slides-clase08 - Luis Disset - Nelson Osorio Arriola

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Límites laterales
En ocasiones nos interesa el comportamiento de f (x) “cuando
x se acerca arbitrariamente a a”, pero existe una restricción del
tipo x > a o x < a.
Ejemplo
¿Qué queremos decir al hablar de lim
x→0
√
x?
En este caso, x no puede ser negativo, por lo que al calcular
lim
x→0
√
x deben considerarse sólo los valores de x > 0.
Al definir la idea de límite, permitimos situaciones como éstas,
ya que sólo vemos los elementos del dominio que están en la
vecindad del punto; en este caso, el dominio de la función es
R+.
Límites laterales (cont.)
Otra forma de ver el ejemplo anterior es el considerarlo como
un límite cuando x tiende a 0 por la derecha (ya que los valores
de x > 0 se encuentran a la derecha de 0 en la recta
numérica), lo que anotamos lim
x→0+
f (x).
Esta forma de ver este límite puede ser extendida a otros
casos, en que el límite cuando x→ x0 como tal no existe, pero
si existe si sólo consideramos valores de x a la derecha de x0
(o sea, si restringimos el dominio de la función a valores > x0).
Ejemplo
Sea f (x) = bxc. Si consideramos como su dominio D = (3,∞),
entonces lim
x→3
f (x) = 3.
Así, si no restringimos el dominio (o sea, tomamos D = R),
decimos que lim
x→3+
f (x) = 3.
Límites laterales
Formalmente, decimos que lim
x→a+
f (x) = L si y sólo si se
satisface:
(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ D) [(0 < x− a < δ)→ |f (x)− L| < ε] .
Los “límites por la izquierda” ( lim
x→a−
f (x)) se definen en forma
análoga.
Límites en el infinito
Además de interesarnos el comportamiento de una función
f (x) cuando x se acerca a un valor real a, a veces nos interesa
estudiar la tendencia que toma f (x) cuando x crece más allá de
cualquier cota dada, o bien cuando x se hace más negativo
que cualquier número prefijado de antemano.
En estos casos, hablamos de límites “cuando x tiende a infinito”
o o “cuando x tiende a menos infinito”.
Formalmente, lim
x→∞
f (x) = L si y sólo si
(∀ε > 0)(∃M ∈ R)(∀x ∈ R) [x > M → |f (x)− L| < ε] .
Análogamente, lim
x→−∞
f (x) = L si y sólo si
(∀ε > 0)(∃M ∈ R)(∀x ∈ R) [x < M → |f (x)− L| < ε] .
Límites infinitos
Otro tipo de situación en la que estamos interesados es
cuando, en la cercanía de un punto dado a, una función crece
más allá de cualquier posible cota, o se hace más negativa que
cualquier posible cota.
Así, diremos que f (x) tiende a infinito cuando x tiende a a si,
dado cualquier M ∈ R existe una vecindad perforada de a en la
que f (x) ≥ M.
Formalmente, diremos que lim
x→a
f (x) =∞ si y sólo si
(∀M ∈ R)(∃δ > 0)(∀x ∈ R) [0 < |x− a| < δ → f (x) ≥ M] .
Ejercicios
I Defina la noción de que lim
x→a
f (x) = −∞.
I Defina las nociones de que lim
x→∞
f (x) =∞ y
lim
x→∞
f (x) = −∞.
I Defina las nociones de que lim
x→−∞
f (x) =∞ y
lim
x→−∞
f (x) = −∞.
Puntos límite de un conjunto
Sea D ⊆ R (típicamente, nos interesa el caso en que D es el
dominio de alguna función, pero la definición que sigue es más
general que esto).
Diremos que a ∈ R es un punto límite1 de D si existe una
sucesión (xn) de elementos de D tal que xn 6= a y lim
n→∞
xn = a.
Equivalentemente, a ∈ R es un punto límite de D si toda
vecindad de a (o sea, todo intervalo abierto que contiene a a)
contiene algún punto de D, distinto de a.
1O punto de acumulación.
Ejemplos
I Los puntos 0 y 1 son puntos límite del intervalo abierto
(0, 1). Note que todos los puntos de (0, 1) también son
puntos límite de dicho intervalo.
I El punto 0 es un punto límite del dominio de la función
f (x) = 1/x. En realidad, todo a ∈ R es un punto límite de
dicho dominio.
Usando este concepto, podemos ampliar nuestra definición
original de lim
x→a
f (x), al caso en que a sea un punto límite de
Dom f .
