo. 
• 
c)	 Alguna. regia. de resoluci6n . 
1.	 Se transforman todas las razones trlqonometrtcas en funci6n de una sola, 
generalmente seno, coseno 0 tangente. 
2.	 Se resuelve algebraicamente la ecuaci6n resultante (generalmente una 
ecuaci6n de segundo grado). 
3.	 Se desechan las soluciones que no satisfagan a la ecuaci6n dada. 
4.	 Se busca el angulo 0 anqulos que cumplan con la ecuaci6n. 
d)	 Aplicaciones 
I) Resolver la ecuaci6n:
 
3 + 3 cos x = 2 sen2 x
 
Soluci6n 
Expresando el seno en funci6n del coseno.
 
3 + 3 cos x = 2 (1 - cos2 x)
 
3 + 3 cos x = 2 - 2 cos2 X
 
2 cos2 X + 3 cos x + 3 - 2 = 0 
2 cos2 X + 3 cos x + 1 = 0 
Considerando cos x como una inc6gnita y aplicando la f6rmula de la ecuaci6n 
de segundo grado resulta: 
2 cos x = -3 ~ )3 - 4 x 2 x 1 
2x2 
cosx = -3 ~ J9=8 
4 
cos x = -3 ~ 1 
4 
cos x = -3 + 1 _ -2 14 --=-­
4 2 
cos x = -3 - 1 _ -4
4 -4=-1 
Las soluciones son: 
para cos x = -"21 x = 120° ~ n .360° y, x = 210° ± n . 360° 
para cos x = -1 x=1800~n·360° 
EI coseno es negativo en el II y III cuadrante. Ademas como las razones 
trigonometricas de anqulos que se diferencian un nurnero exacto de vueltas, son 
iguales, sera necesario aiiadir a las soluciones obtenidas, un rnultipto cualquiera 
de 360°, es decir n- 360°. 
ii) Resolver la ecuaci6n sen x + 1 = cos x 
Soluci6n 
Expresando el coseno en funci6n del seno, resu Ita: 
sen x + 1 = oj1 - ser'l2 x 
(sen x + 1)2= ()1 - sen2xy 
sen2x + 2 sen x + 1 = 1 - sen2x 
sen2x + sen2x + 2 sen x + 1 - 1 = 0 
2 sen2x + 2 sen x = 0 
sen2x + sen x = 0 
sen x (sen x + 1) = 0 
Las dos soluciones son: 
sen x = 0 sen x = -1 
para sen x = 0 x = 0° ~ n . 360° y, x = 1aoo n . 360° 
para sen x = -1 x = 270° ~ n . 360° 
12.11. TEOREMAS DEL: SENO, COSENO Y TANGENTE 
Para resolver un trianquto obllcuanqulo es necesario conocertres elementos, y 
es indispensable que al menos uno de ellos sea un lado. 
Segun los elementos conocidos, los casos que pueden presentarse en la 
resoluci6n de triangulos obticuenqutos son cuatro: 
1,0 Un lado y los anqulos adyacentes. 
2.° Dos lados y el anqu 10 comprendido. 
3.° Los tres lados. 
4.° Dos lados y el anqulo opuesto a uno de e~.los. 
Pueden calcularse los elementos desconocidos de un trlanqulo obticuanqulo 
mediante la resoluci6n de tos tnanpulos rectanqulos que se forman al trazarunade 
sus alturas, aprovechando las f6rmulas y propiedades ya conocidas de los 
trianqulos rectanqulos. 
.~ 32 
c) 
suma 
Formulas 
d) Aplicaciones 
J) 
Solucion 
triangulo. 
Cllilculo de A 
~Yf,;~~:j::~t~/	 
\ 
Pero dichos elementos pueoen calcularse tembien, en forma mas directa, Teorema de la tangente: 
aplicando tres teoremas, /lamados, respectivamente de los senos; de las tangentes 
y de los cosenos. Enunciado: En todo triangulo, la diferencia entre dos de sus lados es a la 
de los mismos, como latangente de la semidiferencia de los angulos A continuaci6n aparecen cada uno de los teoremas y su ecuaci6n representa­
opuestos a dichos lados es a su semisume. 
tiva. 
a)	 Teorema de los senos 
Enunciado: En todo trisnquto, los lados son proporcionales a los senos de los 
angulos opuestos, 0 sea: 
Formula 
abc )(
sen A = sen B = sen C 
b)	 Teorema del coseno 
I)	 Enunclado: En todo triangulo, el coseno de un angulo es {gual a la 
suma de los cuadrados de los lados que 10 forman, disminuida en el 
cuadrado dellado opuesto y dividido por el doble producto de los adya­
centes. 
Formula 
- B)
a -b. tg (-2-A
a + b' = (A + B)
tg	 - ­
2 
fA -C) 
a -c tg '--2­
a + c = (A + C)
tg	 - ­
2 
(B-C)b -c tg -2­
b+ c = (B + C)
tg	 - ­
2 
Resolver el triangulo ABC. dados a = 79,50 m, B = 79°, C = 450. 2 2 2
cos A = b + c - a 
Por el teorema de los senos 
2 2 2
cos B = a + c - b
2ac
 
Necesitamos encontrar el angulo A, el lado b, el lado c y la superlicie del 
2 2 2
cos C = a + b - c
 
2ab
 B 
II)	 Enunciado: Tembien podemos expresar el teorema del coseno como: en
 
todo triangulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los
 
cuadrados de los otros lados, menos el doble producto de esos .tedo«
 
por el coseno del angulo que forman.
 r I I	 , " A n 4C 
Formula 
a2 = b2 + c2 - 2bc cos A A = 180° - (B +C) = 180 - (79,59° + 45") 
b 2 = a2 + c2 - 2ac cos B 
c2=a2+b2-2abcosC A = 180° - 124,5° = I 55,5° = A I 
~ 
~~'_'> ",[::c·~J:;·, r;:.:ti}i);:,> :':';:i,-~' A;k:{",-"ll;~l:,' 
c 
Calculo de b II) Resolver el trianqulo ABC, dados:
 
Teorema de los senos:
 a = 31 m, b = 42 m, c=53m 
a b b = a sen B --=-­
sen A sen B sen A 
b = (79,5) (sen 79") = 79,5 x 0,98
 
(sen 55,5") . 0,83
 
I b = 93,87 m I 
Calculo de e A Bo 
Teorema de los senos: c 
a c a· sen C --=-- c=--­
sen A sen C sen A 
(79,5) (sen 45") 79,5 x 0,709 Calcular '1 A, 1. B, '1 C, superficie.c = -'-------'---'------'­
(sen 55,5") 0,83 
Aplicar el teorema del coseno. 
I c = 67,72 m I 
Soluci6n 
Calculo de '1 ACalculo de la superficie del triangulo 
1 
s=-xbxh Por el teorema del coseno: 2 
1 b2 + c2 _ a2s = - x 93,87 x h cos A = ----::--_2 2bc
 
Debo obtener h; la altura del trianqulo.
 
cos A = (42)2 + (53)2 - (31)2 
Tomando el trlanqulo BDC: 2·42·53 
h 1.764 + 2.809 - 961 cos A = -_----;---:-=-::--__sen C =­
a 4.452 
h = a . sen C = 79,5 x sen 45° 3.612
cosA= . =0,811 
h = 79,5 x 0,707 
cos A = 0,811 ; I A = 35,80° II h = 56,22 J 
s = 21 x 93,87 x 56,22 
Cillculo de h 
I s = 2639,45 m2 I h htgB=-= __ 
DB c -AD 
···.3t\.·. 
36 
s . 
Conocemos <) A Y b, por tanto Con el trlanqulo ADC puedo calcular h. 
h
sen A = - : h = b x sen A 
b 
h = 42 x sen 35,80° = 42 x 0,585 
I h = 24,57 I 
Calculo de AD 
tg A = h = 24,57 
AD AD 
AD = 24,57 = 24,57 
tg 35,80° 0,722 
I AD =34,06 1 
Calculo de DB 
AB = c = 53 
53 =AD + DB DB = 53 -AD 
I DB = 53 - 34,06 = 18,94 m I 
Calculo de <J B 
h
 
tg BO = DB
 
24,57 = 1,297
tg BO = 18,94 
tg B ° = 1,297 por tanto I B = 52,3~ I 
Calculo de <J C 
Sabemos que: A + B + C = 180°
 
C = 180 - A - B
 
C = 18010 - 35,80' - 52,37°
 
I C = 91,83° I 
Calculo del aree 
1 
s = 2 x base x altura 
Base = c : altura = h 
1 
s =- . 53 . 24 57 
2 ' 
I s ~ 651 m21 ~ 
III) Resolver el triangulo oblicuanqulo ABC donde: 
a = 66,20 m b = 28,36 m <) C = 47° 
Calcular: <JAo, <J BO, c, s 
Utilizar: Teorema de las tangentes. 
Soluci6n B 
, l I I 'IAF ,..o 
b 
Calculo de <) A 
A + B + C = 180° 
A + B = 180° - 47° 
A + B = 133° (1) 
A - B) a-b (A+B)tg -- =-_·tg - ­( 2 a + b 2 
A - B) = 66,2 - 28,36 . t (1330.)
(tg 2 66,2 + 28,36 9 
A - B) 37,84 
tg ( -2- = 94,56 . tg (66,5°) 
(A-B)tg -2- =0,40 x 2,3 
(A-B)tg -2- =0,92 
(A; B) = 42,61° (2) 
2 
38 
Tomamos las ecuaciones (1) y (2).
 
