Matematicas_IV_Algebra_lineal_-_Ron_Lars - Saúl Plutarco

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Matemáticas IV
ÁLGEBRA LINEAL
Matemáticas IV
ÁLGEBRA LINEAL
LARSO
N
Matem
áticas IV • ÁLGEGRA LINEAL
RON LARSON
Matemáticas IV. Álgebra lineal, ha sido adaptado por el maestro Joel Ibarra para el 
uso del texto según las necesidades y requisitos de los planes de estudio de las sedes 
del Tecnológico Nacional de México a partir de las páginas del reconocido volumen 
Fundamentos de álgebra lineal de Ron Larson.
En Matemáticas IV. Álgebra lineal el estudiante hallará abundantes ejemplos, 
explicaciones, recuadros, tablas, defi niciones y ejemplos para hacer más fácil el 
estudio analítico, cualitativo y cuantitativo del álgebra lineal. Además de ello, la 
Unidad 1 correspondiente a números complejos es completamente nueva. En suma, 
estas páginas equilibran la teoría con ejemplos, aplicaciones y prácticas para lograr 
un sistema de aprendizaje completo.
ISBN-13: 978-607-526-554-4
ISBN-10: 607-526-554-6
9 7 8 6 0 7 5 2 6 5 5 4 4
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Álgebra lineal.
Matemáticas 4
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Álgebra lineal
Ron Larson
The Pennsylvania State University
The Behrend College
Joel Ibarra Escutia
Instituto Tecnológico de Toluca
Matemáticas 4
Traducción
Oliver Davidson Véjar
Traductor profesional
Revisiones técnicas de esta edición
MSc. Harold Vacca González
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Bogotá (Colombia)
Mtro. Francisco Javier Avilés Urbiola
Instituto Tecnológico de Querétaro
Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur
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Impreso en México
1 2 3 4 5 6 7 17 16 15 14 
Álgebra lineal. Matemáticas 4
Ron Larson y Joel Ibarra
Gerente Editorial de Contenidos
en Español: 
Jesús Mares Chacón
Editora de Adquisiciones
para Latinoamérica:
 
Claudia C. Garay Castro
Gerente de Manufactura
para Latinoamérica:
 
Antonio Mateos Martínez
Gerente de Desarrollo Editorial
en Español:
 
