La-construccion-del-concepto-de-suma-y-resta-en-alumnos-de-primer-grado-de-la-escuela-primaria

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO. 
 
 
 
FACULTAD DE FILOSOFÍA Y LETRAS. 
COLEGIO DE PEDAGOGÍA. 
 
 
 
 
 
 
“LA CONSTRUCCIÓN DEL CONCEPTO DE SUMA Y RESTA EN 
ALUMNOS DE PRIMER GRADO DE LA ESCUELA PRIMARIA”. 
 
 
 
 
 
T E S I N A. 
 
 
QUE PARA OBTENER EL TITULO DE: 
LICENCIADA EN PEDAGOGÍA. 
 
 
P R E S E N T A. 
 
 
ISABEL YAZMIN DELGADILLO ZEPEDA. 
 
 
 
 
ASESORA 
 
DRA. CONCEPCIÓN BARRÓN TIRADO. 
 
 
 
MÉXICO, D.F., 2009. 
 
 
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
Tesis Digitales 
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respectivo titular de los Derechos de Autor. 
 
 
 
 2
AGRADECIMIENTOS 
 
 
 
 
 
A LA UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO: 
Por la oportunidad de brindarme una formación universitaria 
 
 
 
 
 
A MI ASESORA DRA. CONCEPCIÓM BARRÓN: 
Por brindarme su tiempo y apoyo. 
Por compartir sus conocimientos para realizar este trabajo. 
 
 
 
 
A MIS SINODALES: 
Por la revisión de este trabajo 
Y por enriquecerlo con sus aportaciones 
 
 
 
 
A MIS PADRES: 
Por haberme enseñado el significado de una formación responsable. 
Por haberme dado la vida, por creer y confiar en mí. 
Por su ejemplo de constancia, tenacidad 
y lucha de gratitud, cariño y respeto. 
 
 
 
 
A MISS SUSY: 
Para quien siempre guardaré gratitud y respeto por los conocimientos, 
apoyo y confianza de que manera ampliamente desinteresada me brindo. 
Por el tiempo quitado a su vida para enriquecer la mía. 
En testimonio de reconocimiento y por su esforzado empeño en la 
terminación de mi carrera. 
 
 
 
 
 
 3
A MIS HERMANOS RITA, LUPE Y VICENTE: 
 
Por su apoyo, cariño, confianza, estimulo y por permitirme 
compartir con ellos las experiencias vividas. 
 
 
 
A MIS AMIGOS, AMIGAS Y COMPAÑEROS: 
Por haber sido parte importante en mi desarrollo. 
Por compartir su espacio y su tiempo. 
Por su amistad y cariño. 
 
 
 
 
 
A DAVID: 
Por formar parte importante en mi vida. 
Por darme su amor y comprensión. 
Por su apoyo incondicional en los buenos y malos 
momentos que pasamos durante mi carrera. 
Por dejar huella trascendental en mi vida. 
Por ser la persona que ocupa mi corazón y que hoy 
en día no se encuentra a mi lado, pero que siempre será mi Yolotzin 
y lo recordaré toda la vida. 
 
 
 
 
A todas las personas que forman y formaron parte importante de mi trayectoria 
personal y profesional, porque de ellas he recibido cosas positivas que con un gracias 
no es suficiente para demostrarles lo que significan para mí. 
Les agradezco el estar conmigo en los momentos de triunfo y fracaso, dedico este 
trabajo a todas esas personas que son parte mí 
 
 
 
 
 
 
 
 4
INDICE pág. 
INTRODUCCIÓN…………………………………………………………….............. 5 
1. Concepción constructivista de la enseñanza de las 
matemáticas………………………………………………………………........... 14 
1.1 Constructivismo y educación matemática……………………………………... 14 
1.2 Aprendizaje Significativo…………………………………………………. ……29 
1.2.1 La importancia de los conocimientos previos para el aprendizaje…………..….. 34 
1.2.2 Tipos de aprendizaje significativo…………………………………………….. 37 
1.3 Concepción de aprendizaje para la enseñanza del concepto de suma y 
 resta………………………………………………………………………... 39 
 
 
2. Didáctica de las matemáticas…………………………………………........ 44 
2.1 Concepción de las matemáticas en el ámbito escolar…………………….…. 44 
2.2 Características del niño de primer grado presente en la enseñanza de las 
 matemáticas………………………………………………...……………… 49 
2.3 Estrategias didácticas para la enseñanza del concepto de suma y resta…….. 54 
2.4 Los problemas como enfoque metodológico…………………….. ………… 61 
 
3. Plan y Programa de Estudios 1993 de la Educación Básica 
Primaria……………………………………………………………………….. 68 
3.1 Organización del Plan de Estudios…………………….…………………… 68 
3.2 Contenidos curriculares del Programa de Matemáticas de primer grado…...... 73 
3.3 Enfoque didáctico………………………………………………………….. 77 
 
4. Diseño y desarrollo de estrategias didácticas……………………........ 83 
4.1 Metodología………………………………………………………….……. 83 
4.2 Población…………………………………………………………………. 85 
4.3 Descripción de las estrategias didácticas…………………………………… 90 
4.4 Análisis de las observaciones en clase……………………………………... 121 
 
Conclusiones………………………………...………………………….……. 124 
 
 Bibliografía………………………………….…..……………………….…… 131 
 5
INTRODUCCIÓN 
Las matemáticas constituyen el lenguaje científico más importante para lograr la 
comprensión de las leyes de la naturaleza y al mismo tiempo han aportando las 
estrategias fundamentales para los avances de la tecnología moderna. Dada su 
naturaleza y su herencia histórica, las matemáticas han estado siempre presentes en el 
desarrollo de las ideas del hombre.1 
La enseñanza de las matemáticas es un problema que ha preocupado, desde que la 
enseñanza escolarizada existe o tal vez desde antes, a todos aquellos que se han 
encontrado de alguna manera involucrada con ella. Por ello, han surgido diversas 
aportaciones teóricas y pedagógicas que han intentado dar respuesta a los 
requerimientos de los docentes o han tratado de modernizar la concepción de las 
matemáticas y de su metodología, con resultados limitados y por diversas razones, 
estas innovaciones se han ido desvirtuando por las prácticas tradicionales. 
¿Cómo enseñar matemáticas? Ha sido uno de los problemas más comunes para los 
profesores de los diferentes niveles, de los cuales la educación primaria no es la 
excepción, sin que se haya logrado superar la resistencia y en muchos casos el 
rechazo tanto de los alumnos como de los maestros hacia esta asignatura. 
En los últimos años la investigación educativa en México2 se ha caracterizado por una 
intensificación en el área de las matemáticas, se busca lograr resultados más 
satisfactorios en el aula a fin de que los alumnos tengan mayor oportunidad de 
construir y apropiarse de los conocimientos. 
 
