Eficiencia-en-la-solucion-de-multiplicaciones-y-divisiones-de-fracciones-a-traves-de-representaciones-simbolicas

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO 
 
FACULTAD DE PSICOLOGÍA 
 
 
EFICIENCIA EN LA SOLUCIÓN DE MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES 
DE FRACCIONES A TRAVÉS DE REPRESENTACIONES SIMBÓLICAS 
 
 
T E S I S 
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE 
LICENCIADA EN PSICOLOGÍA 
 
PRESENTA: 
ELIA ELENA SOTO ALBA 
 
DIRECTOR DE TESIS: DR. OSCAR ZAMORA ARÉVALO 
REVISOR DE TESIS: DR. GERMÁN PALAFOX PALAFOX 
SINODALES: DR. JULIO ESPINOSA RODRÍGUEZ 
MTRO. FERNANDO VÁZQUEZ PINEDA 
DRA. NATALIA ARIAS TREJO 
 
TESIS APOYADA POR EL PROYECTO DGAPA-PAPIIT IN307310 
 
MÉXICO, D.F. 2014 
 
 
 
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
Tesis Digitales 
Restricciones de uso 
 
DERECHOS RESERVADOS © 
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL 
 
Todo el material contenido en esta tesis esta protegido por la Ley Federal 
del Derecho de Autor (LFDA) de los Estados Unidos Mexicanos (México). 
El uso de imágenes, fragmentos de videos, y demás material que sea 
objeto de protección de los derechos de autor, será exclusivamente para 
fines educativos e informativos y deberá citar la fuente donde la obtuvo 
mencionando el autor o autores. Cualquier uso distinto como el lucro, 
reproducción, edición o modificación, será perseguido y sancionado por el 
respectivo titular de los Derechos de Autor. 
 
 
 
 
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“Tras el vivir y el soñar, está lo que más importa: despertar”. 
(Antonio Machado) 
 
 
 
“Con ninguna cantidad de experimentos se podrá demostrar que estoy en lo 
cierto, un solo experimento puede demostrar que estoy equivocado”. 
(Albert Einstein) 
 
 
 
 
 
 
 
AGRADECIMIENTOS 
 
Sueño y milito, en tu risa, en la amistad… 
He aprendido a hacer maletas y a comer solo, a reparar espejos rotos… 
Hago balance, queda todo por hacer, si tú quieres te acompaño, no soy más que lo que ves. 
 
Ismael Serrano 
 
Agradezco a Ma. Elena (mi madre) y a Francisco Javier (mi padre) por ser mis primeros maestros y 
mis primeros amigos, por ser un poderoso motor de vida desde que nací, por sus consejos y sus 
enseñanzas, por predicar con el ejemplo y el argumento. A papá, por ser un estimulante cuando 
las ideas escaseaban y las dudas acechaban a cada segundo y a mamá, por ser mi apoyo cuando 
las ganas se terminaban y las presiones cobraban factura. Soy consciente de que el amor no se 
agradece porque se da sin condición, pero sí agradezco que exista y se conserve entre ustedes y 
entre nosotros. Sabiendo que difícilmente podré devolverles lo que han hecho por mí, sólo quiero 
decirles que los amo y los respeto profundamente, razón suficiente para decir que este logro 
también les pertenece. 
A mis amigos de siempre: Nallely, Lupita, Arturo y Andrea, porque después de tantos años 
de conocernos han estado en cada momento, a pesar de la distancia; gracias por ser siempre un 
hombro para llorar, un espejo para reír y un apoyo para caminar en el sendero de la vida. A mis 
grandes amigas: Rosana y Mónica, por estar conmigo a lo largo de la carrera, por ser confidentes y 
cómplices; a Ros por compartir conmigo sueños e ideales, por escucharme siempre, por ser mi 
persona; a Moni por la diversión y la reflexión, por ayudarme a crecer. A Montse por las charlas 
 
 
interminables, por la amistad forjada y por estar siempre de mi lado. A John por la música y los 
bailes, por la falta de consejos y el exceso de confianza. 
A mis abuelitas por ser los pilares de sus familias, por su fuerza y por tener siempre un 
abrazo cálido para dar. A mis tías(os) por su apoyo, por sus consejos, por las alegrías y por las 
fortalezas mostradas en momentos complicados. Y a mis primos(as) por permitirme crecer junto a 
ellos(as) y por prestarse a ser participantes en muchos de mis trabajos a lo largo de mi formación. 
A Gaby por ser mi hermana del alma, por su amor y por sus locuras, y a Byto por hacerme 
reír y entender cosas que me resultan complicadas, a ambos por ser los hermanos que no tuve y 
por decirme siempre la verdad. A Valeria y a Berenice por los momentos compartidos, por aceptar 
vivir conmigo y no morir en el intento, porque sé que eso me acercó más a ustedes; aunque yo no 
diga demasiado, aunque estemos lejos, las tengo siempre presentes. 
A las personas con las que colaboré en el Espacio Compartido de Investigación por 
compartir sonrisas, comida y anécdotas, por el trabajo que hemos hecho juntos y las batallas que 
seguimos dando para alcanzar nuestros objetivos. A las personas con las que colaboré en el 
Laboratorio de Psicolingüística y en el Laboratorio de Infantes, por el tiempo compartido, por el 
trabajo realizado y por los momentos alegres que hemos pasado. 
Agradezco al Dr. Oscar Zamora Arévalo por su generosidad al enseñar, por su capacidad 
para generar ambientes armónicos y productivos, por abrir la puerta y dar las oportunidades para 
que cada quien encuentre su propio camino. Gracias por confiar en mi trabajo. 
Mi agradecimiento también es para la Dra. Natalia Arias Trejo por acercarme a lo que me 
apasiona, por todo lo que me ha enseñado y por las oportunidades que he recibido gracias a su 
guía. Y gracias también al Lic. Roberto Alfonso Abreu Mendoza por ser un maravilloso e implacable 
compañero de trabajo, que de alguna manera me inspira siempre a buscar oportunidades más 
grandes y horizontes desconocidos; pero que es además, un entrañable amigo. 
 
 
Al Dr. Julio Espinosa por sus clases, por despertar en mí un gusto por el estudio del 
procesamiento numérico, un gusto que ya intuía, pero que en su clase quedó totalmente de 
manifiesto. Al Dr. Germán Palafox y al Mtro. Fernando Vázquez porque habiendo sido alumna de 
ambos, los dos tuvieron influencia en mi formación profesional. 
A todo el comité de evaluación de esta tesis por sus valiosas observaciones. 
Finalmente, pero no menos importante, gracias a los ausentes, pero paradójicamente 
siempre presentes, por dejar una estela de luz que perdura en el camino. 
I 
 
ÍNDICE 
 
RESUMEN 1 
INTRODUCCIÓN 2 
CAPÍTULO 1. ANTECEDENTES TEÓRICOS 4 
1.1 Modelos psicológicos del procesamiento de las fracciones 4 
1.2 La solución de operaciones aritméticas con fracciones 9 
1.3 Factores instruccionales involucrados en el aprendizaje de fracciones 11 
CAPÍTULO 2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 15 
2.1 Justificación 15 
2.2 Objetivo 16 
2.3 Hipótesis 16 
CAPÍTULO 3. MÉTODO 18 
3.1 Participantes 18 
3.2 Aparatos 18 
3.3 Estímulos (Operaciones presentadas) 19 
3.4 Diseño 20 
3.5 Procedimiento 21 
3.5.1 Fase 1 21 
3.5.2 Fase 2 22 
II 
 
CAPÍTULO 4. RESULTADOS 24 
4.1 Operaciones 24 
4.1.1 Codificación 24 
4.1.2 Depuración de datos 24 
4.1.3 Análisis de Medias de Respuesta 25 
4.1.3.1 Análisis post hoc para Medias de Respuesta 26 
4.1.4 Análisis de Tiempos de Reacción 26 
4.1.4.1 Análisis post hoc para Tiempos de Reacción 27 
 4.1.5 Correlación entre la Media de Respuestas y los Tiempos de Reacción 28 
4.2 Preguntas abiertas 30 
4.2.1 Análisis para las preguntas “Al multiplicar dos números, ¿cómo es el resultado?” 
y “Al dividir dos números, ¿cómo es el resultado?” 30 
4.2.2 Análisis para la pregunta “¿Cuál fue la condición más difícil?” 33 
4.2.3 Análisis para la pregunta “¿Qué estrategiautilizaste?” 34 
CAPÍTULO 5. PROPUESTAS Y CONCLUSIONES 36 
5.1 Discusión 36 
5.2 Conclusiones 43 
REFERENCIAS 45 
APÉNDICE 1. BIENVENIDA Y PETICIÓN DE CONSENTIMIENTO A 
PARTICIPANTES 50 
APÉNDICE 2. LISTA DE OPERACIONES POSIBLES A PRESENTAR 51 
III 
 
APÉNDICE 3. INSTRUCCIONES PRESENTADAS PARA LAS OPERACIONES 53 
APÉNDICE 4. PREGUNTAS CONCEPTUALES PRESENTADAS 58 
1 
 
RESUMEN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La investigación sobre el procesamiento de fracciones numéricas ha dado como resultado la 
aseveración de que el manejo eficiente de este tipo de números es de suma importancia en la 
construcción del razonamiento matemático y que representa además, un importante predictor en el 
éxito escolar de los estudiantes. Sin embargo, la forma en la que se realizan operaciones aritméticas 
con fracciones es más complicada de explicar que las operaciones con números naturales. Por lo tanto, 
el objetivo del presente estudio fue explorar la eficiencia de estudiantes universitarios en la solución de 
multiplicaciones y divisiones de fracciones, utilizando dos tipos de representaciones: símbolos 
numéricos y gráficas. Además, se propuso conocer la concepción de los participantes respecto a lo que 
sucede al multiplicar y al dividir dos números. Para ello fueron evaluados 38 estudiantes universitarios 
en una tarea que incluía 40 divisiones y 40 multiplicaciones de fracciones, divididas en cuatro 
condiciones: operación y respuestas en número, operación y respuestas en gráfica, operación en 
número y respuestas en gráfica, y operación en gráfica y respuestas en número. Al término de las 
tareas se realizaron preguntas respecto a su conocimiento de lo que sucede al multiplicar y al dividir 
dos números. Los resultados de las operaciones indican que en general, es más eficiente el manejo de 
símbolos numéricos que el de gráficas, ya que con los primeros hay mayor número de respuestas 
correctas y menores tiempos de reacción. Asimismo, los resultados de las preguntas sugieren que los 
participantes conciben a la división y a la multiplicación en los términos que establecen los números 
naturales, es decir, que multiplicar implica hacer números más grandes y dividir implica hacer números 
más pequeños, omitiendo que existen también otros tipos de números (por ejemplo, números 
negativos o fracciones) con diferentes características cuyo uso dentro de operaciones aritméticas es 
distinto al de los números naturales. Esta concepción exclusiva de las operaciones aritméticas tiene 
implicaciones teóricas respecto a que las explicaciones sobre procesamiento numérico incluyen, 
usualmente, sólo números naturales; y educativas respecto al manejo de fracciones por parte de 
estudiantes y las concepciones que poseen respecto a las mismas. 
 