Pilar Hernández Santamarina
Gerente de Proyectos Especiales:
Luciana Rabuffetti
Coordinador de Manufactura:
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Editor: 
Omegar Martínez
Diseño de portada: 
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Imagen de portada: 
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Composición tipográfica:
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© D.R. 2018 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.,
una compañía de Cengage Learning, Inc.
Carretera México-Toluca
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Col. El Yaqui. Del. Cuajimalpa.
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DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de 
este trabajo amparado por la Ley Federal del
Derecho de Autor, podrá ser reproducida, 
transmitida, almacenada o utilizada en 
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gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, 
pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, 
reproducción, escaneo, digitalización, 
grabación en audio, distribución en Internet, 
distribución en redes de información o 
almacenamiento y recopilación en sistemas
de información a excepción de lo permitido
en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal 
del Derecho de Autor, sin el consentimiento 
por escrito de la Editorial. Reg 103
Traducido del libro: Elementary linear algebra
Seventh Edition
Publicado en inglés por Cengage Learning 
© 2013 ISBN: 978-1-133-11087-3
Datos para catalogación bibliográfica:
Larson, Ron y Joel Ibarra
Álgebra lineal. Matemáticas 4
ISBN: 978-607-526-554-4
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 Prefacio vi
Números complejos 1
1.1 Números complejos 2
Sistemas de ecuaciones lineales 21
2.1 Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales 22
2.2 Eliminación gaussiana y eliminación de Gauss-Jordan 33
Matrices y determinantes 45
3.1 Operaciones con matrices 47
3.2 Propiedades de las operaciones con matrices 59
3.3 Inversa de una matriz 69
3.4 Matrices elementales 81
3.5 Determinante de una matriz 91
3.6 Determinantes y operaciones elementales 99
3.7 Propiedades de los determinantes 107
3.8 Adjunta de una matriz y regla de Cramer 115
Espacios vectoriales 125
4.1 Espacios vectoriales 127
4.2 Subespacios de espacios vectoriales 135
4.3 Conjuntos generadores e independencia lineal 142
4.4 Base y dimensión 153
4.5 Rango de una matriz y sistemas de ecuaciones lineales 162
4.6 Coordenadas y cambio de base 175
4.7 Espacios con producto interno 185
4.8 Bases ortonormales: el proceso de Gram-Schmidt 196
Transformaciones lineales 207
5.1 Introducción a las transformaciones lineales 208
5.2 El kernel y el rango de una transformación lineal 219
5.3 Matrices de transformaciones lineales 230
5.4 Matrices de transición y semejanza 240
Contenido
1 
2 
3 
4 
5 
v
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vi Contenido
Eigenvalores, eigenvectores
y formas cuadráticas 247
6.1 Eigenvalores y eigenvectores 248
6.2 Diagonalización 259
6.3 Matrices simétricas y diagonalización ortogonal 268
6.4 Formas cuadráticas 278
 Proyectos 283
 Examen acumulativo 294
 Respuestas a los ejercicios impares seleccionados 301
6 
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Prefacio
Álgebra lineal. Matemáticas 4 es una adaptación del muy reconocido Fundamentos 
de álgebra lineal de Ron Larson. La adaptación fue hecha por el maestro Joel Ibarra del 
Instituto Tecnológico de Toluca para el uso del texto según las necesidades y requisitos de 
los planes de estudio de las sedes del Tecnológico Nacional de México. Este libro incluye 
una completamente nueva unidad 1 con ejemplos, ejercicios y sección de proyectos. Adi-
cionalmente, en esta entrega se han mejorado por completo varios capítulos del libro y se 
han agregado y actualizado ejercicios, ejemplos, casos y definiciones en todas sus seccio-
nes. A la vez que ha sido completamente replanteado, el volumen conserva, amplía y da 
énfasis a los ejercicios y al sistema que ha dado tanto reconocimiento a los libros de su 
autor original, haciéndolo más enfocado sin perder valor.
Este libro cuenta, además de con tres capítulos adicionales en CengageBrain, con una 
serie de recursos para el profesor, los cuales están disponibles únicamente en inglés y sólo 
se proporcionan a los docentes que lo adopten como texto en sus cursos. Para mayor infor-
mación, póngase en contacto con el área de servicio al cliente en las siguientes direcciones 
de correo electrónico:
• Cengage Learning México y Centroamérica clientes.mexicoca@cengage.com
• Cengage Learning Caribe clientes.caribe@cengage.com
• Cengage Learning Cono Sur clientes.conosur@cengage.com
• Cengage Learning Pacto Andino clientes.pactoandino@cengage.com
Al igual que los recursos impresos adicionales, las direcciones de los sitios web señaladas 
a lo largo del texto, y que se incluyen a modo de referencia, no son administradas por 
Cengage Learning Latinoamerica, por lo que ésta no es responsable de los cambios y 
actualizaciones de las mismas.
vii
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 1 Números complejos
1
Física nuclear
Astrofísca
Telecomunicaciones
Dinámica de fluidos
Electrónica
 1.1 Números complejos
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2 Unidad 1 Números complejos
Iniciemos esta sección considerando la ecuación general cuadrática con coeficientes reales
ax2 ! bx ! c " 0
El teorema fundamental del álgebra nos garantiza que por ser una ecuación de grado dos, 
tendrá exactamente dos raíces. Se sabe, porcompletación de cuadrados, que dichas dos 
raíces son
x
b b2 4ac
2a
Expresión conocida como la fórmula general de la ecuación cuadrática. La expresión I " 
b2 # 4ac se conoce como el discriminante de la ecuación y se sabe que si I $ 0 existen 
dos raíces reales diferentes; si I " 0 existen dos raíces reales repetidas.
Una manera de abordar el estudio de los números complejos es considerar las raíces 
de la ecuación para el caso restante I % 0.
Consideremos la ecuación cuadrática x2 ! 1 " 0. Algebraicamente se puede verificar 
que la solución debe satisfacer x2 " #1 o de manera equivalente x2 " &!—#1. Esto nos 
permite introducir la definición de la unidad imaginaria i.
Definición 1.1 La unidad imaginaria i
Se define la unidad imaginaria i como el número imaginario que satisface i2 " #1 
o bien i "!—#1.
Esta definición nos permite resolver el caso I % 0 de la ecuación cuadrática, porque bajo 
esta condición se tienen las dos raíces
x
b b2 4ac
2a
 agrupar
x
b 1 b2 4ac
2a
 Separar radicando
x
b b2 4ac i
2a
 utilizar i2 " #1
 EJEMPLO 1 Raíces complejas de una ecuación cuadrática
Para la ecuación x 8x 25 0, se tienen los valores a 5 1, b 5 28 y c 5 25.
Al aplicar la fórmula general tenemos
x
( 8) ( 8)2 4(1)(25)
2(1)
 sustituir
x
8 36
2
 simplificar
x
8 6i
2
 utilizar i2 " #1
De donde x1 4 3i y x2 4 3i. 
1.1 Números complejos
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 1.1 Números complejos 3
Al considerar la unidad imaginaria, es posible definir el conjunto de los números 
complejos. Al respecto la siguiente definición.
Definición 1.2 Los números complejos
Se define el conjunto de los números complejos como
a bi | a,b , i2 1
Los números complejos también se conocen como números imaginarios.
La expresión a ! bi recibe el nombre de forma rectangular o binomial de un 
número complejo. Si z " a ! bi es un número complejo se define su parte real 
como Re(z) " a y su parte imaginaria como Im(z) " b. De esta manera z " Re(z) 
! i Im(z). Para el caso particular en que a " 0 el complejo resultante z " bi se 
conoce como un complejo puro.
 EJEMPLO 2 Partes real e imaginaria de un número complejo
Dado el número complejo 3 # 20i se verifica que su parte real es Re(3 # 20i) " 3 y su 
parte imaginaria Im(3 # 20i) " #20. 
Se puede observar que si b " 0 entonces z " a ! 0i " a es un número real, de manera 
que el conjunto de los números reales es un subconjunto de los números complejos.
IGUALDAD DE DOS NÚMEROS COMPLEJOS
Se considera que dos complejos son iguales si sus correspondientes partes reales son igua-
les y sus correspondientes partes imaginarias son iguales, es decir
a1 i b1 a2 i b2 si y solo si a1 " a2 y b1 " b2
OPERACIONES EN LOS COMPLEJOS
Los números complejos se pueden operar de manera sencilla si se consideran como bino-
mios y se utilizan las operaciones algebraicas normales. Se tienen los siguientes casos:
 i) Si z " a ! ib y w " c ! id son dos números complejos la suma se define como
z w a ib c id
a c i b d
 ii) Si k ! ! y z " a ! bi se define el producto de un escalar real por un complejo como
k z k a ib ka ikb
 iii) Si z " a ! ib y w " c ! id, se define el producto de dos números complejos como
z w a ib c id
ac i ad i bc i2 bd
ac bd ad bc i
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4 Unidad 1 Números complejos
 iv) Al considerar la potencia de un número complejo como un producto sucesivo de la 
base, se tiene que si n es un entero positivo, la potencia n-ésima de un complejo se 
puede expresar como
zn z z z
n -factores
En la siguiente definición se enuncian las operaciones básicas con los números com-
plejos.
Definición 1.3 Operaciones con los números complejos
Dados los complejos z " a ! ib y w " c ! id, y k ! ! de definen las siguientes 
operaciones
 i) z w a ib c id a c i b d Suma de complejos
 ii) k z k a ib ka ikb Producto escalar por complejo
 iii) z w a ib c id ac bd ad bc i Producto de complejos
 iv) zn z z z
n -factores
 Potencia de un complejo
 EJEMPLO 3 Operaciones con números complejos
Si z " 1 # 3i y w " #4 ! 5i calcular las operaciones (i) z ! w, (ii) z # w, (iii) 5z # 3w, 
(iv) z2, (v) z5
SOLUCIÓN
 i) z w 1 3i 4 5i 3 2i
 ii) z w 1 3i 4 5i 5 8i
 iii) 5z 3w 5 1 3i 3 4 5i 17 30 i
 iv) z w 1 3i 4 5i 11 17i
 v) z2 1 3i 1 3i 8 6i
 vi) z3 1 3i
2 1 3i 26 18i
 vii) z4 1 3i 2 1 3i 2 28 96i
 viii) z5 1 3i 2 1 3i 2 1 3i 8 6i 8 6i 1 3i 316 12i. 
EL ESPACIO VECTORIAL DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Si bien el concepto de espacio vectorial se estudia a detalle en la unidad 4, ya estamos en 
condiciones de conocer las propiedades que satisfacen los números complejos con las 
operaciones de suma de complejos y producto de un escalar por un complejo y que hacen 
del conjunto " un espacio vectorial real. Se deja al lector como un ejercicio de suma 
importancia verificar cada una de estas propiedades.
Si z1, z2, z3 ! " son tres números complejos y a, b ! ! escalares reales, se satisfacen 
las siguientes propiedades
 i) (Cerradura de la suma) z1 1 z2 ! "
 ii) (Conmutatividad de la suma) z1 1 z2 5 z2 1 z1
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 1.1 Números complejos 5
 iii) (Asociatividad de la suma) (z1 1 z2) 1 z3 5 z1 1 (z2 1 z3)
 iv) (Neutro aditivo) Existe 0 ! " tal que z1 1 0 5 z1 para cada z1 ! "
 v) (Inverso aditivo) Para cada z1 ! " existe 2z1 ! " tal que z1 1 (2z1) 5 0
 vi) (Cerradura de producto por escalar) a z1 ! "
 vii) (Asociatividad de los escalares) (ab)z1 5 a(bz1)
 viii) (Primera ley distributiva) a(z1 1 z2) 5 az1 1 az2
 ix) (Segunda ley distributiva) (a 1 b)z1 5 az1 1 bz1
 x) (identidad multiplicativa) Si 1 ! ! entonces 1 ' z1 5 z1 para cada z1 ! "
Es importante notar que para las propiedades antes listadas y que hacen de " un espacio 
vectorial, solo se consideran la suma de complejos y la multiplicación de un escalar real 
por un complejo. Si observamos con detenimiento, las propiedades anteriores son las mis-
mas que cumplen los números reales.
Un número complejo z " a ! bi se puede representar gráficamente en el plano carte-
ciano asociándolo al punto de coordenadas (Re(z), Im(z)) 5 (a, b). En ocasiones al eje x 
se le conoce como eje real y al eje y como eje imaginario. En la figura 1.1 se representa al 
complejo z " a ! bi si se considera a, b $ 0
z " a ! bi
x " Re(z)
y " Im(z)
a
b
Figura 1.1 Representación gráfica del complejo z " a ! bi.
CONJUGADO DE UN NÚMERO COMPLEJO
En la siguiente definición se presenta el concepto de conjugado de un número complejo.
Definición 1.4 Conjugado de un número complejo
Dado el complejo z " a ! bi, se define su conjugado como z– " a # bi.
El conjugado de un número complejo es el “reflejo” respecto del eje x. En la figura 
1.2 se puede observar esta propiedad.
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6 Unidad 1 Números complejos
y " Im(z)
b
a x " Re(z)
z " a ! bi
z– " a # bi
Figura 1.2 Conjugado de un complejo.
A continuación se enuncian algunas propiedades de los números complejos conjuga-
dos.
Propiedades de los complejos conjugados
 i) z w z w
 ii) zw z w
 iii) k w k w, k ! !
 iv) 
z
w
=
z
w
 v) zn = z( )n
 vi) z z
Se deja como un ejercicio al lector, la justificación de todas estas propiedades.
 EJEMPLO 4 Conjugado de un complejo
Los siguientes son ejemplos del conjugado de un número complejo
 i) 3 2i 3 2i
 ii) 1 8i 1 8i
 iii) 4 7i 4 7i
 iv) 3 4 2i 3 4 2i 12 6i
 v) 3 6i 3 6i 3 6i
 vi) 6 6
 vii) 4 i 4 i
 viii) 
3 2i
4+5i
= 3+2i
4 5i
= 2
41
+ 23
41
i
