14-R2

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Joaquín Carrasco
Problema 14. Relación 2
Determina las distribuciones de carga superficial y dipolar precisas 
para apantallar el campo de una carga puntual q a distancias superiores a 
una dada, a, de forma que no se altere la distribución de potencial para 
distancias inferiores a a 
à Teorema de Green.
Por el teorema matemático de Green:
s j ÿ “ y - y ÿ “ j „ S = V j “
2 y - y “2 j „ V
Si se cumple la ecuación de Poisson para j como lo es así en el
caso del potencial (“ 2j = - rÅÅÅÅÅÅÅœ0 ); y haciendo que y=
1ÅÅÅÅÅR con R
”÷÷
 = r”
- r '
”÷÷÷ ï“2y= -4pd(r -r ') podemos llegar a la conclusión de que
s j ÿ “ y - y ÿ “ j „ S = V j -4 pd r - r ' +
rÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅe0 R „ V
Si S es la frontera que rodea al volumen V la expresión toma la sigu-
iente forma: 
 j r = 1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ4 pe0 V
rHr '
”÷÷
LÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅR2 „ V '-
1ÅÅÅÅÅÅÅÅ4 p s j ÿ
uR”÷÷÷÷ÅÅÅÅÅÅÅR2 -
1ÅÅÅÅÅR ÿ “ ' j „ S '. 
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à Carga apantallada por capa esferica con densidad de carga 
superficial y capa dipolar.
Sustituyendo j(r)= qÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ4 pe0 R llegamos a:
j r = qÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ4 pe0 R +
1ÅÅÅÅÅÅÅÅ4 p S
1ÅÅÅÅÅR ÿ “ ' j „ S ' +
1ÅÅÅÅÅÅÅÅ4 p s -j ÿ
uR”÷÷÷÷ÅÅÅÅÅÅÅR2 „ S '.
 Comparando esta expresión con la del potencial creado por una capa
dipolar y por una carga superficial e identificando llegamos a:
 js(r ) = 1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ4 pe0 S
sÅÅÅÅÅR „ S ' fl s ã e0“ ' j a ÿ un
 jt(r ) = 1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ4 pe0 S
t”÷÷ ÿ un”÷÷÷÷ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅR2 „ S ' fl t ã -e0j a ÿ un
 Con lo que obtenemos finalmente que la carga superficial a colocar y la
capa dipolar para obtener un total apantallamiento del potencial producido
por la carga q es:
 “ ' j a = -“ j a = E a = -1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ4 pe0 
qÅÅÅÅÅÅa2 un fls = 
-1ÅÅÅÅÅÅÅÅ4 p 
qÅÅÅÅÅÅa2
 t = -1ÅÅÅÅÅÅÅÅ4 p 
qÅÅÅÅa uR.
à Comprobación.
a) Dentro de la esfera.(r<a)
 jq r = 1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ4 pe0 
qÅÅÅÅr .
js(r ) = -1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ4 pe0 
qÅÅÅÅa .
jt(r ) = 1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ4 pe0 
qÅÅÅÅa .
jq r +js(r )+jt(r ) = jq r = 1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ4 pe0 
qÅÅÅÅr .
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b)Fuera de la esfera.(r>a)
 
 jq r = 1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ4 pe0 
qÅÅÅÅr .
js(r ) = -1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ4 pe0 
qÅÅÅÅr .
jt(r ) = 0;por estar fuera de la esfera el ángulo sólido es cero.
jq r +js(r )+jt(r ) = jq r = 0.
à Conclusión.
Como conclusión podemos ver como mientras que la densidad superfi-
cial de carga no nos ha introducido ningun tipo de discontinuidad en el poten-
cial pero si en el campo. La capa dipolar actua directamente en el potencial
introduciendo una discontinuidad en una cuantia de -tÅÅÅÅÅÅÅe0 que nos permite
anular el potencial en una región no acotada del espacio y apantallar cual-
quier distribución de carga no solo en el campo, lo que se consiguiría sola-
mente con una capa metalica, sino también en el potencial.
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