clase5 - Zaida Moreno Páez

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Propiedades del estimador MCO Bondad de Ajuste
Clase 5
Econometŕıa
Tomás Rau
21 de agosto
Clase 5 Econometŕıa
Propiedades del estimador MCO Bondad de Ajuste
Contenidos
Propiedades del estimador MCO
Momentos del estimador MCO
Propiedad BLUE o MELI
Teorema de Gauss-Markov
Bondad de Ajuste
Clase 5 Econometŕıa
Propiedades del estimador MCO Bondad de Ajuste
Momentos del estimador MCO
Momentos del estimador MCO
La clase pasada vimos que
⇒ E (β̂) = β (1)
Es decir, el estimador MCO es insesgado, tal como lo hab́ıamos
mostrado anteriormente. Ahora, note que
β̂ = (X ′X )−1X ′Y
β̂ = (X ′X )−1X ′(Xβ + u)
β̂ = β + (X ′X )−1X ′u
y el error de estimación es β̂ − β = (X ′X )−1X ′u
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Propiedades del estimador MCO Bondad de Ajuste
Momentos del estimador MCO
Momentos del estimador MCO
Ahora calculemos la varianza de β̂: Necesitamos obtener la
varianza de un vector, para eso necesitamos la esperanza de la
siguiente forma cuadrática
var(β̂) = E [(β̂ − E (β̂)) · (β̂ − E (β̂))′]
= E [(β̂ − β) · (β̂ − β)′]
= E [(X ′X )−1X ′uu′X (X ′X )−1]
= (X ′X )−1X ′E (uu′)X (X ′X )−1
= (X ′X )−1X ′(σ2In)X (X
′X )−1
= σ2(X ′X )−1 (2)
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Momentos del estimador MCO
Momentos del estimador MCO
Para poder estimar la varianza muestral de β̂ necesitamos
reemplazar σ2 en (5) por su estimador insesgado:
σ̂2 =
û′û
n − k
donde el denominador es n − k y corresponde a los grados de
libertad del modelo.
Se puede demostrar que E (σ̂2) = σ2 pero no la haremos. La
podrán bajar de la página del curso.
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Propiedades del estimador MCO Bondad de Ajuste
Propiedad BLUE o MELI
Propiedad BLUE
Se dice que β̂, es el mejor estimador lineal insesgado (MELI o
BLUE) de β si se cumple lo siguiente:
1 El lineal, es decir, es una función lineal de una variable
aleatoria, como la variable y en el modelo de regresión.
2 Es insesgado, es decir, su valor esperado, E (β̂), es igual a el
verdadero valor, β.
3 Tiene varianza ḿınima dentro de la clase de todos los
estimadores lineales insesgados; un estimador insesgado como
varianza ḿınima es conocido como un estimador eficiente.
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Propiedades del estimador MCO Bondad de Ajuste
Teorema de Gauss-Markov
Gauss-Markov
Proposición: El estimador MCO es el estimador lineal insesgado
óptimo, en el sentido de que cualquier otro estimador lineal e
insesgado tiene una matriz de covarianza mayor que la del
estimador MCO. Es decir, el estimador MCO es MELI (BLUE).
Demostración: Ver pdf en webcursos, opcional (no
será controlada).
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Propiedades del estimador MCO Bondad de Ajuste
Teorema de Gauss-Markov
Bondad de Ajuste
Clase 5 Econometŕıa
Propiedades del estimador MCO Bondad de Ajuste
Bondad de Ajuste
Si la primera columna de X es un vector de unos, se tiene una
medida resumen para la “bondad de ajuste” del modelo de la
siguiente identidad:
n∑
i=1
(Yi − Ȳ )2 =
n∑
i=1
(Yi − Ŷi )2 +
n∑
i=1
(Ŷi − Ȳ )2
TSS = RSS + ESS
1 =
RSS
TSS
+
ESS
TSS
donde Ŷi = Xi β̂, RSS es la suma de los residuos al cuadrado , TSS
es la suma Total de las desviaciones de y con respecto a su media
y ESS la suma explicada por el modelo respectivamente.
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Propiedades del estimador MCO Bondad de Ajuste
Bondad de Ajuste: R2
La medida de bondad de ajuste es
R2 =
ESS
TSS
= 1− RSS
TSS
En términos matriciales
R2 = 1−
∑n
i=1(Yi − Ŷi )2∑n
i=1(Yi − Ȳ )2
= 1−
∑n
i=1 û
2
i∑n
i=1(Yi − Ȳ )2
donde Y es el promedio muestral (escalar) de la variable
dependiente,
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Propiedades del estimador MCO Bondad de Ajuste
Bondad de Ajuste: R2
Note que:
1 El coeficiente de determinación es siempre menor a 1. Ello
porque RSS ≤ TSS y por lo tanto RSSTSS ≤ 1.
2 El análisis de varianza anterior fue derivado bajo el supuesto
que el modelo inclúıa una constante . En dicho caso,
necesariamente R2 ≥ 0.
3 Al agregar regresores al modelo, el R2 nunca decrecerá (se
mantendrá constante o aumentará)
4 No es claro cuan bueno sea como predictor de ajuste.
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