Tema5

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5. Conductores en equilibrio electrostático
1. Introducción: Cargas libres y ligadas. Caracteŕısticas
de los materiales conductores.
2. Equilibrio electrostático: Condición de equilibrio.
Propiedades de los conductores en equilibrio.
3. Sistemas de conductores en equilibrio: Problema
fundamental de la electrostática de conductores. Influencia
y apantallamiento entre conductores. Coeficientes de capa-
cidad. Propiedades. Concepto de condensador. Asociación
de condensadores. Enerǵıa y fuerzas sobre conductores en
equilibrio. Presión electrostática.
4. Métodos de resolución de problemas de potencial
Método de las imágenes. Método de separación de variables.
Otros métodos.
5.1 Introducción
Hasta el momento hemos desarrollado la teoŕıa electro-
magnética de distribuciones de carga ρ(�r, t) y corriente
�(�r, t) conocidas en todo el espacio. En la práctica esta
situación ideal no se suele dar, sino que los materiales, cons-
tituidos por un enorme número de cargas elementales, so-
portan distribuciones no conocidas a priori. Las fórmulas
encontradas para los potenciales y campos no pueden apli-
carse por falta de datos.
El problema de aplicar los postulados vistos a la materia
es extremadamente complicado si lo formulamos en toda
su generalidad, puesto que las distribuciones de carga están
formadas por un número enorme de portadores sobre los que
actúan las fuerzas electromagnéticas (fuerza de Lorentz) y
otros agentes mecánicos. Son necesarias herramientas de ti-
po estad́ıstico y una serie de simplificaciones que dependen
de la naturaleza de los distintos materiales para sacar de
este formidable problema microscópico consecuencias útiles
a nivel macroscópico.
Dicho esto para prevenir sobre posibles dificultades
teóricas en los caṕıtulos que siguen, hay que añadir inme-
diatamente que existen una serie de modelos de comporta-
miento macroscópico de la materia que se han revelado como
extremadamente útiles en un gran número de situaciones y
que dan lugar a las llamadas leyes constitutivas.
Nos interesa caracterizar la materia según sus propieda-
des eléctricas, y esto se puede hacer a partir de la distinción
entre cargas libres y ligadas. Una carga libre es aquella
que puede moverse sin restricción dentro del material, sin
formar parte de una unidad neutra. Un material se con-
sidera conductor cuando posee una densidad volumétrica
de cargas libres apreciable. La gama de valores que para
esta densidad de carga libre se da en la naturaleza es am-
pĺısima, y de ah́ı surgen comportamientos dispares que van
del de los materiales aislantes hasta el de los superconduc-
tores. Por otra parte, al igual que la expresión “densidad
apreciable” es ambiguo, el concepto de conductor también
lo es, de manera que se puede dar el caso de que un ma-
terial se considere buen conductor en ciertas circunstancias
y en otras no. Todos estos matices serán discutidos en el
próximo caṕıtulo.
Como es bien sabido, existen distintos estados de agre-
gación de la materia, según el tipo de interacción entre
sus part́ıculas constituyentes (gases, ĺıquidos, sólidos, etc.),
aunque no siempre son claros los ĺımites entre unos esta-
dos y otros. Para clarificar ideas podemos considerar en
primer lugar los gases, formados por átomos o moléculas
eléctricamente neutros que tienen la capacidad de mover-
se libremente. Los protones y electrones que constituyen el
átomo o molécula no son cargas libres, puesto que forman
parte de una unidad neutra. Sin embargo dentro de ese gas
es posible la ionización por choques debidos a la agitación
térmica. A mayor temperatura, mayor grado de ionización
tendremos (y como caso ĺımite se obtiene lo que se denomi-
na un plasma). Estos iones son cargas libres, o portadores
de carga.
La situación en ĺıquidos no difiere cualitativamente de lo
descrito para gases, y sólo se aprecia una mayor interacción
entre moléculas debido a las cortas distancias que las se-
paran. El agua en condiciones normales, como ejemplo de
ĺıquido con conductividad apreciable, posee cierta propor-
ción de moléculas disociadas en equilibrio dinámico (hay
disociación y recombinación a igual ritmo), además de po-
sibles impurezas también disociadas.
Con respecto al estado sólido, el carácter conductor viene
exclusivamente determinado por la existencia de electrones
libres dentro de una estructura esencialmente ŕıgida. En
sólidos moleculares, a cuya clase pertenecen los gases no-
bles o el nitrógeno molecular, todos a bajas temperaturas,
la fuerza que mantiene su estructura tiene su origen en las
fuerzas ejercidas entre momentos dipolares de moléculas,
llamada fuerzas de van der Waals (que se comentarán en
el tema 7) y por tanto no existen portadores de carga li-
bre. Tampoco son buenos conductores los sólidos iónicos,
como el cloruro sódico, puesto que los átomos constituyen-
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tes captan o ceden electrones para formar iones negativos o
positivos respectivamente, que se ordenan en una red tridi-
mensional muy estable. A diferencia del caso anterior, los
sólidos covalentes, tales como el diamante, forman redes
mediante enlaces con electrones no captados ni cedidos, sino
compartidos; no obstante, los posibles movimientos de es-
tos electrones se restringen a las inmediaciones de un grupo
reducido de átomos y por ello no pueden ser considerados
libres. Finalmente, los sólidos metálicos (hierro, cobre,
plata, etc.) pueden considerarse como un caso ĺımite del
tipo anterior, en el que los electrones compartidos están tan
débilmente ligados que es posible encontrarlos en cualquier
punto del material. De hecho una representación habitual
de la situación es la de una red muy ŕıgida de iones posi-
tivos coexistente con un gas de electrones encerrado en un
recipiente cuya pared es la superficie de la pieza metálica.
Se trata pues de sustancias a través de las cuales el trans-
porte de carga es muy fácil. La teoŕıa de bandas, de tipo
cuánticos, describe estos comportamientos mediante niveles
de enerǵıa permitidos para los electrones compartidos.
En resumen, en cualquier material tenemos una gran can-
tidad de carga ligada y una cantidad muy variable de carga
libre. Los campos electromagnéticos pueden afectar a am-
bas distribuciones, dando lugar a la aparición de densidades
netas de carga y corriente apreciables macroscópicamente.
En este caṕıtulo nos ocuparemos de todo lo relacionado con
las distribuciones estáticas de carga libre.
5.2 Equilibrio electrostático
• Condición de equilibrio
Consideremos un cuerpo conductor libre de toda fuerza
que no sea de origen electrostático, al que se ha suminis-
trado una cierta carga q, y al que se ha dejado evolucionar
el tiempo suficiente para alcanzar una situación de equili-
brio, caracterizada por no haber cambios posteriores en el
tiempo. En el equilibrio debe cumplirse que
�E = 0
en todo punto donde existan portadores de carga, puesto
que en caso contrario existiŕıa una fuerza neta sobre ellos
que modificaŕıa la distribución de carga en el material, bien
sea en su volumen, bien en su superficie.
Esta ecuación es el verdadero punto de partida para ana-
lizar los campos producidos por un conductor en equilibrio.
Desde un punto de vista f́ısico podemos entender este resul-
tado teniendo en cuenta que un campo no nulo en el interior
actuaŕıa sobre la carga libre en cada punto produciendo un
desplazamiento y por tanto una acumulación (proceso de-
pendiente del tiempo) en otro lugar. Este proceso tiene
lugar de hecho durante un cierto tiempo, extremadamente
corto en buenos conductores, hasta que la redistribución de
cargas libres en el material consigue anular el campo total
en el interior.
• Propiedades de los conductores en equilibrio
Consecuencias de que el campo en el interior sea nulo son
las siguientes:
1. No hay densidad volumétrica de carga en el interior.
En efecto, ρ = ε0�∇ · �E = 0.
2. La carga que se suministra al conductor se acumula en
la superficie.Esto es consecuencia trivial de lo anterior: si no hay carga
neta en volumen, todo exceso o defecto de carga se acumula
en la superficie.
3. El conductor es equipotencial.
En Electrostática podemos definir un potencial escalar tal
que �E = −�∇V . La diferencia de potencial entre dos puntos
A y B es VB − VA = −
∫ B
A
�E · d�r, usando cualquier camino
de integración. En particular, para dos puntos cualesquiera
del conductor y usando un camino de integración completa-
mente incluido en él el cálculo resulta ser nulo por serlo el
campo, de donde VA = VB .
4. El campo en la superficie del conductor sufre un salto en
su valor, que pasa de cero en el interior a
�E(�r) =
ρS(�r)
ε0
�n(�r)
en el exterior, donde ρS(�r) es la densidad superficial de car-
ga en ese punto de la superficie y �n(�r) el vector normal en
la dirección saliente. El campo sólo tiene por tanto compo-
nente normal a la superficie del conductor.
