Racionales SEMANA 17 Pre - Mario Sánchez

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NÚMEROS RACIONALES
2021-2
17
PREUNIVERSITARIO
2
NÚMEROS RACIONALES
3
Relación de equivalencia
Dado el conjunto A≠∅ yℛ una relación definida sobre A. Decimos que ℛ es 
una relación de equivalencia si cumple las siguientes propiedades:
Reflexiva
Para todo 𝑥 ∈ 𝐴 se tiene (𝑥, 𝑥) ∈ ℛ.
Simétrica
Si 𝑥, 𝑦 ∈ ℛ, entonces (𝑦, 𝑥) ∈ ℛ.
Transitiva
Si (𝑥, 𝑦) ∈ ℛ⋀ (𝑦, 𝑧) ∈ ℛ entonces 
(𝑥, 𝑧) ∈ ℛ.
Observación
Si alguna de las propiedades 
mencionadas no se cumple, 
diremos que dicha relación no 
es de equivalencia.
Ejemplo: Sea el conjunto 𝐴 = 2,3,5 , Verifique 
si dichas relaciones son de equivalencia:
a) ℛ1 = 2,2 , 3,3
b) ℛ2 = 2,2 , 3,3 , 5,5 , (2,3)
Resolución:
a) ℛ1 no es reflexiva, ya que (5,5) ∉ ℛ1
ℛ1 no es relación de equivalencia
b) ℛ2 no es simétrica, ya que
Si (2,3) ∈ ℛ2 , entonces (3,2) ∈ ℛ2.
La proposición 
es falsa
V F
𝑅2 no es relación de equivalencia
4
Aplicación 1
Sea el conjunto 𝐴 = 2,3,5,7 , definamos las siguiente relacion sobre 𝐴:
ℛ1 = 2,2 , 3,3 , 5,5 , (7,7)
Verifique si dicha relación es de equivalencia.
RESOLUCIÓN
Es claro que ℛ1 es reflexiva y
simétrica, veamos si es
transitiva.
Como la propiedad transitiva es
una condicional debemos
buscar hacer que el antecedente
sea verdadero para ver como
responde el consecuente, luego
se tiene:
Si (𝑥, 𝑥) ∈ ℛ1⋀ (𝑥, 𝑥) ∈ ℛ1
entonces (𝑥, 𝑥) ∈ ℛ1.
La proposición 
es Verdadera
ℛ1 es relación 
de equivalencia
5
Clase de equivalencia
Dada la relación de equivalencia ℛ sobre 𝐴, para cada 𝑥 ∈ 𝐴 definamos
el conjunto
𝑥 = {𝑎 ∈ 𝐴: 𝑥ℛ𝑎}
como la clase de equivalencia del elemento 𝑥.
Conjunto cociente Observación: 
Los elementos que pertenecen a la clase de 
equivalencia se denominan representantes.
Dada la relación de equivalencia ℛ sobre 𝐴, definamos el conjunto cociente
𝐴/ℛ = { 𝑥 : 𝑥 ∈ 𝐴}
Observación: 
La relación de equivalencia ℛ permite
particionar el conjunto A en conjuntos
disjuntos.
6
Aplicación 2
Sea el conjunto 𝐴 = 2,3,5,7 , definamos las siguientes relaciones de
equivalencia sobre 𝐴 como en la Aplicación 1:
a) ℛ1 = 2,2 , 3,3 , 5,5 , (7,7)
b) ℛ2 = 2,2 , 2,3 , 3,2 , 3,3 , 5,5 , (7,7)
c) ℛ3 = 2,2 , 2,3 , 3,2 , 2,5 , 5,2 , 3,3 , 3,5 , 5,3 , (5,5), (7,7)
Escribe las clases de equivalencia y el conjunto cociente.
RESOLUCIÓN
a) 2 = 2
3 = 3
5 = 5
7 = 7
𝐴/ℛ1 = 2 , 3 , 5 , 7
2
3
5
7
𝐴
Conjunto cociente es el conjunto de todas las 
clases de equivalencia que genera la relación
7
b) 2 = 2,3 = 3
5 = 5
7 = 7
𝐴/ℛ2 = 2 , 5 , 7
2
5
7
𝐴
c) 2 = 2,3,5 = 3 = 5
7 = 7
𝐴/ℛ3 = 2 , 7
Notaciones: 
• En adelante escribiremos 𝑥ℛ𝑦 en vez de (𝑥, 𝑦) ∈ ℛ.
• Usaremos las letras ℛ,~,≡, etc para denotar una relación.
2
7
𝐴
8
Aplicación 3 
Sean ℛ1 y ℛ2 dos relaciones definidas sobre el conjunto 𝐴 ≠ ∅.
Determine la veracidad de las siguientes proposiciones:
I. Si ℛ1 es reflexiva entonces ℛ1 ∪ℛ2 es reflexiva.
II. Si ℛ1 es simétrica entonces ℛ1 ∪ℛ2 es simétrica.
III. Si ℛ1 y ℛ2 son de equivalencia entonces ℛ1 ∩ℛ2 es de equivalencia.
A) VVV B) VFV C) VFF D) FFV E) FVV
Resolución 
I. Como 𝑅1 es reflexiva
(𝑥, 𝑥)∈𝑅1, ∀𝑥 ∈ 𝐴
y como 𝑅1 ⊂ 𝑅1 ∪ 𝑅2
(𝑥, 𝑥)∈𝑅1 ∪ 𝑅2, ∀𝑥 ∈ 𝐴
Por tanto, la proposición
es Verdadera
II. Para 𝐴 = {2,3,5}, definamos
𝑅1 = { 2,3 , (3,2)} y
𝑅2 = { 3,5 }
𝑅1 ∪ 𝑅2 = { 2,3 , 3,2 , (3,5)}.
La cuál no es simétrica ya que 
5,3 ∉ 𝑅1 ∪ 𝑅2
Por tanto, la proposición 
es Falsa
9
III. 1) Como 𝑅1 y 𝑅2 son reflexivas
(𝑥, 𝑥)∈𝑅1, ∀𝑥 ∈ 𝐴
(𝑥, 𝑥)∈𝑅2, ∀𝑥 ∈ 𝐴
(𝑥, 𝑥)∈𝑅1 ∩ 𝑅2, ∀𝑥 ∈ 𝐴
2) Como 𝑅1 y 𝑅2 son simétricas
Si (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅1 ∩ 𝑅2 entonces (𝑦, 𝑥) ∈ 𝑅1 ∩ 𝑅2.
V V
3) Como 𝑅1 y 𝑅2 son transitivas
Si (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅1 ∩ 𝑅2⋀ (𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅1 ∩ 𝑅2entonces (𝑥, 𝑧) ∈ 𝑅1 ∩ 𝑅2.
V V V
Por tanto, la proposición es Verdadera CLAVE: B VFV
10
Propiedades
Dada la relación de equivalencia ℛ sobre 𝐴 ≠ ∅, se cumple:
1. 𝑥 ≠ ∅, ∀𝑥 ∈ 𝐴
2. Para todo par de elementos 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 se tiene que:
𝑥 = 𝑦 ó 𝑥 ∩ 𝑦 = ∅
Prueba:
2) Si 𝒙 ℛ 𝒚
Veamos que 𝑥 ⊂ 𝑦 :
En efecto: Sea 𝑧 ∈ 𝑥 entonces
𝑥 𝑅 𝑧, como 𝑅 simétrica se tiene
𝑧 𝑅 𝑥, luego 𝑧 𝑅 𝑥 y 𝑥 𝑅 𝑦, por
transitividad de 𝑅 se tiene que
𝑧 ∈ 𝑦 . La otra inclusión es
similar.
