Aplicaciones de la derivada - Erick Noguéz Vera

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TRAZADO DE GRAFICOS.
Recordemos que si f : (a.b) → R es dos veces derivable en (a, b), entonces
1. Si f ′(x) ≥ 0 en (a, b), entonces f es creciente en (a, b).
2. Si f ′(x) ≤ 0 en (a, b), entonces f es decreciente en (a, b).
3. Si f ′′(x) ≥ 0 en (a, b), entonces f es convexa, o ∪, en (a, b).
4. Si f ′′(x) ≤ 0 en (a, b), entonces f es concava, o ∩, en (a, b).
Lo anterior es de gran ayuda para trazar el gráfico de funciones como
veremos en los ejemplos a continuación.
Ejemplo:
Trazar el gráfico de
y = x4 − 4x3 + 4x2 + 1.
Solución:
Tenemos
y′ = 4x(x− 1)(x− 2)
y también
y′′ = 4(3x2 − 6x + 2) = .
Observamos que las raices de y′, que es donde la derivada puede cambiar
de signo, son 0, 1 y 2 las raices de y′′ son los números
p = 1− 1√
3
y q = 1 +
1√
3
.
Podemos resumir ahora esta información en un tabla como la siguiente.
x p 0 1 q 2
y’ negativa negativa 0 positiva 0 negativa negativa 0 positiva
y” positiva 0 negativa negativa negativa 0 positiva positiva
y decreciente decreciente 1 creciente 2 decreciente decreciente 1 creciente
convexa concava concava concava convexa convexa
1
Con esta información, que incluye el hecho que y(0) = 1, y(1) = 2 y
y(2) = 1, podemos bosquejar el gráfico de y(x).
y=x^4–4x^3+4x^2+1
0
1
2
3
4
5
6
y
–1 1 2 3x
Definición:
Un punto donde la convexidad cambia de sentido se llama un punto de
inflexión. Por ejemplo en el gráfico precedente los puntos (p, f(p)) y (q, f(q))
son puntos de inflexión del gráfico de f .
Aśıntotas.
Aśıntotas en un punto finito o aśıntotas verticales:
Sea a ∈ R, δ > 0 y f : (a− δ, a) → R continua. Se dice que la recta x = a
es una aśıntota al gráfico de f(x) en x = a si
lim
x→a−
|f(x)| = ∞.
Analogamente si f : (a, a + δ) → R es continua. Se dice que la recta x = a
es una aśıntota al gráfico de f(x) en x = a si
lim
x→a+
|f(x)| = ∞.
2
Ejemplo:
1. La recta de ecuación x = 3 es una aśıntota vertical al gráfico de f(x) =
x2+x+|
x−3 en el punto x = 3. GRAFIQUE!!
2. La recta de ecuación x = 2 es una aśıntota vertical al gráfico de f(x) =
1
x2−4 en el punto x = 2 y la recta de ecuación x = −2 es una aśıntota
vertical al gráfico de f(x) = 1
x2−4 en el punto x = −2. GRAFIQUE!!
Aśıntotas en infinito:
Sea f : (A,∞) → R continua. La recta de ecuación
y = mx + b
se dice una aśıntota al gráfico de f en ∞ si
lim
x→∞
|f(x)−mx− b| = 0.
En el caso de existir la aśıntota es fácil determinar los coeficientes m y b
de la recta.
Se tiene
0 = lim
x→∞
f(x)−mx− b
x
= lim
x→∞
(
f(x)
x
−m),
aśı
m = lim
x→∞
f(x)
x
.
Ahora, una vez calculado m, podemos calcular b como
b = lim
x→∞
(f(x)−mx).
Ejemplo:
Compruebe que la recta de ecuación y = x − 3 es aśıntota al gráfico de
f(x) = x
2+2x+1
x+5
en ∞. Ver Fig. 1.
