Tema6

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6. Conductores óhmicos
1. Ley de Ohm: Modelo del gas de electrones de Drude.
Conductividad.
2. Corriente estacionaria: Problemas de potencial en
conductores. Concepto de resistencia. Potencia disipada en
un conductor (efecto Joule). Generadores.
3. Inducción en espiras conductoras: Regla del flujo.
Coeficientes de inducción. Fórmula de Neumann. Ecuacio-
nes de evolución para un sistema de espiras fijas. Enerǵıa
almacenada en un conjunto de espiras.
4. Fundamentación de la Teoŕıa de Circuitos: Leyes
de Kirchhoff para circuitos estacionarios. Análisis de ma-
llas. Asociación de resistencias. Corrientes variables. Re-
lación I–V de elementos simples. Reǵımenes transitorio y
permanente. Concepto de impedancia. Generalización de
las leyes de Kirchhoff.
6.1 Ley de Ohm
El carácter conductor de una sustancia viene determinado
fundamentalmente por la densidad de portadores de carga.
Para poner de manifiesto esta relación vamos a proponer
un modelo f́ısico muy sencillo debido a Drude. Supongamos
que existen s especies de portadores en un material, cada
una portando una carga qi y con una densidad de part́ıculas
por unidad de volumen dada por ni. El efecto de un campo
de fuerzas por unidad de carga �E′ sobre una part́ıcula seŕıa
incrementar su velocidad indefinidamente, pero esto no es
lo que se observa en la práctica en el seno de un conductor,
sino que los portadores adquieren en promedio una velo-
cidad constante en la dirección del campo aplicado. Este
hecho experimental se explica por la interacción de las car-
gas libres con otras part́ıculas presentes en el material. Si
entendemos esta interacción como un rozamiento (lo cual es
simplemente un modelo f́ısico propuesto), podremos escribir
mi
d�vi
dt
= qi �E′ − γi�vi,
donde mi es la masa de la part́ıcula y γi es el coeficiente
de rozamiento con el medio. La solución a este problema
dinámico es bien conocida y en efecto da lugar a una rela-
jación exponencial a una velocidad ĺımite �vi,∞:
�vi(t) = �vi,∞(1− e−t/τi); τi = mi
γi
; �vi,∞ =
qi
γi
�E′.
El tiempo que tarda la part́ıcula en adquirir una velocidad
constante viene estimado por el tiempo de relajación τi,
que suele ser muy pequeño en comparación con las escalas
t́ıpicas de fenómenos macroscópicos. En realidad τi juega
un papel más importante que la propia constante de roza-
miento, puesto que tiene un significado f́ısico más cercano a
la realidad (promedio estad́ıstico del tiempo entre colisiones
de la part́ıcula con otras del material), pero no entraremos
en un análisis microscópico riguroso.
Recordando la definición de densidad de corriente dada
en el segundo caṕıtulo llegamos a
�f =
s∑
i=1
qini�vi,∞ =
s∑
i=1
qini
qi
γi
�E′ =
s∑
i=1
q2i niτi
mi
�E′,
donde el sub́ındice ”f” especifica que estamos consideran-
do corrientes de carga libre (existen corrientes asociadas a
las cargas ligadas que se estudiarán más adelante). Esta
ecuación puede escribirse finalmente
�f = σ �E′ con σ =
s∑
i=1
q2i niτi
mi
,
que recibe el nombre de ley de Ohm. A la constante de
proporcionalidad σ se la denomina conductividad del me-
dio. La fórmula que la define es una expresión aproxima-
da, válida sólo en ciertas circunstancias. La unidad en el
sistema internacional es el siemens/metro (S/m), siendo el
siemens (A/V) la unidad de conductancia, que se verá más
adelante.
La ley de Ohm debe entenderse como un resultado feno-
menológico que explica el comportamiento de muchos mate-
riales en relación con el transporte de carga al ser sometidos
a un campo. En otras palabras, no tiene un carácter univer-
sal como el de las ecuaciones de Maxwell en el vaćıo. Una
ley de este tipo se denomina relación constitutiva. A los
materiales que verifican esta ley, y para los que por tanto se
puede definir una conductividad, se les denomina medios
óhmicos.
La conductividad es el parámetro que determina el
carácter conductor o aislante de una gran cantidad de sus-
tancias. Se trata de una cantidad siempre positiva y pro-
porcional a la densidad de portadores. También es usual el
manejo de la resistividad, o inverso de la conductividad,
medido en el S.I. en V · m/A. En la tabla que sigue pue-
de verse su enorme rango de variación de unas sustancias a
otras:
70
Material Resistividad (V·m/A)
Aluminio 2.65 · 10−8
Cobre 1.67 · 10−8
Oro 2.35 · 10−8
Hierro 9.71 · 10−8
Nı́quel 6.84 · 10−8
Plata 1.59 · 10−8
Mercurio 95.8 · 10−8
Constantán (Cu 60%, Ni 40%) 49.0 · 10−8
Germanio (puro) 0.46
Grafito 1.4 · 10−5
Agua saturada de sal 0.044
Óxido de aluminio 1 · 1014
Vidrio 1010 − 1014
Cuarzo 1 · 1014
Azufre 2 · 1015
Madera 108 − 1011
Es conveniente insistir en que la existencia de corriente en
el medio no implica que haya carga neta en él. Por ejemplo,
en metales que aportan un electrón por átomo a la banda de
conducción, los portadores de carga son dichos electrones,
con carga −e, densidad n− y velocidad �v−, pero existe una
red de part́ıculas con carga positiva en posiciones fijas, con
carga e densidad n+, de tal manera que � = −en−�v− �= 0
pero ρ = e(n+ − n−) = 0.
En general la conductividad depende de la posición dentro
de un material (σ = σ(�r)) puesto que puede haber inhomo-
geneidad en su composición qúımica, densidad y/o tempe-
ratura, lo cual afecta a los parámetros microscópicos que
intervienen en la fórmula para σ.
En el modelo microscópico analizado anteriormente he-
mos considerado un campo de fuerzas por unidad de car-
ga de manera general. Esto incluye como caso particular,
aunque bastante habitual, los campos puramente eléctricos,
pero no deben excluirse campos de otra naturaleza (fuer-
zas mecánicas, qúımicas, etc.). Estas fuerzas actúan por
ejemplo en el interior de los generadores de corriente (pilas,
dinamos) y en los motores eléctricos. De hecho veremos que
para que se establezca un circuito de corriente es necesario
que en algún punto del mismo existan fuerzas de origen no
electrostático que bombeen los portadores. En cambio de-
bemos omitir el efecto eventual del campo magnético sobre
la dinámica de los portadores. Esto se justifica en la mayoŕıa
de los casos (pero no siempre) porque la velocidad media de
los portadores suele ser pequeña, y la fuerza magnética se
desprecia frente a la eléctrica (|�v × �B| << | �E|). En caso
contrario la resolución dada no seŕıa correcta por haber un
término más dependiente de la velocidad.
Ejemplo: Efecto Hall
Una situación en la que se aplica un campo magnético sobre un
medio conductor es en experiencias encaminadas a determinar el sig-
no de las cargas que se están moviendo por el material. En la figura
observamos una placa conductora de grosor d, por la que fluye una
corriente de intensidad I. En el caso (a) los portadores son positivos
y se mueven hacia la derecha; en el caso (b) los portadores son negati-
vos y se mueven hacia la izquierda, resultando el mismo sentido para
la corriente. Por efecto del campo magnético las cargas, positivas o
negativas, son desviadas hacia abajo por la fuerza �FB = q�v × �B. Esto
induce una acumulación de cargas de signos opuestos en las caras hori-
zontales de la placa, que a su vez originan un campo eléctrico vertical.
Se alcanzará una situación de equilibrio en la que la fuerza de este
nuevo campo, �FE = q �E, compense exactamente la fuerza magnética.
El campo eléctrico será entonces �E = −�v × �B, que da lugar a una di-
ferencia de potencial medible entre ambas caras de la placa. El signo
de la tensión determina el signo de la carga que fluye. La velocidad de
la carga también puede ser obtenida como v = E/B.
Bv
F
+
+ + + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - -
I
E
V
Bv
F
-
+
- - - - - - - - - - - -
I
E
V
+ + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + +
(a)
(b)
Alternativamente, si conocemos la velocidad de los portadores,el
dispositivo descrito permite obtener la intensidad del campo magnético
aplicado (sonda Hall).