Para demostrar esto basta recordar, por un lado, que si el
conductor es equipotencial el gradiente de V en la región ex-
terior es perpendicular a su superficie, por la propiedad que
se vio en el primer caṕıtulo. Como �E = −�∇V , podemos es-
cribir entonces �Eext = E�n. Aplicando la condición de salto
para la componente normal del campo eléctrico, establecida
en el caṕıtulo 2, y teniendo en cuenta que el campo en el
interior es nulo se obtiene �n · ( �Eext − �Eint) = E = ρS(�r)/ε0.
Por supuesto, este resultado sólo es válido en las inmedia-
ciones de la superficie conductora, y cuando nos separamos
de ella el campo se modificará en general.
5.3 Sistemas de conductores en equilibrio
• Problema fundamental de la electrostática
En electrostática la magnitud fundamental que necesita-
mos conocer es el potencial en todo punto del espacio, como
ya vimos en el tercer caṕıtulo. Si todas las distribuciones
de carga son conocidas basta aplicar la fórmula integral ob-
tenida en dicho caṕıtulo. Conocido el potencial, el campo
se obtiene por aplicación del gradiente.
Cuando estamos en presencia de piezas conductoras la si-
tuación se complica, puesto que existen distribuciones de
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carga desconocidas en la superficie de los conductores. Ya
no es posible seguir el procedimiento anterior. En cambio
podemos plantear un problema de valores de contorno para
el cual existen varias técnicas de resolución, algunas de las
cuales estudiaremos más adelante. El problema fundamen-
tal que debemos resolver es la ecuación de Poisson
∇2V = − ρ
ε0
,
válida en τ , la región exterior a los conductores, donde la
densidad ρ(�r) se supone conocida. Para tener completa-
mente determinado el problema debemos imponer condi-
ciones en la frontera de τ . Si el infinito forma parte de
la frontera de τ , pongamos S∞, se exige habitualmente
V (S∞) = 0. También la superficie de los n conductores
presentes (Si , i = 1, 2, . . . , n) forman parte de la frontera
de τ . Existen dos posibles condiciones impuestas sobre cada
superficie conductora:
(i) Conocemos el potencial, V (Si) = Vi.
(ii) Conocemos la carga total del conductor, qi.
En cualquiera de las dos situaciones el potencial de cada
pieza es constante. En el primer caso su valor es conocido
y en el segundo no; a cambio conocemos el dato de su car-
ga, que podemos relacionar con la solución para el potencial
V (�r):
qi =
∮
Si
ρS(�r)dS = ε0
∮
Si
�E(�r) · �ndS = −ε0
∮
Si
∂V
∂n
dS.
Si la distribución de carga volumétrica ρ en τ no existe la
ecuación de Poisson se reduce a la de Laplace y V es una
función armónica en τ . Una de las propiedades vistas en el
primer caṕıtulo fue la unicidad de la solución de la ecuación
de Laplace con condiciones para la función sobre la frontera.
Esto permite asegurar que el problema de los n conducto-
res está bien definido para el primer caso (potencial fijado
en la frontera). Si de algún conductor sólo se conoce la
carga debemos modificar ligeramente el argumento corres-
pondiente al segundo tipo de condiciones. Esto se presenta
en la siguiente nota avanzada.
Nota avanzada: Unicidad de la solución para conductores con carga
fijada
Para simplificar los argumentos consideraremos el caso de un solo
conductor en el espacio, delimitado por una superficie S.
Sean V1(�r) y V2(�r) dos soluciones que verifican las condiciones de
carga q1 fijada en el conductor, pero con V1(S) �= V2(S). Se tendrá
entonces que
q1 = −ε0
∮
S
∂V1
∂n
dS = −ε0
∮
S
∂V2
∂n
dS.
Construyamos la función ψ = V1 − V2, que cumplirá∮
S
∂ψ
∂n
dS = 0, ψ(S) = V1(S) − V2(S) = k, ψ(S∞) = 0
(k constante). Teniendo en cuenta que Sτ = S ∪ S∞ podemos utilizar
la primera identidad de Green y escribir∮
S∪S∞
ψ�∇ψ · d�S =
∫
τ
[
ψ∇2ψ + |�∇ψ|2
]
dτ.
La integral de superficie se descompone en dos, una en el infinito y
otra sobre el conductor. En el infinito ψ = 0 y la integral es nula;
sobre el conductor se tiene∮
S
ψ�∇ψ · d�S = k
∮
S
∂ψ
∂n
dS = 0.
Finalmente en la integral de volumen usamos que ∇2ψ = 0 y se llega
a que ∫
τ
|�∇ψ|2dτ = 0.
Como el integrando nunca puede ser negativo se tiene |�∇ψ| = 0. El
gradiente es nulo en todo punto y por tanto ψ es una función constan-
te. Como debe valer cero en el infinito, se concluye que ψ = 0 y las
soluciones V1 y V2 coinciden.
Lo anterior demuestra la unicidad de la solución en el segundo ca-
so (carga fijada), en el supuesto de que no haya carga fuera de los
conductores (ρ = 0).
Nota avanzada: Unicidad de la solución con carga entre conductores
Es sencillo extender los resultados anteriores a una situación con
carga entre conductores. Basta construir la solución del siguiente mo-
do:
V (�r) = χ(�r) + Vρ(�r), Vρ(�r) =
1
4πε0
∫
τ
ρ(�r1)dτ1
|�r − �r1|
.
De esta forma la función χ verifica la ecuación de Laplace en τ y su
valor, aunque no constante, está determinado en la superficie de los
conductores presentes χ(Si) = V (Si)− Vρ(Si) (o bien conocemos qi y
esto da una condición suficiente). Los detalles se dejan como ejercicio.
Ejemplo:
Entre dos electrodos planos y paralelos, de extensión infinita y separa-
dos una distancia d se establece una diferencia de potencial V0. En la
región intermedia existe una densidad de carga uniforme ρ0. Hállese
el potencial y el campo electrostáticos en la región entre electrodos.
z
n1
��x
y
n2
z=0 z=d
V=0 V=V0
E(z)
�
S2�S1
Establezcamos origen de coordenadas en el electrodo a menor poten-
cial, que tomaremos como cero. Según los ejes de la figura, tendremos
V (z = 0) = 0 y V (z = d) = V0. Dado que los electrodos son infinitos
en las direcciones OX y OY , el potencial es función sólo de z. El pro-
blema electrostático consiste en resolver la ecuación de Poisson, que
en este caso se reduce a
d2V
dz2
= −ρ0
�0
.
Las condiciones de contorno son las ya fijadas sobre los electrodos.
Integrando dos veces esta ecuación obtenemos
V (z) = −ρ0
�0
z2
2
+ C1z + C2,
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donde C1 y C2 son constantes de integración que debemos determinar
a partir de las dos condiciones de contorno:
V (0) = C2 = 0; V (d) = −
ρ0
�0
d2
2
+ C1d = V0.
Resulta entonces
C1 =
V0
d
+
ρ0d
2�0
y la expresión final para el potencial es
V (z) = − ρ0
2�0
(z2 − zd) + V0z
d
.
El campo eléctrico es �E = −�∇V , o sea,
�E = −dV
dz
�uz =
[
ρ0
2�0
(2z − d) − V0
d
]
�uz .
La densidad de carga sobre cada electrodo se calcula una vez conoci-
do el campo a partir de la fórmula ρS = �0 �E ·�n. En z = 0 se tiene �n1 =
�uz y �E = −(ρ0d/(2�0) + V0/d)�uz , por lo que ρS1 = −ρ0d/2− �0V0/d.
En z = d tenemos �n2 = −�uz y �E = (ρ0d/(2�0)− V0/d)�uz , con lo que
ρS2 = −ρ0d/2 + �0V0/d.
Si ρ0 = 0 el campo es uniforme, con módulo E = V0/d, y dirigido
hacia los potenciales decrecientes; las densidades superficiales de carga
son iguales pero de signo opuesto.
• Influencia y apantallamiento entre conductores
La presencia de un conductor cargado en las inmediacio-
nes de otro conductor produce una redistribución de cargas
en la superficie de ambos. Esto es lo que se conoce como in-
fluencia electrostática. La redistribución estámotivada
por la exigencia de que el campo en el interior del conduc-
tor sea nulo. Al acercar el conductor cargado (conductor
1 en la figura) éste producirá un campo en todo el espacio
que debe ser neutralizado dentro de los conductores por el
campo producido por la nueva distribución de cargas en el
conductor 2.
1E=0 E
E=0
2
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
+
−−
−
−
−
−
−
−
− +
+
+
Rećıprocamente, la carga sobre el conductor 1 también se
redistribuye en el proceso, ¡aun cuando el otro conductor
estuviera descargado!. Piénsese que aunque la carga neta
fuera cero, habŕıa separación de carga dando lugar a re-
giones con densidad positiva y negativa respectivamente, lo
cual produce un campo no nulo en el conductor 1, que pro-
duce la separación. Se trata pues de procesos acoplados que
conducen a una distribución final con la cual los campos en
el interior de ambos conductores son nulos.
