Tema7

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7. Polarización
1. Modelo microscópico dipolar: Dipolos inducidos.
Polarizabilidad molecular. Dipolos permanentes. Sustan-
cias polares y apolares.
2. Vector polarización: Definición. Potencial y campo
producido por un cuerpo polarizado. Cargas de polariza-
ción. Interpretación f́ısica.
3. Vector desplazamiento: Ley de Gauss para medios
dieléctricos. Definición de vector desplazamiento. Disconti-
nuidades sobre superficies cargadas.
4. Leyes constitutivas: Homogeneidad, isotroṕıa y linea-
lidad en materiales dieléctricos. Otros materiales. Suscep-
tibilidad, permitividad y constante dieléctrica.
5. Problemas de potencial en presencia de
dieléctricos: Formulación general de la electrostática. Me-
dios lineales.
6. Enerǵıa y fuerzas en presencia de dieléctricos:
Trabajo elemental de carga de un sistema. Condiciones pa-
ra la definición de una enerǵıa eléctrica. Enerǵıa en medios
lineales y ferroeléctricos. Interpretación termodinámica.
Fuerzas a partir del principio de trabajos virtuales.
7.1 Modelo microscópico dipolar
En el tema 5 hemos establecido la distinción entre cargas
libres y ligadas, según el criterio de su posibilidad de movi-
miento dentro del material. Si la carga se encuentra asocia-
da ineqúıvocamente a un conjunto (molécula, átomo o ion),
es decir, que no se separa de él ilimitadamente, decimos que
se trata de una carga ligada. Un campo externo actúa
también sobre este tipo de carga, deformando u orientan-
do la estructura neutra a la que pertenece. Como ejemplo
consideremos un átomo de hidrógeno. En ausencia de fuer-
zas eléctricas externas el átomo puede imaginarse como una
carga positiva casi puntual en el núcleo (el protón) y una
nube de carga negativa con simetŕıa esférica rodeándolo (el
electrón en su estado cuántico fundamental). Esta confi-
guración produce un campo eléctrico nulo en su exterior.
Cuando un campo eléctrico externo actúa sobre el átomo, el
protón sufre una fuerza en la dirección y sentido del campo,
mientras que la nube electrónica sufre una fuerza opuesta.
El resultado es una pérdida de simetŕıa esférica en la dis-
tribución, de manera que el propio campo producido por el
átomo deja de ser nulo fuera de él.
En consecuencia, los materiales aislantes responden a un
campo externo modificando en mayor o menor medida su
estructura y produciendo a su vez campos que debemos su-
mar al externo. El concepto de dipolo eléctrico, visto en
el tema 3, es la base que nos permitirá describir el compor-
tamiento de estos materiales.
En el ejemplo visto del átomo de hidrógeno podemos lle-
gar a la conclusión de que el campo eléctrico externo induce
la formación de un dipolo. En efecto, en ausencia de campo
externo la distribución de carga tiene un momento dipolar
nulo debido a la simetŕıa esférica, mientras que con campo
aplicado aparece un momento dipolar, tanto mayor cuanto
mayor sea la deformación producida en el sistema. El efecto
se puede describir diciendo que el centro de cargas positivas
(análogo al concepto de centro de masas) y el de cargas ne-
gativas no coinciden. Por otra parte, una vez eliminado el
campo externo, el átomo vuelve a su estado original (pues-
to que las fuerzas puestas en juego son conservativas) y el
dipolo desaparece. A este efecto, presente en todas las sus-
tancias, se le denomina polarización inducida. También
se induce polarización, es decir, separación entre los centros
de carga positiva y negativa, al aplicar campos eléctricos
a moléculas formadas por iones de distinto signo. Por ello
es usual distinguir dentro de los fenómenos de polarización
inducida entre la polarización electrónica y la polari-
zación iónica, según se trate del primer mecanismo o del
segundo.
El momento dipolar inducido es proporcional al campo
aplicado:
�p = α�E,
siendo α la polarizabilidad. Si la estructura molecular no
tiene simetŕıa esférica α tiene carácter tensorial. Si el cam-
po aplicado es muy intenso la relación deja de ser lineal, e
incluso se puede llegar a la ionización de la molécula.
Ejemplo:
La distribución de carga asociada a la nube electrónica del átomo de
hidrógeno en su estado fundamental tiene simetŕıa esférica y viene
dada por la densidad
ρ(r) =
qe
πa30
e−2r/a0 ,
siendo qe = −1.9 ·10−19 C la carga del electrón y a0 = 5.3 ·10−11 m el
llamado radio de Bohr, parámetro que da una idea de la distancia al
núcleo hasta donde la distribución de carga (que en teoŕıa se extiende
hasta el infinito) tiene un valor apreciable. Supongamos que somete-
mos el átomo a un campo eléctrico uniforme de intensidad E0, y que
se produce un desplazamiento d del núcleo respecto del centro de la
nube electrónica sin que ésta se deforme. ¿Qué polarizabilidad posee
el átomo?
Suponemos que el desplazamiento del núcleo es pequeño, d << a0,
y que por tanto podemos aproximar la distribución cerca del centro
86
por los primeros términos del desarrollo en serie de Taylor,
ρ(r) � qe
πa30
(
1− 2r
a0
+ . . .
)
.
