8 - Aritmética - Laura Blanco Carmona (1)

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ARITMÉTICA
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Ciclo Anual UNI
Docente: Ramiro Díaz
II
REFORZAMIENTO 
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A
Objetivos 
• Reforzar y afianzar los
conocimientos de los temas
de Promedios, Magnitudes
y Tanto por ciento.
• Realizar problemas tipo de
mayor incidencia de los
temas tratados en examen
de admisión.
MULTIPLICADOR DE POTENCIA
PROMEDIOS 
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A
Promedio
MA =
𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 +⋯+ 𝑎𝑛
n
MG = 𝑛 𝑎1𝑥𝑎2𝑥𝑎3.𝑥… 𝑥𝑎𝑛
MA =
𝑛
1
𝑎1
+
1
𝑎2
+
1
𝑎3
+⋯+
1
𝑎𝑛
𝑎1 ≤ 𝑎2 ≤ 𝑎3 ≤ ⋯ ≤ 𝑎𝑛
Sean:
Los más usuales
• Si los datos son iguales.
MA = MG = MH = DATO
• Si no todos los datos son iguales.
MA > MG > MH
P
ar
a 
d
o
s 
d
at
o
s 
a 
y 
b
MA =
𝑎 + 𝑏
2
MG = ab
MH =
2
1
𝑎 +
1
𝑏
=
2𝑎𝑏
𝑎 + 𝑏
MG2 = MA.MH
(a − b)2= 4( MA2 −MG2)
Aplicación
Determine dos números cuya MA es 18,5 y MG es 17,5. De como respuesta 
la diferencia de cuadrados de dichos números.
Resolución: Sean los números a y b Piden:𝑎2 − 𝑏2
Sabemos: (a − b)2= 4(MA+MG)(MA −MG)
Reemplazando:
(a − b)2= 4(18,5 + 17,5)(18,5 − 17,5) 𝑎 − 𝑏 = 12
Como: MA =18,5 𝑎 + 𝑏 = 37
Finalmente 𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)=37× 12 = 444
∴ 𝑎2 − 𝑏2=444
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A
Aplicación
Se sabe que la MG de tres números impares
consecutivos es 16,921… Calcule la MH del
mayor y menor de los números.
Resolución 
Piden la MH del mayor y menor de los números
Sabemos:
𝑥 − 2 𝑥 + 2
números impares consecutivos
𝑥
MA
MG = 16,921…
𝟏𝟕𝟏𝟓 𝟏𝟗
Nos piden: MH(15;19)
Menor y mayor 
dato
MH =
2
1
15
+
1
19
∴ MH = 16,765
Luego
PROMEDIO PONDERADO
Donde
P. P =
𝑤1. 𝑥1 + 𝑤2. 𝑥2 +⋯+𝑤𝑛. 𝑥𝑛
𝑤1 + 𝑤2+⋯𝑤𝑛
Siendo: “n” datos P. P: Promedio Ponderado
wi: peso del datoxi: valor del dato
Aplicación
Si las notas obtenidas por un estudiante en su primer ciclo en la universidad, es como se
muestran en la tabla , calcule el promedio ponderado del estudiante.
Curso Nota Crédito
Matematica Básica I 17 4
Cálculo I 14 3
Física General 11 3
Ingles I 16 2
Resolución: P. P =
17 4 + 14 3 + 11 3 + 16(2)
4 + 3 + 3 + 2
P. P =14.58෠3
∴ El promedio ponderado del estudiante será 14.58෡𝟑
𝐌𝐀 > 𝐌𝐆 > 𝐌𝐇
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VELOCIDAD PROMEDIO ( 𝑽𝒑𝒓𝒐𝒎)
Vprom =
distancia total recorrida
tiempo total empleado
Aplicación
En una carrera automovilística cada vuelta al circuito de
forma cuadrada fue realizado por Ayrton con
velocidades de 2; 6; 12; 20; …; 380 km/h . Calcule la
velocidad promedio que aplicó Ayrton en dicha
competencia.
