unidad1

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Contenidos
1 Carga El�ectrica - Ley de Coulomb 1
1.1 Introducci�on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Fuerza Gravitatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Otras Fuerzas a Distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Interacci�on Electrost�atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.5 Propiedades de la carga el�ectrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.6 M�etodos para cargar el�ectricamente un cuerpo . . . . . . . . . . 5
1.6.1 Carga por Frotamiento : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6.2 Carga por Contacto : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6.3 Carga por Inducci�on : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.7 Unidades de carga el�ectrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.8 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.9 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.10 Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.11 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.12 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.13 Principio de Superposici�on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.13.1 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.14 Densidad de Carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.14.1 Distribuci�on de Carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.15 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.16 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.17 Acci�on de una distribuci�on de cargas sobre una carga puntual . . 17
1.18 Preguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.19 Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.20 Bibliograf��a y Problemas Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.21 Datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1
2
A LOS ESTUDIANTES
El libro de ejercicios que hoy llega a sus manos est�a elaborado de acuerdo a la
siguiente estructura.
1: PREGUNTAS : Secci�on donde se plantean situaciones en las que usted
deber�a aplicar aspectos cualitativos del tema en estudio.
2: PROBLEMAS DESARROLLADOS : Aqu�� se plantean y desarrollan prob-
lemas con la esperanza que el estilo puede ser asimilado por usted con-
siderando su e�ciencia como herramienta de estudio.
3: PROBLEMAS PROPUESTOS: Listado de problemas. Si tiene di�cultad
en su desarrollo :
(a) Revise la materia relativa al tema.
(b) Recurra a su profesor de ejercicios.
4: BIBLIOGRAFIA : Aqu�� se sugieren ejercicios complementarios a esta gu��a
de los mismos textos de consulta.
Unidad 1
Carga El�ectrica - Ley de Coulomb
Versi�on preliminar.
Mayo 12, 2000
1.1 Introducci�on
Con el prop�osito de descubrir como se comporta la naturaleza, el cient���co la
observa - con esp��ritu detestivesco - tratando de descubrir de que forma in-
teract�ua. Crea conceptos, los de�ne cualitativamente,los cuanti�ca, los de�ne
operacionalmente, formula modelos. Los conceptos iniciales son los de mate-
ria, espacio y tiempo, ya estudiados por usted en el curso de introducci�on a la
f��sica. Para interpretar como interact�ua la materia, se crea el concepto de fuerza
y al averiguar como se puede ejercer fuerza, se encuentran diferentes mecanis-
mos, algunos de �estos est�an en la naturaleza y se identi�can como fuerzas a
distancia. A continuaci�on nos referiremos brevemente a estas fuerzas.
1.2 Fuerza Gravitatoria
Toda porci�on de materia atrae a otra, la fuerza m�as familiar de esta clase es, sin
duda la gravitaci�on, esa fuerza que atrae a todos los objetos hacia el centro de
la Tierra, pero esta fuerza no es exclusiva para la Tierra, m�as a�un, todo objeto
material atrae - al igual que la Tierra - a otro objeto material, solo que esta
interacci�on puede ser tan d�ebil que no produce efectos apreciables a menos que
uno de los objetos sea grande.
Newton model�o esta fuerza para la interacci�on entre dos part��culas de materia,
nos referimos a la conocida ley de la gravitaci�on universal de Newton.
1
2 Carga El�ectrica - Ley de Coulomb
M MF F
r r
x
y 2
1 2
12 211
S
~F12 = �G
M1M2
jj~r2 � ~r1jj3
(~r2 � ~r1)
G = 6:667� 10�11 Nm2kg�2
Figura 1.1. Ley gravitacional de Newton
1.3 Otras Fuerzas a Distancia
Adem�as de la fuerza gravitacional, est�a la interacci�on electromagn�etica, la
cual estudiaremos en este curso. Un tercer tipo es la interacci�on nuclear
fuerte, la cual es responsable de que protones y neutrones se mantengan dentro
del n�ucleo at�omico. El cuarto tipo es la interacci�on nuclear d�ebil, respons-
able de algunos procesos de deca��miento de part��culas fundamentales.
Si comparamos la intensidad de estas interacciones y normalizamos1 en 1 la
interacci�on nuclear fuerte, la electromagn�etica es del orden de 10�2, la d�ebil es
de 10�5, mientras que la gravitacional es de apenas 10�38.
1.4 Interacci�on Electrost�atica
Realice la siguiente actividad experimental, con los siguientes elementos : una
peineta pl�astica, pedacitos de papel y su cabello seco.
1: Sobre una super�cie horizontal, como la mesa, ubique los trocitos de papel.
Construya el diagrama de cuerpo libre para cada uno de los trocitos.
N
Fg
Figura 1.2. Diagrama cuerpo libre.
1Alonso Finn
J. Cartes - M.C. Fuentes 3
2: Acerque la peineta a los trocitos de papel, usted observar�a que estos se
mantienen en su lugar.
3: Frote la peineta vigorosamente en su cabello. Luego acerque la peineta al
papel picado. En este caso usted observar�a que los papelitos son violenta-
mente atra��dos hacia la peineta. Analice el diagrama de cuerpo libre para
los papelitos que se encuentran adheridos a la peineta.
F
Fg
p peineta
Figura 1.3. Diagrama de cuerpo libre.
La acci�on que ejerci�o la peineta frotada sobre los papelitos se denomina fuerza
el�ectrica.
La propiedad de la materia responsable de la interacci�on el�ectrica se llama carga
el�ectrica y se representa con la letra q.
materia
carga electrica
masa gravitacional = masa inercial
Figura 1.4. Propiedad de la materia
Hemos visto que cuando un objeto se frota este mani�esta su propiedad de carga
el�ectrica , > c�omo interact�uan dos objetos frotados ?.
Para responder esta pregunta basta una sencilla experiencia. Tome dos cintas
de pl�astico y frotelas por separado, luego trate de juntarlas, usted observar�a que
ellas se repelen. Analicemos esto. Las cintas fueron frotadas en forma id�entica
luego deben tener igual propiedad, ellas no se juntan, luego interact�uan re-
peli�endose, podemos concluir entonces que objetos con igual tipo de carga
el�ectrica se repelen.
4 Carga El�ectrica - Ley de Coulomb
Observe como interact�ua el pl�astico frotado con piel con una barra de vidrio
frotada con seda. En este caso usted observar�a que los objetos se atraen, ahora
concluimos que el vidrio frotado con seda adquiere un tipo diferente de carga
al adquirido por el pl�astico frotado con piel. Existen al menos dos tipos de
carga el�ectrica diferentes y que objetos con carga el�ectrica diferente
interact�uan atray�endose.
plastico
plastico vidrio
plastico
A B
A B
F
F F
F
BA
BA
AB
AB
Figura 1.5. Interacci�on entre objetos cargados
Seg�un la notaci�on que se aplica desde los tiempos de Benjamin Franklin,
los cuerpos que se comportan como el vidrio adquieren carga el�ectrica posi-
tiva mientras que los que se cargan como el pl�astico adquieren carga el�ectrica
negativa.
1.5 Propiedades de la carga el�ectrica
1: Existen dos tipos de carga el�ectrica. La denominaci�on de positivo y
negativo es circunstancial, a�un cuando puede comprenderse al observar que
dos cuerpos con cargas de diferente tipo no act�uan sobre una tercera, se
neutralizan. A la carga positiva se le asignar�a luego un n�umero positivo
y a la negativa se le asignar�a un n�umero negativoy para sumar cargas,
operaremos considerando el signo correspondiente de cada una de ellas.
2: La carga el�ectrica se conserva, en un sistema aislado, sistema en el cual
no entra ni sale materia, la carga total es constante.
3: La carga el�ectrica est�a cuantizada. Varios experimentos, entre ellos el
experimento de la gota de aceite de Millikan ha demostrado que la carga
el�ectrica aparece en la naturaleza en cantidades que son m�ultiplos de una
magnitud. Esta magnitud corresponde a la carga el�ectrica de la part��cula
fundamental constituyente del �atomo: el electr�on. A esta cantidad de carga
el�ectrica la representaremos con la letra e. (Esta propiedad de la carga
el�ectrica, si bien es de gran relevancia no ser�a considerada en este curso
el que considera un tratamientamiento cl�asico, en consecuencia, una carga
puntual podr�a tener cualquier valor de carga q).
J. Cartes - M.C. Fuentes 5
1.6 M�etodos para cargar el�ectricamente un cuerpo
Los �atomos de una sustancia contienen igual n�umero de protones y electrones,
por lo que la materia normalmente no presenta efectos el�ectricos y se dice que
es el�ectricamente neutra o que est�a descargada. Para cargar un cuerpo habr�a
que buscar la forma de aumentar o disminuir el n�umero de electrones.
Algunas sustancias permiten el movimento de part��culas cargadas a trav�es de
ellas. Tales sustancias se denominan conductores, los materiales que no per-
miten el movimiento de cargas se denominan aisladores o diel�ectricos.
Los metales, por lo general son buenos conductores, mientras que los no metales
son aisladores. Dentro de un conductor met�alico, como el cobre, de cada �atomo
se desprenden algunos de los electrones exteriores, los que pueden moverse li-
bremente por el material. Estos electrones se llaman electrones libres.