El campo se calcula usando la ley de Gauss en forma integral, tal y
como se vio en el tema 3, y si nos quedamos con el primer término en
el desarrollo anterior resulta
E(r) =
ρ(0)r
3�0
=
qer
3π�0a30
.
Este campo produce una fuerza de restitución sobre el núcleo F =
−qeE = −kr análoga a la de un resorte de constante k = q2e/(3π�0a30).
Se alcanza una posición de equilibrio cuando el desplazamiento es tal
que E(req) = E0, lo cual da req = 3π�0E0a30/qe. El momento dipolar
es p = qereq, dirigido según el campo aplicado �E0. La polarizabilidad
se resulta entonces α = 3π�0a30.
El campo necesario para que se pierda la proporcionalidad entre �p
y �E0 es aquél que produce un desplazamiento del orden de a0, puesto
que entonces el desarrollo en serie de Taylor no aproxima bien la fun-
ción; esta condición se escribe req = 3π�0E0a30/qe ∼ a0. Sustituyendo
valores, el campo se estima en E0 ∼ 3 · 1010 V/m. En ese orden se
produce ya la ionización del átomo.
Ejemplo:
Las fuerzas de Van der Waals son responsables de la débil cohesión
de muchas sustancias. Tienen su origen en una interacción de tipo di-
polar entre moléculas apolares. Si una molécula sufre una fluctuación
temporal en su distribución de carga, adquirirá un momento dipolar
p1 no nulo durante un cierto instante, que a su vez produce un campo
dipolar inversamente proporcional al cubo de la distancia al dipolo,
E1 ∼ 1/r3 (omitimos la dependencia angular obtenida en el tema 3,
que no nos interesa para nuestro argumento). Si existe otra molécula
cerca de la primera, el campo E1 inducirá una polarización con mo-
mento p2 = αE1 ∼ αp1/r3. La interacción entre ambos dipolos viene
descrita por una enerǵıa proporcional al producto de los momentos
dipolares, dividido por el cubo de la distancia entre ambos (tampo-
co usamos la dependencia angular, hallada en otro ejemplo del tema
3). Por tanto podemos escribir Uinterac ∼ −αp21/r6. Se trata de una
enerǵıa de interacción atractiva, que promediada sobre fluctuaciones
aleatorias no desaparece, puesto que depende del cuadrado de p1.
La ley de tipo 1/r6 indica que se trata de una interacción de corto
alcance.
El efecto conjunto de las moléculas polarizadas da lugar
a un campo macroscópico observable, que calcularemos en
el próximo apartado.
Existe otro mecanismo por el cual una sustancia sometida
a campos externos puede dar lugar a campos observables.
Para ello debemos distinguir entre moléculas polares y
apolares, según si su estructura en ausencia de campo apli-
cado tiene asociada un momento dipolar o no. La molécula
de agua tiene una estructura en forma de ángulo y posee
un momento dipolar no nulo. Una sustancia polar tiene en
general sus moléculas orientadas de manera arbitraria, por
lo que el momento dipolar medio en cualquier punto es ce-
ro. Esta situación desordenada cambia cuando se aplica un
campo externo, puesto que, según vimos en el tema 3, los
dipolos permanentes tienden a orientarse según la direccióndel campo (recordemos que el momento de la fuerza eléctrica
es �p× �E). Esta tendencia compite con la agitación térmica,
que mediante el mecanismo de choques entre moléculas tien-
de a desordenar su orientación. El resultado es un equilibrio
dinámico con un mayor número de moléculas con sus dipo-
los orientados de tal forma que el promedio es no nulo y va
en la dirección del campo. La justificación de ello se puede
hacer mediante un cálculo estad́ıstico sencillo, pero no lo
llevaremos a cabo.
Los dos mecanismos de polarización vistos anteriormente
pueden coexistir en la polarización de una sustancia polar,
pero como es más fácil rotar una molécula que deformarla,
el mecanismo de orientación suele ser el dominante.
En lo que sigue supondremos que la distribución de dipo-
los producidos en un material nos es dada y nos preocupa-
remos de encontrar los campos que a su vez produce esta
distribución.
7.2 Vector polarización
Se define el vector polarización �P , como la densidad de
momento dipolar por unidad de volumen. Si en un material
consideramos un elemento de volumen ∆τ centrado en �r,
en el que existen N moléculas con momentos dipolares �pi se
tendrá
�P (�r) = lim
∆τ→0
1
∆τ
N∑
i=1
�pi.
Esta expresión nos permite, como es habitual, pasar a un
tratamiento de la materia como un continuo y olvidarnos
de los detalles microscópicos. La polarización se mide en el
Sistema Internacional en C/m2.
Ejemplo:
Una muestra de diamante tiene una densidad másica de 4 g/cm3.
Situada en un campo eléctrico se polariza uniformemente siendo el
momento dipolar por unidad de volumen de 10−6 C/m2. Calcúlese el
momento dipolar medio de cada átomo.
Si en un volumen τ se encierran N dipolos podemos escribir, por
la propia definición de momento dipolar medio,
∑N
i=1
�pi = N〈�p〉 y la
polarización, o momento dipolar por unidad de volumen, será
�P =
N〈�p〉
τ
=
NAm〈�p〉
Mτ
=
NAρ〈�p〉
M
,
donde NA es el número de Avogadro, ρ es la densidad másica del dia-
mante y M = 12 g la masa de un mol de carbono. Hemos usado que
N/NA = m/M . Despejando 〈�p〉 y sustituyendo los valores numéricos
su módulo resulta ser 〈p〉 = 5× 10−36 C ·m.
