TEMA4

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4. Campos electromagnéticos
1. Ondas electromagnéticas en el vaćıo: Ecuación de
ondas en ausencia de fuentes. Solución de onda plana. On-
da monocromática. Relación entre los campos eléctrico y
magnético. Enerǵıa y flujo de potencia de la onda. Polari-
zación.
2. Solución general en el vaćıo: Planteamiento del pro-
blema con fuentes mediante potenciales. Condición de Lo-
rentz. Resolución para una carga puntual. Potenciales re-
tardados.
3. Sistemas radiantes sencillos: Dipolo eléctrico. Cam-
pos de radiación. Dipolo magnético.
4. Campos cuasiestacionarios: Cuasielectrostática y
cuasimagnetostática. Criterios de aplicación.
4.1 Ondas electromagnéticas en el vaćıo
Hemos analizado hasta ahora las soluciones a las ecuaciones
de Maxwell independientes del tiempo, conocidas todas las
fuentes en el espacio. Esto nos ha permitido familiarizar-
nos con campos eléctricos y magnéticos a la vez sencillos y
fundamentales, esto último porque en base a ellos seremos
capaces de encontrar soluciones totalmente generales.
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Rayos gamma
Rayos X
Ultravioleta
Visible
Infrarrojo
Microondas
Ondas de radio cortas
Televisión y radio de FM
Radio de AM
Ondas de radio largas
Frecuencia (Hz) Longitud de onda (m)
Una consecuencia de los postulados que aún no hemos
mostrado es la posibilidad de existencia de soluciones pro-
pagatorias (ondas) para los campos electromagnéticos. Es-
te hecho tiene una enorme repercusión. La luz no es sino
una de las innumerables manifestaciones de los campos elec-
tromagnéticos propagatorios. El espectro electromagnético
abarca las ondas de radio y televisión, las microondas, las
radiaciones infrarroja, visible y ultravioleta, los rayos X y
gamma. Todos ellos poseen una naturaleza común, y sólo
se diferencian en su longitud de onda t́ıpica, en orden decre-
ciente en la enumeración anterior, desde el kilómetro hasta
el femtómetro (10−15 m). Todas se propagan en el vaćıo
a la velocidad c � 3 · 108 m/s (que ha resultado ser un
ĺımite superior para la velocidad que puede alcanzar cual-
quier part́ıcula o campo). Todo ello puede verse en el es-
quema adjunto del espectro electromagnético.
• Ecuación de ondas en ausencia de fuentes
Vamos a deducir una ecuación de ondas para �E y �B a
partir de las ecuaciones de Maxwell aplicadas a una región
sin cargas ni corrientes. Estas son
�∇ · �E = 0, �∇× �E = −∂
�B
∂t
.
�∇ · �B = 0, �∇× �B = µ0
0 ∂
�E
∂t
.
Si aplicamos el rotacional a la ley de Faraday resulta
�∇× �∇× �E = −�∇× ∂
�B
∂t
.
Usando la identidad �∇ × �∇ × �E = �∇(�∇ · �E) − ∇2 �E, con
�∇ · �E = 0 y permutando las operaciones rotacional y deri-
vada temporal en el segundo miembro se tiene
−∇2 �E = − ∂
∂t
�∇× �B.
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Sustituimos el rotacional de �B a partir de la ley de Ampère-
Maxwell, y pasando todo al primer miembro queda
∇2 �E − µ0
0 ∂
2 �E
∂t2
= 0.
que se denomina ecuación de ondas. Es fácil, siguiendo
pasos análogos a partir de la ley de Ampère-Maxwell demos-
trar que el campo magnético cumple exactamente la misma
ecuación.
∇2 �B − µ0
0 ∂
2 �B
∂t2
= 0.
• Solución de onda plana
Vamos a buscar ahora soluciones y a familiarizarnos con
sus caracteŕısticas. Si consideramos cualquiera de las seis
componentes cartesianas de �E y �B, observamos que verifica
la ecuación de ondas escalar
∇2Fi − µ0
0 ∂
2Fi
∂t2
= 0.
Propongamos la solución Fi(�r, t) = f(�u ·�r− vt) = f(δ), con
�u un vector unitario y v un cierto escalar; es decir, la depen-
dencia con las coordenadas espaciales y el tiempo se tiene a
través de una variable intermedia, δ, que denominaremos la
fase de la onda. En efecto, una función de este tipo verifica
la ecuación anterior:
�∇Fi = df
dδ
�∇δ = df
dδ
�u;
∇2Fi = �∇ · �∇Fi = d
2f
dδ2
�u · �u = d
2f
dδ2
∂2Fi
∂t2
=
d2f
dδ2
(−v)2.
Si elegimos v = 1/
√
µ0
0, la ecuación de ondas queda satis-
fecha.
La solución encontrada constituye toda una familia (muy
amplia, puesto que la forma funcional f puede ser cualquie-
ra), que se denomina onda plana. El nombre proviene de
que en un instante determinado t0 los puntos del espacio
para los que la función toma un mismo valor, es decir, las
superficies equiescalares de f , son planos de ecuación
δ0 = �u · �r − vt0 = cte.
La perpendicular al plano va en la dirección de �u, se suele
denominar dirección de propagación, y al plano frente
de onda. Esta nomenclatura se entiende con lo que sigue.
Si elegimos un sistema de referencia para el cual �u = �ux ten-
dremos �u · �r = x y la ecuación del frente queda x− vt = δ0,
donde ahora además hemos sustituido un instante particular
t0 por uno genérico t porque nos interesamos por la evolu-
ción temporal de los puntos con una fase fijada δ0. Si nos
desplazamos en la dirección perpendicular al frente con una
velocidad v = 1/
√
µ0
0 (ver figura) encontraremos que la
fase no cambia y por tanto tampoco la distribución espacial
con que se ve la función en cualquier instante. Decimos por
tanto que dicha función se propaga con velocidad constante,
que denominamos velocidad de la luz v = 1/
√
µ0
0 ≡ c.
t=t0
x
f (x,t)
i
t=t1
v .(t -t )1 0
Existen otros tipos de onda, atendiendo a la geometŕıa del
frente, pero nosotros nos restringiremos a las ondas planas.
