Estudo do Campo Elétrico e Potencial de Esferas Concêntricas Cargas

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Física III Semestre de Otoño 2005 
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1
ESTUDIO DEL CAMPO ELECTRICO Y EL POTENCIAL DE UN SISTEMA DE 
ESFERAS CONCÉNTRICAS CARGADAS, USANDO LA LEY DE GAUSS. 
 
 
La esfera metálica de radio tiene una carga distribuida en su superficie, 
donde 
a 24 aq πσ=
σ es la densidad superficial de carga. La región comprendida entre ar = y 
 se llena con una distribución volumétrica de carga con densidad br = ρ radialmente 
uniforme, se decir, .cte=ρ El cascarón metálico comprendido entre y br = cr = 
tiene una carga ( ). Hallar el campo eléctrico y el potencial electrostático como 
función de 
q−
r en todo el espacio. (Sugerencia: use la Ley de Gauss para el cálculo de los 
campos eléctricos) 
 
 
q−
)(rρ 
q
b 
c
a 
r
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La ley de Gauss viene dada por: 
0ε
encerradanetaQSdE =⋅∫ , 
donde significa la carga neta total encerrada dentro de la superficie 
gaussiana definida por nosotros mismos. 
encerradanetaQ
Nótese que toda la carga que pudiera haber 
fuera de la superficie gaussiana, no interviene para nada en la Ley de Gauss, porque 
su contribución al flujo eléctrico sobre la gaussiana es cero. 
 
En el caso de las esferas cargadas que estamos estudiando, la simetría del problema 
nos sugiere usar superficies gaussianas de forma esférica concéntricas con las esferas 
cargadas. En este caso, el campo eléctrico es siempre paralelo o antiparalelo a la 
diferencial de superficie en cada superficie gaussiana y por lo tanto, en este tipo de 
geometría siempre se cumple que EdSSdE ±=⋅ , donde el signo más (menos) 
corresponde al caso en que E y Sd son paralelos (antiparalelos). Adicionalmente 
sabemos que el módulo del campo eléctrico es constante sobre la superficie gaussiana 
de radio r fijo, ya que el campo sólo depende de su distancia al centro de simetría. 
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2
Esto significa que en cada caso se cumple que 24E dS E dS E rπ⋅ = ± = ±∫ ∫ , donde 
 es la superficie de la esfera gaussiana de radio 24 rS π= r . Por otra parte, la carga 
neta encerrada en la gaussiana viene dada por encerradanetaQ
∫=
r
encerradaneta dVrQ
0
)(ρ , 
donde )(rρ es la densidad volumétrica de carga y donde el diferencial general de 
volumen en coordenadas esféricas viene dado por 2 sindV r d d drθ θ φ= . Si la densidad 
ρ no depende de las coordenadas angulares, entonces el diferencial de volumen de la 
esfera viene dado por . Nótese que el límite de integración superior llega 
justo hasta la superficie gaussiana de radio 
drrdV 24π=
r . La carga neta debe ser expresada en 
función del tipo de distribución de carga que nos dieron en el problema. Así, si la carga 
viene dada como densidad superficial )(rσ , entonces debemos escribir: 
. ∫=
r
encerradaneta dSrQ
0
)(σ
 
Comenzaremos aplicando la ley de Gauss a las esferas desde la de menor radio a la de 
mayor radio. 
 
I.- Cálculo del campo eléctrico usando Ley de Gauss. 
 
a) Caso ar < . 
Con línea punteada se dibuja una superficie gaussiana de radio ar < : 
 
 
Superficie gaussiana ar < 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dentro de esta gaussiana la carga neta es cero porque la carga reside sólo en la 
superficie del conductor (
q
en el caso estático, la carga en los metales siempre reside en 
sus superficies exteriores), luego 
00
0
==⋅∫ εSdE , 
 
00 =⇒=⋅∫ ESdE 
 
es decir, el campo eléctrico al interior de un conductor estático es siempre cero . 0=E
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b) Caso bra ≤≤
Con línea punteada se dibuja una superficie gaussiana de radio bra ≤≤
 
