Eym1_2

Vista previa del material en texto

J.L. Fernández Jambrina
EyM 1-32
Operadores Vectoriales
• Los operadores vectoriales describen el comportamiento de los campos en 
un entorno del punto en que se particularizan.
• Fundamentalmente hay dos formas de trabajar con campos:
– Expresiones integrales: circulaciones y flujos.
» son más intuitivas.
» permiten las discontinuidades de los campos.
» requieren elementos adicionales: contornos, superficies y volúmenes
– Expresiones diferenciales: gradientes, divergencias y rotacionales.
» son más manejables.
» requieren la continuidad y existencia de derivadas de los campos.
» se basan en los operadores vectoriales.
• Comentarios sobre las discontinuidades
– se deben a cambios en la composición del medio.
– Los puntos en los que no hay discontinuidades de los medios se denominan 
puntos ordinarios.
J.L. Fernández Jambrina
EyM 1-33
• Conviene recordar como se aproxima una función en las 
proximidades de un punto, x=a, siempre que la función y sus 
derivadas sean continuas:
– Para una función escalar de una variable:
– Si la diferencia ∆x=x-a es pequeña, se puede obtener una buena 
aproximación con sólo los dos primeros términos:
– En la práctica el punto alrededor del que se realiza el desarrollo se suele 
llamar x y el punto en el que se aplica x+∆x:
» Y si el incremento es infinitesimal:
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( )( )( )( )
( ) ⋅⋅⋅+−
−
+⋅⋅⋅+
−′′
+−′+=
−−
!1!2
112
n
axafaxaf
axafafxf
nn
( ) ( ) ( ) dx
dx
df
xfdxxfxdf =−+=
Desarrollos en serie de Taylor
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xafafxaffxafafxaf ∆′≈−∆+=∆⇔∆′+≈∆+
( ) ( ) ( ) xxfxfxxff ∆′≈−∆+=∆
J.L. Fernández Jambrina
EyM 1-34
• Para funciones escalares de tres variables (las coordenadas) e 
incrementos pequeños alrededor de un punto P(u1,u2,u3):
– de forma más compacta:
– Y si los incrementos son infinitesimales:
• En el caso de funciones vectoriales, no sólo hay que considerar cada 
componente como una función escalar sino que también los vectores 
unitarios son susceptibles de cambio. 
( ) ( ) 3
3
2
2
1
1
321332211
3
2
1
3
2
1
3
2
1
,,,, u
u
U
u
u
U
u
u
U
uuuUuuuuuuU
u
u
u
u
u
u
u
u
u
∆+∆+∆+≈∆+∆+∆+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
3
3
2
2
1
1
du
u
U
du
u
U
du
u
U
dU
∂
∂
∂
∂
∂
∂
++=
Desarrollos en serie de Taylor (2)
( ) ( ) u
u
U
u
u
U
u
u
U
PUPPU
PPP
∆+∆+∆+≈∆+
3
2
2
1
1 ∂
∂
∂
∂
∂
∂
J.L. Fernández Jambrina
EyM 1-35
• El gradiente caracteriza el comportamiento de un campo escalar en 
el entorno de un punto.
• Expresión en curvilíneas generalizadas ortogonales:
– Suponiendo un entorno infinitesimal alrededor de un punto ordinario y 
suponiendo las derivadas particularizadas en dicho punto:
– Recordando la expresión del diferencial de longitud:
– Y con un poco de habilidad:
333222111 ˆˆˆ uduhuduhuduhld ++=
r
Gradiente
( )
44444 344444 21 r
ld
uduhuduhuduhu
u
U
h
u
u
U
h
u
u
U
h
duh
u
U
h
duh
u
U
h
duh
u
U
h
dU
3332221113
33
2
22
1
11
33
33
22
22
11
11
ˆˆˆˆ
1
ˆ
1
ˆ
1
111
++⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
3
3
2
2
1
1
du
u
U
du
u
U
du
u
U
dU
∂
∂
∂
∂
∂
∂
++=
Gradiente de U
J.L. Fernández Jambrina
EyM 1-36
• El gradiente de un campo escalar suele representarse por una de las 
dos expresiones siguientes:
– En estas transparencias se utilizará la segunda:
– ∇ es un símbolo denominado nabla.
• Definición:
– De la transparencia anterior:
– Por otro lado, si l es una coordenada definida
a propósito en la dirección del desplazamiento:
– Reuniendo ambas expresiones se obtiene la expresión que se utiliza 
para definir el gradiente:
( )dllUldUdU ˆ⋅∇=⋅∇= r
)grad(U U∇
dl
l
U
dU
∂
∂
=
El gradiente de un campo escalar es un campo
vectorial cuya componente en cualquier dirección 
es la derivada del escalar en esa dirección.