Palabras clave: razonamiento matemático, fracciones, división, multiplicación, representación numérica. 
2 
 
INTRODUCCIÓN 
 
El estudio sobre el procesamiento numérico se ha centrado básicamente en la habilidad para 
aprender números enteros y discriminar cantidades de objetos, encontrando cuál es aquel 
conjunto que tiene mayor número de elementos aludiendo a la formación de una recta numérica 
mental que permite representar números; además, se ha propuesto que la representación de los 
sistemas de representación numérica está limitado y que la construcción de números racionales, 
reales y naturales dependen de educación formal (Feigenson, Dehaene & Spelke, 2004). 
Si bien es cierto que las fracciones no se encuentran de manera frecuente en ambientes 
naturales y pueden llegar a ser consideradas una construcción de las culturas debido a las 
transformaciones de los números naturales (Gallistel, Gelman, & Cordes, 2006); es verdad también 
que esas construcciones culturales de los números han permitido el avance de la ciencia con sus 
consecuentes implicaciones prácticas, más aún, esas construcciones son útiles para poder predecir 
el éxito escolar que tendrán los individuos en Matemáticas en años posteriores a la infancia 
(Siegler et al., 2012). Y ya que las fracciones parecieran no encontrarse con frecuencia de forma 
natural, podría pensarse también que requieren un mayor nivel de abstracción, influenciado por la 
forma en la que se procesan los números naturales. 
El presente estudio intentó conocer la eficiencia de estudiantes universitarios en la 
solución de multiplicaciones y divisiones de fracciones, así como su conceptualización de las 
mismas, para explorar si los sesgos que se ha mostrado que permean el procesamiento 
fraccionario (adjudicación de características de los números naturales a fracciones) se presentan 
en la etapa adulta. Asimismo, el estudio intenta conocer si los símbolos numéricos se manejan 
mejor que las representaciones gráficas por parte de los estudiantes, ya que es lo mayormente 
3 
 
entrenado en los currículos y si las deficiencias para conceptualizar las multiplicaciones y las 
divisiones pueden ser un producto de los sesgos que esta forma de enseñar provoca. 
Los resultados del presente estudio experimental dan cuenta de estos aspectos teóricos y 
prácticos: sesgo hacia los números naturales, uso de mapeo (entendiendo por mapeo una 
transformación de gráfico a lo numérico para realizar una operación presentada), 
conceptualización confusa de lo que sucede al multiplicar y al dividir y el uso generalizado de 
símbolos numéricos. Al término de la tesis se hace hincapié en las posibles limitaciones del diseño 
y las posibilidades para mejorarlo, se describen las complicaciones que presenta la pregunta de 
investigación. Considerado como un estudio de exploración al problema, los resultados de esta 
tesis sugieren respuestas esperadas, pero que también dan lugar a otras preguntas respecto a los 
números racionales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
CAPÍTULO 1 
ANTECEDENTES TEÓRICOS 
 
1.1 Modelos psicológicos del procesamiento de las fracciones 
El conocimiento sobre el procesamiento de las fracciones tiene sus bases en la capacidad cognitiva 
que poseen los individuos para codificar proporciones, ya que las proporciones son una relación 
entre dos cantidades. Esta codificación de proporciones se da no solamente en los seres humanos, 
sino también en otras especies y en ambientes naturales. Por lo tanto, la posibilidad de entender 
proporciones parece tener una marca evolutiva que da ventaja a los organismos para poder 
adaptarse a su medio (Jacob, Vallentin, & Nieder, 2012). 
 Dada esta marca evolutiva en el procesamiento de proporciones, diferentes estudios han 
intentado vincular este proceso con aspectos cerebrales anatómico-funcionales. Por ejemplo, se 
ha probado que al comparar dos fracciones, la actividad del surco intraparietal derecho está 
modulada por la distancia numérica que existe entre las fracciones presentadas; sin embargo, esta 
modulación sucede sólo si el participante hace una integración de numerador y denominador para 
comparar las fracciones, es decir, no se observa la misma activación si el participante presenta 
efecto de distancia sólo en numeradores o sólo en denominadores sin atender el valor real de la 
fracción (Ischebeck, Schocke, & Delazer, 2009). 
 Sin embargo, son los estudios conductuales los que han dado mayores resultados respecto 
al procesamiento que se lleva a cabo cuando se resuelven operaciones que involucran fracciones o 
se realizan actividades en las que este tipo de números están involucrados. 
Formalmente, la fracción numérica se encuentra inscrita dentro del conjunto de los 
números racionales, que son los números expresados dividiendo un entero entre otro entero; y 
puede ser definida como el cociente de dos números enteros (a/b), donde b es diferente de cero; 
5 
 
las partes de una fracción numérica son numerador y denominador, el numerador es el número 
superior de una fracción y corresponde al dividendo,mientras que el denominador es el número 
inferior de una fracción y corresponde al divisor (Huete de Guevara, 2002). 
Básicamente existen dos tipos de fracciones: las fracciones propias cuyo valor es menor a 
la unidad y donde el numerador es menor que el denominador y fracciones impropias cuyo valor 
es mayor a la unidad y donde el numerador es mayor que el denominador (Huete de Guevara, 
2002). 
El procesamiento cognitivo de fracciones numéricas ha dado lugar a múltiples 
investigaciones para poder entender la forma en la que se aprenden este tipo de números y los 
procesos particulares que subyacen el procesamiento general de las fracciones. 
De acuerdo con Charalambos & Pitta-Pantazi (2007) las fracciones pueden ser 
conceptualizadas de cinco maneras diferentes: parte-todo (la partición de una cantidad en 
conjuntos iguales), radio (la relación entre dos cantidades que se expresa como a:b), operador (la 
fracción entendida como un transformador que puede aumentar o disminuir algo), cociente (la 
fracción vista como una división de dos números) y medida (la transferencia de tareas que 
involucran áreas o líneas numéricas para representar fracciones). Cada una de estas maneras de 
conceptualizar tiene ventajas y desventajas, pero las dificultades que se presentan para procesar 
fracciones tienen que ver con aspectos generalizados como las características de las fracciones. 
Las dificultades que se dan en la representación de fracciones aparecen desde edades muy 
tempranas, un estudio realizado con 75 niños de entre tres y siete años de edad demostró que 
podían entender y usar las representaciones de números enteros y ceros para resolver problemas, 
pero que su representación para las fracciones era pobre y no mejoraba con el incremento de la 
edad (Byalistok & Codd, 2000). Lo anterior parece mostrar un sesgo que favorece el uso de 
6 
 
números naturales, esto puede deberse a la falta de familiaridad con las fracciones que los niños 
estudiados presentan, o a una dificultad para lograr la representación de las fracciones. 
Por otro lado, se ha hecho notar también que hay varios aspectos que dificultan el 
aprendizaje de las fracciones; esta dificultad tiene que ver con atribuir características de los 
números naturales a los números racionales, lo cual da como resultado errores conceptuales y 
procedimentales. Hay diferencias fundamentales entre los números naturales y los números 
racionales que dejan claro que los marcos explicativos para que los niños entendieran cada tipo de 
números deberían ser distintos, tal y como se muestra en la tabla de Diferencias entre números 
naturales y fracciones de Stafylidou & Vosniadou (2004): 
 
Tabla 1. Diferencias entre números naturales y fracciones, según Stafylidou & Vosniadou (2004) 
Característica Números Naturales Fracciones numéricas 
Representación simbólica Un solo número Dos números divididos por una 
línea 
Orden 
 
Existencia de un número sucesor y 
un número predecesor 
No hay un único número 
sucesor o predecesor 
Relación con la unidad 
 
La unidad es el número más 
pequeño 
Puede ser más grande, más 
pequeño o igual a la unidad 
Adición-Sustracción 
 
Apoyadas en la secuencia de 
números naturales 
No apoyadas en la secuencia 
de números naturales 
Multiplicación 
 