A+B=133°
 
1 
s ='2. base x altura 
A + B = 133= 6650 )
22' Dos ecuaciones con 
base = b = 28,36 m 
dos inc6gnitas 
A - B = 43,610 altura = h = ?
2
 
Resolviendo tenemos:
 
- +- = 66 5°
 A2 2B ' ) sen A =~ h = csen A 
cLas sumamos 
A B h = 50,94 x sen 109,11° - -- =426P
2 2 ' 
h = 50,94 x 0,95 = 48,39 m 
2 .~ + 0 = 109,1P 
2 I h = 48,39 m I 
I A = 109,11° I 
1 1 
s = - x b x h = - x 28 36 x 48 39 2 2' , 
Calculo del 1 B 
Sustituimos A = 109, 11° en (1) I s = 686,21 m2 I 
A+B=133°
 
B = 133° - 109,11°
 
I B = 23,89° I 
FORMULARIO GENERAL DE TRIGONOMETRIA 
Signo de las funciones 
+ 
IV 
+ 
III 
'.':> 
+ 
II 
+ 
+ 
+ 
Tomando el trianqulo ADB tenemos: 
Seno 
Cosecante 
Funci6n 
Coseno 
Secante 
Tangente 
Cotangente 
C61culo de la superflcle 
Tabla I. 
12.12. 
C6Iculo de c 
Aplicamos la ley de los senos: 
sen A sen C 
--=-­
a c 
a- sen C 66,20 x sen 47° 
c= =_.:....--...:.....-­
sen A sen 109,11° 
66,20 x 0,731 48,39 
c= =-­
0,95 0,95 
I c = 50,94 m I 
40 
,- c~, ,~" 'r" >:;~';;.:~i: 
Tabla II. Funciones de: 0°, 30°,45°,60°, 90°, 180°, 270°, 360° Tabla V. Expresiones equivalentes para sen ex, cos ex, tgex, etc... 
Funciones 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° 
Seno 0 
1 -
2 
~ 
2 
~ 
2 
1 0 -1 0 
Coseno 1 ~ 
2 
~ 
2 
1 
2 
0 -1 0 1 
Tangente 0 ~ 
3 
1 J3 00 0 00 0 
Cotangente 00 J3 1 
~ 
3 
0 00 0 00 
Secante 1 2J3 
3, J2 2 00 -1 00 1 
Cosecante 00 2 J2 2--.L3 3 1 00 -1 00 
Tabla III. Variaci6n de las funciones 
Cuadrante sen cos tg ctg sec csc 
I 0-+ +1 +1 -+ 0 0-++00 +00 -+ 0 +1 -+ +00 +00-++1 
II +1-+0 0-+ -1 -00 -+ 0 0-+-00 -00-+-1 +1-++00 
III 0-+ -1 -1-+0 0-++00 +00 -+ 0 -1-+-00 -00-+-1 
IV -1-+0 0-++1 -00 -+ 0 0-+-00 +00-+1 -1-+-00 
Tabla IV. Funciones de angulos de cualquier cuadrante en terminos de anqulos 
del primer cuadrante 
Funci6n -ex 90°:tex 180 0 :t ex 270 0 :t ex n (360 0 ) :t ex 
Seno -sen ex +cOSex +sen ex -COSex :tsen ex 
Coseno +cOSex +sen ex -cos ex :tsen ex +COSex 
Tangente -tg ex +ctg ex :ttg ex +ctg ex ±tg ex 
Cotangente -ctg ex +tg ex :tctg ex +tg ex :tctg ex 
Secante +secex +CSCex -sec ex :tcsc ex +secex 
Cosecante -CSCex +secex +cSCex -sec ex :tcsc ex 
Funci6n 
sen IX 
sen IX 
sen IX 
cos IX 
=-11 COS21X 
Ig IX 
Ig IX 
=J1 + Ig2 1X 
CIg IX 
1 
=J1 + CIg'lX 
sec IX 
= Jsec21X -1 
sec IX 
CSCcr 
1-­
esc IX 
cos IX =-11 - sen21X cos IX 1 
=J1 + Ig'lX 
CIg IX 
=-11 + cIg21X 
1 
sec IX 
=_ -ICSC21X - 1 
esc IX 
Ig IX 
sen IX 
=-11 - sen'lX 
=J1 - COS2 1X 
cos IX 
Ig IX ctglX 1 = -Isec'lX - 1 
= -IesC'1X - 1 
CIgIX 
=J1 - sen'lX 
sen IX 
cos IX 
=J1 COS2 1X 
1 
Ig IX 
CIglX 
1 
= Jsec21X -1 
= JCSC'IX - 1 
sec IX 
1 
=J1 - sen21X 
1 
cos IX 
=J1+lg'lX 
=J1 + clg'lX 
CIg IX 
sec IX 
CSCIX 
= -Iesc" IX - 1 
CSCIX 
1 
sen IX 
1 
=J1 COS21X 
=J1 + Ig21X 
IglX 
=J1 + cIg't(i sec IX 
= Jsec21X-1 
esc IX 
Lista de identidades fundamentales 
1 1 
cos ex =-­1. sen ex = csc ex 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
sec ex 
1 1
CSCex =-­ sec ex = cos exsen ex 
sen 2ex + cos2ex = 1 
1 + tg 2(l = sec2ex 
1 + ctg2ex = csc2ex 
sen 21l = 2 sen ex cos ex 
cos 21l = 2 cos2ex - 1 
cos 21l = 1 - 2 sen 2ex 
cos 21l = COS2ex - sen 2ex 
2 tg ex 
tg 21l =-­
tg 2ex1 ­
sen3x =3senex-4sen3ex 
sen (ncx) = 2 sen (n - 1) ex . cos ~ ­
cos (ncx) = 2 cos (n -1)ex . cos ex ­
1 _ sen ex 
tg ex = ctg ex - cos ex 
1 _ cos ex 
ctg ex = tg ex - sen ex 
sen (n - 2) ex 
cos (n - 2) ex 
42 
14. sen (IX ::!:~) = sen IX cos 13 ::!: cos IX sen 13 
15. cos (IX ::!:~) = cos IX cos ~ + sen IX sen ~ 
16.	 tg (IX ::!:~) = tg IX ::!: Ig ~ 
1 + tg IX tg ~ 
1 1
 
17.	 sen IX +sen~ =2sen-(1X +~)COS-(IX -~)
 
2 2
 
18. sen IX - sen ~ = 2 cos ~ (IX +~) sen; (IX -~) 
1 1
 
19. COSIX + cos ~ = 2 cos "2(IX +~) COS"2(1X -~) 
1 1
 
20. COSIX -cos~ = -2sen"2(1X +~)sen"2(1X -~) 
,.---- ­
IX	 V1 - cos IX . . . IX
21. sen - = ::!: POSltlVO Sl - Eal I 6 II cuadrante
 
2 2	 2
 
IX 1 + cos IX ltl IX I I • IV dY22. cos- = ::!: POSI IVO Sl -E a 0 cua rante
 
222
 
1 - cos IX
23.	 tg ~ = 1 - cos IX = sen IX =::!: 
2 sen IX 1 + cos IX 1 + cos IX 
positive si ~ E al I 6 III cuadrante
 
