La didáctica de la matemática como epistemología del aprendi - Martín Nuñez

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2. La didáctica de la matemática como epistemología del 
aprendizaje matemático* 
Bruno D'Amore (Universidad degli Studi di Bologna, Italia) 
La diferencia entre nosotros y los alumnos confiados a nuestro 
cuidado está sólo en ésto, que nosotros hemos recorrido un tramo 
más largo de la parábola de la vida. Si los alumnos no nos 
entienden, la culpa es del que enseña que no sabe explicar. Ni vale 
imputar la responsabilidad a las escuelas previas. Debemos tomar a 
los alumnos como son, y recuperar lo que han olvidado, o 
estudiado en otra materia. Si el profesor atormenta a sus alumnos, y 
en lugar de granjearse su amor, excita su odio en contra de sí y de 
la ciencia que enseña, no sólo su enseñanza será negativa, sino el 
tener que convivir con tantos enemigos pequeños será para él un 
tormento continuo. 
Giuseppe Peano [1858-1932], Giochi di aritmética e problemi 
interessanti, Pavia, Turín 1924, Conclusión. 
2.1. Límites de esta reseña 
Conocemos verdaderamente sólo aquello que sabemos explicar. 
Johann Heinrich Pestalozzi [1746-1827]. 
La investigación en didáctica (de tipología) B parece complemente tendiente a centrar la atención 
en el fenómeno del aprendizaje, pero desde el punto de vista de los fundamentos y por tanto no 
aceptando un modelo único de teoría del aprendizaje (aunque si la psicología cognitiva en este 
momento parece la candidata más competente al papel de organizadora fundacional por la mucha 
experiencia de investigación). 
Continuando ahora a afrontar la tipología que he llamado B, ésto es, la didáctica disciplinar como 
epistemología del aprendizaje, no podré más que continuar a ejemplificar en el campo que me 
compete, es decir en el de la matemática. Coloquios con colegas, didactas de otras disciplinas y 
lecturas ocasionales, sin embargo me confirman el hecho de que las problemáticas generales 
parecen ser en muchos aspectos las mismas, pero con sus diversas especificidades. Por ello, y no 
queriendo (no pudiendo) salir del estrecho ámbito mencionado, estoy convencido de que no serían 
completamente distintas las posibles analogías críticas narradas pertenecientes a otros sectores de 
investigación didáctica.1 
Lo que haré en este capítulo y en el siguiente del libro es declarado a continuación. Analizaré 
algunas de entre las problemáticas que parecen emerger con más fuerza en los últimos años, 
 
* Didattica della matematica come epistemología dell’apprendimento matematico, capítulo 2 (pp. 55-96) del 
libro Elementi di Didattica della Matematica, Italia, Pitagora Editrice Bologna, 1999. Colección 
“Complementi di matematica per l'indirizzo didattico”/6. Traducción al castellano por Víctor Larios Osorio 
(Departamento de Matemáticas, Fac. de Ingeniería, UAQ, 2002). 
 Este texto ha sido traducido para su utilización en la Maestría en Docencia de las Matemáticas (FI-UAQ, 
México) y no persigue fines de lucro. 
1 Sobre la especificidad de la investigación en didáctica de la matemática, sugiero a Brun y Conne (1990) y 
Boero (1992a). 
 2 
problemáticas que se han consolidado como elementos de investigación B, y que me parece que 
proporcionan pretextos sólidos y significativos para una posible generalización, de modo que 
proveen aportes también a la definición de una didáctica general. Me limitaré por tanto a señalar 
aspectos relativos a la didáctica de la matemática, pero con comentarios tendientes a la 
generalización. Vista la naturaleza también expositiva de la obra, me abstendré de presentaciones 
excesivamente técnicas y me limitaré sólo a la posición de los diversos problemas, mostrando en 
resumen, en los próximos parágrafos, algunas temáticas muy difundidas en mi ambiente y de 
particular interés. Por honradez, debo remarcar que lo que sigue no es más que una panorama 
limitado, reducido a lo esencial, del todo insuficiente, teniendo sólo como objetivo el de dar a los 
que no pertenecen a la comunidad de los investigadores en didáctica de la matemática una idea de 
las problemáticas, y por tanto para nada exhaustivo. 
Muy de mala gana no trataré problemas muy debatidos hoy en día que sin embargo me harían entrar 
demasiado en lo específico; buscaré a veces remediarlo recurriendo a citaciones bibliográficas 
oportunas. 
Por ejemplo, haré sólo un señalamiento al problema de la visualización, en el cual me limito a 
remitir a algunos trabajos específicos;2 haré sólo algunos señalamientos sobre conceptos figurales;3 
y sólo algunas observaciones sobre la demostración en la actividad matemática en clase;4 y otras, 
así como ya he anticipado en el Prólogo. Evitaré tratar problemáticas relacionadas con las 
modalidades de investigación didáctica; sin embargo, puesto que observar el comportamiento de los 
estudiantes y los profesores parece ser la técnica ganadora, quiero remitir al menos a algunos 
estudios recientes sobre este tema y esta técnica: Thompson (1984), Arsac y Mante (1989), Comiti 
y Grenier (1994), Blanchard-Laville (1997), Schubauer-Leoni (1997b) y Schubauer-Leoni y 
Leutenegger (1997). 
 
2 Véase, por ejemplo, Bishop (1989) y Vinner (1992). Para iniciar de modo crítico este estudio, aconsejo a 
Kaldrimidou (1987), con una vasta bibliografía. Al lector italiano le sugiero Kaldrimidou (1995) y Bagni 
(1997a), en los cuales se da una interpretación particular del concepto de visualización que me parece útil 
para las aplicaciones didácticas. 
3 El estudio pionero sobre este tema es el de Efraim Fischbein iniciado al final de los años ’60, pero el punto 
de partida para quien quisiera afrontarlo es un artículo más reciente del mismo Fischbein (1993); en este 
sector han contribuido mucho los trabajos de Maria Alessandra Mariotti; señalo: Mariotti (1993a,b,c,d) y 
Mariotti y Fischbein (1997). Al lector italiano, le sugiero además: Mariotti (1992a,b, 1994, 1995a,b). Sobre 
este tema regresaré brevemente en 5.10. 
4 Opino que sobre este tema se debe considerar fundamental hoy el estudio de los trabajos de Raymond Duval 
y en particular de su libro: Duval (1995a), un libro cuyo contenido está muy dirigido a la problema 
mencionada. También de Duval sugiero además: (1991, 1992-93, 1995b) que el lector italiano puede 
encontrar traducido [y Duval (1992-93) también lo puede encontrar traducido al castellano (N.T.)]. 
Finalmente sugiero Duval (1996) que se pone como referencia ya sea para los temas aquí señalados, ya sea 
para cuestiones más generales. Señalo además las siguientes traducciones en italiano: Barbin (s.f., 1994), 
Härtig (1993), Antibi (1993). Las investigaciones realizadas en este tema son bastantes, Italia incluida; la 
bibliografía es amplísima, y por tanto para limitar la dificultad de investigación me limito a señalar sólo 
Grugnetti, Iaderosa y Reggiani (1996): en realidad la importancia de esta colección supera el ámbito de la 
escuela media y la bibliografía es bastante amplia; sugiero también la lectura de la reseña de Daconto 
(1996). Recuerdo además que entre los temas tratado en la Scuola di Formazione per Isegnanti, ralizada por 
el Ministerio della Pubblica Istruzione [el equivalente a la Secretaría de Educación Pública en México 
(N.T.)] y la C.I.I.M. [Comisión Italiana para la Enseñanza de la Matemática, organismo de la Unión 
Matemática Italiana], Viareggio 13-19 de noviembre de 1995 y 26 de febrero-1º de marzo de 1996, Nicolina 
Malara ha tratado precisamente el tema del camino a la demostración en geometría (de cada sesión de tal 
escuela existen las Actas que son distribuidas gratuitamente). No puedo finalmente no recordar Arsac 
(1988). Sobre este tema regresaré brevemente en el curso del capítulo 11. 
 3 
Además evitaré los estudios didácticos específicos: la didáctica de la geometría, la didáctica de las 
transformaciones geométricas, la didáctica del álgebra,5 ..., que tienen muchos seguidores y mucha 
relevancia en Italia y en lugares internacionales. Y también estudios muy detalladosy específicos, 
por ejemplo: la didáctica de los vectores, la didáctica de las homotecias, la didáctica de las 
operaciones aritméticas, ..., que constituyen el esqueleto de base para las investigaciones empíricas. 
Y también evitaré estudios de carácter transversal: la didáctica de las demostraciones en general, la 
didáctica de la resolución de problemas, la didáctica de las definiciones, ..., que tienen seguidores 
en todo el mundo. 
2.2. Sobre la terminología. ¿Por qué buscar una teoría? 
Una buena práctica es el fruto de una teoría verdadera. 
José Ignacio Bartolache, Lecciones matemáticas, 1769. 
Si quieres proceder, haz una teoría. 
A. Karmiloff-Smith y B. Inhelder, en la revista Cognition, 3, 1975, 
195-212. 
No hay nada más práctica que una buena teoría. 
Dicho popular. 
Antes de proceder específicamente en el terreno de las ejemplicaciones, es necesario analizar 
algunos aspectos generales. Recomenzaré con los terminológicos. 
Supondré que el término “educación” es más general y comprensivo que “didáctica”; pero no 
callaré que sobre esta cuestión, es decir la cuestión de la doble terminología en uso entre quienes se 
ocupan de investigación en didáctica, es vivaz en el debate: ¿se debe decir “educación matemática” 
o “didáctica de la matemática”? 
En el mundo anglosajón, como ya he dicho, se prefiere actualmente la primera dicción, pero 
refiriéndose a esa área de conocimiento que se refiere a los procesos de enseñanza-aprendizaje de la 
matemática, es decir a ese que en Francia, Alemania, Italia, España, etcétera, normalmente se llama 
comúnmente “didáctica de la matemática”. Lo que me autoriza, por ahora, es siguiendo tanto a 
Steiner (1985) como a Godino (1991), a identificar las dos denominaciones; pero regresaré a este 
punto en 2.6. 
Considerando también a Steiner (1990) se podría pensar que la teoría de la educación matemática es 
parte de la didáctica de la matemática y que ésta, a su vez, forma parte de ese sistema que se llama 
sistema de enseñanza de la matemática. Este último campo comprende una vasta serie de 
problemáticas que van desde la formación inicial de los profesores a la formación en servicio, desde 
el desarrollo del currículum a las actividades en clase en la hora de matemática, desde el material 
didáctico al libro de texto, hasta a los varios y muy diversos problemas de evaluación, etcétera. 
Aunque todo esto sea de extraordinario interés, no entraré aquí en cuestiones de este tipo, sino a 
través de reflexiones que toman inspiración de investigaciones, como veremos en los capítulos 
siguientes. 
Aún siguiendo a Steiner, existen algunas disciplinas “de referencia”, con las cuales hay contactos 
privilegiados: obviamente la matemática, obviamente la epistemología y la historia de la 
matemática, pero también la psicología, la sociología, la pedagogía (o, mejor, la ciencia de la 
educación), las ciencias naturales, la informática, la lingüística, etcétera. 
 
