Matemáticas 3 ESO Avanza - Santillana - FERNANDA NOEMI CAMPOS MENDIETA (3)

Vista previa del material en texto

1
Matemáticas 3ESO
El libro Matemáticas AVANZA para 3.º de ESO es una obra 
colectiva concebida, diseñada y creada en el departamento 
de Ediciones Educativas de Santillana Educación, S. L., 
dirigido por Enrique Juan Redal.
En su realización ha participado el siguiente equipo:
M.ª Dolores Álvarez 
Joaquín Hernández 
Ana Yolanda Miranda 
M.ª Rosario Moreno 
Susana Parra 
Manuela Redondo 
Raquel Redondo 
M.ª Teresa Sánchez 
Teresa Santos 
Esteban Serrano
EDICIÓN
Angélica Escoredo 
Carlos Pérez
DIRECCIÓN DEL PROYECTO
Domingo Sánchez Figueroa
AVANZA
329213_Portadilla.indd 1 17/01/11 10:47301386 _ 0001-0005.indd 1 21/07/11 8:08
Índice
1. Números racionales ................................................... 6
Antes de empezar la unidad ......................................................... 7
Fracciones .............................................................................. 8
Operaciones con fracciones .................................................... 12
Números decimales ................................................................ 14
Números racionales ................................................................ 15
Lo esencial ............................................................................... 16
Actividades .............................................................................. 18
2. Números reales ............................................................ 22
Antes de empezar la unidad ......................................................... 23
Potencias de números racionales ............................................ 24
Propiedades de las potencias .................................................. 28
Notación científica ................................................................. 30
Números reales....................................................................... 31
Intervalos ............................................................................... 32
Lo esencial ............................................................................... 34
Actividades .............................................................................. 36
3. Polinomios .................................................................... 40
Antes de empezar la unidad ......................................................... 41
Monomios .............................................................................. 42
Operaciones con monomios ................................................... 43
Polinomios ............................................................................. 44
Operaciones con polinomios .................................................. 46
Factor común ......................................................................... 49
Igualdades notables ................................................................ 51
Lo esencial ............................................................................... 52
Actividades .............................................................................. 54
4. Ecuaciones de primer y segundo grado ............... 58
Antes de empezar la unidad ......................................................... 59
Elementos de una ecuación .................................................... 60
Ecuaciones de primer grado ................................................... 62
Ecuaciones de segundo grado ................................................. 65
Resolución de problemas con ecuaciones ............................... 67
Lo esencial ............................................................................... 68
Actividades .............................................................................. 70
5. Sistemas de ecuaciones ........................................... 74
Antes de empezar la unidad ......................................................... 75
Ecuaciones lineales ................................................................. 76
Sistemas de ecuaciones lineales .............................................. 77
Métodos de resolución de sistemas ......................................... 78
Lo esencial ............................................................................... 82
Actividades .............................................................................. 84
6. Proporcionalidad numérica ..................................... 88
Antes de empezar la unidad ......................................................... 89
Proporcionalidad directa ........................................................ 90
Proporcionalidad inversa ........................................................ 91
Regla de tres simple ................................................................ 92
Repartos proporcionales ......................................................... 94
Problemas con porcentajes ..................................................... 96
Lo esencial ............................................................................... 98
Actividades .............................................................................. 100
7. Progresiones................................................................. 104
Antes de empezar la unidad ......................................................... 105
Sucesiones .............................................................................. 106
Progresiones aritméticas ......................................................... 108
Progresiones geométricas ........................................................ 111
Lo esencial ............................................................................... 114
Actividades .............................................................................. 116
Q
N
Z
301386 _ 0001-0005.indd 2 21/07/11 8:08
8. Figuras planas .............................................................. 120
Antes de empezar la unidad ......................................................... 121
Rectas y puntos notables en un triángulo ................................ 122
Teorema de Pitágoras ............................................................. 124
Aplicaciones del teorema de Pitágoras .................................... 125
Área de figuras planas ............................................................. 127
Lo esencial ............................................................................... 130
Actividades .............................................................................. 132
9. Cuerpos geométricos ................................................. 136
Antes de empezar la unidad ......................................................... 137
Poliedros ................................................................................ 138
Prismas. Área .......................................................................... 140
Pirámides. Área ...................................................................... 141
Cuerpos de revolución. Área .................................................. 142
Volumen de cuerpos geométricos ........................................... 144
Lo esencial ............................................................................... 146
Actividades .............................................................................. 148
10. Movimientos y semejanzas ................................... 152
Antes de empezar la unidad ......................................................... 153
Vectores ................................................................................. 154
Traslaciones............................................................................ 155
Giros ...................................................................................... 156
Simetrías ................................................................................ 157
Homotecias y semejanzas ....................................................... 159
Lo esencial ...............................................................................160
Actividades .............................................................................. 162
11. Funciones .................................................................... 166
Antes de empezar la unidad ......................................................... 167
Concepto de función .............................................................. 168
Formas de expresar una función ............................................. 169
Características de una función ................................................ 171
Lo esencial ............................................................................... 176
Actividades .............................................................................. 178
12. Funciones lineales y afines .................................... 182
Antes de empezar la unidad ......................................................... 183
Función lineal ........................................................................ 184
Función afín ........................................................................... 185
Función constante .................................................................. 186
Ecuaciones y gráficas .............................................................. 187
Aplicaciones ........................................................................... 189
Lo esencial ............................................................................... 190
Actividades .............................................................................. 192
13. Estadística.................................................................... 196
Antes de empezar la unidad ......................................................... 197
Conceptos básicos .................................................................. 198
Frecuencias y tablas ................................................................ 200
Gráficos estadísticos ............................................................... 204
Medidas de centralización ..................................................... 207
Lo esencial ............................................................................... 208
Actividades .............................................................................. 210
14. Probabilidad ............................................................... 214
Antes de empezar la unidad ......................................................... 215
Experimentos aleatorios. Sucesos ........................................... 216
Operaciones con sucesos ........................................................ 218
Probabilidad de un suceso ...................................................... 219
Regla de Laplace ..................................................................... 220
Propiedades de la probabilidad .............................................. 221
Lo esencial ............................................................................... 222
Actividades .............................................................................. 224
301386 _ 0001-0005.indd 3 21/07/11 8:08
Esquema de unidad
Lectura inicial: 
Muestra la 
importancia de lo que 
vas a estudiar 
a través de episodios 
relacionados con la 
historia de las 
Matemáticas. 
Se proponen 
actividades que 
te invitan a investigar 
sobre el personaje de 
la lectura 
y la importancia de 
sus aportaciones.
Antes de empezar 
la unidad… 
Aparece el bloque 
de contenidos 
previos necesarios 
para comprender 
lo que vas a estudiar. 
Además, mediante 
la evaluación inicial, 
podrás afianzar 
los contenidos 
repasados.
Páginas de contenidos: En ellas 
encontrarás los contenidos 
y procedimientos básicos apoyados 
en gran cantidad de ejemplos resueltos.
En la mayoría de las páginas se incluye 
la sección ANTES DEBES SABER… 
donde se repasan contenidos 
o procedimientos que debes conocer 
al enfrentarte a los nuevos contenidos. 
Esta sección también se refuerza 
con ejemplos resueltos.
Al final de cada página se proponen 
ejercicios que debes saber resolver 
a partir de los contenidos aprendidos.
La estructura de las unidades didácticas es muy sencilla, ya que 
se trata de facilitar la localización de los contenidos fundamentales, 
de los ejemplos resueltos y de los ejercicios propuestos.
3
1. Investiga sobre 
las aportaciones 
de la cultura árabe 
al estudio de las 
matemáticas y 
sobre la vida y obra 
de Al-Khwarizmi. 
2. ¿A qué se llamó Casa 
de la Sabiduría de 
Bagdad? 
¿Qué relación tiene 
con Al-Khwarizmi?
3. Busca información 
sobre las 
aportaciones 
de Al-Khwarizmi 
al álgebra.
DESCUBRE 
LA HISTORIA...
El servidor del califa
Mohamed recorría nervioso las salas de la Casa 
de la Sabiduría buscando al sabio Al-Khwarizmi, 
el cual le había enseñado un método para contar 
y operar con cantidades desconocidas que el joven 
aplicaba en su trabajo como funcionario 
de abastos del palacio del califa.
Por fin, sentado al lado de una fuente encontró 
a su maestro.
–Maestro, ¿podemos repasar los cálculos de ayer?
–Me alegra tu afán de conocimiento. –Al-Khwarizmi 
se extrañaba de que Mohamed dedicara cada rato 
libre a aprender.
–La riqueza de los pobres es la bondad 
y el conocimiento, y como cualquier hombre, 
yo deseo ser rico; además, ningún ladrón puede 
robártela –repuso Mohamed con una sonrisa.
–¡Está bien, está bien! –contestó, y entre asombrado 
y divertido el sabio le propuso unos ejercicios 
aritméticos mientras él estudiaba el lenguaje 
algebraico y las ecuaciones.
En la tablilla podía leerse: «Un cuadrado y diez raíces 
son igual a treinta y nueve unidades…».
 