1
 FUENLABRADA, Irma.” Debate. Innovaciones de la matemática en la escuela primaria”. En Antiga Trujillo 
Susana Paula Tesis Análisis Curricular del Programa de Matemáticas Plan y Programas de Estudio, pág. 35 
2
 Revista en Cero en Conducta, # 40, mayo- agosto, pág. 9 
 6
Desde esta perspectiva el conocimiento matemático requiere ser construido por el 
sujeto que aprende. En este proceso el sujeto investiga, descubre y reflexiona sobre las 
estructuras matemáticas, poniendo en juego sus habilidades, destrezas y actitudes que 
le permiten enriquecerse a partir de compartir sus conocimientos con el otro. Se 
vuelven así competentes para la resolución de problemas matemáticos. 
Como marco teórico de esta investigación se consideró que el profesor enseña 
modificando ideas al interactuar con situaciones nuevas que se le presenten en el 
proceso de enseñanza aprendizaje. En algunos profesores este proceso se modifica al 
interactuar con situaciones nuevas de enseñanza, ya que la instrumentación didáctica 
que el profesor utilice para el proceso de enseñanza-aprendizaje implica supuestos 
epistemológicos y psicológicos con los que pretende guiar a los alumnos sobre una 
determinada concepciónde aprendizaje que tiene el maestro. 
Desde esta perspectiva fue de mi interés describir la forma cómo los alumnos de primer 
grado de primaria construyen los conceptos de suma y resta mediante diversos 
procedimientos. Diseñé y desarrollé estrategias para los alumnos de primer grado, que 
fortalecieran la realización del proceso de aprender a sumar y restar y además, de 
aprender a resolver problemas que impliquen el uso de estas operaciones. 
Consideré para esto, en primera instancia las características del niño de primer grado, 
el estadio de desarrollo en el que se encuentran que, de acuerdo con Piaget (1969) 
enmarqué en el período preoperacional de 2 a 7 años y el período de operaciones 
concretas de 7 a 11 años. 
En segundo lugar consideré que los niños de primer grado ya poseen conocimientos 
adquiridos en su vida cotidiana. Por tal motivo tienen hipótesis sobre algunos aspectos 
que les servirán para desarrollar conocimientos matemáticos más formales y así 
 7
relacionar lo adquirido fuera de la escuela con los contenidos de los programas 
formales. El diseño de este tipo de estrategias les permitió utilizar experiencias 
anteriores y hacer uso de sus recursos como elemento para resolver problemas. Así las 
estrategias que diseñé permitieron que los niños de primer grado, relacionaran sus 
conocimientos previos construyendo un aprendizaje significativo. 
Tomé en cuenta siempre que el proceso de enseñanza- aprendizaje que utiliza la 
profesora es un aspecto que puede considerarse como una de las causas 
fundamentales de la construcción o carencias de aprendizaje de los alumnos, ya que 
actualmente se ha modificado la concepción de que los niños aprenden sólo al recibir 
informaciones. Es decir que el tipo de estrategias didácticas que en general utilice, 
estarían caracterizadas por manejar un tipo de recursos diversos a través de los 
cuales los alumnos construyan de la manera más clara y organizada posible los 
saberes. 
Las estrategias que la profesora plantee a los alumnos debe considerar el poner los 
conocimientos con sentido, esto se logra al permitir que el niño viva la experiencia al 
resolver problemas. Así entonces, el aprendizaje tiene que ser contextualizado para 
que el alumno descubra él mismo si tiene significado, sentido y utilidad y así sea capaz 
de utilizar sus propios recursos para construir nuevos problemas. 
La concepción de la forma como se enseña y aprende cambia en las últimas décadas. 
A partir de las diferentes investigaciones se propone un nuevo enfoque metodológico 
para la enseñanza de las matemáticas, principalmente a raíz de la aparición de la 
teoría psicogenética desarrollada por Jean Piaget (1969) 
Esta nueva concepción de enseñanza aprendizaje se expresa de formas diferentes, 
siendo una de ellas que las matemáticas deben ser para los alumnos una herramienta 
 8
que ellos recrean y que va evolucionando frente a la necesidad de resolver problemas. 
Para aprender, es importante que el profesor propicie estrategias didácticas para que 
los alumnos sean capaces de “hacer matemáticas”3, es decir, situaciones didácticas 
que permitan al alumno pensar, enfrentar numerosas situaciones que les presenten un 
reto, un desafío y así estén en posibilidad de generar sus propios recursos para 
resolverlas, utilizando de esta manera los conocimientos que ya poseen. 
Utilizando la propuesta que se plantea en el enfoque didáctico de los programas de 
matemáticas de Secretaría de Educación Pública (SEP), orientado a la formación del 
niño de habilidades para la resolución de problemas, diseñé estrategias en las que los 
niños utilizaron los conocimientos que tenían como esquema referencial propio. 
También tomé en cuenta los conocimientos previos que los alumnos de primer grado 
tenían sobre los principios de base y posición del sistema decimal de numeración. Es 
decir que tomé en consideración que para aprender a sumar o restar los alumnos 
dependía inicialmente del rango numérico y de los conceptos matemáticos que ya 
estaban establecidos. 
Las estrategias que diseñé estuvieron enfocadas a que los alumnos conocieran que 
hacer sumas y restas iba más allá de sólo saber resolverlas. Así los niños tuvieron que 
reconocer situaciones en las que la suma y la resta les eran útiles para resolver un 
problema. También fue importante que ellos pudieran elegir de acuerdo a su edad y 
proceso de desarrollo el procedimiento a utilizar, ya que existen diferentes maneras de 
resolver una suma o una resta. 
De esta manera se conceptualiza a las matemáticas como una herramienta que los 
alumnos recrean y que va evolucionando frente a la necesidad de resolver problemas. 
 
3
 Taller para maestros “La enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria”. pág. 9 
 9
Hacer matemáticas implica entonces pensar, enfrentar numerosas situaciones, un 
problema, un desafío y generar sus propios recursos para resolverlas, utilizando los 
conocimientos que ya poseen. No se trata entonces de aprender matemáticas para 
después aplicarlas a la resolución de problemas, si no de aprender matemáticas al 
resolver problemas. 
La resolución de problemas promueve la construcción de conocimientos propios, ya 
que los niños encuentran siempre al menos una forma de aproximarse a la solución. Es 
importante también que los niños conozcan los procedimientos que siguen sus 
compañeros, ya que esto permite que se den cuenta que para resolver un problema 
existen varios caminos. Es importante entonces probar, equivocarse y volver a probar 
hasta encontrar la solución. El ensayo y error propicia un avance en el aprendizaje, lo 
vuelve significativo y propicia confianza en el alumno para el manejo del conocimiento 
adquirido. 
 Cuando el docente aborda con su didáctica particular este tipo de “situaciones 
problema”, se observará si los niños a la par de aplicar conocimientos matemáticos, 
buscan encontrar soluciones y construir estrategias para resolverlas a partir de lo que 
ya saben. El papel del profesor para este enfoque metodológico establece una 
mediación que no sustituye el trabajo de los niños ni obstaculice el proceso de 
aprendizaje. El papel del profesor se enfoca a orientar, ejemplificar y explicar de 
manera ilustrativa, convirtiéndose así en un facilitador del proceso de construcción del 
conocimiento. 
Los objetivos para esta investigación fueron en primer lugar el desarrollo y diseño de 
estrategias para la enseñanza del concepto de suma y resta en 1º grado de primaria 
con base en la resolución de problemas, aspecto que se presenta en el capítulo cuatro. 
 10
Después realicé las estrategias reconociendo la importancia de la resolución de los 
problemas en la construcción de los conceptos matemáticos. Aspecto que se ve 
reflejado en las estrategias que se mencionan en el capítulo cuatro. 
Finalmente en las conclusiones del capítulo antes mencionado logré identificar la forma 
en que los alumnos sistematizan los conceptos de suma y resta a partir de la resolución 
de problemas como enfoque metodológico. 
De acuerdo a la metodología propuesta inicialmente en el proyecto de esta tesina, se 
llevó a cabo una investigación-acción, teórico-analítica y descriptiva en un grupo de 17 
alumnos de primer grado de educación básica primaria del Instituto Guillermo Marconi 
de la Ciudad de México. 
Esta investigación se diseñó con el objetivo de establecer si el planteamiento y 
resolución de problemas como enfoque metodológico favorece que los alumnos de 
primer grado sistematicen los conceptos de suma y resta. El interés de la investigación 
se centró en el análisis y descripción de la puesta en marcha y observaciones de las 
estrategias didácticas que se utilizaron para la enseñanza de los conceptos de adición 
y sustracción y que se anexan a la investigación. 
Estas estrategias consideraron la realización de actividades en las que los númerosfueran necesarios para resolver una situación problemática. Se plantearon problemas 
en forma oral con el uso de material concreto, o con ilustraciones en las que fueran 
necesario agregar, quitar, unir o igualar, buscar un faltante, sumar, restar, realizar 
colecciones, repartir, medir, etc. El uso de material concreto o de ilustraciones permitió 
que los alumnos después de resolver sus problemas verifiquen sus resultados. Así 
aprendieron a sumar y restar a partir de entender lo que hacen y se introdujeron a la 
 11
noción de suma, resta, signos de suma (+) y resta (-) y sus algoritmos convencionales 
asociada a las acciones de agregar o quitar. 
Desde esta perspectiva, establecí estrategias con el propósito de analizar la forma 
como los alumnos de primer grado de primaria construían los conceptos de suma y 
resta a partir de la resolución de problemas. La validez del acercamiento a la resolución 
de problemas desde diversos procedimientos y de una manera diferente permitió que 
los alumnos conocieran el estado inicial, el valor de la transformación y el estado final 
con los datos que se establecieron en el problema. Esto permitió a los niños además de 
resolver el problema, verificar por sí mismos el resultado de su anticipación. El grado 
de complejidad fue cambiando conforme adquirieron esta habilidad de resolución. 
Pasaron de averiguar el estado final, a conocer el valor de la transformación y 
finalmente a conocer cuál era el estado inicial. 
En las conclusiones puntualicé, que los alumnos tienen recursos que ellos pueden 
utilizar, aunque no les hayan sido enseñados, para resolver un problema. Describí 
cuando las estrategias didácticas permitían que los niños se aproximaran por sí 
mismos a la construcción de los conceptos de suma y resta. Describí que esto favorece 
que los niños desarrollaran una actitud más creativa en el desempeño de las 
actividades matemáticas y los resultados de aprendizaje fueran más evidentes, ya que 
los alumnos construyeron un conocimiento más significativo y permanente. 
Considero entonces que, el éxito en el proceso de enseñanza aprendizaje de las 
matemáticas depende, en muy buena medida, de la planeación didáctica con base en 
el diseño de actividades que promuevan la elaboración de conceptos mediante de 
experiencias concretas en la interacción con los otros y de la resolución de problemas 
como concepción de aprendizaje. 
 12
La población estudiada comprende a los 17 alumnos del primer grado grupo A de 
primaria del Instituto Guillermo Marconi de la Ciudad de México que cursaban este 
grado durante el ciclo escolar 2008-2009, a cargo de la profesora Isabel Yazmín 
Delgadillo Zepeda autora de esta tesina. 
Los alumnos tienen una edad que fluctúa entre los 6 y los 7 años, diez son niñas y siete 
de ellos son niños. Son alumnos de nuevo ingreso en este Instituto, lo que supone un 
buen grado de desarrollo y antecedente académico. Su nivel socioeconómico es medio 
alto y su nivel de inteligencia y desempeño de competencias académicas es bueno. 
Se trabajó con un periodo de observación semanal de febrero a abril del 2009. A través 
del análisis de las observaciones de las clases impartidas, puntualicé los resultados 
que se alcanzaron en la investigación. 
Las actividades que realicé llevaron el siguiente orden: en primer término establecí la 
organización y planeación de las actividades. Posteriormente desarrollé, diseñé y 
realice las estrategias y observación del desarrollo de la clase. Después de aplicar las 
estrategias procedí al análisis de los resultados de las clases impartidas. Realicé una 
transcripción metodológica tanto de las estrategias, como de las observaciones de la 
clase. 
Finalmente como conclusiones generales realicé el análisis de las características de las 
estrategias didácticas utilizadas para la enseñanza del concepto de suma y resta y de 
las circunstancias que prevalecieron en las clases observadas. 
La elaboración de estas estrategias con mis propios alumnos fue una experiencia, 
además de interesante, muy gratificante ya que por una parte me permitió tener esta 
investigación completa para titularme y por otra ver que mis alumnos construían un 
 13
aprendizaje significativo y permanente a partir de las estrategias de enseñanza que 
desarrollé, diseñe y apliqué en el salón de clases. 
 
