Clase 3 Matemáticas Financieras

Vista previa del material en texto

Matemáticas Financieras
Profesora: María Luisa Araya
Matemáticas Financieras
Permite la comparación de flujos de dinero, que tienen lugar en distintos momentos en el tiempo, para poder tomar la decisión adecuada.
Estudia el valor del dinero en el tiempo
Matemáticas Financieras
Si suponemos que no existe inflación.
Postergamos consumo presente a cambio de mayor consumo futuro, porque aumenta nuestro poder adquisitivo.
Matemáticas Financieras
Si le ofrecen recibir $850 hoy o $930 en un año más, y usted sabe que la tasa de mercado es de 10% anual (tasa a la cual usted podría tomar un depósito a plazo por un año). ¿Qué alternativa elegiría? Y ¿Por qué?, fundamente su respuesta.
Valor Tiempo del Dinero
El valor del dinero no es igual en cualquier momento del tiempo.
Para poder comparar sumas de dinero en distintos momentos del tiempo, se deben usar las herramientas de las matemáticas financieras, para ajustar las diferencias de valor producidas por el efecto del tiempo.
Una vez ajustados los flujos por el efecto del tiempo, siempre se preferirá el monto mayor.
Ajustar los flujos por el efecto del tiempo, equivale a que esos flujos ocurran en el mismo momento
Valor Tiempo del Dinero
Como regla general:
Ante distintas cantidades de dinero en un mismo momento del tiempo, siempre se preferirá recibir el monto mayor.
Ante una misma cantidad de dinero en distintos momentos del tiempo, siempre se preferirá recibir el dinero en el momento más cercano
Valor Tiempo del Dinero
Como llevar los flujos a distintos momentos del tiempo:
Con la tasa de interés.
Con la capitalización de intereses (VF)
O con el descuento (VA)
Base para el Cálculo de Intereses
La tasa de interés se expresa como un porcentaje por unidad de tiempo, el cual se aplica sobre una cantidad de dinero, Capital o Principal.
I = P * r
Los intereses dependen de la tasa de interés, el monto de capital sobre el que se aplica, la cantidad de tiempo y el tipo de interés (simple o compuesto)
Base para el Cálculo de Intereses
¿Cuál es el principal inicial necesario, para generar un interés de $50 en el plazo de 1 mes, si la tasa mensual es de 1%?
Valor Futuro (o Capitalización)
VF = es llevar flujos de dinero actuales a su equivalente en el futuro.
Es el valor alcanzado por un capital o principal invertido al final del período analizado. 
Es el valor en el futuro financieramente equivalente a una cantidad de dinero hoy.
Es decir, describe el proceso de crecimiento de una inversión a futuro a una tasa de interés y en un período dado.
VF = P + P*r = P (1+r)
Valor Futuro (o Capitalización)
El Valor Futuro depende de:
Tasa de Interés
Monto de capital inicial (P)
Cantidad de tiempo
Tipo de interés (simple o compuesto)
Interés Simple o Interés Compuesto
Interés simple: es aquel que no considera la reinversión de los interese ganados en períodos intermedios. (es decir no se capitalizan los intereses)
VF = P * (1 + [n * r])
Ra / 12 = Rm
Interés Simple o Interés Compuesto
Interés simple:
¿Cuál será el valor futuro dentro de 3 años más, de un depósito de $100, puesto a una tasa del 5% anual a interés simple?
¿Cuál es el VF de un capital inicial de $1.000, invertido durante 7 meses a una tasa de interés simple anual de 12%?
¿Cuál sería el VF si el plazo es 15 días?
Interés Simple o Interés Compuesto
Interés Compuesto: es aquel que considera la reinversión de los intereses obtenidos en períodos intermedios. Es decir, asume que los interese se van sumando al capital inicial, por lo que en períodos posteriores los interese van a devengar intereses sobre intereses.
VF = P * (1 + r)ⁿ
(1 + Ra) = (1+ Rm) ᶺ12
(1 + Ra) = (1+ Rt) ᶺ4
(1 + Ra) = (1+ Rs) ᶺ2
Interés Simple o Interés Compuesto
Interés Compuesto:
¿Cuál será el valor futuro dentro de 3 años más, de un depósito de $100, puesto a una tasa del 5% anual a interés compuesto?