El gradiente de un campo escalar es un campo
vectorial cuya componente en cualquier dirección 
es la derivada del escalar en esa dirección.
lU
l
U ˆ⋅∇=
∂
∂
Definición de Gradiente
U∇
J.L. Fernández Jambrina
EyM 1-37
Expresiones del Gradiente
• Partiendo de la expresión general de curvilíneas y particularizando:
– Curvilíneas:
– Cartesianas:
– Cilíndricas:
– Esféricas:
3
33
2
22
1
11
ˆ
1
ˆ
1
ˆ
1
u
u
U
h
u
u
U
h
u
u
U
h
U
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
z
z
U
y
y
U
x
x
U
U ˆˆˆ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
z
z
UUU
U ˆˆ
1
ˆ
∂
∂
+ϕ
∂ϕ
∂
ρ
+ρ
∂ρ
∂
=∇
ϕ
∂ϕ
∂
θ
+θ
∂θ
∂
+
∂
∂
=∇ ˆ
sen
1ˆ1ˆ
U
r
U
r
r
r
U
U
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
ρ=
==
ϕ
ρ
h
hh z 1
1=== zyx hhh
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
θ=
=
=
ϕ
θ
sen
1
rh
rh
hr
J.L. Fernández Jambrina
EyM 1-38
Propiedades del gradiente
• Es un campo vectorial.
• Es normal a las superficies isotímicas del 
campo escalar.
– Si el desplazamiento se realiza sobre una 
superficie isotímica, dU=0 y:
• Su módulo coincide con la derivada 
direccional máxima del campo escalar.
• Su sentido es el de máximo crecimiento del 
campo escalar.
ldUldUdU
rr
⊥∇⇒⋅∇==0
ll
U
UlU
l
U
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=∇⇒⋅∇=
∂
∂
maxˆ
U1
U2
U3
U U U1 2 3< <
∇U
dl
r
dl
r
J.L. Fernández Jambrina
EyM 1-39
• La circulación entre dos puntos P y Q del gradiente de un campo 
escalar es el valor del campo escalar en Q menos su valor en P:
– La circulación de un gradiente sólo depende
de los puntos extremos: Es independiente del 
camino seguido.
– La circulación de un gradiente a lo largo 
de un camino cerrado es nula.
• Si la circulación de un vector entre dos puntos cualesquiera es 
independiente del camino seguido, entonces existe un escalar tal que 
el vector es su gradiente:
– Escogiendo un punto de referencia, O:
– El escalar queda determinado excepto una constante aditiva:
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 0=−+−=⋅∇+⋅∇=⋅∇ ∫∫∫ QUPUPUQUldUldUldU
P
Q
Q
PC
rrr
( ) ( )PUQUdUldU Q
P
Q
P
−==⋅∇ ∫∫
r
( ) ( ) ∫ ⋅=−
P
O
ldAOUPU
rr
P
Q
KldAU +⋅= ∫
rr
P
Q
Circulación de un Gradiente
J.L. Fernández Jambrina
EyM 1-40
• Definiciones:
– El flujo de un campo vectorial a 
través de una superficie se define como:
» es un vector de módulo dS y dirección
normal a la superficie. Sentido por convenio.
– Si la superficie es cerrada, el 
flujo se representa como:
» Por convenio es saliente del volumen
encerrado por la superficie.
• Interpretación:
– El flujo de un vector a través
de una superficie cerrada 
mide si las líneas de campo 
tienen su origen o su fin en el 
volumen encerrado:
Flujo de un vector a través una superficie
∫∫ ⋅S SdA
rr
Sd
r
∫∫ ⋅S SdA
rr
dS
r
S
s r
A dS
S
⋅ >∫∫ 0
s r
A dS
S
⋅ <∫∫ 0
s r
A dS
S
⋅ =∫∫ 0
dS
r
S
Sd
r
J.L. Fernández Jambrina
EyM 1-41
Divergencia
• Definición:
– V es el volumen encerrado por la superficie cerrada S.
– La normalización respecto de V es necesaria para obtener resultados 
finitos.
• La divergencia caracteriza el comportamiento punto a punto del 
campo vectorial respecto del flujo del mismo a través de superficies 
cerradas:
– Si es positiva, el punto es origen de líneas de campo.
– Si es negativa, el punto es sumidero, final, de líneas de campo.
– Si es nula, el punto no es ni principio ni final de líneas de campo.
( )
V
SdA
AAdiv S
V
S
∫∫ ⋅=⋅∇=
→
→
rr
rr
0
0
lim
J.L. Fernández Jambrina
EyM 1-42
Expresión en curvilíneas ...
• Tomando un volumen muy pequeño limitado por superficies del tipo
ui=cte y cuyo centro es el punto de estudio, P(u1,u2,u3), ver figura, el 
flujo será la suma del flujo a través de las caras.
– Al calcular el flujo a través de la superficie superior, como corresponde a 
u3=cte y , resulta que sólo
contribuye la componente A3:
– Si la superficie es pequeña, se puede
suponer constante A3 sobre ella y tomando
el valor en su centro:
( ) ( )
( )
( )∫∫
∫∫∫∫
∆+
∆+∆+
∆+=
=⋅=⋅
2 333213
2 332
33
3333
2,,
ˆ
uuS
uuSuuS
dSuuuuA
dSuASdA
rrr
( )
( ) ( )22,, 33333213233 uuSuuuuASdA uuS ∆+∆+=⋅∫∫ ∆+
rr
∆u3
∆u2∆u1
P
$ $n u≡ 3
3ˆˆ un ≡
J.L. Fernández Jambrina
EyM 1-43
Expresión en curvilíneas ... (2)
– Partiendo del valor del flujo a través de 
la superficie u3=cte que contiene el punto P:
es posible realizar la siguiente aproximación:donde todos los términos están particularizados en P.
