apuntes_electro_p2004

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Caṕıtulo 1
Electroestática: cargas y campos.
versión final 1.5, 13 de Julio del 2004
En este caṕı tulo estudiaremos los conceptos esenciales de la F́ı sica de las cargas eléctricas
estacionarias, es decir, la electroestática. Las secciones que veremos:
Algo de historia.
Carga eléctrica; conservación, invariancia y cuantización.
Ley de Coulomb.
Enerǵı a de un sistema de cargas.
Campo eléctrico.
Flujo eléctrico.
Ley de Gauss.
Ejemplo de evaluación del campo eléctrico.
Fuerza sobre una carga superficial.
Enerǵı a asociada a un campo eléctrico.
1.1. Algo de historia.
La electricidad a través de los fenómenos de la electrostática se conoce desde tiempos
muy antiguos. Teofrato (321 AC) y probablemente Tales (600 AC) sab́ı an que el ámbar al
ser frotado con otras substancias secas adquiŕı an la habilidad de atraer cuerpos livianos
como plumas o trozos de paja. Cerca de 2000 años después el médico de la Reina Isabel I
de Inglaterra, William Gilbert (1544-1603) usó la palabra griega para ámbar, elektron, para
describir estas fuerzas que llamó vis electrica.
También se observó que existen dos tipos de electricidad. Por ejemplo, si una barra de
vidrio se frota con seda, estos dos cuerpos quedan cargados con dos tipos distintos de electri-
cidad. Aśı , dos barras frotadas con seda se repelen. Benjamı́ n Franklin (1706-1790) le dio
1
2 CAPÍTULO 1. ELECTROESTÁTICA: CARGAS Y CAMPOS.
el nombre de positiva a la electricidad con que queda la barra de vidrio y negativa a la de
la seda. Ahora se sabe que en este experimento electrones son traspasados de la barra a la
seda. Aśı decimos que los electrones tienen carga negativa.
1.2. Carga eléctrica; conservación, invariancia y cuan-
tización.
Hechos experimentales que se conocen sobre la carga:
Existen dos variedades: Positivas y Negativas.
Las de igual signo se repelen.
Las de distinto tipo se atraen.
1.2.1. Propiedades de la carga.
Se conserva.
La carga total de un sistema aislado, es decir, la suma algebraica de las cargas positivas
y negativas en cierto instante, no vaŕı a nunca.
Por un sistema aislado entendemos: aquel en el que no está permitido el flujo de materia
a través de sus paredes. Un ejemplo de la conservación de la carga es la creación de
pares (electrón-positrón.)
La carga es un invariante relativista.
Está cuantizada.
En 1909 Millikan demostró experimentalmente que la carga siempre se presenta como
múltiplo entero de una unidad fundamental de carga que llamaremos e.
Se dice que la carga está cuantizada, es decir
Q = Ne N ∈ Z .
Se ha mostrado experimentalmente que la diferencia en el valor absoluto de las carga
de un protón y de un electrón si existiera seŕı a menor que 10−20e
Existen los quark con carga +2e/3 (u), -e/3 (d), -e/3 (s), +2e/3 (c), -e/3 (b), +2e/3
(t). Pero no se detectan quark libres. p(uud) y n(ddu). La cuantización de la carga
escapa del alcance del electromagnetismo clásico. Nosotros lo ignoraremos, usaremos
distribuciones continuas de carga.
1.3. LA LEY DE COULOMB. 3
1.3. La Ley de Coulomb.
12
0
r r
q
q
1
1
2
2r
La fuerza de interacción entre dos cargas es la Ley de Coulomb
~F12 =
kq1q2
r212
r̂12 =
kq1q2
r312
~r12 (1.1)
donde ~r12 = ~r1 − ~r2, r12 = |~r12|, r̂12 = ~r12/|~r12|, ~F12, es la fuerza sobre q1 debido a q2. Los
qi, son escalares con sus signos respectivos y finalmente k, tiene en cuenta las unidades. El
vector unitario r̂12 indica que la fuerza es paralela a la recta que une a las dos cargas.
Sabemos que por acción y reacción: ~F12 = −~F21.
Las unidades: si r12 [cm], F [dinas], qi [ues] k = 1. Si por el contrario r12 [m], F [Newton],
qi [Coulomb] entonces
k =
1
4π�0
= 8.9875× 109
[
Nm2
C2
]
, (1.2)
La constante �0 se conoce como constante dieléctrica o permitividad del vaćı o, y tiene un
valor:
�0 = 8.8542× 10−12
[
C2
Nm2
]
. (1.3)
El factor de conversión entre [Coulomb] y [ues]
1[C] = 2.998× 109 [ues] , (1.4)
y la carga del electrón en [ues] es
e = 4.803250(21)× 10−10 [ues] (1.5)
Un hecho experimental es que la fuerza con la cual dos cargas interactúan no se modifica
por la presencia de una tercera, es más, sea cual fuere el número de cargas presentes en
nuestro sistema la ley de Coulomb puede utilizarse para calcular la interacción de cada par.
Este hecho es conocido como el Principio de superposición.
4 CAPÍTULO 1. ELECTROESTÁTICA: CARGAS Y CAMPOS.
Una configuración de cargas {qi}Ni=1 con vectores {~ri}Ni=1 ejercen una fuerza ~F0 sobre una
part́ı cula de carga q0 ubicada en ~r0 respecto a algún origen común. ~F0 se puede escribir:
~F0 =
N∑
i=1
q0qir̂0i
r20i
(1.6)
1.3.1. Ejercicios.
1. Encuentre la fuerza resultante sobre q3 considerando que q1 = +e, q3 = +e y q2 = −e.
q1
q3q2 a
a
2. ¿En qué posición la fuerza resultante sobre q2 es cero? ¿Qué tipo de equilibrio es?
q1 q2 q3
d
Teorema de Earnshaw: Ningún sistema puede estar en equilibrio estable bajo la única
acción de fuerzas eléctricas
Fin clase I.
1.4. ENERGÍ A DE UN SISTEMA DE CARGAS. 5
1.4. Enerǵı a de un sistema de cargas.
Consideremos el trabajo que hay que hacer sobre el sistema para llevar dos cuerpos car-
gados (inicialmente infinitamente distantes) a una distancia dada.
q1 q2
muy
grande
Inicialmente
q1
q2
r 12
Después
Estamos omitiendo la enerǵı a necesaria para “crear” las part́ı culas cargadas.
1.4.1. Cálculo del trabajo.
W =
∫
~F · ~ds =
∫ r12
+∞
q1q2
r2
r̂ · dr(−r̂) = +q1q2
∫ r12
+∞
−dr
r2
=
q1q2
r12
.
El origen está en q1 y traemos q2 desde infinito.
q1 r
ds
q2
F
W =
q1q2
r12
(1.7)
debe ser mayor que cero si las cargas tienen el mismo signo.
Sabemos que si la Fuerza es conservativa el trabajo es el mismo independiente del camino
usado.
6 CAPÍTULO 1. ELECTROESTÁTICA: CARGAS Y CAMPOS.
cos θds = dr
F ds =−Fdr
q
r
r+dr
θ
dr
ds
Debido a que la fuerza es central los tramos de camino entre r y r+dr requieren el mismo
trabajo, por lo tanto, la Fuerza es conservativa.
Si acercamos una tercer part́ı cula a r31 de q1 y a r32 de q2 el trabajo será
W3 =
∫
~F3 · ~ds =
∫
(~F31 + ~F32) · ~ds
=
∫
~F31 · ~ds+
∫
~F32 · ~ds ,
por lo tanto, es la suma de los trabajos
1.4.2. Enerǵı a de un sistema de cargas.
W3 =
q1q3
r31
+
q2q3
r32
.
El trabajo total efectuado U , para reunir las tres cargas en estas posiciones, será por lo
tanto,
U =
q1q2
r21
+
q1q3
r31
+
q2q3
r32
. (1.8)
U corresponde a la enerǵı a potencial eléctrica del sistema. El cero de U lo elegimos
cuando las cargas están infinitamente separadas.
1.4.3. Propiedades de U .
U es independiente del orden de colocación.
U es independiente del camino.
U sólo depende de la disposición final de las cargas.
1.4. ENERGÍ A DE UN SISTEMA DE CARGAS. 7
En general para un sistema de N cargas {qi}
U =
1
2
N∑
j=1
∑
k 6=j
qjqk
rkj
(1.9)
1.4.4. Un ejemplo.
−e
−e
−e
−e
+2e
b
b
b
−e
−e
−e
−e
U = 8
−2e2
(
√
3/2)b
+
12e2
b
+
12e2√
2b
+
4e2√
3b
=
4.32e2
b
.
1.4.5. U de una red cristalina.
La enerǵı a de una configuración de carga tiene importancia en F́ı sica de Sólidos. Un
cristal iónico (NaCl) puede representarse, con gran aproximación, por una distribución de
iones positivos (Na+) y negativo (Cl−) alternados en una distribución espacial periódica.
a
A pesar de que los iones NO son puntuales veremos que podemos tratarlos como si lo
fueran.
8 CAPÍTULO 1. ELECTROESTÁTICA: CARGAS Y CAMPOS.
La enerǵı a electroestática juega un importante papel en la explicación de la estabilidad
y cohesión de un cristal iónico.
¡La suma es enorme! un cristal macroscópico contiene del orden de 1023 átomos. ¿Conver-
gerá la suma?
Lo que se desea hallar es la enerǵı a potencial por unidad de volumen o de masa, la cual
debeŕı a ser independiente del tamaño del cristal. Obviamente 2 gramos de NaCl tiene el
doble de enerǵı a que un gramo.
Cualquier ion positivo está en una posición equivalente a cualquier otro.
La distribución de iones negativos en torno auno positivo es la misma que la de iones
positivos en torno a uno negativo.
Tomemos un ion cualquiera, elijamoslo como centro y sumemos sus interacciones con
todos los demás y multipliquemos por el número total de iones de ambas clases.
U =
1
2
N∑
j=1
∑
k 6=j
qjqk
rkj
=
1
2
N
N∑
k=2
q1qk
r1k
.
Los términos principales de la suma anterior son
U =
1
2
N
[
−6e2
a
+
12e2√
2a
− 8e
2
√
3a
+ . . .
]
.
La serie no converge absolutamente. Este cálculo es “delicado”
U = −0.8738Ne
2
a
,
donde N es el número de iones.
1.5. El campo eléctrico.
Un conjunto de cargas {qi}Ni=1 fijas en el espacio y una carga q0 en la posición (x, y, z), la
fuerza sobre q0 es
~F0 =
N∑
j=1
q0qj
r20j
r̂0j .
Dividamos la ecuación anterior por q0 obteniendo una magnitud vectorial que depende de
la estructura del sistema de cargas y de la posición (x, y, z).
A este vector, el cual es función de (x, y, z), lo llamamos el campo eléctrico originado
por las cargas ({qi}) y lo denotamos por ~E.
~E(x, y, z) =
N∑
j=1
qj r̂0j
r20j
[
dinas
ues
]
. (1.10)
1.5. EL CAMPO ELÉCTRICO. 9
La condición de que las cargas sean fijas se puede reemplazar exigiendo que q0 sea infini-
tesimal para no alterar la distribución de carga inicial, i.e.
~E(x, y, z) = ĺım
q0→0
~F
q0
. (1.11)
No es tan riguroso como parece ya que q < e no se observan.
1.5.1. Ĺı neas de Campo
Si tomamos la ecuación (1.10) como la definición de ~E, sin referencia a una carga de
prueba, no surgen problemas y no necesitamos que las cargas sean fijas.
Una manera de visualizar un campo eléctrico son las ĺı neas de campo. Su relación con el
campo eléctrico es la siguiente
i) La tangente de estas ĺı neas tiene la dirección del campo en ese punto.
ii) Estas ĺı neas convergen cuando nos aproximamos a una región de campo intenso y se
separan en una región de campo débil.
1.5.2. Dibujando ĺı neas de Campo.
+ −
Para el trazado de ĺı neas se debe tener en cuenta:
Las ĺı neas deben partir de las cargas positivas y terminar en las cargas negativas o
bien en el infinito en el caso de un exceso de carga.
El número de ĺı neas que partan de las cargas positiva o lleguen a la negativa es
proporcional a la magnitud de la carga.
Dos ĺı neas de campo no pueden cruzarse.
10 CAPÍTULO 1. ELECTROESTÁTICA: CARGAS Y CAMPOS.
1.5.3. Ejemplos.
Ĺı neas de campo de una par de cargas con distinto signo.
Ĺı neas de campo de una par de cargas con igual signo.
Fin clase II.
1.6. DISTRIBUCIONES DE CARGA 11
1.6. Distribuciones de carga
Ahora vamos a generalizar pasando de cargas puntuales a una distribución continua de
carga.