3
Asintota
y=x–3
f(x)=(x^2+2*x+1)/(x+5)
0
10
20
30
40
50
y
5 10 15 20 25 30x
Fig. 1
Como ejercicio defina aśıntota en −∞ y grafique, incluyendo todas las
aśıntotas, la función
f(x) =
x2 + x + 1
x− 3 .
Haga ejercicios de la gúıa.
MAXIMOS y MINIMOS.
Para una función f se dice que f alcanza su máximo absoluto en su dominio
en un punto x0 ∈ Dom(f) si
f(x) ≤ f(x0) para todo x en el dominio de f.
De manera análoga se dice que f alcanza su mı́nimo absoluto en su dominio
en un punto x0 ∈ Dom(f) si
f(x) ≥ f(x0) para todo x en el dominio de f.
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Para una función f se dice que f alcanza un máximo relativo en su dominio
en el punto x0 ∈ Dom(f) si existe δ > 0 tal que
f(x) ≤ f(x0) para todo x ∈ Dom(f) ∩ (x0 − δ, x0 + δ).
De manera análoga se dice que f alcanza un mı́nimo relativo en su dominio
en el punto x0 ∈ Dom(f) si existe δ > 0 tal que
f(x) ≥ f(x0) para todo x ∈ Dom(f) ∩ (x0 − δ, x0 + δ).
Con esta definición los máximos absolutos son también máximos relativos
y lo mismo sucede con los mı́nimos. Además nos referiremos a los máximos y
los mı́nimos como los valores extremos de la función.
Observación:
Es inmediato que si la función f alcanza un máximo o un mı́nimo en un
punto x0 y f es derivable en un intervalo centrado en x0, entonces
f ′(x0) = 0.
Ejemplo:
Encontrar los valores extremos en (−∞,∞) de la función
f(x) = x4 − 4x3 + 4x2 + 1.
Solución:
Tenemos
f ′(x) = 4x(x− 1)(x− 2).
Como la función es derivable en todo R los candidatos a darnos valores
extremos son las raices de la derivada x = 0, x = 1 y x = 2.
Evaluando tenemos f(0) = 1, f(1) = 2 y f(2) = 1.
Como además lim
x→−∞
f(x) = ∞ y lim
x→∞
f(x) = ∞ tenemos que f alcanza
un mı́nimo absoluto en los puntos x = 0 y x = 2 y el valor de este
mı́nimo es 1 y por otra parte f alcanza un máximo relativo en el punto
x = 1 y el valor de este máximo relativo es 2.
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Ejemplo:
Encontrar los máximos y mı́nimos en [−1, 1] de la función
f(x) = x4 − 4x3 + 4x2 + 1.
Solución:
Tenemos
f ′(x) = 4x(x− 1)(x− 2).
Como la función es derivable en todo (−1, 1) los candidatos a darnos valores
extremos son las raices de la derivada que están en (−1, 1), es decir x = 0.
Sabemos que f(0) = 1. De un teorema sobre funciones continuas sabemos
que f alcanza por lo menos un máximo y un mı́nimo en el intervalo [−1, 1]
y tenemos un solo candidato. Donde están los otros? La respuesta es en los
bordes del intervalo. En otras palabras nuestros candidatos son x = 0, x = −1
y x = 1. Para decidir cuales dan máximo y mı́nimo evaluamos la función en
estos candidatos y vemos cual nos dá el mayor valor y cual nos dá el menor
valor. Ver figura abajo.
y=x^4–4x^3+4x^2+1
min
max
0
2
4
6
8
y
–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1x
Ejemplo:
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Encontrar los máximos y mı́nimos en [−1, 1] de la función
f(x) = 1− |x|.
Solución:
La función es derivable en (−1, 1) salvo en el punto x = 0. Se tiene f ′(x) =
1 si x ∈ (−1, 0) y f ′(x) = −1 si x ∈ (0, 1), aśı no hay candidatos en dicha
región. Además en los bordes del dominio tenemos f(−1) = f(1) = 0.
