Álgebra Lineal Resumen Completo - Claudia Contreras Pedroza

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RESUMENCOMPLETOÁLGEBRALINEALÁMELES
trEEEía
i VECTORES CANÓNICOS
en Ra en f i ez fq en IR eifffiei.FI iesf
Es 3 t engeneral
a f TED a beatles
Les 3er
engeneral g aertbea
ii COMBINACIÓN LINEAL
I es combinaciónlinealdelosvectores J Il si 7413ERA TBF
ifeng.x.fi escombinaciónlinealde ft
luego f a TB
Xt 3B 1
2B a as FIE
es l l deµ
iii GENERADOR
El conjuntodetodaposiblecombina0linealdelosvectores sí se
CONOCE COMOel
genli.it Hi ID
iii ELCONJUNTODEVECTORES J TÑ SEDICE
LINEALMENTE INDEPENDIENTE xptpvtywO.sn p p 0
LINEALMENTEDEPENDIENTE KI tpvtfw.lt Algún x p870
II MATRICEStrufa de 3 4L j Posición columnaE Posiciónfila
A laidnimum
rodeamos
inodefilas
A 911 AM 043 914Ii L
MATRIZ ESCALONADA MATRIZ ESCALONADA REDUCIDA
1 L 1 L
4 500µs 1
a b c d pivotes 70
OPERACIONES ELEMENTALES 5010PORFILAS
i MultiplicarUnafilapor HER k 0
ii Intercambiarfilas
iii sumar n vecesuralita aotra
ii 1 1 1EJEMPLO A f 3g ME FIO 2 3O 1 2 3
µ Y Fran aµ4 5 6 7 o O o 0
A 1 1123 4 5 F2 2ft F2
y 5 6 7 Es4ft Es
SISTEMAS DEECUACIONES
Sea el sistema
2 34 4
X try 3
M AX D
con 2 b
L L II
luego definimos lamatriz ampliada A A B
www.seroiescaionarqysi
nopivotes nopivotes A sistemainconsistente sol
nopivotes A nopivotes F sistema consistente 7 sol
n depivotes A nocolumnas A solución única
nodepivotes A anocolumnas A Infinitassoluciones a
HAYVARIABLE LIBRE
Parámetros nocolumnas A nopivotes
VARIABLE lavariablelibreesla quenoestáenla
UBRE escalonadadeA
XXaXaX4
02 3 0 luegoresolvemos
41 ftp.zr.me
III
i 2 4 6A 2 1 3 1 O
00h1 1 1 Sea Xzx.ae R Xy3OJ5 71Fzt5FEFz 1 2 2 2 9 01L 3 0
1 2 1 3 O
La 1 12 2 9
OO O 2 6 Xa 3 4 2Xp 3 tan pivotesA 3 SISTEMACONSISTENTE 3 X
DepivotesF 3 i ESPACIO SOLUCIÓNCORRESPONDE
A
PERO nepiv.CA Decolumna A a's soluciones X z x3 a 4 VARIABLELIBRE 4 3 1 Xa 3X x
14 3
PROPIEDADES GENERALES MATRICES
deIsean A B C cMmmR y hiper entonces
ATB CMmm o AlBtc ABTAC
o AtB te Ct AtB a IA AL AA At B BTA s 0A D AO
s At 0 A
0 ATEA O OBSERVACIÓN i AB BA
XA EMmm ii NIEXISTEDIVISIÓNo AtB AAtab iiiSIABOYAvoxtB A a AtBA 130
o app xpAa 1 A A
0 AIBC ABCoxB laAB AlaB
MARK TRASPUESTA At intercambiarfilasporcolumnas
fNPildades a laA
t aAt
r Att A
0 AtBte AttBt
o A Bte Bt Atis It
OBSERVACIÓN SI Ann MATRIZ CUADRADA SEDIRA
e
SIMETRICA TANTISIMETRIA
Si At A si At A
MATRIZ INVERTIBLE
AnxntAB.BA L B A1
PROPIEDADES
a laA 1 a 1 A1 10
D A1 t A
AtB f A1 131
or At 1 Ae t
is p n A1 An1
a AB 131 A1
OBSERVACIÓN si Annesinvertible entonces
i Ax ei es consistenteV ei canónicoliar n
ii filasdeASONlineal IndepColumnas deAsonlineal indep
iii RangodeAesn
iii AX PTIENE SOLUCIÓNÚNICA