– Trabajando con la cara inferior se obtendría:
– Y sumando estas dos contribuciones:
( )
( ) ( )22,, 33333213233 uuSuuuuASdA uuS ∆+∆+=⋅∫∫ ∆+
rr
( )
( ) ( ) 21213333213 ,,
3
uuhhAuSuuuASdA
uS
∆∆==⋅∫∫
rr
( ) 21
3
3
213
2132 233
uu
u
u
hhA
hhASdA
P
uuS
∆∆⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ∆
∂
∂
+=⋅∫∫ ∆+
rr
( ) 21
3
3
213
2132 233
uu
u
u
hhA
hhASdA
P
uuS
∆∆⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ∆
∂
∂
−−=⋅∫∫ ∆−
rr
( ) ( ) 321
3
213
22 3333
uuu
u
hhA
SdASdA
P
uuSuuS
∆∆∆
∂
∂
=⋅+⋅ ∫∫∫∫ ∆−∆+
rrrr
∆u3
∆u2
∆u1
P
$ $n u≡ − 3
∆u3
∆u2∆u1
P
$ $n u≡ 3
∆u3
∆u2∆u1
P
$ $n u≡ 3
J.L. Fernández Jambrina
EyM 1-44
Expresión en curvilíneas ...(3)
• Repitiendo el proceso con las dos caras de la figura, 
u1=cte:
• Y con las dos restantes, u2=cte:
• Combinando los resultados:
• Y la divergencia:
∆u3
∆u2
∆u1
P
( ) ( ) 321
1
321
22 1111
uuu
u
hhA
SdASdA
P
uuSuuS
∆∆∆
∂
∂
=⋅+⋅ ∫∫∫∫ ∆−∆+
rrrr
( ) ( ) 321
2
132
222 222
uuu
u
hhA
SdASdA
P
uuSuuS
∆∆∆
∂
∂
=⋅+⋅ ∫∫∫∫ ∆−∆+
rrrr
∆u3
∆u2
∆u1
P
321
3
213
2
132
1
321 uuu
u
hhA
u
hhA
u
hhA
S SdA
P
∆∆∆⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=⋅∫∫
rr
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
⋅
=⋅∇ ∫∫
→
→
3
213
2
132
1
321
3210
0
1
lim
u
hhA
u
hhA
u
hhA
hhhV
SdA
A S
V
S
rr
r
∆ ∆ ∆ ∆V h h h u u u= 1 2 3 1 2 3
J.L. Fernández Jambrina
EyM 1-45
Expresiones de la Divergencia
• Curvilíneas:
• Cartesianas:
• Cilíndricas:
• Esféricas:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=⋅∇
3
213
2
132
1
321
321
1
u
hhA
u
hhA
u
hhA
hhh
A
r
z
A
y
A
x
A
A zyx
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=⋅∇
r
z
AAA
A z
∂
∂
+
∂ϕ
∂
ρ
+
∂ρ
∂ρ
ρ
=⋅∇ ϕρ
11r
∂ϕ
∂
θ
+
∂θ
θ∂
θ
+
∂
∂
=⋅∇ ϕθ
A
r
A
rr
Ar
r
A r
sen
1sen
sen
11 2
2
r
J.L. Fernández Jambrina
EyM 1-46
Teorema de Gauss
• Enunciado:
El flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada S 
es igual a la integral de la divergencia del campo extendida al 
volumen V encerrado por S, suponiendo que el volumen V 
contenga únicamente puntos ordinarios.
El flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada S 
es igual a la integral de la divergencia del campo extendida al 
volumen V encerrado por S, suponiendo que el volumen V 
contenga únicamente puntos ordinarios.
∫∫∫∫∫ ⋅∇=⋅ VS dVASdA
rrr
dS
r
S
V
J.L. Fernández Jambrina
EyM 1-47
Teorema de Gauss (2)
• Demostración:
– El volumen se puede dividir en un número arbitrario,
N, de subvolúmenes. 
– El flujo a través de la cara común de dos subvolúmenes 
contiguos se cancela: la suma de los flujos a través de 
las superficies asociadas, Si, a los subvolúmenes es el 
flujo a través de la superficie externa.
– Si las Si son suficientemente pequeñas (N→∞),
a partir de la definición de divergencia:
– Por tanto:
∫∫∫∑∫∫ ⋅∇=⋅∇=⋅ ∞→ V
N
i
i
NS
dVAVASdA
rrrr
lim
( ) iS
V
S
S
V
S
VASdA
V
SdA
A
i
i
rrr
rr
r
⋅∇=⋅⇒
⋅
=⋅∇ ∫∫∫∫
→
→
→
→
0
0
0
0
limlim
∑∫∫∫∫ ⋅=⋅
N
i
SS i
SdASdA
rrrr
V
S
$n
+ =
J.L. Fernández Jambrina
EyM 1-48
Circulación sobre contornos cerrados
• Ya se ha mencionado la circulación de un
campo vectorial a lo largo de contornos cerrados:
• Interpretación:
– Si se supone que el campo representa la velocidad
de un fluido de densidad y viscosidad homogéneas,
y que el contorno representa la guía de una cadena
con paletas, entonces la circulación muestra la 
tendencia de dicha cadena a desplazarse sobre la guía:
– Si la circulación es positiva, la cadena tenderá a moverse
en el sentido definido como positivo.