Resolución:
𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎 𝑞𝑢𝑒: 2 = 𝟏 ×2
6 = 𝟐 × 3
12 = 𝟑 ×4
…
380 = 𝟏𝟗 ×20
𝐻𝑎𝑦 19 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑜, 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑞𝑢𝑒
𝑙𝑎 𝑣 𝑝 𝑠𝑒𝑟á 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 𝑙𝑎 𝑴𝑯 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠:
𝑀𝐻 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 =
19
1
2
+
1
6
++
1
12
…
1
380
+
𝑀𝐻(𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠) =
19
1
1 × 2
+
1
2 × 3
+
1
3 × 4
+⋯+
1
19 × 20
𝑀𝐻(𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠) =
19
1
1
−
1
2
+
1
2
−
1
3
+
1
3
−
1
4
+⋯+
1
19
−
1
20
𝑀𝐻(𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠) =
10
1
4
−
1
14
19
= 20
1
1
−
1
20
=
19
7 − 2
28
20 − 1
20
=
19
5
28
19
20
∴ 𝐿𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐ó 𝐴𝑦𝑟𝑡ó𝑛 𝑒𝑠 𝟐𝟎 𝒌𝒎/𝒉
MAGNITUDES 
PROPORCIONALES 
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MAGNITUDES PROPORCIONALES
• Resultado de 
medir una 
magnitud
• Todo aquello 
que se puede 
medir
MAGNITUD CANTIDAD
Magnitudes 
IP
Magnitudes 
DP
𝑉𝐺𝑙𝑎𝑑𝑦𝑠 𝑇𝑒𝑗𝑒𝑑𝑎 = 16,8
𝑘𝑚
ℎ𝑟
A IP BA DP B
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝐴. 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝐵 = 𝑐𝑡𝑒
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝐴
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝐵
= 𝑐𝑡𝑒
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APLICACIÓN
Si los valores de A y B que se
presentan en la siguiente tabla
guardan cierta relación de
proporcionalidad, calcule x.
A 2 4 10 X
B 6 24 150 18
Resolución:
A 2 4 10 X
B 6 24 150 54
𝒙 𝟐
𝒙 𝟐𝟐
𝒙 5
𝒙 𝟓𝟐
Arriba por un número y 
abajo por el cuadrado del 
mismo
𝒙 𝟑𝟐Se observa
𝑥 = 2.3
∴ 𝑥 = 6
APLICACIÓN
La gráfica muestra la proporcionalidad entre las magnitudes A y B.
Halle a + b +n
A
3n
B
y
ax𝑎
2
b
600𝑢2
2n
Resolución:
Piden hallar el valor de a + b + n
Del gráfico:
𝑆𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 = 𝑥. 𝑦 = 600𝑢
2
Luego:
𝒙 . 𝒚 = 𝟑𝒏 .
𝒂
𝟐 = 𝟔𝟎𝟎= 𝒃 . 𝒂 .. (∝)
También:
𝒃
𝒂
=
𝟑𝒏
𝟐𝒏
𝒃
𝒂
=
𝟑
𝟐
𝒌
𝒌
… (𝛽)=
𝟑𝟎
𝟐𝟎
Reemplazando 𝛽 en 𝛼 𝒃 . 𝒂 = 𝟔𝟎𝟎
𝟑𝒌 . (𝟐𝒌) = 𝟔𝟎𝟎
𝒌𝟐 = 𝟏𝟎𝟎
𝒌 = 𝟏𝟎
𝟑𝒏 .
𝒂
𝟐
= 𝟔𝟎𝟎
𝟑𝒏 .