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 1.1 Números complejos 7
 ix) 2 3i 1 4i 2 3i 1 4i 14 5i
 viii) 4 7i
3
4 7i
3
4 7i
3
524 7i. 
Definición 1.5 Magnitud y argumento de un complejo
Sea z " a ! bi un complejo. Se define su magnitud como r z a2 b2 , y su 
argumento como el ángulo entre la parte positivadel eje real y el radiovector defi-
nido por el punto (a, b) y se denota como = arg z= tan 1 b
a
, con 0 2 .
Se puede verificar que geométricamente, la magnitud de un complejo es la distancia 
del origen al punto que representa al número en el plano. En la figura 1.3 se puede obser-
var la magnitud r y el argumento u del complejo z " a ! bi.
b
a
r
z " a ! bi
u
Figura 1.3 Magnitud de un número complejo
En la figura 1.4 se puede observar la relación que existe entre la magnitud y el argu-
mento de un complejo y su conjugado. Se cumple que
z z y arg z arg z
z " a ! bi
z " a # bi
a
b
r
r
u
#u
Figura 1.4 Magnitud y argumento de z y z–.
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8 Unidad 1 Números complejos
Si z " a ! ib se verifica que z z a ib a ib a2 b2, de manera que por defini-
ción de magnitud de un complejo se tiene
z z z 2
Si utilizamos esta propiedad, la división de los complejos z y w, con w ( 0, se escribe 
como
z
w
z
w
w
w
z w
w 2
Como una consecuencia, se puede calcular el recíproco de un complejo no cero al 
escribir
1
z
1
z
z
z
z
z 2
a
z 2
b
z 2
i
 EJEMPLO 5 Recíproco de un complejo y división de dos complejos
Calcular a) 
1
5 4i y b) 
4 7i
3 2i
SOLUCIÓN
 a) 
1
5 4i
1
5 4i
5 4i
5 4i
5 4i
25 16i2
5
41
4
41
i
 b) 
4 7i
3 2i
4 7i
3 2i
3 2i
3 2i
4 7i 3 2i
9 4i2
2
13
29
13
i. 
FORMA POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO
Se pueden utilizar la magnitud !z ! y el argumento u de un número complejo para expresarlo 
en formas más convenientes para ciertas operaciones. De la figura 1.5 se puede deducir 
que si z " a ! bi entonces a " r cos u y b " r sen u. Se tiene la siguiente definición al 
respecto.
z " a ! bi
u
r
b
aa " r cos u
b " r sen u
Figura 1.5 Forma polar de un complejo.
Definición 1.6 Forma polar de un complejo
Dado el complejo z " a ! bi, al considerar que a " r cos u y b " r sen u, se define 
su forma polar como
z r cos isen
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 1.1 Números complejos 9
 EJEMPLO 6 Forma polar de un complejo
Expresar al complejo z " #1 ! !—3i en forma polar
SOLUCIÓN
Si z " #1 ! !—3i entonces r " 2 y tan 1
3
1
2
3
, luego
z= 2 cos 2
3
+ isen 2
3
. 
EJEMPLO 7 Forma rectangular de un complejo en forma polar
Expresar el complejo z= 2 cos
2
3
+ isen 2
3
 en forma binomial
SOLUCIÓN
Para expresar un complejo dado en forma polar en su forma binomial simplemente distri-
buimos, de manera que
z= 2 cos 2
3
+ isen 2
3
= 2cos 3
4
+ 2sen 3
4
i
= 2 1
2
+2 3
2
i
= 1+ 3 i 
Cuando un número complejo está expresado en forma polar, las operaciones de pro-
ducto, división, recíproco y potencia se pueden reescribir. Para esto basta considerar que 
si z r cos isen , z1 r1 cos 1 isen 1 y z2 r2 cos 2 isen 2 entonces
 i) 
= r1 r2 cos 1 cos 2 sen 1sen 2 + i sen 1 cos 2+cos 1sen 2( )
z1z2 = r1 cos 1+ isen 1( )r2 cos 2+ isen 2( )
= r1 r2 cos 1+ 2( )+ isen 1+ 2( )
( )
 ii) 
z1
z2
=
r1 cos 1+ isen 1( )
r2 cos 2+ isen 2( )
r2 cos 2 isen 2( )
r2 cos 2 isen 2( )
= r1
r2
cos 1+ isen 1( ) cos 2 isen 2( )
cos2 2 i
2 sen2 2
= r1
r2
cos 1+ isen 1( ) cos 2 isen 2( )
cos2 2+sen
2
2
= r1
r2
cos 1+ isen 1( ) cos 2 isen 2( )
= r1
r2
cos 1 cos 2+ sen 1sen 2 + i sen 1 cos 2 isen 2 cos 1( )
= r1
r2
cos 1 2( )+ isen 1 2( )
( )
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10 Unidad 1 Números complejos
 iii) 
1
z
= 1
r cos + isen( )
cos isen( )
cos isen( )
=
cos isen
r cos2 i2 sen2( )
= 1
r
cos isen
cos2 +sen2( )
= 1
r
cos isen( )
 iv) z2 = z z= r 2 cos + isen( ) cos + isen( )= r 2 cos2 + isen2( )
z3 = z2 z= r3 cos2 + isen2( ) cos + isen( )= r3 cos3 + isen3( )
z4 = z2 z2 = r 4 cos2 + isen2( ) cos2 + isen2( )= r 4 cos4 + isen4( )
En este último inciso, se puede observar el comportamiento de la potencia de un com-
plejo en forma polar. Más adelante, estudiaremos con mayor precisión y formalidad este 
resultado (Teorema de De Moivre).
EJEMPLO 8 Operaciones de complejos en forma polar
Dados los complejos z= 5 cos
3
4
+ isen 3
4
 y w= 2 cos
3
+ isen
3
calcular (a) zw, (b) 
z
w y (c) 
1
z .
SOLUCIÓN
De la observación anterior tenemos
 a) z w= 5 2( ) cos 3
4
+ isen 3
4
cos
3
+ isen
3
 Multiplicar polares
=10 cos 3
4
+
3
+ isen 3
4
+
3
 Simplificar
=10 cos 13
12
+ isen 13
12
 Sumar argumentos
 b) Para el cociente 
z
w tenemos
z
w
=
5 cos
3
4
+ isen 3
4
2 cos
3
+ isen
3
 Dividir formas polares
= 5
2
cos
3
4 3
+ isen 3
4 3
 Cociente polar
= 5
2
cos
5
12
+ isen 5
12
 Simplificar
01LarsonTEC(001-020).indd 1001LarsonTEC(001-020).indd 10 16/03/17 21:0916/03/17 21:09
 1.1 Números complejos 11
 c) Finalmente
1
z
= 1
5 cos
3
4
+ isen 3
4
 Cociente
= 1
5
cos
3
4
isen
3
4
 Simplificar 
FORMA EXPONENCIAL DE UN NÚMERO COMPLEJO
El siguiente teorema nos proporciona una forma alterna para expresar un número com-
plejo, que es en si, la misma forma polar solo que expresada en términos de la función 
exponencial. Más adelante observaremos que la forma exponencial de un número com-
plejo facilita aún más las operaciones de producto, cociente y potencia.
TEOREMA 1.1 Identidad de Euler
Si u es un número real entonces e i = cos + isen .
DEMOSTRACIÓN
La demostración utiliza las series de Maclaurin de las funciones exponecial, seno y 
coseno. A saber
ex =1+ x+ 1
2!
x2+ 1
3!
x3+
sen x= x 1
3!
x3+ 1
5!
x5
1
7!
x7
cos x=1 1
2!
x2+ 1
4!
x4
1
6!
x6+
Las cuales son convergentes para todo número complejo x. Si consideramos x " iu se 
tiene
ei =1+ i( )+ 1
2!
i( )2+ 1
3!
i( )3+ 1
5!
i( )5+ 1
7!
i( )7
A partir de la definición i2 " #1, se puede deducir que i3 " #i, i4 " 1, i5 " i, 
i6 " #1 y así sucesivamente. De esta manera
ei =1+ i + 1
2!
i2 2+ 1
3!
i3 3+ 1
4!
i4 4+ 1
5!
i5 5
=1+ i 1
2!
2 1
3!
i 3+ 1
4!
4+ 1
5!
i 5
= 1 1
2!
2+ 1
4!
4 1
6!
6+ + i 1
3!
3+ 1
5!
5 1
7!
7
= cos + isen
La demostración queda realizada 
Es importante aclarar que la identidad de Euler basa su demostración en el Teorema 
de Maclaurin, pues se utilizan los desarrollos en serie de las funciones involucradas. Por 
esta razón, el argumento de las funciones se debe tomar en el dominio respectivo es decir 
en radianes.
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12 Unidad 1 Números complejos
Al considerar la paridad del coseno cos( )= cos y la imparidad del seno 
sen( )= sen , la identidad de Euler demostrada anteriormente produce
e i = cos isen
De esta manera, si z " a ! bi es un complejo con magnitud r= a2+b2 y argumento
= tan 1 b
a
 entonces
z " a ! bi forma rectangular o binomial
z= r cos + isen( ) forma polar
z= rei forma exponencial
Que se conoce como la forma exponencial de un complejo.
Al considerar de nueva cuenta la paridad del coseno y la imparidad del seno, la iden-
tidad de Euler demostrada anteriormente produce
e i = cos isen
EJEMPLO 9 Forma exponencial de un complejo
Expresar los siguientes complejos en forma exponencial i) 1 ! !—3i, ii) #1 ! !—3i, 
iii) #1 # !—3i, iv) 1 # !—3i, v) 1, vi) #1, vii) i, viii) #i.
SOLUCIÓN
 i) Como r " 2 y = tan 1
3
1
=
3
, y 1 ! !—3i está en el primer cuadrante, entonces 
1+ 3 i= 2e 3
i
.
 ii) Como r " 2 y = atan 3
1
= 2
3
+ , y #1 ! !—3i está en el segundo cuadrante, 
entonces = 2
3
. De esta manera 1+ 3 i= 2e
2
3
i
.
 iii) Como r " 2 y = atan
3
1
= 4
3
+ , y #1 # !—3i está en el tercer cuadrante, 
entonces =
4
3
. De esta manera 1 3 i= 2e
4
3
i
.
 iv) Como r " 2 y = atan
3
1
= =
5
3
2 , y 1 # !—3i está en el cuarto cuadrante, 
entonces1 3 i= 2e
5
3
i
.
 v) Como r " 1 y u " 0 entonces 1=1e0i =1 cos0+ isen0( )=1
 vi) Como r " 1 y u " p entonces 1=1e i =1 cos + isen( )= 1
 vii) Como r " 1 y =
2
 entonces i=1e 2
i
=1 cos
2
+ isen
2
= i
 viii) Como r " 1 y =
3
2
 entonces i=1e
3
2
i
=1 cos 3
2
+ isen 3
2
= i. 
01LarsonTEC(001-020).indd 1201LarsonTEC(001-020).indd 12 16/03/1721:0916/03/17 21:09
 1.1 Números complejos 13
EJEMPLO 10 De la forma exponencial a la forma rectangular
Transformar los siguientes complejos a su forma cartesiana i) 2e 6
i
, ii) 2e
5
6
i
, iii) 2e
7
6
i
,
iv) 2e
11
6
i
SOLUCIÓN
 i) 2e 6
i
= 2 cos
6
+ isen
6
= 3+ i
 ii) 2e
5
6
i
= 2 cos 5
6
+ isen 5
6
= 3+ i
 iii) 2e
7
6
i
= 2 cos 7
6
+ isen 7
6
= 3 i
 iv) 2e
11
6
i
= 2 cos11
6
+ isen11
6
= 3 i. 
Dado el complejo en forma polar z= r cos + isen( ) se verifica que 
z = r cos − isen( ), esto produce la forma polar de un complejo conjugado
z = r cos isen( ) forma polar de un conjugado
O en su forma exponencial
z = re i forma exponencial de un conjugado
De la misma forma, si z= rei = r cos + isen( ), entonces la potencia de un com-
plejo se puede expresar como
 i) z2 = r cos + isen( )( )2 = rei( )2 = r 2e2 i = r 2 cos2 + isen2( )
 ii) z3 = r cos + isen( )( )3 = rei( )3 = r3e3 i = r3 cos3 + isen3( )
 iii) Si n es un entero positivo
 zn = rei( )n = rnen i = rn cosn + isenn( )
En el siguiente teorema, se expresa la potencia n-ésima de un complejo para cualquier 
entero positivo n.
TEOREMA 1.2 (De Moivre)
Si n es un entero positivo y z= r cos + isen( ), entonces
zn = rn cosn + isenn( )
En el caso en particular en que r " 1, la expresión anterior se conoce como la fórmula 
de De Moivre, en honor al matemático francés Abraham de Moivre.
cos + isen( )n = cosn + isenn Fórmula de De Moivre
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14 Unidad 1 Números complejos
EJEMPLO 11 Potencia de un complejo
Calcule 1+ 3 i( )6
SOLUCIÓN
Del ejemplo 9 se sabe que 1+ 3 i= 2e 3
i
, entonces
1+ 3 i( )6 = 2e 3 i
6
= 26e
6
3
i
= 64e2 i
= 64 cos2 + isen2( )= 64. 
La forma exponencial de un complejo nos permite realizar productos, cocientes 
y potencias de complejos utilizando simplemente las leyes de los exponentes. Si z= rei y
w= Rei entonces
 i) z w= rei( ) Rei( )= rRei +( )
 ii) 
z
w
= re
i
Rei
= r
R
ei( )
 iii) 
1
z
= 1
rei
= 1
r
e i
 iv) zn = rei( )n = rnei n
EJEMPLO 12 Operaciones con complejos en forma exponencial
Si z= 4e
2
3
i
 y w= 2e
3
5
i
, calcular (a) zw, (b) 
z
w
, (c) 
1
z
, (d) z8
SOLUCIÓN
 a) z w= 4e
2
3
i
2e
3
5
i
= 8e
2
3
+3
5
i
= 8e
19
15
i
 b) 
z
w
= 4e
2
3
i
2e
3
5
i
= 2e
2
3
3
5
i
= 2e15
i
 c) 
1
z
= 1
4e
2
3
i
= 1
4
e
2
3
i
= 1
4
e
4
3
i
 d) z8 = 4e
2
3
i
8
= 48e
i
16
3 = 48e
i
4
3 . 
Como una consecuencia del teorema de De Moivre, podemos desarrollar un procedi-
miento para determinar las raíces n-ésimas de un número complejo. Esto se establece en 
el siguiente teorema.
01LarsonTEC(001-020).indd 1401LarsonTEC(001-020).indd 14 16/03/17 21:0916/03/17 21:09
 1.1 Números complejos 15
TEOREMA 1.3 Raíces n-ésimas de un complejo
Si z= rei es un número complejo distinto de cero y n es un entero positivo, entonces 
la ecuación wn # z " 0 tiene n raíces distintas dadas por
wk = r
1/ne
i
+2k
n , k = 0, 1, ..., n 1
DEMOSTRACIÓN
Por el teorema fundamental del álgebra, la ecuación de grado n dada por wn # z " 0, tiene 
exactamente n raíces para z= rei .
Consideremos la ecuación wn " z y supongamos que w= Rei .
Al sustituir tenemos
Rei( )n = rei
desarrollamos
Rnei n = rei
Al ser iguales los anteriores números complejos, concluimos que las correspondientes 
normas son iguales entonces Rn " r y los argumentos difieren por un múltiplo par de p, 
es decir, n= +2k . De esta manera, tenemos
R= r1/n y =
+2k
n
Entonces w= Rei = r1/ne
i
+2k
n , y se cumple
Para k " 0, w0 = r
1/ne
i
+2(0)
n = r1/ne
i
n
Para k " 1, w1= r
1/ne
i
+2(1)
n = r1/ne
i
+2
n
Para k " 2, w2 = r
1/ne
i
+2(2)
n = r1/ne
i
+4
n
Y así sucesivamente hasta completar las n raíces que el teorema fundamental del álgebra 
predice, lo cual ocurre cuando k " n # 1. Luego wn 1= r
1/ne
i
+2(n 1)
n .
Se observa que si k " n, wn = r
1/ne
i
+2n
n = r1/ne
i
n
+2
, luego
wn = r
1/ne
i
n
+2
= r1/ne
i
n ei(2 ) Leyes de exponentes
wn = r
1/ne
i
n cos2 + isen2( ) Identidad de euler
wn = r
1/ne
i
n 1( )= w0
De manera que los valores posibles para k son 0, 1, ..., n # 1.
Se concluye que wk = r
1/ne
i
+2k
n , k = 0,1,...,n 1.
01LarsonTEC(001-020).indd 1501LarsonTEC(001-020).indd 15 16/03/17 21:0916/03/17 21:09
16 Unidad 1 Números complejos
EJEMPLO 13 Raíces n-ésimas
Calcular las raíces novenas de la unidad
SOLUCIÓN
Las raíces novenas de la unidad son las raíces de la ecuación w9 " 1.
Al identificar n " 9, z " 1, r " 1 y u " 0, por el teorema anterior tenemos
wk =1
1/9e
i
0+2k
9 , k " 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
Es decir, las nueve raíces de la unidad son
w0 =1
1/9e
i
0+2(0)
9 =1
w1=1
1/9e
0+2(1)
9
i
= e
2
9
i
w2 =1
1/9e
0+2(2)
9
i
= e
4
9
i
w3 =1
1/9e
0+2(3)
9
i
= e
2
3
i
w3 =1
1/9e
0+2(3)
9
i
= e
2
3
i
w4 =1
1/9e
0+2(4)
9
i
= e
8
9
i
w5 =1
1/9e
0+2(5)
9
i
= e
10
9
i
w6 =1
1/9e
0+2(6)
9
i
= e
4
3
i
w7 =1
1/9e
0+2(7)
9
i
= e
14
9
i
w8 =1
1/9e
0+2(8)
9
i
= e
16
9
i
. 
Un tema fundamental en el estudio de los números complejos es el estudio del cálculo 
diferencial e integral. Sin profundizar, en el siguiente ejemplo se muestran las ventajas de 
hacerlo con la forma exponencial de un complejo.
EJEMPLO 14 Integración y derivación compleja
Calcular (a) Dx e