La distribución de carga está caracterizada por una función de la posición ρ(x, y, z) lla-
mada densidad de carga volumétrica y tiene dimensiones de [carga/volumen]
Para evaluar el campo
Punto de 
Observación
Origen
r
r − r ’
r ’
( r )= (x’,y’,z’)ρρ
dx’dy’dz’=d 3r’
~E(~r) =
∫
ρ(~r ′)d3r ′
|~r − ~r ′ |3
(~r − ~r ′) (1.12)
Habitualmente uno elige el origen en el punto de observación, ρ(~r) es una constante o una
función anaĺı tica dentro del volumen de interés y se evalúa el módulo o una componente del
campo
ρ = cte dq
R
R
~E =
∫
dq
R2
R̂ = ρ
∫
dv
R2
R̂ (1.13)
12 CAPÍTULO 1. ELECTROESTÁTICA: CARGAS Y CAMPOS.
1.6.1. Densidades.
Si una carga Q está uniformemente distribuida en un volumen V , la densidad volumétri-
ca de carga es
ρ =
Q
V
. (1.14)
Si una carga Q esta uniformemente distribuida sobre una superficie de área A, la den-
sidad superficial de carga es
σ =
Q
A
. (1.15)
Si una carga Q esta uniformemente distribuida sobre una ĺı nea de longitud L, la
densidad lineal de carga es
λ =
Q
L
. (1.16)
1.6.2. Campo de una ĺı nea infinita cargada
R
z
r
dE
θ
θ
dq= dzλ O z
d ~E =
dq
R2
R̂ =
λdz
R2
cos θr̂ +
λdz
R2
sen θẑ
Notemos que
R =
√
r2 + z2 cos θ =
r√
r2 + z2
sen θ =
z√
r2 + z2
luego
~E =
∫ ∞
−∞
λdz
r2 + z2
r√
r2 + z2
r̂ +
∫ ∞
−∞
λdz
r2 + z2
z√
r2 + z2
ẑ
= λrr̂
∫ ∞
−∞
dz
(r2 + z2)3/2
+ λẑ
∫ ∞
−∞
z
(r2 + z2)3/2
= λrr̂
∫ ∞
−∞
dz
(r2 + z2)3/2
,
por paridad.
1.6. DISTRIBUCIONES DE CARGA 13
Hacemos el cambio de variable
z = r tanφ
dz = r sec2 φ dφ ,
y reemplazamos en la integral
~E = λrr̂
∫ π/2
−π/2
r sec2 φ dφ
(r2 + r2 tan2 φ)3/2
= λrr̂
∫ π/2
−π/2
r
r3
sec2 φ
(1 + tan2 φ)3/2
dφ
=
λ
r
r̂
∫ π/2
−π/2
sec2 φ
sec3 φ
dφ =
λ
r
r̂
∫ π/2
−π/2
cosφ dφ
=
λ
r
r̂ senφ
∣∣∣+π/2
−π/2
=
λ
r
r̂[1− (−1)] = 2λ
r
r̂ .
Resumiendo
~E(~r) =
2λ
r
r̂ (1.17)
1.6.3. Campo de una distribución de carga plana e indefinida
dE
x
y
dq= dxdy
R
σ
θ
Por simetŕı a sólo interesa la componente z (las otras se anulan)
Ez =
∫
dq
R2
cos θ =
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
σdxdy
x2 + y2 + z2
cos θ ,
donde cos θ =
z
(x2 + y2 + z2)1/2
, luego la integral nos queda:
Ez = zσ
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
dxdy
(x2 + y2 + z2)3/2
.
Usemos coordenadas polares planas sobre el plano
r2 = x2 + y2 ,
rdrdφ = dxdy .
14 CAPÍTULO 1. ELECTROESTÁTICA: CARGAS Y CAMPOS.
La integral nos queda
Ez = zσ
∫ 2π
0
dφ
∫ ∞
0
r dr
(r2 + z2)3/2
= 2πσz
∫ ∞
0
r dr
(r2 + z2)3/2
= 2πσz
−1
(r2 + z2)−1/2
∣∣∣∣∞
0
= 2πσz
[
0−
(
−1√
z2
)]
= 2πσ
z
|z|
.
Resumiendo
~E(~r) = 2πσ sgn(z)ẑ (1.18)
Fin clase III.
1.7. FLUJO ELÉCTRICO. 15
1.7. Flujo Eléctrico.
Consideremos cierto campo vectorial ~F (~r) en el espacio, y en ese espacio cierta superficie
cerrada S arbitraria.
Podemos definir el flujo de ~F a través de esa superficie como:
Φ =
∫
S
~F · d~a (1.19)
Donde la integral es sobre S, i.e. toda la superficie. Si se trata del campo eléctrico ~E(~r)
entonces el el flujo eléctrico a través de esa superficie S es
Φ =
∫
S
~E · d~a (1.20)
1.7.1. La normal
Definimos el vector normal n̂ a la superficie es aquel que apunta hacia afuera del volumen
definido por la superficie cerrada.
n
da
da = n da
16 CAPÍTULO 1. ELECTROESTÁTICA: CARGAS Y CAMPOS.
1.7.2. Analoǵı a con un fluido.
Sea v el campo de velocidades del fluido
a
a
a
60 o
cos 60 ovaFlujo:Flujo: 0Flujo: va
El flujo es el volumen del fluido que atraviesa la superficie por unidad de tiempo.
1.7.3. Flujo de una carga puntual.
Evaluemos el flujo a través de una superficie esférica SI centrada en una carga puntual q
SI
ΦI =
∫
I
q
r2
r̂ · r̂ da =
∫ π
0
∫ 2π
0
q
r2
r2 sen θ dθdφ = 4πq (1.21)
1.8. LEY DE GAUSS. 17
SI
SIII
Como el resultado anterior (1.21) NO depende de r, el flujo a través de la superficie SIII
será
ΦIII = ΦI = 4πq . (1.22)
SI
SIII
SII
Si no hay más carga no se crea ni se destruye flujo, por lo tanto
ΦII = 4πq . (1.23)
Por superposición puede extenderse este resultado a cualquier número de cargas o a
distribuciones continuas.
1.8. Ley de Gauss.
El flujo del campo eléctrico ~E a través de una superficie cerrada cualesquiera, es decir, la
integral de ~E · d~a extendida a la superficie, es igual a 4π por la carga total encerrada por la
superficie ∫
S
~E(~r) · d~a = 4π
∑
i
qi = 4π
∫
∂S
ρdv (1.24)
Este resultado es equivalente a la ley de Coulomb.
18 CAPÍTULO 1. ELECTROESTÁTICA: CARGAS Y CAMPOS.
1.9. Ejemplos de evaluación del campo eléctrico.
1.9.1. Cascarón esférico.
SI SII
r<
r>
Q
R
La densidad superficial σ es
σ =
Q
4πR2
. (1.25)
Existen dos regiones de interés, r > R y r < R.
región r > R
Consideremos la superficie SII para evaluar ~E en la primera región. Dada la simetŕı a del
problema postulamos ~E(r) = E(r)r̂, claramente para la superficie d~a = dar̂
∫
~E · d~a =
∫
E(r)r̂ · r̂da = 4πQ
E(r)
∫
SII
da = 4πQ
E(r)4πr2 = 4πQ
E(r) =
Q
r2
.
Luego para r > R
~E(~r) =
Q
r2
r̂ (1.26)
región r < R
Consideremos la superficie SI para evaluar ~E en la segunda región. Dada la simetŕı a del
problema nuevamente postulamos ~E(r) = E(r)r̂, para la superficie d~a = dar̂
1.9. EJEMPLOS DE EVALUACIÓN DEL CAMPO ELÉCTRICO. 19
∫
~E · d~a =
∫
E(r)r̂ · r̂da = 0
E(r)
∫
SI
da = 0
E(r)4πr2 = 0
E(r) = 0 .
Luego para r < R
~E(~r) = ~0 (1.27)
Grafiquemos ambos resultados
r2
QR r
Ancho del cascarón
E(r)
1.9.2. Esfera cargada con ρ constante.
SI SII
r<
r>
Q
b
La densidad volumétrica ρ es
ρ =

Q
4π
3
b3
= cte. si r < b
0 si r > b
. (1.28)
Obviamente
∫
ρdv = Q. Existen nuevamente dos regiones de interés, r > b y r < b.
20 CAPÍTULO 1. ELECTROESTÁTICA: CARGAS Y CAMPOS.
región r > b
Consideremos la superficie SII para evaluar ~E en la primera región. Dada la simetŕı a del
problema postulamos ~E(r) = E(r)r̂, claramente para la superficie d~a = dar̂
∫
~E · d~a =
∫
E(r)r̂ · r̂da = 4π
∫
ρ dv
E(r)
∫
sII
da = 4π
∫
ρ dv
E(r)4πr2 = 4πρ
4π
3
b3 =
Q
r2
.
Luego para r > b
~E(~r) =
Q
r2
r̂ (1.29)
región r < b
Consideremos la superficie SI para evaluar ~E en la segunda región. Dada la simetŕı a del
problema nuevamente postulamos ~E(r) = E(r)r̂, para la superficie d~a = dar̂
∫
~E · d~a =
∫
E(r)r̂ · r̂da = 4π
∫
ρ dv
E(r)
∫
sI
da = 4π
∫
ρ dv
E(r)4πr2 = 4πρ
4π
3
r3 =
Q
b3
r .
Luego para r < b
~E(~r) =
Q
b3
rr̂ (1.30)
Grafiquemos ambos resultados
r2
Q
a3
Q r
r
E(r)
a
Fin clase IV.
1.9. EJEMPLOS DE EVALUACIÓN DEL CAMPO ELÉCTRICO. 21
1.9.3. Cascarón esférico grueso.
r>
r<
ri
R1
R2
SII
SIII
SI
Q
La densidad ρ es
ρ =
Q
4π
3
R32 − 4π3 R
3
1
. (1.31)
Existen tres regiones de interés, r > R2, R1 < r < R2 y r < R1.
Evaluación en la región r > R2.
Consideremos la superficie SI para evaluar ~E en la primera región. Dada la simetŕı a del
problema postulamos ~E(r) = E(r)r̂, claramente para la superficie d~a = dar̂
∫
~E · d~a =
∫
E(r)r̂ · r̂da = 4πQ
E(r)
∫
SI
da = 4πQ
E(r)4πr2 = 4πQ =
Q
r2
.
Luego para r > R
~E(~r) =
Q
r2
r̂ (1.32)
Evaluación en la región R1 < r < R2.
Consideremos la superficie SII para evaluar ~E en la segunda región. Dada la simetŕı a del
problema nuevamente postulamos ~E(r) = E(r)r̂ y para la superficie d~a = dar̂
22 CAPÍTULO 1. ELECTROESTÁTICA: CARGAS Y CAMPOS.
∫
~E · d~a =
∫
E(r)r̂ · r̂da = 4π
∫
ρ dv
E(r)
∫
SII
da = 4πρ
∫
dv
E(r)4πr2 = 4πρ
4π
3
(
r3 −R31
)
=
Q
r2
(
r3 −R31
R32 −R31
)
.
Luego para R1 < r < R2
~E(~r) =
Q
r2
(
r3 −R31
R32 −R31
)
r̂ (1.33)
región r < R1.
Consideremos la superficie SIII para evaluar ~E en la segunda región. Dada la simetŕı a
postulamos ~E(r) = E(r)r̂, para la superficie d~a = dar̂
∫
~E · d~a =
∫
E(r)r̂ · r̂da = 0
E(r)
∫
SIII
da = 0
E(r)4πr2 = 0
E(r) = 0 .
Luego para r < R1
~E(~r) = ~0 (1.34)
r2
Q
R1 R2
R1
3R2
3 _
R1
33r _
r2
Q
r
E(r)
1.9. EJEMPLOS DE EVALUACIÓN DEL CAMPO ELÉCTRICO. 23
Caso ĺı mite, R1 → 0.
~E(~r) =

Q
r2
r̂ r > R2
Q
R32
rr̂ r < R2
(1.35)
Caso ĺı mite, R1 → R2.
~E(~r) =

Q
r2
r̂ r > R2
~0 r < R2
(1.36)
1.9.4. Esfera cargada con ρ(r) variable.
r<
r>
SISII
b
Q
La densidad volumétrica ρ es
ρ(r) =

5Q
πb5
r(b− r) si r < b
0 si r > b
. (1.37)
Debemos probar que
∫
ρdv = Q y luego encontrar el campo eléctrico en las dos regiones
de interés, r > b y r < b. Integramos la densidad en todo el espacio∫
ρ(~r)dv =
∫ ∞
0
∫ π
0
∫ 2π
0
ρ(r)r2 sen θdrdθdφ = 4π
∫ b
0
5Q
πb5
r(b− r)r2 dr
=
20Q
b5
[∫ b
0
r3b dr −
∫ b
0
r4 dr
]
=
20Q
b5
[
b5
4
− b
5
5
]
=
20Q
b5
b5
20
= Q .
