2015 12 09 Estadísticas - Jose Agis (3)

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15 
Estadísticas 
Maestría en Finanzas 
Jose Pablo Agis Reyes 
arjp2447@gmail.com 
Matricula: 137152 
 
 
 
E s t a d í s t i c a s 
 
Página 2 
 
Contenido 
 
Recopilación de la información ........................................................................................................... 4 
Conceptos de estadísticas y su clasificación ................................................................................... 4 
a) Medidas de tendencia central ..................................................................................................... 4 
Organización, presentación y medición de la información ................................................................. 7 
Distribución de frecuencias ............................................................................................................. 7 
Intervalos de clase ........................................................................................................................... 7 
Histogramas, polígono de frecuencias y ojiva ................................................................................. 7 
Curvas de frecuencia ....................................................................................................................... 7 
Distribución de frecuencias relativas .............................................................................................. 7 
Control no. 2 .............................................................................................................................. 10 
Control no. 3 .............................................................................................................................. 11 
Probabilidad ...................................................................................................................................... 15 
Conceptualización básica de probabilidad .................................................................................... 15 
Expresión de la probabilidad ......................................................................................................... 15 
Control 4 .................................................................................................................................... 17 
Variables aleatorias discretas ............................................................................................................ 18 
Variable aleatoria de Bernoulli ...................................................................................................... 18 
Distribución binomial .................................................................................................................... 18 
Variables aleatorias continuas .......................................................................................................... 19 
Formulas ........................................................................................................................................ 19 
Variables uniformes ...................................................................................................................... 22 
Formulas ........................................................................................................................................ 22 
Distribución normal ........................................................................................................................... 24 
Distribución normal estándar ....................................................................................................... 25 
Intervalos de confianza ................................................................................................................. 25 
Elementos de una prueba o contraste de Hipótesis ..................................................................... 26 
Procedimiento para realizar una prueba de hipótesis .............................................................. 28 
 
 
 
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Página 3 
Proporción. Prueba de hipótesis ................................................................................................... 30 
Prueba de diferencia de medias .................................................................................................... 30 
Regresión lineal simple ................................................................................................................. 31 
Funicones racionales ..................................................................................................................... 32 
 
 
 
 
 
 
 
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Página 4 
Recopilación de la información 
Conceptos de estadísticas y su clasificación 
Descriptiva: Describe al grupo o población objetivo. 
Es un conjunto de herramientas matemáticas que se utilizan para obtener información 
numérica y grafica. 
(N) Población. Es el conjunto de observaciones datos y resultados de un experimento 
objetivo. 
(n) Muestra. Es un subconjunto de la población. 
Análisis numérico 
a) Medidas de tendencia central 
b) Medidas de dispersión 
c) Medidas de localización 
 
a) Medidas de tendencia central 
Media, también se le llama promedio. Es la medida que representa la población o la 
muestra y es la suma de las observaciones entre el número total de datos. 
Población Muestra 
 
ᴍ = 
∑ 𝑿𝒊
𝑵
 
 
X̅ = 
∑ 𝑋𝑖
𝑛
 
 
Ejemplo: 
Xi 
X1 3 
X2 5 
X3 5 
X4 10 
X5 10 
X6 12 
X7 15 
Mediana, es el valor central de los datos. Se obtiene ordenando los datos en forma 
ascendente y es la observación que está a la mitad. 
 
X̅ = 
∑ 𝑋𝑖
𝑛
 = 
3+5+5+10+10+12+15
7
= 
60
7
= 8.571 
 
 
 
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Página 5 
Población Muestra 
 �̃� 
 
Ejemplo: 
Xi 
X1 3 
X2 5 
X3 5 
X4 10 
X5 10 
X6 12 
X7 15 
 
Cuando la suma de la muestra forma un número impar: 
�̃� = 
𝑛+1 
2
= 
7+1 
2
= 
8
2
 = 4 
�̃� = 10 
Cuando la suma de la muestra es par, la formula es la siguiente: 
𝑛
2
 ,
𝑛 + 1 
2
 
Despues se realizara un promedio 
Moda, es una medida central de la muestra. Es la observación que más se repite en la 
muestra o población- 
Ejemplo: 
De la tabla anterior, los valores que más se repiten son: 
Mo = 5 y 10 
Rango, es la diferencia del valor mayor y el valor menor de una muestra o población. 
Ejemplo: 
De la tabla anterior: 
Rango= 15 - 3 = 12 
 
n, puede ser: 
"n" par , "n" impar 
 
 
 
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b) Medidas de dispersión 
Varianza, es el promedio de las desviaciones cuadradas de cada uno de las 
observaciones con respecto a la media 
Población Muestra 
 
𝜶𝟐 = 
∑(𝑿𝒊 −ᴍ)𝟐
𝑵
 
 
𝑆𝟐 = 
∑ 𝑋𝑖 −X̅ 𝟐
𝑛−1
 
Ejemplo 
Xi X (Xi - Media) (Xi - Media)2 
x1 3 8.571 -5.571 31.04 
x2 5 8.571 -3.571 12.76 
x3 5 8.571 -3.571 12.76 
x4 10 8.571 1.429 2.04 
x5 10 8.571 1.429 2.04 
x6 12 8.571 3.429 11.76 
x7 15 8.571 6.429 41.33 
 
S 2 = 18.95 
Desviación estándar 
Población Muestra 
 
𝜶= √𝜶𝟐 
 
𝑆= √𝑺𝟐 
Ejemplo 
S = 4.35 
El precio promedio de la acción es de 8.57 (estimación puntual) y la estimación por 
intervalo será (8.57 - 4.35 , 8.57 + 4.35) 4.22 , 12.92 
Ejercicio 1 
Xi Media (Xi - Media) (Xi - Media)^2 
x1 1 7.600 -6.600 43.56 
x2 4 7.600 -3.600 12.96 
x3 5 7.600 -2.600 6.76 
x4 5 7.600 -2.600 6.76 
 