a+bi( )x( ) y (b) e a+bi( )x dx
SOLUCIÓN
Aplicamos las reglas de derivación normales
 a) Dx e
a+bi( )x( )= e a+bi( )x Dx a+bi( )x( )= a+bi( )e a+bi( )x
 b) e a+bi( )x dx= 1
a+bi
e a+bi( )x +C, C " ". 
OBSERVACIÓN La integración compleja
En ocasiones la integración compleja nos proporciona una manera más fácil de inte-
grar funciones reales. En el siguiente ejemplo se ilustra esta situación.
01LarsonTEC(001-020).indd 1601LarsonTEC(001-020).indd 16 16/03/17 21:0916/03/17 21:09
 1.1 Números complejos 17
EJEMPLO 15 Integración compleja
Calcular (a) eax cosbx dx y (b) eaxsenbx dx
SOLUCIÓN
Consideremos la integral del ejercicio anterior e a+bi( )x dx=
1
a+bi
e a+bi( )x +C y desarro-
llemos ambos lados.
Al aplicar la identidad de Euler en el lado izquierdo, tenemos
e a+bi( )x dx= eax ei bxdx
= eax cosbx+ isenbx( )dx
= eax cosbx dx+ i eaxsenbx dx= eax cosbx dx+ i eaxsenbx dx
Por otro parte, en el lado derecho aplicamos las propiedades del conjugado de un com-
plejo, de esta manera
= 1
a+bi
eax ei bx +c1+ i c2 Separar exponenciales
= eax 1
a+bi
cosbx+ isenbx( )+c1+ i c2 Identidad de Euler
= eax 1
a+bi
a bi
a bi
cosbx+ isenbx( )+c1+ i c2 Racionalizar
= e
ax
a2+b2
a bi( ) cosbx+ isenbx( )+c1+ i c2 Reescribir
= e
ax
a2+b2
acosbx+bsenbx + i asenbx bcosbx( )( )+c1+ i c2( ) Multiplicar
= e
ax
a2+b2
acosbx+bsenbx( )+ i e
ax
a2+b2
asenbx bcosbx( )+c1+ i c2 Distribuir
= e
ax
a2+b2
acosbx+bsenbx( )+c1+ i
eax
a2+b2
asenbx bcosbx( )+c2
Al igualar ambos resultados, y dado que dos complejos son iguales si sus correspondientes 
partes reales y partes imaginarias son iguales, entonces
e a+bi( )x dx= eax cosbx dx+ i eaxsenbx dx
= e
ax
a2+b2
acosbx+bsenbx( )+c1+ i
eax
a2+b2
asenbx bcosbx( )+c2
Luego
eax cosbx dx= e
ax
a2+b2
acosbx+bsenbx( )+c1
eaxsenbx dx= e
ax
a2+b2
asenbx bcosbx( )+c2. 
1
a+bi
e a+bi( )x +C= 1
a+bi
e a+bi( )x +c1+ i c2 Con C " c1 ! ic2
01LarsonTEC(001-020).indd 1701LarsonTEC(001-020).indd 17 16/03/17 21:0916/03/17 21:09
18 Unidad 1 Números complejos
En los ejercicios 1 al 5 realizar las operaciones indicadas.
 1. z " 4 ! 2i, w " 9 ! 3i, z ! w, z # w
 2. z " 3 # 5i, w " 7 ! 2i, 3z ! 2w, 4z # 5w
 3. z " #4 ! 5i, w " #2 # 6i, 6z ! 3w, 2z ! 7w
 4. z " !—5 # 3i, w " !—5 ! 3i, #2z # 5w, 3z ! w
 5. z " 3 # 5i, w " #7 ! 2i, z # 4w, 2z ! w
En los ejercicios 6 al 13 utilice la forma rectangular de un 
complejo para realizar las siguientes operacion es zw, 
1
w
, 
1
z
, 
z
w
.
 6. z " #3 ! 6i, w " 9 ! 3i
 7. z " 3 # 5i, w " 7 ! 2i
 8. z " #4 ! 5i, w " #2 # 6i
 9. z " !—5 # 3i, w " !—5 ! 3i
10. z " 3 # 5i, w " #7 ! 2i
11. z " 2i, w " #3 # 2i
12. z " #1 ! !—3i, w " 4 #!—2i
13. z " 8 # i, w " #3i
En los problemas 14 a 22 calcular zw, 
z
w
 y 
1
z
.
14. z= 4 cos
6
+ isen
6
, w= 8 cos 2
5
+ isen 2
5
15. z= 5 cos
3
7
+ isen 3
7
, w= 4 cos 2
3
+ isen 2
3
16. z= 3 cos 2
5
+ isen 2
5
, w= 2 cos 3
4
+ isen 3
4
17. z=10e
i
2
5 , w= 20e
i
3
7
18. z= e
i
5
9 , w= 30e
i
3
11
19. z= 3 e
i
4
7 , w= 3 e
i
5
6
20. z= 2 3 e
i
3
4 , w= 4 3 cos 2
5
+ isen 2
5
21. z= 4e
i
5 , w= 2 cos 3
7
+ isen 3
7
22. z= 4e
i
4
9 , w= 3 cos 5
7
+ isen 5
7
En los problemas 23 al 32 convertir el número complejo a su 
forma polar y a su forma exponencial.
23. 4 ! 2i 24. 3 # 5i
25. 7 ! 2i 26. #3 ! 5i
27. #2 # 4i 28. 5 ! 3i
29. 8i 30. #7i
31. 4 ! 3i 32. #8 ! 3i
En los ejercicios 33 al 37 realizar las operaciones indicadas. 
Utilizar la forma polar o la forma exponencial.
33. z " 4 ! 2i, w " 9 ! 3i, z2, w3.
34. z " 3 # 5i, w " 7 ! 2i, z4, w5.
35. z " #4 ! 5i, w " #2 # 6i, z6, w7.
36. z " !—5 # 3i, w " !—5 ! 3i, 2z2w3, #3z3w2.
37. z " #5i, w " 1 # 2i, 3z4w3, 3z5w4.
En los ejercicios 38 al 42 realizar las operaciones indicadas.
38. z " 4 ! 2i, w " 9 ! 3i, v " #3 # 2i, 
2z3w2
v4
.
39. z " 3 # 5i, w " 7 ! 2i, v " 4 ! 2i, 
3z2
v5w3
.
40. z " #4 ! 5i, w " #2 # 6i, v " 2 # i, 
4z2w3
v7
.
41. z " 3 # 4i, w " 2 # 4i, v " #2i, 
3z2v3
w4
.
42. z " 2 # 3i, w " #3 # 8i, v " #1 # i, 
4z4w2
v5
.
En los problemas 43 al 52 convertir el número complejo a su 
forma rectangular.
43. 7 cos
3
+ isen
3
 44. 2 cos
3
4
+ isen 3
4
45. 5 cos
2
5
+ isen 2
5
 46. 4e3pi/5
47. #4e#3pi/4 48. 3epi/7
49. 3e#4pi/7 50. !—5 e#4pi/9
51. 7e#7pi/4 52. #2e5pi/9
En los problemas 53 a 60 resolver las operaciones indicadas.
53. z " 2 # 6i, w " 4 # 2i, z–, w–, zw, z+w
54. z " 4 # 3i, w " 1 ! 4i, z–, w–, 
z
w
, z w
55. z " !—5 e#4pi/9, w " 7e#7pi/4, z–, w–, zw, z+w
56. z " #4e#3pi/4, w " 4e3pi/5, z–, w–, 
z
w
, z+w
57. z " 3e2pi/3, w " 7e2pi/5, z–, w–, z2w3, z2+w3
58. z= 7 cos
3
+ isen
3
, w " 7e2pi/5, z–, w–, zw, z+w
1.1 Ejercicios 
01LarsonTEC(001-020).indd 1801LarsonTEC(001-020).indd 18 16/03/17 21:0916/03/17 21:09
 1.1 Ejercicios 19
59. z= 2 cos 3
4
+ isen 3
4
, w " 4e3pi/5, w–, 
z
w
,
z+w, z w
60. z= 5 cos 2
5
+ isen 2
5
, w " 7e#7pi/4, w–, zw, 
z
w
, z+w
En los problemas 61 a 65 resolver las ecuaciones dadas.
61. x2 1 10x 1 74 " 0 62. x
2 1 14x 1 85 " 0
63. x4 1 13x 1 36 " 0 64. x
2 2 18x 1 145 " 0
65. x2 2 6x 1 34 " 0
En los problemas 66 a 75 calcular zn.
66. z " 1 # 6i , n " 5 67. z " !—3 # 3i , n " 7
68. z " 2 # i , n " 9 69. z " #4 ! 3i , n " 13
70. z= 2 cos
3
4
+ isen 3
4
, n= 4
71. z= 2 cos
4
+ isen
4
, n= 6
72. z= cos
2
5
+ isen 2
5
, n= 8
73. z=e
i
4
7 , n=11
74. z= 2e
i
2
9 , n=15
75. z= 3 e
i
3 , n=12
76. Verificar las propiedades del conjugado de un complejo.
77. Verificar que los complejos satisfacen las diez condicio-
nes de la definición de espacio vectorial.
En los problemas 78 a 81 calcular !—z.
78. z " #2 ! 2i 79. z " 1 # 3i
80. z " !
—
5 ! i 81. z " #4 # 2i
82. Determinar las raíces cuartas de la unidad.
83. Determinar las raíces quintas de 32.
84. Determinar las raíces sextas de 243.
85. Determinar las raíces octavas de 38.
86. Determinar las raíces cuartas de 2 ! 5i.
87. Determinar las raíces décimas de #1 ! !
—
2i.
En los ejercicios 88 a 92, resolver las ecuaciones dadas.
88. x2 1 3x 1 2 2 i " 0
89. (3 1 2i)x2 1 10x 1 2 " 0
90. x2 1 (4 2 2i)x 1 3 " 0
91. (2 1 i)x2 1 (3 2 i)x 1 1 2 3i " 0
92. (6 1 3i)x2 1 (1 2 2i)x 1 1 2 i " 0
En los ejercicios 93 a 97, calcular la derivada de las funcio-
nes dadas.
93. f(x) 5 sen3(2 1 i)x
94. f(x) 5 x3e(1 1 2i)x
95. f(x) 5 sec(2 2 3i)x
96. f(x) 5 sen(24 1 3i)x cos(22 1 i)x
97. f (x)=
x2 tan 4 2i( )x
e 3+2i( )x
En los ejercicios 98 a 102, calcular las integrales dadas.
 98. cos 3+4i( )x dx
 99. e( 1+3i)x dx
100. ( 4+5i)xe( 2 7i)x dx
101. xe( 2+3i)x dx
102. x2e 2+3i( )x dx
01LarsonTEC(001-020).indd 1901LarsonTEC(001-020).indd 19 16/03/17 21:0916/03/17 21:09
01LarsonTEC(001-020).indd 2001LarsonTEC(001-020).indd 20 16/03/17 21:0916/03/17 21:09
21
 2.1 Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales
 2.2 Eliminación gaussiana y eliminación de Gauss-Jordan
 2
Balance de ecuaciones químicas
Sistema de posicionamiento global
Flujo vehicular
Análisis de redes eléctricas
Velocidad del vuelo de un avión
Sistemas de
ecuaciones lineales
En sentido de las manecillas del reloj, desde arriba a la izquierda: Rafal Olkis/www.shutterstock.com; michaeljung/www.shutterstock.com; 
Fernando Jose Vasconcelos Soares/www.shutterstock.com; Alexander Raths/Shutterstock.Com; edobric/www.shutterstock.com
02LarsonTEC(021-044).indd 2102LarsonTEC(021-044).indd 21 16/03/17 20:4916/03/17 20:49
22 Unidad 2 Sistemas de ecuaciones lineales
 Reconocer sistemas de ecuaciones lineales de n variables.
 Encontrar una representación paramétrica de un conjunto solución.
 Determinar cuándo un sistema de ecuaciones lineales es consistente 
o inconsistente.
 Utilizar la sustitución hacia atrás para resolver sistemas de ecuacio-
nes lineales.
ECUACIONES LINEALES EN n VARIABLES
El estudio del álgebra lineal requiere que el estudiante esté familiarizado con álgebra, 
geometría analítica y trigonometría. Ocasionalmente encontrará ejemplos y ejercicios que 
requieran conocimientos de cálculo; estos se señalan claramente en el texto.
Al comenzar con el estudio del álgebra lineal, descubrirá que muchos de los métodos 
implican docenas de pasos aritméticos, así que es esencial revisar constantemente su tra-
bajo. Puede utilizar una computadora o calculadora para revisar su trabajo, así como para 
ejecutar muchos de los cálculos de rutina en el álgebra lineal.
Aunque algún material de este primer capítulo le resultará familiar, es recomendable 
que estudie cuidadosamente los métodos presentados aquí. Así, cultivará y aclarará su 
intuición para el material más abstracto que se presentará después.
Recuerde de su curso de geometría analítica que la ecuación de la recta en un espacio 
de dos dimensiones, tiene la forma
a1x a2y b, a1, a2 y b son constantes.
Esta es una ecuación lineal en dos variables x y y. De la misma manera, la ecuación de
un plano en un espacio de tres dimensiones tiene la forma
a1x a2y a3z b, a1, a2, a3 y b son constantes.
Esta ecuación se denomina ecuación lineal en tres variables x, y y z. En general, una 
ecuación lineal en n variables se define de la siguiente manera.
Las ecuaciones lineales no tienen productos o raíces de variables; tampoco variables que 
aparezcan en funciones trigonométricas, exponenciales o logarítmicas. Las variables apa-
recen elevadas sólo a la primera potencia. El ejemplo 1 lista algunas ecuaciones lineales y 
algunas que no lo son.
EJEMPLO 1 Ejemplos de ecuaciones lineales y no lineales
Cada ecuación es lineal.
c)b)a) Sen x1 4x2 e2
1
2x y z 23x 2y 7
Las siguientes ecuaciones no son lineales.
c)b)a) Sen x1 2x 2 3x3 0ex 2y 4xy z 2
Definición de una ecuación lineal en n variables
Una ecuación lineal en n variables x1, x2, x3, . . . , xn tiene la forma
a1x1 a2x 2 a3x3 . . . anxn b.
Los coeficientes a1, a2, a3, . . . , an son números reales y el término constante b 
es un número real. El número a1 es el coeficiente principal y x1 es la variable prin-
cipal.
COMENTARIO
Para representar constantes se 
utilizan las primeras letras del 
alfabeto y las variables se 
representan con las últimas 
letras de éste.
2.1 Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales
02LarsonTEC(021-044).indd 2202LarsonTEC(021-044).indd 22 16/03/17 20:4916/03/17 20:49
 2.1 Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales 23
SOLUCIONES Y CONJUNTOS SOLUCIÓN
Una solución de una ecuación lineal en n variables es una sucesión de n números reales 
s1, s2, s3, . . . , sn ordenados de modo que la ecuación se cumple cuando los valores
x n sn. . . ,x 3 s3,x 2 s2,x1 s1,
se sustituyen en ésta. Por ejemplo, la ecuación x1 ! 2x2 " 4. Se cumple cuando x1 " 2 y 
x2 " 1. Otras soluciones son x1 " # 4 y x2" 4, y también x1 " 0 y x2 " 2, y x1 " # 2 
y x2 " 3.
El conjunto de todas las soluciones de la ecuación lineal se denomina conjunto solu-
ción y cuando se determina este conjunto, se dice que se ha resuelto la ecuación. Para 
describir todo el conjunto solución de una ecuación lineal, a menudo se utiliza la repre-
sentación paramétrica, como se ilustra en los ejemplos 2 y 3.
EJEMPLO 2 Representación paramétrica de un conjunto solución
Resuelva la ecuación lineal x1 ! 2x2 " 4.
SOLUCIÓN
Para determinar el conjunto solución de una ecuación en dos variables, resolvemos una de 
las variables en términos de la otra. Si usted resuelve para x1 en términos de x2, obtiene
x1 " 4 # 2x2.
De esta manera, la variable x2 es libre, lo cual significa que puede tomar cualquier valor real. 
La variable x1 no es libre, ya que su valor dependerá del valor asignado a x2. Para representar 
un número infinito de soluciones de esta ecuación es conveniente introducir una tercera varia-
ble t denominada parámetro. Así, con x2 " t, se puede representar el conjunto solución como
x1 " 4 # 2t, x2 " t, t es cualquier número real.
Se pueden obtener soluciones particulares al asignar valores al parámetro t. Por ejem-
plo, t " 1 produce la solución x1 " 2 y x2 " 1 y t " 4 genera la solución x1 " # 4 y x2 
" 4. 
El conjunto solución de una ecuación lineal puede representarse paramétricamente en más 
de una forma. En el ejemplo 2 usted pudo haber elegido x1 como la variable libre. La 
representación paramétrica del conjunto solución habría entonces tomado la forma
x 2 2
1
2 s,x1 s, s es cualquier número real.
Por conveniencia, elegiremos como variables libres aquellas que aparecen al final en la 
ecuación.
EJEMPLO 3 Representación paramétrica de un conjunto solución
Resuelva la ecuación lineal 3x ! 2y # z " 3.
SOLUCIÓN
Al elegir y y z como variables libres, empecemos a resolver para x para obtener
 x 1 23 y 
1
3z.
 3x 3 2y z
Haciendo y " s y z " t, obtenemos la representación paramétrica
z ty s,x 1 23 s
1
3 t,
donde s y t son números reales cualesquiera. Dos soluciones particulares son
x " 1, y " 0, z " 0 y x " 1, y " 1, z " 2. 
02LarsonTEC(021-044).indd 2302LarsonTEC(021-044).indd 23 16/03/17 20:4916/03/17 20:49
24 Unidad 2 Sistemas de ecuaciones lineales
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Un sistema de m ecuaciones lineales en n variables es un conjunto de m ecuaciones,
cada una de las cuales es lineal en las mismas n variables:
a11x1
a21x1
a31x1
am1x1
a12x2
a22x2
a32x2
am2x2
a13x3
a23x3
a33x3
am3x3
 . . . 
 . . . 
 . . . 
 . . . 
a1nxn
a2nxn
a3nxn
 