24 CAPÍTULO 1. ELECTROESTÁTICA: CARGAS Y CAMPOS.
región r > b.
Consideremos la superficie SI para evaluar ~E en la primera región. Dada la simetŕı a del
problema postulamos ~E(r) = E(r)r̂, claramente para la superficie d~a = dar̂
∫
~E · d~a =
∫
E(r)r̂ · r̂da = 4π
∫
ρ dv
E(r)
∫
sI
da = 4π
∫
ρ dv
E(r)4πr2 = 4πQ
=
Q
r2
.
Luego para r > b
~E(~r) =
Q
r2
r̂ (1.38)
región r < b.
Consideremos la superficie SII para evaluar ~E en la segunda región. Dada la simetŕı a del
problema nuevamente postulamos ~E(r) = E(r)r̂, para la superficie d~a = dar̂∫
~E · d~a =
∫
E(r)r̂ · r̂da = 4π
∫
ρ dv
E(r)
∫
sII
da = 4π
∫
ρ dv
E(r)4πr2 = 4π
∫ r
0
∫ π
0
∫ 2π
0
ρ(u)u2 sen θdudθdφ
E(r) =
4π
r2
∫ r
0
5Q
πb5
u(b− u)u2 du
E(r) =
20Q
b5r2
[∫ r
0
bu3 du−
∫ r
0
u4 du
]
E(r) =
20Q
b5r2
[
br4
4
− r
5
5
]
=
Q
b5
[
5br2 − 4r3
]
Luego para r < R
~E(~r) =
Q
b5
[
5br2 − 4r3
]
r̂ (1.39)
1.9. EJEMPLOS DE EVALUACIÓN DEL CAMPO ELÉCTRICO. 25
1.9.5. Ĺı nea cargada infinita.
da=−da z
da= da z
L
z
λ
da= da RR
La figura muestra las diferentes normales de la superficie de Gauss elegida.
Cálculo del campo eléctrico.
Suponemos el campo eléctrico con la siguiente forma ~E(~r) = E(R)R̂ con R el radio de
las coordenadas ciĺı ndricas. La Ley de Gauss nos dice
∫
~E · d~a = 4πQencerrada
La carga encerrada corresponde a λL, luego
2
∫
tapas
E(R)R̂ · (±ẑ) da+
∫
manto
E(R)R̂ · R̂ da = 4πλL
E(R)2πRL = 4πλL
E(R) =
2λ
R
.
Luego
~E(~r) =
2λ
R
R̂ (1.40)
26 CAPÍTULO 1. ELECTROESTÁTICA: CARGAS Y CAMPOS.
1.9.6. Plano infinito cargado.
z
A
σ
La figura muestra la sección del plano que define el cilindro al atravesarlo.
Cálculo del campo eléctrico.
Suponemos el campo eléctrico con la siguiente forma
~E(~r) =
{
+E(z)ẑ z > 0
−E(z)ẑ z < 0
(1.41)
La Ley de Gauss nos dice ∫
~E · d~a = 4πQencerrada
La carga encerrada, en este caso, corresponde a σA, luego
2
∫
tapas
±E(z)ẑ · (±ẑ) da+
∫
manto
E(z)ẑ · R̂ da = 4πσA
2E(z)A = 4πσA
E(z) = 2πσ .
Luego
~E(~r) = 2πσ sgn(z)ẑ (1.42)
1.9. EJEMPLOS DE EVALUACIÓN DEL CAMPO ELÉCTRICO. 27
1.9.7. Problemas de flujo.
Consideremos una carga q situada en el centro de un cubo. ¿Cuánto flujo sale por una de
las caras?
q
Φ =
1
6
× 4πq = 2πq
3
(1.43)
Consideremos una carga q situada en un vértice de un cubo. ¿Cuánto flujo sale por cada
una de las caras?
q
Por las caras que contiene a la carga el flujo es nulo y por las otras tres el flujo es igual.
Agregamos siete cubos en el entorno tal de dejar la carga al centro de un nuevo cubo mas
grande, ahora podemos usar el resultado anterior
q
Φ =
1
4
× 1
6
× 4πq = πq
6
(1.44)
Fin clase V.
28 CAPÍTULO 1. ELECTROESTÁTICA: CARGAS Y CAMPOS.
1.10. Fuerza sobre una carga superficial.
r0
ues
cm2
σ
dAσ
E= 4πσ
Q=4π σr0
2
E=0
¿A qué se debe y cuál es la fuerza que actúa sobre un elemento superficial de carga σdA?
La fuerza es debida a la repulsión que experimenta por parte de todo el resto de los
elementos de carga de la esfera.
¿Qué valor del campo debemos usar sobre la lámina?
Eext =
Q
r20
= 4πσ , Ein = 0 . (1.45)
Usemos el promedio
1
2
(Eext + Ein) = 2πσ (1.46)
Una manera de entender esto es suponer que el espesor NO es nulo. Supongamos que no
es una densidad superficial sino una densidad volumétrica ρ (uniforme) en un ancho ∆r tal
que ρ∆r = σ.
∆ r ∆ r ∆ r∆ r
E= 4πσE= 4πσ E= 4πσ E= 4πσ
∆ r
0
E=0 E=0 E=0 E=0 ρ = cte.
=σρ
La carga superficial real NO se hallará en una capa de espesor cero y densidad volumétrica
infinita, aśı que nuestra representación es más realista que la del caso ĺı mite. Por ejemplo:
una carga de superficie en un metal puede tener varios [Å] de espesor.
1.11. ENERGÍ A ASOCIADA A UN CAMPO ELÉCTRICO. 29
La fuerza sobre un elemento de carga superficial
dF =
1
2
(Eext + Ein) dq = 2πσσdA = 2πσ
2dA . (1.47)
La fuerza por unidad de área vale 2πσ2. Esta es una fuerza hacia el exterior originada por
la repulsión de las cargas. Naturalmente si las cargas no escapan esta fuerza debe estar equi-
librada con alguna fuerza de origen atómico o molecular, no incluida en nuestras ecuaciones.
Si cargamos un globo de goma, la repulsión calculada tendeŕı a a dilatarlo.
1.10.1. El trabajo para comprimir.
Rećı procamente, debeŕı amos efectuar trabajo sobre el sistema para acortar el diámetro
mientras Qtotal =cte.
r0
r0 _ dr
dr
Supongamos que deseamos disminuir el radio de la esfera de r0 a r0−dr. El trabajo contra
las las fuerzas eléctricas
dW = (2πσ2)(4πr20) dr = 8π
2σ2r20 dr .
En función de la carga total Q = 4πr20σ tenemos
dW =
Q2dr
2r20
(1.48)
1.11. Enerǵı a asociada a un campo eléctrico.
Notemos que al disminuir la esfera, en lo que al campo se refiere, es crear la intensidad de
campo 4πσ en una capa entre r0 y r0− dr donde el campo antes eranulo. En todos los otros
puntos del espacio el campo permanece exactamente igual que antes. Esta parte del campo,
puede decirse, que ha sido creada a costa del trabajo dW .
dW =
Q2dr
2r20
=
Q2 × 4πr20 × dr
2× 4πr20 × r20
=
Q2
8πr40
dv =
E2
8π
dv (1.49)
Este es un ejemplo particular de un teorema mucha más general, que no demostraremos.
30 CAPÍTULO 1. ELECTROESTÁTICA: CARGAS Y CAMPOS.
1.11.1. El teorema.
La enerǵı a potencial U de un sistema de cargas, la cual es el trabajo total requerido
para formar el sistema, puede calcularse a partir del campo eléctrico propio simplemente
asignando una cantidad de enerǵı a (E2/8π)dv a cada elemento de volumen dv e integrando
para todo el espacio donde existe el campo eléctrico.
U =
1
8π
∫ ∣∣∣ ~E ∣∣∣2 dv (1.50)
donde la integral es sobre todo el espacio.
1.11.2. Enerǵı a de la esfera usando el campo.
Usando la ecuación (1.50) podŕı amos calcular al enerǵı a asociada a nuestra esfera car-
gada. El campo en todo el espacio es
~E =

Q
r2
r̂ r > r0
0 r < r0
(1.51)
La enerǵı a es
U =
1
8π
∫
E2 dv =
1
8π
∫ ∞
r0
Q2
r4
4πr2 dr =
Q2
2
∫ ∞
r0
1
r2
dr = −Q
2
2r
∣∣∣∣∞
r0
,
finalmente
U =
Q2
2r0
(1.52)
1.11.3. Enerǵı a de la esfera calculando el trabajo.
A partir de la ecuación (1.49) considerando una esfera de radio arbitrario r y que la dismi-
nuiremos desde un radio∞ a un radio r0 dado. (Recordemos que la fuerza y el desplazamiento
son antiparalelos luego debe haber un signo (-)),
U =
∫ r0
∞
−Q
2dr
2r2
=
∫ ∞
r0
Q2
2r2
dr = −Q
2
2r
∣∣∣∣∞
r0
=
Q2
2r0
. (1.53)
Nuevamente obtenemos el resultado (1.52)
U =
Q2
2r0
(1.54)
Una imagen usual es que la enerǵı a está almacenada en el campo.
Siendo el sistema conservativo, esta cantidad de enerǵı a puede ser recuperada permi-
tiendo a las cargas “separarse”.
1.11. ENERGÍ A ASOCIADA A UN CAMPO ELÉCTRICO. 31
La enerǵı a estaba en alguna parte.
Nuestra consideración aparece correcta si imaginamos que la enerǵı a está almacenada
en el espacio con una densidad | ~E|2/8π en [erg/cm3].
Sin embargo, sólo es f́ı sicamente medible la enerǵı a total
Fin clase VI.
32 CAPÍTULO 1. ELECTROESTÁTICA: CARGAS Y CAMPOS.
Caṕıtulo 2
Potencial eléctrico.
En este caṕı tulo veremos:
Integral de ĺı nea del campo eléctrico.
Diferencia de potencial y función potencial.
Gradiente de una función escalar.
Deducción del campo a partir del potencial.
Potencial de una distribución de cargas.
Disco cargado uniformemente.
Divergencia de una función vectorial.
Teorema de Gauss y forma diferencial de la Ley de Gauss.
La divergencia en coordenadas cartesianas.
El Laplaciano.
La ecuación de Laplace.
Rotacional de una función vectorial.
Teorema de Stokes.
Rotacional en coordenadas cartesianas.
Significado f́ı sico del rotacional.
33
34 CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELÉCTRICO.
2.1. Integral de ĺı nea del campo eléctrico.
Supongamos que una cierta distribución estacionaria de carga produce un campo ~E,
entonces ∫ P2
P1
~E · d~s , (2.1)
a través de cierto camino. Significa:
Dividir el camino en pequeños segmentos.
Representar cada segmento por un vector que una sus extremos.
Efectuar el producto escalar del vector asociado al segmento del camino por el campo
~E en ese lugar.
Sumar estos productos para todo el camino.
La integral corresponde al ĺı mite de esta suma al hacer los segmentos cada vez más
pequeños y numerosos.
1P
2P
ca
m
in
o
1P
2P
1P
2P
ds
E
2.1.1. Un ejemplo.
Consideremos el campo vectorial ~E = Kyx̂+Kxŷ. Queremos evaluar la integral de ĺı nea
a través del camino de la figura
1 2
1
2
x
y
A
B C
2.1. INTEGRAL DE LÍ NEA DEL CAMPO ELÉCTRICO. 35
La integral es separable ∫ C
A
~E · d~s =
∫ B
A
~E · d~s+
∫ C
B
~E · d~s . (2.2)
El elemento de camino d~s = dxx̂ + dyŷ y el campo por componentes ~E = Kyx̂ + Kxŷ
luego
~E · d~s = Kydx+Kxdy . (2.3)
En la primera parte del camino (de A a B) y = 2x (una recta) lo que implica dy = 2dx,
por lo tanto, ∫ B
A
~E · d~s = K
∫ B
A
(ydx+ xdy)
= K
∫ 1
0
2xdx+ 2xdx
= 4K
∫ 1
0
x dx = 2K . (2.4)
A lo largo del camino de B a C, y = 2 y dy = 0∫ C
B
~E · d~s = K
∫ C
B
(ydx+ xdy)
= K
∫ 2
1
2dx = 2K . (2.5)
La suma de ambos tramos ∫ C
A
~E · d~s = 2K + 2K = 4K (2.6)
2.1.2. Otro camino.
Consideremos ahora el camino de la figura
x
y
A
C
B
21
1
2
Sobre el camino A→ B y = 0 luego dy = 0∫ B
A
~E · d~s = 0 , ya que ~E ⊥ d~s. (2.7)
36 CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELÉCTRICO.
Sobre el camino B → C x = 2 luego dx = 0∫ C
B
~E · d~s =
∫ 2
0
K2 dy = 2Ky
∣∣∣∣∣
2
0
= 4K . (2.8)
2.1.3. Independencia del camino.
El campo eléctrico de una carga puntual es radial y depende solamente de r. Si P1 y P2
son dos puntos cualesquiera en el campo de una carga puntual es directo que la integral de
ĺı nea de ~E es la misma para todas las trayectorias que unen P1 y P2.