Polinomios
Antes de empezar la unidad... 
En esta unidad 
aprenderás a…
• Reconocer y operar 
con monomios.
• Distinguir polinomios, 
calcular su grado 
y realizar operaciones 
con ellos.
• Sacar factor común 
en un polinomio.
• Conocer y manejar 
las igualdades 
notables.
PLAN DE TRABAJO
LENGUAJE ALGEBRAICO
El lenguaje algebraico expresa la información matemática con números y letras.
Lenguaje usual Lenguaje algebraico
La suma de dos números a + b
Un número aumentado en 3 unidades y + 3
El cuadrado de un número x2
El triple de un número 3 ? x
La mitad de un número es igual a 3
c
2
3=
Expresiones algebraicas
Al igual que para expresarnos en el lenguaje usual utilizamos 
expresiones escritas, para expresarnos en el lenguaje algebraico 
utilizamos expresiones algebraicas.
Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras 
que se combinan con los signos de las operaciones matemáticas.
Expresión escrita Expresión algebraica
El triple de un número más otro número 3 ? x + y
El doble de un número más tres unidades 2 ? x + 3
La mitad de un número menos tres veces 
ese número 2
1
 x - 3x
Las letras más 
utilizadas en el lenguaje 
algebraico para representar 
cualquier número son: 
 x, y, z, a, b, c, d…
EVALUACIÓN INICIAL
1 Expresa en lenguaje algebraico los siguientes enunciados.
a) El triple de un número.
b) La cuarta parte de un número.
c) Cinco veces un número.
d) La tercera parte de un número más cinco unidades.
e) El cuadrado de un número más uno.
f) Tres veces un número menos cinco.
g) Cuatro veces un número menos su cuadrado.
h) La suma de dos números consecutivos.
i) Un número par.
j) Un número impar.
k) El número siguiente a un número.
1. Transforma en expresiones algebraicas.
a) El doble del cuadrado de un número.
b) Un número más la mitad de otro.
41
Operaciones 
con polinomios
4.1 Suma y resta de polinomios
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se suprimen paréntesis
•	 Si	el	paréntesis	viene	precedido	por	el	signo	+,	se	suprime	el	paréntesis	
dejando	los	signos	del	interior	tal	y	como	aparecen.	
•	 Si	el	paréntesis	viene	precedido	del	signo	-,	al	suprimir	el	paréntesis	
todos	los	sumandos	del	interior	se	transforman	en	su	opuesto.
EJEMPLO
3 	 Realiza	esta	operación,	eliminando	primero	los	paréntesis.
1 ( 2 3 4) ( 5 6 7) =- + - + - - - + - 1 2 3 4 5 6 7 2- - + - + - + = 
( 5 6 7) 5 6 7-- + - =- +
( 2 3 4) 2 3 4+- + - =- + -
F
F
Para sumar (o restar) polinomios, se agrupan los monomios del mis-
mo grado y se suman (o restan) sus coeficientes.
EJEMPLO
11 	 Suma	y	resta	P(x)	= 2x3	- 3x2	+ 4x	+ 1	y	Q(x)	= -x3	+ x2.
La suma y resta de polinomios se puede realizar en horizontal o en vertical.
+
 2x3 - 3x2 + 4x + 1
-x3 + x2
 x3 - 2x2 + 4x + 1
P(x) + Q(x) = (2x3 - 3x2 + 4x + 1) + (-x3 + x2) =
= 2x3 - 3x2 + 4x + 1 - x3 + x2 =
= x3 - 2x2 + 4x + 1
P(x) - Q(x) = (2x3 - 3x2 + 4x + 1) - (-x3 + x2) =
= 2x3 - 3x2 + 4x + 1 + x3 - x2 =
= 3x3 - 4x2 + 4x + 1 
-
 2x3 - 3x2 + 4x + 1
-x3 + x2
 3x3 - 4x2 + 4x + 1
4
Para sumar 
dos números enteros 
de distinto signo:
1.º Se restan sus valores 
absolutos (el menor 
del mayor).
2.º Al resultado se le añade 
el signo del número con 
mayor valor absoluto.
–5 + 2 = –|5 – 2| = –3
5 	 Dados	los	polinomios	 ( ) 3 1P x x x3=- + - 	
y	 ( )Q x x x4 2= + ,	calcula:	 ( ) ( )P x Q x 2 2+ - x
17 	 Calcula	B(x)	-A(x)	con	los	polinomios:
	A(x) = 3x4 - 5x3 + x2 - 7
B(x) = -3x4 + x3 - 2x + 1
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
16 	 Halla	la	suma	y	la	resta	de	cada	par	de	polinomios.
a) R (x) = x4 - x + 1; S (x) = x2 + 1
b) R (x) = x + 1; S (x) = x2 + x - 1
c) R (x) = 5x7 - x8 + 1; S (x) = x2 + x6 - 1
d) R (x) = x5 - x4 + x3 + 2x + 1; S (x) = x3 + 2x
4.2 Multiplicación de polinomios
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se multiplica un polinomio por un monomio
Para	multiplicar un polinomio por un monomio,	multiplicamos	
el	monomio	por	cada	uno	de	los	términos	del	polinomio.
EJEMPLO
4 	 Multiplica	el	polinomio	 ( ) 2 3 1x x x xP 4 2=- + - - 		por	el	monomio	2x3.
La multiplicación de un polinomio por un monomio se puede hacer 
en horizontal o en vertical.
-2x4 + 3x2 - x - 1
 3 2x3
-4x7 + 6x5 - 2x4 - 2x3
( ) ( )? ?
? ? ? ?
P x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
2 2 3 1 2
2 2 3 2 2 1 2
4 6 2 2
3 4 2 3
4 3 2 3 3 3
7 5 4 3
= - + - - =
=- + - =
=- + - -
-
Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno 
de ellos por todos los monomios del otro, y, después, se suman los po-
linomios obtenidos.
EJEMPLO
12 	 Resuelve	estos	productos	de	polinomios.
a)	 (2x3	+ x	+ 1)	? (2x2	- x)	 	 	 	 	
b)	2x	? (x3	+ x	+ 1)	=	2x	?	x3	+	2x	?	x	+	2x	?	1	=	2x4	+	2x2	+	2x
2x3 + x + 1
3 2x2 - x
- 2x4 + 2x3 - x2 - x
4x5 - 2x4 + 2x3 + 2x2 + 
4x5 - 2x4 + 2x3 + x2 - x
16 	 Halla	el	producto	de	cada	par	de	polinomios.
a) R(x) = x4 - x + 1; S(x) = x2 + 1
b) R(x) = x + 1; S(x) = x2 + x - 1
c) R(x) = 5x7 - x8 + 1; S(x) = x2 + x6 - 1
d) R(x) = x5 - x4 + x3 + 2x + 1; S(x) = x3 + 2x
e) R(x) = 7x3 - 2x2 + x - 3; S(x) = x4 + x2 - 8
f) R(x) = x7 + 3; S(x) = x3 + x2 + 4x + 2
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
6 	 Realiza	las	siguientes	multiplicaciones.	
a) ( 5 4) ?x x x x23 2- - -
b) (4 3 6 3) 5?x x x x25 4- + -
c) 3 (5 4 12)?x x x5 3+ +
d) 5 ( 2 9 1)?x x x x3 4 3- - + -
e) (2 6 2) ( 3 )?x x x4 2 2- - -
f) ( 5 ) ( 2 5 6 5)?x x x x2 4 3 2- - - + +
Recuerda la regla 
de los signos para 
la multiplicación:
+ ? + = + – ? + = –
 + ? – = – – ? – = +
46 47
301386 _ 0001-0005.indd 4 21/07/11 8:08
Lo esencial: Esta doble página 
es de resumen y autoevaluación.
COMPRENDE ESTAS PALABRAS. 
Es el vocabulario matemático 
trabajado en esa unidad. 
HAZLO DE ESTA MANERA. Son los 
procedimientos básicos de la unidad. 
Cada procedimiento se introduce 
mediante la resolución de una actividad 
en la que se muestra, paso a paso, 
un método general de resolución. 
Y AHORA… PRACTICA. Son actividades 
que te permitirán comprobar si dominas 
los contenidos esenciales de esa unidad.
Lo esencial
COMPRENDE ESTAS PALABRAS
HAZLO DE ESTA MANERA
1. SUMAR Y RESTAR POLINOMIOS
Dados los polinomios ( ) 5 7 2P x x x x3 2= + - y ( ) 3 1x x xQ 3=- + - , realiza las siguientes 
operaciones.
a) ( ) ( )P x xQ+ 
b) ( ) ( )P x Q x-
PRIMERO. Eliminamos los paréntesis, teniendo en cuenta que:
• Si el paréntesis viene precedido por el signo +, se suprime el paréntesis dejando 
los signos del interior tal y como aparecen. 
• Si el paréntesis viene precedido del signo -, al suprimir el paréntesis todos los sumandos 
del interior se transforman en su opuesto.
 a) ( ) ( ) (5 7 2 ) ( 3 1) 5 7 2 3 1P x Q x x x x x x x x x x x3 2 33 2 3+ = + - + - + - = + - - + -
 b) ( ) ( ) (5 7 2 ) ( 3 1) 5 7 2 3 1x x x x x x x x x x x xP Q 3 2 33 2 3- = + - - - + - = + - + - +
SEGUNDO. Agrupamos los monomios semejantes.
a) ( ) ( ) 5 7 2 3 1 5 7 2 3 1
4 7 1
P x Q x x x x x x x x x x x
x x x
3 2 3 2
3 2
3 3+ = + - - + - = - + - + - =
= + + - 
\
Semejantes 
\
Semejantes
b) ( ) ( )P x Q x x x x x x x x x x x
x x x
5 7 2 3 1 5 7 2 3 1
7 16 5
3 2 3 3 3 2
3 2
= + - = + =
= +
- + - + + - - +
- + 
\
Semejantes 
\
Semejantes
TERCERO. Sumamos y restamos los monomios semejantes.
a) ( ) ( ) 5 7 2 3 1 4 7 1P x Q x x x x x x x x x2 3 23 3+ = - + - + - = + + -
 \ \
b) ( ) ( ) 5 7 2 3 1 6 7 5 1P x Q x x x x x x x x x3 3 2 3 2- = + + - - + = + - +
 \ \
Factor común
a ? b + a ? c = a ? (b + c)
a ? b - a ? c = a ? (b - c)
Igualdades notables
Cuadrado de una suma
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Cuadrado de una diferencia
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Suma por diferencia
(a + b) ? (a - b) = a2 - b2
Monomio
Monomios semejantes 
17x3y -5x3y
Misma parte literal
Variable
Coeficiente Parte literal
 G Grado
F
-4 x2
Polinomio
2. MULTIPLICAR POLINOMIOS
Calcula: (x5- x2 - x) ? (x2 + x)
PRIMERO. Multiplicamos cada monomio 
del polinomio que tenga menos términos, 
por el otro polinomio.
(x5 - x2 - x) ? (x2 + x) =
= (x5 - x2 - x) ? x2 + (x5 - x2 - x) ? x =
= x5 ? x2 - x2 ? x2 - x ? x2 + x5 ? x - x2 ? x - x ? x =
= x7 - x4 - x3 + x6 - x3 - x2
SEGUNDO. Reducimos los monomios semejantes, 
si los hay, y ordenamos los monomios según su 
grado en orden decreciente.
x7 - x4 - x3 + x6 - x3 - x2 = x7 - x4 + x6 - 2x3 - x2
2. SACAR FACTOR COMÚN
3. DIVIDIR UN POLINOMIO 
ENTRE UN MONOMIO
Calcula: (8x6 - 12x5 - 2x2) : (2x2)
PRIMERO. Dividimos cada término del 
polinomio entre el monomio divisor.
(8x6 - 12x5 - 2x2) : (2x2) =
= 8x6 : (2x2) - 12x5 : (2x2) - 2x2 : (2x2)
SEGUNDO. Dividimos los coeficientes, por 
un lado, y las partes literales, por el otro.
8x6 : (2x2) - 12x5 : (2x2) - 2x2 : (2x2) =
= (8 : 2)x6-2 - (12 : 2)x5-2 - (2 : 2)x2-2 =
= 4x4 - 6x3 - 1x0 = 4x4 - 6x3 - 1 
0
1
Y AHORA… PRACTICA
Comprende estas palabras
1. Identifica los términos y el grado de 
los siguientes polinomios.
a) y+x y xy5 14 13 2- - + 
b) x x x 45 2- - -
2. Utiliza las igualdades notables para desarrollar 
estos cuadrados.
a) ( )x 1 2- b) ( )x2 3 2+
Sumar y restar polinomios
1. Suma y resta estos polinomios.
 ( ) 3 5 1P x x x x4 2= + - +
 ( ) 3 8 5Q x x x x4 3=- - + -
Multiplicar polinomios
2. Multiplica los siguientes polinomios.
 ( ) 3 5 1P x x x x4 2= + - +
 ( ) 3 5Q x x2= -
Dividir un polinomio entre un monomio
3. Realiza esta división: :(8 6 10 ) 2x x x x4 2- -
Sacar factor común
4. Saca factor común en los polinomios.
a) x x x3 5 145 3 2+ -
b) y y xy18 6 125 2 2 2- -x x
d) xy x y x y6 12 242 2 2 3 2- - -
Extrae factor común en el polinomio 3y2x5 - 12y2x4 - 15yx2.
PRIMERO. Comprobamos si hay letras que 
se repiten en todos los sumandos. Si las 
hay, tomamos las que aparecen con menor 
exponente.
Se repiten en todos los sumandos las letras x e y.
x con menor exponente " x2
y con menor exponente " y
SEGUNDO. Hallamos el m.c.d. de los coeficientes 
de cada término. 
m.c.d. (3, 12, 15) = 3
TERCERO. El factor común son las letras 
y el número que hemos obtenido. 
Factor común: 3yx2
CUARTO. Dividimos el polinomio entre el factor 
común. Expresamos el polinomio como producto 
del factor común por el polinomio resultante de 
la división.
3y2x5 - 12y2x4 - 15yx2 : 3yx
2
F yx3 - 4yx2 - 5 
Por tanto, resulta que: 
3y2x5 - 12y2x4 - 15yx2 = 3yx2 ? (yx3 - 4yx2 - 5)
Términos
Término 
independiente
7x2 - 2x - 3
G
52 53
Actividades
MONOMIOS. OPERACIONES
35. ● Indica si las siguientes expresiones son 
o no monomios.
a) 2x2 + yz c) 5x5y2 e) x y
2
3
3
1
+
b) 
y
11
2 2 4-xd) xyz f) 3ab + 2a2
13. ● Indica en cada monomio el coeficiente, la parte 
literal y el grado, y calcula su monomio opuesto.
a) 2xy c) -3y2z3 e) -6a2
b) 12x2yz d) 8acb f) 9b
14. ● Completa la siguiente tabla:
Monomio Coeficiente Parte literal Grado
-8xyz2
3a2b4
4 xy 5
-9 abc 4
1 z 6
2/3 bc 3
36. ● Di si los monomios son semejantes.
a) xz, 3xy, -6xy c) 4c 9d, c 7d, cd 4
b) ab, a 2b, 7b d) 8xy2, 7xy
15. ● Agrupa aquellos monomios que sean semejantes.
5xy 2y3 5x2 -6xy 8xy2
-3x2 x2y3 10y3 9x2y3 -y3
16. ●● Escribe, si es posible:
a) Dos monomios de grado 5 que no sean semejantes.
b) Dos monomios de grado 5 que sean semejantes.
c) Un monomio de grado 4 y otro de grado 5 
que sean semejantes.
37. ● Realiza estas sumas de monomios.
a) xz + 3xz + 6xz
b) a 2b + 9a 2b + 27a 2b
c) 9c 9 + c 9 + c 9
d) 8xy + 7xy + 43xy + 23xy
38. ● Efectúa las siguientes restas de monomios.
a) 3xz - 6xz c) 18xy - 7xy - 3xy - 3xy
b) 9a 2b - 2a 2b d) 5x9 - x9 - x9 - x9
40. ● Haz las siguientes operaciones.
a) -xz + 6xz + xyz - 8xz
b) 9a 2b - 2a 2b + 8a 2b - a 2b
c) 9c 9 - c 9 - c 9 + 10c 9
d) 8xy + 7xy - xy + 3xy - xy
17. ● Realiza las siguientes operaciones.
a) x x x x x2 2 3- + + + + c) 8 5x x y x y xyy2 2 2 2- + -
b) 2 ( 3 )x x x3 3 3- - d) ( )x y y y x3 7 8 6- + - + -
18. ● Indica si las siguientes igualdades 
son verdaderas o falsas. Razona la respuesta 
y corrige los errores cometidos.
a) a a a2+ = c) a a2 2- =
b) 2 2a a a2+ = d) a a2 2- =
41. ● Realiza estas multiplicaciones.
a) xy ? 3xy ? (-6xy) c) 8xy2 ? 7xy
b) ab ? a 2b ? 7b ? ab d) 15x9 ? (-3x9)
19. ● Resuelve las siguientes operaciones.
a) 2 4 5? ?x x x2 3 6 c) 8 2 6? ? ?xy z xy z2 3
b) 7 5 9? ?x x x3 4 d) 10 ( 2 ) ( 4 )? ?xy y x23 4- -
42. ● Efectúa las siguientes divisiones de monomios.
a) 9xy : 3xy c) 15x8 : 5x8 e) 15x9 : 3x9
b) 9ab : ab d) 8xy2 : 2xy2 f) 32x7 : 8x4
20. ● Realiza estas operaciones.
a) :15 5x x3 2 c) :8 2x y x y3 2 2-
b) :9y xy34- d) :10x y xyzz 524
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE RESUELVEN OPERACIONES 
COMBINADAS DE MONOMIOS?
21. Resuelve: 8x2 - (5x4 + x4) : 2x2 + 15x4 : (3x ? x)
PRIMERO. Se resuelven las operaciones que hay entre 
paréntesis.
8x2 - (5x4 + x4) : 2x2 + 15x4 : (3x ? x) =
 = 8x2 - 6x4 : 2x2 + 15x4 : 3x2
SEGUNDO. Se resuelven las multiplicaciones 
y divisiones, de izquierda a derecha.
8x2 - 6x4 : 2x2 + 15x4 : 3x2 = 8x2 - 3x2 + 5x2
TERCERO. Se resuelven las sumas y restas 
en el mismo orden.
8x2 - 3x2 + 5x2 = 5x2 + 5x2 = 10x2
43. ●● Calcula y simplifica el resultado todo 
lo que puedas.
a) 2x2 - 5(-x2) + 8x2 - (2x) ? (3x)
b) 2x ? (-y) + 7xy - yx + (-4x) ? (-5y)
c) 3x2 - (-x)2 + 3(-x2) + (-3) ? (-x)2
d) (2xy - 3xy + 7xy) ? (2ab)
e) (x2 - 3x2 + 6x2 - 2x2) ? (-5zx)
39. ● Realiza las operaciones, e indica el grado 
del monomio resultante.
a) 2x2 + 3x2 - 7x2 + 8x2 - x2
b) 5xy3 - 2xy3 + 7xy3 - 3xy3 + 12xy3
c) 3abc - 2abc + 6abc + 9abc - 4abc
d) 5xz - 3xz + 15xz - 11xz + 8xz - 3xz
e) (2xyz) ? (2x2yz 3)
f) (-2abc) ? (3a 2b 2c 2) ? (-bc)
g) 7x ? (2xy) ? (-3xy5) ? (xy)
h) (6ac3) ? (-2a 2c3) ? (-3ac) ? (-4a 3c2)
i) (21x2y3) : (7xy2)
j) (9abc) : (3bc)
k) (16x4y5a 3b 6) : (8x2y3a 2b 5)
l) (5m3n2g 4) : (2mng)
POLINOMIOS
45. ● Indica el grado, el término independiente 
y el polinomio opuesto de los polinomios.
a) P (x) = -x3 + x2 - 7x - 2
b) Q (x) = -x2 + 2x + 6
c) R (x) = x + 1 
d) S (x) = 8
e) T (x) = 12x - x2 + x4
f) ( )U x x x
2
1
6
12= - -
22. ●● Escribe un polinomio de una variable, con grado 
5 y cuyo término independiente sea -2, y que tenga:
a) 5 términos b) 4 términos c) 2 términos
23. ● Suma y resta los términos semejantes de estos 
polinomios, y ordena sus términos de mayor 
a menor grado.
a) ( )P x x x x x x x x8 7 5 6 13 2 2 3= - + - + - + -
b) ( ) 5 6 7 4x x x x x xQ 3 22 2= + + - + -+
c) ( ) 2 5 4 7 7x x x x x xR 3 3 2 2=- + - + - +
d) ( )S x x x x x x2 5 14 3 2 4 3=- + - + - -
48. ● Calcula el valor numérico de cada polinomio 
para los valores de la variable.
a) A (x) = x + 1, para x = 1.
b) B (x) = 
2
1
x4 + 3, para x = 2.
c) C (x) = 4x5 - x2 + 3, para x = -1.
d) D (x) = -9x4 + 7x2 + 5, para x = 1.
e) E (x) = x3 + x2 + x + 2, para x = -2.
f) F (x) = x4 + x4 - x3 + x2 - 7x - 2, para x = 0.
g) G (x) = -14, para x = -2.
24. ● Para el polinomio ( ) 2 3P x x x x x 53 25 4= - + - + , 
halla el valor de las siguientes operaciones.
a) ( ) ( 1)1P P+ - d) (1) 2 ( )? ?P P
2
1
0-
b) ( ) ( 1) ( )1P P P 0+ - - e) 
2
1
( 1)?P P
2
1
- + -d n
c) 2 (1) 3 ( 1)? ?P P- - f) P P
2
1
2
1
- + -d dn n
¿CÓMO SE CALCULA UN COEFICIENTE 
DE UN POLINOMIO CONOCIENDO 
UNO DE SUS VALORES NUMÉRICOS?
50. Calcula el valor de k en el polinomio 
P(x) = x2 - x + k, si P(2) = 5.
PRIMERO. Se sustituye, en el polinomio, la variable 
por su valor.
P(x) x = 2F k2 5+ ="
( )
( )
P k k
P
2 2 2 2
2 5
2= - + = +
=
4
SEGUNDO. Se despeja k en la ecuación resultante.
2 + k = 5 " k = 5 - 2 = 3
HAZLO ASÍ
51. ●● Calcula el valor de k en cada polinomio, 
sabiendo que P(1) = 6.
a) P (x) = kx7 + x3 + 3x + 1
b) P (x) = kx4 + kx3 + 4
c) P (x) = 9x5 + kx2 + kx - k
d) P (x)= kx6 - kx3 + kx + k
e) P (x) = k
25. ●● Escribe un polinomio con P (1) = 2 y que:
• Tenga grado 3.
• Su término independiente sea -2.
• Tenga tres términos.
54 55
Actividades de la unidad: 
Ejercicios y problemas organizados 
por contenidos. Todos los enunciados 
van precedidos por un icono que 
indica su grado de dificultad.
HAZLO ASÍ. Son ejercicios resueltos 
que puedes tomar como modelo 
para afianzar procedimientos 
trabajados en la unidad.
301386 _ 0001-0005.indd 5 21/07/11 8:08
1
La senda de los recuerdos
La sala del trono papal aparecía enorme y vacía a los ojos 
de Silvestre II. El otrora poderoso pontífice romano 
había perdido todo su poder político aunque a los ojos 
de cualquiera su presencia aún imponía un respeto 
casi místico.
Ya anciano gustaba de pasear por su pasado, el único 
sitio adonde solo podía llegar él y se sentía libre. 
Recordaba feliz su estancia en el monasterio catalán 
de Ripoll, las frecuentes visitas a su imponente biblioteca 
y la ciencia que venía del sur.
A su memoria volvían algunos de sus recuerdos 
iluminando su rostro, como aquel ábaco que él mismo 
construyó con los números arábigos escritos en sus 
fichas y cuyo uso describió con detalle, o el proyecto 
de aquella máquina que fraccionaría el tiempo, 
sustituta de la campana de los monjes: maitines, laudes, 
prima, tercia…
Abrió el libro y, por azar, se encontró con el proyecto 
de la máquina que medía el tiempo cuyas primeras 
líneas decían:
Día y noche son las dos partes en que se 
divide el día, mas no son iguales, 
el primero de diciembre durante el día 
se han consumido 3 velas y 6 durante 
la noche…
De repente, como el humo de las velas tras 
un golpe de aire, el imaginario camino trazado 
en el tiempo se desvaneció al oír la voz de su 
secretario que, a cierta distancia, le informaba 
de su próxima audiencia.
 
