Tema8

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8. Magnetización
1. Aspectos microscópicos: Modelo microscópico dipo-
lar. Diamagnetismo y paramagnetismo.
2. Vector magnetización: Definición. Potencial vector
y campo producido por un cuerpo magnetizado. Corrientes
amperianas o de magnetización. Interpretación f́ısica.
3. Vector �H o intensidad magnética: Ley de Ampère
para medios magnetizables. Definición de vector intensidad
magnética. Discontinuidades sobre superficies. Formulación
de problemas magnéticos en función de corrientes amperia-
nas. Formulación en términos de cargas magnéticas.
4. Leyes constitutivas: Materiales lineales. Suscep-
tibilidad magnética y permeabilidad. Materiales ferro-
magnéticos. Ciclo de histéresis.
5. Enerǵıa y fuerzas en presencia de materiales mag-
netizables: Trabajo elemental de formación de un sistema
de corrientes. Condiciones para la definición de una enerǵıa
magnética. Enerǵıa en medios lineales. Calor disipado en
un ciclo de histéresis. Fuerzas a partir del principio de tra-
bajos virtuales.
6. Circuitos magnéticos Toroide con núcleo ferro-
magnético. Generalizaciones. Fuerza magnetomotriz y re-
luctancia. Leyes de Kirchhoff para circuitos magnéticos.
8.1 Aspectos microscópicos
En el tema anterior hemos analizado cómo un material pue-
de responder a la acción de un campo eléctrico externo mo-
dificando su estructura y dando lugar a nuevas distribucio-
nes de carga. Algo análogo ocurre en muchos otros materia-
les, esta vez sometidos a campos magnéticos, que responden
modificando algún aspecto de su estructura microscópica y
dan lugar a la aparición de nuevas corrientes, dependientes
del valor del campo en cada punto del material. Las sustan-
cias que manifiestan este comportamiento se califican como
magnetizables.
En las sustancias magnetizables, además de las corrien-
tes libres, caracterizadas por ser un flujo de portadores de
carga, y que llevan asociadas una disipación de enerǵıa en
forma de calor por efecto Joule, debemos tener en cuenta
la existencia de corrientes amperianas, de carácter mi-
croscópico por estar asociadas a la estructura atómica del
material, y que no van obligatoriamente acompañadas de
efectos disipativos.
El concepto clave que nos permitirá describir el compor-
tamiento de las sustancias magnetizables es el de dipolo
magnético, que se estudió en el tema 3. Los átomos cons-
tituyentes de un material pueden presentar un momento
dipolar magnético �m por dos motivos fundamentales:
1. Los electrones ligados poseen un cierto momento angular
orbital. Clásicamente la visión seŕıa la de una part́ıcula con
carga que gira alrededor del núcleo siguiendo una órbita o
circuito. La descripción actualmente aceptada nos la ofrece
la mecánica cuántica, aunque la analoǵıa clásica es útil.
2. Cada electrón posee un momento angular (y magnético)
intŕınseco denominado spin. No existe análogo clásico a
esta magnitud, que debe ser por tanto entendida como una
cualidad del electrón tan básica como su carga eléctrica4.
Los efectos macroscópicos del spin del electrón son mucho
más importantes que los del momento angular orbital.
El magnetismo de los materiales debe entenderse siempre
como un fenómeno cuántico. En cualquier caso, a efectos de
construir una teoŕıa macroscópica del magnetismo lo único
que debemos tener en cuenta es que podemos caracterizar
una sustancia magnetizable como un conjunto enorme de
dipolos magnéticos. El momento �m resultante de un átomo
puede o no ser nulo.
En general, en ausencia de un campo externo, las sustan-
cias cuyos átomos constituyentes tienen momento dipolar
no nulo presentan dipolos orientados al azar, por lo que el
momento dipolar asociado a un elemento de volumen ma-
croscópico resulta nulo. En cambio, al aplicar un campo ex-
terno los dipolos tienden a orientarse en la dirección del cam-
po. Este comportamiento es análogo al de la polarización
de sustancias polares en presencia de un campo eléctrico.
Este fenómeno se conoce como paramagnetismo.
Junto a este tipo de comportamiento tenemos otro me-
canismo de magnetización de una sustancia, consistente en
la modificación de los momentos dipolares por efecto de un
campo externo. En efecto, si un electrón constituye una
corriente debido a su movimiento orbital y a esta corriente
se asocia un momento magnético I �S, donde I = qe/T (T ,
4Como ya se dijo en el tema 2, realmente la acción de un campo magnético sobre un dipolo magnético debeŕıa incluirse en la fórmula de
Lorentz por tratarse de una fuerza básica, pero un modelo de corrientes para los dipolos describe bien esta fuerza, y por ser la opción más
sencilla se ha adoptado en este texto. En resumen, nosotros entenderemos siempre que un dipolo magnético se puede considerar una espira
pequeña.
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periodo de la órbita electrónica) y �S es el área de la órbita,
la aplicación de un campo magnético sobre el electrón debe
modificar su movimiento puesto que actúa la fuerza de Lo-
rentz qe�v × �B. Esta fuerza actúa radialmente de tal modo
que incrementa la fuerza centŕıpeta sobre el electrón si �B
va en la dirección y sentido del momento angular orbital y
la disminuye si la orientación es opuesta. Esto acarrea un
aumento de la velocidad angular en el primer caso y una
disminución en el segundo. Como el electrón es negativo,
los momentos angular y magnético son opuestos, el resulta-
do es que la variación en el momento magnético es opuesta
al campo aplicado. Este efecto es el origen del diamagne-
tismo, que podemos entender como una reacción general
de toda sustancia ante un campo externo, que da lugar a la
formación de un dipolo opuesto al campo.
El diamagnetismo es un efecto débil y sólo queda de mani-
fiesto macroscópicamente si las moléculas de la sustancia no
presentan además un comportamiento paramagnético. Vol-
veremos sobre estas cuestiones en la sección 8.4. Al igual que
en el tema anterior, partimos de la descripción de las sustan-
cias magnetizadas como un conjunto de dipolos magnéticos,
y esto nos basta para construir la teoŕıa macroscópica de la
magnetización.
