Capitulo2 - Ariadna Deseusa Morales

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EAS200a - Probabilidad y Estad́ıstica
R. Aguila - M. I Vicuña - O. Ferreiro
2o Semestre 2017
Caṕıtulo 2
: , 1
Contenido
� Variables Aleatorias y Distribución de Probabilidad
Introduccción
Eventos Aleatorios y Variables Aleatorias
Distribución de Probabilidades de una Variable Aleatoria
Medidas Descriptivas de Variables Aleatorias
Función Generadora de Momentos
� Funciones de Variables Aleatorias
Introducción
Función de Probabilidad y de Densidad
: , 2
Variables Aleatorias y Distribución de Probabilidad
Introducción
Ya vimos los conceptos fundamentales y las herramientas referidas a la
ocurrencia de fenómenos aleatorios y la determinación de las
probabilidades asociadas.
Ahora, introduciremos modelos anaĺıticos que involucran:
Variables Aleatorias y Distribución de Probabilidad
: , 3
Variables Aleatorias y Distribución de Probabilidad
Eventos Aleatorios y Variables Aleatorias
Una variable aleatoria es el veh́ıculo matemático para representar un
evento en términos anaĺıticos.
El valor de una variable aleatoria puede estar definida para un conjunto
de posibles valores.
Si X es una variable aleatoria, entonces
X = x , X < x , X > x
representa un evento, donde (a < x < b) es el rango de valores posibles
de X .
La asignación numérica puede ser natural o artificial.
: , 4
Variables Aleatorias y Distribución de Probabilidad
Eventos Aleatorios y Variables Aleatorias
Formalmente, una variable aleatoria puede ser considerada como una
función o regla sobre los eventos elementales (resultados básicos) del
espacio muestral a un sistema numérico (o ĺınea real).
Por medio de la variable aleatoria, probabilidades de sucesos contenidos
en el espacio muestral, se pueden calcular mediante probabilidades de
eventos (sucesos) contenidos en el soporte (recorrido) de la variable
aleatoria:
: , 5
Variables Aleatorias y Distribución de Probabilidad
Eventos Aleatorios y Variables Aleatorias
Aśı, los eventos E1 y E2 pueden corresponder a
E1 = (a < X ≤ b)
E2 = (c < X ≤ d)
E1 ∪ E2 = (X ≤ a) ∪ (X > d)
E1 ∩ E2 = (c < X ≤ b)
Una variable aleatoria puede ser discreta o continua.
: , 6
Variables Aleatorias y Distribución de Probabilidad
Distribución de Probabilidades de una Variable Aleatoria
Para los valores o rango de valores que puede tomar una variable aleatoria
tienen asociados una probabilidad especifica o medidas de probabilidad.
La regla que asigna las medidas de probabilidad se denomina:
“Distribución ó Ley de probabilidad”
: , 7
Variables Aleatorias y Distribución de Probabilidad
Distribución de Probabilidades de una Variable Aleatoria
Ilustración
Una empresa bancaria portuguesa quiere ofrecerles a sus clientes un
depósito a plazo. Para ello, realiza una campaña de marketing basado en
llamadas telefónicas. A menudo, se requiere más de una llamada con el
mismo cliente, con el fin de acceder al producto. Los datos son
recolectados entre los años 2008 a 2013, y consta de n = 41188 clientes.
El objetivo es poder predecir si el cliente suscribirá (śı / no) a un
depósito a plazo a partir de diferentes variables (Por ejemplo, Edad,
trabajo, Estado Civil, Educación, contacto (”celular”, ”teléfono”),
duración de la última llamada, número de llamadas realizadas antes de la
campaña de marketing, entre otras)
(http://archive.ics.uci.edu/ml/datasets/Bank+Marketing)
: , 8
Variables Aleatorias y Distribución de Probabilidad
Distribución de Probabilidades de una Variable Aleatoria
Por ejemplo, consideremos el número de llamadas realizadas a un cliente
antes de la campaña de Marketing
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
F
re
cu
e
n
ci
a
 R
e
la
tiv
a
0 1 2 3 4 5 6 7
Un modelo de probabilidad muy usual para este tipo de datos es el
llamado modelo Poisson, que contabiliza eventos en el tiempo.
: , 9
Variables Aleatorias y Distribución de Probabilidad
Distribución de Probabilidades de una Variable Aleatoria
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Fr
ec
ue
nc
ia
 R
el
at
iv
a
0 1 2 3 4 5 6 7
: , 10
Variables Aleatorias y Distribución de Probabilidad
Distribución de Probabilidades de una Variable Aleatoria
Pero si ahora, consideramos la duración de la última llamada (en
segundos), tenemos un caso continuo.