Dado que el potencial que crea un dipolo situado en el
origen es (ver tema 3)
V (�r) =
�p · �r
4π�0r3
,
el potencial que crea en un punto �r una distribución �P (�r1)
definida en cada punto �r1 del cuerpo polarizado, situado en
una región del espacio τ , se obtendrá sumando los potencia-
les creados por cada elemento de volumen en que descom-
ponemos τ :
V (�r) =
1
4π�0
∫
τ
�P (�r1) · (�r − �r1)
|�r − �r1|3 dτ1.
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Esta expresión es válida en principio para puntos exteriores
a la distribución de dipolos, puesto que en las cercańıas
de uno de ellos el potencial dipolar usado no es válido.
De hecho, dentro del material el campo es extraordina-
riamente complicado, si tenemos en cuenta que su valor
vaŕıa mucho espacial y temporalmente debido a los deta-
lles microscópicos de distribución de la carga. Sin embargo
es posible dar argumentos sencillos para demostrar que la
fórmula anterior es válida también en el interior del material
(véase D.J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Pren-
tice Hall), entendiendo por campo en el interior un valor que
es promedio espacio-temporal del campo microscópico en di-
cho punto.
El potencial encontrado puede expresarse de otro modo
manipulando el integrando. En particular tenemos en cuen-
ta que
�r − �r1
|�r − �r1|3 =
�∇1
(
1
|�r − �r1|
)
,
y que por tanto, usando el desarrollo de la divergencia de
una función escalar por una vectorial,
�P (�r1) · (�r − �r1)
|�r − �r1|3 =
�∇1 ·
(
�P (�r1)
|�r − �r1|
)
−
�∇1 · �P (�r1)
|�r − �r1| .
El integrando original da lugar a dos términos, donde uno
de ellos es una divergencia, que integrada en el volumen τ
se puede transformar en una integral de superficie definida
en la frontera Sτ :
V (�r) =
1
4π�0
∮
Sτ
�P (�r1) · d�S
|�r − �r1| −
1
4π�0
∫
τ
�∇1 · �P (�r1)
|�r − �r1| dτ1.
Comparando esta expresión con la que proporciona el po-
tencial de una distribución volumétrica de carga más otra
superficial podemos interpretar que la polarización del ma-
terial da lugar a una distribución volumétrica de carga en τ
y una superficial en Sτ , definidas por las expresiones
ρ(P ) = −�∇ · �P , ρ(P )S = �P · �n,
donde �n es el vector normal saliente definido en cada punto
de la superficie del cuerpo polarizado. Dada la distribu-
ción de momentos dipolares definida mediante una densi-
dad volumétrica �P , podemos sustituirla por distribuciones
de cargas de polarización en volumen, ρ(P ), y superficie,
ρ
(P )
S .
Aun cuando las cargas de polarización han aparecido en
virtud de una manipulación matemática, hay que advertir
que se trata de cargas reales. Esto lo podemos ver con dos
ejemplos sencillos:
1. Una placa de cierto espesor de material polarizado uni-
formemente en la dirección perpendicular a sus caras puede
entenderse como una distribución de dipolos de igual valor
orientados según esa dirección. Si cada dipolo se entiende
como dos cargas opuestas, las capas de dipolos adyacen-
tes a cada superficie del material producen distribuciones
de carga superficial, positiva a la derecha y negativa a la
izquierda (ver figura) cuyo valor podemos estimar a partir
de un cálculo sencillo: el momento dipolar de una porción
de tubo de campo de �P es P∆Sd, que puede ser entendido
como un solo dipolo de valor qd; por tanto q = P∆S y la
densidad superficial resulta ρ(P )S = P . En cambio las car-
gas en el interior del material se cancelan, usando las cargas
positivas y negativas de dipolos de capas contiguas. Esto
está de acuerdo con la aplicación de las fórmulas propues-
tas, puesto que si �P es uniforme su divergencia es nula y en
efecto se predice ρ(P ) = 0, mientras que en la superficie la
fórmula �P ·�n conduce a distribuciones superficiales de signo
correcto y valor absoluto P .
-+ -+ -+ -+
-+
P0
-+ -+ -+
-+ -+ -+ -+
-+ -+ -+ -+
densidad
superficial
negativa
densidad
superficial
positiva
densidad neutra
en volumen
2. Si ahora, considerando la misma geometŕıa, la polariza-
ción crece desde una superficie a la otra, el momento dipolar
en cada capa crece con la distancia a la superficie de la iz-
quierda y no hay compensación completa entre las cargas
positivas de una capa y las negativas de la siguiente.
En los dos ejemplos que acabamos de comentar se ha op-
tado por una de las muchas formas en que podemos agrupar
las cargas ligadas; ello debe entenderse por tanto como ar-
gumento plausible (y no demostración) que da sentido f́ısico
a las distribuciones de carga macroscópicas que sustituyen
a la distribución de dipolos.
La carga total de un cuerpo aislante polarizado debe ser
nula (salvo que se deposite carga libre por algún método).
