Apuntes de clase de cálculo14 - Gil Orozco Silva

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Ih
.
# EUMENES
MAT 1620
BEGMEIN
.
'
a
.
- - - . . . . . . . - - - - .
I.IntegratesImpropias
:L Tipo -4
- Integra cion sobre un intervale Noacotado :
A) Si la function fix , :[ a ,
+ al → Ih es una function integrable en Ca , t ] tf tee [ a. tal :
!xid× Elgin
,
aftfcxidx → si este limit exist fatfxidx CONVERGE
B.) Si la fanion fix , : I - a , b ] → Th er una fun cion integrable en Ct , BT tf I E f- x. b ] :
! bfcxidx = fish.ae/fkidx-siestelimiteexistefabfixidx CONVERGE
c.) Si la function fix , : I - a , at C → Eh esta que para algin a e Th eius ten :
II. ax -. Ifad. -. ndx . ! find . - foie:mqbeemconm-ftaatmitfoeYI.TL'
la integral complete converge ra :
PROPIEDAD
•
Integrates del tipo :
i axl ::: to::rge . :*
TEOREMADECOMPARACIONITIPOI )
• Consider f y g functions continua con :
f- x ) Zglxl 30 , Xx > a
A) Si faafixidx es CONVERGENT E enhances tag Mdx es CONVERGENTE
B.) Si fatgcxidxes DIVERGENTE enhances faaflxidx es DIVERGENTE
TEOREMADECOMPARACIONALLIMITECTIPOI )
←
do que estudio
K - - him fix ' con fix ) y gun position
× → a Gk ) a co que
eonozeo Ambar convergence } functions
• Si K to : affix )dx n af
"
gcxldx Ambar diverges similar
• Si K -- O : %gcxidx ⇒ fa } Denominator gun
es convergence
Fk'd "
es convergent mayor
• Si K -- a :[ gcxidx ⇒ fat find x
es divergent es divergent
II. Integrates IMPROPIAS :C Tipo It
-
Integra cion sobre een interval con discontinued ad
At Si fix ) es continua en la , b) y dis continua en b
afbflxidx
Iabfixidx
-
-
fvjmb
.
Ia xidx
B.) f continua ( a , b) y dis continua en a . . .
fabfcxidx --
finna
.,
[ find
C) Si f tiene discontinued ad en C , donde a scab , Ambar integrates :
fig Jabs on convergent → fabflxldx = facfixidx + ! bflxidx
PROPEDAD
! ¥ ax f converge
- ¥
Divergent
TEOREMADECOMPARACIONLTIPOI)
° Si f y g functions positives , integrable en [ x. b ] Fx Ja , bl tales que :
f HIS 91×1 Axe la , bl
,
enhances :
A.) Si fabgcxidx ⇒ fbfixidx 9 turmnbpiseeseue : fabfixidx f fabgcxidx
a
converge converge
B.) Si fabfixidx ⇒ fabgcxldx
diverge diverge
TEOREMADECOMPARACIONALLIMITECTIPOII
K . fusing
,
foggy
,
i fabflxldx
, fin continua laid y dis continua on a
• Si k¥0 : affix ,d× ^ fabg , d , 42mbar
convergence
2mbar diverges
• Si K - - O : fabgcxldx
convergence
⇒ fabflxldx
convergent
. si K = a : fabgcxldx ⇒ fabflxidx
divergent divergent
Ill SHE Stones
- Se considers una suasion
,
una lista de ruinous excitor en um Orden de fini do .
{ An } . - An
,
Az
,
Az
,
94
,
. . .
An
,
con An et n - e
-
Simo termini . a
L - - - - - - - - - - -
,
- - -
i
. .
DE Fini CION :
i
.
.
.
. i
• Ona suasion tant tiene el limit L y to eapreramos como : . :
,
. . I
n
lying An =L o An → L Cuando m → a '. in >
• Si L 3 → An es CONVERGENTE
.
Si L I → Anes DIVER GENTE
⇒ Si 3 Ian - L I a E
,
n > N : converge con E s of
TEOREMA
• si loin x → a fix I =L y fini - An , cuando n es em entire , entrances
first An =L
TEOREMA
' Si { An } y L bn } son soasiones CONVERGENT ES y C una Constante .
nhjma ( Ant bn ) = Ima An t finna bn } no puedo aplicarpropiedades
silos
limitesnoexisten.nlvjmac.an-Cnlesigannligy@n.b
n ) = firman . figs bn
high fi . . tug an nlgiy bn
TEOREMA DEL SANDWICH ! Teo REMA
. Si An E b n f Cn , Fn > no y I
,
I nlerjzdn-nlg.gr Anti =L
nhgigan-nfim.cn -- L ⇒ nljvgbn =L
!