8.2 Vector magnetización
Se define el vector magnetización o imanación �M , co-
mo la densidad de momento dipolar magnético por unidad
de volumen. Si en un material consideramos un elemento de
volumen ∆τ centrado en �r, en el que existen N moléculas
con momentos dipolares �mi se tendrá
�M(�r) = lim
∆τ→0
1
∆τ
N∑
i=1
�mi.
El potencial vector que crea un dipolo magnético situado
en el origen es (ver tema 3)
�A(�r) =
µ0
4π
�m× �r
r3
.
El potencial vector que crea en un punto �r una distribución
�M(�r1) definida en cada punto �r1 del cuerpo magnetizado,
situado en una región del espacio τ , se obtendrá sumando
para cada elemento de volumen en que descomponemos τ :
�A(�r) =
µ0
4π
∫
τ
�M(�r1)× (�r − �r1)
|�r − �r1|3 dτ1.
Teniendo en cuenta que
�r − �r1
|�r − �r1|3 =
�∇1
(
1
|�r − �r1|
)
,
y usando el desarrollo del rotacional de una función escalar
por una vectorial resulta
�M(�r1)× (�r − �r1)
|�r − �r1|3 = −
�∇1 ×
(
�M(�r1)
|�r − �r1|
)
+
�∇1 × �M(�r1)
|�r − �r1| .
El integrando original da lugar a dos términos, donde uno
de ellos es un rotacional, que integrado en el volumen τ se
puede transformar en una integral de superficie definida en
la frontera Sτ (teorema del rotacional, en el tema 1):
�A(�r) =
µ0
4π
∮
Sτ
�M(�r1)× d�S
|�r − �r1| +
µ0
4π
∫
τ
�∇1 × �M(�r1)
|�r − �r1| dτ1.
Comparando esta expresión con la que proporciona el po-
tencial vector de una distribución volumétrica de corriente
más otra superficial podemos interpretar que la magnetiza-
ción del material da lugar a una distribución volumétrica
de corriente en τ y una superficial en Sτ , definidas por las
expresiones
� (M) = �∇× �M, � (M)S = �M × �n,
donde �n es el vector normal saliente definido en cada punto
de la superficie del cuerpo magnetizado. Dada la distri-
bución de momentos dipolares �M , podemos sustituirla por
distribuciones decorrientes amperianas o de magneti-
zación en volumen, � (M), y superficie, � (M)S .
Es posible dar un argumento que muestra la realidad f́ısica
de corrientes macroscópicas asociadas a la magnetización.
Es importante señalar que estas corrientes no están asocia-
das a portadores de carga libre. Para ver esto consideremos
una capa de cierto espesor de un material, magnetizado uni-
formemente en una dirección tangente a sus superficies pa-
ralelas (ver figura).
M0
M(x)
M (x)z
I(x)
I(x+ x)∆
∆x
jS(M)
jS(M)
El vector �M apunta en la dirección perpendicular al papel
y en sentido hacia el lector. Cada dipolo puede considerar-
se una pequeña espira con el sentido indicado en el dibujo.
La corriente neta en el interior tiende a cancelarse al com-
binar tramos izquierdos y derechos de espiras consecutivas,
siempre y cuando el momento magnético sea el mismo para
todas. Sin embargo, las espiras adyacentes a la superficie
izquierda ven compensadas las corrientes de sus mitades iz-
quierdas, lo cual produce una corriente superficial neta ha-
cia abajo. Análogamente se tiene una corriente neta hacia
arriba en la superficie derecha del material. Este resultado
cualitativo está de acuerdo con la fórmula � (M)S = �M × �n,
aplicada a cada cara del material.
Si el material no está uniformemente imanado aparecen
corrientes en volumen. Esto puede verse en el esquema de
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la derecha del mismo dibujo, donde dos espiras consecutivas
se han agrandado. Podemos estimar la intensidad asociada
a cada dipolo magnético teniendo en cuenta que, según los
ejes coordenados elegidos, ∆mz = Mz∆τ = I∆S. Por tan-
to la relación entre Mz e I es Mz∆x∆y∆z = I∆x∆y, esto
es, Mz∆z = I. La corriente neta que va en la dirección OY
es la diferencia entre la que sube por la izquierda y la que
baja por la derecha, es decir, I(x)−I(x+∆x) = jy∆x∆z =
[Mz(x) − Mz(x + ∆x)]∆z. Esto da, tomando incrementos
cada vez menores, una corriente jy = −∂Mz/∂x, que es uno
de los dos términos que encontramos en el desarrollo de la
componente y de �∇ × �M . El otro término, ∂Mx/∂z, tam-
bién aparece al considerar una posible magnetización en la
dirección OX . En definitiva, vemos que la sustitución de la
magnetización por las corrientes amperianas está justifica-
da.
Dado que en un cuerpo magnetizado las corrientes equi-
valentes encontradas no producen un flujo neto de carga
(se trata de circuitos microscópicos), es lógico encontrar el
resultado siguiente: la intensidad de corriente de magne-
tización que atraviesa cualquier sección considerada en un
cuerpo imanado es nula. Esto se deja como ejercicio.
8.3 Vector �H o intensidad magnética
Si escribimos la ley de Ampère distinguiendo los tipos de
densidades de corriente que conocemos resulta
�∇× �B = µ0(� (f) + � (M)),
donde � (f) es la densidad de corriente libre y � (f) la de
magnetización. Usando la definición de esta última queda
�∇× �B = µ0
(
� (f) + �∇× �M
)
.
Dividiendo todo por µ0 y pasando el término de rotacional
del segundo al primer miembro podemos escribir
�∇× ( �B/µ0 − �M) = � (f).
Si definimos un nuevo campo vectorial, �H según la fórmula
�B = µ0( �H + �M)
la ley de Ampère se reescribe sencillamente
�∇× �H = � (f).
