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TRAZADO DE GRAFICOS. Recordemos que si f : (a.b) → R es dos veces derivable en (a, b), entonces 1. Si f ′(x) ≥ 0 en (a, b), entonces f es creciente en (a, b). 2. Si f ′(x) ≤ 0 en (a, b), entonces f es decreciente en (a, b). 3. Si f ′′(x) ≥ 0 en (a, b), entonces f es convexa, o ∪, en (a, b). 4. Si f ′′(x) ≤ 0 en (a, b), entonces f es concava, o ∩, en (a, b). Lo anterior es de gran ayuda para trazar el gráfico de funciones como veremos en los ejemplos a continuación. Ejemplo: Trazar el gráfico de y = x4 − 4x3 + 4x2 + 1. Solución: Tenemos y′ = 4x(x− 1)(x− 2) y también y′′ = 4(3x2 − 6x + 2) = . Observamos que las raices de y′, que es donde la derivada puede cambiar de signo, son 0, 1 y 2 las raices de y′′ son los números p = 1− 1√ 3 y q = 1 + 1√ 3 . Podemos resumir ahora esta información en un tabla como la siguiente. x p 0 1 q 2 y’ negativa negativa 0 positiva 0 negativa negativa 0 positiva y” positiva 0 negativa negativa negativa 0 positiva positiva y decreciente decreciente 1 creciente 2 decreciente decreciente 1 creciente convexa concava concava concava convexa convexa 1 Con esta información, que incluye el hecho que y(0) = 1, y(1) = 2 y y(2) = 1, podemos bosquejar el gráfico de y(x). y=x^4–4x^3+4x^2+1 0 1 2 3 4 5 6 y –1 1 2 3x Definición: Un punto donde la convexidad cambia de sentido se llama un punto de inflexión. Por ejemplo en el gráfico precedente los puntos (p, f(p)) y (q, f(q)) son puntos de inflexión del gráfico de f . Aśıntotas. Aśıntotas en un punto finito o aśıntotas verticales: Sea a ∈ R, δ > 0 y f : (a− δ, a) → R continua. Se dice que la recta x = a es una aśıntota al gráfico de f(x) en x = a si lim x→a− |f(x)| = ∞. Analogamente si f : (a, a + δ) → R es continua. Se dice que la recta x = a es una aśıntota al gráfico de f(x) en x = a si lim x→a+ |f(x)| = ∞. 2 Ejemplo: 1. La recta de ecuación x = 3 es una aśıntota vertical al gráfico de f(x) = x2+x+| x−3 en el punto x = 3. GRAFIQUE!! 2. La recta de ecuación x = 2 es una aśıntota vertical al gráfico de f(x) = 1 x2−4 en el punto x = 2 y la recta de ecuación x = −2 es una aśıntota vertical al gráfico de f(x) = 1 x2−4 en el punto x = −2. GRAFIQUE!! Aśıntotas en infinito: Sea f : (A,∞) → R continua. La recta de ecuación y = mx + b se dice una aśıntota al gráfico de f en ∞ si lim x→∞ |f(x)−mx− b| = 0. En el caso de existir la aśıntota es fácil determinar los coeficientes m y b de la recta. Se tiene 0 = lim x→∞ f(x)−mx− b x = lim x→∞ ( f(x) x −m), aśı m = lim x→∞ f(x) x . Ahora, una vez calculado m, podemos calcular b como b = lim x→∞ (f(x)−mx). Ejemplo: Compruebe que la recta de ecuación y = x − 3 es aśıntota al gráfico de f(x) = x 2+2x+1 x+5 en ∞. Ver Fig. 1. 3 Asintota y=x–3 f(x)=(x^2+2*x+1)/(x+5) 0 10 20 30 40 50 y 5 10 15 20 25 30x Fig. 1 Como ejercicio defina aśıntota en −∞ y grafique, incluyendo todas las aśıntotas, la función f(x) = x2 + x + 1 x− 3 . Haga ejercicios de la gúıa. MAXIMOS y MINIMOS. Para una función f se dice que f alcanza su máximo absoluto en su dominio en un punto x0 ∈ Dom(f) si f(x) ≤ f(x0) para todo x en el dominio de f. De manera análoga se dice que f alcanza su mı́nimo absoluto en su dominio en un punto x0 ∈ Dom(f) si f(x) ≥ f(x0) para todo x en el dominio de f. 4 Para una función f se dice que f alcanza un máximo relativo en su dominio en el punto x0 ∈ Dom(f) si existe δ > 0 tal que f(x) ≤ f(x0) para todo x ∈ Dom(f) ∩ (x0 − δ, x0 + δ). De manera análoga se dice que f alcanza un mı́nimo relativo en su dominio en el punto x0 ∈ Dom(f) si existe δ > 0 tal que f(x) ≥ f(x0) para todo x ∈ Dom(f) ∩ (x0 − δ, x0 + δ). Con esta definición los máximos absolutos son también máximos relativos y lo mismo sucede con los mı́nimos. Además nos referiremos a los máximos y los mı́nimos como los valores extremos de la función. Observación: Es inmediato que si la función f alcanza un máximo o un mı́nimo en un punto x0 y f es derivable en un intervalo centrado en x0, entonces f ′(x0) = 0. Ejemplo: Encontrar los valores extremos en (−∞,∞) de la función f(x) = x4 − 4x3 + 4x2 + 1. Solución: Tenemos f ′(x) = 4x(x− 1)(x− 2). Como la función es derivable en todo R los candidatos a darnos valores extremos son las raices de la derivada x = 0, x = 1 y x = 2. Evaluando tenemos f(0) = 1, f(1) = 2 y f(2) = 1. Como además lim x→−∞ f(x) = ∞ y lim x→∞ f(x) = ∞ tenemos que f alcanza un mı́nimo absoluto en los puntos x = 0 y x = 2 y el valor de este mı́nimo es 1 y por otra parte f alcanza un máximo relativo en el punto x = 1 y el valor de este máximo relativo es 2. 