– Si es negativa, en sentido contrario.
– Si es nula, no se moverá.
• Importante:
– La circulación no mide el que las líneas de campo den vueltas en un 
sentido u otro, aunque se ve influenciada por dicho hecho.
C
dl
r
∫ ⋅C ldA
rr
J.L. Fernández Jambrina
EyM 1-49
Rotacional
• Definición:
– Es un vector que se define componente a componente según la 
expresión:
– Cu es un contorno contenido en una superficie u=cte
– Su es el área de la superficie u=cte limitada por Cu.
– La normal de la superficie se debe tomar según û, y el sentido positivo 
de la circulación se debe relacionar con û según la regla del 
sacacorchos.
• El rotacional cuantifica la contribución del campo en cada punto a las 
circulaciones sobre contornos cerrados.
( ) ( )
u
C
S
C
uu S
ldA
AA u
u
u
∫ ⋅
=×∇=
→
→
vr
rr
0
0
limrot
J.L. Fernández Jambrina
EyM 1-50
• Comenzando por la componente û1, se puede
considerar el contorno de la figura y la superficie
u1=cte correspondiente.
– Empezando a calcular la circulación por el
lado de la derecha:
– Sólo contribuye la componente A3.
– A medida que la longitud del tramo tiende a cero, se puede aproximar el 
integrando por su valor en el centro del tramo y, a continuación, expresar 
a partir del valor en en punto P :
Expresión en curvilíneas ...
u1
u2
u3
P
∆u2
∆u3
u1
u2
u3
P
∆u2
∆u3
2
2
2
2
2 333
2
2
2
233
233 333
33
33
ˆ
u
u
uu
uuu
u
uu
uu
b
a
duhAduhuAldA
∆
+
∆+
∆−∆
+
∆+
∆− ∫=∫ ⋅=⋅∫
rrr
3
2
2
33
33
2
333 222
u
u
u
hA
hAuhAldA
P
Puu
b
a
∆⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ ∆
∂
∂
+→∆→⋅
∆
+
∫
rr
J.L. Fernández Jambrina
EyM 1-51
–
– Trabajando con el lado opuesto:
– Combinado las contribuciones:
– La contribución de los otros dos lados es:
32
3
22
2
3
3
22
22
2
3
3
22
22
2
2
uu
u
hA
u
ad
u
u
hA
hA
cb
u
u
u
hA
hAldAldA
a
d
c
b
∆∆−=∆
→
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ∆
−+
+
→
∆⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ∆
+−→⋅+⋅ ∫∫
∂
∂
∂
∂
∂
∂
444 3444 21
4444 34444 21
rrrr
Expresión en curvilíneas ...(2)
u1
u2
u3
P
∆u2
∆u3
a
b
3
2
2
33
33
2
2
2
333 2
u
u
u
hA
hAuhAldA
P
Pu
u
d
c
∆⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ ∆
∂
∂
−−→∆−→⋅
∆
−
∫
rr
u1
u2
u3
P
∆u2
∆u3
c
d
3
2
2
33
33
2
2
2
333 2
u
u
u
hA
hAuhAldA
P
Pu
u
b
a
∆⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ ∆
∂
∂
+→∆→⋅
∆
+
∫
rr
32
2
33 uu
u
hA
ldAldA
P
d
c
b
a
∆∆
∂
∂
→⋅+⋅ ∫∫
rrrr
u1
u2
u3
P
∆u2
∆u3
c
d
b
a
J.L. Fernández Jambrina
EyM 1-52
Expresión en curvilíneas ...(3)
• Finalmente:
• La componente 2:
• La componente 3:
( )
3322
32
323
22
2
33
32
3232
32
3
22
2
33
10
0
1
11
lim 1
1
1
hAhA
uu
hhu
hA
u
hA
hh
uuhh
uu
u
hA
u
hA
S
ldA
A C
S
C
∂
∂
∂
∂
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
=
∆∆
∆∆⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
⋅
=×∇
∫
→
→
rr
u1
u2
u3
( )
1133
13
131
33
3
11
13
2
11
hAhA
uu
hhu
hA
u
hA
hh
A ∂
∂
∂
∂
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=×∇
( )
2211
21
213
11
1
22
21
3
11
hAhA
uu
hhu
hA
u
hA
hh
A ∂
∂
∂
∂
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=×∇
u1
u2
u3
u1
u2
u3
J.L. Fernández Jambrina
EyM 1-53
• Curvilíneas:
• Cartesianas:
• Cilíndricas Esféricas
332211
321
332211
321
ˆˆˆ
1
hAhAhA
uuu
uhuhuh
hhh
A
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=×∇
r
z
y
A
x
A
y
x
A
z
A
x
z
A
y
A
AAA
zyx
zyx
A xyzxyz
zyx
ˆˆˆ
ˆˆˆ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−==×∇
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂r
zAAA
z
z
A
ϕρ ρ
∂
∂
∂ϕ
∂
∂ρ
∂
ϕρρ
ρ
ˆˆˆ
1
=×∇
r
32
2
ˆˆˆ
1
ArsenrAA
r
rsenrr
senr
A
r θ
∂ϕ
∂
∂θ
∂
∂
∂
ϕθθ
θ
=×∇
r
Expresiones del rotacional
J.L. Fernández Jambrina
EyM 1-54
Teorema de Stokes
• Enunciado:
La circulación de un campo vectorial a lo largo de un contorno 
cerrado es igual al flujo de del rotacional del campo a través de una 
superficie abierta limitada por el contorno siempre que el sentido de 
circulación y la normal a la superficie estén relacionados por la regla 
del tornillo y únicamente estén involucrados puntos ordinarios.