Al vector �H se le denomina intensidad magnética.
El nuevo aspecto de la ley de Ampère no debe llevar a
la conclusión de que la magnetización no interviene en las
fuentes del campo �H . De hecho, de la ecuación �∇· �B = 0 se
deduce que �∇ · �H = −�∇ · �M , con lo que �M produce fuentes
escalares. Más adelante comentaremos este hecho.
La ley de Ampère en presencia de medios magnetizables
en forma integral queda
∮
γ
�H · d�r = I
donde I es la intensidad de corriente libre encerrada por el
circuito amperiano γ.
La ley integral anterior permite establecer la condición de
salto en las componentes tangenciales de �H al atravesar una
corriente libre superficial. El método es totalmente análogo
al empleado en el tema 2 para el salto en �B, y el resultado
es
�n×
[
�H
]
= � (f)S
De la definición de �H y � (M)S , junto con la condición de salto
para las componentes tangenciales de �B vista en el tema 2
se deduce de forma alternativa la condición anterior. Por
otra parte, la condición de continuidad de la componente
normal de �B vista en dicho tema sigue siendo válida y ne-
cesaria para conectar las soluciones a un problema definido
en subregiones con distintas propiedades magnéticas.
Cualquier problema magnetostático en presencia de ma-
teriales cuya magnetización �M es conocida se puede plan-
tear de dos formas: mediante el cálculo de �B o mediante el
cálculo de �H .
• Planteamiento con cálculo de �B:
�∇ · �B = 0.
�∇× �B = µ0(� (f) + � (M)); con � (M) = �∇× �M.
En este planteamiento las corrientes libres y las amperianas
juegan el mismo papel, y ambas aparecen en las fórmulas
integrales que nos dan el potencial vector �A o directamente
el campo �B en función de las corrientes superficiales y/o en
volumen. En particular las corrientes amperianas superfi-
ciales vienen dadas por la fórmula ya vista � (M)S = �M × �n.
• Planteamiento con cálculo de �H:
Partiendo de la definición �B = µ0( �H + �M), buscamos las
fuentes escalares y vectoriales de �H :
�∇ · �B = 0. ⇒ �∇ · �H = −�∇ · �M.
�∇× �H = � (f).
Ahora el vector magnetización interviene en la definición de
las fuentes escalares de �H , mientras que desaparece en la
definición de las fuentes vectoriales.
En problemas en los que sólo existen materiales con mag-
netización permanente (imanes) y no hay corrientes libres el
campo �H resulta ser irrotacional, y el problema es totalmen-
te análogo a uno electrostático. De hecho podemos definir
cargas magnéticas en volumen mediante la fórmula
ρ (M) = −�∇ · �M,
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que es muy similar a la que define las cargas de polarización.
Según esta analoǵıa en la frontera de un material imanado
deben existir en general densidades superficiales de carga
magnética, que vendrán dadas por la fórmula
ρ
(M)
S = �M · �n,
Las cargas magnéticas no tienen realidad f́ısica; se trata de
una herramienta muy útil para el cálculo de campos produ-
cidos por imanes. En concreto obtenemos �H a partir de un
potencial escalar ϕM análogo a un potencial electrostático:
�H = −�∇ϕM ;
ϕM (�r) =
1
4π
∫
τ
ρ (M)(�r1)dτ1
|�r − �r1| +
1
4π
∮
Sτ
ρ
(M)
S (�r1)dS1
|�r − �r1| .
El campo �B se obtiene aplicando la fórmula �B = µ0( �H+ �M),
teniendo en cuenta que fuera del imán �M = 0.
Ejemplo:
Para ilustrar los dos planteamientos vistos vamos a considerar el pro-
blema de una esfera de radio R con magnetización uniforme �M0. Según
el primer planteamiento, las corrientes amperianas que surgen son su-
perficiales. En efecto, si la magnetización es un vector constante su
rotacional es nulo; en cambio las corrientes superficiales son
�
(M)
S
= �M × �n = M0�uz × �ur = M0senθ�uφ.
A priori no es fácil realizar la integral que da el campo en cualquier
punto del espacio,
�B(�r) =
µ0
4π
∫
S(R)
�
(M)
S
(�r1) × (�r − �r1)|�r − �r1|3
dS1.
En cambio el segundo planteamiento resulta más cómodo. No hay
carga magnética en volumen, puesto que ρ (M) = −�∇ · �M0 = 0. La
carga superficial es
ρ
(M)
S =
�M · �n = M0�uz · �ur = M0 cos θ.
El potencial magnético quedaŕıa
ϕM (�r) =
1
4π
∫
S(R)
ρ
(M)
S (�r1)
|�r − �r1|
dS1,
que puede ser calculado en todo el espacio, aunque de manera no tri-
vial.
corrientes amperianas
equivalentes
cargas magnéticas
equivalentes
M
0
M
0
+ +++ ++
+++
- --
- -----
---- - - -
++++ ++
+
Pero existe aún una posibilidad más, que lleva la analoǵıa con la
polarización hasta sus últimas consecuencias. En lugar de expresar el
potencial en función de las cargas magnéticas podemos usar la fórmula
de la cual surgen las cargas de polarización en electrostática, y escribir
ϕM (�r) =
1
4π
∫
τ
�M(�r1) · (�r − �r1)
|�r − �r1|3
dτ1.
En nuestro caso, al ser la magnetización un vector constante, puede
salir de la integral,
ϕM (�r) = �M0 ·
[
1
4π∫
τ
(�r − �r1)
|�r − �r1|3
dτ1
]
.
La integral entre corchetes no es otra cosa que el campo eléctrico de
una distribución de carga uniforme sobre una esfera de radio R, con
valor ρ = �0. Este problema, por su simetŕıa radial, puede resolver-
se muy fácilmente aplicando la ley de Gauss en forma integral a una
superficie gaussiana esférica de radio r arbitrario. El resultado es
1
4π
∫
τ
(�r − �r1)
|�r − �r1|3
dτ1 =


�r
3
0 < r < R
R3�ur
3r2
r > R.