Un caso particular importante se tiene cuando una pieza
conductora hueca rodea a otro conductor, lo cual da lugar
a lo que se denomina apantallamiento.
S2
ext
S2
int
SG
S1
2
1
q1
q2
int
q2
ext
La pieza interior posee una carga q1 y la pieza hueca una
carga q2, que en general se distribuirá en las dos superfi-
cies cerradas que la delimitan, Sint2 y Sext2 . Podemos saber
qué carga se acumula en cada superficie utilizando la ley
de Gauss en forma integral aplicada sobre una superficie
gaussiana SG interior al conductor 2 que englobe a Sint2 (ver
figura). El cálculo da∮
SG
�E · d�S = qint
ε0
→ 0 = q1 + q
int
2
ε0
,
puesto que en los puntos donde se evalúa el campo éste es
nulo, y por otra parte la carga encerrada por SG es la del
conductor 1 y la almacenada en la superficie interior del con-
ductor 2. La conclusión es que qint2 = −q1. En la superficie
exterior a 2 se deposita el resto de la carga suministrada a
este conductor.
Otra caracteŕıstica propia del apantallamiento es que to-
das las ĺıneas de campo van de una superficie a la otra, es
decir, de S1 a Sint2 o viceversa. En efecto, en ausencia de car-
ga volumétrica en la región intermedia, �E es solenoidal y no
hay fuentes ni sumideros de ĺıneas de campo. Tampoco es
posible que una ĺınea nazca y muera en la misma superficie,
puesto que ello implicaŕıa una diferencia de potencial entre
dos puntos de un conductor en equilibrio electrostático. La
única opción es la propuesta.
Finalmente establezcamos, en relación a una situación de
apantallamiento, que un conductor hueco divide el espacio
en dos regiones libres de influencia mutua. Estas son el
hueco y el espacio exterior a dicha pieza. En efecto, si el
potencial de la pieza hueca se fija al valor V2, para el hueco
se establece un problema de potencial con solución única:
∇2V = 0, V (Sint2 ) = V2, V (S1) = cte. q(S1) = q1
Llamemos V (�r) a la solución de este problema. Un cambio
que tenga lugar en el exterior modificará el valor de V2, que
pasará a ser V2 + k, con k cierta constante. Si proponemos
V (�r) + k como nueva solución para el potencial interior, la
nueva condición en la frontera Sint2 se satisface y de ma-
nera trivial se encuentra la carga correcta en el conductor
interior:
q(S1) = −ε0
∮
S1
∂(V + k)
∂n
dS = q1.
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Se trata pues de la solución buscada, que sólo se ha visto
modificada en una constante, lo cual es intrascendente: ni el
campo ni las distribuciones de carga en el interior cambian.
Con respecto al problema exterior, ni siquiera el valor del
potencial se modifica cuando tiene lugar un cambio en el
hueco (que no involucre por supuesto un aporte de carga
desde el exterior). El problema exterior está perfectamente
determinado porque la carga sobre su frontera no vaŕıa.
Ejemplo:
Consideremos una esfera conductora A de radio a y carga total qA,
rodeada de otra esfera hueca B de radios interior y exterior b y c res-
pectivamente, concéntrica con la primera, con carga total qB. (a) Si
conectamos la esfera hueca a tierra, ¿cómo se redistribuye la carga del
sistema?. (b) ¿Y si en lugar de esto conectamos su superficie interior
a la esfera interior?.
A B
a
b
c
q
A
q =q +q
B int ext
qext
qint
Tenemos dos regiones libres de influencia mutua, separadas por la
esfera hueca. El primer proceso afecta a la región exterior, mientras
que el segundo afecta al interior. Comenzamos describiendo la distri-
bución de carga y potencial iniciales.
La simetŕıa esférica nos asegura una distribución uniforme de la
carga depositada en cada una de las tres superficies. La carga qB se
reparte entre las superficies interior (r = b) y exterior (r = c) en la
forma qint = −qA (por haber influencia total o apantallamiento del
conductor interior) y qext = qB+qA respectivamente. Aplicando la ley
de Gauss en forma integral encontramos el valor del campo eléctrico
para las distintas regiones, a saber, �E = E(r)�ur , con
E(r) =


qA
4π�0r2
(a < r < b)
qA + qB
4π�0r2
(r > c),
y nulo en ambos conductores. Usando la relación V (r) = −
∫ r
∞
�E · d�r
se tiene a su vez
V (r) =
qA + qB
4π�0r
para r > c. En b < r < c (dentro del conductor exterior) el potencial
se mantiene constante,
VB =
qA + qB
4π�0c
,
y en el hueco aplicamos
V (r)−VB = −
∫ r
b
qA
4π�0r2
dr → V (r) = qA
4π�0
(
1
r
− 1
b
)
+
qA + qB
4π�0c
.
A partir de r = a el potencial queda nuevamente constante y vale
VA =
qA
4π�0
(
1
a
− 1
b
+
1
c
)
+
qB
4π�0c
.
(a) Conexión del conductor B a tierra.
En el próximo apartado se explicará con más detalle qué se entiende
por ”conexión a tierra”. Por el momento nos basta saber que en esas
condiciones el conductor fija su potencial a cero.
A B
a
b
c
q’
A
q’ =0ext
=-q’int=qA
V =0
B
Hacer que el potencial de un conductor sea cero no implica necesa-
riamente que su carga sea nula. En nuestro caso podemos justificar
que sólo la carga de la superficie exterior se escapa a través de la cone-
xión a tierra. En efecto, como no hay otras cargas en la región r > c,
el problema de potencial en dicha región consiste en resolver la ecua-
ción de Laplace con condiciones de potencial nulo en toda la frontera
(superficie r = c y superficie en el infinito). Es claro que la solución
V (r) = 0 satisface la ecuación y todas las condiciones de contorno, y
por unicidad establecemos que es la solución buscada. Por otra parte
la densidad superficial de carga es ρS = �0En = −�0dV/dr = 0, con lo
cual la carga total tras la conexión a tierra es q′ext =
∫
ρSdS = 0. La
carga sobre la superficie interior no se modifica puesto que para anular
el campo en el conductor exterior debe seguir siendo −qA. El campo
en el hueco tampoco cambia, aunque śı el potencial, en una constante
aditiva:
V ′(r) =
qA
4π�0
(
1
r
− 1
b
)
.
El nuevo potencial del conductor interior es
V ′A =
qA
4π�0
(
1
a
− 1
b
)
.
(b) Conexión del conductor A al conductor B.
A B
a
b
c
q’’ =0
A
q’’ =q +qext A B
=q’’int
Ahora en el problema interior debemos satisfacer la ecuación de
Laplace sujeta a las condiciones V ′′A = V
′′
B . La solución constante,
V ′′(r) = V ′′B , es admisible e implica que no hay carga depositada en
las superficies localizadas en r = a y r = b (por el mismo cálculo que
se vio en el apartado anterior). Sin embargo esta redistribución de
carga en el hueco, consistente en la anulación mutua, no afecta al pro-
blema exterior, que mantiene la misma distribución de carga, campo
y potencial:
q′′ext = qA + qB; V
′′(r) =
qA + qB
4π�0r
(r > c),
y por tanto
V ′′B =
qA + qB
4π�0c
.
• Coeficientes de capacidad
En lo que sigue nos centraremos en el estudio de un siste-
ma de n conductores situados en una región libre de carga
en volumen (ρ = 0). Cada conductor recibe una carga qi,
60
de resultas de lo cual adquieren potenciales Vi. Hemos vis-
to anteriormente que es equivalente plantear el problema
electrostático con cargas o con potenciales fijados. Por co-
modidad vamos a suponer conocidos los potenciales de cada
conductor.
El objetivo de este apartado es demostrar que existe li-
nealidadentre cargas y potenciales en el sistema de n
conductores, aśı como caracterizar los coeficientes que ligan
unas y otros.
El caso más simple es el de una esfera conductora de ra-
dio R y con carga q, sin otro conductor en su cercańıa. Por
simetŕıa la carga se distribuye uniformemente en la super-
ficie, dando lugar a un campo también con simetŕıa radial,
�E = E(r)�ur, que ya se determinó en el tema 3. La relación
entre la carga y el potencial del conductor esférico es
V = V (r = R) =
q
4πε0R
.
En esta situación que puede ser resuelta expĺıcitamente se
observa proporcionalidad entre q y V . La razón entre ambas
se conoce como coeficiente de capacidad de la esfera
aislada y vale C = q/VS = 4πε0R. En el Sistema Interna-
cional la capacidad se mide en faradios (F), equivalente a
coulombio/voltio.
Es interesante aqúı hacer notar que una esfera conductora
de radio muy grande posee una gran capacidad; si además
posee una carga no excesiva tendrá un potencial casi nulo.