¿Cuál es el VF de un capital inicial de $1.000, invertido durante 7 meses a una tasa de interés compuesta anual de 12%?
¿Cuál sería el VF si el plazo es 15 días?
Interés Simple o Interés Compuesto
En ambos casos lo importante:
Si n = años ; r% tiene que ser anual
Si n = meses; r% tiene que ser mensual
Si r = a 10% anual; cuál es la tasa mensual según el interés simple y según el interés compuesto.
¿Cuál es el valor futuro de $150.000, invertido durante 3 meses, a una tasa de interés simple de 15%anual?
Lo mismo pero interés compuesto?.
Valor Actual (o Descuento)
El valor actual de un único flujo, es el valor de hoy de un flujo a recibir en el futuro 
VA = _ VF__
 (1 + r)ⁿ
Alguien nos ofrece $5.000 dentro de 3 años, siempre y cuando le entreguemos el día de hoy una cantidad X, suponga una tasa del 10% anual. ¿Cuánto es el monto a entregar hoy?
Valor Actual (o Descuento)
EJERCICIO: (Calculando el tipo de interés i)
Determinar la tasa de interés aplicada a un capital de $25.000 que ha generado en tres años intereses totales por $6.500.
EJERCICIO: (Calculando el tiempo o plazo n)
Calcular el tiempo que ha estado invertido un capital de $35.000, si el monto producido fue $56.455 con un interés de 9 % anual
Valoración de Flujos Variables
Cuando los flujos son variados y ocurren en distintos momentos del tiempo, lo que hay que hacer es llevar cada flujo a un mismo momento en el tiempo y luego sumarlos.
Valoración de Flujos Variables
Calcule el valor actual del siguiente flujo de caja considerando una tasa de descuento de 15% anual:
Las anualidades
Una anualidad es un flujo de caja en el que los flujos de dinero son uniformes y los movimientos de dinero ocurren a un intervalo regular. (flujos iguales con ocurrencia periódica)
VA = __F__ * (1 - __ 1____ ) 
 r (1 + r)ˆn
Esta es la fórmula general para el Valor actual o Valor Presente de n flujos iguales, cada uno ocurriendo al final de cada período
Las anualidades
VA = F + __F__ * (1 - __ 1____ ) 
 r (1 + r)ˆ(n-1)
Esta es la fórmula general para el Valor actual o Valor Presente de n flujos iguales, cada uno ocurriendo al principio de cada período
Las anualidades
EJERCICIO: (Calculando el VA de una anualidad pospagable)
Tenemos una anualidad de $500 anual, durante cinco años vencidos (al final de cada período). Si la tasa de descuento es igual a 13% anual, ¿cuál es el VA de la anualidad?
EJERCICIO: (Calculando el VA de una anualidad prepagable)
El dueño de una PYME contrae una deuda para saldarla en cinco pagos iguales de $26.913 al inicio de cada año, con una tasa de interés de 45,6% anual. Calcular el valor actual de esta obligación.
Las anualidades
EJERCICIO: (La mejor elección)
Usted gana la lotería. Cuando va a cobrar, los ejecutivos de la lotería le proponen lo siguiente: cobrar hoy $500.000 ó $3.000 mensuales durante los próximos 25 años (mes vencido). ¿Qué elige Ud. Si sabe que la tasa de interés mensual es de 0,5%?
EJERCICIO: (Calculando la tasa de interés de una anualidad)
Una inversión de $120.000 hoy, debe producir beneficios anuales por un valor de $45.000 durante 5 años. Calcular la tasa de rendimiento de la inversión.
Cálculo de los Flujos Uniforme (cuota constante)
De la fórmula del VA de una anualidad podemos despejar el flujo constante de la anualidad para poder calcular cual sería la cuota constante que tendríamos que pagar durante ese período de tiempo.
F = VA * [ r * (1+r)ⁿ ]
 (1+r)ⁿ - 1
Cálculo de los Flujos Uniforme (cuota constante)
EJERCICIO: (calculando una cuota constante = anualidad)
El banco nos presta $500.000, pagadero en 36 cuotas mensuales, a una tasa de 1%mensual. ¿Cuánto es el valor de la cuota que le tendremos que pagar al banco todos los meses?