5 Sobre este tema quiero sin embargo citar al menos algunos trabajos brillantes producidos en Italia: 
Arzarello, Bazzini y Chiappini (1994), Bazzini (1997), Malara (1994, 1997), Malara y Gherpelli (1996), por 
mencionar algunos. 
 4 
Se podría considerar todo esto, como ya he anunciado, como un “sistema”; pero ahora no se puede 
callar que existen otros sistemas análogos, con los cuales el nuestro entra en contacto: en general los 
“nuevos aprendizajes” debidos a la evolución de la sociedad (por ejemplo el ingreso masivo de las 
calculadoras en nuestra vida cotidiana y en la escuela, con todos los conflictos que eso implica) 
(Noss, 1998), la educación en las ciencias experimentales y cosas así. 
 
Esa que inicialmente habíamos llamado “teoría de la educación matemática” es vista por otros 
autores de modos distintos (a veces muy distinto, a veces sólo un poco distinto). 
Por ejemplo Higginson (1980), uno de los pioneros en este sector, propone como modelo un 
tetraedro cuyas cuatro caras representarían la filosofía, la sociología, la matemática y la psicología, 
mientras que la teoría de la educación matemática sería, con obvio significado, el espacio interno 
del tetraedro. La explicación de esta visión en particular retoma de modo esquemático aquellas que 
para Higginson son las cuatro preguntas fundamentales: ! qué cosa enseñar (matemática), ! por 
qué (filosofía), ! a quién y dónde (psicología), ! cuándo y cómo (sociología). 
Sirviéndose de esta imagen, al menos idealmente se pueden aclarar aspectos que conciernen a la 
comprensión de posiciones que muchos tienen sobre la enseñanza-aprendizaje de la matemática, la 
comprensión de las causas que empujan a conservar o modificar los currícula, las concepciones 
sobre la investigación en didáctica y sobra la preparación de los profesores. 
 
El interés por la teorización en didáctica de la matemática tiene un motivo válido de ser. Sólo 
cuando se tiene una teoría a disposición se puede tener el recurso de un marco de referencia como 
guía para la fundamentación de los problemas de investigación y para interpretar los resultados de 
la misma investigación [estoy considerando a Wenzelburger (1990)]. Sin ésto, toda investigación en 
el campo parece ser aislada; sólo organizando el conocimiento de modo general, ésto es, sólo 
creando una teoría, se tiene la certeza de contribuir al progreso unitario en un sector específico. 
Escribe Godino (1991): 
«La teorización es un requisito a fin de que un área del conocimiento consiga la categoría de 
científica y pueda desarrollar su papel explicativo y predictivo de los fenómenos». 
Recuerdo la metáfora de la tela de araña, debida a Mosterín (1987): 
«Somos como arañas, y las teorías como las redes o telas de las arañas, con las cuales buscamos 
captar y capturar el mundo. No es necesario confundir estas redes o telas de araña con el mundo 
real, pero, sin ellas, estaremos más alejados de poderlo captar y, por último, disfrutarlo!». 
Recuerdo también que en el transcurso del V ICME (Adelaide, Australia, 1984) se decidió dar vida 
a un Grupo de Trabajo sobre el tema: teoría de la educación matemática (TME) que no ha cesado 
sus trabajos y por tanto está aún notablemente activo. 
Un poco arriba he hablado de “modelo” para introducir el tetraedro de Higginson. Pero esta palabra 
reviste para nosotros una importancia fundamental, tanto que le dedicaré muchas páginas en los 
capítulos 4 y 5, sobre todo a causa de la extrema variedad de significados que puede asumir. 
Cuando se habla de “modelo didáctico”, los pedagogos, los didactas generales y quienes se ocupan 
de la ciencia de la educación, dan varias interpretaciones; entre ellas, por ejemplo: 
• un modelo pedagógico en sentido amplio; 
• una modelización de los procesos de aprendizaje; 
• una modelización del desarrollo y de la práctica didáctica; 
• la estructura conceptual del saber enseñado; 
etcétera. 
 
La situación es vasta a tal grado que muchas veces se han intentado las clasificaciones. Por ejemplo, 
la clásica distinción pedagógica entre modelo autocrático y modelo democrático; los estudios sobre 
el comportamiento en el aula por parte de los alumnos, variables a según del comportamiento del 
 5 
profesor. Ha sido probablemente este el origen (de marca toda anglosajona) que ha marcado el 
camino a los estudios sobre las diferentes modalidades de lecciones, sobre la pedagogía de los 
proyectos, sobre la individualización (Baldacci, 1993), sobre la didáctica del trabajo en grupo, 
etcétera (estudios muy cultivados Francia, Alemania e Italia). 
Se puede intentar una definición, llamando modelo pedagógico en un sentido amplio a un complejo 
teórico (eventualmente implícito) que pone en movimiento representaciones del alumno en 
situaciones de aprendizaje, de los saberes y de los instrumentos que conviene o se deben utilizar, del 
funcionamiento de la clase y de las metodologías didácticas y relacionales, de la función y del papel 
del profesor. 
En este sentido, entonces, toda pedagogíaremite a su modelo pedagógico y que además puede ser 
implícito o inconsciente por parte de quien hace uso de los instrumentos pedagógicos (por ejemplo, 
es clásica la actitud de un profesor convencido de no tener necesidad de instrumentos pedagógicos: 
de hecho, no obstante pone en funcionamiento un modelo pedagógico, definido por su misma 
postura didáctica). 
 
Sólo recientemente estos estudios han evolucionado, recurriendo a la didáctica, por ejemplo cuando 
el modelo didáctico ha sido expresado en términos de modelizaciones de los procesos de 
aprendizaje. Por ejemplo, Meirieu (1987, pp. 110 y ss.) ha intentado una descripción tipológica de 
las operaciones mentales y ha distinguido 4 tipos: la deducción, la inducción, la dialéctica y la 
divergencia; para cada tipo ha analizado, ejemplicado y definido situaciones particulares de 
aprendizaje, retomando en parte los estudios de Beaudot (1973). 
Según muchos autores aquí está la raíz de la idea de los perfiles pedagógicos o perfiles cognitivos 
vueltos famosos gracias a la obra ahora ya clásica de Antoine De La Garanderie (1980) (que 
deberemos encontrar de nuevo en el futuro). El punto de partida de su reflexión se basa en las 
diferencias de “evocaciones” de la memoria sobre una idea, sobre una imagen mental; ciertas 
personas parecen ser “por su misma naturaleza” más visuales, otras más auditivas; es lo que él 
llama una lengua pedagógica materna. Como ya he dicho, deberemos regresar a este punto más 
adelante. 
He aquí ahora que, al interior del debate sobre los modelos didácticos, entra con fuerza el individuo 
con sus características pedagógicas naturales (Meirieu, 1987). Y es de aquí que surge la idea de 
estrategias personales de aprendizaje y el concepto metodológico de estrategias personalizadas de 
enseñanza que tanta fortuna han tenido al inicio de los años ’90, incluso en Italia. 
Otras ideas de modelo didáctico se refieren a algo más cercano al profesor y su actividad de 
docente, la elección metodológica, los itinerarios didácticos, las modalidades de acceso al saber. 
Por ejemplo Gardner (1993) analiza las modalidades de acercamiento a los conceptos por parte del 
profesor, distinguiéndolas en 5 tipologías (que se refieren a 5 modalidades diferentes de la 
inteligencia): acercamiento narrativo, acercamiento lógico-cuantitativo, acercamiento 
filosófico-conceptual, acercamiento estético y acercamiento experiencial (pp. 256-257 de la edic. 
italiana). 
 