Con todo ello, el potencial resulta
ϕM (�r) =


M0r cos θ
3
0 < r < R
R3M0 cos θ
3r2
r > R,
es decir, el campo �H es uniforme en el interior,
�H = −�∇(M0
3
r cos θ) = −M0
3
�∇z = −M0
3
�uz = −
�M0
3
,
y dipolar en el exterior, puesto que deriva de un potencial de tipo
dipolar, con momento dipolar dado por
�m =
4
3
πR3M0,
que por otra parte resulta previsible.
El campo �H va de las cargas magnéticas positivas a las negativas,
tanto por dentro como por fuera, sufriendo una discontinuidad en la
superficie de la esfera imanada. En cambio el campo �B se obtiene
del anterior sumando la cantidad �M0 en el interior, con lo que queda
�B = 2
3
µ0 �M0. Las ĺıneas de campo son cerradas.
líneas de B líneas de H
M0 M0
8.4 Leyes constitutivas
Las relaciones constitutivas que caracterizan a un material
magnetizable suelen presentarse como relación entre la mag-
netización �M y la intensidad magnética �H (a diferencia de
lo que ocurre en medios dieléctricos, donde la polarización
�P se suele relacionar con �E). Aqúı son aplicables todos
los comentarios que se hicieron en el tema anterior: hay
materiales lineales y no lineales, isótropos y anisótropos,
homogéneos y con propiedades dependientes de la posición.
En el caso de los materiales lineales, el medio está ca-
racterizado por su susceptibilidad magnética χm, de tal
forma que
�M = χm �H.
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En virtud de la relación �B = µ0( �H + �M) se define la per-
meabilidad µ del material mediante la fórmula
�B = µ0(1 + χm) �H = µ �H.
Se suele usar también la permeabilidad relativa µr =
µ/µ0 = 1 + χm.
Dentro del comportamiento lineal debemos distinguir en-
tre los materiales paramagnéticos y los diamagnéticos. En
los primeros los átomos constituyentes presentan un mo-
mento magnético neto, lo cual hace que, a pesar del efecto
de formación de dipolo por diamagnetismo (siempre presen-
te), el comportamiento global sea el de un alineamiento con
los dipolos orientados según la dirección y sentido del cam-
po externo. En cambio, en las sustancias diamagnéticas,
la inexistencia de momento magnético atómico en ausencia
de campo aplicado hace que este débil efecto sea percepti-
ble macroscópicamente como un alineamiento en el sentido
opuesto al campo aplicado. Por ello, las sustancias para-
magnéticas poseen una susceptibilidad positiva y las dia-
magnéticas negativa. En cualquier caso su valor es pequeño
y la permeabilidad relativa no difiere mucho de la unidad. A
continuación se incluye una tabla con las susceptibilidades
de algunos materiales:
Diamagnéticos Paramagnéticos
Material χm Material χm
Bismuto −1.6× 10−4 Ox́ıgeno 1.9× 10−6
Oro −3.4× 10−5 Sodio 8.5× 10−6
Plata −2.4× 10−5 Aluminio 2.1× 10−5
Cobre −9.7× 10−6 Tungsteno 7.8× 10−5
Agua −9.0× 10−6 Platino 2.8× 10−4
CO2 −1.2× 10−8 O2 (l) -200o 3.9× 10−3
Hidrógeno −2.2× 10−9 Gadolinio 4.8× 10−1
Frente a la débil magnetización de los medios lineales (rara
vez χm es un orden mayor que 10−5), los materiales ferro-
magnéticos poseen la capacidad de magnetizarse especta-
cularmente, lo cual los hace muy útiles desde un punto de
vista tecnológico. El mecanismo de magnetización no difiere
en su fundamento del correspondiente al paramagnetismo:
dipolos preexistentes son orientados por un campo externo.
Sin embargo hay que tener en cuenta que lo que orienta al
dipolo es el campo local, de naturaleza cuántica, que incluye
no sólo el campo externo aplicado, sino el de los dipolos veci-
nos. Si el campo producido por estos últimos es apreciable,
puede tener lugar un fenómeno cooperativo que dispare el
proceso de alineamiento hasta conseguir que casi todos los
dipolos estén orientados en la misma dirección y sentido. El
campo dipolar es mucho mayor que el campo externo que
sirvió para comenzar el proceso; no es extraño por tanto que
si retiramos el campo externo el material quede con magne-
tización no nula, dando lugar a imanes permanentes.
Es interesante describir en detalle qué ocurre cuando apli-
camos un campo magnético a una sustancia ferromagnética.
El montaje experimental puede consistir en un toroide de
hierro sobre el que se arrolla en N vueltas un hilo conduc-
tor alimentado por un generador, de tal forma que podamos
controlar la intensidad que pasa por el circuito.
I
M
G
H
La corriente produce un campo �H cuyo valor depende
exclusivamente de la intensidad que pasa por el hilo. Es-
to es aśı porque si en ausencia de un núcleo de hierro se
tiene �H = H(r, z)�uφ, con H(r, z) = NI/(2πr) (tomando
un circuito amperiano interior al toroide), la magnetización
será de la forma �M = M(r, z)�uφ, y por tanto �∇ · �M = 0
(compruébese) y no actúa como fuente escalar de campo �H .
Tampoco existen cargas magnéticas en la superficie del to-
roide por la perpendicularidad entre �M y �n. En definitiva,
la simetŕıa del sistema elegido permite controlar el valor de
�H exclusivamente a partir del valor de la intensidad que
alimenta el circuito.
M
Ms
-Ms
H
B
Br
µ0
HHc
Supongamos que inicialmente I = 0 y M = 0. Al au-
mentar I comprobaremos que aumenta M puesto que los
dipolos del material empiezan a alinearse con el campo ex-
terno. Si seguimos aumentando la intensidad la imanación
crece de manera no lineal, hasta que se llega a la saturación
del material, es decir, hasta que ya no es posible alinear
más dipolos en la dirección azimutal. La curva descrita en
el plano M−H se llama curva de magnetización, y el va-
lor máximo que alcanza la magnetización, Ms se denomina
magnetización de saturación. Podemos seguir aumen-
tando la intensidad y por tanto el valor de H , pero M no
aumenta ya.