• Onda monocromática
Una forma funcional particular da lugar a lo que se cono-
ce como ondas monocromáticas, para las cuales fk(δ) =
Ck cos(kδ + αk), con k un número que en principio consi-
deraremos real positivo y Ck y αk dos constantes que se
denominan amplitud y desfase respectivamente. Esta fa-
milia de funciones tiene la particularidad de constituir una
base con la cual se puede construir por combinación lineal
cualquier otra función f(δ). De hecho el campo electro-
magnético general se obtendrá combinando ondas planas
con distintos valores de k y �u.
Las ondas monocromáticas tienen doble periodicidad, en
el espacio y en el tiempo. Para entender mejor esta propie-
dad reescribamos su ecuación:
Fi(�r, t) = Ck cos(k�u · �r − kct + αk).
Si fijamos el instante, t0, vemos que existe periodicidad de
la función en el espacio según la variable �u · �r. El periodo
espacial será la longitud de onda
λ =
2π
k
.
T/2
x
F (x,t)=C (kx- t+ )
i
cos � �
t
�
Si fijamos una posición en el espacio y vemos la evolución
temporal de la función resulta ser también periódica, con
periodo temporal
T =
2π
kc
.
48
Al número k se le denomina número de onda, puesto que
es 2π veces el número de periodos espaciales que caben en
la unidad de longitud, y al vector �k = k�u se le suele lla-
mar vector de onda. Igualmente se define la frecuencia
natural ν = 1/T = kc/2π, que mide el número de oscilacio-
nes que sufre el valor del campo en un segundo, en un punto
determinado. Finalmente también se define la frecuencia
angular ωk = ck, o simplemente ω.
Una forma muy ventajosa de tratar las funciones sinusoi-
dales, como las que describen las ondas monocromáticas,
es mediante magnitudes definidas en el plano complejo, lo
cual da lugar a lo que se denomina representación faso-
rial. Partiendo de la relación fundamental
eiφ = cosφ + i senφ,
si denotamos 	[z] a la parte real de la magnitud compleja
z, es claro que 	[eiφ] = cosφ. Podemos escribir entonces
para una onda monocromática
F = Ck cos(�k · �r − ωt + αk) = 	
[
Ckei(
�k·�r−ωt+αk)
]
=
= 	
[
Ckeiαkei(
�k·�r−ωt)
]
= 	
[
Ĉkei(
�k·�r−ωt)
]
,
donde hemos agrupado en una nueva magnitud de carácter
complejo, Ĉk = Ckeiαk , la amplitud y desfase de la onda.
A esta magnitud, independiente de las coordenadas espacia-
les y del tiempo, se la denomina fasor. Para reconstruir
la forma matemática de una onda monocromática necesita-
mos simplemente su frecuencia angular (o cualquiera de las
otras magnitudes relacionadas, esdecir, la frecuencia natu-
ral, el periodo, la longitud de onda o el número de onda),
la dirección de propagación dada por �u y el fasor.
Ejemplo:
La componente Ex, respecto de cierto sistema definido en el laborato-
rio, del campo eléctrico asociado a una onda luminosa resulta tener un
frente plano y una frecuencia natural definida. La longitud de onda
asociada es λ = 5400 Å, se propaga según la recta y = 2z y su fasor es
Êx = 1+
√
3i, mV/m. Encuéntrese la fórmula que describe esta onda.
La longitud de onda permite calcular la frecuencia angular, admi-
tiendo que la onda se propaga en un medio para el cual la velocidad
de la luz es c = 3 · 108 m/s. Tenemos λ = cT = c(2π/ω), luego
ω = 2πc/λ = 3.49 · 1015 rad/s (y la frecuencia natural es ν = c/λ =
5.6 · 1014 Hz). El número de onda es k = 2π/λ = 1.2 · 107 m−1.
En cuanto a la amplitud y desfase, los obtenemos a partir del fasor
expresándolo en forma polar:
Êx = Exr + iExi = |Êx|eiα, con α = arctan(Exi/Exr).
El módulo resulta ser |Êx| = 2 mV/m y el desfase α = π/3. Final-
mente construimos el unitario en la dirección de propagación a partir
de un vector con componente z unidad y guardando las proporciones
indicadas por la ecuación de la recta dada, es decir, el vector (0, 2, 1),
que normalizado da �u = (0, 2, 1)/
√
5. Con todo ello la onda queda
descrita por
Ex(x, y, z, t) = |Êx| cos(k�u · �r − ωt+ α)
= 2 cos[
1.2 · 107√
5
(2y + z)− 3.49 · 1015t+ π/3],
donde x, y, z se mide en metros, t en segundos y el resultado viene
expresado en mV/m.
La forma más general que tiene el campo eléctrico asocia-
do a una onda plana monocromática es, en forma fasorial,
�E = 	
[
(Êx�ux + Êy�uy + Êz�uz)ei(
�k·�r−ωt)
]
= 	
[
�̂Eei(�k·�r−ωt)
]
,
donde se observa la introducción de un ”fasor vectorial cam-
po eléctrico” �̂E cuyas componentes cartesianas son fasores.
El campo magnético se describe de la misma forma. Insis-
timos en que dada la dependencia espacio-temporal de la
onda y los fasores �̂E y �̂B, obtenemos las magnitudes rea-
les multiplicando cada fasor por la exponencial ei(�k·�r−ωt) y
tomando la parte real del resultado.
Los campos electromagnéticos asociados a una onda plana
monocromática tienen cuatro caracteŕısticas importantes:
i) �E y �B están en fase (alcanzan valores máximos si-
multáneamente);
ii) �E y �B son transversales entre śı y a la dirección de pro-
pagación de la onda �u;
iii) sus amplitudes cumplen la relación E = cB, y
iv) la enerǵıa se propaga con los frentes de onda.
Para demostrar estas propiedades vamos a introducir la
representación fasorial de �E y �B en las ecuaciones de Max-
well en el vaćıo en ausencia de fuentes.