 
 
a 
b 
q 
)(rρ 
q−
r
 
 
 Superficie gaussiana a br <<
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En este caso, la carga neta encerrada en la gaussiana es la suma de la carga sobre 
la esfera metálica de radio a , más la fracción de carga contenida entre 
q
ar = y el 
borde de la gaussiana rr = , es decir, 
∫
≤
+=
br
a
dVqQneta ρ , 
dado que .cte=ρ , la carga neta encerrada vale 
3
)(4 33 arqQneta −+= πρ , 
donde r es el radio de la esfera gaussiana y 
3
)(4 33 ar −π
 es el volumen del cascarón 
esférico de radios a y r . Aplicando la ley de Gauss, tenemos 
0
24
ε
π QnetarEEASdE esfera ===⋅∫ 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −+=
3
)(414
33
0
2 arqrE πρ
ε
π
 
finalmente obtenemos: 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −+=
3
)(4)(
33
2
arq
r
krE πρ . 
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Si ar → , el campo eléctrico justo en la parte exterior de la superficie de la esfera 
metálica de radio ar = , vale 
0
2
0 4
1)(
ε
σ
πε
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
==
a
qarE . Este resultado es universal, 
es decir, en estado estático, justo en la parte exterior de un conductor de forma 
arbitraria con densidad superficial de carga σ , el módulo del campo eléctrico vale: 
0ε
σ=E . 
 
Antes de seguir, es muy importante calcular la carga total contenida entre las 
superficies de radios 
ρQ
ar = y : br =
 
)(
3
44 332 abdrrQ
b
a
−== ∫
ρππρρ 
 
c) Caso crb ≤≤
Con línea punteada se dibuja una superficie gaussiana de radio crb ≤≤
 
 
q−
r
a 
b 
q 
)(rρ 
Superficie gaussiana b cr <<
c
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La aplicación de la ley de Gauss permite escribir 
0
)(
ε
ρ indQQqSdE
++
=⋅∫ 
donde indQ es la carga inducida en la superficie interior del cascarón metálico de radios 
 y br = cr = . Sabemos que el campo eléctrico al interior de todo conductor es cero, 
, por lo tanto, la ecuación anterior queda: 0=E
0
)(
0
ε
ρ indQQq ++= , 
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relación de la cual se desprende que 
)( ρQqQind +−= 
usando el resultado obtenido para se escribe finalmente: ρQ
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −+−= )(
3
4 33 abqQind
ρπ
 
Por conservación de la carga, esta misma carga inducida pero de signo contrario debe 
aparecer simultáneamente sobre la superficie exterior del cascarón metálico de radio 
cr = , es decir, la carga total en cr = debe ser 
 
( ) ρρ QQqqQqQ indc =++−=−−= )( . 
 
d) Caso cr > 
Con línea punteada se dibuja una superficie gaussiana de radio cr > 
 
 
r
Superficie gaussiana cr > 
q−
ρQ 
q
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La carga neta encerrada en esta gaussiana es la siguiente: 
( ) ( ) cccind QQQqQqQQQqQneta =++−+=+++= )( ρρρ 
Pero como vimos antes, , luego, ρQQc =
ρQQQneta c == 
Al aplicar la ley de Gauss, podemos escribir: 
∫ ==⋅
0
24
ε
π ρ
Q
rESdE 
obteniendo finalmente 
2r
Qk
E ρ= 
que tiene la forma del campo de una carga puntual . Este resultado es válido 
siempre, es decir, 
ρQ
fuera de una distribución de carga con simetría esférica, ya sea que 
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se trate de una esfera de carga o un conductor esférico cargado, el campo eléctrico 
siempre tiene la forma
2r
QnetakE = 
donde Qneta es la carga total encerrada dentro de la esfera, no importa como este 
distribuida, siempre que la distribución de carga tenga simetría esférica. 
 
En resumen, el campo eléctrico en función de r viene dado por: 
 
arsirE <= 0)( 
 
brasiarq
r
krE ≤≤⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −+=
3
)(4)(
33
2 πρ 
 
crbsirE <<= 0)(crsi
r
abrE ≥−= 2
0
33
3
)()(
ε
ρ 
 
 
II.- Cálculo del Potencial 
 
 Método usando la integral definida desde el infinito hasta el punto 
donde se pide calcular el campo. 
 