Lo anterior puede verificarse usando una argumentación equivalente a la usada cuando
evaluamos el trabajo.
Por superposición, la integral de ĺı nea de ~E (debido a todos los manantiales) debe ser
independiente del camino. Es decir, la integral∫ P2
P1
~E · d~s (2.9)
Tiene el mismo valor para todos los caminos que unen a P1 y P2 en un campo electroestático.
2.2. Diferencia de potencial y función potencial.
Debido a que la integral de ĺı nea en el campo electroestático es independiente del camino,
podemos usarla para definir una magnitud escalar ϕ21 como sigue
ϕ21 = −
∫ P2
P1
~E · d~s (2.10)
Donde ϕ21 es el trabajo por unidad de carga efectuado al mover una carga positiva desde
P1 a P2 en el campo ~E.
Además, ϕ21 es una función escalar uńı voca de las dos posiciones P1 y P2 que llamaremos
diferencia de potencial entre los dos puntos.
En sistema CGS las unidades de diferencia de potencial son [erg/ues]=[statvolt]. En sis-
tema MKS las unidades de diferencia de potencial son [Joule/Coulomb]=[Volt].
1 [Volt] =
1
299.79
[statvolt] (2.11)
2.2.1. Función potencial.
Supongamos que mantenemos P1 fijo en cierta posición de referencia. Entonces ϕ21 es
función sólo de P2. Podemos escribir
E(x,y,z)ϕ (x,y,z)
Campo escalar
Potencial asociado a
Campo vectorial
2.2. DIFERENCIA DE POTENCIAL Y FUNCIÓN POTENCIAL. 37
Dado ~E se determina ϕ salvo por una constante aditiva debido a la arbitrariedad en la
elección de P1.
Supongamos que tenemos dos definiciones para la función potencial, ϕA y ϕB, que sólo
difieren en el punto P1, es decir
ϕA = −
∫ ~r
A
~E · d~s , ϕB = −
∫ ~r
B
~E · d~s . (2.12)
A ϕA lo podemos escribir como
ϕA = −
∫ ~r
A
~E · d~s
= −
∫ B
A
~E · d~s−
∫ ~r
B
~E · d~s
= cte. + ϕB
ϕA = ϕB + cte.
2.2.2. La carga puntual.
El campo de una carga puntual q es
q
r2
r̂.
rA rB
r
ds
rds = dr
A
B
q
dr
Evaluemos la diferencia de potencial
ϕAB = −
∫ B
A
q
r2
r̂ · d~s = −
∫ B
A
q
r2
dr =
q
r
∣∣∣∣∣
B
A
= q
[
1
rB
− 1
rA
]
Si rA →∞
ϕ(~r) =
q
r
(2.13)
38 CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELÉCTRICO.
2.2.3. Dos cargas en el plano.
Nos interesa encontrar el potencial en todo el plano de la configuración de dos cargas
puntuales de la figura
1q 2q
r 1 r 2
(x,y)y
x0b a
El potencial es la suma de los potenciales individuales
ϕ(x, y) =
q1
r1
+
q2
r2
=
q1√
(x+ b)2 + y2
+
q2√
(x− a)2 + y2
2.2.4. Otro ejemplo.
Nos interesa encontrar el potencial en todo el plano del campo ~E(x, y) = Kyx̂ + Kxŷ
eligiendo nuestro punto de referencia P1 = (0, 0). Usaremos el camino de integración mostrado
en la figura.
(x,y)y
x(0,0)
ϕ(x, y) = −
∫ (x,y)
(0,0)
~E · d~s
= −
∫ (x,0)
(0,0)
Exdx−
∫ (x,y)
(x,0)
Eydy
= K(y = 0)
∫ x
0
dx−Kx
∫ y
0
dy = 0−Kxy
= −Kxy
2.2. DIFERENCIA DE POTENCIAL Y FUNCIÓN POTENCIAL. 39
A todos los resultados anteriores le podemos sumar una constante. Esto solamente indi-
caŕı a que el punto de referencia al cual se asigna ϕ = 0 se puso en otra parte.
No hay que confundir Potencial con enerǵı a potencial de un sistema.
La enerǵı a potencial de un sistema de cargas es el trabajo total requerido para reunirlas.El potencial asociado al campo seŕı a el trabajo por unidad de carga requerido para
traer una carga de prueba positiva desde el infinito al punto (x, y, z) en el campo ~E del
sistema de cargas.
Fin clase VII.
40 CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELÉCTRICO.
2.3. Gradiente de una función escalar.
Sabemos que dado el campo eléctrico podemos hallar la función potencial eléctrico, que
resulta ser una función escalar.
Si quisiéramos proceder en sentido contrario, es decir, a partir del potencial deducir el
campo eléctrico de la ecuación
ϕ21 = −
∫ P2
P1
~E · d~s , (2.14)
Pareceŕı a que el campo es en algún sentido una derivada de la función potencial. Para
precisar esto presentamos el gradiente de una función escalar:1
grad f = ~∇f(x, y, z) = ∂f
∂x
x̂+
∂f
∂y
ŷ +
∂f
∂z
ẑ . (2.15)
El gradiente de una función escalar es un vector en la dirección de la máxima pendiente
en sentido ascendente y su módulo es la pendiente medida en aquella dirección
Dirección de la
máximo crecimiento
x
y
(x,y)
 0.1
 0.2
 0.3
 0.4
 0.5
 0.6
 0.7
 0.8
 0.9
 1
exp(−x*x−y*y)
−1
−0.5
 0
 0.5
 1
−1
−0.5
 0
 0.5
 1
 0.1
 0.2
 0.3
 0.4
 0.5
 0.6
 0.7
 0.8
 0.9
 1
2.4. Deducción del campo a partir del potencial.
Consideremos la diferencial de la función escalar de tres variables ϕ(x, y, z)
dϕ =
∂ϕ
∂x
dx+
∂ϕ
∂y
dy +
∂ϕ
∂z
dz , (2.16)
1La derivada parcial respecto a la variable x de una función f(x, y, z), escrita simplemente ∂f/∂x, significa
la razón de variación de la función respecto a x manteniendo constante las otras variable (y, z), i.e.
∂f
∂x
= ĺım
∆x→0
f(x + ∆x, y, z)− f(x, y, z)
∆x
,
2.5. POTENCIAL DE UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGA. 41
además de
ϕ21 = −
∫ P2
P1
~E · d~s→ dϕ = − ~E · d~s , (2.17)
y como
dϕ = ~∇ϕ · d~s = − ~E · d~s . (2.18)
Identificamos
~E = −~∇ϕ (2.19)
El signo menos da cuenta de que el campo eléctrico está dirigido de una región de mayor
potencial hacia una región de menor potencial, mientras que el vector ~∇ϕ se define de manera
que se dirija en el sentido creciente de ϕ.
2.4.1. Ejemplos.
Carga puntual.
~E = −~∇ϕ = −~∇
(q
r
)
= − ∂
∂r
(q
r
)
r̂ =
q
r2
r̂ .
Dos cargas.
ϕ =
q1√
(x+ b)2 + y2
+
q2√
(x− a)2 + y2
=⇒
~E =
q1[(x+ b)x̂+ yŷ]
((x+ b)2 + y2)3/2
+
q2[(x− a)x̂+ yŷ]
((x− a)2 + y2)3/2
.
Otro ejemplo.
ϕ = −Kxy =⇒
~E = − ∂
∂x
(−Kxy)x̂+ ∂
∂y
(−Kxy)ŷ
= Kyx̂+Kxŷ .
2.5. Potencial de una distribución de carga.
Para calcular el potencial debido a una distribución de carga
Punto de 
Observación
Origen
r
r − r ’
r ’
( r )= (x’,y’,z’)ρρ
dx’dy’dz’=d 3r’
Distribución de carga
región finita
contenida en una
42 CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELÉCTRICO.
ϕ(~r) =
∫
ρ(~r ′)d3r ′
|~r − ~r ′ |
(2.20)
Debe tenerse que el potencial sea nulo en infinito. La distribución de carga debe estar
acotada a una región finita.
En el caso de una distribución constante escribimos el potencial como la suma de los
potenciales debido a los distintos dq de la distribución. La distribución debe ser finita.
ρ = cte dq
R
ϕ =
∫
dq
R
= ρ
∫
dv
R
(2.21)
En caso que la distribución NO sea constante, la primera expresión sigue siendo válida.
2.5.1. Las ĺı neas equipotenciales.
El lugar geométrico de los puntos con un valor particular de ϕ es una superficie, llamada
equipotencial la cual se representa en dos dimensiones por una curva y en tres por una
superficie.
q
La familia de curvas equipotenciales son ortogonales a las ĺı neas de fuerzas.
2.5. POTENCIAL DE UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGA. 43
2.5.2. Potencial de un hilo largo cargado.
Calculemos el potencial de un hilo infinito cargado con densidad uniforme λ mediante
integración directa.
R
z
r
dq= dzλ O z
dϕ =
dq
R
=
λdz√
z2 + r2
ϕ =
∫ ∞
−∞
λdz√
z2 + r2
=
∫ ∞
−∞
λ√(z
r
)2
+ 1
dz
r
Usando la paridad del integrando y haciendo el cambio de variable u =
z
r
, tenemos
ϕ = 2λ
∫ ∞
0
du√
u2 + 1
,
haciendo u = tan θ con du = sec2 θ dθ
ϕ = 2λ
∫ π/2
0
sec2 θ dθ
(tan2 θ + 1)1/2
= 2λ
∫ π/2
0
sec θ dθ
= 2λ log(sec θ + tan θ)
∣∣∣∣∣
π/2
0
→∞ .
La divergencia de la integral se debe a que la distribución de carga no está contenida en
un región finita (hay carga en ∞).
Calculemos la diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera usando la expresión
para el campo eléctrico de una ĺı nea infinita uniformemente cargada
ϕ21 = −
∫ P2
P1
~E · d~s = −
∫ r2
r1
2λ
r
dr
= 2λ log(r1)− 2λ log(r2) .
44 CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELÉCTRICO.
Fijamos arbitrariamente el punto P1 para obtener la función potencial
ϕ = −2λ log(r) + cte. (2.22)
Claramente
−~∇ϕ = −r̂ ∂ϕ
∂r
=
2λ
r
r̂ .
2.6. Disco cargado uniformemente.
Consideremos un disco no conductor cargado con una distribución uniforme σ [ues/cm2]
de espesor infinitesimal.
La carga total corresponde a Q = πa2σ. No hay dos capas.
Si el disco fuera conductor habŕı a redistribución de carga acumulándose hacia los bordes.
P1(0,y,0)
2P
x
z
R
a
dq
y
σ
Evaluemos el potencial en el punto P1 = (0, y, 0)
ϕ(0, y, 0) =
∫
dq
R
=
∫ 2π
0
∫ a
0
σrdθdr√
y2 + r2
= 2πσ
∫ a
0
r√
y2 + r2
dr = 2πσ
√
y2 + r2
∣∣∣∣∣
a
0
ϕ(0, y, 0) = 2πσ[
√
y2 + a2 − y] , si y > 0.
Por simetŕı a debemos tener ±
√
y2
ϕ(0, y, 0) = 2πσ[
√
y2 + a2 + y] , si y < 0.
El valor en el centro ϕ(0, 0, 0) = 2πσa
2.6. DISCO CARGADO UNIFORMEMENTE. 45
singularidad
en la derivada
ya−a
ϕ
 0
Estudiemos el comportamiento de ϕ(0, y, 0) para valores grandes de y. Para y � a tenemos
√
y2 + a2 − y = y
√1− a2
y2
− 1

= y
[
1 +
1
2
a2
y2
. . .− 1
]
≈ a
2
2y
.
De aqúı tenemos
ϕ(0, y, 0) =
πa2σ
y
=
Q
y
, para y � a. (2.23)
Donde πa2σ = Q es la carga total, luego este seŕı a el potencial de una carga puntual de ese
valor. Desde muy lejos el disco se ve puntual.
El potencial para puntos fuera del eje de simetŕı a no es fácil, las integrales resultan ser
eĺı pticas (
∫
dφ/
√
1− k2 sen2 φ)
Fin clase VIII.
46 CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELÉCTRICO.
2.6.1. Potencial en el borde del disco.
Evaluemos el potencial en el punto P2 = (a, 0, 0)
P2
θ
r
a
2a
dr
σ
ϕ(a, 0, 0) =
∫
dq
r
=
∫
σ2rθdr
r
=
∫
2σθdr .