 
 
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x5 6 7.600 -1.600 2.56 
x6 7 7.600 -0.600 0.36 
x7 10 7.600 2.400 5.76 
x8 11 7.600 3.400 11.56 
x9 12 7.600 4.400 19.36 
x10 15 7.600 7.400 54.76 
 
X̅ = 
∑ 𝑋𝑖
𝑛
 = 
1+4+5+5+6+7+10+11+12+1510
= 
76
10
= 7.6 
�̃� = 
10 
2
= 5 , �̃� = 
11 
2
= 5.5 = (5 + 5.5) /2 = 5.25 
�̃� = 6 
Mo = 5 
Rango = 15 - 1 = 14 
S 2 = 18.27 
S = 4.27 
El precio promedio de la acción es de 7.6 (estimación puntual) y la estimación por 
intervalo será (7.6 - 4.27 , 7.6 + 4.27) 3.33, 11.87 
Organización, presentación y medición de la información 
Distribución de frecuencias 
Intervalos de clase 
Histogramas, polígono de frecuencias y ojiva 
Curvas de frecuencia 
Distribución de frecuencias relativas 
Es una tabla que utiliza los conceptos de frecuencia absoluta y relativa para organizar 
y agrupar los datos provenientes de un experimento. 
Utilizaremos el ejemplo de tasa de inflación para determinar la construcción de la 
distribución de frecuencias. 
Paso 1. Determinar el número de clases. Se calcula de la raíz cuadrada de n. Se deben 
de redondear los datos 
 
 
 
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Paso 2. Determinar los límites de clase. Determinar los rangos de los datos. Se calcula 
del dato mayor menos el dato menor. Pero antes se debe ordenar los datos de menor a 
mayor. Se deben de redondear los datos 
1) Calcular rango (dato mayor menos dato menor) 
2) Calcular longitud de clases (rango/número de clases) 
3) Sacar límites para cada clase, empezando con el dato menor de la serie 
sumando la longitud de clase; para la clase 2, se comienza con el límite de la 
clase 1 y a su vez se suma la longitud de clase. Se repite este procedimiento 
hasta que no queden más clases. 
Paso 3. Calcular la frecuencia absoluta, consiste en contar el número de observaciones 
en cada clase. 
Paso 4. Calcular la frecuencia relativa, es el cociente de la frecuencia absoluta entre el 
número total de observaciones. 
Paso 5. Calcular la frecuencia absoluta y relativa acumulada. Consiste en sumar la 
frecuencia actual a la suma de las frecuencias anteriores. 
Al terminar los pasos anteriores se deben realizar unas graficas. 
• Histograma, es un grafico de barra que contiene en el eje x a los limites de 
clases y en el eje y las frecuencia relativas 
• Ojiva, es un grafico de líneas, que contiene en el eje x a los limites de clases y en 
el eje y a la frecuencia relativa o absoluta acumulada 
Ejemplo: 
Inflación 
mensual 
3.00% 
3.40% 
4.00% 
5.00% 
5.00% 
6.00% 
7.50% 
7.80% 
8.00% 
9.00% 
10.00% 
 
 
 
 
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0.000
0.500
1.000
3.00 - 5.50
5.50 - 8.00
8.00 - 10.50
Ojiva
0.000
0.100
0.200
0.300
0.400
0.500
3.00 - 5.50 5.50 - 8.00 8.00 - 10.50
Histograma
Clase Limite de 
clase 
Frecuencia 
absoluta 
Frecuencia 
relativa 
Frecuencia 
absoluta 
acumulada 
Frecuencia 
relativa 
acumulada 
1 [ 3.00 , 5.50) 5 0.455 5 0.455 
2 [ 5.50 , 8.00) 3 0.273 8 0.727 
3 [ 8.00 , 10.50) 3 0.273 11 1.000 
 11 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resultados 
Numero de clases 3 
Rango 7.00% 
Longitud de la clase 2.5% 
Media (Xi) 6.29% 
Varianza (S2) 4.77% 
Desviación estándar (S) 2.18% 
 
 
Conclusiones 
La tasa de inflación en México se encuentra entre 3 y 5.5% con probabilidad 0.45 
La tasa de inflación en México es cuando mucho 8% con probabilidad 0.727 
La tasa promedio de inflación anual es de 6.3%, con una desviación estándar de 2.18% 
Por lo tanto, el intervalo de confianza de la inflación se ubicara entre 4.11% y 8.48% 
 
Intervalo de confianza 
4.11% 8.48% 
 
 
 
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Página 10 
0.000
0.200
0.400
0.600
0.800
 12 - 33 33 - 54 54 - 75
Histograma
0.000
0.500
1.000
 12 - 33
33 - 54
54 - 75
Ojiva
Control no. 2 
Precio de la 
acción A 
12.00 
12.00 
18.00 
22.00 
23.00 
24.00 
28.00 
34.00 
35.00 
75.00 
 
Clase Limite de 
clase 
Frecuencia 
absoluta 
Frecuencia 
relativa 
Frecuencia 
absoluta 
acumulada 
Frecuencia 
relativa 
acumulada 
1 [ 12.00 , 33.00) 7 0.700 7 0.700 
2 [ 33.00 , 54.00) 2 0.200 9 0.900 
3 [ 54.00 , 75.00) 1 0.100 10 1.000 
 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resultados 
Numero de clases 3 
Rango 63 
Longitud de la clase 21 
Media (Xi) 30.90 
Varianza (S2) 215.60 
Desviación estándar (S) 14.68 
 
Intervalo de confianza 
16.22 45.58 
 
 
 
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Página 11 
Conclusiones 
El precio de la acción A se encuentra entre 12 Y 33 con probabilidad 0.700 
El precio de la acción A es cuando mucho 54 con probabilidad 0.900 
El precio promedio de la acción A es 30.90 con una desviación estándar de 14.68 
Por lo tanto, el intervalo de confianza de la acción A es de $16.22 a $45.58 
Control no. 3 
Precio del petróleo crudo, promedio general del Brent, Texas Oeste y Dubái 
Dólares por barril 
 