Si 𝒙 𝒏𝒐 𝒔𝒆 𝒓𝒆𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂 𝒄𝒐𝒏 𝒚
Supongamos que 𝑥 ∩ 𝑦 ≠ ∅
entonces existe 𝑧 ∈ 𝑥 y 𝑧 ∈ 𝑦 , 
luego 𝑥 𝑅 𝑧 y 𝑧 𝑅 𝑦 , por 
transitividad de 𝑅 se tiene 𝑥 𝑅 𝑦, 
lo cual es una contradicción.
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Aplicación 4
Definamos una relación ≡ sobre ℤ como:
𝑎 ≡ 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 5) si y sólo si 5|(𝑎 − 𝑏)
Verifique que dicha relación es de equivalencia
RESOLUCIÓN 
• Reflexiva :
5| 𝑎 − 𝑎 , ∀𝑎 ∈ ℤ
0
Verdadero 
• Simétrica:
Si 5|(𝑎 − 𝑏) entonces 5| 𝑏 − 𝑎 Verdadero 
• Transitiva:
Si 5|(𝑎 − 𝑏) y 5|(𝑏 − 𝑐) entonces 5|[ 𝑎 − 𝑏 + 𝑏 − 𝑐 ]
𝑎 − 𝑐
Verdadero 
≡ Es una relación
de equivalencia
sobre ℤ
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Aplicación 5
De la aplicación 5, describe las clases de equivalencia, sus 
elementos y el conjunto cociente
RESOLUCIÓN
Clases de Equivalencia :
• 0 = 5𝑘: 𝑘 ∈ ℤ
• 1 = 5𝑘 + 1: 𝑘 ∈ ℤ
• 2 = 5𝑘 + 2: 𝑘 ∈ ℤ
• 3 = 5𝑘 + 3: 𝑘 ∈ ℤ
• 4 = 5𝑘 + 4: 𝑘 ∈ ℤ
Conjunto cociente :
ℤ/~ = 0 , 1 , 2 , 3 , 4
0
1
2
3
4
ℤ
La relación de
equivalencia ~
particiona el
conjunto ℤ en 5
conjuntos
disjuntos
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Aplicación 6
Sea el conjunto 𝐿 = ℕ × ℕ . Definimos la relación “~ ”, donde
𝑎, 𝑏 ~ 𝑐, 𝑑 ≡ 𝑎 − 𝑑 = 𝑐 − 𝑏 . Probar que es una relación de equivalencia.
RESOLUCIÓN
∎ 𝑅𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑣𝑎:
∎ 𝑆𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎:
∎ 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎:
∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐿 𝑎 − 𝑏′ = 𝑎′ − 𝑏
𝑠𝑖 𝑎 = á, 𝑏 = 𝑏′, 
S𝑖 𝑎, 𝑏 ~ 𝑐, 𝑑 ⟶ 𝑎 − 𝑑 = 𝑐 − 𝑏;
𝑐 − 𝑏 = 𝑎 − 𝑑
𝑆𝑖 𝑎, 𝑏 ~ 𝑐, 𝑑 𝑦 (𝑐, 𝑑)~(𝑒, 𝑓)
𝑎 − 𝑑 = 𝑐 − 𝑏 𝑦 𝑐 − 𝑓 = 𝑒 − 𝑑
𝑎 − 𝑓 + 𝑐 − 𝑑 = 𝑒 − 𝑏 + (𝑐 − 𝑑)
(𝑎 − 𝑑) + 𝑐 − 𝑓 = 𝑐 − 𝑏 + (𝑒 − 𝑑)
Tenemos que:
𝑎 − 𝑓 = 𝑒 − 𝑏
(a,b)~ (a,b).
𝑐, 𝑑 ~ 𝑎, 𝑏 .
𝑎, 𝑏 ~ 𝑒, 𝑓 .
luego ~ 𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝐿
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Definamos la relación ~ sobre ℱ = ℤ × ℤ∗, 𝑒𝑙 conjunto de todas las
fracciones como: (𝑎, 𝑏)~(𝑐, 𝑑) si y sólo si 𝑎. 𝑑 = 𝑏. 𝑐
Veamos que dicha relación es de equivalencia:
• Reflexiva
(𝑎, 𝑏)~(𝑎, 𝑏)↔ 𝑎. 𝑏 = 𝑏. 𝑎, ∀ (𝑎, 𝑏) ∈ 𝐹 Verdadero
• Simétrica
Si (𝑎, 𝑏)~(𝑐, 𝑑) entonces (𝑐, 𝑑)~(𝑎, 𝑏)
𝑎𝑑 = 𝑏𝑐 𝑐𝑏 = 𝑏𝑐 = 𝑎𝑑 = 𝑑𝑎
Verdadero
• Transitiva
Si (𝑎, 𝑏)~(𝑐, 𝑑)
𝑎𝑑 = 𝑏𝑐
y (𝑐, 𝑑)~(𝑒, 𝑓)
𝑐𝑓 = 𝑑𝑒
entonces (𝑎, 𝑏)~(𝑒, 𝑓)
𝑎𝑓 = 𝑎.
𝑑
𝑑
. 𝑓 =
𝑏𝑐𝑓
𝑑
= 𝑏𝑒
Verdadero 
Observación: 
La notación :
𝑎, 𝑏 =
𝑎
𝑏
Se denomina fracción
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Clase de equivalencia
La relación de equivalencia ~ permite construir las clases de equivalencia
sobre ℱ = ℤ × ℤ:
(𝑎, 𝑏) = { c, d ∈ ℱ: (𝑎, 𝑏) ~(𝑐, 𝑑)}
Representante canónico
Decimos que (p, q) ∈[(a,b)] es el representante canónico de la clase de 
equivalencia [(a,b)] si 𝑝 y 𝑞 son PESI y 𝑞> 0.
Ejemplo: 
• (6, −8)] = (−3𝑘, 4𝑘) ∶ 𝑘 ∈ ℤ∗ posee como 
representante canónico a (-3,4).
• Representante canónico de [(0,12)] es (0,1).
Observación: 
El representante canónico 
es único.
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Números Racionales
Definamos el conjunto de los números racionales como el conjunto 
cociente:
ℚ≔ ℱ /~ = {[ a, b ] ∶ (a, b) ∈ ℱ}
(1,2)
(−3,4)
.
.
.
ℚ
Observación: 
Los elementos que
pertenecen a la clase
(𝑎, 𝑏) son puntos que
pertenecen a una misma
recta que pasa por el
origen.
(−3,4) (1,2)
Gráficamente
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Operaciones sobre ℚ
Adición
(𝑎, 𝑏) + (𝑐, 𝑑) = (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐; 𝑏𝑑)
Multiplicación
(𝑎, 𝑏) . (𝑐, 𝑑) = (𝑎. 𝑐; 𝑏. 𝑑)
Ejemplo: 
• (3, −8) + (−2,5) = (31,−40)
• (−6, −9) . (−2,5) = (12, −45)
Observación: 
Las operaciones de sustracción y división
de números racionales son una
consecuencia de la adición y
multiplicación.
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Aplicación 7
¿Cuál de las siguientes relaciones es de equivalencia? describe el conjunto
cociente. ¿Cuál es la cardinalidad de estos conjuntos cociente si tuviera?
a) La relación “ℛ :A cumple años el mismos día que B” sobre el conjunto de
personas.
b) La relación 𝐿 = {(𝑎, 𝑏) ∈ ℤ × ℤ: 𝑎 − 𝑏 ∈ 2ℤ}. kℤ = 𝑘𝑧:𝑧 ∈ ℤ 2ℤ = {−2,0,2, . . }
c) La relación 𝐽 = {(𝑎, 𝑏) ∈ ℤ × ℤ: 𝑎 = ±𝑏}.
RESOLUCIÓN
a) A y B cumplen 
año el mismo día 
Es claro que A ℛ A ℛ es Reflexiva.⟹⟹
y si A ℛ B 
entonces B ℛ A
ℛ 𝑒𝑠 𝑆𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎. Igualmente si A ℛ B y B ℛ C entonces A ℛ C.