Si conectamos un cuerpo conductor de menores dimensio-
nes, mediante un hilo delgado, a la esfera de gran radio, y
situada a gran distancia, estaremos fijando el potencial del
conductor prácticamente a cero, puesto que cualquier flujo
de carga entre ambos no va a cambiar apreciablemente el
potencial de la gran esfera. Este proceso es lo que se co-
noce como conexión a tierra. En la práctica cualquier
conductor de grandes dimensiones en comparación con las
del objeto que queremos poner a potencial nulo puede hacer
de ”tierra”.
Siguiendo con la discusión sobre la relación carga-
potencial en conductores, el problema se complica si la pie-
za tiene forma arbitraria, con superficie S. Aunque no se
conozca la solución expĺıcita, podemos demostrar la propor-
cionalidad entre carga y potencial del siguiente modo: su-
pongamos que hemos resuelto el problema cuando la pieza
está a potencial VS = 1 V. Esta solución puede escribirse
ϕ(�r) =
1
4πε0
∮
S
ρS(�r1)dS
|�r − �r1| ,
con ρS(�r1) la distribución superficial de carga sobre el con-
ductor. La carga total será
q0 =
∮
S
ρS(�r1)dS = −ε0
∮
∂ϕ
∂n
dS.
Si en lugar de un voltio el potencial es V veces mayor pode-
mos proponer una solución construida en base a la anterior,
V (�r) = V ϕ(�r), que evidentemente satisface también la ecua-
ción de Laplace y cumple la nueva condición impuesta para
el potencial en la superficie conductora. La carga será ahora
q = −ε0
∮
∂V
∂n
dS = −V ε0
∮
∂ϕ
∂n
dS = V q0.
Por tanto carga y potencial se ven multiplicados por el mis-
mo factor: son proporcionales.
La demostración anterior es extensible al caso general de
n conductores de superficies Si a potenciales Vi. Construi-
mos las n funciones auxiliares ϕi(�r) definidas en la región
exterior a los conductores, donde verifican la ecuación de
Laplace, y que se caracterizan por satisfacer distintas con-
diciones de contorno sobre los conductores. Estas condicio-
nes son las de potencial nulo sobre todos los conductores
excepto el i−ésimo, donde vale la unidad:
∇2ϕi = 0, ϕi(Sj) = δij .
Es claro que la combinación lineal
V (�r) =
n∑
j=1
Vjϕj(�r)
satisface todas las condiciones de nuestro problema original,
puesto que verifica la ecuación de Laplace y adquiere el valor
Vi prescrito sobre Si. La carga total del conductor i−ésimo
se puede obtener conocidas las n funciones auxiliares:
qi = −ε0
∮
Si
∂V
∂n
dS = −ε0
∮
Si
n∑
j=1
Vj
∂ϕj
∂n
dS =
n∑
j=1
Vjcij ,
donde hemos definido los llamados coeficientes de capa-
cidad del sistema mediante la expresión
cij = −ε0
∮
Si
∂ϕj
∂n
dS.
Con esto queda demostrada la linealidad entre cargas y po-
tenciales definidos sobre los conductores. En forma matri-
cial se puede escribir

q1
q2
· · ·
qn

 =


c11 c12 · · · c1n
c21 c22 · · · c2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
cn1 cn2 · · · cnn




V1
V2
· · ·
Vn

 ,
o, en notación más compacta, �q = C�V , donde �q =
(q1, q2, . . . , qn), �V = (V1, V2, . . . , Vn) y la matriz, C de di-
mensión n×n construida con los coeficientes cij se la deno-
mina matriz de capacidad del sistema.
Cada coeficiente cij tiene un significado f́ısico claro: se
trata de la carga en coulombios que adquiere el conductor
i−ésimo cuando todos los conductores se ponen a tierra ex-
cepto el j−ésimo, que se pone a un voltio. Sin embargo,
a pesar de esta interpretación, debe quedarnos claro que se
trata de magnitudes puramente geométricas, puesto que su
valor queda totalmente determinado por la forma y disposi-
ción espacial de los n conductores. También conviene notar
que en el cálculo de cij no sólo intervienen los conductores
correspondientes a esos dos sub́ındices, sino todos, a través
de la función ϕj .
61
Los potenciales pueden ser calculados, conocidas las car-
gas de cada conductor, usando la relación inversa �V =
C−1�q. Los elementos de la matriz inversa se denominan
coeficientes de potencial y se simbolizan por pij .
Demostramos que los coeficientes de la matriz de capaci-
dad son simétricos. Para ello nos servimos de la segunda
identidad de Green en la que los dos campos escalares que
intervienen son dos de las funciones auxiliares genéricas que
hemos estado manejando, ϕi(�r) y ϕj(�r), definidas en la re-
gión τ exterior a los conductores, y cuya frontera la cons-
tituyen las superficies de los n conductores, −Sk (normal
entrante en el conductor), y una superficie definida en el
infinito, S∞. Con todo esto escribimos∮
Sτ
(
ϕi�∇ϕj − ϕj �∇ϕi
)
·d�S =
∫
τ
(
ϕi∇2ϕj − ϕj∇2ϕi
)
dτ = 0,
donde hemos usado que ambas funciones satisfacen la ecua-
ción de Laplace. Según se ha dicho, la frontera se desglosa
en Sτ = S∞ ∪ (−S1) ∪ (−S2) ∪ . . . ∪ (−Sn). En el infinito
el integrando tiende asintóticamente a cero y por tanto la
ecuación anterior equivale a
n∑
k=1
∮
Sk
(
ϕi �∇ϕj − ϕj �∇ϕi
)
· d�S = 0.
En el integrando evaluamos el potencial ϕi en la superficie
Sk, pero este valor es cero salvo cuando k = i, que vale
la unidad, y algo análogo ocurre con la función ϕj . Del
sumatorio sólo sobreviven dos términos,∮
Si
�∇ϕj · d�S −
∮
Sj
�∇ϕi · d�S = 0.
En estos términos podemos identificar, salvo una constan-
te multiplicativa, los coeficientes cij y cji, que resultan ser
iguales.
Otra propiedad fácilmente demostrable es que cii > 0 pa-
ra todo valor del ı́ndice ”i”. La idea es que estos coeficientes
representan la carga de uno de los conductores cuando está
a potencial unidad y el resto a tierra. Teniendo en cuenta
que el campo eléctrico va en dirección a los potenciales de-
crecientes y que las funciones armónicas no poseen máximos
salvo en la frontera, las ĺıneas de campo deben ser salientes
del conductor a potencial unidad. Esto implica una car-
ga neta positiva y con ello queda determinado el signo del
coeficiente cii.
Ejemplo:
Dos esferas conductoras de igual radio, R, separados sus centros una
distancia D adquieren cargas q10 y q20 respectivamente cuando la pri-
mera se conecta a un potencial V0 y la otra a tierra. ¿Qué cargas
adquieren cuando se conectan a potenciales V1 y V2?
Se trata de un sistema de dos conductores en el que la relación entre
cargas y potenciales es
q1 = C11V1 + C12V2
q2 = C12V1 + C11V2,
donde hemos tenido en cuenta que ambas esferas son iguales para sus-
tituir C22 por C11 en la fórmula general.
A partir de los datos iniciales tenemos que q10 = C11V0 y q20 =
C12V0, con lo que los coeficientes C11 y C12 quedan determinados.
Cualquier otra electrificación de las dos esferas queda completamente
determinada; en particular para potenciales fijados V1 y V2 las cargas
resultan
q1 = (q10V1 + q20V2)/V0; q2 = (q20V1 + q10V2)/V0.
• Concepto de condensador
En los circuitos de corriente eléctrica se utiliza como uno
de los elementos básicos el condensador, que se caracteriza
por su capacidad de almacenar carga de signo opuesto en
dos electrodos enfrentados, o visto de otro modo, de alma-
cenar enerǵıa eléctrica. Para entender el dispositivo y dar
una definición precisa del concepto de condensadorvamos
a estudiar una configuración particular dentro de los siste-
mas de conductores, formada por tres piezas, una de ellas
contenida en otra hueca (ver figura).
2q1
V1 V2
V3
q2
q3
3
1
Hemos elegido esta configuración porque es a la vez simple
y con suficiente riqueza topológica para ilustrar las propie-
dades de apantallamiento que requiere un condensador.
La linealidad entre cargas y potenciales se escribe ex-
pĺıcitamente en nuestro caso
q1 = c11V1 + c12V2 + c13V3,
q2 = c12V1 + c22V2 + c23V3,
q3 = c13V1 + c23V2 + c33V3.
Si consideramos en particular la situación V2 = V3 = 0
y V1 	= 0 se tiene un problema interior no trivial, con el
conductor “1” cargado con carga q1 = c11V1, pero un pro-
blema exterior muy simple. En efecto todas las condiciones
se satisfacen si proponemos la solución V (�r) = 0 en todo el
espacio salvo en el hueco. Las consecuencias son:
(i) q3 = 0. En efecto, sobre este conductor el campo es cero,
su derivada normal también, la densidad superficial también
y, por último, la integral de esta distribución extendida a
toda la superficie.
(ii) qext2 = 0. El argumento es totalmente análogo.