1.6.1 Carga por Frotamiento :
Uno de los m�etodos m�as antiguos para cargar un objeto es el frotamiento. El
roce entre las dos sustancias permite el traspaso espont�aneo de electrones, por
ejemplo de la piel al pl�astico, con lo cual la piel queda cargada positivamente
y el pl�astico queda cargado negativamente. La carga por frotamiento no est�a
limitada a los aisladores. Dos sustancias distintas presentan el fen�omeno en
mayor o menor escala, pero un conductor debe ser sostenido por un mango
aislante para que mantenga la carga.
1.6.2 Carga por Contacto :
Se tiene un objeto conductor cargado y se pone en contacto con otro objeto
tambi�en conductor descargado, se produce una redistribuci�on de la carga, de
tal forma, que ambos objetos quedar�an cargados con carga del mismo tipo. La
cantidad que quede en cada objeto va a depender de la forma y tama~no del
conductor, (todo sistema busca el equilibrio, el nivel m�as bajo de energ��a).
1.6.3 Carga por Inducci�on :
Cuando un conductor est�a en presencia de otro objeto cargado, los electrones
libres del conductor se mueven, debido a la fuerza el�ectrica que ejerce el objeto
cargado sobre ellos. Esto da como resultado que el conductor se polarice, es
decir, en la zona del conductor m�as alejada al objeto cargado se acumula carga
del mismo signo.
De ser posible familiaricese con los m�etodos para cargar un objeto, usando un
electroscopio, este es un instrumento que por el momento usaremos para de-
tectar carga el�ectrica.
6 Carga El�ectrica - Ley de Coulomb
inductor
inducido
+
+
+
+
+
Figura 1.6. La distribuci�on de carga en el inducido se mantiene siempre que
est�e presente el inductor
conductor aislado
de la caja
caja
objeto carga negativo
laminas conductoras moviles
-
-
-
-
-
-
-
-
+ + + + + + + + - - - - - - - -
Figura 1.7. Electroscopio de hojas.
1.7 Unidades de carga el�ectrica
Ya hemos visto que la unidad natural de carga el�ectrica, es la cantidad de carga
que posee el electr�on.
En el sistema internacional de unidades SI, la unidad de carga el�ectrica es
el Coulomb, se simboliza con la letra C. Un electr�on tiene una carga de
1:6� 10�19C:
J. Cartes - M.C. Fuentes 7
Antes de continuar es recomendable consulte la bibliograf��a siguiente:
1.- FISICA PSSC
Cap��tulo : Fen�omenos cualitativos relacionados con la electricidad, (los cinco
primeros subt��tulos)
2.- FUNDAMENTOS DE LA FISICA MODERNA Holton-Roller
Cap��tulo : Estudio cuantitativo de la electricidad
1.8 Ejercicios
1: >Cu�antos electrones le sobran o le faltan a un objeto cuya carga es neta es
de 3:5�C ?.
La carga es positiva, luego le faltan electrones, y como :
1C = 6:28� 1018e
3:5�C = 3:5� 10�6 � 6:28� 1018e
3:5�C = 2:2� 1013e
Al objeto le faltan 2:2� 1013 electrones.
2: Una esfera conductora tiene una carga de q1 = 4:8�C, una segunda esfera
id�entica a la anterior est�a descargada, el sistema est�a constituido solo por
estas dos esferas. La esfera 1 se pone en contacto con la esfera 2( descargada
) y luego se separan. > Cu�anta es la carga en cada esfera despu�es que se
separan ?.
La carga total de un sistema aislado se conserva.
q = q1 + q2
q = 4:8�C + 0
Despu�es del contacto la carga se redistribuye por igual en ambas esferas ya
que son id�enticas:
q01 = q
0
2 =
q
2
q01 = 2:4�C
Ambas esferas quedan con 2:4�C cada una.
8 Carga El�ectrica - Ley de Coulomb
1.9 Ejercicios Propuestos
1: Un objeto A repele al B, al mismo tiempo A atrae a C, y este �ultimo repele
a D. Se sabe que D est�a cargado positivamente, > Qu�e clase de carga tienen
A , B y C ?
2: >Qu�e suceder��a si se tocasen las esferas de dos electroscopios id�enticos e
igualmente cargados si :
(a) ambos est�an cargados positivamente ?
(b) ambos est�an cargados negativamente ?
(c) uno es positivo y el otro negativo ?
3: Cuando se acerca una varilla cargada a un electroscopio cargado negativa-
mente, las hojas primero caen y luego divergen, > Qu�e carga tiene la varilla
?.
4: Tres bloques met�alicos en contacto est�an sobre una mesa de pl�astico. A
cada lado de la l��nea de bloques se colocan dos objetos cargados positiva-
mente, uno a cada lado, sin tocar a los bloques pero muy cerca. Con una
barra aislante ( descargada) se separan los bloques manteniendo los objetos
cargados en su posici�on. Despu�es se retiran.
(a) >Con qu�e tipo de carga queda cada bloque ?
(b) Explique el procedimiento, describiendo el movimiento de los portadores
de carga.
5: Describa el procedimiento que se debe seguir para cargar permanentemente
un electroscopio con carga positiva por inducci�on.
1.10 Ley de Coulomb
En 1785, Charles Agust��n Coulomb (1736-1806), realiz�o una prueba que de-
mostr�o que las interacciones el�ectricas siguen leyes semejantes a las de la inter-
acci�on gravitatoria.
Investigue en la bibliograf��a acerca del experimento que realiz�o Coulomb para encontrar
la ley para las interacciones el�ectricas.
Coulomb demostr�o que la fuerza de atracci�on o repulsi�on entre dos part��culas
cargadas es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre las
part��culas:
F�
1
r2
El concepto de cantidad de carga no era conocido con precisi�on en tiempos
de Coulomb, no se hab��a ideado la unidad de carga ni el m�etodo de medida.
Experimentos posteriores a Coulomb demostraron que a una separaci�on dada,
J. Cartes - M.C. Fuentes 9
la fuerza entre dos part��culas cargadas es proporcional al producto de las cargas
de cada part��cula, q1 y q2:
F�q1q2
Reuniendo en una sola expresi�on la informaci�on anterior, se tiene :
F = k
q1q2
r2
El valor de la constante k de proporcionalidad depende de las unidades en que
se expresen la fuerza, la carga y la distancia. En el sistema SI, la constante k
tiene el valor de 9� 109Nm2=C2.
Es necesario expresar la ley de Coulomb en la forma vectorial.
S
Fqq
r
r
x
y
1 2 12
1
2
r12
Figura 1.8. Representaci�on vectorial de la Ley de Coulomb
~F12 = K
q1q2
jj~r2 � ~r1jj3
(~r2 � ~r1)
~F12 es la fuerza el�ectrica que ejerce la carga 1 sobre la carga 2.
K es la constante de proporcionalidad, cuyo valor depende del sistema de
unidades.
q1, q2 son dos objetos puntuales (part��culas) cargadas, ubicadas en elespacio
vac��o.
~r1 vector de posici�on de la part��cula 1.
~r2 vector de posici�on de la part��cula 2.
1.11 Ejemplos
1: > Cu�anta es la separaci�on entre dos protones, para que la fuerza el�ectrica
entre ellos sea igual al peso de uno de ellos ?, mp = 1:67 � 10�27 kg,
qp = 1:6� 10�19C. El peso de un prot�on es , Fg = mpg.
Fg = 1:67� 10�27 � 9:8 kg m s�2
Fg = 1:637� 10�26 N
10 Carga El�ectrica - Ley de Coulomb
De la Ley de Coulomb,
F = k
q1q2
r2
r =
s
kq1q2
F
r =
s
9� 109(1:6� 10�19)2
1:637� 10�26
r = 0:12 m
Los protones deber��an estar separados 0.12 m para experimentar una re-
pulsi�on el�ectrica de igual magnitud que su peso.
2: El objeto B, de masa m y carga q, no tiene libertad de movimiento. El
objeto A, tambi�en de masa m y carga q est�a sujeto a un hilo de seda de
longitud l. Obtenga la separaci�on x entre los objetos A y B , tal que el
sistema est�e en equilibrio.
B A
T
l
x
θ
’θ
mg
FE
y
x
Figura 1.9. Problema 2
Para que el sistema est�e en equilibrio la fuerza neta sobre A debe ser cero,
~F = ~T + ~Fe + ~Fg
Seg�un el sistema de referencia dado
~Fe = k
q1q2
x2
{̂
~Fg = �mg |̂
~T = �T cos � {̂+ T sin � |̂
donde cos � =
x
L
Sumando componente a componente ,
T sin � �mg = 0 ! T =
mg
sin �
J. Cartes - M.C. Fuentes 11
k q2
x2
� T cos � = 0
despejando y reemplazando T,
x2 =
k q2tg�
mg
pero tg� =
p
(l2 � x2)
x
si x � l
tg� �
l
x
x =
�
q2kl
mg
�1=2
Mientras mayor es la carga el�ectrica en las esferas, mayor es la separaci�on
entre ellas.
3: Un cierta carga Q se va a dividir en dos partes, q y Q - q, > Cu�al es
la relaci�on Q / q , si las dos partes separadas una distancia dada deben
experimentar la m�axima fuerza de repulsi�on el�ectrica ?.
q Q - q
F Fd
Figura 1.10. Problema 3.