Otras ideas de modelo didáctico tienen que ver con la estructura conceptual del saber enseñado: por 
ejemplo aquí está la raíz de la problemática que ha llevado a evidenciar la importancia que tiene, 
para el aprendizaje, el conjunto de las competencias que los estudiantes ya poseen sobre un cierto 
tema. No se enseña jamás en vacío, sobre la nada; cuando se enseña cualquier cosa, sobre esa 
“cualquier cosa” existen ya conocimientos, ideas, competencias, más o menos correctas, más o 
menos bien fundadas: no se puede no partir de este conocimiento preliminar para llegar a la 
conceptualización. Este tipo de reflexiones, como veremos en el caso de la didáctica de la 
matemática, ha llevado a tener cada vez en mayor consideración el estudio de la historia de la 
matemática, en cuanto fuente de ejemplificaciones sobre las ideas a-científicas que se pueden hacer 
espontáneamente de ciertos conceptos, antes que su formación científica propiamente. Y esto 
también ha puesto en evidencia la relación que existe entre una “imagen”, pensada como una cosa 
 6 
no fija, fácilmente modificable de un concepto con un acto de voluntad, por ejemplo cognitivo, de 
una forma no definitiva, y un “modelo” estable, considerado inamovible, de eso. Sobre este 
delicadísimo punto basaré, en el capítulo 5, una definición mía que se revela cómoda en mis 
experiencias de investigación y de trabajo con los profesores para comprender el recorrido didáctico 
de la formación de los conceptos. 
Pero regresemos al tema que se estaba tratando. 
2.3. Hacia una teoría de la didáctica de la matemática 
Un descubrimiento verdaderamente nuevo, de importancia 
histórica, es casi siempre sobrevaluado al inicio, al menos por el 
genio a quien se le debe. Como enseña la historia de la ciencia, el 
ámbito en el cual vale un principio explicativo apenas descubierto 
es casi siempre sobrevaluado por su descubridor. Este 
comportamiento precisamente forma parte de las prerrogativas del 
genio (...) Hasta en el estrecho círculo de una escuela científica, el 
proceso de formación de una nueva opinión común tiene siempre 
inicio con una negación excesiva de eso que era creído hasta poco 
antes. Generalmente, como ya habíamos dicho, es el mismo 
pionero de la nueva opinión quien se vuelve responsable de esta 
exageración. A sus alumnos, menos geniales pero mejor provistos 
de capacidad analítica, les espera la tarea de pararse en el punto 
justo, amortiguando lo más posible las oscilaciones. El proceso 
inverso da lugar en cambio a una concreción doctrinaria que 
constituye un obstáculo para posteriores progresos del 
conocimiento. Cuando en efecto el descubridor de una nueva 
verdad no encuentra alumnos críticos, sino discípulos creyentes, se 
llega a la formación de religiones que, efectivamente, pueden tener 
una influencia muy positiva en la vida cultural en general, pero que 
son del todo indeseables en el ámbito de la ciencia. 
Konrad Lorenz [1903-1989], L’altra faccia dello specchio (1973). 
Consideraré aquí la epistemología en una de sus posibles acepciones y esta es como la rama de la 
filosofía que estudia cómo se constituyen los conocimientos científicos de un cierto sector 
específico, precisamente también para delimitar y caracterizar esta especificidad. En este sentido 
existe una epistemología de la matemática (Speranza, 1997), por ejemplo; una epistemología de la 
física, por ejemplo; y según algunos está definida y según otros en vía de definición una 
epistemología específica de la didáctica de la matemática. Sólo que existen diversas acepciones en 
las cuales todo ésto puede entenderse; aquí me limitaré sólo a algunas de las más seguidas por los 
investigadores en didáctica de la matemática. 
Comenzaré con consideraciones de carácter un poco más general. 
Recuerdo la noción de paradigma, refiriéndome a Thomas Kuhn (1962, 1968). No es fácil 
establecer con exactitud qué cosa se entiende con este término, incluso porque en las obras citadas 
aparecen al menos 20 acepciones distintas [sobre este... recuento estoy confortado por un control 
análogo propuesto por Juan Godino, que en cambio ha contado 22; véase Godino (1993a)]. Más o 
menos se puede decir que Kuhn entiende por paradigma el conjunto de las hipótesis teóricas 
generales y el conjunto de las leyes para sus aplicaciones, comúnmente aceptadas por los miembros 
de una misma comunidad científica, y que implican un acuerdo sustancial en los juicios 
profesionales, de mérito y de pertinencia. Hay un momento, en la formación de una nueva 
comunidad científica, a partir del cual finalmente se puede hablar de paradigma; la fase que precede 
parece estar caracterizada por una desorganización, privada de acuerdos específicos, y con una 
 7 
constante búsqueda de debate sobre los fundamentos de la disciplina misma. De broma se puede 
decir que en esta fase hay tantas teorías como investigadores y una continua búsqueda y exigencia 
de clarificar los puntos de vista propios y de otros. Los trabajos escritos de investigación en el 
campo son acompañados a menudo por largas explicaciones sobre las características generales de la 
investigación misma. 
La tesis de Kuhn más famosa es en la cual el progreso científico procede según revoluciones, dado 
que se tiene un avance, evoluciona, sólo después de una crisis. [Esto evidentemente pensando en la 
otra famosa obra de Kuhn, La revolución copernicana (1957).] 
 
En cuanto a lo que concierne a Imre Lakatos [1922-1974], me limito a llamar la atención hacia la 
idea de programa de investigaciones [y me estoy refiriendo,entre las famosísimas obras de 
Lakatos, a Lakatos y Musgrave (1960)]. Con este término se entiende una serie de sucesiones de 
teorías relacionadas entre sí en un desarrollo continuo, conteniendo reglas metodológicas de 
investigación (ya sea en lo positivo: a seguir; ya sea en lo negativo: a evitar). Todo programa debe 
contener: 
• un núcleo o centro del programa; 
• un sistema de hipótesis auxiliares; 
• la heurística, ésto es la totalidad de los procedimientos que se pueden aplicar a la resolución de 
los problemas. 
En esta sucesión, una nueva teoría puede entonces considerarse un progreso respecto a una 
precedente si: 
• hace predicciones que la precedente no estaba en posibilidad de hacer; 
• algunas de tales predicciones se pueden probar como verdaderas; 
• la nueva teoría explica hechos que la precedente no podía probar. 
Una ciencia madura debe tener su programa específico de investigación. 
 
Me referiré ahora a Mario Bunge (1985a,b); según este autor, la ciencia es un cuerpo en constante 
crecimiento de conocimientos, caracterizado por el hecho de tratar con conocimientos racionales, 
sistemáticos, exactos y verificables (y por tanto también falibles). El conocimiento científico 
coincide con el conjunto de las ideas sobre un cierto tema, establecido aunque momentáneamente 
provisional; pero luego la concurrencia de los individuos y el intercambio de informaciones y de 
ideas, da lugar a una comunidad científica. Aquello que caracteriza la diferencia entre los campos 
de creencia (religiones, ideologías, políticas, ...) y los campos de investigación científica es el tipo 
de modalidad según las cuales suceden los cambios en las ideas. En los primeros campos los 
cambios suceden a causa de “revelaciones”, controversias, presiones sociales; en los segundos hay 
un cambio continuo a causa de los mismos resultados de la investigación. 
 
Según posturas más “débiles”, una ciencia se define cuando dispone de un objeto específico de 
estudio, de un método propio de estudio y de un lenguaje específico compartido. A esta postura 
hacen referencia comúnmente los teóricos de las ciencias humanas, por llamar “ciencias” 
precisamente, sus dominios de estudio. 
Esta postura “débil” ha hecho proliferar el apelativo de “ciencias” dado a muchas disciplinas. En 
efecto, cualquier disciplina a cuyo desarrollo concurran estudiosos que se reconozcan como 
expertos en ella, tarde o temprano adquiere las características recién descritas. El problema de la 
repetibilidad de los experimentos, de la correcta definición de las variables en juego, del sentido que 
adquieren términos como riguroso, verdadero, etcétera, tiende a desparecer en la nada 
(D’Amore, 1998a). En este sentido, señalo sólo cómo, a partir de la propuesta de Michel Foucault 
[1926-1984] (1966) según el cual la pedagogía, ciencia de la educación y la didáctica [general] 
debería ser considerada en los conjuntos teóricos, como de los de “multiplicidad discursiva”, 
Vergnioux (1991, p. 168) había intentado establecer una tipología de los enunciados pedagógicos: 
 8 
• enunciados teóricos obtenidos de saberes constituidos (psicología, sociología, etcétera); 
• enunciados empíricos sacados de las observaciones en el campo educativo y de la experiencia 
de los profesores; 
• enunciados de síntesis empírica que intentan síntesis teóricas a partir de los enunciados 
empíricos; 
• enunciados regulares que organizan de modo especulativo los conjuntos discursivos 
asegurando, a través de conceptos oportunos, el sentido y la finalidad de la disciplina y de los 
enunciados mismos. 
Según Vergnioux, todo discurso pedagógico es un conjunto de enunciados de estos cuatro tipos. 
Tiene sentido, a su modo ver, hablar de racionalismo didáctico en los casos en los cuales, en un 
discurso pedagógico, hay una preponderancia de enunciados de los últimos dos tipos. 
 
El señalamiento a la sociología y lo empírico, no pueden no traer a la mente la concepción de teoría 
práctica de Émile Durkheim [1858-1917] (1922) con este propósito. El problema es pensar en el 
estatuto de los discursos mixtos que por una parte conciernen cercanamente con la práctica de 
enseñanza y por otra elaboran una teorización inspirándose en lo teórico que ya ha sido elaborado al 
interior de la ciencia de la educación. Cierto, aquí entran en juego cuestiones de gran alcance, 
difícilmente manejables, como el papel de la filosofía de la educación, la misma meta del educar. 
Sobre el sentido y sobre el alcance que tiene la filosofía en estas decisiones, me limito a remitir a 
Best (1969, 1973) que examina tal cuestión y es un precursor de estas consideraciones. Quiero 
subrayar el hecho de que en el ámbito de las discusiones sobre estas temáticas nació la 
psicopedagogía (pero sólo en el ambiente escolar), intentando mediar entre dos niveles distintos 
sobre los cuales se pone la teorización pedagógica; por un lado el nivel epistemológico de 
unificación conceptual, por el otro el nivel ético, de integorrogación crítica sobre las metas. 
Continuando con las relaciones estrechísimas entre filosofía, epistemología y didáctica y sus 
influencias recíprocas, sugiero aquí la puntualización importante de Artigue (1990) y el trabajo 
clásico de Ernest (1991). 
 
