eym5_05_01

Vista previa del material en texto

Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario 
16/01/2006 EyM 5-1
Campo Magnético Estacionario
Campos Estacionarios
Los campos electromagnéticos estacionarios aparecen cuando no hay 
variaciones temporales, d/dt=0, pero se permite la existencia de corrientes.
Las corrientes consideradas en estas condiciones reciben el nombre de 
corrientes estacionarias y deben cumplir la condición de no modificar las 
distribuciones de carga existentes. 
Se puede expresar matemáticamente esta condición partiendo de la 
ecuación de continuidad:
0=+⋅∇
t∂
∂ρJ
v
0=
t∂
∂
0=⋅∇ J
v
Las corrientes estacionarias tienen divergencia nula.
Ya se vio en el capítulo anterior que no pueden tener su origen en 
campos culombianos o electrostáticos.
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario 
16/01/2006 EyM 5-2
Campos Estacionarios
( ) ( )
( ) ( ) ( )
HB
ED
B
D
t
trDtrJtrH
t
trBtrE
rr
rr
r
r
rr
rrrr
rr
rr
µ
ε
ρ
∂
∂
∂
∂
=
=
=⋅∇
=⋅∇
+=×∇
−=×∇
0
,,,
,, ( )
( )
HB
ED
B
D
JrH
rE
rr
rr
r
r
vrr
rr
µ
ε
ρ
=
=
=⋅∇
=⋅∇
=×∇
=×∇
0
0
∂
∂t
= 0
Con las condiciones mencionadas las ecuaciones de Maxwell quedan :
Se puede apreciar la existencia de dos sistemas de ecuaciones independientes:
( )
ED
D
rE
rr
r
rr
ε
ρ
=
=⋅∇
=×∇ 0 ( )
HB
B
JrH
rr
r
vrr
µ=
=⋅∇
=×∇
0
El del campo
electrostático:
Y el del campo
magnetostático:
Campo Magnetostático
• Este capítulo se va a centrar en el campo magnetostático, 
puesto que el campo electrostático se puede estudiar 
independientemente, como ya se ha hecho.
• Conviene recordar que en la naturaleza no existen 
situaciones estacionarias, al igual que no existían 
situaciones estáticas. Lo que si existen son situaciones en 
que la velocidad de los fenómenos es lo suficientemente 
lenta como para que la aproximación de despreciar las 
variaciones con respecto al tiempo sea suficiente para 
conducir a buenos resultados.
– La ley de Ampère es la que liga las fuentes con el campo.
0=⋅∇ B
r
( ) JrH vr
r
=×∇
HB
rr
µ=
– La ecuación de la divergencia postula que las líneas de 
campo magnético son cerradas, o lo que es lo mismo, que 
no existen fuentes escalares.
– La ecuación de estado introduce el efecto de los medios.
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario 
16/01/2006 EyM 5-3
• Utilizando el grado de libertad de que se dispone se puede 
escoger: 
El Potencial Vector Magnetoestático
• El que la divergencia de un rotacional sea siempre nula y que la
divergencia del campo magnético sea siempre nula permite 
suponer que el campo magnético pueda proceder de un potencial 
vector: 
( ) ⇒⎪⎭
⎪
⎬
⎫
=×∇⋅∇
=⋅∇
0
0
A
B
r
r
• Esta definición del potencial vector deja un gran margen de libertad que 
será utilizado posteriormente definiendo su divergencia.
AB
rr
×∇=
( ) AAABHJ rrrrrr ∆−⋅∇∇=×∇×∇=×∇=×∇= µµ
0=⋅∇ A
r
JA
rr
µ−=∆
• Llevando esta definición a la ley de Ampère en un medio lineal, 
homogéneo e isótropo:
• con ello se obtiene:
El Potencial Vector Magnetoestático
• Trabajando en coordenadas cartesianas la ecuación del 
potencial vector se puede descomponer en ecuaciones similares 
a la ecuación de Poisson ya estudiada y resuelta para el caso de 
un medio homogéneo, lineal, isótropo e indefinido:
JA
rr
µ−=∆
( )
( )
( )
( )
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
′−
′′
=⇒
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
′−
′′
=⇒−=∆
′−
′′
=⇒−=∆
′−
′′
=⇒−=∆
⇒−=∆
V
V
z
zzz
V
y
yyy
V
x
xxx
rr
VdrJA
rr
VdrJAJA
rr
VdrJ
AJA
rr
VdrJAJA
JA rr
rrr
rr
r
rr
r
rr
r
rr
π
µ
π
µµ
π
µµ
π
µµ
µ
4
4
4
4
( ) ( )∫∫∫ ′−
′′
=⇒−=∆
V rr
Vdrr rr
r
v ρ
πε
φ
ε
ρφ
4
1
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario 
16/01/2006 EyM 5-4
– Un elemento infinitesimal de corriente da lugar 
a una contribución diferencial paralela a 
dirección de la corriente. 
dA
dA
dA
dA
dI
El Potencial Vector Magnetoestático
– Análogamente se pueden obtener expresiones para corrientes 
superficiales y lineales: 
( )
∫∫ ′−
′′
=
S
S
rr
SdrJA rr
rrr
π
µ
4 ∫ ′−
′
=
C rr
ldIA rr
r
r
π
µ
4
– La interpretación de su significado físico es 
difícil.
dA
v
∫∫∫∫∫ ⋅=⋅×∇=⋅=Φ
CSS
B ldASdASdB
rrrrrr
– En la expresión para corrientes lineales el contenido vectorial de la corriente se ha 
transferido al diferencial de longitud, la integral se realiza en un contorno cerrado y la 
corriente es constante.
– En algunos casos es muy útil para calcular el 
flujo del campo magnético:
Potencial Vector: Ejemplo
• Sea una línea de corriente Io que circula a lo largo del eje z 
en sentido positivo. 
zAA z ˆ=
r
( ) Kr L +=
ρπε
ρφ 1ln
2
r
( ) zKIozArA z ˆ
1ln
2
ˆ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+==
ρπ
µrr
( ) ( ) ϕ
πρ
µ
∂ρ
∂ϕ
∂ϕ
∂
ρ
ρ ˆ
2
ˆ1ˆ IoArArB z =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−=×∇=
rrrr
• Como la corriente sólo tiene componente z:
• Este problema es análogo al de una densidad de carga lineal 
sobre el eje z. La solución a este problema electróstatico es:
• Por analogía:
• En este caso, al igual que en el problema electrostático, no 
se puede definir de forma unívoca el potencial vector.
• Esta indefinición no impide calcular el campo magnético:
Se obtendrá de forma más simple utilizando la ley de Ampere
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario 
16/01/2006 EyM 5-5
Campo M-E a partir de A
– Para obtener el campo a partir del potencial vector basta con aplicar la 
definición:
( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫∫
′′
′⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
′
′−
×∇=
′−
′′
×∇=×∇=
VV
VdrJ
rrrr
VdrJrArB r
r
rrrr
rr
rrrr 1
44 π
µ
π
µ
( ) ( )∫∫∫∫∫∫
′′
′′×
′−
′−
−=′′×⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
′−
∇=
VV
VdrJ
rr
rrVdrJ
rr
B r
r
rr
rr
rr
rr
r
34
1
4 π
µ
π
µ
VUVUVU
rrr
×∇+×∇=×∇
( ) 0=′×∇ rJ r
r
r′r
( ) ( )
∫∫∫
′
′
′−
′−×′
=
V
Vd
rr
rrrJB 34 rr
rrrrr
π
µ
3
1
rr
rr
rr ′−
′−
−=
′−
∇ rr
rr
rr
– Donde se ha invertido el orden de la integral y el rotacional.
– Aplicando que
– donde se ha aplicado:
– Invirtiendo el orden del producto vectorial se obtiene la expresión 
definitiva:
y que
puesto que el rotacional se aplica sobre
Ley de Biot-Savart
• Adaptando para corrientes superficiales:
( ) ( )
∫∫ ′′−
′−×′
=
S
S Sd
rr
rrrJB 34 rr
rrrrr
π
µ
( )
∫ ′−
′−×′
=
C rr
rrldIB 34 rr
rrrr
π
µ
• Y para corrientes filiformes:
• Expresión que recibe el nombre de ley de Biot-Savart.
– Observe que nuevamente se ha transferido el contenido vectorial de la 
corriente al diferencial de longitud, que la corriente es constante y 
cerrada y la forma poco formal de colocar el diferencial de longitud 
dentro de la expresión subintegral.
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario 
16/01/2006 EyM 5-6
Campo M-E creado por un elemento de 
corriente.
• Si se considera un elemento de corriente del tipo 
que sea:
dB
dB
dB
dB
dI
( )
( )
( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨
⎧
′′
′′
′′
=′
ldrI
SdrJ
VdrJ
rId S
rr
rr
rr
rr
( )
34 rr
rrIdBd
′−
′−×′
= rr
rrvr
π
µ
– Regla del dedo gordo de la mano derecha
• Su contribución al campo será:
• Perpendicular a la corriente.
• Perpendicular al vector que une el elemento de 
corriente y el punto donde se calcula el campo.
• Proporcional al seno del ángulos formado por la 
corriente y el vector del punto anterior.
– No hay campo en la línea definida por el elemento 
de corriente.
• Inversamente proporcional al cuadrado de la 
distancia.
