09 03 Confiabilidad Probabilidad y estadística para ingenieros, 8va ed , Miller _ Freund-Cap16 - Jaqueline Avila Rico

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L
a labor de diseñar y supervisar la fabricación de un producto se ha vuelto cada vez 
más difícil por los rápidos avances en la soisticación de los productos modernos, 
así como por la severidad de las condiciones ambientales bajo las cuales deben 
realizarse. Un ingeniero ya no puede estar satisfecho si la operación de un producto es 
técnicamente factible, o si se puede hacer funcionar en condiciones óptimas. Además de 
consideraciones como el costo y la facilidad de manufactura, ahora debe ponerse mayor 
atención al tamaño y al peso, la facilidad de mantenimiento y la coniabilidad. La magnitud 
del problema de sustentabilidad y coniabilidad se ilustra mediante encuestas que des-
cubren el hecho de que un alto porcentaje del equipo electrónico de la era espacial es 
inoperante. Las encuestas militares han demostrado asimismo que los gastos de manteni-
miento y reparación para equipo electrónico con frecuencia exceden el costo original de 
obtención o adquisición, incluso durante el primer año de operación.
En la sección 16.1 se deine el concepto de coniabilidad. En la sección 16.2 se dis-
cuten y aplican distribuciones de probabilidad especial al cálculo de coniabilidades. En 
las secciones 16.3 y 16.4 se introduce algo de teoría y aplicaciones relacionadas con las 
pruebas de productos para ciclo de vida útil.
16.1 Coniabilidad
El problema de asegurar y mantener la coniabilidad tiene muchas facetas, como el diseño 
de equipo original, el control de calidad durante la producción, la inspección de aceptación, 
los ensayos en campo, las pruebas del ciclo de vida y las modiicaciones del diseño. Para 
complicar el asunto un poco más, la coniabilidad es competencia directa o indirecta de 
otras consideraciones ingenieriles, costos generales, complejidad, tamaño y peso, y sus-
tentabilidad. A pesar de sus complicados aspectos de ingeniería, es posible ofrecer una 
deinición matemática relativamente sencilla de la coniabilidad. Para motivar esta deini-
ción, es posible llamar la atención del lector al hecho de que un producto puede funcionar 
satisfactoriamente bajo un conjunto de condiciones, pero no bajo otras condiciones, y que 
el rendimiento satisfactorio para un propósito no garantiza el rendimiento adecuado para 
otro propósito. Por ejemplo, un microchip perfectamente satisfactorio para su uso en un ra-
dio doméstico quizá resulte completamente insatisfactorio para su uso en el sistema de guía 
a bordo de un misil. En concordancia, la coniabilidad de un producto se deinirá como la 
probabilidad de que funcionará dentro de los límites especiicados por, al menos, cierto 
periodo de tiempo en condiciones ambientales determinadas. Por lo tanto, la coniabilidad 
de un neumático de automóvil de equipo estándar está cerca de la unidad durante 10,000 
millas de operación normal en un auto de pasajeros, pero prácticamente es de cero para su 
uso en las 500 millas de Indianápolis.
Puesto que la coniabilidad se deine como una probabilidad, el tratamiento teórico de 
este tema se basa esencialmente en el material introducido en los capítulos anteriores de este 
libro. Por consiguiente, las reglas de probabilidad introducidas en el capítulo 3 pueden apli-
carse directamente al cálculo de la coniabilidad de un sistema complejo, si se conocen las 
16
Contenido 
deL CAPÍtULo
16.1 Coniabilidad 487
16.2 Distribución del 
tiempo de falla 489
16.3 El modelo exponencial 
en las pruebas del ciclo 
de vida 493
16.4 El modelo de Weibull 
en las pruebas del 
ciclo de vida 496
 Ejercicios de 
repaso 501
 Términos clave 502
APLICACIóN A LA 
CONFIABILIDAD Y A LAS 
PrUEBAS DEL CICLO DE VIDA
CAPÍTULO
488 Capítulo 16 Aplicación a la coniabilidad y a las pruebas del ciclo de vida
coniabilidades de los componentes individuales. (Por lo general, las estimaciones de las con- 
iabilidades de los componentes individuales se obtienen mediante pruebas estadísticas del 
ciclo de vida, como las que se estudian en las secciones 16.3 y 16.4.)
Muchos sistemas se consideran sistemas en serie o en paralelo, o una combinación 
de ambos. Un sistema en serie es aquel cuyos componentes están todos tan interrelacio-
nados que el sistema completo fallará si alguno de sus componentes falla; un sistema en 
paralelo es aquel que fallará tan solo si todos sus componentes fallan.
Primero se estudiará un sistema de n componentes conectados en serie, y se su-
pondrá que los componentes son independientes; a saber, que el rendimiento de cualquier 
parte no afecta la coniabilidad de las otras. En tales condiciones, la probabilidad de que 
el sistema funcionará está dada por la regla especial de multiplicación de probabilidades, 
y se tiene
(0.970)5 = 0.859
(0.970)10 = 0.737
FP =
n
i =1
Fi
RS =
n
i = 1
Ri
donde Ri es la coniabilidad del i-ésimo componente y RS es la coniabilidad del sistema en 
serie. Esta sencilla ley de productos de coniabilidades, aplicable a sistemas en serie de 
componentes independientes, demuestra claramente el efecto de la complejidad creciente 
en la coniabilidad.