De la figura r = 2a cos θ luego dr = −2a sen θdθ. Reemplazando en la integral
ϕ(a, 0, 0) =
∫ 0
π/2
2σθ(−2a sen θ) dθ
=
∫ π/2
0
4σaθ sen θ dθ
= 4σa [sen θ − θ cos θ]
∣∣∣∣∣
π/2
0
= 4σa .
Comparando este valor con el del centro del disco (2πσa) el potencial disminuye. Esto
implica que el campo eléctrico tiene componente en el plano del disco y hacia afuera. Por
lo anterior, si la carga pudiese moverse se distribuiŕı a hacia los bordes. Podemos calcular el
campo eléctrico en el eje de simetŕı a directamente del potencial
Ey = −
∂ϕ
∂y
= − d
dy
2πσ
[√
y2 + a2 − y
]
= 2πσ
[
1− y√
y2 + a2
]
y > 0 .
Tomemos el ĺı mite y → 0 por la derecha y por la izquierda.
Si y tiende a cero+ entonces ~E → 2πσŷ.
Si y tiende a cero− entonces ~E → −2πσŷ.
2.6. DISCO CARGADO UNIFORMEMENTE. 47
Este es el campo que corresponde a un lámina indefinida (infinita) con densidad superficial
homogénea σ.
Podemos encontrar el campo cerca del disco usando Gauss. Como superficie de Gauss
usamos la “cajita” de la figura.
El campo no
es al plano
A
Φ = AE+y − AE−y + (flujo lateral)
El primer término corresponde al campo inmediatamente por delante, el segundo al campo
por detrás en un caso la normal apunta hacia adelante y en el otro apunta hacia atrás. El flujo
lateral se puede hacer tan pequeño como se quiera aplanando la caja. (Mientras el campo
paralelo sea finito.) La carga encerrada es σA luego la ley de Gauss
AE+y − AE−y = 4πσA ,
o bien lo podemos reescribir como
E+y − E−y = 4πσ (2.24)
Esto vale para cualquier distribución superficial de carga uniforme o no. Si σ es la densi-
dad local de una capa superficial cargada, existe un cambio brusco o discontinuidad en la
componente perpendicular del campo eléctrico.
2.6.2. La enerǵı a del sistema.
Recordemos la expresión para la enerǵı a total asociada a un campo ~E
U =
1
8π
∫
Todo el espacio
∣∣∣ ~E ∣∣∣2 dv . (2.25)
Escribamosla enerǵı a ahora en términos del potencial. Utilizamos que ~E = −~∇ϕ, luego
tenemos
U =
1
8π
∫
Todo el espacio
∣∣∣ ~∇ϕ ∣∣∣2 dv . (2.26)
48 CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELÉCTRICO.
Hay otra forma de calcular la enerǵı a almacenada
U =
1
2
N∑
j=1
∑
k 6=j
qjqk
rjk
. (2.27)
Si reescribimos la ecuación anterior de la forma
U =
1
2
N∑
j=1
qj
[∑
k 6=j
qk
rjk
]
.
El término entre paréntesis corresponde a la contribución de todas las cargas al potencial en
la posición de qj. Podemos sumarlas y llamarles ϕj (potencial en la posición de qj debido a
todas las otras cargas) luego
U =
1
2
N∑
j=1
qjϕj . (2.28)
Si tenemos una distribución continua
U =
1
2
∫
ρϕ dv (2.29)
2.7. Divergencia de una función vectorial.
Sea ~F (x, y, z) una función vectorial. Consideremos el flujo total a través de la superficie
S
Φ =
∫
S
~F · d~a .
da
S
V
F
V1
V2
S 1 incluye D
S 2 incluye D
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D
Si dividimos V en dos partes, diagrama de la derecha, el flujo es el mismo
Φ =
∫
S1
~F · d~a+
∫
S2
~F · d~a ,
ya que los flujos sobre D se anulan.
2.8. TEOREMA DE GAUSS Y FORMA DIFERENCIAL DE LA LEY DE GAUSS. 49
Podemos dividir V sucesivamente hasta tener V1, V2, . . . , VN con superficies S1, S2, . . . , SN ,
podemos afirmar
Φ =
∫
S
~F · d~a =
N∑
i=1
∫
Si
~F · d~ai .
Si consideramos el ĺı mite N →∞ las integrales
∫
Si
~F · d~ai → 0. Es decir, se hacen cada vez
más pequeñas, al igual que cada Vi, a medida que N crece. Pero si consideramos la razón
entre ambas magnitudes ∫
Si
~F · d~ai
Vi
,
encontramos que tiene un ĺı mite cuandoN →∞. Este ĺı mite es una propiedad caracteŕı stica
de la función vectorial (campo vectorial) ~F en esa región.
Llamaremos divergencia de ~F a esta propiedad:
div ~F (x, y, z) = ~∇ · ~F ≡ ĺım
V→0
1
V
∫
S
~F · d~a (2.30)
donde V es un volumen que incluye al punto (x, y, z) y S es la superficie donde se extiende la
integral, además es la superficie de V . La condición de que el ĺı mite exista y sea independiente
del método de subdivisión, lo estamos dando por supuesto.
La div ~F corresponde al flujo saliente de V por unidad de volumen en el ĺı mite en que V
es infinitesimal. Es una magnitud escalar, que depende de la posición y puede variar de un
lugar a otro.
2.8. Teorema de Gauss y forma diferencial de la ley de
Gauss.
Consideremos un volumen V cuya superficie es S. Hagamos una partición en N subvo-
lumenes Vi cuya superficie es Si escribamos el flujo total a través de S en función de la
partición.
Φ =
∫
S
~F · d~a =
N∑
i=1
∫
Si
~F · d~ai =
N∑
i=1
Vi
[∫
Si
~F · d~ai
Vi
]
.
En el ĺı mite que N →∞ y Vi → 0, tenemos∫
S
~F · d~a =
∫
V
div ~F dv (2.31)
Este resultado es conocido como teorema de Gauss o teorema de la divergencia. Se
cumple para todo campo vectorial para el cual existan los ĺı mites involucrados.
Apliquemos el teorema de la divergencia al campo eléctrico∫
S
~E · d~a =
∫
V
div ~E dv . (2.32)
50 CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELÉCTRICO.
Recordemos la Ley de Gauss que satisfaćı a el campo eléctrico sobre el mismo volumen y
superficie ∫
S
~E · d~a = 4π
∫
V
ρ dv . (2.33)
Como ambas ecuaciones se cumplen para cualquier volumen
div ~E = ~∇ · ~E = 4πρ (2.34)
Esta última ecuación es conocida como la forma diferencial de la ley de Gauss y
corresponde a la primera ecuación de Maxwell.
2.9. La divergencia en coordenadas cartesianas.
Veamos la forma que tiene el operador divergencia en coordenadas cartesianas
div ~F = ~∇ · ~F = ∂Fx
∂x
+
∂Fy
∂y
+
∂Fz
∂z
(2.35)
La divergencia es un escalar y en coordenadas cartesianas corresponde al producto escalar
entre el operador vectorial ~∇ y el campo vectorial. Si div ~F > 0 el flujo es saliente. Si div ~F < 0
el flujo es entrante.
Consideremos un cilindro infinito de radio a, cargado con densidad uniforme ρ.
yx
z
a
ρ
Usando la ley de Gauss podemos encontrar el campo en todo el espacio,
E(r) =

2πρa2
r
r > a
2πρr r < a
2.9. LA DIVERGENCIA EN COORDENADAS CARTESIANAS. 51
Proyectemos el campo en coordenadas cartesianas
Ex(r) =
x
r
E =
2πρa2x
x2 + y2
r > a
= 2πρx r < a
Ey(r) =
y
r
E =
2πρa2y
x2 + y2
r > a
= 2πρy r < a
Ez = 0
En el exterior de la carga ciĺı ndrica la div ~E
∂Ex
∂x
+
∂Ey
∂y
= 2πρa2
[
1
x2 + y2
− 2x
2
(x2 + y2)2
+
1
x2 + y2
− 2y
2
(x2 + y2)2
]
= 0 ,
dentro
∂Ex
∂x
+
∂Ey
∂y
= 2πρ(1 + 1) = 4πρ .
Contábamos con ambos resultados.
Fin clase IX.
52 CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELÉCTRICO.
2.9.1. El Laplaciano.
Tenemos
~E = − gradϕ = −~∇ϕ = −
(
x̂
∂ϕ
∂x
+ ŷ
∂ϕ
∂y
+ ẑ
∂ϕ
∂z
)
.
Por otra parte
div ~E = ~∇ · ~E = ∂Ex
∂x
+
∂Ey
∂y
+
∂Ez
∂z
.
Combinándolas
div ~E = − div gradϕ = −
(
∂2ϕ
∂x2
+
∂2ϕ
∂y2
+
∂2ϕ
∂z2
)
Definamos el operador Laplaciano
∇2 = ∂
2
∂x2
+
∂2
∂y2
+
∂2
∂z2
(2.36)
La notación ∇2 se explica como sigue:
~∇ = x̂ ∂
∂x
+ ŷ
∂
∂y
+ ẑ
∂
∂z
.
Si lo tratamos como un vector
~∇ · ~∇ = ∂
2
∂x2
+
∂2
∂y2
+
∂2
∂z2
.
El Laplaciano en coordenadas cartesianas. En otras coordenadas esto NO es cierto. En ge-
neral, el Laplaciano es
∇2 ≡ div (grad) (2.37)
2.9.2. La ecuación de Poisson.
Utilizando la definición del Laplaciano, y la forma diferencial de la ley de Gauss obtenemos
∇2ϕ = −4πρ (2.38)
Esta ecuación es conocida como la ecuación de Poisson. Esta escrita en coordenadas carte-
sianas
∂2ϕ
∂x2
+
∂2ϕ
∂y2
+
∂2ϕ
∂z2
= −4πρ (2.39)
Esta es la forma no homogénea de la ecuación y corresponde al caso en que hay presencia
de densidad de carga.
2.10. LA ECUACIÓN DE LAPLACE. 53
2.10. La ecuación de Laplace.
Donde quiera que la densidad sea nula, i.e. ρ = 0, el potencial eléctrico satisfacen la
ecuación homogénea, conocida como la ecuación de Laplace
∇2ϕ = ∂
2ϕ
∂x2
+
∂2ϕ
∂y2
+
∂2ϕ
∂z2
= 0 (2.40)
Esta ecuación la encontramos en muchas ramas de la F́ı sica. Las funciones que satisfacen
la ecuación de Laplace se conocen como armónicas.
2.10.1. Propiedades de las funciones armónicas.
Si ϕ(x, y, z) es armónica, es decir, solución de la ecuación de Laplace, entonces el valor
medio de ϕ sobre la superficie de una esfera cualesquiera (NO necesariamente pequeña) es
igual al valor de en el centro.
Demostración: En el caso de un potencial eléctrico en regiones sin carga. El trabajo
para traer Q distribuida sobre una esfera en presencia de q seŕı a: Q veces el valor medio
sobre la esfera del potencial debido a q.
q
Q distribuída
sobre la esfera
Pero sabemos que este trabajo seŕı a el mismo que si hubiésemos tenido primero la carga
de prueba y luego traemos a q desde el infinito. En este caso el trabajo seŕı a el mismo que
si Q estuviera en el centro de la esfera en lugar de estar distribuida sobre la superficie.
Si hay más fuentes usamos el principio de superposición tal de incluir todos los manan-
tiales.
2.10.2. Equilibrio estable.
Lo anterior está estrechamente relacionado con el teorema de imposibilidad de equilibrio
estable en un campo electroestático.
Supongamos que tenemos un campo en que existe un punto P en el cual una part́ı cula
cargada estuviese en equilibrio estable. Esto implica que cualquier desplazamiento pequeño
a partir de P debe llevarla a un lugar donde actúe un campo que empuje hacia P . Pero lo
anterior significa que una pequeña esfera alrededor de P debe estar dirigido hacia el interior
en todos los puntos de la superficie. Lo anterior contradice la Ley de Gauss, ya que no hay
carga negativa dentro de la región.
En otras palabras, no se puede tener una región vaćı a donde el campo eléctrico esté di-
rigido todo hacia el interior o todo hacia el exterior y esto es es necesario para un equilibro
estable considerando ambos signos de la carga.
54 CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELÉCTRICO.
Para expresar lo anterior en función del potencial una posición establedebe ser tal que
ϕ sea menor que el de todos los puntos próximos (si la carga es positiva) o mayor (si es
negativa).
Evidentemente ninguno de los dos es posible para una función cuyo valor medio sobre la
esfera es igual al valor en el centro. Es posible atrapar y mantener estable una carga con un
campo eléctrico tiempo dependiente.