6.2 Corriente estacionaria
En el caṕıtulo anterior nos hemos dedicado al estudio de la
Electrostática de conductores, caracterizados por una situa-
ción de equilibrio. Si entre dos regiones de un cuerpo con-
ductor se establece una diferencia de potencial permanente
mediante un generador, el régimen debe ser distinto (recor-
demos que una de las consecuencias naturales del equilibrio
es el carácter equipotencial de la pieza conductora). Debe-
mos admitir la aparición de una distribución de corriente
en el volumen conductor. Sin embargo, nuevamente tras un
periodo transitorio, es de esperar que este nuevo régimen
sea también independiente del tiempo, puesto que el agen-
te que provoca las corrientes (la diferencia de potencial) es
constante en el tiempo. En lo que sigue nos ocuparemos
de caracterizar un régimen de corrientes constantes en el
tiempo en medios óhmicos, que entra ya en el dominio de
lo que se conoce como Electrocinética. Este análisis nos
conducirá al concepto de resistencia.
• Problemas de potencial en conductores
El problema matemático se plantea a partir de las ecua-
ciones que rigen los fenómenos estacionarios en medios
óhmicos:
�∇× �E = 0; �∇ · � = 0; � = σ �E.
71
Escribiendo el campo eléctrico en función de un potencial,
�E = −�∇V , la ecuación que se obtiene es
�∇ · (σ�∇V ) = 0,
que se reduce a la ecuación de Laplace para medios ho-
mogéneos e isótropos.
Las condiciones de contorno que se deben aplicar en
la superficie de separación entre dos regiones con distintas
propiedades de conducción son dos:
(i) Continuidad de la componente tangencial del campo
eléctrico en cualquier superficie,
�n×
[
�E
]
= 0 ⇒ E1t = E2t,
siendo los sub́ındices indicativos de cada medio.
(ii) Conservación de la carga almacenada en la superficie en
régimen estacionario, particularizada para una situación sin
corrientes superficiales �S (ver tema 2),
�n · [�] = 0 ⇒ j1n = j2n.
Según estas condiciones, entre dos medios con distinta
conductividad se produce un cambio en la dirección del
campo eléctrico y, consecuentemente, de la densidad de
corriente. En efecto, se cumple a la vez E1t = E2t y
σ1E1n = σ2E2n; si θ1 y θ2 son los ángulos que forma la
normal con los campos a un lado y a otro de la frontera, se
tendrá, dividiendo miembro a miembro y teniendo en cuen-
ta que Et/En es la tangente del ángulo definido en cada
medio,
tan θ1
σ1
=
tan θ2
σ2
.
n
E1
σ1
θ1
θ2
σ2
E2
Según esta fórmula, la corriente se hace más perpendicular
a la superficie de separación en el medio de menor conduc-
tividad, tanto más cuanto mayor sea la razón entre conduc-
tividades.
• Concepto de resistencia
Dada una pieza de un material óhmico sobre la que dos
electrodos hacen contacto en superficies S1 y S2, definimos
su resistencia como la razón entre la diferencia de potencial
aplicada entre ambos electrodos y la intensidad que fluye a
la pieza desde el electrodo a mayor potencial.
Según la nomenclatura de la figura, la resistencia es
R =
V1 − V2
I
.
�(r)
S1
S2
V1
V2
S3
n
I
I
La resistencia se mide en el sistema internacional en
ohmios (Ω), equivalente a un voltio/amperio. Su inverso
se denomina conductancia: G = 1/R, y la unidad corres-
pondiente es el siemens, como ya adelantamos.
Vamos a demostrar que la resistencia tiene un valor in-
dependiente de la diferencia de potencial aplicada. La con-
figuración que estamos analizando es un caso particular e
importante de lo visto en el apartado anterior, caracteriza-
da por el aislamiento de una región conductora excepto en
los contactos con los electrodos. La situación permite plan-
tear un problema cerrado, con solución única independiente
de los campos en el exterior de la pieza. Aunque no sea
en absoluto necesario, vamos a suponer que la conductivi-
dad es constante en toda la pieza conductora. Entonces el
potencial verifica la ecuación de Laplace,
∇2V = 0.
La resolución requiere especificar el valor de la función
incógnita o el de su derivada normal en cada punto de la
superficie de la pieza3. Las condiciones que imponemos son:
(i) En las superficies S1 y S2 los potenciales están fijados a
V1 y V2 respectivamente, es decir, V (S1) = V1, V (S2) = V2.
Esto se consigue mediante la aplicación a dichas superficies
de electrodos conectados a los bornes de un generador. Di-
chos terminales deben estar hechos de un material de con-
ductividad σ1 mucho mayor que el de la pieza, σ2, para
asegurar que el potencial en ellos sea uniforme, puesto que
según la ley de refracción de las ĺıneas de campo que he-
mos encontrado se tendrá tan θ2/ tan θ1 = σ2/σ1 << 1, con
lo que la ĺınea de campo eléctrico es virtualmente perpen-
dicular al electrodo y estos puntos de contacto poseen un
potencial muy similar.
(ii) En la superficie S3 imponemos que no hay flujo salien-
te de carga ni acumulación �2 · �n = 0. También se puede
escribir
∂V
∂n
(S3) = 0.
3En el caso más general de una conductividad variable con la posición, y dado que siempre es σ > 0, el problema planteado para el potencial
es de tipo eĺıptico. Esta clase de problemas requiere el mismo tipo de condiciones de contorno que la ecuación de Laplace.
72
Las condiciones anteriores son de tipo mixto, y existe un
teorema de existencia y unicidad para la solución en la re-
gión conductora. Es interesante notar que en general tam-
bién existe campo eléctrico en la región exterior al conduc-
tor, pero no necesitamos conocerlo para encontrar el campo
en el interior.
Si consideramos el problema auxiliar dado por las mismas
ecuaciones en volumen y las condiciones V1 = 1 y V2 = 0,
y llamamos ϕ(�r) a la solución de este problema, la solución
del original se puede escribir
V (�r) = (V1 − V2)ϕ(�r) + V2.
La intensidad de corriente que atraviesa la superficie S1 ha-
cia el interior de la pieza es
I = −
∫
S1
� · d�S =
∫
S1
σ
∂V
∂n
dS =
(V1 − V2)
∫
S1
σ
∂ϕ
∂n
dS =
V1 − V2
R
.
La integral que aparece depende de la geometŕıa de la pie-
za, de la conductividad y de la posición de los electrodos,
pero no de la diferencia de potencial. Su inverso es lo que
denominamos resistencia de la pieza para los terminales es-
pecificados. Hay que insistir en que no puede asignarse a
una pieza conductora una resistencia sin antes especificar
las conexiones a electrodos que se estén considerando.
También es interesante notar que la intensidad que en-
tra por la superficie S1 es la que abandona la pieza por S2,
debido a que por ser �∇ · � = 0 se tiene∫
Sτ
� · d�S =
∫
S1
jn · dS +
∫
S2
jn · dS +
∫
S3
jn · dS = 0
y en S3 es jn = 0.
Ejercicio: Plantéese el problema de una pieza conductora con tres
electrodos a distinto potencial y obténgase una descripción de este
elemento en términos de una generalización del concepto de resisten-
cia.
Ejemplo:
Calcúlese la resistencia de un hilo de un material homogéneo de con-
ductividad σ, de sección arbitraria de área S y de longitud d, respecto
de conexiones en sus extremos.
Dado que en la superficie lateral no puede haber componente nor-
mal de la densidad de corriente (jn = 0), proponemos campos �E y �
longitudinales, es decir �E = Ex(x, y, z)�ux, siendo �ux un vector en la
dirección del hilo. De la ecuación �∇× �E = 0 se deduce
∂Ex
∂y
=
∂Ey
∂x
= 0 ⇒ Ex �= Ex(y),
∂Ex
∂z
=
∂Ez
∂x
= 0 ⇒ Ex �= Ex(z),
lo cual implica que sólo es posible en todo caso una dependencia del
campo con la coordenada x. Por la ley de Ohm también se tendrá
� = σ �E = jx(x)�ux, y como �∇ · � = 0 resulta ∂jx/∂x = 0, es decir,
la densidad debe ser uniforme en todo punto del material. Si I es la
intensidad de corriente y ∆V la diferencia de potencial,
∆V =
∫
�E · d�r = jx
σ
d =
I
Sσ
d ⇒ R = ∆V
I
=
d
Sσ
.
Esta fórmula es bien conocida y establece que la resistencia de un hilo
es proporcional a su longitud y al inverso de su sección.
Ejemplo:
Calcúlese la resistencia de unapieza conductora de conductividad ho-
mogénea σ, con forma de sector de corona circular, tal y como se indica
en la figura, cuando se aplican electrodos muy conductores en (a) las
superficies S1 y S2; (b) las superficies S3 y S4.
��
S1
S2
b
S3
a S4
d0
Dado que en las caras planas S5 y S6 la densidad de corriente debe
ser tangencial, si tomamos coordenadas ciĺındricas según se muestra
en la figura, es razonable intentar una solución en la que los campos
sean independientes de la coordenada z (distribución uniforme en todo
el espesor e). Esta suposición es común a los apartados (a) y (b).
