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MAT1610 — Cálculo I
Luis Dissett
Facultad de Matemáticas
Pontificia Universidad Católica de Chile
Clase 19 — Aplicaciones de la derivada: máximos y
mínimos.
Relación entre derivadas y crecimiento de una función
Teorema
Sea f : [a, b]→ R una función continua en [a, b] y diferenciable
en (a, b), y sea x0 ∈ (a, b). Si f ′(x0) > 0, entonces existe una
vecindad de x0 tal que, dado x en dicha vecindad de x0, se tiene
f (x) < f (x0) si x < x0 y f (x) > f (x0) si x > x0.
Demostración.
Supongamos que no. Entonces, toda vecindad de x0 tiene
algún x 6= x0 tal que
f (x)− f (x0)
x− x0
≤ 0. Pero esto implica que
f ′(x0) = lim
x→x0
f (x)− f (x0)
x− x0
≤ 0,
lo que contradice la hipótesis.
Optimización: los dos problemas fundamentales
Sea f : [a, b]→ R. Definimos dos problemas, muy relacionados
entre sí.
Problema de maximización: Nos interesa encontrar (si es que
existe) un valor x0 ∈ [a, b] tal que f (x0) ≥ f (x) para
todo x ∈ [a, b]. A esto lo llamamos hallar el
máximo de f (x) en [a, b].
Problema de minimización: Nos interesa encontrar (si es que
existe) un valor x0 ∈ [a, b] tal que f (x0) ≤ f (x) para
todo x ∈ [a, b]. A esto lo llamamos hallar el mínimo
de f (x) en [a, b].
Relación entre maximización y minimización
Note que el problema de maximizar f (x) en [a, b] es equivalente
al de minimizar −f (x) en [a, b], por lo que da lo mismo estudiar
uno de los problemas o el otro.
En lo que sigue, plantearemos los problemas indistintamente
como de maximización o minimización, y se entenderá que lo
dicho acerca de uno puede aplicarse al otro.
Máximos y mínimos locales
Un punto x0 ∈ [a, b] se dice máximo local (resp. mínimo local)
de una función f : [a, b]→ R si existe una vecindad V de x0 tal
que f (x0) ≥ f (x) para todo x ∈ V ∩ [a, b].
Aunque en general estamos interesados solamente en hallar el
máximo o mínimo global de f en [a, b], muchas veces la única
forma de hallar dicho máximo o mínimo global es comparando
los máximos o mínimos locales.
Condición necesaria
Por lo visto anteriormente, si f es diferenciable en un intervalo
(a, b) y alcanza su máximo (o mínimo) en un punto x0 ∈ (a, b),
debe tenerse f ′(x0) = 0.
Note que esto sólo se aplica a los puntos interiores de [a, b], no
a sus extremos.
Así, vemos que una condición necesaria para que f alcance su
máximo en x0 ∈ [a, b] es que:
I x = a o x = b; o bien
I f no sea diferenciable en x0; o bien
I f ′(x0) = 0 (o sea, x0 es un punto crítico de f ).
Método para maximizar una función f : [a, b]→ R
I Calcular el valor de la función en x = a o x = b;
I calcular el valor de f en los puntos en que f ′ no está
definida; y
I calcular el valor de f en los puntos críticos.
El punto —de los anteriores— donde f tenga el mayor valor
será el máximo.
Condición necesaria 6→ condición suficiente
¿Si f ′(x0) = 0, es necesariamente x0 un máximo o mínimo
global?
No, como muestra el siguiente ejemplo: f (x) = x3 no tiene un
mínimo cuando x = 0, aunque f ′(0) = 0.
Ejemplo: el tarro de Nescafé
Encuentre el tamaño de la lata cilíndrica de mayor volumen que
se puede formar de una lámina cuadrada de metal (el tarro de
Nescafé).
Solución:
Sea a el lado del cuadrado que forma la lámina, y supongamos
que cortamos de ésta una plantilla con la forma mostrada en la
figura.
Si esta plantilla da lugar a un tarro de altura h, el radio de las
circunferencias será r =
a− h
4
.
El tarro de Nescafé (cont.)
Así, si se corta la plantilla de un tarro de altura h, el área basal
del cilindro será πr2 =
π
16
(a− h)2 = π
16
(h− a)2, y el volumen
será V =
π
16
(h− a)2h.
La función que deberemos maximizar es precisamente V en
términos de h.
Así, llamaremos V(h) a
V(h) =
π
16
(h− a)2h = π
16
(
h3 − 2ah2 + a2h
)
.
El tarro de Nescafé (cont.)
Observamos que 0 ≤ h ≤ a. Sin embargo, debemos también
notar que h no puede ser tan pequeña que el ancho a de la
lámina sea menor que el perímetro de las circunferencias. Así,
debe tenerse a ≥ 2πr = 2π (h− a)
4
=
π(h− a)
2
, de donde
πh ≥ (π − 2)a, por lo que h ≥ a(π−2)π .
Así, el intervalo en que está definida la función V(h) es{
h ∈ R : a(π − 2)
π
≤ h ≤ a
}
=
[
a(π − 2)
π
, a
]
.