La circulación de un campo vectorial a lo largo de un contorno 
cerrado es igual al flujo de del rotacional del campo a través de una 
superficie abierta limitada por el contorno siempre que el sentido de 
circulación y la normal a la superficie estén relacionados por la regla 
del tornillo y únicamente estén involucrados puntos ordinarios.
CS
$n
∫∫∫ ⋅×∇=⋅ SC SdAldA
rrrr
Nota: Cada contorno tiene asociadas infinitas 
superficies a efectos de este teorema.
J.L. Fernández Jambrina
EyM 1-55
Teorema de Stokes (2)
• Demostración:
– La superficieescogida se puede dividir en 
un número arbitrario de subsuperficies 
manteniendo el sentido de circulación a 
sus contornos.
– Al sumar la circulación a lo largo de todos los 
contornos de la superficies, se cancelan las contribuciones de los lados 
interiores. Sólo queda la circulación a lo largo del contorno exterior:
– Si los contornos son suficientemente pequeños, a partir de la definición 
de rotacional:
– Si el número de subsuperficies tiende a infinito y su tamaño a cero:
C
( ) ∑∫∫∫ ⋅×∇=⋅⇒⋅×∇=⋅⇒
⋅
=×∇
→
→
N
i
iiCiiC
u
C
S
C
u nSAldAnSAldAS
ldA
A
i
u
u
u
ˆˆlim
0
0
rrrrvr
vr
r
+ = ∑∫∫ ⋅=⋅
N
i
CC i
ldAldA
rrrr
∫∫∑∫ ⋅×∇=⋅×∇=⋅ ∞→ S
N
i
ii
NC
SdAnSAldA
rrrrr
ˆlim
J.L. Fernández Jambrina
EyM 1-56
Definición alternativa del rotacional.
• La definición del rotacional utilizada:
– Permite una interpretación directa útil.
– Al definir el rotacional a través de sus componentes no permite 
comprobar fácilmente que el rotacional es un vector.
• Algunos textos utilizan la definición:
Esta definición:
– No permite una interpretación directa útil.
– Hace evidente que el rotacional es un vector.
– Por su parecido con la definición de 
la divergencia, esta definición lleva 
directamente a la siguiente expresión integral:
– La verificación de esta expresión es prueba de que ambas definiciones 
con equivalentes (y de que el rotacional es un vector).
( )
u
C
S
C
u S
ldA
A u
u
u
∫ ⋅
=×∇
→
→
vr
r
0
0
lim
V
SdA
A S
S
V
∫∫ ×−=×∇
→
→
rr
r
0
0
lim
∫∫∫∫∫ ×−=×∇ SV SdAdVA
rrr
J.L. Fernández Jambrina
EyM 1-57
Definición alternativa del rotacional. (2)
– Se va a realizar la demostración término a término en coordenadas 
cartesianas:
» Definiendo un vector auxiliar de la forma
es evidente que:
» Análogamente:
» Y ...
» Queda demostrado
∫∫∫∫∫ ×−=×∇ SV SdAdVA
rrr
( )
y
A
yAyA zzz ∂
∂
=⋅∇ ˆ;ˆ
( ) ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ =⋅=⋅∇=∂
∂
S yzS zV zV
z dSASdyAdVyAdV
y
A r
ˆˆ
( ) ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ =⋅=⋅∇=∂
∂
S zyS yV yV
y dSASdzAdVzAdV
z
A r
ˆˆ
[ ] ( ) [ ]
[ ] ( ) [ ]
[ ] ( ) [ ]
∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫
×−=×∇
×−=−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=×∇
×−=−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=×∇
×−=−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=×∇
SV
S zS yxxyV
xy
V z
S yS xzzxV
zx
V y
S xS zyyzV
yz
V x
SdAdVA
SdAdSAdSAdV
y
A
x
A
dVA
SdAdSAdSAdV
x
A
z
A
dVA
SdAdSAdSAdV
z
A
y
A
dVA
rrr
rrr
rrr
rrr
J.L. Fernández Jambrina
EyM 1-58
El operador nabla: ∇
• Repetidamente se ha utilizado el símbolo ∇ en la nomenclatura de 
los operadores descritos.