La relación ℛ es de equivalencia.
⟹
⟹
b
)
(i). a-a=0=0.2. (Reflexiva). (ii) Si a-b= entonces b-a= (simétrica)2
0
2
0
(iii) Si a-b= y b-c= a -b+ b-c=a-c= (transitiva)
c) Si para todo a ∈ ℤ , a=±a. entonces a=0 Luego no es reflexiva
por tanto J no es relación de equivalencia.
por tanto L es
de equivalencia.
⟹
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a) Las clases están formadas por personas que cumplen años el mismo 
día. Podemos decir que tiene cardinal finito, en el 2021, 365 clases.
b) Las clases son [0](enteros pares) y [1](enteros impares). Su cardinal 
es 2.
c) Como no es una relación de equivalencia no podemos hablar de 
conjunto cociente.
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¿Qué relación existe entre ℤ y ℚ?
Es claro que, al considerar a ℚ como un conjunto formado por clases
de equivalencias, este no contiene a ℤ, pero si se considera el conjunto
𝐴 = (𝑎, 1) : 𝑎 ∈ ℤ ⊂ ℚ
Se observa que este puede ser identificado por ℤ, es decir:
Existe una función biyectiva
𝑓: 𝐴 → ℤ
(𝑎, 1) → 𝑎
Esto nos permite identificar a todos los números racionales
(𝑎, 𝑏) como el cociente de los números enteros 𝑎 y 𝑏, para así
ser ubicados en la recta numérica. Luego se concluye que visto
ℚ como puntos sobre la recta numérica, este contendría a ℤ.
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Aplicación 8
¿Qué conjuntos son particiones de ℤ?
• a) 𝑃1 = { 𝑎 ∈ ℤ: 𝑎 = 3 + k : 𝑘 = 0,1,2}.
• b) 𝑃2 = {{𝑎 ∈ ℤ: 𝑎
2 + 2𝑎 + 1 = 0}, {𝑎 ∈ ℤ: 𝑎 ≤ 2 }{𝑎 ∈ ℤ: (𝑎 ≥ 2)}, {0,1}}.
• c) 𝑃3 = {{𝑎 ∈ ℤ: (𝑎 ≤ −2) ∨ (𝑎 ≥ 2)}, {𝑎 ∈ ℤ: 𝑎
3 − 𝑎 = 0}}.
SOLUCIÓN
°
𝑎) 𝑆𝑒𝑎 𝑘 = 𝑎 ∈ ℤ: 𝑎 = 3 + k° ℤ = ⋃𝒌=𝟎
𝟐 [𝒌]entonces
𝑏) −1 ∪ … ,−1,0,1,2 ∪ 2,3,4,… ∪ 0,1 = ℤ
pero no tienen intersección vacía.
Observamos que
c) Vemos que {….,-4,-3,-2,2,3,4,…} ∪ {−1,0,1} =ℤ Entonces 𝑃3 es una partición
𝑃1 es una partición.
Respuesta: 
𝑃1 𝑦 𝑃3 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 ℤ.
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Aplicación 9
RESOLUCIÓN
a) Verdadero
p: Los elementos de (𝑎, 𝑏) son 
puntos que pertenecen a una 
recta que pasa por el origen.
q: Los elementos de (𝑎, 𝑏)
son puntos.
p ⋁ q
V V F
Por tanto, la proposición 
es verdadera
Determine la veracidad de las siguientes proposiciones con respecto a 
la relación que permite construir al conjunto de los números racionales:
I) Los elementos de (𝑎, 𝑏) son puntos que pertenecen a una recta que 
pasa por el origen o tienen pendiente un número irracional.
II) Existe una recta que contiene a los puntos de alguna clase de 
equivalencia y que es perpendicular a la recta 𝑦 = 0. 
III) (𝑎, 𝑏) ∪ (𝑐, 𝑑) es una clase de equivalencia.
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b) Verdadero
La recta vertical 𝑥 = 0
contiene a los puntos de
alguna clase de equivalencia
y es perpendicular a la recta
𝑦 = 0.
Por tanto, la proposición 
es verdadera
c) Falso
Considere:
(𝑎, 𝑏) = [(0,1)] y (𝑐, 𝑑) = [(1,1)]
(0,1) y (1,1) pertenecen a 
(𝑎, 𝑏) ∪ (𝑐, 𝑑)
Si fuese una clase de 
equivalencia
(0,1) ~ (1,1) lo cual es falso
Por tanto, la proposición 
es falsa
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Aplicación 10
Dada la relación de equivalencia “~”, definida en ℤ, por 𝑎~𝑏 ≡ 𝑎 − 𝑏 = 3.
Pruebe que es una relación de equivalencia (El conjunto cociente se representa
por ℤ3). La suma y el producto de clases de equivalencia está definido por:
𝑎 ⊕ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 𝑦
𝑎 ⊙ 𝑏 = 𝑎 × 𝑏 .
Determine los elementos neutros para ⊕𝑦 ⊗. Para ℤ6, igual que en el caso
anterior resuelva la ecuación 𝑥 ⊕ 2 ⨀ 𝑥 ⊕ 3 = 0 .
RESOLUCIÓN
∘
∎ ∼:𝐸𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎:
∀ 𝑎 ∈ ℤ 𝑎 − 𝑎 = 0 = 3.
∘ 𝑎~a.
• Simétrica: Si 𝑎~b entonces
a − b = 3,
∘
⇒ 𝑏 − 𝑎 = 3
∘
𝑏~a.
• Transitiva:
• Reflexiva:
Si 𝑎~𝑏 𝑦 𝑏~𝑐 𝑎 − 𝑏 = 3 𝑦 𝑏 − 𝑐 = 3
∘∘
⇒
𝑎 − 𝑐 = 𝑎 − 𝑏 + 𝑏 − 𝑐 = 3⇒
∘ 𝑎~𝑐
Por lo tanto es 
una relación de 
equivalencia
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∎ Elementos neutros:
ℤ/~ = ℤ3={[0],[1],[2]}
0 = 3
[1]=3+1
[2]=3+2
∘
∘
∘
Para ⊕: ∀ 𝑎 ∈ ℤ, 𝑎 + 𝑒 = [𝑎] ⊕[e]=[e] ⊕[a]=[a], 
⇒ 𝑒 = [0]
Luego 𝑒 = 0
es el 
elemento 
neutro de ⊕
Para ⊗: ∀ 𝑎 ∈ ℤ, 𝑎 × 𝜃 = [𝑎] ⊗[𝜃]=[𝜃] ⊗ 𝑎 = [𝑎]
⇒ 𝜃 = [1]
𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝜃 = [1]
es el 
elemento 
neutro de ⨂
𝑥 ⊕ 2 ⨂ 𝑥 ⊕ 3 = 0∎ Para ℤ6: [2] [3]=[0] ∨ [a] [0]=[0]
[x] = 3𝑘 + 𝑎
3𝑘 + 𝑎 + 2 3𝑘 + 𝑎 + 3 = 3𝑞
Las soluciones 
son: 
[x]=[0],[1],[3],
[4],[6], ..3𝑘 + 𝑎 + 2 3𝑘 + 𝑎 + 3 = 3𝑞
3𝑘 + 𝑎 + 2 = 3𝑞
𝑎 = 3𝑛 + 1
𝑎 = 3𝑛
26
Densidad de un conjunto en ℝ
Decimos que el conjunto 𝐴 ⊂ ℝ es denso en ℝ, si para todo x, y ∈ ℝ
con x < y , existe un z ∈ 𝐴 tal que x < z < y.
TEOREMA:
El conjunto de los números racionales ℚ es denso en ℝ.
