10-R2

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Electromagnetismo 
 
Relación de problemas 2 
3º de Física, Juan Francisco González Martínez. 
 
 
10.- Demostrar que el momento dipolar de una distribución de carga es independiente 
del origen si la carga total es nula. En este caso, utilizar los cdg de las cargas positivas y 
negativas para expresar el momento dipolar de la distribución. 
 
 El concepto de momento dipolar surge al considerar el campo eléctrico producido por 
un sistema de cargas a grandes distancias. 
 
 Sea V una región del espacio, donde se encuentra nuestro sistema de cargas, denotadas 
por qν, y consideremos un sistema con Origen en cualquiera de los puntos interiores a 
nuestro sistema. Sean rν los vectores posición de cada una de las cargas. Entonces el 
potencial producido por todas las cargas en un punto exterior a V, determinado por el 
vector R y desarrollado en serie de potencias de r /R ( R >> r ) hasta primer orden es : 
 
 
( )





∇−= ∑ ∑ R
q
R
q 11 �
ν ν
νν
νφ r 
 
Como sabemos la suma : 
 
∑=
ν
νν rp q 
 
es el momento dipolar del sistema de cargas. 
 
Resulta ahora sencillo, a partir del anterior sistema, establecer que si ∑ =
ν
ν 0q , p es 
independiente del origen de coordenadas. Ésto se debe a que los vectores posición rv y 
rv’ de una carga cualesquiera en dos sistemas de coordenadas diferentes están 
relacionados entre sí por : 
 
r’ = rv + δδδδ, 
 
 
 
donde δδδδ es un vector constante totalmente contenido en el sistema. Si ∑ =
ν
ν 0q , 
entonces p es el mismo en ambos sistemas : 
 
 
 
Como queríamos demostrar. 
prrp' =+== ∑∑∑
ν
ν
ν
νν
ν
νν δ qq'q
�
 
Ahora vamos a expresar el momento dipolar de la distribución a partir de los centros de 
“gravedad” ( más bien “centros de carga” ), de las cargas positivas y negativas. 
 
Considerando q+νr+ν y q−νr−ν, las cargas positivas y negativas por sus vectores posición, 
podemos escribir p como : 
 
∑∑∑∑
−−++−−++ −=−=
ν
ν
ν
ν
ν
νν
ν
νν qqqq RRrrp 
 
donde los vectores centros de gravedad de las cargas positivas y negativas vienen dados 
por : 
∑
∑
+
++
+ =
ν
ν
ν
νν
q
q r
R 
∑
∑
−
−−
− =
ν
ν
ν
νν
q
q r
R 
 
En particular si ∑∑ ==
−+
ν
ν
ν
ν qqq , se tendrá: 
 
( )−+ −= RRp q 
 
Donde R+ − R −−−− 
 
 es el vector de origen en el centro de cargas negativas y extremo en el 
centro de vargas positivas. Luego si sólo existen dos cargas, R+-= R+ − R −−−− es el vector 
que las une. 
 
Es útil observar que si la carga total y el momento dipolar son nulos, el desarrollo 
de φ comienza directamente con el potencial cuadripolar. Éste término viene dado por : 
 
( )






∂∂
∂= ∑∑ RXX
xqx 1
2
1 22
βα
β
α β
αφ 
 
Como sabemos por Análisis vectorial (Desarrollo de Taylor de orden 2).Aquí xα y 
xβ son las componentes del vector r, y Xα, Xβ las componentes del vector R. Ahora bien 
sabemos que 1/R satisface la ecuación de Laplace: 
 
011
2
=





∂∂
∂≡





RXXR βα
αβδ∆ 
 
Entonces escribimos φ(2) en la forma : 
 
( ) 01
3
1
2
1 222 =





∂∂
∂





 −= ∑∑ RXX
rxxq
βα
αββα
α β
δφ 
 
Donde ahora tenemos el tensor momento cuadripolar: 
 
 
 
( )αββα
αβ
αβ δ
23 rxxqP −= ∑ 
 
Que es simétrico, puesto que su traza es nula por definición, como puede verificarse. 
 
 Ahora podemos extender el resultado antes demostrado y afirmar : Si la carga y el 
momento dipolar son nulos entonces el momento cuadripolar no depende del Origen de 
coordenadas. Para ello consideremos el vector: 
 
ααα arr +=' 
 
Con las hipótesis ∑ ==
ν
ν 0qq , p = 0
�
 , y a un vector constante, desarrollamos el 
tensor Pαβ ’: 
 
( ) ( )( ) ( ) =










 +−++=−= ∑∑∑ αβββαα
αβ
αββα
αβ
αβ δδ
22 33
i
ii arararq'r'r'rq'P 
 
 
( ) ( ) =










 ++−+++= ∑∑ αββααββαβα
αβ
δ
i
iiii araraaararrrq 23
22 
 
Aplicando las hipótesis y agrupando términos: 
 
( ) ( ) αβ
αβ
αββααββα
αβ
δδ Paaaqrrrq
i
i
i
i =










−+










+= ∑ ∑∑∑
22 33 
 
que era lo que queríamos demostrar.