• Este símbolo representa un operador bien definido en coordenadas
cartesianas:
• En otros sistemas de coordenadas su definición no es tan clara, pero 
resulta útil para simplificar la nomenclatura.
• Tiene carácter vectorial y diferencial: se deben seguir las normas 
correspondientes para su aplicación.
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
z
z
y
y
x
x ˆˆˆ
J.L. Fernández Jambrina
EyM 1-59
El operador nabla: (2)
• Gradiente:
– Producto de un escalar por un vector:
• Divergencia:
– Producto escalar de dos vectores:
• Rotacional:
– Producto vectorial de dos vectores: 
z
z
U
y
y
U
x
x
U
U
z
z
y
y
x
xU ˆˆˆˆˆˆ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
( )
z
A
y
A
x
A
zAyAxA
z
z
y
y
x
xA zyxzyx ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=++⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇=⋅∇ ˆˆˆˆˆˆ
r
( )
zyx
zyx
AAA
zyx
zyx
zAyAxA
z
z
y
y
x
xA
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=++×⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=×∇
ˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
J.L. Fernández Jambrina
EyM 1-60
El operador nabla: ∇ (3)
• Existe una definición general:
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
×−=×∇⇔×=×∇
⋅=⋅∇⇔⋅=⋅∇
=∇⇔=∇
⇒=∇
∫∫∫ ∫∫∫∫
∫∫∫ ∫∫∫∫
∫∫∫ ∫∫∫∫
∫∫
→
→
→
→
V SS
V
V SS
V
V SS
V
S
V
SdAdVAASd
V
A
SdAdVASdA
V
A
SUdUdVSUd
V
U
Sd
V
rrrr
rrrrrr
rr
o
r
o
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
1
1
1
1
0
0
0
0
lim
lim
lim
lim
J.L. Fernández Jambrina
EyM 1-61
Derivada Temporal
• En rigor debería hablarse de derivada de un campo vectorial 
respecto de un parámetro, pero como este parámetro suele ser el 
tiempo se habla de derivada temporal
• Los detalles que se desea resaltar se entenderán mejor con un 
ejemplo:
– Dado un campo vectorial y un móvil cuya posición está dada 
por : Calcule el vector derivada del campo respecto 
al tiempo según se observa desde el móvil.
» Sin olvidar que los vectores unitarios dependen de la posición. 
» donde:
• Las expresiones de la forma dependen de cada caso:
( )tuuuA ,,, 321
r
( ) ( ) ( )( )tututur 321 ,,
r A
r
( )
dt
ud
A
dt
ud
A
dt
ud
A
dt
dA
u
dt
dA
u
dt
dA
uuAuAuA
dt
d
dt
Ad 3
3
2
2
1
1
3
3
2
2
1
1332211
ˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ +++++=++=
r
t
A
dt
du
u
A
dt
du
u
A
dt
du
u
A
dt
dA iiiii
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= 3
3
2
2
1
1 dt
du
u
u
dt
du
u
u
dt
du
u
u
dt
ud iiii 3
3
2
2
1
1
ˆˆˆˆ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
j
i
u
u
∂
∂ ˆ
J.L. Fernández Jambrina
EyM 1-62
Derivada Temporal (2)
• Cartesianas:
• Cilíndricas:
• Esféricas:
0
ˆˆˆ
0
ˆˆˆ
0
ˆˆˆ
=========
dz
zd
dy
zd
dx
zd
dz
yd
dy
yd
dx
yd
dz
xd
dy
xd
dx
xd
0
ˆ
0
ˆ
0
ˆ
0
ˆ
ˆ
ˆ
0
ˆ
0
ˆ
ˆ
ˆ
0
ˆ
==
ϕ
=
ρ
=
ϕ
ρ−=
ϕ
ϕ
=
ρ
ϕ
=
ρ
ϕ=
ϕ
ρ
=
ρ
ρ
dz
zd
d
zd
d
zd
dz
d
d
d
d
d
dz
d
d
d
d
d
θθ−θ−=
ϕ
ϕ
=
θ
ϕ
=
ϕ
ϕθ=
ϕ
θ
−=
θ
θ
=
θ
ϕθ=
ϕ
θ=
θ
=
ˆcosˆsen
ˆ
0
ˆ
0
ˆ
ˆcos
ˆ
ˆ
ˆ
0
ˆ
ˆsen
ˆˆˆ0
ˆ
r
d
d
d
d
dr
d
d
d
r
d
d
dr
d
d
rd
d
rd
dr
rd
J.L. Fernández Jambrina
EyM 1-63
• Es frecuente que se apliquen de forma sucesiva dos operadores.
– Los operadores vistos hasta ahora sólo tienen derivadas de primer 
orden.
– La combinación de dos operadores de primer orden da lugar a 
operadores con derivadas de segundo orden.
Combinación de operadores.