Prueba: 
Sean 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ con 𝑥 < 𝑦 entonces 
1
𝑦−𝑥
> 0. 
Luego, como el conjunto de los números naturales ℕ no es acotado superiormente
∃𝑛 ∈ ℕ tal que 𝑛 >
1
𝑦−𝑥
, así 𝑛𝑦 − 𝑛𝑥 > 1.
Es decir el intervalo 𝑛𝑥, 𝑛𝑦 posee una longitud mayor que 1 , luego ∃𝑚 ∈
ℕ tal que 𝑛𝑥 < 𝑚 < 𝑛𝑦 . Por lo tanto ∃
𝑚
𝑛
∈ℚ tal que 𝑥 <
𝑚
𝑛
< 𝑦.
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Propiedades
1. La cantidad de números racionales e irracionales que se encuentra 
en cualquier intervalo ]𝑎, 𝑏[ es infinita.
2. El complemento de todo conjunto finito 𝐴 ⊂ ℝ es denso en ℝ.
3. Si 𝐴 ⊂ ℝ es un conjunto denso en ℝ entonces todo conjunto 𝐵 que 
contiene a 𝐴 y esta contenido en ℝ es denso en ℝ.
4. El conjunto ℚ ⊂ ℝ es un conjunto denso en ℝ y es infinito. Entre 
dos racionales existe siempre otro racional, y todo intervalo contiene 
infinitos números racionales.
5. Todo número real es el límite de alguna sucesión de números 
racionales.
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Aplicación 11 
Con respecto a la construcción de los números racionales, se puede afirmar:
I. ℚ = (𝑎, 𝑏) : 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ × ℤ∗ ʌ 𝑀𝐶𝐷 𝑎, 𝑏 = 1 .
II. ℚ = (𝑎, 𝑏) : 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ × ℤ∗ ʌ 𝑎 × 𝑏 ≥ 0 .
III. ℚ = (𝑎, 𝑏) : 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ × ℤ∗ ʌ (𝑎 × 𝑏 ≥ 0 ⋁𝑎 × 𝑏 < 0) .
A) VVV B) VVF C) VFV D) FVV E) FVF
Resolución
I. Sea el conjunto
A = (𝑎, 𝑏) : 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ × ℤ∗ʌ 𝑀𝐶𝐷 𝑎, 𝑏 = 1 .
• 𝐴 ⊂ ℚ Es claro
• ¿ℚ ⊂ 𝐴? Si
Sea (𝑚, 𝑛) ∈ ℚ entonces existe un 
representante canónico (x, y) ∈ (𝑚, 𝑛) , 
luego como 𝑀𝐶𝐷 𝑥, 𝑦 = 1
(𝑥, 𝑦)
= (𝑚, 𝑛) ∈ 𝐴
Por tanto, 𝐴 = ℚ
Verdadero 
29
II. Sea el conjunto
B = (𝑎, 𝑏) : 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ × ℤ∗ ʌ 𝑎 × 𝑏 ≥ 0 .
• B⊂ ℚ Es claro
• ¿ℚ ⊂ 𝐵? No
(−1,2) ∈ℚ pero no pertenece a 𝐵
Por tanto, B ≠ ℚ
Falso 
III. Sea el conjunto
C = {
}
(𝑎, 𝑏) : 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ × ℤ∗ ʌ (𝑎 ×
𝑏 ≥ 0 ⋁𝑎 × 𝑏 < 0) .
• 𝐶 ⊂ ℚ Es claro
• ¿ℚ ⊂ 𝐶? Si
Sea (𝑚, 𝑛) ∈ℚ entonces (𝑚, 𝑛) ∈
ℤ × ℤ∗
Entonces 𝑚 × 𝑛 ≥ 0 ⋁ 𝑚 × 𝑛 < 0
Por tanto, C = ℚ
CLAVE: C VFV
Verdadero
30
Aplicación 12
Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: 
I. El conjunto de los irracionales es cerrado bajo la operación suma.
II. La gráfica de la clase de equivalencia de (1; 2) es una recta cuya pendiente 
es 0,5.
III. Las fracciones (24, 39) y [0; 1, 1, 1, 1, 1, 1] son equivalentes. 
A) FVV B) VVV C) FFV D) FVF E) FFF
Resolución 
I. Falso 
1 − 2 + 2 = 1 ∉ 𝐼
II. Falso
La gráfica de la clase de 
equivalencia (1,2) posee
pendiente 2.
III. Falso 
0
0
11 1 1 1
5k
5k
5k
3k
3k 2k
2k k
k k
k
8k
Por tanto 
24
39
y 
5
8
no son equivalentes 
CLAVE: E
31
Aplicación 13
Sean las clases de equivalencia (𝑎, 𝑏) = 𝑎, 𝑏 , 𝑐, 𝑑 , 𝑏, 𝑎 , … tal que 𝑐 +
𝑑 ≠ 0; (𝑝, 𝑞) = 𝑝, 𝑞 , 0, 𝑟 , … y (𝑠, 𝑡) = (𝑎, 𝑏) + (𝑝, 𝑞) . Si (𝑚, 𝑛) es el 
representante canónico de (𝑠, 𝑡) , calcule 3m+n
A) -2 B) 0 C) 3 D) 4 E) 5
Resolución
Como (𝑏, 𝑎) ∈ (𝑎, 𝑏) 𝑏 = −𝑎 ⋁ 𝑏 = 𝑎
𝑎 + 𝑏 = 0 𝑐 + 𝑑 = 0
(No es cierto)
Como (0, 𝑟) ∈ (𝑝, 𝑞) 𝑝 = 0
Entonces:
(𝑎, 𝑏) = (𝑎, 𝑎) = (1,1)
(𝑝, 𝑞) = (0, 𝑞) = (0,1)
Por lo tanto:
(𝑎, 𝑏) + (𝑝, 𝑞) = (1,1)
𝑚, 𝑛 = (1,1)
3𝑚 + 𝑛 = 4
CLAVE: D
32
Aplicación 14
Las clases de equivalencias (𝑎 − 2,6 + 𝑎) y (𝑎 + 2,6 − 𝑎) , con 𝑎 el menor
entero positivo posible tiene como representantes canónicos a (x,y) y (m,n),respectivamente, se sabe además que 𝑥 + 𝑦 = 14;𝑚 + 𝑛 = −4 , halle 𝑎 + 𝑥
+𝑚
A) 6 𝐵) 8 C) 10 D) 11 E) 24
Resolución
Como x, y ∈
(𝑎 − 2,6 + 𝑎) es 
un representante 
canónico
𝑎 − 2 = 𝑥𝑘
6 + 𝑎 = 𝑦𝑘
(+)
2𝑎 + 4 = 14𝑘
𝑎 + 2 = 7𝑘
Como (m, n) ∈ [
]
(𝑎
+ 2,6 − 𝑎) es un 
representante 
canónico
𝑎 + 2 = 𝑚𝑟
6 − 𝑎 = 𝑛𝑟
(+)
8 = −4𝑟
𝑟 = −2
Luego se tiene: 𝑎 + 2 = −2𝑚
𝑎 = −2𝑚 − 2 = ሶ2
De (*) se tiene: 𝑎 = ሶ7 − 2
𝑎 = ሶ14 − 2
𝑎 = 12,𝑚 = −7, 𝑥 = 5
𝑎 + 𝑥 +𝑚 = 10
CLAVE: C
33
Aplicación 15
Si (p,q) es el representante canónico de (2𝑛 − 10,15 − 3𝑛) con 𝑛 ≠ 5 y (𝑟, 𝑡)
es representante canónico de (𝑥, 𝑦) . Además (𝑥, 𝑦) = (𝑝, 𝑞) + (𝑞, 𝑝) ,
entonces el valor de 𝑟 + 2𝑡 es
A) -2 B) -1 C) 1 D) 2 E) 3
Resolución
Como (p, q) ∈ (2𝑛 − 10,15 − 3𝑛) =
(2,−3)
es representante canónico
𝑝 = −2, 𝑞 = 3
Por otro lado: (−2,3) + 
(3, −2) = (𝑥, 𝑦)
(𝑥, 𝑦)
= (13,−6)
Luego como (r, t) ∈ (13, −6)
es representante canónico 𝑟 = −13,t = 6
Por lo tanto: 𝑟 + 2𝑡 = −1
CLAVE: B
34
PROBLEMAS PROPUESTOS
35
PROBLEMA 01
Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
• I. La clase de equivalencia 𝑛, 1 , 𝑛𝜖ℤ representa al conjunto ℤ, entonces ℤ
es denso en ℚ.