 
 14
 
1. CONCEPCIÓN CONSTRUCTIVISTA DE LA ENSEÑANZA DE LAS 
MATEMÁTICAS 
 
1.1 CONSTRUCTIVISMO Y EDUCACIÓN MATEMÁTICA 
En los últimos años la propuesta metodológica para la enseñanza en especial de las 
matemáticas, presta gran atención a la enseñanza a partir de planteamiento y 
resolución de problemas, como un medio altamente efectivo para estimular la actividad 
constructiva de los niños y educar así, en ellos, su pensamiento lógico matemático y 
creador. Se han logrado resultados significativos en su aplicación en el proceso 
pedagógico de enseñanza- aprendizaje de las matemáticas y también se consideran 
las posibilidades de su utilización para cambiar algunos de los métodos tradicionales en 
el proceso docente. 
Aunque la enseñanza a partir del planteamiento y resolución de problemas incluye 
algunos de los principios de la didáctica tradicional, su particularidad reside en que 
debe garantizar una nueva relación de la asimilación constructiva4. De los nuevos 
conocimientos con la actividad creadora y conocimientos previos de los alumnos a fin 
de reforzar la construcción del conocimiento. 
De forma breve analizaremos algunas de las funciones, principios y fundamentos de 
esta corriente; que tiene como función básica el desarrollo del pensamiento creador de 
los niños. El desarrollo de nuevos conocimientos a partir del planteamiento y resolución 
de problemas busca lograr que los niños utilicen sus conocimientos previos en la 
creación de las hipótesis como base en la que se construirán los nuevos 
conocimientos; todo ello apoyado por la mediación de su docente. 
 
4
 Pimiento, Prieto Julio H. Metodología constructivista. Guía para la Planeación docente, pág. 6-7 
 15
Es la función básica de la metodología con enfoque constructivista, con base en la 
enseñanza de las matemáticas a partir de la resolución de problemas. 
Para lograr que este proceso de enseñanza aprendizaje de sus frutos se debe 
promover el pensamiento constructivo creador de los niños teniendo en cuenta por 
ejemplo algunas de las siguientes condiciones. 
• Presentar a los niños problemas que por su contenido puedan realmente 
representar una pregunta que los niños tienen que solucionar. 
• Organizar situaciones didácticas ante las cuales los niños tienen que realizar 
ensayos y errores que les hagan evidente la búsqueda de una solución. 
• Que las actividades que se presentan contribuyan a que los alumnos desarrollen 
la capacidad de encontrar, de forma independiente, primera solución de 
problemas planteados y, posteriormente, bajo la actividad mediadora de la 
profesora, encuentren la solución convencional a los problemas construyendo 
los conceptos. Por ejemplo, en la investigación que realizamos estaría 
relacionado con la forma en que los niños construyen la noción de suma y resta. 
Mucho se pudiera hablar acerca del constructivismo como un paradigma, una teoría, 
una concepción epistemológica o un punto de vista acerca de cómo construyen los 
conocimientos los niños. 
Siguiendo el trabajo de Pimienta Prieto5 estableceremos inicialmente que: “… el 
constructivismo es una posición epistemológica y psicológica y que no se trata de una 
concepción educativa”6, es decir que no se puede hablar de una educación de tipo 
constructivista. Sí se pueden establecer explicaciones sobre la forma constructivista en 
 
5
 ibidem 
6
 ibid pág. 7 
 16
que los niños van estableciendo el conocimiento de los nuevos conceptos lo cual se 
puede relacionardirectamente con la práctica educativa. 
Aunque las teorías constructivistas se fundan principalmente en la investigación de 
Jean Piaget, podemos decir que no hay una sola teoría constructivista del aprendizaje 
ya que algunas corrientes constructivistas destacan la construcción de conocimientos 
nuevos a partir de los conocimientos previos y otras se inclinan a la construcción social 
compartida con el conocimiento, estas teorías están a favor de una postura que tiene 
implicaciones decisivas para la enseñanza ya que establecen la construcción del 
aprendizaje por descubrimiento que permite que los niños aprendan al mismo tiempo 
sobre el contenido y el proceso que han llevado a cabo para solucionar los problemas 
planteadas por los docentes. 
Para la perspectiva constructivista, el conocimiento matemático aparece como un 
instrumento que le permite al niño resolver un problema utilizando sus recursos 
anteriores o conocimientos previos7 y con esto adquirir un conocimiento nuevo con un 
sentido diferente. 
Posteriormente, el mismo niño se da cuenta que ha adquirido un conocimiento nuevo, 
cuando le llama a éste por su nombre, adopta su forma de representación convencional 
y se constituye en un conocimiento formal como se encuentra en los libros de texto; 
con este proceso el niño ya sabe para que le sirve lo que aprendió y es capaz de 
aplicarlo posteriormente a diferentes ejercicios. En la investigación que nos ocupa el 
niño podrá después de construir la noción de la suma y la resta aplicarlo a diferentes 
tipos de problemas. 
 
7
 Ausbel, P. D. “Significado y aprendizaje significativo” pág. 55-105 
 17
El papel central de la estructura cognoscitiva del alumno en la realización de los 
aprendizajes significativos ha sido puesto en relieve a través de los conceptos 
anteriores. 
Algunas de las funciones que implican estos esquemas en la realización de 
aprendizajes significativos serían por ejemplo: almacenar la nueva información 
adquirida en la memoria, la modificación de los recuerdos de los aprendizajes previos 
por la construcción de nuevos aprendizajes, la incorporación y asimilación de la nueva 
información adquirida. Se puede considerar entonces que la memoria es constructiva. 
Los esquemas condicionan a la nueva información a acomodarse a sus exigencias, 
integrándose a los conocimientos previamente. 
Esta modificación de los esquemas de conocimiento del alumno, a través de la revisión, 
enriquecimiento, diferenciación, construcción y asimilación de forma progresiva 
constituyen el objetivo de la educación escolar. De acuerdo con el “… modelo de las 
estructuras cognitivas de Piaget… podemos caracterizar la modificación de los 
esquemas del conocimiento en el contexto de la educación escolar como un proceso 
de equilibrio inicial –desequilibrio- reequilibrio posterior…“8 
 El primer paso para el establecimiento de un conocimiento significativo sería romper el 
equilibrio inicial de sus esquemas en relación al nuevo contenido de aprendizaje. Esta 
modificación del esquema se alcanzará de acuerdo a la naturaleza de las actividades 
de aprendizaje y al grado y tipo de ayuda pedagógica. 
Esta visión sitúa a la actividad mental constructivista del alumno en la base de los 
procesos de crecimiento personal que trata de promover la educación escolar. Una 
interpretación constructivista del aprendizaje escolar, que difiere totalmente con la mera 
 
8
 Piaget, Jean y Inhelder Bärbel. “Los factores del desarrollo mental” En Psicología del niño, pág. 150- 158 
 18
transmisión de conocimientos, exige una interpretación igualmente constructivista de la 
intervención de la profesora cuyo objetivo se enfoca a la creación de las condiciones 
adecuadas para que los esquemas del conocimiento que el niño de primer grado 
construye en el transcurso de sus experiencias sean lo más enriquecedoras y 
completas posibles. 
Piaget considera que son cuatro los factores generales asignados a la evolución mental 
del niño9 
 
1. EL CRECIMIENTO ORGÁNICO Y ESPECIALMENTE LA MADURACIÓN DEL 
COMPLEJO FORMADO POR EL SISTEMA NERVIOSO Y LOS SITEMAS 
ENDOCRINOS 
 
Existe un cierto número de conductas o aprendizajes que dependen, más o menos 
directamente, de los principios o funcionamiento de algunos aparatos o circuitos. La 
maduración orgánica constituye, sin duda un factor necesario que desempeña un papel 
indispensable en el orden invariable de sucesión de los estadios y del desarrollo, ya 
que desempeña un papel relevante durante todo el crecimiento mental y es factor 
condicionante de los aprendizajes escolares. 
 
2. EL PAPEL DEL EJERCICIO Y DE LA EXPERIENCIA QUE SE ADQUIERE POR 
MEDIO DE LA ACCIÓN QUE SE REALIZA SOBRE LOS OBJETOS. 
 
Este es un factor esencial y necesario, especialmente para la formación de las 
estructuras lógico-matemáticas. Las experiencias pueden ser de tipo físico al intervenir 
sobre los objetos para abstraer sus propiedades lógico- matemáticas, con las que se 
 
9
 idem 
 19
actúa sobre los objetos, y permite conocer el resultado de la coordinación de las 
acciones. Así la experiencia constituye una acción constructora que ejerce el niño 
sobre los objetos exteriores. 
Constituye una forma de estructuración a través de la cual se logrará la elaboración y 
asimilación de las estructuras lógico- matemáticas. Es un factor que desempeña un 
papel muy importante para los aprendizajes en el ambiente escolar. 
 