De la ley de Coulomb, se tiene, que la magnitud de la fuerza es,
F = k
q (Q� q)
d2
Para buscar el valor de q, para el cual, F es m�axima, debemos derivar la
expresi�on anterior respecto de q.
dF
dq
= k
�
Q� 2q
d2
�
F ser�a m�axima o m��nima si :
dF
dq
= 0 , o sea,
Q� 2q = 0 ! Q = 2q !
Q
q
= 2
1.12 Ejercicios Propuestos
1: Una carga puntual de +3�C se coloca a 12 cm de una segunda carga puntual
de �1:5�C. Calcule laa magnitud, direcci�on y sentido de la fuerza que act�ua
sobre cada carga.
12 Carga El�ectrica - Ley de Coulomb
2: La suma de las cargas que contienen dos peque~nas esferas es de 50 �C. Si la
fuerza de repulsi�on entre ellas es de 1.0 N, cuando se encuentran separadas
2.0 m. >, c�omo est�a distribuida la carga en las esferas ?.
1.13 Principio de Superposici�on
Habitualmente la interacci�on entre part��culas ocurre en un entorno donde hay
varios objetos cargados, lo que nos lleva a preguntarnos, > seguir�a siendo v�alida
la ley de Coulomb cu�ando hay varios objetos cargados ?, >c�omo se relaciona
el efecto total sobre una part��cula con la acci�on de cada una de ellas ?. Las
respuestas a estas interrogantes se obtienen experimentalmente.
Sea un sistema de tres part��culas qo, q1 y q2. Se observar�a y medir�a la fuerza
el�ectrica sobre qo (esta �ultima podr��a ser parte de una balanza de torsi�on,
p�endulo o cualquier otro sistema que permita medir fuerza). En un punto del
espacio P se ubica la carga q1 mientras q2 est�a muy alejada, y se mide la fuerza
que ejerce q1 sobre qo, la cual obedece a la ley de Coulomb, (�gura 1.10).
x
F
q
r - r
q
P
S
10
0 1
0
1
Figura 1.11.
se retira q1 y en el punto S se ubica q2.
F
q
P
0
x
S
q
r - r0 2
20
2
Figura 1.12.
Luego se mide la fuerza que ejercen simult�aneamente ambas cargas sobre qo,
manteniendo las posiciones P y S respectivamente. Al medir esta fuerza y
buscar su relaci�on con las medidas en 1.11 y 1.12, resulta ser la suma vectorial
de ellas,
J. Cartes - M.C. Fuentes 13
q
P
0
S
q2
q1
F0
Figura 1.13.
~Fo = ~F1o + ~F2o
~F0 : fuerza el�ectrica total sobre qo
~F10 : fuerza que ejerce q1 sobre qo como si q2 no estuviera
~F20 : fuerza que ejerce q2 sobre qo como si q1 no estuviera
Este resultado est�a demostrando que la interacci�on entre dos part��culas no se
modi�ca por la presencia de otras, es decir los efectos se superponen.
Generalizando a un sistema de n part��culas,
~Fo =
nX
j=1
~Fjo ,
donde ~Fjo es la fuerza que ejerce la j��esima part��cula sobre la part��cula qo ,
como si las dem�as no estuvieran,
~Fjo = K
qjqo
jj~ro � ~rj jj
(~ro � ~rj) =
nX
j=1
k qjqo
jj~ro � ~rj jj3
(~ro � ~rj)
1.13.1 Ejemplo
1: Obtenga la fuerza neta sobre la carga q1, para el sistema de cargas dado en
la �gura.
20 cm 10 cm
q q q
x
y
1 2 3
Figura 1.14.
q1 = 4:0�C q2 = 2:0�C q3 = 1:0�C
14 Carga El�ectrica - Ley de Coulomb
Sobre la carga q1 ejercen fuerza q2 y q3, q2 atrae a q1, mientras que q3 la
repele.
~r1 = �0:20 {̂ m ~r2 = �0:0 m ~r3 = �0:10 {̂ m
~F = K q1
�
q2(~r1 � ~r2
jj~r1 � ~r2jj3
+
q3(~r1 � ~r3)
jj~r1 � ~r3jj3
�
reemplazando los valores
~F1 = 9� 109 � 4:0� 10�6
�
� 2:0� 10�6(�0:20{̂
(0:20)3
+
1:0� 10�6(�0:30{̂
(0:30)3
�
~F1 = 1:4 {̂ N
? para ejercitar, usted calcule la fuerza el�ectrica sobre q2 y sobre q3.
1.14 Densidad de Carga
1.14.1 Distribuci�on de Carga
Hasta ahora hemos aplicado la ley de Coulomb a distribuciones discretas de
carga, por lo que podemos generalizar a distribuciones continuas de carga.
Para caracterizar una distribuci�on continua de carga debemos de�nir el concepto
de densidad de carga. La densidad de carga � informa c�omo est�a distribuida
la carga en el espacio, por lo tanto la densidad de carga es una funci�on del
espacio y del tiempo. Operativamente se de�ne como:
�(x;y;z) =
dq
dv
donde dq es la carga contenida en el elemento de volumen dV localizado en el
punto (x,y,z).
Si la carga esta distribuida uniformemente en el espacio, la funci�on densidad de
carga que la describe en una constante, desde luego, a escala at�omica la densidad
de carga var��a notablemente de un punto a otro, pero nosotros nos referimos a
sistemas a gran escala, tan grandes que un elemento de volumen dv = dxdydz
si bien es peque~no comparado con el tama~no del sistema, es lo su�cientemente
grande para contener muchos �atomos.
Normalmente la distribuci�on de cargas se caracteriza mediante la funci�on densi-
dad de carga ya enunciada no obstante es conveniente considerar las dimensiones
del cuerpo cargado y si alguna de ellas es peque~na comparada con las otras, es
preferible trabajar con los conceptos de densidad super�cial de carga (�) y den-
sidad lineal de carga (�) seg�un sea el caso.
J. Cartes - M.C. Fuentes 15
La densidad super�cial de carga se de�ne:
�(x;y;z) =
dq
ds
y se aplica a l�aminas ya sean planas curvas como por ejemplo un casquete
esf�erico o un manto cil��ndrico.
La densidad lineal de carga se de�ne:
�(x;y;z) =
dq
dl
y se aplica a �lamentos ya sean rectos o curvos.
1.15 Ejercicios Resueltos
1. Un �lamento recto de largo L tiene q cantidad de carga distribuida uni-
formemente. Obtenga la funci�on densidad de carga.
Como la carga esta distribu��da uniformemente la funci�on que la describe
es una constante, y como el objeto es lineal se usa la densidad lineal,
entonces:
� =
q
L
C=m
2. Un �lamento recto se ubica entre x = 0 y x = L. La densidad de carga
para el �lamento es :
� = a x
donde a > 0. obtenga la carga neta del �lamento.
De la de�nici�on de carga se deduce que:
q =
Z
L
o
� dL
como el �lamento est�a orientado seg�un el eje X, dL = dx, reemplazando
en la ecuaci�on anterior:
q
Z L
o
ax dx
q = aLz=2
donde q es la carga neta del �lamento.
3. Un disco de radio R ubicado en el plano Z = 0 se caracteriza por la funci�on
� = ar , donde a > 0 . Obtenga la carga total del disco
16 Carga El�ectrica - Ley de Coulomb
����
����
����
����
����
����
x
y
z
dS = rdrd θ
Figura 1.15. Disco uniformemente cargado.
dS = rdrd�
La carga total del disco se obtiene por:
q =
Z Z
� ds
reemplazando � y dS
q =
Z 2�
o
Z
R
o
ar2 dr d�
q = 2� aR3=3
1.16 Ejercicios Propuestos
1. Una varilla de 60 cm de longitud se encuentra uniformemente cargada
falt�andole 2:5 �1014 electrones. > Cu�anta es la densidad de carga de la
varilla?
2. Una varilla se ubica entre x = 0:0cmyx = 80cm, se caracteriza por pre-
sentar una distribuci�on de carga dada por:
� = 4:5� 10�3x(C=m)
(a) Describa cualitativamente la distribuci�on de cargas en la varilla
(b) Obtenga la densidad media de carga de la varilla.
3. Un aro de radio R tiene una densidad de carga dada por,
� = a cos �
(a) Haga un diagrama que muestre aproximadamente la distribuci�on de
carga en ambos aros.
J. Cartes - M.C. Fuentes 17
(b) Se a�rma que :
i) La carga neta en ambos aros es cero
ii) El aro 1 es positivo y el aro 2 negativo
iii) Ambos aros est�an polarizados
>Cu�al de las a�rmaciones anteriores son verdaderas?
(c) Al superponer ambos aros. >Cu�al ser��a la funci�on densidad de carga
que describir��a al aro resultante?
4. Un disco de radio R = 20cm. est�a uniformemente cargado con carga
Q = 2:6�C. Obtenga la densidad super�cial de carga del disco.
5. Un disco de radio R tiene una distribuci�on de carga:
� = br
Obtenga la densidad media de carga del disco.
6. Un disco de radio R tiene una distribuci�on de carga dada por
� = A cos�
Obtenga la carga total del disco
7. Un disco de radio R tiene una distribuci�on de cargas dada por :
� = Br cos�
Haga una descripci�on cualitativa de la distribuci�on de cargas en el disco
y obtenga la carga neta en �el.
8. Un casquete esf�erico de radio R = 5:0cm. tiene una carga neta de 4:8�C
distribuida uniformemente en su super�cie. Obtenga la densidad super�-
cial de carga en la esfera.