(iii) q2 = −q1. Al haber influencia total entre la superficie
interior del conductor 2 y la superficie del conductor 1 se
deduce como vimos qint2 = −q1, pero esta es toda la carga
que tiene el conductor 2.
Trasladando estos resultados al sistema de tres ecuacio-
nes se deduce que q3 = c13V1 = 0 ⇒ c13 = 0 y que
q1 = c11V1 = −q2 = c12V1 ⇒ c11 = −c12. Estas relaciones
62
entre coeficientes constituyen la formulación matemática del
apantallamiento del conductor 1 con el exterior y su influen-
cia total con la superficie del 2. Para potenciales arbitrarios
en los tres conductores sabemos ahora que la carga q1 es
siempre
q1 = c11(V1 − V2),
es decir, dependiente exclusivamente de la diferencia de po-
tencial entre los conductores 1 y 2.
Un condensador se define como dos superficies conduc-
toras en influencia total, y que por tanto almacenan cargas
opuestas cuyo valor es proporcional a la diferencia de po-
tencial entre ambas, independientemente del estado de carga
del resto del sistema del que formen parte. A la constan-
te de proporcionalidad entre carga y d.d.p. se la denomina
capacidad del condensador:
C =
q
∆V
Ejemplos:
Rigurosamente hablando, sólo con un conductor hueco dentro del cual
colocamos otro conductor podemos construir un condensador; sin em-
bargo existen situaciones que se aproximan bastante a las condiciones
de influencia total/apantallamiento que se requieren. Analicemos las
geometŕıas más sencillas.
plano cilíndrico esférico
i) Condensador plano: Está formado por dos placas planas con-
ductoras de área S, paralelas entre śı, enfrentadas y separadas una
distancia d. Si la separación es pequeña respecto de la menor distan-
cia que podemos definir en las placas el campo resulta ser uniforme en
la mayor parte de la región entre placas y nulo en el exterior. Existe
una zona de inhomogeneidad del campo en la cercańıa de los bordes,
en la que se produce la transición a un campo nulo (efectos de bor-
de). El cálculo de la capacidad del condensador plano es sencilla si
consideramos la aproximación de placas infinitas. Entonces la carga
se distribuye uniformemente sobre los dos electrodos. Por otra parte
la superposición de los campos producidos por dos planos cargados
uniforme y opuestamente origina un campo uniforme E = ∆V/d entre
ambos y nulo en el exterior, que estará relacionado con la densidad
de carga según la fórmula �n ·∆ �E = E = ρS/ε0. Teniendo en cuenta
que, por ser una distribución uniforme de carga, q = ρSS, se obtiene
C = �0S/d.
ii) Condensador ciĺındrico: Está formado por dos superficies con-
ductoras ciĺındricas concéntricas de radios a y b, y longitud L. Des-
preciando efectos de borde, la carga se distribuye uniformemente en
ambas superficies. Usando la ley de Gauss en forma integral con una
superficie ciĺındrica de radio a < r < b se obtiene el campo dentro del
condensador, que es radial y de módulo E = q/(2π�0r), según se vio
en un ejemplo en el tema anterior. Integrando este campo entre a y b
obtenemos la relación entre la carga total y la diferencia de potencial,
lo cual conduce a una capacidad C = 2πε0L/ ln(b/a). La condición
que debemos imponer para que los efectos de borde sean despreciables
es b − a << L. Si además b − a << a (superficies muy juntas) pode-
mos usar la fórmula del condensador plano con d = b− a y S = 2πaL,
puesto que en tal caso la curvatura de los electrodos no juega un papel
importante (justif́ıquese rigurosamente dicha aproximación).
iii) Condensador esférico: Está formado por dos electrodos con
dos superficies esféricas concéntricas enfrentadas, de radios R1 y R2
(es esencialmente la geometŕıa de un ejemplo visto anteriormente,
más concretamente el ”problema interior” alĺı resuelto). La capa-
cidad es exactamente C = 4πε0R1R2/(R2 − R1). Nuevamente si
R2 − R1 << R1 la curvatura no es relevante y sirve la fórmula del
condensador plano con d = R2 − R1 y S = 4πR21.
• Asociación de condensadores
Varios condensadores pueden ser conectados entre śı y el
resultado se comporta como un nuevo condensador cuya ca-
pacidad se puede obtener a partir de las capacidades de los
condensadores constituyentes. De entre las posibles asocia-
ciones se distinguen dos casos: las conexiones en serie y en
paralelo.
q
q1
C1
C1
Α
Conexión en serie
Α
Α
Α
Β
Β
Β
C2
C2
Cn
Cn
Ceq
-q q -q q -q q -q
Ceq
qT -qT
Β
q2 qn
-q1 -q2 -qn
Conexión en paralelo
(i) Conexión en serie: los electrodos se conectan conse-
cutivamente, formando una cadena sin bifurcaciones (ver
figura). Es clave reconocer la presencia de conductores ais-
lados en el interior del conjunto, formado por dos electrodos
de dos condensadores distintos (un ejemplo está encerrado
por ĺınea punteada en la figura). Si establecemos una dife-
rencia de potencial VT entre el primer electrodo y el último,
aparecerá en el primer electrodo una carga q, que por in-
fluencia total inducirá otra carga −q en el siguiente. Como
éste forma parte de un conductor aislado inicialmente neu-
tro, en el tercer electrodo aparecerá una carga q para que
la carga neta siga siendo nula tras establecerse el voltaje.
Podemos seguir este razonamiento hasta el electrodo final
para determinar que la carga de cada electrodo es alterna-
tivamente q y −q. El potencial entre extremos es la suma
de las cáıdas de potencial individuales:
VT = V1+V2+ . . .+Vn =
q
C1
+
q
C2
+ . . .+
q
Cn
= q
n∑
i=1
1
Cn
.
Teniendo en cuenta que el conjunto sólo puede intercambiar
la carga depositada en sus electrodos extremos, el conden-
sador equivalente poseerá, para una d.d.p. VT una carga q,
es decir Ceq = q/VT . Despejando VT y sustituyendo en la
63
ecuación anterior resulta
1
Ceq
=
n∑
i=1
1
Cn
.
(ii) Conexión en paralelo: todos los condensadores se
conectan entre dos puntos comunes a distintos potenciales
VA y VB (ver figura). Ahora la carga que el conjunto puede
intercambiar con el exterior es la suma de cargas de los elec-
trodos conectados a un mismo punto: q = q1+ q2+ . . .+ qn.
La diferencia de potencial es VAB = VA − VB para cada
condensador, por lo que
VAB =
q1
C1
=
q2
C2
= . . . =
qn
Cn
=
q1 + q2 + . . .+ qn
C1 + C2 + . . .+ Cn
=
q
Ceq
y por tanto
Ceq =
n∑
i=1
Cn.
(iii) Otras conexiones: En muchas ocasiones podemos
identificar en una asociación de condensadores subgrupos
conectados en serie o en paralelo, que pueden ser sustitui-
dos por condensadores equivalentes según las fórmulas en-
contradas. En otras, la asociación es irreducible, como en
el ejemplo siguiente.
Ejemplo:
Obténgase la capacidad del condensador equivalente al de la figura,
conocidas las capacidades C1, C2, . . . , C5.
C1
� �
C2
C3
C4
C5
q1
q2
q5
�
�
q3
q4
V0
Esta asociación no puede ser clasificada como serie o paralelo. Debe-
mos obtener las cargas q1, q2, . . . , q5 sobre los condensadores, defini-
das como aquellas situadasen los electrodos que se indican en la figura,
una vez que conectamos el sistema a un generador que suministra una
tensión V0.
Partiendo de que (i) la carga total de conductores aislados internos
al sistema (tales como los conjuntos de armaduras conectadas a los
puntos M y N de la figura) es nula, y (ii) la suma de cáıdas de poten-
cial de condensadores encontrados en cualquier circuito debe ser nula,
obtenemos las ecuaciones que permiten obtener las cargas. El sistema
lineal resultante es
q1/C1 + q3/C3 = V0
q1/C1 − q2/C2 + q5/C5 = 0
q3/C3 − q4/C4 − q5/C5 = 0
−q1 + q3 + q5 = 0
−q2 − q5 + q4 = 0.
Como la carga que se intercambia con el resto del circuito es la suma
q1 + q2, la capacidad equivalente es C = (q1 + q2)/V0. La resolución
del sistema da finalmente
C =
(C1 + C2)(C3C4 + C4C5 + C3C5) + C1C2(C3 + C4)
C3C4 + C4C5 + C3C5 + C2(C3 + C5) + C1(C2 + C4 + C5)
.
• Enerǵıa y fuerzas sobre conductores en equilibrio
Para un conjunto de n conductores en equilibrio elec-
trostático las fórmulas de enerǵıa electrostática se particula-
rizan y simplifican debido al carácter equipotencial de cada
pieza. Al tratarse de distribuciones superficiales de carga se
tiene
Ue =
1
2
n∑
i=1
∮
Si
V ρSdS =
1
2
n∑
i=1
Vi
∮
Si
ρSdS =
1
2
n∑
i=1
Viqi.