Duración de la última llamada (segundos)
D
en
si
da
d
0 500 1000 1500 2000 2500
0.
00
00
0.
00
10
0.
00
20
Este comportamiento puede ser descrito con una función de densidad del
modelo Exponencial.
: , 11
Variables Aleatorias y Distribución de Probabilidad
Distribución de Probabilidades de una Variable Aleatoria
Duración de la última llamada (segundos)
D
en
si
da
d
0 500 1000 1500 2000 2500
0.
00
00
0.
00
10
0.
00
20
: , 12
Variables Aleatorias y Distribución de Probabilidad
Distribución de Probabilidades de una Variable Aleatoria
Si X es variable aleatoria, la distribución de probabilidad puede ser
descrita por su función de distribución de probabilidad acumulada
denotada por:
FX (x) = P(X ≤ x) para todo x ∈ R
Si X es variable aleatoria discreta, entonces esta función puede ser
expresada a través de la función de probabilidad “puntual” denotada por
pX (x) = P(X = x)
Aśı,
FX (x) =
∑
xi≤x
P(X = xi ) =
∑
xi≤x
pX (xi ),
con xi ∈ ΘX (soporte de X ).
: , 13
Variables Aleatorias y Distribución de Probabilidad
Distribución de Probabilidades de una Variable Aleatoria
Ahora, si X es variable aleatoria continua, las probabilidades están
asociadas a intervalos de x .
En este caso se define la función de densidad fX (x) tal que
P(a < X ≤ b) =
∫ b
a
fX (x) dx (1)
y
FX (x) = P(X ≤ x) =
∫ x
−∞
fX (t) dt
con
fX (x) =
d
dx
FX (x)
Notar que
P(X = x) = 0
: , 14
Variables Aleatorias y Distribución de Probabilidad
Distribución de Probabilidades de una Variable Aleatoria
Caso Discreto y Continuo
p X
(x
)
0 x10x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9
0
1
f X
(x
)
0
0
Area = 1
F
X
(x
)
0 x10x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9
0
1
F
X
(x
)
0
1
0
: , 15
Variables Aleatorias y Distribución de Probabilidad
Distribución de Probabilidades de una Variable Aleatoria
Caso Mixto
x
f X
(x
) ó
 p
X
(x
)
●
0
p
0
Area = 1−p
x
F
X
(x
)
●
0
p
1
0
: , 16
Variables Aleatorias y Distribución de Probabilidad
Distribución de Probabilidades de una Variable Aleatoria
Propiedades
1. FX (−∞) = 0 y FX (∞) = 1.
2. FX (x) ≥ 0 para todo valor de x y es no decreciente.
3. FX (x) es continua por la derecha
Para el caso continuo, la ecuación (1) la podemos escribir como
P(a < X ≤ b) =
∫ b
−∞
fX (x) dx −
∫ a
−∞
fX (x) dx
mientras que en el caso discreto
P(a < X ≤ b) =
∑
xi≤b
pX (xi )−
∑
xi≤a
pX (xi )
es decir, para ambos casos
P(a < X ≤ b) = FX (b)− FX (a)
: , 17
Variables Aleatorias y Distribución de Probabilidad
Distribución de Probabilidades de una Variable Aleatoria
Ejemplo 1 Consideremos el lanzamiento de una moneda honesta tres
veces y definamos la variable aleatoria X como el número de sellos que
se pueden obtener. Los posibles resultados de este experimento son:
{X = 0}, {X = 1}, {X = 2}, {X = 3}
: , 18
Variables Aleatorias y Distribución de Probabilidad
Distribución de Probabilidades de una Variable Aleatoria
Ejemplo 1
(a) Determine la función probabilidad de la variable X . Graf́ıquela.
(b) Determina la función de distribución de probabilidad acumulada de
X . Graf́ıquela.
