Devore-Cap2-Sec2 - Ariadna Deseusa Morales

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Curso: Probabilidades
Capı́tulo 2: Probabilidad
Material docente en preparación
(Fuente: Texto de J. Devore)
Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales
Universidad de los Andes
March 31, 2021
c©Todo el contenido bajo protección de derecho de autor.
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Capı́tulo 1
Contenido (Clase 0)
Introducción 1
1.1 Poblaciones, muestras y procesos 2
1.2 Métodos pictóricos (gráficos)/tabulares en estadı́stica
descriptiva 10
1.3 Medidas de localización 24
1.4 Medidas de variabilidad 31
Ejercicios suplementarios 42
Bibliografı́a 45
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Capı́tulo 2
Contenido
Introducción 46
2.1 Espacios muestrales y eventos 47
2.2 Axiomas, interpretaciones y
propiedades de probabilidad 51
2.3 Técnicas de conteo 59
2.4 Probabilidad condicional 67
2.5 Independencia 76
Ejercicios suplementarios 82
Bibliografı́a 85
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Capı́tulo 2
Sección 2.1 (Clase 1)
La teorı́a de probabilidades (1931) se construye sobre un
paralelo con la teorı́a de conjuntos (una teorı́a bien establecida
en ese tiempo)
(Axiomas: proposiciones básicas que se asumen verdaderas
Punto de partida de un cuerpo teórico en matemáticas)
Ver:
https://en.wikipedia.org/wiki/Andrey Kolmogorov
https://en.wikipedia.org/wiki/David Hilbert
https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert’s problems
(sexto problema en la lista)
Este paralelo viene a continuación
(dominio de teorı́a de conjuntos es esencial)
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Capı́tulo 2
Sección 2.1 (Clase 1)
2.1 Espacios muestrales y eventos
1 Conjuntos y eventos: paralelos
Experimento: selección de un punto en el conjunto universo
Espacio muestral/Conjunto universo
(Ejemplos 2.1, 2.2, 2.3, 2.4)
Evento / Conjunto (Ejemplos 2.5, 2.6, 2.7)
Evento simple (o elemental)
2 Relaciones de la Teorı́a de Conjuntos:
Complemento, unión, intersección (diagramas de Venn)
(Ejemplos 2.8, 2.9)
3 Definición: Conjunto vacı́o (∅).
4 Definición: Eventos mutuamente exluyentes o disjuntos
(Ejemplos 2.10)
5 Colecciones (o familias) de eventos
(finitas, enumerables, no finitas y enumerables, no
enumerable
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Capı́tulo 2
Experimento, Espacio muestral (Ejemplos 2.1, 2.2, 2.3, 2.4)
Ejemplo 2.1 (Comercio minorista (retailing))
Un sensor instalado en la vitrina de una tienda detecta
cuando un peatón (una persona) se detiene a mirar la
vitrina.
El experimento consiste en observar (el resultado) si esta
persona,
entra, (e) o no entra (n) a la tienda.
El espacio muestral de este experimento es S = {e,n}.
Nota: antes del experimento, uno no ha observado el
resultado.
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Capı́tulo 2
Experimento, Espacio muestral (Ejemplos 2.1, 2.2, 2.3, 2.4)
Ejemplo 2.2
Usted registra la decisión e o n de cada uno de tres
peatones consecutivos.
Luego, un resultado del experimento consiste de tres
letras, una por cada peatón, que representan sus
decisiones.
Por ejemplo, el resultado een, representa las decisiones
del primer, segundo y tercer peatón:
primer peatón entra a a la tienda (e),
segudo peatón entra a a la tienda (e), y
tercer peatón no entra a a la tienda (n).
El espacio muestral de este experimento es
S = {nnn,nne,nen,enn,nee,ene,een,eee}.
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Capı́tulo 2
Experimento, Espacio muestral (Ejemplos 2.1, 2.2, 2.3, 2.4)
Ejemplo 2.3 (Estaciones de Servicio (ES))
En una intersección hay dos ES
Cada ES tiene 6 bombas de gasolina
El experimento consiste en determinar el número de bombas
en uso a una hora particular del dı́a en cada una de las dos ES.
Un resultado experimental e, e ∈ S, especifica:
el número de bombas en uso en la primera ES y
el número de bombas en uso en la segunda ES
Un posible resultado es (2, 2), otro es (4, 1), y otro es (1, 4)
Ası́, los resultados experimentales son pares ordenados
e = (e1,e2), con e1,e2 = 0,1,2, . . . ,6.