5 Ejemplo: Encontrar los máximos y mı́nimos en [−1, 1] de la función f(x) = x4 − 4x3 + 4x2 + 1. Solución: Tenemos f ′(x) = 4x(x− 1)(x− 2). Como la función es derivable en todo (−1, 1) los candidatos a darnos valores extremos son las raices de la derivada que están en (−1, 1), es decir x = 0. Sabemos que f(0) = 1. De un teorema sobre funciones continuas sabemos que f alcanza por lo menos un máximo y un mı́nimo en el intervalo [−1, 1] y tenemos un solo candidato. Donde están los otros? La respuesta es en los bordes del intervalo. En otras palabras nuestros candidatos son x = 0, x = −1 y x = 1. Para decidir cuales dan máximo y mı́nimo evaluamos la función en estos candidatos y vemos cual nos dá el mayor valor y cual nos dá el menor valor. Ver figura abajo. y=x^4–4x^3+4x^2+1 min max 0 2 4 6 8 y –1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1x Ejemplo: 6 Encontrar los máximos y mı́nimos en [−1, 1] de la función f(x) = 1− |x|. Solución: La función es derivable en (−1, 1) salvo en el punto x = 0. Se tiene f ′(x) = 1 si x ∈ (−1, 0) y f ′(x) = −1 si x ∈ (0, 1), aśı no hay candidatos en dicha región. Además en los bordes del dominio tenemos f(−1) = f(1) = 0. De un teorema sobre funciones continuas sabemos que f alcanza por lo menos un máximo y un mı́nimo en el intervalo [−1, 1] y tenemos solo candidatos a mı́nimo ya que la función es positiva. Donde está el máximo? La respuesta es en el punto donde f no es derivable. En otras palabras nuestros candidatos son x = 0, x = −1 y x = 1. Para decidir cuales dan máximo y mı́nimo evaluamos la función en estos candidatos y vemos cual nos dá el mayor valor y cual nos dá el menor valor. Ver figura abajo. max minmin 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 y –1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1x En resumen: Para encontrar los candidatos a dar los valores extremos de una función f en algún dominio se procede mas o menos como sigue: 7 1. Buscar en el interior del dominio y donde f es derivable los puntos donde f ′ se anula. 2. Agregar los puntos del borde del dominio. Esto incluye el estudio de ĺımites en algunos casos, por ejemplo si el dominio es todo R. 3. Agregar también los puntos donde f no es derivable. Criterio de las segundas derivadas. Para decidir si un punto cŕıtico x0, es decir un punto donde f ′(x0) a veces es útil el siguiente criterio que no demostraremos en este momento. Criterio: (de las segundas derivadas.) Sea f : (a, b) → R dos veces derivable y tal que f ′′ es continua en (a, b). Sea x0 ∈ (a, b) un punto cŕıtico de f , es decir f ′(x0) = 0. 1. Si f ′′(x0) > 0, entonces f alcanza un mı́nimo relativo en x = x0. 2. Si f ′′(x0) < 0, entonces f alcanza un máximo relativo en x = x0. 3. Si f ′′(x0) = 0, entonces no se puede decir nada sobre el tipo de punto cŕıtico como lo demuestra el ejemplo que sigue. Ejemplo: Considere las funciones f(x) = x3, g(x) = x4 y h(x) = −x4. Observamos que f ′(0) = g′(0) = h′(0) = 0 y que f ′′(0) = g′′(0) = h′′(0) = 0. Sin embargo f tiene un punto de inflexión en x = 0, g tiene un mı́nimo en x = 0 y h tiene un máximo en x = 0. Vemos aśı que el criterio de segundas deivadas no dá información alguna si la segunda derivada se anula en el punto cŕıtico. Ejercicio: Encontrar las dimensiones de un tarro de forma de un cilindro circular tapado en ambos lados que debe tenerun volumen fijo V , de modo la cantidad de lata para construirlo sea mı́nima. 8 Solución: Denotemos por r el radio de la base y por h la altura. La cantidad a minimizar en términos de las variables r y h es el área del cilindro, es decir A = 2πr2 + 2πrh. Las variables r y h no son independientes sino que están ligadas ya que el volumen debe ser V , es decir V = πr2h. Despejando h = V πr2 en esta última ecuación y substituyendo en la primera podemos expresar la cantidad a minimizar en términos de la variable r. Esto es debemos minimizar A(r) = 2πr2 + 2V r en el intervalo (0,∞). Derivando la función A(r) obtenemos A′(r) = 4πr − 2V r2 . Resolviendo la ecuación A′(r) = 0 obtenemos r = ( V 2π ) 1 3 . Este es el único candidato en el interior del intevalo. Como lim r→∞ A(r) = ∞ y lim r→0+ A(r) = ∞ se debe tener que este candidato dá un mı́nimo. De este modo el mı́nimo se alcanza cuando r = ( V 2π ) 1 3 . Veamos cual es el correspondiente valor de h. Substituyendo el valor de r que produce el mı́nimo en la fórmula para h se obtiene h = 2( V 2π ) 1 3 . Es decir h = 2r. Esto nos dice que el tarro de volumen V con menor área superficial es tal que la altura es igual al diámetro de la base. Vaya a la cocina 9 de su casa y tome un tarro de Nescafé, mida su altura y el diámetro de su base. Que pasa? Haga mas ejercicios de la gúıa. 10
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