9. Un casquete esf�erico de radio Rz = 20cm. tiene una distribuci�on de carga
� = 2:0�C=m2 >Cu�anta es la carga neta en la esfera
10. Un cilindro in�nitamente largo de R = 2:0cm. tiene una densidad de
carga:
� = 4:0� 10�7 r (C=m3)
>Cu�anta es la carga por unidad de longitud de cilindro?
1.17 Acci�on de una distribuci�on de cargas sobre una carga
puntual
Una carga puntual qo se encuentra en la vencidad de una distribuci�on de car-
gas. Entre la distribuci�on de cargas y la carga puntual ocurre una interaccoi�on
el�ectrica que se puede predecir recurriendo a la ley de Coulomb y al principio
18 Carga El�ectrica - Ley de Coulomb
de superposici�on.
Podemos considerar que la distribuci�on de carga est�a constituida por peque~nos
elementos de volumen dV, cada uno de los cuales se comporta como una carga
puntual.
r - r’
r 
r’
dF
dq
dV
x
y
z
q o
Figura 1.16. Ley de Coulomb aplicada a una distribuci�on continua de carga.
Sea ~r0 el vector que especi�ca la posici�on de la carga dq, ~r es la posici�on de la
carga Qo d ~F es la fuerza que ejerce la carga dq sobre qo como si el resto de la
distribuci�on no existiera. d ~F se puede calcular aplicando la ley de Coulomb.
d~F = k
qodq
k ~r � ~r0 k3
(~r � ~r)
x
y
z r
r
r
dF
dF
dq
dq r - r
r - r
n
q o
1
1
1
n
n
1
n
Figura 1.17. Principio de superposici�on aplicado a una distribuci�on continua de
cargas.
J. Cartes - M.C. Fuentes 19
Pero sobre qo act�uan todos los dem�as elementos de volumen que constituyen la
distribuci�on de cargas.
Con este esquema queremos destacar que la interacci�on entre los diferentes el-
ementos de volumen est�a determinada por la ubicaci�on del elemento y por la
cantidad de carga que �este tenga.
20 Carga El�ectrica - Ley de Coulomb
1.18 Preguntas
1: Una carga �ja A ejerce determinada fuerza coulombiana sobre la carga B.
Indique si se altera la fuerza que A ejerce sobre B al acercarse a B otras
cargas.
2: Indique si un objeto puntual el�ectricamente neutro puede experimentar una
fuerza el�ectrica neta?
3: Una esfera cargada, muy peque~na cuelga verticalmente de un hilo. Indique
un m�etodo para determinar el signo de la carga.
4: (a) >Por qu�e no se puede electri�car una varilla met�alica frot�andola mien-
tras se le mantiene con la mano?
(b) >Qu�e podr��a hacer para electri�car una varilla de metal?
5: >Qu�e suceder��a si se tocasen las dos esferas de dos electroscopios id�enticos
e igualmente cargados?
(a) >Si los dos est�an cargados positivamente?
(b) >Si ambos est�an cargados negativamente?
(c) >Si uno es negativo y el otro positivo?
Explique >porqu�e?
6: Cuando acercamos una varilla cargada a un electroscopio cargado negativa-
mente, las hojas primero caen y luego divergen >Qu�e signo posee la carga
en la varilla?
7: Tres bloques met�alicos en contacto descansan sobre una mesa de pl�astico,
ahora colocamos dos objetos con fuertes cargas positivas, uno a cada lado
de la l��nea de los bloques, muy pr�oximos, pero sin tocarlos. A continuaci�on
con una barra aislante (descargada) se separan los bloques manteniendo los
objetos cargados en su posici�on. Finalmente se retiran �estos.
1: >Qu�e tipo de carga existe ahora en cada bloque?
2: Explicar como los bloques adquirieron estas cargas describiendo el
movimiento de las part��culas negativas.
3: Describir los pasos que se seguir��a para cargar un electroscopio con
carga positiva por inducci�on.
4: Por medio de esquemas, describir el movimiento de las part��culas
el�ectricas negativas durante el proceso de carga.
NOTA : Se sugiere trabajar en el Sistema Internacional de Unidades
1.19 Problemas Resueltos
1: Dos globos llenos de helio, atados a una masa de 5 gramos se hallan en
equilibrio como se indica en el dibujo. Cada globo tiene una carga Q.
Hallar el valor de Q.
J. Cartes - M.C. Fuentes 21
g
m
60 cm
100 m
Figura 1.18. Problema 1.
Para determinar Q, por el momento
la �unica herramienta es la ley de
Coulomb, pero si la analiza, notare-
mos la necesidad de determinar, antes
la fuerza de interacci�on el�ectrica entre
los globos.
(a) C�alculo de la fuerza el�ectrica ( >C�omo? )
Utilizando la informaci�on del problema, lo cual implica aplicar las condi-
ciones de equilibrio est�atico al sistema, es decir la fuerza neta sobre cada
elemento del sistema es nula. Especi�quemos cada una de las fuerzas
que participan.
1.- Esquema
m
F
F
F
F
F
1
2
4
5
6
F
3
Figura 1.19. Diagrama de cuerpo
libre.
NOTA : Suponemos los hilos in�nita-
mente livianos y de masa despreciable
~F1 : Fuerza que ejerce la tierra so-
bre la masa.
~F2 : Fuerza que ejerce el hilo sobre
la masa.
~F3 : Fuerza que ejerce el hilo sobre
el globo.
~F4 : Fuerza que ejerce la Tierra so-
bre el globo.
~F5 : Fuerza coulombiana entre los
globos.
~F6 : Empuje del aire sobre el glo-
bo.
22 Carga El�ectrica - Ley de Coulomb
2.- Ecuaciones :
?
6
-
�
�
�
�	
�
~F4
~F5
~F6
~F3
~�
Cond. de equilibrio est�atico,
~F3 + ~F4 + ~F5 + ~F6 = ~0 (1.1)
pero,
~F3 = �Tcos�{̂� Tsin�|̂
~F4 = �mg|̂
~F5 = ~FE (con FE =
kQ
r2
2
)
~F6 = F6 |̂
Reemplazamos en (1.1)
�Tcos�{̂� Tsin�|̂�mg|̂+ FE {̂+ F6|̂ = 0{̂+ 0|̂
De aqu�� se obtiene
�Tcos� + FE = 0 (1.2)
�Tsin� � mg + F6 = 0 (1.3)
Donde nos interesa s�olo la ecuaci�on 1.2, porque contiene a la fuerza
el�ectrica, pero es necesario determinar T (la ecuaci�on 1.3 no es �util para
este prop�osito pues se desconoce la masa del globo y el empuje),para
ello trabajemos con el diagrama de cuerpo libre de la masa.
�
�
�
���
A
A
A
AAK
?
x
~F1
~F2~F
0
2
~F1 + ~F2 + ~F
0
2 = ~0 (1.4)
pero,
~F1 = �mg|̂
~F2 = Tcos�{̂+ Tsin�|̂
Reemplazando en (1.4)
�mg|̂� Tcos�{̂� Tsin�|̂+
�Tcos�{̂+ Tsin�|̂ = 0{̂+ 0|̂
de aqu��.
�mg + 2Tsin� = 0 (1.5)
luego
T =
mg
2sin�
(1.6)
J. Cartes - M.C. Fuentes 23
reemplazando (1.6) en (1.2)
FE =
mg
2sin�
cos�
es decir
FE =
mg
2tg�
;
n�otese que la fuerza el�ectrica queda expresada en funci�on de t�erminos
conocidos.
C�alculo de la carga Q, Como,
F2 =
KQ2
r2
con r = 60� 10�2 m, separaci�on entre los globos los que hemos consi-
derado como cargas puntuales.
Entonces
KQ2
r2
=
mg
2tg�
Luego
Q =
� mg
2K tan �
r2
�1=2
con � = arcos 0.3
luego tan � = 3.2
Evaluando
Q =
�
5� 10�3 � 9:8
9� 109 � 2� 3:2
�1=2
� 0:6 C:
Q � 5:6� 10�7 C
2: Dos cargas iguales de magnitud Q = 2:40� 10�6 C est�an ubicadas en el eje
de abscisas en x = �10:0 cm. respectivamente. Determine la magnitud
y la direcci�on de la fuerzaque experimenta una tercera carga de magnitud
q = 1:20� 10�6 C, colocada en el eje de ordenadas en el punto ( x = 0:0
cm y = 10
p
3 cm)
pero : q1 = q2 = Q
j~r13j = j~r23j = j~rj
24 Carga El�ectrica - Ley de Coulomb
q
F F
F
q q
-10 +10
10 3 cm
cm cm0
3
13 23
2 1
3
Figura 1.20. Problema 2.