1
 
24. sen 21X = - (1 - cos 2IX)
2
 
1
 
25. COS21X = - (1 + cos 2IX)
2
 
1
 
26. sen 31X = - (3 sen IX - sen SIX)
4
 
1
 
27. COS31X = - (cos SIX + 3 cos IX)
4
 
1 1
 
28. sen IX sen ~ = - cos (IX - ~) - - cos (IX + ~) 
2 2
 
1 1
 
29. cos IX cos ~ = - cos (IX - ~) + - cos (IX + ~) 
2 2
 
1 1
 
30. sen IX cos B =-sen(1X +~) +-sen(1X -~) 
2 2
 
APENDICE 1
 
EJERCICIOS
 
COMPLEMENTARIOS
 
A. EJERCICIOS DE APLICACION 
B. EJERCICIOS DE INVESTIGACION 
• 
44 
//EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 
P 
A.1.	 Resoluci6n de triangulos rectangulos 
I) Calcular el valor de x en la figura adjunta: 
x 
y 
Solucl6n: 
Para calcular x conociendo el anqulo y la hipotenusa; como x es el cateto 
opuesto utilizamos el sene de 30°. 
sen 30° = ~ . x = hip x sen 30°
hip • 
1 x =	 10 x - . x = 52	 . 
EI otro lado sera: 
por Pitagoras y = )102 - x2 = J100 - 25 = j75 
y=5j3 
II)	 Una escalera de 9 metros esta apoyada contra una pared. (.Que altura 
alcanza si forma con el suelo, supuesto horizontal, un angulo de 72°? 
• 
pared1 
x 
pi so 
,e \.' 
Necesitamos la altura x, conocemos un anqulo y la hipotenusa; como x es el 
cateto opuesto al <) 72°; utilizamos sen 72°. 
sen 72° = ~ . x = hlp x sen 72° 
hip • 
x = 9 x 0,95 = 8,55 metros de altura alcanzara la escalera 
B.1.	 Resoluci6n de triangulos rectangulos 
I) Calcular el valor de los dos catetos de la figura: 
x 
II)	 Resolverel trianqulo rectanqulo para el cual se dan los siguientes datos: 
b = 35 y B = 24° 
III)	 En cierta urbanizaci6n los lotes estan dispuestos como 10 indica la figura. 
i,C6mo podria medirse indirectamente el ancho de cada lote sobre la 
diagonal A? 
s 
~ 
w 
Cl 
Z
 
W
 
Q. 
W 
Cl 
Z 
AVENIDA SUCRE 
l u I
 
IV)	 Para obtener la longitud de la finca representada en la figura, se han 
medidoel anqulo CAB, quees de33°, y la distanciaAC = 276 metros. i,Que 
longitud tiene la finca? 
C 
A B 
v)	 Un obrero tiene una escalera de 12 metros. i,Que anqulo debe hacerle 
formar con el piso, si quiere alcanzar una altura de 9 metros? 
A.2. Calculo del perimetro de un triangulo 
Se tiene un terreno triangular (ver figural de longitud 100 metros, calcular el 
perimetro del terreno. 
C 
y 
A 
Soluci6n 
Debo calcular y, la hipotenusa. 
Calculo de y 
Como es cateto opuesto a 30° y conocemos el lado adyacente entonces 
utilizamos tg 30°. 
B Longitud 100 m 
tg 30° = '!... ; y = x . tg 30° 
x 
48 
c 
x = longitud del terreno
 
y = 100 x f = 100 x 0,5774 = 57,74
 
Y= 57,74
 
Calculo de hipotenusa 
long • hip = longcos 30
0 
=-­hip •• cos 30° 
hip = 100 _ 200
J3 - J3= 115,46 
2 
Perimetro 
P=x+y+h 
P = 100 + 57,74 + 115,46 
P = 273,20 metros, es el peri metro del terreno. 
B.2. Calculo del perimetro de un triangulo 
I)	 Para el trianqulo de la figura calcular el perimetro.
 
B
 
A 
c 
II)	 Para el trianquto de la figura calcular el perimetro. 
c 
A 
.: 
A.3. Calculo del area de un triangulo 
I)	 La hipotenusa de un trianqulo rectanqulo mide 10 y el Angulo agudo B es 
igual a 25°. Calcular la superficie del trlanqulo, 
Soluci6n 
Construimos el trianqulo. 
EI area de ese trianquto es:
 
B c
1 
A=-·c·b 
2 
Por tanto debe calcular b y c conociendo el Angulo B y la hipotenusa. 
Calculo de b 
sen 25° = ~ ; b = hip x sen 25° 
hip 
b = 10 x sen 25° = 10 x 0,422 = 4,22 
b = 4,22 
Calculo de c 
cos 25° = ~ ; c = hip x cos 25° 
hip 
hip = 10 x cos 25° = 10 x 0,91 = 9,1 
c = 9,1 
Calculo del area 
1 1
A=-·b·c=-x422x912 2' , 
A = 19,12 
II)	 La altura de un trianqulo rectanqulo es de 6 y uno de los anqutos agudos 
mide 35°. Hallar la superficie del triangulo. 
c 
8::6 
"A c B 
~ 
50 
~ 
~ Soluci6n
 
Construimos el trlanqulo,
 
EI area del trlanqulo
 
1
A="-· c . 6 donde 6 es la altura 
2 
Para calcular c tenemos: 
Calculo de c 
c
tg35°=-·; c=axtg35°
a 
c =" 6 x tg 35° 
c =" 6 x 0,70 
c =" 4,2 
Calculo del area 
1 1
A=-·c·a=-·c·6
2 2 
1
A=-x42x6=3x42=126
2' " 
I IA=" 12,6 
B.3. Calculo del area de un triangulo 
I)	 La base de un trtanqulo rectanqulo mide 54 y el anqulo opuesto es de 84°. 
l.Cuanto mide la altura y cual es su area? 
II) Calcular el area del trianqulo rectanqulo con los siguientes datos: 
a = 24 B =" 38° 
III) Calcular el area del trianqulo rectanqulo con los siguientes datos: 
a = 68 metro y C =" 45° 
A.4. Calculos para triangulos rectangulos unldol entre Ii por un lado 
I)	 Calcular el perimetro del triangulo ABO de la figura. 
A 
o	 B 
Soluci6n 
EI perfmetro sera: AD + DC + CB + BA. 
Tan s610 conocemos CB por tanto debemos hallar AD, DC, BA. 
Calculo de AD 
Para el calculo de AD necesito un lado del trlanqulo DCA. 
Tenemos lade AC cornun a los dos trianqulos, entonces utilizando el trianqulo 
ACB, calculo AC. 
Calculo de AC 
ACtg 450 =- AC= 100x tg45°
100 
AC =" 100 x 1 AC = 100 
Calculo de DC 
_ AC _ 100tg 300 =	 AC DC ----- ­
DC tg 30° 0,577 
DC = 100
0,577 = 173,31 I DC =" 173,31 I 
Calculo de AD 
ACsen 300 = AC AD	 =­
AD sen 30° 
AD = 100.-= 200 
0,5 IAD = 200 I 
.~. ­
52 ~ .. wc~;~;kt~~{,t(~ti~~lt4iiHI:~:~',;:,:,~¥ 
;;;:.,,'::.J.,>:~;'.';; ,,>"';' 
~:;' 
Calculo de AB 
"	 ° CB 100cos45 = -= =-= 
AB AB 
AB = 100 ",; 100 = 200 = 200 J2 = 100 y'2 
cos 45° J2 J2 2 
2 
I AS = 141,42 J 
Calculo del perimetro 
P = OA + AB + CB + CO 
P = 200 + 141,42 + 100 + 173,31 
IP = 614,73 I 
ii) Calcularla distancia CO = x de la figura. 
A 
o 
Soluci6n 
La distancia x se la diferencia de la base de los dos trianqulos asi: 
x = BO - BC 
Por tanto debemos calcular BO y BC. 
Calculo de BD 
AB -_ AB 
tg 30° = BO ; BO - tg 300 
- 300 _ 900 J3 = 300 J3BO=-­
J3 3 
3 
I BD = I300ft 
CllIlculo de BC 
AB -_ AB 
tg 60° = BC ; BC - tg 600 
- 300 _ 300 J3 = 100 13BC=-- v~ 
J3 3 
I	 IBC=100J3 
Calculo de x 
x = B5 - Be = 300 J3 - 100 J3 = 200 J3 
Ix = 346,41 , 
III) Calcular el area del trianquto ABC sabiendo que AC = FO Yque AF == 10. 
B c o 
SOluci6n 
BCx AB
EI area de ABC = -- ­
2 
No conocemos BC ni AB luego es 10 primero que debemos calcular. 
CBlculo de SF = y 
Tomando el trifmgulo BOF tenemos: 
sen 300 =	 FB = ~ 
FO h 
Y= h . sen 30° = h • ].
,2 
I yo; I (1) 
54 
Del area tenemos: 
Igualando (1) = (4) tenemos: y = BC sustituimos en (7): 
BC x AB
A=--­
2 10 + BC = BC + CD ; I 10 = CD I 
A = Be . (10 + y) En ta ecuaci6n (2) tenemos: 
2 - -ft y= (BC + CD)- y = (y + 10) ft
Tenemos que: 3 3 
tg 30° = _ Y __ j3 Y+ 10ft -y=o cornun denominadorBC + CD 3 3 
Y = (BC + CD) . tg 30° 
j3y-3y+ 10ft=0 
3 
ft y - 3y + 10 ft = 0 ; multiplico por (-1)(2)I y ~ (Be + CD) ·4 I 
3y-j3y-10j3=0 ; y(3-ft)-10j3=0 
Igualando (1) = (2) obtenemos; 
h (Be + CD) ft I = 10 ft I 
(3) y 3- j3
2 3 
Tomando ahora el trianqulo ABC el Angulo A sera de 30° pues el anqulo C es 60°
 