Existen también trabajos que buscan unificar las investigaciones en educación en torno a los 
núcleos conceptuales o a las problemáticas fundacionales. Estoy pensando en la praxeología y en la 
didaxología. 
La praxeología se puede pensar como el estudio de las condiciones de ejecución de una acción 
eficaz en un sector dado; es ahora obvio la referencia a la eficacia de una acción didáctica, una vez 
definidos los términos, estudiada por Not (1984) e Imbert (1985) por ejemplo. 
La didaxología es definida por De Landshere (1979) como la ciencia de la enseñanza y está basada 
en la investigación empírica, haciendo referencia a un método experimental. 
 
Aquello que me parece se concluye es al menos esto: que hay un deseo constante, evidentísimo, una 
fuerte tensión por caracterizar la vertiente didáctica de la ciencia de la educación y de la pedagogía 
desde un punto de vista científico, cualquier cosa que signifique este adjetivo. 
 
Lo que hay de común en todas estas interpretaciones es que las teorías científicas no pueden ser 
creaciones o invenciones de uno solo, sino debe ser una comunidad de personas entre las cuales rija 
un acuerdo sustancial ya sea sobre los problemas significativos de investigación, ya sea sobre las 
modalidades en las cuales ésta se explica. Con respecto a esto haré referencia, para la claridad, a un 
trabajo de Romberg (1988) para definir las características peculiares de una ciencia consolidada y 
estable: 
• debe existir un conjunto de investigadores que demostrarían intereses en común; en otras 
palabras deberán haber problemáticas centrales que guían el trabajo de los investigadores y que 
son compartidas; 
• las explicaciones dadas por los investigadores deben ser de tipo causal; 
 9 
• el grupo de investigadores debe haber elaborado un vocabulario y una síntesis común, sobre la 
cual el grupo está de acuerdo; 
• el grupo debe haber elaborado procedimientos propios para aceptar o refutar los enunciados. 
Por todo este libro trataré de delinear los aspectos relevantes de la didáctica de la matemática y de 
algunos elementos de la investigación actual en didáctica de la matemática, sugiriendo que ésta es 
una teoría por sí misma (pero que puede aportar una contribución decisiva a la fundamentación de 
otra teoría que se podría llamar simplemente didáctica o didáctica general: pero sólo en los últimos 
capítulos afrontaré de modo específico este tema). Por ahora, es fundamental tratar el problema de 
la didáctica de la matemática como teoría por sí misma. Lo haré, utilizando a veces de modo 
explícito, a veces de modo implícito, caracterizaciones seleccionadas oportunamente de los trabajos 
de Kuhn, Lakatos y Bunge, a veces sin mayores distinciones. 
 
Está bajo los ojos de todos la existenciade un gran grupo internacional de investigadores en 
didáctica de la matemática que tienen intereses comunes, para quienes existen problemáticas 
consideradas centrales y compartidas, que dan un par de decenas de explicaciones de carácter 
causal, que tienen elaborado un vocabulario común, compartido; tienen sus congresos específicos y 
sus revistas específicas, al interior de las cuales las propuestas de comunicación o de publicación 
son analizadas con base en procedimientos ahora ya compartidos ampliamente. Estamos por tanto 
en pleno en las condiciones propuestas por Romberg para poder afirmar que la didáctica de la 
matemática tiene todas las características para poder ser considerada una ciencia consolidada y 
estable. 
Una contribución notable ha sido dada ciertamente por la Escuela Francesa que a veces ha creado 
un vocabulario que después se hace común, al cual poco a poco los didactas de nueva formación se 
han adherido.6 Existe de modo específico un grupo de investigadores que tienen como fin propio la 
definición de la teoría “didáctica de la matemática”; se trata del grupo TME que, como ya he 
recordado, se ha formado durante el ICME-V en 1984 (Malara, 1998). Para sancionar de modo 
definitivo esta oficialidad de existencia académica está luego el hecho de que son cada vez más las 
cátedras universitarias de didáctica de la matemática en todo el mundo, la proliferación (bajo 
diversas formas) de escuelas de especialización o cursos universitarios de licenciatura para la 
formación de los profesores (Alemania, Francia, España,... y, desde 1998-99, Italia). 
Después de su nacimiento, el TME ha tenido otros numerosos encuentros oficiales, por ejemplo en 
Bielefeld (Alemania) en 1985, en Amberes (Bélgica) en 1988, en Oaxtepec (México) en 1990, en 
Paderno del Grapa (Italia) en 1991,... En el curso de estas reuniones, se tiene cada vez una mayor 
profundización en el papel de la especifidad y se ha pasado de temas “sociales” (papeles, modelos, 
conceptos, ...) a temas específicos (por ejemplo las perspectivas del punto de vista vygostkiano en el 
aprendizaje). 
 
Esta última frase nos lleva necesariamente a hablar de un aspecto extremadamente importante al 
interior de nuestra disciplina: sus relaciones profundas con el campo de la psicología. 
 
Desde este punto de vista podríamos distinguir tres grandes filones de teorías y modelos relativos a 
la instrucción: interacción cognitiva, interacción social e interacción contextual: 
! La interacción cognitiva, en la cual podríamos situar las teorías de J. Piaget, de J.S. Bruner y de 
D.P. Ausubel, podría ser caracterizada por la idea de que la instrucción es sobre todo un paso de 
información, el objetivo es entonces el de crear situaciones óptimas para el paso privilegiado y 
principal, ese que va del profesor al alumno. El objetivo es el de hacer que el alumno llegase a las 
informaciones lo más correctas posibles. 
 
6 Al respecto juzgo fundamental el estudio de Perrin-Glorian (1994) que, en las páginas 98-107 y 116-118, 
intenta precisamente una síntesis histórica en este sentido, obviamente referida a la situación francesa. 
 10 
! La interacción social da la importancia principal al papel de los sujetos que interactúan, alumnos 
y profesores; la instrucción es el producto de esta interacción; en este filón podríamos poner a Lev 
Semionovich Vygostki [1896-1934] y a Alberto Bandura. 
! La interacción contextual da relevancia no sólo a los sujetos, sino también al contexto en el cual 
ocurre la interacción misma; en este filón se podrían poner los trabajos de B.F. Skinner, 
R.M. Gagné y L.J. Cronbach. 
 
Paso de informaciones, interacciones entre sujetos, interacciones de los sujetos con el contexto... 
Por opción en este campo no es posible no ocuparse, quizá de manera preliminar, al momento de 
aceptar una u otra de las teorías de aprendizaje o al afrontar la caracterización que cada uno de 
nosotros quiere dar a la acción en el campo didáctico, si se quiere con forma de docente, si se quiere 
con forma de investigador. 
 
Es entonces obvio que la adhesión fue maciza por parte de los investigadores en didáctica de la 
matemática cuando se lanzó la idea de formar un grupo de estudio sobre la psicología de la 
educación matemática (PME) que hoy tiene sus reuniones en todo el mundo. Entre los 
investigadores que han dado mayor impulso a este grupo sólo quiero aquí recordar a Efraim 
Fischbein [1920-1998] y a Gérard Vergnaud.7 
El Grupo PME ha rebasado la problemática psicológica inicial; el debate sobre la investigación ha 
evidenciado la necesidad de tener en cuenta ulteriores problemáticas las cuales son, citando a 
Balacheff (1990a,b): 
• la especificidad del conocimiento matemático; ésto lleva en consecuencia al estudio de los 
procesos cognitivos de los estudiantes a modo de que normalmente son indicados como sus 
capacidades o los resultados alcanzados (esto es, desde mi punto de vista, uno de los puntos 
cruciales que distinguen, como ya he dicho anteriormente, la investigación moderna en 
didáctica de la matemática); 
• la dimensión social del aprendizaje de la matemática al interior de un contexto específico. 
Una tendencia en este sentido era ya anunciada por el mismo Fischbein (1990a) cuando, en un 
artículo que es en realidad una Introducción, afirmaba que la psicología de la educación matemática 
debe hacerse la educación matemática en general, como cuerpo de conocimiento específico. 
Pero en esta famosa Introducción hay además otras afirmaciones “fuertes” que vale la pena 
conocer. 
Podría parecer que la adopción de cuestiones, conceptos, teorías y métodos tratados en el campo de 
la psicología (general) y adoptados en el campo de la educación matemática, pueden dar frutos 
positivos y resultados interesantes. Pero la verificación empírica ha demostrado ampliamente que 
las cosas no son así. ¿Cómo dar una explicación de ésto? Fischebin sugiere que ésto es debido al 
hecho de que la psicología no es una disciplina deductiva; este fallo en el paso de lo general a lo 
particular se tiene también en los campos de la psicología (general) fuertemente entrelazados con el 
dominio de la educación matemática (por ejemplo: los estudios conducidos por psicólogos sobre la 
resolución de problemas, sobre la memoria, sobre las estrategias de razonamiento, creatividad, 
representaciones, imaginación, etcétera). Esto acarrea que tales argumentos no puedan constituir 
una fuente de problemáticas de investigación en el campo de la didáctica de la matemática. Por 
ejemplo, suponiendo también una cierta veracidad de la teoría de los estadios lineales de Piaget y de 
sus ideas acerca del desarrollo de los conceptos matemáticos (número, espacio, función, etcétera), 
no es posible, según Fischbein, “trasladar” tales ideas al currículum. 
 