Los 49 resultados en S aparecen en la tabla de la próxima
lámina.
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Capı́tulo 2
Experimento, Espacio muestral (Ejemplos 2.1, 2.2, 2.3, 2.4)
Ejemplo 2.3 (Estaciones de Servicio (ES))
En este experimento, S = {(e1,e2) : e1,e2 = 0,1,2, . . . ,6}.
Nota: El espacio muestral del experimento en el que usted
lanza un dado de 6 lados dos veces, se obtiene eliminando la
fila 0 y la columna 0 de la tabla y se obtienen 36 resultados.
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Capı́tulo 2
Experimento, Espacio muestral (Ejemplos 2.1, 2.2, 2.3, 2.4)
Ejemplo 2.4
Personas entran consecutivamente a una tienda por la
única entrada.
Estas personas son visitantes (shoppers). Si uno de ellos
compra durante su visita, se dice que se ha convertido en
un cliente.
Usted lleva a cabo un experimento que consiste en
observar visitantes hasta que uno de ellos compra, o
convierte (C).
(El resultado complementario es que no convierte (N)) .
El espacio muestral de este experimento es,
S = {C,NC,NNC,NNNC,NNNNC, . . .}.
Este espacio muestral tiene cardinalidad no finita,
pero sus resultados se pueden enumerar.
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Capı́tulo 2
Eventos (Ejemplos 2.5, 2.6, 2.7)
Definición: Evento
Sea S un espacio muestral.
Si e ∈ S (e es un elemento de S), se dice que e es un
resultado
Un subconjunto E ⊂ S se dice evento
Un subconjunto con un elemento, E = {e} ⊂ S, se dice
evento simple o elemental.
Si E ⊂ S es un evento con más de un elemento, entonces
E se dice compuesto.
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Capı́tulo 2
Eventos (Ejemplos 2.5, 2.6, 2.7)
Observación y Ocurrencia
Usted ejecuta un esperimento con espacio muestral S.
Sea e ∈ S, y E ⊂ S.
Si la ejecución arroja e, se dice que usted observó el
resultado e.
Si la ejecución arroja e ∈ E , se dice que el evento E
ocurrió.
Notas:
En una ejecución del experimento usted observa e ∈ S, si
y solo si ocurre el evento elemental {e}.
Un evento E ⊂ S tiene interés por su interpretación en un
experimento (ver ejemplos)
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Capı́tulo 2
Eventos (Ejemplos 2.5, 2.6, 2.7)
Ejemplo 2.5
En un experimento cada uno de tres vehı́culos que toman una
salida de una autopista vira a la izquierda (L) o la derecha (R)
al final de la rampa de salida.
Los ocho resultados del espacio muestral son:
LLL, RLL, LRL, LLR, LRR, RLR, RRL y RRR.
Dos eventos simples: E1 = {LLL} y E5 = {LRR}.
Algunos eventos compuestos:
A = {RLL,LRL,LLR} representa el evento
“exactamente uno de los tres autos vira a la derecha”.
B = {LLL,RLL,LRL,LLR} es el evento
“a lo más uno de los autos vira a la derecha”.
C = {LLL,RRR} es el evento
“los tres autos viran en la misma dirección”.
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Capı́tulo 2
Eventos (Ejemplos 2.5, 2.6, 2.7)
Ejemplo 2.5 (cont.)
En la lámina anterior:
E1 = {LLL}
A = {RLL,LRL,LLR}
B = {LLL,RLL,LRL,LLR}
C = {LLL,RRR}
En una ejecución del experimento el resultado es LLL.
Entonces ocurrió el evento simple E1 y por lo tanto también
ocurrieron B y C (pero no A).
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Capı́tulo 2
Eventos (Ejemplos 2.5, 2.6, 2.7)
Ejemplo 2.6 (cont. del Ejemplo 2.3)
Usted observa el número de bombas en uso en cada una de
dos ES de seis bombas, hay 49 posibles resultados, por lo que
existen 49 eventos simples:
E1 = {(0,0)}, E2 = {(0,1)}, . . . ,E49 = {(6,6)}.
Ejemplos de eventos compuestos son (interprételos):
A = {(0,0), (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} =
B = {(0,4), (1,3)(2,2), (3,1), (4,0)} =
C = {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} =
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Capı́tulo 2
Eventos (Ejemplos 2.5, 2.6, 2.7)
Ejemplo 2.7 (cont. del Ejemplo 2.4)
Baterı́as E/F - Visitantes/Clientes
Interprete los siguientes eventos:
A = {C,NC,NNC} =
E = {NC,NNNC,NNNNNC, . . .} =
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Capı́tulo 2
Algunas relaciones de la teorı́a de conjuntos
Repaso individual: Conjuntos y Diagramas de Venn
(Bennett & Briggs)
Complemento: Meyer, P.