Espira Circular
• Sea la espira de la figura centrada en el eje z y contenida en
a
I
z
0zz =
( )
∫ ′−
′−×′
=
C rr
rrldIB 34 rr
rrrr
π
µ
( )
( )
( ) ( )[ ] ϕρϕϕ
ρ
ρ
′′−+=′−×′⇒′=′
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−+=′−
−+′−=′−
⇒
⎭
⎬
⎫
+′=′
=
adzzzarrldadld
zzarr
zzzarr
zzar
zzr
ˆˆˆ
ˆˆ
ˆˆ
ˆ
0
2
0
2
0
0
rrrr
rr
rr
r
r
a
z
O
r'
r
ρ'^
φ̂'
• Para calcular el campo en el eje z habrá que aplicar la ley de Biot-
Savart
• En este caso:
• Sustituyendo .... 
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario 
16/01/2006 EyM 5-7
Espira Circular
• Sustituyendo:
( ) ( )( )
( )[ ] ( )[ ]
( ) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
′′−+′
−+
=′
−+
′−+
= ∫∫∫
πππ
ϕρϕ
π
µϕρ
π
µ 2
0
0
2
02
32
0
2
0
2
02
32
0
2
00 ˆˆ
4
ˆˆ
4
ˆ dzzdza
zza
aId
zza
azzzaIzzB
v
( ) 0ˆsenˆcosˆ
2
0
2
0
=′′+′=′′ ∫∫
ππ
ϕϕϕϕρ dyxd
( )
( )[ ]
z
zza
aIzzB ˆ
2
ˆ
2
32
0
2
2
0
−+
=
µv
1rr
vv ′−
2Bd
v
1Bd
v
2rr
vv ′−
1ld
v
2ld
v
21 BdBd
vv
+
• Y considerando que:
• Finalmente:
se cancelan las componentes radiales, ver figura.
Potencial y Campo fuera del eje
En un punto arbitrario el potencial vector es:
( )
( )[ ]
( )
[ ]∫∫ ′−++
′′
=
+′+′−
′′
=
π
πϕ ϕρρ
ϕϕ
π
µ
ϕϕρ
ϕϕ
π
µ
0 2222 2222 2
1
2
1
cos2
cos
2cos
cos
4 aza
daI
zsenaa
dIaA
Haciendo el cambio de variable ϕ=π-2θ se tiene: ( )
( )[ ]∫ −++
−
= 2
2
10 222
2
4
12π
θρρ
θθ
π
µ
ϕ
senaza
dsenaIA
La función subintegral puede rescribirse como:
( )
( )[ ]
( )
( )( ) ( ) 212121 2222
2
222
2
1
12
4
12
θρ
θ
θρρ
θ
senkza
sena
senaza
sena
−++
−
=
−++
−
donde:
( )[ ]22
2 4
za
ak
++
=
ρ
ρ
( ) ( )⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−= ∫∫ kEkK
k
k
aIdsenk
senk
dk
k
aIA
2
111
12
11
2
0
2
0 2
2
22
ρπ
µθθ
θ
θ
ρπ
µ ππ
ϕ
siendo K(k) y E(k) las integrales elípticas completas de 1ª y 2ª especie.
Aún puede operarse un poco más y obtenerse:
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario 
16/01/2006 EyM 5-8
Líneas de Inducción Magnética
2 1 0 1 2
1
0.5
0
0.5
1
B
Dado que el potencial solo tiene componente ϕ y es independiente de ϕ, 
tomando circunferencias concéntricas con el eje la circulación de A será
2πρAϕ que es el valor del flujo de B. 
Representando las líneas de flujo constante se obtiene una representación de 
las líneas de campo como se indica en la figura.
Variación del Campo
Como puede verse en la figura anterior el campo crece en las proximidades 
de la corriente. La inducción B puede obtenerse como:
( )
∂ρ
ρ∂
ρ∂
∂ ϕ
ϕ
ϕ
ρ
A
BB
z
A
BAB z
1,0, ==−=⇒×∇=
rr
Y teniendo en cuenta que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
a
kkkk
a
zk
z
k
k
kK
kk
kE
k
kK
k
kK
k
kE
k
kE
442
,,
4
1
,,
333
2
−−=−=
−
−
=−=
ρρ∂ρ
∂
ρ∂
∂
∂
∂
∂
∂
Se obtienen:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−
−−
+
++
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−
++
+−
++
= kE
za
zakK
za
IBkE
za
zakK
za
zIB z 22
222
2222
222
22
1
2
,,
2 ρ
ρ
ρπ
µ
ρ
ρ
ρρπ
µ
ρ
En el eje solo hay componente z que vale (K(0)=E(0)=π/2):
( ) 2322
2
2 za
aIB
ejez +
=
π
µ
En el plano de la espira solo hay componente z de valor:
( ) ( )
( )
( )⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
+
+
== kE
a
akK
a
IzBz 2
221
2
0
ρ
ρ
ρπ
µ
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario 
16/01/2006 EyM 5-9
Variación del Campo
2 1 0 1 2
0.5
1
Beje( )z
z
0 0.5 1 1.5 2
0
50
B( )r
r
Variación en el eje z Variación radial en z=0
Programando las expresiones anteriores se obtienen las variaciones del 
campo, normalizado, según z en ρ = 0 y según ρ en z=0.
Lineas de Campo de Tres Espiras 
Coaxiales
2 1 0 1 2
1
0.5
0
0.5
1
B
Aplicando superposición se obtienen las líneas de flujo de tres espiras 
coaxiales iguales.
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario 
16/01/2006 EyM 5-10
Problema
(Sept-92) Considere una espira cuadrada de lado 2a, contenida en z=0, centrada 
en el origen de coordenadas, con los lados paralelos a los ejes X e Y, y por la 
que circula una corriente I0 . a) Calcule el campo magnético que crea sobre los 
puntos del eje Z. Si se sustituye esta espira por otra espira circular de radio a 
construida con el mismo tipo de hilo, situada en la misma posición y por la que 
circula la misma corriente: b) ¿Cuál de las dos crea un campo más intenso en el 
origen de coordenadas? c) ¿Cuál de las dos crea un campo más intenso en 
puntos lejanos ?
x
y
z
I2
(1)
(2)
(3)
(4)
aa
P
a) Para obtener el potencial en el eje aplicamos la ley 
de Biot y Savart por tramos, comenzando por el (1).
zzryaxxrdxxld ˆ,,ˆˆ,,ˆ =+=′−= rr
r
( ) adxzzdxy
zax
dx
zyx
rrld ˆˆ00
ˆˆˆ
+=
−−
−=′−×
rrr
Por simetría solo quedara, al final, componente z que 
es la que nos interesa obtener:
( ) ( )( ) ( )( ) 212123 2222
2
222222221 2
1
244 zaza
Ia
zaxza
xIa
zax
adxIB
a
ax
a
axz ++
=
+++
=
++
=
−=
−=∫ π
µ
π
µ
π
µ
Problema
Al superponer los cuatro tramos la componente z se cuadruplica:
b) El campo creado por la espira circular es:
( )( ) 212222
2
 
2
12
zaza
IaBz
++
=
π
µ
( ) 2322
2
O 2 za
aIBz
+
=
µ
Por tanto en z=0 será:
2
2)0( a
IBz π
µ
=
a
IBz 2
)0(O
µ
=<
c) En puntos lejanos creará un campo mayor la espira que tiene mayor 
superficie porque es la que tienen un momento dipolar magnético mayor.
En este caso la espira cuadrada.
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario 
16/01/2006 EyM 5-11
Solenoide Cilindrico
0 0.5 1 1.5 2
2
1
0
1
2
H
0 0.5 1 1.5 2
2
1
0
1
2
Hρ ρ
z z
Por integración del potencial de una espira se obtiene el potencial y el flujo de 
un solenoide. Se ha superpuesto la sección del solenoide. Se observa una 
importante imprecisión numérica debida a que en las proximidades del eje las 
integrales elípticas tienen valores muy próximos que hay que restar.
Solenoide Cilindrico
0 1 2
2
1
0
1
2
H
ρ/a
z/a
Para evitar las imprecisiones numéricas se ha
programado directamente el cálculo del potencial
vector sin utilizar las integrales elípticas.
La figura presenta las líneas de flujo en un semiplano
ϕ constante. Puede observarse el quiebro de las líneas
de flujo al atravesar la corriente superficial del solenoide
y la tendencia hacia la uniformidad del campo en el
interior del mismo.
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario 
16/01/2006 EyM 5-12
Solenoide Cilíndrico Finito
• Se trata de un apilamiento de espiras por las que 
circula la misma corriente I.
• Se define por el radio de las espiras, a, el número 
de espiras por unidad de altura, n, y su altura, h.
• Normalmente se construye enrollando un hilo 
sobre un núcleo y se desprecia el efecto del 
paso de arrollamiento y de los hilos de conexión.