El potencial electrostático viene dado por: 
 
∫
∞
⋅−=
r
ldErV )( 
donde se supone que el potencial en infinito vale cero, es decir, . Esta 
suposición siempre es válida si las distribuciones de carga no se extienden hasta 
infinito. 
0)( =
∞→
rVLim
r
Comenzaremos el cálculo del potencial desde fuera de la distribución hasta puntos 
interiores. 
 
a) Caso cr ≥ . Fuera de la distribución de carga. 
 
Debemos usar el campo eléctrico correspondiente a esta región: 
crsi
r
abE ≥−= 2
0
33
3
)(
ε
ρ 
Dado que la diferencia de potencial )()( ∞−=∆ VrVV es independiente de la 
trayectoria entre y ∞ r , usaremos una trayectoria radial de integración, por ello, 
dlEldE −=⋅ pero , por lo tanto, drdl −= drEldE =⋅ . Entonces la integral queda 
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∫
≥
∞
−−=≥
cr
dr
r
abcrV 2
0
33
3
)()(
ε
ρ , 
Obteniéndose 
r
abcrV
0
33
3
)()(
ε
ρ −=≥ 
Este resultado es muy general y nos dice que el potencial fuera de una distribución de 
carga con simetría esférica siempre tiene la forma 
r
QnetakrV =)( . 
Con este resultado podemos calcular el potencial en la superficie exterior del cascarón 
de radio cr = : ∫
∞
−−==
c
dr
r
abcrV 2
0
33
3
)()(
ε
ρ 
c
abcrV
0
33
3
)()(
ε
ρ −== 
 
b) Caso . Dentro del cascarón metálico. crb <<
 
El potencial en el interior del cascarón viene dado por 
∫∫
<<
∞
⋅−⋅−=<<
crb
c
c
ldEldEcrbV )( 
La primera integral de la derecha es justo el potencial en el borde externo de la 
distribución de carga recién encontrado: 
c
abcrV
0
33
3
)()(
ε
ρ −== . Por otra parte, el 
campo eléctrico en el interior de todo conductor es cero, por ello , eso 
significa que la integral se anula en todo el cascarón: 
0)( =<< crbE
∫
<<
⋅
crb
c
ldE 0=⋅∫
<< crb
c
ldE , luego 
)()( crVldEcrbV
c
==⋅−=<< ∫
∞
 
Por lo tanto, el potencial en cualquier punto en el interior del cascarón , 
tiene el mismo valor que el potencial en su superficie , es decir, 
)( crbV <<
)( crV =
c
abcrVcrbV
0
33
3
)()()(
ε
ρ −===<< 
 
Esto prueba que todo conductor en equilibrio estático es un volumen equipotencial o 
una superficie equipotencial. 
 
 
c) Caso . Dentro de la distribución volumétrica de carga. bra ≤≤
 
El potencial en el interior de la distribución volumétrica de carga viene dado por: 
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∫∫∫
≤≤
∞
⋅−⋅−⋅−=≤≤
bra
b
b
c
c
ldEldEldEbraV )( 
Ya sabemos que la primera integral vale 
c
ab
0
33
3
)(
ε
ρ − y que la segunda vale cero, por lo 
tanto podemos escribir: 
∫
≤≤
⋅−−=≤≤
bra
b
ldE
c
abbraV
0
33
3
)()(
ε
ρ 
Para la última integral debemos usar el campo eléctrico calculado en esa región 
específica de la distribución de carga: 
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −+=≤≤ )(
3
4)( 332 arqr
kbraE πρ 
Entonces la integral queda 
 
2
3
2
33
2
3
4
3
4
3
)(4
r
drakdrrk
r
drkqldE
drarq
r
kldE
bra
b
bra
b
bra
b
bra
b
bra
b
bra
b
∫∫∫∫
∫∫
≤≤≤≤≤≤≤≤
≤≤≤≤
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+=⋅
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −+=⋅
πρπρ
πρ
 
Calculando cada integral, se tiene: 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −−=⋅∫
≤≤
br
akbrk
br
kqldE
bra
b
11
3
4)(
6
411 322 πρπρ 
Simplificando 
)(
6
4
3
411 223 rbkaq
br
ldE
bra
b
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −−=⋅∫
≤≤ πρπρ
 