(a) Si los contactos eléctricos se realizan en las superficies S1 y S2,
proponemos una distribución radial,
� = j(r, φ)�ur ,
con lo cual la condición jn = 0 en S3 y S4 se verifica de manera
trivial, mientras que la corriente y el campo eléctrico son perpendi-
culares a los electrodos aplicados, que son equipotenciales. Dada la
forma propuesta para la corriente y teniendo el cuenta la ley de Ohm,
el campo eléctrico debe ser también del tipo �E = E(r, φ)�ur . La ecua-
ción �∇× �E = 0 se escribe en ciĺındricas
1
r
∣∣∣∣∣
�ur r�uφ �uz
∂/∂r ∂/∂φ ∂/∂z
E(r, φ) 0 0
∣∣∣∣∣ = 0,
es decir, se debe cumplir ∂E/∂φ = 0, y ni el campo eléctrico ni la
densidad de corriente dependen de la coordenada φ. Por otro lado
�∇ · � = 0 se satisface si se cumple
1
r
∂(rj)
∂r
= 0.
Como r �= 0 en el conductor, debe ser rj(r) = C, con C constante. Si
calculamos la corriente que pasa por una sección caracterizada por el
valor r de la coordenada radial podemos relacionar C con la intensidad
que atraviesa la pieza:
I =
∫
S(r)
� · d�S =
∫ e
0
dz
∫ φ0
0
dφrj(r) = eφ0C.
La densidad de corriente y el campo eléctrico quedan
� =
I
eφ0r
�ur ; �E =
I
σeφ0r
�ur.
Si la diferencia de potencial entre ambos electrodos es V0, la circu-
lación radial de �E nos suministra la relación intensidad–voltaje que
necesitamos para hallar la resistencia:
V0 =
∫ b
a
�E · d�r = I ln(b/a)
σeφ0
→ R = V0
I
=
ln(b/a)
σeφ0
.
(b) Si los electrodos se aplican a las superficies S3 y S4 proponemos
una distribución de corriente del tipo
� = j(r, φ)�uφ,
73
que es tangencial a todas las superficies excepto las dos en las que se
aplican los electrodos, donde es perpendicular. La condición �∇ ·  = 0
conduce a (1/r)∂j/∂φ = 0, es decir, � = j(r)�uφ. Por otra parte la con-
dición �∇× �E = 0 implica, usando de nuevo la expresión del rotacional
en ciĺındricas, rE(r) = C. La intensidad a través de cualquier sección
definida por un valor del ángulo φ da
I =
∫ e
0
dz
∫ b
a
dr
Cσ
r
= eCσ ln(b/a),
mientras que la circulación entre electrodos a lo largo de cualquier arco
de circunferencia de radio r fijado conduce a
V0 =
∫ φ0
0
rdφ
C
r
= Cφ0.
Combinando ambos resultados para eliminar C obtenemos
R =
V0
I
=
φ0
eσ ln(b/a)
.
Con este ejemplo se comprueba que la resistencia depende de la
colocación de los electrodos.
Existe una estrecha analoǵıa entre problemas de conducto-
res en el vaćıo y en un medio conductor homogéneo ilimita-
do. En efecto, en ambos casos podemos definir un potencial
eléctrico que satisface la ecuación de Laplace y cuyo valor es
constante en cada conductor. La distribución de potencial
entre las piezas da lugar a una distribución de corrientes en
el segundo caso. Esto puede ser utilizado como medio de
obtener la capacidad de un sistema de dos conductores con
cargas opuestas a partir de la medida experimental de la re-
sistencia al sumergir los conductores en una cubeta amplia
llena de un ĺıquido conductor (ver figura).
σ
V0
La intensidad que fluye del conductor 1 es
I1 =
∮
S1
� · d�S = σ
∮
S1
�E · d�S,
mientras que la carga correspondiente a ese conductor en el
vaćıo es
q1 = ε0
∮
S1
�E · d�S,
siendo el campo eléctrico integrado el mismo en ambos casos
puesto que procede del mismo problema de potencial. Como
I1 = ∆V/R y q1 = C∆V respectivamente, se deduce que
RC = ε0/σ. De la medida de ∆V e I mediante volt́ımetro y
ampeŕımetro obtenemos R y usando la fórmula encontrada
hallamos C. Este método es sólo aproximado puesto que
la analoǵıa entre ambos problemas es rigurosamente cierta
únicamente si la cubeta es ilimitada y los electrodos tienen
conductividad infinita.
• Potencia disipada en un conductor (efecto Joule)
En el tema 2 vimos que sobre una distribución de porta-
dores de carga el campo electromagnético realiza un trabajo
por unidad de tiempo y volumen dado por la fórmula
dW
dτdt
= � · �E.
En medios óhmicos se tiene una relación lineal entre ambos
vectores, con lo que la potencia eléctrica, invertida exclu-
sivamente en calor aportado al medio si el régimen no es
variable con el tiempo, se puede expresar
P =
∫
τ
σE2dτ =
∫
τ
j2
σ
dτ.
En el caso de una pieza conductora conectada a dos elec-
trodos a distinto potencial se tendrá
P =
∫
τ
dτ� · �E = −
∫
dτ� · �∇V = −
∫
dτ �∇ · (V �),
donde se ha usado la identidad �∇ · (V �) = � · �∇V + V �∇ · �
y que � es solenoidal. La integral de volumen se transfor-
ma a su vez en una de superficie usando el teorema de la
divergencia, con lo cual
P = −
∮
Sτ
V � · �ndS.
El integrando se anula en toda la superficie salvo en las re-
giones S1 y S2, que están en contacto con los electrodos,
puesto que fuera de estas se cumple jn = 0. En S1 y S2 el
potencial es constante y puede salir fuera de la integral. La
integral restante se puede escribir
P = −V1
∫
S1
jndS − V2
∫
S2
jndS = I(V1 − V2),
dado que la integral sobre S2 es la intensidad que abandona
la pieza, y coincide con el opuesto de la integral sobre S1.
Usando el concepto de resistencia se llega a la equivalencia
de las siguientes fórmulas:
P = I∆V =
∆V 2
R
= I2R.
Ejercicio: Aplicación del teorema de Poynting
Recordemos el teorema de Poynting, establecido en el tema 2:
−
∫
τ
� · �E dτ = d
dt
∫
τ
(uE + uB) dτ +
∮
Sτ
�P · d�S.
74
Podemos aplicar el teorema de Poynting a una porción de hilo recto
y obtener de forma alternativa a lo anterior la potencia disipada en ca-
lor. El campo eléctrico E = V/d (d longitud del tramo a potencial V )
es uniforme y constante en el interior, por lo que la densidad de enerǵıa
eléctrica es también constante uE = 0E
2/2. El campo magnético pro-
ducido, tanto dentro como fuera, por la distribución de corriente fue
calculado en el tema 3. Teniendo en cuenta que j = σE = I/(πR2),
siendo R el radio del hilo, escribimos aquel resultado eliminando I:
�B =


µ0σEr
2
�uφ (interior)
µ0σER2
2r
�uφ (exterior)
La densidad de enerǵıa magnética será uB = µ0B
2
int/2, también cons-
tante. En el teorema de Poynting manejamos las derivadas tempora-
les de estas enerǵıas, que resultan ser cero. El trabajo por unidad de
tiempo realizado por las fuerzas electromagnéticas debe ser opuesto
entonces al flujo del vector de Poynting a través de las fronteras del
elemento tomado. El cálculo es∮
∂τ
�P · d�S =
∮
∂τ
1
µ0
(�E × �B) · d�S.
El producto vectorial da un vector radial y entrante en el elemen-
to, de módulo µ0σE2R/2 al ser evaluado en la superficie lateral
(r = R). En las tapaderas el vector de Poynting es paralelo a
la superficie y no hay contribución al flujo. El resultado final es
−(σE2R/2)2πRd = −(σEπR)(Ed) = −IV . Su opuesto coincide con
el resultado ya obtenido. Las fuerzas electromagnéticas realiza un tra-
bajo positivo que se transforma en calor.
Resulta paradójico que el tramo de conductor reciba un flujo de
enerǵıa a través de su superficie lateral, cuando lo intuitivo es suponer
que lo recibe a través de una sección (lo mismo que la carga). Esto
no obstante nos dice simplemente que la magnitud importante no es
el vector de Poynting, sino su integración sobre una superficie cerra-
da (nótese que si a �P le sumamos un campo solenoidal arbitrario el
teorema de Poynting no cambia, pero śı el propio campo).
• Generadores. Concepto de fuerza electromotriz
Hemos aludido con frecuencia a los generadores como dis-
positivos capaces de (i)mantener una pieza conductora a
un potencial dado, y (ii) establecer un régimen de corriente.
Es tiempo ya de caracterizarlos con más detalle.
Un generador es un dispositivo en cuyo interior los porta-
dores de carga libre se ven sometidos a fuerzas de origen no
electrostático. Estas fuerzas pueden ser mecánicas, como
ocurre en el generador de Van der Graaf, en el que las cargas
se separan al ser depositadas en una cinta móvil aislante, o
en las centrales eléctricas, en las que un fluido en movimien-
to actúa sobre un sistema rotante (dinamo) en presencia de
un campo magnético; o pueden ser qúımicas, como es el ca-
so de las pilas, en las que la separación de carga se produce
por la existencia de especies de distinto potencial qúımico.