(desde Sec. 1.2 (p. 3) hasta Sec. 1.5 (p. 12))
Definiciones
Complemento: A′ (también se denota Ac)
Unión A ∪ B
Intersección A ∩ B
Diagramas de Venn
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Capı́tulo 2
Algunas relaciones de la teorı́a de conjuntos
Ejemplo 2.8 (continuación del ejemplo 2.3)
Bombas en uso en dos ES
Estudio individual
Ejemplo 2.9 (continuación del ejemplo 2.4)
Baterı́as a inspeccionar
Estudio individual
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Capı́tulo 2
Algunas relaciones de la teorı́a de conjuntos
Definiciones
Conjunto vacı́o: ∅
Eventos mutuamente excluyentes o disjuntos
Ejemplo 2.10 Distribuidores de autos: GM,Ford, y Chrysler
Estudio individual
Las operaciones unión e intersección se pueden ampliar a
más de dos eventos
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Capı́tulo 2
Algunas relaciones de la teorı́a de conjuntos (Clase 2)
Definiciones: Colecciones (o familias) de eventos
CF Colección de eventos finita
{E1,E2, . . . ,En}, con n un entero positivo
CnF Colección de eventos no finita, enumerable
{E1,E2, . . .}
CE Colección enumerable de eventos (finita o no finita)
CD Colección enumerable de eventos disjuntos dos-a-dos:
para todo par de eventos Ei ,Ej en la colección, i 6= j ,
Ei ∩ Ej = ∅
CnE Colección de eventos no enumerable (ejemplo)
Sea T un conjunto no enumerable (por ejemplo T =]0; 1[)
Defina los conjunts Et =]0; t ], con t ∈ T
Forme la colección de eventos {Et |t ∈ T}
Esta colección es no enumerable
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Capı́tulo 2
Ejercicios (¡hacerlos!)
Devore: pp 54-55, ejercicios: 1-10 (texto versión 2012)
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Capı́tulo 2
3. Tres componentes conectados forman el sistema del diagrama.
Las componentes del subsistema 2-3 están conectadas en paralelo, luego este
subsistema funciona si por lo menos una de estas dos componentes funciona.
Para que el sistema completo funcione, la componente 1 debe funcionar y el
subsistema 2-3 debe funcionar.
El experimento consiste en determinar la condición de cada componente [E (éxito, la
componente funciona) y F (falla, la componente no funciona)].
a. ¿Qué resultados están en el evento A “exactamente dos de los tres
componentes funcionan”?
b. ¿Qué resultados están en el evento B “por lo menos dos de los componentes
funcionan?”
c. ¿Qué resultados están en el evento C “el sistema funciona?”
d. Describa por extensión los eventos: Cc , A ∩ C, A ∪ C, B ∪ C y B ∩ C.
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Capı́tulo 2
Sección 2.2
2.2 Axiomas, interpretaciones y propiedades de probabilidad
Axiomas
Propiedades
Interpretación de probabilidad
Propiedades adicionales
Cálculo sistemático de probabilidades
Espacios muestrales equiprobables
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Capı́tulo 2
Sección 2.2
Breve repaso de funciones
Notación: f : D → R
x → f (x)
Dominio D, Recorrido R (conjunto de valores)
R = {f (x)|x ∈ D} = f (D)
Dominio de definición
Imagen de E : f (E), con E ⊂ D
f (E) = {f (x)|x ∈ E}
Pre-imagen (o imagen inversa) de T : f−1(T ), con T ⊂ R
f−1(T ) = {x ∈ D|f (x) ∈ T}
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Capı́tulo 2
Sección 2.2
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Capı́tulo 2
Sección 2.2
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Capı́tulo 2
Sección 2.2
Sea S un espacio muestral.
Sea P una función definida para A con A ⊂ S, y con valores
reales.
Definición: Medida de Probabilidad
Axioma 1. Para cualquier A ⊂ S, P(A) ≥ 0.
Axioma 2. P(S) = 1.
Axioma 3. Sea Ai ⊂ S, i = 1,2,3, . . . , una colección
enumerable y no finita de eventos
disjuntos dos a dos (o mutuamente excluyentes).