El diagrama muestra claramente que
la fuerza resultante sobre la carga q3
tiene componente solo en |̂
Sea ~F3 la fuerza el�ectrica ejercida por
q1 y q2 sobre q3 , entonces ,
~F3 = ~F13 + ~F23
donde ~F13 y ~F23 son las fuerzas
el�ectricas que ejercen q1 sobre q3 y q2
sobre q3, las que satisfacen la ley de
Coulomb,
~F3 = k
q1q2
r213
r̂13 +
kq2q3
r223
r̂23
donde,
r̂13 = � sin �{̂+ cos �|̂
r̂23 = sin �{̂+ cos �|̂
y
~F3 =
kQq
r2
(� sin �{̂+ cos �|̂+ sin �{̂+ cos �|̂)
~F3 =
kQq 2 cos � |̂
r2
pero r =
�
102 + 3� 102
�1=2
= 20:0 cm
cos � =
10�
p
3
r
luego evaluando
~F3 =
2� 9� 109 � 2:40� 10�6 � 1:20� 10�6 � 10
p
3� 10�2|̂
0:23
~F3 = 1:12 |̂ (N)
Comentario: Para que un objeto tenga una carga el�ectrica de 2:40� 10�6C
necesita perder 1:15�1013 electrones, como la masa en reposo de un electr�on
es de 9:1� 10�31 kg, el objeto disminuye su masa en 1:0� 10�17 kg,> es
signi�cativo esta disminuci�on de masa ?
3: Una part��cula de carga �e y una masa m describe una �orbita circular
alrededor de otra part��cula de carga +e y masa 1836 m (m = masa del
electr�on en reposo). Si el radio de la �orbita es 5:28� 19�9 cm. Calcule el
n�umero de revoluciones que da la part��cula en cada segundo. con
J. Cartes - M.C. Fuentes 25
R
-e
+e
orbita circular
Figura 1.21. Problema 3.
Si la part��cula se mueve seg�un una
�orbita circular, con velocidad angular
constante, sobre ella act�ua una fuerza
centr��peta :
~Fc = �
m2v
2
R
r̂
R : radio de la �orbita
r̂ : vector unitario radial, origen del sistema referencial en m1
v : velocidad tangencial
El origen de esta fuerza centr��peta esta en las interacciones el�ectrica y gra-
vitatoria de las part��culas m1 y m2, (aunque la gravitatoria es despreciable
comparada con la el�ectrica).
~F12 = �
kq1q2
R2
r̂ �
Gm1m2
R2
r̂
~F12 = �
ke2
R2
r̂ �
G� 1836m2
R2
r̂
Reemplazando los valores num�ericos :
~F12 = �
9� 109 � (1:6� 10�19)2
(5:28� 10�11)2
r̂ �
6:67� 10�11 � 1836� (9:11�31)2
(5:28� 10�11)2
r̂
~F12 = �8:26� 10�8r̂ � 3:65� 10�47r̂
Obviamente la fuerza gravitatoria es despreciable, por lo tanto no tiene
incidencia en este caso, luego :
~F12 = �8:26� 10�8r̂ (N)
as��,
�
m2v
2
R
r̂ = �8:26� 10�8r̂ (N)
pero
v =
2�R
T
= 2�R� (� : frecuencia)
reemplazando v :
m2(2�R�)
2
R
= 8:26� 10�8
� =
1
2�
r
8:26� 10�8
9:11� 10�31 � 5:28� 10�1
f = 6:6� 1015 Hz
26 Carga El�ectrica - Ley de Coulomb
4: Dos cargas q1 y q2 satisfacen la condici�on q1 + q2 = Q , en que Q es con-
stante, para que la fuerza entre ellas sea m�axima para una separaci�on �ja.
Calcule las cargas q1 y q2.
Como el sistema est�a aislado, la carga en �el se conserva, es decir,
q1 + q2 = Q ; con Q constante
q1 y q2 interact�uan, como :
F12 =
kq1q2
R2
donde R es la distancia de separaci�on entre q1 y q2. Reemplazando q2 en
t�erminos de Q y q1, se tiene :
F12 =
kq1
R2
(Q� q1)
Si q10 es la cantidad de carga en la esferita 1, que hace que la interacci�on
sea m�axima debe cumplirse :
dF12
dq1
����
q10
=
k
R2
(Q� 2q10) = 0
luego
Q � 2q10 = 0
Q = 2q10
q1 =
Q
2
= q2
luego, las cargas deben distribuirse por igual en ambas esferitas.
5: Dos esferas de corcho, una de masa m y otra de masa 2m, est�an suspendi-
das de hilos de seda de longitud l. Cada una tiene una carga q. Demuestre
que su separaci�on d respecto del equilibrio, est�a dada por d =
�
3kq2l
2mg
�1=3
.
suponga que los �angulos �1 y �2 son peque~nos.
J. Cartes - M.C. Fuentes 27
l
d
mm
θ θ
d - x x
1 2
1 2
Figura 1.22. Problema 5.
La soluci�on a este problema se en-
cuentra aplicando las condiciones de
equilibrio est�atico del sistema. Es-
peci�quemos las fuerzas que act�uan
sobre cada parte del mismo,
El diagrama de cuerpo libre se aplica sobre la masa m2.
u
?
-A
A
A
A
A
AK
�2~T1 ~F2
~F1
'
~T1 + ~F2 + ~F1 = ~0 , con :
~T1 = tensi�on de la cuerda
~F2 = fuerza de interacci�on el�ectrica
~F1 = peso de la masa
Se desprecia la masa de los hilos, y la fuerza de interacci�on gravitatoria
entre las masas, luego:
�T1 sin �2{̂+ T1 cos �2|̂+ F2 {̂� F1 |̂ = 0
de donde,
F2 = T1 sin �2
F1 = T1 cos �2
F2 = F1 tan �2 � F1
x
l
(5.1)
pero no se conoce el valor de x. Se usa entonces, la informaci�on propor-
cionada por el equilibrio de la otra esfera:
28 Carga El�ectrica - Ley de Coulomb
�
?
�
�
�
�
���
~F3
~F5
~T2�1
(d-x)
~T2 + ~F5 + ~F3 = ~0
T2 sin �1{̂+ T2 cos �1|̂� F2 {̂� F3 |̂ = 0
F2 = T2 sin �1
F3 = T3 cos �1
F2 = F3 tan �1 � F3
�
d� x
l
�
(5.2)
de 5.1
x =
F2
F1
l
x =
kq2
d2
l
2mg
remplazando en 5.2
kq2
d2
=
mg
l
�
d�
kq2
d2
l
2mg
�
se debe despejar d :
kq2
d2
+
mg
l
kq2
d2
l
2mg
= mg
d
l
3kq2
2d2
= mg
d
l
d3 =
3kq2l
2mg
d =
�
3kq2l
2mg
�1=3
cm
6: Dos esferas conductoras id�enticas tienen distinta cantidad de carga. A una
separaci�on r, la fuerza sobre cada una es F . Posteriormente se colocan
en contacto y se vuelven a su separaci�on inicial, nuevamente la fuerza de
J. Cartes - M.C. Fuentes 29
interacci�on es F , solo que ahora es repulsiva. >Cu�al es la raz�on entre las
dos cargas iniciales en las esferas ?
xxq1 q2r
(1) ~F = �
kq1q2 r̂
r2
xxq0 q0r
(2) ~F 0 = �
kq02 r̂
r2
El enunciado plantea que inicialmente las part��culas est�an en equilibrio
est�atico y en un sistema aislado (sin transferencia de carga), y son opuestas
luego:
(a) (6.1) Q = q1+ q2 , y que la fuerza de interacci�on coulombiana es:
(b) (6.2) F = �
kq1q2
r2
, en (a) no considera el signo menos porque
ya est�a en (b)
La otra condici�on es que las esferas se tocan, como consecuencia de ello
tenemos que se produce :
(a) equilibrio de carga
(b) redistribuci�on de ella.
(c) ambas esferas tienen igual cantidad de carga en signo y cantidad por lo
tanto las otras condiciones son:
(d) q1 + q2 = 2q
0 (6.3)
(e) F 0 =
kq02
r2
(6.4)
ya que j~F j = j~F
0
j podemos escribir que:
kq1q2
r2
=
kq
02
r2
) q
02 = �q1q2 (6.5)
luego tomando (6.3) y elevando al cuadrado:
4q02 = q21 + 2q1q2 + q
2
2 ;
y reemplazando en (6.5)
q21 + 2q1q2 + q
2
2 = �4q1q2
reordenando los t�erminos
q21 + 6q1q2 + q
2
2 = 0
as�� que
q1 =
�6q2 �
p
36q2 � 4q22
2
q1 =
�6q2 �
p
32q2
2
30 Carga El�ectrica - Ley de Coulomb
q1 =
�6q2 � 5:48q2
2
q1 =
�0:344
2
q2
q1
q2
= �0:17 ;
o bien
q2
q1
= �0:17 , ya que los sub��ndices son arbitrarios
7: Una part��cula de carga +2e pasa r�apidamente por el mismo centro de masa
de un sistema de dos part��culas �jas de carga +e cada una, movi�endose a lo
largo de una recta, como muestra el dibujo. >En qu�e lugar de la trayectoria
la part��cula m�ovil experimenta mayor fuerza?
F
F
r
x
b
2
x
+e
+e
α
13
23
Figura 1.23. Problema 7.
Sea x la posici�on instant�anea de la part��cula y determinemos las fuerzas que
act�uan sobre +2e, incluyendo las gravitacionales.