3. LAS INTERACCIONES Y TRANSMISIONES SOCIALES SON UN FACTOR 
FUNDAMENTAL, NECESARIO Y ESENCIAL. 
 
La socialización constituye una forma de estructuración a la cual el niño contribuye, 
pero también recibe una influencia importante de ella en el contexto escolar, porque 
influye en los procesos de solidaridad, cooperación y de transmisión escolar. La acción 
social es ineficaz si no logra una asimilación activa del niño, para lo cual se requiere 
estrategias didácticas adecuadas. 
 
4. EL PENSAMIENTO Y DESARROLLO MENTAL DEL NIÑO ES RESULTADO DE 
UNA CONSTRUCCIÓN CONTINUA E ININTERRUMPIDA DE DIVERSAS 
ESTRUCTURACIONES. 
 
En el desarrollo del niño no puede decirse que exista un plan preestablecido, sino una 
construcción progresiva que hace que cada nueva adquisición sólo sea posible con 
base en las funciones de la etapa precedente. 
Estos cuatro factores explican esencialmente la evolución intelectual y cognoscitiva del 
niño, por lo tanto es importante, además, considerar a parte el desarrollo de la 
afectividad y de la motivación. En resumen, el crecimiento orgánico y la maduración, la 
 20
acción de la experiencia, la interacción y transmisión social y la construcción progresiva 
con base en los antecedentes del sujeto, son los factores que proporcionan la clave de 
todo el desarrollo mental, y representan los motores de la inteligencia, de la 
construcción de los aprendizajes y de las conductas del niño en su totalidad. 
Una tesis fundamental de la teoría piagetiana es que todo acto intelectual se construye 
progresivamente a partir de estructuras cognitivas anteriores y más primitivas. La tarea 
del educador constructivista consistirá en diseñar y presentar situaciones que, 
apelando a las estructuras anteriores de que el estudiante dispone, le permite asimilar y 
acomodar nuevos significados el objeto de aprendizaje y nuevas operaciones 
asociadas a él. 
Los niños aprenden modificando ideas anteriores al interactuar con situaciones nuevas 
de aprendizaje, en ningún momento son simples receptores que acumulan la 
información que les dan los adultos. La forma tradicional de la enseñanza de las 
matemáticas puede considerarse como una de las causas fundamentales de la baja 
calidad de la educación. Bajo esta forma tradicional de enseñanza “(…) subyace la 
concepción de que los niños aprenden sólo al recibir informaciones”10Es decir que la 
clase de estrategias didácticas que se utilizan se caracterizan por manejar un tipo de 
recursos a través de los cuales el alumno se informa de la manera más clara y 
organizada posible de los saberes construidos y validados previamente y que le son 
transmitidos por quien es “poseedor del saber”. 
Se vuelve entonces en la acción más fácil el transmitir el conocimiento matemático por 
medio de la información, conformada por signos que constituyen el lenguaje 
matemático y le dan forma y por la elemental regla a través de la cual se realiza una 
 
10
 Revista Cero en Conducta, # 41, mayo-agosto, pág. 5 
 21
combinación de los mismos. Sin embargo, bajo esta perspectiva se olvida “(…) que 
estos signos y reglas son expresiones gráficas de conceptos matemáticos, puesto que 
son precisamente los conceptos los que han estado ausentes en la enseñanza y 
consecuentemente en el aprendizaje de los alumnos”11 
La concepción didáctica de la matemática, basada en problemas, implica poner los 
conocimientos en situaciones en las que éstos cobren sentido para el alumno, al 
permitirle resolver los problemas que se le plantean. 
Mediante este enfoque pedagógico se espera que el alumno viva con el maestro la 
experiencia de hacer matemáticas, es decir, de construir conocimientos matemáticos al 
resolver cierto tipo de problemas. Esta es una de las principales características del 
enfoque para la enseñanza de las matemáticas en los materiales curriculares. El tipo 
de actividades más frecuentes son las llamadas “situaciones problemas”12 que permiten 
conocer con mayor profundidad los distintos contenidos de matemáticas de los 
programas de primaria. Al abordar estas situaciones, se observará que a la par de 
aplicar conocimientos matemáticos, se busca encontrar soluciones y construir 
estrategias para resolverlas a partir de lo que ya se sabe. Los ensayos, los errores, las 
rectificaciones, son parte esencial del proceso de construcción de conocimientos 
matemáticos. 
Es muy importante cambiar de actitud respecto a los recursos que los alumnos poseen. 
Ellos tiene posibilidad de desarrollar procedimientos que en un momento no les han 
dado sido enseñados para abordar un problema. 
 
11
 idem 
12
 idem 
 22
Cuando se les plantean una situación problemática con la mentalidad de que apliquen 
lo que les fue enseñado se limita su proceso de aprendizaje. En cambio cuando se 
permite que se aproximen por sí mismos a lo que se les quiere enseñar es cuando 
desarrollan una actitud más creativa en el desempeño de las actividades matemáticas y 
construyen un conocimiento significativo y permanente. 
Al hablar de una construcción de estrategias, nos acercamos a una concepción 
constructivista de la enseñanza y el aprendizaje escolar, que pretende el 
establecimiento de un marco referencial que permita explicar y comprender para tomar 
decisiones sobre la forma de organizar la intervención educativa, sin tratar de hacer 
una aplicación del constructivismo a las prácticas educativas de forma literal. Se busca 
el establecimiento de un cierto tipo de cultura que incluya conocimientos, habilidades, 
estrategias, competencias académicas básicas, actitudes y valores que pueden ser 
manejados de forma adecuada por los profesores. 
Como espacio de cultura escolar podemos ocuparnos del constructivismo sin 
considerarlo como una concepción general del mundo, que pretenda dar explicaciones 
de tipo universal; tampoco podemos decir que se trata de un conjunto de 
prescripciones sobre los propósitos educativos o la finalidad de la educación, ni 
considerarlo simplemente como una teoría relacionada con el aspecto escolar de la 
educación. El constructivismo es más que esto, es “… una perspectiva epistemológica 
desde la cual se intenta explicar el desarrollo humano y que nos sirve para comprender 
los procesos de aprendizaje, así como las prácticas sociales formales e informales 
facilitadoras de los aprendizajes”13 Es decir que a través del constructivismo 
 
13
 Ortega, Rosario, Luque Alfonso y Cubero Rosario. “Constructivismo y Práctica Educativa Escolar”. En Revista 
Cero en Conducta, pág.. 78 
 23
entendemos cuáles son los procesos del desarrollo de los niños, con lo cual se genera 
la posibilidad del entendimiento y comprensión de los procesos de aprendizaje. A partir 
de esto podemos analizar y entender el papel que juegan las prácticas sociales como 
promotoras de los procesos de aprendizaje. 
Por otra parte, podemos también considerar que el constructivismo “Como constructo 
psicológico , es una formulación relativa a la relación entre la actividad del sujeto y su 
evolución, al modo cómo la evolución psicológica está en función de la actividad del 
propio sujeto, y nos sirve para interpretar la dimensión psicológica implicada en las 
situaciones escolares de enseñanza y aprendizaje, sólo la dimensión psicológica, no 
las muchas dimensiones de lo escolar”14 Es decir, que analizando desde este aspecto 
psicológico nos proporciona los elementos para entender e interpretar la construcción, 
desarrollo y evolución de los procesos de aprendizaje que se llevan a cabo en el ámbito 
escolar. 
Estas dos formas de entender al constructivismo nos permiten tener algunas pautas 
que orienten las prácticas cotidianas de la enseñanza en el aula y al mismo tiempo 
propiciar la reflexión de los docentes para alcanzar las metas de la educación escolar. 
Las nociones de complejidad, interdependencia y evolución de manera estrecha al 
concepto de constructivismo, como fue ya definido desde su perspectiva 
epistemológica. El interés actual del constructivismo en el contexto escolar se 
manifiesta a partir de la paulatina toma de conciencia de que debe asumirse una 
perspectiva constructivista del aprendizaje “(…) en el momento de hacer explícitos los 
supuestos psicopedagógicos que fundamentan la planificación y el diseño curricular.”15 
 