E
sc
al
ar
V
ec
to
r
V
ec
to
r 
-
P
V
E
sc
al
ar
 -
P
V
grad rot div
gradrotdiv
PV => Incluye un producto vectorial en su definción …
J.L. Fernández Jambrina
EyM 1-64
Combinaciones que se anulan
E
sc
al
ar
V
ec
to
r
V
ec
to
r 
-
P
V
E
sc
al
ar
 -
P
V
grad rot div
gradrotdiv
0 :gradiente del Rotacional =∇×∇ U
0=⋅∇=⋅∇×∇ ∫∫∫
CS
ldUSdU
rr
( ) 0 :rotacional del aDivergenci =×∇⋅∇ Ar
( ) 0·
0
==⋅×∇=×∇⋅∇∫∫∫ ∫∫∫
V S
ldASdAdVA
rrrrr
J.L. Fernández Jambrina
EyM 1-65
Rotacional del gradiente de un escalar:
• Rotacional del gradiente:
– Es nulo siempre:
– Demostración: 
Para cualquier contorno C y una de sus superficies S:
Luego el rotacional de un gradiente siempre debe ser nulo.
– Consecuencia:
Si el rotacional de un vector es nulo, entonces ese vector es el
gradiente de un escalar.
» Demostración: 
• Si el rotacional del vector es nulo, la circulación del vector entre dos 
puntos es independiente del camino seguido.
• Se puede construir el escalar a partir su valor en un punto:
• El escalar queda determinado a falta de una constante aditiva.
0=∇×∇ U
( ) 0=⋅∇=⋅∇×∇ ∫∫∫ CS ldUStokesSdU
rr
UAUldACA
C
∇=∃⇒=⋅∀⇒=×∇ ∫
rrrr
/0:0
( ) ( ) cte
0
0 +⋅=⇔⋅+= ∫∫ ldAUldArUrU
r
r
rrrrrr r
r
S
$n
C
J.L. Fernández Jambrina
EyM 1-66
Divergencia del rotacional de un vector.
• Divergencia del rotacional:
– Basta con tomar volumen arbitrario:
» Como C1 y C2 son el mismo contorno recorrido en sentidos 
contrarios, el resultado es nulo:
( ) 0=×∇⋅∇ Ar
( )
∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫
=⋅+⋅=⋅×∇+⋅×∇=
=⋅×∇=×∇⋅∇
2121
0
CCSS
SV
ldAldASdASdA
SdAdVA
rrrrrrrr
rrr
+
S1
$n
C1
S2
$n
C2V
S
J.L. Fernández Jambrina
EyM 1-67
Divergencia del rotacional de un vector:
Consecuencia
• Consecuencia 1:
– El flujo de un vector de divergencia nula a través de 
una superficie abierta sólo depende de su contorno.
» Basta con considerar varias superficies con el
mismo contorno, S1 , S2... y cerrarlas con otra S0:
• Consecuencia 2:
– Si la divergencia de un vector es nula, entonces el vector es el rotacional 
de otro.
» Si , siempre se cumplirá la consecuencia 1. 
» Si , no se cumple la consecuencia 1, porque …
• Nota: El conocimiento de no basta para determinar
S1
S0
S2∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫
⋅=⋅⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⋅+⋅=⋅=
⋅+⋅=⋅=
⇒=⋅∇
+
+
21
2020
1010
0
0
0
SS
SSSS
SSSS SdBSdB
SdBSdBSdB
SdBSdBSdB
B
rrrr
rrrrrr
rrrrrr
r
AB
rr
×∇=
AB
rr
×∇≠
contorno delfuncion =⋅=⋅×∇=⋅ ∫∫∫∫∫
CSS
ldASdASdB
rrrrrr
A
r
×∇ A
r
J.L. Fernández Jambrina
EyM 1-68
Combinación de operadores: 
Laplaciana de un escalar:
E
sc
al
ar
V
ec
to
r
V
ec
to
r 
-
P
V
E
sc
al
ar
 -
P
V
grad rot div
gradrotdiv
Es la divergencia de su gradiente:
( ) UUU ∆=∇=∇⋅∇ 2
J.L. Fernández Jambrina
EyM 1-69
Laplaciana de un escalar:
Definición y expresiones
• Es la divergencia de su gradiente:
• Curvilíneas:
• Cartesianas:
• Cilíndricas:
• Esféricas:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=∆⇒
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=⋅∇
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
33
21
322
13
211
32
1321
3
213
2
132
1
321
321
3
33
2
22
1
11 1
1
ˆ
1
ˆ
1
ˆ
1
u
U
h
hh
uu
U
h
hh
uu
U
h
hh
uhhh
U
u
hhA
u
hhA
u
hhA
hhh
A
u
u
U
h
u
u
U
h
u
u
U
h
U
r
2
2
2
2
2
2
z
U
y
U
x
U
U
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∆
2
2
2
2
22
2
2
2 1111
z
UUU
z
UUU
U
∂
∂
+
∂ϕ
∂
ρ
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂ρ
∂
ρ
∂ρ
∂
ρ
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
ρ+
∂ϕ
∂
ρ
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂ρ
∂
ρ
∂ρ
∂
ρ
=∆
2
2
222
2
2
2
2
2
2
sen
1
sen
sen
11
sen
1
sensen
sen
1
∂ϕ
∂
θ
+
∂θ
∂
θ
∂θ
∂
θ
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
=
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂ϕ
∂
θ
+
∂θ
∂
θ
∂θ
∂
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
θ
∂
∂
θ
=∆
U
r
U
rr
U
r
rr
UU
r
U
r
rr
U
( ) UUU ∆=∇=∇⋅∇ 2
J.L. Fernández Jambrina
EyM 1-70
Laplaciana de un escalar: 
Interpretación
• Al tratarse de la divergencia del gradiente:
– Será positiva en los puntos en que se generen líneas de campo del 
gradiente: por ejemplo, en los puntos en que el escalar sea mínimo.