𝟐𝟎
𝟐
= 𝟔𝟎𝟎
𝒏 = 𝟐𝟎
∴ a+b+n =30+20+20 =70
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APLICACIONES DE LAS MAGNITUDES
RUEDAS ENGRANADAS
A
B
C
𝒏𝒗𝑨. 𝒏𝒅𝑨 = 𝒏𝒗𝑩. 𝒏𝒅𝑩= 𝒏𝒗𝑪. 𝒏𝒅𝒄
RUEDAS FIJAS A UN MISMO EJE
𝒏𝒗𝑨 = 𝒏𝒗𝑩
APLICACION
En el siguiente diagrama se cumple que en 6
minutos la diferencia del número de vueltas
que dan las ruedas A y D es 390
¿ cuántas vueltas dará C en 1 minuto?
Resolución: Piden nro de vueltas C en 1 minuto
Tener en cuenta: 𝒏𝒗𝑩 = 𝒏𝒗𝑪
Sea: x el número de vueltas de la rueda A en 6 minutos
z el número de vueltas de la rueda D en 6 minutos
y el número de vueltas de la rueda C en 6 minutos
y el número de vueltas de la rueda B en 6 minutos 
40𝑥 = 60𝑦
𝑥
𝑦
=
3
2
20𝑦 = 100𝑧 𝑦
𝑧
=
5
1
𝑥
𝑦
=
3
2
𝑦
𝑧
=
5
1× 5
× 2× 5
× 2
𝑦=10k
𝑥=15k
z=2k
Entre A y B Entre C y D
De lo anterior:
𝒚 se repite en ambas relaciones debemos homogenizar
Número de
vueltas en
6 minutos
Del dato: 15𝑘 − 2𝑘 = 390 𝑘 = 30
Luego: C habrá dado 
𝑦 = 10 30 = 300 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 (en 6 minutos)
En 1 minuto
300
6
= 50
∴ 𝐶 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑎𝑟á 𝟓𝟎 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠
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REPARTO PROPORCIONAL
APLICACIÓN
Heber desea repartir una gratificación de 7665 entre tres de sus
colaboradoras; en forma proporcional a la producción de
pantalones diarios y a su eficiencia de cada una, e inversamente
proporcional al número de faltas durante el último mes; según el
siguiente recuadro.
Colaboradora Número de 
faltas
Producción 
de 
Pantalones
Eficiencia
Andrea 5 40 2
Betty 3 50 1
Carmen 4 70 3
¿Cuánto le corresponde a Betty?
Resolución: Piden lo que le corresponde a Betty
Sean las partes:
Lo que recibe Andrea : A
Lo que recibe Betty : B
Lo que recibe Carmen :C
Donde:
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 7665
Planteando el reparto:
IP
Nro faltas
DP
5
3
4
A
B
C
1
5
1
3
1
4
DP
Nro
pantalones
40
50
70
DP
eficiencia
2
1
3
×
×
×
×
×
×
DP
16
50
3
105
2
MCM(3,2)=6
× 6
× 6
× 6
PARTES
96
100
315
k
k
k
=A
=B
=C
Del dato: 96𝑘 + 100𝑘 + 315𝑘 = 7665
511𝑘 = 7665
𝑘 = 15
Luego: B=100𝑘 = 100(15)
B=1500
∴Betty recibe 1500
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APLICACIÓN
Janet inicia un negocio con S/. 2 000, y al cabo de
6 meses, acepta a Jessica como socia, quien
aporta S/. 5 000. Dos meses después ingresa Ivon
al negocio con S/. 3 000. Si al cabo de un año se
reparten la utilidad y se observa que estas dos
últimas obtienen S/. 12 000 más que Janet, calcule
la utilidad total obtenida.
Resolución
Recordar:
1. 
𝐺
𝐶×𝑇
= 𝑐𝑡𝑒
REGLA DE COMPAÑIA
2. Trabajar con una línea de tiempo
Janet
S/. 2 000
6 meses
Jessica
S/. 5 000
2 meses
Ivón
S/. 3 000
4 meses
𝐺𝐽𝑒𝑠𝑠𝑖𝑐𝑎 + 𝐺𝐼𝑣ó𝑛 − 𝐺𝐽𝑎𝑛𝑒𝑡 = 12 000
𝐺𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 =?