Entonces el potencial en cualquier punto interior a la distribución de carga viene dado 
por la siguiente expresión: 
 
)(
6
4
3
411
3
)()( 22
3
0
33
rbkaq
br
k
c
abbraV −⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −+−=≤≤ πρπρ
ε
ρ 
 
Si , es decir, justo en el borde del cascarón metálico externo, el potencial resulta 
ser el mismo que el potencial en el cascarón, como debe ser por 
br →
continuidad del 
potencial a través de todo el espacio: 
c
abbrV
0
33
3
)()(
ε
ρ −== 
 
Si ar → , es decir, justo en el borde exterior de la esfera de radio ar = , el potencial 
toma el siguiente valor: 
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)(
6
4
3
411
3
)()( 22
3
0
33
abkaq
ba
k
c
abarV −⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −+−== πρπρ
ε
ρ 
 
 
d) Caso ar < . Dentro de la esfera metálica de radio . a
 
El potencial en el interior de la esfera metálica viene dado por: 
∫∫∫∫
<
∞
⋅−⋅−⋅−⋅−=<
ar
a
a
b
b
c
c
ldEldEldEldEarV )( 
Dado que el campo eléctrico al interior de la esfera metálica es cero, la última integral 
se anula, luego 
∫∫∫ ⋅−⋅−⋅−=<
∞
a
b
b
c
c
ldEldEldEarV )( 
Pero esta expresión define justo el potencial en la superficie de la esfera de radio 
ar = , por lo tanto 
)(
6
4
3
411
3
)()( 22
3
0
33
abkaq
ba
k
c
abarV −⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −+−== πρπρ
ε
ρ 
Vemos así que nuevamente se cumple que el potencial en la superficie y en el interior 
de una esfera metálica tiene el mismo valor, , es decir, )()( arVarV <== todo el 
volumen del conductor es un volumen equipotencial. 
 
 Método de la integral indefinida más una constante indeterminada 
 
En cada una de las regiones donde el campo eléctrico es distinto, se calcula el 
potencial en la siguiente forma 
 
( )V r E dl C= − ⋅ +∫ 
Donde todas las constantes deben ser calculadas explícitamente usando las siguientes 
condiciones: 
 el potencial es continuo en todo el espacio ( )V r
 el potencial en el punto de referencia es cero: , donde la referencia 
se considera usualmente el punto , es decir, si la distribución de carga esta 
acotada en el espacio, entonces el potencial en el infinito vale cero . 
( )V r ( )V ref = 0
0
r = ∞
( ) 0V ∞ =
 
Calculamos el potencial en las diferentes regiones desde menor hacia r mayor, es 
decir, desde adentro hacia afuera: 
r
 
Región : en esta región el campo eléctrico vale cero: a r< ( )E r a< =
 
Luego 
1 1( )IV r a E dr C C< = − ⋅ + =∫ 
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1( )IV r a C< = 
 
Región : en esta región el campo eléctrico vale: a r b≤ ≤
3 3
2
( )( ) 4
3
k rE a r b q
r
πρ⎡ ⎤−≤ ≤ = +⎢ ⎥
⎣ ⎦
a
 
luego 
3 3
2 22
( )( ) 4
3II
k r aV a r b E dr C q dr C
r
πρ⎡ ⎤−≤ ≤ = − ⋅ + = − + +⎢ ⎥
⎣ ⎦
∫ ∫ 
Integrando y agrupando se tiene: 
3
2
2
4 4( )
3 6II
k a kV a r b q r C
r
πρ πρ⎡ ⎤≤ ≤ = − − +⎢ ⎥
⎣ ⎦
 
 
Región b r : en esta región el campo eléctrico vale cero: c< < ( )E b r c< < = 0
 
luego 
 
3 3( )IIIV b r c E dr C C< < = − ⋅ + =∫ 
3( )IIIV b r c C< < = 
 
 
Región : en esta región el campo vale: r c>
3 3
2
0
1 ( )( )
3
b aE r c
r
ρ
ε
−≥ = 
luego 
3 3
4 42
0
( )( )
3IV
b aV r c E dr C dr C
r
ρ
ε
−≥ = − ⋅ + = − +∫ ∫ 
integrando se tiene: 
3 3
4
0
( )( )
3IV
b aV r c C
r
ρ
ε
−≥ = + 
 