Fecha Precio 
30/09/2014 $ 95.89 
31/10/2014 $ 86.13 
30/11/2014 $ 76.96 
31/12/2014 $ 60.55 
31/01/2015 $ 47.45 
28/02/2015 $ 54.93 
31/03/2015 $ 52.83 
30/04/2015 $ 57.42 
31/05/2015 $ 62.50 
30/06/2015 $ 61.30 
31/07/2015 $ 54.43 
31/08/2015 $ 45.72 
Fuente de los datos: Indexmundi 
Clase Limite de 
clase 
Frecuencia 
absoluta 
Frecuencia 
relativa 
Frecuencia 
absoluta 
acumulada 
Frecuencia 
relativa 
acumulada 
1 [ 45.72 , 62.44) 8 0.667 8 0.667 
2 [ 62.44 , 79.17) 2 0.167 10 0.833 
3 [ 79.17 , 95.89) 2 0.167 12 1.000 
 12 
 
0.000
0.200
0.400
0.600
0.800
 46 - 63 63 - 80 80 - 97
Histograma
0.000
0.500
1.000
 46 - 63 63 - 80 80 - 97
Ojiva
 
 
 
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Resultados 
Numero de clases 3 
Rango 50 
Longitud de la clase 16.72 
Media (Xi) 62.44 
Mediana X ̃ 52.13 
Moda Ninguno 
Varianza (S2) 177.97 
Desviación estándar (S) 13 
 
 
Conclusiones 
El precio del petróleo crudo durante septiembre del 2014 y agosto del 2015 se ubico entre 
$46 y $63 dólares por barril. La probabilidad de que se sitúe en estos rangos es del 0.667 
El precio promedio del petróleo crudo durante dicho periodo es de $62.72, con una desviación 
estándar de $13.34 dólares por barril 
Por lo tanto, el intervalo de confianza para el petróleo crudo se ubicara entre $49.10 y $75.78 
dólares por barril. 
Ejercicio 2 
Precio promedio futuro semanal del ganado bovino en pie para engorda (Feeder 
Cattle) en Estados Unidos 
Dólares por libra 
 
Semana 
(2015) 
Precio 
Semana 1 2.240 
Semana 2 2.248 
Semana 3 2.190 
Semana 4 2.150 
Semana 5 2.105 
Semana 6 1.984 
Semana 7 2.017 
Semana 8 2.016 
Semana 9 1.986 
Semana 10 2.061 
Semana 11 2.129 
Semana 12 2.134 
Intervalo de confianza 
49.10 75.78 
 
 
 
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Página 13 
Semana 13 2.173 
Semana 14 2.189 
Semana 15 2.165 
Semana 16 2.139 
Semana 17 2.132 
Semana 18 2.157 
Semana 19 2.152 
Semana 20 2.183 
Semana 21 2.194 
Semana 22 2.222 
Semana 23 2.227 
Semana 24 2.247 
Semana 25 2.238 
Semana 26 2.222 
Semana 27 2.174 
Semana 28 2.142 
Semana 29 2.141 
Semana 30 2.123 
Semana 31 2.107 
Semana 32 2.142 
Semana 33 2.140 
Semana 34 2.136 
Semana 35 2.089 
Semana 36 2.010 
Fuente de los datos: CME 
 
Clase Limite de 
clase 
Frecuencia 
absoluta 
Frecuencia 
relativa 
Frecuencia 
absoluta 
acumulada 
Frecuencia 
relativa 
acumulada 
1 [ 1.98 , 2.03) 5 0.139 5 0.139 
2 [ 2.03 , 2.07) 1 0.028 6 0.167 
3 [ 2.07 , 2.12) 3 0.083 9 0.250 
4 [ 2.12 , 2.16) 12 0.333 21 0.583 
5 [ 2.16 , 2.20) 8 0.222 39 0.806 
6 [ 2.20 , 2.25) 7 0.194 36 1.000 
 36 
 
 
 
 
 
 
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Resultados 
Numero de clases 6 
Rango 0.26 
Longitud de la clase 0.04 
Media (Xi) 2.14 
Mediana X ̃ 2.14 
Moda 2.14 
Varianza (S2) 0.00 
Desviación estándar (S) 0.07 
 
 
Conclusiones 
El precio futuro del ganado bovino en pie en los Estados Unidos durante la semana 1 a la 
semana 36 del 2015, se ubico entre $2.12 y $2.16 dólares por libra. La probabilidad de que se 
sitúe en estos rangos es del 0.333 
El precio del ganado bovino en pie es cuando mucho de $2.20 dólarespor libra, con una 
probabilidad del 0.806 
El precio promedio del ganado en pie durante dicho periodo es de $2.14, con una desviación 
estándar de $0.07 dólares por libra 
Por lo tanto, el intervalo de confianza para el ganado bovino en pie se ubicara entre $2.07 y 
$2.21 dólares por libra 
 
 
Intervalo de confianza 
2.07 2.21 
0.000
0.100
0.200
0.300
0.400
 1.98 - 2.03 2.03 - 2.072.07 - 2.122.12 - 2.162.16 - 2.202.20 - 2.25
Histograma
0.000
0.500
1.000
 1.98 -
2.03
2.03 -
2.07
2.07 -
2.12
2.12 -
2.16
2.16 -
2.20
2.20 -
2.25
Ojiva
 
 
 
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Página 15 
Probabilidad 
Conceptualización básica de probabilidad 
Probabilidad clásica; está definida como el cociente de casos favorables y casos totales. 
𝑃 (𝐴) =
𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠
 
A: Eventos, es un espacio de muestra, se expresa como Ω 
Experimento uno: Es como lanzar un dado Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Experimento dos: Lanzar una moneda Ω = {águila, sol} 
A: Observar un numero par al lanzar un dado 
𝑃 (𝐴) =
3
6
= 
1
2
 