Si en este punto empezamos a disminuir el valor de I
comprobaremos que una vez que alcanzamos el valor que
produce la saturación de M , la curva descrita en el diagra-
ma M −H no coincide con la curva de magnetización y M
disminuye más lentamente de lo que aumentó en el proceso
inverso. Para I = 0 no se alcanza M = 0, sino un valor Mr
llamado magnetización remanente. Debemos disminuir
aún más el valor de la intensidad, haciéndola negativa, para
conseguir que la magnetización tome valor nulo. Intensi-
dades aún más negativas consiguen cambiar el sentido de
la magnetización, hasta llegar a la saturación en el sentido
opuesto. A partir de aqúı el comportamiento del material es
análogo al descrito a partir de la saturación positiva. Un ci-
clo completo de saturación en los dos sentidos se representa
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en la figura, y se denomina ciclo de histéresis del mate-
rial. Este ciclo es caracteŕıstico de cada sustancia. También
se puede construir a partir del diagramaM−H el diagrama
B−H , que también se representa a la derecha; en él, además
del campo remanente Br = µ0Mr, se define una magnitud
más, la coercitividad o campo coercitivo, como el valor
H = Hc para el cual conseguimos anular el campo B dentro
del material.
Si en un proceso de este tipo no se llega a la saturación, el
material sigue una curva en el diagrama que no corresponde
al ciclo de histéresis. De hecho, con un proceso adecuado,
podemos alcanzar cualquier punto interior al ciclo. Por ello
no se puede dar una relación uńıvoca entre M y H para un
material ferromagnético, puesto que la magnetización de-
pende de su historia.
Los ciclos pueden ser estrechos o anchos. En el primer
caso, si es suficientemente estrecho, existe una zona en el
diagrama para la cual a un incremento de H le corresponde
un incremento en B bastante bien definido, independiente-
mente de la historia anterior de la muestra.El comporta-
miento es entonces similar al de los medios lineales, y de
hecho podemos definir una permeabilidad incremental
según la fórmula
µincr =
∆B
∆H
,
que suele tener un elevado valor. Por ejemplo cuando deci-
mos que cierta aleación en la que interviene el hierro tiene
una permeabilidad relativa de 1000 nos estamos refiriendo a
una permeabilidad incremental relativa a la del vaćıo. Por
ello no debe extrañarnos ver asignado un valor µ a ciertos
materiales ferromagnéticos.
El comportamiento macroscópico de los materiales ferro-
magnéticos se explica satisfactoriamente mediante la teoŕıa
de dominios. Según esta teoŕıa, el proceso de alineamien-
to de dipolos tiene lugar localmente en distintas direccio-
nes, creando zonas (dominios) en las que todos los dipolos
apuntan en una dirección. Son estos dominios los que son
reorientados cuando un campo externo actúa, lo cual conlle-
va un trabajo que se emplea en modificar las fronteras entre
dominios, generando calor.
Las sustancias ferromagnéticas muestran el comporta-
miento descrito para temperaturas inferiores a una dada,
llamada temperatura de Curie o temperatura cŕıtica; por
encima de ella el comportamiento es paramagnético. Su
valor vaŕıa de una sustancia a otra.
8.5 Enerǵıa y fuerzas en presencia de ma-
teriales magnetizables
En el tema 2 se asignó el papel de densidad de enerǵıa
magnética a la cantidad B2/(2µ0). Integrada a todo el
espacio nos proporcionaba la enerǵıa magnética total del
sistema. Este resultado deja de ser aplicable cuando es-
tamos en presencia de medios magnetizables. Los motivos
son los mismos que los que se vieron al calcular la enerǵıa
de un sistema eléctrico en presencia de medios polarizables:
el trabajo invertido en establecer el régimen de corrientes
en el sistema no se corresponde ni con la integral propuesta,
ni con el trabajo que podemos esperar que el sistema nos
devuelva mediante algún proceso.
Las corrientes amperianas surgen de un cambio en la es-
tructura del material (reorientación de dipolos, por ejem-
plo) como respuesta al establecimiento de un régimen de
corrientes libres. Dado que sólo podemos controlar directa-
mente estas últimas, vamos a considerar el trabajo necesario
para incrementar las corrientes libres de un sistema, y pos-
teriormente nos cuestionaremos la posibilidad de redefinir
la enerǵıa de un sistemas de corrientes para que sea útil en
presencia de medios magnetizables.
Si en un medio material tenemos un régimen de corrien-
tes libres � (f)(�r), debe existir un conjunto de generadores
que mantengan esa distribución mediante fuerzas de origen
externo al propio sistema de cargas en movimiento, y que
caracterizaremos mediante el campo �E′(�r) (fuerza por uni-
dad de carga de los portadores). Dicho campo, junto con el
eléctrico, es el responsable del movimiento de las cargas. Si
el medio es óhmico se tendrá
� (f) = σ( �E′ + �E).
El campo eléctrico no sólo incluye el debido a las distri-
buciones de carga, sino también el producido por posibles
campos magnéticos variables. La potencia desarrollada por
los generadores es
P =
∫
esp
dτ� (f) · �E′ =
∫
esp
dτ� (f) ·
(
� (f)
σ
− �E
)
.