7 Al lector italiano le sugiero, en caso de que lo hubiese hecho antes, el estudio de los artículos de estos dos 
autores en lengua italiana. En Prodi (1984) aparecen las traducciones de dos artículos de Fischbein; en Chini 
Artusi (1985) aparecen traducidos dos artículos de Fischbein y dos de Vergnaud; en Fischbein y Vergnaud 
(1992), aparecen traducidos otros cinco artículos de cada autor. Además un libro de Vergnaud (1981) ha 
tenido, aunque sólo hasta 1994, una traducción al italiano [y en 1991 una traducción al castellano (N.T.)]. 
 11 
Por no ser un argumento cerrado en sí, las problemáticas y carácter psicológico de la didáctica de la 
matemática son específicas y normalmente ningún psicólogo encontrará estos problemas en el curso 
de su carrera profesional. Si un psicólogo se interesa en problemas relativos a cuestiones de 
psicología del aprendizaje de la matemática, de hecho deja su campo anterior para pasar a éste 
último. En otras palabras, los conceptos psicológicos usuales se convierten en otros, adquieren 
nuevos significados utilizados en el ámbito matemático o en elámbito de educación matemática. En 
otras palabras o hay colaboración entre los expertos de los dos sector, pero permaneciendo cada uno 
en su propio sector, o bien hay un cambio de frente si un estudioso de un sector se hace ilusiones de 
poder entrar en el otro impunemente. 
 
Hay también teorías del aprendizaje y es entonces obvio que se buscarían los últimos aportes al 
estudio del aprendizaje matemático.8 
También en este caso son distintas, dado que cada una tiene especificidad propia. 
 
En la instrucción basada en principios conductistas [descrita ampliamente por mí en la primera parte 
de D’Amore (1993a)] se tiende a partir el currículum en partes, cada una de las cuales es vista como 
temas de aprendizajes por sí mismos; al aprendizaje se llega a través de refuerzos apropiados; el 
primer paso de cada segmento curricular consiste en temas y conceptos básicos, sobre los cuales se 
funda lo siguiente del conocimiento. En el caso de la instrucción fundada en la epistemología 
genética de Piaget, las competencias generales formales basadas sobre operaciones lógicas que 
preceden a las aritméticas basadas directamente sobre los números no han proporcionado ayuda 
adecuada para hacer adquirir al niño la habilidad básicas (como más o menos ya he dicho en el 
capítulo anterior). 
 
Una teoría del aprendizaje matemático se basa en los estudios cognitivos: el asunto de base es que 
el alumno construye, de modo activo, su propio conocimiento interactuando con el ambiente y 
organizando sus construcciones mentales. La instrucción influye lo que el alumno aprende, pero no 
determina tal aprendizaje. El alumno no se limita a recibir pasivamente el conocimiento, sino que lo 
reelabora constantemente de modo autónomo. 
Esta línea, que se podría adscribir al “constructivismo”, es la más seguida actualmente, según 
Vergnaud (1990a), por quienes se ocupan de las teorías del aprendizaje. 
El punto de vista constructivista requiere asunción de dos “axiomas” (Kilpatrick, 1987a): 
• el conocimiento no es recibido pasivamente, sino construido activamente por el sujeto que 
aprende; 
• conocer es un proceso de adaptación gracias al cual el sujeto que aprende organiza su propio de 
dominio de experiencias. 
bien visto, hay (al menos) tres posiciones básicas: 
• constructivismo simple, llamado ingenuo: aquel de quien acepta sólo el primer axioma; 
• constructivismo radical: aquel de quien acepta ambos axiomas; 
• constructivismo social: aquel de quien exalta el papel central del conflicto cognitivo (del cual 
hablaré más ampliamente más adelante) en la construcción del saber objetivo. 
 
El término “constructivismo” es hoy usado en un abanico dramáticamente amplio de 
interpretaciones. Para tener las primeras informaciones, se puede ver Von Glasersfled (1992) y 
Duval (1996-1997a). Una visión interesante que conjuga constructivismo y complejidad, 
 
8 Es obvio que no podré aquí dar, de pasada, nada más que una pizca de esta vastísima problemática, ¡de entre 
las más discutidas en el mundo! Invito al lector a consultar otros textos, más específicos, sobre el tema. 
Entre los tantos, por ejemplo, Pontecorvo y Pontecorvo (1985), Bruner (1961a,b), Bruner et al. (1966), 
Gagné (1965-1985). En D’Amore (1993a) había ya intentado aproximaciones rápidas y miradas sobre este 
difícil tema. Regresaré no obstante en breve sobre este tema. 
 12 
refiriéndose al trabajo sociológico de Niklas Luhmann, está proporcionado en Ontiveros 
Quiroz (1996, 1997). 
 
Un modo también distinto de ver el problema de las teorías del aprendizaje es el llamado recurso al 
modelo de la calculadora, según el cual el funcionamiento de la mente es comparable con el de una 
calculadora. El aprendizaje es entonces llamado proceso informático: se tiene la hipótesis de que el 
cerebro y la mente están vinculados como lo está una calculadora y un programa y se comportarían 
como tales, por ejemplo de modo absolutamente secuencial. 
Lo explica muy bien Godino en el artículo que ya he citado anteriormente (1991): 
«La cognición es alcanzada con un mecanismo de procesamiento central controlado por algún 
tipo de sistema ejecutivo que ayuda a la cognición a ser consciente de lo que está haciendo. Los 
modelos de la mente se comparan a los modelos de las calculadoras relacionadas con un cerebro 
central capaz de imaginar y ejecutar secuencialmente programas escritos en un lenguaje de alto 
nivel. En estos modelos, la mente se considera esencialmente como unitaria y las estructuras y 
operaciones mentales se consideran como invariantes para los distintos contenidos; se piensa que 
un mecanismo único estaría en la base de las capacidades de resolución de una cierta de clase de 
problemas». 
¿Qué acarrea esta metáfora, como la llama Kilpatrick (1985), desde un punto de vista 
metodológico? Los hombres de ciencia cognitivos que aceptan este punto de vista realizan 
observaciones sobre cómo los individuos resuelven problemas, si hay o no regularidades o 
recurrencias en sus comportamientos específicos individuales: cuando los encuentran, los 
evidencian y los proponen como modelos de comportamiento general a los alumnos en dificultad. 
Construyen “modelos de proceso” en lo que atañe a la comprensión y la ejecución; tales modelos 
son transformados en programas de calculadora y puestos en funcionamiento para simular el 
comportamiento de un resolutor humano. Naturalmente no es necesario caer en el engaño de tomar 
esta metáfora como muy significativa o hasta como la realidad del funcionamiento cognitivo.9 
 
Se dice que, gracias a la proliferación de este tipo de estudios, se han puesto en evidencia otros 
puntos de vista de los procesos de aprendizaje y de resolución de problemas, que ven más central y 
activo el papel del resolutor y que dan mucha más importancia a la interacción social en el aula. 
En particular, sobre todo en obras de la ya mencionada Escuela Francesa, se ha desarrollado una 
concepción “fundamental” de la didáctica que tiene caracteres distintos: el aprendizaje es un hecho 
total, la didáctica tiene paradigmas de investigación propios, tiene una posición indagatoria entre los 
métodos cuantitativos y cualitativos. 
En otras palabras, el proceso de enseñanza-aprendizaje es visto globalmente; los modelos que se 
han desarrollado comprenden las dimensiones epistemológicas, sociales y cognitivas y toman en 
cuenta las interacciones entre el saber, los alumnos y el profesor al interior del contexto de clase.10 
 
Creo que se pueden poner como fundamento de lo que estoy intentado decir dos célebres preguntas 
que se planteó Colette Laborde (1989): 
• ¿cómo podemos caracterizar las condiciones que deben implementarse en la enseñanza para 
facilitar un aprendizaje que reúna ciertas características fijadas a priori? 
• ¿qué elementos debe poseer la descripción de un proceso de enseñanza para asegurarse que 
puede ser reproducido desde el punto de vista del aprendizaje que induce en los alumnos? 
Se nota lo siguiente: a primera vista, las preguntas parecen relativas al proceso de enseñanza; pero 
el control implícito está en dirección opuesta y entonces toda la atención está centrada en los 
 
9 Sobre este género de cuestiones, véase D’Amore (1998a). 
10 Naturalmente, sería bueno aclarar qué cosa es y cómo se debe entender este “cognitivo” hoy en la 
investigación en didáctica. A este respecto, sugiero la lectura de Schubauer-Leoni (1997a). 
 13 
procesos de aprendizaje (a partir de los cuales se tienen luego obviamente reflexiones sobre el 
proceso de enseñanza). 
 
Con estas últimas consideraciones hemos abandonado el punto de vista general, las teorías 
generales del aprendizaje, para llegar a situaciones bastante más específicas, cercanas a la didáctica 
de la matemática. Pasamos entonces decididamente a nuestra disciplina específica, delineando el 
punto de vista sistémico. 
Guy Brousseau (1989a) define la concepciónde la didáctica de la matemática como ciencia, 
«una ciencia que se interesa en la producción y comunicación de los conocimientos 
matemáticos, y en qué cosa esta producción y esta comunicación tienen de específico», 
una ciencia que tiene como objetos específicos de estudio: 
• las operaciones esenciales de la difusión de los conocimientos, las condiciones de esta difusión 
y las transformaciones que ésta produce, ya sea sobre los conocimientos ya sea sobre sus 
utilizadores; 
• las instituciones y las actividades que tienen como objetivo el facilitar estas operaciones. 
 
Es obvio que todos nosotros entramos en juego cuando el objeto explícito de ésto es la matemática 
y entonces se tienen peculiaridades sobre las cuales entraré en mucho detalle más adelante. 
Aquí me limito a recordar que Brousseau (y, más en general, toda la Escuela Francesa) consideran 
el fenómeno enseñanza-aprendizaje desde un punto de vista sistémico y no como el estudio 
separado de cada uno de sus componentes (un poco como se entiende hoy en los estudios 
económicos y sociales). 
Tiene sentido entonces describir un sistema didáctico, como hacen Chevallard y Joshua (1982); 
para estos dos autores tal sistema está formado por tres componentes: profesor, alumno y saber 
enseñado; pero, naturalmente, hay un mundo externo, la sociedad en general, los padres, los 
matemáticos, etcétera. 
 