Esto implica que la suma de cargas en superficie y en volu-
men dará cero. En efecto,
q
(P )
total =
∫
τ
ρ(P )dτ +
∮
Sτ
ρ
(P )
S dS =
= −
∫
τ
�∇ · �Pdτ +
∮
Sτ
�P · �ndS = 0,
sin más que aplicar el teorema de la divergencia.
7.3 Vector desplazamiento
Si escribimos la ley de Gauss distinguiendo los tipos de den-
sidades de carga que conocemos resulta
�∇ · �E = 1
�0
(ρ(f) + ρ(P )),
donde ρ(f) es la densidad de carga libre y ρ(P ) la de polari-
zación. Usando la definición de esta última queda
�∇ · �E = 1
�0
(
ρ(f) − �∇ · �P
)
.
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Multiplicando todo por �0 y pasando el término de diver-
gencia del segundo al primer miembro podemos escribir
�∇ · (�0 �E + �P ) = ρ(f).
Si definimos un nuevo campo vectorial, �D según la fórmula
�D = �0 �E + �P
la ley de Gauss se reescribe sencillamente
�∇ · �D = ρ(f).
Al vector �D se le denomina desplazamiento eléctrico,
o simplemente vector desplazamiento. No se trata de una
magnitud medible directamente, sino más bien un campo
auxiliar que facilita la formulación del problema eléctrico
en presencia de medios polarizables.
El nuevo aspecto de la ley de Gauss no debe llevar a la
conclusión de que la polarizaciónno interviene en las fuentes
del campo eléctrico. Para ello no hay más que considerar
un problema electrostático, para el cual �E es irrotacional.
En este caso se tiene
�∇× �E = 1
�0
�∇× (�P − �D) → �∇× �D = �∇× �P �= 0,
es decir, �D posee fuentes vectoriales relacionadas con la po-
larización.
Sin embargo en algunas situaciones en que el rotacional
de �P es nulo, y en particular en muchas situaciones de alta
simetŕıa, �D se obtiene inmediatamente a partir de la nueva
ley de Gauss en forma integral:∮
SG
�D · d�S =
∫
τ
ρ(f)dτ = q(f).
donde q(f) es la carga libre encerrada por la superficie gaus-
siana SG.
Esta ley integral permite discutir el comportamiento de
�D al pasar a través de una distribución superficial de car-
ga. Siguiendo un procedimiento totalmente análogo al que
nos permitió deducir la condición �n · [ �E] = ρS/�0 (véase
el tema 2), encontramos una condición de salto para la
componente normal del vector desplazamiento, que ahora se
relaciona sólo con la densidad superficial de carga libre:
�n · [ �D] = ρ(f)S
También se llega a esta condición a partir de la del salto en
�E simplemente usando la fórmula de definición �D = �0 �E+ �P ,
que ρS = ρ
(f)
S + ρ
(P )
S y que ρ
(P )
S = �P · �n, aunque hay que
tener la precaución de considerar la carga superficial de po-
larización a un lado y a otro de la distribución de carga
libre. Esto se deja como ejercicio.
7.4 Leyes constitutivas
Al discutir los mecanismos de polarización de moléculas de
material dieléctrico hemos visto que la polarización del ma-
terial debe relacionarse con la existencia de un campo ex-
terno que, o bien induce la formación de dipolos, o bien
produce la orientación preferente de dipolos ya existentes
en la dirección de dicho campo. A una ley fenomenológica
que determine la relación entre �P y �E se la denomina la
relación constitutiva del material. Esta relación puede
ser muy complicada para ciertos tipos de material, pero en
muchos casos la relación es de simple proporcionalidad. Si
el material es homogéneo, isótropo y lineal los valores
de ambos campos es
�P = �0χe �E
donde al escalar χe se le denomina susceptibilidad
eléctrica, propia de cada material. Comentamos a con-
tinuación el origen de los tres adjetivos usados:
* El material es homogéneo cuando la susceptibilidad
no depende de la posición. Esto ocurre cuando las ca-
racteŕısticas microscópicas y termodinámicas (tempe-
ratura, composición, etc.) son las mismas en cualquier
punto del material. En definitiva, la homogeneidad en
sentido termodinámico conduce a la homogeneidad en
sentido eléctrico.
* Es isótropo cuando �P y �E son colineales, sea cual
sea la orientación del último. Un fluido normal siem-
pre se comporta de manera isótropa, puesto que sus
moléculas tienen libertad para orientarse. En cambio
en sólidos con estructura cristalina a veces es posible
encontrar comportamientos anisótropos. En tales ca-
sos la susceptibilidad tiene carácter tensorial, de ma-
nera que su aplicación al vector �E produce otro vector
que no va en general en la misma dirección.
* Es lineal cuando la susceptibilidad se puede definir
y es independiente del campo eléctrico. En general,
como ya hemos comentado, la linealidad es cierta pa-
ra campos moderados. Existen sustancias, sin em-
bargo, que incluso para campos pequeños no admiten
una relación lineal, y ni siquiera se puede establecer
una ley matemática para su comportamiento, puesto
que el valor de �P en cada punto depende de la his-
toria del material, es decir, de los sucesivos valores
que ha adquirido previamente el campo eléctrico en
ese punto. Estos son los materiales ferroeléctricos.
No vamos a extendernos en su descripción porque
en el próximo caṕıtulo tendremos ocasión de analizar
los materiales ferromagnéticos, que presentan carac-
teŕısticas análogas y de mayor importancia práctica.