B: Observar un sol 
𝑃 (𝐴) = 
1
2
 
Expresión de la probabilidad 
a) Probabilidad frecuentista; Se entiende por probabilidad frecuentista que por 
cuantas más veces se repita el experimento, al final las posibilidades de que ocurra 
cada uno de los sucesos será regular. Aunque cualquier comportamiento sea aleatorio, 
por proceso empírico llegaremos a una regularidad. Es cuando se lanza un dado y 
suponiendo cuantas veces cae el número que se seleccionó. 
𝑃 (𝐴) = lim
∞
𝑥
𝑛
 ≈ ← 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑐𝑒𝑟𝑐𝑎𝑛𝑎 
b) Probabilidad subjetiva; medida numérica de oportunidad que expresa un grado 
puramente personal de creencia en la verosimilitud de un acontecimiento específico 
de un experimento aleatorio único. 
A= {Que ocurra un terremoto de 8.2} 
𝑃 (𝐴) = 0.9 
B= {Que el cliente consuma una Coca Cola Zero} 
𝑃 (𝐵) = 04 
Axiomas de Kolmogorov; Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que 
deben verificarse para que una función definida sobre un conjunto de sucesos determine 
consistentemente sus probabilidades. 
i. 𝑃 (Ω) = 1 
 
 
 
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Página 16 
ii. 0 ≤ 𝑃 (A) ≤ 1 
iii. 𝑃 (A ∪ B)) = 𝑃 (𝐴) + 𝑃 (𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 
Ejemplo: 
Tabla de contingencia 
• Bebidas con azúcar 
• Bebidas bajo en azúcar 
• Bebidas sin azúcar 
 
A B C 
 
Menores de 12 Menores de 24 Mayores o igual de 
24 
Total 
D Con azúcar 300 120 100 520 
E Bajo azúcar 200 200 200 600 
F Sin azúcar 100 250 300 650 
Total 600 570 600 1770 
 
Probabilidad conjunta 
P(A ∩ 𝐵) = 
300
1770
= 0.16 
P(B ∩ E) = 
200
1770
= 0.11 
Probabilidad marginal 
P(A) = 
600
1770
= 0.34 
P(B) = 
570
1770
= 0.32 
Probabilidad unión 
𝑃 (C ∪ F) = 𝑃 (𝐶) + 𝑃 (𝐹) − 𝑃(𝐶 ∩ 𝐹) = 𝑃 (
600
1770
) + 𝑃 (
650
1770
) − 𝑃 (
300
1770
) = 0.537 
𝑃 (E ∪ F) = 𝑃 (𝐸) + 𝑃 (𝐹) − 𝑃(𝐸 ∩ 𝐹) = 𝑃 (
600
1770
) + 𝑃 (
650
1770
) = 0.706 
Probabilidad condicional (Dado) 
𝑃 (A l D) = 
𝑃 (𝐴 ∩D) 
𝑃 (𝐷)
= 
300
1770
520
1770
= 0.576 
 
 
 
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Página 17 
La probabilidad de que un cliente consuma una bebida bajo en azúcar, dado que sea menor de 
24 años. 
Control 4 
Acción 
 HOY 
 
ALZA 
(A) 
BAJA 
(B) 
SIN MOVIMIENTO 
(C) 
SUMA 
AYER 
ALZA (D) 120 80 50 250 
BAJA (E) 100 90 100 290 
SIN MOVIMIENTO(F) 50 100 125 275 
 270 270 275 815 
 
 
 
 
 
 
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Página 18 
Variables aleatorias discretas 
 
X es una variable aleatoria 
Alea: azar 
Variable aleatoria de Bernoulli 
𝑥 ~<Be (P) 
X toma los valores de 0 a 1 
El éxito observado por ejemplo, es un envase defectuoso 
X = 0 
P ( X = 0) = 1 – P 
P (X = 0) = P 
X ~ Be (0.3) 
P = 0.3 
P = 0.0.1 
Distribución binomial 
X = cuenta el numero de éxitos observados 
X ~ Bi (n , p) 
Para determinar la probabilidad de que en lo envases sean defectuosos, utilizamos la 
distribución binomial. 
n = 10 
P = 0.01 
P = (X = 2) 
𝑃 [𝑋 = 𝑋] = (
𝑛
𝑥
) 𝑝𝑥(1 − 𝑝) 
En Excel, utilizaremos la formula de =Distr.Binom (núm_exito, ensayos, prob-éxito, 
acumulado) 
X = Numero de éxitos 
Ensayos = 10 
 
 
 
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Página 19 
Prob_exito = 0.01 
Acumulado = Falso 
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
P 
(X=X) 
 
0.904 
 
0.091 
 
0.004 
 
0.000 
 
0.000 
 
0.000 
 
0.000 
 
0.000 
 
0.000 
 
0.000 
 
0.000 
 
Variables aleatorias continuas 
Sea X una VA 
Con una función de densidad de la acción 
f(x) = Kx2 0 ≤ x ≤ 1 
Una VA continua tiene función de densidad de probabilidad f(x) que posee las siguientes 
propiedades: 
• f (x) ≥ 0 
• f (x) dx = 1 
 
Formulas 
Pasos 
1) 
∫ 𝐾𝑥 𝑑𝑥 = 1
1
0
 
k∫ 𝑥𝑛 𝑑𝑥
1
0
 
𝑥𝑛+1
𝑛+1
 
𝑥𝑛
𝑛
= ∫ [
1𝑛
𝑛
− 
0𝑛
𝑛
]
1
0
 = 
1
𝑛
= 𝑛 
 
 
 
x 1 0 
y 
 
 
 