TEOBEMA
°
singing Ianto → Egan - - o - -
Yannis ans Ian ,
TEOREMA
• Si lim An =L y la funcioirfes continua en L , entrances :
nsa
nlvjmafcanl -. fill
PROPIEDAD
- Una suasion fan } se llama CRECIENTE si An < Ante V-nzn.esdec.ve
.
Araz
. . .
can
.
Si An > Ants fries es DECRECIENTE .
• Una socesioinesmonotonasiescrecienteodecreciente
.
DEFINITION
. Una suasion tant esta acotadaporarriba.si 3 Mtg an EM three
acotada por abajo .si 7- mtg m fan Amen
• Siesta acotadaporarribayporabajo.entonasdantesunasucesio.in acotada .
- .
µ - . . . . . . . . . . . . . . . - . . . . . .
( - - . - - .
- - - - - -
'
..
. . L - - -i . - - - -- -- -. . M - . . . . - - - - . - - . - - - - - - - - .
.
.
> 7
TEOREMADELASUCESIONMONOTONA
• Toda sucesioinacotadaymonotonaes convergent .
Anioma de Complete 'tud : Si Seth . horacio que tiene una COTA SUPERIOR , enemas Stine una COTA SUPERIOR
MINIMA .CM )
n
⇒
Crecienteyacotadasoea
.
convergent .cc
m
: .
m
i.: . . ftp.sohu.sgimsupouqena.
Sera
.
convergent enm .
>
IV. SERIES
• Dada una serie NI an = as + art . . . .
Denotada por
Sn =
i
Ai -- A , + a , + Azt . . . + an }
Serie de una
suasion
Si la suasion 4 Snl es convergent y
:
nljvma Sn = 5 I 3- a C- Th ) enhances :
La serie In An es CONVERGENTE y se escribe :
E. An = S i si no es asi
,
es DIVERGENTE
⇒ da serie es una suma infinita determines de una sucesioin a
SERIES GEOMETRIC AS
• Con suasion de la forma : An = As .
rn
"
Con la Serie
As . rn
- '
= figg a , ri
- i
/
Irl ' I : CONVERGE : #
Irl z I : DIVERGENCE
SERIES TELESCOPIC AS
. II bn ⇒ donde b n - - AK - is - Ak
La convergence
'
a o divergence
-
a dependent de Ak - is
nkinsn-nl.im: a .
- constance
TEOREMA
• Si la serie Is an es CONVERGENT E → nlvjma an - - O ( No Es ⇐ )
PRUEBADELADIVERGENCIA
. Si
finna An ¥0 → Egan es Di VER GENTE Y MIHO
PRUEBA DE LA INTEGRAL
° Sopong a que f es una fun cion continua , positive ydecreciente sobre d.at ) y sea An
- fin ) . En tones
la serie I
,
an es CONVERGENT E si solo si la integral improper ! I da es CONVERGENCE .
I ) Si f I xldx es CONVERGENT E ⇒ If An es CONVERGENTE
It Si !
'
fixidx es DIVERGENTE ⇒ Eran es CONVERGENCE
TEOREMA
• Si Ee
,
An y In
,
bn son CONVERGENCES y en tonus tambiin lo son
:
→ E. can - - C . E. an
→ I an ± bn . - E.an ± Ibn
Adema's si la
n :&,gan es CONVERGENCE , en - Conus la Serie complete lo es :
Iran = ⇐ an + nEAnamu
age ,
limiter
, limitlessinferiors
ERROR
a a
• 5 - - E. An : Convergent y Sn
. / flxldx f 5 k SN + fflxidx
N -11 N
SN = ET An
ERROR . . g.gr . pm ¥
"
find x f Rn tf
"
flxidx
Observatories : Convergent
€ ÷
paean . ⇒ o ,
:/!
d "
Divergence
f- HI - - ÷ si p > o , x E [ I , at )
: A
Y € In Serie ar Monica
,
es divergent ( P = Il
PRUEBAPORCOMPARACION
•
Supongamos que Ian y Ibn son series conterminous positives .