Hace el número más grande Hace el número más grande o 
más pequeño 
División 
 
Hace el número más pequeño Hace el número más grande o 
más pequeño 
 
Por lo tanto, las características propias de las fracciones, el hecho de que éstas no se 
encuentren fácilmente de forma natural en el medio y el sesgo hacia los números naturales, son 
algunos de los aspectos que dificultan, la representación y el aprendizaje de las fracciones. Así 
también son de tomarse en cuenta aspectos cognitivos para resolver fracciones: los efectos de 
entrenamiento en una tarea, la posibilidad de usar reglas heurísticas para tratar a las tareas con 
7 
 
fracciones y la existencia de un efecto acumulado en una tarea con varios ejercicios parecidos (por 
ejemplo, muchas multiplicaciones o divisiones con fracciones). En cuanto al sesgo hacia los 
números naturales (adjudicar características de números naturales otro tipo de números), se ha 
discutido si las representaciones numéricas tempranas privilegian las cantidades discretas y si las 
representaciones numéricas tempranas provienen de un mecanismo específico de número (Ni & 
Zhou, 2005). Las diferentes explicaciones a este sesgo hacen referencia a la forma de 
representación de los números en edades tempranas, pero algunos estudios han mostrado que 
este sesgo prevalece en algunas tareas con fracciones que tienen el mismo numerador o el mismo 
denominador incluso para matemáticos expertos, debido a que no hay una forma holística de 
representación, es decir una forma de representar las fracciones como un número y no como si el 
numerador y el denominador fueran dos números independientes (Obersteiner, Van Dooren, Van 
Hoof, & Verschaffel, 2013). 
En cuanto a la forma en la que se representan las fracciones algunos estudios plantean 
que hay dos maneras fundamentales de procesarlas: la forma componencial en la cual el 
numerador y el denominador son procesados de manera independiente y la forma holística en la 
cual tanto numerador como denominador se consideran partes de un todo y se procesan de 
manera conjunta; el hallazgo fundamental en tareas de comparación de fracciones es que tanto 
niños como adultos prefieren usar la forma componencial cuando hay numeradores o 
denominadores compartidos como al pedir a los participantes que digan qué fracción es más 
grande al comparar 1/3 vs. 2/3, mientras que activan sólo una forma de representación holística 
cuando una estrategia componencial es demasiado complicada (Ganor-Stern, Karasik-Rivkin, & 
Tzelgov, 2010; Meert, Grégoire, & Nöel, 2010a, 2010b; Meert, Grégoire, & Noël, 2009). 
Además, se ha encontrado que el conocimiento sobre fracciones en general y sobre la 
división de números enteros en particular, son predictores del logro matemático de los 
8 
 
estudiantes en la educación media superior más allá de lo que saben los alumnos sobre los 
números enteros en términos de su suma, resta o multiplicación, incluso cuando se controló, por 
habilidad intelectual general, ingreso familiar y nivel educativo de la familia (Siegler et al., 2012). 
Por lo tanto, no es sorpresiva la repentina importancia otorgada a investigar el procesamiento 
cognitivo de las fracciones, pero más allá de eso, hay implicaciones teóricas que también pueden 
considerarse ampliamente relevantes; restringir las teorías sobre procesamiento numérico a los 
números naturales es evitar explicar la reorganización sobre el conocimiento numérico (Siegler, 
Fazio, Bailey, & Zhou, 2013). Más aún, se ha encontrado que las fracciones y los números naturales 
parecen compartir procesos subyacentes ya que pueden representarse de la misma manera en 
una recta numérica mental, mientras que no sucede lo mismo en los números negativos (Ganor-
Stern, 2012), como se explica a continuación. 
Una de las tareas que más se ha utilizado a lo largo del tiempo para estudiar la 
representación de fracciones y para introducir aspectos instruccionales sobre estos números en 
los procedimientos, es la identificación de fracciones dentro de líneas numéricas ya que esta tarea 
permite conocer la concepción de orden y espaciamiento, algunos de los hallazgos principales 
consisten en el uso de segmentación de la recta para posicionar una fracción y la dificultad que 
representa el hecho de que la recta no vaya sólo de 0-1 sino de 0-2 o cualquier número distinto a 
la unidad (Bright, Behr, Post, & Wachsmuth, 1988; Liu, Xin, Lin, & Thompson, 2013; Siegler, 
Thompson, & Schneider, 2011). Otro tipo de estudio para conocer el procesamiento fraccionario 
es el realizado por Schneider & Siegler (2010), ellos realizaron una tarea de comparación en la que 
se lespidió a 65 adultos que compararan una fracción presentada contra una fracción estándar, 
sus resultados muestran que los participantes pudieron realizar de manera correcta sólo el 70% 
de los 200 ensayos que se les presentaron, lo cual es menor a lo esperado, ya que en tareas de 
9 
 
discriminación de cantidades con números naturales de dos dígitos las respuestas erróneas fueron 
apenas del 1.3% (Dehaene, Dupoux & Mehler, 1990). 
En este sentido Bonato, Fabbri, Umiltà & Zorzi (2007) realizaron un estudio con 
estudiantes universitarios en el que probaron que en una tarea de comparación de cantidades las 
estrategias a utilizar eran flexibles y dependientes del tipo de estímulos que les eran presentados; 
sin embargo, sus resultados apuntan a que si bien las fracciones son manejadas como cantidades 
discretas, a diferencia de los niños, los adultos poseen habilidades más flexibles que les permiten 
evitar algunas dificultades que se presentan en el procesamiento de fracciones. 
Otro aspecto importante que se ha estudiado para el aprendizaje y la representación de 
fracciones es el uso de representaciones visuales y manipulativas (como dividir comida y/o 
bebidas), para enseñar sus propiedades y sus usos aritméticos, encontrándose que estas 
herramientas benefician al proceso de enseñanza y a la comprensión de los conceptos 
relacionados con las fracciones (Fazio & Siegler, 2010; Hawkins, 2007). 
Sin embargo, el procesamiento de fracciones se complica aún más cuando no sólo hay que 
compararlas, ordenarlas o identificarlas dentro de una recta numérica, sino que con ellas hay que 
realizar alguna de las cuatro operaciones aritméticas básicas (suma, resta, multiplicación, división), 
ya que todos los problemas de procesamiento de fracciones antes mencionados se presentan al 
momento de realizar las operaciones, más otro tanto que tienen que ver con el aprendizaje de los 
procedimientos para realizarlas, tal es el caso de la diversidad de procedimientos aritméticos que 
hay y el mapeo en distintos esquemas de procesamiento-representación de operaciones 
aritméticas con fracciones. 
 
10 
 
1.2 La solución de operaciones aritméticas con fracciones 
El procesamiento matemático en general requiere de diferentes capacidades y habilidades 
cognitivas como la memoria de trabajo; la posibilidad de realizar operaciones aritméticas básicas 
también está fundamentada en una variedad concurrente procesos cognitivos (Raghubar, Barnes, 
& Hecht, 2010). 
 El conteo y la adquisición del concepto de numerosidad suelen ser las bases de la 
aritmética para los niños, especialmente en el caso de la suma y la resta. La adición es la primera 
en aparecer; en las primeras etapas se realiza contando los elementos que forman parte de los 
conjuntos a sumar hasta saber cuántos elementos hay en total (Butterworth, 2005). 
 En el caso de la adición y la sustracción de fracciones, al estudiarlas con representaciones 
que no son símbolos numéricos, un estudio encontró que 72 niños de cuatro años de edad, podían 
predecir la solución de sumas y restas utilizando representaciones de ½ círculo o ¼ de círculo (Mix, 
Levine, & Huttenlocher, 1999). 
En el caso de los esquemas para la multiplicación, estudios han mostrado que la 
multiplicación no es posible conceptualizarla como una adición repetida y que en caso de hacerlo, 
para hacer más eficiente la mecánica instruccional, aparecen serios problemas para poder 
entender la multiplicación de fracciones, sobre todo si se usan frases como “5 veces 4”, porque en 
esencia una multiplicación no es lo mismo que una adición repetida (Thompson & Saldanha, 
2003). 
 Por otro lado, en cuanto a los esquemas para la comprensión de la división, se sabe que la 
división ha sido conceptualizada como repartición y segmentación; asimismo se asume que los 
estudiantes de educación básica pueden lograr comprender que existe una equivalencia entre 
ambas conceptualizaciones porque todo lo que puede ser segmentado puede ser repartido y todo 
lo que puede ser repartido puede a su vez ser segmentado (Thompson & Saldanha, 2003). 
11 
 
 Stigler, Givvin, y Thompson (2010), han observado que los errores más comunes 
observados en 5830 evaluaciones a estudiantes universitarios realizando operaciones aritméticas 
con fracciones, ocurrieron al emplear de manera independiente numeradores y denominadores, 
y/o al usar procedimientos de una operación en otra, como confundir la forma de resolver 
multiplicaciones de fracciones con la forma de resolver divisiones de fracciones. 
 Sin embargo, un estudio de casos llevado a cabo con dos niños de educación básica 
demostró que tras una intervención de aproximadamente tres años se puede obtener un 
conocimiento de los números racionales y sus usos aritméticos, siempre que haya una integración 
entre lo que saben los estudiantes sobre números enteros y lo que se les enseña sobre esquemas 
de números fraccionarios, mostrándoles que la división de números enteros era considerada como 
lo mismo que la multiplicación por una fracción recíproca (Olive, 1999). 
 