Cálculo de la coniabilidad de un sistema en serie
Un sistema consiste en 5 componentes independientes en serie, y cada uno tiene una con-
iabilidad de 0.970. ¿Cuál es la coniabilidad del sistema? ¿Qué ocurre con la coniabilidad 
del sistema, si su complejidad aumenta de modo que contiene 10 componentes similares?
La coniabilidad del sistema de 5 componentes es
Ley de productos de 
coniabilidades
Aumentar la complejidad del sistema a 10 componentes reducirá la coniabilidad del sis-
tema a
Al observar de otra forma el efecto de aumentar la complejidad, se descubre que cada uno 
de los componentes en el sistema de 10 componentes requeriría una coniabilidad de 0.985, 
en vez de 0.970, para que el sistema de 10 componentes tenga una coniabilidad igual a la 
del sistema original de 5 componentes. n
Una forma de aumentar la coniabilidad de un sistema consiste en sustituir ciertos com-
ponentes por varios componentes similares conectados en paralelo. Si un sistema consiste 
en n componentes independientes conectados en paralelo, fallará en su funcionamiento 
solo si fallan todos los n componentes. Por ende, si Fi = 1 − Ri es la “no coniabilidad” 
del i-ésimo componente, se puede aplicar de nuevo la regla especial de la multiplicación de 
probabilidades para obtener
donde FP es la no coniabilidad del sistema en paralelo y RP = 1 − FP es la coniabilidad del 
sistema en paralelo. Por ende, para sistemas en paralelo, se tiene una ley de productos de 
no coniabilidades similar a la ley de productos de coniabilidades para sistemas en serie.
EJEMPLO
Solución
Sec. 16.2 Distribución del tiempo de falla 489
Al escribir esta ley de otra forma, se obtiene
para la coniabilidad de un sistema en paralelo.
Cálculo de la coniabilidad de un sistema complejo
Las dos fórmulas básicas para la coniabilidad de sistemas en serie y en paralelo se utilizan 
en combinación para calcular la coniabilidad de un sistema, cuyas partes estén tanto en se-
rie como en paralelo. Para ilustrar tal cálculo, considere el diagrama del sistema de la igura 
16.1, que consiste en ocho componentes que tienen las coniabilidades que se muestran en 
dicha igura. Encuentre la coniabilidad de tal sistema.
Figura 16.1
Coniabilidad del sistema
El ensamble en paralelo C, D, E puede sustituirse con un componente C′ equivalente que 
tiene la coniabilidad 1 − ( 1 − 0.70)3 = 0.973, sin afectar la coniabilidad global del 
sistema. Asimismo, el ensamble en paralelo F, G, puede sustituirse con un solo componen-
te F′ que tiene la coniabilidad 1− ( 1 − 0.75 )2 = 0.9375. El sistema en serie resultante 
A, B, C′, F′, H, equivalente al sistema original, tiene la coniabilidad
16.2 distribución del tiempo de falla
De acuerdo con la deinición de coniabilidad dada en la sección anterior, la coniabilidad 
de un sistema o un componente con frecuencia dependerá de la duración de tiempo que 
haya estado en servicio. Por lo tanto, en los estudios de coniabilidad, la distribucióndel 
tiempo de falla es de importancia fundamental; esto es, la distribución del tiempo de falla 
de un componente bajo condiciones ambientales dadas. Una forma útil de caracterizar esta 
distribución es mediante su razón de  falla  instantánea asociada. Para desarrollar este 
concepto, primero sea f (t) la densidad de probabilidad del tiempo de falla de un com-
ponente dado; esto es, la probabilidad de que el componente fallará entre los tiempos t y 
t + t está dada por f (t) · t. Entonces, la probabilidad de que el componente fallará en 
el intervalo de 0 a t está dada por
y la función de coniabilidad, que expresa la probabilidad de que sobreviva al tiempo t, 
está dada por
R(t) = 1 − F(t)
HBA
F
G
C
D
E
0.70
0.70
0.70
0.990.95
0.75
0.75
0.90
(0.95)(0.99)(0.973)(0.9375)(0.90) = 0.772
F(t) =
t
0
f (x) dx
Ley de productos de 
no coniabilidades
RP = 1 −
n
i =1
( 1 − Ri )
EJEMPLO
Solución
n
490 Capítulo 16 Aplicación a la coniabilidad y a las pruebas del ciclo de vida
Por consiguiente, la probabilidad de que el componente fallará en el intervalo de t a t + t 
es F(t + t) − F(t), y la probabilidad condicional de fallar en este intervalo, dado que el 
componente sobrevivió al tiempo t, se expresa mediante
Fallas 
tempranas
Razón 
de falla
Tiempo0
Fallas por azar Fallas por 
desgaste
F(t + t) − F(t)
R(t)
F(t + t) − F(t)
t
·
1
R(t)
Z(t) =
F (t)
R(t)
Al dividir entre t, se encuentra que la razón promedio de falla en el intervalo de t a t + t, 
dado que el componente sobrevivió al tiempo t, es
Al tomar el límite conforme t → 0, se obtiene entonces la razón de falla instantánea, o 
simplemente la razón de falla o razón de riesgo
donde F′(t) es la derivada de F(t) con respecto a t. Finalmente, al observar que f (t) = F (t) 
(véase la página 122), se obtiene la relación
ecuación general para 
función de razón 
de falla
La función de razón de falla expresa la razón de falla en términos de la distribución del 
tiempo de falla.