It Si Ibn es CONVERGENTE y An E bn An ⇒ Ian es CONVERGENTE
It Si Sbn es DIVERGENTE y An Zbn An ⇒ San es DIVERGENTE
TRUEBA POR COMPARACTON AL LIMITE
•
Supongamos que Ean y Ibn son series determines positives .
si
head Grin .. c
> C to : Ibn es CONVERGENCE I ⇒ Ian es CONVERGENT El
DIVERGENCE DIVERGENT E
> C = O : Ibn es CONVERGENTE ⇒ I An es CONVERGENT E
> C . - a : Ibn es Di VER GENTE ⇒ San es DIVERGENT E
SERIES ALTER NANTES
' Ona Serie alternant es de la forma :
C- IT ! bn o E. t IT . bn
-
An
PRUEBA DE LA SERIE ALTERNANT E
° si la Serie alternant :
Its bn con bn - o
°
Avmple con : I . ) bn - is f b n
I I nlejmabn = o
Vm → Decreciente
y
Enemas :
L2 series
Convergent
TEOREMADEESTIMACION PARA SERIES ALTER NANTES
• Si S -- I C- IT ! bn es la Suma de una Serie alternant que crimple con :
I ) bn - is t bn
It energy bn
= o 4
Intones : Khnl - . 15 - Sn I s bn ,
BEGUN.IE#Itz
.
. . ' ' ' . . ' . . ' . . . .
I. CONVERGENCIAABSOLUTAYLASPRUEBASDERAZON Y RATZ
DEFINICION
• Absolutamente convergent : Una Serie Eanes abs . convergent si la serie de valour absolutes
Ilan les convergent .
DEFINITION
• Conditional Men -6 Convergent : una series cond.com . si es convergent pero no abs . convergent .
TEOREMA
• Si una serie es abs . convergent , enhances es convergent .
PRUEBA DELA RAZON
L - finna Anu
An
• Si Ls I ⇒ An es ABS
.
CONVERGENT E
. Si L > I ⇒ An es DIVER GENTE
. si L =L ⇒ NO CONCLUYENTE
PRUEBADELARAIZ
-L -- him # ant
n → a
• Si LL I ⇒ An es ABS
.
CONVERGENCE
. Si L > I ⇒ An es DIVERGENT E
° Si L - - I ⇒ Noes conduyentt
II SERIES DEPOTENCIAS
TEOREMA
° Para una Serie de potence
.
as Eno Cn I x - at
hay 3 posibilidades .
→ La Serie solo converge con x
-
- a - L =D
→ da Serie converge Fx
> L - - O
→ Exist on no mero real I t ) R tal que :
IX - at e R converge , Sino . diverge .FUNCIONES COMO SERIES DEPOTENCIAS
U'TIL :
g ! , = It A
It x 't
. . .
 = Eno X
"
IX Is I
TEOREMA
• Si la Serie de potence
.
a neo Cn IX - ai tiene um R > O
,
radio de convergence , en tonus la fanion :
fix , - - Co - Cil x - a) + Calx - ah . . . . . = EoCn H - AT
Es derivable y continua end I
= ( a - R
.
at th )
It fix I -- Csi 2 Calx - a) + 3 Csl x - at 't . . . . . = NE
,
Cnn . Cx - a )
" '
It ffcxldx = C t Co I X - alt Cilla't . . . . . . = Ct If Cn ( X - a )
" '
ht I
HI SERIES DE TAYLOR Y MCLAURIN
TEOREMA
• Si fun se puede represent ar como una Serie de polencias en a .
fix , = n.IO Cn IX . at
,
Ix - at 43
Enforces sus coeficientes son :
en -- tiny . : far . E. things lx.at/sdeFadfmt7E
f end .
si a -0 :
fix , = Ino finny
.
HT } spfduidlin
TEOREMA
° Sifcxi -_ Tnlxltthnlx ) donde Tneselpolinomiode Taylor den . Esimogradoena .
limthn - - O
Nsa
° Para IX - akth.entonasfesigualalaswmades.us series de Taylor end I Ix - alan .
TEOBEMA
. DESIGUALDADDETAYLOB
- Si Af " 
- ' ' '
c x , AIM FIX - alhd.entonaselresiduoRnlxldelaser.ie de Taylor crumple cornea
desigualdad .
lthnlxll I M Ix - at
" "
fixated
( htt ) !