Números 
racionales
1. Gerberto de Aurillac, 
que en el año 999 
se convirtió en el papa 
Silvestre II, hizo 
aportaciones 
matemáticas 
importantes. Busca 
información sobre 
Silvestre II y la época 
en la que vivió.
2. Averigua cómo 
funcionaba el ábaco 
que construyó 
Silvestre II.
3. Investiga qué trabajos 
relacionados con 
los números realizó 
Silvestre II. 
DESCUBRE 
LA HISTORIA...
301386 _ 0006-0021.indd 6 21/07/11 10:02
Antes de empezar la unidad... 
En esta unidad 
aprenderás a…
•    Calcular fracciones 
equivalentes 
e irreducibles.
•   Clasificar números 
decimales.
•   Resolver operaciones 
con fracciones 
positivas y negativas.
•   Identificar números 
racionales.
PLAN DE TRABAJO
NÚMEROS ENTEROS
Suma de números enteros
•   Para sumar dos números enteros del mismo signo, se suman 
sus valores absolutos y se pone el signo que tienen los sumandos.
(+2) + (+3) = +5 (-1) + (-5) = -6
;+2; + ;+3; = 5 ;-1; + ;-5; = 6
•   Para sumar dos números enteros de distinto signo, se restan 
sus valores absolutos (el menor del mayor)y se pone 
el signo que tiene el sumando de mayor valor absoluto.
(+5) + (-3) = +2 "
";+5; = 5
;-3; = 3
 5 > 3 " 5 - 3 = 2
Resta de números enteros
Para restar dos números enteros hay que sumar al primer sumando 
el opuesto del segundo.
(-5) - (+3) = (-5) + Op (+3) = (-5) + (-3) = -8
Multiplicación y división de números enteros
Para multiplicar o dividir dos números enteros, se multiplican 
o dividen sus valores absolutos y al resultado se le añade el signo + 
si los dos factores tienen el mismo signo, o el signo - si tienen 
distinto signo.
(-5) ? (+3) = -15 (-15) : (+3) = -5
Recuerda la regla 
de los signos.
(+) · (+) = +
(-) · (-) = +
(+) · (-) = -
(-) · (+) = -
(+) : (+) = +
(-) : (-) = +
(+) : (-) = -
(-) : (+) = -
EVALUACIÓN INICIAL
1 Calcula.
a) (-11) + (+4) b) (+13) + (+12) c) (-20) + (-12)
2 Realiza estas restas.
a) (-5) - (+5) b) (+3) - (-7) c) (-15) - (-17)
3 Calcula.
a) (-4) + (+5) - (-18) c) (+20) - (-5) - (+5)
b) (+30) - (+7) + (-18) d) (-12) - (+3) - (-7)
4 Calcula.
a) (+4) ? (-5) b) (-40) ? (+8) c) (-40) ? (-10)
5 Haz estas divisiones.
a) (+35) : (-7) b) (-21) : (+3) c) (+40) : (-10)
… -5
Números enteros negativos
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 …
144444424444443 144444424444443
Números enteros positivos
F F
7
301386 _ 0006-0021.indd 7 21/07/11 10:02
3 ¿Qué fracción representa la parte coloreada?
 Después, representa esa misma fracción 
de una forma diferente.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
1 Escribe en forma de fracción.
a) Siete novenos. c) Diez doceavos.
b) Dos décimos. d) Trece sextos.
2 Representa las siguientes fracciones.
a) 
5
3
 b) 
4
7
 c) 
5
6
 d) 
6
7
EJEMPLO
1 Determina si las siguientes expresiones son fracciones, y si lo son, 
di cuál es el numerador y el denominador.
a) 
7
5
 " Es una fracción 
5
7
Numerador:
Denominador:
(
b) 
,
4
6 3
 " No es una fracción, porque 6,3 no es un número entero.
Fracciones1
Una fracción es una expresión 
b
a
 en la que a y b son números enteros
llamados numerador, a, y denominador, b, siendo b ! 0.
a) b) c)
Las fracciones 
son números que 
sirven para expresar 
las partes que cogemos 
de una totalidad.
 " 
3
4
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se representa una fracción gráficamente
Para representar fracciones se suelen utilizar figuras geométricas. 
Dividimos la figura en tantas partes iguales como indique el denominador, 
y coloreamos las partes que señala el numerador.
EJEMPLO
2 Representa gráficamente las fracciones 
8
5
8
11
y .
La fracción 
8
5
 es menor que la unidad y la fracción 
8
11
 es mayor. 
8
5
8
5
8
5
8
11
8
11
8
11
8
301386 _ 0006-0021.indd 8 21/07/11 10:02
3 Representa como partes de la unidad.
a) 
10
4
 b) 
4
7
 c) 
5
5
 d) 
3
6
4 Calcula el valor de x para que sean equivalentes.
a) 
x 6
93
y b) 
x
4 8
12
y c) 
x25
5 1
y
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
1 Calcula.
a) 
5
4
 de 450 b) 
7
3
 de 350
2 Comprueba si son equivalentes.
a) 
2
7
 y 
6
21
 b) 
60
12
 y 
25
10
1.1 Fracciones equivalentes
Dos fracciones, 
b
a
 y 
d
c
 , son equivalentes, y lo escribimos como 
b
a
d
c
= , si se cumple que: a ? d = b ? c
Dos fracciones equivalentes representan la misma cantidad.
EJEMPLO
3 ¿Son equivalentes las fracciones 
5
2
20
8
y ? ¿Y las fracciones 
5
3
30
6
y ?
5
2
20
8
= si se cumple que: y
? ?2 20 5 8
40 40 5
2
20
8=
= "
2 son equivalentes.
5
3
30
6
= si se cumple que: y
? ?3 30 5 6
90 30 5
3
30
6!
! "
2 no son equivalentes.
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se despeja una incógnita en una ecuación
En una ecuación, para despejar la incógnita, podemos hacer que cualquier 
término aparezca en el otro miembro de forma «inversa» a como estaba:
•	 Si	estaba	sumando,	aparece	restando;	y	si	estaba	restando,	sumando.
x - 4 = 7 " x = 7 + 4 x + 4 = 7 " x = 7 - 4 
Pasa sumando Pasa restando
•	 Si	estaba	multiplicando,	aparece	dividiendo;	y	si	estaba	dividiendo,	
multiplicando.
3x = 9 " x = 3
9
 