: , 19
Variables Aleatorias y Distribución de Probabilidad
Distribución de Probabilidades de una Variable Aleatoria
Ejemplo 1
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
P
(X
=
x)
●
● ●
●
0 1 2 3
: , 20
Variables Aleatorias y Distribución de Probabilidad
Distribución de Probabilidades de una Variable Aleatoria
Ejemplo 1
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
F
X
(x
)=
P
(X
≤
x)
−1 0 1 2 3 4
: , 21
Variables Aleatorias y Distribución de Probabilidad
Distribución de Probabilidades de una Variable Aleatoria
Ejemplo 2 La vida útil, T (en horas) de un componente eléctrico no es
totalmente predecible, pero puede ser descrita por una distribucióncuya
función de densidad es de la siguiente forma:
fT (t) =
 λ e
−λ t , t ≥ 0
0, en otro caso
en que λ es una constante positiva. Esta distribución se conoce como
distribución Exponencial.
: , 22
Variables Aleatorias y Distribución de Probabilidad
Distribución de Probabilidades de una Variable Aleatoria
Ejemplo 2
0 10 20 30 40 50
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
Value of T
P
D
F
 o
f T
: , 23
Variables Aleatorias y Distribución de Probabilidad
Distribución de Probabilidades de una Variable Aleatoria
Ejemplo 2
−10 0 10 20 30 40 50
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Value of T
C
D
F
 o
f T
: , 24
Variables Aleatorias y Distribución de Probabilidad
Medidas Descriptivas de Variables Aleatorias
Una variable aleatoria puede ser descrita totalmente por su función de
distribución de probabilidad o de densidad, o bien por su función de
distribución de probabilidad acumulada.
Sin embargo, en la práctica la forma exacta puede no ser totalmente
conocida.
En tales casos se requieren ciertas “medidas” para tener una idea de la
forma de la distribución:
I Medidas Centrales.
I Medidas de Dispersión.
I Medidas de Asimetŕıas y otras.
En este curso nos enfocaremos en las dos primeras.
: , 25
Variables Aleatorias y Distribución de Probabilidad
Medidas Descriptivas de Variables Aleatorias
Valores Centrales
En el rango de posibles valores de una variable aleatoria, existe un interés
natural con respecto a los valores centrales, por ejemplo, el promedio.
Consideremos una variable aleatoria X con soporte ΘX .
Como cada valor de ΘX tiene una medida de probabilidad, el promedio
ponderado es de especial interés.
: , 26
Variables Aleatorias y Distribución de Probabilidad
Medidas Descriptivas de Variables Aleatorias
Valores Centrales
A el promedio ponderado se le llama también valor medio o valor
esperado de la variable aleatoria X .
Para una variable aleatoria X se define el valor esperado, µX , como:
µX = E(X ) =

∑
x∈ΘX
x · pX (x), Caso Discreto
∫ ∞
−∞
x · fX (x) dx , Caso Continuo
Este valor existe siempre y cuando∑
x∈ΘX
|x | · pX (x) <∞ o
∫ ∞
−∞
|x | · fX (x) dx <∞
: , 27
Variables Aleatorias y Distribución de Probabilidad
Medidas Descriptivas de Variables Aleatorias
Otras medidas de centralidad corresponden:
I La Moda: Valor más frecuente o con mayor probabilidad.
I La Mediana: Sea xmed el valor que toma la mediana, entonces:
FX (xmed) = 1/2
En resumen, el valor esperado de una variable aleatoria es un valor
promedio que puede ser visto como un indicador del valor central de la
distribución de probabilidad, por esta razón se considera como un
parámetro de localización.
Por otra parte, la mediana y la moda de una distribución también son
parámetros de localización que no necesariamente son iguales a la media.
Cuando la distribución es simétrica, estas tres medidas son parecidas.
: , 28
Variables Aleatorias y Distribución de Probabilidad
Medidas Descriptivas de Variables Aleatorias
Esperanza matemática
La noción del valor esperado como un promedio ponderado puede ser
generalizado para funciones de la variable aleatoria X .
Dada una función g(X ), entonces el valor esperado de esta puede ser
obtenido como:
E[g(X )] =

∑
x∈ΘX
g(x) · pX (x), Caso Discreto
∫ ∞
∞
g(x) · fX (x) dx , Caso Continuo
(2)
Nota: La demostración de este resultado se realizará más adelante.
: , 29
Variables Aleatorias y Distribución de Probabilidad
Medidas Descriptivas de Variables Aleatorias
Función Generadora de Momentos
La función generadora de momentos de una variable aleatoria X se define
como
MX (t) = E[exp(t X )]
Esta función puede no estar definida para algunos valores de t, pero si
existe en un intervalo abierto que contenga al cero, entonces esta función
tiene la propiedad de determinar la distribución de probabilidad de X .