Teniendo en cuenta los conceptos de coeficientes de capaci-
dad y de potencial obtenemos tres expresiones alternativas:
Ue =
1
2
n∑
i=1
Viqi =
1
2
n∑
i=1
n∑
j=1
cijViVj =
1
2
n∑
i=1
n∑
j=1
pijqiqj .
En el caso de un condensador, formado por dos electrodos
con cargas opuestas, la primera forma encontrada nos da
Ue =
1
2
(q1V1 + q2V2) =
1
2
q1(V1 − V2),
y usando el concepto de capacidad se obtienen nuevamente
tres expresiones alternativas:
Ue =
1
2
q∆V =
q2
2C
=
1
2
C(∆V )2
siendo q la carga del electrodo positivo y ∆V la diferencia
de potencial entre el electrodo positivo y el negativo.
Podemos encontrar la fuerza que se realiza sobre una par-
te móvil del sistema de n conductores a partir de la enerǵıa
electrostática utilizando el principio de los trabajos vir-
tuales. El punto de partida es un balance de enerǵıa en
cualquier proceso, dado por el teorema de la enerǵıa
cinética, que establece que la variación de enerǵıa cinética,
T es igual al trabajo realizado por todas las fuerzas sobre
el sistema, que en nuestro caso pueden ser: (i) fuerzas elec-
trostáticas de las cargas presentes en el sistema, (ii) fuerzas
realizadas por generadores para mantener piezas conducto-
ras a potencial constante (lo cual implica bombeo de car-
ga al sistema), y (iii) fuerzas de otro origen, t́ıpicamente
mecánicas, tales como ligaduras para fijar piezas, etc.:
∆T = ∆We +∆Wg +∆Wm,
donde los sub́ındices se refieren a trabajo eléctrico, de ge-
neradores y mecánico respectivamente, tal y como se acaba
de discutir. El trabajo de las fuerzas eléctricas es conser-
vativo, por lo que existe una enerǵıa potencial que no es
otra que la enerǵıa electrostática del sistema, que cumple
64
∆We = −∆Ue. El trabajo de los generadores, si existe, se
calcula a partir de la interpretación energética de potencial,
de manera que si la carga del conductor i-ésimo se incremen-
ta en ∆qi en el proceso, el trabajo del generador conectado,
con potencial Vi, será simplemente ∆Wg,i = ∆qiVi. Final-
mente, el trabajo realizado por eventuales fuerzas mecánicas
o de otro tipo debe ser calculado a partir de la situación
concreta que se estudie; si las fuerzas son conservativas po-
dremos igualmente definir una enerǵıa potencial Um, tal que
∆Wm = −∆Um.
Si en una situación de equilibrio consideramos un proceso
virtual caracterizado por un desplazamiento δx de una coor-
denada susceptible de ser variada en el sistema (la distancia
entre placas en un condensador plano, por ejemplo) se ten-
drá que la variación en la enerǵıa cinética es nulo, δT = 0.
Por otra parte las fuerzas electrostática y de otro tipo que
mantienen la pieza en reposo cumplirán �Fe + �Fm = 0. Dis-
tinguimos dos posibles procesos que permiten calcular la
fuerza electrostática sobre la pieza desplazada: i) proceso a
carga constante, y ii) proceso a potencial constante.
i) Proceso a carga constante: Las piezas conductoras
están aisladas y no hay trabajo de generadores: δWg = 0.
Del balance de enerǵıa se deduce, teniendo en cuenta que
δWm = Fmxδx = −Fexδx,
δT = 0 = −δUe + 0− Fexδx.
Por tanto,
Fex = −∂Ue
∂x
∣∣∣∣
qi
es decir, que podemos obtener la fuerza en la dirección
de variación de la coordenada x derivando la enerǵıa elec-
trostática, expresada en función de la cargas constantes de
los conductores, respecto de dicha coordenada, y cambiando
el signo.
ii) Proceso a potencial constante: Las piezas conducto-
ras están conectadas a generadores que mantienen el poten-
cial fijado a ciertos valores Vi; el trabajo de los generadores
será
δWg =
n∑
i=1
Viδqi.
Pero esta es dos veces la variación de la enerǵıa elec-
trostática, 12
∑n
i=1 Viqi, cuando los potenciales están fijados,
por lo que, de manera general en estos procesos, se puede
decir que δWg = 2δUe. Del balance de enerǵıa se deduce
ahora
δT = 0 = −δUe + 2δUe − Fexδx.
Por tanto,
Fex =
∂Ue
∂x
∣∣∣∣
Vi
donde ahora la enerǵıa debe expresarse en función de los
potenciales y el signo no se cambia.
Cualquiera de las dos fórmulas proporciona la fuerza elec-
trostática en el equilibrio. Es posible obtener otras expresio-
nes usando procesos mixtos, en los que parte de los conduc-
tores están aislados (con carga constante) y los restantes
están conectados a generadores (con potencial constante);
para estos procesos ya no es cierto en general que el traba-
jo de los generadores sea doble que la variación de enerǵıa
electrostática del sistema.
La coordenada x debe entenderse como coordenada ge-
neralizada, y por tanto puede tratarse de una longitud,
de un ángulo o cualquier otra magnitud f́ısica. Si se trata
de un ángulo, la correspondiente fuerza generalizada que
se obtiene de las fórmulas anteriores es la componente del
momento de las fuerzas eléctricas en la dirección del eje de
giro definido por la coordenada angular.
Ejemplo:
Hállese la fuerza que se ejercen mutuamente las armaduras de un con-
densador plano, aśı como la evolución temporal de la distancia entre
ambas, para (i) un proceso a carga constante; (ii) un proceso a poten-
cial constante.
(i) Proceso a carga constante. Supongamos que las armaduras tienen
un área S, masam y una separación x que variará con el tiempo debido
exclusivamente a las fuerzas eléctricas. La capacidad es C(x) = �0S/x.
Si la carga está fijada a un valor q0, la enerǵıa del condensador es
UE =
q20
2C
=
q20x
2�0S
,
y la fuerza eléctrica entre armaduras
Fx = −
dUE
dx
= −
q20
2�0S
.
Se trata lógicamente de una fuerza atractiva, puesto que las placas
están cargadas opuestamente.
La evolución temporal de la posición, x(t), suponiendo que en t = 0
se parte del reposo a una distancia x0, es simplemente m(d2x/dt2) =
Fx, y por ser constante la fuerza el movimiento hasta el choque entre
armaduras es uniformemente acelerado:
x(t) = x0 −
q20t
2
4�0S
.
(ii) Proceso a potencial constante. Ahora la diferencia de potencial
entre armaduras se fija en el valor V0. La enerǵıa del condensador es
UE =
1
2
CV 20 =
�0SV 20
2x
,
y la fuerza eléctrica entre armaduras
Fx =
dUE
dx
= −
�0SV 20
2x2
.
La fuerza vaŕıa con la distancia entre armaduras, aumentando confor-
me ambas se acercan debido a que la carga aumenta. Para la situación
inicial, si q0 = C(x0)V0, la fuerza eléctrica coincide con el cálculo re-
alizado en el apartado anterior.
La evolución temporal se obtiene integrando la ecuación de movi-
miento
d2x
dt2
=
Fx(x)
m
= − A
x2
, con A =
�0SV 20
2m
.
Multiplicando ambos miembros por ẋ = dx/dt obtenemos una integral
primera del movimiento:
ẍẋ =
1
2
d
dt
(ẋ2) = −Aẋ
x2
= A
d
dt
(
1
x
)
,
es decir, ẋ2/2 − A/x = B (= const). El valor de B se obtiene im-
poniendo que en t = 0 es x = x0 y ẋ = 0, con lo cual B = −A/x0.Debemos integrar otra vez para hallar la evolución temporal:
dx
dt
=
√
2A
√
1
x0
− 1
x
→
√
2A
∫ x
x0
dx√
1/x− 1/x0
= t.
65
Esta integral no es inmediata pero puede ser consultada en tablas. El
hecho importante es que la evolución a potencial constante es distinta
de la evolución a carga constante.
• Presión electrostática
Sobre la superficie de un conductor se localiza en general
una distribución de carga ρS(�r) y se produce una transición
en el valor del campo eléctrico, que va de cero en el interior
a �E(�r) = �nρS(�r)/ε0 en el exterior, en un punto infinita-
mente próximo a la superficie. Como consecuencia aparece
una fuerza normal en cada punto de esta superficie, que po-
dremos evaluar usando un campo medio definido sobre la
distribución, 〈 �E〉 = �nρS(�r)/(2ε0). Como la carga en un dS
situado en �r es dq = ρS(�r)dS, la fuerza será el producto del
campo medio por la carga. Se define por tanto la presión
electrostática ejercida en cada punto, pE = dFe/dS, por
las fórmulas
pe =
ρ2S
2ε0
=
1
2
ε0E
2
donde se presenta alternativamente en función de la densi-
dad de carga o del campo en el exterior del conductor.