y estos dos son complementarios.
 
Calculo del area de ABC 
BC ­
sen 30° = sen A = h : BC = h . sen 30° BCx AB. ­
A = vrrnos que AB = 10 + Y BC=y
2 
A= y(10+y)
(4)I BC~ ~ I 2 
10 10 j3 )(BC A= 10ft +3-j3"tgA=tg300= 10+y (10 + y) tg 30 ° = BC 
3- ft 2 
10 j3 [10(3 - j3) + 10ft]
(5)BC = ft (10 + y) A = (3 - )3)3 . 
2 (3 - j3)
 
Igualando las expresiones (4) = (5) tenemos:
 
A= 10j3(30- 1°ft+ 10j3) 
hj3 2 (3 - )3)(3 - j3)- = -(10 +Y) (6) . 
2 3 
A = 5 j3 x 30 = 5 j3 x 30 
Ahora tenemos (3) = (6) de donde: 
9+3-6j3, 1,61 
ft (10 + y) = ft (BC + CD) A= 15°ft= 161 37 
3 3 1,61 ' 
(7)I I10+y=BC+CO 
[ A= 161,3~ 
56 
8.4. 
A 
I) Calcular el area del trianqulo ABO de la figura. 
Calculos para triangulos rectangulos unidos entre si por un lado IV) 
A 
c( J --, "'18 
Calcular el area del triangulo de la figura. 
o c 8 
V) Calcular el valor de x en la figura. 
II) Calcular el perfmetro del trianqulo ACO de la figura. 
A 
o 
o 
M 
III) 
A 
Calcular la altura del trianqulo de la figura. 
~D 
. 
VI) 
A 
Hallar el valor del segmento DE sabiendo que AD = BE Y que BC = 4. 
o 8 
o E 
~8 
~, .c " 
':~5 
VII) Hallar el valor de x de la siguiente figura. 
o 
10 
VIII) Calcularel area del trianqulo ABC. 
A 7:- ,­ n 
B 
A.5.	 Resoluci6n de un triangulo, dado un lado del triangulo y el valor de una 
raz6n trigonometrica de uno de sus angulos 
I) Dado cos A = 2. calcular el valor de x en la figura 
5 
Soluci6n 
sen A = 30 
x 
30 
x=-­
sen A 
60 
Debemos calcular sen A; teniendo cos A = 2. 
5 
sen2 A + cos! A = 1 
sen A = vl 1 - cos 2 A = ~ 1 ­ Gr 
sen A = ~ 1 _ 1 = ~ 25 - 1 = [24
25 25 ~25 
2
sen A =-j6
5 
Calculo de x 
30 30 150 
x=--=--=--­
sen A ~,,/6 2 v6 
5 
75	 75j6
x=-=-­
j6 6 
I x~25t61 
II) Dado tg A = 5. CalcuJar el valor de x en la figura. 
SoluCi6n 
h
sen A = ~ x=-­
x sen A 
Debemos calcular sen A y h. 
.'-'"
.it;' 
Calculo de sen A 
1 + tg 2 A = sec 2 A 
1 + (S)2 = sec2 A ; sec A = J26 
1 1 J26 
cosA=--=~=--
sec A J26 26 
sen2 A + cos2 A = 1 ; sen A = ~cos2 A 
sen A = _.'1 - (~r= ~ 1 - 2~ 
senA=~ =~= J~6 
I senA~~ I 
Calculo de h 
h
sen 30° =- : h = 20 sen 30° 
20 
1
h = 20 x - = 10 
2 
Calculo de x 
x = _h__ 10 10J26 
sen A - S = -S- = 2J26 
J26 
I'--x-=2-j26-1 
B.S.	 Resoluci6n de un triangulo. dado un lado del triangulo y el valor de una 
raz6n trigonometrica de uno de sus angulos 
i) Dado cos A = ~ y sen B = ~ calcular el valor de x en la figura. 
3 S 
x 
A.6. 
> t:''(''!' 
II)	 Dado cos B = ~ hallar x en la figura. 
S 
Iii) Dado sec B = ft, hallar el valor de x en la fjgura. 
IV) Dado sen A = ~ hallar el valor de x, en la figura. 
S 
x 
2V3 
Apllcaci6nde la resoluci6n de triangulos rectangulos: angulos de 
elevaci6n-depresi6n e incllnaci6n 
I)	 Calcular la altura de un ediflclo, si un observador situado 8 SO metros 
del mismo ve I~ parte superior con un angulo de etevacton de 60°. 
62 
Soluci6n 
h 
! 
Representacion qraflca. 
50 
-, 
~"" -, 
h 
tg 60° = 50 
h = 50 x tg 60° 
h = 50 x 1,732 = 86,6 
I h = 86,6 metros I altura del edificio 
II)	 Calcular la altura de un arbol, si cuando los rayos del sol forman un 
anqulo de inclinacion de 45° con el suelo, la sombra tiene una longitud 
de 14 metros. 
Soluci6n 
h 
Veamos una representaclon qrafica. 
Calculo de h 
h
tg 45° = - ; h = 14 x tg 45° 
14 
h = 14 x 1 = 14 
I	 h = 14 metros Jaltura del arbol 
64 
III)	 Desde el punto medio de la distancia que separa los pies de dos torres, 
se ven, la parte superior de cada una de elias con anqulos de elevaclon 
de 30° y 60° demostrar que una de elias es el triple de alta que la otra. 
Soluci6n 
Hallamos la altura de cada una de las torres. 
a	 
y 
a 
--~. 
Calculo de x 
tg 30° =~ x = a· tg 30° 
a 
I x=a.;;]
 
Calculo de y 
tg 60° = '!... y = a· tg 60° 
a 
I y=a·ft I 
Relaci6n y/x 
y_ aft _ 3 a ft _--------, 3 
x aft aft 
3 
~ = 3 ; I y = 3x I 
,..:' ,;" .(:£,~~.:.ic~i~;&;;/ 
"",./ 
8.6.	 Aplicaci6n de la resolucl6n de trlangulos rectangulos: angulos de ela­
vaci6n, depresi6n e inclinacl6n 
i)	 Desde la ventana de un edificio situada a 10 metros del suelo se ve el 
edificio de enfrente en la siguiente forma:
 
La parte superior con un Angulo de elevaci6n de 30° y la parte inferior
 
con un angulo de depresi6n de 45°. Calcular:
 
a) La anchu ra de la calle.
 
b) La altura del edificio.
 