14
 idem 
15
 idem 
 24
Esto se manifiesta en el Curriculum del Programa de Matemáticas que tiene como base 
el enfoque metodológico que sustenta la concepción de las corrientes constructivistas 
del aprendizaje. 
Como opción epistemológica, el constructivismo para la psicología constituye una 
alternativa diferente, ya que da la pauta para estudiar de una forma válida, diferente e 
interesante el desarrollo humano. Se convierte en elemento de conocimiento que 
permite la elaboración de teorías, modelos de investigaciones diversas. Está ligado a 
las prácticas educativas que se basan en una concepción constructivista de lo que es 
enseñar y aprender, sin prescribir modelos determinados de enseñanza, ni prácticas 
educativas determinadas. 
Desde este punto de vista 
“a) La actividad del sujeto está en función de su organización cognitiva. La complejidad, la flexibilidad, la 
precisión y todas las restantes cualidades de la conducta humana se explican por la organización del 
psiquismo individual. Esta organización ha sido descrita en términos de estructuras, esquemas, estrategias, 
guiones. En cualquier caso, se trata de una arquitectura mental que permite, por una parte procesar y 
almacenar información y, por otra, ajustar y controlar la actividad del propio sujeto. 
Gracias a su organización cognitiva, el sujeto es activo en sus intercambios en el medio físico y social. 
b) El cambio en la organización cognitiva del sujeto está en función de su actividad. La organización de los 
seres humanos no es innata, aunque puedan serlo algunos de sus elementos y su forma más primitiva. 
La actividad cognitiva del sujeto, en su interacción con el medio físico y social, le proporciona experiencias 
que revierten en su misma organización cognitiva promoviendo su reorganización en un nivel 
cualitativamente distinto.El desarrollo del sujeto, la evolución de su organización cognitiva, es fruto de su 
propia actividad.”16 
De acuerdo a estos dos supuestos los modelos constructivistas del aprendizaje 
deberán contener la explicación psicológica de las relaciones entre el aprendizaje, es 
decir cuál sería la experiencia que resulta a partir de una actividad y la explicación del 
desarrollo, entender cuál es el cambio evolutivo que se generó en la organización 
cognitiva. 
Al hablar de una concepción constructivista de la enseñanza y el aprendizaje escolar, 
se pretende el establecimiento de un marco referencial que permite explicar y 
 
16
 ibid pág. 80 
 25
comprender para tomar decisiones sobre la forma de organizar la intervención 
educativa, sin tratar de hacer una aplicación del constructivismo a las prácticas 
educativas de forma literal. Se busca el establecimiento de un cierto tipo de cultura que 
incluya conocimientos, habilidades, estrategias, actitudes y valores que puedan ser 
manejados de forma adecuada por los profesores. 
Aún cuando no suelen hacerse explícitos los postulados constructivistas sobre la 
enseñanza, se enuncian a continuación los principios que se consideran comunes a las 
tesis constructivistas que se relacionan con el aprendizaje y la enseñanza en el marco 
escolar y que intervienen directamente en lo educativo. 
“1. Todo cambio en la organización cognitiva es una construcción personal del alumno 
a partir de experiencias de aprendizaje en las cuales pone en juego sus capacidades y 
las amplia.”17 Sintetiza los supuestos epistemológicos generales que conciben al sujeto 
como protagonista activo de su desarrollo, y se distancia tanto de lo innatista como de 
lo ambientalista. El aspecto central del cambio evolutivo se produce en la capacidad 
para procesar y retener la información, pero afecta también a otros niveles de 
organización del comportamiento humano, como la actividad motora, las habilidades 
sociales o la esfera emocional y afectiva. 
La capacidad del alumno de forma paulatina y progresiva, le permite una creciente 
autonomía intelectual y moral. 
“2. Lo que se construye a través de la educación escolar son capacidades relacionadas 
con el conocimiento y uso de contenidos culturales.”18 Aprender es asimilar, a través 
de transformar en entidades psicológicas objetivas, los conocimientos y las prácticas 
 
17
 ibid pág. 84 
18
 ibidem 
 26
convencionales generadas en la vida social y construida y acumulada a través de la 
historia. Estos resultan funcionales en tanto sirvan como instrumentos que resuelven 
problemas. Además, por ser diferentes se encuentran codificados en sistemas 
semióticos de representación de naturaleza cultural (lenguajes y sistemas notacionales) 
determinantes de los procesos de adquisición de los respectivos dominios. Es por éstos 
que en el curriculum escolar los contenidos se organizan por áreas de experiencias y 
en términos de conocimientos, procedimientos y actitudes, valores y normas, y se les 
da secuencias por medio de una sucesión de etapas. 
“3. El proceso de construcción de los contenidos culturales se realiza con la ayuda 
contingente de otras personas con más experiencias cultural, que facilitan dicha 
construcción”19 En la educación escolar la ayuda en la enseñanza y el papel del 
educador lo desempeña primordialmente el maestro, aunque el alumno recibe ayudas 
importantes de sus compañeros y de otras personas, en general bajo el control del 
maestro. La ayuda es una forma de meditación social de los aprendizajes. Los 
procesos comunicativos, son importantes en toda forma de mediación social. La ayuda 
educativa es ejercida a través de diversos procedimientos de regulación de la actividad 
conjunta desarrollada en el aula, conocidos como: Los procesos de influencia 
educativa. “Hay dos procesos clave en las interacciones mediadoras a través de las 
cuales se presta la ayuda al proceso de construcción de conocimientos y capacidades: 
la facilitación de la comprensión mediante negociación de los significados, el apoyo 
comunicativo, la presentación de modelos para imitar, hacer explicito el pensamiento…. 
Y el traspaso del control mediante la progresiva cesión de responsabilidad sobre la 
 
19
 ibid pág. 85 
 27
actividad compartida.”20 Para que se lleve a cabo la construcción del conocimiento se 
necesita además de recibir ayuda educativa, la participación del alumno de manera 
activa en los procesos comunicativos de aprendizaje, junto con una motivación positiva 
y algún tipo de conocimiento previo. 
 El contexto influye en la construcción de los conocimientos y capacidades porque da 
sentido y valor de las experiencias de aprendizaje mediado, entendido como práctica 
social, mantiene una relación estrecha con el contexto sociocultural. Este sentido no se 
considera cualidad del contexto, sino de su relación con el mismo. 
Aspecto muy importante del contexto para el aprendizaje y el desarrollo es la influencia 
que éste ejerce en la motivación, en la disposición y receptividad del alumno hacia el 
aprendizaje. El contexto es el que determina la funcionalidad de lo que el alumno 
aprende. La escuela representa el contexto social más definido porque en ella se llevan 
a cabo las experiencias, actividades y formas de relación con otros alumnos. Éste 
establece qué contenidos y prácticas son más relevantes para el contexto escolar, en 
donde tienen lugar las experiencias de enseñanza y aprendizaje; pero éstas se ven 
afectadas por otros contextos que dan elementos de contradicción y pérdida de sentido 
a las actividades escolares 
En resumen, el análisis del constructivismo, desde diferentes perspectivas, proporciona 
los elementos para entender e interpretar la construcción, crecimiento y evolución de 
los procesos de desarrollo y aprendizaje que se llevan a cabo en el contexto escolar. 
La concepción didáctica de las matemáticas, a partir de este enfoque, implica poner los 
conocimientos en situaciones para que los alumnos de primer grado, al proponer un 
tipo de situaciones que les sean relevantes y les permitan aplicar las matemáticas al 
 
20
 ibid pág. 86 
 28
resolver los problemas que se les plantean. En el siguiente capítulo describiré los 
principios del aprendizaje significativo como una continuación del enfoque 
metodológico que se ha descrito. El aprendizaje significativo se encuentra marcado 
dentro de la concepción constructivista del aprendizaje. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 29
1.2 APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO 
En este apartado describiremos el aprendizaje significativo desde la perspectiva de 
Ausubel, y puntualizaremos también la importancia que tiene la existencia de 
conocimientos previos para el aprendizaje y los diferentes tipos de aprendizaje 
significativo. 
El aprendizaje significativo consiste en hacer propio lo aprendido, en asimilarlo e 
integrarlo de tal manera que se pueda aplicar en la vida diaria, en el momento en que la 
persona lo requiere y evitar que caiga en el olvido. 
El aprendizaje significativo tiene lugar efectivamente cuando el estudiante percibe la 
materia como algo que tiene sentido para sus propias metas. Una persona aprende con 
verdadera asimilación solamente aquellas cosas que percibe como útiles para 
fortalecer su propio yo. Dos estudiantes de idéntica habilidad aprenden cosas 
bastantes diferentes, o en cantidades diferentes, según perciban que la materia se 
relaciona con sus necesidades y objetivos. La rapidez del aprendizaje también varía. 
El aprendizaje significativo se distingue del que se considera no significativo, en que 
involucra el pensamiento como el efecto del sujeto que aprende. Este tipo de 
aprendizaje resulta relevante y por tanto, resistemás al olvido. 
El aprendizaje significativo se encuadra dentro de la concepción constructivista del 
aprendizaje. El término “aprendizaje significativo”21 fue acuñado por Ausubel, en el año 
de 1963, como oposición al aprendizaje repetitivo- memorístico en el que no se 
relaciona, o se relaciona de forma arbitraria, lo que ha de ser aprendido con los 
 
21
 Doménech, Fernando. Adquisición de conocimientos: El aprendizaje significativo. Proceso de 
enseñanza/aprendizaje, pág. 75 
 30
conocimientos que el alumno posee anteriormente. Esta relación inexistente o arbitraria 
hace que los conocimientos adquiridos de forma memorística- repetitiva no perduren. 
Ausubel22 señala que esa parte de la confusión dominante en el tema del aprendizaje 
se debe a que los psicólogos han intentado incluir en un solo modelo explicativo las 
clases de aprendizajes cualitativamente diferentes. 
Los tipos de aprendizaje escolar pueden ordenarse en función de dos ejes23:(ver figura 1) 
- receptivo/descubrimiento 
- repetitivo/significativo 
a) Aprendizaje por recepción: El alumno recibe los contenidos que debe aprender en 
su forma final, acabada. Sólo tiene que realizar la asimilación y comprensión de 
éstos. 
b) Aprendizaje por descubrimiento: El estudiante debe descubrir el contenido o 
conocimiento antes de asimilarlo. 
c) Aprendizaje repetitivo: El aprendizaje repetitivo se produce: 
- Cuando los contenidos de la materia son arbitrarios. 
- Cuando el alumno carece de los conocimientos necesarios para que los 
contenidos resulten significativos. 
- Cuando adoptan la actitud de asimilarlos de forma arbitraria o al pie de la letra. 
- 
 