Cuando esto último ocurra, esta función permite obtener el r -ésimo
momento de X de la siguiente forma
M(r)(0) = E(X r )
: , 30
Variables Aleatorias y Distribución de Probabilidad
Medidas Descriptivas de Variables Aleatorias
Medidas de dispersión
Es de interés cuantificar el nivel de dispersión que tienen una variable
aleatoria con respecto a un valor de referencia.
Por ejemplo, nos podŕıa interesar la distancia esperada de los valores de
una variable aleatoria X con respeto al valor esperado µX , es decir,
E [(X − µX )].
Esta idea de dispersión tiene el problema que siempre da como resultado
cero.
: , 31
Variables Aleatorias y Distribución de Probabilidad
Medidas Descriptivas de Variables Aleatorias
Medidas de dispersión
Una alternativa es utilizar la definición de varianza:
σ2X = Var(X ) = E[(X − µX )2]
=

∑
x∈ΘX
(x − µX )2 · pX (x), Caso Discreto
∫ ∞
∞
(x − µX )2 · fX (x) dx , Caso Continuo
Ejercicio: Mostrar que Var(X ) = E (X 2)− µ2X .
: , 32
Variables Aleatorias y Distribución de Probabilidad
Medidas Descriptivas de Variables Aleatorias
En términos de dimensionalidad, es conveniente utilizar la desviación
estándar, es decir,
σX =
√
Var(X )
Una medida adimensional de la variabilidad es el coeficiente de variación
δX =
σX
|µX |
: , 33
Variables Aleatorias y Distribución de Probabilidad
Medidas Descriptivas de Variables Aleatorias
Ejemplo 3
Suponga que en un d́ıa se producen 850 piezas manufacturadas de las
cuales 50 no cumplen con los requisitos del cliente.Se seleccionan del lote
dos piezas y sin reemplazo. Sea X la v.a que representa el número de
piezas en la muestra que no cumplen los requisitos.
(a) Calcule por definición E(X ) y V(X )
(b) Calcule la mediana de X
(c) Calcule la función generadora de momentos de X y a partir de ella
calcule E(X ) y V(X )
: , 34
Variables Aleatorias y Distribución de Probabilidad
Medidas Descriptivas de Variables Aleatorias
Ejemplo 4
Valor esperado, mediana, varianza y coeficiente de variación de la
variable aleatoria T propuesta en el Ejemplo 2.
: , 35
Variables Aleatorias y Distribución de Probabilidad
Medidas Descriptivas de Variables Aleatorias
Propiedades de E(X) y V(X)
Sean a y b constantes cualesquiera y sea X una variable aleatoria.
Propiedades de E(X )
I E(a) = a
I E(aX ) = aE(X )
I E(a + bX ) = a + bE(X )
Propiedades de Var(X )
I Var(X ) ≥ 0
I Var(a) = 0
I Var(bX ) = b2Var(X )
I Var(a + bX ) = b2Var(X )
: , 36
Funciones de Variables Aleatorias
Introducción
En diversas áreas a menudo los problemas involucran la determinación de
relaciones funcionales entre una variable dependiente y dos o más
variables independientes.
Si una de las variables independientes o más son aleatorias, la variable
dependiente será aleatoria.
Por tanto, su distribución de probabilidades y momentos (media,
varianza) deben ser obtenidas a partir de la o las variables aleatorias
básicas.
: , 37
Funciones de Variables Aleatorias
Introducción
Por ejemplo,
I El Índice de masa corporal IMC es una variable que se construye a
partir de dos variables aleatorias X (Estatura) e Y (Peso).
I El Índice bursátil Dow Jones es un ı́ndices que muestra un conjunto
de 30 diferentes acciones bursátiles de los mercados de Estados
Unidos, calculados por la empresa Dow Jones & Company. Cada
una de las acciones es una variable aleatoria. por lo tanto el ı́ndice
también lo es.
: , 38
Funciones de Variables Aleatorias
Función de Probabilidad
Considere una función de una variable aleatoria X discreta,
Y = g(X )
Si Y = y , entonces X = g−1(y) donde g−1 es la función inversa de g .
