Taller 1 EDO

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UNIVERSIDAD DEL VALLE
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
Ecuaciones diferenciales ordinarias
1. Averigue si la siguiente función es solución de la ecuación diferencial correspondiente:
(a) y =
senx
3x
de xy′ + y = cosx; (b) y = 2x
√
1− x2 de yy′ = 4x− 8x3;
(c)
x = cos t
y = et
}
de y′ +
y√
1− x2
= 0; (d) y = e−x
2
∫ x
0
et
2
dt+ ce−x
2
de y′ + 2xy = 1.
2. Sustituye la función y = arc sen 2x en la ecuación diferencial y′ = 2 sec y para ver si la satisface.
3. Dada la ecuación diferencial, su solución general y las condiciones iniciales, determine el valor de las constantes
arbitrarias:
(a) y2y′ − 4x = 0, y3 = 6x2 + c, y
(
1
2
)
= 0;
(b) y′ = y − y2, y = 1
1 + ce−x
, y(0) = −13 ;
(c) y′′ + y = 0, y = c1 cosx+ c2 senx, y
(
π
6
)
= 12 , y
′
(
π
6
)
= 0.
4. Determine si el Teorema de existencia y unicidad garantiza que la ecuación diferencial dada tiene una única
solución en el punto especificado:
(a) y′ =
√
y2 − 9, (2,−3); (b) y′ =
√
9− (x2 + y2), (1, 2).
5. Muestre que y(x) = (x− 2)3 es una solución particular del problema de valor inicial
dy
dx
= 3y2/3, y(2) = 0.
Determine si el Teorema de existencia y unicidad puede garantizar la unicidad de esta solución. Si existe otra
solución, ind́ıquela.
6. Hallar la solución general de las siguientes ecuaciones de variables separables:
(a) y′ =
9x2 − 6
x2
; (b) y′ =
3x2
√
16 + y2
y
; (c) y′ =
y2√
1− x2
.
7. Hallar la solución general de las siguientes ecuaciones de variables separables:
(a)
tan y
cotx
dy + secxdx = 0; (b) (x+ xy2)dx+ ex
2
dx = 0; (c) y′ =
y2√
1− x2
.
8. Hallar la solución particular correspondiente a las condiciones iniciales dadas:
(a) y′ = 2 sen x− e−x, y(0) = 4; (b) y′ = cos
2 x
y2
, y(π) = −1.
9. Determinar si las siguientes ecuaciones son exactas; si lo son, resolverlas:
(a)
(
y − y
x2
ey/x
)
dx+
(
x+
1
x
ey/x
)
dy = 0; (b)
(
3x2 + y cosxy
)
dx+
(
3y2 + x cosxy
)
dy = 0;
(c)
(
4x3 − 4xy2 + y
)
dx+
(
4y3 − 4x2y + x
)
dy = 0.
10. Determinar si las siguientes ecuaciones son exactas; si lo son, hallar la solución particular correspondiente a
las condiciones iniciales dadas:
(a)
(
1
2
√
x
+ y
)
dx+
(
x− 1
2y3/2
)
dy = 0, y(9) = 1;
(b)
(
1
x
+ yexy
)
dx+
(
1
y
+ xexy
)
dy = 0, y
(
1
2
)
= 2.
11. Verifique que µ(x) = x−1 es un factor de integración de la ecuación dada y resolverla:(
x+ 3x3 sen y
)
dx+
(
x4 cos y
)
dy = 0,
12. Escoger la opción que contiene un factor de integración de la ecuación dada y resolverla:
(a)
(
2 +
y
x
)
dx+
(
x
y
+ 2
)
dy = 0, factores:
√
xy, x
√
y, y
√
x, xy.
(b)
(y
2
+ 5x4y
√
xy
)
dx+
(x
2
+ x5
√
xy
)
dy = 0, factores: xy,
√
xy,
1
√
xy
,
1
2
√
xy
, xy.
13. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales usando un factor de integración apropiado:
(a) (xy + y + y2)dx+ (x+ 2y)dy = 0; (b) (ex + y2)dx+
(
xy − e
x
y
− 2y2
)
dy = 0;
(c) x2 sen x dx+ xy dy = 0.
14. Hallar la solución general de las siguientes ecuaciones homogéneas:
(a) y′ =
x
y
+
y
x
; (b) x2 − y2 = xy y′.
15. Hallar la solución general de las siguientes ecuaciones homogéneas:
(a) (2xy2 − 3y3)dx+ (7y3 − xy2)dy = 0; (b) xydx− x2dy = y
√
x2 + y2dy
16. Hallar la solución particular correspondiente a las condiciones iniciales dadas:
(a) x2 y′ = y2 + xy, y(1) = 1; (b)
(
xy cos
y
x
+ x2 sen
y
x
)
y′ = y2 cos
y
x
, y(1) =
π
2
.