Clase 0 - Material de Repaso - Zaida Moreno Páez

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Econometŕıa I – EAE-250A
Probabilidades, Estad́ıstica y Álgebra Lineal
Jaime Casassus
Instituto de Econoḿıa
Pontificia Universidad Católica de Chile
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 16-Mar-21
Tabla de Contenidos
1 Fundamentos de Probabilidades
2 Fundamentos de Estad́ıstica
3 Fundamentos de Álgebra Lineal
4 Ejercicios Propuestos
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 16-Mar-21
Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad
Una variable aleatoria es una función que toma valores reales, definida
sobre un espacio de probabilidad.
Para cada variable aleatoria X y cada conjunto A de números reales,
se puede calcular la probabilidad de que X tome un valor en A.
La colección de todas estas probabilidades es la distribución de X .
Sea X una variable aleatoria discreta que toma valores xk con
probabilidad P[X = xk ]. Su Función de Distribución de Probabilidad
(FDP) es
f (x) ≡ P[X = xk ]
y f (x) = 0 en caso contrario.
Sea X una variable aleatoria continua. La Función de Distribución
Acumulada (FDA) se define como
F (x) ≡ P[X ≤ x ] x ∈ R+.
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Distribuciones conjuntas, condicionales e independencia
En econoḿıa y en las ciencias sociales generalmente interesa la
ocurrencia de sucesos que comprenden más de una variable.
Por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de permanecer en la pobreza y
de ser niño o niña? ¿Cuál es la probabilidad de permanecer en la
pobreza dado que se es niño o niña?
La primera pregunta es un ejemplo de probabilidad conjunta, mientras
que la segunda, de probabilidad condicional.
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Distribuciones conjuntas
Sean X e Y variables aleatorias discretas.
Su distribución conjunta queda descrita por completo por la función
de distribución de probabilidad conjunta de X e Y
fX ,Y (x , y) ≡ P(X = x ,Y = y).
P(X = x ,Y = y) denota la probabilidad de que X = x y que Y = y .
Si las variables aleatorias son continuas entonces
P(a ≤ X ≤ b, c ≤ Y ≤ d)
Se dice que las variables X e Y son independientes si y sólo si
fX ,Y (x , y) = fX (x) · fY (y) ∀x , y
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Funciones de distribución de probabilidad marginal
Dada una función de distribución de probabilidad conjunta, las
funciones de distribución de probabilidad marginal se definen como:
fX (x) =
∑
y
fX ,Y (x , y)
fY (y) =
∑
x
fX ,Y (x , y)
Ejemplo de retornos accionarios para los activos X e Y :
X Y
↓ -10% 10%
-20% 1/8
+20% 1/4
Dado que P[Y = 10%] = 1/4, determine las distribuciones de
probabilidad marginal.
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Distribuciones condicionales
La Función de Distribución de Probabilidad Condicional de una
variable aleatoria Y dado X está dada por el Teorema de Bayes
fY |X (y |x) =
fX ,Y (x , y)
fX (x)
Si X e Y son independientes
fY |X (y |x) = fY (y), fX |Y (x |y) = fX (x).
Determine las distribuciones condicionales para el ejemplo de retornos
accionarios.
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Covarianza
Sean X e Y variables aleatorias con µx ≡ E [X ] y µy ≡ E [Y ].
La covarianza entre las variables X e Y está dada por
Cov [X ,Y ] ≡ E [(X − µx)(Y − µy )], que también se denota por σXY .
¿Qué significa σXY > 0? ¿y σXY < 0?
Note que σXY = E [X Y ]− µxµy
Propiedades de la covarianza:
I Si X e Y son independientes, entonces σXY = 0. ¿Es cierta la relación
inversa?
I Cov [a1X + b1, a2Y + b2] = a1a2Cov [X ,Y ] ∀a1, a2, b1, b2 ∈ R.
I |σXY | ≤ σ[X ]σ[Y ] (desigualdad de Cauchy-Schwartz).
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Correlación
Interpretar la magnitud de la covarianza puede ser complicado porque
depende de las unidades de medida de las variables.
La correlación, en cambio, es una medida adimensional
Corr(X ,Y ) ≡ Cov [X ,Y ]
σ[X ]σ[Y ]
≡ σXY
σXσY
.
La correlación también se denota por ρXY .