• II. El conjunto ℚ es denso en ℝ, porque entre dos números reales diferentes
existe un racional.
• III. Si los lados de un rectángulo son números irracionales, luego el área
también es irracional.
A) FVV B) VVV C) FFV D) FVF E) VVF
(𝑭)
𝐼𝐼. (𝑽) 𝑃𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 ℚ 𝑒𝑛 ℝ
𝐼𝐼𝐼. (𝑭) 𝑃𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 2 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑛𝑜 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑎𝑟𝑖𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑠 irracional
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝐿 = 3 5 ; 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 = 5 → 𝐴𝑟𝑒𝑎 = 15
Clave D
Resolución
La clase de equivalencia 𝑛, 1 , 𝑛𝜖ℤ representa al conjunto ℤ, entonces ℤ es denso en ℚ𝐼.
(𝑽) (𝑭)
36
PROBLEMA 02
Dadas las siguientes afirmaciones:
I. Entre dos números racionales existe otro racional.
II. Si a y b son irracionales entonces a + b es irracional.
III. Si 𝒂, 𝒃 𝝐 ℚ+, entonces 𝒂𝒃𝝐 ℚ+.
¿Cuáles son correctas?
A) solo I B) solo II C) solo III D) I y II E) todas
Resolución
I. Entre dos números racionales existe otro racional. (𝑽)
(Teoría de Densidad de los racionales)
II. Si a y b son irracionales entonces a + b es irracional. (𝑭)
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 2 +
3
7 + 2 −
3
7 = 4
III. Si 𝒂; 𝒃 𝝐 ℚ+, entonces 𝒂𝒃𝝐 ℚ+ (𝑭)
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 2
2
3 =
3
4 ← 𝐼𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙:
Clave A
37
PROBLEMA 03
Dadas las siguientes proposiciones, indique verdadero (V) o falso (F) 
según corresponda.
I. Si 𝑎, 𝑏 ∩ [ 𝑏, 𝑐 ] = ∅, siendo a y b pesi, entonces la fracción (𝑏, 𝑎 + 𝑐)
es reductible (𝑎 ≠ 0).
II. Si 𝑎, 𝑏 ∪ 𝑏, 𝑐 = [ 𝑎, 𝑐 ] entonces 𝑎2 + 𝑏2 = 2𝑐2.
III.Si −8,20 ⊂ 𝑚, 𝑛 ⇒ 𝑛 −𝑚,𝑚 + 𝑛 ⊂ 14,6 .
A) FVV B) FVF C) VVV D) VFV E) VFF
I. Si 𝒂, 𝒃 ∩ [ 𝒃, 𝒄 ] = ∅, a y b pesi, entonces (𝒃, 𝒂 + 𝒄) es reductible (𝒂 ≠ 𝟎).
Resolución
(1; 5)
[ 𝑎, 𝑏 ] = 𝑏, 𝑐 = 𝑎, 𝑐 2𝑐
2
𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜: 𝑎 = 𝑏 = c
(𝑭)
Clave A
(5; 3) (5; 4)
II. Si 𝑎, 𝑏 ∪ 𝑏, 𝑐 = [ 𝑎, 𝑐 ] entonces 𝑎2+𝑏2 = 2𝑐2 (𝑽)
𝐼𝐼𝐼. 𝑚 = −2𝑘 ; 𝑛 = 5𝑘 7𝑘, 3𝑘 ⊂ 14,6→ (𝑽)
← 𝑁𝑜 𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒
38
PROBLEMA 04
Resolución
Sea 𝓡 una relación de equivalencia sobre el conjunto A. Si 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑨, indique el valor de
verdad de las siguientes proposiciones:
I. 𝒙 ∩ 𝒚 ≠ ∅ ⇒ 𝒙 = 𝒚 .
II. 𝒙 ≠ 𝒚 ⇒ 𝒙 ∩ 𝒚 = ∅.
III. 𝒙 ∪ 𝒚 = [𝒙] ⇒ 𝒙 ⊂ 𝒚 .
A) VVV B) VFV C) FVF D) VVF E) FFF
I. 𝒙 ∩ 𝒚 ≠ ∅ ⇒ 𝒙 = 𝒚
II. 𝒙 ≠ 𝒚 ⇒ 𝒙 ∩ 𝒚 = ∅
III. 𝒙 ∪ 𝒚 = [𝒙] ⇒ 𝒙 ⊂ 𝒚
Como no son disjuntos → 
x; y son equivalentes
Por ser ≠ clase de 
equivalencia → x; y no 
son equivalentes
(𝑽)
(𝑽)
𝒙 = 𝒚
(𝑽)
Clave A
39
PROBLEMA 05
Sea 𝓡 una relación de equivalencia sobre el conjunto A. Si 
𝒙, 𝒚 ∈ 𝑨, indique el valor de verdad de las siguientes 
proposiciones:
I) Si [x] = [y] ⟹ 𝑥 = 𝑦 II) Si [x] ∩ [y] = 𝜙 ⟹ 𝑥 ≠ 𝑦
III) Si [x] ∩ [y] ≠ 𝜙 ⟹ 𝑥 = 𝑦
A) VVV B) VFF C) FVV D) FVF E) FFF
I) 𝑥 = 𝑦 , no siempre x=y
RESOLUCIÓN
II) 𝑥 ∩ 𝑦 = 𝜙 ⟹ 𝑥 ≠ 𝑦
𝑥 ≠ 𝑦 ⟹ 𝑥 ≠ 𝑦
( F )
( V )
III) 𝑥 ∩ 𝑦 ≠ 𝜙 ⟹ 𝑥 = 𝑦
( F )
F V F
CLAVE D
Y no implica que x = y
40
PROBLEMA 06
Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. Si 𝒙 ∈ ℚ, 𝒚 ∈ ℝ ⇒ 𝒙𝒚 ∈ ℚ.
II. Si 𝒙, 𝒚 ∈ ℚ, 𝒔𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒙 < 𝒚, ∃ 𝒛 ∈ ℚ 𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝒙 < 𝒛 < 𝒚.
III. Existen p y q primos tales que 𝒑 + 𝟏, 𝒑 − 𝟏 = [ 𝒒 , 𝟏 ]
A)FVF B) FVV C) FFF D) VVV E) VVF
I) 𝑥 ∈ ℚ, 𝑦 ∈ ℝ ⟹ 𝑥𝑦 ∈ ℝ
RESOLUCIÓN
II) 𝑥, 𝑦 ∈ ℚ, 𝑥 < 𝑦∃𝑧 ∈ ℚ𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒𝑥 < 𝑧 < 𝑦
Entre 2 racionales diferentes existe al 
menos un racional entre ellos
( F )
( V )
III) p=3 , q = 2 ( V )
F V V
CLAVE B
41
PROBLEMA 07
Sea 𝑨 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕 , 𝒚 ∀𝒂, 𝒃 ∈ 𝑨 se tiene 𝒂𝓡𝒃 ⇔ 𝑴𝑪𝑫 𝒂, 𝟔 = 𝑴𝑪𝑫 𝒃, 𝟔 ,
indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. 𝓡 tiene 15 elementos.