amnxn
b1 
b2 
b3 
bm.
La solución de un sistema de ecuaciones lineales es una sucesión de números s1, s2, 
s3, . . . , sn que es solución de cada una de las ecuaciones lineales del sistema. Por ejemplo, 
el sistema
3x1
x1
2x2
x2
3
4
tiene a x1 " #1 y x2 " 3 como una solución debido a que ambas ecuaciones se cumplen 
cuando x1 " #1 y x2 " 3. Por otra parte, x1 " 1 y x2 " 0 no es una solución del sistema, 
ya que estos valores sólo satisfacen la primera ecuación.
DESCUBRIMIENTO
 Grafique las dos rectas
 
3x y
2x y
1
0
 en el plano x-y. ¿En dónde se intersectan? ¿Cuántas soluciones tiene 
este sistema de ecuaciones?
 Repita el análisis anterior para el par de rectas:
 
3x y 1
3x y 0
 y
 
3x
6x
y
2y
1
2.
 En general, ¿Qué tipos básicos de conjuntos solución son posibles 
para un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas?
ÁLGEBRA 
LINEAL 
APLICADA
En una reacción química, los átomos se reorganizan en una o más 
sustancias. Por ejemplo, cuando el metano (CH4) se combina con 
oxígeno (O2) y se quema, se forman dióxido de carbono (CO2) y agua 
(H2O). Los químicos representan este proceso con una ecuación 
química de la forma
x1 CH4 x2 O2 x3 CO2 x4 H2O.
Puesto que una reacción química no puede crear o destruir átomos, 
todos los átomos representados a la izquierda de la flecha deben ser 
considerados también a la derecha. Esto se llama balance de la 
ecuación química. En el ejemplo dado, los químicos pueden usar un 
sistema de ecuaciones lineales para encontrar los valores de x1, x2, x3 
y x4 que balanceen la ecuación química.
Elnur/www.shutterstock.com
COMENTARIO
La notación con doble subíndice 
indica que aij es el coeficiente 
de xj en la i-ésima ecuación.
02LarsonTEC(021-044).indd 2402LarsonTEC(021-044).indd 24 16/03/17 20:4916/03/17 20:49
 2.1 Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales 25
Puede suceder que un sistema de ecuaciones lineales tenga exactamente una solución, 
un número infinito de soluciones o ninguna solución. Un sistema de ecuaciones lineales se 
denomina consistente si tiene por lo menos una solución e inconsistente si no tiene solu-
ción.
EJEMPLO 4 Sistemas de dos ecuaciones en dos variables
Resuelva y grafique cada sistema de ecuaciones lineales.
c)b)a) x
x
y
y
3
1
x
2x
y
2y
3
6
x
x
y
y
3
1
SOLUCIÓN
a) Este sistema tiene exactamente una solución, x " 1 y y " 2. Esta solución puede 
alcanzarse al sumar las dos ecuaciones para obtener 2x " 2, lo cual implica que x " 1 
y por tanto, y " 2. La gráfica de este sistema se representa mediante dos rectas que se 
intersectan, como se muestra en la Figura 2.1 (a).
b) Este sistema cuenta con un número infinito de soluciones, ya que la segunda ecuación 
es el resultado de multiplicar por 2 ambos miembros de la primera ecuación. Una 
representación paramétrica del conjunto solución es:
x " 3 # t, y " t, t es cualquier número real.
 La gráfica de este sistema se representa como dos rectas coincidentes, como se muestra 
en la figura 2.1 (b).
c) Este sistema no tiene solución porque es imposible que la suma de dos números sea 3 
y 1 simultáneamente. La gráfica de este sistema se representa como dos rectas parale-
las, como se muestra en la figura 2.1 (c).
1
2
3
4
1 2 3
x
y
1 
1
2
3
1 2 3
x
y
 