2.11. Rotacional de una función vectorial.
Desarrollamos el concepto de divergencia, una propiedad local de un campo vectorial,
partiendo de la integral de superficie sobre una superficie cerrada. En el mismo esṕı ritu
consideremos la integral de ĺı nea de un cierto campo vectorial ~F (x, y, z) sobre un camino
cerrado C el cual es el contorno de una superficie S (La curva podŕı a no estar contenida en
el plano). Definimos la circulación como
Γ =
∮
C
~F · d~s. (2.41)
ds
F
C C1 C2
B
Dividamos el circuito en dos, claramente la circulación inicial es la misma que la suma de
las circulaciones a través de ambos circuitos, debido a que el tramo B se cancela entre ambos
circuitos.
Γ =
∮
C
~F · d~s =
∮
C1
~F · d~s+
∮
C2
~F · d~s ,
Si consideramos una partición en N circuitos Ci cada uno con circulación Γi y área
delimitada ai y normal n̂i podemos escribir
Γ =
N∑
i=1
Γi =
∮
C
~F · d~s =
N∑
i=1
∮
Ci
~F · d~s .
Definamos una cantidad cuyo ĺı mite exista y sea independiente de la partición
ĺım
ai→0
Γi
ai
= ĺım
ai→0
∮
Ci
~F · d~s
ai
n
ai
i
2.12. TEOREMA DE STOKES. 55
Asociamos a cada superficie ai su vector normal n̂i mediante la regla de la mano derecha
para su sentido. De esta manera nuestro ĺı mite lo interpretamos como una magnitud vectorial,
que llamaremos rotor de ~F , en la dirección de n̂i.
(rot ~F ) · n̂i = ĺım
ai→0
Γi
ai
= ĺım
ai→0
∮
Ci
~F · d~s
ai
(2.42)
2.12. Teorema de Stokes.
Consideremos una partición de un circuito C en N circuitos Ci con circulación Γi, área ai
y normal n̂i. Escribamos la circulación total sobre C como una suma de las circulaciones Γi
Γ =
∮
C
~F · d~s = ĺım
N→∞
N∑
i=1
Γi
= ĺım
N→∞,ai→0
N∑
i=1
ai
[
Γ
ai
]
= ĺım
N→∞,ai→0
N∑
i=1
ai rot ~F · n̂i =
∫
S
d~a · rot ~F .
Aśı podemos resumir el anterior resultado en lo que se conoce como el Teorema de Stokes.∮
C
~F · d~s =
∫
S
rot ~F · d~a (2.43)
2.13. Rotacional en coordenadas cartesianas.
Sea ~F = ~F (x, y, z) entonces
rot ~F = x̂
[
∂Fz
∂y
− ∂Fy
∂z
]
+ ŷ
[
∂Fx
∂z
− ∂Fz
∂x
]
+ ẑ
[
∂Fy
∂x
− ∂Fx
∂y
]
. (2.44)
También lo podemos escribir en coordenadas cartesianas como el determinante siguiente
rot ~F =
∣∣∣∣∣∣
x̂ ŷ ẑ
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
Fx Fy Fz
∣∣∣∣∣∣ (2.45)
Si consideramos al operador nabla como
~∇ = x̂ ∂
∂x
+ ŷ
∂
∂y
+ ẑ
∂
∂z
,
podemos escribir el rot ~F en coordenadas cartesianas como
rot ~F = ~∇× ~F (2.46)
56 CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELÉCTRICO.
2.14. Significado f́ısico del rotacional.
Un campo con rotacional distinta de cero tiene circulación o turbulencia.
Supongamos un campo de velocidades ~G y tal que rot ~G 6= 0. Entonces las velocidades en
este campo tiene superpuestas©<· o©
<
· superpuesto a la circulación general en una dirección.
Por ejemplo: el campo de velocidades del agua al vaciar una bañera adquiere circulación, de
hecho lo que flota gira mientras avanza.
Un “Rotacionalimetro” imaginario para el campo eléctrico.
q
q
q
q
Como funcionaŕı a este dispositivo:
Si rot ~E 6= 0 el aparato tendeŕı a a girar, un resorte podŕı a usarse para frenar la
rotación y aśı el valor de la torsión será proporcional al rot ~E.
Si podemos hallar la dirección del eje para la cual el torque (en sentido horario) es
máximo, ésta es la dirección del vector rot ~E.
¿Qué podemos decir para el campo electroestático ~E? El “rotacionalimetro” siempre
marcaŕı a cero. Esto se deduce a partir que
∮
~E · d~s = 0, si el camino es cerrado y por el
Teorema de Stokes
rot ~E = 0 (2.47)
en todos los puntos. Esta condición es suficiente para que el campo sea “conservativo”, es
decir, para que pueda escribirse como gradiente de una función escalar (el potencial).
2.14. SIGNIFICADO FÍSICO DEL ROTACIONAL. 57
2.14.1. Ejemplo.
Recordemos el campo
~E = Kyx̂+Kxŷ . (2.48)
Calculemos las componentes del rotor de ~E
(rotE)x =
[
∂Ez
∂y
− ∂Ey
∂z
]
= 0
(rotE)y =
[
∂Ex
∂z
− ∂Ez
∂x
]
= 0
(rotE)z =
[
∂Ey
∂x
− ∂Ex
∂y
]
= K −K = 0 .
Esto nos dice que este campo (2.43) es el gradiente de un potencial escalar. Este campo
casualmente tiene también divergencia nula
div ~E =
[
∂Ex
∂x
+
∂Ey
∂y
+
∂Ez
∂z
]
= 0 .
Por lo tanto, representa un campo electroestático en una región libre de carga. Si definimos
un campo
~F = Kyx̂−Kxŷ
luego
(rotF )z = −2K
no podŕı a ser un campo electroestático.
Fin clase X.
58 CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELÉCTRICO.
Caṕıtulo 3
Campo eléctrico en conductores
Conductores y aisladores.
Conductores en el campo electroestático.
Problema electroestático general: Teorema de unicidad.
Algunos sistemas simples de conductores.
Condensadores y capacidad.
Potenciales y cargas en varios condensadores.
Enerǵı a almacenada en un condensador.
Otros puntos de vista de los problemas de contorno.
3.1. Conductores y aisladores.
Dos tipos de materiales: Conductores y aisladores.
Los conductores: son materiales en los que las cargas eléctricas se mueven con bastante
libertad. Los buenos conductores son t́ı picamente metales.
Los aisladores: son materiales en que las cargas se mueven con mucha dificultad. El vidrio,
el caucho y los plásticos son buenos aisladores.
Los conductores difieren de los aisladores en su conductividad del orden de 1020.
Diferencia entre un conductor y un aislador es tan grande como entre un sólido y un
ĺı quido. Ambas propiedades dependen de la movilidad de las part́ı culas. En un caso los
portadores de carga y en otro caso los átomos mismos. Sustancias con fluidez entre el ĺı quido
y el sólido, (en electricidad son los semiconductores).
Los semiconductores: son una tercera clase de materiales. Sus propiedades eléctricas se
encuentran entre las de los aisladores y las de los conductores. El Silicio y el Germanio son
ejemplos bien conocidos de semiconductores utilizados comúnmente en electrónica actual.
Las propiedades eléctricas de los semiconductores pueden cambiarse en varios ordenes de
magnitud añadiendo a los materiales pequeñas cantidades de otros elementos (dopaje).
59
60 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉCTRICO EN CONDUCTORES
3.2. Conductores en el campo electroestático.
Estudiemos sistemas en que intervienen conductores. Nos interesa el estado estacionario,
es decir, cuando ya se han producido todas las redistribuciones de carga en el conductor.
Todos los aisladores presentes los supondremos perfectos.
Cuando la carga se ha reacomodado: ¿Qué podemos decir sobre el campo eléctrico dentro
de la materia conductora?.
El campo es NULO, de no ser aśı los portadores de carga sentiŕı an una fuerza y se
moveŕı an, luego, la situación no seŕı a estacionaria. (en ausencia de ~f externas)
Nos estamos refiriendo al campo medio promediado en una región grande comparada con
los detalles de la estructura atómica.
El potencial es el mismo en todo el conductor. La superficie del conductor es una equipo-
tencial del campo.
E=0
No conductor
neutro
Portadores de
carga moviles
Conductor con
reordenamiento
de carga
Consideremos un sistema de conductores cargados.
ϕ1
ϕ3
ϕ2Q 1
Q 2
Q 3
El conductor k-ésimo tiene una carga Qk.
El conductor k-ésimo puede caracterizarse por un valor de ϕk.
Elegimos ϕ = 0 en infinito.
Debido a que la superficie de los conductores debe ser equipotenciales y ~E = −~∇ϕ, el
campo eléctrico debe ser perpendicular a las superficies en todos los puntos de la misma.
Existe una discontinuidad del campo en la superficie:
3.3. PROBLEMA ELECTROESTÁTICO GENERAL: TEOREMA DE UNICIDAD. 61
~E = 0 adentro
~E 6= 0 afuera
}
=⇒ Densidad de carga
en la superficie σ
Aplicamos la Ley de Gauss
� � � � � �
� � � � � �
� � � � � �
� � � � � �
� � � � � �
� � � � � �
� � � � � �
� �� � � �
� � � � � �
� � � � � �
� � � � � �
� � � � � �
� � � � � �
� � � � � �
� � � � � �
� � � � � �
� � � � � �
� � � � � �
� � � � � �
� � � � � �
� � � � � �
� � � � � �
� � � � � �
� � � � � �
� � � � � �
� � � � � �
� � � � � �
� � � � �
� � � � �
� � � � �
� � � � �
� � � � �
� � � � �
� � � � �
� � � � �
� � � � �
� � � � �
� � � � �
� � � � �
� � � � �
� � � � �
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A
C
on
du
ct
or
Caja
∫
~E · d~a = 4πσA
EnA+ 0A = 4πσA
En = 4πσ
la componente normal del campo. La carga superficial debe dar cuenta de las carga total Qk,
es decir, la integral de σ sobre toda la superficie debe dar cuenta de Qk
En general para un sistema de conductores
ϕ = ϕk en todos los puntos de la superficie del conductor k-ésimo.
En todo punto exterior junto al conductor, ~E es perpendicular a la superficie, el módulo
es E = 4πσ donde σ es la densidad local de carga superficial
Qk =
∫
Sk
σda =
1
4π
∫
Sk
~E · d~a (3.1)
No hay que pensar σ como la fuente de ~E. El campo total es debido a todas las cargas
del sistema, próximas y lejanas, de las cuales la carga superficial es sólo una parte. La carga
superficial está obligada a un reajuste propio hasta que cumpla E = 4πσ
3.3. Problema electroestático general: Teorema de uni-
cidad.
Podemos plantear el problema desde el punto de vista del potencial ϕ, pues si hallamos ϕ
podemos deducir ~E. En cualquier punto (x, y, z), exterior a los conductores, ϕ debe satisfacer
la ecuación de Laplace
∇2ϕ = 0 , ∂
2ϕ
∂x2
+
∂2ϕ
∂y2
+
∂2ϕ
∂z2
= 0 (3.2)
62 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉCTRICO EN CONDUCTORES
El problema es hallar un ϕ que satisfaga (3.2) y también las condiciones especificadas en
las superficie de los conductores. Las condiciones pueden ser establecidas de diferentes formas
Los potenciales ϕk son fijados.
Pueden fijarse las cargas Qk.
En un sistema real los potenciales pueden fijarse mediante conexiones permanentes a
bateŕı as a ϕ cte. Entonces ϕ(x, y, z) debe tomar el valor correcto en todos los puntos de
cada una de las superficies.
3.3.1. Condiciones de borde.
Estas superficies en su totalidad limitan la región en la cual está definida ϕ, si incluimos
una superficie grande (en el infinito, por ejemplo) donde se exige que ϕ tienda a cero. Tenemos
un caso de condiciones de borde tipo Dirichlet, (Dirichlet boundary condition).
Por otra parte podemos especificar las Qk (no además los ϕk esto sobre-determinaŕı a el
problema), con las cargas dadas tenemos fijado el valor de gradϕ sobre la superficie de cada
conductor. Tenemos un caso de condiciones de borde tipo Neumann, (Neumann boundary
condition).
Los dos casos son distintos desde el punto de vista matemático. Además, podemos com-
binar los dos tipos de condiciones del contorno. Condiciones de borde mixta.
Un problema general de interés es éste: con las condiciones de contorno dadas de alguna
manera, el problema: tiene o no solución, tiene una solución o tiene más de una solución.
3.3.2. Unicidad.
No se intenta responder la pregunta de todas las formas que puede presentarse, pero un
caso importante puede ser ilustrativo.
Supongamos que se ha fijado el potencial ϕk de cada conductor, junto con la condición
de que ϕ tienda a cero a distancia infinita.