UTK nbjmani.io Vaeth .
e'
 '
=Ennx÷txeTh R= a
sencx.tn?ZofITx2n
"
pea
( 2mL ) !
coscxi-I.EC - IT . X
"
thx
( 2h ) !
A-rctancxt-n.EC-IY.li
" '
The
2mL
lnlxth-n.EC-t.tn?IR-- I
n !
I xthk-n.EE/XnR-- I
I
i - ×
=
an
IT VECTOTHESYGEOMETRIA DEL ESPACIO
SISTEMA's 3D DECOORDENADAS
- Distanced entre pantos : con Ps -- ( x. Me , Zs )
d = ( Xz - Xi ) 't ( Yz . y , )2+ ( za . z ,yz
' P2 -- ( Xz ,Yz , Zz )
- Eaeacioirdeesfera : Cllr , kill y res :C
-
- Centro
r
'
-
- I X - htt ( y - Kit ( z . l )
'
Siesta
'
centra da en origen : r
? It y
'
+ z
'
VECTORES
- Product punto : 8.5=11811.11511 . coho )
- Product Cruz : 8×5=11511.11511 . Seno ) 4 Area ltaxbll
( AIB ) . a→=O
( Otb ) . -5=0 Si IDB ⇒ otxb - - O
-
Ortogonalidad :
Si oitb ⇒ a. 5=0
- Proyecciones :
Proyab . . a. b
Haha
° A freebase
V -. IoT . ( b * c) I
ECUACIONESDERECTASYPLANOS
- Thetas
ly
r -- rot No I r . . Cx ,y,z ) X . - Xo -1 Nite
to . - ( Xo
, yo , Zo ) Y - - Yo -1 Vz 't
Z : Zo -1 Vz - I
x:Y . Ziff
- pianos
f
rt
.fr?r5l.-oaxtby+cztd=oD--Ia.Xs+b.Yi-C.Zitd
A ( X - Xo ) + BC y - Yo ) + Cfzz . ) . - o
f a ' -1 bi - CZ
'
I DERNADAS PARCIA LES
FUN C. DE VARI AS VARIABLES
- Iunciones de 2 variables : es una regla que a sign a a Cada par Orduna do I x in de um con J . D con un on i co
n ' Ih
. fix , Y ) . Con on Domini o D y see rango es el Conjunto de valour que toma f
:
{ fix , y I / Hill e D }
- GraFica : La gratia de f es el Conjunto de todos los pantos I X , y , Z I e Ih? con E- fix , y ) y ix. u I ED .
- Curva s de ni Vel : son la soon as any as ecuaciones son fix , y )
-
- K
, con
K constant e Rango de f .
Li MITES Y CONTI NUI DAD
- Definition : Sea f una fun cion de 2 variables ago Dominie D con tiene pots are amor a la . b ) .
En tonus el limit de f Cuando I x. YI tien den a Ca , b ) es L :
lim fix , y I =L
( x , y I → ( a , b)
- himite por definition :
HE > o
,
3 g > o to : Si ( x , y Ie D y O
t Hx - ah Cy - bi
'
L g ⇒ If Cx , y , - L I L E
DATO : Si fix , y ) → Li
,
Cuando C x , y I
→ Ca
,
b ) por una tray ectocia Can , y fix , y l → La . Cuando
( x
, y I → Ca , b) por una tray ectocia Cz .
Si Li t Lz ⇒ him
C x
, y ) → ca , b ,
fix , 41 = I
- Continued ad : on a fun cion f de 2 variables es continua en la , b) si :
loin ft X. y I = f Ca , b )
( x , y I → ca , b )
Decima que f es continua sobre D si f es continua Fix , y ) ED .
DERNADAS PARIA LES
- Definition :
Fx la , b ) . . g ya ,
← 9K ) = fix , b )
f. I x , y ) - - loin f Ch t x , 41 - f ix. u ,
h → o h
fy I x , y I = lim f I x , 4th ) - f Cx , y )
h → o h
TEOREMA E de Clairol
- Supconga que f esta de fini da sobre un disco D que con tiene el punto la , b) . Si
 tanto f x y f y son
continua s sobre D
,
enhances :
fxy la
,
b) = fyx C a. b)
PLAN 05 TANGENT ES Y APROX . LINEA LES
- Sopong a que las deriv a das para
- ales de f son continue as . Una ecua cion del piano tangent a la
Super fi Cie Z = fix , y I en el punto Plxo , Yo , Zo )
:
Zo = f I Xo
, Yo )
Z - Zo = If ( Xo , Yo ) . (X - Xo ) t fy ( Xo ,Yo ) . (Y - Yo )
L (X
, y ) = f I Xo , Yo ) t f , ( Xo , Yo ) . ( X - Xo ) + fy (Xo ,Yo ) . (y - Yo )
DIFERENCIA Bili DAD
• Si Z . - fix , yl , en tonus f es di ference
-
able en la , b ) si AZ se peu de es Critser :
AZ = fx la , b) . A X + f- y la , b ) . AY t Ei AX + Ez . AY
donde A
,
Ez → O Cuando I x , Y I → co , o )
TEOREMA
• Silas deriv a das para
- ales de f , fx , fy exist an arcade ( a. b) y son continua s en Ca , b ) .