Propiedades de la correlación:
I −1 ≤ Corr(X ,Y ) ≤ 1.
I Corr(a1X + b1, a2Y + b2) = Corr(X ,Y ) para ∀a1, a2, b1, b2 ∈ R tal
que a1a2 > 0.
I Corr(a1X + b1, a2Y + b2) = −Corr(X ,Y ) para ∀a1, a2, b1, b2 ∈ R tal
que a1a2 < 0.
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Varianza de la suma de variables aleatorias
A partir de la definición de covarianza, se puede enunciar las
siguientes propiedades adicionales de la varianza:
Var [a X + b Y ] = a2Var [X ] + b2Var [Y ] + 2a b Cov [X ,Y ] ∀a, b ∈ R
Si X1,X2, ...,Xn son variables no correlacionadas en parejas
Var [
n∑
i=1
aiXi ] =
n∑
i=1
a2i Var [Xi ]
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Momentos condicionales
En econoḿıa interesa explicar una variable Y con otra X . Esta
información se puede resumir en la esperanza condicional, es decir
E (Y |X )
La varianza también puede ser condicional
Var [Y |X = x ] = E [Y 2|x ]− E [Y |x ]2
Si X e Y son independientes, entonces Var [Y |X ] = Var [Y ].
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Propiedades de la esperanza condicional
E [c(X )|X ] = c(X ) ∀ función c(X ).
E [a(X )Y + b(X )|X ] = a(X )E [Y |X ] + b(X ).
Si X e Y son independientes, entonces E [Y |X ] = E [Y ].
E [E [Y |X ]] = E [Y ].
E [E [Y |X ,Z ]|Z ] = E [Y |Z ].
Si E [Y |X ] = E [Y ], entonces Cov [X ,Y ] = 0, y ninguna función de X
se correlaciona con Y .
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Tabla de Contenidos
1 Fundamentos de Probabilidades
2 Fundamentos de Estad́ıstica
3 Fundamentos de Álgebra Lineal
4 Ejercicios Propuestos
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Métodos estad́ısticos en Econometŕıa
La Estad́ıstica usa tres métodos para aprender acerca de la población:
I Estimación
I Intervalos de confianza
I Tests de hipótesis
La estimación consiste en obtener el valor más razonable de una
caracteŕıstica desconocida de una distribución poblacional, como por
ejemplo, su media.
Los intervalos de confianza emplean los datos de la muestra para
construir un intervalo o rango para una caracteŕıstica poblacional
desconocida.
Los tests de hipótesis consisten en formular una hipótesis espećıfica
acerca de la población y, empleando la evidencia de la muestra,
decidir si es que no es cierta.
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Muestra y población
Sean Y1, . . . ,Yn variables aleatorias independientes con f (y ; θ),
entonces {Y1, . . . ,Yn} es una muestra aleatoria de la población.
Dada una muestra aleatoria, un estimador de θ es una regla que
asigna a cada realización de una muestra un valor de θ.
Por ejemplo, sea {Y1, . . . ,Yn} una muestra aleatoria de una
población con media µ. Un estimador natural de µ es
Ȳ ≡ 1
n
n∑
i=1
Yi
Una estimación es el cálculo del estimador para una realización
y1, . . . , yn de la muestra.
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Estimadores y estimaciones
Un estimador W de un parámetro θ es una función h de las variables
aleatorias Y1, . . . ,Yn
W ≡ h(Y1, . . . ,Yn)
Como h(·) es función de variables aleatorias, W es una variable
aleatoria.
Cuando se evalúan las cifras y1, . . . , yn en la función h, se obtiene una
estimación de θ, denotada como
w = h(y1, . . . , yn)
W es un estimador de θ.
w es una estimación puntual de θ.
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Propiedades de los estimadores
Existen propiedades de muestra finita y propiedades asintóticas, que
tienen que ver con el comportamiento de los estimadores cuando la
muestra tiende a infinito.
Algunas propiedades de los estimadores independiente del tamaño
son:
I Insesgamiento, E (W ) = θ ∀θ
I Eficiencia
F Si W1 y W2 son dos estimadores insesgados de θ, W1 es eficiente en
relación a W2 si Var(W1) ≤ Var(W2) ∀θ, con desigualdad estricta al
menos para un valor de θ.