• Si los hilos están muy juntos se puede suponer 
que la corriente está distribuida uniformemente 
sobre la superficie lateral. Así, suponiendo que el 
eje del solenoide es el eje z:
a
h
I
nhIdzJI
h
ST =⋅= ∫ ϕ̂
v
ϕϕϕ ˆˆ nIJJS ==
v
( ) ( )
∫∫ ′′−
′−×′
=
S
S Sd
rr
rrrJB 34 vv
vvvvv
π
µ
( )[ ]
z
zza
aznIdBd ˆ
2 2322
2
′−+
′
=
µv
También puede considerarse el solenoide como un 
apilamiento de espiras de radio a y corriente 
dI=nIdz´ que producen un campo en el eje:
También puede considerarse el solenoide como un 
apilamiento de espiras de radio a y corriente 
dI=nIdz´ que producen un campo en el eje:
• Por todo ello se puede aplicar:
Solenoide Cilíndrico Finito
a
z
O
r'
r
ρ'^
φ̂'
• Limitando el cálculo al eje z:
( )
( )
( ) ( ) ( )[ ]nIzzzarrrJ
zzarr
zzzarr
zzar
zzr
ρ
ρ
ρ
′′−+=′−×′
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
′−+=′−
′−+′−=′−
⇒
⎭
⎬
⎫
′+′=′
=
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ
ˆ
22
rrrv
rr
rr
r
r
( )
( )[ ]
z
zza
zdInazzB
h
h
ˆ
2
ˆ
2
2 2
322
2
∫
− −′+
′
=
µv
( ) ( )
( )[ ]∫ ∫−
′′
′−+
′′−+
=
2
2
2
0 2
322
ˆˆ
4
ˆ
h
h
zdad
zza
zzzanIzzB
π
ϕρ
π
µv
0ˆ
2
0
=′′∫
π
ϕρ d
Siguiendo el primer procedimiento:
Con el segundo procedimiento 
se plantea esta ecuación.
• Tomando el origen de coordenadas en el centro del 
solenoide:
• Integrando en ϕ’ considerando que: 
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario 
16/01/2006 EyM 5-13
Solenoide Cilíndrico Finito
• y aplicando:
( )
( ) ( ) ( )
z
zha
zh
zha
zhnIz
zza
zznIzzB
h
h
ˆ
2
2
2
2
2
ˆ
2
ˆ
2222
2
2
22 ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
+
+
−+
−
=
−′+
−′
=
−
µµr
( ) 2222322 axa
x
ax
dx
+
=
+∫
( )
( ) ( )
z
zzha
zzh
zzha
zzhnIzB
c
c
c
c ˆ
2
2
2
2
2 2222 ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−+
+−
+
−++
−+
=
µr
zc
α
β
h
O
z
( ) ( )znIzB ˆcoscos
2
βαµ −=
r
• Si el solenoide estuviera centrado en zc :
• Donde los términos del corchete se pueden interpretar 
como los cosenos de los ángulos de la figura:
• se obtiene finalmente:
• Es inmediato que si el solenoide es muy largo, el campo en un 
punto de su eje dentro de él y alejado de los extremos tiende a:
SolenoideCilíndrico Finito
( ) ( ) znIznIzB
hzzhzh cc
ˆˆcoscos
2
limlim
0
22
µβαµ
πβ
α
=−=
→
→+<<−∞→
r
zc
α
β
h
O
z
( ) ( ) znIznIhzB ch ˆ2ˆcoscos2lim2lim 2
µβαµ
πβ
πα
=−=+
→
=∞→
v
( ) ( ) znIznIhzB ch ˆ2ˆcoscos2lim2lim
2
0
µβαµ
πβ
α
=−=−
=
→∞→
v
0 5 10 15 20
0
1
2
B( )z
z
a=1
h=20
• Mientras que el campo en en centro de sus extremos 
tiende justo al valor mitad:
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario 
16/01/2006 EyM 5-14
Otros Tipos de Solenoides
Arrollando espiras sobre superficies con simetría de revolución entorno a un eje
pueden formarse solenoides de distintos tipos como cónicos, esféricos, etc.
I
I
I I
La densidad de arrollamiento se expresa en número de espiras por unidad de
longitud a lo largo de la generatriz.
Campo M-E a partir de la Ley de Ampère
• Algunos problemas con determinadas geometrías pueden 
resolverse directamente a partir de la ley de Ampère en forma 
integral:
ISdJldH
SC
=⋅=⋅ ∫∫∫
vvvv
• De forma similar a lo que ocurría en Electrostática con la ley de 
Gauss, para poder calcular el campo a partir de la ley de Ampère es 
necesario que el campo tenga una variación sencilla a lo largo del 
contorno escogido. 
• Los casos que se van a estudiar son:
– Distribuciones de corriente con simetría de translación en una 
dirección y simetría de revolución alrededor de un eje con esa 
dirección.
– El solenoide indefinido.
– Hoja indefinida de corriente.
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario 
16/01/2006 EyM 5-15
• Normalmente se escoge que el eje de simetría 
coincida con eje z.
• Por la simetría de translación no puede haber 
variación con z:
• Al estar todos los elementos de corriente 
orientados según z no se genera campo con 
componente z:
$ϕ
• Por la simetría de revolución el campo no es 
función de ϕ, salvo la variación propia de :
– Se puede comprobar calculando el flujo 
en una superficie como la de la figura 
adjunta. En ella se supone que el campo 
tiene componente radial.
• En definitiva:
• No puede haber componente radial porque no 
se cumpliría:
Distribuciones de corriente axiales con 
simetría de revolución
0=⋅∇ B
r
( )ϕρ ,HH
rr
=
( ) ( )ϕϕρρϕρ ϕρ ˆ,ˆ, HHH +=
r
( ) ( )ϕρρρ ϕρ ˆˆ HHH +=
r
( )zJJ z ˆρ=
v
( )ϕρϕ ˆHH =
r
Distribuciones de corriente axiales con simetría 
de revolución
• Escogiendo contornos que sean 
circunferencias en planos z=cte y 
centradas en el eje z:
( )
( )
πρ
ρ
ρρρπ
πρϕρ ϕ
ρ
ϕ
π
ϕ 2
2
2
0
2
0
IH
IdJSdJ
HdH
SdJldH
z
S
SC
=⇒
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
==⋅
=
⋅=⋅
∫∫∫
∫
∫∫∫
rr
rrrr
( )ϕ
πρ
ρ ˆ
2
IH =
r
( )zJJ z ˆρ=
v
Z
( )ϕρϕ ˆHH =
v
( ) ρρπρ
ρ
dJI z∫=
0
2
• donde I(ρ) es la corriente que fluye a través del contorno:
• Por tanto:
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario 
16/01/2006 EyM 5-16
Línea de Corriente Indefinida 
• En el caso de una linea de corriente indefinida de valor I que 
circule sobre el eje z: I(ρ)=I.
– Por lo tanto: ϕπρ
ˆ
2
IH =
r
a
Z
I
( )
⎩
⎨
⎧
<
<≤
==
ρ
ρπ
ρ
a
azaI
zJJ z ;0
0;ˆˆ
2r
La corriente encerrada en la región interior es I(ρ) = I (ρ/a)2 y por tanto:
ϕρ
π
ˆ
2 2a
IHi =
r
ϕ
πρ
ˆ
2
IHe =
r
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
0.5
1
B( )r
r
• En el caso de que la corriente se distribuya uniformemente en 
un hilo de radio a: 
Cable Coaxial
• En el cable coaxial de la figura la corriente circula en 
sentidos contrarios en cada conductor. 
• Suponiendo que la corriente se distribuye 
uniformemente en la sección de cada conductor:
– I
I
b
a
Z
c
I
( ) ( )
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<
<<−−
<<
<≤
==
ρ
ρπ
ρ
ρπ
ρ
c
cbzbcI
ba
azaI
zJJ z
;0
;ˆ
;0
0;ˆ
ˆ
22
2
r
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario 
16/01/2006 EyM 5-17
Coaxial
• Y el resultado final es:
( ) ( ) ( )
( )
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
≤
≤≤
−
−
≤≤
≤≤
===
ρ
ρϕ
ρ
ρ
π
ρϕ
ρπ
ρϕρ
π
ϕ
πρ
ρϕρϕ
c
cb
bc
cI
baI
a
a
I
IHrH
;0
;ˆ
2
;ˆ1
2
0;ˆ
2
ˆ
2
ˆ
22
22
2
rr
( )
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
≤
≤≤
−
−
≤≤
≤≤
==⋅= ∫∫∫
ρ
ρρ
ρ
ρρ
ρρπρ
ρ
ρ
c
cb
bc
cI
baI
a
a
I
dJSdJI z
S
;0
;
;
0;
2
22
22
2
2
0
rr
• La corriente que fluye en el interior
de la circunferencia de radio ρ es:
• Obsérvese que no se genera campo en su exterior.
– n es el número de espiras por unidad de 
longitud (altura en la figura).
• Las fuentes no dependen de z, el campo 
tampoco:
• La simetría de rotación garantiza la 
independencia respecto de φ:
• El campo no puede tener componente φ: la 
circulación a lo largo de una circunferencia 
de z constante centrada en el eje z debe ser 
cero porque no pasa corriente a través de 
ella. 
Solenoide Indefinido
• Al igual que en el solenoide finito, en un 
solenoide indefinido la distribución de 
corriente puede representarse por una 
densidad de corriente superficial:
I
Z
a
ϕϕϕ ˆˆ nIJJS ==
r
0=⋅∇ B
r
( ) ( )ρHrH
rrr
=
( ) ( )zHrH z ˆρ=
rr
( )ϕρϕ ˆH
• Si el campo tuviera componente radial no se 
cumpliría que:
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario 
16/01/2006 EyM 5-18
I
a
• Análogamente, con contornos como el Cb , 
interior 
• Y con contornos como el Cc , uno de los 
lados paralelos dentro del solenoide y el otro 
fuera: 
Solenoide Indefinido
• Escogiendo contornos como el Ca , exterior 
al solenoide, rectangular y con dos lados 
paralelos al eje z:
Cc
( ) ( )[ ] ( ) cte0 ==⇒−=⋅=
>∫ eazizez
C
HHLHHldH
a
ρ
ρρρ
rr
( ) ( )[ ] ( ) cte0 ==⇒−=⋅=
<∫ iazizez
C
HHLHHldH
b
ρ
ρρρ
rr
Ca
Cb
[ ] nIHHLHHldHnIL eiei
Cc
=−⇒−=⋅= ∫
rr
Solenoide Indefinido
• Recordando que el límite del campo creado por un 
solenoide en su centro cuando su longitud tiende a 
infinito es: ( ) znIzB
ctezh c
ˆlim µ=
=∞→
r
0; == ei HnIH
( )
⎩
⎨
⎧
<
<≤
=
ρ
ρ
a
aznI
rH
;0
0;ˆrr
• Resulta que:
• Y por tanto:
• Un solenoide infinito solo crea campo en su interior, 
y este campo es constante, con componente axial y 
con sentido positivo de acuerdo al de la corriente.