x
3
 = 9 " x = 9 ? 3
Pasa dividiendo Pasa multiplicando
EJEMPLO
4 Calcula el valor de x para que las fracciones sean equivalentes.
x15
6 2
= " 6 ? x = 15 ? 2 " 
?
x
6
15 2
= " x = 5
F F
F
En la ecuación:
6 ? x = 15 ? 2
el 6 que está multiplicando 
en el primer miembro, pasa 
dividiendo al segundo 
miembro.
15 2?
x
6
=
DATE CUENTA
3
4 y 
9
12 son equivalentes, 
porque representan 
la misma cantidad.
 34 " 
 912 " 
F
9
301386 _ 0006-0021.indd 9 21/07/11 10:02
1.2 Amplificación y simplificación de fracciones
Existen dos métodos para obtener fracciones equivalentes a una fracción dada:
•   Amplificar fracciones consiste en multiplicar el nu-
merador y el denominador de la fracción por un 
mismo número, distinto de cero.
•  Simplificar fracciones consiste en dividir el nume-
rador y el denominador de la fracción entre un divi-
sor común a ambos.
EJEMPLO
5 Escribe fracciones equivalentes a 
35
15
, amplificando y simplificando.
Amplificando: 
?
?
35
15
35 2
15 2
70
30
= = Simplificando: 
:
:
35
15
35 5
15 5
7
3
= =
1.3 Fracción irreducible
La fracción irreducible de una fracción dada es una fracción equi-
valente en la que el numerador y el denominador no tienen divisores 
comunes.
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se calcula el máximo común divisor
Para calcular el máximo común divisor de varios números:
1.º Descomponemos los números en factores primos.
2.º Elegimos los factores comunes elevados al menor exponente.
3.º El producto de estos factores es el m.c.d. de los números.
Para  obtener  la  fracción  irreducible  de  una  fracción  dada,  dividimos  el  
numerador y el denominador entre su máximo común divisor.
: ( , )
: ( , )
b
a
b a b
a a b
s
r
s
r
m.c.d.
m.c.d.
= = " es la fracción irreducible de 
b
a
.
EJEMPLO
6 Calcula la fracción irreducible de 
45
60
.
?
? ?
45 3 5
60 2 3 5
2
2
=
=
3 " m.c.d. (45, 60) = 3 ? 5 = 15 " :
:
60
45
60 15
45 15
4
3
= =
b
a
b n
a n
?
?
=
:
:
b
a
b n
a n
=
Fracción
irreducible
F
6 Calcula la fracción irreducible de estas fracciones.
a) 
40
18
 b) 
75
60
 c) 
56
42
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
5 Escribe dos fracciones equivalentes.
a) 
60
120
 b) 
360
690
 c) 
28
12
12
6
3
1
2
2
3 12 = 2
2 ? 3
30
15
5
1
2
3
5 30 = 2 ? 3 ? 5
m.c.d. (12, 30) = 2 ? 3 = 6
RECUERDA
Una fracción es 
irreducible cuando 
no se puede 
simplificar.
10
301386 _ 0006-0021.indd 10 21/07/11 10:02
1.4 Reducción a común denominador
Reducir fracciones a común denominador consiste en obtener otras 
fracciones equivalentes a ellas que tengan todas el mismo denominador. 
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se calcula el mínimo común múltiplo
Para calcular el mínimo común múltiplo de varios números:
1.º Descomponemos los números en factores primos.
2.º Elegimos los factores comunes y no comunes elevados al mayor 
exponente.
3.º El producto de estos factores es el m.c.m. de los números.
EJEMPLO
7 Reduce a común denominador las fracciones 
15
7
 y 
18
11
.
Calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores.
?
?
15 3 5
18 2 32
=
=
3 " m.c.m. (15, 18) = 2 ? 32 ? 5 = 90
El m.c.m. será el denominador común de las fracciones.
Para hallar el numerador de cada fracción, dividimos el m.c.m. entre 
el denominador, y el resultado lo multiplicamos por el numerador.
 
F 7 ? 6 = 42 F
 
F 11 ? 5 = 55 F
 
90
55
15
7
 
F 90 : 15 = 6 F 
 
90
42
 
18
11
F 90 : 18 = 5 F
 F F
1.5 Comparación de fracciones
Para comparar fracciones las reducimos primero a denominador co-
mún. Será mayor la fracción que tenga mayor numerador.
EJEMPLO
8 Ordena, de menor a mayor, estas fracciones: , ,
15
7
9
7
15
11
5
3
y
Reducimos las fracciones a común denominador.
45
15
11
15
7
45
21
9
7
45
35
45
33
5
3
45
27
m.c.m. (15, 5, 9) == == ="
Ordenando los numeradores: 
45
21
45
27
45
33
45
35
15
7
5
3
15
11
9
7
< < < < < <"
5 Ordena, de menor a mayor: , ,
5
3
4
3
7
3
9
4
y
LO QUE DEBES SABER RESOLVER9 Ordena, de menor a mayor: a) 
9
4
,
3
1
,
5
2
y
30
11
DATE CUENTA
Cuando dos fracciones 
tienen el mismo numerador, 
es mayor la que tiene menor 
denominador.
15
7
9
7
<
20
10
5
1
2
2
5 20 = 2
2 ? 5
18
9
3
1
2
3
3 18 = 2 ? 3
2
m.c.m. (20, 18) = 22 ? 32 ? 5 = 180
RECUERDA
11
301386 _ 0006-0021.indd 11 26/07/11 10:06
Operaciones 
con fracciones
2.1 Suma y resta de fracciones
Para sumar (o restar) fracciones con igual denominador se suman 
(o restan) los numeradores y se deja el mismo denominador.
Para sumar (o restar) fracciones con distinto denominador primero 
se reducen las fracciones a común denominador y, después, se suman 
(o restan) los numeradores.
EJEMPLO
9 Realiza la siguiente suma de fracciones:
 m.c.m. (6, 3, 1) = 6
5
6
5
3
7
1
4
6
5
6
14
6
24
6
5 14 24
6
5
6 3
7
4 =+ - + - = + - =
+ -
=-
2.2 Multiplicación de fracciones
El producto de dos o más fracciones es otra fracción que tiene como 
numerador el producto de los numeradores, y como denominador, el 
producto de los denominadores.
…
…
…
? ? ?
? ? ?
? ? ?
b
a
d
c
f
e
b d f
a c e
=
EJEMPLO
10 Calcula este producto de fracciones:
?
?
?
6 9
5 4
54
20
27
10
6
5
9
4
= = = F Fracción irreducible
2
F
F
Simplificando
6 Calcula y simplifica el resultado, si se puede.
a) 2
3
4
3
1
+ + e) 
2
1
4
9
1+ -
b) 
2
3
5
1
10
1
+ - f) 
5
9
7
1
1+ -
c) 
3
2
7
3
1
4
- - g) ? ?
5
7
3
8
10
9
d) 
7
4
4
2
2
1
+ - h) ? ?
3
8
9
4
7
3
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
12 Calcula.
a) 
8
7
8
3
+ c) 
3
5
3
4
-
b) 5
8
7
+ d) 4
3
8
-
13 Realiza estos productos.
a) ?
5
12
3
7
 b) ( ) ?4
2
11
-
Al operar 
con fracciones es 
conveniente simplificar 
al máximo la fracción 
que obtenemos como 
resultado.
12
301386 _ 0006-0021.indd 12 21/07/11 10:02
7 Calcula.
a) 
9
5
5
7
15
4
+ -e o c) ?
3
7
5
3
6
5
12
7
- + -e o
b) 
25
4
2
8
20
7
- -e o d) :
4
9
6
5
9
8
5
6
- + -e eo o
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
16 Realiza las divisiones.
a) :
5
9
7
4
 c) :4
2
7
b) :
11
8
5
3
 d) : ( )
9
10
5-
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se calcula una fracción inversa
La fracción inversa de una fracción es otra fracción que tiene por numerador 
el denominador de la primera fracción, y por denominador, su numerador. 
2.3 División de fracciones
Para dividir dos fracciones se multiplica la primera fracción por la 
inversa de la segunda.
: ?
?
?
b
a
d
c
b
a
c
d
b c
a d
= =
EJEMPLO
11 Calcula esta división de fracciones.
?
?
?
7
2
6
11
7 6
2 11
42
22
21
11
7
2
:
11
6
= = = =
2.4 Operaciones combinadas
Para realizar operaciones combinadas con fracciones es necesario seguir el 
orden de prioridad entre las operaciones:
1.o Se efectúan las operaciones que hay entre paréntesis y corchetes.
2.o Se realizan las multiplicaciones y divisiones en el orden en el que 
aparecen, de izquierda a derecha.
3.o Se calculan las sumas y restas en el orden en el que aparecen.
EJEMPLO
12 Efectúa las siguientes operaciones.
a) ?
40
27
20
42
40
27
40
84
40
57
8
9
5
3
4
7
:
6
5
- = - = - =-
b) :
21
12
21
2
9
8
9
15
21
14
9
7
147
126
7
6
7
4
21
2
:
9
8
3
5
=+ + - =
-
+ -
:= =- =-
e e d d
d
o o n n
n
> H
Para dividir fracciones 
podemos multiplicar 
en cruz.
2
3 
?
? 
4
5 = 
2 ? 5
3 ? 4F
F
F
F
La fracción inversa de 
b
a
 