Algunas propiedades válidas sólo asintóticamente son:
I Consistencia, P(|Wn − θ| > �)→ 0 cuando n→∞ o plim(Wn) = θ
I Normalidad asintótica P(Zn < z)→ Φ(z) cuando n→∞,
Zn
a→ N(0, 1).
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 16-Mar-21Teorema Central del Ĺımite
Teorema: si {Y1, . . . ,Yn} es una muestra de variables aleatorias i.i.d.
con media µ y varianza σ2. Entonces
Zn =
Ȳn − µ
σ/
√
n
tiene una distribución asintótica normal estándar.
En muestras grandes la distribución muestral de la mayoŕıa de los
estimadores es aproximadamente normal.
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Construcción de los intervalos de confianza
Sea {Y1, . . . ,Yn} una muestra aleatoria de la población representada
por la distribución N(µ, 1).
Se sabe que Ȳ ∼ N(µ, 1/n), por lo tanto,
P
(
−1, 96 ≤ Ȳ − µ
1/
√
n
≤ 1, 96
)
= 0, 95.
Despejando µ de la expresión anterior se obtiene el intervalo de
confianza para µ de [
Ȳ − 1, 96√
n
, Ȳ +
1, 96√
n
]
Antes de seleccionar la muestra, el intervalo
[
Ȳ − 1,96√
n
, Ȳ + 1,96√
n
]
contiene a µ con un 95% de probabilidad.
La interpretación correcta del intervalo es que ‘en el largo plazo, al
sacar infinitas muestras y computar en cada una de éstas intervalos
de confianza semejantes, un 95% de estos intervalos contendrá al
parámetro poblacional’.
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Los intervalos de confianza cuando no se conoce σ
Si no se conoce el valor de σ, se usa el estimador S ≡
√∑n
i=1(yi−ȳ)2
n−1 .
Se puede demostrar que Ȳ−µ
S/
√
n
distribuye t con n − 1 grados de
libertad.
Si c es el percentil 97,5% de la distribución t, entonces[
Ȳ − c S√
n
, Ȳ + c
S√
n
]
contiene a µ con un 95% de probabilidad.
De manera más general, el intervalo de confianza[
Ȳ − cα/2
S√
n
, Ȳ + cα/2
S√
n
]
contiene a µ con probabilidad 1− α.
La estimación puntual de S/
√
n se conoce como error estándar de ȳ .
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Test de hipótesis
En los tests de hipótesis se puede cometer dos tipos de errores.
I Error de tipo I: rechazar H0 cuando es verdadera.
I Error de tipo II: “no rechazar” H0 cuando en realidad es falsa.
La tolerancia a cometer un error de tipo I es el nivel de significancia α
α ≡ P(rechazar H0|H0)
En general, se usa uno de los siguientes valores: 0,1, 0,05 ó 0,01.
Si α = 0, 05, quiere decir que se está dispuesto a rechazar
equivocadamente H0 un 5% de las veces.
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Tests para la media de una población normal
Dada una muestra aleatoria, usted quiere testear la media de una
población N(µ, σ2):
La hipótesis nula es
H0 : µ = µ0,
donde µ0 es un valor que especificamos.
Primero, se estandariza el estad́ıstico ȳ para µ
t =
ȳ − µ0
ee(ȳ)
,
donde ee(ȳ) es el error estándar de ȳ .
Este estad́ıstico mide la distancia de ȳ a µ0 en relación al ee(ȳ).
Si la hipótesis alternativa es mu > 0, la regla de rechazo es
t > c .
c es el percentil 1− α de la distribución tn−1.
Si la hipótesis alternativa es µ 6= 0, la regla de rechazo es
|t| > c
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Tests asintóticos para poblaciones no normales
De acuerdo al Teorema Central del Ĺımite, si el tamaño de la muestra
es lo suficientemente grande
T =
Ȳ − µ0
S/
√
n
a∼ N(0, 1)
Es decir, si n es lo suficientemente grande, se puede comparar el
estad́ıstico t con los valores cŕıticos de una distribución normal
estándar.
Recuerde que la distribución tn−1 converge a una normal estándar a
medida que n crece.
Para muestra de tamaño entre 30 y 60 se acostumbra utilizar la
distribución t, mientras que para n > 120 la elección entre la
distribución t y la normal estándar es irrelevante.