En la igura 16.2 se ilustra una curva de razón de falla típica de muchos artículos 
fabricados. La curva se divide convenientemente en tres partes. La primera se caracteriza 
por una razón de falla decreciente y representa el periodo durante el cual se eliminan los 
artículos deicientemente fabricados. (En la industria electrónica es común someter los com-
ponentes a ensayos destructivos antes de su uso real, con la inalidad de eliminar cualquier 
falla temprana.) La segunda parte, que con frecuencia se caracteriza por una razón de falla 
constante, generalmente se considera como el periodo de vida útil durante el cual única-
mente ocurren fallas por azar. La tercera parte se caracteriza por una razón de falla cre-
ciente, y es el periodo durante el cual los componentes fallan sobre todo debido a que están 
desgastados. Note que la misma curva de razón de falla general es típica de la mortalidad 
humana, donde la primera parte representa la mortalidad infantil, y la tercera parte corres-
ponde a la mortalidad en la vejez.
Ahora se derivará una relación importante que expresa la densidad del tiempo de falla 
en términos de la función de la razón de falla. Al usar el hecho de que R(t) = 1 − F(t) y, 
Figura 16.2
Curva de razón de falla típica
Z(t) =
f (t)
R(t)
=
f (t)
1 − F(t)
Sec. 16.2 Distribución del tiempo de falla 491
por lo tanto, que F (t) = −R (t), se escribe
Z(t) = −
R (t)
R(t)
= −
d [ ln R(t) ]
dt
R(t) = e
−
t
0
Z(x) dx
f (t) = α · e−α t t > 0
Z(t) = α β tβ − 1 t > 0
f (t) = α β tβ − 1 e−α t
β
t > 0
Al resolver esta ecuación diferencial para R(t), 
y, al usar la relación f (t) = Z(t) · R(t), se obtiene inalmente
Como se ilustra en la igura 16.2, con frecuencia se supone que la razón de falla es cons - 
tante durante el periodo de vida útil de un componente. Al denotar esta razón de falla 
cons tante con α, donde α > 0, y al sustituir α por Z (t) en la fórmula para f (t), se obtiene
f (t) = Z(t) · e
−
t
0
Z(x) dx
ecuación general 
para distribución del 
tiempo de falla
Por lo tanto, se tiene una distribución exponencial de tiempo de falla cuando puede su-
ponerse que la razón de falla es constante. Por este motivo, a la suposición de razones de 
falla constantes en ocasiones también se conoce como suposición exponencial. El tiempo 
de falla también tiene una interpretación como tiempo de espera. Si un componente que 
falla se sustituye de inmediato con uno nuevo que tenga la misma razón de falla constante 
α y la ocurrencia de fallas sigue un proceso de Poisson, entonces los tiempos de espera tie-
nen esta distribución exponencial de acuerdo con los resultados de la sección 5.7. Como se 
observa en la página 140, el tiempo de espera medio entre fallas sucesivas es 1/α, o bien, el 
recíproco de la razón de falla. Por lo tanto, la constante 1/α con frecuencia se conoce como 
tiempo medio entre fallas y se abrevia mtbf.
Hay situaciones donde la suposición de una razón de falla constante no es realista y, 
en muchas de dichas situaciones, uno supone más bien que la función de razón de falla 
aumenta o disminuye suavemente con el tiempo. En otras palabras: se supone que no hay 
discontinuidades o puntos de retorno. Esta suposición sería consistente con las etapas ini-
cial o inal de la curva de razón de falla que se muestra en la igura 16.2.
Una función útil usada con frecuencia para aproximar tales curvas de razón de falla 
está dada por
donde α y β son constantes positivas. Advierta la generalidad de esta función: si β < 1, la 
razón de falla disminuye con el tiempo; si β > 1, aumenta con el tiempo; y si β = 1, la razón 
de falla es igual a α. Note que la suposición de una razón de falla constante, la suposición 
exponencial, se incluye por lo tanto como caso especial.
Si la expresión anterior se sustituye con Z(t) en la fórmula anterior para f(t), se obtiene
donde α y β son constantes positivas. Esta densidad, o distribución, es la distribución de 
Weibull, que se introdujo en la sección 5.9, y se estudia su aplicación a problemas de prue-
bas del ciclo de vida en la sección 16.4.
Ejercicios
  16.1 Una cadena de luces navideña tiene 8 bombillas conec-
tadas en serie. ¿Cuál tendría que ser la coniabilidad de 
cada bombilla si hubiera una posibilidad del 95% 
de que la cadena funcione después de un año de alma-
cenamiento?
  16.2 Un sistema consiste en 5 componentes idénticos co-
nectados en paralelo. ¿Cuál debe ser la coniabilidad de 
cada componente si la coniabilidad global del sistema 
tiene que ser de 0.96?
  16.3 Un sistema consiste en 6 componentes conectados 
como en la igura 16.3. Encuentre la coniabilidad ge-
neral del sistema, dado que las coniabilidades de A, 
B, C, D, E y F son, respectivamente, 0.95, 0.80, 0.90, 
0.99, 0.90 y 0.85.