Sea cual sea el mecanismo f́ısico responsable, el generador
se caracteriza por ser capaz de producir una separación de
cargas libres en su interior, y por tanto de establecer una di-
ferencia de potencial entre sus extremos, llamados bornes.
Si la fuerza que actúa sobre cada portador es �f , se tendrá
un campo no electrostático dado por �E′ = �f/e, siendo e
la carga de un portador. Este campo produce una fuerza
electromotriz
ε =
∫ B
A,γi
�E′ · d�r,
siendo A y B los puntos extremos correspondientes a los
bornes del generador (ver figura). El camino γi es interior.
A
generador
B
�i
�e
circuito
+
+
+
+
-
-
-
-
E’
E
El significado f́ısico de ε no debe confundirse con un tra-
bajo por unidad de carga realizado sobre un sólo portador,
puesto que en un instante determinado se integra sobre dis-
tintos portadores distribuidos a lo largo del circuito. Es más
bien la suma de trabajos elementales por unidad de carga
realizados en el circuito.
Dado que se produce una separación de carga por la ac-
ción del campo no electrostático �E′, se establece en todo
el espacio un campo electrostático �E debido a estas distri-
buciones. Entre los puntos A y B, podemos expresar la
diferencia de potencial tomando caminos internos o externo
al generador:
VB − VA = −
∫ B
A,γe
�E · d�r = −
∫ B
A,γi
�E · d�r
puesto que al tratarse de un campo electrostático hay in-
dependencia respecto del camino elegido. Por otro lado si
el generador se comporta como un medio óhmico se tendrá
dentro de él
� = σ( �E + �E′) ⇒ �E = �
σ
− �E′.
Sustituyendo en la ecuación anterior se tiene
VB − VA = −
∫ B
A,γi
(
�
σ
− �E′
)
· d�r = −IRg + ε
siendo I la intensidad que lo atraviesa de A a B y Rg su
resistencia interna. Si el generador está conectado a una
resistencia R también se tendrá VB − VA = IR, con lo que
la intensidad que atraviesa el circuito cumple la ecuación
ε = I(R+Rg).
En conclusión, hay dos parámetros que caracterizan a un
generador: su fuerza electromotriz y su resistencia interna.
La diferencia de potencial capaz de establecer entre sus bor-
nes depende linealmente de la intensidad que lo recorre. Si
no pasa intensidad la diferencia de potencial es ε. Si la re-
sistencia interna es despreciable se dice que el generador es
ideal, y la tensión entre bornes es constante.
75
Es necesario tener presente que el modelo de generador
presentado aqúı descansa en la suposición de que se trata
de un medio óhmico, lo cual en muchos casos no es cierto.
Sin embargo la conclusión fundamental de que la diferen-
cia de potencial entre bornes es lineal con la intensidad se
aplica a muchos generadores que no cumplen localmente la
ley de Ohm. En tales casos aún podemos caracterizar el
dispositivo mediante los parámetros ε y Rg.
En todo lo anterior estamos suponiendo que las cargas
separadas en el generador vaŕıan lentamente y nos encon-
tramos en un régimen cuasiestático. En otro caso debemos
hablar más bien de un emisor de radiación, para el cual no
es posible definir una diferencia de potencial entre bornes.
Ejemplo:
Un generador de corriente continua puede ser construido con una pieza
conductora en forma de corona circular de radios interior y exterior a
y b respectivamente, y de espesor d, que gira con velocidad angular ω
respecto del eje central y se encuentra en una región en la que existe
un campo magnético uniforme y constante �B0 dirigido según dicho eje.
La conductividad del material es σ. Obténganse los parámetros que
caracterizan a este generador.
b
a d
rv
B0�
-
+
Los parámetros son su fuerza electromotriz y su resistencia interna.
Los portadores de carga libre están en movimiento de giro uniforme,
por lo que su velocidad será �v = ω× �r. La fuerza electromotriz proce-
de del bombeo de carga que desde el radio interior al exterior produce
la fuerza magnética. Según la fórmula de Lorentz, la fuerza sobre un
portador de carga es �f = q�v × �B, y por tanto la fuerza por unidad de
carga, �E′ = �v × �B = ωrB0�ur . Integrando desde el radio interior al
exterior,
ε =
∫ b
a
�E′ · d�r = ωB0
2
(b2 − a2).
El otro parámetro es la resistencia interna del disco que actúa como
generador. Esta geometŕıa ya ha sido analizada, de forma más gene-
ral, en un ejemplo anterior (aqúı el ángulo seŕıa φ0 = 2π); por tanto
escribimos directamente aquella solución:
Rg =
ln(b/a)
2πσd
.
6.3 Inducción en espiras conductoras
Hasta ahora nos hemos ocupado de los fenómenos pura-
mente eléctricos que tienen lugar en presencia de conducto-
res, con particular énfasis en situaciones independientes del
tiempo. A continuación abordamos el análisis de fenómenos
magnéticos en presencia de conductores.
Si en un material conductor se establece un régimen de
corrientes éste da lugar a campos magnéticos fuera y dentro
del material, que sabemos calcular a partir de las fórmulas
encontradas en el tema 3 si la situación es independiente del
tiempo o lentamente variable con él (recuérdese la discusión
sobre los ĺımites de validez de la cuasimagnetostática). Pa-
ra ello es necesario conocer la densidad de corriente en todo
punto del espacio. En un sistema de conductores con ge-
neradores capaces de establecer corrientes estacionarias los
pasos a seguir seŕıan: (i) encontrar el régimen de corrientes
mediante un problema de potencial en los conductores; (ii)
obtener los campos magnéticos a partir de la distribución
de corriente.
Sin embargo si los generadores presentes establecen
reǵımenes variables en el tiempo, con variación no suficiente-
mente lenta, el problema que se plantea es resolver las ecua-
ciones de Maxwell, y la obtención de los campos eléctrico
y magnético debe ser simultánea al ser uno fuente del otro.
Una situación de este tipo es la ĺınea de transmisión, que se
analizará en el tema 9.
Existe una configuración de conductores de especial re-
levancia por su capacidad de almacenar enerǵıa magnética
con pocas pérdidas por efecto Joule, y que tienen un amplio
uso tecnológico. Se trata de los sistemas de espiras con-
ductoras. En la figura se muestra una situación general de
n espiras de resistencia Ri alimentadas por generadores que
suministran fuerzas electromotrices εi(t).
ε1(t)
εn(t)
ε2(t)
I (t)1
I (t)n
I (t)2
R1
Rn
R2
El problema que nos planteamos es analizar el régimen de
corriente que se establece en cada una de las espiras. El
agente motor de los portadores de carga en cada espira será
en general a la f.e.m. del generador correspondiente, pero
hay que tener en cuenta una fuerza electromotriz debida a
la variación del flujo magnético total a través de cada espi-
ra. En efecto, según se vio en el tema 2, la forma integral
de la ley de Faraday es∮
γS
�E · d�r = − d
dt
∫
S
�B · d�S = −dΦ
dt
,
siendo γS cualquier ĺınea cerrada en el espacio y Φ =∫
S
�B · d�S el flujo magnético a través de cualquier super-
ficie S que se apoye en la ĺınea. La expresión anterior tiene
76
un significado f́ısico especial cuando se aplica a circuitos de
corriente, y no a una ĺınea arbitraria γS , puesto que enton-
ces el primer miembro es la fuerza electromotriz que actúa
sobre los portadores de carga debida a la existencia de un
flujo magnético variable, es decir, debemosañadir a la f.e.m.
del generador la magnitud εem = −dΦ/dt. La ley de Fara-
day aśı aplicada se conoce como la regla del flujo. Di-
cho flujo puede variar indistintamente: (a) porque el campo
magnético sea variable en el tiempo, (b) porque el circuito
sea móvil y/o deformable, y (c) por ambas causas a la vez.
Ejemplo: Campo variable; espira fija.
Un rotor ciĺındrico alimentado por una corriente trifásica produce en
su interior un campo magnético aproximadamente uniforme en su eje,
pero que gira con frecuencia constante en torno a éste. ¿Qué f.e.m.
se induce en una espira introducida en el rotor con uno de sus lados
paralelos al eje del cilindro?
Caracterizamos el campo magnético establecido dentro del rotor,
con eje según �uz mediante la fórmula
�B(�r, t) = B0(cos(ωt)�ux + sen(ωt)�uy),
y la espira la tomamos con lados a y b y vector normal en la dirección
de �uy . Con ninguna de estas suposiciones se pierde generalidad en el
problema, puesto que cualquier otra orientación relativa entre campo
y espira equivale a cambiar de origen de tiempos. El flujo magnético
a través de la espira resulta
Φ =
∫
S
�B(t) · d�S =
∫
S
B0sen(ωt)dS = B0ab sen(ωt).