es 
a
b
.
Fracción inversa de 
5
3
 es 
3
5
.
RECUERDA
13
301386 _ 0006-0021.indd 13 21/07/11 10:02
Números 
decimales
Un número decimal tiene una parte entera, situada a la izquierda de la 
coma, y una parte decimal, situada a la derecha.
Decenas
3
Unidades
7,
décimas
0
centésimas
9
milésimas
0 7
diezmilésimas
64444444744444448 6444444444444444447444444444444444448
PARTE  ENTERA PARTE  DECIMAL
37,0907 " Treinta y siete unidades novecientas siete diezmilésimas
Tipos de números decimales
•   Un número decimal es exacto cuando tiene un número finito de 
cifras decimales.
•   Un número decimal es periódico si tiene infinitas cifras decimales 
y, además, una o varias de ellas se repiten periódicamente. La cifra 
o grupo de cifras que se repiten se llama período.
– Si el período empieza inmediatamente después de la coma, es un 
decimal periódico puro.
– En caso contrario, es un decimal periódico mixto. La cifra o cifras 
decimales que no se repiten se llaman anteperíodo.
•   Un número decimal es no exacto y no periódico si tiene infinitas 
cifras decimales y ninguna de ellas se repite periódicamente.
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se expresa una fracción como número decimal
Para expresar una fracción como número decimal se divide el numerador 
entre el denominador. 
EJEMPLO
13 Clasifica estos números decimales.
a) 
3
5
" Decimal 
periódico 
puro
5 3
20 1,666… "
120 
1120
c) 
15
16
 " 
16 15
1100 1,066… "
11100 
11110
Decimal 
periódico 
mixto
b) 
5
7
" Decimal 
exacto
7 5
20 1,4 "
10 
d) 1,4142135...2 = " 
Decimal 
no exacto y 
no periódico
3
 Período
230,569
!
 Anteperíodo
F
F
8 Clasifica los números decimales que expresan 
estas fracciones.
a) 
20
12
 b) 
21
27
 c) 
15
37
 c) 
11
44
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
20 Indica la parte entera, la parte decimal, 
el período y el anteperíodo.
a) 0,333… c) 3,37888…
b) 234,4562525… d) 0,012333…
Para abreviar 
la escritura de los 
números decimales 
periódicos colocamos 
un arco sobre las cifras 
del período.
 1,666… = 1,6
 1,0666… = 1,06
14
301386 _ 0006-0021.indd 14 21/07/11 10:02
9 Clasifica los siguientes números en enteros, 
decimales exactos, decimales periódicos puros, 
periódicos mixtos e irracionales.
2,3 78 -2,3 2,33
-78 3,
!
4 3,
#
45 -3,
!
4
-73,3
!
4 0,4563 5 
4
3
2 534
7
- 3 91 -7
3
4
- 6,02 -3,4
!
5 9
3,02 
7
1422
 10 -3
%
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
33 Completa esta tabla, teniendo en cuenta que 
un número puede estar en más de una casilla.
-0,224466881010… -1,897897897…
-24 -0,67543
-3,0878787… -1,5
Número 
natural
Número 
entero
Decimal 
exacto
Decimal 
periódico
Decimal 
no exacto 
y no 
periódico
Número 
racional
Números
racionales
Al conjunto de todos los números que se pueden expresar mediante 
fracciones se le llama conjunto de los números racionales y se repre-
senta por Q.
Los números enteros y los números decimales exactos y periódicos se 
pueden expresar mediante fracciones:
64
4
44
7
44
4
4
8
64
4
7
4
4
8
64
7
48
Números racionales
Números enteros
Números decimales
Números naturales: 1, 2, 3, …
El número cero: 0
Enteros negativos: -1, -2, -3, …
Decimales exactos: 0,2; 0,34; …
Decimales periódicos: 0,7
!
; 0,894
$
; …
Los números decimales no exactos y no periódicos no se pueden expresar 
en forma de fracción, y por tanto, no son racionales. A estos números se 
les llama números irracionales.
EJEMPLO
18 Completa la siguiente tabla con estos números. Ten en cuenta que cada 
número puede estar colocado en más de una casilla. 
1 -7 14,019
!
 11,223344… 0,125 -0,75
#
 -4,1234567…
Número 
natural
Número 
entero
Número 
decimal 
exacto
Número 
decimal 
periódico
Número decimal 
no exacto 
y no periódico
Número 
racional
1 1
-7
0,125 14,019
!
-0,75
# 11,223344…
-4,1234567…
1 -7 14,019
!
0,125 -0,75
#
 
5
Q
N
Z
15
301386 _ 0006-0021.indd 15 21/07/11 10:02
Lo esencial
COMPRENDE ESTAS PALABRAS
Fracción
Numerador 
Denominador 4
3
Fracciones equivalentes
7
2
14
4
= " 2 ? 14 = 7 ? 4
Fracción irreducible
 : ( , )
 : ( , )
30
24
30 24 30
24 24 30
5
4
m.c.d.
m.c.d.
= =
Número decimal
17,208#
Exactos: 0,03 9,1586 -12,2
Periódicos puros: 0,03
#
 9,15
'
86 -12,2
!
Periódicos mixtos: 0,03
!
 9,1586
"
 -12,02
!
No exactos y no periódicos: 1,234… 1,112233…
--"
-"
Anteperíodo PeríodoF F
Parte entera Parte decimalF F
Números naturales: 1, 2, 3, …
El número cero: 0
Enteros negativos: -1, -2, -3, …
Decimales exactos: 0,2; 0,34; …
Decimales periódicos: 0,7
!
; 0,894
!
; …
NÚMEROS DECIMALES
NÚMEROSENTEROS
NÚMEROS RACIONALES
64
4
4
7
4
4
4
8
64
47
44
8
64
7
48
HAZLO DE ESTA MANERA
1. SUMAR Y RESTAR FRACCIONES
Realiza la siguiente operación:
30
7
25
8
5
4
+ -
PRIMERO. Si las fracciones no tienen el mismo denominador, las reducimos a común denominador.
25 52=
30 2 3 5? ?
5 5
=
=
4 " m.c.m. (5, 25, 30) = 2 ? 3 ? 52 = 150 " 
30
7 F 7 ? 5 = 35 F 
150
35
F 150 : 30 = 5 
F
25
8 F 8 ? 6 = 48 F 48
150F 150 : 25 = 6 
F
5
4 F 4 ? 30 = 120 F 
0
120
15F 150 : 5 = 30 
F
F
F
F
14
4
4
4
4
4
4
4
2
4
4
4
4
4
4
4
4
3
SEGUNDO. Cuando las fracciones tienen el mismo denominador, sumamos los numeradores.
30
7
25
8
5
4
150
35
150
48
150
120
150
37
150
37
+ - = + - =
-
=-
16
301386 _ 0006-0021.indd 16 21/07/11 10:02
2. MULTIPLICAR FRACCIONES
Realiza la siguiente operación: ?
12
7
3
4
-d n
PRIMERO. Realizamos la operación 
prescindiendo del signo de las fracciones 
(el numerador es el producto de 
los numeradores y el denominador, el producto 
de los denominadores), y simplificamos 
el resultado, si se puede.
12 3
7 4
?
?
?
12
7
3
4
36
28
9
7
= = =
SEGUNDO. Aplicamos 
la regla de los signos ?12
7
3
4
9
7
- =-d n
para la multiplicación.
F
Simplificando
F F
+ ? - = -
4. REALIZAR OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONES
Resuelve esta operación entre fracciones: 5
3
7
5
3
:
3
4
9
10
2
1
- + - +d dn n
\\
PRIMERO. Resolvemos las operaciones 
que aparecen entre paréntesis. 
::5
15
35
15
9
9
12
9
10
2
1
5
15
44
9
2
2
1
- + - + = - +d dn n
SEGUNDO. Resolvemos las multiplicaciones 
y divisiones en el orden en que aparecen. 
:5 5
15
44
9
2
2
1
30
396
2
1
- + = - +
TERCERO. Resolvemos las sumas y restas, 
y simplificamos el resultado, siempre 
5
30
396
2
1
30
150
30
396
30
15
30
231
10
77
- + = - + =
-
=-
que se pueda.
m.c.m. (3, 5) = 15 m.c.m. (3, 9) = 9
>
m.c.m. (2, 30) = 30
3. DIVIDIR FRACCIONES
Realiza la siguiente operación: :
12
7
3
4
- -d n
PRIMERO. Realizamos la operación 
prescindiendo del signo de las fracciones 
(para dividir multiplicamos la fracción 
del dividendo por la fracción inversa del 
divisor), y simplificamos el resultado, 
si se puede.
: ?
12
7
3
4
12
7
4
3
48
21
16
7
= = =
SEGUNDO. Aplicamos 
la regla de los signos 
:
12
7
3
4
16
7
- - =d n
para la división.
F
Simplificando
F F
- : - = +
Y AHORA… PRACTICA
Comprende estas palabras
1. Escribe dos fracciones equivalentes a cada una 
de estas fracciones.
a) 
4
9
 b) 
6
11
 c) 
8
13
2. Halla la fracción irreducible.
a) 
70
42
 b) 
72
44
 c) 
74
46
Sumar y restar fracciones
1. Realiza las siguientes operaciones.
a) 
9
12
4
7
24
35
+ - b) 
9
12
4
7
24
35
- -
Multiplicar fracciones
2. Calcula el resultado de estas multiplicaciones.
a) ?
7
4
2
21
 b) ?
4
15
25
4
- c) ?
9
8
16
15
-d n
Dividir fracciones
3. Realiza estas divisiones.
a) :
7
4
21
2
 b) :
3
5
6
10
- c) :
15
14
9
2
-d n
Realizar operaciones combinadas con fracciones
4. Calcula:  ?2
5
14
7
10
2
3
24
35
+ - -d n
17
301386 _ 0006-0021.indd 17 21/07/11 10:02
Actividades
FRACCIONES
36. ● Expresa estos enunciados utilizando 
una fracción.
a) Una pizza se ha partido en 8 partes 
y Juan se ha comido 2.
b) De una clase de 20 alumnos, 15 han ido 
de excursión.
c) De un grupo de 7 amigas, 3 son pelirrojas.
d) Una de cada 5 personas tiene problemas 
de espalda.
37. ● Escribe la fracción que representa la parte 
coloreada de cada figura.
a) c) 
b) d)
38. ● Representa, utilizando figuras geométricas, 
las siguientes fracciones.
a) 
7
3
 c) 
6
7
b) 
2
5
 d) 
9
4
39. ● Colorea los 
3
2
 de la figura.
40. ● Calcula.
a) 
2
1
 de 180 d) 
9
4
 de 540
b) 
6
5
 de 420 e) 
8
5
 de 320
c) 
5
2-
 de 40 f ) 
11
3
- de 1 342
FRACCIONES EQUIVALENTES
10. ● Determina si los siguientes pares de fracciones 
son equivalentes.
a) 
15
18
5
6
y b) 
4
25
8
9
y c) 
4
25
8
9
y
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE COMPRUEBA SI DOS FRACCIONES 
NEGATIVAS SON EQUIVALENTES?
11. Comprueba si son equivalentes.
a) 
5
2
15
6
y
- -
 b) 
7
3
4
9
y
- -
 