II)	 Un observador ve la parte superior de una estatua con un Angulo de 
elevaci6n de 30° camina 10 m hacia la estatua y en ese momento ve la 
parte superior con un Angulo de elevaci6n de 60° calcular la altura de la 
parte superior de la estatua (se admite que el observador no tiene 
altura). 
III)	 La cuspide de la torre Eiffel esta situado a 300 m de altura. loQue distan­
cia hay que recorrer, a partir del pie y horizontalmente, para que el 
anqulo de elevaci6n de la cuspide sea de 25°? 
IV)	 Un avi6n vuela a 350 m sobre sobre un objeto. Calcular la distancia del 
objeto al avi6n, cuando el Angulo de depresi6n del objeto es 63°. 
V)	 loCuAI es el Angulo de inclinaci6n en una carretera que tiene un peralte 
del 14 %? 
"Una carretera con un ascenso de 14 m por cada 100 metros en el plano 
horizontal, tiene un peralte del 14 por ciento.» 
Vi)	 loA que altura se halla el sol sobre el horizonte, si un edificio de 15 
metros de altura proyecta una sombra de 36 metros? 
A.7.	 Calculo de razones trlgonometricas para angulos: complementarios _ 
opuestos - suplementarios. Difieren 90° - 180° - 270° - mayores de 360° 
I)	 Calcular las razones triqonometricas de (X = 50°, conocidas las de su 
complementario A = 40° 
Soluci6n 
sen	 (90 - 40°) = sen (50°) = cos (40°) = 0,766 
cos	 (90 - 40°) = cos (50°) = sen (40°) = 0,643 
tg (90 - 40°) = tg (50°) = ctg (40°) = 1,191 
ctg (90 - 40°) = ctg (50°) = tg (40°);= 0,839 
sec (90 - 40°) = sec (50°) = esc (40°) = 1,555 
esc (90 - 40°) = esc (50°) = esc (40°) = 1,305 
II)	 Calcular las Razones Trlqonometrtcas del Angulo de -60° 
Soluci6n 
sen (-60°) = - sen 60° = _ ft 
2 
1 
cos (-60°) = + cos 60° = + ­
2 
tg	 (-60°) = - tg 60° = - v'3 
ctg	 (-60°) = - ctg 60° = _ ft 
3 
sec (-60°) = + sec. 60° = + 2 
esc (-60°) = - csc 60° = _ 2 ft 
3 
III)	 Calcular las razones trlqonometricas del Angulo de 150° por anqulos 
suplementarios. 
SOluci6n 
En el 1/ Cuadrante son positlvos unicamente el seno y la cosecante: 
sen (150°) = + sen (180 - 150°) = + sen 30° = + 2"1 
cos 150° = - cos (180 - 150°) = - cos 300 = _ fl 
2 
,~":.~\, , 
66 
Soluci6n 
tg 150° = - tg (180 - 150°) = - tg 30° = - J3
3 
IV Cuadrante positivos el coseno y la secante.
 
ctg 150° = - ctg (180 - 150°) = - ctg 30° = - J3
 
1
sen 330° = - cos (330 - 270°) = - cos 60° = -- ­
2sec 150° = - sec (180 - 150°) = - sec 30° = _ 2 J3
3 
!3
cos 330° = + sen (330 - 270°) = + sen 60° = + _v_esc 150° = + csc (180 - 150°) = + esc 30° = + 2 2 
IV) Calcular las razones trigonometricas del angulo de 135° por angulos que tg 330° = - ctg (330 - 270°) = - ctg 60° = _ J3
 
difieren 90°
 3 
ctg 330° = - tg (330 - 270°) = - tg 60° = - ftSoluci6n 
II Cuadrante, positivos el sene y la cosecante. 2ft
sec 330° = + csc (330 - 270°) = + csc 60° = +-­
3 
sen 135° = + cos (135 - 90°) = + cos 45° = + J22 csc 330° = - sec (330 - 270°) = - sec 60° = - 2 
sen 45° = _ J2cos 135° = - sen (135 - 90°) = ­ VII) Calcular las razones trlqonometricas para el angulo 1671° 2 
tg 135° = - ctg (135 - 90°) = ­ ctg 45° = - 1 Soluci6n 
tg 45° = - 1ctg 135° = - tg (135 - 90°) = ­
AI angulo rl = 1.671° Ie restamos las circunferencias que contiene: 
sec 135° = - csc (135 - 90°) = ­ esc 45° = - J2 
1.671 + 360 = 4 conferencias + 231° 
csc 135° = + sec (135 - 90°) = + sec 45°= +j2 It 
231° = 180° + 51° = 2 . - + 51 c 
~ V) Calcular las razones trigonometricas del angulo 210° por ancutcs que 
Tenemos k = 2 par, por tanto las funciones de 231° son iguales a las funciones difieren 180° 
de 51° con el correspondiente signa de un angulo del cuadrante III. Donde son 
Soluci6n positivos la tangente y la cotangente. 
III Cuadrante positivos la tangente y la cotangente. 
sen 1.671 = sen (231°) = - sen 51° = - 0,777
1
 
sen 210° = - sen (210 - 180°) = - sen 30° = - - ­
 cos 1.671 = cos (2310) = - cos 51 c = - 0,6292 
tg 1.671 = tg (231°) = + tg 51° = + 1,235 
cos 210° = - cos (210 - 180°) = - cos 30° = - J32 ctg 1.671 = ctg(231°)=+ ctg 51°=+0,810 
sec 1.671 = sec (231°) = - sec 51 c = - 1,590
tg 210° = + tg (210 - 180°) = + tg 30° = + J33 
esc 1.671 = csc (231°) = - csc 51° = - 1,287 
ctg 210° = + ctg (210 - 180°) = + ctg 30° :f + J3 
VIII) Poner los angulos negativos en funci6n de los positivos y si es posible 2 !3 
simplificar.sec 210° = - sec (210 - 180°) = - sec 30° = - _v_"
3 
Soluci6ncsc 210° = - csc (210 - 180°) = - csc 30° = - 2 
sec (-A) . cos (-B) + tg (-A) . cos B 
VI) Calcular las razones trigonometricas del angulo de 330° por angulos que 
2 sen (-A) cos B 
difieren 270° '; 
•• ,w,~~",~ ,~l:'. ;i{~,:::~/~,-·:+~lj\4i}~ 68 
~'t'~-"it 
por anqulos opuestos tenemos: 
sec (-A) = sec A I
cos (-8) = cos 8 
sustituimos 
tg (-A) = -tg A 
sen (-A) = -sen A 
sec (-A)· cos (-8) + tg (-A) cos 8 _ sec A· cos 8 - tg A cos 8 
2 sen (-A) cos 8 -2 sen A cos 8 
cos 8 (sec A - tg A) = _ sec A - tg A = tg A - sec A 
- 2 sen A cos 8 2 sen A 2 sen A 
B.7. Calculo de razones trlgonometricas para angulos: complementarios ­
opuestos - suplementarios. Difleren 90° - dlfleren 180° - dlfieren 270° 
mayores de 360° 
I)	 Calcular las razones trigonometricas de ex = 20° conocidas las de su 
complementario A = 70° 
Ii)	 Calcular las razones trigonometricas del anqulo de -45° 
IIi)	 Calcular las razones trlqonometricas del Angulo de 135° por Angulos 
suplementarios. 
IV)	 Calcular las razones trigonometricas del Angu10de 120° por anqulos que 
difieren 90° 
V)	 Calcular las razones trigonometricas del anqulo 240° por Angulos que 
difieren 180° 
VI)	 Calcular las razones trtqonometricas del anquto de 315° por anqulos que 
difieren 270° 
vii)	 Calcular las razones trlqonometricas para el Angulo 1.762° 
VIII) Simplificar la siguiente expresi6n aplicando las propiedades de los 
anqulos complementarios. . 
cos (90 - A) + sen A . sen (90 - A) 
sen A . cos (90 - A) 
IX) Transformar todo 10 posible la siguiente expresi6n para simplificarla. 
cos (90 - A) . sec (90 - A) + ctg (90 - A) 
sen A . cos (90 - A) + cos A . sen (90 - A) 
cos 30° =sen 30° = ~ 
2 
Conocemos: 
XIV) 
Angulos menores de 45° 
1. sen 50° 
2. ctg 50" 
3. cos 85° 
cos (180 - A) . sec (180 - A) + cos A· ctg (180 - A) 
XI) Calcular las razones trlqonornetrlcas para ex 
XV) 
angufos menores de 45° 
1. tg 120° 
2. sen 105° 
3. .- sec 170° 
sen (30 + A) = 
X) 
anqulos suplementarios.cos (180 - A) . sen A + cos A· tg (180 - A) 
XII) Calcular las razones triqonornetrlcas para ex 
3
I) Dado sen A = -
5 
XIII) 
anqulos menores de 45° 
1. sen 64° 
2. tg 65° 
3. sec 70° 
A.8. Problemas de sumas y diferencias de angulos 
Soluci6n 
IIIIW;,":':'::-c ." .•• c·.....{.~ ...I.:.\~."':flt~~~~~~i\l;.:kr.....r':.:.."	
"~ 
Simplificar la siguiente expresi6n aplicando las propiedades de los 
= 1.384° 
= 2.348° 
Reducir las razones trlqonometricas siguientes a otras equivalentes de 
Reducir las razones trlqonometrtcas siguientes, a otras equivalentes, de 
Reducir las razones trtqonometricas siguientes, a otras equivalentes, de 
_ 
(A en el II cuadrante), calcular sen (30 + A) 
sen 30° cos A + sen A cos 30° 
J3 sen A = ~ 
2 5 
..",.:~. ,'~, c.: t. ,,:.·,;.;;;;.i;u~,.:l.i,;..;{~i.1il 70 
o/"'I"'T' . 
Por identidades catcutarnos cos A:
 