1.3 Factores instruccionales involucrados en el aprendizaje de fracciones 
Los estudiantes llegan a la educación formal de las fracciones ya con cierto bagaje respecto a lo 
que son estos números y lo que representan; sin embargo, estas concepciones son por lo general 
erróneas o limitadas y permeadas por conceptos que no han sido completamente entendidos 
(características de las fracciones y sesgo hacia los números naturales). Se ha observado que 
estudiantes sin educación formal pueden tratar a los números racionales como números enteros 
partidos, su concepción de estos números afecta su conceptualización de la unidad y su 
conocimiento sobre los números racionales está inicialmente desconectado de los símbolos 
formales y los procedimientos asociados a estos símbolos (Mack, 1993). 
 Un fuerte indicador de que alguien ha entendido los números racionales es que tenga un 
razonamiento proporcional adecuado, si bien es un aspecto que se usa en otras áreas, en el caso 
de las fracciones es fundamental y las deficiencias en este tipo de razonamiento lleva a los niños 
12 
 
de educación básica al uso de reglas heurísticas para poder compensar, pero sin que haya una 
comprensión de por medio (Lamon, 2005). 
 Hay diferencias fundamentales en enseñarle a un niño la diferencia entre “tres quintos” 
(fracciones) o “tres de cinco” (proporciones). Thompson & Saldanha (2003) señalan que si un niño 
aprende a procesar fracciones empleando proporciones, tendrá mayores dificultades para 
entender “seis quintos” porque tendría que representarlos como “seis de cinco”. Por lo tanto, los 
factores instruccionales que se utilizan en la enseñanza de fracciones (didáctica) son muy 
importantes para llevar un proceso más eficiente de adquisición y comprensión de los números 
racionales, en general, y de las fracciones numéricas en particular. 
En relación a la enseñanza de fracciones, Fazio y Siegler, (2010) han propuesto algunas 
pautas principales, dentro de las cuales se encuentran: enseñar las fracciones de manera 
temprana para que tengan presentes la existencia de esos números porque hay cuestiones 
intuitivas que se han mostrado pueden hacer como predicciones de sumas y restas de fracciones 
(Mix, et al., 1999), hacer énfasis en que las fracciones son números, utilizar representaciones 
visuales y manipulables, enseñar a estimar resultados de operaciones con fracciones para que los 
alumnos evalúen qué tan certeros son sus cómputos al realizar las operaciones de manera formal, 
confrontar las concepciones erróneas respecto a las fracciones, presentar los problemas con 
fracciones en contextos reales, propiciar el razonamiento proporcional y mejorar la preparación de 
los profesores para enseñar fracciones. 
 Además, se han propuesto currículos distintos para poder enseñar las fracciones; uno de 
estos currículos enfatiza elhecho de enseñar primero porcentajes, después pasar hacia los 
números decimales y terminar con la enseñanza de la notación de fracciones como una alternativa 
para representar los números decimales. Este orden de presentación de contenidos demostró ser 
más eficaz en 16 niños de cuarto grado (los niños con el currículum alternativo usaban menos 
13 
 
estrategias de números enteros y utilizaban el pensamiento proporcional en más ocasiones en 
comparación con el grupo control) que un currículo tradicional con orden distinto, ya que las 
pruebas pre y post a la intervención fueron significativamente diferentes (Moss & Case, 1999). 
Además, algunos estudios han probado que intervenciones cortas que incluyan manipulación, 
comparación y evaluación de fracciones puede dar como resultado una mejor habilidad para 
asociar notaciones fraccionarias con magnitudes numéricas; es decir, los números se asocian con 
las representaciones que no involucran símbolos numéricos, como al asociar una notación 
simbólica de una fracción con las representación de esa fracción en un disco de madera que 
muestra el valor de la fracción presentada, pero de forma visual (Gabriel et al., 2012). A su vez, 
algunos estudios han planteado la idea de enseñar a los niños con base en experiencias de la vida 
real, tales como la fracción que se usa al realizar una figura de papel o preguntar qué parte de un 
camino representa un camino más pequeño, para que puedan desarrollar su propio conocimiento 
sobre las fracciones (Perera Dzul & Valdemoros Álvarez, 2009) y desarrollar este conocimiento 
también a partir del juego (Caswell, 2007; Lee, 2009). 
 Una de distinción teórica que se hace con frecuencia es la diferencia entre el aprendizaje 
conceptual y procedimental, entendiendo el primero como la comprensión de las propiedades de 
las fracciones y el segundo como la comprensión de los procedimientos para resolver operaciones 
aritméticas con fracciones (Siegler et al., 2013). Sin embargo, esta distinción aún es complicada de 
evaluar dado que las medidas usadas para evaluar ambos tipos de aprendizaje son generalmente 
distintas y sus diferencias podrían deberse a las demandas de la tarea utilizada para evaluar cada 
tipo, es decir evaluar conceptos es distinto a evaluar procedimientos (Schneider & Stern, 2010). 
 Uno de los esfuerzos que se ha hecho por entender la forma en la que se aprenden y se 
enseñan los números racionales es The Rational Number Project (Cramer, 2010), que se ha 
centrado en el diseño de materiales didácticos para enseñar fracciones. 
14 
 
 Sin embargo, a pesar de estos esfuerzos por entender la forma en la que se procesan las 
fracciones y de los esfuerzos para mejorar el currículo educativo respecto a fracciones y las formas 
en las que se introducen estos conceptos numéricos, sigue habiendo serias deficiencias en su 
enseñanza-aprendizaje. En México, es hasta el 2009 que se da importancia al pensamiento 
proporcional dentro del plan de estudios de Matemáticas en educación primaria, pero sin ser muy 
claras las formas de implementación para propiciar este tipo de razonamiento en los estudiantes 
Por otro lado, en pruebas internacionales como la prueba PISA (Program for the International 
Student Assessment), que cada tres años tiene el objetivo de evaluar los sistemas educativos en el 
mundo probando las habilidades de los estudiantes de 15 años, los estudiantes mexicanos 
puntúan por debajo de lo esperado: el 55% de los estudiantes no alcanzan el nivel básico de 
competencias en Matemáticas y el alumno mexicano promedio alcanza apenas 413 puntos en esta 
área, lo que está por debajo del promedio en la OCDE que es de 494 (Organización para la 
Cooperación y Desarrollo Económicos, 2012). Por lo que parece haber muchos factores que no se 
están tomando en cuenta en la enseñanza de Matemáticas y también de los números racionales, 
llevando a los estudiantes a una deficiente forma de entender y manejar los contenidos del área 
matemática. 
 Queda por lo tanto de manifiesto que la capacidad para representar fracciones (numérica-
no numéricamente), las conceptualizaciones de las mismas y de conceptos aritméticos básicos son 
muy relevantes al momento de formar una explicación del razonamiento matemático de los 
estudiantes y de los resultados obtenidos en pruebas de habilidad matemática. El presente 
estudio constituye por lo tanto, una exploración a estos aspectos a través de tareas aritméticas y 
cuestionamientos conceptuales sobre las fracciones. 
 
 
15 
 
CAPÍTULO 2 
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 
 
2.1 Justificación 
La explicación del procesamiento cognitivo del número se ha enfocado en los procesos que 
subyacen al entendimiento de los números enteros de manera discontinua, como si al tratar otro 
tipo de número no hubiera procesos similares o se estuviera hablando de clases totalmente 
distintas (Siegler et al., 2011); de manera tal que se ha dejado de lado que existen otro tipo de 
números que merecen ser estudiados tanto por las implicaciones instruccionales que conllevan 
como por las implicaciones teóricas de las que podrían dar cuenta. 
Además, como se mencionó anteriormente, conocer los detalles del procesamiento 
cognitivo del número es importante pues se ha probado que las fracciones son predictores 
importantes del logro escolar en Matemáticas (Siegler et al., 2012). Por lo tanto investigar sobre el 
procesamiento de fracciones y sobre los factores que podrían estar influyendo como su 
representación y conceptualización, son tópicos importantes a nivel instruccional porque podrían 
mejorarse las formas de enseñanza. Más aún, a nivel teórico estudiar el procesamiento de las 
fracciones puede conducir a teorías más completas sobre el procesamiento numérico, dando una 
explicación a una amplia variedad de tipos de números, así se podría entender de manera más 
clara el procesamiento numérico y los fundamentos del razonamiento matemático. 
Particularmente en el presente estudio, conocer si estudiantes universitarios pueden utilizar de 
manera eficiente representaciones numéricas y gráficas para realizar multiplicaciones y divisiones 
de fracciones es relevante a fin de explorar las estrategias representacionales que utilizan para 
resolver operaciones matemáticas y asimismo explorar su conceptualización de ciertas 
16 
 
propiedades aritméticas de los números, sabiendo que éstas son de mucha relevancia para el 
desarrollo del razonamiento matemático. 
 
2.2 Objetivo 
Conocer la eficiencia de estudiantes universitarios en una tarea de solución de multiplicaciones y 
divisiones de fracciones que se presentan con símbolos numéricos y con gráficas, así como la 
estrategia representacional empleada para resolver dichas operaciones. Además, se pretende 
conocer los supuestos empleados por estudiantes universitarios respecto a lo que sucede cuando 
se multiplican o se dividen dos números, y si estos supuestos están permeados por un sesgo hacia 
el uso de los números naturales. 
 
2.3 Hipótesis 
La proporción de respuestas correctas en tareas de multiplicación o división de fracciones será 
más alta en la condición donde la representación de la operación sea únicamente numérica, 
asimismo los tiempos de reacción serán menores para este tipo de operaciones. Mientras que la 
proporción de respuestas correctas será menor y los tiempos de reacción serán mayores en la 
condición donde la representación de la operación presentada (multiplicación o división) involucre 
una gráfica. 
 En las preguntas respecto a la solución de multiplicaciones y divisiones de fracciones los 
participantes presentarán un sesgo hacia los números naturales, es decir, adjudicarán 
características de los números naturales a otros tipos de números lo cual llevará a los participantes 
a responder de forma incorrecta. 
17 
 
Además, los participantes considerarán como la condición más complicada, aquélla que 
implica sólo representacionesgráficas; mientras que la estrategia para realizar la condición que 
consideren más difícil será realizando un mapeo de lo gráfico a lo numérico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
CAPÍTULO 3 
MÉTODO 
 
3.1 Participantes 
Treinta y ocho estudiantes y pasantes universitarios de licenciatura, cuya carrera no estuviera 
dentro del área Físico-Matemática para prevenir entrenamiento y habilidades extra dada su 
formación, participaron en el estudio 31 mujeres y 7 hombres con edades entre los 17 y los 33 
años (media de edad=22.026; desviación estándar=3.344). Los participantes reportaron no tener 
problemas de audición o visión. Todos los participantes fueron asignados a una de dos secuencias 
de tareas presentadas: Divisiones-Multiplicaciones (n=19) o Multiplicaciones-Divisiones (n=19) [ver 
Procedimiento]. 
 