Entre los dos sistemas hay una suerte de zona intermedia, la noosfera: en ella se articulan las 
relaciones entre los dos sistemas, en un todo único, con sus conflictos (Godino, 1993b). La noosfera 
se podría pensar como 
«la capa externa que contiene todas las personas que en la sociedad piensan en los contenidos y 
en los métodos de enseñanza» (Godino, 1993b). 
Se habla en cambio de medio o ambiente (en francés: milieu) como del subsistema con el cual tiene 
que ver directamente el alumno (materiales, juegos, etcétera). Este milieu está al inicio definido 
como el conjunto de todo aquello que actúa sobre el alumno o sobre lo que actúa el alumno 
(Brousseau, 1977). Se puede pensar en la interacción entre el alumno y el milieu, en ausencia de una 
implicación concreta del profesor, como lo que define una situación a-didáctica; mientras que si se 
analiza un sistema educativo explícito (por ejemplo el papel del profesor) entonces se habla de 
situación didáctica. A veces el milieu está definida sobre la base de objetos concretos verdaderos, a 
veces se añade una intención por la cual estos objetos son elegidos, a veces como cualquier cosa 
estable, otras como cualquier cosa que se desarrolla y se modifica conjuntamente con el alumno. 
Para las variaciones de la acepción de este término, debido al proceso de desarrollo de toda la 
teoría, aparece igualmente clara la función: sirve para definir, al interior del sistema didáctico, la 
parte ligada a usos específicos a-didácticos, predispuestos así por el profesor, y por tanto con 
objetivos didácticos, pero sin la presencia necesaria y constante de tales objetivos (por ejemplo, sin 
la participación directa del profesor). [Una descripción de la evolución del concepto de milieu, se 
puede encontrar en Perrin-Glorian, 1994, pp. 128-130.] 
 
 14 
En Chevallard (1985) y Chevallard y Joshua (1982), se llega a la conclusión de que el sistema 
didáctico es un objeto preexistente, dotado de una necesidad propia y de un determinismo propio; 
que se caracteriza con base en las relaciones que establece, como ya dije, entre alumno, profesor y 
saber. 
 
Para proseguir con la ilustración desde el punto de vista de la Escuela Francesa, suponemos adoptar 
una perspectiva de molde piagetiano, ésto es, que postulamos que cada conocimiento se construye 
gracias a la interacción constante entre sujeto y objeto; el aprendizaje es entonces una 
jerarquización de estructuras mentales que se basan en un substrato, que son los contenidos. 
En este sentido, se nos pone como problema principal de investigación el estudio de las condiciones 
en las cuales se constituye el saber, teniendo como objetivo alcanzar su optimización, su control y 
su reproducción en situaciones escolares. Ésto acarrea que se debe dar importancia al objeto de la 
interacción entre los dos subsistemas “alumno” y “saber”, y a la gestión de tales interacciones por 
parte del tercer subsistema, el “profesor”. 
 
En tal ámbito podemos finalmente indicar qué se entiende por situación didáctica para después 
retomar el tema más detalladamente en 7.3. Se trata de un conjunto de relaciones establecidas de 
modo explícito o implícito entre el profesor, el alumno (o un grupo de alumnos) y elementos en el 
entorno (instrumentos o materiales), teniendo como objetivo el hacer que los estudiantes aprendan, 
ésto es, que construyan un cierto conocimiento establecido previamente. Las situaciones didácticas 
son por tanto específicas del conocimiento que se quiere hacer alcanzar. 
 
Ahora, a fin de que el alumno construya su propio conocimiento, debe ocuparse personalmente de 
la resolución del problema que le ha sido propuesto en la situación didáctica, debe implicarse en tal 
actividad. Es en tal caso que se estila decir que el alumno ha alcanzado la devolución de la 
situación. 
Trataré de entrar más en detalle sobre este tema, muy importante. La devolución es el proceso o la 
actividad de responsabilización a través de la cual el profesor logra que el estudiante comprometa 
su propia responsabilidad personal en la resolución de un problema (más general: en una actividad 
cognitiva) que se convierte entonces en problema del alumno, aceptando las consecuencias de esta 
transferencia momentánea de responsabilidad, en particular en lo que concierne a la incertidumbre 
que esa asunción genera en la situación. 
Originalmente (Brousseau, 1986) la devolución era definida como 
«el acto a través del cual el profesor hace aceptar al alumno la responsabilidad de una situación 
de aprendizaje (a-didáctica) o de un problema y acepta él mismo las consecuencias de esta 
transferencia». 
Ésto acarrea evidentemente que se busque clarificar qué cosa se entiende con situación a-didáctica. 
Se trata de una idea que toma relevancia al interior del modelo de la teoría de las situaciones 
didácticas, sobre la cual deberemos regresar una y otra vez en seguida. Decimos que una situación 
didáctica sobre un cierto tema relativo al saber posee dos componentes: 
• una situación a-didáctica; 
• un contrato didáctico. 
 
Se trata de un modelo teórico: si en un ambiente organizado para el aprendizaje de un cierto tema se 
va a caer en la intención didáctica, se tiene una situación a-didáctica. 
A partir de 1970, Brousseau ha provisto ejemplos de situaciones a-didácticas (Perrin-Glorian, 
1994, 1997) que el mismo Brousseau (1986, p. 50) describe: 
«La situación a-didáctica final de referencia, esa que caracteriza el saber, puede ser estudiada de 
modo teórico, pero en la situación didáctica, tanto para el maestro como para el alumno, hay una 
 15 
suerte de ideal hacia el cual se trata de converger: el profesor debe sin descanso ayudar al 
alumno a despojar lo más posible la situación de todos sus artificios didácticos, para dejarle el 
conocimiento personal y objetivo». 
La devolución es por tanto una situación con base en la cual el alumno “funciona” de modo 
científico, y no sólo en respuesta a impulsos externos a la situación, por ejemplo de tipo didáctico. 
(Sobre estos puntos deberemos regresar en detalle en los capítulos sucesivos.) 
En una primera aproximación, la devolución consiste en hacer entrar al alumno en un 
funcionamiento matemático, de frente a un problema que se quiere resolver; por un lado el alumno 
sabe bien que el problema que ha sido escogido tiene sentido para alcanzar un aprendizaje, pero 
para poder alcanzar tal aprendizaje debería afrontar el problema privado de todo componente 
extra-matemático, en particular privado de razones didácticas. 
 
Hay varios obstáculos para la realización de la devolución, obstáculos que Perrin-Glorian (1997) 
sintetiza:• falta de un establecimiento de los conocimientos previos, ya sea en lo que concierne a su 
utilización o ya sea por la posibilidad de una eventual puesta en discusión. 
• falta de confiabilidad de las técnicas operatorias, lo que acarrea una distracción de la atención 
del objetivo principal y un alto costo para los procedimientos complejos; 
• falta de la capacidad de la lectura global de la petición del problema; ésta se sustituye 
comúnmente con una lectura selectiva, local, con la finalidad de dar una pronta respuesta. 
 
El proceso complementario al de la devolución es, entonces, la institucionalización del 
conocimiento. Con este término se entiende ese proceso a través del cual los estudiantes deben 
cambiar el estatuto de sus conocimientos aún no oficiales, aún no patrimonio definitivo, al utilizable 
oficialmente por ejemplo para la resolución de problemas o los pretendidos por el profesor como 
saber poseído de modo oficial. Una de sus funciones, 
«es articular los conocimientos que los alumnos ponen en juego en la resolución de problemas, 
conocimientos que resultan de saberes precedentes» 
que han fracasado en un intento precedente de adaptarse a 
«una situación nueva y que han encontrado una nueva ocasión de uso» (Perrin-Glorian, 1997, 
p. 54). 
La institucionalización de los conocimientos entra en juego por ejemplo en las verificaciones de 
resoluciones de los problemas, en el curso de un balance de las actividades desarrolladas en clase, lo 
que significa que 
«la institucionalización es así como un motor de avance del contrato didáctico» (Perrin-Glorian, 
1997, p. 56). 
La teoría de las situaciones es una teoría del aprendizaje de clara estampa constructivas en la cual el 
aprendizaje se produce mediante la resolución de los problemas.11 
Ya que el conocimiento matemático, en su peculiaridad, incluye no sólo conceptos sino también 
sistemas de representación simbólica, no sólo procesos de desarrollo sino también validaciones de 
nuevas ideas matemáticas, debemos contemplar varios tipos de situaciones: 
 
• situaciones de acción: actúan sobre el ambiente y favorecen el surgimiento de teorías implícitas 
que funcionarán en la clase como modelos protomatemáticos; 
 
11 Brousseau introduce en este punto la idea de comparar la resolución al proceso de toma de decisión de 
cómo resolver un juego de estrategia. Para este punto, remito directamente a Brousseau (1986). 
 16 
• situaciones de formulación: favorecen la adquisición de modelos y lenguajes explícitos; si 
tienen dimensión social explícita, se habla entonces de situaciones de comunicación; 
• situaciones de validación: a los alumnos les son pedidas pruebas y por tanto explicaciones 
sobre las teorías utilizadas y también explicitaciones de los medios que son propuestos en los 
procesos demostrativos; 
• situaciones de institucionalización: tienen el objetivo (como hemos visto) de establecer y dar un 
estatuto oficial a conocimientos aparecidos durante la actividad en el aula. Normalmente tienen 
relaciones con conocimientos, símbolos, etcétera, que se deben tener en cuenta en su utilización 
en un trabajo posterior. 
 
Pero aprender por adaptación al ambiente acarrea rupturas cognitivas, acomodamientos, 
modificaciones de modelos implícitos, lenguajes, sistemas cognitivos. Es también por ésto que se ha 
revelado contraproducente obligar al alumno a una progresión cognitiva paso a paso; el principio de 
adaptación puede contrarrestar el proceso de rechazo de un conocimiento inadecuado que es en 
cambio necesario para el aprendizaje. Ideas que sabemos que son contradictorias, en espera de su 
sistematización, resisten por así decirlo los “ataques” y por tanto persisten también cuando deberían 
ser superadas. Estas rupturas son tan necesarias como para tener que ser hasta previstas por el 
estudio de las situaciones e indirectamente por los comportamientos de los alumnos 
(Brousseau, 1976, 1983a). 
 