Aparecen dos términos al desarrollar el integrando. El pri-
mero no es otra cosa que la potencia disipada por efecto
Joule, PJ =
∫
dτj2f/σ. Este término da cuenta de un tra-
bajo que no se almacena, sino que se transforma en calor, y
por tanto nos interesaremos sólo por el término restante. Si
consideramos un proceso cuasimagnetostático, es decir,
uno en el que los campos magnéticos son producidos por las
corrientes libres (y no por posibles variaciones de campos
eléctricos), podemos escribir
P − PJ = −
∫
esp
dτ� (f) · �E = −
∫
esp
dτ(�∇× �H) · �E =
= −
∫
esp
dτ(�∇× �E) · �H +
∫
esp
dτ �∇ · ( �E × �H),
donde hemos hecho uso de la ley de Ampère (es decir, omi-
tiendo la corriente de desplazamiento). También hemos em-
pleado el desarrollo de la divergencia de un producto vecto-
rial (repásese el tema 1). En el primer término resultante se
puede sustituir el rotacional del campo eléctrico mediante
la ley de Faraday, mientras que el segundo término se trans-
forma en una integral de superficie mediante el teorema de
la divergencia:
P − PJ =
∫
esp
dτ �H · ∂
�B
∂t
+ lim
R→∞
∮
S(R)
d�S · ( �E × �H).
La integral de superficie, que es el flujo del vector de Poyn-
ting, tiende a cero en el ĺımite R → ∞ si las fuentes no lle-
gan al infinito. Esto es también consecuencia directa de que
99
estamos considerando una situación cuasimagnetostática y
por tanto son despreciables las pérdidas de enerǵıa por ra-
diación. El término que queda se debe interpretar como la
parte de la potencia suministrada por los generadores que
se emplea en incrementar el campo magnético en todos los
puntos del espacio. En un intervalo δt el trabajo empleado
por los generadores en este fin es
δW = (P − PJ)δt =
∫
esp
dτ �H · ∂
�B
∂t
δt =
∫
esp
dτ �H · δ �B,
y el trabajo total en un proceso de formación de los campos
es
W =
∫
esp
dτ
[∫ [ �B(�r), �H(�r)]
[�0,�0],γ(�r)
�H · δ �B
]
,
que es muy similar a la que se obtuvo para el trabajo en
presencia de medios polarizables en el tema anterior. De
hecho la interpretación de la integral (incluyendo la curva
γ(�r)) es la misma: una integral de ĺınea en el espacio de
las componentes cartesianas de �B. Este trabajo represen-
tará una enerǵıa almacenada si la integral realizada en cada
punto del espacio es independiente del proceso de formación
de los campos.
Dos ejemplos ilustran respectivamente un caso en que el
trabajo se interpreta como enerǵıa almacenada y uno en que
no. El primero es el de los medios lineales; el segundo el de
los medios ferromagnéticos.
1. Medios lineales.- Si �B = µ �H la integral es indepen-
diente del camino y resulta
UM =
1
2
∫
esp
�B · �Hdτ.
incluso si el material es anisótropo, admitiendo que el tensor
permeabilidad es simétrico.
2. Materiales ferromagnéticos.- La integral es depen-
diente del camino, lo cual es particularmente evidente si
partimos de una muestra saturada y realizamos el ciclo de
histéresis completo para volver al estado inicial de satura-
ción. El trabajo realizado es no nulo, como debeŕıamos exi-
gir para poder interpretar la integral como una densidad de
enerǵıa; el trabajo por unidad de volumen realizado duran-
te dicho ciclo es el área encerrada por el ciclo de histéresis
en el diagrama bidimensional B −H . El trabajo realizado
sobre el material se emplea en la modificación de los domi-
nios ferromagnéticos durante el ciclo, que por ser un proce-
so disipativo se transforma en calor. Esta es la explicación
de por qué no se emplean materiales de ciclo ancho en la
confección de transformadores, en los cuales el material se
ve sometido a campos de corrientes variables que suponen
muchos ciclos por segundo. En base a la anchura del ciclo
de histéresis se suele dar una clasificación de los materiales
ferromagnéticos en duros (ciclo ancho) y blandos (ciclo
estrecho). Los últimos son usados en transformadores y los
primeros son usados como imanes permanentes.
• Fuerzas a partir del principio de trabajos virtuales
Al igual que en ausencia de medios materiales, si para
un sistema es posible definir una enerǵıa magnética UM , el
principio de los trabajos virtuales nos permite obtener la
fuerza sobre partes móviles. Si la coordenada que puede
variar es x, la fuerza generalizada será
Fx =
dUM
dx
∣∣∣∣
I
= − dUM
dx
∣∣∣∣
φ
,
donde las dos posibilidades de cálculo se refieren respecti-
vamente a procesos a intensidad o a flujo constante.
Ejemplo:
Un cilindro de radio R hecho de un material magnetizable se encuentra
uniformemente magnetizado con imanación �M en la dirección del eje
de simetŕıa. Supuesto el imán muy largo, se divide en dos mediante
un corte perpendicular al eje. ¿Con qué fuerza debemos tirar para
separar ambas partes?
Un desplazamiento virtual de separación, δx modifica la enerǵıa delsistema al aparecer una región δτ = πR2δx de vaćıo entre ambas par-
tes. Las cargas magnéticas que surgen en las superficies separadas son
iguales y de signo contrario, de valor ρ
(M)
S = ±M . Usando la ana-
loǵıa electrostática de un condensador plano, se establece en la región
un campo H = ρ
(M)
S
= M y B = µ0H = µ0M . En este cálculo no
se tienen en cuenta los efectos de borde ni la influencia de las cargas
magnéticas que existen en los otros extremos de ambas piezas.
La enerǵıa añadida al sistema es
δUB =
∫
δτ
dτ
B2
2µ0
= δτ
(µ0M)2
2µ0
=
µ0M2
2
πR2 δx.
Por tanto la fuerza magnética es, por tratarse de un proceso en ausen-
cia de generadores,
F = −dUB
dx
= −πR2 µ0M
2
2
,
es decir, una fuerza atractiva. Efectivamente nos cuesta separar ambas
partes.