Elaborando un c�alculo aproximado y por separado de los m�odulos corres-
pondientes tenemos que :
~FG = �
GM2
r2
r̂ del diagrama FG =
2Gm2
r2
cos�
FG =
2Gm2
r2
�
x
r
las fuerzas el�ectricas son:
~FE = �
2ke2
r2
r̂ con , FE =
2ke2
r2
�
x
r
�
J. Cartes - M.C. Fuentes 31
y peso ~mg = 9:11� 10�31 � 10|̂ = �9:11� 10�30|̂ N
comparemos:
FE
FG
=
2ke2=r2
2Gm2=r2
=
ke2
Gm2
=
9� 109 (1:6� 10�19)2
6:67� 10�11 � (9:11� 10�31)2
=
2:3� 10�29
5:53� 10�73
FE = 4:2� 1044FG FG es despreciable respecto de FE
FE
mg
=
2kq2=r2
9:0� 10�30
por lo tanto podemos trabajar tranquilamente solo las fuerzas de interacci�on
coulombiana, y las que contribuyen ser��an :
~F1 =
2kq2x {̂
(x2 + y2)3=2
ya que por simetr��a las componentes en |̂ se anulan. Necesitamos conocer
el punto en que la fuerza es m�axima o m��nima, as�� que la condici�on es :
d~F
dx
= ~0 , trabajemos el m�odulo
d
dx
2
664 2ke2x
[x2 + (
b
2
)2]3=2
3
775 = 2ke2
�
(x2 +
b24
)�3=2 � 3x2(x2 +
b2
4
)�5=2
�
reordenando,
2ke2
2
664 1
(x2 + (
b
2
)2)3=2
�
3x2
(x2 + (
b
2
)2)5=2
3
775 = 0
as��,
1
(x2 + (
b
2
)2)3=2
2
6641� 3x2
(x2 + (
b
2
)2)
3
775 = 0
de donde ,
3x2
(x2 + (
b
2
)2)
) 3x2 = x2 +
b2
4
32 Carga El�ectrica - Ley de Coulomb
2x2 =
b2
4
) x2 =
b2
8
entonces :
x =
s
b2
8
�nalmente.
x = �
b
2
p
2
La part��cula es frenada cuando se acerca a las cargas, y acelerada cuando
se aleja de ellas.
8: A menudo conviene ignorar el hecho de que las cargas vienen en unidades
cuantizadas, y considerar, una "densidad de carga" continua � (x,y,z), que
presenta la carga por unidad de volumen en un elemento volum�etrico in-
�nitesimal, situado alrededor del punto (x; y; z). Suponga que la densidad
de carga en todas las partes dentro de la esfera de radio R est�a dada por
� (r) = �r, en que r es la distancia desde el centro de la esfera, y �, una
constante de proporcionalidad. Demuestre que la carga total Q contenida
en la esfera est�a dada por Q = ��R4.
El problema se reduce a considerar el elemento de volumen dV , y que en
una esfera y en coordenadas esf�ericas es:
dV = dxdydz = r2dr sin �d�d;
y si
dq
dV
= �(r)) dq(r) = �(r)dV
siendo �(r) = �r
reemplazando
dq(r) = �r3dr sin �d�d;
luego;
Q(r) = �
RZ
0
r3dr
�Z
0
sin �d�
2�Z
0
d;
Q(r) =
�R4
4
[�(cos� � cos 0)]2�
Q(r) = ��R
4 C.
9: Una part��cula puntual con carga q1 y masa m se proyecta directamente
sobre una carga q2 ; ambas cargas son positivas. Si la velocidad inicial del
proyectil muy lejos de q2 es vo, como se ilustra en el diagrama, demuestre
que la distancia m��nima de aproximaci�on esta dada por D = 2kq1q2=mv
2
o .
J. Cartes - M.C. Fuentes 33
d v
Figura 1.24. Problema 9.
Si la part��cula es m�ovil, aplicando ~F = m~a (segunda ley de Newton),
la part��cula es frenada por la fuerza de interacci�on el�ectrica entre ambas
cargas, luego :
~F =
kq1q2
x2
x̂:
Aislando el sistema, es decir dejando fuera ~mg y analizando el fen�omeno
desde el punto de vista el�ectrico, tenemos
~F = �~Fc, trabajando sus m�odulos
ma =
kq1q2
x2
(recordando que ~a = ax̂)
y reescribiendo
a =
dv
dt
=
dv
dx
dx
dt
es decir
a = v
dv
dx
por lo tanto:
v
dv
dx
=
kq1q2
mx2
reordenando:
vdv =
kq1q2
m
dx
x2
integrando desde:
v=oZ
vo
vdv =
kq1q2
m
DZ
do
dx
x2
tenemos
v2
2
����
v=o
vo
= �
kq1q2
m
1
x
����
D
do
reemplazando
(0)2 �
v2
o
2
= �kq1q2
�
1
D
�
1
d0
�
si do � 1 ' 0 con d0 !1
34 Carga El�ectrica - Ley de Coulomb
�nalmente
D =
2kq1q2
mv20
(corresponde a
mv2
2
= energ��a cin�etica).
concluyendo la part��cula rebota.
10: Un mu�on es una part��cula elemental cuya carga es igual a la del electr�on,
pero cuya masa es 206 veces mayor. Si se supone que el electr�on de un
�atomo de hidr�ogeno se mueve en una circunferencia alrededor del prot�on,
atra��do por una fuerza de 8:1� 10�8 N , y que se aplica la segunda ley de
Newton, halle :
(a) El radio de la �orbita del electr�on
(b) El radio de la �orbita del mu�on que tenga la misma cantidad de
movimiento angular en un �atomo consistente en un mu�on que orbita
alrededor de un prot�on.
(c) La energ��a cin�etica de cada part��cula en sus �orbitas. respectivas.
(d) La velocidad del electr�on y la del mu�on de dicha �orbita.
Supongamos el sistema aislado (~Fext = ~0), debe existir una fuerza
centr��peta, luego
mac =
kq1q2
R2
as�� que : si ~F = 8:1� 10�8r̂ N
entonces :
8:1� 10�8 =
kq1q2
R2
! 8:1� 10�8 =
ke2
R2
de donde
R2 =
ke2
8:1� 10�8
=
9� 109 � (1:6� 10�19)2
8:1� 10�8
R2 = 2:84� 106�21 ) (2; 84� 10�21)1=2
R = 5:33� 10�11
(a) Re = 5:33� 10�11 m.
(b) recordemos que :
8<
:
~L = ~r �m~v
j~Lj = rmv sin(~r; ~v)
L = rmv si~r ? ~v
por lo tanto
Le = 5:33� 10�11 � 9:11� 10�31ve
Le = 4:85� 10�41ve
J. Cartes - M.C. Fuentes 35
y ve puede se deducida del enunciado, ya que
m
v2
e
re
= 8:1� 10�8 ) ve =
�
8:1� 10�8Re
m
�1=2
as�� que
Le = 4:85� 10�41
�
8:1� 10�8 � 5:33� 10�21
9:11� 10�31
�1=2
Le = 4:85� 10�41 � 2:1769 =) Le = 1:0� 10�34 (kg m2/s)
veamos para el mu�on.
Le = m�v�r� m� = 206me
Le = 206mev�r�
pero v� es : m�
v2�
r�
=
ke2
r2�
as�� que
v2
�
=
ke2
m� r�
) v� =
�
ke2
206mer�
�1=2
reemplazando
Le = 206mev�
�
ke2
206mer�
�1=2
()
2
elevando al cuadrado
L2
e
= (206me)
2r2
�
v2
e
L2
e
= 206mek
2
e
r� =) r� =
L2
e
206mek2e
r� =
(1:0� 10�34)2
206� 9:11� 10�31 � 109(1:6� 10�19)2
r� =
1� 10�68
4:74624� 10�66
) r� = 2:3� 10�13m
(c) las energ��as cin�eticas son:
Ece =
1
2
mev
2
e =
1
2
�
8:1� 10�9 � 5:33� 10�11
�
Ece = 2:15� 10�19 J:
y para el mu�on.
Ec� =
1
2
m�
�
k2
e
m�v�
�
=
1
2
k2
e
v�
=
1
2
�
9� 109 � 1:6� 10�19
2:57� 10�13
�
Ec� = 4:48� 10�16 J:
y las velocidades son : ve = v� = 2:17 � 106 m/s , la masa hace la
diferencia.
36 Carga El�ectrica - Ley de Coulomb
11: Dos esferas similares de masa m se
cuelgan de hilos de seda de longitud
l y llevan cargas similares q como se
muestra en la �gura. Sup�ongase que
� es tan peque~no, que tan � puede
reemplazarse por sin � por ser apro-
ximadamente igual.
Haciendo esta aproximaci�on, de-
mostrar que,
x =
�
q2l
2��omg
�1=3
l
θ θ
Figura 1.25. Problema 11.
Siendo x la separaci�on entre las bolas. Si l = 120 cm, m = 10 g y x = 5:0cm
>Cu�anto vale q?
Suponga que cada esfera, pierde carga a raz�on de 1:0� 10�9 C/seg. >Con
qu�e velocidad instant�anea relativa (= dx/dt) se acercan las esferas entre si?
(a) Despreciamos la interacci�on gravitacional entre las part��culas ya que
FG � FE
(b) mg no puede ser despreciado, ya que si permanece en equilibrio, esta
juega un papel importante.
(c) aplicando las condiciones de equilibrio
~mg + ~FE + ~T = ~0
?