La idea del tratamiento fasorial consiste en aprovechar el
hecho de que la dependencia espacio-temporal de una onda
monocromática satisface las ecuaciones de Maxwell sin fuen-
tes, y si introducimos en las ecuaciones los campos en for-
ma fasorial, encontraremos relaciones puramente algebrai-
cas entre los fasores asociados a �E y a �B. Hay que analizar
para ello el rotacional, divergencia y derivada temporal de
los campos monocromáticos. Por ejemplo, para el campo
eléctrico se tiene
�∇ · �E = 	
[
i�k · �̂Eei(�k·�r−ωt)
]
,
�∇× �E = 	
[
i�k × �̂Eei(�k·�r−ωt)
]
,
∂ �E
∂t
= 	
[
−iω �̂Eei(�k·�r−ωt)
]
,
y algo totalmente análogo para el campo magnético. Sus-
tituyendo en las ecuaciones de Maxwell encontramos que si
se cumplen las relaciones
�k · �̂E = 0, �k × �̂E = ω �̂B,
�k · �̂B = 0, �k × �̂B = −µ0
0ω �̂E,
las funciones propuestas son solución. (En la última nótese
que µ0
0ω = k2/ω).
Las ecuaciones en las que aparecen los productos escalares
de los dos fasores con �k (que admitiremos que es un vector
sin parte imaginaria) indican que ambos son perpendicula-
res a la dirección de propagación de la onda monocromática.
Por otra parte cualquiera de las dos ecuaciones vectoriales
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indican que los campos son perpendiculares entre śı y que
están en fase (segunda y primera propiedades). En resumen
�E, �B y �k forman un triedro ortogonal de vectores en fase.
Por otra parte tomando módulo en cualquiera de las ecua-
ciones vectoriales se demuestra la tercera propiedad men-
cionada, E = cB. Más concretamente podemos multiplicar
vectorialmente �u por la segunda ecuación y se tiene
�u × (�u × �̂E) = ω
k
�u × �̂B;
desarrollando el primer miembro, usando que �k · �̂E = 0 y
que ω/k = c se llega a
�̂E = −c�u × �̂B
y lo mismo puede decirse para los campos reales.
Para comprobar la cuarta propiedad debemos construir el
vector de Poynting asociado al campo, que nos da la densi-
dad superficial de flujo de potencia. En un punto e instante
cualesquiera se tiene
�P = 1
µ0
�E × �B = cB
2
µ0
�u =
E2
µ0c
�u.
Lo anterior demuestra que el flujo de enerǵıa se propaga en
la misma dirección que los frentes de onda pero ¿con qué ve-
locidad?. Si hacemos un cálculo de la densidad de enerǵıa
resulta
uE =
0
2
E2 =
0
2
(cB)2 =
1
2µ0
B2 = uB,
es decir, que la enerǵıa eléctrica es igual a la magnética en
una onda monocromática, y por tanto
uE + uB =
1
µ0
B2 y �P = (uE + uB)c�u.
Esto significa que la enerǵıa se propaga con velocidad c, la
del propio frente de onda.
Ejercicio: Compruébese que el campo eléctrico del ejemplo anterior
cumple los requisitos para ser una onda plana monocromática y hállese
el campo magnético asociado.
Ejemplo:
Una onda plana monocromática es una idealización, puesto que está
definida en todo el espacio con amplitud finita. Una posible distribu-
ción de fuentes, también idealizada, que da lugar a ondas planas mo-
nocromáticas es una corriente superficial definida en un plano infinito,
uniforme en el espacio y con variación temporal de tipo sinusoidal. Si
tomamos un sistema de referencia para el cual la corriente es
�S = j0S cos(ωt)�uz ,
definida en el plano OXZ, compruébese que dos ondas planas que
se propaguen desde el plano en direcciones opuestas son solución del
problema electromagnético.
x
y
jS
z
k-k
B(0 )
+
E(0)
-
E(0 )
+
B(0)
-
Podemos tomar como punto de partida el problema magnetostático
de una lámina infinita de corriente superficial uniforme y constante,
que fue resuelto en el tema anterior. El problema que ahora se nos
plantea se diferencia de aquél en que la corriente vaŕıa sinusoidalmen-
te con el tiempo. Es plausible que se produzca, como entonces, un
campo magnético dirigido según el vector −�ux para y > 0 y opues-
to para y < 0. Con esta hipótesis vamos a ensayar una solución de
onda plana monocromática que se propague según �uy para y > 0 y
según −�uy para y < 0, es decir, dos ondas que se generan en el plano
de corriente y alejan en direcciones opuestas. El campo magnético
propuesto es
�B =
{
−�[B̂ei(ky−ωt)]�ux (y > 0)
�[B̂ei(ky+ωt)]�ux (y < 0),
donde observamos que en la segunda solución se cambia un signo en
el argumento de la exponencial para que represente una onda dirigida
en sentido opuesto. En cuanto al campo eléctrico, sabemos que debe
estar dirigido según OZ, puesto que �E, �B y �k asociados a una onda
plana forman un triedro ortogonal.
Un campo magnético como el propuesto satisface lógicamente la
ecuación de ondas en cada semiespacio. Basta elegir un número de
onda k que cumpla la relación k = ω/c; pero ¿por qué tomamos una
frecuencia que coincide con la de la corriente superficial? La respuesta
es que debemos ahora imponer las condiciones de contorno en la super-
ficie de separación y = 0 entre los dos semiespacios. Estas condiciones
son, según vimos en el tema 2,
�n · [ �E] = ρS/�0 = 0, �n · [ �B] = 0,
�n× [ �E] = 0, �n× [ �B] = µ0�S = µ0�[j0Seiωt]�uz.
Las dos primeras condiciones se satisfacen automáticamente dado que
�n = �uy y los campos propuestos son perpendiculares. La última condi-
ción sólo puede ser satisfecha para cualquier instante si la frecuencia de
la corriente coincide con la del campo (en y = 0 todas las exponencia-
les se reducen a eiωt). Esta condición además relaciona las amplitudes
de �B yde �S : B̂ − (−B̂) = µ0j0S , es decir B̂ = µ0j0S/2. (Nótese
que el fasor ha resultado ser un número real y por lo tanto el campo
magnético está en fase con la corriente en y = 0, es decir, alcanzan su
valor máximo simultáneamente).