Valor Futuro de una anualidad
Al tratar el cálculo de las anualidades, determinábamos el valor de los flujos en valor actual o del momento cero.
El VF de dichos flujos en cualquier momento deltiempo, aplicando la fórmula de capitalización sería:
VFn = VA * (1+r)ˆn
VFn = __F__ * ((1 + r)ˆn - 1 )
 r
Este es el valor futuro en el período n de flujos iguales, ocurriendo el primero al final del primer período.
Valor Futuro de una anualidad
VFn = [ F + __F__ * (1 - 1 ) ] * (1 + r)ˆn
 r		 (1+r)ˆ(n-1)
Para flujos iguales, ocurriendo el primero al principio del primer período. 
Valor Futuro de una anualidad
Un banco que paga un interés del 10% anual sobre cuentas de ahorro nos anuncia que nuestro depósito inicial de $ 700 se ha acumulado hasta llegar a $ 1.650,56. ¿Cuánto tiempo ha permanecido ese depósito en el banco?
Nos venden una casa cuyo precio es $ 10.000, por la cual debemos pagar $ 2.000 al contado. El resto lo pagaremos en 15 cuotas anuales iguales. ¿Cuál será el valor de estas cuotas si la deuda devenga un interés de 8% anual?
Compramos otra casa, cuyo precio es $ 15.000, por la cual pagamos $ 3.000 al contado. El saldo insoluto devenga un interés del 6% anual y nuestra capacidad de pago es de cuotas de $ 1.000 por año. ¿Cuánto tiempo tardaremos en terminar de pagar la casa?
Perpetuidad
Es un flujo que ocurre periódicamente, sin plazo de término.
	VA = F_
 r
En esta perpetuidad, los flujos ocurren al final de cada período.
EJERCICIO: (Calculo del VA de un flujo a perpetuidad)
Usted comenzará a recibir en un año más $900.000, todos los años y de por vida. ¿Cuál es el valor presente de esos flujos, si usted sabe que la tasa de interés anual es de 8%? 
Perpetuidad
VA* = F * ( 1 )
 r (1 + r)ˆn
VA* es el valor presente de la perpetuidad que comienza a pagar en el mes n+1, donde F/r es el valor actual en el mes n de dicha perpetuidad (El cual tenemos que descontar para traerlo al tiempo 0)
Aplicaciones
EJERCICIO: (cálculo del VA con flujos que cambian)
Supongamos que nos ofrecen comprar un equipo de resonancia en las siguientes modalidades:
Precio contado = $1.000.000
Cuotas mensuales = 16 cuotas de $22.000, más 28 cuotas de $23.000, más 16 cuotas de $24.000
Si la tasa de interés mensual es de 1%. Si dispone del dinero, ¿le conviene pagar al contado o aceptar el financiamiento del proveedor?
¿Cómo cambiaría su decisión si el proveedor le ofrece bajar en 7.000 las primeras 16 cuotas y subir en 7.000 las últimas 16 cuotas?
Aplicaciones
EJERCICIO: (cálculo del VF con tasa variable)
El banco le ofrece la siguiente inversión: tomar un depósito a plazo a 10 años, por $1.000.000, con un solo pago al final (los intereses se capitalizan una vez al año), con una tasa de interés variable de 5% anual para los primeros 3 años; 7% anual para los siguientes 4 años y 9% para los últimos 3 años. ¿Cuál será el valor que usted recibirá al final de los 10 años?
Aplicaciones
EJERCICIO: (cálculo del VF con tasa variable)
El banco le ofrece otra inversión, con el mismo plazo y las mismas tasas de interés, pero en vez de invertir $1.000.000 hoy, debe invertir $150.000 al comienzo de cada año. ¿Cuál será el valor que usted recibirá al final de los 10 años?
Aplicaciones
EJERCICIO: (cálculo de un fondo)
Deseamos crear un fondo para nuestra vejez, depositando anualmente una cierta cantidad durante los próximos 25 años en una cuenta que nos da un interés del 8% anual. El monto que así acumulamos nos permitirá recibir una anualidad por los 25 años que siguen. ¿Cuál deberá ser nuestro depósito anual si queremos acumular una suma tal que nos permita efectuar retiros anuales de $ 50.000 durante 25 años?