3.2 Aparatos 
Los participantes realizaron la tarea de forma individual en una computadora personal Dell, en la 
cual se presentaron los estímulos y se registraron sus respuestas con el programa E-Prime 1.2. El 
monitor se encontraba aproximadamente a 40 cm del participante y todo el teclado estaba 
disponible para que los participantes pudieran responder las preguntas abiertas. Sin embargo, se 
les pedía que al presionar números utilizaran sólo el teclado numérico ubicado del lado derecho, 
asimismo se retiró el mouse, de forma que los participantes tuvieran que contestar 
exclusivamente con el teclado. 
 
19 
 
3.3 Estímulos (Operaciones presentadas) 
Las operaciones presentadas a los participantes fueron multiplicaciones y divisiones de fracciones 
con las siguientes características: las fracciones a multiplicar o dividir debían ser menores a la 
unidad y el resultado de la operación debía ser también menor a la unidad; lo anterior para evitar 
la dificultad extra que representa manejar números de más de dos dígitos. De esta manera había 
15 operaciones posibles a utilizar para las multiplicaciones y 50 operaciones posibles a utilizar para 
las divisiones; aunado a esto se presentaban 3 posibles respuestas, de las cuales el participante 
escogería la que consideraba correcta [ver Apéndice 2]. La elección de las posibles respuestas se 
hizo de manera que una de las respuestas incorrectas (alternativa distractora) compartiera el 
numerador con la respuesta correcta, mientras que la otra respuesta incorrecta compartía el 
denominador con la respuesta correcta, esto con el objetivo de que los participantes tuvieran que 
trabajar con ambos componentes de la fracción. 
 
Figura 1. Ejemplo de las 4 condiciones presentadas tanto en las multiplicaciones como en las 
divisiones. (A) Operación y posibles respuestas en forma numérica, (B) Operación y posibles 
respuestas en forma gráfica, (C) Operación en forma numérica y posibles respuestas en forma 
gráfica y (D) Operación en forma gráfica y posibles respuestas en forma numérica. 
20 
 
 
3.4 Diseño 
Se presentaban siempre en primer lugar las operaciones y posteriormente las preguntas 
conceptuales sobre la solución de multiplicaciones y divisiones de fracciones se hacían al final del 
experimento. 
 La tarea de operaciones consistía en la presentación de multiplicaciones y divisiones de 
fracciones en cuatro condiciones: operación y respuestas en números, operación y respuestas en 
gráficas, operación en números y respuestas en gráficas, y operación en gráfica y respuestas en 
números. Las operaciones se presentaron en cada una de las 4 diferentes condiciones de forma 
que no se repitieran dentro de la misma condición, en cada condición se presentaron operaciones 
de división y multiplicación. La tarea se presentaba con la siguiente secuencia, según la condición 
[Figura 1]: la operación y las posibles respuestas se presentaban en forma numérica [Condición 
(A)], la operación y las posibles respuestas se presentaban en forma gráfica [Condición (B)], la 
operación se presentaba en forma numérica y las posibles respuestas se presentaban en forma 
gráfica [Condición (C)], la operación se presentaba en forma gráfica y las posibles respuestas se 
presentaban en forma numérica [Condición (D)]. Sin embargo, como se mencionó anteriormente 
podían presentarse primero las divisiones y luego las multiplicaciones o viceversa, dependiendo 
del orden al que había sido asignado el participante. 
 En total eran 120 ensayos, de los cuales 60 eran divisiones y 60 eran multiplicaciones. A 
cada una de las condiciones antes mencionadas le correspondían 15 de los 60 ensayos y de esos 
15 ensayos los 5 primeros eran ensayos de entrenamiento para familiarizar a los participantes con 
los procedimientos y 10 ensayos eran de prueba, los cuales se tomaron en cuenta para el análisis 
[ver Resultados], cada ensayo duraba 10000 milisegundos. Entre cada ensayo se presentaba un 
21 
 
punto de fijación que duraba 500 milisegundos y entre cada condición se le decía al participante 
que podía tomar el tiempo que necesitara para descansar. 
 
3.5 Procedimiento 
Los participantes fueron asignados a una de dos posibles secuencias, la mitad se expuso a un 
orden donde primero se presentaban las divisiones y luego las multiplicaciones, mientras que la 
otra mitad se sometió al orden inverso. La participación en el estudio consistió en una solo sesión 
con una duración promedio de 33.31 minutos. La tarea se resolvía de forma individual en una 
computadora personal, las instrucciones fueron: “A continuación se te presentarán una serie de 
pantallas a las que deberás responder utilizando únicamente el teclado. Si se te pide responder con 
algún número por favor utiliza sólo el teclado numérico ubicado a la derecha, ya que es más 
cercano, más cómodo y más rápido de usar. Para las preguntas que son abiertas no te preocupes 
por la ortografía y escribe lo que necesites”. 
 El experimento comenzaba con una bienvenida y la petición del consentimiento de 
participación, haciendo notar que era derecho del participante retirarse de la prueba si así lo 
deseaba [ver Apéndice 1]. Se presentaba un cuestionario de 19 preguntas sobre datos generales 
del participante y datos sobre su salud para descartar algún tipo de problema que pudiera afectar 
su desempeño durante la prueba. Posteriormente comenzaban las dos fases del experimento. 
 
3.5.1 Fase 1 
Se informaba al participante que la prueba daría inicio y enseguida comenzaba la presentación de 
las operaciones en sus cuatro condiciones. Antes de cada condición se daban instrucciones para 
resolver las operaciones y posteriormente se presentaban instrucciones para explicar las teclas de 
respuesta [ver Apéndice 3], las instrucciones duraban todo el tiempo que el participante 
22 
 
requiriera. Después se presentaban las condiciones comenzando con los 5 ensayos de 
entrenamiento y posteriormente se presentaban 10 ensayos de prueba, el participante tenía 10 
segundos para responder cada uno. En los ensayos de entrenamiento si el participante fallaba se 
le decía que su respuesta era incorrecta y volvía a presentarse el mismo ensayo y si había omisión 
en la respuesta se le decía que contestara con mayor rapidez, si por segunda vez fallaba se le 
volvía a decir que su respuesta era incorrecta y si había omisión por segunda vez en la respuesta se 
le decía que contestara con mayor rapidez y se presentaba una tercera ocasión el mismo ensayo, 
si fallaba una tercera vez u omitía responder se le decía que su respuesta había sido incorrecta o 
que contestara con mayor rapidez según el caso y se pasaba al siguiente ensayo. En caso de que el 
participante acertara en alguna de las tres ocasiones en que se presentaba el ensayo, se le 
informaba que su respuesta era correcta y se pasaba al siguiente ensayo. La retroalimentación en 
los ensayos de entrenamiento tenía el objetivo de familiarizar al participante con la tarea y hacerle 
notar sus errores y sus aciertos. En los ensayos de prueba no se daba retroalimentacióny el 
ensayo no volvía a presentarse, en cuanto el participante daba una respuesta, se presentaba el 
siguiente ensayo. 
 
3.5.2 Fase 2 
Una vez que terminaban las 4 condiciones de ambos tipos de operaciones (divisiones y 
multiplicaciones), se hacían las preguntas conceptuales respecto a solución de multiplicaciones y 
divisiones de fracciones con sus cinco posibles respuestas. Además, se preguntaba la razón de su 
respuesta, se preguntaba qué condición le había parecido más difícil al participante y cuál había 
sido su estrategia para resolverla, las respuestas se daban utilizando el teclado de la computadora 
[ver Apéndice 4]. 
23 
 
Para las preguntas del final de la prueba, el participante tenía todo el tiempo que 
necesitara para responderlas. En las preguntas de opción, se pedía a los participantes que 
apretaran una tecla determinada para elegir lo que consideraran correcto, en las preguntas 
abiertas se les indicaba que podían utilizar todo el teclado para responder. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
CAPÍTULO 4 
RESULTADOS 
 
4.1 Operaciones 
Se calculó una media de la proporción de respuestas correctas y una media de los tiempos de 
reacción por cada participante y por cada condición de las operaciones presentadas, para 
posteriormente realizar una depuración de los datos y poder analizarlos. 
 
4.1.1 Codificación 
La codificación para las respuestas fue asignar 0 si la respuesta a la operación era incorrecta y 
asignar un 1 si la respuesta a la operación era correcta, de forma tal que el nivel promedio del azar 
corresponde al valor de 0.33, ya que para cada operación había tres posibles respuestas. El valor 
de los tiempos de reacción se registró y analizó en el rango de milisegundos. 
 
4.1.2 Depuración de datos 
La depuración de los datos se llevó tanto a cabo para el análisis de la Media de Respuestas y para 
el análisis de los Tiempos de Reacción. En esta depuración lo que se hizo fue obtener los valores 
que eran sesgos dentro de la muestra y estos sesgos fueron reemplazados con el valor promedio 
para esa condición. Para las Medias de Respuesta fueron reemplazados once datos que 
corresponden al 3.97% de los datos, mientras que para los Tiempos de Reacción fueron 
reemplazados 6 valores que corresponden al 1.97% de los datos. 
 