PRIMERO. Se multiplica el numerador de la primera 
fracción por el denominador de la segunda, 
y el denominador de la primera por el numerador 
de la segunda.
a) -2 ? 15 = -30 5 ? (-6) = -30
b) -3 ? 4 = -12 7 ? (-9) = -63
SEGUNDO. Se determina si el resultado de ambos 
productos es el mismo. Si es el mismo, las fracciones 
son equivalentes.
a) -30 = -30 " Son equivalentes.
b) -12 ! -63 " No son equivalentes.
44. ● Indica si son o no equivalentes estos pares 
de fracciones.
a) 
10
3
7
21
y d) 
3
2
5
4
y
- -
b) 
7
1
30
14
y
- -
 e) 
5
2
20
8
y
c) 
10
6
8
3
y f ) 
50
20
450
120
y
45. ● Calcula el valor de x para que las fracciones 
sean equivalentes.
a) 
x
4
10
6
= c) 
x
12 9
6
=
b) 
x
9
4
6
= d) 
x
42
14
9
=
46. ● Completa.
3
2 4
6 30
30
4
4 4
4
= = = =
18
301386 _ 0006-0021.indd 18 21/07/11 10:02
47. ● Agrupa las fracciones que sean equivalentes.
40
20
2
4
2
1
5
10
4
2
6
3-
-
- -
48. ● Obtén dos fracciones equivalentes a cada una 
de las dadas por amplificación y otras dos 
por simplificación.
100
8
 
36
60
 
45
30
 
72
504
50. ● Simplifica hasta obtener la fracción irreducible 
de estas fracciones.
a) 
40
20
 d) 
12
15
 g) 
11
55
b) 
8
210
 e) 
18
16
 h) 
21
30
c) 
18
8
 f) 
60
40
 i) 
18
6
12. ● Calcula la fracción irreducible.
a) 
60
48
 b) 
75
120
 c) 
33
39
 d) 
70
72
COMPARACIÓN DE FRACCIONES
13. ● Reduce a común denominador las siguientes 
fracciones.
a) ,
12
7
27
22
9
16
y c) ,
3
4
11
8
13
6
y
b) , ,
45
6
216
9
4
8
32
5
y d) ,
5
6
25
7
125
8
y
14. ● Ordena, de menor a mayor, las siguientes 
fracciones.
24
7
2
1
9
16
6
5
9
14
18
11
53. ● Ordena, de mayor a menor.
a) ,
9
4
8
7-
 d) , ,
6
4
6
21
12
5- - -
b) ,
8
11
8
7- -
 e) , ,
60
43
40
10
10
8- -
c) , ,
8
3
24
10
48
20
 f ) , , ,
5
2
7
4
35
8
2
1
OPERACIONES CON FRACCIONES
56. ● Calcula.
a) 
4
3
4
5
4
1
+ + c) 
2
5
2
3
2
9
- -
b) 
2
7
2
6
8
+ + d) 9
7
5
7
6
+ -
57. ● Haz las siguientes restas.
a) 
11
33
11
10
- c) 
2
3
7
1
12
2
- -
b) 
10
5
15
1
- d) 
3
7
2
1
11
1
- -
58. ● Calcula.
a) 
7
25
7
11
7
2
+ - d) 4
6
1
6
7
- +
b) 
7
5
10
1
3
1
- + e) 1
12
1
13
5
+ -
c) 
11
10
7
10
11
12
+ - f) 3
21
1
7
1
9
2
- - +
59. ● Opera.
a) 
2
3
16
5
8
3
+ - d) 
15
7
3
2
6
1
- -
b) 
6
5
3
5
4
5
+ + e) 
12
9
8
5
8+ -
c) 
5
2
4
3
1
-
+ - f) 
7
6
3
3
7
- - -
60. ● Efectúa estas operaciones.
a) 
16
5
16
2-
+
-
 d) 5
11
10
7
10
+ +
b) 
7
5
10
1
+
-
 e) 
11
7
12
1
14
5
+ +
c) 
2
1
9
1
18
2
+
-
+ f) 
11
13
13
1
9
11
+ +
62. ● Realiza estos productos.
a) ?
3
2
5
6
 b) ?
14
5
8 c) ?
3
10
2
7
 d) ?21
9
4
63. ●● Opera.
a) ?
5
12
6
3
 d) ?
4
1
6
3
- -e eo o
b) ?
9
2
4
7
-e o e) ? ?
7
9
5
6
3
c) ?
6
9
7
3
 f) ? ?
4
9
11
3
3
11
19
301386 _ 0006-0021.indd 19 21/07/11 10:02
64. ● Calcula.
a) :
8
5
2
3
 b) :
12
5
4
7
 c) :
5
9
7
6
 d) :
15
8
5
6-e o
65. ● Efectúa las divisiones.
a) :
5
7
2
21
 b) :8
8
3
 c) :
3
11
7 d) :
6
5
3
10
-e o
67. ●● Calcula.
a) ?
5
4
4
1
3
7
- e) ?9
4
1
3
7
5
2
- +
b) ?
5
4
4
1
3
7
-e o f) ?9
4
1
3
7
5
2
- +e o
c) :?2
5
3
7
4
4
3
- g) ?9
4
1
3
7
5
2
- +e o
d) : :
5
3
7
4
4
3
1- h) : ?
3
2
4
3
5
1
7
3
-
68. ●● Realiza las operaciones.
a) 
6
7
20
3
15
8
- +e o e) ?
5
2
4
3
4
5
-
b) ?
5
4
24
5
9
4
-e o f) :
5
2
10
3
18
7
-
c) :
5
8
5
3
30
11
+e o g) :
7
2
3
35
21
+
d) : :
3
8
9
5
5
6
3
1
-e eo o h) :?
2
1
5
6
5
7
3
4
+
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE CALCULA EL TÉRMINO DESCONOCIDO 
DE UNA OPERACIÓN CON FRACCIONES?
15. Copia y completa los huecos.
a) 
5
2
4
3
+ = b) ?
5
2
15
8
=
PRIMERO. Se aísla el término desconocido 
en un miembro pasando el resto de forma «inversa» 
al otro miembro. 
a) 
5
24 5
23
4
3
+ = = -"
b) :?
5
2
15
8
15
8
5
2
= ="
SEGUNDO. Se resuelve la operación resultante. 
a) 
4
3
5
2
20
7
= - = b) :
15
8
5
2
30
40
3
4
= = =
F
Está sumando, pasa restando.
F
Está multiplicando, pasa dividiendo.
16. ● Copia y completa estos huecos.
a) 
5
3
15
20
+ = d) 
4
3
5
9
=-
b) 
2
3 15
14
=- e) 
12
9
36
11
+ =
c) 2
3
16
+ = f) 
21
16
3
8
+ =
17. ● Copia y busca el término que falta.
a) ?
2
3 9
8
= d) : 2
16
15
=
b) :
5
7
21
10
= e) ?
14
9
28
9
=
c) ? 3
27
24
= f) 7 ?
8
21
=
18. ●● Copia y completa los huecos.
a) 
7
3
8
3 3
9
+ + = c) ? ?
7
3
8
3
9
3
=
b) 
4
1
5
1
6
1
- - = d) : :
4
1
5
1
6
1
=
NÚMEROS DECIMALES
69. ● Señala la parte entera y decimal 
de los siguientes números.
a) 0,75 c) 1,8989… e) 2,161820…
b) 274,369 d) 127,4555… f) -7,0222…
70. ●● Expresa, mediante una fracción y mediante 
un número decimal, la parte coloreada 
de cada una de las figuras.
a) c)
b) d)
71. ●● Indica cuáles de los números son periódicos 
y cuáles no. Señala el período para los que sean 
periódicos.
a) 1,333… c) 3,02333… e) 0,010101…
b) 2,6565… d) 6,7891011… f) 1,001002003…
PROBLEMAS CON FRACCIONES
79. ● Se dispone de 30 metros de tela. 
Calcula cuántos metros son:
a) de la tela
b) de la tela
c) de la tela
80. ● Una empresa ha ingresado esta semana 
dos quintos de 12 300 €. Calcula el dinero 
que ha ingresado.
81. ● Un padre le da a su hija mayor 30 €, y a su hijo 
menor, la tercera parte de lo que ha recibido 
la hija mayor. ¿Cuánto ha recibido el hijo menor?
19. ● En el último partido de la Selección de 
baloncesto, Fran Seisdedos ha encestado 4 tiros 
de cada 6 que ha realizado. Si en total ha tirado 
32 tiros a canasta, ¿cuántos ha encestado?
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE CALCULA UNA PARTE DEL TOTAL?
82. En una clase, las partes son chicos. 
¿Cuántas chicas hay si son 25 alumnos en total?
PRIMERO. Se resta la parte conocida, , del total, 1,
para calcular la parte desconocida.
 .
SEGUNDO. Se calcula lo que representa esa parte 
en el total de alumnos, 25.
83. ●● Para el cumpleaños de mi madre le hemos 
regalado una caja de bombones. Hemos comido 
ya las partes de la caja. Si la caja contenía 
40 bombones, ¿cuántos bombones quedan?
20
301386 _ 0006-0021.indd 20 21/07/11 10:02
PROBLEMAS CON FRACCIONES
79. ● Se dispone de 30 metros de tela. 
Calcula cuántos metros son:
a) 
5
3
 de la tela
b) 
30
7
 de la tela
c) 
6
5
 de la tela
80. ● Una empresa ha ingresado esta semana 
dos quintos de 12 300 €. Calcula el dinero 
que ha ingresado.
81. ● Un padre le da a su hija mayor 30 €, y a su hijo 
menor, la tercera parte de lo que ha recibido 
la hija mayor. ¿Cuánto ha recibido el hijo menor?
19. ● En el último partido de la Selección de 
baloncesto, Fran Seisdedos ha encestado 4 tiros 
de cada 6 que ha realizado. Si en total ha tirado 
32 tiros a canasta, ¿cuántos ha encestado?
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE CALCULA UNA PARTE DEL TOTAL?
82. En una clase, las 
5
2
 partes son chicos. 
¿Cuántas chicas hay si son 25 alumnos en total?
PRIMERO. Se resta la parte conocida, 
5
2
, del total, 1,
para calcular la parte desconocida.
 1
5
2
5
5
5
2
5
3
son chicas- = - = .
SEGUNDO. Se calcula lo que representa esa parte 
en el total de alumnos, 25.
 ?
?
5
3
5
3
25
5
3 25
5
75
de 25 15 chicas= = = =
83. ●● Para el cumpleaños de mi madre le hemos 
regalado una caja de bombones. Hemos comido 
ya las 
4
3
 partes de la caja. Si la caja contenía 
40 bombones, ¿cuántos bombones quedan?
30 m
86. ●● Unos amigos recorren 105 km en bicicleta. 
El primer día hacen 
3
1
 del camino y el segundo
día 
15
4
, dejando el resto para el tercer día. 
¿Cuántos kilómetros recorren cada día?
87. ●● Una familia gasta 
5
1
 de sus ingresos 
mensuales en el alquiler del piso, 
60
1
 en el teléfono y 
8
1
 en transporte y ropa. 
¿Cómo se distribuyen los gastos si sus ingresos 
mensuales son 3 000 €?
88. ●● En un campamento, 
8
3
 de los jóvenes son 
europeos, 
5
1
 asiáticos y el resto africanos. 
Si hay en total 800 jóvenes:
a)  ¿Cuántos jóvenes europeos hay?
b) Si la mitad de los asiáticos son chicas, ¿cuántas 
chicas asiáticas habrá?
c)  ¿Cuántos de estos jóvenes son africanos?
20. ●● De todos los coches que se han vendido 
en un concesionario, la tercera parte han sido 
de color blanco y la quinta parte, negros. 
Si se han vendido 45 coches: 
a)  ¿Cuántos coches blancos se han vendido? 
b)  ¿Y coches negros? 
c)  ¿Cuántos se han vendido de otros colores?
21. ●● De las 414 cajas de fruta que transporta 
un camión, la tercera parte es de naranjas, 
la quinta parte de melocotones y el resto 
de peras. 
a)   ¿De qué fruta lleva más cajas? ¿Cuántas cajas 
lleva de esa fruta?
b)   ¿De qué fruta lleva menos cajas? ¿Cuántas 
cajas lleva de esa fruta?
22. ●● De las 120 farolas que hay en una localidad, 
la octava parte están rotas. De las que no están 
rotas, un tercio tienen las bombillas fundidas. 
¿Cuántas farolas se encienden por la noche? 
21
301386 _ 0006-0021.indd 21 21/07/11 10:02
2
1. Pitágoras fue un 
matemático griego 
del siglo vi a.C. 
Busca información 
sobre su vida y sus 
descubrimientos 
matemáticos. 
2. ¿A qué se refiere 
Pitágoras cuando 
habla de los otros 
números? ¿Qué es la 
razón de la Pentalfa?
3. Investiga quién fue 
Hipaso de Metaponto 
y sus aportaciones 
al estudio de los 
números reales. 
DESCUBRE 
LA HISTORIA...
La razón irracional
El gran Pitágoras, que estudió el mundo 
y su relación con los números, 
el descubridor de la belleza racional 
de todas las cosas creadas, al final de 
su vida, en los albores del siglo V a.C., 
se confesaba a uno de sus discípulos 
amargamente:
–Escucha –le decía a Hipaso de 
Metaponto–: Toda mi vida he buscado 
la verdad en los números; la explicación 
de lo divino y lo humano estaba en ellos 
o en sus razones, todo era perfecto 
y explicable, todo era razonable…
Hipaso miraba a su maestro con admiración, 
mientras asentía con la cabeza.
Mientras tanto, Pitágoras continuaba: 
–Ahora que ha llegado el final de mi vida 
he de confesarte una horrible verdad: 
hace tiempo que los descubrí, hay otros.
–¿Otros? –preguntó Hipaso.
–Sí, están ahí pero son inconmensurables: 
cualquiera puede construir 
un cuadrado cuyo 
lado mida 1; 
sin embargo, 
será incapaz de medir 
su diagonal. Incluso 
la razón de la Pentalfa 
no es tal, sino uno 
de estos camuflado.
 