Para completar esta clasificación debemos mencionar los
electretes, o cuerpos que presentan una polarización per-
manente en ausencia de un campo externo aplicado. Exis-
ten otros materiales con propiedades aún más complejas,
cuya polarización depende también del valor del campo
89
magnético existente. Actualmente se siguen descubriendo
materiales con nuevas e interesantes propiedades desde el
punto de vista electromagnético (materiales ópticamente ac-
tivos, cristales nemáticos, etc.), lo cual hace que sea esta un
área en continuo desarrollo.
En un material lineal existe también proporcionalidad en-
tre �D y �E. En efecto,
�D = �0 �E + �P = �0(1 + χe) �E = � �E,
donde � = �0(1 + χe) se denomina la permitividad del
material. Otra cantidad que suele usarse es la permitivi-
dad relativa al vaćıo, �r = �/�0 = 1 + χe, también llamada
constante dieléctrica del material.
A continuación se incluye una tabla con valores de permi-
tividades relativas de algunas sustancias:
Material �/�0
Aire 1.0
Vidrio 4-10
Cuarzo 4.3
Polietileno 2.3
Papel 2-4
Madera 2.5-8.0
Porcelana 5.7
Caucho 2.3-4.0
Alcohol et́ılico 28.4
Cloruro de sodio 6.1
Agua destilada 80
Agua de mar 72
En un medio lineal con permitividad �, conocido uno del
los tres vectores, �E, �D o �P , conocemos los demás sin más
que combinar convenientemente las relaciones anteriores.
Por ejemplo, �P = (� − �0) �E.
7.5 Problemas de potencial en presencia de
dieléctricos
Si las condiciones de un problema son estáticas, el campo
eléctrico es irrotacional y podemos hacer uso del potencial
electrostático, tal y como se ha hecho anteriormente (temas
3 y 5). Tı́picamente se tiene un sistema en el que existen
regiones conductoras y regiones dieléctricas (ver figura).
1E=0 E
E=0
2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
El problema electrostático con toda generalidad se plantea
en la forma
�E = −�∇V ; �D = �0 �E + �P ; �∇ · �D = ρ(f),
pero si los medios son lineales, �P = �0χe �E, y se reduce a
�∇ · (��∇V ) = −ρ(f).
En muchas ocasiones los medios dieléctricos son n piezas
sin carga libre y caracterizadas por una permitividad ho-
mogénea, �i. En tales casos debemos plantear un problema
para cada región,
∇2Vi = 0 en τi, i = 1, 2, . . . , n
y conectar los distintos problemas a través de las condiciones
de contorno en las superficies de separación entre regiones,
que son de dos tipos:
1. Continuidad del potencial: si Sij es la super-
ficie que separa la región i de la j, exigimos que
Vi(�r) = Vj(�r) en �r ∈ Sij .
2. Salto en Dn: si en Sij existe una distribución super-
ficial de carga libre ρS,ij (normalmente nula) y �nij es
el vector normal que va del medio i al j, se cumplirá
�nij · (�i�∇Vi − �j �∇Vj) = ρS,ij.
En la superficie de los conductores eventualmente presentes
conocemos el potencial, que es constante en toda la pieza,
o bien su carga libre total. Con esto queda determinado el
problema de contorno.
En situaciones en que la simetŕıa del sistema es suficiente-
mente alta, es posible resolver el problema aplicando la ley
de Gauss en forma integral, una vez que la dependencia de
los campos con las coordenadas se ha reducido y también
su orientación espacial.
Ejemplo:
Una esfera conductora de radio R1 con carga libre q está rodeada de
una capa dieléctrica de radio exterior R2 y permitividad �. Hállese el
campo eléctrico y las distribuciones de carga en todo el espacio.
La simetŕıa del problema nos permite decir que el campo eléctrico
sólo va a depender de la distancia al centro del sistema y va a ser
radial, puesto que la carga libre se distribuirá uniformemente y la car-
ga de polarización que surja en el dieléctrico no puede distinguir una
dirección privilegiada en el espacio. Por tanto �E = E(r)�ur y aplicamos∮
S
�D · d�S = q(f)(τ),
donde S es una superficie gaussiana esférica de radio r que iremos
eligiendo convenientemente, y q(f)(τ) es la carga encerrada en el vo-
lumen τ delimitado por la superficie gaussiana. �D es también radial
y dependiente sólo de r. El flujo resulta simplemente4πr2D(r) y la
carga encerrada es q si r > R1. En resumen,
�D =
q
4πr2
�ur.
El campo eléctrico es �Ei = �D/�i, donde distinguimos si estamos en la
capa dieléctrica o en el vaćıo. Por tanto
�E =


q
4π�r2
�ur si R1 < r < R2,
q
4π�0r2
�ur si r > R2.
90
El salto en el valor de �E en r = R2 indica que en dicha superficie
se acumula carga de polarización. Su valor viene dado por la relación
ρ
(P )
S =
�P · �n = (� − �0)E(R−2 ), siendo E(R−2 ) el campo eléctrico eva-
luado en el dieléctrico y �n la normal saliente del cuerpo dieléctrico, es
decir, �ur. Esto conduce a
ρ
(P )
S =
(�− �0)q
4π�R22
.