8.6 Circuitos magnéticos
El bobinado toroidal con núcleo de material ferromagnético
que hemos usado para discutir un ciclo de histéresis t́ıpico
es un ejemplo de sistemas que son denominados circuitos
magnéticos, y que se caracterizan por su capacidad de ca-
nalizar el flujo magnético, Φ =
∫
�B ·d�S, casi exclusivamente
a través de conductos materiales. En dicho ejemplo el cam-
po magnético es toroidal (debido a que tanto las corrientes
libres como de magnetización resultan ser poloidales). En
el exterior el campo es nulo, mientras que en el interior
vimos que �H viene determinado por las corrientes libres
engarzadas por un circuito amperiano circular, resultando
�H = NI/(2πr)�uφ. La magnetización sólo se obtiene en ge-
neral conociendo todo el proceso seguido por el material,
pero si se trata de un material ”blando”, es decir, con un ci-
clo estrecho, podemos caracterizarlo por una permeabilidad
µ (permeabilidad incremental), que para ciertos materiales
suele ser muy elevada (µr > 1000).
100
Si la máxima anchura en la sección del toroide es pequeña
en comparación con su radio medio el campo magnético no
vaŕıa apreciablemente (r es casi constante) y se suele apro-
ximar por H = NI/L, con L el peŕımetro medio. El flu-
jo magnético a través de la sección S se calcula entonces
fácilmente:
Φ =
∫
S
�B · d�S 
 µHS = NISµ/L.
Esta cantidad permanece constante a lo largo del circuito.
Bajo las condiciones anteriores la canalización del flujo
magnético a través del material ferromagnético permite cier-
ta relajación en las condiciones geométricas del sistema:
(i) El bobinado no tiene por qué ser uniforme. Puede
restringirse a una pequeña región, aunque siempre ro-
deando al circuito material.
(ii) La forma del circuito material no tiene por qué ser es-
trictamente toroidal. Tampoco la sección transversal
tiene que ser la misma en todo el recorrido.
(iii) El material puede ser inhomogéneo, siempre que el
valor de la permeabilidad sea grande en todo punto.
Sin embargo si se practica un corte transversal de pe-
queño espesor (entrehierro) en el circuito, la capacidad
de canalización de la mayor parte del flujo magnético
permanece.
La razón de todo ello está en la alta permeabilidad de
estos sistemas, que hace que el flujo que va por el exte-
rior resulte despreciable. En efecto, en la superficie del
material, en una zona sin bobinado, se cumple la condi-
ción Hin,t = Hex,t (salto nulo de la componente tangen-
cial del vector �H si no hay corriente superficial libre); co-
mo �Bin = µ �Hin y �Bex = µ0 �Hex se tiene que la densidad
de flujo Bin,t 
 Φin/S a través de la sección S cumple
Bin,t/Bex,t = µ/µ0 >> 1 y el flujo externo o fuga puede
ser despreciado.
H=M
H 0 -+ --
+
+
Con respecto a la existencia de un entrehierro la justifica-
ción de que el flujo siga siendo canalizado reside en que las
ĺıneas del campo �B no se abren excesivamente en la zona
vaćıa (siempre a condición de que su grosor d sea pequeño
en relación a la anchura t́ıpica de la sección transversal del
circuito). De hecho el campo H en el entrehierro se asemeja
al campo electrostático de un condensador plano, tal y co-
mo ya se ha visto en un ejemplo anterior, puesto que en las
caras enfrentadas tendremos cargas magnéticas superficiales
ρ
(M)
S = M y −M respectivamente, que producen un valor
casi uniforme H = M , salvo efectos de borde que podemos
despreciar si d es pequeño. Por tanto tenemos: en el mate-
rial, magnetización M y H 
 0 (igual que ocurre fuera de
un condensador con el campo eléctrico); en el entrehierro,
ausencia de magnetización por tratarse de aire y H = M ,
con lo cual B = µ0(H +M) = µ0M en ambas regiones y se
respeta la continuidad de Bn (ver figura).
El material ferromagnético actúa como un verdadero tubo
del campo �B, puesto que sus ĺıneas son prácticamente tan-
gentes. Aunque la permeabilidad o la sección cambien de
un punto a otro del circuito, el flujo Φ es constante. Admi-
tiendo este hecho se puede construir una teoŕıa de circuitos
para estos sistemas. Si consideramos el circuito toroidal de
partida podemos escribir, según se vio,
NI = ΦRm, con Rm = l
µS
.
Con las generalizaciones indicadas posteriormente podemos
hacer un cálculo análogo. Tomando una ĺınea amperiana γ
que recorra el interior del circuito obtenemos
NI =
∮
γ
�H · d�r =
∫
γ
B(l)
µ(l)
dl,
donde dl = |d�r| es el elemento de arco en la dirección del
campo, y por tanto perpendicular a la sección en cada pun-
to, que denominaremos S(l). Según esto también podemos
escribir B(l) = Φ/S(l) donde el flujo es constante. Sustitu-
yendo,
NI = Φ
∫ L
0
dl
µ(l)S(l)
= ΦRm.
La magnitud Rm se denomina reluctancia magnética
del circuito, y el producto NI, fuerza magnetomotriz
(f.m.m.).
Es evidente la analoǵıa entre la fórmula anterior y la
fórmula que nos da la intensidad de corriente en un circui-
to eléctrico constituido por un generador y una resistencia,
ε = IR. Podemos establecer esta analoǵıa mediante la si-
guiente tabla
Circuito eléctrico Circuito magnético
I Φ
f.e.m.: ε f.m.m.: NI
R =
∫
dl/(σS) Rm =
∫
dl/(µS)
Podemos incluso ir más lejos y establecer la validez de
la teoŕıa de circuitos para circuitos magnéticos generales
101
admitiendo que (1) la suma de flujos que confluyen en un
nodo (punto de bifurcación) es cero, y (2) la suma de pro-
ductos ΦiRm,i calculados a lo largo de un camino cerrado
dentro del circuito es igual a la fuerza magnetomotriz neta
engarzada. Estas dos leyes se deducen respectivamente del
carácter solenoidal de �B y de la ley de Ampère. Se dejan
como ejercicio.