– Será negativa en los puntos en que terminen líneas de campo del 
gradiente: por ejemplo, en los máximos del escalar.
• De alguna forma mide la concavidad del escalar.
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
XY
U(x,y)=sin(pi*x/2).*cos(pi*y/2)
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
X
Y
grad(U)
J.L. Fernández Jambrina
EyM 1-71
Combinación de operadores:
Laplaciana de un Vector
• Es, es, … es
E
sc
al
ar
V
ec
to
r
V
ec
to
r 
-
P
V
E
sc
al
ar
 -
P
V
grad rot div
gradrotdiv
( ) AAA rrr ×∇×∇−⋅∇∇=∆
J.L. Fernández Jambrina
EyM 1-72
Laplaciana de un vector.
• Definición:
• Su expresión es complicada, salvo en cartesianas:
– Limitando el cálculo a su componente x:
( ) AAA rrr ×∇×∇−⋅∇∇=∆
( )[ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] ( )[ ] [ ] xxxx
zxzy
zxxy
yz
zyxzyx
A
z
A
y
A
x
A
xAxAxA
z
A
y
A
zx
A
yx
A
x
A
z
A
zy
A
x
A
y
A
z
A
yx
A
zx
A
yx
A
x
A
xz
A
y
A
x
A
xA
∆=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=×∇×∇−⋅∇∇=∆
∂
∂
−
∂
∂
−
∂∂
∂
+
∂∂
∂
=
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
=×∇
∂
∂
−×∇
∂
∂
=×∇×∇
∂∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∇=⋅∇∇
2
2
2
2
2
2
2
2
2
222
22
2
2
rrr
rrr
r
J.L. Fernández Jambrina
EyM 1-73
Laplaciana de un vector. (2)
• Repitiendo el cálculo para las componentes y y z:
– La laplaciana de un campo vectorial es otro campo vectorial cuyas 
componentes en coordenadas cartesianas (y sólo en cartesianas) son 
las laplacianas (escalares) de las componentes del campo original.
• Interpretación: complicada.
zAyAxAA zyx ˆˆˆ ∆+∆+∆=∆
r
J.L. Fernández Jambrina
EyM 1-74
Teorema de Helmholtz
• Enunciado:
• Demostración:
– La divergencia no basta:
– El rotacional no basta:
Para definir un campo vectorial es necesario 
especificar tanto su rotacional como su divergencia.
( ) ABAABAA r43421
rrrrrr
⋅∇=×∇⋅∇+⋅∇=′⋅∇⇒×∇+=′
0
( ) AUAAUAA
r
43421
rrrr
×∇=∇×∇+×∇=′×∇⇒∇+=′
0
J.L. Fernández Jambrina
EyM 1-75
Fuentes de los campos
• Puesto que un campo vectorial se determina a partir de su rotacional 
y de su divergencia, se definen ambas expresiones como sus 
fuentes.
• Las fuentes escalares son las que definen la divergencia del campo. 
– Ejemplo: la densidad de carga volumétrica es la fuente escalar de la 
densidad de flujo eléctrico:
• Las fuentes vectoriales son las que definen el rotacional del campo.
– Ejemplo: la densidad de corriente volumétrica es la fuente vectorial de la 
intensidad de campo magnético en variación lenta:
ρ=⋅∇ D
r
JH
rr
=×∇
J.L. Fernández Jambrina
EyM 1-76
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
z
B
A
y
B
A
x
B
ABA
BAABABBABA
BAABBA
ABABBABABA
AUAUAUAUAUAU
BABABABA
VUUVUVVUVU
AAAA
UUU
CBDADBCADCBABACCABCBA
BACACBCBAABBA
zyx ∂
∂
∂
∂
∂
∂
rrr
rr
rrrrrrrrrr
rrrrrr
rrrrrrrrrr
rrrrrr
rrrrrrrr
rrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rvrvrrrrvrrrr
++=∇⋅
∇⋅−∇⋅+⋅∇−⋅∇=××∇
×∇⋅−×∇⋅=×⋅∇
×∇×+∇⋅+×∇×+∇⋅=⋅∇
×∇+×∇=×∇⋅∇+⋅∇=⋅∇
×∇+×∇=+×∇⋅∇+⋅∇=+⋅∇
∇+∇=∇∇+∇=+∇
∆−⋅∇∇=×∇×∇=×∇⋅∇
=∇×∇∆=∇⋅∇
⋅⋅−⋅⋅=×⋅×⋅−⋅=××
×⋅=×⋅=×⋅×−=×
0
0
Expresiones varias