También hay carga superficial de polarización en r = R1, contigua a
la carga libre que existe sobre el conductor. Ahora es �n = −�ur y se
tiene
ρ
(P )
S
= − (�− �0)q
4π�R21
.
En este caso no hay carga en volumen, puesto que ρ(P ) = −�∇ · �P =
�∇ · �D(�0 − �)/� = 0. Esto ocurre obviamente siempre que el medio
dieléctrico no acumule carga libre y sea homogéneo.
Ejemplo:
Un condensador plano con armaduras de área S0 y separación d se
rellena parcialmente de un material dieléctrico de permitividad �.
Obténgase la nueva capacidad en los dos casos siguientes: (a) pla-
ca dieléctrica de espesor e colocada paralelamente a las armaduras;
(b) placa dieléctrica de espesor d parcialmente introducida, siendo S
la superficie introducida.
z
x
y
d
V=0 V=V0
� �0
e
I II
z
x
y
d
V=0 V=V0
�
�0
I
II
S1
SS
(b)(a)
SG
(a) Supongamos para empezar que el dieléctrico se introduce en con-
tacto con una de las armaduras. Existen dos regiones con distinta
permitividad dentro del condensador, que en la figura aparecen como
I y II. Si no tenemos en cuenta los efectos de borde, la homogenei-
dad del material y la geometŕıa nos garantizan que, sea cual sea la
distribución de cargas libres y ligadas, éstas no dependerán de x ni de
y. El campo eléctrico será entonces perpendicular a las armaduras,
es decir �E = E(z)�uz, y por tanto �D = D(z)�uz . Si aplicamos la ley
de Gauss para dieléctricos, en forma integral, tomando una superficie
gaussiana en forma de paraleleṕıpedo recto que encierre la carga libre
de la armadura positiva y llegue a un valor de z arbitrario (ver figura),
podemos escribir∮
SG
�D · d�S = D(z)∆S; q(f) = ρ(f)
S
∆S,
luego D(z) = ρ
(f)
S
, que es constante para cualquier z. Esto ocurre
incluso cuando pasamos del medio dieléctrico al vaćıo. Sin embar-
go el campo eléctrico śı sufre un salto, puesto que �EI = �D/� pero
�EII = �D/�0. Si la diferencia de potencial entre armaduras es V0, la
circulación del campo hallado nos suministra la relación entre carga
libre y potencial:
V0 = EIe+EII(d − e) = q
(f)
S
(
e
�
+
d− e
�0
)
.
La capacidad resulta C =
q(f)
V0
=
S
e/�− (d − e)/�0
.
Si e = d la fórmula se reduce a la de un condensador plano salvo por la
sustitución de la permitividad del vaćıo por la del material que rellena
el condensador.
Puede comprobarse que la capacidad encontrada equivale a la aso-
ciación en serie de dos condensadores de igual área y separaciones e
y d − e, uno relleno de dieléctrico y otro vaćıo. También es intere-
sante observar que la localización de la placa dieléctrica dentro del
condensador no altera el resultado.
Las cargas de polarización se limitan a dos distribuciones superfi-
ciales opuestas en las caras de la placa dieléctrica, de valor ρ(P ) =
±ρ(f)(�− �0)/�0.
(b) Si ahora la placa dieléctrica tiene el grosor del condensador, d, y
se introduce parcialmente hasta un área S1 se pierde la simetŕıa del
problema. Las distribuciones de carga libre y ligada no son necesa-
riamente uniformes según las coordenadas x e y. No obstante vamos
a ensayar una solución sencilla que consiste en un campo eléctrico
uniforme �E = �uzV0/d en todo el condensador. Esta propuesta viene
motivada por dos consideraciones: (i) si cada medio fuera ilimitado el
campo cumpliŕıa todas las condiciones exigidas (satisface la ecuación
de Laplace, las armaduras son equipotenciales y la circulación del cam-
po entre ambas nos da la diferencia de potencial establecida); (ii) en la
frontera entre ambos medios se cumplen todas las condiciones exigidas.
En efecto, la continuidad de la componente tangencial de �E se cum-
ple por ser el campo propuesto tangencial e igual en ambos medios,
mientras que, al no haber carga libre en la frontera, la continuidad de
la componente normal del vector �D se garantiza al ser proporcional al
campo eléctrico y no tener éste componente en esa dirección.
Es interesante analizar cómo se distribuyen las cargas libres y li-
gadas. Aplicando la condición de salto en el vector desplazamiento,
�n ·
[
�D
]
= ρ
(f)
S , a cualquiera de las armaduras obtenemos ρ
(f)
S = D,
pero DI = �E y DII = �0E, por lo que en la superficie adyacente a
cada medio la densidad de carga libre es constante, pero con valor dis-
tinto. En cambio la condición de salto para el campo eléctrico incluye
toda la carga (libre y de polarización); como el campo es uniforme, la
carga superficial total en cada armadura es también uniforme. Esto es
posible porque la carga de polarización también cambia de un medio
al otro y se “ajusta” para hacer uniforme la distribución total. Puede
comprobarse esto mediante el cálculo directo ρ
(P )
S =
�P ·�n. Una última
observación al respecto: la carga total es suma de dos distribuciones
superficiales contiguas, una libre, en la armadura, y otra ligada, en la
frontera del dieléctrico.