Falta caracterizar definitivamente el campo eléctrico a ambos lados
del plano de corriente. A diferencia de lo que ocurre con �B, la tercera
condición de contorno, todav́ıa no usada, equivale a decir que en y = 0
las componentes tangenciales (las únicas) deben ser iguales. Falta sa-
ber la amplitud y el sentido. La amplitud se obtiene de la relación
conocida E = cB, y el sentido lo tomamos tal que �E × �B sea un vec-
tor dirigido según la dirección de propagación. Teniendo todo esto en
cuenta, los campos quedan
�B =


−�[µ0j0S
2
ei(ky−ωt)]�ux (y > 0)
�[µ0j0S
2
ei(ky+ωt)]�ux (y < 0),
50
�E =


−�[µ0cj0S
2
ei(ky−ωt)]�uz (y > 0)
−�[µ0cj0S
2
ei(ky+ωt)]�uz (y < 0),
Para completar este ejemplo es interesante que el alumno calcule las
enerǵıas eléctrica y magnética almacenadas en un volumen ciĺındrico
de sección arbitraria comprendido entre las coordenadas y = 0 y un
valor arbitrario y, aśı como el vector de Poynting en la frontera, y com-
pruebe el teorema de Poynting, teniendo en cuenta que por la simetŕıa
del sistema la potencia total generada por la lámina de corriente,
P = −
∫
S
� · �EdS,
se reparte equitativamente en cada semiespacio.
Dado que el periodo de oscilación de los campos asociados a mu-
chas ondas electromagnéticas es corto en comparación con el de los
fenómenos que solemos medir en el laboratorio, es interesante hacer el
cálculo de los promedios temporales de magnitudes tales como el
flujo de enerǵıa. El promedio temporal 〈f〉 de una magnitud f(t) en
el intervalo [t, t+ T ] se define
〈f〉 = 1
T
∫ t+T
t
f(t′)dt′.
Puede demostrarse sin dificultad (inténtese) que si tenemos definidas
dos magnitudes, A(�r, t) y B(�r, t), asociadas a una onda monocromática
de frecuencia ω = 2π/T , mediante sus fasores  y B̂, el promedio tem-
poral del producto en un periodo T resulta ser
〈AB〉 = 1
T
∫ t+T
t
A(�r, t′)B(�r, t′)dt′ =
1
2
ÂB̂∗.
Ejemplo:
Si el campo eléctrico asociado a una onda monocromática en el vaćıo
es E0 cos(kx−ωt+φ0)�uy, hállese el flujo medio de enerǵıa por unidad
de tiempo y área en la dirección de propagación.
Lo que se nos pide es el módulo del vector de Poynting,
�P = 1
µ0
�E(�r, t) × �B(�r, t),
promediado durante un periodo. Según lo visto, tenemos〈
�P
〉
=
1
2µ0
�̂E × �̂B
∗
.
El fasor asociado al campo eléctrico es �̂E = E0eiφ0 �uy, y el asociado al
campo magnético, teniendo en cuenta las propiedades estudiadas en
esta sección, �̂B = (E0/c)eiφ0 �uz . Sustituyendo,
〈
�P
〉
=
1
2µ0
E0e
iφ0 (E0/c)e
−iφ0�ux =
E20
2µ0c
�ux.
Al mismo resultado llegaŕıamos usando la cuarta propiedad de las on-
das planas monocromática, que relaciona el flujo de enerǵıa con las
densidades uE y uB. Los promedios de estas densidades, en las que
aparecen los cuadrados de los campos, resultan ser la mitad de sus
valores máximos.
• Polarización
El estudio de las ondas monocromáticas se completa con un análisis
de la orientación del campo �E en un punto dado, en el transcurso del
tiempo ( �B se determina por ser perpendicular). Es lo que se conoce
como estado de polarización de la onda. La forma más senci-
lla de representar el campo es tomar �u como vector director del eje
OZ y descomponer el campo eléctrico según dos ejes perpendiculares:
�E(t) = Ex(t) �ux+Ey(t) �uy . Tomando un origen de tiempos adecuado,
siempre es posible anular el desfase en una de las dos componentes,
por ejemplo
Ex(t) = E0x cos(ωt); Ey(t) = E0y cos(ωt + δ0).
(El fasor asociado seŕıa �̂E = E0x �ux + E0yeiδ0 �uy.)
Pueden darse varios casos:
(1) δ0 = 0 ó π. Existe proporcionalidad en todo momento entre
ambas componentes, con lo que el campo oscila armónicamente
a lo largo de una ĺınea definida en el plano OXY de pendiente
±E0y/E0x (polarización lineal).
(2) δ0 = ±π/2 y E0y = E0x. El extremo del vector campo describe
una circunferencia en sentido horario ó antihorario si se ve des-
de delante del frente de onda, dependiendo de que el desfase sea
positivo o negativo (polarización circular dextrógira y levógira).
(3) El resto de casos no distinguidos. Puede demostrarse que en es-
te caso general la trayectoria del extremo del vector en el plano
es una elipse, aunque los ejes mayor y menor no coinciden con
OX y OY (polarización eĺıptica).
Ejercicio: Demuéstrese que en el caso general el vector campo
eléctrico describe una elipse.
4.2 Solución general en el vaćıo
Las ecuaciones de Maxwell en el vaćıo en su forma general no pueden
ser resueltas por mera aplicación del teorema de Helmholtz, puesto
que aunque se dan la divergencia y el rotacional de los dos campos,
�E y �B, uno entra dentro de las fuentes vectoriales del otro, es decir,
existe acoplamiento. En los casos estacionarios vimos que el acopla-
miento desaparece y la solución es simple, conocidas las fuentes. En
este apartado veremos que las ecuaciones de partida son equivalentes
a otro conjunto de ecuaciones establecidas sobre un potencial escalar
y uno vectorial.
Dado que �B es siempre solenoidal podemos escribir
�B = �∇× �A.
Sustituyendo en la ley de Faraday se tiene
�∇× �E = − ∂
∂t
�∇× �A ⇒ �∇×
(
�E +
∂ �A
∂t
)
= 0,
con lo cual hemos encontrado un campo vectorial irrotacional, que por
tanto admite un potencial escalar:
�E +
∂ �A
∂t
= −�∇V.