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario 
16/01/2006 EyM 5-19
Hoja Indefinida de Corriente
• Se trata de una corriente superficial de amplitud y dirección 
constantes que fluye sobre un plano indefinido.
• Supongamos que el plano es el z=0 y que la
• corriente lleva dirección +x.
• Como las fuentes no varían
ni con x ni con y,
el campo tampoco lo hará.
• Al estar los elementos de corriente
orientados según x el campo
generado solo podrá tener 
componentes y y z.
• De momento pues:
z
y
x
xJJS ˆ0=
( ) ( ) ( )zzHyzHrH zy ˆˆ +=
rr
( )
⎩
⎨
⎧
<
>−
=
0;2ˆ
0;2ˆ
0
0
zJy
zJy
rH r
r
Hoja Indefinida de Corriente
• La componente z tampoco puede 
existir: dado un elemento de corriente y 
un punto de cálculo de campo, siempre 
se puede encontrar el punto simétrico 
que cancela la componente z
1Id
v2Bd
v
2Id
v
1Bd
v
21 BdBd
vv
+
z
y
x
z
y
xJs ˆ//
v
L
Ca
Cb
L
Cc
( ) ( )[ ] cte0
0
==⇒−=⋅= +
>
+−∫ yzyy
C
HHLzHzHldH
a
rrr
( ) 00 JHHLHHldHLJ yyyy
Cc
=−⇒−=⋅= +−+−∫
rr
( ) ( )[ ] cte0
0
==⇒−=⋅= −
<
+−∫ yzyy
C
HHLzHzHldH
b
rrr
−+ = yy HH
• La componente y es constante a ambos 
lados de la hoja y tiene una 
discontinuidad en la hoja:
• Por simetría cabe suponer:
• Finalmente:
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario 
16/01/2006 EyM 5-20
Campo Magnético en Puntos Alejados
• El estudio de los campos magnéticos estacionarios en puntos alejados 
tiene un interés aún mayor que el de los campos eléctricos estáticos en 
situaciones similares: las magnitudes asociadas pueden aplicarse en 
muchos casos, con sólo pequeños cambios, a los problemas de variación 
temporal arbitraria.
V( )rJ ′
vv
( ) 0=′⋅∇′ rJ v
v
v′r
vr
O
v vr r− ′
– Obsérvese que se ha escogido el origen próximo a 
la distribución de forma que:
rr vv <<′max
• La situación de partida es la representada en la figura siguiente:
Campo magnético en puntos alejados
• Partiendo de la expresión general del potencial vector:
( ) ( )∫∫∫ ′−
′′
=
V rr
vdrJrA rr
rr
rr
π
µ
4
rr rr <<′max
( ) ( )[ ] [ ]
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ ′⋅
+≈
⎥
⎥
⎦
⎤⎢
⎢
⎣
⎡ ′⋅−′
−≈
≈
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ ′⋅−′
+=′⋅−′+=′−⋅′−=′−
−
−−−
22
2
2
1
2
2
2
122
2
11
11
2
2
111
2
112
r
rr
rr
rrr
r
r
rrr
r
rrrrrrrrrr
r
rr
rr
rrr
r
r
rrr
r
rrrrrrrrrr
( ) xx
n
xxx xn
2
112
1
8
3
2
111 122
1
−⎯⎯ →⎯+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛−
+++−=+ <<− KK
2
2 2
r
rrr
x r
rrr ′⋅−′
=
r
′r 2 2r rr r⋅ ′
• Y aplicando que al tratarse de un punto alejado:
• donde se ha aplicado que:
• siendo en este caso:
• también se ha despreciado frente a
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario 
16/01/2006 EyM 5-21
Campo magnético en puntos alejados
• Aplicando esta simplificación, válida para puntos alejados:
( ) ( ) ( ) ( )( )∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ′′⋅′+′′≈′−
′′
=
VVV
vdrrrJ
r
vdrJ
rrr
vdrJrA rrr
r
r
rr
rrr
rr
rr
3444 π
µ
π
µ
π
µ
( ) ( )( )
( )( ) ( )[ ]{ } ( )( ) ( )[ ]{ }∫∫∫∫∫∫
∫∫∫
′′⋅′+′⋅′+′′⋅′−′⋅′=
=′′⋅′≈
VV
V
vdrJrrrrrJ
r
vdrJrrrrrJ
r
vdrrrJ
r
rA
rrrrrrrr
r
rrrrrrrr
r
rrrr
r
rr
2
1
42
1
4
4
33
3
π
µ
π
µ
π
µ
( )( ) ( )[ ] ( )[ ]
( ) ( )[ ]∫∫∫ ′×′×′≈
×′×′=′⋅′−′⋅′
V
vdrrJr
r
rA
rrJrrJrrrrrJ
rrrr
r
rr
rrrrrrrrrrrr
2
1
4 3π
µ ( ) ( )[ ] rvdrJrrrA V
rrrr
r
rr
×
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
′′×′≈ ∫∫∫ 2
1
4 3π
µ
• La primera de las integrales se cancela (demostración a continuación)
• el segundo integrando se puede rescribir como:
• La segunda integral es nula (se demuestra más adelante) y la primera se 
simplifica:
debe existir un escalar U tal que
en nuestro caso
Campo magnético en puntos alejados
Demostración de que si V encierra a todas las corrientes, entonces: 0=∫∫∫
V
dVJ
r
0=⋅∇ J
r
( ) JUJUJU rrr ⋅∇+⋅∇=⋅∇
0ˆ =⋅nJ
S
r
0=×∇ ar
Ua ∇=r
∫∫∫ ⋅∇=
V
dVJU
r
0
∫∫∫∫∫∫ ⋅=⋅=
VV
dVJadVJa
rrrr0
∫∫∫=
V
dVJ
r
0
Tomando como punto de partida la siguiente igualdad:
Tomando ahora un vector constante arbitrario a
Al ser a arbitrario la única posibilidad para que se verifique la expresión 
anterior es que: 
ya que como el volumen encierra a todas las corrientes no pueden existir 
componentes normales a su superficie: ello implicaría que la corriente saldría 
del volumen y, por tanto, no estaría encerrada en el volumen.
( ) ( )∫∫∫∫∫∫∫∫ ⋅∇+⋅∇=⋅=⋅∇
VSV
dVJUJUdSJUdVJU
rrrr
resulta:
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario 
16/01/2006 EyM 5-22
Para simplificar la nomenclatura demostraremos que si a es un vector 
constante y arbitrario, y es nulo fuera de V:
Empecemos por calcular los términos en ax del integrando:
Campo magnético en puntos alejados
Demostración de: ( )( ) ( )[ ]{ } 0=′′⋅′+′⋅′∫∫∫
V
VdrJrrrrrJ r
rrrrrrr
( ) ( )[ ] 0=⋅+⋅∫∫∫
V
dVJarraJ
rrrrrr
0=⋅∇ J
r
J
r
( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )[ ] xxzxyx
xxzyxxxxxa
azzJxJyyJxJxxJ
zzyyxxJaJzJyJxxarJaJxaJarraJ
x
ˆˆˆ2
)ˆˆˆ(ˆˆˆ
++++=
=+++++=+=⋅+⋅
rrrrrrrr
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) zx
yx
x
xJzJJzxxzJxzJxzJxzJxz
xJyJJyxxyJxyJxyJxyJxy
xJJxxJxJxJxJx
+=⋅+=⋅∇=⋅∇+⋅∇=⋅∇
+=⋅+=⋅∇=⋅∇+⋅∇=⋅∇
=⋅=⋅∇=⋅∇+⋅∇=⋅∇
rrrrr
rrrrr
rrrrr
ˆˆ
ˆˆ
2ˆ22222
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] xa azJxzyJxyxJxJarraJ x ˆˆˆ
2
rrrrrrrrr
⋅∇+⋅∇+⋅∇=⋅+⋅
observando que:
o sea:
Campo magnético en puntos alejados
• El resultado anterior se puede generalizar para las otras componentes de
• Integrando al volumen y aplicando el teorema de Gauss:
• Y puesto que , ya que el volumen V contiene a todas las 
corrientes, todas las integrales se cancelan. 