22 Ausubel, P.D. “Significado y aprendizaje significativo”. En: Psicología Educativa., Un punto de vista 
cognoscitivo, pág. 55-105 
23
 Op. cit. pág. 81 
 31
d) Aprendizaje significativo: El aprendizaje significativo se produce: 
- Cuando el alumno tiene la actitud favorable para aprender; es decir, está 
motivado. Así, dotará de significado propio a los contenidos que asimila. 
- Cuando el conocimiento es potencialmente significativo, tanto desde la 
estructura lógica del contenido de la disciplina, como desde la estructura 
psicológica del estudiante. 
- Desde la estructura lógica de la disciplina: que el contenido sea coherente, claro 
y organizado. 
- Desde la estructura psicológica del estudiante: que el estudiante posea los 
conocimientos previos necesarios para anclar el nuevo aprendizaje. 
En resumen Ausubel24 señala que al aprendizaje significativo se puede conseguir tanto 
por descubrimiento como por recepción: en el aprendizaje por recepción, el alumno 
recibe la información en su forma final, no necesita buscarla ni descubrirla por él 
mismo. En cambio, el aprendizaje por descubrimiento es más complejo porque el 
alumno debe descubrir el contenido fundamental del material de aprendizaje. El 
estudiante en este tipo de aprendizaje soluciona problemas, realiza descubrimientos 
autónomos y puede llegar a elaborar sus propias proposiciones. 
Más que oponerse, podría decirse que estos aprendizajes se complementan; lo que se 
ha aprendido por recepción, si se internaliza y se incorpora en la estructura 
cognoscitiva del alumno, puede ayudarlo en el proceso de solución de problemas. 
 
24
idem 
 32
Ausubel25 insiste en la necesidad de propiciar aprendizajes significativos por recepción 
en la práctica escolar, especialmente en los niños pequeños. 
Ausubel26 subraya que la principal fuente de conocimientos proviene del aprendizaje 
receptivo, sobre todo en los niveles educativos superiores como el universitario, 
mientras que el aprendizaje por descubrimiento, mucho más lento, alcanza su máximo 
valor en los niveles educativos inferiores, como en la educación preescolar y la 
educación primaria. El aprendizaje contribuye al desarrollo en la medida en que 
aprender no es copiar o reproducir la realidad, sino construir. 
Aprender es construir. Aprendemos cuando somos capaces de elaborar una 
representación personal sobre un objeto de la realidad o contenido que pretendemos 
aprender. Dicha elaboración implica aproximarnos a dicho objeto o contenido con la 
finalidad de comprenderlo y lo hacemos desde nuestras experiencias, intereses y 
conocimientos previos. Cuando se da este proceso, decimos que estamos aprendiendo 
significativamente. “… La esencia del proceso del aprendizaje significativo reside en 
que ideas expresadas simbólicamente son relacionadas de modo no arbitrario, sino 
sustancial (no al pie de la letra) con lo que el alumno ya sabe (por ejemplo una imagen, 
un símbolo ya con significado, un contexto o una proposición)27 
Entonces, la esencia del aprendizaje significativo reside en que las ideas y los 
conceptos expresados simbólicamente se relacionen con lo que el alumno ya sabe. Por 
tanto, el aprendizaje significativo presupone que: 
 
25
 Ausubel, P.D. “Significado y aprendizaje significativo”. En: Psicología Educativa., Un punto de vista 
cognoscitivo, pág. 108 
26
 ibidem 
27
 ibid pág. 110. 
 33
El alumno manifieste disposición para relacionar sustancialmente los nuevos 
aprendizajes con su estructura cognoscitiva. 
a) Que el contenido de aprendizaje sea potencialmente significativo para el alumno, 
relacionable con su estructura de conocimiento de manera intencional 
Significativo 
F Clase Enseñanza Trabajo de 
U magisterial audiovisual investigación 
N científica 
C 
I “Dar clase: Trabajo Trabajo de 
O explicación” escolar en el elaboración 
N laboratorio novedoso y personal 
A 
L 
I 
D 
A Tabla de Resolver Solución de 
D multiplicar Problemas rompecabezas 
 Matemáticos Por ensayo/error 
 Memorístico 
 
 Receptivo Descubrimiento 
 (FIGURA 1) 
 34
1.2.1 LA IMPORTANCIA DE LOS CONOCIMIENTOS PREVIOS PARA 
EL APRENDIZAJE. 
¿Qué sucede si el alumno no cuenta con los conocimientos previos para 
relacionarlos con el nuevo conocimiento? Lo más probable es que surja el 
aprendizaje por repetición de conocimientos aislados, pues como no se puede 
relacionar el conocimiento nuevo con otros anteriores que constituyen el 
antecedente es difícil para el sujeto hacerlos suyos, por lo cual están fácilmente 
expuestos al olvido. 
Es muy importante el papel que juegan los “conocimientos previos” en el estudiante 
para que el aprendizaje adquirido sea “significativo” (no memorístico o mecánico). 
En consecuencia, la cantidad, la claridad y organización de los conocimientos 
previos que posee el alumno que va a aprender y que puede disponer de ellos 
cuando lo desee, constituyen lo que Ausubel denomina la “estructura 
cognoscitiva”.28 
Para Ausubel la estructura está referida a contenidos concretos que se organizan 
en la mente de las personas de forma jerarquizada respecto al nivel de abstracción, 
generalidad e exclusividad de las ideas o conceptos. 
Los nuevos aprendizajes se incorporan por asimilación (sobre todo por inclusión). 
Esto significa que cuando alguien va a aprender, si no existe en su estructura 
mental un concepto másinclusivo del que enganchar los subordinados, hay que 
crearlo, introduciendo lo que Ausubel llama un “organizador previo”29, que viene a 
ser como un puente entre lo que el estudiante conoce y lo que debe conocer para 
 
28
 idem 
29
 ibid pág. 114 
 35
que los nuevos conocimientos puedan ser significativamente asimilados. Por eso, 
cuando el profesor se dispone a enseñar algo es necesario que, conozca antes lo 
que el alumno ya sabe, es decir sus conocimientos previos. Esto lo puede realizar 
mediante una exploración inicial. En función de los conocimientos previos que los 
alumnos posean, el profesor decidirá la estrategia a seguir: ampliar los 
conocimientos si estos son escasos, modificarlos en caso de que sean erróneos, 
bajar el nivel de expresión y presentación del tema o bien adecuarlo a las 
necesidades de su grupo. 
La transferencia desde la perspectiva de Ausubel30 se refiere al efecto de la 
experiencia previa sobre el aprendizaje presente. Pero en este caso la experiencia 
anterior se conceptualiza como un cuerpo de conocimientos establecido, organizado 
jerárquicamente y adquirido en forma acumulativa, que se relaciona con la nueva 
tarea de aprendizaje. 
Ausubel estableció la importancia de que los estudiantes puedan transferir sus 
conocimientos a contextos nuevos. Es necesario, por lo tanto, no sólo ser capaces 
de recordar el material y los conceptos fundamentales, sino sobre todo, 
generalizarlos a otros contextos y aplicaciones, así como basarse en los 
conocimientos adquiridos para comprender y facilitar nuevas tareas de aprendizaje. 
Podemos hablar entonces de una relación sustancial que se encuentra presente en 
el aprendizaje significativo, cuando lo aprendido no es impuesto de una manera 
arbitraria. Si el alumno posee ya determinados elementos que se encuentran 
relacionados entre sí, de acuerdo con una organización propia de un determinado 
 
30
 idem 
 36
campo del conocimiento, el nuevo contenido por aprender debe integrarse, 
incorporarse en los conocimientos ya existentes, de otra manera podría quedarse 
aislado, sin significación alguna. 
El cuerpo de conocimientos de que dispone el alumno tiene que servir de punto de 
anclaje a los nuevos conocimientos. El nuevo material adquiere significado para el 
alumno a partir de la relación que él mismo sea capaz de establecer con lo que ya 
sabe, con lo que ya conoce. 
Esta interrelación31, no la suma de estos dos aspectos da como resultado 
aprendizajes significativos. 
Como puede verse, todo conocimiento nuevo requiere conocimientos previos para 
que en el alumno opere la relación sustancial que caracteriza al aprendizaje 
significativo. También es importante señalar que todo conocimiento nuevo que el 
alumno logre incorporar en su estructura cognoscitiva se convierte en conocimiento 
previo para un nuevo conocimiento. En el desarrollo escolar, como profesora me 
aseguraré que los alumnos de primer grado cuenten con los conocimientos y las 
experiencias previas tanto escolares como extraescolares antes de abordar las 
estrategias para la construcción de la noción de suma y resta. 
 