1 año=12 meses
𝐺𝐽𝑎𝑛𝑒𝑡
2 × 12
=
𝐺𝐽𝑒𝑠𝑠𝑖𝑐𝑎
5 × 6
=
𝐺𝐼𝑣ó𝑛
3 × 4
𝐺𝐽𝑒𝑠𝑠𝑖𝑐𝑎
5
=
𝐺𝐼𝑣ó𝑛
2
=
𝐺𝐽𝑎𝑛𝑒𝑡
4
=
12 000
3
=4000
=
𝐺𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
11
𝐺𝐽𝑒𝑠𝑠𝑖𝑐𝑎 + 𝐺𝐼𝑣ó𝑛 − 𝐺𝐽𝑎𝑛𝑒𝑡 = 12 000
𝐺𝐽𝑒𝑠𝑠𝑖𝑐𝑎 + 𝐺𝐼𝑣ó𝑛 + 𝐺𝐽𝑎𝑛𝑒𝑡5 + 2 + 3
= 4000
∴ 𝐺𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 44000
Piden: Utilidad total= 𝐺𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
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MAGNITUDES QUE INTERVIENEN EN UNA OBRA
APLICACIÓN
Quince costureras se comprometen a confeccionar cierto
lote de mascarillas en 25 días trabajando 8 h/d; al cabo
del quinto día por motivo de la escasez de mascarillas, por
ser un medio de protección por el COVID 19; se les pidió
que entreguen el lote de mascarillas 5 días antes de lo
pactado, razón por la cual deciden trabajar 2h/d más por
cada día y contratar más costureras bajo las mismas
condiciones. ¿Cuántas costureras se contrataron?
Resolución:
Piden calcular el n° de costureras contratadas (𝑥):
… …
5 𝑑í𝑎𝑠
Se realizó Falta
20 𝑑í𝑎𝑠
Se tendrá que hacer 
en 15 días
Luego trabajando sólo con lo 
que falta
…
Lo harán:
15 𝑑í𝑎𝑠
(15 + 𝑥) 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑢𝑟𝑒𝑟𝑎𝑠 Trabajando 10 h/d
8 ℎ/𝑑8 ℎ/𝑑
Finalmente:
15.20.8 = 15 + 𝑥 . 15.10 → 𝑥 = 1
∴ 𝑆𝑒 𝑡𝑢𝑣𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑟 𝒖𝒏𝒂 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑢𝑟𝑒𝑟𝑎 𝑚á𝑠
25 días
Recordar:
𝑛𝑟𝑜 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑢𝑟𝑒𝑟𝑎𝑠 𝑥 𝑛𝑟𝑜 𝑑í𝑎𝑠 𝑥 𝑛𝑟𝑜 ൗℎ 𝑑 = 𝑐𝑡𝑒
TANTO POR CIENTO I
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Tanto por ciento 
Es el número de partes que se toman de una
cierta cantidad la cual se ha dividido en 100
partes iguales. Su notación es mediante el
símbolo %.
a% = 
a
100
Pese a que su operatividad es práctica, tiene varias
aplicaciones; en la actividad comercial, estadística,
medida de la inflación, demografía; etc.
Infectados por 
COVID 19, 
según sexo.
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Al resultado de aplicar el tanto por ciento a una cantidad se
le llama PORCENTAJE.
Ejemplo Calcule el 18% de IGV de un producto que se vende a 1200
18% (1200)= 216
tanto por ciento
cantidad
porcentaje
Tanto por ciento como fracción 
20% <>
1
5•
2
5
<>40%•
3
5
<>60%•
4
5
<>80%•
1
4
<>25%•
1
2
<>50%•
3
4
<>75%•
N<>100%N•
1
3
<>33,෠3%•
•
2
3
<>66,෠6%
𝑎𝑎, ො𝑎% =
𝑎
9•
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Tener en cuenta
¿ Qué tanto por ciento de a es b?
𝑏
𝑎
× 100%
Es
De
Aplicación
A una reunión asistieron 180 personas de las
cuales el 25% son varones; si en un
determinado momento se retira el 20% de las
mujeres. ¿Qué tanto por ciento de las
mujeres que quedan representan los
varones?