Z(t) =
1 − θ1 − θ2
β − )(1 − θ1 ) − ( 1 − θ1 − θ2 )( t − )( α α
A
B
C
D
E
F
Z(t) =
β 1 −
t
α
para 0 < t <
0 de otra forma
α
1 − e−αβ 2/
f (t) =
1 − θ1 − θ2
β − α
Figura 16.3 Sistema para el ejercicio 16.3
  16.4 Suponga que el vuelo de una aeronave se conside-
ra como un sistema que tiene los tres componentes 
principales A (aeronave), B (piloto) y C (aeropuerto). 
Suponga asimismo que el componente B puede consi-
derarse como un subsistema en paralelo que consiste 
en B1 (capitán), B2 (primer oicial) y B3 (ingeniero de 
vuelo); y C es un subsistema en paralelo que consiste 
en C1 (aeropuerto programado) y C2 (aeropuerto al-
ternativo). Con condiciones de vuelo dadas, las con-
iabilidades de los componentes A, B1, B2, B3, C1 y 
C2 (deinidas como las probabilidades de que pueden 
contribuir a la terminación exitosa del vuelo programa-
do) son, respectivamente, 0.9999, 0.9995, 0.999, 0.20, 
0.95 y 0.85.
 a) ¿Cuál es la coniabilidad del sistema?
 b) ¿Cuál es el efecto sobre la coniabilidad del sistema 
de tener un ingeniero de vuelo que también es un 
piloto capacitado, de modo que la coniabilidad de 
B3 aumenta de 0.20 a 0.99?
 c) Si la tripulación del vuelo no tiene un primer oicial, 
¿entonces cuál sería el efecto de aumentarla conia-
bilidad de B3 de 0.20 a 0.99?
 d) ¿Cuál es el efecto de agregar un segundo punto 
de aterrizaje alternativo, C3, con coniabilidad de 
0.80?
  16.5 En algunos problemas de coniabilidad uno está pre-
ocupado tan solo con las fallas iniciales, y un compo-
nente se trata como si (para todo propósito práctico) 
nunca fallara, una vez que sobrevivió cierto tiempo 
t = α. En un problema como este, sería razonable usar 
la razón de falla
 a) Encuentre expresiones para f (t) y F(t).
 b) Demuestre que la probabilidad de una falla inicial 
está dada por
  16.6 Como se indicó en el texto, con frecuencia uno dis-
tingue entre fallas iniciales, fallas aleatorias durante la 
vida útil del producto, y fallas por desgaste. Por ende, 
suponga que, para un producto dado, la probabilidad 
de una falla inicial (una falla antes del tiempo t = α) 
es θ1, la probabilidad de una falla por desgaste (una 
falla más allá del tiempo t = β) es θ2, y la del intervalo 
α ≤ t ≤ β , la densidad del tiempo de falla está dada 
por
 a) Encuentre una expresión para F(t) para el intervalo 
α ≤ t ≤ β.
 b) Demuestre que, para el intervalo α ≤ t ≤ β , la ra-
zón de falla está dada por
 c) Suponga que se considera que la falla de un televi-
sor digital tiene una falla inicial si ocurre durante las 
primeras 100 horas de uso, y una falla por desgaste 
si ocurre después de 15,000 horas. Si se supone que 
el modelo dado en este ejercicio se sostiene y que θ1 
y θ2 son iguales a 0.05 y 0.75, respectivamente, 
bosqueje la gráica de la función de razón de falla 
de t = 100 a t = 15,000 horas.
  16.7 Un chip de circuito integrado tiene una razón de falla 
constante de 0.02 por mil horas.
 a) ¿Cuál es la probabilidad de que operará satisfacto-
riamente durante, al menos, 20,000 horas?
492 Capítulo 16 Aplicación a la coniabilidad y a las pruebas del ciclo de vida
Sec. 16.3 El modelo exponencial en las pruebas del ciclo de vida 493
  b) ¿Cuál es la coniabilidad de 5,000 horas de un com-
ponente que consiste en 4 de tales chips conectados 
en serie?
  16.8 Después de someterse a un ensayo destructivo, el tiem-
po de vida de una celda solar se modela como una dis-
tribución exponencial con razón de falla α = 0.0005 
fallas por día.
 a) ¿Cuál es la probabilidad de que la celda fallará den-
tro de los primeros 365 días de que está en opera-
ción?
 b) ¿Cuál es la probabilidad de que dos de tales celdas, 
que operan de manera independiente, sobrevivirán 
ambas los primeros 365 días que están en opera-
ción?
16.9 Si un componente tiene la distribución del tiempo de 
falla de Weibull con los parámetros α = 0.005 por hora 
y β = 0.80, encuentre la probabilidad de que operarán 
exitosamente durante al menos 5,000 horas.
16.3 el modelo exponencial en las pruebas 
del ciclo de vida
Un método efectivo y ampliamente usado para manejar problemas de coniabilidad es el de 
las pruebas del ciclo de vida. Con la inalidad de usar tales pruebas, de un lote se seleccio-
na una muestra aleatoria de n componentes, puestos a prueba en las condiciones ambien-
tales especiicadas, y se observan los tiempos de falla de los componentes individuales. Si 
cada componente que falla se sustituye de inmediato por uno nuevo, la prueba del ciclo de 
vida resultante se conoce como prueba de sustitución; de otro modo, la prueba del ciclo 
de vida se llama prueba sin sustitución. Siempre que la vida media de los componentes 
sea tan grande que no resulte práctica o económicamente factible probar cada componente 
a la falla, la prueba del ciclo de vida puede truncarse, después de transcurrido un periodo 
de tiempo ijo. De manera alternativa, puede terminarse después de ocurridas las primeras 
r fallas (r ≤ n).