La capacidad se calcula dividiendo la carga libre acumulada en la
armadura positiva por la diferencia de potencial entre ambas. La carga
libre es
q(f) = ρ
(f)
SI
S1 + ρ
(f)
SII
(S − S1) = DIS1 +DII(S − S1)
= �ES1 + �0E(S − S1) = V0
d
[�S1 + �0(S − S1)] .
La capacidad resulta
C =
1
d
[�S1 + �0(S − S1)] .
Se observa que el resultado coincide con la asociación de dos condensa-
dores en paralelo, uno de área S1 y separación d relleno de dieléctrico
y otro de área S − S1, igual separación y vaćıo.
7.6 Enerǵıa en presencia de dieléctricos
En el tema 2 se asignó a la cantidad uE = �0E2/2 el carácter
de densidad volumétrica de enerǵıa eléctrica asociada a un
sistema que produce un campo �E(�r) en el espacio. En el
tema 3, referido a sistemas estáticos, se vio que la enerǵıa
eléctrica total del sistema UE =
∫
uEdτ , donde la integral
se extiende a todo el espacio, se puede interpretar como el
trabajo necesario para traer las cargas desde el infinito, par-
tiendo del reposo, hasta su posición final. Esta enerǵıa es en
91
principio totalmente recuperable (el sistema la puede ceder)
si no estamos en presencia de medios materiales.
Cuando estamos en presencia de medios polarizables nos
encontramos con la dificultad de que en un proceso de car-
ga del sistema, trayendo carga desde el infinito, entran en
juego fuerzas de muy diverso tipo, pudiendo existir transfor-
mación de parte del trabajo realizado por nosotros en calor
(fenómenos disipativos). Por ello, aun cuando la enerǵıa
definida en temas anteriores tiene un significado claro, no
resulta en general útil, puesto que ni coincide con el trabajo
que nosotros realizamos para cargar el sistema, ni tenemos
garant́ıa de que en un proceso vayamos a obtenerla en forma
de trabajo realizado por el sistema.
Para discutir en qué condiciones es posible definir una
enerǵıa electrostática en presencia de materiales polariza-
bles vamos a calcular cuál es el trabajo elemental δW que
debemos realizar para incrementar la distribución de carga
libre, ρ(f)(�r) del sistema. Es importante recalcar que nos
interesa una variación de carga libre δρ(f)(�r) porque en la
práctica es el tipo de carga que podemos manejar (en cambio
no podemos actuar directamente sobre la carga de polariza-
ción). Usando la interpretación del potencial electrostático
V (�r) como trabajo necesario para traer la unidad de carga
desde el infinito hasta la posición �r, podemos escribir
δW =
∫
esp
δρ(f)(�r)V (�r)dτ.
La variación de densidad decarga libre se puede expresar en
función de la variación del vector desplazamiento a partir
de la ley de Gauss:
δρ(f) = δ(�∇ · �D) = �∇ · δ �D,
con lo que el trabajo elemental queda
δW =
∫
esp
V �∇·δ �Ddτ =
∫
esp
�∇· (V δ �D)dτ −
∫
esp
�∇V ·δ �Ddτ,
donde hemos usado el desarrollo de la divergencia de un
campo escalar por uno vectorial. La primera de las dos
integrales resultantes puede transformarse en una de super-
ficie aplicando el teorema de la divergencia. Dado que el
volumen de integración es todo el espacio, consideramos la
integral extendida a una esfera de radio R que luego hace-
mos tender a infinito. Siguiendo un argumento ya usado en
otras ocasiones, si las distribuciones de carga decaen sufi-
cientemente rápido con la distancia a un punto, podemos
admitir que la integral de superficie es nula una vez tomado
el ĺımite R → ∞. La otra integral se puede escribir
δW =
∫
esp
�E · δ �Ddτ.
El trabajo total necesario para cargar un sistema es la suma
de trabajos elementales, partiendo de una situación original
sin carga libre (que habitualmente corresponde a campos �E
y �D nulos en todo el espacio) hasta una situación final en
la que estos campos poseen valores conocidos �E(�r) y �D(�r).
Podemos expresar esta suma como una integral de evolución
de los campos en cada punto del espacio:
W =
∫
esp
dτ
[∫ [�E(�r), �D(�r)]
[�0,�0],γ
�E · δ �D
]
,
donde γ indica que para cada punto espacial la evolución de
los campos viene representada por un camino en el espacio
de las componentes de �D.
Dx
Dy
Dz
D(r)
�(r)
El criterio fundamental que nos permite establecer si un
trabajo realizado por nosotros para formar un sistema pue-
de considerarse almacenado en él en forma de enerǵıa es que
dicho trabajo sea función exclusivamente de los estados ini-
cial y final del sistema (la enerǵıa es una función de estado).
Según esto, debemos exigir que la integral de ĺınea anterior,
calculada en cada punto del espacio, sea independiente del
proceso de carga γ(�r).
Un ejemplo importante de sistemas que admiten la de-
finición de una enerǵıa electrostática es el de los medios
dieléctricos lineales. Para estos medios en cada punto se
tiene, si además son isótropos,
�E · δ �D = �E · δ(� �E) = 1
2
δ(�E2) =
1
2
δ( �D · �E),
y por tanto la densidad de enerǵıa almacenada en cada pun-
to es la integral de una diferencial exacta, y finalmente se
escribe la enerǵıa total como
UE =
1
2
∫
esp
�E · �Ddτ.