La f.e.m. originada en la espira es
ε = −dΦ
dt
= −abωB0 cos(ωt).
Es muy interesante observar cómo esta f.e.m. produce siempre una
corriente en un sentido tal, que el campo magnético asociado a ella
produce un flujo que se opone a la variación de flujo ocurrida en la es-
pira (compruébese en el ejemplo). En otras palabras, el flujo se resiste
a cambiar. Esto es general y se conoce como ley de Lenz.
Ejemplo: Campo constante; espira variable.
Una espira rectangular de área S gira con velocidad uniforme ω en
torno a un eje central coplanario, en el seno de un campo magnético
�B0, uniforme y constante, perpendicular al eje de giro. ¿Cuál es la
f.e.m. de origen electromagnético?
n
B0
�
�� �t
El flujo magnético depende de la orientación relativa entre el vector
normal a la superficie �n y el campo �B0. Ambos forman un ángulo
α(t) = ωt + α0. Por tanto
Φ(t) =
∫
S
�B · d�S = B0 S cos(ωt + α0).
La f.e.m. será entonces
εem = −dΦ
dt
= B0Sω sen(ωt + α0).
Estos dos casos idealizan la forma habitual de obtener corrien-
te alterna a partir de la enerǵıa mecánica (salto de agua, centrales
térmicas), que consiste en poner en movimiento relativo de giro una
espira (o mejor un bobinado) en presencia de un campo magnético
producido por potentes imanes.
Ejemplo:
Una barra conductora de longitud L gira con velocidad constante �ω en
torno a uno de sus extremos, según un eje perpendicular a la misma.
La barra está situada en el seno de un campo magnético constante
y uniforme �B, que apunta en la misma dirección que �ω. Hállese la
diferencia de potencial creada entre los extremos O y P.
B
�
�� �t
O
P
Q
Debemos encontrar la fuerza electromotriz que establece la sepa-
ración de cargas en la barra. Por tratarse de un circuito abierto
esta f.e.m. coincide con la d.d.p. que se mide entre sus extremos:
VP − VO = ε. Podemos hacer el cálculo de dos maneras, aunque una
de ellas resulta un poco sorprendente.
En primer lugar aplicamos la definición de f.e.m., teniendo en cuenta
que la fuerza que actúa sobre los portadores de carga es
�F = q�v × �B = q(�ω × �r) × �B = qωrB�ur .
Por tanto,
ε =
∫ P
O
(�F/q) · d�r =
∫ L
0
ωBrdr = ωBL2/2.
Una segunda opción es aplicar la regla del flujo, aunque se nos plan-
tea la duda de cuál es el circuito sobre el que hay que definir la super-
ficie de aplicación. Hay que recordar que dicha regla es consecuencia
de la ley de Faraday en forma integral, y que por tanto no es necesario
que exista un circuito material, sino cualquier ĺınea cerrada sobre la
cual hacer circular el campo eléctrico. Tomamos pues una ĺınea co-
mo la indicada en la figura, que en parte es material (tramo PO) y
en parte es ficticia y arbitraria (tramos OQ y QP). Un elemento de
superficie es d�S = rdr dφ�uz . El flujo del campo magnético es
Φ =
∫
�B · d�S = B
∫ L
0
rdr
∫ α(t)
0
dφ =
1
2
BL2α(t).
Por tanto,
ε = −dΦ
dt
= −dα
dt
BL2/2 = −ωBL2/2 = VO − VP .
El resultado es independiente de cómo elegimos los tramos ficticios.
Nótese también que la circulación del campo eléctrico impĺıcita en
la regla del flujo, compatible con la orientación de los elementos de
superficie según la regla de la mano derecha, hace que la diferencia
de potencial calculada sea la opuesta a la del primer método, lo cual
resulta congruente.
77
Existe un tercer método, consistente en calcular el campo eléctrico
que mide un observador que se mueve con cada elemento del circuito,
y calcular su circulación. El campo local medido seŕıa, según vimos
en el tema 2 (transformación de los campos) �E′ = �E +�v× �B = �v× �B.
Este cálculo coincide con el del primer método.
• Coeficientes de inducción. Fórmula de Neumann.
Para continuar con el planteamiento del problema de la
corriente a través de un sistema de n espiras conveniente
introducir unas nuevas magnitudes, denominadas coeficien-
tes de inducción. En el sistema de la primera figura de esta
sección tenemos intensidades Ii, con i = 1, 2, . . . , n que reco-
rren las espiras descritas por los contornos γi. Cada espira
produce un campo �Bi = �∇× �Ai, con �Ai el potencial vector
magnético asociado a la espira i-ésima, que está dado por
�Ai(�r) =
µ0Ii
4π
∮
γi
d�r1
|�r − �r1| .
El campo total en todo el espacio será
�B =
n∑
i=1
�Bi =
n∑
i=1
�∇× �Ai
y su flujo a través de la espira j-ésima es
Φj =
∫
Sj
�B · d�S =
n∑
i=1
∫
Sj
(�∇× �Ai) · d�S =
n∑
i=1
∮
γj
�Ai · d�r,
donde en el último paso hemos hecho uso del teorema de
Stokes. Sustituyendo la expresión para �Ai resulta
Φj =
µ0
4π
n∑
i=1
Ii
∮
γj
∮
γi
d�ri · d�rj
|�rj − �ri|
(para mayor claridad en la notación se ha hecho expĺıcita
con un sub́ındice la pertenencia de cada variable de integra-
ción a la espira correspondiente).
El hecho fundamental que pone de manifiesto la fórmula
anterior es que existe una relación lineal entre los flujos a
través de las espiras y las intensidades que las recorren. El
flujo depende no sólo de la propia intensidad, sino de todas
las intensidades existentes en el sistema de espiras. Pode-
mos escribir la fórmula anterior como
Φj =
n∑
i=1
LjiIi
donde se definen los coeficientes de inducción mediante
la denominada fórmula de Neumann:
Lji =
µ0
4π
∮
γj
∮
γi
d�ri · d�rj
|�ri − �rj | = Lij
(es evidente por su definición que se trata de coeficientes
simétricos en los ı́ndices). Se trata de una serie de magni-
tudes puramente geométricas, que dependen exclusivamente
de cada par de espiras involucradas en la fórmula. La unidad
de los coeficientes de inducción en el Sistema Internacional
es el henrio (H); se tiene que 1 H = 1 Wb/A.
La fórmula de Neumann permite el cálculo de los coefi-
cientes de inducción mutua (Lij con i �= j), pero diver-
ge cuando se trata de los coeficientes de autoinducción
(Lii), puesto que en tal caso el integrando presenta singula-
ridades por coincidir los dos caminos de integración.
Al igual que existe linealidad entre cargas y potenciales en
sistemas de conductores en equilibrio electrostático se tiene
ahora linealidad entre flujos e intensidades en un sistema
de espiras conductoras. Siguiendo esa analoǵıa, podemos
construir una matriz simétrica, denominada matriz de in-
ducción, cuyos elementos seŕıan los coeficientes Lij .
Ejemplo:
Obténganse los coeficientes de autoinducción de (a) un solenoide to-
roidal de sección rectangular y (b) un solenoide recto.
En el tema 3 se obtuvieron los campos magnéticos creados en el in-
terior de solenoides toroidales y solenoides rectos. Para hallar L basta
tener en cuenta que un bobinado de N vueltas constituye una espira
no simple que puede ser descompuesta en N espiras simples. Por tan-
to el flujo total a través de una superficie que se apoye en el bobinado
es la suma de flujos a través de N secciones del solenoide.
(a) Solenoide toroidalde sección rectangular: si se tienen N espiras
recorridas por una intensidad I, con radios interior y exterior de la
sección rectangular a y b respectivamente, y altura h, el campo es
�B =
µ0NI
2πr
�uφ,
y el flujo a través de una sección también se calculó, dando como
resultado Φ = µ0NIh ln(b/a). El coeficiente de autoinducción será
entonces
L = NΦ/I =
µ0N2h
2π
ln(b/a).
(b) Solenoide recto: si también tenemos N vueltas, y para cualquier
tipo de sección, de área S, el campo es �B = �uzµ0NI/L, según se vio
en el tema 3. El flujo es simplemente Φ = Sµ0NI/L y el coeficiente
de autoinducción,
L = NΦ/I = µ0N
2S/L.
En todo este último cálculo estamos impĺıcitamente despreciando los
efectos de borde.
• Ecuaciones de evolución para un sistema de espiras
fijas.