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El valor-p
¿Cuál es el nivel de significancia más grande con el que se puede
trabajar sin rechazar la hipótesis nula? Este nivel es el valor-p de un
test.
El valor-p es la probabilidad de obtener un estad́ıstico al menos tan
adverso como el ya obtenido en la dirección de H1, bajo el supuesto
de que H0 es cierta.
El valor-p es un percentil de corte y no provee un criterio para aceptar
o rechazar H0 por śı sola.
Matemáticamente, dependiendo de la hipótesis alternativa, se define
valor-p = P(Tn−1 > t),
valor-p = P(Tn−1 < t),
valor-p = P(|Tn−1| > |t|)
Note que el valor-p depende de la hipótesis alternativa!
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Tabla de Contenidos
1 Fundamentos de Probabilidades
2 Fundamentos de Estad́ıstica
3 Fundamentos de Álgebra Lineal
4 Ejercicios Propuestos
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Transposición
Una matriz Anxm tiene una matriz transpuesta A
>
mxn donde las
columnas de A son las filas de A> y las filas de A son las columnas de
A>.
Propriedades
I (A>)> = A
I (A + B)> = A> + B>
I (AB)> = B>A>
I A> = A implica que A es una matriz simétrica
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Suma y Resta
Para poder sumar o restar 2 matrices, tienen que tener las mismas
dimensiones
Propriedades
I A + B = B + A
I A + B + C = A + (B + C ) = (A + B) + C
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Producto
Se pueden multiplicar matrices Anxm y Bkxl si sus dimensiones son
conformables, es decir que m = k . La matriz resultante es (AB)nxl
Propriedades
I AB 6= BA
I AI = IA = A
I ABC = A(BC ) = (AB)C
I AA = A entonces A es idempotente
x>i =
∑
i xi
x>x =
∑
i x
2
i
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Traza
La suma de los elementos de la diagonal principal
tr(A) =
∑
i
aii
Propriedades
I tr(A + B) = tr(A) + tr(B)
I tr(In) = n
I tr(ABC ) = tr(BCA) = tr(CAB)
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Inversión
Una matriz A tiene una matriz inversa A−1 si AA−1 = A−1A = I . Si
no tiene es singular.
La matriz inversa es única
Propriedades
I (A−1)−1 = A
I (AB)−1 = B−1A−1
I (A>)−1 = (A−1)>
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Independencia lineal
2 matrices son linealmente independientes si no existe ninguna
combinación lineal de alguna que dé como resultado la otra.
El determinante de una matriz será no nulo (distinto de cero) si y solo
si los vectores que la conforman son linealmente independientes.
El rango de una matriz A es el número máximo de columnas
linealmente independientes
Propriedades
I rango(A) = rango(A>)
I Si rango(Akxk) = k , entonces A es invertible.
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Diferenciación
Se puede definir una función lineal de un vector x como f (x) = a>x
∂f (x)
∂x
= a>
Se puede definir una función cuadrática g(x) = x>Ax
∂g(x)
∂x
= (A + A>)x
∂g(x)
∂x
= 2Ax si A es simétrica.
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Matrices definidas positivas y semi-definidas positivas
A es definida positiva (semi-definida positiva) si x>Ax > 0
(x>Ax ≥ 0) ∀x 6= 0
Una matriz definida positiva tiene elementos positivos en su diagonal
(para la semi-definida positiva, son no-negativos)
Si A es definida positiva, entonces A−1 existe y es definida positiva
también
X>X y XX> son semi-definida positiva. Si rango(X ) = k , entonces
son definidas positivas.
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Momentos y distribuciones de vectores aleatorios
Si y es un vector nx1 de variables aleatorias, el valor esperado de y ,
denotado como E (y) es el vector de los valores esperados, es decir
E (y) = [E (y1),E (y2), ...,E (yn)]
>
E (Ay + b) = AE (y) + b y E (AZB) = AE (Z )B, donde A, b,B son
no-aleatorios
La matriz de varianza-covarianza de y es una matriz nxn donde la
diagonal son las varianzas de cada y y términos de covarianza fuera
de su diagonal. Es una matriz simétrica.