Ejemplo:
En la figura se muestra un núcleo de material ferromagnético alimen-
tado por una bobina de 100 vueltas por la que pasa una corriente de
1 A. La sección es de 6 cm2 y el material tiene una permeabilidad
relativa de 5000. Despreciando la fuga, calcúlese el flujo magnético a
través de la barra central y de la barra de la derecha.
I N
10 cm
20 cm
A�
��
��
El circuito magnético puede ser puesto en correspondencia con el
siguiente circuito eléctrico:
R
1
R
2
R
3
�
I
1
I
2
I
El flujo Φ que atraviesa el bobinado se bifurca en el punto A para
dar lugar a dos flujos, Φ1 y Φ2. Las reluctancias que debemos con-
siderar se calculan a partir de la fórmula Rm = l/(µS), siendo, a la
vista del dibujo, l = (10 + 10 + 10) cm para Rm1 y Rm3 y l = 10 cm
para Rm2. La fuerza magnetomotriz es NI. La resolución del circuito
es muy sencilla y el resultado que se pide es Φ1 = 7.54 · 10−4 Wb y
Φ2 = 2.51 · 10−4 Wb.
Ejemplo: El transformador
Un dispositivo que hace uso de la canalización del campo magnético
mediante un circuito magnético es el transformador. La figura esque-
matiza el sistema, aunque el diseño real suele ser otro.
I
1
N
1 Z
2
I
2
N
2
�
�
1
Se observan dos circuitos eléctricos, uno primario alimentado por
un generador de f.e.m. ε e impedancia interna ZG, y uno secunda-
rio con impedancia de carga Z2. Existe inducción mutua a través de
sendos devanados de N1 y N2 vueltas sobre un núcleo de material
ferromagnético, de permeabilidad µ, longitud l y sección S. Se pre-
tende analizar los reǵımenes de corriente que se establecen en ambos
circuitos.Los circuitos primario y secundario están acoplados mediante induc-
ción magnética, es decir, las variaciones temporales de la corriente en
un circuito inducen una f.e.m. de origen electromagnético en el otro.
De hecho el núcleo de material ferromagnético tiene por misión opti-
mizar dicho acoplo. Si sólo se consideran las resistencias asociadas a
los bobinados, R1 y R2, las ecuaciones de evolución de las intensidades
I1 e I2 seŕıan, según se vio en el tema 6,
ε1(t) = I1R1 + L11
dI1
dt
+ L12
dI2
dt
,
0 = I2R2 + L12
dI1
dt
+ L22
dI2
dt
,
Si lo que nos interesa es el régimen permanente cuando la f.e.m. del
circuito primario es una señal sinusoidal de frecuencia ω, podemos
generalizar la situación y añadir las impedancias asociadas al genera-
dor, ZG y al elemento que se conecta en el secundario (un aparato
eléctrico por ejemplo), que denotarmos por Z2 . Si además llamamos
L1 = L11, L2 = L22 y ±M = L12 (coeficiente de inducción mutua,
con signo dependiente del sentido de bobinado relativo y del sentido
positivo asignado a cada intensidad), escribimos lo anterior como la
siguiente relación entre fasores:
ε1 = Î1(R1 + ZG) + iωL1Î1 ± iωMÎ2,
0 = Î2(R2 + Z2)± iωMÎ1 + iωL2Î2,
Los fasores intensidad que surgen de la resolución de las ecuaciones
anteriores son
Î1 = (R2 + Z2 + iωL2)ε1/U ; Î2 = ∓iωMε1/U,
donde
U = (R1 + ZG + iωL1)(R2 + Z2 + iωL2) + ω
2M2.
En este caso general las intensidades dependen de un gran número de
parámetros y el comportamiento pude ser muy distinto para distintas
impedancias de carga Z2. En la práctica los transformadores se di-
señan con el requerimiento básico de transferir al circuito secundario
la mayor fracción posible de la potencia que suministra el generador al
circuito primario, con cierta independencia del aparato que se conecte.
Una primera simplificación fácil de conseguir en la práctica es des-
preciar las resistencias R1, RG y R2 frente a las impedancias iωL1 e
iωL2, puesto que los bobinados constan de un gran número de vueltas,
N1 y N2. Bajo estas condiciones se tiene
Î1 	 (Z2 + iωL2)ε1/U ; U 	 iωL1Z2 + ω2(M2 − L1L2).
Pero si el circuito magnético tiene fugas despreciables (comportamien-
to ideal) resulta L1L2 = M2. En efecto, el flujo magnético verifica la
ecuación
N1I1 +N2I2 =
l
µS
Φ,
y la enerǵıa magnética almacenada resulta
UB =
∫
τ
B2
2µ
dτ =
(Φ/S)2
2µ
Sl =
µS
2l
(N1I1 +N2I2)
2.
Por otra parte dicha enerǵıa se puede expresar también en función de
los coeficientes de inducción:
UB =
1
2
L1I
2
1 +
1
2
L2I
2
2 +MI1I2.
Identificando coeficientes en ambas expresiones se tiene
L1 =
µS
l
N21 ; L2 =
µS
l
N22 ; M =
µS
l
N1N2,
con lo cual se verifica la relación L1L2 = M2 y además L2/M =
M/L1 = N2/N1.
Con todo lo anterior se llega a
Î1 =
Z2 + iωL2
iωL1Z2
ε1; Î2 =
iωM
iωL1Z2
ε1.
Si ahora calculamos la diferencia de potencial a los extremos de la
carga Z2 resulta
V̂2 = Î2Z2 =
MZ2
L1Z2
ε1 =
N2
N1
ε1,
con lo cual el transformador modifica la tensión que alimenta nues-
tro aparato en proporción a la razón entre los números de vueltas,
independientemente de la impedancia de carga.
Conseguimos una transferencia óptima de potencia si además la
impedancia de carga es pequeña en comparación con la impedan-
cia inductiva en el secundario, |Z2| << ωL2. En tal caso se tiene
Î1 = ∓(L2/M)Î2 = ∓(N2/N1)Î2 y la potencia disipada en la carga es
P = V2I2 = I1ε1, es decir, la potencia suministrada por el generador.
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