Para el sistema de n espiras descrito anteriormente pode-
mos establecer ahora las ecuaciones de evolución temporal
Ii(t) de las intensidades que recorren las espiras. Para el
circuito i-ésimo se tiene
εg,i + εm,i = IiRi,
siendo εg,i la f.e.m. del generador, εm,i la f.e.m. de in-
ducción magnética, dada por la regla del flujo, y Ri la re-
sistencia total de la espira (incluida la interna del genera-
dor). Usando que εm,i = −dφm,i/dt y expresando el flujo
en función de las intensidades mediante los coeficientes de
inducción tenemos
εg,i(t) =
n∑
j=1
Lij
dIj
dt
+ Ii(t)Ri, i = 1, . . . , n.
78
Se trata de un sistema lineal inhomogéneo de n ecuaciones
diferenciales en la variable t ordinarias y de primer orden.
Su resolución requiere conocer la dependencia temporal de
las n funciones εg,i y el valor de las n intensidades en t = 0.
• Enerǵıa almacenada en un conjunto de espiras.
Hemos definido en el tema 2 la densidad volumétrica de
enerǵıa almacenada en un campo magnético como la canti-
dad B2/(2µ0). Posteriormente, en el tema 3 se dedujo una
fórmula alternativa para la enerǵıa almacenada en espiras,
aplicable a reǵımenes de corriente estacionaria, a saber
UB =
1
2
n∑
i=1
Iiφi.
Sin embargo podemos extender su aplicabilidad a situacio-
nes en las que las corrientes vaŕıan lentamente (cuasimag-
netostática).
La enerǵıa magnética de un sistema de espiras puede ser
expresada en función de los coeficientes de inducción y las
intensidades sustituyendo en lo anterior los flujos, con lo
que resulta
UB =
1
2
n∑
i,j=1
LijIiIj .
Se trata de una forma bilineal en las intensidades,
análogamente a lo que se encontró en el tema 4 para la
enerǵıa electrostática de un sistema de conductores. Tam-
bién puede obtenerse una expresión en función de los flujos
a través de cada espira, pero esto es menos usual.
Ejercicio:
Demuéstrese que el trabajo necesario para establecer un régimen de co-
rriente estacionario se emplea en parte en almacenar enerǵıa magnética
y el resto se transforma en calor por efecto Joule.
Partimos de las ecuaciones de evolución para las intensidades que
hemos deducido. Multiplicando la ecuación de cada espira por la in-
tensidad correspondiente y sumándolas todas se tiene
n∑
i=1
Iiεg,i =
n∑
i=1
n∑
j=1
Lij
dIj
dt
Ii +
n∑
i=1
I2i Ri, i = 1, . . . , n.
Podemos hacer una interpretación energética de cada término que apa-
rece en la ecuación anterior. Identificamos en el primer miembro la su-
ma de potencias suministradas al sistema por los generadores. Parte
de esta potencia se pierde en calor por efecto Joule, lo cual queda re-
flejado en el último término del segundo miembro. El término restante
debe entonces entenderse como la parte de potencia suministrada que
se emplea en establecer el campo magnético en todo el espacio (o bien,
visto de otro modo, el trabajo por unidad de tiempo necesario para
establecer el régimen de corriente en las espiras). Una vez establecido
el régimen de corrientes el trabajo total empleado en el proceso, que
comienza con intensidad nula en t = 0 y acaba en el instante tf , será
W ′ =
∫ tf
0
dt
n∑
i=1
n∑
j=1
Lij
dIj
dt
Ii.
Teniendo en cuenta que Lij = Lji, podemos manipular el integrando
del siguiente modo:
n∑
i,j=1
Lij
dIj
dt
Ii =
n∑
j,i=1
Lji
dIi
dt
Ij =
n∑
i,j=1
Lij
dIi
dt
Ij =
1
2
n∑
i,j=1
Lij
(
dIi
dt
Ij +
dIj
dt
Ii
)
.
En el paréntesis aparece la derivada temporal del producto IiIj , por
lo que el resultado final es
W ′ =
1
2
n∑
i,j=1
LijIiIj ,
donde las intensidades están evaluadas en el instante tf a partir del
cual ya no hay evolución apreciable. Efectivamente, este trabajo coin-
cide con la expresión propuesta como enerǵıa magnética almacenada
en el sistema de espiras.
6.4 Fundamentación de la Teoŕıa de Cir-
cuitos
Una vez que hemos introducido los conceptos de generador,
condensador, resistencia y autoinducción estamos en condi-
ciones de establecer la teoŕıa de circuitos. Comenzaremos
con un caso particular y más sencillo, correspondiente a un
circuito formado por resistencias que son alimentadas por
generadores de corriente continua. Más tarde se generali-
zará esta situación al caso en que los generadores suminis-
tran corrientes variables en el tiempo y los circuitos están
integrados por otros elementos.
• Leyes de Kirchhoff para circuitos estacionarios.
Consideremos un generador de corriente continua cuyos
bornes están conectados a los extremos de una resistencia
R. Se establece una corriente de intensidad I en este circui-
to, que es el más sencillo que podemos imaginar. Entre los
extremos del generador se establece una d.d.p. que vendrá
dada por V = ε− Ir, siendo ε y r la f.e.m. y resistencia in-
terna del generador respectivamente. Por otro lado V es la
cáıda de tensión entre los extremos de la resistencia (re-
cordemos que esta cáıda es el potencial antes de atravesar
la resistencia menos el potencial al salir, según el sentido
marcado por la corriente), que viene dada por V = IR.
Igualando ambas expresiones para V se tiene ε = I(r +R),
de donde se puede obtener la intensidad.
La situación anterior se complica si hay varios generado-
res y resistencias conectados de tal forma que la corrien-
te eléctrica puede tomar múltiples caminos. Una situación
t́ıpica podŕıa ser la esquematizada en la figura.
R1 R2 R3R4
R5
ε1 ε2
ε3
Un nodo es un punto en el que la corriente puede bifurcar-
se. Una rama del circuito anterior la constituye cualquier
79
porción del circuito entre dos nodos consecutivos. Cual-
quier camino cerrado dentro del circuito se denomina ma-
lla. Siempre podemos determinar un conjunto mı́nimo de
mallas dentro del circuito de forma que cualquier camino
cerrado esté compuesto por ramas que pertenecen a alguna
de estas mallas, que denominaremos simples. El conjunto
de mallas simples puede ser elegido de muchas formas para
un mismo circuito, pero el número de mallas simples cons-
tituyentes está determinado. En el circuito de la figura hay
4 nodos, 6 ramas y 3 mallas simples.
El problema que se plantea es encontrar la distribución de
corriente y potencial en cualquier punto del circuito. Para
ello contamos con las llamadas leyes de Kirchhoff:
1. La suma algebraica de intensidades que confluyen en un
nodo es cero. Esta ley puede escribirse
n∑
i=1
nodo
Ii = 0
donde n es el número de ramas que confluyen en el nodo.
I1 I2
I3
S
Si admitimos que no hay acumulación de carga en el nodo
(por estar en una situación estacionaria) se tiene que∮
S
� · d�S = 0,
donde S es una superficie que engloba al nodo (ver figura).
El flujo de � se restringe al de las superficies intersección con
los n conductores, y no son otra cosa que las n intensida-
des que ”salen” del nodo. Esto demuestra la primera ley de
Kirchhoff. Es importante notar que debemos aplicarla con
el signo correcto para cada intensidad: si por ejemplo a I1
le tenemos asignado el sentido entrante en el nodo, debemos
incluirla en la suma afectada de un signo menos.
2. La suma de cáıdas de tensión al atravesar los elementos
que confluyen en un nodo es cero. Esta ley puede escribirse
n∑
i=1
malla
(Vi+1 − Vi) = 0,
teniendo en cuenta que al completar el circuitose tiene
Vn+1 = V1. Escrita aśı, la ecuación no es más que una trivia-
lidad, pero no lo es el hecho de poder definir un potencial en
cada punto del circuito (más adelante insistiremos en esta
idea). Para dar mayor significado y utilidad a la ecuación
anterior vamos a considerar las cáıdas de tensión al atra-
vesar los distintos elementos que podemos encontrar en un
circuito de corriente continua. Si atravesamos una resis-
tencia la cáıda de tensión es Vi+1 −Vi = IR, donde Vi+1 es
la tensión en el terminal por donde entra la corriente (cáıda
se traduce como ”decremento al circular por la malla”). Por
tanto debemos poner atención al sentido que hemos asigna-
do a I (que por otra parte si no coincide con el sentido real
conducirá simplemente a un valor negativo para I tras la
resolución del problema). Si atravesamos un generador la
cáıda de tensión tiene, como ya vimos, dos términos: uno
debido a la f.e.m. y otro debido a la resistencia interna.
Este último sigue el mismo criterio que el comentado para
cualquier otra resistencia. En cuanto al primero, el signo
que afecta a ε depende sólo de la polaridad que se refleje en
el esquema del circuito, y no del sentido asignado a la inten-
sidad que lo atraviesa. Por tanto queda Vi+1 − Vi = ε− Ir
si Vi+1 es la tensión en el polo positivo y se admite que la
intensidad va en la dirección natural que produce esta f.e.m.
