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Electromagnetismo 
 
Relación de problemas 3 
3º de Física, Juan Francisco González Martínez. 
 
 3.- Un condensador ideal de placas plano paralelas, situadas en z = 0 y z = d, 
conectadas a una d.d.p. de V0 , tiene en su interior un dieléctrico no homogéneo de 
constante dieléctrica dada por ε( z ) = ε0(2d/(z + d)). 
a) Encontrar las distribuciones eléctrica de E, P y D. 
b) Determinar también las distribuciones de carga libre y polarización. 
 
a) Para resolver este problema vamos a utilizar las siguientes relaciones: 
 
1) Campo conservativo E : ba
b
a
VVd −=∫ lE 
2) Continuidad de las componentes normales de D : Dn1= Dn2 ⇒ σ = 0 
 
3) Ecuaciones constitutivas : D = ε0E + P =ε0( 1 + χ ) = εE 
 
Supongamos que la dirección en la que se ejerce el campo es la del eje z ( z > 0). 
Por ser un condensador ideal, despreciamos los efectos de borde ( o lo que es 
equivalente, consideramos el condensador indefinido en las otras direcciones ), lo que 
implica que el campo dependerá solamente de la dirección z. 
 La d.d.p. aplicada viene dada por 0VV =∆∆∆∆ , luego : 
 
 4) 0
0
VdzE
d
z =∫ 
 
En nuestro caso, no hay carga libre, σ = 0, como vimos en ( 2 ), por lo que la 
componente normal de D es continua. 
 
Dz1= Dz2 
 
Aplicando ( 3 ) : 
 





 +=⇒





+
==
0
0 2
2
ε
εε
d
dzEE
dz
dED zzzz 
 
Entonces por ( 4 ) : 
 
 
 
 
 2
 
 
00 0
0 4
3
2 εε
dDdzD
d
dzV z
d
z =




 += ∫ 
 
Lo que determina que : 
 
zûD zz Dd
VD =⇒=
3
4 00ε 
 
Aplicando de nuevo ( 3 ): 
 
( ) zûEED zzz Edzd
VDE =⇒+==⇒= 2
0
3
2
ε
ε 
 
y , de nuevo, aplicando las relaciones constitutivas : 
 
( ) zûP- zzzz Pd
z
d
V
dz
d
V
d
V
EDP =⇒




 −=+−== 1
3
2
3
2
3
4 00
2
0000
0
εεεε 
 
b) Determinemos las distribuciones de carga de polarización : 
 
 
1.- Primero calculamos la densidad volumétrica de carga de polarización ρp : 
 
2
0
3
2
dz
Pz
p
ερ =
∂
∂−=−∇= P 
 
 2.- Calculamos ahora la densidad superficial de carga de polarización σp, en 
cada plano que limita al dieléctrico: 
 
 Plano z = 0, n = - ûz : 
 
( ) ( )
d
Vzzp 3
2
00 00
εσ ==−== zû P 
 
 
 Plano z = 0, n = ûz : 
 
 
( ) ( ) 0==== zû P dzdzpσ 
 
 
 
 
 
 
 3