 
 
 
31
idem 
 37
1.2.2 TIPOS DE APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO 
 Ausubel32 considera la existencia de tres tipos de aprendizaje significativo 
a) Aprendizaje de representaciones. Se refiere a la adquisición de vocabulario, 
en el cual Ausubel establece dos variantes: el aprendizaje de representaciones 
antes de los conceptos y después de la formación de conceptos 
b) Aprendizaje de conceptos. Si consideramos como tarea fundamental de la 
enseñanza escolar el desarrollar en el niño la capacidad de pensar, entonces 
éste necesita instrumentos que lo ayuden a desarrollar sus potencialidades y 
uno de esos instrumentos es la comprensión de lo significativo de los procesos y 
fenómenos que suceden en la naturaleza, en la sociedad y en su pensamiento. 
En la medida en que el estudiante sea capaz de desarrollar su habilidad de 
compresión, desarrollará también su capacidad de discernir conceptos pocos 
claros y precisos de aquellos que se fundamenten en mayores razones. 
c) Aprendizajes de proposiciones. De los tres tipos de aprendizaje significativo 
que propone Ausubel33 el de proposiciones es el más complejo. Primero el 
alumno aprende lo que representan las palabras, más adelante empieza a 
formar conceptos; ya en la edad escolar, se inicia en la asimilación de los 
mismos hasta lograr el aprendizaje de proposiciones. 
El aprendizaje significativo es muy importante en el proceso educativo porque es 
el mecanismo humano por excelencia para adquirir y almacenar la vasta 
 
32
idem 
33
 idem 
 38
cantidad de ideas e información representadas por cualquier campo del 
conocimiento. El surgimiento de nuevos significados en el alumno refleja la 
consumación de un proceso de aprendizajes significativo. 
En el siguiente capítulo describiremos la forma en que, a partir de los 
conocimientos adquiridos, los alumnos pueden lograr la construcción del 
concepto de suma y resta que les permite resolver un problema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 39
1.3 CONCEPCIÓN DE APRENDIZAJE PARA LA ENSEÑANZA DEL 
CONCEPTO DE SUMA Y RESTA. 
 
En este apartado estableceremos la importancia que tiene para los alumnos de primer 
grado que conocer las operaciones de suma y resta va más allá de saber resolver 
cuentas o de “hacer”34 sumas y restas. El saber sumar o restar significa que los niños 
sean capaces de reconocer las situaciones en las que estas operaciones le sean útiles. 
También implica el saber escoger adecuadamente, y de acuerdo a su edad y proceso 
de desarrollo el procedimiento más sencillo para resolver una suma o una resta, 
dependiendo de las cantidades involucradas. 
Esto implica para los niños inicialmente que sean capaces de dar resultados 
aproximados y puedan aplicar correctamente ciertas propiedades de la suma y de la 
resta para facilitar los cálculos. Al hacer una reflexión sobre las condiciones didácticas 
que pueden propiciar un aprendizaje significativo de estas operaciones podemos 
puntualizar que existen diferentes maneras de resolver una suma o una resta. 
En muchas situaciones en las que se necesita sumar o restar, los procedimientos más 
prácticos no son, de inicio sumar las unidades, convertir a decenas, sumar las decenas, 
etc. Para los niños de primer grado, a veces resulta más fácil contar a partir del 
sumando mayor y agregar después el total de unidades apoyándose en la serie 
numérica. Ya que los niños se encuentran todavía en el estadio de operaciones 
concretas necesitarán incluso utilizar físicamente materiales como fichas, frijoles, 
cubos, taparoscas e incluso los dedos. La realización de sumas utilizando material 
 
34
 Como lo dicen los niños de primer grado muy contentos: “Miss ya sé hacer las sumas” 
 40
concreto que represente a los distintos agrupamientos permite comprender e incluso 
construir poco a poco el procedimiento usual para sumar o restar. 
Hay, en cambio otras situaciones en las que se hace necesario el uso de un 
procedimiento escrito, por ejemplo cuando los números que se suman no son 
“redondos”35 o son relativamente grandes, para la edad de los niños de primer grado o, 
cuando se suman varios números. Entonces el procedimiento que se escoja dependerá 
de varios factores: /el tamaño y tipo de los números / redondos/ 20, 300…/ 
compuestos/ 25, 256…/ 
/La estructura del problema que se enfrenta, así como la necesidad de dar o no una 
respuesta exacta. 
/Los conocimientos previos del niño que resuelve los problemas. 
Los procedimientos usuales para sumar o restar pueden ser construidos poco a poco 
por los niños de primer grado, a partirde los conocimientos previos que posee sobre 
los principios de base y posición del sistema decimal de numeración. Es decir que ya 
tiene un conocimiento previo construido de la noción de unidad, decena, centena y del 
concepto de número y serie numérica. 
A partir de la realización de diferentes actividades y situaciones didácticas diversas los 
alumnos de primer grado, al mismo tiempo que avanzan en sus conocimientos sobre la 
serie numérica oral o escrita, empiezan a ser capaces de resolver varios problemas de 
suma o resta de acuerdo a sus procesos cognoscitivos. 
Poco a poco los procedimientos que los niños de primer grado utilicen para sumar o 
restar dependerán del rango numérico y de los conocimientos y conceptos matemáticos 
que ya tengan establecidos. 
 
35
 Sevilla Block David Coordinador “La enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria”, pág. 67 
 41
Así entonces podemos establecer que no es lo mismo “saber sumar o restar”36 que 
saber utilizar estas operaciones en la resolución de problemas, utilizando los algoritmos 
convencionales. Con respecto a estos propósitos poco a poco nos damos cuenta que 
por lo general se van alcanzando mejores resultados cuando los niños utilizan sus 
recursos y aproximaciones para resolver los problemas; así los niños de primer grado 
pueden desarrollar técnicas cada vez más eficientes para sumar o restar al resolver 
problemas. Es decir, que en ambos casos cuando los alumnos de primer grado 
necesitan: 1.- “Aprender a sumar y restar”37, 2.- “Aprender a resolver problemas que 
impliquen el uso de estás operaciones”, la profesora debería implementar estrategias 
que fortalezcan la realización de ambos procesos juntos. 
Los problemas aditivos, es decir los problemas que se resuelven con una suma o una 
resta, pueden tener diferentes relaciones entre los datos. A lo largo del ciclo escolar de 
primer grado, en la medida en que los niños resuelven diferentes tipos de problemas, 
van enriqueciendo de manera paulatina los significados que para ellos tienen estas 
operaciones. 
Los problemas aditivos más adecuados para introducir las nociones de suma o resta en 
primer grado son los problemas que implican una relación dinámica, y en particular los 
de cambio en los que se necesita calcular el estado final. Por ejemplo: 
Había 12 pajaritos sobre una rama y volaron 5. ¿Cuántos quedaron en la rama?38 
 
 
 
 
36 ibid pág. 81 
37
 ibid pág. 87 
38
 ibid pág. 88 
12 
-5 
 42
 
Sin embargo es conveniente plantear en el transcurso del ciclo escolar otro tipo de 
problemas que impliquen una mayor complejidad entre las relaciones, entre los datos. 
Pero, es necesario al inicio plantearlos en números más chicos y siempre con apoyo de 
material concreto39, que el uso de este tipo de material es una parte importante que 
permite al niño resolver la situación problemática. Los alumnos que ya saben contar 
más allá del 10 probablemente no tendrán ninguna dificultad para resolver los 
problemas. Pero los alumnos que todavía no dominan el conteo, esta actividad no les 
resultará tan sencilla. Entonces necesitan buscar estrategias que les permitan tener 
exactamente la cantidad de material concreto necesario para llegar a la resolución del 
problema. En ambas situaciones, el uso del material como apoyo para la resolución de 
problemas es fundamental para los alumnos de primer grado, y además permite que 
ellos mismos verifique si lograron resolver con éxito la actividad o si tuvieron algún 
error. 
En resumen podemos establecer que a través de situaciones didácticas con base en la 
resolución de problemas, se puede comprobar que los niños poseen conocimientos que 
normalmente no manifiestan en la escuela porque no se expresan por escrito, sin 
embargo se puede observar que pueden realizar operaciones con el cálculo mental. Así 
nos damos cuenta que es recomendable aumentar o disminuir el rango de números 
con los que se esta trabajando, según el grado de dificultad que los alumnos tengan 
para resolverlos. 
 
39
 Matemáticas. Primer grado. Libro para el Maestro, pág. 19 
 43
El uso de estrategias didácticas adecuadas40 permitirá que los alumnos puedan 
resolver problemas sencillos que impliquen sumar o restar con distintos significados: 
/agregar/unir/igualar/quitar/buscar un faltante, utilizando diversos procedimientos 
apoyados en el uso de material concreto/ dibujos/conteo/descomposición de números y 
cálculo mental, además representarán simbólicamente sumas y restas, las resolverán 
con los algoritmos convencionales y las aplicarán a la resolución de problemas. 
En el siguiente capítulo realizaré una descripción de los procesos didácticos que se 
llevan a cabo en el aula escolar para que los alumnos de primer grado puedan 
establecer los conceptos de suma y resta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40
 ibid pág. 11 
 44
2. DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS. 
 
En este capítulo iniciaremos la descripción de los diferentes conceptos teóricos que 
sirvieron como marco para el desarrollo de la investigación. Detallaremos algunos 
aspectos del constructivismo que pueden ser aplicados a la enseñanza matemática, 
que nos permitan comprender los procesos de enseñanza aprendizaje que se 
desarrollan en el aula escolar. 
 