Un método especial que se utiliza con frecuencia, cuando se requieren resultados tem-
pranos en conexión con componentes de coniabilidad muy alta, son las pruebas de vida 
acelerada. En una prueba de vida acelerada, los componentes se ponen a prueba en con-
diciones ambientales mucho más severas que las encontradas normalmente en la práctica. 
Esto hace que los componentes fallen más rápidamente y ello reduciría drásticamente tanto 
el tiempo requerido para la prueba como el número de componentes que deben probarse. 
Las pruebas de vida acelerada sirven para comparar dos o más tipos de componentes con la 
inalidad de obtener una valoración rápida de cuál es la más coniable. En ocasiones, se 
realiza experimentación preliminar para determinar la relación entre la proporción de fa-
llas que podrían esperarse en condiciones nominales y en varios niveles de condiciones 
ambientales aceleradas. Los métodos de las secciones 11.4 y 13.2 pueden aplicarse en esta 
conexión para determinar “curvas de reducción”, que relacionan la coniabilidad del com-
ponente con la severidad de las condiciones ambientales en las que operan.
En el resto de esta sección se supondrá que el modelo exponencial sostiene, a saber, 
que la distribución del tiempo de falla de cada componente está dada por
En lo que sigue, se supondrá que n componentes se ponen a prueba, que la prueba del ciclo 
de vida se descontinúa después de que un número ijo, r (r ≤ n), de componentes falla, y 
que los tiempos de falla observados son t1 ≤ t2 ≤ · · · ≤ tr . Se procurará estimar y probar 
hipótesis acerca de la vida media del componente; a saber, µ = 1/α.
Se puede demostrar (véase la referencia a Lawless en la bibliografía) que estimaciones 
insesgadas de la vida media de los componentes están dadas por
estimación de la vida 
media
f (t) = α · e−αt t > 0, dondeα 0>
µ =
Tr
r
494 Capítulo 16 Aplicación a la coniabilidad y a las pruebas del ciclo de vida
donde Tr es la vida acumulada de prueba hasta que ocurre la r-ésima falla y, por lo tanto,
Vida acumulada hasta 
r fallas (prueba sin 
remplazo)
para pruebas sin remplazo y
si la prueba es con remplazo. Note que, si la prueba es sin remplazo y r = n, μ es simple-
mente la media de los tiempos de falla observados.
Para realizar inferencias concernientes a la vida media μ del componente, se usa el 
hecho de que 2Tr /μ es un valor de una variable aleatoria que tiene la distribución chi cua-
drada con 2r grados de libertad. Con la expresión adecuada sustituida por Tr, esto es válido 
sin importar si la prueba se realiza con remplazo o sin él. Por lo tanto, en cualquier caso, un 
intervalo de conianza bilateral de (1 − )100%α para μ está dado por
intervalo de conianza 
para la vida media
donde χ21− α 2/ y χ
2
α 2/ cortan las colas izquierda y derecha del área α/2 bajo la distribución 
chi cuadrada con 2r grados de libertad. (Véase el ejercicio 16.15.)
Las pruebas de la hipótesis nula de que μ = μ0 también pueden basarse en la distri-
bución muestral de 2Tr /μ, y usar la expresión adecuada para Tr dependiendo de si la prue-
ba es con remplazo o sin él. Por lo tanto, si la hipótesis alternativa es μ 0μ> , se rechaza 
la hipótesis nula al nivel de signiicancia α cuando 2Tr / 0μ supera χ2α , o bien,
Región crítica para 
probar H0: � = �0 
contra H1: � > �0
donde χ2α , a determinarse para 2r grados de libertad, se deine como en la página 189. En 
los ejercicios 16.10 y 16.13, se solicita al lector construir y realizar pruebas similares co-
rrespondientes a las hipótesis alternativas μ 0μ< y μ = μ0.
Un procedimiento alternativo para pruebas del ciclo de vida consiste en descontinuar 
la prueba, después de que transcurre una cantidad ija del tiempo de vida acumulado T y el 
número observado de fallas k se trata como el valor de una variable aleatoria. En el impor-
tante caso especial donde n elementos se prueban con remplazo durante una longitud de 
tiempo t*, se tiene T = n t∗. Sin importar si la prueba es con remplazo o sin él, un intervalo 
de conianza aproximado de ( 1 − α 100%) para la vida media del componente está dado 
por
Tr =
r
i = 1
ti + ( n − r ) tr
Tr >
1
2
μ0 χ
2
α
Vida acumulada hasta 
r fallas (prueba con 
remplazo)
Tr = n tr
2T
χ22
< <
2T
χ21
μ
2Tr
χ 2/2
<
2Tr
χ 21 − α 2
<μ
α /
Sec.16.3 El modelo exponencial en las pruebas del ciclo de vida 495
Aquí χ22 corta una cola derecha del área α/2 debajo de la distribución chi cuadrada con 
2k + 2 grados de libertad; en tanto que χ21 corta una cola izquierda del área α/2 debajo de 
la distribución chi cuadrada con 2k grados de libertad.
obtener un intervalo de conianza para la vida media
Suponga que 50 unidades se colocan en prueba del ciclo de vida (sin remplazo) y la prueba 
se trunca después de que r = 10 unidades hayan fallado. Se supondrá asimismo que los 
tiempos de las primeras 10 fallas son 65, 110, 380, 420, 505, 580, 650, 840, 910 y 950 
horas. Estime la vida media del componente y su razón de falla, y calcule un intervalo de 
conianza del 90% para μ.