Demostremos que tiene solución única.
Como problema f́ı sico es evidente que tiene una solución. Desde el punto de vista
matemático supondremos que existe una solución ϕ(x, y, z) y demostraremos que es
única.
Supongamos que existe otra función ψ(x, y, z) que es también solución de la ecuación
de Laplace y satisface las condiciones de contorno.
La ecuación de Laplace es lineal, es decir, si ϕ y ψ la satisfacen c1ϕ + c2ψ también lo
es. En particular
W (x, y, z) = ϕ(x, y, z)− ψ(x, y, z) .
3.3. PROBLEMA ELECTROESTÁTICO GENERAL: TEOREMA DE UNICIDAD. 63
Por supuesto W no satisface las condiciones de contorno, de hecho en cada superficie
W = 0 porque ϕ y ψ tienen el mismo valor ϕk sobre cada Sk. Aśı que W es solución de
otro problema electroestático, uno con los mismos conductores mantenidos a potencial
cero.
Podemos afirmar que W es nula en todo el espacio pues si no lo fuera debe existir un
máximo o un mı́ nimo en alguna parte recordemos que W = 0 en infinito.
Si W tiene un extremo en cierto punto p, consideremos una esfera centrada en p. Como
ya vimos en el caṕı tulo anterior una función que satisface la ecuación de Laplace su
valor medio es igual a su valor en el centro.
W no tiene máximos ni mı́ nimos, entonces ϕ = ψ, es decir, solamente puede existir
una solución que satisfaga las condiciones de borde prescritas.
Ahora podemos demostrar otro hecho notable. En el espacio interior a un conductor hueco
de cualquier forma, si asimismo este espacio está libre de cargas, el campo eléctrico es nulo.
Esto es cierto cualquiera sea el campo exterior.
E=0
El potencial ϕ dentro de la caja debe satisfacer Laplace el contorno está a ϕ = ϕ0, luego la
solución es ϕ = ϕ0 en todo el volumen. ~E = −~∇ϕ = 0 en todo el volumen, ya que ϕ = cte.
Apantallamiento, parece sorprendente el reacomodo “inteligente” de carga, tal de anular ~E
en el interior.
Fin clase XI.
64 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉCTRICO EN CONDUCTORES
3.4. Algunos sistemas simples de conductores.
3.4.1. Esferas conductoras.
Dos esferas metálicas concéntricas de radios R1 y R2 que contienen cargas totales Q1 y
Q2.
R1
Q2Q1
R2
El potencial en la esfera exterior es ϕe =
Q1 +Q2
R1
. El potencial en la esfera interior es
ϕi =
Q1
R1
+
Q2
R2
.
Si las dos esferas contienen la misma cantidad de carga pero de signos contrarios Q1 =
−Q2, el campo eléctrico es distinto de cero solamente en el espacio entre ellas.
3.4.2. Carga cerca de un plano conductor.
El sistema, más simple, en el cual queda en evidencia la movilidad de las cargas en un
conductor, es la una carga puntual próxima a un conductor plano.
Q
h
x
y
z
ϕ=0
¿Qué tipo de campo y qué distribución de carga debemos esperar?
3.4. ALGUNOS SISTEMAS SIMPLES DE CONDUCTORES. 65
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� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
Q
Conductor
3.4.3. Método de imagen.
Consideremos un sistema de dos cargas puntuales equidistantes del plano x− y. Sobre el
plano el potencial es cero. Calculemos el campo
ϕ=0 el plano
z
h
rA A
−Q
Q
h
Carga imagen
θ
Evaluemos el campo sobre el plano sumando la contribución de la carga y de la carga
imagen:
~E =
Q
r2 + h2
cos θ(−ẑ) + −Q
r2 + h2
cos θ(ẑ)
=
−2Q
r2 + h2
h
(r2 + h2)1/2
ẑ
Luego la componente z del campo
Ez =
−2Qh
(r2 + h2)3/2
(3.3)
La densidad superficial de carga σ
σ =
Ez
4π
=
−Qh
2π(r2 + h2)3/2
(3.4)
66 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉCTRICO EN CONDUCTORES
La carga superficial total qT debe valer −Q. Como comprobación podŕı amos integrar para
toda la superficie y ver que ocurre.
qT =
∫ 2π
0
∫ ∞
0
σ rdrdφ = 2π
∫ ∞
0
−Qhr
2π(r2 + h2)3/2
dr
=
∫ ∞
0
−Qhr dr
(r2 + h2)3/2
= −Qh
[
−1
(r2 + h2)1/2
]∞
0
= −Qh
[
−1
∞
− −1
h
]
= −Q
El método de imagen podŕı a llamarse “ajuste del contorno de la solución”.
3.5. Condensadores y capacidad.
Consideremos un sistema de dos placas planas conductoras cargadas separadas por una
distancia s
ϕ
1
ϕ
2
Aárea
Carga Q
Carga −Q
s
Sea A el área de cada placa y supongamos que una placa contiene la carga Q y la otra
−Q. Los potenciales en cada una de las placas son ϕ1 y ϕ2. Excepto en los bordes el campo
es casi uniforme en la región entre las placas.
Líneas de fuerza
Si consideramos uniforme el valor del campo tenemos
ϕ1 − ϕ2 = −
∫ 1
2
~E · d~s = E
∫ 1
2
ds = Es .
Podemos escribir el campo como
E =
ϕ1 − ϕ2
s
(3.5)
3.5.CONDENSADORES Y CAPACIDAD. 67
La densidad de carga superficial de la superficie interior de las placas es
σ =
E
4π
=
ϕ1 − ϕ2
4πs
(3.6)
Si despreciamos la variación real de ~E y de σ en los bordes de al placa, podemos escribir
una expresión simple para la carga total en la placa
Q =
A(ϕ1 − ϕ2)
4πs
(3.7)
despreciando efectos de borde
La ecuación (3.7) será más precisa cuanto menor sea la relación entre s y las dimensiones
laterales de la placa.
ϕ1
ϕ2
R
s
Consideremos una expresión que incluye un factor de corrección f .
Q =
A(ϕ1 − ϕ2)
4πs
· f (3.8)
Veamos para diferentes razones entre s/R cuanto vale f
s/R f
0.20 1.286
0.10 1.167
0.05 1.094
0.02 1.042
0.01 1.023
Nuestro sistema es un ejemplo del sistema eléctrico conocido como condensador. Un con-
densador es simplemente dos conductores próximos a diferentes potenciales y que contiene
cargas distintas.
3.5.1. Capacidad.
Nos interesa la relación entre la carga Q de una de las placas y la diferencia de potencial
entre ellas. Definimos capacidad C como la razón entre la carga y la diferencia de potencial
Q = C(ϕ1 − ϕ2) −→ C =
Q
(ϕ1 − ϕ2)
(3.9)
68 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉCTRICO EN CONDUCTORES
para nuestro particular sistema, ecuación (3.7)
C =
A
4πs
[cm2]
[cm]
(3.10)
Depende sólo de aspectos geométricos del sistema. La unidad de capacitancia en CGS es
el [cm]. Cuando uno se enfrenta a circuitos no usa estas unidades sino las del sistema práctico.
Usando unidades MKS tenemos para la capacidad,
C =
Q
∆ϕ
[coulomb]
[volts]
= [farad] (3.11)
1[farad] =
[coulomb]
[volts]
=
3× 109
1/300
[ues]
[statvolt]
= 9× 1011 [ues]
[statvolt]
1[farad] = 9× 1011[cm]
Un condensador de 1 [farad] seŕı a gigantesco: dos placas separadas 1 [mm] debeŕı an
tener una área de 100 [km2]. Lo usual es [µF ].
Todo par de conductores, prescindiendo de la forma y disposición, pueden considerarse
un condensador.
ϕ1
Q2
(i)
Q1
Q2
(e)
ϕ2 S
Luego Q
(i)
2 = −Q1, ya que el flujo es nulo sobre al superficie S. El campo es nulo en el
interior de un conductor. Es decir, Q
(e)
2 no interviene.
C =
Q
ϕ1 − ϕ2
Fin clase XII.
3.6. POTENCIALES Y CARGAS EN VARIOS CONDENSADORES. 69
3.6. Potenciales y cargas en varios condensadores.
Estudiemos la relación entre las cargas y los potenciales de un cierto número de conduc-
tores. Para fijar ideas consideremos 3 conductores separados rodeados todos por una capa
conductora.
ϕ=0
2ϕ
1ϕ
3ϕ
Los potenciales en los tres conductores son ϕ1, ϕ2 y ϕ3. El teorema de unicidad garantiza
que dados ϕ1, ϕ2 y ϕ3 el campo eléctrico está determinado en todo el sistema Se deduce que
las cargas Q1, Q2 y Q3 en los conductores están asimismo determinados uńı vocamente. La
carga en la superficie interna de la capa que rodea es −(Q1 +Q2 +Q3).
ϕ=0
2ϕ
1ϕ
3ϕ
Q1 Q2 Q3+ +( )_
Los potenciales ϕ2 = ϕ3 = 0
ϕ=0
1ϕ
2ϕ =0
3ϕ =0
Los valores para las cargas
Q1 = C11ϕ1 , Q2 = C21ϕ1 , Q3 = C31ϕ1 . (3.12)
Las constantes sólo dependen de la forma y disposición de los conductores.
Los potenciales ϕ1 = ϕ3 = 0
70 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉCTRICO EN CONDUCTORES
ϕ=0
3ϕ =0
1ϕ =0
2ϕ
Los valores para las cargas
Q1 = C12ϕ2 , Q2 = C22ϕ2 , Q3 = C32ϕ2 . (3.13)
Las constantes sólo dependen de la forma y disposición de los conductores.
Los potenciales ϕ1 = ϕ2 = 0
ϕ=0
1ϕ =0
3ϕ
2ϕ =0
Los valores para las cargas
Q1 = C13ϕ3 , Q2 = C23ϕ3 , Q3 = C33ϕ3 . (3.14)
Las constantes sólo dependen de la forma y disposición de los conductores.
La superposición de los tres estados posibles donde ni ϕ1, ni ϕ2 ni ϕ3 son necesariamente
nulos.
La expresión que relaciona las cargas y los potenciales se obtiene sumando las ecuaciones
(3.12), (3.13) y (3.14) tenemos
Q1 = C11ϕ1 + C12ϕ2 + C13ϕ3
Q2 = C21ϕ1 + C22ϕ2 + C23ϕ3 (3.15)
Q3 = C31ϕ1 + C32ϕ2 + C33ϕ3
Sólo se necesitan seis de las nueve constantes ya que C12 = C21, C13 = C31 y C23 = C32.
Esto NO es evidente y puede probarse por conservación de enerǵı a. Las constantes Cij de
la ecuación (3.15) se les conoce como coeficientes de capacidad.
Puede resolverse el sistema para hallar los ϕi en función de las Qj.
3.7. ENERGÍ A ALMACENADA EN UN CONDENSADOR. 71
ϕ1 = P11Q1 + P12Q2 + P13Q3
ϕ2 = P21Q1 + P22Q2 + P23Q3 (3.16)
ϕ3 = P31Q1 + P32Q2 + P33Q3
Los Pij se le conocen como coeficientes de potencial y pueden calcularse a partir de los Cij.
También se puede escribir la ecuación en forma matricialϕ1ϕ2
ϕ3
 =
P11 P12 P13P21 P22 P23
P31 P32 P33
Q1Q2
Q3

Donde P̌ es un tensor simétrico.
3.7. Enerǵı a almacenada en un condensador.
Consideremos un condensador de capacidad C con una diferencia de potencial ϕ12 entre
las placas. La carga Q es igual a Cϕ12. Hay carga Q en una placa y −Q en la otra.
Supongamos que aumentamos la carga de Q a Q+ dQ transportando una carga positiva
dQ de la placa negativa a la positiva contra la diferencia de potencial ϕ12.
dW = ϕ12dQ =
QdQ
C
.
Para cargar un condensador partiendo del estado descargado a un estado con carga Qf
W =
1
C
∫ Q=Qf
Q=0
QdQ =
Q2f
2C
. (3.17)
Usando que Q = Cϕ la enerǵı a U almacenada en el condensador es
U =
Q2
2C
=
1
2
Cϕ212 (3.18)
Para el condensador de placas planas con área A y separación entre las placas s tenemos que
C =
A
4πs
, E =
ϕ12
s
.
Luego
U =
1
2
Cϕ212 =
1
2
(
A
4πs
)
(Es)2
=
E2
8π
As =
E2
8π
volumen
Fin clase XIII.
72 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉCTRICO EN CONDUCTORES
3.8. Otros puntos de vista de los problemas de contor-
no.
Existen algunos métodos generales para tratar los problemas de contorno. Nosotros con-
sideraremos tres métodos distintos para atacar este problema:
Representación conforme. Método anaĺı tico en dos dimensiones.