 
La condición de continuidad del potencial exige que se cumplan las condiciones: 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
I II
II III
III IV
V a V a
V b V b
V c V c
=
=
=
 
 
 
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Apliquemos ahora las condiciones de continuidad: 
 
► ( ) ( )I IIV a V a=
 
3
2
1 2
4 4
3 6
k a kC q a
aπρ πρ⎡ ⎤= − − +⎢ ⎥
⎣ ⎦
C 
 
► ( ) ( )II IIIV b V b=
 
3
2
2 3
4 4
3 6
k a kq b
b
πρ πρ⎡ ⎤− − + =⎢ ⎥
⎣ ⎦
C C 
 
► ( ) ( )III IVV c V c=
 
3 3
3 4
0
( )
3
b aC C
c
ρ
ε
−= + 
 
Además se debe cumplir la condición , es decir, ( )IVV r → ∞ = 0
3 3
4
0
( ) 1( ) lim
3 r
b aV r C
r
ρ
ε →∞
−→ ∞ = + = 0 
relación que permite obtener la primera constante: 
 
4 0C = 
 
Con esta condición obtenemos : 3C
 
3 3
3
0
( )
3
b aC
c
ρ
ε
−= 
 
La constante la obtenemos de la relación 2C
3
2
2 3
4 4
3 6
k a kq b
b
πρ πρ⎡ ⎤− − + =⎢ ⎥
⎣ ⎦
C C 
 
3 3 3
2
2
0
( ) 4 4
3 3
b a k a kC q
c b 6
bρ πρ πρ
ε
⎡ ⎤−= − − +⎢ ⎥
⎣ ⎦
 
 
La constante la obtenemos de la relación` 1C
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12
3
2
1 2
4 4
3 6
k a kC q a
a
πρ πρ⎡ ⎤= − − +⎢ ⎥
⎣ ⎦
C 
Reemplazando 2C
3 3 3 3
2 2
1
0
4 4 ( ) 4 4
3 6 3 3 6
k a k b a k a kC q a q
a c b
π bρ πρ ρ πρ πρ
ε
⎡ ⎤ ⎡ ⎤−= − − + − − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 
 
reordenando, se tiene finalmente: 
 
( )
3 3
2 2
1
0
1 1 4 4 ( )
3 6 3
a k b aC k q b a
a b c
πρ πρ ρ
ε
⎡ ⎤ −⎛ ⎞= − − + − +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦
3
 
 
Conocidos los valores de cada una de las constantes jC , podemos calcular el potencial 
en cada una de las regiones: 
 
Región r a<
 
1( )IV r a C< = 
 
( )
3 3
2 2
0
1 1 4 4 ( )( )
3 6 3I
a k b aV r a k q b a
a b c
πρ πρ ρ
ε
⎡ ⎤ −⎛ ⎞< = − − + − +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦
3
 
 
Región a r b≤ ≤
3
2
2
4 4( )
3 6II
k a kV a r b q r C
r
πρ πρ⎡ ⎤≤ ≤ = − − +⎢ ⎥
⎣ ⎦
 
 
( )
3 3
2 2
0
1 1 4 4 ( )( )
3 6 3II
a k b aV a r b k q b r
r b c
πρ πρ ρ
ε
⎡ ⎤ −⎛ ⎞≤ ≤ = − − + − +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦
3
 
 
Región b r c< <
3( )IIIV b r c C< < = 
 
3 3
0
( )( )
3III
b aV b r c
c
ρ
ε
−< < = 
 
 
Región r c≥
3 3
4
0
( )( )
3IV
b aV r c C
r
ρ
ε
−≥ = + 
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Física III Semestre de Otoño 2005 
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13
3 3
0
( )( )
3I
b aV r c
r
ρ
ε
−≥ = 
 
Los valores de potencial encontrados en cada región corresponden exactamente a los 
valores de los potenciales encontrados usando el método de la integración con límites 
definidos. 
 
El estudiante debe decidir cuál método le parece más fácil, cuál método le gusta más, 
o cuál método le permite desarrollar el problema en menos tiempo. 
 
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Profesores: Dr. Edmundo Lazo & Dr. Héctor Calisto 
 
	II.- Cálculo del Potencial