(lo cual no tiene por qué ocurrir si existen otros generadores
en el circuito).
• Análisis de mallas
Cuando los circuitos constan de muchas mallas simples es
conveniente aplicar técnicas que permitan plantear el pro-
blema matemático de obtención de las intensidades de una
manera sistemática. Este es el objetivo del método conoci-
do como análisis de mallas, que consiste en la asignación
de una intensidad ficticia a cada malla simple del circuito,
recorridas en sentido horario. En principio tenemos tan-
tas intensidades reales como ramas hay en el circuito, pero
están ligadas entre śı por la primera ley de Kirchhoff. Si
admitimos que la intensidad que corre por una rama es su-
ma algebraica de las intensidades ficticias que la recorren,
comprobamos que se verifica automáticamente esta primera
ley en cada uno de los nodos del circuito. Con ello hemos
simplificado el problema en cuanto al número de incógnitas
y, obviamente, en cuanto al número de ecuaciones que de-
bemos plantear, que son la aplicación de la segunda ley de
Kirchhoff a cada malla simple definida. La circulación por
cada malla se realiza, para seguir sistematizando, en el mis-
mo sentido en que se ha definido la intensidad ficticia co-
rrespondiente. El resultado puede describirse diciendo que
la suma de cáıdas de tensión en las resistencias es igual a
la suma de f.e.m. existentes en la malla, definidas positivas
estas últimas si su polaridad es tal que produce corriente en
el sentido de circulación.
Ejemplo:
Apĺıquese el análisis de mallas al circuito de la figura anterior.
R1 R2
I1 I2
I3
R3
R4
R5
ε1 ε2
ε3
80
Tenemos definidas tres mallas simples y unas intensidades ficticias
I1, I2 e I3. Las ecuaciones que verifican estas intensidades ficticias las
obtenemos circulando por las mallas ”1”, ”2” y ”3”:
R1I1 + R2(I1 − I2) = −ε1 + ε3,
R2(I2 − I1) + R3I2 + R4(I2 − I3) = ε2,
R4(I3 − I2) + R5I3 = −ε3 − ε4.
Las intensidades reales en cada rama se obtienen combinando las
intensidades ficticias definidas en ellas. Por ejemplo, por la resistencia
R2 pasa una intensidad I1 − I2 en sentido descendente.
Existe una técnica alternativa, el análisis de nodos, que
toma como incógnitas justamente la tensión en los nodos,
pero su planteamiento es similar y puede consultarse en
cualquier libro especializado.
• Asociación de resistencias
Una aplicación simple de las leyes de Kirchhoff es la ob-
tención del valor de la resistencia equivalente a un conjunto
de resistencias conectadas en serie o en paralelo.
En el primer caso (serie) todas las resistencias, Ri, con
i = 1, 2, . . . , n se unen de manera que una misma intensi-
dad las atraviesa todas. Las cáıdas de tensión son IRi, y su
suma es I
∑
iRi. Una resistencia equivalente debe producir
una cáıda de tensión IReq = I
∑
iRi, de donde
Req =
n∑
i=1
Ri.
En la asociación en paralelo todas las resistencias se co-
nectan entre dos puntos, por lo que la intensidad I que llega
se bifurca en n intensidades Ii que deben cumplir I =
∑
i Ii.
La cáıda de tensión entre los extremos es común a todas:
∆V = I1R1 = I2R2 = . . . = InRn. Reescribimos esto
último en la forma
∆V =
I1
R−11
=
I2
R−12
= . . . =
In
R−1n
=
=
I1 + I2 + . . .+ In
R−11 +R
−1
2 + . . .+R
−1
n
=
I
R−1eq
,
de donde se deduce
R−1eq =
n∑
i=1
R−1i .
• Corrientes variables
La teoŕıa de circuitos desarrollada hasta el momento es
aplicable a circuitos de corriente constante en el tiempo.
Sin embargo bajo ciertas restricciones es posible extenderla
a situaciones en las que la corriente es variable debido a la
presencia de generadores que suministran una f.e.m. varia-
ble. El requisito fundamental es que los campos �E y �B estén
confinados en elementos localizados en el circuito. Vamos a
argumentar por qué es necesaria esta condición:
1. Supongamos que existe un campo �E(t) �= 0 en la región
exterior a los elementos constituyentes del circuito. Si con-
sideramos el flujo de carga que sale de un nodo (ver figura),
su valor vendrá dado por
∮
Sτ
� · d�S =
n∑
i=1
Ii.
donde τ es una región que engloba al nodo. Sin embargo
este flujo en general no es nulo: la ecuación de continuidad
en forma integral aplicada a dicha región se escribe
∮
Sτ
� · d�S = −
∫
τ
∂ρ
∂t
dτ = −ε0
∮
Sτ
∂ �E
∂t
· d�S �= 0,
(aqúı se ha hecho también uso de la ley de Gauss) con lo
cual no se verifica la primera ley de Kirchhoff. En otras
palabras, la existencia de un campo eléctrico variable en
el tiempo fuera del circuito nos obliga a contar con posibles
acumulaciones de carga dentro de los conductores y la inten-
sidad ya no es una magnitud que se transmita sin pérdidas
a lo largo de ellos.
V
A
I
I1 I2
I3
B(t)E(t)
R
	
S	
B
2. Supongamos que existe un campo �B(t) �= 0 en la re-
gión exterior a los elementos constituyentes del circuito. Si
intentamos medir la d.d.p. entre los extremos de una resis-
tencia mediante un volt́ımetro conectado a sus extremos A
y B (ver figura) podemos considerar la circulación del cam-
po eléctrico a lo largo del camino A-B-A, que pasa por el
volt́ımetro y luego por el elemento. Se tendrá, usando la ley
de Faraday,∮
ABA
�E · d�r =
∫
volt
�E · d�r −
∫
res
�E · d�r =
= (VA − VB)− IR = −
∫
S
∂ �B
∂t
· d�S �= 0.
Por tanto (VA − VB) �= IR. Aunque el volt́ımetro da una
lectura (voltaje), ésta no es única; depende de la geometŕıa
de los cables de conexión. Simplemente no está definido un
potencial porque la existencia de un campo magnético va-
riable hace que el campo eléctrico no sea irrotacional, y por
tanto no tiene sentido aplicar la segunda ley de Kirchhoff.
Los criterios anteriores son los que, de manera estricta,
habŕıa que aplicar a un sistema para determinar si la teoŕıa
de circuitos es válida en él. Sin embargo, estos criterios lle-
vados al ĺımite nos dicen que dicha teoŕıa no seŕıa válida en
81
un sistema con generadores de corriente alterna de cualquier
frecuencia. En la práctica, en muchos casos la presencia de
campos variables en el tiempo fuera de los elementos del
circuito produce efectos que podemos despreciar. Un crite-
rio más útil surge de la idea de que la teoŕıa de circuitos
es una aproximación cuasiestática de las ecuaciones electro-
magnéticas (si no fuera aśı no podŕıamos hablar de poten-
ciales definidos en cada punto del sistema). Debemos exigir
por tanto que las variaciones temporales de los generadores
lleguen de manera casi instantánea a cualquier punto del
circuito. Si el periodo de variación de un generador es T , el
tamaño caracteŕıstico del circuito L debe ser sensiblemente
menor que la cantidadcT , que es la longitud recorrida por
la señal electromagnética en un ciclo. Por ejemplo, la red
eléctrica trabaja a una frecuencia de 50 Hz. La longitud
recorrida en un periodo es de 6000 km. Para garantizar la
aplicabilidad de la teoŕıa de circuitos basta con exigir que las
ĺıneas del tendido eléctrico no tengan longitudes superiores
a algunas centenas de kilómetros. En cambio, si utilizamos
un generador de microondas que suministra una señal de
109 Hz, la longitud recorrida en un periodo es de 30 cm, y
un circuito t́ıpico de prácticas de laboratorio no cumpliŕıa
las leyes de Kirchhoff.
• Relación I–V de elementos simples
En este apartado recopilamos las relaciones que existen
entre la intensidad I que atraviesa un elemento (resistencia,
condensador o autoinducción) y la cáıda de tensión V entre
sus dos terminales. Para ello colocamos un ampeŕımetro en
serie con el elemento (lo cual no modifica apreciablemente la
cáıda de tensión) y un volt́ımetro en paralelo entre los ter-
minales (lo cual no modifica apreciablemente la intensidad
que atraviesa el elemento).
V
1
I
R, C ó L
2
A
i) Para una resistencia se tiene, como ya se vio,
V = V1 − V2 = IR.
ii) Para un condensador tenemos que
I =
dq
dt
=
d
dt
[C(V1 − V2)] = C dV
dt
.
iii) Para una autoinducción, la cáıda de tensión incluye
en general un componente resistivo, que suele ser pequeño.