25 
 
4.1.3 Análisis de Medias de Respuesta 
Se corrió un ANOVA de medidas repetidas en el programa SPSS 18 con Operación (Multiplicación y 
División) y Condición (Operación y posibles respuestas en forma numérica, Operación y posibles 
respuestas en forma gráfica, Operación en forma numérica y posibles respuestas en forma gráfica, 
y Operación en forma gráfica y posibles respuestas en forma numérica) como factores intrasujeto, 
y Orden (División-Multiplicación vs. Multiplicación-División) como factor entre sujetos. El análisis 
dio como resultado un efecto principal para Operación (F (1, 36) = 7.450, p = 0.010, η
2 = 0.171) y 
para Condición (F (3, 34) = 108.556, p = 0.000, η
2 = 0.905). También se encontró una interacción de 
dos factores entre Operación y Condición (F (3, 34) = 7.137, p = 0.001, η
2 = 0.386); y una interacción 
marginalmente significativa de tres factores entre Operación, Condición y Orden (F (3, 34) = 2.878, p 
= 0.050, η2 = 0.203), [ver la Figura 2]. En las siguientes secciones se describirán estos resultados a 
detalle. 
 
 
Figura 2. Media de respuestas correctas divida por Operación (Multiplicación y División) y 
Condición (Numérica, Gráfica, Numérica-Gráfica y Gráfica-Numérica). El nivel del azar corresponde 
al 0.33. 
26 
 
4.1.3.1 Análisis post hoc para Medias de Respuesta 
Una Prueba T de muestras relacionadas reveló diferencias entre multiplicaciones y divisiones sólo 
en la condición Gráfica-Numérica (M = -0.150; SD = 0.211; t(37) = -4.381, p = 0.000), mientras que 
en el resto de las condiciones multiplicaciones y divisiones no difirieron. 
 Además, una Prueba T para explorar las diferencias entre condiciones mostró que existen 
diferencias en las multiplicaciones entre las condiciones Numérica y Gráfica (M = 0.469; SD = 
0.219; t(37) = 13.187, p = 0.000), Numérica y Numérica-Gráfica (M = -0.174; SD = 0.189; t(37) = 
5.668, p = 0.000), Numérica y Gráfica-Numérica (M = 0.199; SD = 0.252; t(37) = 4.865, p = 0.000), 
Gráfica y Numérica-Gráfica (M = -0.295; SD = 0.256; t(37) = -7.104, p = 0.000), y Gráfica y Gráfica-
Numérica (M = -0.270; SD = 0.240; t(37) = -6.993, p = 0.000). En las divisiones hay diferencias entre 
las condiciones Numérica y Gráfica (M = -0.529; SD = 0.210; t(37) = 15.533, p = 0.000), Numérica y 
Numérica-Gráfica (M = -0.154; SD = 0.221; t(37) = 4.287, p = 0.000), Numérica y Gráfica-Numérica 
(M = -0.346; SD = 0.244; t(37) = 8.746, p = 0.000), Gráfica y Numérica-Gráfica (M = -0.375; SD = 
0.291; t(37) = -7.936, p = 0.000), Gráfica y Gráfica-Numérica (M = -0.182; SD = 0.247; t(37) = -4.550, 
p = 0.000) y Numérica-Gráfica y Gráfica-Numérica (M = -0.192; SD = 0.209; t(37) = 5.655, p = 
0.000). Lo anterior indica que en general, sin importar si el tipo de operación que se presentaba 
(multiplicación o división), la diferencia en la media de respuestas correctas estuvo determinada 
por la condición presentada (Numérica, Gráfica, Numérica-Gráfica o Gráfica-Numérica). 
 
4.1.4 Análisis de Tiempos de Reacción 
Se corrió un ANOVA de medidas repetidas con Operación (Multiplicación y División) y Condición 
(Operación y posibles respuestas en forma numérica, Operación y posibles respuestas en forma 
gráfica, Operación en forma numérica y posibles respuestas en forma gráfica, y Operación en 
forma gráfica y posibles respuestas en forma numérica) como factores intrasujeto, y Orden 
27 
 
(División-Multiplicación vs. Multiplicación-División) como factor entre sujetos. El análisis dio como 
resultado un efecto principal para Operación (F (1, 36) = 44.282, p = 0.000, η
2 = 0.552) y un efecto 
principal para Condición (F (3, 34) = 108.556, p = 0.000, η
2 = 0.905). También se encontró una 
interacción de dos factores entre Operación y Condición (F (3, 34) = 7.137, p = 0.000, η
2 = 0.444); y 
una interacción de tres factores entre Operación, Condición y Orden (F (3, 34) = 3.429, p = 0.028, η
2 
= 0.232). Para observar esta información ir a la Figura 3, en las siguientes secciones se describirán 
estos resultados a detalle. 
 
 
Figura 3. Media de Tiempos de Reacción divida por Operación (Multiplicación y División) y 
Condición (Numérica, Gráfica, Numérica-Gráfica y Gráfica-Numérica). Las barras azules 
representan las condiciones de multiplicaciones, mientras que las moradas representan las 
condiciones de divisiones. 
 
4.1.4.1 Análisis post hoc para Tiempos de Reacción 
Una Prueba T de muestras relacionadas mostró que existen diferencias entre divisiones y 
multiplicaciones sólo en las condiciones Gráfica (M = 895.406; SD = 1814.112; t(37) = 3.043, p = 
28 
 
0.004), Numérica-Gráfica (M = 530.298; SD = 1044.239; t(37) = 3.130, p = 0.003) y Gráfica-
Numérica (M = 1690.231; SD = 1768.933; t(37) = 5.890, p = 0.000). 
Además, una Prueba T para analizar las diferencias entre condiciones mostró que existen 
diferencias en las multiplicaciones entre las condiciones Numérica y Numérica-Grafica (M = -
1823.581; SD = 2068.443; t(37) = -5.435, p = 0.000), Numérica y Gráfica (M = -2060.214; SD = 
1003.947; t(37) = -12.650, p = 0.000), Numérica y Gráfica-Numérica (M = -1536.063; SD = 
1339.897; t(37) = -7.067, p = 0.000), y Gráfica y Gráfica-Numérica (M = 524.151; SD = 1574.747; 
t(37) = 2.052, p = 0.047). Asimismo, existen diferencias en las divisiones entre las condiciones 
Numérica y Numérica-Grafica (M = -2407.95; SD = 2155.490; t(37) = -6.886, p = 0.000), Numérica y 
Gráfica (M = -2279.476; SD = 1101.564; t(37) = -12.756, p = 0.000), Numérica y Gráfica-Numérica 
(M = -2915.258; SD = 1615.9545; t(37) = -11.121, p = 0.000), y Gráfica y Gráfica-Numérica (M = -
635.781; SD = 1670.164; t(37) = -2.347, p= 0.024). Lo anterior indica que en las condiciones donde 
se presentaba alguna gráfica, los tiempos de reacción aumentaban en comparación con la 
condición donde se presentaban exclusivamente símbolos numéricos. 
 
4.1.5 Correlación entre la Media de Respuestas y los Tiempos de Reacción 
Se realizó una correlación de Pearson para ver si existía una relación significativa entre la media de 
respuestas y la media de los tiempos de reacción. Los resultados mostraron que para las 
divisiones existe una correlación significativa entre la media de respuestas y los tiempos de 
reacción para las condiciones Gráfica (r = 0.362, p = 0.026) y Gráfica-Numérica (r = 0.585, p = 
0.000), mientras que para las multiplicaciones existe una correlación significativa entre la media de 
respuestas y los tiempos de reacción para la condición Gráfica (r = 0.609, p = 0.000), ver la Figura 
4. 
 
29 
 
 
30 
 
4.2 Preguntas abiertas 
Las preguntas se analizaron por frecuencia de respuestas en aquellas preguntas que tenían 
opciones para contestar y por análisis de contenido mediante la formación de categorías para las 
preguntas de respuestas abiertas. 
 
4.2.1 Análisis para las preguntas “Al multiplicar dos números, ¿cómo es el resultado?” y 
“Al dividir dos números, ¿cómo es el resultado?” 
Las frecuencias a las cinco opciones de respuesta, muestran que en la pregunta que tiene ver con 
la acción de dividir, el 2.63% (n=1) de los participantes dijo que el resultado era “Mayor o igual 
que alguno de los números que usas para realizar la división”, el 23.68% (n=9) dijo que el resultado 
era “Menor o igual que alguno de los números que usas para realizar la división”, el 2.63% (n=1) dijo 
que el resultado podía ser “Sólo mayor que alguno de los números que usas para realizar la división”, 
el 31.60% (n=12) dijo que el resultado podía ser “Sólo menor que alguno de los números que usas 
para realizar la división” y el 39.50% (n=15) dijo que el resultado podía ser “Mayor, menor o igual 
que alguno de los números que usas para realizar la división”. En la pregunta que tiene que ver con la 
acción de multiplicar el 44.74% (n=17) de los participantes dijo que el resultado podía ser “Mayor 
o igual que alguno de los números que usas para realizar la multiplicación”, el 2.63% (n=1) dijo que el 
resultado podía ser “Menor o igual que alguno de los números que usas para realizar la 
multiplicación”, el 23.68% (n=9) dijo que el resultado podía ser “Sólo mayor que alguno de los 
números que usas para realizar la multiplicación”, el 0.00% (n=0) dijo que el resultado podía ser 
“Sólo menor que alguno de los números que usas para realizar la multiplicación” y el 28.95% (n=11) 
eligió dijo que el resultado podía ser “Mayor, menor o igual que alguno de los números que usas 
para realizar la multiplicación” [ver la Figura 5]. 
 
31 
 
 
 
Figura 5. Porcentajes de la frecuencia de distribución de las respuestas elegidas por los 
participantes para la preguntas “Al multiplicar dos números, ¿cómo es el resultado?” y “Al dividir 
dos números, ¿cómo es el resultado?”. 
 