Dado que n = 50, r = 10,
1
2
μ0 χ
2
0.05 =
1
2
(2,500)(31.410) = 39,263
T10 = ( 65 + 100 + · · · + 950 ) + ( 50 − 10 ) 950
= 43,410 horas
μ =
43,410
10
= 4,341 horas
2(43,410)
31.410
<
2(43,410)
10.851
2,764 < 8,001
<
<μ
μ
La vida media del componente se estima como
La razón de falla α se estima mediante 1/μ = 0.00023 fallas por hora, o bien, 0.23 fallas 
por mil horas. Al usar χ 20.05 = 31.410 y χ 20.95 = 10.851 para 2(10) = 20 grados de liber-
tad, un intervalo de conianza del 90% para μ está dado por
Pruebas de hipótesis concernientes a la vida media
Con los datos del ejemplo anterior, prueba si la razón de falla son 0.40 fallas por mil ho- 
ras, contra la alternativa de que la razón de falla es menor. Utilice el nivel de signiicancia 
de 0.05.
1. Hipótesis nula: μ =
1,000
0.40
= 2,500 horas = μ0
 Hipótesis alternativa: μ > 2,500 horas
2. Nivel de signiicancia: α = 0.05
3. Criterio: rechazar la hipótesis nula si Tr >
1
2
μ0 χ
2
0.05, donde χ 20.05 = 31.410 es el 
valor de chi cuadrada para 2r = 20 grados de libertad.
4. Cálculos: al sustituir χ 20.05 = 31.410 y μ0 = 2,500, se encuentra que el valor crítico 
para esta prueba es
5. Decisión: dado que T10 = 43,410 supera el valor crítico, se debe rechazar la hipótesis 
nula, y concluir que la vida media excede las 2,500 horas o, de manera equivalente, que 
la razón de falla es menor que 0.40 fallas por mil horas. n
Debido a la simplicidad de los procedimientos estadísticos, el modelo exponencial 
se considera frecuentemente. Antes de hacer inferencias, es imperativo que este modelo 
EJEMPLO
Solución
EJEMPLO
Solución
n
o bien,
496 Capítulo 16 Aplicación a la coniabilidad y a las pruebas del ciclo de vida
se compruebe para saber si es adecuado. Se recomienda elaborar una gráica de tiempo 
total en la prueba. Graique el tiempo total a la prueba hasta la i-ésima falla, Ti, dividido 
entre el tiempo total a la prueba a través de la última falla observada (r-ésima), contra i/r. 
Si la población es exponencial, se esperaría ver una recta a lo largo de la línea de 45 grados. 
Cuando ocurre este patrón en línea recta, se concluye que no hay violaciones del modelo 
exponencial evidentes sobre el rango de tiempos de falla. Si la gráica es una curva por arri-
ba de la línea de 45 grados, la evidencia favorece un modelo de la razón de riesgo creciente.
En la página 495 se ilustra la gráica de tiempo total en la prueba. Para t1 = 65, se 
calcula el tiempo total en la prueba
T1 = 65 + ( 50 − 1 ) 65 = 3,250
T2 = 65 + 110 + ( 50 − 2 ) 110 = 5,455
3,250 5,455 18,415 20,295 24,205
27,580 30,660 38,830 41,770 43,410
A continuación, para t2 = 110,
Para continuar, se obtienen todos los valores
de modo que el tiempo total en la prueba hasta la última falla, r = 10, es Tr = 43,410. La 
primera razón T1/T10 = 3.250/43.410 = 0.0749 se graica contra 1/10 = 0.10. Las razones 
para las 10 fallas se graican en la igura 16.4. Sobre el rango de tiempo de fallas observado, 
la gráica no indica alejamientos notables del modelo exponencial supuesto.
1.00.80.60.40.20.0
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
i /r
T
ie
m
po
 to
ta
l e
n 
la
 p
ru
eb
a 
a 
es
ca
la
Figura 16.4
Gráica de tiempo total en la 
prueba
16.4 el modelo de Weibull en las pruebas 
del ciclo de vida
Aunque las pruebas del ciclo de vida de componentes durante el periodo de vida útil por 
lo general se basan en el modelo exponencial, ya se apuntó que la razón de falla de un 
componente quizá no sea constante a lo largo de un periodo de investigación. En algunos 
casos, el periodo de falla inicial sería tan largo que el uso principal del componente se da 
durante este periodo. Sin embargo, el principal propósito de la mayoría de las pruebas del 
ciclo de vida es determinar el tiempo de falla por desgaste, en vez de la falla por azar de 
un componente crítico en un sistema complejo. En tales casos, el modelo exponencial por 
lo general no se aplica, y es necesario sustituir una suposición más general para la de una 
razón de falla constante.