Var(a>y) = a>Var(y)a, Var(Ay + b) = AVar(y)A>
Si los elementos de y no se correlacionan, la matriz es diagonal. Si
además todos tienen la misma varianza σ2, entonces Var(y) = σ2In
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1 Fundamentos de Probabilidades
2 Fundamentos de Estad́ıstica
3 Fundamentos de Álgebra Lineal
4 Ejercicios Propuestos
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 16-Mar-21
Ejercicio 1
Suponga que una muestra aleatoria de 8 observacionesX1, . . . ,X8 es
tomada de una distribución normal con media µ y varianza σ2, ambos
parámetros desconocidos. Suponga además que en la muestra∑8
i=1 Xi = −11.2 y
∑8
i=1 X
2
i = 43.7.
Responda las siguientes preguntas:
1 Obtenga la distribución de X n =
∑n
i=1 Xi
n .
2 Exprese Z8 =
∑8
i=1(Xi − X 8)2 en función de (
∑8
i=1 Xi ), (
∑8
i=1 X
2
i ),
y n. Determine el valor de Z8 en la muestra dada.
3 Usted quiere verificar la siguiente hipótesis con α = 5%: H0 : µ = 0;
H1 : µ < 0. Qué puede decir del valor-p del estad́ıstico
correspondiente?
4 Usted quiere verificar la siguiente hipótesis con α = 5%: H0 : µ = 0;
H1 : µ 6= 0. Qué puede decir del valor-p del estad́ıstico
correspondiente?
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Ejercicio 2
Usando datos de los últimos 10 años, se estima que la aprobación histórica
en el curso Econometŕıa ha sido de 80%. La evaluación docente revela que
el 90% de los alumnos que aprueban el curso declara haber estudiando
“harto”, mientras que el 10% restante dice haber estudiado “poco”. De
aquellos alumnos que reprueban el curso, solo el 5% declara haber
estudiando “harto”, mientras que el otro 95% dice haber estudiado
“poco”.
Responda las siguientes preguntas:
1 Cuál es la probabilidad de encontrar en la muestra a un alumno que
haya estudiado “poco”?
2 De acuerdo a los datos presentados, cuál es la probabilidad conjunta
de estudiar “harto” y aprobar el curso de Econometŕıa? Y la
probabilidad conjunta de estudiar “harto” y reprobar este curso?
3 Finalmente, usted ha decidido estudiar “harto” este semestre en el
curso de Econometŕıa. Estime la probabilidad que tiene de aprobar el
curso.
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Ejercicio 3
Suponga que X e Y son variables aleatorias tal que E [Y |X ] = a X + b.
Asuma además que E [X ] = µX , E [Y ] = µY , Var [X ] = σ
2
X , Var [Y ] = σ
2
Y
y Corr [X ,Y ] = ρ.
Responda las siguientes preguntas:
1 Determine el valor de a en función de los parámetros.
2 Determine el valor de b en función de los parámetros.
3 Cuáles seŕıan los valores de a y b si X e Y fueran independientes?
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Ejercicio 4
Sean x e y vectores en R2. En el siguiente gráfico, ŷ es la proyección de y en x y se
puede escribir como ŷ = β̂ x , donde β̂ es un escalar:
Note que, el vector û = y − ŷ es ortogonal a x , por lo tanto, se cumple que
x>(y − β̂ x) = 0.
1 A partir de la ecuación de ortogonalidad, obtenga β̂ en función de x e y , y luego
obtenga el vector de proyección ŷ .
2 Obtenga la proyección de y en x asumiendo que x =
(
9
3
)
y que y =
(
5
5
)
.
3 Suponga que existe una matriz de proyección P de 2× 2, tal que ŷ = P y . Esto
implica que al vector y se le aplica la matriz P y se obtiene la proyección de y en
x . Obtenga la matriz P.
4 Determine el valor de P asumiendo que x =
(
9
3
)
y que y =
(
5
5
)
. Verifique
para este caso que P × P = P. Explique intuitivamente por qué se obtiene este
resultado.
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Ejercicio 5
Considere la siguiente distribución conjunta para las variables X e Y :
Valores de Y
1 2
Valores de X
1 0.25 0
2 0.25 0.25
3 0 0.25
Responda las siguientes preguntas:
1 Calcule E [X ], Var [X ], E [Y ] y Var [Y ].
2 Calcule E [Y |X = x ] para x = {1, 2, 3} y luego verifique que
E [E [Y |X ]] = E [Y ].