II.𝓡 es una relación de equivalencia.
III.{{1,3,5,7}, {2,4,6}} es una partición de A.
A)VVV B) FVF C) VVF D) FVV E) FFF
𝑀𝐶𝐷 1,6 = 𝑀𝐶𝐷 1,6 = 𝑀𝐶𝐷 5,6 = 𝑀𝐶𝐷(7,6)
RESOLUCIÓN
𝑀𝐶𝐷 2,6 = 𝑀𝐶𝐷 2,6 = 𝑀𝐶𝐷 4,6 = 𝑀𝐶𝐷(4,6)
𝑀𝐶𝐷 3,6 = 𝑀𝐶𝐷(3,6)
CLAVE B
1,1 1,5
1,7 (5,1)
5,7 7,5 (7,1)
2,2 2,4 (4,2)
3,3 2,4 (4,2)
(7,7) 4,4 6,6
( F )
( V )
( F )
42
PROBLEMA 08
Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. Tenemos que [(𝐚, 𝐛)] < [(𝐜, 𝐝)] ⇔ 𝒂. 𝒅 < 𝒃. 𝒄 con 𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒅 ∈ ℤ+.
II. La gráfica correspondiente a la clase [(a,1)], es un conjunto de
puntos alineados horizontalmente. 
III. Para todo número real r, siempre existe una sucesión de números
racionales {𝒂𝒏}𝒏∈ℕ, que converge a dicho número real r. 
(𝒍𝒊𝒎𝒏→∞𝒂𝒏 → 𝒓)
A)VVV B) VFV C) FFV D) FVV E) FFF
RESOLUCIÓN
𝐼)
𝑎
𝑏
<
𝑐
𝑑
⟺ 𝑎𝑑 < 𝑏𝑐
Para elementos b y d positivos
( V )
II) La pendiente es 1/a , 
no es horizontal
( F )
III) Todo número real es 
el límite de una sucesión 
de números racionales.
( V )
CLAVE B
43
Problema 9
Resolución
Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. Para toda clase de equivalencia [ 𝒂, 𝒃 ] existe [ 𝒂, 𝒃 ]−𝟏.
II. La fracción irreductible de denominador positivo que pertenece a una 
clase de equivalencia es la representante canónica de la misma.
III. Sea 𝑨 = {𝟏, 𝟐} y una relación sobre A, dada por 
𝕽 = 𝟏; 𝟏 , 𝟐; 𝟐 , 𝟏; 𝟐 , entonces 𝕽 es una relación de equivalencia.
A) VVV B) VVF C) VFV D) FVF E) FFF
CLAVE: D
I. (F) no se cumple para la clase [(0,b)] 
II. (V) por definición 
II. (F) 𝕽 no es simétrica porque (2,1) no pertenece a la relación 
44
PROBLEMA 10
¿Qué relaciones son de equivalencia?
I. “A es hermano de B”, sobre el conjunto de personas.
II. ℛ = {(𝑎, 𝑏) ∈ ℝ × ℝ: 𝑎. 𝑏 = 1}.
III. “A es subconjunto de B” sobre el conjunto potencia de ℕ.
IV. La relación ℛ = {(𝑎, 𝑏) ∈ ℤ × ℤ: 𝑎2 = 𝑏2}.
A) I y IIB) II y III C) III y IV D) I y IV E) II y IV
Resolución
I. Si es de equivalencia
Reflexiva: A es hermano de A, para todo A.
Simétrica: Si A es hermano de B, entonces B es hermano de A.
Transitiva: Si A es hermano de B y B es hermano de C, entonces 
A es hermano de C.
45
II. No es de equivalencia
No es transitiva: 𝟐,
𝟏
𝟐
∈ ℛ y 
𝟏
𝟐
, 𝟐 ∈ ℛ 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝟐, 𝟐 ∈ ℛ
III. No es de equivalencia
No es simétrica: 𝑺𝒊 𝑨 ⊂ 𝑩 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝑩 ⊂ 𝑨 𝒏𝒐 𝒏𝒆𝒄𝒆𝒔𝒂𝒓𝒊𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒆𝒔 𝒄𝒊𝒆𝒓𝒕𝒐.
IV. Si es de equivalencia
CLAVE: D
Reflexiva: ∀ 𝒂 ∈ ℤ, (𝒂, 𝒂) ∈ ℛ
Simétrica: S𝒊 (𝒂, 𝒃) ∈ ℛ entonces 𝑎2 = 𝑏2 <> 𝑏2 = 𝑎2, entonces (𝒃, 𝒂) ∈ ℛ
Transitiva: S𝒊 (𝒂, 𝒃) ∈ ℛ y 𝒃, 𝒄 ∈ ℛ
𝑎2 = 𝑏2 𝑏2 = 𝑐2
𝑎2 = 𝑐2
entonces 𝒂, 𝒄 ∈ ℛ
46
De las siguientes proposiciones, ¿cuales son verdaderas?
I. El conjunto de los números racionales no es continuo (continuo: contiene 
intervalos), pero si es denso en los números reales.
II. En el conjunto de los números irracionales, las cuatro operaciones 
aritméticas no poseen la ley de clausura.
III. Si un número tiene infinitas cifras no periódicas, entonces es unnúmero 
irracional.
A) Sólo I B) Sólo II C)Sólo III D) Todas E) Ninguna
Problema 11
Resolución
CLAVE: D
I. (V) ℚ no es continuo pero si es denso en los reales.
II. (V) la suma, diferencia, producto y división de dos números irracionales no 
necesariamente es irracional.
III. (V) ) un número irracional es aquel que tiene infinitas cifras decimales no 
periódicas.
2 − 3 + 3 = 𝟐; 2 + 3 − 3 = 𝟐; 8. 2 = 𝟒;
8
2
= 𝟐
47
PROBLEMA 12
Indique la secuencia de los respectivos valores de verdad de las siguientes
proposiciones:
I. 3, ෼9 = 4
II. 1,0110111101111…..es irracional
III. ℚ =
𝑚
𝑛
, 𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ ℕ
IV. Un número racional es una fracción .
A) VVVF B) VVFF C) FVVF D) FVFF E) VFFF
Resolución
I. (V) 3, ෼9 tiende al valor de 4 pero es igual.
II. (V) un número irracional es aquel que tiene infinitas cifras decimales no periódicas.
III. (V) por definición.
IV. (F) un número racional es un elemento de ℚ y una fracción es un 
elemento de una clase de equivalencia. CLAVE: A
48
PROBLEMA 13
¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
I. [(a; b)] = [(c; d)] ⇔ (a; b) ~ (c; d)
II. Si (p; q) ∉ [(a; b)] ⇔ (p; q) y (a; b) no son equivalentes.
III. [(2; 3)] + [(4; 5)] = [66; 45)].
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) ninguna E) Todas
Resolución
CLAVE: E
𝐈. − 𝐕 𝐚, 𝐛 = 𝐜, 𝐝 =
𝒂
𝒃
;
𝒄
𝒅
;…
𝐈𝐈. − 𝐕 Un numero racional es un conjunto infinito de FRACCIONES EQUIVALENTES
𝐈𝐈𝐈. − 𝐕
𝟐
𝟑
+
𝟒
𝟓
=
𝟏𝟎 + 𝟏𝟐
𝟏𝟓
=
𝟔𝟔
𝟒𝟓
49
PROBLEMA 14
Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. 𝒂, 𝒃 ∩ 𝒄, 𝒅 = ∅ →
𝒃−𝒂
𝒂
=
𝒅−𝒄
𝒄
.