ra
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ] z
y
x
ayJzyxJzxzJz
axJyxzJyzyJy
azJxzyJxyxJxJarraJ
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ
2
2
2
rrr
rrr
rrrrrrrrr
⋅∇+⋅∇+⋅∇+
+⋅∇+⋅∇+⋅∇+
+⋅∇+⋅∇+⋅∇=⋅+⋅
( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )∫∫∫∫
∫∫∫∫∫
⋅+++⋅+++
+⋅++=⋅+⋅
S
yxz
S
xzy
S
zyx
V
SdJzyaJzxaJzazSdJyxaJyzaJyay
SdJxzaJxyaJxaxdVJarraJ
vrrrvrrr
vrrrrrrrrr
22
2
ˆˆ
ˆ
0ˆ =⋅nJ
S
r
( ) ( )[ ] 0=⋅+⋅∫∫∫
V
dVJarraJ
rrrrrr ( )( ) ( )[ ]{ } 0=′′⋅′+′⋅′∫∫∫
V
vdrJrrrrrJ r
rrrrrrr
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario 
16/01/2006 EyM 5-23
Campo magnético en puntos alejados
• Habiendo demostrado que para puntos alejados:
• se observa que la dependencia del potencial vector respecto de queda 
fuera de la integral y, que por tanto, se puede definir una magnitud que 
sólo depende de la distribución. Esta magnitud recibe el nombre de 
momento magnético de la distribución de corrientes y se define como:
• El potencial para puntos alejados de la distribución se puede expresar 
ahora como:
( ) ( ) ( )[ ] rvdrJr
rrr
vdrJrA
VV
rrrr
rrr
rr
rr
×
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
′′×′≈
′−
′′
= ∫∫∫∫∫∫ 2
1
44 3π
µ
π
µ
( )[ ] ( )2A/m
2
1
∫∫∫ ′′×′=
V
vdrJrm r
rrr
( ) 34 r
rmrA r
rr
rr ×
≈
π
µ
rv
Campo magnético en puntos alejados
• Una vez conocida una expresión del potencial vector para puntos alejados 
resulta inmediata la obtención de una expresión del campo magnético:
• donde se ha aplicado que es independiente del punto donde se 
calcula el campo y que siempre que no se calcule en el origen, 
que por otra parte no es un punto alejado dado que consideramos que el 
origen está próximo a la distribución.
03 =⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅∇
r
r
r
r
rrmr
( )
( ) ( ) ( ) 33333
3
44
4
r
rmm
r
r
r
rm
r
rmm
r
r
r
rmArB
r
r
rr
r
r
r
r
r
r
r
rr
r
r
r
rrrrr
∇⋅−=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅∇−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅∇+∇⋅−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∇⋅=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ ×
×∇≈×∇=
π
µ
π
µ
π
µ
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario 
16/01/2006 EyM 5-24
Campo magnético en puntos alejados
• Desarrollado los términos en de la última expresión:
( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−−=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−=
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=∇⋅−=
354333
3333
ˆ3
4
3ˆ
4
1ˆ
4
11
44
ˆ
4
r
xm
r
rxm
r
x
r
r
r
xm
dx
rd
rr
r
r
xm
rx
r
x
r
r
m
r
r
x
m
r
rxmB
xxxx
x
xxmx
rr
r
rr
r
r
r
rr
v
r
r
v
r
rr
r
r
rr
π
µ
π
µ
∂
∂
π
µ
∂
∂
∂
∂
π
µ
∂
∂
π
µ
π
µ
xm
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
35
35
35
ˆ3
4
ˆ3
4
ˆ3
4
r
zm
r
rzmB
r
ym
r
rym
B
r
xm
r
rxmB
zz
m
yy
m
xx
m
z
y
y
rr
vr
rr
r
r
rr
rr
π
µ
π
µ
π
µ
( ) ( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⋅
= 35
3
4 r
m
r
rrmrB r
r
r
rrr
rr
π
µ
• Expresión análoga a la de electrostática.
• Trabajando con el resto de componentes:
Campo magnético en puntos alejados
• El desarrollo anterior presenta la limitación de que el origen debe estar 
cerca de la distribución. Así no serían utilizables respecto del origen . 
Pero si se escoge como origen provisional un punto de la distribución 
o muy próximo a ella, entonces:
• Y con solo trasladar el origen de coordenadas:
O
O1
drrr
vvv −=1
( ) [ ] ( ) 3
1
1
113
1
5
1
11
11 4
;3
4 r
rmrA
r
m
r
rrmrB ×=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⋅
=
vvvvv
π
µ
π
µ
VJ
v
rv
1O
O
1r
v
( ) ( )[ ]( ) ( )335 4;
3
4
d
d
dd
dd
rr
rrmA
rr
m
rr
rrrrmrB vv
vvvv
vv
v
vv
vvvvv
vv
−
−×
≈
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−−⋅
=
π
µ
π
µ
dr
v
– La condición de punto lejano es 
ahora:
Vr dedimensiónmáxima>>v
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario 
16/01/2006 EyM 5-25
• Su valor es independiente del origen de 
coordenadas escogido: si llamamos y a los 
momentos magnéticos de una misma distribución 
con respecto a los orígenes y , unidos por el 
vector , resulta:
Momento magnético
• El momento magnético de una distribución caracteriza totalmente la 
misma desde el punto de vista de campo en puntos alejados.
• Su unidades son Amperios/m2
• La expresión ya vista se puede generalizar sin problemas al caso de 
distribuciones superficiales y lineales:
∫∫∫∫∫∫ ×=×=×=
CS
S
V
ldrImdSJrmdVJrm
rrrrrrrrr
2
;
2
1;
2
1
vm1
vm2
1O 2O
R
v
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 222222222222
221211111
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
21
mdVrJrdVrJRdVrJr
dVRrJRrdVrJrm
VVV
V
Rrr
V
rrrrrrrrrr
rrrrrrrrr rrr
=×=×+×=
=+×+⎯⎯ →⎯×=
∫∫∫∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫ +=
1O 2OR
v
1r
v
2r
v
J
v
V
Momento magnético de una espira plana• El momento magnético de una espira plana 
tiene una interpretación muy simple:
• el producto representa una contribución 
en la dirección normal de valor igual al área 
sombreada en la figura superior. Luego su 
mitad se puede hacer corresponder con el área 
más obscura.
• Al integrar se van sumando las áreas asociadas 
con el resto de los diferenciales dando como 
resultado el área total de la espira. 
• Considerando que el producto va en el sentido 
positivo de la normal:
• Este resultado es válido aunque el origen no 
esté en el plano de la espira.
dl
v
O
vr
dl
v
O
vr
r rr d l×
∫ ×=
C
ldrIm
rrr
2
nISm ˆ=r
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario 
16/01/2006 EyM 5-26
Regularidad en el infinito
• A pesar de que una simple inspección de las expresiones del potencial 
vector y del campo magnético podría llevar a pensar en unas condiciones 
de regularidad en el infinito similares a las de electrostática, esto no es 
así.
( ) ( )[ ] ( ) rm
r
rAmrrm
r
rB ˆ
4
;ˆˆ3
4 231
×=−⋅=
r
r
vrr
r
rr
π
µ
π
µ
( ) ( ) 0lim;0lim 11
2 ==
∞→∞→
rrArrB
rr
rrrrrr
rr
( ) ( ) 211
3 ; −− ∝∝ rrArrB rr
rrrr
( ) ( ) ctelim;ctelim 211
3 ==
∞→∞→
rrArrB
rr
rrrrrr
rr
• La razón consiste en que si una distribución de corrientes estacionarias 
puede ser encerrada dentro un volumen finito, el campo que generará a 
grandes distancias será el de un dipolo magnético:
• Luego el comportamiento del campo en el infinito puede describirse 
como:
• Obsérvese que aunque:
no es cierto que
ya que dichas constantes dependerán de la dirección.
Energía del Campo Magnético 
Estacionario
Al estudiar el Teorema de Poynting se definió la Energía del Campo Magnético 
como ( ) ( )∫∫∫ ′′⋅′= Vm vdrHrBW
rrrr
2
1
siendo V la región de existencia de campo magnético, que en general es todo 
el espacio. Resulta pues conveniente obtener una expresión de la energía en 
términos de las fuentes de campo, que en general solo se extenderán a 
regiones limitadas del espacio. Para ello hay que tener en cuenta que:
( ) JABHHAAHHAHAHA rrrrrrrr(rrr
(rrr
⋅−⋅=×∇⋅−×∇⋅=⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ×⋅∇+⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ×⋅∇=×⋅∇
( ) ∫∫∫∫∫∫ ⋅+×⋅∇= VVm dvJAdvHAW
rr44 844 76 rr
2
1
2
1
0
La primera integral se anula porque con el teorema de Gauss puede 
transformarse en una integral sobre la superficie del infinito, y teniendo en 
cuenta el comportamiento asintótico de A como 1/r2 y de H como 1/r3 la integral 
se anula. Si hubiera densidades superficiales de corriente estas aparecerían de 
las discontinuidades de H. Queda pues:
∫∫∫∫∫ ⋅+⋅= S sVm dSJAdvJAW
rrrr
2
1
2
1
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario 
16/01/2006 EyM 5-27
Energía del Campo Magnético 
Estacionario
Las integrales para obtener la energía habrán de extenderse únicamente a las 
fuentes.
El potencial vector puede a su vez expresarse en función de las densidades de 
corriente. Así en el caso de solo densidades volumétricas :
( ) ( )∫∫∫ ′ ′′−
′
=
V
vd
rr
rJrA rr
rr
rr
π
µ
4
y sustituyendo en la integral de la energía resulta:
( ) ( )
∫ ∫∫∫∫ ′ ′′−
′⋅
=⋅=
V VVm
dvvd
rr
rJrJdvJAW rr
rrrrrr
π
µ
82
1
Sistema de Corrientes Lineales
Una situación práctica frecuente es la de que el campo se genere, voluntaria o 
involuntariamente, por las corrientes existentes en diversos circuitos 
próximos. 