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Página 20 
2) Probabilidad 
La probabilidad va de 1 a 0. 
Que dependerá de acuerdo a lo que se busque 
∫ 𝐾𝑥 𝑑𝑥 = 1
1
0
 
k∫ 𝑥𝑛 𝑑𝑥
1
0
 
𝑥𝑛+1
𝑛+1
 
k∫
𝑥𝑛
𝑛
= 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛 = 
3)Esperanza 
E (x) = ∫ 𝑥 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
1
0
 
𝑥𝑛+1
𝑛+1
 
𝑥𝑛
𝑛
= ∫ [
𝑥(1)𝑛
𝑛
− 
𝑥()0𝑛
𝑛
]
1
0
 = 
𝑥
𝑛
 
 
E (𝑥2) =∫ 𝑥2 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
1
0
 
𝑥𝑛+1
𝑛+1
 
𝑥𝑛
𝑛
= ∫ [
𝑥(1)𝑛
𝑛
− 
𝑥()0𝑛
𝑛
]
1
0
 = 
𝑥
𝑛
 
 
5) Varianza 
𝜎2 = 𝐸 (𝑥2) − (𝐸(𝑥)2) 
 
6) Desviación estándar 
𝜎 = √𝑉𝑎𝑟 (𝑥) 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Página 21 
Control 5: 
f (x) = K𝑥4 0≤ 𝑥 ≥ 1 
∫ 𝐾𝑑𝑥 = 1
1
0
 
k∫ 𝑥4 𝑑𝑥 = 1
1
0
 
𝑥𝑛+1
𝑛+1
 
𝑥5
5
= ∫ [
15
5
− 
05
5
]
1
0
 = 
1
5
= 5 
E (x) = ∫ 𝑥 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
1
0
 
E (x) = ∫ 𝑥 5 𝑥4 𝑑𝑥
1
0
 
5 ∫ 𝑥5 𝑑𝑥
1
0
 
𝑥𝑛+1
𝑛+1
 
56
6
 ∫ [
5(1)6
6
− 
5(0)6
6
]
1
0
 = 
5
6
 
 
𝜎2 = 𝐸 (𝑥2) − (𝐸(𝑥)2) 
5
7
− (
5
6
2
) = 0.714 - 0.693 = 0.021 
 
E (𝑥2) =∫ 𝑥2 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
1
0
 
∫ 𝑥2 5𝑥4 𝑑𝑥
1
0
 
5 ∫ 𝑥6 𝑑𝑥
1
0
 
𝑥𝑛+1
𝑛+1
 
57
7
 ∫ [
5(1)7
7
− 
5(0)7
7
]
1
0
 = 
5
7
 
 
𝜎 = √𝑉𝑎𝑟 (𝑥) 
𝜎 = √0.021 = 𝟎. 𝟏𝟒𝟒 
 
 
 
 
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Página 22 
Variables uniformes 
Distribución uniforme con parámetros de a y b 
X ≈ U [a, b] 
Formulas 
1) f (x) = 
1
𝑎−𝑏
 
2) E (x) ∫ 𝑥 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑎
𝑏
 
 f (x) ∫ 𝑥 𝑑𝑥
𝑎
𝑏
 
𝑥𝑛+1
𝑛+1
 
 
1
𝑎−𝑏
 
𝑥𝑛
𝑛
 𝑎
𝑏
 = [𝑎𝑛 − 𝑏𝑛] 
 
3) E (x) ∫ 𝑥2𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑎
𝑏
 
 f (x) ∫ 𝑥2 𝑑𝑥
𝑎
𝑏
 
𝑥𝑛+1
𝑛+1
 
 
1
𝑎−𝑏
 
𝑥𝑛
𝑛
 𝑎
𝑏
 = [𝑎𝑛 − 𝑏𝑛] 
 
4) 𝜎2 = 𝐸 (𝑥2) − (𝐸(𝑥)2) 
 
5) 𝜎 = √𝑉𝑎𝑟 (𝑥) 
Ejemplo: Distribución uniforme 
x: precio de una acción 
x~u [0, 50] 
 
 
 
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Página 23 
 
Calcular el parámetro de x 
E (x) 
x~u [0, 50] 
f (x) = 
1
50−0
= 
1
50
 
E (x) ∫ 𝑥 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
50
0
 
 f (x) ∫ 𝑥 𝑑𝑥
50
0
 
1
50
∫ 𝑥 𝑑𝑥 
50
0
 
𝑥𝑛+1
𝑛+1
 
1
50
 
𝑥2
2
 50
0
 = 
1
100
 [502 − 02] = 
2500
100
 = 25 
 
E (x) ∫ 𝑥2 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
50
0
 
E (x) ∫ 𝑥2 
1
50
 𝑑𝑥
50
0
 
1
50
∫ 𝑥2 𝑑𝑥 
50
0
 
𝑥𝑛+1
𝑛+1
 
1
50
 
𝑥3
3
 50
0
 = 
1
150
 [503 − 03] = 
125,000
150
 = 833.33 
 
𝜎2 = 𝐸 (𝑥2) − (𝐸(𝑥)2) 
x 50 0 
y 
1 
25 
 
 
 
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Página 24 
833.33 - 252 = 208.33 
 
𝜎 = √𝑉𝑎𝑟 (𝑥) 
𝜎 = √208.33 = 14.4336 
µ [ 25 - 2 ( 14.43) ; 25 + 2 ( 14.43) ] 
-3 ; 53 
 
Distribución normal 
 
 
 
Z ~ N ( µ, σ2 ) 
Ejemplo: 
¿Cuál es la probabilidad de que la utilidad obtenida se encuentre 45 y 70? 
Z ~ N ( 50 , 100) (Resolver en Excel) 
Media = 50 
Desviación estándar = 10 
P (45 < X < 70) 
P (x < 70) - P(x < 45) 
0.9772 - 0.3085 = 0.6687 
P (x > 65) 
 
x 
y 
 
 
 
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Página 25 
P (x > 65) = 1 - P (x > 65) 
1 - 0.9331 = 0.06680 
P (X < 70) = 0.067 
Distribución normal estándar 
Z ~ N ( 50 , 100) 
Media = 50 
Desviación estándar = 10 
 𝑍 = 
𝑋− µ
𝜎
 