II. 𝟑, 𝟓 = 𝟑, 𝟓 , 𝟔, 𝟏𝟎 , 𝟗, 𝟏𝟓 , 𝟏𝟐, 𝟐𝟎 .
III. Si (p,q) es el elemento canónico de la clase [(𝟏𝟎,−𝟏𝟓)], entonces p=2.
A)VVF B) FFF C) VFF D) VFV E) FFV
Resolución
CLAVE: B
𝐈. − 𝐅 𝐚, 𝐛 = 𝐜, 𝐝 = >
𝒂
𝒃
=
𝒄
𝒅
𝐈𝐈. − 𝐅 Un numero racional es un conjunto infinito de FRACCIONES EQUIVALENTES
𝐈𝐈𝐈. − 𝐅
𝒑
𝒒
=
−𝟐
𝟑
; 𝐩 𝐲 𝐪 𝐬𝐨𝐧 𝐩𝐞𝐬𝐢 𝐲 𝐪 > 𝟎
50
PROBLEMA 15
Sobre A={1;2;3;4;5;6;7;8;9;10}, se define la relación "~" , mediante a~b
si y solo si a – b = 3k (se prueba que dicha relación es de equivalencia).
Halle el número de elementos de [4].
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Resolución
CLAVE: D
𝟒 = 𝟑𝒌 + 𝟏 = 𝟏; 𝟒; 𝟕; 𝟏𝟎
51
PROBLEMA 16
¿Cuántos elementos 𝒂, 𝒃 ∈ [ 𝟐, 𝟕 ] existen, tal que a < 20 y b > – 20?
A) 9 B) 10 C) 11 D) 13 E) 15
Resolución
𝒂
𝒃
=
𝟐𝒌
𝟕𝒌
2k < 20 = > k < 10
𝟕𝐤 > −𝟐𝟎 = > 𝐤 > −𝟐, 𝟖𝟓
𝒂
𝒃
=
−𝟒
−𝟏𝟒
;
−𝟐
−𝟕
;
𝟐
𝟕
;
𝟒
𝟏𝟒
;… ;
𝟏𝟖
𝟔𝟑 CLAVE: C
52
PROBLEMA 17
¿Cuántas fracciones de la forma 𝒂𝒃, 𝒃𝒂 ∈ [ 𝟒, 𝟕 ] existen?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6
𝑏𝑎 = 21 𝑎𝑏 = 12
𝑏𝑎 = 42 𝑎𝑏 = 24
𝑏𝑎 = 63 𝑎𝑏 = 36
𝑏𝑎 = 84 𝑎𝑏 = 48
Son 4 fracciones
CLAVE D
RESOLUCIÓN
10𝑎 + 𝑏 7 = 10𝑏 + 𝑎 4
66𝑎 = 33𝑏 → 𝑏 = 2𝑎
Si 𝑵,𝒂𝟔𝒂 ∈ 𝟏𝟑, 𝟏𝟕 , determine N + a.
A) 750 B)752 C) 756 D) 760 E) 770
Problema 18
Resolución
𝑁
𝑎6𝑎
=
13𝑘
17𝑘
𝑎6𝑎 = 𝑎 . 101 + 60 = ሶ17
ሶ17 − 1 𝑎 + ሶ17 + 9 = ሶ17
ሶ−𝑎 = 17 − 9
𝑎 = ሶ17 + 9
𝒂 = 𝟗
𝑁 =
13 𝑥 969
17
= 741
𝒂 + 𝑵 = 𝟕𝟓𝟎
RESPUESTA A
La relación en el conjunto de los números naturales 𝑹 = {(𝒂, 𝒃) ∈ ℕ × ℕ: 𝒂 ∣ 𝒃}
es:
A) Solo Reflexiva. B) Solo Simétrica. C) Es de equivalencia.
D) Reflexiva y Transitiva. E) Solo transitiva
Problema 19
Resolución
Será 𝒂 ∣ 𝒃 reflexiva: (Para todo 𝑥 ∈ 𝐴 se tiene (𝑥, 𝑥) ∈ ℛ )
Para todo 𝑥 ∈ ℕ se tiene 𝒙 ∣ x ∈ ℛ
Dado 𝑥 ∈ ℕ es correcto que todo natural sea divisor de si mismo
Será 𝒂 ∣ 𝒃 simétrica : ( Si 𝑥, 𝑦 ∈ ℛ, entonces (𝑦, 𝑥) ∈ ℛ)
Se tiene 𝒙 ∣ y ∈ ℛ pero no se cumple que 𝑦 ∣ x ∈ ℛ
Será 𝒂 ∣ 𝒃 transitiva : Si 𝑥, 𝑦 ∈ ℛ ⋀ (𝑦, 𝑧) ∈ ℛ entonces (𝑥, 𝑧) ∈ ℛ.
Se tiene 𝑥 ∣ 𝑦 ∈ ℛ 𝑦 ∣ z ⇒ 𝑥 ∣ z 𝟑 ∣ 𝟔 ∈ 𝓡 𝟔 ∣ 𝟏𝟖 ⇒ 𝟑 ∣ 𝟏𝟖EJEMPLO
:
RESPUESTA D
Sea X un conjunto y su potencia 𝓟(𝑿). Sea 𝓡 = {(𝑨,𝑩) ∈ 𝓟(𝑿): 𝑨 ⊂ 𝑩},
una relación sobre 𝓟(𝑿). Entonces 𝓡 es:
A) Sólo Reflexiva B) Sólo Simétrica C) Es de equivalencia
D) Reflexiva y Transitiva. E) Sólo transitiva.
Problema 20
Resolución
{(𝑨, 𝑨) ∈ 𝓟(𝑿): 𝑨 ⊂ 𝑨 REFLEXIV
A
𝑨,𝑩 ∈ 𝓟 𝑿 :𝑨 ⊂ 𝑩 entonces 𝑩,𝑨 ∈ 𝓟 𝑿 :𝑩 ⊂ 𝑨 ,
NO ES SIMETRICA
𝑨,𝑩 ∈ 𝓟 𝑿 :𝑨 ⊂ 𝑩 𝒚 𝑩,𝑪 ∈ 𝓟 𝑿 :𝑩 ⊂ 𝑪 entonces
𝑨, 𝑪 ∈ 𝓟 𝑿 :𝑨 ⊂ 𝑪 TRANSITIVA RESPUESTA D
56
PROBLEMA 21
¿Cuántos elementos 𝒙, 𝒚 ∈ [(𝟏𝟏, 𝟏𝟑)] existen tal que
𝒙𝟐 < 𝟏𝟎 𝟔𝟒𝟖 𝒆 𝒚𝟑 > −𝟏𝟕 𝟓𝟕𝟔? .
A) 2 B) 4 C) 8 D) 10 E) 12 
− 10648 < 𝑥 < 10648
−103,2 < 𝑥 < 103,2
𝑦 >
3
−17576
𝑦 > (−26)
−103,2 < 11𝑘 < 103,2
−9.36 < 𝑘 < 9,36
−9 ≤ 𝑘 ≤ 9
13𝑘 > (−26)
𝑘 > −2
𝑘 = −1, , 1, 2, … , 9
CLAVE D
𝟏𝟎 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔
RESOLUCIÓN
𝑥 = 11𝑘 ∧ 𝑦 = 13𝑘
Si: 𝒂, 𝒃 ∈ 𝟑, 𝟒 𝒚 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝟐𝟓 𝟔𝟎𝟎 determine la suma de cifras de b – a.