En tonus f es deference
-
able en Ca , b ) .
IHEE.UA#tItIs
.
- . ' ' . . . . . . . . . . . . ' .
14.3 theGLADE LA CADENA
• Caso # I : Suponga que E- fix , y ) es una function derivable de X y y , donde A- g th a y
-
- htt son
functions diferenciablesdet . Enhances E es una function derivable de Ty :
IEEEadf.ifz.ae• Caso # 2 : Suponga que Z - - fix , y ) es una function derivable de Rey , donde X - - gcs.tl n Y : hls , -4Son functions derivable de syt . Enhances :
Es '
FEES
- i FEES 3¥¥e¥+¥¥
• Derivacioin Implicit :
TEOREM 21 : Si la ecuacioin : Fixx , - - o define a Y en forma implicit a Como una function deference
.
able
de X
,
es deter Y
. - fix ) y FCX , fix ) ) = O . Axe Dom f .
Sites difoeenaable 2¥ =
-
,
Hon to
Teorema 2 : Si Festa definida dentro de una es fera que con tiene ( a ,b , c) donde Fca , b. 0=0 y
Fzla , b.cl#OyFx.Fy.Fzsoncontineeasdentrodelaesfera,entoncerla eceeacion team , 't ) - - O
define a Z Como una function alexey area del punto Ca , b. c) y esta fumitories diferenciable .
3¥ abt . . Exhibit ffzcaib .cl
Falah - - - label Efta , bid
14.6 DERHADAS DiREGIONALES Y VECTOR GRADIENTE
• Busca Mos la razin de Cambio de z en l Xo ,Yo ) en la dire cc iori del
vector unita rio arbitration . - ha , b l .
• Consider a mas la superficies aeyaeue.es E- fix in y
Zo ' IXo , Yo) . Ent on cos el punto Pho , yo , Zo ) que da sobre S . El plano
Vertical que Pasa por P en la dire cabin I intersects as en una
Curva 8 . La pen di en
-te de la recta tangent Ta C en el punto
P es 12 razor de Cambio de Z en la direction NT .
• DeriVada Directional : da deriv ad a directional de f en I Xo , Yo ) on la direction de un vector unit ario
µ = La , b > es :
Du f ( Xo . Yo ) = him f ( Xo th . a , yo + h . b) - f yo , yo ,
i
si este I im ice exist
.
h → o h
# Si U . - i
 
= I I
,
ol
,
on tonus Di f
-
- f . y si u -- j
-
- to
,
he
,
en ton as Dif = f y .
> TEOREMA : Si f es on a fun cion di fer en Cia ble de X e y , en tomes f tiene una deriv ad a directional
on la direction de cud guier vector UNITARio µ - - La , b )
Dnf C X , y ) . - f× C X , y ) . a t f y I X . Y ) . b
• Vector Gradient : Si f es una fun cion de 2 variables Ry Y , entrances d gradient de f es la fun cion
rectorial Of de fini da por :
Df Cx , y I -- l fix , Y I , fy Hill ) -- ¥ . i + ¥ . J
Du f Cx , y I - - D f Cx , y 7 . it
> TE OR EMA : Sup on ga que f es una fun cion deference
.
able de 2 Variables
.
El valor Maximo de la
deriv ad a directional Du fix , y I es I Of ly se present a Cuando µ Here la mis ma
direction del vector director Of .
Dire cc ion de mayor razor de Cambio → direcciori Off Po )
des de el peen to Po
14.7 VALORES MAXIMOS Y MINI MOS
• Ona fun cion de 2 variables tiene een Maximo local on la , b ) si fix in E f la , b) Cuando
( x
,Y ) esta
'
ee r ca de la , b) . El numero fca , b ) recite el nombre de VALOR MAXIMO LOCAL .