P (45 < Z < 70) 
P (45 < Z < 70) 
P (
45−50
10
 < 
𝑍−50
10
 < 
70−50
10
) 
P = (0.5 < Z < 2) 
P (Z < 2) - P (Z < 0.5) 
0.9772 - 0.3085 = 0.6687 
Intervalos de confianza 
Un intervalo de confianza es un rango de valores, derivado de los estadísticos de la muestra, 
que posiblemente incluya el valor de un parámetro de población desconocido. Debido a su 
naturaleza aleatoria, es poco probable que dos muestras de una población en particular 
generen intervalos de confianza idénticos. Sin embargo, si usted repitiera muchas veces su 
muestra, un determinado porcentaje de los intervalos de confianza resultantes incluiría el 
parámetro de población desconocido. 
 
En este caso, la línea negra horizontal representa el valor fijo de la media desconocida de la 
población, µ. Los intervalos de confianza azules verticales que se sobreponen a la línea 
 
 
 
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Página 26 
horizontal contienen el valor de la media de la población. El intervalo de confianza rojo que 
está completamente por debajo de la línea horizontal no lo contiene. Un intervalo de confianza 
de 95% indica que 19 de 20 muestras (95%) de la misma población generarán intervalos de 
confianza que contendrán el parámetro de población. 
En el contexto de estimar un parámetro poblacional, un intervalo de confianza es un rango de 
valores (calculado en una muestra) en el cual se encuentra el verdadero valor del parámetro, 
con una probabilidad determinada. 
El nivel de confianza y la amplitud del intervalo varían conjuntamente, de forma que un 
intervalo más amplio tendrá más posibilidades de acierto (mayor nivel de confianza), 
mientras que para un intervalo más pequeño, que ofrece una estimación más precisa, 
aumentan sus posibilidades de error. 
Toma de decisiones 
Nivel de confianza del 90% al 99% 
1 – α (Alfa) = 0.90 
α : Nivel de significancia, equivalente al error 
En estadísticas existen dos tipos de estimaciones: 
• Puntuales 
• Por intervalo 
Elementos de una prueba o contraste de Hipótesis 
Planteamientos de hipótesis: 
 
 
Ho: µ = Ho Vs H1: µ ≠ Ho 
 
Ho: µ = Ho Vs H1: µ < Ho 
 
Ho: µ = Ho Vs H1: µ > Ho 
Determinar el valor de significancia, decidir el valor de ά (alfa). 
ά = 0.5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Página 27 
Seleccionar el estadístico de prueba (EP), el cual es un valor que resume la evidencia que 
ofrece la muestra para rechazar o no a Ho. 
• Parámetros sobre cual se lleva la prueba µ 
• Distribución muestra de probabilidad adecuada (Z, t) 
Regla de decisión es un criterio, si se rechaza o no Ho 
Para muestra grande: 
𝝁 [𝑿 ± 𝒁𝜶/𝟐
𝝈
√𝒏
] 
Muestras pequeñas: 
𝝁 [𝑿 ± 𝒕𝜶/𝟐
𝒔
√𝒏
] 
Contrastar una Hipótesis Estadísticamente es juzgar si cierta propiedad supuesta para una 
población es compatible con lo observado en una muestra de ella. 
Hipótesis Nula: (H0) es la hipótesis que se contrasta. Esta hipótesis se mantendrá a no ser que 
los datos indiquen lo contrario. Esta hipótesis nunca se considera probada aunque puede ser 
rechazada por los datos. 
Hipótesis Alternativa: (H1) es la hipótesis contrapuesta a H0. 
Definiciones: 
Prueba (Contraste) de Hipótesis Estadística: es una regla (Procedimiento) para decidir si 
rechazamos una hipótesis H0. 
Estadística de Prueba: Es una función de la muestra. Interesa que contenga el máximo de 
información sobre H0. Es en base a la información contenida en esta función que decidiremos 
respecto de la aceptación o rechazo de H0. 
Región Crítica: Define los valores del estadístico de Prueba para los cuales se contradice H0. 
Regla de Decisión: Procedimiento que acepta o rechaza H0, dependiendo del valor del 
estadístico de Prueba. 
Nivel de Significación: Este valor ά determina un valor crítico c : P ( d > c / H0 ) = . El 
procedimiento de selección de “c” a partir de ά tiene varias críticas: 
i. El resultado del Test depende mucho de ά 
ii. Dar sólo el resultado del Test no permite diferenciar el grado de evidencia que la muestra 
indica a favor o en contra de H0. 
 
 
 
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Página 28 
Procedimiento para realizar una prueba de hipótesis 
Ejemplo: 
25,000 usd precio por lote o menos 
32 propiedades 
26,000 Xbarra por lote 
2,500 σ 
25,000 μ0 (Media bajo hipótesis nula) 
Paso 1. Definir las hipótesis 
El ejercicio deberá definir qué lado de la cola utilizar, en este caso se utilizara la cola inferior, 
como lo indica la imagen de abajo. 
 