Entonces,
P (
⋃∞
i=1 Ai) =
∑∞
i=1 P(Ai).
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Capı́tulo 2
Sección 2.2
Proposición
P(∅) = 0
Demostración: ver texto
Proposición
Sea Ai ⊂ S, i = 1, . . . , k , una colección de eventos disjuntos
dos a dos (o mutuamente excluyentes). Entonces,
P
(
k⋃
i=1
Ai
)
=
k∑
i=1
P(Ai)
Demostración: ver texto
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Capı́tulo 2
Sección 2.2
Corolario
Sean A1,A2 ⊂ S dos eventos disjuntos (es decir A1 ∩ A2 = ∅.)
Entonces,
P(A1 ∪ A2) = P(A1) + P(A2)
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Capı́tulo 2
Sección 2.2
Ejemplo 2.11:
Critique la notación del texto.
Repase: progresiones , sumas y series geométricas.
(Sección ”Anualidades” en el texto Haeussler, Ernest F., Paul,
Richard S.; Wood, R. J., 2008.)
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Capı́tulo 2
Sección 2.2
Ejemplo 2.12 (pág. 52) Cont. Ejemplo 2.4.
Prueba de baterı́as una a una hasta observar un éxito
(voltaje en rango prescrito).
Eventos simples: E1 = {E}, E2 = {FE}, E3 = {FFE}, . . . .
Suponga que la probabilidad que una baterı́a dada tenga
voltaje en el rango prescrito es, P({E}) = r = 0.99.
Bajo condiciones de independencia (definición en un par de
clases), se puede demostrar que,
P(E1) = r = 0.99.
P(E2) = (1− r)r = 0.01× 0.99.
P(E3) = (1− r)2r = 0.012 × 0.99, . . .
P(Ek ) = (1− r)k−1r = 0.01k−1 × 0.99, k = 4, . . .
es una asignación que satisface los axiomas.
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Capı́tulo 2
Sección 2.2
Ejemplo 2.12 (pág. 52) Cont.
Note que,
Los eventos Ek , k = 1,2, . . . , son disjuntos dos-a-dos y,
S =
⋃∞
k=1 Ek .
Los eventos Ek , k = 1,2, . . . , son elementales y,
P(Ek ) > 0, k = 1,2, . . .
Cualquier evento A ⊂ S, se puede escribir como
A =
⋃
{ek : ek ∈ A} =
⋃
k :ek∈Ek
Ek ,
Luego P(A) ≥ 0. Es decir, se cumple el Axioma 1.
Para ver que P(S) = 1, Axioma 2, uno usa resultados de
la suma geomética, como muestra la siguiente lámina.
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Capı́tulo 2
Sección 2.2
Ejemplo 2.12 (pág. 52) Cont.
Esta lámina verifica que P(S) = 1. Los pasos principales son,
P(S) =
∞∑
k=1
P(Ek ) =
∞∑
k=1
(1− r)k−1r = r ×
∞∑
k=1
(1− r)k−1 = 1.
Detalles:
1 La suma geométrica es,∑n
k=0 ρ
k = 1−ρ
n+1
1−ρ , (en esta igualdad use ρ = 1− r ).
2 Si |ρ| < 1, entonces la serie geométrica
∑∞
k=0 ρ
k converge,
y su valor es,
∑∞
k=0 ρ
k = 11−ρ .
3 Tomando lı́mites cuando n→∞, arroja,∑∞
k=1 P(Ek ) =
∑∞
k=1(1− r)k−1r = r
∑∞
k=0(1− r)k
= r
∑∞
k=0 ρ
k = r × 11−ρ = r × {
1
1−(1−r)} = 1.
Estos tres puntos implican que
∑∞
k=1(1− r)k−1r = 1
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Capı́tulo 2
Sección 2.2
Interpretaciones de probabilidad
(Conexión entre probabilidad numérica y ocurrencia de eventos)
Interpretación como frecuencia lı́mite
Limitada a eventos repetibles en condiciones idénticas
Intrepretación clásica (basada en ”equi-probabilidad”)
Interpretación circular
Interpretación subjetiva
Asignación de probabilidades son individuales/personales
Leer “Interpretaciones de Probabilidad” en
Probability and Statistics, DeGroot, 1986, o en
Probability and Statistics, DeGroot and Schervish, 1989.
Nota: la Teorı́a (matemática) de Probabilidad
es independiente de interpretaciones de probabilidades.
Es decir, los cálculos son los mismos independientemente
de la interpretación con la que uno trabaja.