Ejemplo:
Una esfera conductora de radio R con carga q se divide en dos por
su plano ecuatorial. ¿Cuál es el comportamiento de cada uno de los
hemisferios resultantes?
La carga que antes del corte se reparte uniformemente por la superfi-
cie no se modifica tras el corte, siempre y cuando permanezcan juntas.
Lógicamente habrá una fuerza de repulsión entre ambos hemisferios,
puesto que tienen carga de igual signo. Podemos calcular la fuerza que
se ejercen mutuamente a partir del concepto de presión electrostática.
La densidad superficial es ρS = q/(4πR
2) y la presión electrostática
pE =
q2
32�0π2R4
.
Sobre cada elemento de superficie se ejerce una fuerza normal d�F =
pE�ndS, que debemos integrar sobre un hemisferio. Aqúı es dS =
R2senθ dθ dφ. Sin embargo la fuerza resultante está dirigida según el
eje OZ, por lo que
F = Fz = �F · �uz =
∫
dS pE�n · �uz =
∫ 2π
0
dφ
∫ π
0
q2R2senθ cos θ dθ
32�0π2R4
.
El resultado es
F =
q2
32π�0R2
Hay que insistir en que cuando los hemisferios se separan la distribu-
ción de carga deja de ser uniforme y el cálculo deja de ser válido; la
fuerza encontrada corresponde a un valor inicial del proceso.
5.4 Métodos de resolución de problemas de
potencial
Existen muchas técnicas de resolución para el problema de
potencial. De ellas nos centraremos en dos: el método
de las imágenes, que permite resolver de forma muy sim-
ple un número restringido de problemas, caracterizados por
tener alta simetŕıa, y elmétodo de separación de varia-
bles, que también requiere la existencia de simetŕıa en la
geometŕıa del problema pero tiene un mayor rango de apli-
cabilidad. Otros métodos importantes son el de la función
de Green, bastante potente, el de transformación confor-
me para problemas bidimensionales, y finalmente una serie
de métodos numéricos, tales como el de diferencias finitas,
elementos finitos y elementos de contorno.
• Método de las imágenes
Consideremos un conjunto de n conductores sujetos a con-
diciones de potenciales Vi o cargas qi conocidos en cada
pieza. Las distribuciones reales de carga son superficiales,
ρS(�r), definidas en las superficies conductoras Si. Se esta-
blece una distribución de potencial en el espacio, tal que su
valor en cada pieza es constante:
V (�r) =
1
4πε0
n∑
i=1
∮
Si
ρS(�r1)dS1
|�r − �r1| , V (�ri) = ki,
donde �ri ∈ Si y ki es un valor constante, conocido (Vi) o
desconocido pero determinable por la condición de carga
dada, qi. Si sustituimos las distribuciones reales por otras
ficticias, ρ(�r), en las regiones interiores a los conductores,
τi, de forma que los potenciales generados en las superficies
conductoras coincidan con los del problema real, podemos
decir, por la unicidad del problema de potencial, que la so-
lución del problema es también
V (�r) =
1
4πε0
n∑
i=1
∫
τi
ρ(�r1)dτ1
|�r − �r1| ,
aunque la nueva solución no es válida en el interior de los
conductores (cosa que no debe preocupar puesto que no es
la región que nos interesa). El método resulta útil cuan-
do i) es posible encontrar por procedimientos elementales
la distribución de carga ficticia, llamada carga imagen, y
ii) su integración es fácil. No siempre existe una distribu-
ción adecuada al problema, por lo que no se trata de un
método sistemático, sino basado en la experiencia y la in-
tuición f́ısica.
Ejemplo:
Hállese el potencial creado en todo el espacio por una carga puntual
enfrentada a un plano conductor infinito a masa.
qq'
d d
x
z
Este es un ejemplo básico y obligado, dada su importancia. Sea d la
distancia plano-carga. Es evidente que si colocamos una carga −q en
una posición simétrica respecto del plano, es decir, a una distancia d
detrás de éste, según la recta normal que pasa por la carga q, la suma
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de los potenciales creados por la carga real y la carga imagen será cero
en el plano conductor, que es la condición que debemos cumplir. El
problema original es de dif́ıcil solución, puesto que la carga induce en
el plano una distribución superficial no conocida a priori. Esta dis-
tribución es fácil de calcular ahora mediante la fórmula ρS = ε0En,
puesto que conocemos V y En = −�n · �∇V .
En definitiva, tomando un sistema de referencia como en la figura,
el potencial pedido es V = 0 para x < 0 y para x > 0 tenemos
V (x, y, z) =
q
4π�0
[
1√
(x− d)2 + y2 + z2
− 1√
(x+ d)2 + y2 + z2
]
.
Ejemplo:
Hállese el potencial creado en todo el espacio por una carga puntual
q enfrentada a una esfera conductora a tierra de radio R, siendo d la
distancia desde su centro a la carga.
q
x
R
q'
d
z
Suponemos para comenzar que la esfera está a potencial cero. Puede
comprobarse que un sistema formado por dos cargas de signo opuesto,
q1 y −q2, con q1 y q2 cantidades positivas, poseen una superficie a
potencial cero con forma esférica (demuéstrese). Con esa información
proponemos que dentro de la esfera conductora, en algún punto del
eje de simetŕıa del sistema, se coloque una carga imagen q′ a distancia
x del centro de la esfera, que haga que la superficie de la esfera tenga
potencial cero. En particular esta condición se aplica a los puntos de
corte de la esfera y el eje de simetŕıa, dando un par de condiciones que
determinan los valores de q′ y x:
VA = 0 =
q
4πε0(d −R)
+
q′
4πε0(R − x)
,
VB = 0 =
q
4πε0(d+ R)
+
q′
4πε0(R + x)
.
Por tanto, despejando en ambas −q′/q se tiene
− q
′
q
=
R− x
d− R
=
R+ x
d+ R
=
R
d
=
x
R
,
donde las dos últimas igualdades surgen de aplicar la propiedad trivial
a
b
=
c
d
=
a± c
b± d
.
De aqúı se obtiene definitivamente
q′ = −qR
d
, x = R
R
d
,
con lo que la carga imagen es opuesta a la original y menor en valor ab-
soluto en un factor R/d, y está situada dentro de la esfera (x < R). La
solución puede ser escrita, respecto del centro de la esfera y tomando
eje OZ como aquel que pasa por la carga,
V (�r) =
q
4π�0
[
1
|�r − d�uz |
− R/d
|�r − (R2/d)�uz |
]
.
Existen dos propiedades importantes acerca de las cargas
imagen:
1) La carga total sobre una pieza conductora es igual a la
carga imagen total que contiene. La demostración consis-
te simplemente en darnos cuenta de que la carga real y la
carga imagen encerrada por la superficie del conductor es,
por la ley de Gauss en forma integral, ε0 por el flujo del
campo eléctrico en dicha superficie; pero el campo creado
por ambas distribuciones es el mismo en la región exterior,
y el flujo también.
2) La fuerza sobre una pieza conductora es igual a la fuer-
za sobre las cargas imagen que contiene. La demostración
de esta propiedad es algo más elaborada, pero se basa en
la misma idea de expresar la fuerza en función del campo
evaluado en el exterior del conductor. La ofrecemos como
nota avanzada.
Nota avanzada: Demostración de la segunda propiedad.
La fuerza sobre la distribución de carga imageninterior al conductor
i-ésimo es
�F ′ =
∫
τi
ρ �Edτ = ε0
∫
τi
(�∇ · �E)�Edτ,
donde se ha usado la ley de Gauss para eliminar ρ. El campo es el
producido en el interior por las cargas reales no sustituidas (es decir,
no localizadas en las superficies de los conductores) y por las cargas
imagen del sistema. A partir del desarrollo visto en el primer caṕıtulo
para la divergencia de un producto diádico se deduce que
�∇ · (�E �E) = �E(�∇ · �E) + ( �E · �∇)�E.
Por otra parte
�∇(�E · �E) = 2 �E × (�∇× �E) + 2( �E · �∇)�E,
y como el campo es irrotacional obtenemos
�E(�∇ · �E) = �∇ · (�E �E)− 1
2
�∇(�E · �E),
Usando el teorema de la divergencia para diadas y el teorema del gra-
diente conseguimos expresar la integral de volumen original en una
integral de superficie:
�F ′ = ε0
∮
Si
[
�E �E · �n− E
2
2
�n
]
dS.
(Por cierto, esta forma de expresar la fuerza sobre todas las cargas con-
tenidas en un volumen dado, consistente en una integral de superficie∮
T · �ndS de una magnitud tensorial, T = ε0 �E �E − ε0 E
2
2
I, con I el
tensor unidad, es un resultado general, y aplicable por tanto a muchas
otras situaciones. Al tensor T se le denomina tensor de Maxwell.)