 Hipótesis nula Hipótesis alternativa 
H0 μ ≤ 25,000 H1 μ ≥ 25,000 
Se define un nivel de confianza; 
Se pueden usar los siguientes niveles de confianza (90%; 95%; 99%) 
Paso 2. Se define un nivel de significancia (ά). Se obtiene de la diferencia de tu nivel de 
confianza, dividido entre dos para cada cola. 
ά = 0.05 
Definir la distribución de muestreo. 
Normal estándar 
Z = (Xbarra - μ0) / (σ/√n) 
Paso 3. Evaluar el estadístico de prueba, con la formula anterior. 
Con ayuda de Excel, utilizar la formula 
=DISTR.NORM.ESTAND.INV( ) y seleccionar la celda con tu nivel de confianza utilizado. 
Paso 4. Definirla regla de rechazo 
 
 
 
 
 
 
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Página 29 
Si P es menor a ά la hipótesis se rechaza 
Si P es mayor a ά la hipótesis se acepta 
Ejercicio: 
Un corral de engorda lleva un registro del precio del ganado en pie para engorda durante las 
últimas semanas. El dueño de la empresa desea saber si el precio del ganado se mantendrá 
menor o igual a 2.12 dólares/libra, de lo contrario compraría un contrato a futuro para 
cubrirse de las fluctuaciones de los próximos meses. 
Con una muestra de 36 datos, un precio promedio de 2.14 dólares/libra y una desviación 
estándar de 0.0725. 
Utilice el valor del estadístico de prueba para sacar una conclusión con ά = 0.01 
Resultado: 
Definir hipótesis 
H0 μ = 2.12 H1 μ ≠ 2.12 
Intervalo de confianza = 0.99 
ά = 0.010 
 
Z de una muestra 
Prueba de μ = 2.12 vs. ≠ 2.12 
La desviación estándar supuesta = 0.0725 
 
 Error 
 estándar 
 de la 
 N Media media IC de 99% Z P 
36 2.1400 0.0121 (2.1089, 2.1711) 1.66 0.098 
 
1 – α (Alfa) = 
Limite inferior L,imite superior 
 
 
 
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Página 30 
Con un 99% de confianza, el dueño de la empresa puede estar tranquilo ya que el precio del 
ganado se mantendrá en el promedio esperado por él. Por tal motivo no es necesario recurrir 
a un contrato a futuro para cubrirse de las fluctuaciones. 
Proporción. Prueba de hipótesis 
𝑃 (𝑋) (
𝑛
𝑥
) 𝑝𝑥(1 − 𝑝)𝑛−𝑥 
𝑍 = 
𝑃1 − 𝑃0
√𝑃0 (1 − 𝑃𝑂)
𝑛
 
Planteamientos de hipótesis: 
 
 
Ho: p = Ho Vs H1: p ≠ Ho 
 
Ho: p = Ho Vs H1: p < Ho 
 
Ho: p = Ho Vs H1: p > Ho 
 
 
Prueba de diferencia de medias 
 
Ho: μ1= μ2 Vs H1: μ1≠ μ2 
 
Ho: μ1 ≤ μ2 Vs H1: μ1 > μ2 
 
Ho: μ1 ≥ μ2 Vs H1: μ1 < μ2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Página 31 
n1 , n2 ≥ 30 
σ1 , σ2 ; Conocidas 
𝑍 = 
(𝑋1 − 𝑋2) − (μ1 − μ2)
√
σ1
2
𝑛1
+
σ2
2
𝑛2
 
n1 , n2 ≥ 30 
σ1 , σ2 ; 𝐷𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑠 
𝑍 = 
(𝑋1 − 𝑋2) − (μ1 − μ2)
√
s1
2
𝑛1
+
𝑠2
2
𝑛2
 
n1 , n2 < 30 
σ1 , σ2 ; 𝐷𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑠 
𝑡 = 
(𝑋1 − 𝑋2) − (μ1 − μ2)
√𝑆𝑝
2 1
𝑛1
+
1
𝑛2
 
Varianza ponderada 
𝑆𝑝
2 = 
(𝑛1 − 1)𝑆1
2 + (𝑛2 − 1)𝑆2
2
𝑛1 + 𝑛2 − 2
 
 
Regresión lineal simple 
El análisis de regresión es una técnica estadística para investigar la relación funcional entre 
dos o más variables, ajustando algún modelo matemático. Laregresión lineal simple utiliza 
una sola variable de regresión y el caso más sencillo es el modelo de línea recta. 
• Investigar si existe una asociación entre las dos variables testeando la hipótesis de 
independencia estadística 
• Estudiar la fuerza de la asociación, a través de una medida de asociación denominada 
coeficiente de correlación 
• Estudiar la forma de la relación. Usando los datos propondremos un modelo para la 
relación y a partir de ella será posible predecir el valor de una variable a partir de la 
otra 
Para ello proponemos un MODELO que relaciona una variable dependiente (Y) con una 
variable independiente (X). 
 
 
 
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Página 32 
Llamaremos MODELO MATEMÁTICO a la función matemática que proponemos como forma 
de relación entre la variable dependiente (Y) y la o las variables independientes. 
La función más simple para la relación entre dos variables es la FUNCIÓN LINEAL 
𝑦 = 𝑏 + 𝑚 ∗ 𝑥 
b = Ordenada al origen 
m = pendiente 
• Esta expresión es una aproximación de la verdadera relación entre X e Y 
• Para un dado valor de X el modelo predice un cierto valor para Y 
• Mientras mejor sea la predicción, mejor es el modelo para explicar el fenómeno 
Se considera que la variable X es la variable independiente o regresiva y se mide sin error, 
mientras que Y es la variable respuesta para cada valor específico xi de X; y además Y es una 
variable aleatoria con alguna función de densidad para cada nivel de X. 
Si la recta de regresión es: Y = β0 + β1X 
Cada valor yi observado para un xi puede considerarse como el valor esperado de Y dado xi más un 
error: 
Modelo lineal simple: 𝑦𝑖 = β0 + β1𝑥𝑖 + 𝜖𝑖 
Los 𝜖𝑖 se suponen errores aleatorios con distribución normal, media cero y varianza σ2σ ; β0 y 
β1 son constantes desconocidas (parámetros del modelo de regresión). 
Funciones racionales 
Definición cociente de los polimonios 
𝑟 (𝑥) = 
𝑝 (𝑥)
𝑞 (𝑥)
 
Un polimonio tiene la forma: 
𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + ⋯ 𝑎𝑛𝑥 + 𝑎𝑛 
𝑝 (𝑥) = 2𝑥3 + 3𝑥2 − 6𝑥 + 1 
Polimonio de grado 2 
𝑦 = 4𝑥2 + 8𝑥 − 1 
La ecuación anterior se puede simplicar de la siguiente forma mediante el “Metodo de 
completar cuadrados”, la ecuacion quedara de la siguiente forma: 
𝑦 = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘 
 