-
I
~T
m~g
~FE
�
en t�erminos de componentes
�mg|̂+ T cos �|̂� T sin �{̂+ ~FE {̂ = ~0
igualando componentes en |̂ :
T cos � = mg ) T =
mg
cos �
(11.1)
para x :
F2 = T sin � (11.2)
reemplazando (11.1) en (11.2)
FE = mg tan � si � es muy peque~no ) sin � � tan �
J. Cartes - M.C. Fuentes 37
el �angulo � es :
sin � =
x
2l
= tan �
reemplazando se tiene
FE = mg
x
2l
y si FE =
kq2
x2
entonces:
mg
�
x
2l
�
=
kq2
x2
si k =
1
4��o
x =
�
lq2
2��omg
�1=3
evaluando tenemos que la carga q es:
q2 =
x3mg
2kl
) q =
�
x3mg
2kl
�1=2
q =
�
(5� 10�2)3 � 10� 10�3 � 9:8
2� 9� 109 � 1:2
�1=2
q = 2:4� 10�8 C
analizando la segunda parte del problema, se tiene que para el instante t = 0.
la carga de la esfera la suponemos constante e igual a q0 = 2:4� 10�8 C ,
luego se empieza a perder carga a raz�on de 1:0 � 10�9 c=s =
dq
dt
, es decir
q(t) = �1:0� 10�9t+ qo [C/s].
Entonces para cualquier instante posterior la funci�on q(t) es:
q(t) = q0 � 1:0� 10�9t
reemplazando �esta expresi�on en x tenemos que:
x =
�
(q0 � 1:0� 10�9t)2
�
l
2��0mg
��1=3
reordenando:
x =
�
2lk
mg
�1=3
[q0 � 1:0� 10�9t]2=3
derivando:
dx
dt
=
2
3
�
2kl
mg
�
[q0 � 1:0� 10�9]�1=3 � (�1:0� 10�9t)
esto es:
dx
dt
=
� 2:0� 10�9
3
�
2� 9� 109 � 1:2
10� 10�3 � 9:8
�1=3
�
�
2:4� 10�8 � 1:0� 10�9t
�
�1=3
dx
dt
= �
2:0� 10�9
3
� 6000� (10�8)�1=3 (2:4� 0:1t)�1=3
38 Carga El�ectrica - Ley de Coulomb
dx
dt
= �
2� 10�9
3
� 6:000� 464:15� (2:4� 0:1t)�1=3
dx
dt
= �1:85� 10�3(2:4� 0:1t)�1=3
para t = 0 :
dx
dt
= �1:38� 10�3
dx
dt
= 1:4� 10�3
�
m
s
�
12: Tres esferas, cada una de masa 10 g. se cuelgan separadamente de un mismo
punto mediante hilos de seda, cada uno de 1.0 m. de largo. Las esferas
tienen exactamente la misma carga y quedan suspendidas en los v�ertices de
un tri�angulo equil�atero de 0.1 m de largo cada lado. >Cu�al es la carga que
tiene cada esfera?
1
2
3
l
s
s
s
q,m
Figura 1.26. Problema 12.
La �gura 1.26 es una pir�amide en
cuyos v�ertices de la base se encuen-
tran las cargas.
J. Cartes - M.C. Fuentes 39
Se proyecta el diagrama en la base de la pir�amide :
u
u
J
J
J
J
J
J
J
JĴ
-�
�
�
�
�
�
HHHHHHHHHj
u
1
3
2
s
d
~F12
~F2
~F32
d : desviaci�on de la masa del punto
de equilibrio cuando no est�a cargada.
~F2 : Fuerza el�ectrica resultante sobre
la cargaq2
j~F2j =
2kq2 cos 30o
s2
entonces
q =
�
s2F2
2k cos 30o
�1=2
pero antes necesitamos conocer F2, para ello aplicamos las condiciones de
equilibrio est�atico:
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
?
� -A
A
A
AAK
�
O
d
~T
~FE
~P
!
tan � =
FE
mg
=
d
l
, si � es peque~no
entonces
FE =
mgd
l
se debe determinar d. Para ello, use-
mos el teorema del coseno.
d2 = s2 + d2 � 2sd cos 30o
d =
s
2 cos 30o
luego FE =
mgs
l � 2� cos 30o
reemplazando los valores dados
FE =
10� 10�3 � 9:8� 0:1
1:0� 2� 0:87
= 5:6� 10�3 N
entonces
q = 0:1
�
5:6� 10�3
2� 9� 109 � 0:87
�1=2
40 Carga El�ectrica - Ley de Coulomb
q = 6:0� 10�8 C
13: Dos cargas negativas �jas �q est�an separadas por una distancia R. Una
carga positiva +q localizada en el punto medio de la recta que una las
cargas es desplazada a lo largo de una recta perpendicular a la l��nea que une
las cargas. Muestre que para peque~nos desplazamientos, la carga positiva
adquiere un movimiento arm�onico simple de frecuencia:
f =
2q
�
�
k
mR3
�1=2
x
y
+q
-q -q
FF
r r
x = x = R R
2 2
13
1 2
23
F
n
Figura 1.27. Problema 13.
Supongamos el sistema aislado: es decir solo act�uan las fuerzas internas del
sistema y despreciamos la fuerzas gravitacionales entre las part��culas, las
fuerzas que act�uan sobre la part��cula de carga q3 son:
~FN = ~F31 + ~F32 = �~F31 cos �{̂� F31 sin �|̂+ F32 cos �{̂� F32 sin �|̂
por la simetr��a del problema, las componentes en {̂ se anulan :
�F31 cos �{̂+ F32 cos �{̂ = {̂
adem�as que
j~F31j = j~F32j = F
luego, solo existen las componentes en |̂, es decir existe una fuerza neta 6= 0
en el eje y, as�� que:
~FNETA = m~a = 2F sin �|̂ , aceleraci�on de la part��cula a = �y
entonces
m�y|̂+ 2F sin �|̂ = 0|
Ahora bien:
�y +
2F
m
sin � = 0
J. Cartes - M.C. Fuentes 41
con
sin � =
y
(x2 + y2)1=2
y F =
kq2
r2
=
kq2
(x2 + y2)
reemplazando :
�y +
2kq2
(x2 + y2)3=2
y = 0
podemos hacer una expansi�on en serie para y � x ,
reordenando la expresi�on anterior :
�y +
2kq2
m
2
6664 y
x3
�
1 + (
y
x
)2
�3=2
3
7775 = 0
aplicando la serie para y � x
(1 + a2)�3=2 = 1� na+ n
(n+ 1)
2!
con, a =
�
y
x
�2
reemplazando
(1 + a2)
�
3
2 = 1�
3
2
�
y
x
�2
+ T:O:S:::: (T.O.S. se desprecian)
as�� la expresi�on queda:
�y +
2kq2
m
y
x3
= 0 identi�cando t�erminos del M.A.S.
tenemos que ,
�y + w2y = 0
�y +
�
2kq2
mx3
�
y = 0
identi�cando t�erminos ,
w2 =
2kq2
mx3
w = 2�f y siendo x=
R
2
entonces ,
w2 =
16kq2
mR3
por lo tanto ,
4�2f2 =
16kq2
mR3
42 Carga El�ectrica - Ley de Coulomb
simplicando tenemos ,
f =
�
4kq2
�2R3m
�1=2
�nalmente :
f =
�
4k
mR3
�1=2
q
�
f =
2q
�
�
k
mR3
�1=2
f =
2q
�
�
k
mR3
�1=2
Donde m es la masa de carga positiva
14: Una carga q1 est�a a una distancia d de una l��nea in�nita de cargas puntuales
q cada una separada de la siguiente una distancia d. La recta que une a
la carga q1 con una de las cargas q es perpendicular a la l��nea de carga
puntual.
F =
kq1q
d2
n=1X
n=1
1
(n2 + 1)3=2
d
nd
θ
Fn
r = (d (1 + n ))
22 1 / 2
Figura 1.28. Problema 14.
por simetr��a solo contribuye a la fuerza, la componente :
Fy = F cos �
siendo
cos � =
d
d(1 + n2)1=2
=
1
(1 + n2)1=2
, para la en�esima carga
y
F =
kq2
d2(1 + n2)
as�� que ;
Fn =
�
kq2
d2(1 + n2)
��
1
(1 + n2)1=2
�
=
kq2
d2(1 + n2)3=2
J. Cartes - M.C. Fuentes 43
sumando para todas las cargas, tenemos,
F =
kq2
d2
n=1X
n=�1
1
(1 + n2)3=2
siendo q2 = q1q.
15: Una cinta delgada de pl�astico se dobla seg�un un semicirculo de radio 0.2 m.
El pl�astico tiene una carga por unidad de longitud � = 3:0 � C/m. En el
plano de�nido por el pl�astico curvado y en el centro de curvatura se ubica
una carga q = 4:0 �C, como muestra la �gura.
(a) Calcular la fuerza que la distribuci�on de cargas ejerce sobre la carga
puntual.
(b) Use la Tercera Ley de Newton para obtener la fuerza sobre la dis-
tribuci�on de carga.
θ
x
y
dF
r
dq
d θ
Figura 1.29. Problema 15.
El problema presenta simetr��a, luego:
d~Fr = d~Fx + d~Fy
siendo r = cte , las componentes respectivas son :
d~Fx = dF cos �{̂
d ~Fy = dF sin �|̂
con
j ~dF j =
kq�dl
r2
=
kq�rd�
r2
�nalmente
j ~dF j =
kq�d�
r
~dFq = dF (cos �{̂+ sin �|̂) =
kq�
r2
(cos �d�{̂+ sin �d�|̂)
44 Carga El�ectrica - Ley de Coulomb
y 0 � � � �
al integrar
~Fq =
kq�
r
Z �
o
cos �d�{̂+
Z �
o
sin �d�|̂
Fq =
kq�
r
fsin �{̂| {z }
= 0
j�
o
� cos �|̂j�0g
Fq =
kq�
r
f�(cos(�) � cos(0))g |̂
~Fq = 2
kq�
r
= �
2� 9� 109 � 3:0� 10�6 � 4:0� 10�6
0:2
|̂
luego la fuerza que ejerce el semianillo sobre la carga q es ,
~Fq = 1:08|̂ N
b.- Para responder b, recuerde acci�on y reacci�on.