Ejemplo: la función sen xx
La figura representa la función f (x) = sen xx , graficada en el
intervalo [−10, 10]:
–0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10
x
La función sen xx “cerca de 0”
La función f (x) = sen xx está definida para todo x ∈ R− {0}.
¿Cómo se comporta f (x) cerca de x = 0? Para responder esto,
debemos calcular lim
x→0
sen x
x
, en caso de que éste exista.
Como sen xx es una función par, basta calcular limx→0+
sen x
x
, ya que
el límite por la izquierda debe ser igual.
La función sen xx (cont.)
De la desigualdad
sen x ≤ x ≤ tan x
se desprende, por una parte, que sen x ≤ x (y por lo tanto
sen x
x
≤ 1),y por otra, que sen x
cos x
≥ x (y por lo tanto sen x
x
≥ cos x).
Así, para x ∈ (0, π/4),
cos x ≤ sen x
x
≤ 1,
y por el teorema del sandwich, obtenemos que lim
x→0+
sen x
x
= 1.
Ejercicios
I En la demostración anterior, usamos el hecho de que
lim
x→0
cos x = 1. Justifique.
I Calcule el valor de lim
x→0
1− cos x
x2
.
Asíntotas de funciones
Una aplicación de los límites de funciones es la determinación
de las asíntotas en el gráfico de éstas.
Una asíntota en el gráfico de una función es una recta tal que
su distancia al gráfico de la función tiende a cero a medida que
la recta se aleja del origen.
Distinguimos tres tipos de asíntotas: verticales, horizontales y
oblicuas.
Asíntotas verticales
Una asíntota vertical de una función es una asíntota con una
ecuación de la forma x = a (donde a es una constante).
La forma de determinar las asíntotas verticales de una función
es encontrar los valores de a tales que lim
x→a−
f (x) =∞,
lim
x→a−
f (x) = −∞, lim
x→a+
f (x) =∞ o lim
x→a+
f (x) = −∞.
Asíntotas horizontales
Una asíntota horizontal de una función es una asíntota con una
ecuación de la forma y = a (donde a es una constante).
La forma de determinar las asíntotas horizontales de una
función es encontrar los valores de a tales que lim
x→∞
f (x) = a o
lim
x→−∞
f (x) = a.
Asíntotas oblicuas
Una asíntota oblicua de la función f (x) es una recta de
ecuación y = mx + n (m, n ∈ R, m 6= 0) tal que
lim
x→∞
(f (x)− (mx + n)) = 0 o lim
x→−∞
(f (x)− (mx + n)) = 0.
Así, para verificar que una recta dada es asíntota oblicua de
f (x), basta calcular los límites infinitos dados, y comprobar que
uno de ellos sea 0.
Un problema más interesante es, dada f (x), encontrar m y n
tales que y = mx + n sea asíntota oblicua de f (x).
Determinacióndeasíntotasoblicuas: calculandom
Dada f (x), para encontrar los valores de m y n que hacen que
y = mx + n sea asíntota oblicua por la derecha2 (o sea, cuando
x→∞), supondremos que dichos valores existen, y
encontraremos condiciones necesarias que ellos deben
cumplir.
Observamos en primer lugar que, bajo la hipótesis de que m y
n existen, ya que lim
x→∞
(f (x)− (mx + n)) = 0, debe tenerse
lim
x→∞
f (x)−(mx+n)
x = 0, por lo que
lim
x→∞
f (x)
x
= lim
x→∞
mx + n
x
= lim
x→∞
(
m +
n
x
)
= m + lim
x→∞
n
x
= m.
Así, m existe, puede ser calculado como m = lim
x→∞
f (x)
x
.
2Por supuesto, para determinar las asíntotas oblicuas por la izquierda el
proceso es análogo.
Determinacióndeasíntotasoblicuas: calculandon
Observamos ahora que, ya que lim
x→∞
(f (x)− (mx + n)) = 0, debe
tenerse lim
x→∞
(f (x)− mx) = n, por lo que —siempre bajo la
hipótesis de que m y n existen— este último puede ser
calculado como
n = lim
x→∞
(f (x)− mx).
Así, si m y n existen, ellos pueden ser calculados (en orden)
como:
m = lim
x→∞
f (x)
x
, n = lim
x→∞
(f (x)− mx).
Nos falta probar que, si estos límites existen, entonces los
valores de m y n obtenidos de ellos efectivamente determinan
una asíntota oblicua. Pero esto es claramente cierto, ya que
lim
x→∞
(f (x)− (mx + n)) = lim
x→∞
(f (x)− mx)− lim
x→∞
n = n− n = 0.