Números 
reales
301386 _ 0022-0039.indd 22 21/07/11 9:56
Antes de empezar la unidad... 
En esta unidad 
aprenderás a…
•   Resolver operaciones 
con potencias.
•   Escribir números 
en notación científica. 
•   Identificar números 
reales.
•   Interpretar intervalos.
PLAN DE TRABAJO
TIPOS DE NÚMEROS
Números naturales
El conjunto de los números naturales se designa por N y está formado por los números: 1, 2, 3, 4, …
Números enteros
En el conjunto de los números enteros, que designamos por Z, podemos diferenciar:
•	 Números	enteros positivos: +1, +2, +3, +4, …, que son los números naturales.
•	 El	número	0.
•	 Números	enteros negativos: -1, -2, -3, -4, …
Números decimales
Un número decimal tiene una parte entera, situada a la izquierda de la coma, y una parte decimal, 
situada a la derecha. Se pueden clasificar en:
•	 Decimales exactos: tienen un número limitado de decimales.
12,45	 8,347	 18,4	 0,00234	 12,102
•	 Decimales periódicos: tienen infinitas cifras decimales, y además, 
una o varias se repiten periódicamente.
– Decimales periódicos puros: las cifras comienzan 
a repetirse a partir de la coma. 18,
!
4 12,45
– Decimales periódicos mixtos: las cifras no comienzan 
a repetirse a partir de la coma. 18,1
!
4 12,453
•	 Decimales no exactos y no periódicos: tienen un número 
ilimitado de cifras decimales que no se repiten periódicamente.
, ...2 1 41421356237309= , ...3 14159265358979r=
Números racionales
El conjunto de los números racionales que se designa por Q está 
formadopor todos los números que se pueden expresar como 
una fracción, es decir, por los números naturales, enteros, decimales 
exactos y periódicos.
#
#
EVALUACIÓN INICIAL
1 Escribe de forma abreviada, si se puede, y clasifica estos números.
a) 12,222222… c) 37,2626262626… e) 56,255555…
b) 5,234 d) 18,25478478478… f) 1,234567891011…
2 Determina cuáles de estos números no son racionales.
3,02
!
7 -2 0,
!
8 11 56 
9
35
 8,43 -3,102 4 
2
3
-
3 Pon tres ejemplos de números:
a) Naturales b) Enteros c) Racionales d) No racionales
%
 8,347	 0,
!
5	 0,102
 8,34
!
7	 0,0
!
5	 0,1027
Los números 
decimales no exactos 
y no periódicos no son 
números racionales.
23
301386 _ 0022-0039.indd 23 21/07/11 9:56
ANTES, DEBES SABER…
Qué es el valor absoluto de un número
El valor absoluto de un número entero a es el número que resulta 
de prescindir de su signo. Se escribe ;a;.
EJEMPLO
1 Calcula.
a) Valor absoluto de +4 " ;+4; = 4
b) Valor absoluto de -4 " ;-4; = 4
c) Valor absoluto de +17 " ;+17; = 17
d) Valor absoluto de 0 " ;0; = 0
Cómo se multiplican dos números enteros
Para multiplicar dos números enteros:
1.º Multiplicamos sus valores absolutos.
2.º Al resultado le añadimos el signo + si ambos números son 
de igual signo, o el signo - si son de signos diferentes.
EJEMPLOS
2 Resuelve los productos.
a) (-8) ? (-3) = +24 c) (+8) ? (-3) = -24
b) (+8) ? (+3) = +24 d) (-8) ? (+3) = -24
3 Resuelve esta operación:
(-4) ? (-3) ? (-2) ? (-1) = +12 ? (-2) ? (-1) = -24 ? (-1) = +24
F
Mismo signo
F
Distinto signo
F
Mismo signo
F
Distinto signo
Regla de los signos
+ ? + = +
- ? - = +
+ ? - = -
- ? + = -
NO OLVIDES
Potencias de números
racionales1
3 Realiza las operaciones.
a) (-3) ? (+2) ? (+2) ? (-6)
b) (+5) ? (-10) ? (+3) ? (-2)
c) (-4) ? (-3) ? (-2) ? (-3)
d) (+5) ? (+4) ? (+3) ? (+2)
e) (-5) ? (-4) ? (-2) ? (+2)
f) (-3) ? (-3) ? (-3) ? (-3) ? (-3)
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
1 Halla el valor absoluto de los siguientes 
números:
-16 +5 +7 0 -9 -102 +46
2 Realiza estas multiplicaciones con números 
enteros.
a) (-7) ? (+4) c) (-7) ? (-4)
b) (+7) ? (+4) d) (+7) ? (-4)
Mismo signo Distinto signo Mismo signo
24
301386 _ 0022-0039.indd 24 21/07/11 9:56
Qué es una potencia de números enteros
Si a es un número entero y n es un número natural, la potencia an es:
...? ? ? ?a a a a an =
nveces\
•	 La	base a es el factor que se repite.
•	 El	exponente n es el número de veces que se repite.
EJEMPLOS
4 Escribe en forma de potencia y cómo se leen.
Producto Potencia Se lee
(+4) ? (+4) (+4)2 «4 elevado a 2» o «4 al cuadrado»
(-9) ? (-9) ? (-9) (-9)3 «-9 elevado a 3» o «-9 al cubo»
(-7) ? (-7) ? (-7) ? (-7) (-7)4 «-7 elevado a 4» o «-7 a la cuarta potencia»
3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 35 «3 elevado a 5» o «3 a la quinta potencia»
5 Calcula estas potencias.
a) (+3)4 ? ? ?3 3 3 3 81= =
b) (-3)4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )? ? ? ? ? ?3 3 3 3 3 3 2 39 7 81= - - - - - - -= =- =
Cuál es el signo de una potencia de base un número entero
En una potencia de base un número entero y exponente natural:
•	 	Si	la	base	es	un	número	positivo,	la	potencia	es	positiva.
•	 	Si	la	base	es	un	número	negativo,	la	potencia	es	positiva	cuando	
el exponente es par y negativa cuando es impar.
EJEMPLO
6 Calcula el valor de estas potencias.
a) (+2)4 = 2 ? 2 ? 2 ? 2 = 16
b) (+2)5 = 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 = 32
c) (-2)4 = (-2) ? (-2) ? (-2) ? (-2) = (+4) ? (-2) ? (-2) =
= (-8) ? (-2) = 16
d) (-2)3 = (-2) ? (-2) ? (-2) = (+4) ? (-2) = -8
F
F
1442443
4 veces
F
14444444244444443
4 veces
F
F
34
base
exponente
6 Escribe en forma de potencia y como producto.
a) Base 11 y exponente 4.
b) Base -2 y exponente 3.
7 Calcula las siguientes potencias.
a) 45 c) 142 e) 73 g) 54
b) (-2)6 d) (-4)4 f) (-9)2 h) (-6)4
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
4 Escribe cómo se leen y calcula su valor.
a) 65 b) 53 c) (-6)5 d) (-5)3
5 Expresa con una sola potencia, si se puede, 
estos productos de números enteros.
a) (-7) ? (-7) ? (-7) c) 5 ? 7 ? 5 ? 7
b) 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 d) (-3) ? (-3) ? 2
Los números positivos 
se escriben habitualmente 
sin el signo + que 
los procede:
+2 = 2 +3 = 3
RECUERDA
25
301386 _ 0022-0039.indd 25 26/07/11 10:10
1.1 Potencias de exponente entero positivo
Una potencia de exponente un número positivo es una forma abre-
viada de expresar una multiplicación en la que todos los factores son 
iguales. 
an = a ? a ? a ? … ? a si n >	0
n veces
1444442444443
EJEMPLO
1 Calcula estas potencias.
a) 34 = 3 ? 3 ? 3 ? 3 = 81 c) (0,4)2 = 0,4 ? 0,4 = 0,16
 4 veces 2 veces
b) ? ?
5
2
5
2
5
2
125
8
5
2 3
= =e o d) ? ? ?
2
1
2
1
2
1
2
1
16
1
2
1 4
= =e o
 3 veces 4 veces
En una potencia de base un número racional y exponente positivo:
•	 	Si	la	base	es	un	número	positivo,	la	potencia	es	siempre	positiva.
•	 	Si	la	base	es	un	número	negativo,	la	potencia	es	positiva	cuando	el	
exponente es par, y negativa cuando es impar.
EJEMPLO
2 Calcula las siguientes potencias.
a) (-2)5 = (-2) ? (-2) ? (-2) ? (-2) ? (-2) = -32
b) (-1,2)4 = (-1,2) ? (-1,2) ? (-1,2) ? (-1,2) = 2,0736
c) -
( ) ( ) ( )? ?5 5 5- - -
? ?
? ?6
5
6
5
6
5
6 6 6 216
125
216
125
6
5 3
= - - - = =
-
=-oe e e eo o o
d) 43 = 4 ? 4 ? 4 = 64
e) 
? ?
? ?
? ?6
5
6
5
6
5
6 6 6
5 5 5
6
5
216
125
6
5
3
33
= = = =oe
144424443 1 424 3
144424443 14444244443
F
Impar
F
Par
F
Impar
CALCULADORA
Para hallar potencias 
con la calculadora utilizamos 
la tecla x y .
Por ejemplo, para calcular 
(1,4)3 tecleamos:
1 · 4 x
y 3 = 2.744
8 Expresa estas potencias como producto, 
y calcula su valor.
a) 33 c) (-3)3 e) 
4
3 3
d n g) 
4
3 3
-d n
b) 34 d) (-3)4 f) 
4
3 4
d n h) 
4
3 4
-d n
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
1 Calcula las siguientes potencias.
a) 32 d) (-5)3 g) (4,25)4
b) 74 e) (-2,02)4 h) 
3
1 3
-e o
c) (-9)2 f) 
8
5 5
-e o i) (-14,32)8
26
301386 _ 0022-0039.indd 26 21/07/11 9:56
1.2 Potencias de exponente entero negativo
Una potencia de exponente un número entero negativo es igual al 
cociente entre la unidad y dicha potencia con el exponente positivo. 
a
a
1n
n=
- si a ! 0
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se divide un número entre una fracción
Para dividir un número entero entre una fracción, 
se expresa el número en forma de fracción 
: :
3
7
1
1
3
7
1
1
3
7
7
3
= = =
poniendo como denominador 1.
EJEMPLO
3 Calcula estas potencias de exponente negativo.
a) 3-2 
3
1
9
1
2
= = c) 
( )2
1
8
1
8
1
( 2)
3
3=
-
=
-
=-- -
b) (-3)-2 
( )3
1
9
1
2
=
-
= d) :
3
2
1
27
8
1
1
27
8
8
27
3
2
3
3
= = = =
-
e
d
o
n
1.3 Potencias de exponente 0, 1 y -1
Para cualquier valor de a (a !	0)	siempre	se	cumple	que:	
a
a a
a
1
1
0
1
1
=
=
-a =
*
EJEMPLO
4 Calcula las siguientes potencias.
a) 30 = 1 d) 31 = 3 g) 
3
1
3
1
3
1
1 = =-
b) (-3)0 = 1 e) (-3)1 = -3 h) 
( )3
1
3
1
3
1
( 3)
1
1=
-
=
-
=-- -
c) 1
3
4 0
=e o f) 
3
4
3
4 1
=e o i) :
3
4
1
3
4
1
1
3
4
4
3
3
4
1
1
= = = =
-
e
d
o
n
CALCULADORA
Para hallar (3,4)-2 
tecleamos:
3 · 4 x y 2 ! =
y en la pantalla aparece:
 