Sec. 16.4 El modelo de Weibull en las pruebas del ciclo de vida 497
Como se observó anteriormente, la distribución de Weibull puede describir de manera 
adecuada el tiempo de falla de componentes, cuando su razón de falla aumenta o disminuye 
con el tiempo. Tiene los parámetros α y β y su fórmula está dada por
distribución de 
Weibull
Función de 
coniabilidad 
de Weibull
Función de razón de 
falla de Weibull
y se sigue (véase el ejercicio 16.20) que la función de coniabilidad asociada con la distri-
bución del tiempo de falla de Weibull está dada por
En la página 491 se demostró que la razón de falla que conduce a la distribución de Weibull 
está dada por
El rango de formas que toma una gráica de la densidad de Weibull es muy amplio, y 
depende básicamente del valor del parámetro β. Como se ilustra en la igura 16.5, la cur-
va de Weibull es asintótica a ambos ejes y está muy sesgada a la derecha para valores 
de β menores que 1; es idéntica a la de la densidad exponencial para β = 1, y tiene un poco 
forma de campana pero sesgada para valores de β mayores que 1.
La media de la distribución de Weibull que tiene los parámetros α y β se obtiene al 
evaluar la integral
Al hacer el cambio de variable u = α tβ , 
Figura 16.5
Funciones de densidad 
de Weibull (α = 1)
f (t) = α β tβ − 1 e−α t
β
t > 0, dondeα 0, 0> >β
R(t) = e−α t
β
Z(t) = α β tβ − 1
μ =
∞
0
t · α β tβ − 1 e−α t
β
dt
μ = α −1/
∞
0
u1/ e−u duβ β
β 0.5
β 1
β 2
0
f (t)
t
498 Capítulo 16 Aplicación a la coniabilidad y a las pruebas del ciclo de vida
Al reconocer la integral como 1 +
1
β
, se encuentra que el tiempo medio de falla para 
el modelo de Weibull es
tiempo medio de falla 
(modelo de Weibull)
Varianza del modelo 
de Weibull
En el ejercicio 16.21 se solicita al lector demostrar que la varianza de esta distribución está 
dada por
Las estimaciones de los parámetros α y β de la distribución de Weibull son un poco 
difíciles de obtener. El enfoque más ampliamente aceptado es el método de máxima ve-
rosimilitud, donde se maximiza la verosimilitud. Puesto que las derivadas parciales con 
respecto a α y β deben desaparecer en el máximo, el método selecciona la solución de estas 
dos ecuaciones como los estimadores de α y β. Si los tiempos de vida son censurados 
en la r-ésima falla (la prueba termina en la r-ésima falla), o no se censuran de modo que 
r = n, las ecuaciones son
La primera ecuación se resuelve para β mediante técnicas numéricas. Entonces, la segunda 
produce la estimación de α. Se trata de cálculos sencillos en computadora.
Si las vidas se truncan en el tiempo cuando T0, los términos con un factor n – r se 
modiican al sustituir cada tr con T0.
Un método gráico ofrece una comprobación de lo adecuado del modelo de Weibull. 
Este método se basa en el hecho de que la función de coniabilidad de la distribución de 
Weibull puede transformarse en una función lineal de ln t mediante una transformación 
de doble logaritmo. Al tomar el logaritmo natural de R(t), se obtiene
Tomamos logaritmos nuevamente, 
y se observa que el lado derecho es lineal en ln t.
El procedimiento experimental usual es colocar n unidades en la prueba del ciclo de 
vida y observar sus tiempos de falla. Si lai-ésima falla ocurre en el tiempo ti, se estima 
F(ti ) = 1 − R(ti ) con el mismo método utilizado para la gráica de valores normales (véa-
se la página 164), a saber,
F(ti ) =
i
n + 1
r
i = 1
t
β
i ln ti + ( n − r ) t
β
r ln tr
r
i = 1
t
β
i + ( n − r ) t
β
r
−
1
β
−
1
r
r
i = 1
ln ti = 0
α =
1
1
r
r
i = 1
t
β
i + ( n − r ) t
β
r
ln R(t) = −α tβ ln
1
R(t)
= α tβo bien 
ln ln
1
R(t)
= ln α + β · ln t
μ = α−1/ 1 +
1
β
β
σ2 = α−2/ 1 +
2
β
− 1 +
1
β
2
β
Sec. 16.4 El modelo de Weibull en las pruebas del ciclo de vida 499
Para construir una gráica de Weibull, graique ln ti contra
Si los puntos no caen razonablemente cerca de una línea recta, se contradice la suposición 
de que la distribución del tiempo de falla subyacente es del tipo de Weibull.