16: Una varilla aislada de 6.0 m. de longitud est�a uniformemente cargada con
� = 7:0 �C/m. Una carga de 3:0 �C ubicada a 5.0 m. desde el centro de la
varilla y el eje axial, como muestra la �gura.
Calcular la fuerza que ejerce la distribuci�on lineal de la carga sobre la carga
de 3:0 �C.
x
y
6 m
5 m
3.0 u C
dq
r
R
Figura 1.30. Problema 16.
Nos interesa solo la fuerza de interacci�on coulombiana, luego consideramos
un elemento dq para llevarla a la condici�on de puntualidad, as��
d~F =
kQdq
r2
r̂ (16.1)
d~F = kQdq
(~R� ~r0)
j~R� ~r0j3
(16.2)
J. Cartes - M.C. Fuentes 45
sea entonces:
~R = a{̂
~r0 = x{̂
as�� que:
~r = (a� x) {̂
j~rj = [(a� x)2]1=2 lo que implica : r2 = (a� x)2
reescribiendo (16.2)
d~F = kQdq
(a� x)̂{
(a� x)3
= kQdq
(a� x)̂{
(a� x)(a� x)2
simpli�cando :
d~F =
kQ�dx{̂
(a� x)2
dx : variable de integraci�on
integrando
~FQ = kQ�
Z 3
�3
dx
(a� x)2
{̂
Sol: u = a� x du = dx �nalmente
~FQ =
kQ�
(a� x)
|̂
����
3
�3
) ~FQ = �9� 109:3� 7� 10�12
�
1
2
�
1
8
�
{̂
~FQ = �71� 103{̂ N; pero
(r̂Q� = �r̂dq)
entonces;
~F� = 71� 10�3{̂ N
17: La varilla aislante de la �gura tiene una distribuci�on de carga uniforme
� = 4:5� 10�8 C/m. Una carga q1 = 3:6� 10�10 C es ubicada en el punto
P .
(a) Determine la fuerza sobre la carga q1
(b) >Qu�e fuerza ejerce q1 sobre la varilla?
Escribamos la ley de Coulomb :
~F =
kq1q2
r2
r̂ (17.1)
luego debemos considerar un dq, si la distribuci�on es uniforme dq = �dx
siendo:
(a) dx : elemento de longitud (in�nitesimal) que contiene la carga dq
46 Carga El�ectrica - Ley de Coulomb
dq
dx
R = y j
P
dF
r
r
x
y
q
’
Figura 1.31. Problema 17.
(b) dq : carga contenida por un elemento in�nitesimal de longitud y que
interact�ua con la carga q.
Si se suma sobre toda la distribuci�on, la variable de integraci�on es x , gene-
ralizando los vectores de posici�on en t�erminos de coordenadas.
~R = y|̂
~r0 = x{̂
~r = ~R� ~r0 = �x{̂+ y|̂
reemplazando en la expresi�on (17.1)
d~F = kq�dx
(�x{̂+ y|̂)
(x2 + y2)3=2
integrando sobre la distribuci�on �4 � x � 0
as�� ;
~Fq = kq�
8>>>>><
>>>>>:
oZ
�4
� xdx{̂
(x2 + y2)3=2| {z }
1
+
oZ
�4
ydx|̂
(x2 + y2)3=2| {z }
2
9>>>>>=
>>>>>;
Solucionemos la integral (1) , si y = 3:0m:�
+
{̂
(x2 + y2)1=2
�0
�4
=
{̂
3
�
{̂
5
= 0:133 {̂
Solucionemos (2)Z
ydx
(x2 + y2)3=2
: integral trigonom�etrica
J. Cartes - M.C. Fuentes 47
Sea
x = y tan �
dx = y sec2 �d�
lo que implica;
x2 + y2 = y2(1� tan2 �)) (x2 + y2)3=2 = (y2 sec2 �)3=2 ) y3(sec2 �)3
reemplazandoZ
ysec2�d�
y3(sec2 �)3
= y
Z
1
y2
d�
sec2�
= y
Z
1
y2
cos�d�
1
y
sin �
y
sin � =
tan �
p
1 + tan2 �
=
x=ys
1 +
x2
y2
=
x=y
(y2 + x2)1=2
1
y
sin �
=
x
y(x2 + y2)1=2
La integral (2) ser��a:Z
ydx
(x2 + y2)�3=2
=
x|̂
y(x2 + y2)1=2
����
o
�4
= �
(�4)
3(25)1=2
=
4|̂
3� 5
=
4
15
|̂
La soluci�on para la integral completa es ,
~F = kq� [0:133 {̂+ 0:266 |̂] ) ~F = 1:458� 10�7 (0:133 {̂+ 0:266 |̂)
�nalmente :
~Fq = 1:9 {̂+ 3:8 |̂ N
18: Una carga +q est�a separada una distancia d, de una carga -q (esta combi-
naci�on de cargas es denominada dipolo el�ectrico). A lo largo de la l��nea de
uni�on de ambas cargas y a una distancia R del punto medio del dipolo se
ubica una tercera carga positiva Q, como muestra la �gura.
(a) Calcular la fuerza sobre Q debido al dipolo
(b) Muestre que si d�R, la magnitud de lafuerza sobre Q es aproximada-
mente.
F =
1
4��o
2qQd
R3
48 Carga El�ectrica - Ley de Coulomb
- q +q Qd
R
Figura 1.32. Problema 19.
(a) Efectuemos el diagrama de fuerza sobre la part��cula considerando un
sistema aislado.
sea ;
~F31 =
kqQ
R+
d
2
2
(�{̂)
y
~F32 =
kqQ
(R �
�
d
2
)
�2 (̂{)
la fuerza neta sobre Q es :
~F3 = ~F31 + ~F32
luego
~F3 = kqQ
8>><
>>:
1
(R +
d
2
)2
�
1
(R�
d
2
)2
9>>=
>>; {̂ (18.1)
(b) si d � R, reordenando los denominadores
(R+
d
2
)2 = R2(1 +
d
2R
)2
y (R�
d
2
)2 = R2(1�
d
2R
)2
as�� que,
d
2R
es m�as peque~no pero, no podemos hacerlo cero en forma arbi-
traria luego aplicamos serie.
As�� que :
(1 +
d
2R
)�2 = 1 + 2x! T:O:S:t�erminos de orden superior
(1�
d
2R
�2
= 1� 2x! T:O:S:
reemplazando en (18.1) se tiene
~F3 =
kqQ
R2
�
1 +
2d
2R
� 1 +
2d
2R
�
H =
kqQ
R2
2d
R
{̂
J. Cartes - M.C. Fuentes 49
�nalmente:
~F '
2kqQd
R3
{̂ ; los t�erminos de orden superior se desprecian
19: Dos esferas id�enticas de corcho de masa m y carga q est�an suspendidas como
se muestra en la �gura. Indique, c�omo se podr��a usar esta disposici�on para
veri�car experimentalmente la ley de proporcionalidad inversa del cuadrado
de la distancia variando la distancia d y observando el �angulo �
x x
l
d
θ θ
Figura 1.33.
De acuerdo con el diagrama
P
~Fq = ~0 esto signi�ca que:
~FE + ~W + ~T = ~0) �~Fe{̂�mg|+ T sin �{̂+ T cos �|̂ = ~0
igualando componentes
Fx = T sin � (19.1)
mg = T cos � ) T =
mg
cos �
(19.2)
as��
Fe = mg
sin �
cos �
= mg tan � (19.3)
pero
Fe =
kq2
(d+ 2x)2
del esquema
x = l sin �
luego
Fe =
kq2
d+ 2l sin �)2
50 Carga El�ectrica - Ley de Coulomb
igualando
kq2
(d+ 2l sin �)2
= mg tan �
kq2
mg tan �
= (d+ 2l sin �)2 ) ()1=2
d =
�
kq2
mg tan �
�1=2
� 2l sin �
1.20 Bibliograf��a y Problemas Propuestos
1: F��sica (2), McKelvey - Grotch , Cap. 15 : Problemas : 1-4-5-14-16-17-18-19
2: F��sica (2), Halliday - Resnick, Cap. 26 : (Carga y materia) Problemas :
1-2-5-6-7-8-11
3: F��sica (3), Alonso - Finn, Cap. 14 : Problemas 14.4
1.21 Datos
1. Constante de gravitaci�on G = 6:67� 10�11N �m2=kg2
2. Permitividad ele�ectrica del vacio �o = 8:85� 10�12 farad/m
3. Carga Elemental e = 1:6� 10�19 C
4. Masa electr�on en reposo me = 9:11� 10�31 kg
5. Masa prot�on en reposo mp = 1:67� 10�27 kg
6. Constante de Ley de Coulomb k = 9� 109Nm
2
c2
7. Radio medio de la tierra R = 6:37� 106m
8. Acelaraci�on de gravedad g = 9:8m=s2