1
2
3
1 2 3
x
y
1
1
a) Dos rectas que se cortan: b) Dos rectas coincidentes: c) Dos rectas paralelas:
 x
x
y
y
3
1
x
2x
y
2y
3
6
x
x
y
y
3
1
Figura 2.1 
El ejemplo 4 ilustra los tres tipos básicos de conjuntos solución que son posibles para 
un sistema de ecuaciones lineales. Este resultado se enuncia aquí sin demostración. (Ésta 
se proporciona después en el Teorema 3.5)
Número de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales
Para un sistema de ecuaciones lineales, una de las siguientes afirmaciones es verda-
dera:
1. El sistema tiene exactamente una solución (sistema consistente).
2. El sistema tiene un número infinito de soluciones (sistema consistente).
3. El sistema no tiene solución (sistema inconsistente).
02LarsonTEC(021-044).indd 2502LarsonTEC(021-044).indd 25 16/03/17 20:4916/03/17 20:49
26 Unidad 2 Sistemas de ecuaciones lineales
RESOLVIENDO UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
¿Cuál de los siguientes sistemas es más fácil de resolver algebraicamente?
x 2y
y
3z
3z
z
9
5
2
x
x
2x
2y
3y
5y
3z
5z
9
4
17
El sistema de la derecha es el más fácil de resolver. Este sistema está en la forma escalo-
nada por filas o renglones, lo cual significa que sigue un patrón escalonado y que tiene 
coeficientes principales iguales a 1. Para resolver este sistema se aplica un procedimiento 
denominado sustitución hacia atrás.
EJEMPLO 5 Uso de la sustitución hacia atrás para resolverun sistema de forma escalonada por renglones
Utilice la sustitución hacia atrás para resolver el sistema.
 y 2
x 2y 5 Ecuación 1
 Ecuación 2
SOLUCIÓN
De la Ecuación 2 usted sabe que y " #2. Al sustituir este valor en la Ecuación 1, obtiene
 x 1.
 x 2 2 5 Sustituya #2 " y
 Resuelva para x
Así, el sistema tiene exactamente una solución x " 1 y y " #2. 
El término “sustitución hacia atrás” implica que se trabaja en retrospectiva. Así, en el 
Ejemplo 5, la segunda ecuación generó el valor de y. El Ejemplo 6 demuestra este procedi-
miento. Se sustituye entonces ese valor en la primera ecuación y se resuelve para x.
EJEMPLO 6 Uso de la sustitución hacia atrás para resolverunsistema de forma escalonada por renglones
Resuelva el siguiente sistema.
 z 2
 y 3z 5
 x 2y 3z 9 Ecuación 1
 Ecuación 2
 Ecuación 3
SOLUCIÓN
De la Ecuación 3, conoce el valor de z. Para resolver para y, sustituya z " 2 en la ecuación 
2 para obtener
 y 1.
 y 3 2 5 Sustituya z " 2
 Resuelva para y
Finalmente, sustituya y " #1 y z " 2 en la ecuación 1 para obtener
 x 1.
 x 2 1 3 2 9 Sustituya y " # 1, z " 2
 Resuelva para x
La solución es x " 1, y " #1 y z " 2. 
Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución. 
Para resolver un sistema que no esté en la forma escalonada por renglones, primero se 
transforma a un sistema equivalente que esté en la forma escalonada por renglones 
mediante las siguientes operaciones.
02LarsonTEC(021-044).indd 2602LarsonTEC(021-044).indd 26 16/03/17 20:4916/03/17 20:49
 2.1 Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales 27
Reescribir un sistema de ecuaciones lineales en la forma escalonada por renglones, a 
menudo implica una cadena de sistemas equivalentes, cada uno de los cuales se obtiene 
mediante la aplicación de una de las tres operaciones básicas. Este proceso es denominado 
Eliminación Gaussiana, en honor del matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777-1855).
EJEMPLO 7 Uso de la eliminación gaussiana para reescribir
un sistema en la forma escalonada por renglones
Resuelva el sistema.
 2x 5y 5z 71 
 x 3y 4
 x 2y 3z 9
SOLUCIÓN
Aunque existen varias maneras de empezar, es recomendable utilizar un procedimiento 
sistemático que pueda aplicarse fácilmente a sistemas grandes. Trabaje a partir de la 
esquina superior izquierda del sistema, mantenga x en la posición superior izquierda y 
elimine las demás x de la primera columna.
 y z 1
 y 3z 5
 x 2y 3z 9
 2x 5y 5z 71 
 y 3z 5
 x 2y 3z 9 Sumando la primera ecuación
a la segunda, obtenemos una
nueva segunda ecuación.
Sumando –2 veces la primera
ecuación a la tercera, obtenemos
una nueva tercera ecuación
Ahora que todo se ha eliminado de la primera columna, excepto la primera x, procedemos 
con la segunda.
 z 2
 y 3z 5
 x 2y 3z 9
2 z 4
 y 3z 5
 x 2y 3z 9
Multiplicando la tercera
ecuación por , obtenemos una
nueva tercera ecuación.
1
2
Sumando la segunda ecuación
a la tercera, generamos una
nueva tercera ecuación.
Éste es el mismo sistema usado en el Ejemplo 6 y, como en ese caso, la solución es
x " 1, y " #1, z " 2. 
Cada una de las tres ecuaciones en el Ejemplo 7 representa un plano en un sistema de 
coordenadas tridimensionales. Ya que la única solución del sistema es el punto
(x, y, z) " (1, #1, 2)
los tres planos se intersectan en el punto representado por estas coordenadas, como se 
muestra en la figura 2.2.
Operaciones que conducen a sistemas de ecuaciones equivalentes
Cada una de las siguientes operaciones, aplicadas a un sistema de ecuaciones linea-
les, produce un sistema equivalente:
1. Intercambiar dos ecuaciones.
2. Multiplicar una ecuación por una constante diferente de cero.
3. Sumar el múltiplo de una ecuación a otra.
Carl Friedrich Gauss
(1777-1855)
El matemático alemán 
Carl Friedrich Gauss es 
reconocido, con Newton y 
Arquímedes, como unos de 
los tres matemáticos más 
importantes de la historia. 
Gauss usó una forma de lo 
que ahora se conoce como 
Eliminación Gaussiana en 
sus investigaciones. Aunque 
este método fue nombrado 
en honor a Gauss, los chinos 
usaban un método casi idén-
tico 2000 años antes que él.
Bettmann/CorbisFigura 2.2
x
y
z
(1, 1, 2)
x + 3y = 4
2x 5y + 5z = 17
x 2y +3z = 9
02LarsonTEC(021-044).indd 2702LarsonTEC(021-044).indd 27 16/03/17 20:4916/03/17 20:49
28 Unidad 2 Sistemas de ecuaciones lineales
Debido a que se requieren muchos pasos para resolver un sistema de ecuaciones linea-
les, es muy fácil cometer errores aritméticos; es por ello que se sugiere fomentar el hábito 
de comprobar la solución sustituyéndola en cada una de las ecuaciones del sistema origi-
nal. Así, en el ejemplo 7, puede comprobar la solución x " 1, y " #1 y z " 2 como sigue.
Ecuación 1: 
 2 1 5 1 5 2 71 
 1 3 1 4
 1 2 1 3 2 9 Sustituya la solución
en cada ecuación
del sistema original.
Ecuación 2: 
Ecuación 3: 
El siguiente ejemplo implica un sistema inconsistente, o que no tiene solución. La 
clave para identificar un sistema inconsistente es que, en algún punto del proceso de eli-
minación, se obtendrá un resultado sin sentido como 0 " –2. Esto se demuestra en el 
ejemplo 8.
EJEMPLO 8 Un sistema inconsistente
Resuelva el sistema.
 x1 2x2 3x3 1
 2x1 x2 2x3 2
 x1 3x2 x3 1
SOLUCIÓN
5 x2 4x3 2
5 x2 4x3 0
 x1 3x2 x3 1
 x1 2x2 3x3 1
5 x2 4x3 0
 x1 3x2 x3 1 Sumando –2 veces la primera ecuación
a la segunda ecuación, generamos una
nueva segunda ecuación.
Sumando –1 veces la primera ecuación
a la tercera ecuación, producimos una
nueva tercera ecuación.
(Otra manera de describir esta operación es decir que de la tercera ecuación se restó la 
primera para obtener una nueva tercera ecuación.)
0 2
5 x2 4x3 0
 x1 3x2 x3 1 Sumando –1 veces la segunda ecuación
a la tercera ecuación, producimos una
nueva tercera ecuación.
Ya que la tercera “ecuación” es falsa, este sistema no tiene solución. Además, debido a 
que  es equivalente al sistema original, podemos concluir que éste tampoco tiene solu-
ción. 
Como en el ejemplo 7, las tres ecuaciones del 
ejemplo 8 representan planos en un sistema coorde-
nado tridimensional. En este ejemplo, sin embargo, el 
sistema es inconsistente. Así, los planos no tienen un 
punto en común, como se muestra en la Figura 2.3.
x2x1
x3
2x1 x2 2x3 = 2
x1 + 2x2 3x3 = 1
x1 3x2 + x3 = 1
Figura 2.3
02LarsonTEC(021-044).indd 2802LarsonTEC(021-044).indd 28 16/03/17 20:4916/03/17 20:49
 2.1 Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales 29
Esta sección termina con el análisis de un sistema de ecuaciones lineales que tiene un 
número infinito de soluciones. Puede representarse el conjunto solución para este sistema de 
manera paramétrica como se hizo en los Ejemplos 2 y 3.
 EJEMPLO 9 Un sistema con un número infinito de soluciones
Resuelva el sistema.
x1
x1
x2
3x2
x3
3x3
0
1
1
SOLUCIÓN
Comience por reescribir el sistema en la forma escalonada por renglones, como se muestra 
enseguida.
0 0
 x2 x3 0
 x1 3x3 1
3 x2 3x3 0
 x2 x3 0
 x1 3x3 1
 x1 3x2 1
 x2 x3 0
 x1 3x3 1 Intercambiamos las dos
primeras ecuaciones.
Sumando la primera ecuación
a la tercera ecuación, se genera
una nueva tercera ecuación.
Sumando –3 veces la segunda ecuación
a la tercera ecuación para eliminar
la tercera ecuación.
Debido a que la tercera ecuación es innecesaria, la eliminamos para obtener el sistema 
mostrado abajo.
x1 
x2
3x3
x3
1
0
Para representar las soluciones, se elige x3 como la variable libre y se representa con el pará-
metro t. Dado que x2 " x3 y x1 " 3x3 # 1, se puede describir el conjunto solución como
x1 " 3t # 1, x2 " t, x3 " t, t es cualquier número real. 
DESCUBRIMIENTO
 Grafique las dos rectas representadas por el sistema de ecuaciones.
 
x 2y
2x 3y
1
3
 Utilice la eliminación Gaussiana para resolver este sistema de la 
siguiente manera.
 
x
y
3
1
x 2y
y
1
1
x 2y
1y
1
1
 
 
 Grafique el sistema de ecuaciones que obtiene a cada paso de este 
proceso. ¿Qué puede observar acerca de estas rectas?
Se le pedirá repetir este análisis gráfico para otros sistemas en los ejercicios 
89 y 90.
02LarsonTEC(021-044).indd 2902LarsonTEC(021-044).indd 29 16/03/17 20:4916/03/17 20:49
30 Unidad 2 Sistemas de ecuaciones lineales
Ecuaciones lineales En los ejercicios 1 a 6, determine si 
la ecuación dada es lineal en las variables x y y.
 .2.1
.4.3
.6.5 sen 2 x y 142 sen x y 14
x2 y2 4
3
y
2
x
1 0
3x 4xy 02x 3y 4
Representación paramétrica En los ejercicios 7 a 10, 
encuentre la representación paramétrica delconjunto solu-
ción de la ecuación lineal.
.8.7
9.
10. 13x1 26x2 39x3 13
x y z 1
3x 12 y 92x 4y 0
Análisis gráfico En los Ejercicios 11 a 24, grafique el 
sistema de ecuaciones lineales. Resuelva el sistema e inter-
prete su respuesta.
.21.11
.41.31
.61.51
.81.71
.02.91
.22.12
.42.32
2x
3
4x
y
6
y
2
3
4
x
4
y
6
x y
1
3
0.2x 0.5y
0.3x 0.4y
27.8
68.7
0.05x 0.03y
0.07x 0.02y
0.07
0.16
x 1
2
y 2
3
x 2y
4
5
x 3
4
y 1
3
2x y
1
12
x
6x
5y
5y
21
21
2x
5x
y
y
5
11
x
4x
3y
3y
17
7
3x
2x
5y
y
7
9
1
2x
2x
1
3y
4
3y
1
4
x
2x
y
2y
1
5
x
x
3y
2y
2
3
2x
x
y
y
4
2
Sustitución hacia atrás En los Ejercicios 25 a 30, use el 
sistema de sustitución hacia atrás para resolver el sistema.
.62.52
.82.72
.03.92 x1 x2 x3 0
x2 0
5x1
2x1
2x2
x2
x3 0
0
x y
2y z
3z
4
6
6
x y
2y
z
z
1
2z
0
3
0
3 x2 9 x2 3
 2x1 4x2 6 x1 x2 2
Análisis gráfico En los ejercicios 31 a 36, complete el 
siguiente conjunto de tareas para cada sistema de ecuaciones.
a) Utilice una aplicación gráfica para graficar las ecuaciones 
en el sistema.
b) Utilice las gráficas para determinar si el sistema es con-
sistente o inconsistente.
c) Si el sistema es consistente, aproxime la solución.
d) Resuelva el sistema algebraicamente.
e) Compare la solución del inciso (d) con la aproximación 
del inciso (c). ¿Qué puede concluir?
.23.13
.43.33
.63.53 5.3x
15.9x
2.1y
6.3y
1.25
3.75
4x
0.8x
8y
1.6y
9
1.8
 12x 
1
3 y 0 
1
2x y 0
 9x 4y 5 2x 8y 3
 8x 01 y 41 6x 2y 1
 4x 5y 3 3x y 3
Sistema de ecuaciones lineales En los ejercicios 37 a 
56 resuelva el sistema de ecuaciones lineales.
.83.73
.04.93
.24.14
43.
44.
45.
46.
.84.74
49.
50.
 x1 11x2 4x3 3
 2x1 4x2 x3 7
 5x1 3x2 2x3 3
 2x1 3x2 6x3 8
 x1 x2 2x3 3
 3x1 2x2 4x3 1
 4x y 4 3x z 0
 x 3y 2z 8 2x y z 3
 x y z 2 x y z 6
 0.07x1 0.02x 2 0.17
 0.05x1 0.03x2 0.21
 0.03x1 0.04x2 0.52
 0.02x1 0.05x2 0.19
 3x1 x2 2
 