I1
C1
Ik
Ck
IN
CN
Transformando las expresiones generales para 
corrientes filiformes, la energía puede expresarse
como:
∑ ∫∑∫∫∫∫ ⋅=⋅=⋅=
k
C kk
k
VVm kk
ldAIdvJAdvJAW
rrrrrr
2
1
2
1
2
1
Pero: ( ) kSSC k kkk SdBSdAldA Φ=⋅=⋅×∇=⋅ ∫∫∫∫∫
rrrrrr
donde Φk es el flujo de B a través de la espira Ck. Por lo tanto:
∑∑ ∫ Φ=⋅=
k
kk
k
C kkm
IldAIW
k 2
1
2
1 rr
Es frecuente que las corrientes puedan considerarse filiformes en cuyo caso 
se tiene lo que se denomina un sistema de corrientes lineales. En general se 
tendrán N circuitos Ck y por cada uno de ellos circulará una corriente total Ik
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario 
16/01/2006 EyM 5-28
Coeficientes de Inducción 
Usando la segunda expresión de la energía, para el sistema de conductores, 
resulta: ( ) ( ) ∑∑ ∫ ∫∫ ∫ ⎥⎥⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
′−
⋅
=′
′−
′⋅
=
′
k l
C C
lk
lkV Vm k l rr
ldldIIdvvd
rr
rJrJW rr
rr
rr
rrrr
π
µ
π
µ
42
1
8
Puede verse que los términos entre corchetes solo dependen de la geometría y 
de los sentidos de circulación de las corrientes pero no de los valores de 
estas. Reciben el nombre de coeficientes de inducción Lkl .
∫ ∫ ′−
⋅
=
k lC C
lk
kl rr
ldldL rr
rr
π
µ
4
Cuando k=l los coeficientes se denominan de autoinducción y de inducción 
mutua en caso contrario. La expresión se conoce con el nombre de fórmula de 
Neumann. La energía será:
∑∑=
k l
kllkm LIIW 2
1
Y por comparación : ∑=Φ
l
kllk LI
Para el caso de un solo conductor: 2
2
1
2
1 LIIWm =Φ= LI=Φ
Energía de Formación y de Interacción
Para el caso de un solo conductor: 2
2
1
2
1 LIIWm =Φ= LI=Φ
Y la podemos considerar como la energía de formación de la distribución de 
corriente.
En el caso de dos circuitos la energía será:
122122
2
211
2
1
22
2
22112122111
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
LIILILI
LILIILIILIWm
++=
+++=
En este caso los dos primeros términos corresponden a las energías de 
formación de las distribuciones de corriente y el tercero a la energía de 
interacción entre estas.
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario 
16/01/2006 EyM 5-29
Propiedades de los Coeficientes de 
Inducción 
1- Los coeficientes de inducción son parámetros meramente geométricos, 
cuyo valor no depende de las corrientes que circulan tal como puede verse de 
su expresión .
2- Los coeficientes de inducción mutua son simétricos: Lij = Lji tal como puede 
verse de su expresión . 
3- En general el cálculo de los coeficientes implica la realización de integrales
complicadas (integración de potenciales fuera de los ejes de simetría aun en el
caso de que esta exista).
4- Los coeficientes de autoinducción de corrientes filiformes son infinitos (las 
integrales son impropias). Ello implica que la energía asociada con un sistema 
de corrientes filiformes es infinita, lo que indica que las corrientes filiformes 
son un modelo matemático sin realidad física (se necesita infinita energía para 
hacer pasar una corriente finita por un conductor de sección transversal nula). 
Sin embargo la energía de interacción entre corrientes (asociada con los 
coeficientes de inducción mutua) es finita aunque estas sean filiformes.
Problema 
Dos espiras cuadradas, una de lado L1 y otra de lado L2, y situadas en los 
planos x=0 y z=0 respectivamente, soportan unas corrientes I1 e I2 con los 
sentidos de circulación de la figura. Calcule aplicando la ley de Neumann y 
razonando sobre ella, el coeficiente de inducción mutua entre las espiras. Si la 
espira pequeña puede girar según el eje OY, diga, razonando la respuesta, cuál 
sería la posición de mínimo de energía.
x
y
z
L1
L2
I1
I2
(1)
(1)
(2)(2)
(3)
(3)
(4)
(4)
La ley de Neumann es: ∫ ∫ −
⋅
=
1 2 21
21
12 4 C C rr
ldldL rr
rr
π
µ
Los tramos 2 y 4 de la espira 1 son perpendiculares 
a todos los tramos de la espira 2 y su contribución 
a la integral es cero. Queda:
} } } }
0
4
4
3 311 31
3
0
43
0
211
0
43
0
21
12
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+=
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
++++
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+++=
∫ ∫∫∫ ∫∫
∫ ∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫
π
µ
π
µL
ya que: ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ −=−=
3 33 11 31 1
,,
La posición de mínimo de energía es con las dos espiras coplanares y sus 
corrientes circulando en el mismo sentido.
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario 
16/01/2006 EyM 5-30
Cálculo de la Autoinducción 
El coeficiente de autoinducción puede obtenerse de la energía:
∫∫∫ ⋅== V
m dvHB
II
WL
rr
22
12
Considerando una distribución finita de corriente habrá campo magnético, y 
energía asociada al mismo, tanto en el interior como en el exterior de la 
distribución. 
∫∫∫∫∫∫ ⋅+⋅=+=+=
ei VV
emim
ei dvHBI
dvHB
II
W
I
WLLL
rrrr
222
,
2
, 1122
A cada una de estas energías se asocia un coeficiente de autoinducción que se 
denominan respectivamente coeficiente de autoinducción interna y coeficiente 
de autoinducción externa. 
Cálculo de la Autoinducción 
Por otra parte la energía puede obtenerse también a partir del flujo. 
( ) ( ) Φ′⋅=⋅′=′⋅′=⋅ dldHBdSHldldSdHBldvHB rrrrrrr ˆ
Por tanto [ ] ( )∫∫∫∫ ∫∫∫∫ Φ′=Φ′⋅=⋅= ′ SS lVm dlIdldHdvHBW 2
1
2
1
2
1 rrrr
En los tubos de flujo exteriores a la distribución la corriente encerrada es la 
corriente total pero no así en los interiores. Por tanto: 
( ) ( )
I
dlI
I
dlI
I
dvHB
II
WL e
SSV
m
i
Φ
+Φ′=Φ′=⋅== ∫∫∫∫∫∫∫ 2222
1112 rr
Considerando un tubo de flujo, cada elemento de 
volumen puede considerarse como: dv = dS dl´ donde 
dl´ está alineado con el campo B y dS es el área 
transversal del tubo de flujo. 
Se puede entonces poner:
donde I(l´) es la corriente encerrada dentro del tubo de flujo elemental l´. 
dS
dl´
B
r
J
r
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario 
16/01/2006 EyM 5-31
Autoinducción de un Hilo Conductor
El coeficiente de autoinducción puede obtenerse a partir de la energía como:
2
2
I
WL m=
Considerando un hilo conductor rectilíneo de radio a y supuesta una 
distribución uniforme de la corriente habrá campo magnético, y energía 
asociada al mismo, tanto en el interior como en el exterior del hilo. 
a
Z
I ϕ
πρ
ˆ
2
IHext =
r
∫ ∫∫
∞
=
∞
=
∞==⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
a a
ext dddI
Im
L
ρ
π
ϕ ρ
ρ
π
µρϕρ
πρ
µ
22
1 2
0
2
2
En el exterior:
A cada una de estas energías se le asocia un coeficiente de autoinducción que 
se denominan respectivamente coeficiente de autoinducción interna y 
coeficiente de autoinducción externa. 
En una longitud infinita de conductor la energía almacenada será infinita por lo 
que se estudian la energía y autoinducción por unidad de longitud. 
Autoinducción Interna
ϕρ
π
ˆ
2 2a
IHi =
r
π
µρϕρρ
π
µ
ρ
π
ϕ 1622
1 2
0
2
0
2
2
int Idd
a
I
metro
W a
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛= ∫ ∫= =
m
Henrios
I
m
W
m
L
π
µ
8
2
2
int
int ==
En el interior:
Puede observarse como un hilo conductor tiene una autoinducción interna por
unidad de longitud que puede dar lugar a una impedancia importante en 
fenómenos de variación rápida con el tiempo.
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario 
16/01/2006 EyM 5-32
Autoinducción Cable Coaxial
Sea un cable coaxial de conductor interior de radio a y conductor exterior de 
radio b y espesor despreciable. Por unidad de longitud la energía almacenada 
en el conductor interior dará lugar a una autoinducción interna igual a la 
calculada para el hilo. Por otra parte ni en el conductor exterior (de espesor 
despreciable) ni en la región exterior al mismo hay campos ni en consecuencia 
energía almacenada ni contribución a la autoinducción .
El campo en la región entre conductores es: ϕπρ
ˆ
2
IH =
r
∫ ∫∫= = ⎟⎠
⎞
⎜
⎝
⎛==⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
b
a
b
a
ext
a
bdddI
Im
L
ρ
π
ϕ π
µ
ρ
ρ
π
µρϕρ
πρ
µ ln
222
1 2
0
2
2
y por tanto la autoinducción externa por unidad de longitud:
– I
I
b
a
Z
I La autoinducción interna del conductor interior por 
unidad de longitud será igual que la del hilo: µ/8π.