sen A = "1 - = ~= ± ~
:5 
2 1cos A =J1=Sen A =V1 - GY =V- :5 
cos A =Y25 - 9 = . {16 = ~ I sen A ~ - ~ I 
25 V"25 5 
4 
Pero dice el problema que A es del segundo cuadrante, luego cos A = '5' se toma el negativo, pues el seno es negativo en el cuarto cuadrante.
 
es negativo
 Sustituyendo los valores tenemos: 
sen (30 + A) =.:!. (_ ~) + ~ . ft = _ ~ + 3 ft cos (45 0 + A) = cos 45 0 cos A - sen 45 0 sen A 2 5 5 2 5 W 
cos (45 0 + A) = y'2.~ _ y'2 (_~)sen (30 + A) = 3 ft - 4 = 3 ft - 4 
2 5 2 510 10 
cos (45 0 + A) = 3 y'2 + 4 y'2= 3 y'2 + 4 /2 
10 10 10ii) Dado tg A = - ~ (A en eliV cuadrante) hallar cos (45 0 + A)
3
 
cos (45 0 + A) = +7J2 = + 7/2
10 10
 
Soluci6n
 
cos (45 0 + A) = C9S 45 0 cos A - sen 45 0 sen A 
cos (45 0 + A) = 7 J2 
10Conocemos: 
tg A = _ ~ _ sen A cos 450 = ,,/2 sen 45 0 - y'2 3 - cos A 22 
Calculamos por identidades el sen A y cos A. 
B.8. Problemas de sumas y diferencias de angulos1+ tg 2 A = sec2 A; sec A = J1 + (- ~r =) + 1: 
1 
I) Dado cos A = - (A en el cuadrante), hallar: tg (A - 600)
(255 2 
secA=V 9= ±3 
1como en el IV cuadrante la secante es positiva, tomamos sec A = + ~ II) Dado sen A = -; A en el segundo cuadrante, calcular: 
3 
sen (45 0 + A) + sen (45 0 - A)1 1 _ ~ 
cos A = sec A = 5"- 5 
3 
III) Dado sen A = -
1 
Y tg B·= fl. A en el II cuadrante y B en el tercero, 
2 
calcular cos (A - B).ICOSA~~1 
IV) Dado esc A = - fi y sec B = fi; A en el III cuadrante y B en el IV; 1 = sen2 A + cos2 A sen2 A = 1 - cos 2 A = 1 - (~y 
calcular tg (A - B). 
,.... I, .. ,. ~';;J, ..~~1oIt£L~:i;;:i;.~;;'~" 'til /~";""~~~""~'''''~'k",_,L.~~.L,......" .;,.t , _ ~_.'",,",~.;l"':~''"--L~~iL"$~~c\~ 72 
~ , 
A.9.	 Calculo de rezones trlgonometricas para angulos multlplos y 
submultiplos de un angulo conocido 
I) Calcular cos 4a en funci6n de a. 
Soluci6n 
cos 4a = cos (2a + 2a)
 
Como cos (a + b) = cos a cos b - sen a sen b.
 
cos 4a = cos (2a + 2a) = cos 2a . cos 2a - sen 2a . sen 2a 
cos 4a = cos2 2a - sen2 2a 
como 
cos 2a = cos2 a - sen2 a 
tenemos: 
sen 2a = 2 sen a cos a 
cos 4a = (cos- a - sen2 a)2- (2 sen a cos a)2 
cos 4a = cos" a - 2 sen2 a cos2 a - 4 sen2 a cos2 a + serr' a 
cos 4a = cos' a - 6 sen2 a cos2 a + serr' a 
Si queremos expresar todo en terminos de cos a, tendriamos: 
cos 4a = cos' a - 6 (1 - cos2 a) cos2a + (1 - cos2 a)2 
cos 4a = cos" a - 6 cos2 a + 6 cos" a + 1 - 2 cos2 a + cos4 a 
4/ cos 4a = 8 cos a - 8 cos2 a + 1 I 
Ii) Dada ctg -
a 
= 2; calcular sen a. 
2 
(EI anqulo ~ es agudo) 
Soluci6n 
a a
1 + ctg 2 - = csc2 ­
2 2 
a
1 + (2)2 = csc2 ­
2 
1+4=csc2­
a 
2 
Iesc ~~J51 
a 
positivo pues '2 es agudo, luego esta en el I cuadrante y alii son positivas 
todas las razones 
sen ~=_1_=_1__ J5 
2 ' a JS-5 
csc ­
2 
. -. a . 
. para calcular sen a eri tunci6n de - tenemos ,
 
. 2 , ."
 
> ' a a'
 
sen 8 = 2 sen -' cos ­2 ' . 2 
a J5	 a
Conocemos el sen 2" = 5; calculamos cos 2" 
cos : J1- (sen :r = Y1-()gY = J1-i= 
a ~-1 ~ 2 2jScos-= --= -=-=-­
2 5 5 v5 5 
a a vS2v"S sen a = 2· sen _. cos - = 2· _. - ­
2 2 5 5 
2 . 2 . (J5)2 4 . 5 4 
sen a = =--=­
5·5 25 5 
I sena~~ I 
B.9.	 Calculo de razones trigonometricas para angulos multiplos y submultiplos 
de uno conocido 
I) Si sen a = ~ "que diferencia hay entre sen 2a y 2 sen a? 
5'
 
II) Dada tg a = ~; catculese tg 2a.
 
3
 
IIi) Dada tg ~ = J3; calculese cos a (i es agudo)
 
IV) Dada tg 4a = 3 ft, calculese tg a.
 
74 
i' 
A.10. Ecuaclones trigonometrlcas 
I) Resolver la siguiente ecuaci6n trlqonometrica. 
3 tg a + 3 ctg a = 4 -/3 
Soluci6n 
1
Como ctg a =-- podemos tener: 
tg a 
3 tg a + 3· _1_ = 4 J3 
tg a 
3 tg
2
a + 3 = 4 J3 ; 3 tg2 a + 3 = 4 J3 tg a 
tg a 
3 tg2 a - 4 J3 tg a + 3 = 0 
Ecuaci6n de segundo grado cuya inc6gnita es tg a, resolviendo esta ecua­
cion se obtiene: 
tg a = 4 J3 :!: J48 - 36 = 4 J3 :!: 2 J3 = 2 J3 :!: J3 
. 6 6 3 
tga= 
J3 (2 :!: 1) 
3 
a, es el angulo cuya tangente vale J3 
aa es el anqulo cuya tangente vale J3 
3 
Luego los anqulos son: a, = 60° Y a2 = 30° 
Comprobaci6n: 
3J3
3 tg 60° + 3 ctg 60° = 3 J3 + - = 4 j3
3 
3J33 tg 30° + 3 ctg 30° = - + 3 J3 = 4 J3 
3 
La soluci6n sera: 
a, = 60 :!: n . 360° 
a2 = 30 :!: n . 360° 
II) Resolver la siguiente ecuaci6n trtqonometrlca. 
2 sen a + cos- a = 4"7 
Soluci6n 
Sustituyendo cos2a por 1 - sen2 a. se obtiene: 
7
2 sen a + 1 - sen2 a = ­
4
 