Métodos de relajación. Un tipo de método numérico.
Método de mı́ nima enerǵı a. Un método variacional.
Estos no son los únicos métodos de solución, tanto anaĺı ticos como numéricos, por ejemplo:
expansión en funciones ortogonales y diferencia finita respectivamente.
3.8.1. Mapeo conforme.
Este método esta basado en la teoŕı a de funciones complejas. Lamentablemente sólo es
aplicable a dos dimensiones, es decir, ϕ(x, y) en ese caso la ecuación de Laplace se reduce a
∂2ϕ
∂x2
+
∂2ϕ
∂y2
= 0 . (3.19)
Hay sistemas que pueden ser reducido a dos dimensiones, por ejemplo, los sistemas ciĺı ndricos
en los cuales no hay variación en el eje z o sistemas rectangulares como planos infinitos a
diferente potencial. Tanto la parte real como la parte imaginaria de cualquier función anaĺı tica
en el plano complejo son armónicas. Una aplicación f es conforme si mantiene los ángulos
orientados. Es decir, si dos curvas C1, C2 formaban un ángulo φ1 en el punto z entonces
sus respectivas imágenes bajo f , digamos C ′1 y C
′
2 forman el mismo ángulo en z
′. La idea es
encontrar una aplicación conforme que me permita transformar las condiciones de borde a
unas más fáciles para resolver el problema.
3.8.2. Método de relajación.
Es un tipo de método numérico para encontrar en forma aproximada el potencial elec-
troestático con ciertos valores de contorno dados. El método es simple y casi universalmente
aplicable y está basado en el hecho de que todas las funciones armónicas en un punto son
iguales al valor medio en las proximidades del punto. En este método se discretiza el espacio
ϕ(~xi) y todos los valores (salvo el contorno) se ajustan tal que cumplan con el promedio de
los valores vecinos. Repetimos este proceso hasta que los cambios sean despreciables (o tan
pequeños como se quiera teniendo en cuenta la precisión numérica).
3.8.3. Método de mı́ nima enerǵı a.
Si consideramos la enerǵı a del sistema como un funcional del potencial:
U =
1
8π
∫ ∣∣∣ ~∇ϕ ∣∣∣2 dv (3.20)
3.8. OTROS PUNTOS DE VISTA DE LOS PROBLEMAS DE CONTORNO. 73
Enunciado como principio variacional: el funcional de la enerǵı a será mı́ nimo cuando ϕ sea
la solución al problema f́ı sico. Entre más se aproximan la función de prueba a la solución del
problema menor será U . Luego podemoselegir una familia paramétrica de funciones de prueba
y variar los parámetros hasta encontrar el mı́ nimo. Si la familia de prueba elegida incluye
entre sus miembros la solución del problema f́ı sico, cuando minimicemos la encontraremos.
3.8.4. Ejemplo de mapeo conforme.
Consideremos el siguiente problema en el plano con las condiciones de contorno especifi-
cadas.
Voϕ= ϕ=0
Aislador
x
y
Escribimos un punto x, y en el plano por un complejo z = x + iy o bien en su forma polar
z = reiθ. Usamos el mapeo conforme
w = u+ iv = Log z = Log reiθ = Log r + iθ .
Entonces el problema se mapea en
ϕ=0
Voϕ=
Voϕ= ϕ=0
Aislador
x
y
w= Log z
z w
u
v
π
La primera semi-recta θ = 0 −→ v = 0. La segunda semi-recta θ = π −→ v = π.
La solución en el plano w es ϕ(u, v) =
Vo
π
v =
Vo
π
θ, con 0 ≤ θ ≤ π. En términos de las
coordenadas cartesianas
ϕ(x, y) =
Vo
π
arctan
y
x
.
3.8.5. Relajación
Consideremos el siguiente problema
74 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉCTRICO EN CONDUCTORES
ϕ=0 ϕ=10
x=10x=0
Con solución
ϕ(x) = x .
La solución numérica, en la primera columna el número de iteraciones y en las siguientes los
valores del potencial ϕ(x) para x = 0, 1, 2, 3, . . . , 9, 10.
0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 5.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00
10 0.00 0.81 1.61 2.69 3.76 5.00 6.24 7.31 8.39 9.19 10.00
20 0.00 0.98 1.95 2.96 3.97 5.00 6.03 7.04 8.05 9.02 10.00
30 0.00 0.99 1.99 2.99 4.00 5.00 6.00 7.00 8.01 9.00 10.00
40 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00
 0
 2
 4
 6
 8
 10
 0 2 4 6 8 10
"phi-00.txt"
x
 0
 2
 4
 6
 8
 10
 0 2 4 6 8 10
"phi-10.txt"
x
 0
 2
 4
 6
 8
 10
 0 2 4 6 8 10
"phi-20.txt"
x
 0
 2
 4
 6
 8
 10
 0 2 4 6 8 10
"phi-30.txt"
x
3.8. OTROS PUNTOS DE VISTA DE LOS PROBLEMAS DE CONTORNO. 75
3.8.6. Variacional.
Consideremos el siguiente problema
Voϕ=0
x=0 x=d
ϕ=
Con solución
ϕ(x) = Vo
x
d
.
Consideremos la siguiente familia de funciones de prueba
ψ(x) = Vo
x2
d2
+ αx(x− d) .
Donde α es un parámetro. Las condiciones de borde son satisfechas ψ(0) = 0 y ψ(d) = Vo.
ψ(x) = Vo
x2
d2
+ αx2 − αdx
~∇ψ = ∂ψ
∂x
x̂ =
(
2Vo
x
d2
+ 2αx− αd
)
x̂∣∣∣ ~∇ψ ∣∣∣2 = 4(Vo
d2
+ α
)2
x2 − 4
(
Vo
d2
+ α
)
αdx+ α2d2
Luego en la funcional
U =
1
8π
∫ ∣∣∣ ~∇ψ ∣∣∣2 dv
U =
1
8π
∫ d
0
[
4
(
Vo
d2
+ α
)2
x2 − 4
(
Vo
d2
+ α
)
αdx+ α2d2
]
dx
=
1
8π
[
4
3
(
Vo
d2
+ α
)2
d3 − 2
(
Vo
d2
+ α
)
αd3 + α2d3
]
=
1
8π
[
4
3
V 2o
d
+
2
3
Vodα+
1
3
d3α2
]
Derivamos el funcional respecto al parámetro α e igualamos a cero.
∂U
∂α
=
1
8π
[
2
3
Vod+
2
3
d3α
]
= 0
Al resolver para α.
Vod+ d
3α = 0 =⇒ α = −Vo
d2
.
76 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉCTRICO EN CONDUCTORES
Al reemplazar en la solución
ψ(x) = Vo
x2
d2
+ αx(x− d)
= Vo
x2
d2
− Vo
x2
d2
+ Vo
xd
d2
= Vo
x
d
= ϕ(x) .
Fin clase XIV.
Caṕıtulo 4
Corriente eléctricas.
Lo que veremos en este caṕı tulo será:
Transporte de carga y densidad de corriente.
Corrientes estacionarias.
Conductividad eléctrica y ley de Ohm.
Un modelo para la conducción eléctrica.
Dónde falla la ley de Ohm.
Conductividad eléctrica de los metales.
Resistencia de los conductores.
Circuitos y elementos de circuitos.
Disipación de enerǵı a en la circulación de corriente.
Fuerza electromotriz y pilas voltaicas.
Corriente variables en condensadores y resistencia.
4.1. Transporte de carga y densidad de corriente.
Las corrientes eléctricas se deben al movimiento de los portadores de carga. La corriente
eléctrica en un hilo es la medida de la cantidad de carga que pasa por un punto del hilo por
unidad de tiempo. La unidad de corriente eléctrica en sistema CGS es [ues/s]. La unidad
de corriente eléctrica en sistema MKS es [Ampère]=[Coulomb/s]. La conversión entre ambas
unidades es:
1 [A] = 3× 109
[ues
s
]
= 6.2× 1018
[
e−
s
]
.
Por supuesto que lo que cuenta es el transporte de carga neta, es decir, con la debida
consideración de signo. El movimiento de un cuerpo neutro podŕı a decirse que supone el
77
78 CAPÍTULO 4. CORRIENTE ELÉCTRICAS.
transporte de gran cantidad de carga (∼ 105 Coulomb por gr. de materia), pero no hay
corriente debido a que se mueve exactamente el mismo número de part́ı culas elementales
positivas y negativas con la misma velocidad media.
4.1.1. Densidad de corriente.
Un tipo de corriente más general, o transporte de carga, supone portadores de carga que se
mueven en un volumen tridimensional. Para describirlo necesitamos el concepto de densidad
de corriente.
Consideremos un caso particular en el cual, en promedio hay η part́ı culas por cm3 mo-
viéndose con el mismo vector velocidad ~u y transportando la misma carga q.
Imaginemonos un pequeño rectángulo de área a, fijo con cierta orientación.
u
q
u
q
u
q
u
q u
q
u
q
u
q
u
q u
q
u
q
u
q a
¿Cuantas part́ı culas atraviesan el rectángulo en un intervalo ∆t?.
u
q
u
q
u
q
u
q
u
q
a
u
q
u
q
u
q
∆u t
∆u t cos θ
θ
Las part́ı culas fuera del prisma no alcanzan la ventana.
¿Cuántas part́ı culas hay en el prisma?
N =
(
Densidad de
part́ı culas
)
×
(
volumen
del prisma
)
N = ηu∆t cos θa = η∆t~u · ~a
4.2. CORRIENTES ESTACIONARIAS Y CONSERVACIÓN DE LA CARGA. 79
Calculemos la corriente I(a) a través de a,
I(a) =
qN
∆t
=
qη~u · ~a∆t
∆t
= ηq~u · ~a . (4.1)
Supongamos que tenemos distintas part́ı culas en el conjunto que difieren en la carga y
en el vector velocidad. Denotemos cada clase por el sub́ı ndice k, teniendo
I(a) = η1q1~a · ~u1 + η2q2~a · ~u2 + . . . = ~a ·
∑
k
ηkqk~uk . (4.2)
La magnitud vectorial que multiplica a ~a la llamamos la densidad de corriente.
~J =
∑
k
ηkqk~uk (4.3)
En sistema CGS la unidad para la densidad de corriente es [ues/s cm2] y en el sistema
MKS la unidad es [A/m2].
Consideremos la contribución a la densidad de corriente de los e−, los cuales pueden
estar presentes con distintas velocidades (casi al azar en un conductor). Sea Ne el número
total de electrones por unidad de volumen, considerando todas las velocidades. Evaluemos la
velocidad media
〈~u〉 = 1
Ne
∑
k
ηk~uk . (4.4)
Podemos escribir el aporte de los electrones a la densidad de corriente
~Je = eNe〈~u〉 qk = −e ∀k . (4.5)
La densidad de corriente depende de la velocidad media de los portadores. Al describir 〈~ue〉
un vector promedio; para una distribución isotrópica de velocidades, será nulo independiente
de cual fueran los módulos.
4.2. Corrientes estacionarias y conservación de la car-
ga.
La corriente transportada por un conductor largo como un hilo, por supuesto, es la integral
de la densidad de corriente ~J extendida a la sección recta del hilo. En realidad, la corriente
I que circula a través de cualquier superficie S es precisamente la integral de la superficie.
I =
∫
S
~J · d~a (4.6)
Donde I es el “flujo” asociado al vector ~J , en este caso el nombre es adecuado. Consi-
deremos el caso de corrientes estacionarias, es decir, cuando ~J permanece constante con el
tiempo en todo punto. Se debe satisfacer la conservación de la carga.
Consideremos una región del espacio limitada por una superficie cerrada S. La integral de
superficie de ~J extendida sobre S da la velocidad con que la carga sale del volumen encerrado.
80 CAPÍTULO 4. CORRIENTE ELÉCTRICAS.
u u
n1 n2
u n1Neq . u n2Neq .
q q
S
Las cargas que atraviesan no contribuyen a la
∫
~J · d~a. Ya que ~u · n̂1 = −~u · n̂2. Como no
se puede crear carga
No se puede dar
4.2.1. Divergencia de ~J.
Por lo tanto ∫
S
~J · d~a = 0 =⇒ div ~J = 0 , (4.7)
si las distribuciones de carga son independientes del tiempo.
Supongamos que la corriente NO es estacionaria ya que
∫
s
~J ·d~a es la velocidad instantánea
con que la carga total abandona el volumen cerrado, mientras que
∫
V (S)
ρdv es la carga en el
interior del volumen, en un instante cualquiera tenemos∫
S
~J · d~a = − d
dt
∫
V (S)
ρ dv . (4.8)
Usando el teorema de la divergencia
div ~J = −∂ρ
∂t
,
En el caso que las distribución de carga dependa