( )
( ) ( ) ( )⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −+−−
−
=
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
= ∫ ∫ ∫= = =
442224
222
1
0
2
0
22
222
int
4
1ln
2
2
11
bcbcc
b
cc
bc
dzddc
bcIm
L
z
c
b
π
µ
ρϕρρ
ρπ
µ
ρ
π
ϕ
Si el conductor exterior tuviese un espesor c-b su 
autoinducción interna por unidad de longitud seria:
b
a
Autoinducción Cable Coaxial
El valor de la autoinducción también puede obtenerse a partir del flujo.
Para el cable coaxial la autoinducción externa por unidad de longitud se 
obtiene del flujo a través de la sección Se indicada en la figura.
∫ ∫∫= = ⎟⎠
⎞
⎜
⎝
⎛==⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=Φ
1
0
ln
222z
b
a
b
a a
bIdIdzdI
π
µ
ρ
ρ
π
µρ
πρ
µ
ρ
Y por tanto la autoinducción por unidad de
longitud correspondiente resulta:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
Φ
=
a
b
Im
L extext ln
2π
µ
Si
De forma análoga se obtiene la autoinducción 
interna del conductor interior a partir del flujo a 
través de Si:
( ) ∫ ∫∫∫∫ = = ==⎟⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=Φ′=
1
0 0
3
40 22
2
22 822
11
z
aa
Si
d
a
dzd
a
I
a
I
I
dlI
I
L
i π
µρρ
π
µρρ
π
µ
π
πρ
ρ
dρ
z=0 z=1
Se
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario 
16/01/2006 EyM 5-33
Línea Bifilar de Conductores Gruesos
La distribución de la corriente estacionaria en el interior de los conductores
será uniforme. El potencial vector podrá obtenerse como la superposición de 
los creados por cada uno de los dos hilos. Por tanto se comenzará calculando 
el potencial vector creado por un hilo de radio a.
Aplicando simetría resultan ∂ /∂z =∂ /∂ϕ = 0. Solo hay componente ϕ de B y por 
tanto:
ϕ
∂ρ
∂ϕϕ ˆˆ z
AABB −=×∇==
rr
Por tanto integrando se obtiene: CdBAz +−= ∫ ρϕ
Para el interior del hilo será: 12
2
12 42
C
a
ICd
a
IAz +−=+−= ∫ π
ρµρ
π
ρµ
Para el exterior será: 22 ln22
CICdIAz +−=+−= ∫ ρπ
µρ
πρ
µ
Las constantes C1 y C2 se obtienen haciendo que el potencial en la superficie 
ρ = a sea un valor constante A0. Resultan:
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
>−−
<−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−−
=
aAaI
aA
a
I
Az
ρ
ρπ
µ
ρρ
π
µ
,,ln
2
,,1
4
0
02
2
ρ
Az
BϕI
π
µ
π
µ
44 0112
2
0
IACC
a
IaA +=⇒+−=
aIACCaIA ln
2
ln
2 0220 π
µ
π
µ
+=⇒+−=
Linea Bifilar de Conductores Gruesos
Sea la línea bifilar formada por dos conductores iguales de radio a y 
separados una distancia d como se indica en la figura.
El cálculo de la energía almacenada por unidad de longitud a partir de la 
integración de B·H resulta cuanto menos tediosa. Sin embargo puede 
abordarse a partir de la integración de A·J
x
y
z
d
a
1 2
Si el potencial en la superficie del conductor 
1 se toma arbitrariamente como A0 su 
potencial en cualquier punto vale:
La distribución de la corriente estacionaria en
los conductores es uniforme por lo que el 
potencial puede obtenerse a partir del creado 
por cada uno de los conductores aislados.
( )
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
>−−
<−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−−
=
aAaI
aA
a
I
Az
10
1
102
2
1
1
,,ln
2
,,1
4
ρ
ρπ
µ
ρρ
π
µ
siendo ρ1 la distancia del punto considerado al eje del conductor 1.
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario 
16/01/2006 EyM 5-34
Linea Bifilar de Conductores Gruesos
En cuanto al potencial creado por el conductor 2 se obtiene de forma análoga y
tomando, también arbitrariamente, potencial cero en este caso en su superficie.
Resulta:
( )
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
>
<⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
aaI
a
a
I
Az
2
2
22
2
2
2
,,ln
2
,,1
4
ρ
ρπ
µ
ρρ
π
µ
x
y
z
d
a ρ1 ρ2 ϕ
1 2
En un punto arbitrario del conductor 2, su distancia 
al eje del conductor 1 es: ϕρρρ cos2 2
2
2
2
1 dd ++=
Por tanto el potencial vector en dicho punto será:
( ) ( )
0
2
2
2
22
2
221
cos2
ln21
4
A
dd
a
a
IAAA zzz −⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
−−=+=
ϕρρ
ρ
π
µ
La densidad de corriente en el conductor 2 vale Jz=I/πa22 por lo que su 
contribución a la inductancia será:
( ) ∫ ∫ ∫ ∫= = = ⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
−−=⋅=
V z
a
dzdd
Ia
A
dd
a
aa
dvJA
I
L
1
0 0
2
0 222
0
2
2
2
22
2
2
222
2
2 cos2
ln21
4
1
ρ
π
ϕ
ρϕρ
πϕρρ
ρ
π
µrr
Linea Bifilar de Conductores Gruesos
La integral en z da la unidad. La integral restante del tercer término resulta:
∫ ∫∫ ∫ = == = ⎟⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++=
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
++
−
aa
dd
dda
ddd
dd
a
0
2
0 2
2
0
2
0 2222
cos21lnln2
cos2
ln2
ρ
π
ϕρ
π
ϕ
ρϕρϕρ
ρ
ρϕρ
ϕρρ
Aquí la integral del segundo término es nula. Por ello resulta la siguiente 
autoinducción por unidad de longitud:
( )
I
A
a
da
Ia
Aa
a
d
a
aa
a
L 0
2
2
0
2
2
42
22
2 ln
2
1
8
1
2
2
2
ln2
424
2
−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+=−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+−=
ππ
µπ
ππ
πµ
Procediendo de forma análoga con el conductor 1 se obtiene:
( )
I
A
a
dL 01 ln
2
1
8
1
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+=
ππ
µ
Por tanto: ( ) ( )
2
21 ln
28
2 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+=+=
a
dLL
m
L
π
µ
π
µSe ve claramente que el primer término es la autoinducción interna y por 
tanto el segundo es la autoinducción externa por unidad de longitud.
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario 
16/01/2006 EyM 5-35
Linea Bifilar usando el Flujo
Para integrar el flujo a través de la superficie indicada en la figura (de 
longitud 1 en z) se superpone el flujo de cada uno de los dos hilos.
( ) ( )
a
addzdI
I
LL
m
L
z
ad
a
ext −=⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=+= ∫ ∫=
−
=
lnˆˆ
2
12
1
0
21
π
µρϕϕ
πρ
µ
ρ
x
y
z
a
1 2
d Para d>>a:
2
ln
2
ln ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=≅
a
d
a
d
m
Lext
π
µ
π
µ
Linea Bifilar usando el Flujo
A partir del potencial vector con solo componente z se puede obtener el flujo 
como líneas de Az constante. 
4 2 0 2 4
2
1
0
1
2
B
Línea de integración
del flujo
Zona de la que no se
ha tenido en cuenta
la energía almacenada
En la figura puede observarse como las líneas de flujo cortan la superficie de 
los conductores por lo que la autoinducción obtenida a partir del flujo no 
representa exactamente la autoinducción externa.
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario 
16/01/2006 EyM 5-36
8 6 4 2 0 2 4 6 8
1
0
1
B
Linea Bifilar usando el Flujo
Sin embargo cuando la separación entre conductores es mucho mayor que el 
radio de los mismos las líneas de flujo se ajustan más a la superficie de los 
conductores como puede verse en la figura adjunta.
Por tanto se comete menos error al obtener la autoinducción por el método 
del flujo.
Linea Bifilar usando el Flujo
La figura compara los valores normalizados de autoinducción (πL/µ) en 
función de la relación d/a para las expresiones exacta (Le) y aproximada (La) 
por unidad de longitud.
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
2
4
Le( )d
La( )d
d
El error relativo cometido al usar
la expresión aproximada es menor
del 5% para d/a > 10.
4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
5
10
15
20
25
30
e( )d
d
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario 
16/01/2006 EyM 5-37
a b
Autoinducción de un Solenoide Toroidal
Sea un arrollamiento sobre un toroide de sección transversal rectangular 
como el indicado en la figura de radios a y b y altura d. El arrollamiento es de 
N espiras totales y la corriente que circula es de I amperios.
a b
d
Por simetría y aplicando la regla de la mano
derecha el campo solo puede tener componente 
ϕ en cada punto. Además su valor debe ser 
constante en cualquier circunferencia ρ = cte.
Aplicando el teorema de Ampere a circunferencias 
de radios mayores que b o menores que a se ve 
que el campo es nulo en el exterior del toroide. En 
el interior se obtiene:
( ) ϕ
πρ
πρρϕ ˆ2
2 NIHNIH =⇒=⋅
r
( )ϕρϕ ˆHH =
r
ρ
El flujo en cada espira es:
a
bNIddzdNI
d
z
b
aes
ln
2
ˆˆ
20 π
µρϕϕ
πρ
µ
ρ
=⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=Φ ∫ ∫= =
El flujo de las N espiras será n 
veces el anterior. La 
autoinducción por tanto es:
a
bdN
I
NL es ln
2
2
π
µ
=
Φ
=
Superficie de integracion para el Cálculo 
de Flujo del Solenoide
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
0
2
4
6
8
10
12
14
En un solenoide cilíndrico de N 
espiras el flujo es N veces el de 
una espira.