De un teorema sobre funciones continuas sabemos que f alcanza por lo
menos un máximo y un mı́nimo en el intervalo [−1, 1] y tenemos solo candidatos
a mı́nimo ya que la función es positiva. Donde está el máximo? La respuesta
es en el punto donde f no es derivable. En otras palabras nuestros candidatos
son x = 0, x = −1 y x = 1. Para decidir cuales dan máximo y mı́nimo
evaluamos la función en estos candidatos y vemos cual nos dá el mayor valor
y cual nos dá el menor valor. Ver figura abajo.
max
minmin
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y
–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1x
En resumen:
Para encontrar los candidatos a dar los valores extremos de una función f
en algún dominio se procede mas o menos como sigue:
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1. Buscar en el interior del dominio y donde f es derivable los puntos donde
f ′ se anula.
2. Agregar los puntos del borde del dominio. Esto incluye el estudio de
ĺımites en algunos casos, por ejemplo si el dominio es todo R.
3. Agregar también los puntos donde f no es derivable.
Criterio de las segundas derivadas.
Para decidir si un punto cŕıtico x0, es decir un punto donde f
′(x0) a veces
es útil el siguiente criterio que no demostraremos en este momento.
Criterio: (de las segundas derivadas.)
Sea f : (a, b) → R dos veces derivable y tal que f ′′ es continua en (a, b).
Sea x0 ∈ (a, b) un punto cŕıtico de f , es decir
f ′(x0) = 0.
1. Si f ′′(x0) > 0, entonces f alcanza un mı́nimo relativo en x = x0.
2. Si f ′′(x0) < 0, entonces f alcanza un máximo relativo en x = x0.
3. Si f ′′(x0) = 0, entonces no se puede decir nada sobre el tipo de punto
cŕıtico como lo demuestra el ejemplo que sigue.
Ejemplo:
Considere las funciones f(x) = x3, g(x) = x4 y h(x) = −x4. Observamos
que f ′(0) = g′(0) = h′(0) = 0 y que f ′′(0) = g′′(0) = h′′(0) = 0. Sin embargo
f tiene un punto de inflexión en x = 0, g tiene un mı́nimo en x = 0 y h tiene
un máximo en x = 0. Vemos aśı que el criterio de segundas deivadas no dá
información alguna si la segunda derivada se anula en el punto cŕıtico.
Ejercicio:
Encontrar las dimensiones de un tarro de forma de un cilindro circular
tapado en ambos lados que debe tenerun volumen fijo V , de modo la cantidad
de lata para construirlo sea mı́nima.
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Solución:
Denotemos por r el radio de la base y por h la altura. La cantidad a
minimizar en términos de las variables r y h es el área del cilindro, es decir
A = 2πr2 + 2πrh.
Las variables r y h no son independientes sino que están ligadas ya que el
volumen debe ser V , es decir
V = πr2h.
Despejando h = V
πr2
en esta última ecuación y substituyendo en la primera
podemos expresar la cantidad a minimizar en términos de la variable r. Esto
es debemos minimizar
A(r) = 2πr2 +
2V
r
en el intervalo (0,∞).
Derivando la función A(r) obtenemos
A′(r) = 4πr − 2V
r2
.
Resolviendo la ecuación A′(r) = 0 obtenemos
r = (
V
2π
)
1
3 .
Este es el único candidato en el interior del intevalo. Como lim
r→∞
A(r) = ∞ y
lim
r→0+
A(r) = ∞ se debe tener que este candidato dá un mı́nimo.
De este modo el mı́nimo se alcanza cuando r = ( V
2π
)
1
3 . Veamos cual es el
correspondiente valor de h. Substituyendo el valor de r que produce el mı́nimo
en la fórmula para h se obtiene
h = 2(
V
2π
)
1
3 .
Es decir h = 2r. Esto nos dice que el tarro de volumen V con menor área
superficial es tal que la altura es igual al diámetro de la base. Vaya a la cocina
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de su casa y tome un tarro de Nescafé, mida su altura y el diámetro de su
base. Que pasa?
Haga mas ejercicios de la gúıa.
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