Esta ecuación determina �E conocidos �A y V .
En la ley de Ampère-Maxwell sustituimos a continuación los campos
�B y �E por sus expresiones en términos de los potenciales �A y V :
�∇× �∇× �A = �µ0�− 1
c2
∂
∂t
(
∂ �A
∂t
+ �∇V
)
.
Teniendo en cuenta que �∇× �∇× �A = �∇(�∇ · �A)−∇2 �A, vemos que en
esta expresión aparece la divergencia del potencial vector �A. De este
campo vectorial sólo tenemos especificado su rotacional, que es �B, pe-
ro no hay restricción sobre su divergencia, que es el otro de los datos
que según el teorema de Helmholtz es necesario para determinar un
campo vectorial. Este ”grado de libertad” puede ser usado de muchas
formas, dando lugar a distintos gauges o normas. Por ejemplo en
magnetostática se vio que �∇ · �A = 0, que es la opción que da lugar a
la fórmula que suministra el teorema de Helmholtz para �A en función
51
de las fuentes vectoriales. En nuestro caso es más conveniente elegir
el llamado gauge de Lorentz:
�∇ · �A+ 1
c2
∂V
∂t
= 0,
que determina �∇ · �A en relación con el potencial escalar. Con ello se
obtiene una ecuación para �A exclusivamente:
∇2 �A− 1
c2
∂2 �A
∂t2
= −µ0�.
Se trata de una ecuación de ondas para el potencial vector con un
término inhomogéneo que depende de las fuentes vectoriales.
Paralelamente sustituimos �E en la ley de Gauss y obtenemos
�∇ ·
(
−∂
�A
∂t
− �∇V
)
=
ρ
�0
.
Sustituyendo la divergencia de �A según el gauge de Lorentz se obtiene
a su vez una ecuación para V :
∇2V − 1
c2
∂2V
∂t2
= − ρ
�0
de estructura análoga a la encontrada para cualquiera de las compo-
nentes cartesianas de � (ecuación de ondas inhomogénea). Es notable
la simetŕıa de la nueva formulación del Electromagnetismo en términos
de los potenciales.
• Resolución para una carga puntual
El siguiente objetivo es resolver la ecuación de ondas inhomogénea,
pero para ello es conveniente formular un problema sencillo cuya solu-
ción nos permitirá obtener la solución general. Se trata del potencial
escalar de una carga puntual variable q(t) localizada en el origen de
coordenadas. Aunque es cierto que no tiene sentido f́ısico en śı (la
carga no puede variar si no hay corriente que fluya), se debe entender
como un subsistema que combinado con otros análogos śı da lugar a
situaciones reales.
Dado que el sistema posee simetŕıa esférica el potencial sólo puede
depender de la distancia a la carga r y del tiempo t. El laplaciano en
esféricas se simplifica a un sólo término y podemos escribir[1
r2
∂
∂r
(
r2
∂
∂r
)
− 1
c2
∂2
∂t2
]
V (r, t) = 0,
puesto que la carga se restringe al punto r = 0, donde esta ecuación
ya deja de ser válida.
Es conveniente hacer una transformación definiendo V = ξ(r, t)/r.
Si efectuamos las derivadas pertinentes en r y t y sustituimos en nues-
tra ecuación encontramos
∂2ξ
∂r2
− 1
c2
∂2ξ
∂t2
= 0,
que es la ecuación de ondas unidimensional y homogénea, cuya solu-
ción ya hemos establecido en la primera sección del tema. Podemos
pues escribir
ξ(r, t) = ξ(+)(r + ct) + ξ(−)(r − ct).
La primera de las dos familias, denotadas por ξ(+) dependen del argu-
mento r+ct, y por tanto corresponden a una señal que se propaga con
velocidad c desde el infinito hasta la carga. Si estamos interesados en
encontrar una solución que describa el potencial que produce la carga
tendremos que rechazar este tipo de funciones, puesto que lo que le
ocurre a la carga en el origen no debe depender de lo que ocurre en
otro punto. Dicho de otro modo, las funciones ξ(+) violan el llamado
principio de causalidad, que establece el requisito intuitivo de que
la causa debe preceder al efecto. Para convencernos de la irracionali-
dad que implican tales soluciones pensemos en una carga que aparece
en t = 0 y adquiere un valor constante a partir de ese momento. Es
evidente que para un tiempo anterior el potencial debe ser cero; sin
embargo este requisito no es necesariamente cumplido por una función
cuyo valor en r depende de lo que pasa en r = 0 en tiempos futuros.
Toda información respecto de las variaciones de la carga en el origen
deben partir del origen y dejarse sentir posteriormente (o como mucho
al mismo tiempo, pero no antes) en otro punto del espacio.
En cambio, la familia ξ(−) representa una onda que se propaga con
velocidad c y viaja desde la carga hasta el punto a distancia r, y por
tanto es una solución aceptable.
El hecho de que la información sobre las variaciones en el valor de
la carga se dejen sentir en un punto a distancia r con un retraso dado
por ∆t = r/c es la causa del nombre de potencial retardado que se
da a estas soluciones.
Para caracterizar definitivamente a V (r, t) basta considerar el ca-
so conocido de una carga constante en el tiempo, cuyo potencial es
V (r) = q/(4π�0r). Si elegimos ξ(r, t) = q(t − r/c)/(4π�0) es claro que
pertenece a la familia ξ−, y en el ĺımite c → ∞, para el cual la ecuación
de ondas inhomogénea se transforma en la de Poisson, el potencial co-
incide con el de la carga puntual q(t) para ese instante. En definitiva
encontramos
V (r, t) =
q(t′)
4π�0r
, con t′ = t− r
c
,
donde t′ se conoce como tiempo retardado.
La consecuencia en cuanto a la concepción de la interacción electro-
magnética es que debemos abandonar la idea de una acción a distancia,
que podŕıa suponerse a partir de las fórmulas estáticas obtenidas en
el tema anterior, y considerar que existe una propagación del cam-
po electromagnético a una velocidad c, que va desde la fuente a cada
punto del espacio. Las variaciones en las fuentes no se dejan sentir
instantáneamente, sino con un retraso que depende de la distancia al
punto de observación.