• Si f Cx , y I Z f Ca , b) Cuando ( x , y I esta
-
Cena de Ca , b) en tones f tiene on mini mo local
en ca , b) y f Ca , b) es on VALOR MINIMO LOCAL .
* Silas de si goal da des se comp ten Xcx , y I en et dominic de f , enforcer f tiene on
MAXIMO ABSOLUT O O ON MINI MO ABSOLUT O en la , b) .
TEO REMA : Si f tiene on Maximo local o on mini mo local en la , b) y las deriv a das para ales
de E or den de f existence hi , en ton as f. Ca , b) = O y f , la , b)
= O
.
• Prueba de laE Deri Vada : Soponga mosque las 20 's deriv ad as pacci ales de from continua s sobre um
disco de Centro ( a , b) y sup omg amos que f × la , b) = O y f , la , b 7=0 , es decir , Ca , b) er un panto
Critias de f . Sea :
D -- Dca . bi if * Ca , b) of " ca , bi
- I fxy la , bD
'
o d et ft!!I!! ?
A) Si D > O y f xx I a , b ) > O , enforces f la , b) es on MINI MO LOCAL .
B.) Si D > O y f xx la , b) = O , en ton Ces f ca , b ) es on MAXIMO LOCAL
C.) Si D so
,
en tones f Ca , b) es PUNTO SILLA .
VALORES MAXIMOS Y MINI MOS ABSOLUT OS
• Si f es continua sobre on Conjunto D Cerrado yacotado on 119 , en tonus f alcan za un valor makino
absolute f C Xi , y , ) y een valor minim o absolute fcxz , Yz ) on algernon pantos C X , in ) y ( Xz , Yz )
en D
.
• Para encore - bear cos valores maximos y minima de una fun cion continua f sobre em Conjunto
cerrado y acotado D :
l
. Se Catalan los valour de f on los pantos critias de f end .
2
. Se determinant or valour extremes de f sobre la frontera de D .
3 . El ma 's grande de los Valores de los pasos Ly 2 er el valor maximo absolute ; el Ma's pequeno
de es or Valores es el valor minim o absolute .
PLANO STAN GENTES A SUPERFICIES DE Ni VEL
D Ff Xo
, yo , Zo ) . F
 '
ft . ) . - O
• Si FT Xo
, yo , Zo ) to , se define el plano tan gente a la superficies de ni Vel ,
FIX
, y , Z ) = K en PC Xo , Yo , Zo ) Como et plano que pasa por D y tiene
vector normal OFC Xo
, yo , Zo ) . Ecua cion del piano tangent .
Fx ( Xo
,
Yo , Zo ) ( X - Xo ) + Fy ( Xo , Yo , Zo ) . (Y - Yo ) + Fz ( Xo , Yo , Zo )
. ( Z - Zo ) = O
14.8 MULTIPIC ADORES DE LAGRANGE
• Busca et mayor valor que toma fix , y I = Z bajo
la restriction que los pantos sa tis fagan que
g ( X , y )
= K ( t Z It K )
METODO DE la GRA
naut
multiplied or de
LaGrange
Of C Xo , Yo , Zo ) = X . D g ( Xo , Yo , Zo )
MEto dos de los multi plica does de Lagrange
- Para deter Minar los valores matrimony minimis de fix , y , H sugita a la restriction
g I X , y , Z ) .
- K
A) Determine to dos los valour de X , y , Z y X tales que
:
Of Cx
, y , Z )
= X . D g I x , y , Z ) y g ( X , y , Z ) -- K
B.) Evaleie f en todos los pantos C x , y , Z ) que resat ten del paso a.) . Et mais grande de est or
valour es el valor Maximo de f , et mais pequeno es el valor minima de f .
. METODO DE LAGRANGE C 2RESTRicci ONES )
- Si quiero en contra r valor Maximo y mini mode fix , y , ZI ,
Sugeta a 2 rest ricci ones :
9hYE I } Roscouna → CURVAInter se cabin
El vector gradient de f vive en el plano genera do
poe los gradients de g y h .