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Capı́tulo 2
Sección 2.2
Proposición
Para cualquier evento A ⊂ S, P(A) + P(A′) = 1.
(De donde P(A) = 1− P(A′).)
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Capı́tulo 2
Sección 2.2
Ejemplo 2.13 (Componentes conectadas en series)
(Estudio individual)
F = la componente i Falla (Fi )
E = la componente i no Falla (Ei )
A = el sistema falla
Exprese A en términos de los Ei o de los Fi
A = F1 ∪ · · · ∪ F5
A′ = (F1 ∪ · · · ∪ F5)′ = F ′1 ∩ · · · ∩ F ′5 = E1 ∩ · · · ∩ E5
(Ley de De Morgan)
Calcular P(A′) es más fácil que calcular P(A)
(bajo suposición de independencia, Sección 2.5)
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Capı́tulo 2
Sección 2.2
Ejemplo
Para la próxima reunión entre los presidentes
JB (Jair Bolsonaro) y JT (Justin Trudeau),
provea sus probabilidades subjetivas de los siguientes eventos:
”En un atentado terrorista JB y JT son asesinados”
”En un atentado terrorista JT es asesinado”
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Capı́tulo 2
Sección 2.2
Proposición
Para cualquier evento A ⊂ S, P(A) ≤ 1.
¿Hay simetrı́a con alguno de los Axiomas ?
Conjetura
Sea S un espacio muestral y P una medida de probabilidad
sobre S.
Si A y B son eventos tales A ⊂ B, entonces P(A) ≤ P(B).
Demuestre esta conjetura, si es verdadera.
Si le parece que no lo es, provea un contraejemplo que
compruebe que es falsa.
(este ejercicio tiene un valor lógico).
Nota: Si esta propiedad fuese verdadera, se llamarı́a
“monotonı́a de P.”
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Capı́tulo 2
Sección 2.2
Proposición
Para dos eventos cualesquiera A,B ⊂ S,
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B).
Demostración.
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Capı́tulo 2
Sección 2.2
Ejemplo 2.14 (suscripción a periódicos)
En una comuna,
60% de los hogares se suscriben a “El Mercurio”,
80% se suscriben a “El Barrio”, y
50% de los hogares se suscriben a ambos periódicos.
Usted escoge un hogar al azar (¿por qué?),
Determine la probabilidad que este hogar se suscriba a
(1) por lo menos a uno de los dos periódicos (evento U) y
(2) exactamente a uno de los dos periódicos (evento E)
Sea A = “se suscribe al El Mercurio”, y
sea B = “se suscribe al El Barrio”,
Con los datos del enunciado,
P(A) = 0.6,P(B) = 0.8, y P(A ∩ B) = 0.5.
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Capı́tulo2
Sección 2.2
(1) P(U) = P(A ∪ B) =?
(2) La solución requiere expresar E en términos de A y B:
E = . . .
E = (A ∩ Bc) ∪ (Ac ∩ B),
P(A ∩ Bc) = P(A)− P(A ∩ B)
P(Ac ∩ B) = P(B)− P(A ∩ B)
P(E) =? �
Nota: (a propósito del ejemplo)
No confunda frecuencia relativa con probabilidad
Por conveniencia pedagógica textos confunden
(erróneamente) estas dos cantidades
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Capı́tulo 2
Sección 2.2
Extensión (p. 56)
Para tres eventos cualesquiera A,B,C ⊂ S,
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C)
−P(A ∩ B)− P(A ∩ C)− P(B ∩ C)
+P(A ∩ B ∩ C).
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Capı́tulo 2
Sección 2.2
Espacios muestrales enumerables (inglés: countable).
Un pasajero escoge un vagón para su viaje.
Resultados del experimento (etiquetas):
e1 = escoge el vagón 1, . . .
ei = escoge el vagón i , . . .
e5 = escoge el vagón 5.
Espacio muestral: S = {ei , i = 1, . . . ,5}
S es enumerable, finito, con cardinalidad #S = 5.
Si el número de vagones es no finito, entonces,
S = {ei , i = 1, . . .}
Eventos elementales: E1 = {e1}, E2 = {e2}, . . . ,E5 = {e5}.
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Capı́tulo 2
Sección 2.2
Nota: los vagones de la figura exhiben etiquetas:
e1 = 1, e2 = 2, . . . ,e5 = 5.
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Capı́tulo 2
Sección 2.2
Espacios muestrales enumerables (inglés: countable).