Dando forma entera, multiplicando por -1 y resolviendo:
 
4 sen2 a - 8 sen a + 3 = 0
 
sen a = 4 :!: -/16 - 12 4:!: 2 
4 =-4­
EI valor sen a = ~ = ~ = 1,5 es inadmisible, porque el seno no puede valer 
4 2 
mas de 1. 
Queda entonces solo el valor !; as. que a es el anqulo cuyo seno vale! 
2 2 
De donde a = 30° 
Comprobaci6n: 
2 sen 30° + cos 30° = 2 x! + 7(J3)2 _
2 2 -4" 
La solucion sera:
 
a = 30° :!: n . 360°
 
8.10. Ecuaciones trigonometricas 
I) Resolver la siguiente ecuaclon
 
2
3 cos x + sen2 x = 3 
II) Resolver la siguiente ecuaci6n
 
2 cos x . tg x - 1 = 0
 
III) Resolver esta ecuaci6n
 
2 3 (1 - sen x)
 
cos x = 2 
IV) Resolver la siguiente ecuaci6n
 
tg2 x + 3 = 2 sec2 x
 
76 
'":v;" 
.r 
A.11. Teoremas del seno-coseno y tangente 
.)	 En el triangulo de la figura se conocen: 
a = 100 m b = 40 m ~ A = 750 
Calcular 
~ B, ~ C y c 
Soluci6n 
a 
b 
C'! «'A 
ClIlculo del lIngulo B 
Por teorema del seno: 
a 
-- ­ = 
b 
-- ­
sen A sen B 
sen B = b· sen A 
a 
Calculamos sen A-+ sen 75° = 0,967. 
sen B = b· sen A = 40 x 0,967 = 0 367 
a 100 ' 
~ B ~ 21° 
sen B = 0,367 ( B ~ 1580 
Para saber cual de los angulos vale, se debe tomar en cuenta 10 siguiente: 
"En un triangulo se cumple que A mayor lado se opone mayor angulo», por 
tanto a 100 m se opone un anquto de 75° a 40 m se tiene que oponer un angulo 
menor de 75° por 10 tanto: 
[ B ~ 2P I 
Calculo del ~ C 
Como en todo triancu!o se cumple que: A + B + C = 180°;
 
C = 180° - A - B = 180 - 75° - 21° = 84°
 
Calculo del lado C 
Por el teorema del seno:
 
a c a· sen C
 --=-- c=--­
sen A sen C sen A 
sen C = sen 840 = 0,994 
sen A = sen 75° = 0,967 
a· sen C 100 x 0,994c= =---­
sen A 0,967 
I c = 102,84 m I 
ii) En el trianqulo de la figura conocemos:
 
a = 100 m b = 40 m c = 70 m
 
Ca/cular: ~ A, ~ B, ~ C.
 
Uti/izar: Teorema de los cosenos.
 
Soluci6n 
b !'a~ 
c 
Calculo de ~ A 
Aplicando el teorema del coseno queda:
 
a2 = b2 + c2 - 2bc . cos A
 
b2 + c2 a2
-
cos A = b
2 C 
402 + 702 -- 1002	 -3.500
cos A =	 = --- = -0,625
2 . 40 . 70 5.600 . , 
78 
~~ 
Corresponde ese valor a un angulo A = 51°, pero el coseno es negativo, quiere Soluci6n 
decir que esta en el segundo cuadrante. 
Aplicando el teorema de las tangentes 
A = 180° - 51° = 129° 
a+ b -2­I .gA=129° I tg ( A + B ) ~ 
a - b= tg ( A; B)
Calculo del .g B 
Seguimos el mismo procedimiento que para el .g A:
 
a + b = 100 + 60 = 160
 
b2 = a2 + c2 - 2ac . cos B 
a - b = 100 - 60 = 40 
a2 + c2 b2-
cos B=---­ A + B + C = 180°2ac 
A + B = 180° - C1002 + 702 - 402 13.300 
cos B= =--­
2· 100·70 14.000 A + B = 180° - 62° 
cos B = 0,95 
I A+B=118° I (1) 
I B = 18,19° 1 
Calculo del .g C (A+ B)tg(A- B) = (a-b) tg -2­
Sabemos que A + B + C = 180°
 
2 a + b
 
Por tanto40. t (1180)
C = 180° - A - B A - B ) 9 2 
tg ( -2- = 160C = 180° - 129° - 18,19° 
t (A- B) = 40·tg (59°)I C = 32,81° I 9 2 160 
tg (A - B) = tg (59°) = 1,664
 
III) En el trlanqulo de la figura se conocen:
 244 
a = 100 m b = 60 m .g C = 62° 
( A - B) = 0,416tg 2Ca/cular: .g A Y .g B. 
Utilizar: Teorema de las tangentes. 
c Por tanto: 
A - B = 22,590 
2 
A - B = 2 x 22,59° = 45,18° 
A' I 'B I A-B=45,18° I (2) 
80 
";",'-' 
Tomamos las ecuaciones (1) y (2) 
A + B = 118° !
A - B = 45,18° sumamos 
2A	 = 163,18° 
16318° ' 
A	 = -,-2-'- ~ 81,59° 
.- ~" '! 
~~',," l~' ~ ~ ~1.:~~J,:"" ','
• ,; '.. -.'-.,-' 'r" -- • ,:,' 
A + B = 118°
 
B = 118° - A = 118° - 81,59°
 
I B = 36.41] 
B.11. Teoremas del seno-coseno-tangente 
APENDICE 2 
I)	 Resolver el siguiente trianqulo oblicuanqulo:
 
Datos: a = 12,30° ; <) B = 38,20° ; <) C = 77,10°
 
Calcular: b, c, <) A, superficie del trianqulo.
 
Utilizar: Ley de los senos.
 AUTO-EVALUACION 
II)	 Resolver el siguiente trianqulo oblicuanqulo:
 
Datos: a = 4 ; b = 5 ;, c = 6.
 
Calcular: <) A, <) B, <) C, superficie.
 
Utilizar: ley del coseno.
 
Ill)	 Resolver el siguiente trianqulo obtlcuanqulo:
 
Datos: a = 485 ; b = 346 ; <) C = 51,32°
 
Calcular: C, <) A, <) B, superficie.
 
Utilizar: ley de la tangente.
 
> 
82 
~ 
EVALUACION 
1.	 Calcular el valor de x e y en la figura. 
y 
2.	 Resolver el trianqulo rectanqulo para el cual se dan los siguientes datos: 
b = 40 Y B = 65° 
3.	 Considerar la figura adjunta. "Puede existir un trianqulo rectanqulo en 
el cual sen A = 2 y cos B =~? Explicar la respuesta. 
2 3 
B 
a· 
cJA 
" .,...•,' .,.l "~Y'lCiM"l;i&" 
10 
'1'1...··.,·,..",. , , " 
4.	 Entre dos poblaciones hay que construir una carretera, pero hay una zona 
pantanosa, como se muestra en el dibujo. "Como se mediria indirecta­
mente la distancia entre los puntos A y B. 
AX ,c=, -) ? > =-=x ~ 
5.	 Se necesita conocsr la distancia norte-sur de un terreno cercado. Para eso 
se trazan las rectas ON y as y se mide el anqulo NOS, que resulta de 38 ° 
"Cual es la distancia, si de N a Shay 300 metros y la recta NS 
perpendicular a aS? 
N 
so 
6. Para el trlanqulo de la figura, hallar el perimetro. 
c 
A 
',' 
L 
---Y.. 
1 
E 
en 
B 
B 
34m 
o 
:l 
A 
T 
Lh 
Lado del cuadrado, 20 metros. 
E 
.q 
9. Tenemos un terreno como el de la figura, hallar el area del terreno 
triangular, con los datos alii presentados. 
7. Para el trianqulo de la figura, hallar el perimetro. 
8. Uno de los lados de un trianqulc rectanqulo mide 50 metros y el anqulo 
que forma con la base es de 42° "Cual es la superficie de ese trianqulo? 
10. En un terreno rectangular seha medido la baseAB quees de34 metros. La 
diagonal AC forma con la base un anqulo de 28° 
"Cual es el area de uno de los trianqulos formados? Por ejemplo el 
trianqulo ABC. 
Dlarnetro de la circunferencia, 10 metros. 
~, 86" 
A 
12. Calcular la distancia AB de la figura. 
11. Calcular el area de los trianqulos rectanqulos en los que se conoce: 
i) a = 56 metros C = 35° 
II) a = 150 metros B = 78° 
15. 
A 
Calcular el area del trianqulo ABC de la figura adjunta. 
c B 16. Calcular el valor del segmento AD, sabiendo que BC = 20. 
13. Calcular el valor del lado AD y el area del trlanqulo ADB de la figura. o 
A 
A B 
o c B 17. Hallar el valor de X en la figura sabiendo que AD = BE. 
14. Calcular el valor de X en la figura adjunta. 
B 
A 
V3 
,88 -z.,..\o~ , 
~~E 
.~ 
"., 
16. Calcular el area del trlanqulo ABC. 21. Dado tg A = 3, hallar el valor de X en la figura. 
"";.,,' 
22. Dado sec A = 2, calcular el valor de X en la figura. A 
42.
19. Dado cos B =- Y sen A =-, caleular el valor de X en la flgura.
5 3
 