D f I Xo
,
Yo
,
Zo ) -- I . Dg ( Xo
,
Yo
,
Zo ) + µ . Dh ( Xo , Yo , Zo )
15 IIINITEIGIKIAILE'S MUINTIR HE 'S
15.1 INTEGRATES DOBIES SOBRE RECTA
'
NGOLOS
VOLUME NESE INTEGRA LES DOBIES
• da integral doble de f sobre et rectangle Th es :
! f " " 'd A =m
,
lninna . JE
'
fcq¥yi¥¥YFEFipedo
Pontus
.si existed limit maestra
REGLA DEL PUNTO MEDIO
offfix , y id A = If§ , f Hi . Yi TAA
,
donde Xi es et punto Medio l Xi . . , Xi ] y Yi es et panto Medio LY it . Yi ]
PROPIEDAD ES
① If I fix in + 9 ex in Id A - - Iff Hind A + If g kind A
② Ifc . fix , yid A = C . !ff Kind A
③ Si fix
. y ) Z g Ix , y I thx , y I entombs :
Iff Cx , y ) DA Z !fgcx in d A
④ Si D =D , u Dz donde D , y Dz nose trash pan except en limiters .
If fix , y ) DA . - !!fix , y Id A t !! fix , yid A
⑤
!I Id A = A CD)
INTEGRALESITERADAS enfoncioindex
-
[
%FCxin.dx-afbfafdfix.yl.de/.dx!/bfcxindx=/d(/abfex.nd
) .dx
I
enfunciondey
TEOREMADEFUBINI
•
sifeseontinuaenelrecta-nguloth-EH.yllatxtb.CH
Ed 3.enhances :
!ffcxihdA=!%dcxindydx=!%bfcxihdxdY
Enterminos generates , secumplesisesuponequefestaacotadasobrethifes discontinue solo en
on ncimerofinitodecurvassuavesylasintegralesiteradasexisten .
INTEGRALESDOBLESSOBRETHEGIONES GENERALES
A DOMINIOSTIPOI
• Con Duna region cualquieraenelplanoxy
b 92k )
FHM - - {
ft "
o
"
/ Iffy
.ua/t=!!tTx.yida--!d/abtTxindxdy.//fHihdYdxaguxi
Yn
d-
- - f
92k ' con :
FHM )
D . { C x ,y ) latxtb.gdxlfyfg.CH }
c- - -
I ik )
! !
x
# to Particioinenx # lreoiafoera - Adentro
'
a b * 2. Enyenbardcwwas # Result : dentro - flora
EJ :
!f2xydA.Deestaregio.nl
con vertices C 0,0 ),C 421110,3 '
9247
3%94Ex
: Osx SL
iFg¥gµf°y: GH ) : H - 3) = ÷Cx - ol → 94×1=-11+3< o I s gun :Cy - o ) --2z ( x - o ) → Ge Cx ) : 2X
of!2xdA= ! = !¥Il3dx=!xeeidx=!t3x6x49xldx= -3¥
- tail :
xfx
' -6×+93-4×3
=
-
Zi - Eg -1¥ -_+S4=fz÷g3=¥
.X
' -6×49×-4×3
B. Domini OSTIPOI
!offcxi, , dA://n.fi
,
indxdy
D= { Kill Ic EYE d
,
heh ) f X shalt ) }
EJ
. Bosgoejela region deintegracioinycambieelordende integration
/! ! F- ix. yldydx '
v. . " n " iffE#÷⇐:÷÷÷÷÷÷i
" " " " .-EJ2
° Ernie affix? tank ) t y 't 4) DA
donde
"
D= f ex ,y ) A x' t y
'
f 2 }
ffx¥i°dA taffy ? da t N4dA
- -
Algo si metric TT 4 !IdA=4NRT=8
HE.si#MEtN..:E*
.
. . . . ' ' ' - ' ' ' . . .
15.4 INTEGBALESDOBLESENCOORDENADASPOLARES
CAMBIO ACOORDPOLARESENINTZX
Yn
Pcr ,O ) - Pex ,y , X' t y2=r
'
,
.
X . - r . Co Sco )
r
! Y -- r . senco )
!
y
OF !
,
x
°
x
Rectangular Polar Th - - Lcr .ch/asrsb.afosp }
- Si f es continua en um polar Rdadopor Ofa Er Eb , a toffs donde OEG - as 21T ,
enhances : a DA
*µfcx.yidA-%fabfcr.coscoi.r.sencohor.dr.de , ← dr
do
' [
r do
>
- Si f es continua sobre una region polar dela forma :
D - - { ( no ) Matos p . helolfrfhzlol
enhances : HANDA - IB ! !ifFranco) , rsencollirdrdo
15.5 APLICACIONESDELASINT
.
