Estudo da Cicloide

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J.L. Fernández Jambrina
Cicloide-1
Estudio de una cicloide
• Es la curva descrita por un punto de un círculo al rodar sin deslizamiento 
sobre un plano.
– Si suponemos que el círculo se 
mueve a velocidad constante:
– Calcular el vector de posición, la velocidad, la aceleración y la distancia recorrida 
desde el origen en función del tiempo
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −=−= t
a
v
ayt
a
v
atvx 000 cos1sin
0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
0
0.5
1
1.5
2
x/a
y/
a
0
2
Cicloide
J.L. Fernández Jambrina
Cicloide-2
Estudio de una cicloide (2)
yt
a
v
axt
a
v
atvyyxxr ˆcos1ˆsinˆˆ 000 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −=+=
r
Vector de posición:
Velocidad:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −=+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −==
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −=+==
t
a
v
vt
a
v
t
a
v
vvvv
yt
a
v
vxt
a
v
vy
dt
dy
x
dt
dx
dt
rd
v
0
0
02
2
0
0
0
0
0
0
cos12sincos1·
ˆsinˆcos1ˆˆ
rrr
r
r
J.L. Fernández Jambrina
Cicloide-3
Estudio de una cicloide (3)
Velocidad:
yt
a
v
vxt
a
v
vy
dt
dy
x
dt
dx
dt
rd
v ˆsinˆcos1ˆˆ 00
0
0 +⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −=+==
r
r
Aceleración:
a
v
t
a
v
t
a
v
a
v
aaa
yt
a
v
a
v
xt
a
v
a
v
y
dt
dv
x
dt
dv
dt
vd
a yx
2
00202
2
0
0
2
00
2
0
cossin·
ˆcosˆsinˆˆ
=+==
+=+==
rrr
r
r
J.L. Fernández Jambrina
Cicloide-4
Estudio de una cicloide (4)
Distancia recorrida (longitud):
( )
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −=
=−==⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −==
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −==+=
∫∫
t
a
v
a
t
a
v
atdt
a
v
vdtt
a
v
vtL
dtt
a
v
vdtvdl
dtvdtyt
a
v
vxt
a
v
vdt
dt
rd
ydyxdxld
ttt
2
cos14
2
cos4
2
sin2cos12
cos12
ˆsinˆcos1ˆˆ
0
0
0
0
0
0
)1(
0
0
0
0
0
0
0
0
0
r
r
rr
π≤t
a
v
2
)1( 0