x1 4
3
x2 1
2
 1
 x 3y 20
 
x 2
4
y 1
3
2
 4x1 x 2 0 
1
5x 
2
5y 
1
3
 23x1 
1
6x 2 0 9x 3y 1
 6x1 2x2 0 u 2v 120
 x1 2x2 0 2u v 120
 6x 4y 14 3x1 2x2 1
 3x 2y 2 x1 x 2 0
El símbolo indica un ejercicio en el cual puede utilizarse una aplicación gráfica
o un programa de cómputo.
2.1 Ejercicios Consulte www.CalcChat.com para las soluciones de los ejercicios nones.
02LarsonTEC(021-044).indd 3002LarsonTEC(021-044).indd 30 16/03/17 20:4916/03/17 20:49
 2.1 Ejercicios 31
51.
52.
53.
54.
55.
56. x1
2x1
2x2
3x2
x2
x3
4x3
3x4
x4
2x4
4
0
1
5
x
2x
3x
x
y
3y
4y
2y
z
z
z
w
w
2w
w
6
0
4
0
 3x1 2x2 x3 2
 x1 2x2 5x3 2
 5x 51 y 01 z 81 
 x 3y 2z 81 
 2x1 2x2 7x3 19
 4x1 2x2 x3 7
 x1 4x3 13
 2x1 3x 2 13x3 8
 4x1 2x3 10
 2x1 x2 3x3 4
Sistema de ecuaciones lineales En los Ejercicios 57 a 
60, utilice un programa de cómputo o una aplicación gráfica 
para resolver el sistema de ecuaciones lineales.
57.
58.
59.
60.
 15x 
1
4 y 
1
3 z 
1
2w 1
 16x 
1
5 y 
1
4 z 
1
3w 1
 17x 
1
6 y 
1
5 z 
1
4w 1
 18x 
1
7 y 
1
6z 
1
5w 1
 45x1 
1
8x2 
4
3x3
139
150
 23x1 
4
9x2 
2
5x3
19
45
 12x1 
3
7x2 
2
9x3
349
630
 88.1x 72.5y 28.5z 225.88
 56.8x 42.8y 27.3z 71.44
 120.2x 62.4y 36.5z 258.64
 0.25x1 0.2x2 0.17x3 0.14x4 1.4
 0.33x1 0.25x2 0.2x3 0.17x4 1.3
 0.5x1 0.33x2 0.25x3 0.21x4 1.2
 x1 0.5x2 0.33x3 0.25x4 1.1
Número de Soluciones En los Ejercicios 61 a 64, indique 
por qué el sistema de ecuaciones debe tener al menos una 
solución. Después resuelva el sistema y determine si éste tiene 
exactamente una solución o un número infinito de soluciones.
.26.16
.46.36 12x
12x
5y
4y
z
z
0
0
5x
10x
5x
5y
5y
15y
z
2z
9z
0
0
0
2x 3y
4x 3y
8x 3y
z
3z
0
0
0
4x 3y
5x 4y
4x 2y
17z
22z
19z
0
0
0
65. Nutrición Un vaso de ocho onzas de jugo de manzana 
y un vaso de ocho onzas de jugo de naranja contienen un 
total de 177.4 miligramos de vitamina C. Dos vasos de 
ocho onzas de jugo de manzana y tres vasos de ocho 
onzas de jugo de naranja contienen un total de 436.7 
miligramos de vitamina C. ¿Cuánta vitamina C hay en 
un vaso de ocho onzas de cada tipo de jugo?
66. Velocidad de vuelo Dos aviones parten del Aero-
puerto Internacional de Los Ángeles y vuelan en direc-
ciones opuestas. El segundo avión parte media hora des-
pués que el primero, pero su velocidad es 80 kilómetros 
por hora mayor. Encuentre la velocidad de vuelo de cada 
avión si 2 horas después de que partió el primer avión, 
ambos están a 3200 kilómetros de distancia uno del otro.
¿Verdadero o falso? En los Ejercicios 67 y 68, determine 
si cada una de las expresiones es verdadera o falsa. Si la 
expresión es verdadera, proporcione una razón o cite una 
expresión adecuada a partir del texto. Si la expresión es falsa, 
proponga un ejemplo que demuestre que la expresión no es 
cierta en todos los casos o cite una expresión adecuada a 
partir del texto.
67. a) Un sistema de una ecuación lineal en dos variables es 
siempre consistente.
 b) Un sistema de dos ecuaciones lineales en tres varia-
bles es siempre consistente.
 c) Si un sistema lineal es consistente, entonces tiene un 
número infinito de soluciones.
68. a) Un sistema lineal puede tener exactamente dos solu-
ciones.
 b) Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes 
si tienen el mismo conjunto solución.
 c) Un sistema de tres ecuaciones lineales en dos varia-
bles siempre es inconsistente.
69. Encuentre un sistema de dos ecuaciones en dos varia-
bles, x1 y x2, que tengan un conjunto solución dado por 
la representación paramétrica x1 " t y x2 " 3t # 4, 
donde t es cualquier número real. Entonces demuestre 
que las soluciones del sistema pueden escribirse como
y x2 t.x1
4
3
t
3
70. Encuentre un sistema de dos ecuaciones en tres varia-
bles, x1, x2 y x3, que tengan el conjunto solución dado 
por la representación paramétrica
x1 " t, x2 " s y x3 " 3 ! s # t, 
 donde s y t son cualquier número real. Después demues-
tre que las soluciones del sistema pueden escribirse 
como
x1 " 3 ! s # t, x2 " s y x3 " t.
El símbolo indica que conjuntos electrónicos de datos están disponibles en college.cengage.com/pic/larsonELA6e.
Estos conjuntos de datos son compatibles con cada una de las siguientes tecnologías: MATLAB, Mathematica, Maple,
Derive, TI-83/TI-83 Plus, TI-86, TI-89, TI-92 y TI-92 Plus.
02LarsonTEC(021-044).indd 3102LarsonTEC(021-044).indd 31 16/03/17 20:4916/03/17 20:49
32 Unidad 2 Sistemas de ecuaciones lineales
Sustitución En los Ejercicios 71 a 74, resuelva el sistema 
de ecuaciones haciendo A " 1/x, B " 1/y y C " 1/z
.27.17
.47.37 2
x
3
x
2
x
1
y
4
y
1
y
2
z
3
z
5
1
0
2
x
4
x
2
x
1
y
3
y
3
z
2
z
13
z
 
4
10
8
2
x
3
y
3
x
4
y
0
25
6
12
x
12
y
3
x
4
y
7
0
Coeficientes Trigonométricos En los Ejercicios 75 y 76, 
resuelva el sistema de ecuaciones lineales para x y y.
75.
76.
 Sen x Cos y 1
 Cos x Sen y 1
 Sen x Cos y 0
 Cos x Sen y 1
Diseño de Coeficiente En los Ejercicios 77 a 82, deter-
mine los valores de k de tal manera que el sistema tenga el 
número de soluciones que se indica.
77. Un número infinito de soluciones.
 
 kx y 3
 4x ky 6
 
78. Un número infinito de soluciones.
 
 2x 3y 12
 kx y 4
 
79. Exactamente una solución.
 
 kx y 0
 x ky 0
 
80. Sin solución.
 
 kx y 4
 x ky 2
 
81. Sin solución.
 
 3x 6y 8z 4
 x 2y kz 6
 
82. Exactamente una solución.
 
 2x y z 1
 x y z 0
 kx 2ky 3kz 4k
 
 
83. Determine los valores de k tales que el sistema de ecua-
ciones lineales no tenga una solución única.
 
 kx y z 1
 x ky z 2
 x y kz 3
 
 
85. Escriba Considere el sistema de ecuaciones lineales 
en x e y.
 
a3x b3y c3
a2x b2y c2
a1x b1y c1
 Describa las gráficas de estas tres ecuaciones en el plano 
x-y cuando el sistema tiene (a) exactamente una solu-
ción, (b) un número infinito de soluciones y(c) ninguna 
solución.
86. Escriba Explique por qué el sistema de ecuaciones 
lineales del Ejercicio 85 debe ser consistente, si los tér-
minos constantes c1, c2 y c3 son todos cero.
87. Demuestre que si ax2 ! bx ! c " 0 para toda x, entonces 
a " b " c " 0.
88. Considere el sistema de ecuaciones lineales en x e y.
 
cx dy f
ax by e
 ¿Bajo qué condiciones el sistema tiene exactamente una 
solución?
Descubrimiento En los Ejercicios 89 y 90, trace las rectas 
determinadas por el sistema de ecuaciones lineales. Entonces, 
aplique la eliminación gaussiana para resolver el sistema. En 
cada paso del proceso de eliminación, trace las rectas corres-
pondientes. ¿Qué puede observar de estas rectas?
.09.98
 4x 6y 14 5x 6y 13
 2x 3y 7 x 4y 3
Escriba En los Ejercicios 91 y 92, las gráficas de ambas 
ecuaciones parecen ser paralelas. Resuelva el sistema de 
ecuaciones algebraicamente. Explique por qué las gráficas 
confunden.
.29.19 21x 20y
13x 12y
0 
120 
100y x
99y x
200
198
 
13 1 2 3 4
3
4
1
3
4
y
x
 
10 10 20
10
20
y
x
84. REMATE Encuentre los valores de a, b y 
c tales que el sistema de ecuaciones lineales tenga 
(a) exactamente una solución, (b) un número infi-
nito de soluciones y (c) no tenga solución. Expli-
que su razonamiento.
 
 2x ay bz c
 x 6y z 0
 x 5y z 0
02LarsonTEC(021-044).indd 3202LarsonTEC(021-044).indd 32 16/03/17 20:4916/03/17 20:49
 2.2 Eliminación gaussiana y eliminación de Gauss-Jordan 33
 Determine el tamaño de una matriz y escriba una matriz aumentada o 
una matriz de coeficientes a partir de un sistema de ecuaciones lineales.
 Use matrices y eliminación Gaussiana con sustitución hacia atrás 
para resolver el sistema de ecuaciones lineales.
 Use matrices y la eliminación Gauss-Jordan para resolver un sistema 
de ecuaciones lineales.
 Resuelva un sistema homogéneo de ecuaciones lineales.
MATRICES
En la Sección 2.1 la eliminación Gaussiana fue introducida como un procedimiento para 
la solución de sistemas de ecuaciones lineales. En esta sección usted estudiará este proce-
dimiento con mayor profundidad, empezando por algunas definiciones. La primera es la 
definición de matriz.
El elemento aij está ubicado en el i-ésimo renglón y en la j-ésima columna. i se deno-
mina subíndice del renglón porque identifica la línea horizontal en la cual se ubica el 
elemento y el subíndice j se denomina subíndice de la columna porque identifica la línea 
vertical en la que se encuentra el elemento.
Se dice que una matriz con m renglones y n columnas es de tamaño m $ n. Si m " 
n, entonces la matriz se llama cuadrada de orden n. Los elementos a11, a22, a33, . . . se 
denominan elementos de la diagonal principal.
EJEMPLO 1 Tamaños de matrices
Cada matriz tiene indicado el tamaño.
a) Tamaño: b) Tamaño: c) Tamaño:
e 2
2
7
4
2 3
0
0
0
0
2 221 1
El uso más común de las matrices es para representar un sistema de ecuaciones linea-
les. La matriz obtenida de los coeficientes y términos constantes de un sistema de ecuacio-
nes lineales se denomina matriz aumentada del sistema. A la matriz que sólo contiene los 
coeficientes del sistema se le llama matriz de coeficientes del sistema. He aquí un ejemplo.
Matriz aumentada
1
1
2
4
3
0
3
1
4
5
3
6
Sistema
 2x 4z 6
 x 3y z 3
 x 4y 3z 5
Matriz de coeficientes
1
1
2
4
3
0
3
1
4
COMENTARIO
El plural de matriz es matrices. 
Si cada elemento de la matriz es 
un número real, entonces la 
matriz se denomina matriz real. 
A menos que se indique lo 
contrario, todas las matrices de 
este texto son reales.
COMENTARIO
Comience alineando 
verticalmente las variables en 
las ecuaciones. Use 0 para 
indicar coeficientes de cero en la 
matriz. Considere la cuarta 
columna de términos constantes 
en la matriz aumentada.
Definición de matriz
Si m y n son enteros positivos, entonces una matriz m $ n (que se lee como “m por n”) es 
un arreglo rectangular
Columna 1 Columna 2 Columna 3 . . . Columna
a11
a21
a31...
am1
a12
a22
a32...
am2
a13
a23
a33...
am3
 . . .
 . . .
 . . .
 . . .
a1n
a2n
a3n...
amn
Renglón 1
Renglón 2
Renglón 3
 