A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 11 
Problema 22
Resolución: 
𝒂 , 𝒃 ∈ 𝟑 , 𝟒 => 𝒂 = 𝟑𝒌 𝒚 𝒃 = 𝟒𝒌
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝟐𝟓 𝟔𝟎𝟎
𝟑𝒌 𝟐 + 𝟒𝒌 𝟐 = 𝟐𝟓 𝟔𝟎𝟎
𝟐𝟓. 𝒌𝟐 = 𝟐𝟓 𝟔𝟎𝟎
𝒌𝟐 = 𝟏 𝟎𝟐𝟒
𝒌 = 𝟑𝟐 => 𝒃 − 𝒂 = 𝒌 = 𝟑𝟐
=> 𝟑 + 𝟐 = 𝟓
Problema 23
Resolución: 
𝟏 𝟔𝟒𝟑 , 𝟒 𝟎𝟐𝟖 = 𝟑𝟏 . 𝟓𝟑 , 𝟒 . 𝟏𝟗 . 𝟓𝟑 = 𝟑𝟏 , 𝟕𝟔
(𝟐𝒂 + 𝟏)(𝟓𝒂 − 𝟏)(𝟓𝒂 − 𝟏)𝒂 = 𝟑 𝟒𝟒𝟏 ; 𝟓 𝟗𝟗𝟐
= 𝟑𝟏𝒌 ; 𝟕𝟔𝒌
= 𝟏𝟎𝟕𝒌
𝟓 𝟗𝟗𝟐 = 𝟏𝟎𝟕. 𝒌
𝟓𝟔 = 𝒌
=> 𝒖𝒏𝒂 𝒇𝒓𝒂𝒄𝒄𝒊ó𝒏
¿Cuántas fracciones equivalentes a (1643,4028) existen de modo que la
suma de sus términos sea de la forma (𝟐𝒂 + 𝟏)(𝟓𝒂 − 𝟏)(𝟓𝒂 − 𝟏)𝒂?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Problema 24
Resolución: 
𝟑𝟔𝟎 ; 𝟒𝟐𝟎 = 𝟔𝟎 . 𝟔 , 𝟔𝟎 . 𝟕 = 𝟔 , 𝟕 = (𝟔𝒌 ; 𝟕𝒌)
𝟔𝒌 . 𝟕𝒌 < 𝟒 𝟔𝟎𝟎
¿Cuántas fracciones de términos positivos equivalentes a (360,420),
cumplen que el producto de sus términos sea menor que 4600?
A ) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
𝟒𝟐 . 𝒌𝟐 < 𝟒 𝟔𝟎𝟎
𝒌𝟐 < 𝟏𝟎𝟗, . . .
< 𝒌 < 𝟏𝟎, . . .
𝒌 = 𝟏 ; . . . ; 𝟖 ; 𝟗 ; 𝟏𝟎
𝟐𝟎 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔
PROBLEMA 25
Las fracciones (2n-1, n-2) y (n-3, 2) pertenecen a una misma clase de equivalencia, luego
la suma de las pendientes de las rectas que contienen a las posibles clases de
equivalencia es:
A) -1.5 B) -0.6 C) -0.4 d)1.5 E) 2.5 
(2n-1,n-2)  [(a,b)] y (n-3,2)  [(a,b)]
Luego, la pendiente de la clase de 
equivalencia 
𝑎
𝑏
es 
𝑏
𝑎
.
2𝑛 − 1
𝑛 − 2
=
𝑛 − 3
2
Luego n=1 y n=8
m1= 
𝑛−2
2𝑛−1
=
−1
1
= −1
m2= 
2
𝑛−3
=
2
5
m1+m2=-0.6
(2n-1)*2=(n-2)*(n-3)
Resolución
Rpta B
Sea la clase de equivalencia: [(a,b)]
Por lo que:
PROBLEMA 26
Sean 𝒏 ∈ ℕ, 𝒏 ≠ 𝟔; si las gráficas de 𝒓𝟏 = 𝒏, 𝒏 − 𝟐 𝒚 𝒓𝟐 = [(𝒏 − 𝟔, 𝒏)]
están contenidas en rectas que son perpendiculares y (a,b) es el representante 
canónico de 𝒓𝟏 + 𝒓𝟐. Determine a+b.
A) -1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 5
Son perpendiculares:
m1*m2=-1
m1= 
𝑛
𝑛−2
m2= 
𝑛−6
𝑛
m1*m2= -1
𝑛
𝑛−2
* 
𝑛−6
𝑛
= -1
n-2=-n+6
r1+r2=[(n*n+(n-2)*(n-6);(n-2)*n)]=(12,8)=(3,2)
a+b=5
Resolución
n=4
Rpta E
Representante canónico es: (a,b)=(3,2)
PROBLEMA 27
La
𝟑
𝟑𝟓 se puede aproximar mediante
𝒙𝒏+𝟏 =
𝟐
𝟑
𝒙𝒏 +
𝟑𝟓
𝟑𝒙𝒏
𝟐
Si x0 = 3, la tercera iteración es
A) 3,2710 B) 3,2805 C) 4,253 D) 5,2061 E) 5,83091
n Xn
0 3
1 3.296296296
2 3.271258929
3 3.271066322
Resolución
CLAVE: A
63
PROBLEMA 28
Determine verdadero (V) o falso (F) según corresponda 
I. 
2
5
∩
3
4
= 0; 0
II. El eje X contiene una clase de equivalencia
III. [(3; 4)] + [(2; 3)] = [(5; 6)]
A) FFF B) FFV C) VVV D) VFF E) VVF
III) (𝑎, 𝑏) + (𝑐, 𝑑) = (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐; 𝑏𝑑)
(3,4) + (2,3) = (3(3) + 4(2); 4(3)) = 17,12 ( 𝑭 )
II) (𝑎, 𝑏) = x, 0 ( 𝑭 )
, 
3
4
=
3𝑘
4𝑘
=
3
4
,
6
8
,
9
12
, …I. 
2
5
=
2𝑘
5𝑘
=
2
5
,
4
10
,
6
15
, …
; 
2𝑘
5𝑘
∩
3𝑘
4𝑘
= ∅ ( 𝐹 )
Resolució
n: 
64
Problema 29
Resolució
n: 
Si
7
𝑛2−2
∈
1
𝑘
, si k es un natural. Calcule la suma de los 2 primeros
valores naturales que puede tomar n.
A) 4 B) 7 C) 10 D) 12 E) 14
. 
1
𝑘
=
1
𝑘
, … ,
7
7𝑘
, … , Si :
7
𝑛2−2
∈
1𝑘
, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
7
𝑛2−2
=
7
7𝑘
𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜 ; 𝑛2 − 2 = 7𝑘
4 2
3 1
𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 ∶ 𝑛1 + 𝑛2 = 3 + 4 = 7
65
PROBLEMA 30
Resolución
Si 𝟓 se puede aproximar mediante la expresión
𝒙𝒎+𝟏 =
𝒙𝒎
𝟐
+
𝟓
𝟐𝒙𝒎
donde x0 = 1.
Calcule el promedio aritmético de las 3 primeras aproximaciones.
A)
𝟓𝟑
𝟐𝟎
B)
𝟓𝟑
𝟐𝟏
C)
𝟓𝟏
𝟐𝟑
D)
𝟐𝟏
𝟓𝟑
E)
𝟓𝟑
𝟐𝟐
Para m = 0 ; 𝒙𝟏 =
𝒙𝟎
𝟐
+
𝟓
𝟐𝒙𝟎
=
𝟏
𝟐
+
𝟓
𝟐
= 𝟑
Para m = 1 ; 
Para m = 2 ; 
𝒙𝟐 =
𝒙𝟏
𝟐
+
𝟓
𝟐𝒙𝟏
=
𝟑
𝟐
+
𝟓
𝟔
=
𝟏𝟒
𝟔
=
𝟕
𝟑
𝒙𝟑 =
𝒙𝟐
𝟐
+
𝟓
𝟐𝒙𝟐
=
𝟕/𝟑
𝟐
+
𝟓
𝟏𝟒/𝟑
=
𝟒𝟕
𝟐𝟏
𝑷𝒓𝒐𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐 =
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑
𝟑 ..
=
𝟑 +
𝟕
𝟑
+
𝟒𝟕
𝟐𝟏
𝟑
=
𝟓𝟑
𝟐𝟏