 
 
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Página 33 
 Paso 1 
Agrupar terminos en x 
𝑦 = 4𝑥2 + 8𝑥 − 1 
Agrupados: 
𝑦 = (4𝑥2 + 8𝑥) − 1 
Paso 2 
El coeficiente de la variable al cuadrado debe ser: 
𝑦 = 4(𝑥2 + 2𝑥) -1 
Paso 3 
Completar el cuadrado 
𝑦 = 4 (𝑥2 + 2𝑥 + 1) − 1 − 4 
El valor 𝑎𝑥 se divide entre 2 y se eleva al cuadrado para obtener el valor de 𝑎. Posteriormente 
se multilica por el valor fuera del parantesis y se coloca el signo contrario. 
Paso 5 
Se escribe el binomio. 
Se elimina el valor de 𝑎𝑥. Todo lo que esta dentro del parentesisi se le saca la raiz cuadrada, 
para simplifar el binomio de la siguiente forma: 
4 (𝑥 + 1)2 − 5 
Que es lo mismo que: 
𝑦 = 𝑎 ( 𝑥 − ℎ)2 + 𝑘 
 
Para sacar los vectores de nuestra parabola, se toman los siguientes datos: 
• El valor h, con el signo contrario al de la formula original 
• El valor de k, se pasa con el mismo signo 
En este caso: 
V (-1 , -5) 
 
 
 
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Página 34 
 
Ejercicio 
Precio de la habitación. 
Actualmente al precio de $1,000 pesos se rentan 100 habitaciones. Se desea incrementar en 
$500 cada habitación. Se sabe que por cada incremento del mismo valor se dejan de rentar 10 
habitaciones. 
Ingreso minimo 
Y = (Precio)*(Cantidad de habitaciones) 
Y = (1000 + 500 x) (100 – 10x) 
𝑌 = (100000 − 10000𝑥 + 50000𝑥 − 50002) 
Se agrupan 
−5000𝑥2 + 40000𝑥 + 100000 
𝑦 = (−5000𝑥2 + 40000𝑥) + 100000 
𝑦 = −5000(𝑥2 − 8𝑥) + 100000 
𝑦 = −5000(𝑥2 − 8𝑥 + 16) + 100000 + 80000 
𝑦 = −5000(𝑥 − 4)2 + 180000 
v (4, 180000) 
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5
 
 
 
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Página 35 
 
Ejercicios 
1) 
𝑌 = −4𝑥2 + 8𝑥 − 2 
𝑦 = −4 (𝑥2 + 8𝑥) − 2 
𝑦 = −4 (𝑥2 − 2𝑥 + 1) − 2 + 4 
𝑦 = −4(𝑥 − 1)2 + 2 
v (1 , 2) 
 
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5
 
 
 
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Página 36 
 
Despejar x 
−4(𝑥 − 1)2 − 2 
(𝑥 − 1)2 = √
1
2
 
𝑥 − 1 = ±√
1
2
 
𝑥 = ±
1
√2
+ 1 
𝑥1 =
1
√2
+ 1 =1.7 
𝑥2 =
1
√2
+ 1 =1.3 
 
Ejercicio 2 
𝑌 = 6𝑥2 + 12𝑥 − 3 
𝑦 = 6 (𝑥2 + 2𝑥) − 3 
𝑦 = 6(𝑥2 − 2𝑥 + 1) − 3 − 6 
𝑦 = 6(𝑥 + 1)2 − 9 
v (-1 , -9) 
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5
 
 
 
E s t a d í s t i c a s 
 
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Despejar x 
6(𝑥 + 1)2 − 2 
(𝑥 + 1)2 = √
9
6
 
𝑥 + 1 = ±√
9
6
 
𝑥 = ±
9
√6
− 1 
𝑥1 =
9
√6
− 1 =0.22 
𝑥2 =
9
√6
+ 1 =-2-22 
 
 
Ejercicio 
4) Si se disminuye el precio en 20 pesos, se incrementa la venta de acciones en 50. Cual es el 
precio de la acción que maximiza el ingreso. 
I = (100 – 20x) (800 + 50x) 
Precio * Cantidad 
I = 80000 + 5000X -16000x – 1000x2 
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5
 
 
 
E s t a d í s t i c a s 
 
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=-1000 x2 – 11000x + 80000 
=-1000 (x2 + 5.5 + 30.25) + 80000+30250 
= −1000(𝑥 + 5.5)2 + 110250 
V ( -5.5 , 110250) 
(100 – (20 (-5.5))) (800 + (50 (-5.5))) 
= 210 1075 
 
 
Ejercicio 
5) Si se siembran 20 arboles. Cada uno produce 1000 naranjas y por cada arbol adicional se 
dejan de cosechar 20 naranjas. Definir el numero de arboles 
I = (1000 – 20x) (20 + x) 
Naranjas * arboles 
I = 20000 – 400x + 1000x – 20x2 
=-20x2 +1600x + 20000 
=-20 (x2 - 15x + 225) + 20000 + 4500 
= −20(𝑥 − 15)2 +24500 
V ( 15 , 24500) 
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5
 
 
 
E s t a d í s t i c a s 
 
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(100 – (20 (15))) (20 + 15) 
= 700 35 
 
 
Cadenas de Markov 
Matriz de probabilidad: Es un arreglo cuadrado donde los elementos toman valores entre 0 y 1. La 
suma deberá ser siempre 1 
0.5 0.5
0.3 0.0
 
El producto de dos matrices de probabilidad es una matriz de probabilidad. 
(
0.5 0.5
0.3 0.7
) (
1 0
0.8 0.2
) 
Matriz regular, algunas de las potencias T1, T2, T3 no contiene ceros como elementos. 
 
 
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5