3 Finalmente, calcule el coeficiente de correlación entre X e Y .
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Ejercicio 6
Sea Y1, Y2, Y3, Y4 variables aleatorias i.i.d. con media µ y varianza σ
2.
Definimos el siguiente estimador lineal de µ : W =
∑4
i=1 aiYi , donde los
ai ’s son constantes.
1 ¿Qué condición deben cumplir las constantes para que W sea un
estimador insesgado de µ?
2 Calcule Var [W ] y muestre que se cumple Var [W ] ≥ Var [Y ] cuando
W es insesgado. Ayuda: utilice el hecho que 14
(∑4
i=1 ai
)2
<
∑4
i=1 a
2
i
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Ejercicio 7
1 Imagine que usted tiene una muestra aleatoria i.i.d. de una población, y desea
estimar la media poblacional µ. Indique cuál es el estimador lineal insesgado de
ḿınima varianza para este parámetro, y demuestre cómo llega a ese resultado.
2 Viendo su trabajo, una t́ıa suya la comenta que no interesa la eficiencia del
estimador mientras este sea insesgado. ¿Tiene razón su t́ıa? Sea espećıfico en su
respuesta.
3 Viendo su expertise en el tema, un primo suyo le pide que le explique
intuitivamente por qué es razonable que las propiedades de los estimadores mejoren
a medida que aumenta la muestra. ¿Le puede indicar y definir estas propiedades?
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Ejercicio 8
Los tiempos de supervivencia (en años) de 12 personas que se han
sometido a un trasplante de corazón son 3.1, 0.9, 2.8, 4.3, 0.6, 1.4, 5.8,
9.9, 6.3, 10.4, 0 y 11.5. Un cirujano afirma que el tiempo de vida
promedio de las personas sometidas a un trasplante de corazón es mayor a
4 años. Evalúe formalmente dicha afirmación al 5% de significancia,
especificando claramente las hipótesis nula y alternativa.
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Ejercicio 9
Considere la siguiente función:
fx ,y (x , y) = c x
2y para 0 ≤ x ≤ y ≤ 1
con c constante. Responda las siguientes preguntas:
1 Determine el coeficiente c para que fx ,y sea una función de
distribución de probabilidad conjunta.
2 Calcule la distribución de probabilidad condicional fy |x(y |x).
3 A partir del resultado anterior, obtenga la esperanza condicional
E [y |x ].
4 Obtenga E [y ] (Hint: recuerde que E [y ] = E [E [y |x ]]).
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Ejercicio 10
Suponga que X1, . . . ,Xn son variables aleatorias i.i.d. que distribuyen
normal con media µ y varianza σ2. Sea
Zn =
n∑
i=1
wi Xi con
n∑
i=1
wi = 1
Responda las siguientes preguntas:
1 Determine la distribución de Zn.
2 Determine la distribución de (Zn−µ)
2
σ2
∑n
i=1 w
2
i
.
3 Construya una variable aletoria con distribución t de Student a partir
de Zn.
4 Demuestre que la varianza de Zn es ḿınima cuando wi =
1
n .
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Ejercicio 11
Una matriz cuadrada A es ortogonal si A>A = I donde I es la matriz
identidad. Responda las siguientes preguntas:
1 Sea A matriz ortogonal, determine A−1 en función de A.
2 Sea y = Ax donde x e y son vectores y A es matriz ortogonal.
Demuestre que y>y = x>x .
3 Detemine cuál de las siguientes matrices son ortogonales: a)[
2 0
0 0.5
]
, b)
[
0.96 −0.28
0.28 0.96
]
.
4 Construya una matriz ortogonal cuya primera fila sea
[
1√
2
1√
2
]
.
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Ejercicio 12
Usted supone que los retornos anuales del IPSA son variables i.i.d. que
provienen de una distribución normal que tiene media (µ) y varianza (σ2).
Entre 2010 y 2017 los retornos anuales fueron 38%, -15%, 3%, -14%, 4%,
-4%, 13% y 34%. Responda las siguientes preguntas:
1 Suponga que conoce la desviación estándar σ = 16%. Construya el
intervalo de confianza para µ con nivel de confianza de 95%.
2 Suponga ahora que no conoce σ. Construya el intervalo de confianza
para µ con nivel de confianza de 95%.
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