Dado que en la superficie del conductor el campo se puede escribir
�E = E�n, ambos términos dentro del corchete se pueden agrupar para
dar finalmente
�F ′ =
ε0
2
∮
Si
E2�ndS.
Pero esto no es otra cosa que la fuerza en función de los campos exter-
nos a la pieza, calculada mediante el concepto de presión electrostática.
Se demuestra aśı que ambos cálculos coinciden.
• Método de separación de variables
El método de separación de variables busca la solución al problema
de potencial dado por la ecuación de Laplace junto con condiciones
de contorno apropiadas, mediante la formulación de soluciones gene-
rales en forma de combinación lineal de productos de funciones de una
sola variable. Estas soluciones generales incluyen un número infini-
to de constantes de integración que se encuentran una vez aplicadas
sistemáticamente las condiciones de contorno.
Para exponer el método consideraremos primero la ecuación de La-
place en coordenadas cartesianas:
∂2V
∂x2
+
∂2V
∂y2
+
∂2V
∂z2
= 0.
67
Proponemos una solución básica factorizada V (x, y, z) =
X(x)Y (y)Z(z). El apelativo ”separación de variables” proviene ob-
viamente de que la dependencia con las tres variables se tiene a través
de funciones de cada una de ellas por separado. Sustituyendo esta
dependencia en la ecuación y dividiendo por X(x)Y (y)Z(z) resulta
1
X
d2X
dx2
+
1
Y
d2Y
dy2
+
1
Z
d2Z
dz2
= 0,
que tiene una estructura del tipo f(x) + g(y) + h(z) = 0. Esta ecua-
ción sólo tiene solución si las funciones f , g y h son constantes α, β
y γ respectivamente, que cumplirán α + β + γ = 0. Las tres ecuacio-
nes resultantes son análogas. Como ejemplo tenemos para la función
X(x),
1
X
d2X
dx2
= α ⇒ d
2X
dx2
− αX = 0,
que tiene como solución general
X(x) = Aαe
√
αx + Bαe
−√αx
donde Aα y Bα son constantes de integración, que dependen del valor
considerado de α, también por deteminar. Si realizamos un análisis si-
milar con Y (y) y Z(z) llegaremos al mismo tipo de soluciones que para
X(x). La solución más general a la ecuación de Laplace se obtendrá
mediante una combinación de soluciones factorizadas:
V (x, y, z) =
∑
α,β,γ
α+β+γ=0
(
Aαe
√
αx + Bαe
−√αx) ·
(
Aβe
√
βy + Bβe
−
√
βy
)
·
(
Aγe
√
γz + Bγe
−√γz) .
Una particularidad esencial en la expresión propuesta es que al me-
nos una de las constantes α, β o γ debe ser negativa para cumplir
la restricción impuesta sobre su suma. Si por ejemplo es α la cons-
tante negativa, se tendrá que
√
α es un número imaginario puro y la
dependencia en x no seŕıa exponencial sino combinación de senos y
cosenos. En consecuencia no es posible una solución exponencial en
las tres coordenadas: al menos en una de ellas la solución debe ser
oscilatoria.
Hasta aqúı el método es general y la solución encontrada no hace
referencia a las condiciones de contorno que debe cumplir la función
V . Estas condiciones son las que debemos utilizar para determinar las
infinitas constantes de integración que aparecen en la expresión ante-
rior. Es conveniente ver con un ejemplo el tipo de razonamiento que
se sigue.
x
d
z
V=0
y
V=0
V=F(x)
En la figura se muestra un sistema formado por dos placas conduc-
toras a tierra, paralelas entre śı y a una distancia d. Hacia arriba y
en la dirección perpendicular al papel son ilimitadas. En la super-
ficie horizontal que une sus bordes se ha establecido, mediante una
combinación adecuada de generadores, una distribución conocida de
potencial. Tomando un sistema de referencia como el descrito en la
figura la función incógnita es V (x, y, z) y las condiciones de contorno
se expresan del siguiente modo:
V (0, y, z) = V (d, y, z) = 0; V (x, 0, z) = F (x); lim
y→∞
V = 0
donde la función F (x) es conocida. La condición final es de tipo
asintótico (no se aplica en un punto finito como las otras). Esto ocurre
en problemas en los que el recinto considerado es ilimitado.
La primera información que debemos usar es la ausencia de depen-
dencia de las condiciones con la coordenada z. Esto implica direc-
tamente que el potencial no depende de z, es decir γ = 0, y pode-
mos omitir el tercer paréntesis en la expresión general del potencial.
Además queda α = −β.
A continuación hacemos uso de la condición asintótica. Debemos
hacer β > 0 y Aβ = 0 para que la dependencia en y sea exponencial
decreciente ( si β < 0 se tendŕıa un comportamiento oscilatorio y no se
cumpliŕıa el ĺımite impuesto, y si Aβ �= 0 la solución creceŕıa ilimita-
damente, lo cual no es admisible desde un punto de vista f́ısico). Con
las simplificaciones encontradas el potencial se puede escribir ahora
V (x, y) =
∑
β
(
A′βe
i
√
βx + B′βe
−i
√
βx
)
e−
√
βy
donde hemos agrupado constantes para definir otras nuevas, A′β y B
′
β ,
aún por determinar, al igual que β.
Imponemos seguidamente las condiciones en x = 0 y x = d:
0 = V (0, y) =
∑
β
(A′β + B
′
β)e
−
√
βy
0 = V (d, y) =
∑
β
(
A′βe
i
√
βd + B′βe
−i
√
βd
)
e−
√
βy .
De la primera se obtiene necesariamente B′
β
= −A′
β
y de la se-
gunda, usando ya esta nueva información, y teniendo en cuenta que
sen(x) = (eix − e−ix)/(2i),
2iA′βsen(
√
βd) = 0 ⇒
√
βd = nπ,
con n = 1, 2, . . .. Con toda esta información el potencial queda
V (x, y) =
∞∑
n=1
Cnsen
nπx
d
e−nπy/d.
Falta encontrar los nuevos coeficientes Cn que surgen de agrupar cons-
tantes con los antiguos A′β . Para ello debemos utilizar la condición de
contorno restante, V (x, 0) = F (x), que con la expresión encontrada
para el potencial se escribirá
∞∑
n=1
Cnsen
nπx
d
= F (x).
La serie que aparece en esta expresión es justamente el desarrollo de
Fourier en senos correspondiente a la función F (x)2. Los coeficientes
del desarrollo se relacionan con integrales de nuestra función en virtud
de la ortogonalidad de las funciones base:∫ d
0
sen
nπx
d
sen
mπx
d
dx =
{
0 si n �= m
mπ/2 si n = m
Si multiplicamos nuestra ecuación por sen(mπx/d) e integramos entre
0 y d sólo será no nulo un término, de lo que se deduce
Cm
mπ
2
=
∫ d
0
sen
mπx
d
F (x)dx,
con lo que los coeficientes quedan determinados.
Como ejemplo sencillo consideremos el caso F (x) = V0, es decir
un potencial constante, que puede ser fijado por un generador conec-
tado a una lámina conductora situada en y = 0. Entonces se tendrá
Cn = 2[1−cos(nπ)]V0/(nπ), que es no nulo si n es impar. El resultado
final se escribe
V (x, y) =
4V0
π
∞∑
n=1
impar
1
n
sen
nπx
d
e−nπy/d
La distribución de ĺıneas equipotenciales se representa en la figura
siguiente:
2Hay que recordar que toda función definida en el intervalo [−d, d] puede desarrollarse en serie de senos y cosenos de argumento nπx/d,
y que si nuestra función F (x) está definida en el intervalo [0, d] podemos extender su dominio de definición por la izquierda exigiendo queF (−x) = −F (x) (función impar), con lo que conseguimos que no aparezcan cosenos en el desarrollo.
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0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
0.4
0.6
0.8
0.6
0.4
0.2
0.8
y/d
0.2 0.4 0.6 0.8 1
x/d
V/V =0.10
0.2
0.3
0.4
Los problemas con simetŕıa esférica o ciĺındrica se describen mejor en
los sistemas coordenados correspondientes, para los cuales la ecuación
de Laplace admite separación de variables. Las ecuaciones diferenciales
que verifican las funciones de una sola variable en que descomponemos
el potencial son en general más complicadas que las exponenciales y
funciones sinusoidales que hemos manejado en cartesianas, y sus solu-
ciones son funciones especiales (polinomios de Legendre, funciones de
Bessel) cuyo valor y propiedades de ortogonalidad se pueden encontrar
en libros especializados.
• Otros métodos
Existe un amplio muestrario de métodos de resolución de problemas
de potencial. Para problemas bidimensionales es en particular muy
eficaz el método de transformación conforme, que hace uso de la
posibilidad de expresar el potencial bidimensional en forma compleja.
Para problemas con geometŕıa arbitraria son necesarios métodos más
generales, de carácter numérico, tales como el de diferencias fini-
tas, el de elementos finitos o el de elementos de contorno. Su
exposición se sale del propósito de esta asignatura.
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