Ejemplo: Efecto Doppler
El efecto Doppler es una consecuencia de la velocidad finita de propa-
gación del campo electromagnético. Si una fuente produce una radia-
ción electromagnética con frecuencia definida ν y está en movimiento
relativo respecto de un receptor, siendo �v la velocidad de la fuente en
el sistema en que el receptor está en reposo, la frecuencia detectada ν′
es distinta de ν. Hállese la relación entre ambas.
r0
v
v t�
F
F’
R
�
r’
Llamemos F a la fuente y R al receptor (ver figura). En el instante
t = 0 la distancia entre ambos es r0 y la velocidad de la fuente, �v,
forma un ángulo α con el segmento F̄R. Si en dicho instante inicial se
emite una onda electromagnética, la señal tardará un tiempo t1 = r0/c
en alcanzar el receptor. En un instante posterior t0 + ∆t la posición
de la fuente será F ′, y la señal emitida desde ese punto llegará en el
instante t2 = ∆t+ r′/c. La distancia r′ se calcula fácilmente:
r′ =
√
r20 + (v∆t)
2 − 2r0(v∆t) cosα.
Podemos aproximar esta distancia si el intervalo recorrido por la fuen-
te, v∆t, es pequeño en comparación con el intervalo recorrido por la
onda, r0, para obtener
r′ � r0
(
1− v∆t
r0
cosα
)
.
Con este resultado evaluamos el intervalo de tiempo transcurrido entre
las dos recepciones,
∆t′ = t2 − t1 = ∆t
(
1− v
c
cosα
)
.
52
Si ∆t representa el periodo de de la señal emitida, δt′ será el periodo
de la señal recibida, y tendremos para las frecuencias correspondientes
ν′ =
ν
1− (v/c) cosα � ν
(
1 +
v
c
cosα
)
.
Por tanto la frecuencia recibida depende de la velocidad relativa en
módulo y orientación. Este fenómeno permite medir la velocidad de
un objeto mediante la recepción de ondas electromagnéticas que ”re-
botan” en él, o explicar el fenómeno del desplazamiento hacia el rojo
(frecuencia más baja de lo esperado) observado en estrellas que se
están alejando.
• Solución general
En el caso general tenemos una distribución ρ(�r, t) definida en una
cierta región V del espacio. Por el principio de superposición, impĺıcito
en la linealidad de las ecuaciones de Maxwell, se llega inmediatamente
a la siguiente solución para el potencial escalar:
V (�r, t) =
1
4π�0
∫
τ
ρ(�r1, t′)dτ1
|�r − �r1|
, con t′ = t− |�r − �r1|
c
.
Una vez obtenido el potencial escalar, el potencial vectorial �A se
escribe automáticamente, dado que cada una de las componentes car-
tesianas, i, {i = 1, 2, 3}, cumple exactamente la misma ecuación que
V , sin más que cambiar ρ/�0 por µ0i. Se tiene
�A(�r, t) =
µ0
4π
∫
τ
�(�r1, t′)dτ1
|�r − �r1|
,
con la misma definición para el tiempo retardado t′.
Las expresiones encontradas para V y �A, junto con las fórmulas que
dan los campos �E y �B en función de estos potenciales, constituyen
la solución general a las ecuaciones de Maxwell conocidas todas las
fuentes en el espacio.
4.3 Sistemas radiantes sencillos
Hemos visto en la primera sección que existen soluciones propagatorias
en regiones libres de fuentes. Un ejemplo son las ondas planas mono-
cromáticas. Estos campos, aun cuando tienen existencia independiente
de las fuentes tienen que haber sido generados por un sistema de car-
gas en movimiento en alguna región del espacio. En este apartado nos
proponemos dilucidar cuál es la conexión entre fuentes y ondas, y para
ello analizaremos la solución a los dos problemas más sencillos que dan
lugar a campos de radiación.
• Dipolo eléctrico oscilante
El modelo f́ısico que nos planteamos es el de dos cargas puntuales
opuestas, de valor absoluto q(t), separadas una distancia d. La carga
que una gana lo hace a costa de la otra, de manera que supondremos
una conexión entre ambas a través de un hilo por el cual pasa una
corriente de intensidad I = dq/dt. Con esto quedan descritas las fuen-
tes escalares y vectoriales en el dipolo. Elijamos coordenadas esféricas
centradas en el punto medio entre cargas y con el eje OZ según la
recta que une la carga −q(t) y q(t), en ese sentido (ver figura).
r
y
z
x -q(t)
q(t)
I(t)
d
Conviene calcular primero �A. Escribimos � = �uzI(t)/S y dτ1 =
Sdz1. Sustituyendo,
�A(�r, t) = �uz
µ0
4π
∫ d/2
−d/2
I(t′)dz1
|�r − z1 �uz |
.
Si nos restringimos a puntos alejados, para los cuales d << r (y por
tanto |z1| << r), que suele denominarse aproximación de campo
lejano, se puede escribir
|�r − z1 �uz| = (r2 + z21 − 2rz1 cos θ)
1
2 � (r2 − 2rz1 cos θ) 12 =
= r(1 − 2z1 cos θ/r) 12 � r(1− z1 cos θ/r) = r − z1 cos θ.
Podemos incluso simplificar más en el denominador y quedarnos con
1/|�r − z1 �uz | � 1/r, pero hay que tener mucha precaución con la de-
pendencia espacial a través de la variable t′ = t − |�r − z1 �uz |/c. En
efecto, un pequeño incremento en el argumento de I(t′) puede condu-
cir a grandes variaciones de la función si ésta es fuertemente oscilato-
ria. Para concretar ideas consideremosel caso puramente armónico,
I(t) = I0 cos(ωt). Entonces se tiene
I(t′) = I0 cos [ω(t − r/c + z1 cos θ/c)] .