	Nota: La cuenta paga un 8% de interés anual capitalizable anualmente, a lo 	largo de los 50 años que dura la operación total.
Aplicaciones
EJERCICIO: (La mejor elección)
A usted le ofrecen tres diferentes proyectos de inversión, pero debido a restricciones legales, solo puede elegir una. Sin embargo, todos estos proyectos, una vez terminada su duración, pueden ser repetidos en iguales condiciones.
La tasa de mercado para estos proyectos es del 8% anual. 
¿Qué alternativa le proporciona un mayor aumento de riqueza? Muestre cuanto es ese aumento de riqueza, con todos sus cálculos.
Alternativa 1: invertir hoy la suma de $10.000.000 y recibir dentro de diez años, un instrumento financiero que paga a perpetuidad la suma de $1.800.000 al final de cada año. Cuando reciba ese instrumento, puede venderlo a valor descontado, y reinvertir el monto inicial en un instrumento similar.
 
Alternativa 2: invertir hoy $10.000.000 para recibir al final de cada semestre, por 20 años, la suma de $440.000 y, adicional a eso, $8.000.000 al final del año 20.
 
Alternativa 3: entregar hoy un instrumento financiero cuyo valor de mercado es $10.000.000 y recibir a cambio, al final de cada 4 años, por 5 veces (hasta el final del año 20), la suma de $4.850.000.-
Flujos con Crecimiento
Esto ocurre cuando los flujos son crecientes en el tiempo a una tasa de crecimiento constante.
Tasa de crecimiento = g%
Flujos con Crecimiento
Ejercicio
Flujos que ocurren al final de cada año, el primer flujo es de 100 y crece a una tasa del 3% anual, por 5 años.
Si la tasa de interés es del 5%, ¿Cuál es el VP de esos flujos?
Tasa de interés implícita
Es la rentabilidad que se está obteniendo de una inversión o el costo o precio de un financiamiento
Esta se puede obtener de las fórmulas anteriores teniendo la información de todas las otras variables, por lo que la tasa está implícita en las otras
Tasa de interés implícita
Una compañía de seguros de vida ofrece pagarle la suma de $2.000.000 dentro de 60 meses, pero usted debe pagarle mensualmente a la compañía, durante 60 meses a partir de hoy, la suma de $25.000- ¿Qué tasa mensual implícita le está ofreciendo la compañía de seguros?
Le ofrecen comprar su televisor usado en $ 20.000 al contado o bien en $ 2.000 al contado y tres documentos de $ 7.000 cada uno pagadero cada tres meses. ¿Cuál es la tasa implícita del crédito?
Le ofrecen venderle un computador para su consulta en $ 600.000, pagadero a 3 meses, mediante cuotas iguales, sin interés. Si paga al contado le ofrecen un descuento de 10%. ¿Cuál es la tasa implícita?
Valor Presente Neto
VPN o VAN: determina la equivalencia en el tiempo 0 (cero) de los flujos de efectivos futuros que genera un proyecto y comparar esa equivalencia con el desembolso inicial.
VAN = - I.I0 + ∑ Ft__
 (1 + r)ˆt
El VPN o VAN es un método para evaluar proyectos de inversión a largo plazo.
Para maximizar la inversión, el VPN puede determinar si dicha inversión puede incrementar o reducir la riqueza del inversionista.
Valor Presente Neto
Cuando el VPN ˃ 0 se recomienda aceptar el proyecto (aumenta la riqueza del inversionista)
Cuando el VPN ˂ 0 se tiene que rechazar el proyecto (disminuye la riqueza del inversionista)
Cuando el VPN = 0 se está indiferente y la decisión se tomará considerando otros factores.
Valor Presente Neto
r = es la tasa de interés mínima que se le exige al proyecto o inversión (rentabilidad mínima) o representa el costo de oportunidad de la inversión (rentabilidad exigida).
Si el proyecto no tiene riesgo, se tomará como referencia la tasa de interés de renta fija
Valor Presente Neto
Ejercicio (VPN)
Calcular el VPN de un negocio de la empresa LA INVERTIDORA S.A., representado en una inversión de 1.000 millones de pesos que genera unos flujos de fondos estimados de 100, 400, 400, 500 y 100 millones de pesos correspondientemente en cada uno de los cinco años de vida del proyecto, con i* = 20% anual.
i* = tasa de descuento relevante, equivalente al costo de oportunidad.