Sin embargo, la respuesta correcta para ambas preguntas era “Mayor, menor o igual”, por lo que 
al analizar si los participantes se equivocaron o acertaron en la respuesta los resultados son los 
siguientes: para el caso en el que se pregunta por la acción de dividir el 39.50% de los 
participantes contestó correctamente y el 60.50% contestó incorrectamente, mientras que para el 
caso en el que se pregunta por la acción de multiplicar el 28.95% de los participantes contestó de 
forma correcta y 71.05% contestó de forma incorrecta [ver Figura 6]. 
 
 
Figura 6. Porcentajes de la frecuencia de distribución de las respuestas correctas e incorrectas 
elegidas por los participantes para la preguntas “Al multiplicar dos números, ¿cómo es el 
resultado?” y “Al dividir dos números, ¿cómo es el resultado?”. 
32 
 
 
En cuanto a las explicaciones de las respuestas que dieron los participantes se formaron tres 
categorías para obtener las frecuencias a dichas respuestas: 
 Con sesgo hacia números naturales: las respuestas no consideraban otros tipos de 
números que no sean naturales y sus concepciones respecto a multiplicar y dividir se 
basaban exclusivamente en propiedades que sólo son aplicables a números naturales. 
Dentro de esta categoría contestó el 44.74% de los participantes al preguntar por la acción 
de dividir, mientras que al preguntar por multiplicar contestó dentro de esta categoría el 
63.15% de los participantes. 
 Sin sesgo hacia números naturales: las respuestas hacían alusión a otro tipo de números 
que no eran sólo naturales, consideraban la operación como es en realidad y no sólo 
basados en el procedimiento de dividir o multiplicar números naturales. Dentro de esta 
categoría contestó el 28.95% de los participantes al preguntar por la acción de dividir, 
mientras que al preguntar por multiplicar contestó dentro de esta categoría el 23.70% de 
los participantes. 
 Otra: las respuestas no daban explicación alguna y no hacían referencia a ninguna 
característica de las operaciones preguntadas (división y multiplicación). Dentro de esta 
categoría contestó el 26.31% de los participantes al preguntar por la acción de dividir, 
mientras que al preguntar por multiplicar contestó dentro de esta categoría el 13.15% de 
los participantes. 
Para observar de manera gráfica estos resultados ver la Figura 7. 
 
33 
 
 
Figura 7. Porcentajes de la frecuencia de distribución de las respuestas de los participantes dentro 
de las categorías formadas para las explicaciones que se dieron respecto a su manera de contestar 
“Al dividir/multiplicar, ¿cómo es el resultado?”. 
 
4.2.2 Análisis para la pregunta “¿Cuál fue la condición más difícil?” 
De acuerdo a lo que contestaron los participantes se formaron las opciones de respuesta: 
 “Representación gráfica” en la que los participantes hacían referencia a que todo lo que 
tenía una gráfica fue lo más difícil de la prueba. La frecuencia para esta respuesta fue del 
57.90%. 
 “División en representación gráfica” en la que los participantes hacían referencia a que las 
condiciones Gráfica y Gráfica numérica de las divisiones fueron las condiciones más 
difíciles de la prueba. La frecuencia para esta respuesta fue del 29.00%. 
 “La multiplicación en representación gráfica” en la que los participantes hacían referencia 
a que las condiciones Gráfica y Gráfica numérica de las multiplicaciones fueron las 
condiciones más difíciles de la prueba. La frecuencia para esta respuesta fue del 2.60%. 
 “Todo” en la que los participantes hacían referencia a que todo lo presentado durante la 
prueba era complicado. La frecuencia para esta respuesta fue del 2.60%. 
 “Sin respuesta” en la que los participantes nos contestaban esta pregunta de manera 
expresa como se les había pedido. La frecuencia para esta respuesta fue del 7.90%. 
34 
 
Para observar los datos anteriores de manera gráfica ver la Figura 8. 
 
Figura 8. Porcentajes de la frecuencia de las respuestas de los participantes a la pregunta “¿Cuál 
fue la condición más difícil?”. 
 
4.2.3 Análisis para la pregunta “¿Qué estrategia utilizaste?” 
Se formaron tres categorías para analizar las respuestas a esta pregunta: 
 Mapeo: las respuestas explícitamente decían haber hecho una transformación mental de 
gráficas a números o de números a gráficas. Un 42 % de las respuestas de los participantes 
se ubicaron dentro de esta categoría [ver Figura 9]. 
 No mapeo: las respuestas no decían haber hecho una transformación de lo numérico a lo 
gráfico o de lo gráfico a lo numérico sino que explicaban otro tipo de estrategias (por 
ejemplo, estrategias perceptuales). Un 11 % de las respuestas de los participantes se 
ubicaron dentro de esta categoría [ver Figura 9]. 
 Otra: las respuestas no daban una explicación o no hacían alusión a ningún tipo de 
representación gráfica o numérica.Un 47 % de las respuestas de los participantes se 
ubicaron dentro de esta categoría [ver Figura 9]. 
 
35 
 
 
Figura 9. Porcentajes las estrategias usadas por los participantes para resolver la condición que les 
pareció más complicada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
CAPÍTULO 5 
PROPUESTAS Y CONCLUSIONES 
 
5.1 Discusión 
El objetivo de este estudio fue conocer la eficiencia de estudiantes universitarios en la solución de 
multiplicaciones y divisiones de fracciones utilizando representaciones numéricas y gráficas, así 
como explorar las estrategias que emplean para resolver las operaciones presentadas mediante un 
auto-reporte. Además, también tuvo como objetivo el presente estudio conocer sus concepciones 
respecto a las multiplicaciones y divisiones de números. 
En general los participantes tienen una mayor proporción de respuestas correctas y 
resuelven de manera más rápida multiplicaciones y divisiones de fracciones cuando éstas 
involucran únicamente símbolos numéricos. Sin embargo, hay otros aspectos que son relevantes. 
 Se observó que los participantes resolvieron al menos la mitad de los ensayos presentados 
de manera correcta en todas las condiciones. Esto es, sin importar si eran multiplicaciones o 
divisiones lo que hace la diferencia entre un número mayor o menor de errores es la forma en la 
que se presentan las operaciones y las posibles respuesta (Numérica, Gráfica, Numérica-Gráfica o 
Gráfica-Numérica). 
Entre otras explicaciones de este resultado, tenemos que a pesar de que teóricamente el 
manejo de estas dos operaciones se da de manera distinta, también es cierto que puede 
conceptualizarse a la división como un inverso multiplicativo (Thompson & Saldanha, 2003), por lo 
que la diferencia en la eficiencia de las solución de las operaciones presentadas (multiplicaciones 
vs. divisiones) podría estar, como lo muestran los resultados, en el tiempo que tardan los 
participantes en realizar la operación (en general hay mayores tiempos de reacción en las 
divisiones que en las multiplicaciones) mas no en la dificultad del procedimiento que llevan a cabo. 
37 
 
Aunque es poco probable que los participantes hayan conceptualizado la división de esta forma, 
pudieron haberlo hecho sin conceptualizarlo así ya que finalmente tanto en multiplicaciones como 
en divisiones se realizan dos multiplicaciones unidigitales para resolverlas. 
Además, las diferencias estadísticas entre las condiciones dejan claro que la operación más 
difícil de realizar es aquélla en la que todo se presenta de manera gráfica, ya que la estrategia que 
usaron los participantes en su mayoría fue hacer un mapeo, lo cual los llevaba a errores. Sin 
embargo, en los tiempos de reacción no hay diferencias entre condiciones, salvo en la condición 
Numérica en la que los tiempos de reacción eran de aproximadamente 5000 milisegundos, es 
decir, en cuanto la operación involucraba una gráfica sin importar si esta se encontraba como 
operación, como respuesta o como ambas, los tiempos de reacción aumentaban, debido 
posiblemente al mapeo o a la dificultad de los esquemas gráficos, a pesar de que son bastante 
recurrentes desde edades tempranas (Gabriel et al., 2012). Lo anterior se confirma con las 
respuestas de los participantes que en su mayoría dijeron que la condición más difícil de la prueba 
era la condición gráfica, ya que a pesar de que ciertas formas no numéricas ayudan a aproximar 
los resultados de operaciones de fracciones a edades tempranas (Mix et al., 1999), en operaciones 
aritméticas como la multiplicación y la división con un tiempo determinado para responder y la 
posible falta de familiaridad con este tipo de representaciones lleva a una mayor cantidad de 
errores. Hay que tomar en cuenta que hay poca familiaridad para calcular operaciones aritméticas 
utilizando áreas dado que eso es poco mostrado y entrenado, quizá lo más cercano a eso en la 
educación formal sean las operaciones que pueden realizarse con diagramas de Venn, en los que si 
bien la proporción de áreas no es de relevancia, sí se manejan áreas para hacer uniones, 
intersecciones o diferencias de diagramas en forma de círculo. Asimismo y de manera más 
compleja, en la solución de integrales, cuando hay que calcular áreas bajo la curva, también se 
38 
 
manejan áreas; sin embargo, para ninguno de los ejemplos anteriores hay una clara relación con 
multiplicaciones o divisiones que involucren directamente fracciones. 
Por otro lado, en el análisis cuantitativo, la diferencia entre multiplicaciones y divisiones en 
la condición Numérica-Gráfica podría estar denotando un efecto de entrenamiento. A pesar de 
que no hubo un número de ensayos distinto entre multiplicaciones y divisiones (cada tipo de 
operación con sus cuatro condiciones), y de que cada condición contaba con 15 ensayos (5 de 
entrenamiento y 10 de prueba), las posibles operaciones a presentar para las multiplicaciones 
eran sólo 15 [ver Apéndice 2], por lo que la mismas 15 multiplicaciones se repetían en las cuatro 
condiciones, aunque en distinto orden, y una misma operación nunca se repetía dentro de la 
misma condición. Así también la correlación no significativa entre medias de respuesta y tiempos 
de reacción de las multiplicaciones en la condición Gráfica-Numérica, puede deberse a que las 
posibles multiplicaciones a presentar se repiten varias veces en diferentes estímulos a lo largo de 
la tarea. 
La alta correlación entre los tiempos de reacción y la media de respuestas denota 
claramente que mientras mayor tiempo pasaban intentando resolver las operaciones donde la 
operación era con gráfica, mejores resultados obtenían, lo que sugiere que algunos participantes 
contestaron azarosamente en las condiciones que presentaban una gráfica. 
Las respuestas abiertas de los participantes muestran su sesgo hacia la conceptualización 
de las operaciones aritméticas como si sólo se realizaran con números naturales, esto a pesar de 
que las preguntas fueron formuladas después de que realizaran las operaciones con fracciones, 
este sesgo ha sido ampliamente reportado en el manejo de fracciones (Byalistok & Codd, 2000). 
Más allá de eso también es probable que estas respuestas tengan que ver con una 
conceptualización componencial con las fracciones más allá de una conceptualización holística de 
39 
 