Resolución:
Piden que % de las mujeres que quedan
representan los varones
De los datos tenemos:
180 Nro de personas al inicio
25%
1
4
180 = 45
varones mujeres
135 Se retira 20%
1
5
135 = 27
10845 quedan
Piden Que % de 108 es 45
% =
45
108
× 100% = 41, ෠6%
∴ 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛 𝑒𝑙 41, ෠6% de las mujeres que quedan
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OPERACIONES CON TANTO POR CIENTO 
APLICADAS A UNA MISMA CANTIDAD
1. 𝑎% 𝑁 ± 𝑏% 𝑁 = 𝑎 ± 𝑏 %𝑁
2. 𝑁 ± 𝑎% 𝑁 = 100 ± 𝑎 %𝑁
3. 𝑎% 𝑏𝑁 = 𝑏%(𝑎𝑁)
Aplicación:
Iván invierte 1200 soles en un
negocio; si gana el 25% .¿Qué tanto
por ciento de lo que tenía al inicio
tendrá al final; y cuánto de dinero
tendrá ?
Resolución
Piden
a. Qué tanto por ciento de lo que tenia Iván tendrá al 
final
b. Cuánto dinero tendrá al final
Invierte:1200 Gana:20%
De la 
inversión
Luego:
Tendrá= (1200) + 20%(1200)100%
120% (1200)
a. Tendrá el 120% de lo que tenia al inicio
120%(1200) =1440
b. Tendrá 1440 de dinero al final
Aplicación:
Mijaíl gana 2500 soles al mes y sus gastos
mensuales ascienden al 82% y el resto lo
ahorra. ¿Qué tanto por ciento de lo que
gana ahorra mensualmente; y cuánto habrá
ahorrado al cabo de 8 meses?
Resolución
Piden
a. Qué tanto por ciento de lo que gana Mijail lo 
ahorra
b. Cuánto ahorra en 8 meses
Sueldo mensual:2500 Gasta:82%
De su 
sueldo 
mensual
Luego:
Ahorra= 2500 − 82%(2500)100%
18% (2500)
a. Ahorra el 18% de su sueldo
18%(2500) =450
Ahorro
mensual
b. En 8 meses ahorrara : 8(450)= 3600
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C U R S O D E A R I T M É T I C A
VARIACIÓN PORCENTUAL
Cuando se trata de círculos o cuadrados :
Ejemplo 1
¿En cuánto aumenta el área de un circulo si su radio
aumenta en 20%?
Solución:
10 u
inicio
20%(10)
+
12 u
<>
100%
100 𝜋 𝑢2
final
144𝜋 𝑢2
<>
144%
Se observa relación 
de 1 a 1
Aumenta 44%
∴ 𝐸𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡ó 𝑒𝑛 𝟒𝟒%
Área
Ejemplo 2
¿En cuánto disminuye el área de un cuadrado si su lado
disminuye en 30%?
Solución:
inicio
10 u
-
30%(10)
final
7 u
100𝑢2
<>
100%
Área49𝑢2
<>Se observa relación 
de 1 a 1
49%
Disminuye 51%
∴ 𝐸𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑚𝑖𝑛𝑢𝑦𝑒 𝑒𝑛 𝟓𝟏%
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C U R S O D E A R I T M É T I C A
En el caso de otra figura plana
Ejemplo 3
¿En que % aumenta el área de un rectángulo si su 
largo aumenta en un 25% y su ancho en un 20%?
Resolución Piden en que % aumenta el área
inicio final
L
+25%L
125%L
A
+20%A
120%A
Área inicial
AL
Área final
(120%A)(125%L)100%
Se sugiere 
dejar un %
Luego
inicio final
AL100% (
6
5
A)(125%L) =150%AL
Aumenta: 50%AL
∴ 𝐸𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡ó 𝑒𝑛 𝟓𝟎%
w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e