Valor Presente Neto
EJERCICIO: (evaluación de proyecto)
Supongamos que en su clínica usted usa un equipo de resonancia magnética que tomó en arriendo, por el cual paga $25.000.000 mensuales. El equipo ha llegado al fin de su vida útil (33 años) y el proveedor debe renovarle el equipo, manteniendo lascondiciones del arriendo. Usted se enteró de una nueva tecnología que permite reparar el equipo, dejándolo como nuevo y alargando su vida útil por 3 años además y queda operando tan bien como uno nuevo. La reparación cuesta $300.000.000 y usted puede comprar el equipo viejo por $100.000.000. Si la tasa de interés mensual (o tasa de descuento mensual) es de 1%, ¿Cuánto valor agrega la decisión de reparar la máquina?
Valor Presente Neto
EJERCICIO: (elección de un financiamiento)
Volvamos al ejemplo de comprar el equipo de resonancia. Supongamos que se produce un alza en las tasas de interés de mercado y el banco ya no le puede ofrecer el financiamiento de $1.000.000 en 60 cuotas al 1% mensual. Las nuevas condiciones del banco son 60 cuotas de $23.000. Usted sabe que el banco le está cobrando la tasa de mercado. ¿Qué tasa mensual le está cobrando? 
Si el financiamiento del proveedor es 60 cuotas de 22.500. ¿Cuál de los dos financiamientos elegiría? ¿La del banco o la del proveedor?
Tasa Interna de Retorno (TIR)
TIR = aquella tasa que hace que el VPN o VAN de una decisión de inversión sea igual a 0.
VAN = - I.I0 + ∑ Ft__ = 0
 (1 + TIR)ˆt
Tasa Interna de Retorno (TIR)
Si la tasa de descuento (tr), representa el costo alternativo de destinar esos fondos para otro uso:
Si tr ˃ TIR , entonces VPN ˂ 0, por lo tanto no realizar esta inversión
Si tr ˂ TIR, entonces VPN ˃ 0, por lo tanto si realizo la inversión
Si tr = TIR, entonces VPN = 0, por lo tanto estoy indiferente.
Tasa Interna de Retorno (TIR)
EJERCICIO (TIR)
Calcular la TIR de un negocio de la empresa LA INVERTIDORA S.A., representado en una inversión de 1.000 millones de pesos que genera unos flujos de fondos estimados de 100, 400, 400, 500 y 100 millones de pesos correspondientemente en cada uno de los cinco años de vida del proyecto.
Tasa Interna de Retorno (TIR)
EJERCICIO: (cálculo de la TIR)
Analicemos los flujos de la siguiente inversión, ¿Cuál es la TIR?
Tasa de interés Real v/s Nominal
Al comienzo hicimos el supuesto de ausencia de inflación.
Sin embargo debemos entender como afecta la inflación a las tasas de descuento y retorno de una inversión.
 Llamamos tasa de interés real a aquella tasa que, además de la tasa de interés propiamente tal, incluye en forma separada a la inflación.
La tasa de interés nominal en cambio, contiene en si misma una estimación de la inflación futura.
(1+Tasa nominal) = (1+Tasa real) * (1+ π)
Tasa de interés Real v/s Nominal
Ejercicio: (cálculo de la tasa de interés nominal)
Supongamos una tasa de inflación anual de 10% y que la UF refleja exactamente esa inflación. Si la tasa de interés en UF es de 8% anual (UF+8%), estamos diciendo que la tasa real es de 8%. Si pedimos UF1.000 a un año plazo, a una tasa real de 8%, ¿ cual es la tasa de interés nominal del financiamiento?.
(suponga UF inicial $22.000)
Valor final de la UF = Valor inicial de la UF * (1+ π)
Tasa de interés Real v/s Nominal
EJERCICIO: (Tasa real v/s nominal de interés)
Un determinado bien actualmente vale $800. El costo de oportunidad por el uso del capital o rendimiento exigido es 15% por el período de un año; el capital disponible es $80.000. Analice la situación sin inflación.
