Campo elétrico em cilindro metálico

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Manuel Feito Guzmán 
 
11. Determinar el campo en el interior de un cilindro metálico muy largo, 
con una densidad superficial de carga que tiene un gradiente constante según la 
dirección del eje. 
 
Nos limitaremos a la resolución analítica del problema en el eje del cilindro, puesto que 
para calcular el campo en cualquier punto del interior es preciso un tratamiento 
computacional. 
 
 
 
 
Calculemos primero el campo creado por un anillo de radio R, de carga Q (con densidad 
lineal λ) en un punto a distancia d y sobre el eje de simetría del anillo. Es evidente que 
por esta simetría solo habrá campo en la dirección z. 
 
 
 
 
 
 
Tomando un elemento del anillo de carga ∆q =Rλ∆θ suficientemente pequeño para que 
podamos considerarlo puntual y aplicando la ley de Coulomb: 
 
 
 
 
En donde r es la distancia de ∆q al punto situado en d. Por Pitágoras: 
 
 
22 dRr += 
 
ruuE rr 3
0
2
0
2
0 4
1
4
1
4
1
r
R
r
R
r
q
∆q
θλ
πε
θλ
πεπε
∆=∆=∆=
Z 
d 
R 
∆q 
r
Manuel Feito Guzmán 
Su proyección en el eje z será d/r y puesto que el campo, por simetría solo tiene 
componente z: 
 
 
Por el principio de superposición el campo total creado por el anillo será sumar los 
campos coulombianos de cada ∆q, que en el límite adopta la forma: 
 
 
zzz uuuE 2/322
0
2/322
0
2
0 2/322
0 )(4
1
)(
2
4
1
)(4
1
dR
Qd
dR
dRd
dR
dR
Q +
=
+
=
+
= ∫ πε
λπ
πε
θλ
πε
π
 
 
Si ahora consideramos el campo que crea un anillo de carga Q con centro en z sobre un 
punto situado en d, éste será: 
 
 
zuE 2/322
0 ))((
)(
4
1
zdR
zdQ
Q −+
−=
πε
 
 
 
Si el “anillo” tiene un espesor ∆z y una densidad superficial σ(z), entonces Q = 
2πRσ(z)∆z 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando de nuevo el principio de superposición, el campo creado por todo el cilindro 
en d, supuesto el cilindro centrado en el origen del sistema de referencia y con extremos 
en –L y L, será: 
 
∫∫ −+
−−
−+
−=
−
L
d
d
L
dz
zdR
zdzRdz
zdR
zdzR
zz u u E 2/322
0
2/322
0 ))((
))((2
4
1
))((
))((2
4
1 σπ
πε
σπ
πε
 
 
Nótese que la integral se ha dividido en dos tramos para tener en cuenta el sentido del 
campo eléctrico según que las cargas estén situadas en z<d o z>d. 
zuE 2/322
0 )(4
1
dR
dR∆q +
∆= θλ
πε
Z 0 d
Manuel Feito Guzmán 
El problema nos dice que hay un gradiente constante de densidad de carga, es decir, σ = 
az + b. Ahora bien, podemos suponer sin pérdida de generalidad que σ = -kz, puesto que 
al ser el cilindro muy largo podemos tomar el origen donde queramos y estudiar una 
región arbitraria en torno a éste. Sustituyendo la densidad por -kz y agrupando 
constantes, la expresión anterior adopta la forma: 
 
zu E 





−+
−−
−+
−−= ∫∫−
L
d
d
L
dz
zdR
zdzdz
zdR
zdzKR 2/3222/322 ))((
)(
))((
)( 
con K>0. 
 
El cálculo de estas primitivas no presenta excesivas complicaciones si hacemos el 
cambio d-z= ξ. Aparecen primitivas de los tipos: 
 
∫ +
−=
+ 222/322
1
)( ξ
ξ
ξ
ξ
R
d
R
 
 
)ln(
)(
22
222/322
2
ξξ
ξ
ξξ
ξ
ξ +++
+
−=
+∫
R
R
d
R
 
 
Realizando los cálculos indicados se obtiene la siguiente expresión para el campo 
eléctrico: 
 
zuE 







−+
−
++
−−++−−++++=
2)(22)(2
)2)(2ln()2)(2ln(
LdR
L
LdR
L
LdRLdLdRLdKR
 
Esta expresión tiene la propiedad de que para un cilindro relativamente largo el campo 
permanece prácticamente homogéneo. A continuación se presenta una gráfica con los 
valores de la magnitud del campo en unidades arbitrarias para un cilindro de R=1 u.a., 
L=1000 u.a., frente a d entre –100 y 100 u.a. (K=1 u.a.) 
 
Aparte de la simetría y del máximo en z = 0 lo principal es que el campo es casi 
constante, como ya se dijo. Puede comprobarse que se obtiene un resultado muy similar 
si lo calculamos en cualquier punto del interior del cilindro, no sólo en el eje. 
 
Manuel Feito Guzmán 
-100 -50 0 50 100
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