Entonces Brousseau ha introducido la idea de obstáculo; tal concepto, que se ha convertido 
rápidamente en uno de los puntos cardinales de la investigación mundial, se ha revelado fructífero, 
tanto que entra entre las “palabras” más utilizadas en este momento por la comunidad internacional 
de los investigadores en didáctica de la matemática, formando parte del vocabulario común del que 
hablaba anteriormente en este mismo parágrafo. Ya que los capítulos posteriores estarán dedicados 
explícitamente a las “palabras” de este vocabulario, el capítulo 6 quedará para el tratamiento de este 
tema en particular. 
 
Pero en el triángulo al cual se hizo un rápido señalamiento hace poco (profesor–alumno–saber), un 
lugar de relevancia es ocupado por el saber, argumento que todavía no he afrontado aquí. Lo haré 
inmediatamente, siguiendo a Chevallard (1989). 
El argumento principal de estudio de la didáctica de la matemática está constituido por diversos 
tipos de sistemas didácticos (formados por los posibles subsistemas que tengan estos elementos: 
profesor, alumno, saber) que ya existen o que pueden ser creados (por ejemplo activando formas 
particulares de enseñanza). En estas condiciones el saber no es absoluto porque depende de las 
instituciones en las cuales se encuentra el sujeto. Conocer una cierta teoría matemática es una frase 
que tiene sentido si se especifica cuál es la institución a la cual nos referimos como nivel de 
competencia. Luego hay que hacer una distinción entre relaciones institucionales (el saber referido 
al objeto conceptual considerado como aceptable al interior de una institución) y relaciones 
personales (conocimiento sobre objeto por parte de una persona dada); ésto último puede o no ser 
coincidente con lo de la institución de la cual la persona forma parte. 
Chevallard se plantea entonces las siguientes preguntas: 
• ¿cuáles son las condiciones que aseguran la posibilidad de recorrer12 didácticamente tal 
elemento del saber y de tal relación institucional y personal con este elemento del saber? 
• ¿cuáles son las restricciones que pueden impedir satisfacer estas condiciones? 
 
Entonces se entiende que para Chevallard el problema central de la didáctica es el estudio de la 
relación institucional con el saber, de sus condiciones y de sus efectos. Desde un punto de vista 
 
12 En el original percorribilità. (N.T.) 
 17 
epistemológico, el estudio de la relación personal termina con ser secundario, mientras que es 
primario en la práctica. 
La relatividad del saber respecto a la institución en la cual se presenta había llevado a Chevallard al 
concepto de transposición didáctica (Chevallard, 1985). Se refiere aquí a la adaptación del 
conocimiento matemático para transformarlo en conocimiento para ser enseñado. En primer lugar 
se preocupa del paso desde el saber matemático al saber a enseñar (este paso es riquísimo de 
implicaciones; de entre todas señalamos la necesaria recontextualización del concepto examinado, 
desde el contexto matemático al cual pertenece, con base en el saber en el cual el profesor se 
inspira, al contexto escolar, programa, currículum, en el cual de entrar). Luego, una vez realizada la 
introducción del concepto, se apodera para hacer alguna cosa; esta inmersión en el saber enseñado 
permite la recontextualización del objeto del saber. Pero ésto no permitirá reconstruir el motivo 
original de existencia de la noción, ni le devolverá todas las funciones por las cuales tal noción fue 
introducida. Y esto se vigila bien, no sólo en los niveles básicos de escolaridad. 
 
También de la Escuela Francesa son otras ideas, fundamentales hoy para entender el 
funcionamiento de la investigación en didáctica de la matemática, como la de “contrato didáctico” 
(ya varias veces mencionado), “campo conceptual”, “dialéctica instrumento-objeto”, “ingeniería 
didáctica” y “reproducibilidad”, todas ellas “palabras” del vocabulario que nos ocuparemos en 
capítulosposteriores.13 
Naturalmente, una de las primeras aclaraciones por hacer, antes de afrontar la investigación en 
didáctica de la matemática, es la de definir el significado de los objetos matemáticos por cómo son 
usados no sólo por los matemáticos, sino también por los epistemólogos de la matemática. Sobre 
este tema están dedicados muchos estudios, necesarios como preliminares a cualquiera que quiera 
dedicarse a la investigación; señalo las reflexiones de Godino y Batanero (1994, 1997) y, más en 
general, Kitcher (1984), Tymoczko (1986) y Speranza (1997). 
Lo que quería poner en evidencia aquí era sólo la existencia ya alcanzada y consolidada de un 
“núcleo firme” en el sentido de Lakatos, la existencia de paradigmas ya recurrentes, un grupo 
nutrido de investigadores de acuerdo en los temas y en las peculiaridades de la investigación, una 
línea de investigación (en el sentido de Bunge), con problemáticas fuertemente originales y un 
lenguaje ampliamente compartido. Todo ésto era pedido para el nacimiento de una teoría nueva, en 
vista de que los antecedentes no estaban en capacidad de dar respuesta a algunas preguntas 
específicas. 
2.4. Otras interpretaciones de la didáctica de la matemática 
Quien quiera que su punto de vista no sea sometido a controles y 
verificaciones, hará bien en usar frases muy largas, ricas de 
subordinadas unas dentro de otra. Quien quiera someter a la 
verificación y al control de los lectores los argumentos propios los 
pone en frases breves, lineales. Entre más sepa hacerlo, mejor 
alcanzará este objetivo. 
Tullio De Mauro, Guida all’uso delle parole. 
Lo delineado en el parágrafo precedente no son los únicos intereses cultivados hoy por quien 
practica la investigación en didáctica de la matemática y no son las únicas interpretaciones 
existentes hoy de la didáctica de la matemática. 
 
13 Aunque si aquí estoy trazando ideas que son por decir así “francesas”, es obvio que ellas, una vez nacidas, 
son acogidas por la comunidad científica y hechas propias en otros contextos de investigaciones nacionales. 
Por ejemplo, la dialéctica instrumento-objeto tiene en Sfard (1991) un tratamiento ejemplar. 
 18 
Según algunos, la didáctica de la matemática debería tener como meta principal la redacción de los 
currícula y por tanto contribuir a la teoría y práctica del currículum y de la innovación curricular. 
Por ejemplo muchos estudios actuales están dedicados al estudio de la eficacia del currículum y de 
segmentos de éste. Para no adentrarnos mucho en particular, me limito a aconsejar algunas lecturas 
iluminantes en este campo: Fey (1980), Romberg y Carpenter (1986), Rico (1990). 
Estos estudios llevan a las arquitecturas curriculares que son tan complejas que... los arquitectos 
terminan por poner en juego un surtido de creatividad personal, juicios intuitivos, elaboraciones de 
test de prueba informal. La problemática es la de transformar algo de lo intuitivo (Didáctica A) en 
actividad controlada científicamente; pero disponemos actualmente de muy poca investigación que 
explique la dinámica del sistema que podría transformar este complejo de necesidades, intereses y 
valores en un currículum científicamente fundado.14 
Comprendiendo así la didáctica de la matemática, señalo que una teoría que se revela interesante 
para la sistematización de la investigación didáctica en sentido curricular (segmento por segmento) 
es la teoría de los niveles de razonamiento de Van Hiele (1986). Según este autor, el aprendizaje es 
una acumulación sucesiva, organizada en redes, de una cantidad suficiente de experiencias 
adecuadas en torno a un cierto tema; por tanto, existe la posibilidad de alcanzar niveles altos de 
conocimiento en general, de razonamiento en particular, fuera de la enseñanza escolar, si se tiene la 
oportunidad de cumplir las experiencias adecuadas. No obstante ésto, estas experiencias, que 
existen y no deberían ser despreciadas, generalmente no son suficientes para producir un desarrollo 
de la capacidad de razonamiento completo y rápido; y es por ésto que la tarea de la educación 
matemática escolar es la de hacer que se cumplan experiencias ulteriores respecto a las escolares 
estándares, bien organizadas a fin de que sean útiles en lo más posible. 
Lo que Van Hiele llama “fases de aprendizaje” son la etapas en la graduación y en la organización 
de las actividades que debe realizar un estudiante para adquirir las experiencias que lo llevarían a un 
nivel superior de razonamiento sobre un bien determinado tema. A lo largo de estas fases, el 
profesor debe proceder de modo tal que sus alumnos construyan la red mental de relaciones del 
nivel de razonamiento al cual deben acceder, creando como primer cosa los nodos de la red (los 
“objetos”) y después las conexiones entre ellos. Dicho de otro modo, es necesario obtener, en 
primer lugar, que los alumnos adquieran de modo significado los conocimientos de base necesarios 
(nuevos conceptos, propiedades, términos, etcétera) con los cuales deberán trabajar, de modo que 
puedan después concentrar su actividad en aprender a darles uso y a combinarlos entre sí. 
Las fases de aprendizaje propuestos por Van Hiele son cinco. 
 