Veamos a continuación la situación con inflación de 25% anual (π):
Tabla de desarrollo de un préstamo
Las formas de amortizar un préstamo pueden ser muy variadas, pero las más comunes son:
Al final de cada período se pagan los intereses más una cuota de capital constante
Los préstamos más comunes, no tienen una amortización fija sino una cuota final fija.
Tabla de desarrollo de un préstamo
Préstamo por $2.500.000, 
pagadero en 4 cuotas anuales de capital constante,
más intereses. 
Tasa de interés del 4% anual.
Tabla de desarrollo de un préstamo
Préstamo por $1.000.000, pagadero en 10 cuotas mensuales de $100.000 de capital más intereses. Tasa de interés del 8% mensual.
Tabla de desarrollo de un préstamo
Préstamo por $2.500.000,
 pagadero en 4 cuotas anuales fijas (amortización + interés).
Tasa de interés del 4% anual.
Tabla de desarrollo de un préstamo
Préstamo por $1.000.000, pagadero en 10 cuotas mensuales fijas (amortización + interés). Tasa de interés del 8% mensual.
Resumen
Tener siempre presente:
Consistencia temporal (en tasas, períodos, flujos, etc)
Llevar todos los flujos al mismo momento en el tiempo para poder comparar, sumar, decidir.
Hacer línea temporal
Usar interés compuesto (a no ser que se diga lo contrario).
Ejercicios
Usted se ausentará del país por cuatro años y debe decidir si vender o arrendar su casa durante ese período, al cabo del cual volverá a Chile y querrá comprar una casa “parecida” Su casa vale hoy US$ 100.000; puede comprar bonos en dólares que dan un interés del 1°/o mensual; puede arrendar su casa en US$ 1.000 mensuales y tendría que hacerla pintar a los 24 y 48 meses a un costo de US$ 2.000 cada vez. Se espera que las casas hayan subido de precio a su regreso. Si el precio esperado a su regreso fuese US$ 120.000, ¿le conviene arrendar o vender? Suponga que pagará un arriendo de US$ 1.300 mensuales en el país donde residirá temporalmente.
Ejercicios
Un joven de 23 años está meditando sobre la conveniencia de dejar de fumar. Además de los beneficios asociados a una menor probabilidad de contraer cáncer y enfermedades respiratorias y al corazón, contempla el beneficio económico de ahorrarse los US$ 1,20 que diariamente gasta en cigarrillos —36 dólares al mes. Si la tasa de interés mensual en su cuenta de ahorros es del l%, ¿cuánto dinero habrá acumulado al cabo de 42 años si mes a mes coloca los US$ 36 en su cuenta de ahorros? ¿Y si el interés fuese del 0,50/o mensual?
62
Ejercicios
Usted acaba de recibir su primer sueldo y ha decidido ahorrar para poder comprarse un auto. Usted sólo puede ahorrar $450.000 todos los meses desde hoy y los ira poniendo en un deposito a plazo en el banco, el cual le paga una tasa de interés compuesta de 3,7% anual. Usted calcula que ahorrara por 9 meses para luego con la plata que haya ahorrado comprarse el auto al final del noveno mes.
¿Cuanto alcanza a ahorrar en ese tiempo? (recuerde que al final del noveno mes usted vuelve a recibir su sueldo y los $450.000 de ese mes los juntará con lo que saque del banco, para comprar el auto)
63
Ejercicio
Usted está invirtiendo en el negocio petrolero, en que los primeros 3 años tendrá que invertir MM$1.500 cada año, dado que tiene que invertir en la exploración de petróleo y luego en la construcción de la torre de extracción (los flujos de inversión son al comienzo de cada uno de esos años). 
Después de que todo este construido, cuando se comience a extraer el petróleo, usted estima que comenzará a recibir MM$600 al final de cada año, por 10 años, que es cuando se estima que se agotara el pozo petrolero (ojo que estos flujos los comienza a recibir al final del año 4).
Si usted sabe que la tasa de interés de mercado es del 4% anual, ¿Conviene invertir en este proyecto?, ¿por que?.
Si el proyecto es rentable, ¿en cuanto aumenta su riqueza?
Si el proyecto no es rentable, ¿en cuanto disminuye su riqueza?