En el caso que g−1 tenga ráız única, se tiene la función de probabilidad
de Y es
P(Y = y) = P
(
X = g−1(y)
)
: , 39
Funciones de Variables Aleatorias
Función de Probabilidad
En el caso, en que g−1(y) no tiene solución única, es decir,
g−1(y) = x1, x2, . . . , xk ,
Entonces
(Y = y) =
k⋃
i=1
(X = xi )
Entonces
P(Y = y) =
k∑
i=1
P(X = g−1i (y))
: , 40
Funciones de Variables Aleatorias
Función de Probabilidad
Ejemplo5
Sea X una variable aleatoria que toma los valores −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3
con la misma probabilidad. Determine la función de probabilidad de la
v.a Y = X 2 − X
: , 41
Funciones de Variables Aleatorias
Introducción
En el caso en que X es una v.a continua, se verán tres métodos que
permiten determinar la distribución de una función de una variable
aleatoria, Y = g(X ).
I Método de la función de distribución acumulada
I Método del teorema de transformación
I Método de las funciones generadoras de momentos
: , 42
Funciones de Variables Aleatorias
Método de la función de distribución acumulada
Suponga que X = g−1(Y ) tiene una única ráız
I Se determina la función acumulada de Y ,
FY (y) = P(Y ≤ y) = P(g(X ) ≤ y)
=
 FX (g
−1(y)) si g(·) creciente
1− FX (g−1(y))) si g(·) decreciente
I Luego la función de densidad de Y : fY (y) se obtiene derivando
FY (y) con respecto a y
: , 43
Funciones de Variables Aleatorias
Método de la función de distribución acumulada
Ejemplo
Se realizó un estudio para determinar el comportamiento del ingreso total
por hogar. Un análisis a los hogares cuyo ingreso fue menor a tres
millones de peso, determinó que estos pueden ser representados por una
distribución continua cuya función de densidad está dada por:
fX (x) =

e−x
1− e−3
0 ≤ x ≤ 3
0 en otro caso
Por otra parte, el gasto familiar Y (en millones de pesos) está
relacionado de la siguiente manera con el ingreso total X :
Y =
7X
1 + 2X
Determine la función de densidad del gasto familiar, especificando su
soporte (o recorrido).
: , 44
Funciones de Variables Aleatorias
Método del teorema de transformación
Este método es una consecuencia del método anterior, independiente de
si g(·) es creciente o decreciente, obteniendose que fY (y) se calcula
mediante
fY (y) =
∣∣∣∣ ddy g−1(y)
∣∣∣∣ fX (g−1(y))
: , 45
Funciones de Variables Aleatorias
Método del teorema de transformación
Note que si g(·) es creciente, entonces
FY (y) = FX (g
−1(y))
Luego fY (y), se obtiene a través de
fY (y) =
d
dy
FY (y) = fX (g
−1(y))
d
dy
g−1(y)
Si g(·) es decreciente entonces
FY (y) = 1− FX (g−1(y)))
Luego,
fY (y) =
d
dy
FY (y) = −fX (g−1(y))
d
dy
g−1(y)
: , 46
Funciones de Variables Aleatorias
Método del teorema de transformación
Note que para ambos casos (creciente o decreciente) se obtiene la misma
función de densidad Y , ya que en el caso de g(·) decreciente se tiene que
d
dy g
−1(y) es negativa.
Por lo tanto, para g(·) creciente o decreciente para todo y se tiene que la
función de densidad se calcula por
fY (y) =
∣∣∣∣ ddy g−1(y)
∣∣∣∣ fX (g−1(y))
: , 47
Funciones de Variables Aleatorias
Método del teorema de transformación
En el caso en que g−1(y) tenga más de una inversa,
g−1(y) = x1, x2, . . . , xk ,
Entonces
(Y = y) =
k⋃
i=1
(X = xi )
Entonces
fY (y) =
k∑
i=1
fX (g
−1
i (y))
∣∣∣∣ ddy g−1(y)
∣∣∣∣
: , 48
Funciones de Variables Aleatorias
Método de la función de distribución acumulada
Ejemplo
En el ejemplo anterior calcule la función de densidad de Y utilizando el
método del teorema de transformación.
: , 49
Funciones de Variables Aleatorias
Método de las funciones generadoras de momentos
Este método se basa en el teorema de Unicidad, el cual afirma que si dos
variables aleatorias tienen funciones generadoras de momentos idénticas,
las dos variables aleatorias poseen las misma distribuciones de
probabilidad.
: , 50
	Variables Aleatorias y Distribución de Probabilidad
	Introduccción
	Eventos Aleatorios y Variables Aleatorias
	Distribución de Probabilidades de una Variable Aleatoria
	Medidas Descriptivas de Variables Aleatorias
	Función Generadora de Momentos
	Funciones de Variables Aleatorias
	Introducción
	Función de Probabilidad y de Densidad