Suponiendo el campo constante 
en el interior del solenoide será.
NanIB ⋅=Φ
2πµ
2anN
I
L B πµ=Φ=
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario 
16/01/2006 EyM 5-38
Problema
Sean dos espiras cuadradas de lado L metros, situadas la primera con el 
centro en el origen y contenida en el plano x=0, y la segunda con centro en el 
punto P (r,θ,ϕ) y contenida en un plano z=cte., tal como se muestra en la figura. 
Calcular el coeficiente de inducción mutua entre ambas espiras para r>>L.
Consideramos la segunda espira en el campo 
lejano de la primera, que calcularemos a partir de 
su momento dipolar. Además se considera que el 
campo en toda esta espira es igual a su valor en P. 
Por tanto el flujo del campo de la 1ª en la 2ª será:
( ) ( ) 211 ˆ2,1 LPBdxdyzPB zB =⋅=Φ ∫∫
rL
L
L
L
P
x
y
z
θ
ϕ
r
1
2
xILm ˆ2=r
( )
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −
⋅
= 351
3
4 r
m
r
rrmB
rrrrr
π
µ
ysensenxsenzr ˆˆcosˆcosˆ ϕθϕθθ ++=
0ˆ =⋅ zmr
ϕθ cosˆ msenrm =⋅r
Por tanto: 5
22
1
coscos3
4 r
senrILB z
θϕθ
π
µ
=
3
4 coscos3
42,1 r
senIL
B
ϕθθ
π
µ
=Φ 3
4
12 4
coscos32,1
r
senL
I
L B
π
ϕθθµ
=
Φ
=
Inducción Mutua entre 2 Espiras
Considérense dos espiras filiformes coaxiales de radios a y b separadas una 
distancia d como indica la figura. La inducción mutua, por la fórmula de 
Neumann es:
∫ ∫ −
⋅
=
1 2 21
21
12 4 C C rr
ldldL rr
rr
π
µ
a
b
d
C2
C1
z
y
x
1ld
r
2ld
r
21 rr
rr
−
$ϕ1
$ϕ2
ϕθ
Puede verse fácilmente que:
θθϕϕϕθϕ
ϕθ
ϕϕ cosˆˆ
ˆ
ˆ
2121
22
11 dabddabdldld
bdld
adld
=⋅=⋅⇒
⎭
⎬
⎫
=
= rr
r
r
θcos222221 abbadrr −++=−
rr
Por tanto:
∫
∫ ∫
=
= =
−++
=
=
−++
=
π
θ
π
ϕ
π
θ
θ
θθµ
θ
θθϕ
π
µ
0 222
2
0
2
0 22212
cos2
cos
cos2
cos
4
abbad
dab
abbad
dabdL
Que o bien se expresa en términos de integrales 
elípticas o se integra numéricamente.
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario 
16/01/2006 EyM 5-39
Inducción Mutua entre 2 Espiras
La figura representa la inducción mutua normalizada (L12/µa) en función de la
separación entre espiras normalizada al radio de la mayor (d/a) y tomando
como parámetro la relación entre sus radios (b/a). 
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
2
4
6
L12( ),1.01 d
L12( ),1.5 d
L12( ),2 d
dd/a
b/a=1.01
b/a=1.5
b/a=2
La inducción mutua siempre es máxima cuando las espiras son coplanares. Si 
las dos espiras son de radios muy parecidos la inducción mutua crece muy 
rápidamente cuando se hacen coplanares.
Autoinducción de la Espira
La autoinducción de una espira circular de radio r formada por un conductor de 
radio a, como se indica en la figura, puede obtenerse a partir del flujo.
r 2a
El campo creado por esta espira de radio a puede obtenerse aproximadamente 
como el creado por una espira filiforme a lo largo de r.
El coeficiente de autoinducción externo puede 
pues aproximarse por el coeficiente de inducción 
mutua entre dos espiras filiformes coplanarias 
de radios r y r-a. De acuerdo con lo visto 
anteriormente será: 
( )
( ) ( )∫ = −−−++
−≅
π
θ θ
θθµ
0 222 cos2
cos
arrarrd
darrLext
Una aproximación a la anterior expresión, 
obtenida expresándola en términos de integrales 
elípticas y aproximándolas para valores grandes 
de r/a, es:
rLin ππ
µ 2
8
≅Una aproximación para la autoinducción interna será:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛≅ 28ln
a
rrLext µ
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario 
16/01/2006 EyM 5-40
Autoinducción de la Espira
La figura adjunta representa la autoinducción externa normalizada (L11/µa) 
en función del radio normalizado (r/a) para las dos expresiones anteriores.
1 10 100
1
10
100
1000
L11( )r
L11a( )r
rr/a
L11/µa
Autoinducción de la Espira
El error cometido al tomar la expresión aproximada en lugar de la exacta se
representa en la siguiente figura:
0 20 40 60 80 100
0
5
10
15
20
e( )r
rr/a
%
El error cometido al tomar la expresión aproximada en lugar de la exacta es 
menor del 5% para r/a > 15.
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario 
16/01/2006 EyM 5-41
Efectos Mecánicos
Se recordará la expresión de la fuerza de Lorentz (fuerza del campo 
electromagnético sobre una carga q en movimiento, con velocidad v) dada por:
( )BvEqF rrrr ×+=
Si en un conductor se tienen N cargas por unidad de volumen que constituyen 
una corriente de densidad J, la fuerza sobre la corriente por unidad de volumen 
será:
( ) dvBJdSdlBl
dSdt
NqBl
dt
dlNqBvNqFd
rrrrrrr
×=×⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=×=×= ˆˆ
Por tanto la fuerza sobre una distribución de 
corrientes J en el seno de un campo B es:
∫∫∫ ×= V dvBJF
rrr
En el caso de que la corriente sea filiforme será: ∫ ×= C BldIF
rrr
Por la identificación realizada entre corrientes elementales y dipolos 
magnéticos, teniendo en cuenta la analogía con electrostática, la fuerza vendrá
dada por: y el par por:( )BmF rrr ⋅∇= BmT
rrr
×=
Completando la analogía, la energía de interacción entrelas corrientes de 
momento m y un campo B será: y la fuerza:BmWm
rr
⋅−=int, ( )int,mWF −∇=
r
dS
dl
rv
V
r
J
r
B
Ejemplo 1
Fuerza por unidad de longitud entre dos corrientes filiformes paralelas e 
indefinidas.
La corriente I1 crea un campo: ( )rur
I
r
IB rr
r
×== 12
11
1 2
ˆ
2 π
µϕ
π
µ
I1I2
rr
siendo u1 un vector unitario en la dirección de la corriente 
I1.
La fuerza sobre un elemento de I2 será:
1222122 BudlIBldIFd
rrrrr
×=×=
La fuerza unitaria será por tanto:
( ) ( ) ( )
( )ruu
r
II
ruuuru
r
IIruu
r
IIBuI
dl
Fdf
rrr
rrrr876 rrrrrrr
r
r
122
21
121
0
22
21
122
21
122
2
2
22
⋅−=
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅−⋅=××=×==
π
µ
π
µ
π
µ
Si las dos corrientes llevan el mismo sentido la fuerza será de atracción, 
mientras que si llevan sentidos contrarios la fuerza será de repulsión.
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario 
16/01/2006 EyM 5-42
IE
R
Ejemplo 2
Fuerza entre un hilo rectilíneo indefinido y una espira circular situada en un 
plano que contiene al hilo.
IH
d
r
x
$ϕ
α
$u
dl
r
Para calcular la fuerza es más fácil obtener el
campo que crea el hilo en los puntos de la 
espira que lo contrario. Será: ϕ
π
µ ˆ
2 r
IB HH =
r
La fuerza sobre un elemento de corriente de 
la espira será:
( ) u
r
RdIIRd
r
IIBldIFd EHEHHE ˆ2
ˆˆ
2 π
αµϕαα
π
µ
=×−=×=
rrr
Pero: αcosRdr += zsenxu ˆˆcosˆ αα +=
x
z
La componente z de la fuerza, que debe anularse por 
simetría:
( ) 0cosln1
2cos2
2
0
2
0
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+−=
+
= ∫ =
π
π
α
α
π
µ
α
αα
π
µ Rd
R
RII
Rd
dsenRIIF EHEHz
En cuanto a la componente x: ∫ = +=
π
α α
αα
π
µ 2
0 cos
cos
2 Rd
dRIIF EHx
Ejemplo 2
Haciendo el cambio de variables tg(α/2)=x y descomponiendo en fracciones 
se obtiene:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−=
+∫ = 22
2
0
12
cos
cos
Rd
d
Rd
dR π
α
ααπ
α
Por tanto: ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−=
22
1
Rd
dIIF EHx µ
Si la separación d es mucho mayor que el radio de la espira d>>R, esta podrá
considerarse como un dipolo: ϕπ ˆ2 EIRm =
r
( ) 2
22
2 ˆ
2
ˆ1
2
ˆ
2
ˆ
d
xRIIx
xx
RII
x
IIRBmF EH
dx
EH
dx
H
EH
µ
∂
∂µϕ
π
µϕπ −=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ⋅∇=⋅∇=
==
rrr
Pero si en Fx se desarrolla en serie:
( ) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=−
−
−
L2
2
2
2
22
2
11111
2
1
2
1
d
R
dd
R
d
Rd
2
2
2
2
22
1111
d
RII
d
R
d
dIIF EHEHx
µµ −≅⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−−= L
que coincide con el resultado anterior.