2x
DENSIDADYMASA
-
Densidadiwnidadesdemasaporunidadesdea-rea.flx.tl - - loin Iffy
-
masaim.qya.EE
.
pcxif.yijl.AA-ffplx.in DA
MOMENTO 54 CENTRO 5 DE MASA
- Momento de lamina respect o at eje X :
A * inning
,
iE.iq list . pcxif.yi.FI . AA = ! y . pix . uld A - Mx
- Momento de la 'm in a respect o al eje Y :
My inning
,
!fE. tis . plxif.yi.FI . AA . If x. pix in DA : My
- Centro de Masa : m . I = My n m.tt thx
• Las Cardena das ( I , I I del Centro de Masa de una 15mi na que ocupa la region D y que tiene fun cion
de den si dad play ) son :
I = MMI = tm . ftp.pcx.y , da
'
donde la Masa m esta dada por :
F- them -- mL . fly . pix , , , da
m = I PANDA
15.7 INTEGRA LES TRIPLES
3 x Seema de
DEFINICION da integral 3x de f sobre la caja Bes : , Riemann
Not fix . x. Adv - .
e.
n.biz
,
E.E.Ea ft xis.yif.zi.FI . AV
si este limit exist
.
FLORE MADE FUBINI PARA INT
.
3 X
• Si f es continua sobre la caja rectangular B
-
- La , b) × L c , d ] × L r , s ]
,
en tonus :
/ !If ix. y , z ) DV = Is !% fix , y , zldxdydz
. REGION TIPO I : Integral 3 x sobre region acotada E
E -- fix , y , z ) I l x , Y I ED , Us I X , y ) t Z I Ma l X , Y ) }
Net fix , yield V = No I ! !!!!
'
fix , i. zidz Id A
# fix , y , Adv = fab ! !! !!!
 "
fix it , zldzdydx
He/ fix , yield V =/! ! !!! Yu !!!!
'
fix . y , zidzdxdy
. REGION TIPO I : Una region solid a E es tipo 2 si es :
E . - { I x , y , Z ) I l Y , Z ) ED
,
u , l Y , Z ) f X t Mz (Y , Z ) }
Neff ix. yield V = If I ! !!
"
fix , yield x )d A
• REGION TIPO TI :
E - - L l X , Y . z ) I I x. ZI ED
,
us Hid E y f uzlx , ZI }
Neff ix. yizidv = If I ! !
 "
fix , y . ⇒ dy ) da
APLICACI ONES DE LAS INT . 3X
HEI - - # DV , m -- I !I fix , yield V
I = Mime = MI . Jeff x. pH , yield V
I = Mmxze . . mL .
I fly . play , ⇒ DV
E-
Mime - - me . Netz . pix , yield V
15.8 INTEGRALES 3X EN COOMD
.
CILINDRICAS
^ Z
X - - r . COS ( O )
•
Pcr
,
O
.
Z )
y = r . Sen ( O )
z
£ - - Z
> y
Is r Tanto ) - - I
I • I r , O , o )
X
Hex . . ⇒ du . . ! ! !!
'
I !!!!!!
"
aroma
.
rancor
.
⇒ razor . do
15.9 INTEGRALESTRIPLES EN COOR
.
ESFEthicAS
a
Z
p
• Plp , 0,0 )
OR
> y
&
He
X =p
. Sen I lol . cos lol p
'
= I + y
'
+ z
'
y - - p
. send . send
£ =p . cos 101
Neff ix. y , ⇒ DV = !
b
ftp.senlotcoscol.p.sencaisencol.p.cosconl.p?senl0ldpdod0
donde E es on a aorta esf Erica dada por :
E - - { Cp . 0,01 I a I p f b , a f Of B , C told }
15.10 CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRATES MOLT.
DEFINICION
. El Jacobian de la transforms cion T dado por X - - glumly Y - - hlu , VI es :
- -
I'Iui¥¥¥¥=¥i¥ . Eu- -
fix ,MdA -- If I xlu.vl.ylu.nl fYn du . du
- Et Jacobian de T 3×3 : 12=9 ( u , V , w )
- - Y
-
- h ( U , V. W )
J ( X. y , z ) 2X
Hu
, v. w )
=
Ju IF IF
7- Klee
,
v. w )
¥u¥¥
En ¥ Ew
- -
fix ,y,zIdV = f ( Nun , why luv , WI , 2- CNN.WDYYu.it?wfdudvdw