2.1 CONCEPCIÓN DE LAS MATEMÁTICAS EN EL ÁMBITO ESCOLAR. 
 
La concepción de la forma cómo se enseña ha cambiado en las tres últimas décadas. 
Se propone un enfoque metodológico para la enseñanza de las matemáticas, 
principalmente a raíz de la aparición de la teoría psicogenética desarrollada por Piaget. 
Está nueva concepción se expresa de formas diferentes, siendo una de ellas la que 
fundamenta que las matemáticas deben ser para los alumnos una herramienta que 
ellos recrean y que evoluciona frente a la necesidad de resolver problemas. Para 
aprender, los alumnos necesitan “hacer matemáticas”41, es decir pensar, enfrentar 
numerosas situaciones que les presenten un reto, un problema, un desafío y generar 
sus propios recursos para resolverlas, utilizando los conocimientos que ya poseen. 
Los conocimientos matemáticos y los problemas son inseparables. “No se trata de 
´aprender´ matemáticas para después ´aplicarlas´ a la resolución de problemas, sino de 
 
41
 Sevilla, Block David. “La Enseñanza de las Matemáticas en la Escuela Primaria”, pág. 9 
 45
aprender matemáticas al resolver problemas”.42 La concepción didáctica de las 
matemáticas basada en problemas, implica poner los conocimientos en cierto tipo de 
situaciones en las que éstas cobren sentido para el alumno, al permitirle resolver los 
problemas que se le planteen. 
Mediante este enfoque pedagógico se espera que el niño viva con su profesor la 
experiencia de hacer matemáticas, es decir, de construir conocimientos matemáticos al 
resolver cierto tipo de problemas. Ésta es una de las principales características para la 
enseñanza de las matemáticas en el enfoque del Plan y Programa de Estudio 1993 de 
la Educación Básica Primaria. 
Bajo esta nueva perspectiva, el profesor debe tomar en cuenta que su papel no se 
limita a ser un facilitador de la actividad. Si bien debe respetar la actividad y creatividad 
de los alumnos, también debe intervenir con sus orientaciones, explicaciones y 
ejemplos ilustrativos cuando así se requiera. Éste es uno de los momentos más difíciles 
de su quehacer profesional, ya que, con base a su experiencia, debe seleccionar el 
momento oportuno de su intervención, de tal manera que ésta no sustituya el trabajo de 
los niños ni obstaculice el proceso de aprendizaje. 
De manera tradicional la concepción de las matemáticas en el ámbito escolar se ha 
enfocado al uso de los problemas para que los alumnosapliquen los conocimientos 
que previamente les ha enseñado el profesor. Sin embargo, la experiencia ha mostrado 
que a pesar de que los profesores dedican muchas horas de trabajo con este propósito, 
la mayoría de los alumnos especialmente los de primer grado, presentan serias 
dificultades en la resolución de problemas. 
 
42
 Ibidem pág. 12 
 46
Una de las principales causas de estas dificultades reside en que los contenidos 
matemáticos se han trabajado de manera aislada, es decir, fuera de un contexto que le 
permita al alumno descubrir su significado, sentido y utilidad. 
Es necesario entonces, para que la resolución de problemas promueva el aprendizaje 
matemático y el desarrollo de la capacidad de razonamiento de los niños, se tendrá que 
cambiar el orden en el que tradicionalmente se haya procedido. Esto es, enfrentar a los 
niños desde el principio a la resolución de problemas para que los resuelvan con sus 
propios recursos, lo que les permitirá construir nuevos conocimientos y, más tarde, 
encontrar la resolución de problemas cada vez más complejos utilizando los 
procedimientos de solución convencionales. 
Esta propuesta metodológica promueve la búsqueda personal de soluciones 
permitiendo a los alumnos crear procedimientos propios. Cuando los alumnos tienen 
libertad para buscar la manera de resolver un problema, por lo general encuentran, al 
menos, una forma de aproximarse a la solución (por ejemplo el concepto de suma y 
resta). Esto, a su vez, puede generar al interior del grupo una valiosa diversidad de 
procedimientos. 
Resulta entonces de gran utilidad el promover que, los niños especialmente de primer 
grado, conozcan y analicen la forma de solución que siguieron sus compañeros. 
Permitirles conocer los diferentes procedimientos que se encontraron para resolver un 
mismo problema, tiene un gran valor didáctico, ya que favorece que los alumnos se den 
cuenta que para resolver un solo problema existen varios caminos. Así los niños 
pueden establecer que algunos caminos son más largos y complicados que otros, pero 
que lo importante es acercarse a la solución. Este proceso permite a los niños, también 
 47
darse cuenta de sus errores, así como reconocer y valorar sus estrategias y sus 
resultados. 
Cuando los niños de primer grado logran comprender los procedimientos que otros 
compañeros siguieron para resolver algún problema, pueden ser capaces de utilizarlos 
ellos mismos para resolver otras situaciones. Es importante entonces probar, 
equivocarse, volver a probar hasta lograr la solución. El ensayo y error propicia que los 
niños avancen en su aprendizaje, adquieran confianza en el manejo de sus 
conocimientos, reconozcan su validez y los utilicen para resolver las siguientes 
situaciones a las que se enfrentan. 
La resolución de problemas y la adquisición de conocimientos significativos y duraderos 
son procesos que tienen que avanzar en estrecha situación. 
Es importante también considerar para el primer grado trabajar con actividades en las 
que se permita a los niños el uso de material concreto. La forma en que los niños 
utilizan este material determina, en gran medida la posibilidad de comprender y 
resolver el contenido y el problema que se trabaja. Si bien es importante que en un 
primer momento se permita a los niños manipular los materiales para que se 
familiaricen con ellos, es necesario plantearse situaciones problemáticas en las que el 
uso del material tenga sentido. 
Si el profesor plantea el problema a los niños, les entrega el material y les da libertad 
de usarlo como ellos consideren conveniente para encontrar la solución, los niños del 
primer grado pondrán en juego sus conocimientos sobre la situación planteada, 
utilizando sus experiencias anteriores y haciendo uso del material como un recurso que 
les ayude a resolver el problema. 
 48
Así, los alumnos comprenderán la clase de acciones que realizan con el material para 
resolver el problema y descubrirán propiedades y características del material que tan 
sólo manipularlo les permite enfrentar y resolver diversas situaciones. 
Desde este enfoque metodológico con base en la resolución de problemas cambia el 
enfoque tradicional de la concepción de las matemáticas en el ámbito escolar. En el 
siguiente apartado hablaré de las características de desarrollo del niño de primer grado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 49
2.2 LAS CARACTERISTICAS DEL NIÑO DE PRIMER GRADO 
PRESENTES EN LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS 
 
En este apartado describiré las características de desarrollo del alumno de primer 
grado y los estadios evolutivos que desde Piaget pueden influir en el pensamiento y 
desarrollo del niño. 
 Antes de ingresar a la escuela primaria los niños ya tienen ciertas experiencias 
matemáticas que han adquirido desde el preescolar o en su vida cotidiana. Son 
capaces de contar colecciones de objetos, operar con pequeñas cantidades de dinero, 
usar los números en sus juegos y en otras actividades cotidianas. Pueden también 
reconocer los números escritos en el mercado, las tiendas o en el calendario. Hacen 
dibujos en los que representan su entorno, su familia, su casa, sus muebles, sus 
juguetes y juegan con diversos objetos y formas. 
Con todo este tipo de experiencias que los niños han obtenido previamente43, al mismo 
tiempo han adquirido conocimientos y construido sus hipótesis sobre algunos aspectos 
de las matemáticas que son la base sobre la que desarrollarán conocimientos 
matemáticos más formales. 
Desde esta perspectiva, se hace necesario entonces, que las actividades que se 
propongan en la escuela enlacen por una parte los contenidos de los programas de 
estudio con los aprendizajes que los niños han adquirido fuera de la escuela, y por otra 
parte con la forma que han arribado a ellos, apoyándose en la percepción visual, en la 
manipulación de objetos, en la observación de las formas de su entorno y en la 
resolución de problemas. 
 
43
 Ibidem pág. 9 
 50
Es necesario también considerar las características del niño de esta edad para 
considerar la propuesta de actividades para la construcción de conocimientos 
matemáticos que permitan a los alumnos enfrentaran las situaciones problemáticas que 
se les presentan. Dichas situaciones, que los niños resolverán con procedimientos 
propios al principio, son respuesta al estadio que desde Piaget se considera que se 
encuentran los niños de primer grado de primaria. 
Piaget definió una secuencia de cuatro estadios o grandes periodos por los que en su 
opinión todos los seres humanos atravesamos en nuestro desarrollo cognitivo.44 En 
cada uno de estos periodos, nuestras operaciones mentales adquieren una estructura 
diferente que determina cómo vemos el mundo. Como fruto de las observaciones e 
investigación detallada sobre el desarrollo del niño, Piaget establece que: 
� En todos los seres humanos se dan unos cambios universales a lo largo del 
desarrollo cognitivo, unos “momentos”, por decirlo así, claramente distintos en 
las etapas de desarrollo y que, 
� Esos cambios están relacionados con la forma en que el ser humano entiende y 
se relaciona con el mundo que le rodea en cada uno de esos momentos.45 
A esos distintos “momentos” en el desarrollo de los seres humanos es a lo que Piaget 
denomina estadios del pensamiento o estadios evolutivos y que pueden resumirse en 
tres estadios del desarrollo cognitivo a saber: 
� Período sensorio motor de 0 a 2 años 
� Período preoperacional de 2 a 7 años 
� Operaciones concretas de 7 a 11 años 
 
44
 Jean Piaget Psicología del niño, pág. 38 
45
 Ibidem pág. 52 
 51
� OPERACIONES FORMALES DE 0 A 2 AÑOS 
Dado que las edades son aproximadas y pueden darse diferencias considerables entre 
las características que los niños