La ley de Faraday,
−dΦ
dt
=
∮
γ
�E · d�r =
∫ 2
1,bob
�E · d�r −
∫ 2
1,volt
�E · d�r;
conduce a
−LdI
dt
= IRb + V2 − V1 ⇒ V = IRb + LdI
dt
.
Como vemos, la relación entre I y V es lineal.
• Reǵımenes transitorio y permanente
Aunque los circuitos eléctricos pueden llegar a ser muy
complejos, si sólo están constituidos por elementos como los
descritos en el apartado anterior y por generadores, mues-
tran un comportamiento con ciertas caracteŕısticas comu-
nes. En particular existe una tendencia general a estable-
cerse un régimen permanente una vez que se deja trans-
currir un tiempo más o menos largo. Para entender esto
vamos a analizar en detalle la intensidad que pasa por un
circuito R − L − C, constituido por un generador que su-
ministra una señal variable en el tiempo ε(t), en serie con
una resistencia R, un condensador de capacidad C y una
bobina con coeficiente de autoinducción L, supuesta ideal
(sin resistencia).
I(t)
ε(t)
R C L
La f.e.m. suministrada es igual a la suma de cáıdas de
tensión en los tres elementos:
ε(t) = VR + VL + VC .
Si derivamos respecto del tiempo toda la ecuación y consi-
deramos las relaciones I − V vistas en el apartado anterior
resulta
dε
dt
= R
dI
dt
+ L
d2I
dt2
+
I
C
.
Se trata de una ecuación diferencial ordinaria no homogénea
de segundo orden en la intensidad que atraviesa el circuito.
La solución general se obtiene como suma de una solución
particular y la solución general de la ecuación homogénea
asociada. Posteriormente hay que especificar las condiciones
iniciales sobre I(t) y su derivada (por ejemplo en t = 0).
Aqúı sólo nos interesa poner de manifiesto que la solu-
ción general de la ecuación homogénea disminuye con el
tiempo y tiende a desaparecer. En efecto si resolvemos
LI ′′ + RI ′ + (1/C)I = 0 sustituyendo I = Aeαt se llega
a una ecuación secular, o condición sobre α:
α2+
R
L
α+
1
LC
= 0 ⇒ α± = 12
(
−R
L
±
√
R2
L2
− 4
LC
)
.
82
La solución será combinación lineal de dos exponenciales,
Ih(t) = A+eα+t +A−eα−t. Las dos ráıces pueden ser reales
o complejas, pero en cualquier caso se cumple 
α < 0. Es-
to quiere decir que, posea o no carácter oscilatorio, lo cual
depende de que la parte imaginaria exista o no, la solución
decae en el tiempo de forma exponencial.
En la gran mayoŕıa de las aplicaciones, el generador sumi-
nistra una señal periódica, y la solución particular exhibirá
el mismo carácter periódico. Esto significa que podemos dis-
tinguir un régimen transitorio, al conectar el generador y
durante el tiempo necesario para que la parte homogénea de
la solución decaiga hasta hacerse despreciable, y un régimen
permanente, que viene a continuación, caracterizado por
una variación periódica de la intensidad y la tensión en cual-
quier punto del circuito.
La duración del transitorio, o tiempo necesario para poder
considerar que la intensidad es periódica, se puede estimar
como tres o cuatro veces la cantidad 1/α+ (¿Por qué?).
Aunque no se ha demostrado matemáticamente, podemos
admitir que lo visto para el circuito RLC tiene carácter ge-
neral.
• Concepto de impedancia
Lo que sigue se refiere al análisis del régimen permanen-
te de un circuito alimentado por generadores de señal pe-
riódica. El régimen transitorio no suele ser estudiado dado
que tiene lugar sólo en los primeros instantes de funciona-
miento, aunque śı se considera en algunas técnicas de medi-
da de capacidades y coeficientes de autoinducción.
Para motivar la introducción del concepto de impedancia
vamos a considerar una f.e.m. sinusoidal aplicada a nuestro
circuito R− L− C, es decir, ε(t) = ε0 cosωt, donde ω es la
frecuencia angular de la señal. Puede comprobarse que es
solución particular de la ecuación encontrada para I(t) una
función de la forma Ip(t) = I0 cos(ωt + φ) con I0 y φ dos
constantes que debemos elegir convenientemente. El mis-
mo tipo de dependencia podemos proponer para la tensión
en cualquier punto del circuito (referida a un origen de po-
tencial establecido libremente). Mejor que aśı, usamos un
tratamiento fasorial escribiendo
I(t) = 
[
I0ei(ωt+φI)
]
= 
[
Îeiωt
]
V (t) = 
[
V0ei(ωt+φV )
]
= 
[
V̂ eiωt
]
donde Î y V̂ son números complejos que engloban las ”fases”
eiφI y eiφV y que por ello son llamados fasores intensidad y
tensión respectivamente. Este tipo de tratamiento ya se vio
cuando se hizo un estudio de las ondas planas en el tema 4.
Sustituimos la intensidad en forma fasorial en la ecuación
diferencial completa. Lo que se pretende es encontrar de
esta forma una solución particular sinusoidal de igual fre-
cuencia que la señal suministrada por el generador, para lo
cual sólo falta determinar I0 y φI . Tenemos en cuenta que
cada derivada en el tiempo produce un factor iω:
 [iωε0eiωt] = 
 [iωRÎeiωt]+
 [(iω)2Îeiωt]+
[
1
C
Îeiωt
]
.
Esta ecuación se verifica si exigimos
ε0 =
(
R+ iω +
1
iωC
)
Î ,
de donde se obtiene el valor del número complejo Î. Mul-
tiplicando por eiωt y tomando parte real se obtiene la ver-
dadera magnitud f́ısica I(t), que representa el valor de la
intensidad en el estado permanente.
La relación anterior se puede escribir ε̂ = ZÎ, donde
Z = ZR + ZL + ZC y se definen las impedancias de los
tres elementos como la razón entre el fasor diferencia de
tensión a los extremos del elemento y fasor intensidad que
lo atraviesa. En efecto, a partir de la relación I−V tenemos:
Resistencia: Como V = RI,
ZR = R.
Autoinducción: Como V = L(dI/dt), aparece un fac-
tor iω que afecta al fasor intensidad al derivar, por lo que
V̂ = iωLÎ. Entonces,
ZL = iωL.
Condensador: Como I = C(dV/dt), se tienen ahora
Î = iωCV̂ . Entonces,
ZL =
1
iωC
.
• Generalización de las leyes de Kirchhoff
El carácter lineal de la relación entre tensión e intensidad
nos ha permitido definir la impedancia de los tres elemen-
tos simples, que a su vez transforma estas relaciones en una
simple proporcionalidad, análogamente a lo que se tiene en
el caso de las resistencias. Si para un circuito de resistencias
y generadores de corriente continua hemos formulado una
teoŕıa de circuitos basada en las leyes de Kirchhoff, con el
concepto de impedancia estamos en condiciones de generali-
zar esta teoŕıa a circuitos formados con elementos de los tres
tipos vistos (resistencias, autoinducciones y condensadores)
y alimentados por generadores de señales sinusoidales. En
efecto basta con considerar la impedancia asociada a cada
tipo de elemento, que ahora juega el mismo papel que la
resistencia en un circuito de corriente continua. Las tensio-
nes e intensidadesconstantes son sustituidas por los fasores
correspondientes. Una vez resuelto el circuito podemos en-
contrar las magnitudes reales, como ya hemos dicho, multi-
plicando por el factor exponencial dependiente del tiempo
y tomando luego la parte real.
Si tenemos dos generadores que suministran señales sinu-
soidales de la misma frecuencia en un circuito, las f.e.m.
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no estarán en general en fase: ε1(t) = ε10 cos(ωt + φ1), y
ε2(t) = ε20 cos(ωt+ φ2). Podremos elegir el origen de tiem-
pos de forma que por ejemplo φ1 = 0, pero φ2 �= 0. La f.e.m.
es por tanto una magnitud cuyo fasor asociado también tie-
ne carácter complejo en general. En el ejemplo propuesto
será ε̂2 = ε20eiφ2 .
Si existen n generadores en un circuito que suministren
distintas frecuencias, ωi, podemos una vez más acudir al
carácter lineal de la teoŕıa de circuitos para proponer una
solución que consista en la superposición de las soluciones
del circuito con cada uno de los generadores, habiendo elimi-
nado las f.e.m. del resto (pero no sus resistencias internas).
Siguiendo este razonamiento podemos analizar la solución
de un circuito que contenga un generador de señal periódica
pero no sinusoidal, puesto que cualquier señal de periodo T
se puede descomponer mediante un análisis de Fourier en
una combinación lineal, en general de infinitos términos, de
funciones de frecuencia múltiplo de ω = 2π/T :
ε(t) =
∞∑
n=0
εn cos(nωt+ φn).
Para cada término de esta suma tenemos un problema que
podemos resolver independientemente y luego combinar con
el resto de soluciones.
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