x
 
23. Desde la punta B de una torre, el Angulo de depresi6n a la punta D de 
otra torre, que dista 25 metros de la primera, es de 25°. Si la torre mas 
alta mide 62 metros, {,cual es la altura de la menor? 
20. Dado tg A = fl, hallar el valor de X en la figura. 
B 
:Z25°­
......... 0C 
loll 40 ~I 
A I . 25m. IE 
'',f,!1 ,-~:~':~ .; _i:::,,~~\~~,'~... t,,';i I ,[ "'.. ',.',. , ,\'"" t ~\ .'i:,'(i.':~;:'~~:ii....".l 
27. Desde un faro de 60 metros dealturaseven dos botes en linea con el faro y 
este y sur-este. Sabiendo que la casa y el faro distan 2 krn, ha/lese la 
24.	 Desde una embarcaci6n P seveun faro F y una casa C, en las direcciones 
a un mismo lado de este con angulos de depresi6n de 30' y 60". Calcular la 
distancia entre los botes. distancia de la embarcaci6n al faro. 
N 
f 
. . F 60 
~~ 1\ 
c
 
s
 
28.	 Un observador halla que el anquto de elevaci6n de la cima de una25.	 Dos observadores A y 8 estan sltuados en la misma horizontal yseparados 
torre, vista desde cierto punto A, es de 28°; adelanta 30 m hacia la por una distancia de 250 metros. Entre ellos y en el mismo plano vertical 
torre y entonces el angulo de elevaci6n D es de 47°. ;,Cuantos metros hay un globo que A ve con anqulo de elevaci6n de45° y 8 con 60° Hallar la 
Ie faltan para lIegar al pie de la torre?altura del globo. 
c 
AI ) I! '8I 
Ar""	 r' '8 
26.	 Dos barcos A y 8 observan slmultanearnente a un avi6n que esta en su
 
plano vertical con anqulos de elevaci6n 30° y 45°, respectivamente.
 
29.	 Calcular las razones trigonometricas de IX = 25° conocidas las de suCalcular la altura del avi6n, si ta distancia entre los barcos es de 200 
complementario A = 65°metros. 
30. Calcular las razones trigonometricas del angulo de -550 
31.	 Calcular las razones trigonometricas del anquto de 160° por angulos 
suplementarios.
h 
32.	 Calcular las razones trigonometricas del angulo de 130° por anqulos que 
difieran 90° . 
33.	 Calcular las razones trigonometricas del angulo 250° por angulos que A d ifieran 180" 
·93 92 
F r. 
34. Calcular las razones triqonometricas del angulo de 325 0 por angulos que 
difieran 27CY 
35. Calcular las razones triqonometricas para el anqulo 1952 0 
36. SimpJificar todo 10 posible la siguiente expresi6n 
ctg (90 + A) . tg (90 + A) 
sen (90 + A) . cos A - cos (90 + A) . sen A 
37.	 Simplificar todo 10 posible la siguiente expresi6n 
cos (180 + A) . tg (180 + A) + tg A 
tg A· sec (180 + A) - tg (180 + A) 
38.	 Simplificar la siguiente expresi6n 
cos (270 + A) . sen A - sen (270 + A) . cos A 
tg (270 + A) . (-tg A) 
39.	 Calcular las razones triqonometricas para ex = 1617 0 
40.	 Calcular las razones triqonornetricas para ex = 6103 0 
41.	 Reducir las razones trlqonometricas siguientes, a otras equivalentes, de 
anqulos menores de 45 0 
1. cos 135 0	 _ 
2. -sec 135 0	 _ 
3. -ctg 155 0	 _ 
42.	 Reducir las razones triqoncmetricas siguientes, a otras equivalentes, de 
anqutos menores de 45 0 
1. tg 170 0	 _ 
2. sen 110 0	 _ 
3. ctg 225 0	 _ 
43.	 Reducir las razones triqonornetricas siguientes, aotras equivalentes, de 
anqulos menores de 45 0 
1. esc 250 0 
2. cos 210 0 
3. sec 330 0 
4. sen 200 0 
5. -tg 260 0 
94 
H;~"t,,«:' >" 
44. 
45 . 
46. 
47. 
48. 
49. 
50. 
51. 
52. 
53. 
54. 
55. 
56. 
-T"' < 
Dado sec A = -,j5 Y etg B = 2; A en el II Cuadrante y B en el tercero.
 
Calcular sen (A + B).
 
Dado sen A =~ Y tg B =~; siendo A y B anqulos agudos.17 12
 
Calcular tg (A + B).
 
Calcular el valor de la siguiente expresi6n.
 
sen (60 0 + A) + sen (60 0 - A)
 
Comprobar que sen (60 0 + A) - sen (60 0 - A) = sen A. 
Comp ruebese que cos (60 0 + C) = cos C - fl sen C 
2 
3 7
Dado tg A = - Y tg B =­
4 24 
Hallar: sen (A + B)'y cos (A + B). 
7 .
Dado cos a = 25' calculese sen 2a, cos 2a, tg 2a. 
(EI anqulo A es del primer cuadrante.) 
3Expresar cos 3a en funci6n de cos a y dar su valor sabiendo que cos a ="5' 
3. a a a 
Dado sen 2a ='8' calculese sen 2' cos "2 y tg 2' 
(2a es del primer cuadrante.) 
Dada tg u =~; calculesa tg ~. 
Resolver para e la siguiente ecuaci6n: 
sen 2 e - sen e = 0 
Resolver para e la siguiente ecuaci6n: 
ctg 2e + csc s = 1 
Resolver la siguiente ecuaci6n parae: 
4 cos e sen e + 2 sen e - 2 cos e - 1 = 0 
"..! " 
57.	 Resolverpara B:
 
cos 2 9 - sen 2 9 + cos e + 1 = 0
 
58.	 Resolver la ecuaci6n:
 
3 tg a - ctg a = 0
 
59.	 Resolver la ecuaci6n:
 
3 tg a = 4 sen a
 
60.	 Resolver la ecuaci6n:
 
4 sen 2 a - 8 sen a + 3 = 0
 
61. Resolver el trianqulo	 obllcuanqulo ABC en que se dan los siguientes 
datos:
 
b = 25,36 A = 54 ° C = 27 °
 
Calcular:
 
Bo, a, c, s
 
62.	 Resolver el trlanqulo ABC dados:
 
a = 31 m b = 42 m c = 53 m
 
BA 
Ca/cular: <) A, <) B, <) C, s. 
Aplicar: Teorema de los cosenos. 
63. Resolver el trlanqulo obllcuanqulo siguiente: 
a = 485 rn, b = 346 m, <) C = 52°
 
Caleular: c, <) A, <) B, Superficie.
 
Apliear: Teorema de las tangentes.
 
."~& ';:,',-..L.".:'. 
c 
BIBLIOGRAFIA 
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1970, 520 pp. 
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Editorial Montaner y Sim6n, S. A., 1967,423 pp. 
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Editorial Heverte, 1972, 743 pp. 
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E.	 NAVARRO: Trigonometria. 1.a edici6n. Venezuela, Editorial Navarro, 1974, 
408 pp. 
Texto recomendado: 
CURSO BASICO DE MATEMATICAS. Editorial Schroedel, Madrid, 
1979, Editecnica Suramericana, C. A. 
97 96