Puede demostrarse que si el medio es lineal pero anisótropo,
la fórmula anterior sigue siendo válida, pero hay que admi-
tir que el tensor permitividad es simétrico. Digamos que la
existencia de una fórmula para la enerǵıa en estos medios
proviene de la certeza de que para ellos todas las fuerzas in-
volucradas a nivel microscópico son conservativas, y una vez
admitida su existencia, surge como consecuencia la simetŕıa
del tensor permitividad.
Un ejemplo opuesto, con el que ponemos de manifiesto
que no siempre es posible definir la enerǵıa de un sistema,
es el de los medios ferroeléctricos. Recordemos que para
estos materiales no existe en general una relación uńıvoca
entre los vectores �E y �D, sino que su valor depende de la
historia del material. En tal caso es evidente que la integral
de ĺınea en el espacio {Dx, Dy, Dz} dependerá del proceso
de carga, y no sólo del estado final.
92
Nota avanzada:
La enerǵıa obtenida para medios lineales tiene un significado ter-
modinámico distinto que el visto para distribuciones en el vaćıo. En
efecto, aunque el proceso de carga debeŕıa poder ser arbitrario, el hecho
de que la permitividad del material sea una función de la temperatura
del sistema (y también de la presión, aunque en menor grado), obliga a
que el proceso concreto que define la enerǵıa electrostática del sistema
sea isotermo, con lo que garantizamos que la permitividad va a ser
una constante en cada punto. Si el proceso no es isotermo, no hay
garant́ıa de que el resultado sea el mismo. Por otra parte, siguiendo
con los requisitos termodinámicos, para que los campos macroscópicos
estén bien definidos es necesario que el sistema esté siempre en equili-
brio, y por tanto el proceso de carga debe ser reversible. Una función
de estado que tiene significado de trabajo reversible en presencia de
un foco térmico es la enerǵıa libre, o función de Helmholtz F ,
que es el potencial termodinámico que debemos asociar a la enerǵıa
electrostática.
Una vez discutida la definición de enerǵıa asociada a un
sistema podemos aplicar directamente el formalismo que nos
da la fuerza (generalizada) a partir de la aplicación del prin-
cipio de los trabajos virtuales. En procesos a carga libre
constante y a potencial constante se tiene respectivamente
Fx = −δUE/δx|q, Fx = δUE/δx|V .
Ejemplo:
En el condensador plano parcialmente relleno de una pieza dieléctrica
de igual espesor que la distancia entre armaduras, ya analizado en el
ejemplo anterior, calcúlese la fuerza que actúa sobre la pieza.
z
xy
d
V=0
V=V0
� �0
profundidad, b
a
Llamemos x a la distancia desde el borde del condensador por donde
entra el dieléctrico hasta el extremo de la pieza. Supongamos que en la
dirección x el condensador tiene longitud a y longitud b en la dirección
y. El área de la armadura en contacto con el dieléctrico será entonces
S1(x) = bx. Si se produce un desplazamiento virtual δx en la posición
de la pieza la enerǵıa del sistema variará una cantidad δUE . La fuerza
eléctrica ejercida sobre la pieza, en un proceso a potencial constante
es Fx = δUE/δx|V .
La enerǵıa del sistema es UE = C(x)V
2
0 /2. La capacidad se calculó
en el ejemplo mencionado y, teniendo en cuenta que las dimensiones
de las armaduras, C(x) = �bx/d+ �0b(a− x)/d. Sustituyendo todo en
la fórmula que da la fuerza y efectuando la derivada resulta
Fx =
(�− �0)bV 20
2d
,
por lo que el dieléctrico tiene tendencia a rellenar el condensador.
Para hacernos una idea de la magnitud de la fuerza sobre el
dieléctrico podemos considerar el caso de un condensador plano co-
locado verticalmente y ligeramente sumergido en un ĺıquido aislante.
El ĺıquido tiende a subir su nivel hasta una altura h tal que la fuerza
eléctrica compense a la fuerza gravitatoria, Fg = ρmτg = ρmdbhg =
(� − �0)bV 20 /(2d). Si el ĺıquido tiene la densidad del agua, una cons-
tante dieléctrica �r = 3 y el condensador tiene 1 mm de separación
entre placas, la diferencia de potencial para que el ĺıquido suba 1 cm
es V0 � 3.33 kV.
Algunos aspectos de este problema merecen ser comentados:
(1) La tendencia de un material dieléctrico a migrar a regiones don-
de el campo es más intenso es bastante general. Una aplicación es el
control de masas ĺıquidas en ausencia de gravedad, como es el caso del
combustible de una nave espacial.
(2) El cálculo realizado no ha tenido en cuenta los efectos de borde. Sin
embargo pueden darse argumentos para justificar que el resultado es el
mismo si éstos se incluyen, puesto que lo que cuenta es la variación de
la capacidad ante un pequeño desplazamiento del extremo de la pieza
y las regiones donde el campo es no uniforme quedan invariantes.
(3) Si hubiéramos intentado calcular la fuerza directamente a partir
de las distribuciones de carga y campo el problema hubiera sido for-
midable. Hay que observar que no hay carga de polarización en el
extremo de la pieza y por tanto la fuerza tiene su origen en la zona del
borde del condensador, donde los campos son muy complicados. No
deja de resultar paradójico que para el método energético usado esta
zona carezca de importancia.
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