Una muestra de 100 componentes se somete a la prueba del ciclo de vida durante 500 
horas y los tiempos de falla de los 12 componentes que fallaron durante la prueba son los 
siguientes: 6, 21, 50, 84, 95, 130, 205, 260, 270, 370, 440 y 480 horas. Al hacer,
se obtiene
Los puntos (xi, yi) se graican en la igura 16.6, y se observa que caen bastante cerca de una 
línea recta. Después de comprobar lo adecuado de la distribución de Weibull,
Figura 16.6
Gráica de Weibull para 
tiempos de falla
ln ln
1
1 − F(t1)
i =x ln ln
1
1 − F(t i)
yi = ln ti
F (ti ) ti yi x i
0.010 6 1.79 − 4.61
0.020 21 3.04 − 3.91
0.030 50 3.91 − 3.50
0.040 84 4.43 − 3.21
0.050 95 4.55 − 2.98
0.059 130 4.87 − 2.79
0.069 205 5.32 − 2.63
0.079 260 5.56 − 2.49
0.089 270 5.60 − 2.37
0.099 370 5.91 − 2.26
0.109 440 6.09 − 2.16
0.119 480 6.17 − 2.07
7
6
5
4
3
2
1
2.03.0 2.53.54.04.55.0
ln
 t
Valor de Weibull
se obtienen los estimadores de máxima verosimilitud deinidos en la página 498. Los 
cálcu los por computadora dan como resultado α = 0.001505 y β = 0.7148. Se sigue que 
el tiempo medio de falla se estima como
μ = (0.001505)−1/0.7148 1 +
1
0.7148
Z(t) = (0.001505)(0.7148)t0.7148−1 = 0.00108t − 0.2852
t∗ =
−2 Tr ( ln P )
χ2α
7.0 14.1 18.9 31.6 52.8 80.0 164.5 355.4 451.0 795.1
que es igual a aproximadamente 11,000 horas. Además, los valores de la función de la 
razón de falla pueden obtenerse al sustituir para t en
Puesto que β < 1, la razón de falla disminuye con el tiempo. Después de 1 hora (t = 1), las 
unidades caen a la razón de 0.00108 unidad por hora y, después de 1,000 horas, la razón de 
falla disminuye a 0.00108(1000)−0.2852 = 0.00015 unidades por hora.
Ejercicios
16.10 Suponga que 50 unidades se someten a prueba del ci-
clo de vida, cada unidad que falla se sustituye de inme-
diato y la prueba se descontinúa después de que fallan 
8 unidades. Si la octava falla ocurrió a las 760 horas, y 
supone un modelo exponencial,
 a) construya un intervalo de conianza del 95% para la 
vida media de tales unidades;
 b) pruebe en el nivel de signiicancia de 0.05 si la vida 
media es menor que 10,000 horas.
16.11 En una prueba del ciclo de vida sin remplazo, 35 calen-
tadores portátiles se ponen en operación continua, y las 
primeras 5 fallas ocurrieron después de 250, 380, 610, 
980 y 1,250 horas.
 a) Si se supone el modelo exponencial, construya un 
intervalo de conianza del 99% para la vida media 
de este tipo de calentador.
 b) Para comprobar la airmación del fabricante de 
que la vida media de dichos radiadores es mayor que 
5,000 horas, pruebe la hipótesis nula μ = 5,000 con-
tra una alternativa adecuada, de modo que el peso 
de la prueba recaiga en el fabricante. Use α = 0.05.
16.12 Con respecto a los datos del ejercicio 16.11, haga un 
tiempo total en la gráica de prueba.
16.13 Para investigar el tiempo promedio de falla de cier-
ta soldadura sometida a vibración continua, 7 piezas 
soldadas se sujetan a frecuencias y amplitudes de vi-
bración especíicas, y sus tiempos de falla fueron 211, 
350, 384, 510, 539, 620 y 715 mil ciclos.
 a) Si supone el modelo exponencial, construya un in-
tervalo de conianza del 95% para la vida media (en 
miles de ciclos) de tal soldadura con las condicio-
nes de vibración dadas.
 b) Si supone el modelo exponencial, pruebe la hipó-
tesis nula de que la vida media de la soldadura en 
las condiciones de vibración dadas es de 500,000 
ciclos contra la alternativa bilateral μ ∙ 500,000. 
Use el nivel de signiicancia de 0.10.
16.14 En las pruebas del ciclo de vida en ocasiones uno está 
interesado en establecer límites de tolerancia para la 
vida de un componente (véase la sección 15.7); en par-
ticular, se puede estar interesado en un límite de to-
lerancia unilateral t*, para el cual se airma con una 
conianza de (1 − α)100% que al menos 100 · P por 
ciento de los componentes tienen una vida que supera 
t*. Con el modelo exponencial, se puede demostrar que 
una buena aproximación está dada por
 donde Tr se deine como en la página 494 y el valor de 
χ 2α se obtiene de la tabla 5 con 2r grados de libertad.
 a) Con los datos del ejercicio 16.11, establezca un lí-
mite de tolerancia inferior para el cual uno pueda 
airmar con 95% de conianza que se supera por al 
menos 80% la vida de los calentadores.
 b) Con los datos del ejercicio 16.13, establezca un lí-
mite de tolerancia inferior para el cual uno pueda 
airmar con 99% de conianza que se supera por al 
menos 90% las vidas de las soldaduras dadas.
16.15 Considerando que 2Tr/μ es un valor de una variable 
aleatoria que tiene la distribución chi cuadrada con 2r 
grados de libertad, derive el intervalo de conianza para 
μ dado en la página 494.
16.16 Cien dispositivos se ponen en prueba del ciclo de vida 
y los tiempos de falla (en horas) de los primeros 10 que 
fallan son
 Si se supone una distribución del tiempo de falla de 
Weibull, estime los parámetros α y β así como la razón 
de falla a 1,000 horas. ¿Cómo se compara este valor de 
la razón de falla con el valor que obtendría si supone el 
modelo exponencial?
500 Capítulo 16 Aplicación a la coniabilidad y a las pruebas del ciclo de vida
	Capítulo 16: Aplicación a la confiabilidad y a las puebas del ciclo de vida