...
Renglón m
n
en el cual cada elemento aij de la matriz es un número. Una matriz m $ n tiene m 
renglones (líneas horizontales) y n columnas (líneas verticales). Las matrices usual-
mente se denotan con letras mayúsculas.
2.2 Eliminación gaussiana y eliminación de Gauss-Jordan
02LarsonTEC(021-044).indd 3302LarsonTEC(021-044).indd 33 16/03/17 20:4916/03/17 20:49
34 Unidad 2 Sistemas de ecuaciones lineales
OPERACIONES ELEMENTALES POR RENGLÓN
En la sección anterior, usted estudió tres operaciones que producen sistemas equivalentes 
de ecuaciones lineales.
1. Intercambie dos ecuaciones.
2. Multiplique una ecuación por una constante diferente de cero.
3. Sume un múltiplo de una ecuación a otra ecuación.
En terminología de matrices, estas tres operaciones corresponden a operaciones elementales 
por renglón. Una operación elemental por renglón en una matriz aumentada produce una 
nueva matriz aumentada, correspondiente a un sistema de ecuaciones lineales nuevo (aunque 
equivalente). Dos matrices son equivalentes por renglón cuando una puede obtenerse a 
partir de otra por una a secuencia finita de operaciones elementales por renglón.
Aunque es fácil efectuar las operaciones elementales en los renglones, esto implica 
muchas operaciones aritméticas. Ya que es fácil cometer un error, es recomendable anotar 
siempre la operación elemental realizada en cada paso, de modo que revisar el trabajo sea 
más fácil.
Debido a que resolver algunos sistemas implica muchos pasos, es de gran ayuda uti-
lizar un método de notación abreviada, para tener seguimiento de cada operación elemen-
tal que usted efectúe. Esta notación se introduce en el siguiente ejemplo.
EJEMPLO 2 Operaciones elementales en los renglones
a) Intercambie el primero y segundo renglones.
Matriz original Nueva matriz equivalente por renglones Notación
1
0
2
2
1
3
0
3
4
3
4
1
0
1
2
1
2
3
3
0
4
4
3
1
R2R1
b) Multiplique el primer renglón por 12 para producir un nuevo primer renglón.
Matriz original Nueva matriz equivalente por renglones Notación
1
1
5
2
3
2
3
3
1
1
0
2
2
1
5
4
3
2
6
3
1
2
0
2
1
2 R1 R1
c) Sume #2 veces el primer renglón al tercero, para generar un nuevo tercer renglón.
Matriz original Nueva matriz equivalente por renglones Notación
1
0
0
2
3
3
4
2
13
3
1
8
1
0
2
2
3
1
4
2
5
3
1
2 R3 2 R1 R3
 Note que sumar —2 veces el renglón 1 al renglón 3 no cambia el renglón 1. 
Operaciones elementales por renglón 
1. Intercambio de dos ecuaciones. 
2. Multiplicación de una ecuación por una constante diferente de cero. 
3. Suma de un múltiplo de una ecuación a otra ecuación.
NOTA TECNOLÓGICA
Muchas aplicaciones gráficas y 
programas de cómputo pueden 
efectuar operaciones elementa-
les en renglones de matrices. Si 
usted usa una aplicación gráfica, 
las pantallas para el ejemplo 
2(c) pueden verse como las que 
aparecen abajo. Los comandos 
y sintaxis de programación para 
estas aplicaciones/programas 
para el ejemplo 2(c) se propor-
cionan en la Online Technology 
Guide, disponible en college.
cengage.com/pic/larsonELA6e.
02LarsonTEC(021-044).indd 3402LarsonTEC(021-044).indd 34 16/03/17 20:4916/03/17 20:49
 2.2 Eliminación gaussiana y eliminación de Gauss-Jordan 35
En el Ejemplo 7 de la Sección 2.1, se aplicó la eliminación gaussiana con sustitución 
hacia atrás para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Ahora aprenderá la versión 
matricial de la eliminación gaussiana. Los dos métodos utilizados en el siguiente ejemplo 
son esencialmente iguales, la diferencia fundamental es que con el método matricial no es 
necesario escribir las variables una y otra vez.
EJEMPLO 3 Uso de las operaciones elementales
en los renglones para resolver un sistema
 Sistema lineal Matriz asociada aumentada
1
1
2
2
3
5
3
0
5
9
4
17
x
x
2x
2y
3y
5y
3z
5z
9
4
17
Sume la primera ecuacióna la segunda. Sume el primer renglón al segundo
 para obtener un nuevo segundo renglón.
1
0
2
2
1
5
3
3
5
9
5
17
x
2x
2y
y
5y
3z
3z
5z
9
5
17
R2 R1 R2
Sume #2 veces la primera ecuación Sume #2 veces el primer renglón al tercero
a la tercera. para obtener un nuevo tercer renglón.
1
0
0
2
1
1
3
3
1
9
5
1
x 2y
y
y
3z
3z
z
9
5
1 R3 2 R1 R3
Sume la segunda ecuación a la tercera. Sume el segundo renglón al tercero
 para obtener un nuevo tercer renglón
1
0
0
2
1
0
3
3
2
9
5
4
x 2y
y
3z
3z
2z
9
5
4 R3 R2 R3
Multiplique la tercera ecuación por 12. Multiplique el tercer renglón por 
1
2
 para obtener un nuevo tercer renglón.
1
0
0
2
1
0
3
3
1
9
5
2
x 2y
y
3z
3z
z
9
5
2 12 R3 R3
Ahora puede utilizar la sustitución hacia atrás para encontrar la solución, como en el 
ejemplo 6 de la sección 2.1. La solución es x " 1, y " #2 y z " 2. 
Se dice que la última matriz del ejemplo 3 está en la forma escalonada por renglones. 
El término escalonada se refiere al patrón de escalera formado por los elementos no nulos 
de la matriz. Para que una matriz tenga esta forma debe tener las siguientes propiedades.
Forma Escalonada por Renglones y Forma Escalonada por 
Renglones Reducida
Una matriz en la forma escalonada por renglones tiene estas propiedades:
1. Todos los renglones que constan por completo de ceros se encuentran en la parte 
inferior de la matriz.
2. Por cada renglón que no consta completamente de ceros, el primer elemento no 
nulo es 1 (denominado 1 principal).
3. Para dos renglones consecutivos (no nulos), el 1 principal del renglón superior 
está más a la izquierda que el 1 principal del renglón inmediato inferior.
Una matriz escalonada por renglones está en la forma escalonada reducida si toda 
columna con un 1 principal tiene ceros en todas las posiciones por arriba y por debajo de 
su 1 principal.
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36 Unidad 2 Sistemas de ecuaciones lineales
EJEMPLO 4 Forma escalonada por renglones
Determine si cada matriz está en forma escalonada por renglones. De estarlo, determine 
si está en forma reducida.
b)a)
d)c)
f)e)
0
0
0
1
0
0
0
1
0
5
3
0
1
0
0
2
2
0
3
1
1
4
1
3
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
2
3
0
1
0
0
0
5
0
0
0
2
1
0
0
1
3
1
0
3
2
4
1
1
0
0
2
0
1
1
0
2
2
0
4
1
0
0
2
1
0
1
0
1
4
3
2
SOLUCIÓN
Las matrices en (a), (c), (d) y (f) están ahora en forma escalonada por renglones. Las matrices 
en (d) y (f) están en forma escalonada por renglones reducida porque cada columna que tiene 
un 1 principal tiene ceros en cada posición arriba y abajo de su 1 principal. La matriz en (b) 
no está en forma escalonada por renglones porque no hay un renglón de puros ceros hasta 
abajo de la matriz. La matriz en (e) no está en forma escalonada por renglón porque la primer 
entrada distinta a cero en el Renglón 2 no es un 1 principal. 
Puede demostrarse que toda matriz es equivalente por renglones a una matriz en forma 
escalonada por renglones. De este modo, en el ejemplo 4 usted puede cambiar la matriz 
del inciso (e) a la forma escalonada por renglones al multiplicar por 12 el segundo renglón 
de la matriz.
El procedimeinto para utilizar la eliminación gaussiana con sustitución hacia atrás 
para resolver un sistema es el siguiente.
La eliminación gaussiana con sustitución hacia atrás funciona bien como método algorítmico 
para resolver sistemas de ecuaciones lineales ya sea a mano o a computadora. Para este algo-
ritmo, el orden en el que las operaciones elementales en los reglones son efectuadas es impor-
tante. Muévase de izquierda a derecha por columnas, cambiando a cero todos los elementos 
directamente debajo de los 1 principales.
NOTA TECNOLÓGICA
Utilice una aplicación gráfica o 
un programa de cómputo para 
encontrar la forma escalonada 
por renglones reducida de la 
matriz del inciso (f) de la matriz 
en el Ejemplo 4 (b). Los 
comandos y la sintaxis de 
programación de esta 
aplicación/ programa para el 
ejemplo 4 se proporcionan en la 
Online Technology Guide 
disponible en college.cengage.
com/pic/ larsonELA6e.
Eliminación gaussiana con sustitución hacia atrás
1. Escriba la matriz aumentada del sistema de ecuaciones lineales.
2. Utilice operaciones elementales en los renglones para reescribir la matriz 
aumentada en la forma escalonada por renglones.
3. Escriba el sistema de ecuaciones lineales correspondiente a la matriz en la 
forma escalonada por renglones y aplique la sustitución hacia atrás para encon-
trar la solución.
ÁLGEBRA 
LINEAL 
APLICADA
El Sistema de Posicionamiento Global (GPS, por sus siglas en inglés) es 
una red de 24 satélites originalmente desarrollado por el ejército de 
Estados Unidos como herramienta de navegación. En la actualidad, los 
receptores de GPS son usados en una gran variedad de aplicaciones 
civiles, como determinar direcciones, localizar botes a la deriva y 
monitorear terremotos. Un receptor de GPS funciona con lecturas 
satelitales para calcular su ubicación. En tres dimensiones, el receptor 
usa señales de al menos cuatro satélites para “trilaterizar” su posición. 
En un modelo matemático simplificado, se usa un sistema de tres 
ecuaciones lineales en cuatro incógnitas (tres dimensiones y 
tiempo) para determinar las coordenadas del receptor como funciones 
de tiempo.
edobric/www.shutterstock.com
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 2.2 Eliminación gaussiana y eliminación de Gauss-Jordan 37
 
EJEMPLO 5 Eliminación gaussiana con sustitución hacia atrás
Resuelva el sistema.
x1
2x1
x1
x 2
2x 2
4x 2
4x 2
x3
x3
x3
7x3
2x4
3x4
x4
3
2
2
19
SOLUCIÓN
La matriz aumentada para este sistema es
0
1
2
1
1
2
4
4
1
1
1
7
2
0
3
1
3
2
2
19
.
Obteniendo un 1 principal en la esquina superior izquierda y ceros en los demás elementos 
de la primera columna.
Se suma –1 veces el primer
renglón al cuarto, para
obtener un nuevo cuarto
renglón. R4 1 R1 R4
Se suma –2 veces el
primer renglón al tercero
para obtener un nuevo
tercer renglón. R3 2 R1 R3
Se intercambian los dos
primeros renglones. R2R1
1
0
0
0
2
1
0
6
1
1
3
6
0
2
3
1
2
3
6
21
1
0
0
1
2
1
0
4
1
1
3
7
0
2
3
1
2
3
6
19
1
0
2
1
2
1
4
4
1
1
1
7
0
2
3
1
2
3
2
19
Ahora que la primera columna está en la forma deseada, puede modificar la segunda 
columna como sigue.
Sume 6 veces el segundo
renglón al cuarto, para
obtener un nuevo cuarto
renglón. R4 6 R2 R4
1
0
0
0
2
1
0
0
1
1
3
0
0
2
3
13
2
3
6
39
Para escribir la tercera columna en la forma adecuada, multiplique el tercer renglón por 13 
y multiplique el cuarto renglón por # 113.
Multiplique el tercer renglón
por y el cuarto renglón
por – para obtener un
nuevo cuarto renglón. 1
13 R4 R4
1
3 R3 R3
1
0
0
0
2
1
0
0
1
1
1
0
0
2
1
1
2
3
2
3
1
13
1
3
La matriz está ahora en la forma escalonada por renglones y el sistema de ecuaciones 
lineales respectivo es el siguiente
 x4 3
 x3 x4 2
 x2 x3 2 x4 3
 x1 2 x2 x3 2
Aplicando la sustitución hacia atrás, la solución es x1 " #1, x2 " 2, x3 " 1, x4 " 3. 
02LarsonTEC(021-044).indd 3702LarsonTEC(021-044).indd 37 16/03/17 20:4916/03/17 20:49
38 Unidad 2 Sistemas de ecuaciones lineales
Al resolver un sistema de ecuaciones lineales, recuerde que es posible que el sistema 
no tenga solución. Si durante el proceso de eliminación obtiene un renglón con ceros 
excepto en el último elemento, es innecesario continuar con el proceso de eliminación. 
Así, usted puede concluir simplemente que el sistema es inconsistente y no tiene solución.
EJEMPLO 6 Un sistema sin solución
Resuelva el sistema.
 3x1 2x2 x3 1
 2x1 3x2 5x3 4
 x1 x3 6
 x1 x2 2x3 4
SOLUCIÓN
La matriz aumentada de este sistema es
1
1
2
3
1
0
3
2
2
1
5
1
4
6
4
1
.
Aplicando la eliminación gaussiana a la matriz aumentada tenemos
1
0
0
0
1
1
0
5
2
1
0
7
4
2
2
11
1
0
0
0
1
1
1
5
2
1
1
7
4
2
4
11
1
0
0
3
1
1
1