0.08650519
Al dividir la unidad entre 
una fracción obtenemos 
otra fracción en la que 
intercambiamos el 
numerador y el denominador.
5
4
1
4
5
=
NO OLVIDES
10 Determina el valor de estas potencias.
a) 70 c) 2-1 e) (-2)-1
b) 
2
5 1
d n d) 
5
2 1
-d n f) 
2
1 1-
d n
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
9 Calcula el valor de estas potencias.
a) 3-5 c) (-3)-5 e) 10-3
b) 
2
5 3-
d n d) 
2
5 2-
d n f) 
2
1 2-
d n
27
301386 _ 0022-0039.indd 27 21/07/11 9:56
Propiedades 
de las potencias
2.1 Potencia de un producto
Para elevar un producto a una potencia se eleva 
cada uno de los factores a dicha potencia. (a ? b)
n = an ? bn
EJEMPLO
5 Expresa como un producto de potencias.
a) (5 ? 7)3 = (5 ? 7) ? (5 ? 7) ? (5 ? 7) = 5 ? 5 ? 5 ? 7 ? 7 ? 7 = 53 ? 73
b) ( )
( )
? ? ?3 5
3
1
5
1
[( 3) 5] 3
3 3
3
3- = - =
-
- --
2.2 Potencia de un cociente
Para elevar un cocientea una potencia:
•	 	Si	el	exponente	es	positivo,	se	eleva	
cada uno de los términos a dicha 
potencia.
a b
b
a
b
a
( : ) n
n
n
n
= =e o
•	 	Si	el	exponente	es	negativo,	se	in-
vierten los términos y se elevan a 
dicha potencia.
a b
b
a
a
b
( : ) n
n
n
n
= =-
-
e o
EJEMPLOS
6 Expresa como un cociente de potencias.
a) ? ?
10
7
10
7
10
7
10
7
10
7
3
33
= =e o c) 
4
5
4
5
5
4 3
3
33
= =
-
e eo o
b) : :
?3
1
5
3
3
1
5
3
3 3
5
3
5
3
1
:
5
3 3 3
3 3
3
3 3
3
6
33
= = = =d d dn n n
7 Calcula estos cocientes de potencias.
a) 
( )
3
1
81
1
3
1
4
44
-
=
-
=e o b) 
( )1
3
1
81
81
3
1
4
44
=
-
= =
-
-
e o
2
7 Calcula.
a) (8 ? 4)3 d) (6 ? 5)-2
b) [(-1) ? (-4)]3 e) [(-3) ? 5]-2
c) 
5
4 3e o f) 
3
5 2
-
-
e o
8 Resuelve. a) ?2
3
7 5e o b) ( )?
5
3
10
2
-
-
= G
11 Determina el valor de estas potencias.
a) ?
3
1
34
4
d n b) 3 ?
3
14
4
-
-
d n
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
•   Las fracciones del tipo  
b
a-
 y 
b
a
-
 se pueden 
escribir como 
b
a
- .
7
2
7
2
7
2-
=
-
=-
Son fracciones negativas.
•   Las fracciones del tipo 
b
a
-
-
 
se pueden escribir como 
b
a
.
7
2
7
2
-
-
=
Son fracciones positivas.
SE ESCRIBE ASÍ
28
301386 _ 0022-0039.indd 28 21/07/11 9:56
2.3 Producto de potencias de la misma base
Para multiplicar potencias de la misma base se man-
tiene la misma base y se suman los exponentes.
an ? am = an+m
EJEMPLO
8 Expresa como una sola potencia.
a) (-5)2 ? (-5)3 = (-5) ? (-5) ? (-5) ? (-5) ? (-5) = (-5)2+3 = (-5)5
b) ? ? ? ? ?
5
8
5
8
5
8
5
8
5
8
5
8
5
8
5
8
5
8 2 3 52 3
= = =
+
e e e e e e e e eo o o o o o o o o
2.4 Cociente de potencias de la misma base
Para dividir potencias de la misma base se mantiene 
la misma base y se restan los exponentes.
an : am = an-m
EJEMPLO
9 Expresa como una sola potencia.
( )
( )
( ( (
( 2 ( ( ( 2) ( 2)
( ) ( )
? ?
? ? ? ?
2
2
2) 2) 2)
) 2) 2)
2 2( 2) : ( 2) 3
5
5 3 25 3=
-
-
=
- - -
- - - - -
= - = -- - -
2.5 Potencia de una potencia
Para elevar una potencia a otra potencia se mantie-
ne la misma base y se multiplican los exponentes.
(an)m = an ? m
EJEMPLO
10 Expresa como una sola potencia.
? ? ?
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2 ?3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 123
4
= = = =
+ + +
d d d d d d d dn n n n n n n n> H
Las propiedades 
an · am = an + m
an : am = an – m
solo se pueden aplicar 
cuando las potencias 
tienen la misma base.
12 Expresa como una sola potencia estas 
operaciones, y calcula el resultado.
a) 24 ? (22)5 e) 42 ? 43 ? 44
b) (24)3 : (22)5 f) (-4)4 ? (-4)3 ? (-4)
c) (22)5 : (24)3 g) (-4)4 : (-4)3 : (-4)
d) : ?
4
3
4
3
4
34 2
d d dn n n h) 
4
3
:
4
34 2 3
d dn n> H
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
10 Expresa como una sola potencia.
a) 54 ? 56 e) (22)3
b) (-9)6 : (-9)2 f) [(-2)2]3
c) :
6
5
6
510 6e eo o g) ?
3
4
3
43 3
- -e eo o
d) 
5
3 4
2
e o> H h) :
3
4
3
43 3
- -e eo o
29
301386 _ 0022-0039.indd 29 21/07/11 9:56
Notación científica
3.1 Potencias de base 10 
•	 	Una	potencia de base 10 y exponente entero positivo es igual a la 
unidad seguida de tantos ceros como indique su exponente.
•	 	Una	potencia de base 10 y exponente entero negativo es igual a 
la unidad dividida entre dicha potencia con exponente positivo.
EJEMPLO
11 Calcula el valor de estas potencias de 10. 
a) 101 = 10 c) 102 = 100 e) 103 = 1 000
b) 10-1 ,
10
1
0 1= = d) 10-2 ,
100
1
0 01= = f) 10-3 ,
1000
1
0 001= = 
3.2 Expresión de números muy grandes y muy pequeños
Para expresar de forma sencilla números muy grandes y muy pequeños se 
utilizan	las	potencias	de	10.
La notación científica es una forma de expresar números mediante el 
producto	de	un	número	mayor	o	igual	que	1	y	menor	que	10,	multipli-
cado	por	una	potencia	de	10.	Al	exponente	de	la	potencia	de	10	se	le	
llama orden de magnitud.
EJEMPLO
12 Escribe estos números en notación científica. 
a)	La	población	mundial	es,	aproximadamente,	de	6	900	000	000	personas.
 6 900 000 000 = 6,9 ? 1 000 000 000 = 6,9 ? 109 
b) El radio de un átomo mide alrededor de 0,00000000031 m. 
 ,
,
, ,? ?0 00000000031
10 000 000 000
3 1
3 1
10 000 000 000
1
3 1 10 10= = = -
3
Una potencia 
de base 10 con exponente 
negativo es igual 
a un número decimal.
10–2 = 0,01
10–5 = 0,00001
2 decimales
5 decimales
0
14243
13 Identifica los números que no están 
correctamente expresados en notación científica.
a) 6,02 ? 107 b) 60,2 ? 108 c) 0,602 ? 108
14 Escribe en notación científica.
a) 250 millones de partículas.
b) 4 000 millones de habitantes.
c) 852,7 millones de kilómetros.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
13 Escribe en notación científica.
a) 493 000 000 d) 12,00056
b) 315 000 000 000 e) 253
c) 0,0004464 f) 256,256
14 Escribe, con todas sus cifras, los siguientes 
números dados en notación científica.
a) 2,51 ? 106 b) 9,32 ? 10-8 c) 3,76 ? 1012
30
301386 _ 0022-0039.indd 30 21/07/11 9:56
15 Escribe:
a) Cinco números racionales.
b) Cinco números irracionales.
c) Cinco números reales.
d) Cinco números enteros que no sean números 
naturales.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
20 Clasifica los siguientes números decimales 
en racionales o irracionales.
a) 4,325325325…
b) 4,330300300030000300000…
c) 1,23233233323333233333...
d) 3,12359474747...
 
Números reales
4.1 Números irracionales
Los números irracionales son los números que no se pueden expresar 
en forma de fracción. 
Su expresión decimal tiene un número ilimitado de cifras decimales no 
periódicas.
EJEMPLO
15 Calcula la expresión decimal de 2 .
, ...2 1 414213562373=
Podemos calcular más decimales pero nunca terminaríamos, y no hay 
cifras que se repitan periódicamente: 2 es un número irracional.
Existen infinitos números irracionales, por ejemplo: 
•	 	Cualquier	raíz	no	exacta:	 , , ...3 7 1462-
•	 	Algunos	números	especiales: p, e, F...
•	 	Determinados	números	obtenidos	combinando	sus	cifras	decima-
les,	por	ejemplo:	0,010010001…;	0,020020002…
4.2 Números reales
Los números reales se representan como R, y son el conjunto formado 
por los números racionales y los números irracionales.
4
Los números decimales 
pueden ser racionales 
o irracionales.
Todos los números 
decimales son reales.
Números reales R
NÚMEROS IRRACIONALES I NÚMEROS RACIONALES Q
1,120120012000…
Números enteros Z
Números naturales N
-1
7,42
3
-3
-3,4
!
p
-0,12
34567
…
2 1	304
12 103-
3
5
1407
9
4
-
3
7
31
301386 _ 0022-0039.indd 31 21/07/11 9:56
Intervalos
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se representan los números enteros en una recta
Los	números	enteros	se	representan	ordenados	en	la	recta	numérica.
•	 Los	números	enteros	positivos se sitúan a la derecha del cero.
•	 Los	números	enteros	negativos se sitúan a la izquierda del cero.
Números enteros negativos Números enteros positivos
0-8… -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 …
FG
EJEMPLO
7 	 Representa	en	la	recta	numérica	los	números:	-5, +4, 0, -2 y +1.
0-8… -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 …
Cómo se representan los números decimales exactos
Si dividimos una unidad decimal en 10 partes iguales, cada una de esas 
partes es una unidad de orden inmediatamente inferior.
EJEMPLO
8 	 Representa	en	la	recta	numérica	los	números	2,6;	2,16;	
5
14
 y 2,12.
Los números 2,6; 2,16; ,
5
14
2 8= y 2,12 están comprendidos entre 2 y 3. 
Para representar 2,6 y 2,8 dividimos la unidad correspondiente 
en diez partes iguales, que son las décimas.
Así, 2,6 está situado en la sexta división, y 2,8 en la octava.
2
2,6 2,8
3
Para representar 2,12 y 2,16 dividimos la décima correspondiente 
en 10 partes iguales, que son las centésimas.
En este caso, ambos están comprendidos entre 2,1 y 2,2. Así, 2,12 está 
situado en la segunda división y 2,16 en la sexta.
2,1
2,162,12
2,2
7
1 unidad = 10 décimas
1 décima = 10 centésimas
1 centésima = 10 milésimas
NO OLVIDES
18 Ordena, de mayor a menor, los siguientes 
números decimales:
8,5 8,67 8,07 8,45
19 Ordena, de mayor a