las mismas, como si numerador y denominador representaran números enteros cuando no es así, 
esto como producto de las estrategias que utilizaban para resolver las operaciones. 
De forma interesante, cabe mencionar que la mayoría de los participantes se equivocó al 
elegir una respuesta respecto a cómo era el resultado al dividir/multiplicar dos números. Sin 
embargo, se equivocaron más en las multiplicaciones que en las divisiones, probablemente porque 
la conceptualización más aceptada por los participantes es que la multiplicación es una adición 
repetida, mientras que para la división hay muchas más posibles conceptualizaciones (Thompson 
& Saldanha, 2003). Aunque también es posible que exista un sesgo al usar la palabra “número” 
dentro de la pregunta porque podrían pensar los participantes sólo en números naturales de 
manera inmediata, sin embargo, si en algo se ha hecho hincapié en los currículos educativos más 
actuales es en enfatizar el hecho de que las fracciones numéricas son números en una sola 
entidad, es decir, que son una misma cantidad, y no que el numerador y el denominador son 
números independientes (Fazio & Siegler, 2010). Por otro lado, se esperaría que al presentarse la 
pregunta al final de la prueba los participantes hubieran podido obtener información de la tarea, 
como las características de las fracciones, recordándoles al menos que además de los números 
naturales existen las fracciones; más aún, los participantes pudieron llegar a la respuesta correcta 
a esa pregunta sin siquiera pensar en las fracciones por lo que omitieron tambiénotros números 
como el cero o los números negativos, lo cual devuelve a la inferencia del claro sesgo hacia los 
números naturales. Un método instruccional que podría ayudar a los participantes a resaltar las 
características de las fracciones en general y de los resultados de operaciones aritméticas con 
fracciones en particular, sería mantener constante una fracción a partir de la cual ellos realizaran 
operaciones y hacer que multiplicaran o dividieran la fracción estándar por distintas fracciones 
que aumentaran o disminuyeran los valores del numerador y del denominador de manera 
individual; así el participante podría ver que de acuerdo a si aumenta o disminuye el numerador o 
40 
 
el denominador, el valor del resultado puede aumentar o disminuir, mantener una fracción 
constante ha permitido estudiar tareas de comparación de fracciones de manera más controlada 
(Siegler et al, 2011).. 
Aunque por otro lado, las estrategias utilizadas por los participantes para resolver las 
operaciones indican su preferencia por utilizar símbolos numéricos, lo cual puede deberse a las 
instrucciones dadas para realizar las operaciones, a la familiaridad que se tiene con los símbolos 
numéricos o a la falta de herramientas estratégicas para resolver los problemas de cualquier otra 
manera. Ciertamente los estímulos difícilmente podían ser manejados de otra manera y tal vez el 
mayor de sus defectos es que inducían a los participantes a contar el número de partes en que 
estaba dividida la gráfica para después poder realizar la operación, lo cual claramente podría 
explicar el incremento en los tiempos de reacción. Sin embargo, también hubo participantes con 
estrategias diferentes, algunas incluso perceptuales, si bien las operaciones y las respuestas 
estaban diseñadas para que tuvieran que trabajar con el numerador y el denominador para 
encontrar la respuesta, había casos en los que era posible descartar de forma más rápida alguna 
de las tres opciones de respuesta presentadas. A pesar de lo anterior, la mayoría de los 
participantes claramente eligió reglas por encima de otros tipos de estrategias a nivel 
procedimental, y también a nivel de conceptualización de posibles operaciones a realizar con 
fracciones numéricas, especialmente en el caso de la multiplicación y la división, que cabe resaltar, 
son las operaciones aritméticas más complicadas. Además, cabría también hacer notar otro 
aspecto con respecto a los estímulos utilizados, ya que fueron sólo numeradores y denominadores 
de un solo dígito, esto pudo haber facilitado la tarea para usar símbolos numéricos dada la 
familiaridad que se tiene con las tablas de multiplicar; si se usaran fracciones con numeradores y 
denominadores de dos dígitos este proceso sería mucho más complejo, porque la carga en la 
memoria de trabajo también sería mayor y ya es sabido que la memoria de trabajo juega un papel 
41 
 
muy relevante en lo que se refiere al procesamiento matemático (Raghubar et al., 2010). Además, 
se ha probado también que las estrategias utilizadas para manejar fracciones puedan ser 
flexibilizadas por adultos universitarios de acuerdo al contexto en que se les presenten (Bonato et 
al., 2007). 
Un análisis interesante sería hallar una relación entre la solución de multiplicaciones y 
divisiones de fracciones y la conceptualización que tienen los participantes sobre lo que sucede al 
multiplicar o al dividir dos números. En el presente estudio no se realizó porque dada la naturaleza 
de las respuestas dadas (media de respuestas y respuestas conceptuales), el análisis era más 
complejo y se volvía muy interpretativo. Además, hay diferencias entre la naturaleza de las 
respuestas requeridas: de selección y de producción, una posibilidad futura sería encontrar un 
método para igualar la naturaleza de las respuestas y así poder determinar correlaciones entre las 
respuestas a operaciones y las respuestas a preguntas conceptuales. Además, podrían agregarse 
tareas de suma y resta de fracciones para también evaluar a los participantes en la solución de 
este tipo de operaciones aritméticas. 
Es probable que la familiaridad con las operaciones presentadas o con el manejo de 
números racionales en general, permitiera a distintos participantes utilizar mejores estrategias de 
resolución de operaciones. Hacer una prueba en una población más experimentada en términos 
matemáticos, como estudiantes cuya carrera perteneciera al área físico-matemática, daría luz a 
esta interrogante; aunque sería posible que siguieran utilizando un mapeo de lo gráfico a lo 
numérico porque es más sencillo y más económico en términos cognitivos ya que el uso de 
símbolos numéricos es algo que han entrenado por largo tiempo, incluso es posible que ciertas 
conceptualizaciones que tengan respecto a los números racionales estén también permeadas por 
un sesgo hacia los números naturales como han mostrado otros estudios (Obersteiner et al., 
2013). 
42 
 
Por lo tanto, para evitar el sesgo de que traten a las partes de la fracción como cantidades 
discretas la propuesta consistiría en realizar una tarea que impidiera la estrategia de contar las 
partes en las que se divide una representación gráfica, es decir hacer una diferencia de los 
sombreados utilizados en una figura, como se ha hecho en un estudio anterior con niños, para ver 
si podían predecir lo que sucedería con sumas y restas de representaciones fraccionarias (Mix et 
al., 1999) o como lo que se ha hecho con niños para que encuentren formas de realizar una 
división de fracciones usando el área de un rectángulo (Yim, 2010); sin embargo, al emplear estas 
gráficas se corre un riesgo alto de que terminaran utilizando estrategias puramente perceptuales 
como se ha sugerido que sucede en los trabajos antes mencionado. 
Entonces, es posible llegar a la conclusión de que la forma más apropiada de representar 
fracciones con herramientas que no sean símbolos numéricos podría ser otra. En un estudio 
reciente Meert, Grégoire, Seron & Nöel (2013), dan cuenta de que los símbolos numéricos pueden 
no ser una barrera para procesar las fracciones en niños de 9 y 11 años de edad; este estudio 
utiliza símbolos numéricos para que los niños hagan estimaciones y conjuntos de puntos con cierta 
densidad. Con esta característica se le pide al niño que represente la proporción que hay de 
puntos de un color en comparación con el total de puntos, pero sin permitirle que los cuente. Este 
tipo de representaciones de conjuntos de puntos se utilizan para estudiar el Sistema de 
Aproximación Numérica, el cual permite aproximar la cantidad de conjunto de elementos (Xu & 
Spelke, 2000) y es probablemente una alternativa plausible para representar fracciones sin utilizar 
símbolos numéricos, aunque perceptualmente también representa retos desde el punto de vista 
de variables visuales, sin embargo, estos efectos perceptuales podrían ser más controlables. 
 
43 
 
5.2 Conclusiones 
Las personas educadas en el currículo mexicano y en muchos otros currículos en el mundo pasan 
gran parte de su educación básica lidiando con cuestiones relacionadas con fracciones numéricas, 
sin embargo, se ha estudiado poco respecto a lo que involucran y su función dentro de la 
construcción del razonamiento numérico y matemático, tal y como ya se ha apuntado por parte de 
expertos en el tema (Siegler et al., 2013). 
 El entendimiento de la manera en la que se realizan las operaciones aritméticas con 
fracciones ha sido paulatino dentro de la investigación, dado los problemas que presentan estos 
tipos de números y la variedad de habilidades cognitivas utilizadas en los procesos aritméticos. 
Actualmente muchos grupos de investigadores y asociaciones tienen la mira puesta en este tipo 
de números, no porque sean una novedad, sino porque han demostrado ser de mucha utilidad en 
la formación del razonamiento matemático y en la predicción del éxito académico de los