OBSERVACIÓN i UnaMATRIZDIAGONAL esinvertiblesiloselementosdesudiagonalno
sonNULOS
f fofieffatashofann
ii Una MATRIZTRIANGULAR esinvertible siloselementosdesu
diagonalnosonnulos
A 2 3 4
5 6
B
7
3 3 INFERIORSUPERIOR 3 3
iii Una MATRIZ IDENTIDAD
Inxn 1 OOO OO 1 OO O
OO 1 OO
OO O 1 O
O O OO 1
TIEMPO po I En i I
33
j AtB f te b vas
ii Arizona to I 4 f F
tentáis
1TODO CONJUNTO GENERADODEIR SEDICE SUBESPACIO DER
2 BER SE DICE BASEDER si Beslinealmente indep
sp Rn
3 TODABASE PERGENE M ELEMENTOS ESDECIRSUDIMENSIÓNES M
SEANOTADIM Rr p
4 SEA B_EhVe Un BASE DER y VERTALQUE
asVs que t tan.vnSEDEFINE VECTOR COORDENADO
µ v en labase B no
luto
µ
5 SEAN u v ER y B base deRn entonces
i ftp.t vJB lUtVJB
ii KUI a UBI
iii un.ua um eslinealmenteindependiente si luiElla Mm
es linealmente independiente
def sea Bs rBeBASES DE R SEDEFINE LA MATRIZCAMBIODE
BASE Bn aBe COMO
Pp Elvira ValBa UnBa
MOMMA sean BsAB BASES DER LUEGO Vxc.IRSE TIENEQUE
i Ppp l JB HIBa
ii Pp esinvertible zP
6 BASES CANÓNICAS
Bra f q Dim Pi 2
Bris f f DimPi 3
EJEMPLO DEUDA 9 ElSIGUIENTE CONJUNTO FORMA UNABASE
Í deR
PASOtiversieslinealmente independiente
l rima
la escalono y mequeda
iii
como ces I I y DIM c DIM 4 cesbasedeR
TRANSFORMACIONES
thirteen
1 T RM R
T estransformación lineal si Mutua THATTNA
T aun xTAN
2 T RM R estransformación linealentonces
i 7 AmmMtv Av A Matrizrepresentativade1
ii Ker A xcRm Ax P Ker A ERM
iii ImA DERMITERM AI P Im A ERM
ii conjuntogenerado porlascolumnasdeA recorrido
conjuntogeneradoporlasfilasdeA
DESPUES DE ESCALONAR
OBSERVACIÓN i ImA ClA FAt
ii DimMA rangoA CCA cR
DinCHAI rango A KA Ekm
3 si Amm entonces
i AesInyectiva 1 1 siysolosi kerlA.toii Aessobreyectiva siy solosi IMAI IR
4 i SiAramy Bmxqentonces LAB pqdefinela
transformación
COMPUESTA A B
ii Si Ammes invertible entonces A eslatransformación inversa
5 sea 3 irme Rnunatransformaciónlinealentonces
dimlkerklttdimkmlTD.tn
Ei Stitaremos
1 SEA A g luego detat.LA qp ad bc
Calcular 2 3 4
1 2 1
5 O 3
METODO1
2 3 4 2 3
iii ir
2 2.3 3 ft 5 1 4 1 O 5 2 410 11.213.13
12 151 0 40 O 9
52g
METODO2 REDUCCIÓNA MENORES
2 c 4 3
s
a a
3.8 2 1470.16
52
2 det I L
detlAM ldet.AM
det A B detallo delta
det At det
detlA.it 1
del.CH
xekidetlxAI xndet.CH
Ann
SIUNDETERMINANTETIENE2FILAS IGUALES detO.SIUNDETERMINANTETIENE2 COLUMNAS IGUALES teto
SITENEMOSUNDETERMINANTETRIANGULARESDECIR
a lo c a b czO B C
O 0 02
OPERACIONES ELEMENTALESEN DETERMINANTES
a SI CAMBIO UNAFILAPOROTRAFILA APARECEUNSIGNOMENOS
MULTIPLICANDO Aldet IGUALCONCOLUMNAS
b SI MULTIPLICO POR UNA FILA ELDETERMINANTESEMULTIPLICAPOR
c SUMAR n VECESUNAFILAAOTRA
Ig Yg Esther
1 1 1 2
O 1 5 3 Cz124 Cz
O 14 9
O O 16 8
1 1 3 2 32
0 1 1 3
O O 4 9
O O O 8