Sea S un espacio muestral enumerable, es decir, o bien
S = {ei , i = 1, . . .}, si es no finito, o bien
S = {ei , i = 1, . . . ,n}, si es finito con cardinalidad n.
Sean Ei = {ei}, i = 1, . . . , los eventos elementales.
Note que los Ei , i = 1, . . . , son disjuntos dos a dos. Luego,
1 = P(S) = P
(∞⋃
i=1
{ei}
)
= P
(∞⋃
i=1
Ei
)
=
∞∑
i=1
P(Ei).
Sea A ⊂ S. Luego A es enumerable y,
P(A) = P(
⋃
ei∈A
{ei}) = P(
⋃
ei∈A
Ei) =
∑
ei∈A
P(Ei).
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Capı́tulo 2
Sección 2.2
Ejemplo 2.15 (selección de vagones en un viaje en tren)
Durante horas no punta el tren que viaja entre Pelotillehue
y Cumpeo usa cinco carros (enumerados 1 a 5, de
extremo a extremo). La probabilidad que un usuario
seleccione el carro del medio (3) es el doble que la
probabilidad que seleccione cualquier carro adyancente (2
ó 4), y el doble de probabilidad que seleccione cualquier
carro adyancente que cualquier carro extremo (1 o 5).
Sea Ei el evento que un usuario selecciona el carro i ,
i =,1,2, . . . ,5.
Sea pi = P(Ei), i =,1,2, . . . ,5.
Entonces, p3 = 2p2 = 2p4, y p2 = 2p1 = 2p5 = p4.
Luego, 1 =
∑5
i=1 P(Ei) = . . . =
La probabilidad que un usuario seleccione uno de los tres
carros intermedios es = ?
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Capı́tulo 2
Sección 2.2
Ejemplo 2.15 (selección de vagones en un viaje en tren.
Versión original)
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Capı́tulo 2
Sección 2.2: Lanzamiento de un dado “geométrico”
1 Un dado de 6 lados es tal que la probabilidad de observar
i puntos es pi = c × (1/2)i , i = 1 : 6,
donde c es una constante.
Calcule c.
Calcule la probabilidad de observar un puntaje par
2 Un dado de n lados (n es par) es tal que la probabilidad de
observar i puntos es pi = c × (1/2)i , i = 1 : n,
donde c es una constante.
Calcule c.
Calcule la probabilidad de observar un puntaje par
3 Un dado con lados enumerables es tal que la probabilidad
de observar i puntos es pi = c × (1/2)i , i = 1, . . . ,
donde c es una constante.
Calcule c.
Calcule la probabilidad de observar un puntaje par
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Capı́tulo 2
Sección 2.2
Espacios muestrales equiprobables
Sea S un espacio muestral finito con #S = N.
Nota: el texto usa la notación N(A) para la cardinalidad de A, y
N = N(S) para la cardinalidad de S
Sean Ei = {ei}, i = 1, . . . ,N, los eventos elementales
Definición: espacio equiprobable
Un espacio muestral finito se dice equiprobable sı́ y sólo sı́ los
eventos elementales tienen la misma probabilidad.
Si S es un espacio muestral equiprobable y N(S) = N,
entonces,
P(Ei) = 1/N, ; i = 1,2, . . . .
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Capı́tulo 2
Sección 2.2
Defina p = P(Ei) = 1/N, i = 1, . . . ,N.
Cálculo de probabilidades en espacios equiprobables
P(A) =
∑
ei∈A
P(Ei) =
∑
ei∈A
p =
∑
ei∈A
1
N
=
N(A)
N(S)
=
N(A)
N
.
“no de casos favorables dividido por no de casos totales”
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Capı́tulo 2
Sección 2.2
Ejemplo 2.16
Usted lanza dos dados honestos.
Encuentre la probabilidad que la suma de los puntajes sea 7.
Los dos dados se lanzan por separado,
luego hay N = 36 resultados (= N(S)).
Si ambos dados son honestos, entonces los 36 resultados son
igualmente probables (esto se puede demostrar), por lo tanto,
P(Ei) = 1/36, i = 1, . . . ,36.
Sea A = “suma de dos puntajes es 7”.
Entonces A = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)},
por lo tanto,
P(A) =
N(A)
N
=
N(A)
N
=
6
36
=
1
6
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Capı́tulo 2
Sección 2.2
Nota: No confunda frecuencia relativa con probabilidad
Por conveniencia pedagógica, textos confunden
erróneamente estas dos cantidades
I Resuelva los ejercicios 11 al 28,
páginas 57-59.
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