Podremos eliminar el último término dentro del paréntesis siempre
que suponga un incremento del argumento mucho menor que la cuarta
parte de un ciclo, que es el incremento del argumento que hace pasar
al coseno de un máximo a cero. Matemáticamente, imponemos
ωd
c
<< 1,
con lo cual se desprecia el término z1 cos θ/c en el argumento de I,
puesto que z1 es siempre menos que d y cos θ es menor que la uni-
dad. Si tenemos en cuenta que ω/c = k = 2π/λ en una onda elec-
tromagnética de frecuencia ω, puede entenderse que a la condición
anterior se le denomine aproximación de onda larga, puesto que
una formulación equivalente salvo un factor numérico irrelevante es
d << λ, siendo λ la longitud de onda asociada a un fenómeno cuya
periodicidad temporal es T = 2π/ω. Si la dependencia temporal es
más complicada que la propuesta, siempre podremos mantener el ar-
gumento anterior definiendo un tiempo caracteŕıstico T de variación
de la intensidad como aquel para el que la función vaŕıa del orden de
śı misma.
Admitiendo las dos hipótesis anteriores se llega a
�A =
µ0d
4π
I(t − r/c)
r
�uz .
Podemos hallar el potencial escalar a partir de su fórmula, pero es más
fácil aplicar la condición de Lorentz, que en nuestro caso se escribe
∂V
∂t
= −c2 ∂Az
∂z
= −c2 ∂Az
∂r
∂r
∂z
=
= c2
µ0d
4π
[
I(t− r/c)
r2
+
İ(t − r/c)
cr
]
z
r
,
donde el punto simboliza derivación respecto del argumento.
La expresión de la derecha se puede escribir como una derivada tem-
poral de cierta cantidad (recordando que I = q̇), aśı que el potencial,
53
salvo una función independiente del tiempo desconocida que debe su-
marse, se puede escribir
V =
d
4π�0
[
q(t− r/c)
r2
+
q̇(t − r/c)
cr
]
z
r
.
La función independiente de t que habŕıa que añadir puede determi-
narse si se considera el ĺımite c → ∞ en la anterior, que nos da el
potencial del dipolo electrostático, con p = q(t)d fijado en cada ins-
tante. Como la expresión es correcta en ese ĺımite, no hay que añadir
nada.
A partir de los potenciales V y �A el cálculo de los campos es un
mero ejercicio que proponemos. El resultado en coordenadas esféricas
es el siguiente:
�B =
µ0d
4π
[
I(t− r/c)
r2
+
İ(t − r/c)
cr
]
senθ �uφ,
�E =
d
4π�0
{
2
[
q(t− r/c)
r3
+
q̇(t − r/c)
cr2
]
cos θ �ur+
+
[
q(t− r/c)
r3
+
q̇(t− r/c)
cr2
+
q̈(t − r/c)
c2r
]
senθ �uθ
}
.
Deben observarse dos caracteŕısticas importantes en estas expresio-
nes:
(1) Si las cargas son constantes, q(t) = q0, desaparecen todos los
términos que involucran derivadas temporales, y por tanto tam-
bién los que dependen de I. No hay campo magnético y el
eléctrico se reduce al de un dipolo electrostático, como ya se
mencionó.
(2) Existen términos con distinta dependencia con la distancia, de
los cuales son dominantes aquellos que asintóticamente van co-
mo 1/r.
La última caracteŕıstica es fundamental para entender el dipolo co-
mo fuente de ondas electromagnéticas. Se denominan campos de
radiación o campos en la zona de radiación a los términos en �E y �B
dominantes cuando r → ∞. Estos campos son
�Brad =
µ0d
4π
İ(t − r/c)
cr
senθ �uφ,
�Erad =
d
4π�0
q̈(t− r/c)
c2r
senθ �uθ.
Las propiedades que a su vez encontramos en los campos de radia-
ción son:
(1) Son perpendiculares entre śı y perpendiculares a �ur, que repre-
senta la dirección de propagación de la señal desde el dipolo.
(2) La razón entre módulos es E = cB.
Estas dos propiedades son caracteŕısticas de las ondas planas pero,
a diferencia de éstas, los campos dipolares de radiación decaen con la
distancia según 1/r y no poseen frentes de onda planos. Sin embargo,
si consideramos lo lento de esta variación con la distancia y el hecho
de que una superficie esférica de gran radio se ve localmente como un
plano, nos permite decir que el campo dipolar se comporta localmente
como una onda plana. De hecho las ondas planas no tienen entidad
f́ısica por śı mismas, puesto que son campos cuyos frentes son infini-
tos en las direcciones perpendiculares a la de propagación. Se trata
de una solución matemática que no se corresponde con ningún cam-
po observable, aunque cualquier campo observable se puede expresar
como combinación de ondas planas.
Los campos de radiación son importantes porque pueden ser ob-
servados a grandes distancias. En particular puede comprobarse que
implican un flujo neto de enerǵıa desde el dipolo hacia el infinito. Para
ello evaluamos el vector de Poynting asociado a los campos de radia-
ción,
�P = 1
µ0
�E × �B =
(
d
4π
)2 õ0
�0
[q̈(t− r/c)]2
c2r2
sen2θ �ur,
e integramos sobre una superficie esférica de radio R arbitrario, con lo
cual obtenemos la potencia que escapa del volumen encerrado:
P =
1
µ0
∮
S(R)
(�E × �B) · d�S =
=
∫ π
0
(
d
4π
)2 õ0
�0
[q̈(t − r/c)]2
c2R2
sen2θ2πR2senθdθ =
=
d2
6π
√
µ0
�0
[q̈(t− r/c)]2
c2
.
El resultado es independiente de R debido a que la dependencia ra-
dial del vector de Poynting es 1/R2 y el área de la superficie esférica
crece como R2. Este hecho es el responsable de que la radiación sea
un mecanismo fundamental de transmisión de enerǵıa, que explica por
ejemplo cómo es posible ver estrellas lejanas y constituye la base de la
telecomunicación.
• Dipolo magnético oscilante
Otro sistema sencillo que da lugar a campos de radiación es el dipolo
magnético oscilante, que puede ser descrito como una espira circular
de radio R recorrida por una corriente de intensidad variable I(t). Si
el punto de observación está muy alejado (R << r) y las oscilaciones
en el valor de la corriente no son muy rápidas (ωR/c << 1) se puede
simplificar la expresión para el potencial vector y proceder de modo
análogo a lo visto con el dipolo eléctrico. Sin embargo existe un argu-
mento simple que permite encontrar directamente los campos a partir
de las expresiones correspondientes al dipolo eléctrico.