Fase 1: Información. Se trata de una fase de toma de contacto. El profesor debe informar a sus 
estudiantes acerca del campo de estudio en el cual están por iniciar el trabajo, qué tipos de 
problemas se propondrán, qué material se utilizará, etcétera. Al mismo tiempo, los estudiantes 
aprenderán a manejar el material y adquirirán una serie de conocimiento de base que son necesarios 
 
14 Cuando, entre 1971 y 1986, elaboré junto con algunos colegas y con algunos profesores de primeria el 
currículum que se llamó Ma.S.E. (Matematica Scuola Elementare), utilicé mucho la llamada «escala de 
Guttman» [en sus versiones más modernas de Lord y Novick, de Resnick y de White. Para todo ésto el 
lector italiano puede ver Gattullo y Giovannini (1989) y Resnick y Ford (1981), éste último ya disponible en 
castellano también (N.T.)]. Aún si la escala de Guttman ha tenido grandes éxitos en la investigación en 
didáctica de la matemática, por ejemplo porque a través de ella se demostró por primera vez en 1971 que las 
habilidades de conteo son independientes de la capacidad de establecer una correspondencia biunívoca, su 
valor me parecer ser más bien heurístico e inestable; cierto es que siempre es mejor basarse en la 
aproximación y en la intuición, pero una verdadera investigación en términos modernos sería necesaria. El 
proyecto Ma.S.E. comprende hoy 12 volúmenes para los profesores, publicados entre 1986 y 1996 (Progetto 
Ma.S.E., 1986-1996). El hecho de que para algunos de estos volúmenes se haya llegado (mientras escribo) a 
la séptima edición, dice mucho sobre el éxito encontrado por los estudiantes. Existe también una serie de 5 
volumen-cuadernos escritos por algunos profesores de primaria directamente para niños; en ella se 
proporciona una interpretación concreta del Proyecto, muchas veces probada en el aula. 
 19 
para poder iniciar el trabajo matemático propiamente dicho. Esta es una fase de información no sólo 
para los alumnos, sino para el profesor porque permite verificar los conocimientos previos de los 
estudiantes sobre el tema que se está por iniciar. Como dije un poco antes, experiencias 
extraescolares eventuales no deben ser despreciadas dado que pueden ser utilizadas como fuente de 
motivación al nuevo tema. En efecto es verdadero que muchas veces el profesor no afronta un tema 
del todo nuevo con sus alumnos; ellos podrían ya haberlo afrontado, por ejemplo, aunque con 
menor profundidad crítica, en un curso anterior. El profesor aprovecha de esta primera fase, por 
tanto, ya sea para saber qué grado de competencia tienen los alumnos sobre el tema, ya sea para ver 
qué tipo de razonamientos son capaces de hacer en ese ámbito. 
 
Fase 2: Orientacióndirigida. En esta fase los estudiantes inician a explorar el campo de estudio por 
medio de investigaciones basadas en el material que se les ha proporcionado. El objetivo principal 
de esta fase es el lograr que los estudiantes descubran, comprendan y aprendan cuáles son los 
conceptos, las propiedades, las figuras, etcétera, principales en el área del tema que están 
estudiando. En esta fase se construyen los elementos de base de la red de relaciones del nuevo nivel. 
Van Hiele afirma, refiriéndose a esta fase, que «las actividades, si son organizadas de modo 
cuidadoso, forman la base adecuada del pensamiento del nivel superior». Objetivamente, los 
estudiantes, por sí mismos, no podrán realizar un aprendizaje eficaz (en relación con los resultados 
y el tiempo utilizado), por lo que es necesario que las actividades propuestas sean convenientemente 
dirigidas hacia los conceptos, las propiedades, etcétera, que están afrontando. El trabajo que están 
por hacer será seleccionado de modo tal que los conceptos y las estructuras características vengan 
presentadas de modo progresivo. 
 
Fase 3: Explicitación. Una de las finalidades principales de la tercera fase sería hacer que los 
estudiantes intercambien sus propias experiencias, que comenten las regularidades que han 
observado, que expliquen cómo han afrontado las actividades, todo esto en un contexto de diálogo 
en el grupo. Es importante que surjan puntos de vista distintos, ya que el intento de cada estudiante 
por justificar la opinión propia hará que tenga que analizar con atención las ideas propias (y las de 
sus compañeros), ordenarlas, expresarlas con claridad. Este diálogo se comporta de tal manera que 
es en el curso de esta fase que se forma parcialmente la nueva red de relaciones. Esta misma fase 
tiene también el objetivo de hallar el modo de que los estudiantes terminarían de aprender el nuevo 
vocabulario, correspondiente al nuevo nivel de razonamiento que están iniciando a utilizar. En 
algunos casos, especialmente con alumnos de escuela primaria, no es conveniente, desde el punto 
de vista didáctico, introducir al mismo tiempo nuevos conceptos, nuevo vocabulario y nuevos 
símbolos. Una técnica utilizada por los maestros para reducir este problema consiste en permitir 
que, al inicio, los niños dominen las nuevas figuras o conceptos o propiedades a su modo, hasta que 
hayan adquirido un dominio suficiente de los mismos. En esta tercera fase se aceptará que los niños 
hagan uso de un vocabulario sacado de la lengua materna, aunque no sea del todo correcto. Por 
tanto la fase 3 no es una fase de aprendizaje de nuevas ideas, sino una revisión del trabajo hecho 
antes, el poner un punto de conclusiones y de práctica y perfeccionamiento en la forma de 
expresarse. 
 
Fase 4: Orientación libre. Ahora los alumnos deberán aplicar los conocimientos y el lenguaje que 
están adquiriendo a otras investigaciones distintas a las precedentes. En este punto el campo de 
estudio es en gran parte conocido por los alumnos pero todavía deben perfeccionar los 
conocimientos propios del mismo. Ésto se obtiene, por parte del profesor, poniendo problemas que, 
preferiblemente, puedan ser estudiados de distintas formas o que puedan llevar a distintas 
soluciones. En estos problemas se colocarán índices que mostrarían el camino a seguir, pero de 
modo tal que los estudiantes puedan combinarlos adecuadamente, aplicando los conocimientos y las 
formas de razonamiento que han adquirido en las fases precedentes. Quiero hacer notar que el 
núcleo de esta fase está formado por actividades de utilización de los nuevos conceptos, 
 20 
propiedades y formas nuevas de razonamiento. Los problemas que se propongan en la fase 4 no 
deben ser ejercicios de aplicación, bastante utilizados en clase, ejercicios para cuya resolución basta 
recordar algún hecho concreto y utilizarlo directamente; al contrario, al menos algún problema de 
esta fase debe presentar situaciones nuevas, ser abierto, con varios recorridos resolutorios. Este tipo 
de actividades es lo que permitirá completar la construcción de la red de relaciones que se comenzó 
a formar en las fases precedentes, haciendo así que se establezcan las relaciones más completas y 
más importantes. 
 
Fase 5: Integración. A lo largo de las fases precedentes, los estudiantes han adquirido nuevos 
conocimientos y habilidades, pero todavía deben alcanzar una visión general de los contenidos y 
métodos que tienen a su disposición, en relación con los nuevos conocimientos en otros campos que 
han estudiado anteriormente; se trata de condensar en un todo único el dominio de conocimiento 
explorado en las cuatro fases de la 1 a la 4, haciéndolo coincidir con los conocimientos ya 
adquiridos. En esta fase el profesor puede favorecer este trabajo solicitando o sugiriendo 
comprensiones globales, pero es importante que estas comprensiones no comprendan más 
conceptos o propiedades nuevas para el estudiante: en esta fase se debe tratar sólo de 
acumulaciones, confrontaciones y combinaciones de cosas que ya conoce. Completada esta fase, los 
estudiantes tendrán a su disposición una nueva red de relaciones mentales, más amplia de la 
precedente y que la sustituirá, y habrán adquirido un nuevo nivel de razonamiento. 
 
Como se ve, se trata más de una organización didáctica que de propiamente una teoría del 
aprendizaje; y acaso es por esto que las ideas de Van Hiele han tenido tanta fortuna con los 
profesores. Existen muchísimas pruebas de aplicaciones a varios conceptos, sobre todo en 
Geometría, en los distintos niveles escolares: he visto usarla para estudiar los cuadriláteros; para 
introducir las traslaciones y, más en general, las isometrías en el plano; para estudiar una 
clasificación de los polígonos respecto a la medida angular. En Italia no me parece muy difundida 
aunque varios autores la citan. En otros países del mundo, en cambio, esto más bien advertida y 
seguida; un ejemplo reciente de aplicación al estudio de los ángulos en la escuela media está en 
Afonso Martín, Camacho Machin, Socas Robayna (1999). 
 
Un parágrafo como este se arriesga de no estar terminado. El hecho es que los autores a citar y de 
los cuales reportar ideas y teorías ya son ahora muchísimos. Y todavía la naturaleza de este libro 
necesita una selección drástica. No puedo sin embargo cerrar el parágrafo sin al menos dar notas 
bibliográficas sobre la fenomenología didáctica de las estructuras matemáticas, para la cual remito 
directamente al trabajo de Hans Freudenthal (1983, 1991). 
2.5. Ulteriores posiciones a las actuales en la investigación en didáctica de 
la matemática 
No hay duda de que podemos estudiar los fenómenos y los objetos 
que nos circundan, considerándoles la composición y estructura, o 
los procesos y mutaciones a los que son sometidos, o el modo en el 
cual han tenido su origen. Al mismo tiempo es claro y evidente, sin 
necesidad de alguna demostración, que se puede hablar del origen 
de un fenómeno cualquiera sólo después de que este mismo 
fenómeno ha sido descrito. 
Vladimir Jakovlevich Propp [1895-1970], Morfologia della fiaba. 
La educación matemática ha visto formarse a los didactas en posiciones que van de un extremo al 
otro, a veces incluso de modo conflictivo. 
 21 
Hay quien afirma que la didáctica de la matemática no llegará jamás a ser un campo poseedor de 
fundamentos científicos; entre ellos, muchos confirman que enseñar es un arte (la cosa está aún 
bastante más difundida de lo que pudiera parecer, en especial entre aquellos que profesan la 
investigación no en didáctica de la matemática, sino más que nada en matemática; es por esto que 
regreso al tema). 
 
Hay quien afirma que la didáctica de la matemática se reduce a problemas de elección de 
contenidos, currícula, métodos de enseñanza, desarrollo de habilidades, interacciones particulares 
en el aula, etcétera; no mucho más que la didáctica A. 
 
Es necesario poner atención, sin embargo, antes de clasificar con ligereza: no basta mirar las