Pasamos a calcular la derivada de V(h).
V ′(h) =
π
16
(
3h2 − 4ah + a2
)
.
El tarro de Nescafé (cont.)
Como V ′(h) = π16
(
3h2 − 4ah + a2
)
, vemos que V ′(h) está
definida para todo h ∈ R, y en particular, para todo
h ∈
(
a(π−2)
π , a
)
.
Así, los candidatos a máximo (o mínimo) son solamente los
extremos del intervalo (o sea, a(π−2)π y a) y los puntos del
intervalo
(
a(π−2)
π , a
)
donde V ′(h) se hace 0.
Resolviendo la ecuación V ′(h) = 0, obtenemos que
h =
4a±
√
16a2 − 4 · 3 · a2
6
=
4a±
√
16a2 − 12a2
6
=
4a±
√
4a2
6
=
4a± 2a
6
=
2a± a
3
,
de donde h = a3 o h = a. ¡Pero estos valores están fuera del
intervalo
(
a(π−2)
π , a
)
!
El tarro de Nescafé (cont.)
Así, sólo nos quedan los extremos del intervalo (h = a(π−2)π y
h = a) como posibles máximos.
Como V(a) = 0, no puede ser el máximo, por lo que
necesariamente éste se alcanza en x = a(π−2)π .
El espejo roto
En la figura se tiene un espejo
rectangular de 85 cm de
ancho por 110 cm de alto que
se ha trizado según la recta←→
AB de ecuación x11 +
y
18 = 1.
Se pide encontrar un punto P0
en la recta
←→
AB de modo que se
forme un nuevo espejo
rectangular P0P1P2P3 de área
máxima.
A
B
P
P
P
P
0
1
23
El perro y el cartero
Sultán, el perro guardián de la casa, está amarrado a un árbol
de 30 cm. de diámetro. La cuerda que lo amarra tiene 2.5 m.
de largo, y forma un lazo (con nudo corredizo) alrededor del
tronco del árbol.
¿Qué ángulo forma el lazo en el tronco cuando Sultán ataca al
cartero?
¿A qué distancia del árbol le conviene estar al cartero?
El perro y el cartero (solución)
Cuando el perro corre hacia el cartero, la cuerda se tensa,
tomando la forma de la figura.
Llamemos α al ángulo que forma la cuerda en el lazo, y sea
d(α) la distancia del centro del árbol a la que llega el perro
cuando la cuerda forma ese ángulo. Queremos hallar el valor
de α ∈ (0, π) que maximiza el valor de d(α).
El perro y el cartero (solución)
Analicemos la figura, correspondiente a la mitad del árbol. . El
ángulo del centro es π−α2 , y el ángulo que cubre la cuerda es
π − π−α2 =
π+α
2 .
O A
T
El triángulo OAT es rectángulo en T, y se tiene
sen
α
2
=
OT
OA
, cos
α
2
=
AT
OA
.
El perro y el cartero (solución)
Así,
OA = OT/ sen
α
2
=
15
sen α2
y AT = OA cos
α
2
=
15
tan α2
,
de donde
d(α) = OA + (250− 2(AT + BT))
=
15
sen α2
+ 250− 2
(
15
tan α2
+ 15
π + α
2
)
=
15
sen α2
+ 250− 30
tan α2
− 15(π + α)
= 250− 15(π + α) +
15− 30 cos α2
sen α2
.
El perro y el cartero (solución)
Tenemos que
d(α) = 250− 15(π + α) +
15− 30 cos α2
sen α2
.
¿En qué intervalo está definida esta función? Claramente, α
debe ser ≤ π (a medida que el lazo se acerca al árbol, α se
acerca a π, pero no puede sobrepasarlo), pero determinar el
valor mínimo de α es un poco más complicado, ya que
corresponde al valor de α que no deja nada de cuerda
sobrando desde el lazo, o sea, al valor que satisface
2
(
15
tan α2
+ 15
π + α
2
)
= 250,
o sea,
30
tan α2
+ 15(π + α) = 250.
El perro y el cartero (solución)
La ecuación
30
tan α2
+ 15(π + α) = 250
no puede ser resuelta por medios analíticos, por lo que no
podemos determinar a priori el intervalo en el que debemos
buscar α. Sin embargo, dado un valor de α, podemos verificar
si está o no dentro del intervalo buscado, simplemente
comprobando si 30tan α2
+ 15(π + α) ≤ 250 o no.
El perro y el cartero (conclusión)
Derivando,
d′(α) = −15 +
15− 152 cos
α
2
sen2 α2
.
Esta derivada está definida para todo α en (0, π], por lo que el
máximo de d se encuentra o bien en los extremos del intervalo
(o sea, α = π o α = la solución de la ecuación mostrada antes)
o en puntos en que la derivada es 0.
La única solución de d′(α) = 0 en (0, π) es α = 2π3 . Como
d′′
(2π
3
)
= −5
√
3
2 < 0, α =
2π
3 es un máximo local; como no hay
otros puntos con derivada 0 en (0, π), debe ser el máximoglobal en dicho intervalo.