La idea es explotar la simetŕıa de las ecuaciones de Maxwell sin
fuentes, que son las que gobiernan los campos. En efecto, en ambos
casos tenemos fuera de las distribuciones
�∇ · �E = 0, �∇× �E = −∂
�B
∂t
.
�∇ · �B = 0, �∇× �B = 1
c2
∂ �E
∂t
.
Si sustituimos en ellas �E por c �B y �B por − �E/c encontramos exacta-
mente el mismo sistema de ecuaciones (lo que era la ley de Faraday se
transforma en la ley de Ampère-Maxwell, y viceversa, y por otro lado
la ley de ausencia de monopolos se transforma en la ley de Gauss, y
viceversa).
La nueva solución se debe escribir sin hacer referencia a las fuentes
caracteŕısticas del dipolo eléctrico, pero por lo demás debe tener la
misma estructura. En función de una nueva magnitud cm(t)µ0, en
lugar de q(t)d/�0 tendremos
−
�E
c
=
µ0
4π
µ0�0
[
cṁ(t− r/c)
r2
+
cm̈(t − r/c)
cr
]
senθ �uφ,
c �B =
1
4π
{
2
[
cm(t− r/c)
r3
+
cṁ(t − r/c)
cr2
]
cos θ �ur+[
cm(t − r/c)
r3
+
cṁ(t− r/c)
cr2
+
cm̈(t − r/c)
c2r
]
senθ �uθ
}
.
donde se ha tenido en cuenta que Id = q̇d, que se sustituye por cṁµ0
(¡no confundir esta intensidad sustituida con la intensidad que corre
por la espira!). La sustitución realizada se ha elegido con idea de iden-
tificar m(t) con el momento dipolar magnético m(t) = I(t)πR2, puesto
que si nos fijamos, las expresiones anteriores dan en el ĺımite c → ∞
el campo de un dipolo magnético de momento m(t). Simplificando lo
anterior reescribimos el resultado definitivo:
�E = −µ0
4π
[
ṁ(t− r/c)
r2
+
m̈(t− r/c)
cr
]
senθ �uφ,
�B =
1
4π
{
2
[
m(t − r/c)
r3
+
ṁ(t − r/c)
r2
]
cos θ �ur+[
m(t − r/c)
r3
+
ṁ(t − r/c)
cr2
+
m̈(t − r/c)
c2r
]
senθ �uθ
}
.
Ejercicios:
(1) Demostrar que los campos de radiación del dipolo magnético pose-
en las caracteŕısticas de una onda plana localmente (perpendicularidad
54
y relación entre módulos).
(2) Encontrar los campos de radiación de los dipolos eléctrico y
magnético para oscilaciones armónicas, es decir, cuando q(t) =
q0 cosωt y I(t)= I0 cos ωt respectivamente. Calcular las potencias
radiadas en ambos casos y comprobar que la del dipolo magnético es
del orden de (ωl/c)2 veces menor que la del eléctrico, siendo l la di-
mensión caracteŕıstica del sistema (d en el dipolo eléctrico y R en el
magnético).
Cabe plantearse encontrar el campo de radiación para un sistema
de cargas y corrientes distribuidas en volumen. El análisis resulta
más complicado que los desarrollos multipolares vistos para los cam-
pos electrostáticos y para los campos magnetostáticos, pero las ideas
y aproximaciones subyacentes son las vistas en este apartado. La con-
clusión que obtendŕıamos de ese estudio es que los campos de radiación
están dominados en general por el aporte dipolar eléctrico, a continua-
ción el dipolar magnético y seguiŕıan otros términos de menor aporte
a la potencia radiada.
4.4 Campos cuasiestacionarios
En muchas ocasiones trabajamos con sistemas que poseen distribucio-
nes de carga y/o corriente que vaŕıan lentamente. En tales casos se
tiene la idea intuitiva de que los fenómenos eléctricos y magnéticos
pueden aproximarse por las soluciones estacionarias desacopladas en-
contradas en el tema anterior, en lugar de atacar el problema electro-
magnético con toda generalidad. Si mediante algún argumento pode-
mos despreciar las derivadas temporales que aparecen en las ecuaciones
de Maxwell, el desacoplo es factible y las soluciones, aunque con fuentes
dependientes del tiempo, son las estacionarias. Dicho de otra forma,
las distribuciones de carga y corriente se consideran en cada instan-
te ”congeladas” con el valor que nos dicte su dependencia temporal,
dando lugar a un campo que se ha establecido instantáneamente
en todo el espacio y cuyas variaciones temporales llegan a cualquier
punto sin retraso alguno.
De lo dicho anteriormente es claro que el criterio que debemos esta-
blecer es que las dimensiones de interés en nuestro sistema deben ser
mucho menores que la distancia que recorre una señal electromagnética
en el tiempo t́ıpico de variación de las fuentes. Llamando L a la di-
mensión caracteŕıstica del sistema y T al tiempo caracteŕıstico de va-
riación de las densidades de carga y/o corriente, debemos pues exigir
que L << cT , con lo cual todos los puntos del sistema reciben las
modificaciones del campo prácticamente al mismo tiempo.
La Cuasielectrostática tendrá soluciones descritas por el poten-
cial
V (�r, t) =
1
4π�0
∫
τ
ρ(�r1, t)dτ1
|�r − �r1|
,
que difieren de la solución general en que no aparece el tiempo retar-
dado t′, sino t. El campo eléctrico será
�E(�r, t) = −�∇V (�r, t).
Análogamente la Cuasimagnetostática tiene por solución
�A(�r, t) =
µ0
4π
∫
τ
�(�r1, t)dτ1
|�r − �r1|
,
y el campo magnético es simplemente
�B(�r, t) = �∇× �A(�r, t).
Como ejemplo interesante podemos considerar los campos dipolares
cerca de las distribuciones de carga y corriente. En esa región cercana,
tal que r << cT (con T = 2π/ω si la variación temporal es armónica),
el campo es el de un dipolo estacionario con momento variable. Fuera
de esa región las soluciones estacionarias no se aplican y los campos
resultan ser más complicados.
55